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上海市2013届高三数学上学期期末考试试题(含解析)沪教版

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上海市徐汇、松江、金山区2013届高三数学二模试题 理(含解析)沪教版

上海市徐汇、松江、金山区2013届高三数学二模试题 理(含解析)沪教版

2013年上海市徐汇、松江、金山区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2006•上海）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a= ．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求a的值，可先列出关于a的两个方程，由已知得y=f（x）的反函数图象过定点（2，﹣1），根据互为反函数的图象的对称性可知，原函数图象过（﹣1，2），从而解决问题．解答：解：若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则原函数的图象过点（﹣1，2），∴2=a﹣1，a=．故答案为．点评：本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．2．（4分）（2013•松江区二模）已知函数的值域为A，集合B={x|＜0}，则A∩B=[2，3）．考点：二阶矩阵；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：根据幂函数的单调性，求出函数的值域确定出集合A，然后根据二阶行列式化简集合B后解不等式确定出集合B，最后求出两集合的交集即可．解答：解：由函数是增函数，得：A=[2，4]，由＜0得到x2﹣4x+3＜0，∴1＜x＜3，∴B=（1，3），∴A∩B=[2，3）．故答案为：[2，3）．点评：此题属于以函数的值域、二阶矩阵为平台，考查了交集的运算，要求学生熟练掌握幂函数的性质及二阶行列式的计算．3．（4分）（2013•松江区二模）已知= ﹣．考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：先利用诱导公式化简cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，求出cosα，然后根据sin2α+cos2α=1，以及α∈（﹣，0），求出sina，进而求得tanα，再利用二倍角的正切，求出结果．解答：解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣∴cosα=∴sinα=±=±∵α∈（﹣，0）∴sinαα=﹣∴tanα=﹣tan2α==﹣故答案为﹣．点评：本题考查了二倍角正切以及诱导公式，解题过程中要注意α的范围，属于基础题．4．（4分）（2013•松江区二模）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高h==4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积．解答：解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h ∵圆锥的母线长为l=5，侧面积为15π，∴×l×r=15π，解之得底面半径r=3因此，圆锥的高h==4∴圆锥的体积为：V=πr2h=×π×9×4=12π故答案为：12π点评：本题给出圆锥母线长和侧面积，求它的体积，着重考查了圆锥的侧面积公式和体积公式等知识，属于基础题．5．（4分）（2013•松江区二模）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b= 19 ．考点：复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）代入方程，利用复数的运算法则进行化简，再根据复数相等即可得出．解答：解：∵x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，∴（﹣3﹣2i）2+a（﹣3﹣2i）+b=0，化为5﹣3a+b+（12﹣2a）i=0．根据复数相等即可得到，解得．∴a+b=19．故答案为19．点评：熟练掌握方程的根的意义、复数的运算法则和复数相等的定义是解题的关键．6．（4分）（2013•松江区二模）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i= i+2 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：由已知中该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，由此易给出执行框中填写的语句．解答：解：∵该程序的功能是计算的值，最后一次进入循环的终值为2013，即小于等于2013的数满足循环条件，大于2013的数不满足循环条件，由循环变量的初值为1，步长为2，故执行框中应该填的语句是：i=i+2．故答案为：i+2．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．（4分）（2013•松江区二模）在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为ρcosθ=3．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先将原极坐标方程ρ=6cosθ的两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．解答：解：由题意可知圆的标准方程为：（x﹣3）2+y2=9，圆心是（3，0），所求直线标准方程为x=3，则极坐标方程为ρcosθ=3．故答案为：ρcosθ=3．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．8．（4分）（2013•松江区二模）将参数方程（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是y=﹣x2+3（）．考点：参数方程化成普通方程．专题：探究型．分析：将参数方程化为普通方程，就是将其中的参数消掉，可以借助于三角函数的平方关系，因此想到把①两边平方，然后和②相加即可，同时求出x的范围．解答：解：由，因为θ∈R，所以﹣1≤sinθ≤1，则．由①两边平方得：x2=2sin2θ③由②得y﹣1=2cos2θ④③+④得：x2+y﹣1=2，即y=﹣x2+3（）．故答案为y=﹣x2+3（）．点评：本题考查了化参数方程为普通方程，解答此类问题的关键是如何把题目中的参数消掉，常用的方法有代入法，加减消元法等，同时注意消参后变量的范围限制，是基础题．9．（4分）（2013•松江区二模）在二项式的展开式中，常数项的值是﹣20，则= ．考点：二项式定理；数列的极限．专题：计算题．分析：先求出二项式的展开式的通项为T r+1=，令6﹣2r=0可求r，结合已知常数项的值可求a，然后利用等比数列的和对已知式子求和，即可求解极限解答：解：由题意二项式的展开式的通项为T r+1=令6﹣2r=0可得r=3此时的常数项为=﹣20，解得a=则==故答案为：点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，等比数列的求和公式的应用及数列极限的求解．10．（4分）（2013•松江区二模）一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1．将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望Eξ=．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：由题意可知两次抛掷后向上面所标有的数字有以下四种类型：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），可得ξ的取值为0，1．抛掷一次后出现数字1为事件A，出现数字0为事件B．由古典概型可得p（A）=P（B）=．由于ξ=1当且仅当两次抛掷后向上面所标有的数字都为1，故可求得P（ξ=1），再利用对立事件的概率计算公式可得P（ξ=0），进而得到数学期望Eξ．解答：解：由题意可知两次抛掷后向上面所标有的数字有以下四种类型：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），因此ξ的取值为0，1．设抛掷一次后出现数字1为事件A，出现数字0为事件B．由古典概型可得p（A）=P（B）=．ξ=1当且仅当两次抛掷后向上面所标有的数字都为1，故P（ξ=1）==，∴P（ξ=0）=1﹣P（ξ=0）==．故随机变量ξ的分布列为：故Eξ=．故答案为．点评：知道两次抛掷后向上面所标有的数字分为四种类型，正确理解古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式、数学期望的计算公式是解题的关键．11．（4分）（2013•松江区二模）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为15 ．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得|PA|+|PB|=|PA|+（2a﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P在AB'延长线上时，|PA|+|PB|=10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案．解答：解：∵椭圆方程为，∴焦点坐标为B（3，0）和B'（﹣3，0）连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'| 因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'|∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为15故答案为：15点评：本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．12．（4分）（2013•松江区二模）如图，O为直线A0A2013外一点，若A0，A1，A2，A3，A4，A5，…，A2013中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为1007（）．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：设A0A2013的中点为A，则A也是A1A2012，…A1006A1007的中点，可得===…=，共1007个式子，代入可得答案．解答：解：设A0A2013的中点为A，则A也是A1A2012，…A1006A1007的中点，由向量的中点公式可得=2=，同理可得==…=，故=1007×2=1007（）故答案为：1007（）点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，向量的中点公式是解决问题的关键，属中档题．13．（4分）（2013•松江区二模）设函数f（x）=x|x|，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），若g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，则正数a的取值范围为a＞2 ．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分求出平移后的两个函数解析式，通过g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，利用析：数形结合法，求出a的范围即可．解答：解：函数f（x）=x|x|=，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），g（x）=，将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），h（x）=，分别作出它们的图象，由图象可知，当g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方时，a ＞2．则正数a的取值范围为 a＞2．故答案为：a＞2．点评：本题考查函数的图象与图象变化，考查数形结合思想，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学思想的应用．14．（4分）（2013•松江区二模）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E1，然后复原，记∠CDE1=α1；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E1D重合，得到折痕E2D，然后复原，记∠ADE2=α2；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与E2D重合，得到折痕E3D，然后复原，记∠CDE3=α3；按此折法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则= ．考数列的极限．点：等差数列与等比数列．专题：分由第二步、第三步，…依此类推：（n≥2）．若，析：则；若，则数列{}是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式就得出αn，再利用数列极限即可得出．解解：由第二步可知：；由第三步可知：答：，…依此类推：（n≥2）．∴，∴，①若，则，此时；②若，则数列{}是以为首项，为公比的等比数列，∴，即．∴==．综上可知：．故答案为．点由第二步、第三步，…依此类推：（n≥2）．及熟练掌握评：等比数列的通项公式和数列极限的定义和运算法则是解题的关键．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2013•松江区二模）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：计算题．分析：举反例a=2，b=1，可证甲不能推乙，由不等式的性质可证乙可推甲，由充要条件的定义可得．解答：解：命题甲：ab＞b2，不能推出命题乙：，比如当取a=2，b=1，当然满足甲，但推不出乙；若命题乙：成立，则可得a，b均为负值，且a＜b，由不等式的性质两边同除以b可得ab＞b2，即甲成立，故甲是乙的必要不充分条件，故选B点评：本题考查充要条件，利用不等式的性质和反例法是解决问题的关键，属基础题．16．（5分）（2013•松江区二模）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则F（x）是（）A．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递减B．奇函数，在（﹣∞，+∞）上单调递增C．偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增D．偶函数，在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（﹣x）=﹣f（x）可知f（x）为奇函数，利用奇偶函数的概念即可判断设F（x）=x2•f（x）的奇偶性，从而得到答案．答：解：∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，又F（x）=x2•f（x），∴F（﹣x）=（﹣x）2•f（﹣x）=﹣x2•f（x）=﹣F（x），∴F（x）是奇函数，可排除C，D．又F（x）=x2•f（x）=，∴F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，可排除A，故选B．点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，着重考查函数奇偶性的定义的应用，属于基础题．17．（5分）（2013•松江区二模）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：进行简单的合情推理．专题：计算题．分析：根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，根据“总数÷天数=平均数”进行解答即可得出答案．解答：解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26．其连续5天的日平均温度均不低于22．②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．根据其总体均值为24可知其连续5天的日平均温度均不低于22．③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，根据其总体均值为24可知其连续5天的日平均温度均不低于22．则肯定进入夏季的地区有甲、乙、丙三地．故选D．点评：本题主要了进行简单的合情推理．解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答即可．18．（5分）（2013•松江区二模）如图所示，向量的模是向量的模的t 倍，的夹角为θ，那么我们称向量经过一次（t ，θ）变换得到向量．在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过n ﹣1次变换得到的向量为，其中为逆时针排列，记A i坐标为（a i ，b i ）（i ∈N *），则下列命题中不正确的是（ ）A ．B ． b 3k+1﹣b 3k =0（k ∈N *）C ． a 3k+1﹣a 3k ﹣1=0（k ∈N *） D ． 8（a k+4﹣a k+3）+（a k+1﹣a k ）=0（k ∈N *）考点：命题的真假判断与应用；数量积表示两个向量的夹角． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用变换的定义，推导知的向量坐标，然后求出a n ，b n 的表达式，然后进行计算即可． 解答：解：向量，经过1次变换后得到，则，所以，即A 正确．则由题意知=，所以，．所以，所以B 正确．==，所以C 正确．故错误的是D ． 故选D ．点评： 本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（12分）（2013•松江区二模）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且，若，△ABC 的面积，求a+c 的值．考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数． 专题： 解三角形． 分析：由条件可知，根据△ABC 的面积，求得ac=3，再由余弦定理求得a+c 的值． 解答：解：在△ABC 中，由条件可知，，即，∵．∴ac=3．根据，由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，得b 2=（a+c ）2﹣2ac ﹣2accosB ，于是，，∴a+c=4．点评： 本题主要考查余弦定理，两角和差的正弦公式，属于中档题．20．（14分）（2013•松江区二模）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将v=10时W1=96代入即可算出k的值；（2）算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式即可算出当且仅当v=12.5时，总费用W的最小值为2400（元）．解答：解：（1）由题意，设燃料费为，∵当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，∴当v=10时，W1=96，可得96=k×102，解之得k=0.96．（2）∵其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．∴航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为=元因此，航行100海里的总费用为=（0＜v≤15）∵，∴当且仅当时，即时，航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元．答：（1）k值为0.96，（2）该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400（元）．点评：本题给出函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题．21．（14分）（2013•松江区二模）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中点．（1）求异面直线A1D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线A1B1到平面DAB的距离．考点：异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）可通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求向量的夹角来求异面直线所成的角；或通过作平行线，再解三角形求解；（2）根据转化思想，线面距离转化为点到平面的距离，再利用三棱锥的换底性求解．解答：解：（1）方法一：以A1B1中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．由题意得则设θ为向量的夹角，，∴异面直线A1D与BC所成角的大小为arccos．方法二：取B1B中点E，连结A1E，DE．∵DE∥CB∴∠A1DE为异面直线A1D与BC所成的角．在Rt△A1B1E中，；在Rt△A1C1D中，；．∴异面直线A1D与BC所成角的大小为arccos．（2）∵AB∥A1B1，∴A1B1∥平面ABD，∴A1B1到平面DAB的距离即为A1到平面DAB的距离，设为h．由题意得，等腰△ADB底边AB上的高为，，则，且D到平面ABB1A1的距离为，由得×S△ABD •h=××，∴，∴直线A1B1到平面DAB 的距离为．点评：本题考查异面直线所成的角及线面距离问题．22．（16分）（2013•松江区二模）已知数列的前n项和为S n ，数列是首项为0，公差为的等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求证：数列{d k}为等比数列；（3）对（2）题中的d k，求集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用（1）得出b n，从而得出b2k，b2k﹣1，b2k+1依次成递增的等差数列，求出d k=b2k+1﹣b2k﹣1，利用等比数列的定义即可判断出结论；（3）对k分奇数、偶数讨论，利用二项式定理展开，即可得出集合元素的个数．解答：解：（1）由条件得，即，∴．（2）由（1）可知∴，，，由2b2k﹣1=b2k+b2k+1及b2k＜b2k﹣1＜b2k+1得b2k，b2k﹣1，b2k+1依次成递增的等差数列，所以，满足为常数，所以数列{d k}为等比数列．（3）①当k 为奇数时，同样，可得，所以，集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为=；②当k为偶数时，同理可得集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数为点评：熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的定义、二项式定理、分类讨论的思想方法是解题的关键．23．（18分）（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，=是它的一条渐近线的一个方向向量．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证：为定值；（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．情形一：双曲线及它的左顶点；情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点．双曲线的标准方程；平面向量数量积的运算；类比推理．考点：专圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分（1）设双曲线C 的方程为，由顶点坐标、渐近线方程及析：a、b、c 的关系求出a、b的值即得．（2）设P（x1，y1），R（x2，y2），当直线l的斜率存在时，设设此直线方程为y=k（x+3），由得（2﹣k2）x2﹣6k2x﹣9k2﹣2=0，再由方程的根与系数关系及为定值；当直线l的斜率不存在时，当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=﹣3，A，B 的坐标为（﹣3，4）、（﹣3，﹣4），代入可求；（3）对于过定点问题，可先假设存在，即假设直线MN过定点，再利用设直线MN的方程为：x=my+t，联立方程组，利用垂直关系求直线MN过定点，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．最后运用类比推理写出类似结论．解解：（1）设双曲线C 的方程为，则a=1，答：又，得，所以，双曲线C 的方程为．（2）当直线AB垂直于x轴时，其方程为x=﹣3，A，B的坐标为（﹣3，4）、（﹣3，﹣4），，得=0．当直线AB不与x轴垂直时，设此直线方程为y=k（x+3），由得（2﹣k2）x2﹣6k2x﹣9k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，故=．=++9k2+1=0．综上，=0为定值．（3）当M，N满足EM⊥EN时，取M，N关于x轴的对称点M'、N'，由对称性知EM'⊥EN'，此时MN与M'N'所在直线关于x轴对称，若直线MN过定点，则定点必在x轴上．设直线MN的方程为：x=my+t，由，得（b2m2﹣a2）y2+2b2mty+b2（t2﹣a2）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，由EM⊥EN，得（x1﹣a）（x2﹣a）+y1y2=0，（my1+t﹣a）（my2+t﹣a）+y1y2=0，即，，化简得，或t=a（舍），所以，直线MN过定点（，0）．情形一：在双曲线Γ：中，若E'为它的左顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN过定点（，0）．情形二：在抛物线y2=2px（p＞0）中，若M，N为抛物线上的两点（都不同于原点O），且OM⊥ON，则直线MN过定点（2p，0）．…..（16分）情形三：（1）在椭圆中，若E为它的右顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，则直线MN 过定点（，0）；（2）在椭圆中，若E'为它的左顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点E'），且E'M⊥E'N，则直线MN 过定点（，0）；（3）在椭圆中，若F为它的上顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F），且FM⊥FN，则直线MN过定点（0，）；（4）在椭圆中，若F'为它的下顶点，M，N为椭圆上的两点（都不同于点F'），且F'M⊥F'N，则直线MN过定点（0，）．点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，直线与双曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，向量的坐标表示的应用，属于直线与曲线位置关系的综合应用，属于综合性试题．。

上海市金山区2013届高三上学期期末考试数学试题Word版含答案

上海市金山区2013届高三上学期期末考试数学试题Word版含答案

金山区2012学年第一学期期末考试高三数学试卷（一模）(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题(本大题共有14小题，满分56分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数f (x )=3x –2的反函数f –1(x )=________． 【答案】23x + 由f (x )=3x –2得23y x +=，即12()3x f x -+=。

