高三数学最新专题综合演练第七章7.1向量的线性运算文数人教版必修4

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人教版高中数学目录(文科)

人教 A 版高中数学（文）目录表必修 1 第一章会合与函数观点1．1 会合1．2 函数及其表示1．3 函数的基天性质阅读与思虑广告中数据的靠谱性阅读与思虑怎样获得敏感性问题的诚实反响2．2 用样本预计整体阅读与思虑生产过程中的质量控制图2．3 变量间的有关关系阅读与思虑有关关系的强与弱第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思虑天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修 4 第一章三角函数1．1 随意角和弧度制1．2 随意角的三角函数必修21．3 三角函数的引诱公式第一章空间几何体1．4 三角函数的图象与性质1．1 空间几何体的构造1．2 空间几何体的三视图和直观图1．5 函数 y=Asin（ωx+ψ）1．3 空间几何体的表面积与体积1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量第二章点、直线、平面之间的地点关2．1 平面向量的实质背景及基本概牵挂2．1 空间点、直线、平面之间的位2．2 平面向量的线性运算置关系2．3 平面向量的基本定理及坐标表2．2 直线、平面平行的判断及其性示质2．4 平面向量的数目积2．3 直线、平面垂直的判断及其性2．5 平面向量应用举例质第三章直线与方程第三章三角恒等变换3．1 直线的倾斜角与斜率3．1 两角和与差的正弦、余弦和正3．2 直线的方程切公式3．3 直线的交点坐标与距离公式3．2 简单的三角恒等变换必修 3 第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法事例阅读与思虑割圆术必修 5 第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列第二章统计2．1 随机抽样阅读与思虑一个有名的事例 1 人教 A 版高中数学（文）目录表2.1 数列的观点与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前 n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前 n 项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面地区3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式第一章统计事例1．1 回归剖析的基本思想及其初步应用1．2 独立性查验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2．2 直接证明与间接证明第三章数系的扩大与复数的引入3．1 数系的扩大和复数的观点3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4．1 流程图4．2 构造图选修 1-1 第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充足条件与必需条件1.3 简单的逻辑联络词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算3.3 导数在研究函数中的应用3.4 生活中的优化问题举例选修4-1 第一讲相像三角形的判断及有关性质第二讲直线与圆的地点关系第三讲圆锥曲线性质的商讨选修 4-4 第一讲坐标系第二讲参数方程选修 1-22。

第01讲平面向量的概念及线性运算(六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)

题型突破·考法探究
题型二：平面向量的线性运算及求参数问题
【典例2-1】若 = 7， = 4 ，则的取值范围是（）
A．[3，7]
B． 3，7
C． 3，11
D．(3，11)
【答案】C
【解析】由题意知 = 7， = 4，且 = | − |，
当, 同向时，取得最小值， = | − | = ||| − ||| = |4 − 7| = 3；
【答案】C
【解析】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故
A错误．
对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误．
对于C，若Ԧ = ，则,
，故C成立．
Ԧ 必定共线，故//
Ԧ
对于D，当Ԧ ≠ 时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向，
故与
Ԧ 可以为共线向量，故D错误．故选：C
后一个向量终点的向量．
即 + + ⋯ + − = ．
（2）||| − ||| ≤ | ± | ≤ || + ||，当且仅当, 至少有一个为时，向量不等式的等号成
立．
（3）特别地：||| − ||| ≤ | ± |或| ± | ≤ || + ||当且仅当, 至少有一个为时或者
与向量长度无关，两个向量方向相同
且长度相等，就是相等向量．
题型突破·考法探究
题型一：平面向量的基本概念
【变式1-1】下列说法中，正确的是（
）
A．若||
Ԧ > ||，则Ԧ >
C．若Ԧ = ，则//
Ԧ
B．若||
Ԧ = ||，则Ԧ =
D．若Ԧ ≠ ，则与

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的概念及线性运算》课件ppt

思维升华
平面向量线性运算的常见类型及解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义. (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.
跟踪训练2 (1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗.如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
(3)若向量A→B与向量C→D 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.
( ×) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.( √ )
教材改编题
1.(多选)下列命题正确的是 A.零向量是唯一没有方向的向量
√B.零向量的长度等于0 √C.若 a，b 都为非零向量，则使|aa|＋|bb|＝0 成立的条件是 a 与 b 反向共线 √D.若a＝b，b＝c，则a＝c
A.C→H＋I→D＝0 C.A→F＋F→G＝2H→G
B.A→B∥F→E
√D.A→F＝A→B＋A→J
A 项，由图可知 CH 与 ID 相交，所以C→H与I→D不是相反向量，故 A 错误； B 项，A→B与D→E共线，D→E与F→E不共线，所以A→B与F→E 不共线，故 B 错误； C 项，A→F＋F→G＝A→G≠2H→G，故 C 错误；

《向量的线性运算》课件

02 向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，它遵循平行四边形法则。
详细描述
向量加法是将两个向量首尾相连，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量。这个新的向量称为原来两个向量的和。在几何上，向量加法可以由平行四边形的对角线向量得出。
向量的数乘
总结词
数乘是向量的一种线性运算，它通过乘以一个标量来改变向量的长度和方向。
《向量的线性运算》 ppt课件
目录
Contents
• 向量的基本概念 • 向量的线性运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的外积
01 向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的概念，它表示一个既有大小又有方向的量。在二维或三维空间中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任意点。
详细描述
数乘是将一个向量与一个标量相乘，得到的结果是原向量的长度按比例缩放，同时方向可能改变。数乘满足结合律和分配律，但不满足交换律。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，得到的结果向量就是两个向量的差。
详细描述
向量减法是将两个向量首尾相连，由第一个向量的起点指向第二个向量的起点，这个新的向量称为原来两个向量的差。在几何上，向量减法可以由三角形法则得出。
向量积不满足交换律，即a×b≠b×a；向量积也不满足结合律，即(a+b)×c≠a×c+b×c。
05 向量的外积
外积的定义
总结词
基于向量的坐标表示
详细描述

