带电球体电场与电势的分布

带电球体电场与电势的分布王峰（南通市启秀中学物理学科 江苏 南通 226006）在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -ϕ”的关系曲线图，供大家参考。

本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．．中，即相对介电常数10=ε； 对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。

1、 带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。

电场分布：1.1.1内部（r <R ）：如图（1）所示，在均匀带电金属球（壳）内的任意点P 处，均有通过直径相似对称的两个带电球冠面1S 和2S ，当两条线夹角θ很小时，1S 和2S 可以近似看作两个带电圆面，且1S 和2S 两个面的尺寸相对它们距离P 点距离很小，这样1S 和2S 两个带电面就可以近似处理为点电荷，它们在P 点各自产生电场强度P E 1与P E 2，计算如下所示：设球体带电总量为Q ，且均匀分别在导体球外表面上∵222121214sin )sin (4RQ Kr r R QKE P θθππ=•=222222224sin )sin (4RQ Kr r RQK E P θθππ=•=图（1）且P E 1与P E 2等大反向∴0=P E ，即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处为零。

1.1.2外部（r >R ）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部P 点的电场强度，可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面ds ，将每个单元面上电荷在P 点产生的电场dE 进行叠加，求出P 点的合场强P E 。

由于球面上单元面ds 的对称性特点，可知P 点的电场强度P E 的方向最终应该沿OP 连线的方向。

上述求电场强度P E 的理论方法是浅显易懂的，但数学处理上比较复杂，需要采用二重积分的方法；即先要对ds 和'ds 所在球面上的带电圆环进行π20→的环积分，对求出的环形电场再进行沿直径方向的π→0的积分，最终求出带电球体在P 点的合场强P E 。

积分过程如下：如图（2）所示，设x AP r OP R OA ===，，，球表面电荷的面密度为24RQ πσ=∵θσcos 2xdsKE P =∆取球面极坐标，则ψϕϕd R Rd ds sin •=，其中ϕ为沿直径方向的从π→0积分角，ψ为带电圆环的从π20→的还积分。

θψϕϕσππcos sin 20022⎰⎰=⎰⎰∆=xd d R KE E p P由OAP ∆可知：ϕcos 222rR R r x -+=ˊ图（2）又∵ϕϕϕθcos 2cos cos cos 22rR R r R r xR r -+-=-=⎰-+--=⎰⎰-+-=∴πππϕϕϕσπϕϕϕϕψσ0232222023222)cos 2()cos ()cos (2)cos 2(sin )cos (rR R r d R r R K rR R r d R r R d K E P又∵rrR R r R r r rR r R r 2cos 22cos 22cos 22222ϕϕϕ-++-=-=-()222222220212202122222002122232222222)(211122)cos 2(12112121)cos 2(112312122)cos 2()cos (21)cos 2()cos (22r Q Kr R K R r R r R r R r R r R r R r R K rR R r rR r rR R r rR r R r R K rR R r d r rR R r d r R r R K E P =•=⎥⎦⎤--++⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---+--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+•+-•+⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+•+-•-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎰⎰-+-•+-+-•-=∴σπσπϕϕσπϕϕϕϕσπππππ 2rQ KE P =∴由此可以看出，带电金属球体或金属球壳在外部空间某点产生的电场强度E ，与其上电荷全部集中在球心时产生的电场强度相等。

∴ 2rQK E ＝外当R r =时，有2RQ KE =，所以带电金属球或带电球壳的内、外电场强度的分布在R r =处电场强度的值有突变的情况。

1.1.3图景：如图（3）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电场强度E 的大小随P 点到圆心O 的距离r 的关系图线。

电势分布：1.2.1内部（r <R ）：内部某点P 的电势P ϕ的大小可以由电场力做功和电势差关系来确定nn P A P n n P n n P A P r E r E r E r E U r E r E r E r E U qr E q r E q r E q r E W qU W ∆++∆+∆+∆=-∴-=∆++∆+∆+∆=∴∆++∆+∆+∆==∞∞∞∞∞∞∞ 332211332211332211ϕϕϕϕ又又 由电势的物理意义可得，当以无穷远点为零势点时，该点的电势等于对电场强度从该点到无穷远的定积分。