2．若全集U =R ，集合A ={x | –2≤x ≤2}，B ={x | 0<x <1}，则A ∩U B = ． 【答案】{x |–2≤x ≤0或1≤x ≤2}因为B ={x |0<x <1}，所以{10}U B x x x =≥≤或ð，所以{210}U A B x x x =-≤≤≤≤或-2ð. 3．函数)32sin(π+=x y 的最小正周期是_________．【答案】π因为2ω=，所以周期222T πππω===. 4．计算极限：2222lim()1n n n n →∞-++= ． 【答案】222222222lim()lim()21111n n n n n n n n→∞→∞--==++++.5．已知),1(x =，)2,4(=，若b a ⊥，则实数=x _______． 【答案】–2因为b a ⊥，所以420x +=，解得2x =-。

6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ． 【答案】21由(1+2i)(1+a i)得12(2)a a i -++，因为12(2)a a i -++是纯虚数，所以120,20a a -=+≠，解得12a =。

7．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示) 【答案】–160展开式的通项公式为6621662()(2)k kk k k kk T C xC xx--+=-=-，由620k -=得3k =，所以常数项为3346(2)160T C =-=-。

2013年高考理科数学上海卷word解析版

2013年高考理科数学上海卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(上海卷)本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．计算：limn →∞20313n n ++＝______.答案：13 根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+. 2．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝______.答案：－2 222010m m m ⎧+-=⎪⎨-≠⎪⎩⇒m ＝－2.3．若221 1x y -＝ x x y y-，则x ＋y ＝______.答案：0 x 2＋y 2＝－2xy ⇒x ＋y ＝0.4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则角C 的大小是______(结果用反三角函数值表示)．答案：π－arccos13 3a 2＋2ab ＋3b 2－3c 2＝0⇒c 2＝a 2＋b 2＋23ab ，故cos C ＝13-，C ＝1arccos 3π-. 5．设常数a ∈R .若25()a x x +的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______.答案：－2 T r ＋1＝255C ()()r r ra x x-,2(5－r )－r ＝7⇒r ＝1，故15C a ＝－10⇒a ＝－2.6．方程31313x+-＝3x －1的实数解为______． 答案：log 34 原方程整理后变为32x －2·3x －8＝0⇒3x ＝4⇒x ＝log 34.7．在极坐标系中，曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离为______．联立方程组得ρ(ρ－1)＝1⇒ρ，又ρ≥0. 8．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______(结果用最简分数表示)．答案：1318 9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1－2529C 13C 18=.9．设AB 是椭圆Γ的长轴，在C 在Γ上，且∠CBA ＝4π.若AB ＝4，BCΓ的两个焦点之间的距离为______．(如图)不妨设椭圆Γ的标准方程为2224x y b +＝1，于是可算得C (1,1)，得b 2＝43，2c＝.10．设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，…，x 19，则方程Dξ＝______.答案：30|d | Eξ＝x 10，Dξ|.d =11．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin2x ＋sin2y ＝23，则sin(x ＋y )＝______.答案：23 cos(x －y )＝12，sin2x ＋sin2y ＝2sin(x ＋y )cos(x －y )＝23，故sin(x ＋y )＝23.12．设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝9x ＋2a x＋7.若f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．答案：(－∞，87-] f (0)＝0，故0≥a ＋1⇒a ≤－1；当x ＞0时，f (x )＝9x ＋2a x－7≥a ＋1，即6|a |≥a＋8，又a ≤－1，故a ≤87-.13．在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为48π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为______．答案：2π2＋16π 根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π.14．对区间I 上有定义的函数g (x )，记g (I )＝{y |y ＝g (x )，x ∈I }．已知定义域为[0,3]的函数y ＝f (x )有反函数y ＝f －1(x )，且f －1([0,1))＝[1,2)，f －1((2,4])＝[0,1)．若方程f (x )－x ＝0有解x 0，则x 0＝______.答案：2 根据反函数定义，当x ∈[0,1)时，f (x )∈(2,4]；x ∈[1,2)时，f (x )∈[0,1)，而y ＝f (x )的定义域为[0,3]，故当x ∈[2,3]时，f (x )的取值应在集合(－∞，0)∪[1,2]∪(4，＋∞)，故若f (x 0)＝x 0，只有x 0＝2.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案：B 集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a ≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B.16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件答案：B 根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B. 17．在数列{a n }中，a n ＝2n －1.若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素c ij ＝a i ·a j ＋a i ＋a j (i ＝1,2，…，7；j ＝1,2，…，12)，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )A ．18B ．28C ．48D ．63答案：A a i ，j ＝a i ·a j ＋a i ＋a j ＝2i ＋j－1，而i ＋j ＝2,3，…，19，故不同数值个数为18，选A.18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记为A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为d 1、d 2、d 3、d 4、d 5.若m 、M 份别为(a i ＋a j ＋a k )·(d r ＋d s ＋d t )的最小值、最大值，其中{i ，j ，k }⊆{1,2,3,4,5}，{r ，s ，t }⊆{1,2,3,4,5}，则m 、M 满足( )A ．m ＝0，M ＞0B ．m ＜0，M ＞0C ．m ＜0，M ＝0D ．m ＜0，M ＜0答案：D 作图验证知，只有AF DE ⋅ ＝AB DC ⋅＞0，其余均有i r a d ⋅ ≤0，故选D.三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝2，AD ＝1，AA ′＝1.证明直线BC ′平行于平面D ′AC ，并求直线BC ′到平面D ′AC 的距离．解：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A (1,0,1)，B (1,2,1)，C (0,2,1)，C ′(0,2,0)，D ′(0,0,0)．设平面D ′AC 的法向量n ＝(u ，v ，w )，则n ⊥D A '，n ⊥D C ' .因为D A ' ＝(1,0,1)，D C ' ＝(0,2,1)，n ·D A '＝0，n ·D C ' ＝0， 所以0,20,u w v w +=⎧⎨+=⎩解得u ＝2v ，w ＝－2v .取v ＝1，得平面D ′AC 的一个法向量n ＝(2,1，－2)．因为BC ' ＝(－1,0，－1)，所以n ·BC ' ＝0，所以n ⊥BC ' .又BC ′不在平面D ′AC 内，所以直线BC ′与平面D ′AC 平行．由CB ＝(1,0,0)，得点B 到平面D ′AC 的距离d ＝||||CB ⋅ n n ＝23，所以直线BC ′到平面D ′AC 的距离为23. 20．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是3100(51)x x+-元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．解：(1)生产该产品2小时的利润为100(5x ＋1－3x )×2＝200(5x ＋1－3x)． 由题意，200(5x ＋＋1－3x )≥3 000，解得x ≤－15或x ≥3.又1≤x ≤10，所以3≤x ≤10.(2)生产900千克该产品，所用的时间是900x小时， 获得利润为3900100(51)x x x +-⋅＝23190000(5)x x-++，1≤x ≤10.记f (x )＝231x x-+＋5,1≤x ≤10，则f (x )＝21113()5612x --++，当且仅当x ＝6时取到最大值． 最大利润为90 000×6112＝457 500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元． 21．已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω＞0.(1)若y ＝f (x )在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图像．区间[a ，b ](a ，b ∈R ，且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)因为函数y ＝f (x )在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且ω＞0， 所以2πω≥23π，且－2πω≤4π-，所以0＜ω≤34.(2)f (x )＝2sin2x ， 将y ＝f (x )的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位后得到y ＝2sin2()6x π+＋1的图像，所以g (x )＝2sin2()6x π+＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋512π或x ＝k π＋34π(k ∈Z )， 所以两个相邻零点之间的距离为3π或23π.若b －a 最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[a ，π＋a ]，[a,2π＋a ]，…，[a ，m π＋a ](m ∈N *)上分别恰有3,5，…，2m ＋1个零点，所以在区间[a,14π＋a ]上恰有29个零点，从而在区间(14π＋a ，b ]上至少有一零点，所以b －a －14π≥3π. 另一方面，在区间55,1412312ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上恰有30个零点，因此，b －a 的最小值为431433πππ+=. 22．如图，已知双曲线C 1：22x －y 2＝1，曲线C 2：|y |＝|x |＋1.P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与C 1、C 2都有公共点，则称P 为“C 1C 2型点”．(1)在正确证明C 1的左焦点是“C 1C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y ＝kx 与C 2有公共点，求证|k |＞1，进而证明原点不是“C 1C 2型点”；(3)求证：圆x 2＋y 2＝12内的点都不是“C 1C 2型点”． 解：(1)C 1的左焦点为(，写出的直线方程可以是以下形式：x＝y＝(k x ，其中|k |(2)因为直线y ＝kx 与C 2有公共点， 所以方程组,||||1y kx y x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此|kx |＝|x |＋1，得|k |＝1||x x +＞1.若原点是“C 1C 2型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点．考虑过原点与C 2有公共点的直线x ＝0或y ＝kx (|k |＞1)． 显然直线x ＝0与C 1无公共点．如果直线为y ＝kx (|k |＞1)，则由方程组22,12y kx x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得x 2＝2212k -＜0，矛盾．所以直线y ＝kx (|k |＞1)与C 1也无公共点．因此原点不是“C 1C 2型点”． (3)记圆O ：x 2＋y 2＝12，取圆O 内的一点Q .设有经过Q 的直线l 与C 1、C 2都有公共点．显然l 不垂直于x 轴，故可设l ：y ＝kx ＋b .若|k |≤1，由于圆O 夹在两组平行线y ＝x ±1与y ＝－x ±1之间，因此圆O 也夹在直线y ＝kx ±1与y ＝－kx ±1之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点，矛盾，所以|k |＞1.因为l 与C 1有公共点，所以方程组22,12y kx b x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解， 得(1－2k 2)x 2－4kbx －2b 2－2＝0. 因为|k |＞1，所以1－2k 2≠0，因此Δ＝(4kb )2－4(1－2k 2)(－2b 2－2)＝8(b 2＋1－2k 2)≥0， 即b 2≥2k 2－1.因为圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d，所以221b k +＝d 2＜12，从而212k +＞b 2≥2k 2－1， 得k 2＜1，与|k |＞1矛盾． 因此，圆x 2＋y 2＝12内的点都不是“C 1C 2型点”． 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．给定常数c ＞0，定义函数f (x )＝2|x ＋c ＋4|－|x ＋c |.数列a 1，a 2，a 2，…满足a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)若a 1＝－c －2，求a 2及a 3；(2)求证：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ≥c ；(3)是否存在a 1，使得a 1，a 2，…，a n ，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a 1；若不存在，说明理由．解：(1)a 2＝2，a 3＝c ＋10.(2)f(x)＝8,,338,4,8, 4.x c x cx c c x cx c x c++≥-⎧⎪++--≤<-⎨⎪---<--⎩当a n≥－c时，a n＋1－a n＝c＋8＞c；当－c－4≤a n＜－c时，a n＋1－a n＝2a n＋3c＋8≥2(－c－4)＋3c＋8＝c；当a n＜－c－4时，a n＋1－a n＝－2a n－c－8＞－2(－c－4)－c－8＝c.所以，对任意n∈N*，a n＋1－a n≥c.(3)由(2)，结合c＞0，得a n＋1＞a n，即{a n}为无穷递增数列．又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥－c，从而，a n＋1＝f(a n)＝a n＋c＋8.由于{a n}为等差数列，因此其公差d＝c＋8.①若a1＜－c－4，则a2＝f(a1)＝－a1－c－8，又a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，故－a1－c－8＝a1＋c＋8，即a1＝－c－8，从而a2＝0. 当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2＝0＞－c，所以，a n＋1＝f(a n)＝a n＋c＋8，而a2＝a1＋c＋8，故当a1＝－c－8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②若－c－4≤a1＜－c，则a2＝f(a1)＝3a1＋3c＋8，又a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，所以，3a1＋3c＋8＝a1＋c＋8，得a1＝－c，舍去；③若a1≥－c，则由a n≥a1得到a n＋1＝f(a n)＝a n＋c＋8，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．综上，a1的取值集合为[－c，＋∞)∪{－c－8}．。