人教A版高中数学必修四最新专题第七章向量的线性运算文数人教课件

②若a＝－b，则|a|＝|b|； ③若A→B＝D→C，则 ABCD 为平行四边形；
④在▱ABCD 中，一定有A→B＝D→C； ⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；
⑥若非零向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c.
其中不正确的个数是
()
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：①③不正确，②④⑤⑥正确．①中由两个向量相
⑤A→B∥C→D，则直线 AB∥直线 CD；
→
⑥与A→B共线的单位向量为
AB →
.
|AB|
其中不正确的个数是
()
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：①③正确，②④⑤⑥不正确，②中A→B＋B→A＝
0 而不是 0；④中向量相等只需方向相同、大小相等，位
置可以平移；⑤中可以 A、B、C、D 四点共线；⑥与A→B
(2)解：A→C＝A→B＋B→C＝3e1－2e2. 因为 A、C、D 三点共线，所以A→C与C→D共线．从而存在 λ 使得A→C＝λC→D，所以 3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)．
得－3＝2＝2λ，－λk，所以kλ＝＝3243，.
考点四向量的应用【案例 4】已知 O 是平面上一定点，A、B、C
运算叫做a
与b的差
运算律
a－b＝ a＋(－b)
(1)|λa|＝|λ||a|
求实数λ与 (2)当λ＞0时，λa与a的 λ(μa)＝(λμ)a 数乘向量a的积方向_相__同_；当λ＜0 (λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a
的运算时，λa与b方向_相__反_， λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b 当λ＝0时，λa＝_0_.
＝λA→P0(λ≥0)是以
AP0同向的向量，A→P＝O→P－O→A＝λA→P0(λ≥0)，故 P 的轨迹是∠BAC 的平分线(含 A)．

高中数学2.2 平面向量的线性运算课件人教版必修4

(1)AD CA CD (2)AB CB DC AD (3)AB AC BD CD 0
实际背景
在物理中：位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系：f=ma.
其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量
a
3a = a +
a
+
a
A
B
AB BC CA 0
（对）
（5）若 AB BC CA 0，
则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。（错）
3、选择题：
（1）(在A)△a AbBC中(B，) B(Ca
a,
b)
CA
(C
)a
b ，则 AB
b (D)b
等于（
a
B
）
例2 （1）已知e1
,
e2均为非零向量，设a

4e1

2 5
e2
,b

e1

1 10
e2
, 说明b与a关系
（2）a与b是非零不共线向量,OA 2a b , OB 3a b ,OC a 3b 求证 : AB// BC
（3）a与b是非零不共线向量,设OA a, OB b ,OC 3a 2b 证明: A、B、C三点共线
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
练习2:
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a≠0)，并比较。

a

3(2a )
结论: 3(2a)=6 a
=
3(2a )
6a
(2) 已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。

高中数学全套讲义必修4 平面向量的线性运算基础学生版

目录向量的线性运算 (2)模块一：向量基本概念 (2)考点1：向量概念辨析 (2)模块二：向量的加减运算 (3)考点2：向量的加减法 (4)模块三：三角形的三心 (6)考点3：三角形的三心 (6)课后作业： (7)向量的线性运算模块一：向量基本概念一、向量的概念与表示1．向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量．2．向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：AB，注意起点在前，终点在后；也可以用a，b来表示．AB．③线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作||3．零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0；零向量的方向是任意的．单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．4．相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．5．向量共线或平行：方向相同或相反的向量叫做平行向量．向量a平行于向量b，记作a∥b．任一组平行的向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任意向量平行．考点1：向量概念辨析例1.（1）（2019春•城关区校级月考）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：；③向量AB与BA相等，则所有正确命题的序号是()②若a，b都是单位向量，则a bA．①B．③C．①③D．①②（2）（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ，b 满足||||a b >且a 与b 同向，则a b >； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若//a b ，//b c ，则//a c ． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个模块二：向量的加减运算二、向量的运算 1．向量的加法：⑴ 三角形法则：AB a =，BC b =，a 和b 的和（或和向量）a b AB BC AC +=+=．⑵ 平行四边形法则：AB a =，AD b =，a b ，不共线，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则a b AC +=．⑶ 多边形法则：已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．BC⑷ 向量的运算性质：向量加法的交换律：a b b a +=+；向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++．关于0：00a a a +=+=． 2．向量的减法：⑴ 相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量，记作a -．00-=． ⑵ 差向量：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．AB OB OA =-．3．数乘向量a λ：0λ>时，与a 方向相同；0λ<时，与a 方向相反；0λ=时，0a λ=；且a a λλ=；4．向量共线的条件⑴ 平行向量基本定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． ⑵ 单位向量：a 的单位向量记作0a ，是指与a 方向相同，长度为1的向量，0a a a=．考点2：向量的加减法例2.（1）（2019•栖霞市模拟）在ABC ∆中，D 为线段BC 上一点，且2BD CD =，则(AD =)A ．3144AD AB AC =+ B ．1344AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+（2）（2019•泰安模拟）在ABC ∆中，M 为AC 中点，BC CD =，MD xAB y AC =+，则(x y += )dA ．1B ．12 C ．13D ．32（3）（2017春•安吉县校级月考）如图所示，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是( )A ．AE AD FA =+B ．0DE AF +=C ．0AB BC CA ++≠D ．DE DF AD -=（4）（2017•临汾二模）设D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、CA 、AB 的中点，则23(DA EB FC ++= ) A ．12ADB ．32ADC ．12ACD ．32AC（5）（2016秋•宜昌期末）已知点P 在正ABC ∆所确定的平面上，且满足PA PB PC AB ++=，则ABP ∆的面积与BCP ∆的面积之比为( ) A ．1:1 B ．1:2C ．1:3D ．1:4模块三：三角形的三心已知ABC △，角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，⑴ 三角形的外心O ：外接圆的圆心，三边中垂线的交点，满足OA OB OC ==；⑵ 三角形的内心I ：内切圆的圆心，三个内角平分线的交点，满足0aIA bIB cIC ++=；考点3：三角形的三心例3.（1）（2017秋•重庆期末）设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则( ) A ．P 、A 、C 三点共线 B ．P 、A 、B 三点共线 C ．P 、B 、C 三点共线 D ．以上均不正确（2）（2019•江岸区校级模拟）过ABC ∆内一点M 任作一条直线l ，再分别过顶点A ，B ，C 作l 的垂线，垂足分别为D ，E ，F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的()A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心（3）（2019春•金水区校级期中）已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足230OA OB OC ++=，BOC ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则12(S S = ) A ．16B ．13C ．23D ．34（4）（2019•滨州二模）在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，M 为AC 上一点，且满足3MC AM =，则( )A ．11312GM AB AC =+B ．11312GM AB AC =--C ．17312GM AB AC =-+D ．17312GM AB AC =-课后作业：1.（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a ，b 满足||||a b >且a 与b 同向，则a b >； ④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若//a b ，//b c ，则//a c ． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2.（2019•泰安模拟）在ABC ∆中，M 为AC 中点，BC CD =，MD xAB y AC =+，则(x y +=) A ．1 B ．12 C ．13D ．323.（2016秋•宜昌期末）已知点P 在正ABC ∆所确定的平面上，且满足PA PB PC AB ++=，则ABP ∆的面积与BCP ∆的面积之比为( ) A ．1:1 B ．1:2 C ．1:3 D ．1:44.（2019春•沙坪坝区校级期中）向量,,a b c 正方形网格中的位置如图所示．若向量c a b λ=+，则实数(λ= )A ．2-B ．1-C ．1D ．25.（2019•滨州二模）在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，M 为AC 上一点，且满足3MC AM =，则( )A ．11312GM AB AC =+B ．11312GM AB AC =--C ．17312GM AB AC =-+D ．17312GM AB AC =-。