即：R QKr Q K dr rQ K drr QK dr Edr R R P R R r r P =-=⎰=∴⎰+⎰=⎰=∞∞∞∞220ϕϕ由上述答案可知，均匀带电金属球在稳定时，其球外任一点的电势等于把全部电荷看作集中于球心的一个点电荷在该点的电势相同；在球体内任一点的电势应与球面上的电势相等，故均匀带电金属球面及其内部是一个等势体。

1.2.2外部（r >R ）：由上述电势理论同样可得：图（3）rQK r Q Kdrr QK Edr r r r =-=∴⎰=⎰=∞∞∞ϕϕ2当R r =时，有RQK=ϕ，所以带电金属球的内、外电势的分布是连续不间断的。

1.2.3图景：如图（4）所示，是带电金属球或带电球壳（导体或绝缘体壳均相同）的电势ϕ的大小随P 点到圆心的距离r 的关系图线。

2、 带电的绝缘体球：这种带电体的电荷是均匀分布在整个球体的各个部位，即电荷的体密度处处相同。

电场的分布：2.1.1内部（r <R ）：如图（5）所示，在此带电球体内部距离圆心r 处的电场强度P E 等于以O 为圆心、r 为半径的带电球体在此处产生的电场1E 和以O 为圆心从r 到R 的带电球壳在此处产生的电场2E 的叠加；又已知带电球壳在内部产生的电场强度处处为零（即02=E ），所以P 点处的电场强度就等于以r 为半径的带电球体产生电场1E 。

图（4）图（5）r RKQ r r RQK r q K E E P ⋅=•==∴3233213434ππ＝ （R r ≤≤0） 所以，带电绝缘体内部的电场强度E 的大小与P 点距球心的半径r 成正比。

2.1.2外部（r >R ）：和带电导体球（或球壳）一样，仍可视为集中在球心处的点电荷在该处产生的电场。

2rQ KE ＝外∴ （R r ≥）当R r =时，有电场强度的最大值2max RQ KE =，所以，带电绝缘体球的内、外部的电场强度是连续分布的；在R r =处，电场强度最大。

2.1.3图景：如图（6）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电场强度E 的大小随P 点到圆心O 的距离r电势的分布：2.2.1内部（r <R ）：由电势的物理意义可得，当以无穷远点为零势点时，该点的电势等于对电场场强从该点到无穷远的积分。

即：232232323223)(2)(2rR KQ R KQ R QK r R R KQ r Q K r R KQ drrQK rdr R QKEdr P R RrP R Rr rP -=∴+-=-+=∴⎰+⎰=⎰=∞∞∞ϕϕϕ图（6）2.2.2外部（r >R ）：由上述电势理论同样可得：rQK r Q Kdrr QK Edr r r r =-=∴⎰=⎰=∞∞∞ϕϕ2当0=r 时，即在球体的圆心处电势最高，有RKQO 23=ϕ 当R r =，即在此球壳处处电势为RKQR 2=ϕ 所以带电绝缘体球的内、外电势的分布曲线是连续的。

2.2.3图景：如图（7）所示，是带电绝缘体球的内、外部的电势ϕ的大小随P 点到圆心O 的距离r 的关系图线。

本文运用数学的积分思想对电场、电势的分布进行推导，引导高三复习的同学从数学角度认识物理过程，加强了数学和物理知识的联系，深化了学生的物理形象思维和抽象思维。

但高三学生复习本节知识点时，对于积分的推导过程不必太关注，但对电场、电势推导的结论、图景要作为高考必备知识点给予特别记忆和储存，以达到在高考时节省用在选择题中时间的目的。

参考书目：1、赵凯华、陈熙谋《电磁学》1985年6月第二版 高等教育出版社2、普通高中课程标准实验教材《物理3－1》 2004年5月第一版 人民教育出版社图（7）联系方式：单位: 南通市启秀中学物理学科王峰Post: 226001Tele: 0513－(宅) （0）E－mail ＆通讯地址：南通市濠景园14幢102室王峰 226006 个人简介：王峰男 72年生南通市启秀中学高中物理教师中学一级2006年就读南京师范大学物理科学与技术学院教育硕士研究生。