上海市松江区2013届高三上学期期末质量监控数学试题Word版含答案

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2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （文理合卷）（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.2. 已知幂函数()f x 的图像过点18,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式是()f x =_____________.3．（理）若θ为第四象限角，且4sin 25πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=___________. （文）若4cos 5θ=，则=θ2cos ___________. 4．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数p 的值是 .5．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则()f x = _________.6．（理）若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________. （文）若(1,2)n =是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________. (结果用反三角函数值表示)7．（理）不等式21200210321x x +-≥的解为 . （文）不等式210x x+≥ 1 2 2的解为 .8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)9．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________.10．（理）已知等比数列}{n a 的首项11=a ，公比为(0)q q >，前n 项和为n S，若1lim1=+∞→nn n S S ，则公比q 的取值范围是 .（文）数列{}n a 的通项公式*1 ,1()1 , 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪+⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=_____________.11. （理）若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i ==且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++可能的值有____________个.（文）边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，E 在线段AB 上运动，则EC EM ⋅的取值范围是____________.12．（理）在ABC ∆中，060A ∠= ，M 是AB的中点，若2,AB BC ==D 在线段AC 上运动，则DB DM⋅的最小值为____________. （文）函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则实数m的取值范围是______________.13．（理）函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.（文）若平面向量i a 满足1(1,2,3,4)i a i ==且10(1,2,3)i i a a i +⋅==,则1234a a a a +++的最大值为 .14．已知线段010A A 的长度为10，点129,,,A A A 依次将线段010A A 十等分.在0A 处标0，往右数1点标1，再往右数2点标2，再往右数3点标3……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照0A →10A →0A →10A →的方向顺序，不断标下去，（理）那么标到2010这个数时，所在点上的最小数为_____________.（文）那么标到10这个数时，所在点上的最小数为_____________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．下列排列数中，等于*(5)(6)(12)(13,)n n n n n N ---≥∈的是 （ ）(A)712n P - (B) 75n P - (C) 85n P - (D) 812n P -16．在ABC ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的 （ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件17．若函数21()ax f x x-=在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ）(A)0a ≥(B)0a >(C)0a ≤(D) 0a <18．（理）对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y (不是原点),A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 若,,,P Q R S 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”'''',,,P Q R S（ ）(A) 一定共线 (B) 一定共圆(C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆（文）对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y （不是原点），A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 则圆心在原点的圆的对偶图形（ ） (A) 一定为圆 (B) 一定为椭圆 (C) 可能为圆，也可能为椭圆 (D) 既不是圆，也不是椭圆三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)已知集合3{|0}4x A x x -=<-，实数a 使得集合{}|()(5)0B x x a x =-->满足A B ⊆， 求a 的取值范围.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数)(x f =21log 1x x +-. (1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明； (2)求)(x f 的反函数)(1x f-，并求使得函数12()()log g x f x k -=-有零点的实数k 的取值范围.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为40R cm =，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为280l cm = (假定四个轮胎中心构成一个矩形). 当该型号汽车开上一段上坡路ABC （如图(1)所示，其中ABC α∠=(34παπ<<)）,且前轮E 已在BC 段上时，后轮中心在F 位置；若前轮中心到达G 处时，后轮中心在H 处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在E 和G 处时与地面的接触点分别为S 和T ，且60BS cm =,100ST cm =. (其它因素忽略不计)(1)如图(2)所示，FH 和GE 的延长线交于点O ，求证：40cot 602OE α=+(cm)；(2)当α=56π时，后轮中心从F 处移动到H 处实际移动了多少厘米? (精确到1cm)（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为40R cm =，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上. 该车的涉水安全要求．．．．．．是：水面不能超过它的底盘高度. 如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑ABC 形成顶角为0120的等腰三角形，且60AB BC cm ==，如果地面上有()h cm (40h <)高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).31. 当轮胎与AB 、BC 同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为10d h =； (2) 假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求．．．．．．)，求h 的最大值.(精确到1cm).22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.（理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,)2-在椭圆C 上，点T 满足2OT OF =（其中O 为坐标原点），过点F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点 .(1)求椭圆C 的方程； (2)求PQT ∆面积的最大值；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q '与QT 的位置关系，并说明理由.（文）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,2-在椭圆C 上，点T 满足2OT OF =（其中O 为坐标原点）, 过点F 作一斜率为(0)k k >的直线交椭圆于P 、Q 两点(其中P 点在x 轴上方，Q 点在x 轴下方) .(1)求椭圆C 的方程；(2)若1k =，求PQT ∆的面积；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q '与QT 的位置关系，并说明理由.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.（理）对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a ,公比为正整数(1)q q >的无穷等比数列{}n a 的子数列问题. 为此，他任取了其中三项,,()k m n a a a k m n <<.(1) 若,,()k m n a a a k m n <<成等比数列,求,,k m n 之间满足的等量关系；(2) 他猜想：“在上述数列{}n a 中存在一个子数列{}n b 是等差数列”，为此，他研究了k n a a +与2m a 的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；(3) 他又想：在首项为正整数a ,公差为正整数d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.（文）对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为1a ,公差为d 的无穷等差数列{}n a 的子数列问题，为此，他取了其中第一项1a ，第三项3a 和第五项5a .(1) 若135,,a a a 成等比数列,求d 的值；(2) 在11a =, 3d =的无穷等差数列{}n a 中，是否存在无穷子数列{}n b ，使得数列{}n b 为等比数列？若存在，请给出数列{}n b 的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a ，公比为正整数q (1q >)的无穷等比数 列{}n c ,总可以找到一个子数列{}n d ,使得{}n d 构成等差数列”. 于是，他在数列{}n c 中任取三项,,()k m n c c c k m n <<，由k n c c +与2m c 的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？参考答案12．填空题：（每题4分）1. 2111-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3　-2 2. 13x - 3. （理）2425- （文）725 4. 8 5. 2sin4x π 6. （理）arctan 12 （文） arctan2 7. （理）x ≤0（文）x ≥08. 31359. 1 10. （理）0<q ≤1（文）3211. （理） 3 （文）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12. （理） 2316（文）13. （理） 1（文） 14. （理） 5（文）513．选择题：（每题5分）15. C 16. B 17.A 18. （理）C （文）A14．解答题19. 解：A=(3,4)………………………………………………………………………………..2分a ≥5时，B=(,)(,5)a +∞⋃-∞，满足A ⊆B ；…………………………………..6分 a<5时，B=(5,)(,)a +∞⋃-∞，由A ⊆B ，得a ≥4，故4≤a<5，……………..10分 综上，得实数a 的取值范围为a ≥4. ……………………………………………..12分20. 解：(1)f(x)的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃+∞……………………………………………..2分 f(-x)=log 211x x -+--=log 211x x -+=-f(x)，所以，f(x)为奇函数. ………………………………………..6分(2)由y=21log 1x x +-，得x=2121y y +-,所以，f -1(x)= 2121x x +-,x ≠0. ……………………………………..9分因为函数12()()log g x f x k -=-有零点，所以，2log k 应在)(1x f-的值域内.所以，log 2k=2121x x +-=1+221x-(,1)(1,)∈-∞-⋃+∞, ………………….13分从而，k 1(2,)(0,)2∈+∞⋃. ……………………………………………..14分 21．（理）解：(1) 由OE//BC ，OH//AB ，得∠EOH=α，………………………..2分过点B 作BM ⊥OE ，BN ⊥OH ，则Rt ∆OMB ≅Rt ∆ONB ，从而∠BOM=2α. ……………………………..4分 在Rt ∆OMB中，由BM=40得OM=40cot2α，从而，OE=OM+ME=OM+BS=40cot602α+. ………………………………..6分(2)由(1)结论得OE=4060tan 75+.设OH=x ，OF=y,在∆OHG 中，由余弦定理得, 2802=x 2+(04060tan 75++100)2-2x(04060tan 75++100)cos1500, 解得x ≈118.8cm. ………………………………………………………………..9分在∆OEF 中，由余弦定理得, 2802=y 2+(04060tan 75+)2-2y(04060tan 75+)cos1500 , 解得y ≈216.5cm. …………………………………………………………..12分所以，FH=y-x ≈98cm ，即后轮中心从F 处移动到H 处实际移动了约98cm. ………………………14分（文）解：(1) 当轮胎与AB 、BC 同时接触时，设轮胎与AB 边的切点为T ，轮胎中心为O ，则|OT|=40，由∠ABC=1200，知∠OBT=600， …………………………………..2分故. .…………………………………………………………………..4分 所以，从B+40， …………………………..6分 此轮胎露在水面外的高度为+40-(060cos60⋅10h +-，得证. …..8分(2)只要d ≥40， …………………………………………………………..12分 10h +-≥40，解得h ≤16cm.，所以h 的最大值为16cm. …..14分22．（理）解:(1)由222211112a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，得…………………………………..2分 a 2=2,b 2=1所以，椭圆方程为2212x y +=. ………………………………………..4分 (2)由 22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(m 2+2)y 2+2my-1=0,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，由条件可知，点(2,0)T .PQT S ∆=12|FT||y 1-y 2|=12..6分 令t=212m +，则t 1(0,]2∈， 则PQT S ∆2≤，当且仅当t=12，即m=0 (此时PQ 垂直于x 轴)时等号成立，所以PQT S ∆的最大值是2. …………..10分 (3) P Q '与QT 共线 ………………………………………………………………..11分P '(x 1,-y 1)，P Q '=(x 2-x 1,y 2+y 1)，TQ =(x 2-2,y 2) ……………………………..12分由(x 2-x 1)y 2-(x 2-2)(y 1+y 2)=-x 1y 2-x 2y 1+2(y 1+y 2)=-(my 1+1)y 2-(my 2+1)y 1+2(y 1+y 2) =-2my 1y 2+(y 1+y 2)=-2m212m -++222mm -+=0，所以，P Q '与QT 共线…………………………………………………..16分（文）解:(1)由222211112a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，得 ……………………………………………………………..2分 a 2=2,b 2=1,所以，椭圆方程为2212x y +=. …………………………………………………..4分(2)设PQ:y=x-1，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3y 2+2y-1=0, …………………..6分 解得： P(41,33),Q(0,-1)，由条件可知点(2,0)T , PQT S ∆=12|FT||y 1-y 2|=23. ….. ……………………………………10分 (3) 判断：P Q '与QT 共线. ….. …….. …….. ………………………………………11分 设1122(,),(,)P x y Q x y则P '(x 1,-y 1)，P Q '=(x 2-x 1,y 2+y 1)，TQ =(x 2-2,y 2), ……………………………..12分 由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=. ………………………..13分 (x 2-x 1)y 2-(x 2-2)(y 1+y 2)=(x 2-x 1)k(x 2-1)-(x 2-2)(kx 1-k+kx 2-k)=3k(x 1+x 2)-2kx 1x 2-4k=3k 22412k k+-2k 222212k k -+-4k =k(2222124441212k k k k ---++)=0. …………………………..15分 所以，P Q '与QT 共线. ………………………………………………………..16分23．（理）解:(1)由已知可得：111,,k m n k m n a aq a aq a aq ---===, ………..…..1分则2m k n a a a =⋅,即有()()()2111m k n aq aq aq ---=, ………….…………. …..3分 2(1)(1)(1)m k n -=-+-，化简可得. 2m k n =+. …………………………..4分(2) 11k n k n a a aq aq --+=+,又122m m a aq -=,故 1111()22(12)k n m k n k m k k n m a a a aq aq aqaq q q ------+-=+-=+-,……………..6分 由于,,k m n 是正整数，且n m >，则1,1n m n k m k ≥+-≥-+,又q 是满足1q >的正整数，则2q ≥,112121212210n k m k m k m k m k m k m k m k q q q q qq q q q ---+-----+-≥+-=+-≥+-=>,所以，k n a a +>2m a ,从而上述猜想不成立. …………………………………..10分(3)命题:对于首项为正整数a ，公差为正整数d 的无穷等差数列{}n a ，总可以找到一个无穷子数列{}n b ,使得{}n b 是一个等比数列. ……….. …….. …………..13分 此命题是真命题,下面我们给出证明.证法一: 只要证明对任意正整数n,(1),1n n b a d n =+≥都在数列{a n }中.因为b n =a(1+d)n =a(1+1n C d+2n C d 2+…+n n C d n )=a(Md+1)，这里M=1n C +2n C d+…+n n C d n-1为正整数，所以a(Md+1)=a+aMd 是{a n }中的第aM+1项，证毕. ……………..18分 证法二：首项为a ,公差为d ( *,a d N ∈)的等差数列为,,2,a a d a d ++,考虑数列{}n a 中的项: 2,(2),(33),a ad a a ad d a a ad d d ++++++依次取数列{}n b 中项1(1)b a ad a d =+=+,22(2)(1)b a a ad d a d =++=+,233(33)(1)b a a ad d d a d =+++=+,则由2233a a ad a ad d <+<++,可知3212b b b b =,并由数学归纳法可知,数列(1),1n n b a d n =+≥为{}n a 的无穷等比子数列. ...18分（文）解:(1)由a 32=a 1a 5， ………………………………………………………………………..2分即(a 1+2d)2=a 1(a 1+4d)，得d=0. ……………………………………………..4分(2) 解：a n =1+3(n-1)，如b n =4n-1便为符合条件的一个子数列. ……………………..7分因为b n =4n-1=(1+3)n-1=1+11n C -3+21n C -32+…+11n n C --3n-1=1+3M, …………………..9分 这里M=11n C -+21n C -3+…+11n n C --3n-2为正整数，所以,b n =1+3M =1+3 [(M+1)-1]是{a n }中的第M+1项，得证. ……………….11分(注：b n 的通项公式不唯一)(3) 该命题为假命题. …………………………………………………….12分由已知可得111,,k m n k m n c aq c aq c aq ---===,因此,11k n k n c c aq aq --+=+,又122m m c aq -=, 故 1111()22(12)k n m k n k m k k n m c c c aq aq aqaq q q ------+-=+-=+-, …………..15分 由于,,k m n 是正整数，且n m >，则1,1n m n k m k ≥+-≥-+,又q 是满足1q >的正整数，则2q ≥,112121212210n k m k m k m k m k m k m k m k q q q q qq q q q ---+-----+-≥+-=+-≥+-=>, 所以，k n c c +>2m c ,从而原命题为假命题. …………………………………………..18分。

沪教版数学小学五年级上学期试卷及解答参考(2024年)

沪教版数学小学五年级上学期试卷及解答参考(2024年)

2024年沪教版数学小学五年级上学期自测试卷(答案在后面)一、选择题（本大题有6小题，每小题2分，共12分）1、一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，这个长方形的周长是多少厘米？选项：A、30厘米B、20厘米C、15厘米D、25厘米2、一个正方形的边长是8分米，这个正方形的面积是多少平方分米？选项：A、64平方分米B、32平方分米C、16平方分米D、40平方分米3、一个长方形的长是12厘米，宽是6厘米，这个长方形的周长是多少厘米？选项：A. 36厘米B. 48厘米C. 60厘米D. 72厘米4、一个正方形的边长是8分米，这个正方形的面积是多少平方分米？选项：A. 64平方分米B. 128平方分米C. 256平方分米D. 512平方分米5、小华有5个苹果，小明给了小华3个苹果，小华现在有多少个苹果？A. 2个B. 5个C. 8个D. 10个6、一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，这个长方形的周长是多少厘米？A. 24厘米B. 40厘米C. 56厘米D. 96厘米二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）1、5千克是0.5千克的______ 倍。

2、一个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，这个长方形的周长是 ______ 厘米。

3、一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，它的面积是 _______ 平方厘米。

4、小明有10张邮票，其中5张是1角的，其余的都是2角的，小明这些邮票的总价值是 _______ 角。

5、一个长方形的长是12厘米，宽是6厘米，它的周长是 ______ 厘米。

6、小华有一些同样大小的正方体木块，每个木块的体积是1立方厘米。

如果小华把这些木块排成一排，排成的长方体的长是24厘米，宽是4厘米，高是1厘米，那么小华共有 ______ 个这样的正方体木块。

三、计算题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）1、计算下列各题。

（1）(325+476)（2）(857−428)（3）(642×3)（4）(75÷25)（1）801（2）329（3）1926（4）3 解析：（1）(325+476)首先将两数相加，个位数5加6等于11，进1；十位数2加7等于9，加上进的1等于10，再进1；百位数3加4等于7，加上进的1等于8。

2013年高考理科数学上海卷(含答案解析)

2013年高考理科数学上海卷(含答案解析)