高中数学2.1向量的线性运算2.1.4向量数乘优化训练新人教B版必修4(2021学年)

高中数学 2.１向量的线性运算 2.1.4 向量数乘优化训练新人教Ｂ版必修4编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学２.1 向量的线性运算２.1.4 向量数乘优化训练新人教B版必修４）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学２.1 向量的线性运算 2.1.４向量数乘优化训练新人教B版必修4的全部内容。

2.１。

4 向量数乘５分钟训练（预习类训练，可用于课前）１.已知a =ｅ1＋e 2,b =3e 1-２e 2,则3a －2b 等于（ )Ａ.９ｅ１+4e ２Ｂ.0 C 。

7e 2-2e １ D.-３e １+7ｅ2解析:3a -2b =3（e １+e 2)－2(３e 1－２e 2)＝-３ｅ1+７e 2。

答案:D2．已知OA =ａ，OB ＝b ，AB ＝43AP ,用a ，b 表示OP ,则OP 等于( ) A.a b 4143- B 。

a b 3134- C.b a 4331+ D 。

a -b 解析:∵AB =43AP ，∴OB -OA ＝43（OP -OA ).∴ｂ—ａ=43OP —43ａ。

∴OP =a b 3134-.答案:B3。

化简(—２)·3m —4（n —2m )的结果为（ )Ａ。

—14m -4ｎＢ。

—6m —4n C.２m —4n Ｄ。

4n +2m解析:原式=－6m —4ｎ+8ｍ=2ｍ—４n 。

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案

高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。

2.掌握平面向量的线性运算方法。

3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。

二、教学重点平面向量的线性运算。

三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。

四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。

五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。

六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。

2.新课讲解（1）向量加法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。

如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。

如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。

向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。

高中数学必修四知识讲解,巩固练习(复习补习,期末复习资料)：24【提高】向量的线性运算

【提高】向量的线性运算平面向量的线性运算【学习目标】1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.2．能结合图形进行向量的计算．3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算．5．掌握向量共线的条件．【要点梳理】要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则1.向量加法的概念及三角形法则已知向量,a b ，在平面内任取一点A ，作,AB a BC b ==，再作向量AC ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b AB BC AC +=+=．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．2．向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量,a b ，作,A B a A D b ==，则,,A B D 三点不共线，以,AB AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线AC a b =+．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a ，我们规定00a a a +=+=．要点诠释：两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律1.向量求和的多边形法则的概念已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 112231n n n A A A A A A A A -=++⋅⋅⋅+特别地，当1A 与n A 重合，即一个图形为封闭图形时，有1223110n n n A A A A A A A A -++⋅⋅⋅++=2．向量加法的运算律（1）交换律：a b b a +=+；（2）结合律：()()a b c a b c ++=++要点三：向量的三角形不等式由向量的三角形法则，可以得到(1)当,a b 不共线时，||||||a b a b +<+；(2)当,a b 同向且共线时，,,a b a b +同向，则||||||a b a b +=+；(3) 当,a b 反向且共线时，若||||a b >，则a b a +与同向，||||||a b a b +=-；若||||ab <，则a b b +与同向，||||||a b b a +=-．要点四：向量的减法1．向量的减法（1）如果b x a +=，则向量x 叫做a 与b 的差，记作a b -，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a 的相反向量．（2）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即()a b a b -=+-．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．要点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有()0a a +-=；若a ，b 互为相反向量，则,0a b a b =-+=．（3）两个向量的差仍是一个向量．2．向量减法的作图方法（1）已知向量a ，b ，作,OA a OB b ==，则BA a b =-=OA OB -,即向量BA 等于终点向量（OA ）减去起点向量（OB ）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出a b -．作,,OA a OB b AC b ===-，则()OC a b =+-，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．要点五：数乘向量1.向量数乘的定义实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：a λ(1)||||||a a λλ=；(2)①当0>λ时，a λ的方向与a的方向相同； ②当0<λ时.a λ的方向与a 的方向相反； ③当0=λ时，0 =a λ.2．向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积a λ的几何意义是：a λ可以由a 同向或反向伸缩得到．当||1λ>时，表示向量a 的有向线段在原方向（0λ>）或反方向（0λ<）上伸长为原来的||λ倍得到a λ；当0||1λ<<时，表示向量a 的有向线段在原方向（0λ>）或反方向（0λ<）上缩短为原来的||λ倍得到a λ；当1λ=时，a λ=a ；当1λ=-时，a λ=-a ，与a 互为相反向量；当0λ=时，aλ=0．实数与向量的积得几何意义也是求作向量aλ的作法．3.向量数乘的运算律设λμ、为实数结合律：()()a a λμλμ=；分配律：a a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(要点六：向量共线的条件1．