数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.计算：20lim313n n n →∞+=+ .2.设m ∈R ,222(1)i m m m +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位,则m = .3.若2211x xx y y y =--,则x y += . 4.已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是 （结果用反三角函数值表示）.5.设常数a ∈R .若25()ax x+的二项展开式中7x 项的系数为10-,则a = .6.方程1313313x x -+=-的实数解为 .7.在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为 .8.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 （结果用最简分数表示）. 9.设AB 是椭圆Γ的长轴,点C 在Γ上,且π4CBA ∠=.若4AB =,BC =,则Γ的两个焦点之间的距离为 .10.设非零常数d 是等差数列1x ,2x ,…,19x 的公差,随机变量ξ等可能地取值1x ,2x ,…,19x ,则方差D ξ= .11.若1cos cos sin sin 2x y x y +=,2sin 2sin 23x y +=,则sin()x y += .12.设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++.若()1f x a +≥对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为 .13.在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直 线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ,如 图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的 几何体为Ω.过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水 平截面,所得截面面积为48π,试 利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方 体,得出Ω的体积值为 .14.对区间I 上有定义的函数()g x ,记(){|()g I y y g x ==,}x I ∈.已知定义域为[0,3] 的函数()y f x =有反函数1()y f x -=,且1([0,1))[1,2)f -=,1((2,4])[0,1)f -=.若 方程()0f x x -=有解0x ,则0x = .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设常数a ∈R ,集合{|(1)()0}A x x x a =--≥,{|1}B x x a =-≥.若A B =R ,则a 的取值范围为( )A .(,2)-∞B .(,2]-∞C .(2,)+∞D .[2,)+∞16.钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 ( )A .充分条件B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件17.在数列{}n a 中,21n n a =-.若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素 ,i j i j i j c a a a a =++（1i =,2,…,7；1j =,2,…,12）,则该矩阵元素能取到的 不同数值的个数为( ) A .18B .28C .48D .6318.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d .若m 、M 分别为()()i j k r s ta a a d d d ++++的最小值、最大值,其中{,,}{1,2,3,4i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆，则m ,M 满足--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）( )A .0m =,0M >B .0m <,0M >C .0m <,0M =D .0m <,0M <三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）如图,在长方体ABCD A B C D ''''-中,=2AB ,1AD =,1AA '=.证明直线BC '平行于平面C D A ',并求直线BC '到平面C D A '的距离.20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤）,每一小时可获得利润是3100(51)x x+-元.（Ⅰ）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,求x 的取值范围；（Ⅱ）要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>.（Ⅰ）若()y f x =在,π2π[]43﹣上单调递增,求ω的取值范围；（Ⅱ）令2ω=,将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图象.区间[,]a b （,a b ∈R ，且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.如图,已知双曲线221:12x C y -=,曲线2:||||1C y x =+.P 是平面内一点,若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点,则称P 为“12C C -型点”.（Ⅰ）在正确证明1C 的左焦点是“12C C -型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （Ⅱ）设直线y kx =与2C 有公共点,求证：||1k >,进而证明原点不是“12C C -型点”； （Ⅲ）求证：圆2212x y +=内的点都不是“12C C -型点”.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+.数列1a ,2a ,3a ,…满足 1()n n a f a +=,n ∈*N .（Ⅰ）若12a c =--,求2a 及3a ；（Ⅱ）求证：对任意n ∈*N ,1n n a a c +-≥；（Ⅲ）是否存在1a ,使得1a ,2a ,3a ,…,n a ,…成等差数列？若存在,求出所有这样的 1a ；若不存在,说明理由.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）答案解析一、填空题1.【答案】13【解析】201201lim lim 1331333n n n n n n→∞→∞++==++，故答案为13. 【提示】由数列极限的意义即可求解. 【考点】数列的极限 2.【答案】2-【解析】复数2(2)(1)i z m m m =-+-+为纯虚数，220m m ∴+-=，210m -≠，解得2m =-，故答案为2-.【提示】根据纯虚数的定义可得210m -=，210m -≠，由此解得实数m 的值. 【考点】复数的基本概念 3.【答案】0 【解析】2211x x x y y y =--，222x y xy ∴+=-，2()0x y ∴+=，0x y ∴+=，故答案为0.【提示】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论. 【考点】二阶行列式的定义 4.【答案】1πarccos 3- 【解析】22232330a ab b c ++-=，22223a b c ab∴+-=-，222213cos 223aba b c C ab ab -+-∴===-.1πarccos 3C ∴=-，故答案为1πarccos 3-.【提示】把式子22232330a ab b c ++-=变形为22223a b c ab +-=-，再利用余弦定理222cos 2a b c C ab+-=即可得出. 【考点】余弦定理 5.【答案】2-【解析】52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为102103155rr r r r r r a T C x C x a x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1037r -=得1r =，7x ∴的系数是15aC .7x 的系数是10-，1510aC ∴=-，解得2a =-，故答案为2-. 【提示】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第1r +项，令x 的指数为7求得7x 的系数，列出方程求解即可. 【考点】二项式系数的性质 6.【答案】3log 4【解析】方程1313313x x -+=-，即3193133(31)x x-+-=-，即11833(33)x x x --+=-，化简可得232380x x --=，即(34)(32)0x x-+=.解得34x =，或32x =-（舍去），3log 4x ∴=，故答案为3log 4.【提示】化简方程1313313x x -+=-为3193133(31)x x-+-=-，即(34)(32)0x x -+=，解得34x =，可得x 的值. 【考点】函数的零点 7.【答案】12【解析】由cos 1ρθ=+得，cos 1θρ=-，代入cos 1ρθ=得(1)1ρρ-=，解得ρ=或ρ=，所以曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=，.【提示】联立cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=消掉θ即可求得ρ，即为答案. 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，两点间的距离公式 8.【答案】1318【解析】从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为2936C =种；取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为2510C=种；则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为105368=；所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是51311818-=；故答案为13 18.【提示】利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率.【考点】古典概型及其概率计算公式9.【解析】如图，设椭圆的标准方程为2221x ya b+=，由题意知，24a=，2a=，π4CBA∠=，BC=∴点C的坐标为(1,1)C-，因点C在椭圆上，222(1)114b-∴+=，243b∴=，22248433c a b∴=-=-=，3c=，则Γ的两个焦点之间的距离为3，故答案为.【提示】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为2221x ya b+=，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案.【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质10.【答案】230d【解析】由题意可得112191191819291919x dx x xE x dξ⨯++++===+….11(1)(9)(10)nx E x n d x d n dξ∴-=+--+=-，222222222212[(9)(8)()0(2)(9)](129)1919dD d d d d d dξ∴=-+-++-+++++=+++………2229101930196dd⨯⨯=⨯=，故答案为230d.【提示】利用等差数列的前n项和公式可得121911918192x x x x d⨯+++=+…和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出22212191[()()()]19D xE x E x Eξξξξ=-+-++-…即可得出.【考点】极差，方差与标准差11.【答案】23【解析】1cos cos sin sin2x y x y+=，1cos()2x y∴-=，2sin2sin23x y+=，2sin[()()]sin[()()]3x y x y x y x y∴++-++--=，22sin()cos()3x y x y∴+-=，122sin()23x y∴+⨯=，2sin()3x y∴+=，故答案为23.【提示】利用两角差的余弦公式及1cos cos sin sin2x y x y+=，可得1cos()2x y-=，再利用和差化积公式2sin2sin23x y+=，得到22sin()cos()3x y x y+-=，即可得出sin()x y+.【考点】三角函数的和差化积公式，两角和与差的余弦函数12.【答案】87a≤-【解析】因为()y f x=是定义在R上的奇函数，所以当0x=时，()0f x=；当0x>时，则0x-<，所以2()97af x xx-=--+，因为()y f x=是定义在R上的奇函数，所以2()97af x xx=+-；因为()1f x a≥+对一切0x≥成立，所以当0x=时，01a≥+成立，所以1a≤-；当0x>时，2971ax ax+-≥+成立，只需要297axx+-的最小值1a≥+，数学试卷第7页（共16页）数学试卷第8页（共16页）数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）因为29776||7a x x a x x+-≥-=-，所以6||71a a -≥+，解得85a ≥或87a ≤-，所以87a ≤-，故答案为87a ≤-.【提示】先利用()y f x =是定义在R 上的奇函数求出0x ≥时函数的解析式，将()1f x a ≥+对一切0x ≥成立转化为函数的最小值1a ≥+，利用基本不等式求出()f x的最小值，解不等式求出a 的范围. 【考点】函数奇偶性的性质，基本不等式 13.【答案】22π16π+【解析】因为几何体为Ω的水平截面的截面积为48π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为22π12π28π2π16π+=+，故答案为22π16π+.【提示】由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可. 【考点】进行简单的合情推理 14.【答案】2【解析】因为(){|(),}g I y y g x x I ==∈，1([0,1))[1,2)f -=，1((2,4])[0,1)f -=，所以对于函数()f x ，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；当[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，所以方程()0f x x -=即()f x x =无解；所以当[0,2)x ∈时方程()0f x x -=即()f x x =无解，又因为方程()0f x x -=有解x 0，且定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应属于集合(,0)[1,2](4,)-∞+∞，故若00()f x x =，只有02x =，故答案为2.【提示】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当[0,1)x ∈时，[1,2)x ∈时()f x 的值域，进而可判断此时()f x x =无解；由()f x 在定义域[0,3]上存在反函数可知：[2,3]x ∈时，()f x 的取值集合，再根据方程()f x x =有解即可得到x 0的值.【考点】反函数，函数的零点 二、选择题 15.【答案】B【解析】当1a >时，(,1][,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若AB =R ，则11a -≤，12a ∴<≤；当1a =时，易得A =R ，此时A B =R ；当1a <时，(,][1,)A a =-∞+∞，[1,)B a =-+∞，若A B =R ，则1a a -≤，显然成立，1a ∴<；综上，a 的取值范围是(,2]-∞，故选B .【提示】当1a >时，代入解集中的不等式中，确定出A ，求出满足两集合的并集为R 时的a 的范围；当1a =时，易得A =R ，符合题意；当1a <时，同样求出集合A ，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集得到a 的范围.综上，得到满足题意的a 范围. 【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，一元二次不等式的解法16.【答案】B【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B .【提示】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.【考点】必要条件，充分条件与充要条件的判断 17.【答案】A【解析】该矩阵的第i 行第j 列的元素(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，当且仅当i j m n +=+时，ij mn a a =(,1,2,,7;,1,2,,12)i m j n ==……，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值.故选A . 【提示】由于该矩阵的第i行第j列的元素数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）,(21)(21)212121i j i j i j i j i j i j a a a a a +=++=--+-+-=-(1,2,,7;1,2,,12)i j ==……，要使(,1,2,,7;,1,2,,12)ij mn i m j a n a ===…….则满足2121i j m n ++-=-，得到i j m n +=+，由指数函数的单调性可得：当i j m n +≠+时，ij mn a a ≠，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i j +的所有不同和，即可得出. 【考点】数列的函数特性 18.【答案】D【解析】由题意，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d ，∴利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于0，m 、M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++++的最小值、最大值，0m ∴<，0M <，故选D .【提示】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC =>，其余数量积均小于等于0，从而可结论.【考点】平面向量数量积的运算，进行简单的合情推理 三、解答题 19.【答案】23【解析】解法一：因为-ABCD A B C D ''''为长方体，故AB C D ''∥，AB C D ''=，故A B CD''为平行四边形，故BC AD ''∥，显然BC '不在平面D AC '内，于是直线BC '平行于平面D AC '.直线BC '到平面D AC '的距离即为点B 到平面D AC '的距离，设为h ，考虑三棱锥-D ABC '的体积，以ABC 为底面，可得三棱锥-D A B C '的体积为111111323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，而A DC '△中，AC D C '==AD '=C A D '△的底边AD '上的高为，故C A D '△的面积1322223CAD S '==△，所以13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC '到平面D AC '的距离为23.解法二：以D A ''所在的直线为x 轴，以D C ''所在的直线为y 轴，以D D '所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则由题意可得，点(1,0,1)A 、(1,2,1)B 、(0,2,1)C 、(0,2,0)C '、(0,0,0)D '.设平面D AC '的一个法向量为(,,)n u v w =，则由n D A '⊥，n D C '⊥，可得0n D A '⊥=，0n D C '⊥=.(1,0,1)D A '=，(0,2,1)D C '=，020u w v w +=⎧∴⎨+=⎩，解得22u vw v =⎧⎨=-⎩. 令1v =，可得2u =，2w =-，可得(2,1,2)n =-. 由于(1,0,1)BC '=--，0n BC '∴=-，故有n BC '⊥再由BC '不在平面D AC '内，可得直线BC '平行于平面D AC '. 由于(1,0,0)CB =，可得点B 到平面D AC '的距离||23||n CB d n ===，故直线BC '到平面D AC '的距离为23. 【提示】解法一：证明ABC D ''为平行四边形，可得BC AD ''∥，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC '平行于平面D AC '.所求的距离即点B 到平面D AC '的距离，设为h ，再利用等体积法求得h 的值；解法二：建立空间直角坐标系，求出平面D AC '的一个法向量为(2,1,2)n =-，再根据0n BC '=-，可得n BC '⊥，可得直线BC '平行于平面D AC '.求出点B 到平面D AC '的距离||||n BC d n '=的值，即为直线BC '到平面D AC '的距离.【考点】点、线、面间的距离计算，直线与平面平行的判定 20.【答案】（1）135x ≤≤-（2）甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元【解析】（1）生产该产品2小时获得的利润为3310051220051x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭根据题意，3200513000x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即251430x x --≥3x ∴≥或15x ≤- 110x ≤≤，135x ∴≤≤-；（2）设利润为y 元，则生产900千克该产品获得的利润为390010051y x x x ⎛⎫=+-⨯⎪⎝⎭数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）2423111619000059103612x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=⨯--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦110x ≤≤，6x ∴=时，取得最大利润为46191045750012⨯⨯=元 故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元.【提示】（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x 的取值范围； （2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润. 【考点】函数模型的选择与应用 21.【答案】（1）304ω<≤ （2）43π3【解析】（1）函数()y f x =在π2π,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且0ω>，π2π23ω∴≥，且ππ24ω-≤-，解得304ω<≤； （2）()2sin 2f x x =，∴把()y f x =的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到π2s i n 216y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴函数π()2s i n 216y g x x ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，令()0g x =，得5ππ12x k =+，或3ππ4x k =+()k ∈Z .∴相邻两个零点之间的距离为π3或2π3.若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[,π]a a +，[,2π]a a +，…，*[,π]()a m a m +∈N 分别恰有3，5，…，21m +个零点，所以在区间[,14π]a a +是恰有29个零点，从而在区间(14π,]a b +至少有一个零点，π14π3b a ∴--≥.另一方面，在区间5ππ5π,14π12312⎡⎤++⎢⎥⎣⎦恰有30个零点，因此b a -的最小值为π43π14π33+=. 【提示】（1）已知函数()y f x =在π2π,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且0ω>，利用正弦函数的单调性可得π2π23ω≥，且ππ24ω-≤-，解出即可； （2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到π()2sin 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.令()0g x =，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离.若b a -最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[,π]a m a +*()m ∈N 恰有21m +个零点，所以在区间[,14π]a a +是恰有29个零点，从而在区间(14π,]a b +至少有一个零点，即可得到a ，b 满足的条件.进一步即可得出b a -的最小值.【考点】正弦函数的单调性，根的存在性及根的个数判断，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换22.【答案】（1）C 1的左焦点为(，写出的直线方程可以是以下形式：x =(y k x =，其中||k ≥； （2）证明：因为直线y kx =与C 2有公共点，所以方程组||||1y kxy x =⎧⎨=+⎩有实数解，因此||||1kx x =+，得||1||1||x k x +=>.若原点是“12-C C 型点”，则存在过原点的直线与C 1、C 2都有公共点.考虑过原点与C 2有公共点的直线0x =或(||1)y kx k =>，显然直线0x =与C 1无公共点.如果直线为(||1)y kx k =>，则由方程组221y kx x y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得222012x k =<-，矛盾.所以直线(||1)y kx k =>与C 1也无公共点.因此原点不是“12-C C 型点”. （3）证明：记圆O ：2212x y +=，取圆O 内的一点Q ，设有经过Q 的直线l 与C 1，C 2都有公共点，显然l 不与x 轴垂直，故可设l ：y kx b =+.若||1k ≤，由于圆O 夹在两组平行线1y x =±与1y x =-±之间，因此圆O 也夹在直线1y kx =±与1y kx =-±之间，从而过Q 且以k 为斜率的直线l 与C 2无公共点，矛盾，所以||1k >.因为l 与C 1由公共点，所以方程组221y kx b x y x=+⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解，得222(12)4220k x kbx b ----=.因为||1k >，所以2120k -≠，因此22222(4)4(12)(22)8(12)0kb k b b k ∆=----=+-≥，即2221b k ≥-.因为圆O 的圆心(0,0)到直线l的距离d =，所以222112k b d =<+，从而2221212kb k +>≥-，得21k <，与||1k >矛盾.因此，圆2212x y +=内的点不是“12-C C 型点”.【提示】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为(，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“12-C C 型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）该焦点与(0,1)连线的斜率；（2）由直线y kx =与C 2有公共点联立方程组有实数解得到||1k ≤，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C 1和C 2有公共点； （3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线1y x =±与1y x =-±之间，进而说明当||1k ≤时过圆2212x y +=内的点且斜率为k 的直线与C 2无公共点，当||1k >时，过圆2212x y +=内的点且斜率为k 的直线与C 2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k 的范围，结果与||1k >矛盾.从而证明了结论.【考点】直线与圆锥曲线的关系，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质 23.【答案】（1）21()(2)2|24||2|422a f a f c c c c c ==--=--++---+=-=，31()(2)2|24||2|2(6)(2)10a f a f c c c c c ===++-+=+-+=+；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩当n a c ≥-时，18n n a a c c +=-+>；当4n c a c --≤<-时，12382(4)38n n n a a a c c c c +=++≥--++=-； 当4n a c <--时，1282(4)8n n n a a a c c c c +=-->------=-. ∴对任意*n ∈N ，1n n a a c +-≥；（3）假设存在a 1，使得a 1，a 2，…，a n ，…成等差数列. 由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列. 又{}n a 为等差数列，所以存在正数M ，当n M >时，n a c ≥-，从而1()8n n n a f a a c +==++，由于{}n a 为等差数列，因此公差8d c =+. ①当14a c <--时，则211()8a f a a c ==---，又2118a a d a c =+=++，故1188a c a c ---=++，即18a c =--， 从而20a =，当2n ≥时，由于{}n a 为递增数列，故20n a a c ≥=>-，1()8n n n a f a a c +=∴=++，而218a a c =++，故当18a c =--时，{}n a 为无穷等差数列，符合要求；②若14c a c --≤<-，则211()338a f a a c ==++，又2118a a d a c =+=++，113388a c a c ∴++=++， 得1a c =-，应舍去；③若1a c ≥-，则由1n a a ≥得到1()8n n n a f a a c +==++，从而{}n a 为无穷等差数列，符合要求.综上可知：a 1的取值范围为{8}[,)c c ---+∞.【提示】（1）对于分别取1n =，2，1()n n a f a +=，*n ∈N .去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得8,()338,48,4x c x c f x x c c x c x c x c ++≥-⎧⎪=++--≤<-⎨⎪---<--⎩，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及0c >，得1n n a a +≥，即{}n a 为无穷递增数列.分以下三种情况讨论：当14a c <--时，当14c a c --≤<-时，当1a c ≥-时.即可得出a 1的取值范围.【考点】数列的函数特性，等差关系的确定，数列与函数的综合。

2013年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析备课讲稿

2013年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析备课讲稿

2013年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分），考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．（4分）（2013•上海）不等式＜0的解为0＜x＜．解：原不等式化为，，＜2．（4分）（2013•上海）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=15．3．（4分）（2013•上海）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．4．（4分）（2013•上海）已知，，则y=1．解：由已知，，5．（4分）（2013•上海）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2﹣c2=0，则角C的大小是．cosC==，C=故答案为：6．（4分）（2013•上海）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78．=40%7．（4分）（2013•上海）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．的展开式的通项为（8．（4分）（2013•上海）方程的实数解为log34．的实数解为9．（4分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，则cos（2x﹣2y）=﹣．=．．10．（4分）（2013•上海）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B 是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．为中，直接由．中，因为，所以故答案为11．（4分）（2013•上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）个球共有个球共有=21所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有所以两球编号之积为偶数的概率为：．故答案为：．，12．（4分）（2013•上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边，CBA=，，，=c=．故答案为：13．（4分）（2013•上海）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．9x+）9x+9x+≥）≥9x=时，等号成立[14．（4分）（2013•上海）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是﹣5．为起点，其余顶点为终点的向量，，，以分别为，的值，从而得出为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，分别为，，．如图建立=二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2013•上海）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）的值Bx=16．（5分）（2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若17．（5分）（2013•上海）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”18．（5分）（2013•上海）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：=M=2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（12分）（2013•上海）如图，正三棱锥O﹣ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．其面积为=，D=OD=∴三棱锥的侧面积为×，20．（14分）（2013•上海）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a（5+）元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．千克该产品所用的时间是小时，）元，即可得到生产5+千克该产品所用的时间是小时，﹣﹣×5+==故获得最大利润为21．（14分）（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）令ω=1，判断函数F（x）=f（x）+f（x+）的奇偶性，并说明理由；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．）））x+），（﹣（﹣）（）））的图象向左平移个单位，再向上平移x+x+或22．（16分）（2013•上海）已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n），n∈N*（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由．，得，得（舍去）或．．23．（18分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（时过圆的左焦点为（，其中所以方程组，得，则由方程组，得：有实数解，的距离，，从而因此，圆。

2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷(沪教版八上第16章~18.2)(全解全析)

2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷(沪教版八上第16章~18.2)(全解全析)

2024-2025学年八年级数学上学期期中模拟卷（沪教版）（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版第16章二次根式+第17章一元二次方程+18.2正比例函数。

5．难度系数：0.7。

第一部分（选择题共12分）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列各式中属于最简二次根式的是（）．A B C D【答案】A属于最简二次根式，故正确；==故选：A．2x的值可以是（）A．3-B．2C．1D．0.5【答案】A【详解】解：由题意得02xx -≥，∴020x x ³ìí->î或020x x £ìí-<î，∴2x >或0x £，故选A ．3．如果2a b ==，那么a 与b 的关系是（ ）A ．a ＞b 且互为倒数 B ．a ＞b 且互为相反数C ．ab =-1D ．ab =1【答案】B【详解】解：∵b ==(2-0<，20a =>，a b =-，∴a ＞b 且互为相反数．故选B ．4．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．()()130x x -+=B ．20ax bx c ++=（其中a 、b 、c 是常数）C ．2211x x-=D ．()()2321x x x --=-【答案】A【详解】解：A ．()()130x x -+=，整理，得2230x x +-=，是一元二次方程，故符合题意；B ．当a=0时，20ax bx c ++=（其中a 、b 、c 是常数）不是一元二次方程，故不符合题意；C ．2211x x-=不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意；D ．()()2321x x x --=-，整理，得570x -=，不是一元二次方程，故不符合题意．故选A ．5．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）A ．100×80﹣100x ﹣80x =7644B ．（100﹣x ）（80﹣x ）+x 2=7644C ．（100﹣x ）（80﹣x ）=7644D ．100x +80x =356【答案】C【详解】设道路的宽应为x 米，由题意有（100-x ）（80-x ）=7644，故选：C ．6．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图象分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则下列关系中正确的是（ ）A ．1234k k k k <<<B ．2143k k k k <<<C ．1243k k k k <<<D ．2134k k k k <<<【答案】B【详解】解：根据直线经过的象限，知20k <，10k <，40k >，30k >，根据直线越陡k 越大，知21k k >，43k k <，所以2143k k k k <<<．故选B ．第二部分（非选择题 共88分）二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）7-＝ ．【详解】解：原式﹣．8m = ．【答案】3【详解】解：=又∵可以合并，∴215m -=解得：3m =．故答案为：3．9．函数 ()36f x x =-，则 14f æö=ç÷èø【答案】32【详解】解：∵()36f x x =-，∴11333634422f æö=-´=-=ç÷èø；故答案为：32．10．解不等式：x <的解集是 ．【答案】x >【详解】x <，移项，得：x <合并同类项，得：(1x <系数化为1，得：x >即x >．11．当x =3420252022x x --的值为 【答案】1-【详解】解：∵x =∴()2212022x -=，∴24420210x x --=，∴()()3224202520224420214412023x x x x x x x --=--+-+-()2212023x =--20222023=-1=-．故答案为：1-.12．若()22230m m x ---=是关于x 的一元二次方程，则m 的值是．【答案】2-【详解】解：∵()22230m m x ---=是关于x 的一元二次方程，∴222m -=且20m -¹，解得：2m =-．故答案为：2-13．方程 ()22x x x +=+ 的解是 ．【答案】11x =，22x =-【详解】解：()22x x x +=+，∴()()220x x x +-+=，∴()()120x x -+=，∴10x -=，20x +=，解得：11x =，22x =-；故答案为：11x =，22x =-14．方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，则正整数a 的值为 .【答案】2或3【详解】解：方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，所以：a -1≠0，故当a ≠1时，原方程为一元二次方程，∵(a -1)x 2+2(a +1)x +a +5=0有两个实根，∴△=[2(a +1)]2－4(a -1) (a +5)≥0，解得：a ≤3∴此时a ≤3且a ≠1故正整数a 的值为：a =2或者3故答案为：2或3．15．一元二次方程29200x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 【答案】13或14【详解】解：29200x x -+=，(4)(5)0x x --=，所以4x =或5x =，当4为腰，5为底时，周长=4+4+5=13，当5为腰，4为底时，周长=5+5+4=14，故答案为13或14．16．在实数范围内因式分解：222x x --= ．【答案】(11x x --【详解】解：对于方程2220x x --=，24212´-△()=，1x ==所以，222x x --=(11x x =--+．故答案为：(11x x --+ ．17．已知函数23(1)m y m x -=+是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则m ＝ ．【答案】-2【详解】解：由题意得：m 2-3=1，且m +1＜0，解得：m =-2，故答案为：-2．18．如图，已知直线:a y x =，直线1:2b y x =-和点(1,0)P ，过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点1P ，过点1P 作x 轴的平行线交直线b 于点2P ，过点2P 作y 轴的平行线交直线a 于点3P ，过点3P 作x 轴的平行线交直线b 于点4,P L ，按此作法进行下去，则点2024P 的横坐标为．【答案】10122【详解】解：Q 点(1,0)P ，1P 在直线y x =上，1(1,1)P \，12PP x Q P 轴，2P \的纵坐标1P =的纵坐标1=，2Q P 在直线12y x =-上，112x \=-，2x \=-，2(2,1)P \-，即2P 的横坐标为122-=-，同理，3P 的横坐标为122-=-，4P 的横坐标为242=，252P =，362P =-，372P =-，482P =¼，242n n P \=，2020P \的横坐标为2505101022´=，2021P \的横坐标为10102，2022P \的横坐标为10112-，2023P \的横坐标为10112-，∴点2024P 的横坐标为2506101222´=故答案为：10122三、解答题（本大题共9小题，满分52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（5分）【详解】解：原式=+..................................2分=..................................5分20．（5分）计算：æ÷çè【详解】æ÷çè(=................................2分(=÷=-................................5分21．（5分）解方程：()2326x x +=+．【详解】解：∵()2326x x +=+，∴()()2323x x +=+，∴()()23230x x +-+=，∴()()3230x x +-+=，................................2分∴320x +-=或30x +=，解得1231x ，x =-=-．................................5分22．（5分）用配方法解方程24720-+=x x ；【详解】解：∵24720-+=x x ，∴2472x x -=-∴27424x x æö-=-ç÷èø，................................1分∴22277742488x x ⎡⎤æöæö-+-=-⎢⎥ç÷ç÷èøèø⎢⎥⎣⎦，∴274942816x æö--=-ç÷èø∴2717864x æö-=ç÷èø................................3分∴78x -=，∴127788x x =+=................................5分23．（5分）先化简，再求值：222444+2x x x x x x x æö-+÷ç÷-èø，其中11=12x -æö---ç÷èø．【详解】解：222444+2x x x x x x x æö-+÷ç÷-èø()()()222442x x x x x x x +-æö++=÷ç÷-èø()222x x x x +=×+12x =+， ................................2分当)11=1212112x -æö---=--+=-+=ç÷èø时，原式12x =+1====．................................5分24．（5分）已知3y -与2x -成正比例，且当1x =时，6y =，求y 与x 之间的函数解析式．【详解】解：Q 3y -与2x -成正比例，\设()32y k x -=-，................................1分Q 当1x =时，6y =，()6321k \-=-，解得：3k =， ................................2分()332y x -=-\，整理得：39y x =-+，\y 与x 之间的函数关系式为：39y x =-+．................................5分25．（7分）甲骑摩托车从A 地去B 地，乙开汽车从B 地去A 地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s (km )与甲行驶的时间为t （h ）之间的关系如图所示．(1)结合图象，在点M、N、P三个点中，点_____代表的实际意义是乙到达终点．(2)求甲、乙各自的速度；(3)当乙到达终点时，求甲、乙两人的距离；(4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180千米．【详解】（1）解：由图象可得，在点M时，0s=，此时两人相遇，点N之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点，点P表示两人距离为240s=，此时甲到达终点；故答案为：N；................................1分（2）解：由图象可得，A、B两地相距240千米，甲走完全程需要6小时，∴甲的速度为240640÷=（千米/时）................................2分∵当2t=时，两人相遇，∴两人的速度之和为2402120÷=/时）∴乙的速度为1204080-=（千米/时）................................3分（3）解：当乙到达终点A地时，甲离开出发地A地有403120´=（千米），∴当乙到达终点时，求甲乙两人的距离是120千米；................................5分（4）解：相遇前，甲乙两人相距180千米，则()12401801202-÷=（小时），相遇后，甲乙两人相距180千米，则∵当乙到达终点时，求甲乙两人的距离是120千米，之后两人距离逐渐增大，∴()93180120402+-÷=（小时），综上所述，甲出发12小时或92小时时，甲、乙两人相距180千米．................................7分26．（7分）商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x 元．(1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x 的代数式表示）；(2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？(3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x 的值；若不能，请说明理由．【详解】（1）解：设每套拖把降价x 元，则每天销售量增加2x 套，即每天销售()202x +套，每套拖把盈利()1208040x x --=-元．故答案为：()40x -，()202x +；................................2分（2）解：设每套拖把降价x 元，则每套的销售利润为()40x -元，平均每天的销售量为()202x +套，依题意得：()()402021242x x -+=，整理得：2302210x x -+=，解得：121317x x ==，．又∵需要尽快减少库存，∴17x =．................................5分答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元；（3）解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下：设每套拖把降价y 元，则每套的销售利润为()12080y --元，平均每天的销售量为()202y +套，依题意得：()()120802021400y y --+=，整理得：2303000y y -+=．∵()22Δ43041300300<0b ac =-=--´´=-，∴此方程无实数解，即不可能每天盈利1400元．................................7分27．（8分）已知正比例函数y kx =经过点A ，点A 在第四象限，过点A 作AH x ^轴，垂足为点H ，点A 的横坐标为3，且AOH △的面积为3．(1)求正比例函数的解析式；(2)在x 轴上能否找到一点P ，使AOP V 的面积为5．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由(3)在（2）的条件下，是否在正比例函数y kx =上存在一点M ，且M 在第四象限，使得2.3APM OPM S S D D =若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由【详解】（1）解：∵点A 的横坐标为3，且AOH △的面积为3∴1332AH ´´=，解得，2AH =，∴点A 的坐标为()3,2-，∵正比例函数y kx =经过点A ，∴32k =-，解得23k =-，∴正比例函数的解析式是23y x =-；................................2分（2）解：存在．设(),0P t ，∵AOP V 的面积为5，点A 的坐标为()3,2-，∴1252t ´´=，∴5t =或5t =-，∴P 点坐标为()5,0或()5,0-．................................4分（3）解：设2,3M x x æö-ç÷èø，如图，①点M 在OA 上时，当()5,0P 时，5OP =，又()3,2A -,若23APM OPM S S D D =时，11212232A M M OP y OP y OP y ´´-´´=´´´，∴1122125255223323x x ´´-´´=´´´，解得，95x =，∴296355y =-´=-，∴M 点的坐标为96,55æö-ç÷èø；同理，当点()5,0P -时，也可求出M 点的坐标也为96,55æö-ç÷èø；................................6分②点M 在OA 的延长线上时，当()5,0P 时，5OP =，若23APM OPM S S D D =时，11212232M A M OP y OP y OP y ´´-´´=´´´，∴1212125525232323x x ´´-´´=´´´，解得，9x =，∴2963y =-´=-，∴M 点的坐标为()9,6-；当点()5,0P -时，5OP =，若23APM OPM S S D D =时，同理可得，M 点的坐标为()9,6-；综上，点M 的坐标为96,55æö-ç÷èø或()9,6-．................................8分。