向量共线的条件（1）当向量0a =时，a 与任一向量b 共线．（2）当向量0a ≠时，对于向量b ．如果有一个实数λ，使b a λ=，那么由实数与向量的积的定义知b 与a 共线．反之，已知向量b 与a （0a ≠）共线且向量b 的长度是向量a 的长度的λ倍，即||||b a λ=，那么当b 与a 同向时，b a λ=；当b 与a 反向时，b a λ=-．2．向量共线的判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使b a λ=，则向量b 与非零向量a 共线．3．向量共线的性质定理若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使b a λ=．要点诠释：（1）两个向量定理中向量a均为非零向量，即两定理均不包括0与0共线的情况；（2）0a ≠是必要条件，否则0a =，0b ≠时，虽然b 与a 共线但不存在λ使b a λ=；（3）有且只有一个实数λ，使b a λ=．（4）//(0)a b a b b λ⇔=≠是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.【典型例题】类型一：向量的加法运算例1．如图所示，已知三个向量a 、b 、c ，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a +b +c ．【解析】利用三角形法则作a +b +c ，如图1所示，作=OA a ，以A 为起点，作=AB b ，再以B 为起点，作=BC c ，则=+=++=++OC OB BC OA AB BC a b c ．利用平行四边形法则作a +b +c ，如图2所示，作=OA a ，=OB b ，=OC c ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OADB ，则=+OD a b ，再以OD 、OC 为邻边作平行四边形ODEC ，则=+=++OE OD OC a b c ．【总结升华】题中，要求作三个向量的和，首先求作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．举一反三：【变式1】已知任意四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF EF AB DC +=+．【证明】如图所示，在四边形CDEF 中，0EF FC CD DE +++=，所以EF FC CD DE CF DC ED =---=++．在四边形ABFE 中，0EF FB BA AE +++=，所以EF BF AB EA =++．所以(E F +=．因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，所以0ED EA +=，0CF BF +=．所以EF EF AB DC +=+．【总结升华】本题主要应用了封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量的知识．类型二：向量的减法运算例2．（1）在平面内任画两个非零向量a 、b ，求作a －b ；（2）如图，已知不共线的两个非零向量a 、b ，求作向量a ―b ，b ―a ．【解析】（1）①当a 、b 共线时，若a 、b 同向，如下图甲．任取一点A ，作=A B a ，=-BC b ，则=-AC a b ．若a 、b 反向，如上图乙．任取一点，作=AB a ，=-BC b ，则()=-=+-AC a b a b ． ②当a 、b 不共线时，如下图（左）．在平面内任取一点O ，作=OA a ，=OB b ，则． ()=+=+-=-=-BA BO OA OA OB OA OB a b ．（2）作=OA a ，=OB b ，则=-BA a b ，=-AB b a ，如图（右）．【总结升华】（1）题中，需要根据不同的情况分别求解．紧扣向量减法的定义是解决问题的关键．（2）题中，求两个向量的加法、减法要注意三角形法则和平行四形法测的应用，求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则两向量的差就是连接两向量的终点，且指向被减向量的终点．举一反三：【变式1】O 为正六边形ABCDEF 的中心，设OA a =,OB b =，则DE 等于（）．（Ａ）a b + （Ｂ）a b - （Ｃ）b a - （Ｄ）a b --【答案】Ｂ【变式2】化简 ()()AC DB AB DC +-+【解析】原式=()()0AC AB DB DC BC CB -+-=+=．类型三：与向量的模有关的问题例3．（1）已知a 、b 、c 的模分别为1、2、3，求|a +b +c |的最大值；（2）如图所示，已知矩形ABCD 中，||43AD =设=A B a ，=BC b ，=BD c ，试求|a +b +c |的大小．【思路点拨】（1）利用向量的三角形不等式求解；（2）构造平行四边形求向量模的长度．【解析】（1）∵|a +b +c |≤|a |+|b |+|c |=1+2+3=6，∴|a +b +c |的最大值为6．（2）过点D 作AC 的平行线，交BC 的延长线于E ，如图所示．∵DE ∥AC ，AD ∥BE ，∴四边形ADEC 为平行四边形， ∴DE AC =，CE AD =，于是2++=++=+=+==+=a b c AB BC BD AC BD DE BD BE AD AD AD ， ∴||2||83++==a b c AD ．【总结升华】求若干个向量的和的模（或最值）问题通常按下列方法进行：寻找或构造平行四边形——借助已知长度的向量表示待求模的向量来求模（或利用向量的和的模的性质）．举一反三：【变式1】已知非零向量a ，b 满足||71=+a ，||71=-b ，且|a －b |=4，求|a +b |的值．【解析】如图，=OA a ，=OB b ，则||=-BA a b ．以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ，则||||=+OC a b ．由于2221)1)4+=．故222||||||OA OB BA +=，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形，从而OA ⊥OB ，所以OACB 是矩形．根据矩形的对角线相等有||||4OC BA ==，即|a +b |=4．类型四：向量的数乘运算例4．（2018 安徽合肥月考）计算下列各式：（1）3(2)2(43)a b a b ---；（2）113(43)(3)322a b a b b +--+；（3）2(34)3(23)a b c a b c -+-+-．【答案】（1）23a b -+；（2）136a b -+；（3）1111b c -+．【解析】（1）3(2)2(43)638623a b a b a b a b a b ---=--+=-+；（2）11343131(43)(3)332232226a b a b b a b a b b a b +--+=+-++=-+；（3）2(34)3(23)6826391111a b c a b c a b c a b c b c -+-+-=-+--+=-+．【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，λ＞0时，λa 与a 同向；λ＜0时，λa 与a 反向；λ=0时，λa =0；故λa 与a 一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．举一反三：【变式1】计算：（1）6(3a ―2b )+9(―2a +b )；（2）127137(32)236276⎡⎤⎡⎤⎛⎫+---++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦a b a b a b a ；（3）6(a ―b +c )―4(a ―2b +c )―2(―2a +c )．【解析】（1）原式=18a ―12b ―18a +9b =―3b ．（2）127137(32)236276⎡⎤⎡⎤⎛⎫+---++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦a b a b a b a 12711332236227⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a b b a a b17732367⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b 717106262a b a b =+--=．（3）原式=6a ―6b +6c ―4a +8b ―4c +4a ―2c =(6a ―4a +4a )+(8b ―6b )+(6c ―4c ―2c ) =6a +2b ．例5.（2017春山西运城期中）在边长为1的正△ABC 中，2BC BD =，3AC EC =，AD 与BE 相交于点F ．（1）求AD BE ⋅的值；（2）若AF FD λ=，求实数λ的值．【思路点拨】（1）通过题意可得AD ⊥BC ，设AB a =，AC b =，利用23AE AC =，代入计算即可；（2）通过计算可得22(1)2(1)BF BA AF AB AC λλλλ+=+=-+++，记BF BE μ=，通过计算可得2()3BF AB AE AB AC μμμ=-+=-+，根据平面向量的基本定量计算即得结论．【解析】（1）由题意，D 为BC 的中点，而△ABC 为正三角形，∴AD ⊥BC ，设AB a =，AC b =，又3AC EC =，则1()()2AD BE AB AC AE AB ⋅=+⋅- 12()()23a b b a =+⋅-22111326b a a b =--⋅14=-；（2）根据题意：1BF BA AF AB AD λλ=+=-++ ()2(1)AB AB AC λλ=-+++22(1)2(1)AB AC λλλλ+=-+++记BF BE μ=，则2()3BF AB AE AB AC μμμ=-+=-+，根据平面向量的基本定理可得：22(1)22(1)3λμλλμλ+⎧-=-⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 解得：λ=4．【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式1】如图，已知ABC ∆三边中点为D E F 、、，求证：0AD BE CF ++=.【解析】AD BE CF ++=3()2AG BG CG ++ =3()2GA GB CG ⎡⎤-++⎣⎦=322GF CG ⎡⎤-+⎣⎦ =302⋅ =【变式2】如图，四边形OADB 是以向量=OA a ，=OB b 为邻边的平行四边形，又13=BM BC ，13=CN CD ，试用向量a 、b 表示OM ，ON ，MN ．【解析】 ∵1111()()3666===-=-BM BC BA OA OB a b ， ∴11156666=+=+-=+OM OB BM b a b a b ， ∵1136CN CD OD ==， ∴11222()()26333=+=+==+=+ON OC CN OD OD OD OA OB a b ，21511()36626=-=+--=-MN ON OM a b a b a b ．类型五：共线向量与三点共线问题例6.设两非零向量1e 和2e 不共线，(1)如果121212,28,3(),AB e e BC e e CD e e =+=+=-求证D B A ,,三点共线.(2)试确定实数k ，使12ke e +和12e ke +共线.【思路点拨】要证明D B A ,,三点共线，须证存在λ使12()BD e e λ=+即可.而若12ke e +和12e ke +共线，则一定存在λ，使1212()ke e e ke λ+=+.【解析】(1)证明 12121212,283()5()5,AB e e BD BC CD e e e e e e AB =+=+=++-=+=,A B B D ∴共线，又有公共点B ，∴D B A ,,三点共线.(2)解 ∵12ke e + 和12e ke + 共线，∴存在λ，使1212()ke e e ke λ+=+，则12()(1),k e k e λλ-=-由于1e 和2e 不共线，只能有⎩⎨⎧=-=-010k k λλ 则1k =±.【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件，即,a b 共线⇔存在λ使b a λ=(正用与逆用)举一反三：【变式1】（2017秋安徽滁州月考）（1）设两个非零向量1e ，2e 不共线，如果1223AB e e =+，12623BC e e =+，1248CD e e =-，求证：A ，B ，D 三点共线．（2）设1e ，2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．【答案】（1）略；（2）－8【解析】（1）证明：∵121210155(23)5BD BC CD e e e e AB =+=+=+=， ∴BD 与AB 共线，又它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线；（2）121212(2)(3)4BD CD CB e e e e e e =-=--+=-，∵A 、B 、D 三点共线，∴AB 与BD 共线，则AB BD λ=，即12122(4)e ke e e λ+=-，所以24k λλ=⎧⎨=-⎩，解得k =－8．类型六：向量的综合应用例7．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内一点，若0OA OB OC ++=，证明O 是△ABC 的重心．【思路点拨】要证明O 是△ABC 的重心，即证O 是△ABC 各边中线的交点，可联系重心的性质证之．【证明】 ∵0OA OB OC ++=，∴()OA OB OC =-+，即O B O C +是与OA 方向相反且长度相等的向量．如图所示，以OB 、OC 为相邻两边作OBDC ，则OD OB OC =+，∴OD OA =-．在OBDC 中，设BC 与OD 相交于E ，则BE EC =，OE ED =， ∴AE 是△ABC 的BC 边上的中线，且||2||OA OE =．根据平面几何知识，知O 是△ABC 的重心．【总结升华】若AB CD λ=且直线AB 与直线CD 不重合，则AB ∥CD ．若AB CD =且直线AB 与直线CD 不重合，则以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形．举一反三：【变式1】如图，已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+．证明：取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求，如图．∵E 是AD 的中点，∴12AE AD =．∵F 是BC 的中点，∴1()2AF AB AC =+，又∵AC AD DC =+， ∴1()2AF AB AD DC =++11()22AB DC AD =++． ∴1111()()2222EF AF AE AB DC AD AD AB DC =-=++-=+．【总结升华】掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到．例8． 2009年8月份，南方遭遇暴雨袭击，在某小镇的一次营救中，小汽艇在静水中的速度是12 km / h ，水流的速度是6 km / h ．如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，则小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直方向到达对岸，船头方向该怎样？【解析】如图（1）所示，AB 为汽艇在静水中的速度，AD 为水流速度，由平行四边形法则可知，小汽艇在实际速度为AC AB AD =+，在Rt △ADC 中，||6AD =，||||12DC AB ==，||13.4AC =≈，∠CAD ≈63°43′．即小汽艇在河水中的速度大小约为13.4 km / h ，方向与水流速度的夹角约为63°43′．如图（2）所示，欲使小汽艇垂直河岸方向到达对岸码头，设小汽艇实际速度为AC ，则AC AB BC =+．在Rt △ABC 中，||12AB =，||6BC =，从而∠BAC=30°，∠BAE=60°，即小汽艇应沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直河岸方向到达对岸．