2013年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析

2013年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析

2013年上海市高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有14题,满分56分),考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1.(4分)不等式＜0的解为.2.(4分)在等差数列{an }中,若a1＋a2＋a3＋a4＝30,则a2＋a3＝.3.(4分)设m∈R,m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m＝.4.(4分)已知,,则y＝.5.(4分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2＋ab＋b2－c2＝0,则角C的大小是.6.(4分)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%,在一次考试中,男,女平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为.7.(4分)设常数 a∈R,若(x2＋)5的二项展开式中x7项的系数为－10,则 a＝.8.(4分)方程的实数解为.9.(4分)若cosxcosy＋sinxsiny＝,则cos(2x－2y)＝.10.(4分)已知圆柱Ω的母线长为l,底面半径为r,O是上底面圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图,若直线OA与BC所成角的大小为,则＝.11.(4分)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意抽取两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示)12.(4分)设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA＝,若AB＝4,BC＝,则Γ的两个焦点之间的距离为.13.(4分)设常数a＞0,若9x＋对一切正实数x成立,则a的取值范围为.14.(4分)已知正方形ABCD的边长为1,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为,若i,j,k,l∈{1,2,3},且i≠j,k≠l,则的最小值是.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分15.(5分)函数f(x)＝x2－1(x≥0)的反函数为f－1(x),则f－1(2)的值是( )A. B. C.1＋ D.1－16.(5分)设常数a∈R,集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0},B＝{x|x≥a－1},若A∪B＝R,则a的取值范围为( )A.(－∞,2)B.(－∞,2]C.(2,＋∞)D.[2,＋∞)17.(5分)钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件18.(5分)记椭圆围成的区域(含边界)为Ωn(n＝1,2,…),当点(x,y)分别在Ω1,Ω2,…上时,x＋y的最大值分别是M1,M2,…,则Mn＝( )A.0B.C.2D.2三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.(12分)如图,正三棱锥O－ABC的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.20.(14分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每一小时可获得的利润是100(5x＋1－)元.(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5＋)元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.21.(14分)已知函数f(x)＝2sin(ωx),其中常数ω＞0.(Ⅰ)令ω＝1,判断函数的奇偶性,并说明理由.(Ⅱ) 令ω＝2,将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y ＝g(x)的图象.对任意a∈R,求y＝g(x)在区间[a,a＋10π]上的零点个数的所有可能.22.(16分)已知函数f(x)＝2－|x|,无穷数列{an }满足an＋1＝f(an),n∈N*(1)若a1＝0,求a2,a3,a4；(2)若a1＞0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列？若存在,求出所有这样的a1,若不存在,说明理由.23.(18分)如图,已知双曲线C1：,曲线C2：|y|＝|x|＋1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1－C2型点”(1)在正确证明C1的左焦点是“C1－C2型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y＝kx与C2有公共点,求证|k|＞1,进而证明原点不是“C1－C2型点”；(3)求证：圆x2＋y2＝内的点都不是“C1－C2型点”2013年上海市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有14题,满分56分),考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分1.(4分)不等式＜0的解为0＜x＜.【分析】根据两数相除商为负,得到x与2x－1异号,将原不等式化为两个一元一次不等式组,求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集.【解答】解：原不等式化为或,解得：0＜x＜,故答案为：0＜x＜【点评】此题考查了其他不等式的解法,利用了转化的思想,是一道基本试题.2.(4分)在等差数列{an }中,若a1＋a2＋a3＋a4＝30,则a2＋a3＝15 .【分析】根据给出的数列是等差数列,由等差数列的性质可得a1＋a4＝a2＋a3,结合已知条件可求a2＋a3.【解答】解：因为数列{an }是等差数列,根据等差数列的性质有：a1＋a4＝a2＋a3,由a1＋a2＋a3＋a4＝30,所以,2(a2＋a3)＝30,则a2＋a3＝15.故答案为：15.【点评】本题考查了等差中项概念,在等差数列中,若m,n,p,q,t∈N*,且m＋n＝p＋q＝2t,则a m ＋an＝ap＋aq＝2at,此题是基础题.3.(4分)设m∈R,m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m＝－2 .【分析】根据纯虚数的定义可得m2－1＝0,m2－1≠0,由此解得实数m的值.【解答】解：∵复数z＝(m2＋m－2)＋(m－1)i为纯虚数,∴m2＋m－2＝0,m2－1≠0,解得m＝－2,故答案为：－2.【点评】本题主要考查复数的基本概念,得到 m2＋m－2＝0,m2－1≠0,是解题的关键,属于基础题.4.(4分)已知,,则y＝ 1 .【分析】利用二阶行列式的运算法则,由写出的式子化简后列出方程,直接求解y即可.【解答】解：由已知,,所以x－2＝0,x－y＝1所以x＝2,y＝1.故答案为：1.【点评】本题考查了二阶行列式的展开式,考查了方程思想,是基础题.5.(4分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2＋ab＋b2－c2＝0,则角C的大小是.【分析】利用余弦定理表示出cosC,将已知等式变形后代入求出cosC的值,由C为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数.【解答】解：∵a2＋ab＋b2－c2＝0,即a2＋b2－c2＝－ab,∴cosC＝＝＝－,∵C为三角形的内角,∴C＝.故答案为：【点评】此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.6.(4分)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%,在一次考试中,男,女平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为78 .【分析】设该年级男生有x人,女生有y人,这次考试该年级学生平均分数为a,根据“平均成绩×人数＝总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩,进而根据“男生的总成绩＋女生的总成绩＝全班的总成绩”列出方程,结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%,即可求出这次考试该年级学生平均分数.【解答】解：设该班男生有x人,女生有y人,这次考试该年级学生平均分数为a.根据题意可知：75x＋80y＝(x＋y)×a,且＝40%.所以a＝78,则这次考试该年级学生平均分数为78.故答案为：78.【点评】本题主要考查了平均数.解答此题的关键：设该班男生有x人,女生有y人,根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题.7.(4分)设常数 a∈R,若(x2＋)5的二项展开式中x7项的系数为－10,则 a＝－2 .【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r＋1项,令x的指数为7求得x7的系数,列出方程求解即可.【解答】解：的展开式的通项为Tr＋1＝C5r x10－2r()r＝C5r x10－3r a r令10－3r＝7得r＝1, ∴x7的系数是aC51∵x7的系数是－10,∴aC51＝－10,解得a＝－2.故答案为：－2.【点评】本题主要考查了二项式系数的性质.二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.4 .8.(4分)方程的实数解为log3【分析】用换元法,可将方程转化为一个二次方程,然后利用一元二次方程根,即可得到实数x 的取值.【解答】解：令t＝3x(t＞0)则原方程可化为：(t－1)2＝9(t＞0)4可满足条件∴t－1＝3,t＝4,即x＝log3即方程的实数解为 log4.34.故答案为：log3【点评】本题考查的知识点是根的存在性,利用换元法将方程转化为一个一元二次方程是解答本题的关键,但在换元过程中,要注意对中间元取值范围的判断.9.(4分)若cosxcosy＋sinxsiny＝,则cos(2x－2y)＝－.【分析】已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简,求出cos(x－y)的值,所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后,将cos(x－y)的值代入计算即可求出值.【解答】解：∵cosxcosy＋sinxsiny＝cos(x－y)＝,∴cos(2x－2y)＝cos2(x－y)＝2cos2(x－y)－1＝－.故答案为：－.【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式,二倍角的余弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键.10.(4分)已知圆柱Ω的母线长为l,底面半径为r,O是上底面圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图,若直线OA与BC所成角的大小为,则＝.【分析】过A作与BC平行的母线AD,由异面直线所成角的概念得到∠OAD为.在直角三角形ODA中,直接由得到答案.【解答】解：如图,过A作与BC平行的母线AD,连接OD,则∠OAD为直线OA与BC所成的角,大小为.在直角三角形ODA中,因为,所以.则.故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角,考查了直角三角形的解法,是基础题.11.(4分)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意抽取两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示)【分析】从7个球中任取2个球共有＝21种,两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况,有＝15种取法,利用古典概型的概率计算公式即可求得答案.【解答】解：从7个球中任取2个球共有＝21种,所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况,共有＝15种取法,所以两球编号之积为偶数的概率为：＝.故答案为：.【点评】本题考查古典概型的概率计算公式,属基础题,其计算公式为：P(A)＝,其中n(A)为事件A所包含的基本事件数,m为基本事件总数.12.(4分)设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA＝,若AB＝4,BC＝,则Γ的两个焦点之间的距离为.【分析】由题意画出图形,设椭圆的标准方程为,由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标,再根据点C在椭圆上求得b值,最后利用椭圆的几何性质计算可得答案.【解答】解：如图,设椭圆的标准方程为,由题意知,2a＝4,a＝2.∵∠CBA＝,BC＝,∴点C的坐标为C(－1,1),因点C在椭圆上,∴,∴b2＝,∴c2＝a2－b2＝4－＝,c＝,则Γ的两个焦点之间的距离为.故答案为：.【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形,以及椭圆的简单性质的应用.13.(4分)设常数a＞0,若9x＋对一切正实数x成立,则a的取值范围为[,＋∞) .≥a＋1,【分析】由题设数a＞0,若9x＋对一切正实数x成立可转化为(9x＋)min利用基本不等式判断出9x＋≥6a,由此可得到关于a的不等式,解之即可得到所求的范围≥a＋1, 【解答】解：常数a＞0,若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立,故(9x＋)min又9x＋≥6a,当且仅当9x＝,即x＝时,等号成立故必有6a≥a＋1,解得a≥故答案为[,＋∞)【点评】本题考查函数的最值及利用基本不等式求最值,本题是基本不等式应用的一个很典型的例子14.(4分)已知正方形ABCD的边长为1,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为,若i,j,k,l∈{1,2,3},且i≠j,k≠l,则的最小值是－5 .【分析】如图建立直角坐标系.不妨记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为,,,以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为,,.再分类讨论当i,j,k,l取不同的值时,利用向量的坐标运算计算的值,从而得出的最小值.【解答】解：不妨记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为,,,以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为,,.如图建立坐标系.(1)当i＝1,j＝2,k＝1,l＝2时,则＝[(1,0)＋(1,1)]•[((－1,0)＋(－1,－1)]＝－5；(2)当i＝1,j＝2,k＝1,l＝3时,则＝[(1,0)＋(1,1)]•[((－1,0)＋(0,－1)]＝－3；(3)当i＝1,j＝2,k＝2,l＝3时,则＝[(1,0)＋(1,1)]•[((－1,－1)＋(0,－1)]＝－4；(4)当i＝1,j＝3,k＝1,l＝2时,则＝[(1,0)＋(0,1)]•[((－1,0)＋(－1,－1)]＝－3；同样地,当i,j,k,l取其它值时,＝－5,－4,或－3.则的最小值是－5.故答案为：－5.【点评】本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识,考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力.二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分15.(5分)函数f(x)＝x2－1(x≥0)的反函数为f－1(x),则f－1(2)的值是( )A. B. C.1＋ D.1－【分析】根据反函数的性质,求f－1(2)的问题可以变为解方程2＝x2－1(x≥0).【解答】解：由题意令2＝x2－1(x≥0),解得x＝所以f－1(2)＝.故选：A.【点评】本题考查反函数的定义,解题的关键是把求函数值的问题变为解反函数的方程问题.16.(5分)设常数a∈R,集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0},B＝{x|x≥a－1},若A∪B＝R,则a的取值范围为( )A.(－∞,2)B.(－∞,2]C.(2,＋∞)D.[2,＋∞)【分析】当a＞1时,代入解集中的不等式中,确定出A,求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a＝1时,易得A＝R,符合题意；当a＜1时,同样求出集合A,列出关于a的不等式,求出不等式的解集得到a的范围.综上,得到满足题意的a范围.【解答】解：当a＞1时,A＝(－∞,1]∪[a,＋∞),B＝[a－1,＋∞),若A∪B＝R,则a－1≤1,∴1＜a≤2；当a＝1时,易得A＝R,此时A∪B＝R；当a＜1时,A＝(－∞,a]∪[1,＋∞),B＝[a－1,＋∞),若A∪B＝R,则a－1≤a,显然成立,∴a＜1；综上,a的取值范围是(－∞,2].故选：B.【点评】此题考查了并集及其运算,二次不等式,以及不等式恒成立的条件,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.17.(5分)钱大姐常说“好货不便宜”,她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【分析】“好货不便宜”,其条件是：此货是好货,结论是此货不便宜,根据充要条件的定义进行判断即可,【解答】解：若p⇒q为真命题,则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”,其条件是：此货是好货,结论是此货不便宜,由条件⇒结论.故“好货”是“不便宜”的充分条件.故选：A.【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,属于基础题.18.(5分)记椭圆围成的区域(含边界)为Ωn(n＝1,2,…),当点(x,y)分别在Ω1,Ω2,…上时,x＋y的最大值分别是M1,M2,…,则Mn＝( )A.0B.C.2D.2【分析】先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：(θ为参数),再由三角函数知识求x＋y的最大值,从而求出极限的值.【解答】解：把椭圆得,椭圆的参数方程为：(θ为参数),∴x＋y＝2cosθ＋sinθ,∴(x＋y)max＝＝.∴Mn＝＝2.故选：D.【点评】本题考查数列的极限,椭圆的参数方程和最大值的求法,解题时要认真审题,注意三角函数知识的灵活运用.三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.(12分)如图,正三棱锥O－ABC的底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及表面积.【分析】根据题意画出图形,结合正三棱锥O－ABC的底面边长为2,高为1,由此入手,能够求出此三棱锥的体积及表面积.【解答】解：∵O－ABC是正三棱锥,其底面三角形ABC是边长为2的正三角形,其面积为,∴该三棱锥的体积＝＝；设O′是正三角形ABC的中心,则OO′⊥平面ABC,延长AO′交BC于D.则AD＝,O′D＝,又OO′＝1,∴三棱锥的斜高OD＝,∴三棱锥的侧面积为×＝2,∴该三棱锥的表面积为.【点评】本题考查三棱锥的体积、表面积的求法,解题时要认真审题,注意合理地化立体问题为平面问题.20.(14分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每一小时可获得的利润是100(5x＋1－)元.(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5＋)元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.【分析】(1)由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小时,由于每一小时可获得的利润是100(5x＋1－)元,即可得到生产a千克该产品所获得的利润；(2)利用(1)的结论可得生产1千克所获得的利润为90000(5＋),1≤x≤10.进而得到生产900千克该产品获得的利润,利用二次函数的单调性即可得出.【解答】解：(1)生产a千克该产品所用的时间是小时,∵每一小时可获得的利润是100(5x＋1－)元,∴获得的利润为100(5x＋1－)×元.因此生产a千克该产品所获得的利润为100a(5＋)元.(2)生产900千克该产品获得的利润为90000(5＋),1≤x≤10.设f(x)＝,1≤x≤10.则f(x)＝,当且仅当x＝6取得最大值.故获得最大利润为＝457500元.因此甲厂应以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润457500元.【点评】正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键.21.(14分)已知函数f(x)＝2sin(ωx),其中常数ω＞0.(Ⅰ)令ω＝1,判断函数的奇偶性,并说明理由.(Ⅱ) 令ω＝2,将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y ＝g(x)的图象.对任意a∈R,求y＝g(x)在区间[a,a＋10π]上的零点个数的所有可能.【分析】(1)特值法：ω＝1时,写出f(x)、F(x),求出F()、F(－),结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；(2)根据图象平移变换求出g(x),令g(x)＝0可得g(x)可能的零点,而[a,a＋10π]恰含10个周期,分a是零点,a不是零点两种情况讨论,结合图象可得g(x)在[a,a＋10π]上零点个数的所有可能值；【解答】解：(1)f(x)＝2sinx,F(x)＝f(x)＋f(x＋)＝2sinx＋2sin(x＋)＝2(sinx＋cosx),F()＝2,F(－)＝0,F(－)≠F(),F(－)≠－F(),所以,F(x)既不是奇函数,也不是偶函数.(2)f(x)＝2sin2x,将y＝f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位后得到y＝2sin2(x＋)＋1的图象,所以g(x)＝2sin2(x＋)＋1.令g(x)＝0,得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈z),因为[a,a＋10π]恰含10个周期,所以,当a是零点时,在[a,a＋10π]上零点个数21,当a不是零点时,a＋kπ(k∈z)也都不是零点,区间[a＋kπ,a＋(k＋1)π]上恰有两个零点,故在[a,a＋10π]上有20个零点.综上,y＝g(x)在[a,a＋10π]上零点个数的所有可能值为21或20.【点评】本题考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断,考查数形结合思想,结合图象分析是解决(2)问的关键22.(16分)已知函数f(x)＝2－|x|,无穷数列{an }满足an＋1＝f(an),n∈N*(1)若a1＝0,求a2,a3,a4；(2)若a1＞0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差数列？若存在,求出所有这样的a1,若不存在,说明理由.【分析】(1)由题意代入式子计算即可；(2)把a2,a3表示为a1的式子,通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号,根据a1,a2,a3成等比数列可得关于a1的方程,解出即可；(3)假设这样的等差数列存在,则a1,a2,a3成等差数列,即2a2＝a1＋a3,亦即2－a1＋|2－|a1||＝2|a1|(*),分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论,由(*)式可求得a1进行判断；③当a1≤0时,由公差d＞2可得矛盾；【解答】解：(1)由题意,代入计算得a2＝2,a3＝0,a4＝2；(2)a2＝2－|a1|＝2－a1,a3＝2－|a2|＝2－|2－a1|,①当0＜a1≤2时,a3＝2－(2－a1)＝a1,所以,得a1＝1；②当a1＞2时,a3＝2－(a1－2)＝4－a1,所以,得(舍去)或.综合①②得a1＝1或.(3)假设这样的等差数列存在,那么a2＝2－|a1|,a 3＝2－|2－|a1||,由2a2＝a1＋a3得2－a1＋|2－|a1||＝2|a1|(*),以下分情况讨论：①当a1＞2时,由(*)得a1＝0,与a1＞2矛盾；②当0＜a1≤2时,由(*)得a1＝1,从而an＝1(n＝1,2,…),所以{an}是一个等差数列；③当a1≤0时,则公差d＝a2－a1＝(a1＋2)－a1＝2＞0,因此存在m≥2使得am ＝a1＋2(m－1)＞2,此时d＝am＋1－am＝2－|am|－am＜0,矛盾.综合①②③可知,当且仅当a1＝1时,a1,a2,…,an,…成等差数列.【点评】本题考查数列的函数特性、等差关系等比关系的确定,考查分类讨论思想,考查学生逻辑推理能力、分析解决问题的能力,综合性强,难度较大.23.(18分)如图,已知双曲线C1：,曲线C2：|y|＝|x|＋1,P是平面内一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1－C2型点”(1)在正确证明C1的左焦点是“C1－C2型点“时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y＝kx与C2有公共点,求证|k|＞1,进而证明原点不是“C1－C2型点”；(3)求证：圆x2＋y2＝内的点都不是“C1－C2型点”【分析】(1)由双曲线方程可知,双曲线的左焦点为(),当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1－C2型点”,当斜率存在时,要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与(0,1)连线的斜率；(2)由直线y＝kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1,分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；(3)由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y＝x±1与y＝－x±1之间,进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点,当|k|＞1时,过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点,再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围,结果与|k|＞1矛盾.从而证明了结论.【解答】(1)解：C1的左焦点为(),写出的直线方程可以是以下形式：或,其中.(2)证明：因为直线y＝kx与C2有公共点,所以方程组有实数解,因此|kx|＝|x|＋1,得.若原点是“C1－C2型点”,则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点.考虑过原点与C2有公共点的直线x＝0或y＝kx(|k|＞1).显然直线x＝0与C1无公共点.如果直线为y＝kx(|k|＞1),则由方程组,得,矛盾.所以直线y＝kx(|k|＞1)与C1也无公共点.因此原点不是“C1－C2型点”.(3)证明：记圆O：,取圆O内的一点Q,设有经过Q的直线l与C1,C2都有公共点,显然l不与x轴垂直,故可设l：y＝kx＋b.若|k|≤1,由于圆O夹在两组平行线y＝x±1与y＝－x±1之间,因此圆O也夹在直线y＝kx ±1与y＝－kx±1之间,从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点,矛盾,所以|k|＞1.因为l与C1由公共点,所以方程组有实数解,得(1－2k2)x2－4kbx－2b2－2＝0.因为|k|＞1,所以1－2k2≠0,因此△＝(4kb)2－4(1－2k2)(－2b2－2)＝8(b2＋1－2k2)≥0,即b2≥2k2－1.因为圆O的圆心(0,0)到直线l的距离,所以,从而,得k2＜1,与|k|＞1矛盾.因此,圆内的点不是“C1－C2型点”.【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了点到直线的距离公式,考查了直线与圆锥曲线的关系,直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.属难题.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试理数上海卷word版含答案

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2013年 上海 高考理科数学一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =3．若2211x x x y y y =--，则______x y += 4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =．6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________ ．8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，2BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y +=． 12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y fx -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞(D) [2,)+∞16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件17．在数列{}n a 中，21nn a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18 (B)28(C)48(D)6318．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.(A) 0,0m M => (B) 0,0m M <> (C) 0,0m M <= (D) 0,0m M <<三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.D 1C 1B 1A 1D C BA。

2013年上海高考数学试题(理科)含详细解析解答

2013年上海高考数学试题(理科)含详细解析解答

2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+【解答】根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+．2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=【解答】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 【解答】2222222323303a ab b c c a b ab ++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-． 5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =【解答】2515()(),2(5)71rrr r a T C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-． 6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233238034log 4x x x x -⋅-=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得1(1)12ρρρ-=⇒=，又0ρ≥，故所求为12． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得24,23b c ==． 10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=【解答】10E x ξ=，22221019)30||D d ξ=++++++=．11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2sin()3x y +=．12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x =++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x=+-≥+ 即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-． 13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48ππ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3]x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞(B) (,2]-∞(C) (2,)+∞(D) [2,)+∞【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18 (B)28 (C)48(D)63【解答】,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）. (A) 0,0m M =>(B) 0,0m M <>(C) 0,0m M <=(D) 0,0m M <<【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ． 三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =， 故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=C 11A而1ADC ∆中，11AC DC AD ==132AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max 457500y =元．21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值． 【解答】(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”． 【解答】：（1）C 1的左焦点为(F ，过F的直线x =C 1交于(±，与C 2交于(1))±，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x = （2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >； 直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。

2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析2013年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1.（4分）计算：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1} ^{n}k\sqrt{n^2+k^2}$考点：数列的极限。

专题：计算题。

分析：根据数列极限的定义即可求解。

解答：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}k\sqrt{n^2+k^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\sqrt{1+\frac{k^2}{n^2}}$int_{0}^{1}x\sqrt{1+x^2}dx=\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})$故答案为：$\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})$。

点评：本题考查数列极限的求法，属基础题。

2.（4分）设$m\in R$，$m^2+m^{-2}+(m^2-1)i$是纯虚数，其中$i$是虚数单位，则$m=-2$。

考点：复数的基本概念。

专题：计算题。

分析：根据纯虚数的定义可得$m^2-1=0$，$m^2-1\neq0$，由此解得实数$m$的值。

解答：$\because$复数$z=(m^2+m^{-2})+(m-1)i$为纯虚数。

therefore m^2+m^{-2}=0$，$m^2-1\neq0$，解得$m=-2$。

故答案为：$-2$。

点评：本题主要考查复数的基本概念，得到$m^2+m^{-2}=0$，$m^2-1\neq0$，是解题的关键，属于基础题。

【沪科版】高中数学必修三期末试题(及答案)(4)

【沪科版】高中数学必修三期末试题(及答案)(4)