【总结升华】用向量加法解决简单的实际问题其步骤为：先用向量表示相关物理量（如速度等），再进行向量运算，然后归结到实际问题去解决．举一反三：【变式1】在湘江的某渡口处，江水以12.5 km / h 的速度向北流去，渡船的速度是25 km / h ，现渡船要垂直地渡过湘江，问：其航向应该怎样确定？【解析】设AB 表示水流速度，AD 表示船的速度，AC 表示渡船实际垂直过江的速度，现以AB 为一边，以AC 为对角线作ABCD ，则AD 就是船的速度（如图）．在Rt △ACD 中，∠ACD=90°，||||12.5DC AB ==，||25AD =，所以∠CAD=30°．故其航向应该调整为东偏南30°．【巩固练习】1．下列等式不成立的是（）A ．a +0=aB ．a +b =b +aC ．0AB BA +=D ．AB BC AC +=2．若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A.EF OF OE =+B.EF OF OE =-C.EF OF OE =-+D.EF OF OE =-- 3．化简AB BC DC +-等于（）A ．0B ．ADC ．CD D ．04．在矩形ABCD 中，||2AB =，||1BC =，则向量AB AD AC ++的长度等于（）A B ． C ． D ．5．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB λ=+，λ∈R ，则点P 一定在（）A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上6．（2017春安徽宿松县期中）设a ，b 为不共线向量，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则下列关系式中正确的是（）A ．AD BC =B ．2AD BC = C ．AD BC =- D ．2AD BC =-7．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等于（）A ．()AB AD λ+，(0,1)λ∈ B ．()AB BC λ+，0,2λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭C ．()AB AD λ-(0,1)λ∈ D ．()AB BC λ-，0,2λ⎛∈ ⎝⎭8.若非零向量a 、b 满足｜a -b ｜=｜b ｜，则( )A.｜2b ｜＞｜a -2b ｜B.｜2b ｜＜｜a -2b ｜C.｜2a ｜＞｜2a -b ｜D.｜2a ｜＜｜2a -b ｜9．（2018 江苏江阴市模拟）在边长为1的正方形ABCD 中，设,,AB a BC b AC c ===，则||b a c --=________10．若1e ，2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+，123CB e e =+，122CD e e =-，若A ，B ，D 三点共线，则k =________．11．在矩形ABCD 中，O 为AC 、BD 的交点，若13BC e =，22DC e =，则AO =________．12．在ABCD 中，E 、F 分别在DC 和AB 上，且113DE DC =，1213AF AB =，则AE 与CF 的关系是____．13．（2018 甘肃模拟）在△ABC 中，D 为AC 的中点，3BC BE =，BD 与AE 交于点F ，若AF AE λ=，则实数λ的值为________．14．如图，已知向量AB a =，AD b =，∠DAB=120°，且|a |=|b |=3，求|a +b |和|a －b |．15．（2017 广东模拟）设1e ，2e 是两个不共线的向量，122AB e ke =+，1212+32CB e e CD e e ==-，，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．16．已知平面中不同的四点,,,A B C D 和非零向量,a b ，且2A B a b =+，56,72CB a b CD a b =-=-．（1）证明：,,A B D 三点共线；（2）若a 与b 共线，证明,,,A B C D 四点共线．【答案与解析】C AO B 1．【答案】C【解析】 AB BA +=0，而不是数0．2. 【答案】B【解析】向量的加、减法法则.3．【答案】B【解析】AB BC DC AC DC AD +-=+=．4．【答案】B【解析】A B A D A B B C +=+=．2||415AC =+=，∴||5AC =，∴||25AB AD AC ++=5．【答案】 B【解析】易得CB PB PA λ-=，即CP PA λ=，从而//CP PA ，又CP ，PA 有一个公共点P ，所以C 、P 、A 三点共线，又R λ∈，所以点P 在直线AC 上．6．【答案】B【解析】由条件可得822AD AB BC CD a b BC =++=--=，则关系式中正确的是2AD BC =，故选B ．7．【答案】A 【解析】由向量加法运算法则可知，AC AB AD =+及点P 在对角线AC 上，故AP 与AC 同向，且||||AP AC <，故()AP AB AD λ=+，λ∈（0，1）．8. 【答案】A 【解析】若两向量共线，则由于a b ，　是非零向量，且a b b -=，则必有2a b =；代入可知只有A 、C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC ；令OA a =， OB b =，则BA a b =-，∴2CA a b =-且a b b -=；又BA+BC>AC ∴2a b b a b -+>- ∴22b a b >-，选A.9．【答案】2【解析】∵边长为1的正方形ABCD 中，设,,AB a BC b AC c ===，∴||1,||2,a c a b c ==+=．∴|||||2|2||2b a c b a a b a a --=---=-==．故答案为2．10．【答案】―8【解析】121212(2)(3)4BD CD CB e e e e e e =-=--+=-因为A ，B ，D 三点共线，所以AB k BD =，已知122AB e ke =+，124BD e e =-所以k =―8，故答案为：―8．11．【答案】121(32)2e e +【解析】121111()()(32)2222AO AC AD DC BC DC e e ==+=+=+．12．【答案】CF AE =-【解析】设AD a =，AB b =，∵113DE DC =，1213AF AB =，∴113AE AD DE a b =+=+，1()13CF CB BF a b AE =+=-+=-．13．【答案】34【解析】作EG ∥AC 交BD 于G ，∵13BE BC =，∴13EGDC =，∵D 为AC 的中点， ∴13EGAD =，∴13EF FA =，∴34AF AE =．∴实数λ的值为34，故答案为：34．14．【解析】以AB 、AD 为邻作平行四边形ABCD ，由于||||3AD AB ==，故此四边形为菱形．由向量的加减法知，AC a b =+，DB a b =-，故||||AC a b =+，||||DB a b =-，因为∠DAB=120°，所以∠DAC=60°，所以△ADC 是正三角形，则||3AC =，由于菱形对角线互相垂直平分，所以△AOD 是直角三角形，||||sin 60322OD AD =︒=⨯=，即||33DB =． 15．【解析】∵1212122(3)4BD CD CB e e e e e e =-=--+=-若A ，B ，D 三点共线，则AB 与BD 共线，∴设AB BD λ=即121224e ke e e λλ+=-由于1e 与2e 不共线可得：112e e λ=224ke e λ=-故λ=2，k =－816．（1）证明：24BD CD CB a b =-=+，2BD AB ∴=,//AB BD ∴，因为二者均经过B ，所以A 、B 、D 三点共线．（2）证明：a 与b 共线，设a b λ=，∴(24)BD b λ=+，(72)CD b λ=-． 0CD ≠，0BD ≠，720,240.λλ∴-≠+≠ 24,BD CD λ+∴= //BD CD ∴,所以B 、C 、D 三点共线，又A 、B 、D 三点共线所以A 、B 、C 、D 四点共线．。