一、选择题1．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率（ ） A ．110B ．310C ．12D ．7102．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D 为BE 中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．17B ．14C ．13D ．4133．从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了3套卷，即：全国I 卷，全国II 卷，全国III 卷.小明同学马上进入高三了，打算从这9套题中选出3套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（ ）A ．184B ．142 C ．128 D ．1144．在编号分别为(0,1,2,,1)i i n =⋅⋅⋅-的n 名同学中挑选一人参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数之和除以n 所得的余数如果恰好为i ，则选编号为i 的同学．下列哪种情况是不公平的挑选方法（ ） A ．2n =B ．3n =C ．4n =D ．6n =5．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．1-B ．2-C．2D．1 26．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为1，1，则输出的S是（）A．25 B．18 C．11 D．37．执行如图所示的程序框图，输出a的值为118，则 的值可以是（）A．0.06B．0.03C．0.2D．0.048．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x ，则一开始输入的x的值为( )A．34B．78C．1516D．31329．某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是（）A．5 B．4 C．3 D．210．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是（）A．成绩B．视力C．智商D．阅读量11．有200人参加了一次会议，为了了解这200人参加会议的体会，将这200人随机号为001,002，003，…，200，用系统抽样的方法(等距离)抽出20人，若编号为006,036,041,176, 196的5个人中有1个没有抽到，则这个编号是（）A．006 B．041 C．176 D．19612．已知x，y的取值如表：x2678y若x ，y 之间是线性相关，且线性回归直线方程为，则实数a 的值是A ．B ．C ．D ．二、填空题13．辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据： 某高校申请人数性别 录取率 法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% ①法学院的录取率小于商学院的录取率；②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率； ③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________.14．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数： 488 932 812 458 989 431 257 390 024 556 734 113 537 569 683 907 966 191 925 271据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________. 15．已知函数2()22f x x =-M ，(())y f f x =的定义域为P ，在M 上随机取一个数x ，则x P ∈的概率是____________．16．如图是一个算法流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_______. .17．根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为______.18．执行如图所示的算法框图，若输入的x的值为2，则输出的n的值为__________．19．东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也.”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世.按父子相继曰世”.“一世”又叫“一代”，到了唐朝，为了避李世民的讳，“一世”方改为“一代”，当代中国学者测算“一代”平均为25年.另据美国麦肯锡公司的研究报告显示，全球家庭企业的平均寿命其实只有24年，其中只有约30%的家族企业可以传到第二代，能够传到第三代的家族企业数量为总量的13%，只有5%的家族企业在第三代后还能够继续为股东创造价值.根据上述材料，可以推断美国学者认为“一代”应为__________年．20．一个容量为40的样本，分成若干组，在它的频率分布直方图中，某一组相应的小长方形的面积为0.4，则该组的频数是__________．三、解答题21．在流行病学调查中，潜伏期指自病原体侵入机体至最早临床症状出现之间的一段时间.某地区一研究团队从该地区500名A病毒患者中，按照年龄是否超过60岁进行分层抽样，抽取50人的相关数据，得到如下表格：潜伏期（单位：天）[]0,2(]2,4(]4,6(]6,8(]8,10(]10,12(]12,14人数60岁及以上258752160岁以下0224921（2）以各组的区间中点值为代表，计算50名患者的平均潜伏期（精确到0.1）；（3）从样本潜伏期超过10天的患者中随机抽取两人，求这两人中恰好一人潜伏期超过12天的概率.22．某大学综合评价面试测试中，共设置两类考题：A类题有4个不同的小题，B类题有3个不同的小题.某考生从中任抽取3个不同的小题解答.（1）求该考生至少抽取到2个A类题的概率；（2）设所抽取的3个小题中B类题的个数为X，求随机变量X的分布列与均值. 23．设计程序求使1210000n⨯⨯⨯<成立的最大正整数n，并画出程序框图．24．给出30个数：1，2，4，7，，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了解决该问题的算法框图（如图所示）.（1）请在图中处理框内①处和判断框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；（2）根据算法框图写出算法语句.25．某地级市共有200000中学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元.经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加%n ，一般困难的学生中有3%n 会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生有2%n 转为一般困难学生，特别困难的学生中有%n 转为很困难学生.现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份x 取13时代表2013年，x 取14时代表2014年，……依此类推，且x 与y （单位：万元）近似满足关系式y x βα=+.（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）y521()ii yy =-∑51()()iii x x y y =--∑0.8 3.11（1）估计该市2018年人均可支配年收入为多少万元？（2）试问该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少万元？附：对于一组具有线性相关关系的数据11(,)u υ，22(,)u υ，…，(,)n n u υ，其回归直线方程u υβα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()niii nii u u uu υυβ==--=-∑∑，u αυβ=-.26．某土特产销售总公司为了解其经营状况，调查了其下属各分公司月销售额和利润，得到数据如下表： 分公司名称 雅雨 雅雨 雅女 雅竹 雅茶 月销售额(x 万元35679在统计中发现月销售额x 和月利润额y 具有线性相关关系．(Ⅰ)根据如下的参考公式与参考数据，求月利润y 与月销售额x 之间的线性回归方程； (Ⅱ)若该总公司还有一个分公司“雅果”月销售额为10万元，试求估计它的月利润额是多少？(参考公式：1221ni i i n i i x y nx y b x nx==-⋅=-∑∑，a y b x =-，其中：1112ni ii x y ==∑，21200)nii x==∑．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率． 【详解】所有的基本事件有：()1,3,5、()1,3,7、()1,3,9、()1,5,7、()1,5,9、()1,7,9、()3,5,7、()3,5,9、()3,7,9、()5,7,9，共10个，其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：()3,5,7、()3,7,9、()5,7,9，共3个，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为310， 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题．2．A解析：A 【分析】根据几何概型的概率计算公式，求出中间小三角形的面积与大三角形的面积的比值即可 【详解】设DE x =，因为D 为BE 中点，且图形是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形 所以2BE x =，CE x =，120CEB ∠=︒所以由余弦定理得：2222cos BC BE CE BE CE CEB =+-⋅⋅∠222142272x x x x x ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭即BC =，设DEF 的面积为1S ，ABC 的面积为2S因为DEF 与ABC 相似所以21217S DE P S BC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】1.本题考查的是几何概型中的面积型，较简单2.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.3．D解析：D 【分析】先计算出9套题中选出3套试卷的可能，再计算3套题年份和编号都各不相同的可能，通过古典概型公式可得答案. 【详解】通过题意，可知从这9套题中选出3套试卷共有39=84C 种可能，而3套题年份和编号都各不相同共有336A =种可能，于是所求概率为61=8414.选D. 【点睛】本题主要考查古典概型，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.4．C解析：C 【分析】首先求出两枚骰子的点数之和可能的取值对应的概率，再分别讨论四个选项中n 的取值对应的余数的概率，若每一个余数的概率都相等则是公平的，若不相等则不公平，即可得正确选项. 【详解】由题意知两枚骰子的点数之和为X ，则X 可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，()1236P X ==， ()2336P X ==，()3436P X ==，()4536P X ==，()5636P X == ()6736P X ==，()5836P X ==，()4936P X ==，()31036P X ==，()21136P X ==，()11236P X ==， 对于选项A ：2n =时，0,1,i = ()1351023636362P i ⎛⎫==++⨯= ⎪⎝⎭，()246421136363636362P i ==++++=，所以2n =是公平的，故选项A 不正确； 对于选项B ：3n =时，0,1,2i =，()254110363636363P i ==+++=，()363113636363P i ==++=， ()145212363636363P i ==+++=，所以3n =是公平的，故选项B 不正确； 对于选项C ：4n =时，0,1,2,3i = ()351103636364P i ==++=，()442136369P i ==+=， ()153123636364P i ==++=，()2625336363618P i ==++= 因为概率不相等，所以4n =不公平，故选项C 正确； 对于选项D ：6n =时，0,1,2,3,4,5i = ()511036366P i ==+=，()611366P i ===，()151236366P i ==+=， ()241336366P i ==+=，()331436366P i ==+=，()421536366P i ==+=， 所以6n =是公平的，故选项D 不正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是理解题意，对于所给n 的值的每一个余数出现的概率相等即为公平，不相等即为不公平.5．D解析：D 【分析】列举出前四次循环，可知，该算法循环是以3为周期的周期循环，利用周期性可得出输出的S 的值. 【详解】第一次循环，02020k =≤成立，1112S ==--，011k =+=； 第二次循环，12020k =≤成立，()11112S ==--，112k =+=；第三次循环，22020k =≤成立，12112S ==-，213k =+=；第四次循环，32020k =≤成立，1112S ==--，314k =+=； 由上可知，该算法循环是周期循环，且周期为3，依次类推，执行最后一次循环，20202020k =≤成立，且202036731=⨯+，此时12S =， 202012021k =+=，20212020k =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为12. 故选：D. 【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，推导出循环的周期性是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C 【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，即可得到答案. 【详解】模拟执行程序框图，可得：1,1,1a b n ===， 第1次循环，可得3,1,3,2S a b n ====； 第2次循环，可得5,3,5,3S a b n ====； 第3次循环，可得11,5,11,4S a b n ====， 满足判断条件，输出11S =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中模拟程序框图的运行过程，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，意在考查运算与求解能力，属于基础题.7．C解析：C 【分析】该程序是二分法求方程的近似解的方法，模拟执行程序框图，计算端点处的函数值，再由中点处的函数值，结合函数零点存在定理，即可得到所求值． 【详解】解：该程序是二分法求方程的近似根的方法， 由流程图可得()1120g =-<，()20f >，可得32m =，302f ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 可得方程的根介于(1,2)，进而介于31,2⎛⎫⎪⎝⎭，由52520416f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，可得方程的根介于5(4，3)2， 由118m =，1112120864f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，可得方程的根介于11(8，3)2，由31110.2288-=<，可得输出的值为118， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了程序框图和算法的应用，模拟执行程序框图，考查二分法求方程近似值的方法，属于基础题．8．B解析：B 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算输入时变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得到答案. 【详解】本题由于已知输出时x 的值，因此可以逆向求解： 输出0x =,此时4i =； 上一步：1210,2x x -==,此时3i =； 上一步：1321,24x x -==,此时2i =； 上一步：3721,48x x -==,此时1i =； 故选：B . 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题.9．D解析：D 【解析】记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，()89889290939291791x +++++++÷=，635=917=6372x x ，∴+⨯∴=，故选D.10．D解析：D 【解析】试题分析：由表中数据可得 表1:()25262210140.00916362032K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表2: ()2524201216 1.76916362032K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表3: ()252824128 1.316362032K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表4: ()25214302623.4816362032K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．其中23.48最大,所以阅读量与性别有关联的可能性最大．故D 正确． 考点：独立性检验．11．B解析：B 【解析】 【分析】求得抽样的间隔为10，得出若在第1组中抽取的数字为6，则抽取的号码满足104n -，即可出判定，得到答案. 【详解】由题意，从200人中用系统抽样的方法抽取20人，所以抽样的间隔为2001020=， 若在第1组中抽取的数字为006，则抽取的号码满足6(1)10104n n +-⨯=-，其中n N +∈，其中当4n =时，抽取的号码为36；当18n =时，抽取的号码为176；当20n =时，抽取的号码为196，所以041这个编号不在抽取的号码中，故选B. 【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的抽取方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据所给的两组数据，做出横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，根据线性回归方程一定过样本中心点，得到线性回归直线一定过的点的坐标． 【详解】 根据题意可得，，由线性回归方程一定过样本中心点，．故选：B ． 【点睛】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．二、填空题13．②④【分析】根据题意结合古典概型的概率计算公式逐项进行判定即可求解【详解】设申请法学院的男生人数为女生人数为则法学院的录取率为设申请商学院的男生人数为女生人数为则商学院的录取率为由该值的正负不确定所解析：②④ 【分析】根据题意，结合古典概型的概率计算公式，逐项进行判定，即可求解. 【详解】设申请法学院的男生人数为x ，女生人数为y ，则200x y +=，法学院的录取率为0.50.70.50.7(200)0.70.001200200x y x x x ++⨯-==-，设申请商学院的男生人数为m ，女生人数为n ，则300m n +=，商学院的录取率为0.60.90.60.9(300)0.90.001200200m n m m m ++⨯-==-，由()()0.90.0010.70.0010.20.001()0.001(200)m x m x m x ---=--=-+， 该值的正负不确定，所以①错误，④正确； 这两个学院所有男生的录取率为0.50.6x mx m++，这两个学院所有女生的录取率为0.70.9y ny n++，因为0.50.60.70.90.20.40.10.30()()x m y n xy xn my nmx m y n x m y n +++++-=<++++，所以②正确；③错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，其中解答中正确理解题意，结合古典概型的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查数学阅读能力，属于基础题.14．3【分析】在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的可以通过列举得到共6组随机数根据概率公式得到结果【详解】由题意知模拟三天的下雨情况经随机模拟产生了20组随机数在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨解析：3【分析】在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的可以通过列举得到共6组随机数，根据概率公式，得到结果． 【详解】由题意知模拟三天的下雨情况，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：932、812、024、734、191、271，共6组随机数，∴所求概率为60.320P ==． 故答案为：0.3 【点睛】本题主要考查了模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用，属于中档题．15．【分析】根据函数解析式可求得定义域和的定义域即可由几何概型概率求解【详解】函数的定义域为则的定义域为即解得即根据几何概型的概率计算公式得故答案为：【点睛】本题考查了函数定义域的求法复合函数定义域的求解析：22- 【分析】根据函数解析式，可求得()f x 定义域M 和(())y f f x =的定义域P ，即可由几何概型概率求解. 【详解】函数()f x =M ，则[1,1]M =-，(())y f f x =的定义域为P[]1,1-，解得1,22x ⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即1,P ⎡⎤=-⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦．根据几何概型的概率计算公式得21222⎛⨯- ⎝⎭=．故答案为：22-. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法，复合函数定义域的求法，几何概型概率求法，属于中档题.16．5【分析】直接模拟程序即可得结论【详解】输入的值为2不满足所以故答案是：5【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题涉及到的知识点有程序框图的输出结果的求解属于简单题目解析：5 【分析】直接模拟程序即可得结论. 【详解】输入x 的值为2，不满足1x ≤，所以3325y x =+=+=， 故答案是：5. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有程序框图的输出结果的求解，属于简单题目.17．72【分析】模拟程序的运行依次写出每次循环得到的的值可得当时不满足条件退出循环输出的值为72【详解】模拟程序的运行可得满足条件执行循环体满足条件执行循环体；满足条件执行循环体;满足条件执行循环体；不解析：72 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S i ，的值，可得当9i = 时不满足条件8i ＜，退出循环，输出S 的值为72. 【详解】模拟程序的运行，可得10,i S ==， 满足条件8i ＜，执行循环体，39;i S ==，满足条件8i ＜，执行循环体，524i S ==， ； 满足条件8i ＜，执行循环体，745i S ==， ; 满足条件8i ＜，执行循环体，9i =，72S =； 不满足条件8i ＜，退出循环，输出S 的值为72, 故答案为72 【点睛】本题考查循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题．18．2【解析】当x=2时x2﹣4x+3=﹣1＜0满足继续循环的条件故x=3n=1；当x=3时x2﹣4x+3=0满足继续循环的条件故x=4n=2；当x=4时x2﹣4x+3=3＞0不满足继续循环的条件故输出解析：2 【解析】当x=2时，x 2﹣4x+3=﹣1＜0，满足继续循环的条件，故x=3，n=1； 当x=3时，x 2﹣4x+3=0，满足继续循环的条件，故x=4，n=2； 当x=4时，x 2﹣4x+3=3＞0，不满足继续循环的条件， 故输出的n 值为2； 故答案为2．点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.19．20【分析】设美国学者认为的一代为年然后可得出寿命在的家族企业的频率分别为然后利用平均数公式列方程解出的值即可得出所求结果【详解】设美国学者认为的一代为年然后可得出寿命在的家族企业的频率分别为则家族解析：20 【分析】设美国学者认为的一代为x 年，然后可得出寿命在(]0,x 、(],2x x 、(]2,3x x 、(]3,4x x 的家族企业的频率分别为0.52、0.3、0.13、0.05，然后利用平均数公式列方程解出x 的值，即可得出所求结果． 【详解】设美国学者认为的一代为x 年，然后可得出寿命在(]0,x 、(],2x x 、(]2,3x x 、(]3,4x x 的家族企业的频率分别为0.52、0.3、0.13、0.05， 则家族企业的平均寿命为0.5(10.30.130.05) 1.50.3 2.50.13 3.50.0512.124x x x x x ⨯---+⨯+⨯+⨯==，解得20x ≈，因此，美国学者认为“一代”应为20年，故答案为20. 【点睛】本题考查平均数公式的应用，解题的关键要审清题意，将题中一些关键信息和数据收集起来，结合相应的条件或公式列等式或代数式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题．20．16【解析】根据频率直方图的含义每组小矩形的面积就是该组数据在总体中出现的频率所以该组频数为故填16解析：16 【解析】根据频率直方图的含义，每组小矩形的面积就是该组数据在总体中出现的频率，所以该组频数为400.4=16⨯，故填16.三、解答题21．（1）200（2）10.4（天）（3）815【分析】（1）求出调查的50名A 病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人，即得解； （2）利用平均数公式计算即得解；（3）利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】（1）调查的50名A 病毒患者中，年龄在60岁以下的有20人， 因此该地区A 病毒患者中，60岁以下的人数估计有2050020050⨯=人.（2）()11123751071191411413251810.45050x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=（天）（3）样本潜伏期超过10天的患者共六人，其中潜伏期在10~12天的四人编号为：1，2，3，4，潜伏期超过12天的两人编号为：5，6，从六人中抽取两人包括15个基本事件：1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6.记事件“恰好一人潜伏期超过12天”为事件A ，则事件A 包括8个， 所以8()15P A =. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式，考查平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22．（1）2235；（2）分布列见解析，97EX = 【分析】（1）利用古典概率与互斥事件概率计算公式即可得出．（2）设所抽取的3个小题中B 类题的个数为X ，则X 的取值为0，1，2，3．利用超几何分布列计算公式即可得出． 【详解】（1）该考生至少抽取到2个A 类题的概率213434372235P +==． （2）设所抽取的3个小题中B 类题的个数为X ，则X 的取值为0，1，2，3．34374(0)35P X ===， 21433718(1)35P X ===， 12433712(2)35P X ===， 33371(3)35P X ===， ∴随机变量X 的分布列为：均值0123353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查古典概率与互斥事件概率计算公式、超几何分布列计算公式及其数学期望计算公式，考查推理能力与计算能力．23．见解析【分析】根据题目要求，设计出对应的程序框图，并写出程序.【详解】程序框图如图所示：程序如下：S=1n=1WHILE S<10000S=S*nn=n+1WENDPRINT n–2END【点睛】本小题主要考查设计程序框图并写出对应的程序，属于基础题.24．(1) ①处应填；②处应填 (2)见解析【解析】分析：（1）由已知中程序的功能是给出个数，其规律是：第个数是；第个数是；第个数比第个数大，第个数比第大，，依次类推，要计算区间个数的和，可以根据循环此时，循环变量的初值、步长计算出循环变量的终值，得到①中的条件；再根据累加的变化规律，得到②中累加通项的表达式；（2）利用直到型循环结构，写出程序.详解：（1）因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中是计数变量，因此判断框内的条件就是限制计数变量的，故应为，算法中的变量实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第个数比其前一个数大，第个数比其前一个数大，故应有，故①处应填；②处应填. （2）根据框图，写出算法如下：点睛：本题主要考查了直到型的循环结构的算法框图，解答中循环体的循环次数=（循环终值-初值）+步长+1，确定循环的次数，其中循环次数、终值、初值、步长中，能知道其中的三个可求解另一个，对于循环结构的程序框图，判断框内的内容容易出错，做题时要注意，同时注意循环点所在的位置.25．(1) 0.10.7y x =-;(2)1624万元.【解析】分析：（1）根据表中数据，求出x ，代入公式求值，从而得到回归直线方程，代入18x =即可；（2）通过由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共2000007%14000⨯=人.一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人，按照增长比例关系求解2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生，即可得财政预算.详解：（1）因为()11314151617155x =++++=，所以()()5222221()211210i i x x =-=-+-++=∑. 所以()()()515210ˆ.1i ii i i x x y y x x β==--==-∑∑， 0.80.1150.ˆ7ˆy x αβ=-=-⨯=-，所以0.1.7ˆ0y x =-. 当18x =时，2018年人均可支配年收入0.1180.7ˆ 1.1y=⨯-=（万元）. （2）由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共2000007%14000⨯=人. 一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人，2018年人均可支配收入比2017年增长()()0.1180.70.1170.70.110%0.1170.7⨯--⨯-==⨯-. 所以2018年该市特别困难的中学生有()2800110%2520⨯-=人，很困难的学生有()4200120%280010%3640⨯-+⨯=人，一般困难的学生有()7000130%420020%5740⨯-+⨯=人.所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为57400.136400.1525200.21624⨯+⨯+⨯=（万元）.点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用.26．（1）ˆ0.50.4yx =+（2）5.4万元 【解析】试题分析：(1)首先由题意求得平均数6, 3.4x y ==，然后利用系数公式计算可得回归方程为0.5.4ˆ0yx =+ . (2)由题意结合(1)中的结论预测可得“雅果”分公司的月利润额是5.4万元. 试题(Ⅰ) 由已知数据计算得：5n =，6, 3.4x y ==1221511256 3.40.5,20056653.40.560.4n i ii n i i x y xy b x x a ==--⨯⨯===-⨯⨯-=-⨯=∑∑∴线性回归方程为0.5.4ˆ0yx =+ (Ⅱ)将x =10代入线性回归方程中得到0.5100.4ˆ 5.4y=⨯+=（万元） ∴估计“雅果”分公司的月利润额是5.4万元。