高一数学人教版必修4考点同步向量的线性运算

考点同步(4)向量的线性运算1、若向量a r 与b r 是两个不平行的向量, //a c r r 且//b c r r ,则c r 等于( )A. 0rB. a rC. b rD.不存在这样的向量c r2、在ABC △中,若,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==u u u r u u u r u u u r u u u r 为BC 边的三等分点,则AE AF ⋅u u u r u u u r ( ) A.89 B. 109 C. 259 D. 269 3、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若12,3AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则λ等于( ) A ．23 B ．13 C ．13- D ．23- 4、在四边形ABCD 中,若,AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r 则（） A. ABCD 是矩形 B. ABCD 是菱形 C. ABCD 是正方形 D. ABCD 是平行四边形。

5、在四边形ABCD 中, 2,4,53AB a b BC a b CD a b =+=--=--u u u r r r u u u r r r u u u r r r ,其中,a b r r 不共线,则四边形ABCD 为( )A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形6、设P 是ABC ∆所在平面内的一点, 2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ,则( )A. 0PA PB +=u u u r u u u rB. 0PC PA +=u u u r u u u rC. 0PB PC +=u u u r u u u rD. 0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r7、,a b rr 为非零向量,且a b a b +=+r r r r ,则( )A. a b r P r ,且a r 与b r 方向相同B. ,a b r r 是共线向量且方向相反C. a b =-r rD. ,a b r r 无论什么关系均可8、已知菱形的两邻边OA a =u u u r ,OB b =u u u r ,其对角线交点为D ,则OD u u u r 等于( ) A. 12a b +r r B. 12b a +r r C. ()12a b +r r D. a b +r r 9、下列等式不正确的是( )A. 0a a -=r rB. ()a b b a -=--r r r r C.0AB BA +≠u u u r u u u r D.AC DC AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r 10、平面上有三点A ,B ,C ,设m AB BC =+u u u r u u u r ,n AB BC =-u u u r u u u r ,若m ,n 的长度恰好相等,则有( )A. A ,B ,C 三点必在同一直线上B. ABC ∆必为等腰三角形且B ∠为顶角C. ABC ∆为直角三角形且90B ∠=︒D. ABC ∆必为等腰直角三角形11、已知G 是ABC ∆的重心,则GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r __________12、已知3,2a b ==r r ,则a b +r r 的取值范围是__________13、在菱形ABCD 中, 60DAB ∠=o,向量1AB =u u u r ,则BC CD +=u u u r u u u r __________. 14、已知6,9AB CD ==u u u r u u u r ,则AB CD -u u u r u u u r 的取值范围是__________15、若112()(3)032x a b c x b --+-+=rr r r r r ,其中,,a b c r r r 为已知向量,则未知向量x =r __________.16、ABC ∆三个顶点坐标分别是(1,2),(2,4),(6,3)A B C -,则BC 的中点坐标是__________;ABC ∆的重心坐标是__________17、若()()2,8,7,2OA OB ==-u u u r u u u r ,则OA OB +=u u u r u u u r __________;13AB =u u u r __________ 18、如图,半径为1的扇形AOB 的圆心角为120o ,点C 在圆弧AB 上,且30COA ∠=︒,若OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ,则λμ+=__________.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：∵零向量与任一向量共线，又∵,a b r r 不平行，∴0c =r r2答案及解析：答案：B解析：3答案及解析：答案：A解析：∵2AD DB =u u u r u u u r ,∴222()3CD CA AD AB DB CB CD -====-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,即得1233CD CA CB =+u u u r u u u r u u ur,由已知条件13CD CA CB λ=+u u u r u u u r u u u r 可得23λ=,故选A.4答案及解析：答案：D解析：根据向量的加法的平行四边形法则可得,以,AB AC u u u r u u u r 为邻边做平行四边形ABCD ,则可得AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ,所以四边形ABCD 为平行四边形,故选D.5答案及解析：答案：C解析：因为822AD AB BC CD a b BC =++=--=u u u r u u u r u u u r u u u r r r u u u r ,所以AD BC P u u u r u u u r 且AD BC ≠u u u r u u u r ,而,AB CD u u u r u u u r 不平行,所以四边形ABCD 为梯形,答案选C.考点:向量的运算与平行的判断6答案及解析：答案：B解析：∵2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ∴0PB BC PB BA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r ,即()()0PB BC PB BA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r , ∴0PC PA +=u u u r u u u r .故选B.7答案及解析：答案：A 解析：由不等式a b a b +≤+r r r r 取等号时的条件可知.8答案及解析：答案：C解析：作出图形, OA OB OC a b ++=+u u u r u u u r u u u r r r ,∴()12OD a b =+u u u r r r .9答案及解析：答案：C解析：根据向量减法的三角形法则,A 正确;B 正确;因为AB u u u r 与BA u u u r 是一对相反向量,相反向量的和为零向量,所以C 不正确; 根据向量加法的多边形法则,D 正确10答案及解析：答案：C解析：如图所示,作平行四边形ABCD ,其中AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ,AB BC AB AD DB -=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,∵m n =,∴AC DB =u u u r u u u r .∴平行四边形ABCD 是矩形,∴ABC ∆为直角三角形且90B ∠=︒.11答案及解析：答案：0r解析：如图,连接AG 并延长交BC 于E ,点E 为BC 中点,延长AE 到D ,使GE ED =,则,0GB GC GD GD GA +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r ,所以0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r12答案及解析：答案：[]1,5 解析：321,325a b a b -=-=+=+=r r r r ,又a b a b a b -≤+≤+r r r r r r ,则有15a b ≤+≤r r .13答案及解析：答案：1解析：BC CD BD +=u u u r u u u r u u u r ,在菱形ABCD 中, 1AD AB ==u u u r u u u r ,又60DAB ∠=o ,∴ABD ∆为等边三角形,∴1BD =u u u r ,即1BC CD +=u u u r u u u r .14答案及解析：答案：[]3,15解析： ∵AB CD AB CD AB CD -≤-≤+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,且9,6CD AB ==u u u r u u u r , 315.AB CD ∴≤-≤u u u r u u u r当CD uuu r 与AB u u u r 同向时, 3AB CD -=u u u r u u u r ;当CD uuu r 与AB u u u r 反向时, 15AB CD -=u u u r u u u r .AB CD ∴-u u u r u u u r 的取值范围为[]3,1515答案及解析：答案：4112177a b c -+ 解析：由原方程得112()(3)032x a b c x b --+-+=r r r r r r , ∴72112322x a b c =-+r r r r , ∴4112177x a b c =-+r r r r16答案及解析：答案：14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：17答案及解析：答案：()(),,,---51032解析：18答案及解析：解析：。

人教课标版高中数学必修4《平面向量的线性运算、基本定理及坐标表示》链接高考

《平面向量的线性运算、基本定理及坐标表示》链接高考一、三年模拟练考点1向量的线性运算1.(★☆☆)已知向量,a 则2a a +=( )A.4aB.3aC.2aD.a2.(★★☆)关于向量，下列结论错误的是( )A.00a ⋅=B.()()(),m na mn a m n R ⋅=⋅∈C.AB BA =D.()(),n R m n a m a n a m +⋅=⋅+⋅∈考点2向量的共线 3.(★★☆)已知向量()18,,,1,0,2a x b x x ⎛⎫==> ⎪⎝⎭若2a b -与2a b +共线，则x 的值为( )A.4B.8C.0D.2考点3平面向量基本定理及坐标表示4.下列各组向量中，可以作为基底的是( )A.()()120,0,1,2e e ==B.()()121,2,5,7e e =-=C.()()123,5,6,10e e ==D.()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭5.(★★☆)已知O 是正ABC ∆的中心.若,CO AB AC λμ=+其中,,R λμ∈则λμ的值为( ) A.14- B.13- C.12- D.2 二、五年高考练考点1向量的线性运算1.(2014北京,3，5分，数学运算)已知向量()()2,4,1,1,a b ==-则2a b -=( )A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,92.(2017课标全国III 理，12，5分，★★☆，数学运算）在矩形ABCD 中，1,2,AB AD ==动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若,AP AB AD λμ=+则λμ+的最大值为( )A.3B.D.2考点2向量的共线3.(2018课标全国III ,13，5分，★★☆,数学运算）已知向量()()()1,2,2,2,1,.a b c λ==-=若()//2,c a b +则=_____.λ4.(2017山东，11，5分，★★☆，数学运算）已知向量()()2,6,1,.a b λ==-若//,a b 则_____.λ=5.(2015课标全国丨丨,13,5分，★☆☆，数学运算）设向量,a b 不平行.向量a b λ+与2a b +平行，则实数_____.λ=考点3平面向量基本定理及坐标表示6.(2018课标全国I ，6，5分，★★☆，直观想象）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( ) A.3144AB AC - B.1344AB AC - C.3144AB AC + D.1344AB AC + 7.(2014福建，8，5分，★★☆，数学运算）在下列向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是( )A.()()120,0,1,2e e ==B.()()121,2,5,2e e =-=-C.()()123,5,6,10e e ==D.()()122,3,2,3e e =-=-8.(2015北京，13,5分，★★☆,直观想象）在ABC ∆中，点,M N 满足2,,AM MC BN x AB y AC ==+则_____,_____.x y ==参考答案三年模拟练1.答案：B解析：由向量的加法运算得，23.a a a +=2．答案：A解析：对于A,0.00,a =≠故A 错误；对于B ，当,m n R ∈时，()(),m na mn a ⋅=⋅故B 正确；对于C ，因为,AB BA 长度相等，方向相反,则,AB BA =故C 正确；对于D,当,m n R ∈时，(),m n a m a n a +⋅=⋅+⋅故D 正确.3.答案：A解析：由题意可得，()1282,2,216,1,2a b x x a b x x ⎛⎫-=--+=++ ⎪⎝⎭因为2a b -与2a b +共线，所以()()()18-21216 4.2x x x x x ⎛⎫+=-+⇒= ⎪⎝⎭4.答案：B解析：A 选项中，零向量与任意向量都共线，故错误;B 选项中，不存在实数λ，使得12,e e λ=故两向量不共线，故正确；C 选项中，212e e =，两向量共线，故错误；D 选项中124,e e =两向量共线，故错误.5答案：C解析：O 是正ABC ∆的中心，延长CO 交AB 与D .则()()221112,332333CO CD CA CB AC AB AC AB AC ⎡⎤==+=-+-=-⎢⎥⎣⎦即121=,.332λλμμ=-∴=-，五年高考练1.答案：A解析：()()()()()2,4,1,1,2221,2415,7,a b a b ==-∴-=⨯--⨯-=故选A.2.答案：A解析：本题考查向量的运算.以C 点为坐标原点，以CB CD 、所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则()()()2,1,2,0,0,1.A B D 点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，∴可设cos ,sin .55P θθ⎫ ⎪⎝⎭则()()()()0,1,2,0,,sin 1,5cos 1,2sin cos 2sin ,555AB AD AP AB AD λμλθμθλμθθθϕ=-=-=+∴=-+=-+∴+=--=-+其中()max 1tan , 3.2ϕλμ=∴+=3.答案：见解析解析：由题意得()24,2,a b +=因为()()1,,//2,c c a b λ=+所以420,λ-=解得1=.2λ4.答案:见解析解析：()()()2,6,1,,//,2610, 3.a b a b λλλ==-∴-⨯-=∴=- 5.答案：见解析解析：,a b 不平行，a b λ+与2a b +平行，()2,,a b t a b t R λ∴+=+∈即,22,12,t a b ta tb t λλ=⎧+=+∴⎨=⎩解得1=21.2t λ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 6.答案：A解析：E是AD的中点，11,, 22AE AD EB EA AB AD AB∴=-∴=+=-+又D 为BC的中点，()1,2AD AB AC∴=+因此()131,444EB AB AC AB AB AC=-++=-故选A.7.答案：B解析：设1122,a k e k e=+A选项，()()22223,32=,2,22,kk kk=⎧∴⎨=⎩，无解.B选项，()()1212121253,32=5,22,222,k kk k k kk k-+=⎧-+-∴⎨-=⎩，解得122,1.kk=⎧⎨=⎩故B中的12,e e可把a表示出来.同理，C、D选项同A选项，无解.8.答案：见解析解析：由2AM MC=知M为AC上靠近C的三等分点，由BN NC=知N为BC的中点，作出草图如下：则有()1,2AN AB AC=+所以()1211,2326MN AN AM AB AC AC AB AC=-=+-=-又因为,MN x AB y AC=+所以11,.26x y==-。

2019-2020年高中数学平面向量复习题新人教版必修4

2019-2020年高中数学平面向量复习题新人教版必修41、(易向量的概念)下列命题中,正确的是( )A.若,则与的方向相同或相反B.若,,则C.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等D.若,,则.2、(易线性表示)已知平面内不共线的四点0,A,B,C 满足,则( )A.3:1B.1:3C.2:1D.1:23、(易坐标运算)已知向量= (1,3),= (3,),若2–与共线,则实数的值是( )A. B. C. D4、(易向量的概念)向量按向量平移后得向量,则的坐标为( )A. B. C. D.5、(中线性表示)如图,在中,D 是BC 的中点,E 是DC 的中点,F 是EC 的中点,若,,则( )A. B. C. D.6、(中坐标运算)若函数的图象按向量平移后,得到的图象关于原点对称则向量可以是( ) A. B. C. D.二、填空题:共3小题7、(易线性表示)设是两个不共线的非零向量,若向量与的方向相反,则8、(易线性运算)若,化简9、(中坐标运算)已知正△ABC 的边长为1 ,则等于检测题1、(易线性运算)已知非零向量满足==(),则= ( )A. B. C.0 D.02、(易向量不等式)设是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是 ( )A. B. C. D.3、(中坐标运算)已知=,=,k ,则实数的值是 ( )A. B. C. D.4、(中坐标运算)已知平面向量,,则向量( ).A.平行于第一、三象限的角平分线B.平行于轴C.平行于第二、四象限的角平分线D.平行于轴5、(中坐标运算)将二次函数的图象按向量平移后,得到的图象与一次函数的图象只有一个公共点,则向量( )A. B. C. D.6. 如图,在正六边形ABCDEF 中,已知,,则 (用与表示).巩固练习1. 若是夹角为的单位向量，且,，则（ C ）A.1B.C.D.2. 设,,则（）A. B. C. D.答案 C3. 在ABC BC AB ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（）A ．B ．C ．D ．答案A4. 在中,,则的值为（） A ．10 B ．20 C ．－10 D ．205. 已知下列命题中：（1）若，且，则或，（2）若，则或（3）若不平行的两个非零向量，满足，则（4）若与平行，则（5）其中真命题的个数是（）A ． B ． C ． D ．6. 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且,则△ABC 的内角A 等于（）A. B. C. D.7. 在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）A ．B ．C ．D ．答案 B8. 已知，则向量与向量的夹角是（）A ．B ．C ．D ．答案 C9. 在平行四边形中，若，则必有( )A.是菱形B.是矩形C.是正方形D.以上皆错10.已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（）A ．B ．C ．D ．二.填空题11. 已知Rt △ABC 的斜边BC =5，则的值等于 .答案－2512. 设p = (2,7)，q = (x ,3)，若p 与q 的夹角，则x 的取值范围是13. 若平面向量，满足，平行于轴，，则 .答案 (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)解析或，则或.14. 在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是________。