上海2013年高考数学试卷及解析

上海2013年高考数学试卷及解析

2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题 1．计算：20lim______313n n n →∞+=+【解答】根据极限运算法则，201lim3133n n n →∞+=+．2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =【解答】2220210m m m m ⎧+-=⇒=-⎨-≠⎩． 3．若2211x xx y y y=--，则______x y +=【解答】2220x y xy x y +=-⇒+=．4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 【解答】2222222323303a ab bc c a b ab++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-．5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a =【解答】2515()(),2(5)71r r r r aT C x r r r x-+=--=⇒=，故15102C a a =-⇒=-．6．方程1313313x x-+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233238034log 4x x x x -⋅-=⇒=⇒=．7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________【解答】联立方程组得1(1)12ρρρ-=⇒=，又0ρ≥，故所求为12+． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913118C C -=．9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =，则Γ的两个焦点之间的距离为________【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得24,23b c ==． 10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=【解答】10E x ξ=，|D d ξ=．11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 【解答】1cos()2x y -=，2sin 2sin 22sin()cos()3x y x y x y +=+-=，故2s i n ()3x y +=． 12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________【解答】(0)0f =，故011a a ≥+⇒≤-；当0x >时，2()971a f x x a x=+-≥+ 即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87a ≤-． 13．在x O y 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48ππ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为221228216πππππ⋅⋅+⋅=+．14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y fx -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（）(A)(,2)-∞(B)(,2]-∞ (C)(2,)+∞(D)[2,)+∞【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，111a a ≥⎧⎨-≤⎩或11a a a≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】,21i ji j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j += ，故不同数值个数为18个，选A ．18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++ 的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）.(A)0,0m M => (B)0,0m M <>(C)0,0m M <=(D)0,0m M <<【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅> ，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11A【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1ADC ∆中，11AC DC AD ==132AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解答】(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max 457500y =元．21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>； （1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值． 【解答】(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩(2)()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++ 1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”；(3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．【解答】：（1）C 1的左焦点为(F ，过F 的直线x =C 1交于()2±，与C 2交于(1))±，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x = （2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kxk x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >； 直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。

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金山区2012学年第一学期期末考试高三数学试卷（一模）(满分：150分，完卷时间：120分钟) （答题请写在答题纸上）一、填空题(本大题共有14小题，满分56分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数f (x )=3x –2的反函数f –1(x )=________．【答案】23x + 【解析】由f (x )=3x –2得23y x +=，即12()3x f x -+=。

2．若全集U =R ，集合A ={x | –2≤x ≤2}，B ={x | 0<x <1}，则A ∩U B = ． 【答案】{x |–2≤x ≤0或1≤x ≤2} 【解析】因为B ={x | 0<x <1}，所以{10}U B x x x =≥≤或ð，所以{210}U A Bx x x=-≤≤≤≤或-2ð. 3．函数)32sin(π+=x y 的最小正周期是_________．【答案】π【解析】因为2ω=，所以周期222T πππω===. 4．计算极限：2222lim()1n n n n →∞-++= ． 【答案】2【解析】22222222lim()lim()21111n n n n n n n n→∞→∞--==++++.5．已知),1(x =，)2,4(=，若b a ⊥，则实数=x _______． 【答案】–2【解析】因为b a ⊥，所以420x +=，解得2x =-。

6．若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ． 【答案】21【解析】由(1+2i)(1+a i)得12(2)a a i -++，因为12(2)a a i -++是纯虚数，所以120,20a a -=+≠，解得12a =。

7．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于 ．(用数值表示) 【答案】–160【解析】展开式的通项公式为6621662()(2)k kk k k kk T C xC xx--+=-=-，由620k -=得3k =，所以常数项为3346(2)160T C =-=-。

8．已知矩阵A =1234⎛⎫⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫⎪⎝⎭，计算：AB = ． 【答案】1042410⎛⎫⎪⎝⎭【解析】：AB =1242142312211043431344332412410⨯+⨯⨯+⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

9．若直线l ：y=kx 经过点)32cos ,32(sin ππP ，则直线l 的倾斜角为α = ． 【答案】56π【解析】因为直线过点)32cos ,32(sinππP ，所以22sin cos33k ππ=12=-，所以k =，由tan k α==56πα=。

10．A 、B 、C 三所学校共有高三学生1500人，且A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列，在一次联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取_________人． 【答案】40【解析】因为A 、B 、C 三所学校的高三学生人数成等差数列，所以设三校人数为,,x d x x d -+，则31500x d x x d x -+++==，所以500x =。

则在B 校学生中抽取的人数为120500401500⨯=人。

11．双曲线C ：x 2– y 2= a 2的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为__________．【答案】14422=-y x 【解析】抛物线的准线方程为4x =-，当4x =-时，2216y a =-。

由34||=AB 得，A y =所以221612y a =-=，解得24a =，所以双曲线C 的方程为14422=-y x 。

12．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m ，第二次出现的点数记为n ，方程组⎩⎨⎧=+=+2323y x ny mx 只有一组解的概率是_________．（用最简分数表示） 【答案】1817 【解析】方程组只有一组解 02332≠-==n m n m D ，即除了m =2且n =3或m =4且n =6这两种情况之外都可以，故所求概率662176618P ⨯-⨯==．13．若函数y=f (x ) (x ∈R )满足：f (x +2)=f (x )，且x ∈[–1, 1]时，f (x ) = | x |，函数y=g (x )是定义在R 上的奇函数，且x ∈(0, +∞)时，g (x ) = log 3 x ，则函数y=f (x )的图像与函数y=g (x )的图像的交点个数为_______．【答案】4【解析】f(x+2)=f(x)⇒ f(x)的周期为2，由条件在同一坐标系中画出f (x)与g(x)的图像如右，由图可知有4个交点.14．若实数a 、b 、c 成等差数列，点P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，点N (0, 3)，则线段MN 长度的最小值是 ．【答案】24-【解析】a 、b 、c 成等差数列⇒a -2b +c =0⇒ a ⋅1+b ⋅(-2)+c =0，∴直线l ：ax+by+c =0过定点Q (1,-2)，又P (–1, 0)在动直线l ：ax+by+c =0上的射影为M ，∴∠PMQ =90︒，∴M 在以PQ 为直径的圆上,圆心为C (0, -1)，半径r =222||222121=+=PQ ，线段MN 长度的最小值即是N (0, 3)与圆上动点M 距离的最小值=|NC |-r =4-2.二、选择题(本大题有4题，满分20分) 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律的零分． 15．若110a b<<，则下列结论不正确的是 （ ） (A) 22a b < (B) 2ab b < (C)2b a a b +> (D) 1<ab【答案】D 【解析】由110a b <<可知，0b a <<，所以1<ab，选D. 16．右图是某程序的流程图，则其输出结果为( )(A)20112010 (B) 20111 (C) 20122011 (D) 20121 【答案】C 【解析】由程序可知1111111111223(1)(2)22312S k k k k =+++=-+-++-⨯⨯++++ 11122k k k +=-=++，由1201k +≥，得200k ≥，即1201122012k S k +==+,选C. 17．已知f (x )=x 2–2x +3，g (x )=kx –1，则“| k |≤2”是“f (x )≥g (x )在R 上恒成立”的 （ ）(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：f (x )≥g (x )⇔ x 2–2x +3≥kx –1⇔ x 2–(2+k )x +4≥0，此式对任意实数x 都成立⇔△=(2+k )2-16≤0⇔-4≤k +2≤4⇔-6≤k ≤2，而“|k |≤2” 是“-6≤k ≤2”的充分不必要条件，故选A. 18．给定方程：1()sin 102xx +-=，下列命题中：(1) 该方程没有小于0的实数解；(2) 该方程有无数个实数解；(3) 该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解；(4) 若x 0是该方程的实数解，则x 0>–1．则正确命题的个数是 （ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】C【解析】解：01sin )(21=-+x x⇔xx )(1sin 21-=， 令x x f sin )(=，xx g )(1)(21-=， 在同一坐标系中画出两函数的图像如右，由图像知：(1)错，(3)、(4)对，而由于xx g )(1)(21-=递增，小于1， 且以直线1=y 为渐近线，x x f sin )(=在－1到1之间振荡，故在区间(0,+∞)上，两者图像有无穷个交点，∴(2)对，故选C.三、解答题（本大题共有5个小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 已知集合A ={x | | x –a | < 2，x ∈R }，B ={x |212x x -+<1，x ∈R }． (1) 求A 、B ；(2) 若B A ⊆，求实数a 的取值范围．20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数()sin(2)sin(2)233f x x x x m ππ=++--，x ∈R ，且f (x )的最大值为1．(1) 求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2) 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ，若()1f B =a b c =+，试判断△ABC 的形状．21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数]2,0(,2)(2∈+-=x xax x x f ，其中常数a > 0． (1) 当a = 4时，证明函数f (x )在]2,0(上是减函数； (2) 求函数f (x )的最小值．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q两点．(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ⊥，求直线l 的方程；(3) 设直线l 与圆O ：x 2+y 2=8相交于M 、N 两点，令|MN |的长度为t ，若t ∈[4,，求△B 2PQ 的面积S 的取值范围．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ=(其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N*)，n S 为数列{a n }的前n 项和．(1) 若3122a a a ⋅=，求λ的值；(2) 求数列{a n }的通项公式n a ； (3) 当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．金山区2012学年第一学期高三期末考试试题评分标准 一、填空题 1．23x +(定义域不写不扣分) 2．{x |–2≤x ≤0或1≤x ≤2} 3．π 4．2 5．–2 6．217．–160 8．1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭9．56π10．40 11．14422=-y x 12．181713．4 14．24- 二、选择题15．D 16．C 17．A 18．C 三、简答题19．解：(1) 由| x –a | < 2，得a –2<x <a +2，所以A ={x | a –2<x <a +2}………………………3分 由212x x -+<1，得32x x -+<0，即 –2<x <3，所以B ={x |–2<x <3}．…………………………6分 (2) 若A ⊆B ，所以2223a a -≥⎧⎨+≤⎩，…………………………………………………………10分所以0≤a ≤1．………………………………………………………………………………12分 20．解：(1)=)(x f m x x -+2cos 32sin 2sin(2)3x m π=+- ……………………3分因为max ()2,f x m =-所以1m =，…………………………………………………………4分 令–2π+2k π≤2x +3π≤2π+2k π得到：单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+(k ∈Z ) (6)分( 无(k ∈Z )扣1分 )(2) 因为()1f B =，则2sin(2)113B π+-=，所以6B π=………………8分b c =+sin sin A B C =+15sin()26A A π=+- 化简得1sin()62A π-=，所以3A π=，…………………………………………………12分所以2C π=，故△ABC 为直角三角形．…………………………………………………14分21．解：(1) 当4=a 时，24)(-+=xx x f ，…………………………………………1分 任取0<x 1<x 2≤2，则f (x 1)–f (x 2)=121244x x x x +--212121)4)((x x x x x x --= (3)分因为0<x 1<x 2≤2，所以f (x 1)–f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)………………………………………5分所以函数f (x )在]2,0(上是减函数；………………………………………………………6分 (2)2)(-+=xax x f 22-≥a ，……………………………………………………7分 当且仅当a x =时等号成立，…………………………………………………………8分当20≤<a ，即40≤<a 时，)(x f 的最小值为22-a ，………………………10分当2>a ，即4>a 时，)(x f 在]2,0(上单调递减，…………………………………11分 所以当2=x 时，)(x f 取得最小值为2a，………………………………………………13分 综上所述：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-=.42,4022)(mina a a a x f ………………………………………14分22．解：（1）设所求椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ,右焦点为)0,(2c F .因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2=90º，得c =2b …………1分在Rt △AB 1B 2中，1224AB B S b ∆==，从而20222=+=c b a .………………3分因此所求椭圆的标准方程为：221204x y += …………………………………………4分 (2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为：2x my =-,代入椭圆方程得()2254160m y my +--=,…………………………6分设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则y 1、y 2是上面方程的两根，因此12245my y m +=+，516221+-=⋅m y y ，又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-，所以212122)2)(2(y y x x B B +--=⋅2216645m m -=-+………………………………8分 由21PB QB ⊥，得22B P B Q ⋅=0，即216640m -=，解得2m =±；所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x +2y +2=0和x –2y +2=0……………………10分 (3) 当斜率不存在时，直线:l 2-=x ，此时4||=MN ，5516=S ………………11分 当斜率存在时，设直线:l )2(+=x k y ，则圆心O 到直线的距离1|2|2+=k k d ，因此t=721482||22≤+-=k k MN ，得312≥k ………………………………………13分联立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1420),2(22y x x k y 得0164)51(222=--+k ky y k ，由韦达定理知， 22212215116,514k k y y k k y y +-=+=+，所以222421)51(454||k k k y y ++=-，因此1214||2S y y =⋅⋅-=设28153u k u =+≥，，所以S =，所以)5516,35[∈S …15分 综上所述：△B 2PQ 的面积]5516,35[∈S ……………………………………………16分 23．解：(1) 令1=n ，得到λ712=a ，令2=n ，得到237171λλ+=a 。

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