余弦定理PPT教学课件
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《余弦定理》课件
2 计算三角形内角
如果知道一个三角形的三条边长，我们可以通过余弦定理计算出三个内角中的任意一个 角度。
3 多边形的面积
在许多多边形的计算中，还需要用到余弦定理计算角度或边长。
注意事项
1
适用条件
在使用余弦定理前，我们需要先检查三个已知量是否足够独立，以确定是否能够应用余弦定 理解决特定问题。
2
计算误差的影响
《余弦定理》PPT课件
欢迎来到本次关于余弦定理的PPT课件。余弦定理是一个重要的三角函数定理， 我们会讨论它的定义以及如何应用于三角形的边长和内角的计算。
什么是余弦定理
定义
余弦定理是一个用于计算三角形边长或内角的三 角函数定理，它可以用于解决各种类型的三角形 问题。
应用领域Байду номын сангаас
余弦定理不仅可以应用于三角形，还可以用于光 学、机械、地理等领域的计算。
三角形内角的关系
通过余弦定理，我们可以计算三 角形任意一个内角的大小，只需 要知道另外两条边的长度。
图形的应用
在现实生活中，许多图形的计算 都可以用余弦定理来求解，例如 桥梁、电线杆等。
例子
1 计算三角形边长
如果知道一个三角形的两条边长，以及它们对应的夹角，我们可以通过余弦定理计算出 第三条边长。
由于计算误差的存在，使用余弦定理可能会导致计算结果出现误差，在实际问题中需要格外 注意。
3
实际应用
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的计算方法，不能将余弦定理作为万能的三角形 问题解决方法。
总结
余弦定理的应用
余弦定理作为三角形问题的一 种解决方法，可以应用于多个 领域的计算，具有广泛的实用 价值。
余弦定理的不足
虽然余弦定理具有广泛的适用 范围，但是在某些特定情况下， 可能存在不足或者无法解决的 问题。
如果知道一个三角形的三条边长，我们可以通过余弦定理计算出三个内角中的任意一个 角度。
3 多边形的面积
在许多多边形的计算中，还需要用到余弦定理计算角度或边长。
注意事项
1
适用条件
在使用余弦定理前，我们需要先检查三个已知量是否足够独立，以确定是否能够应用余弦定 理解决特定问题。
2
计算误差的影响
《余弦定理》PPT课件
欢迎来到本次关于余弦定理的PPT课件。余弦定理是一个重要的三角函数定理， 我们会讨论它的定义以及如何应用于三角形的边长和内角的计算。
什么是余弦定理
定义
余弦定理是一个用于计算三角形边长或内角的三 角函数定理，它可以用于解决各种类型的三角形 问题。
应用领域Байду номын сангаас
余弦定理不仅可以应用于三角形，还可以用于光 学、机械、地理等领域的计算。
三角形内角的关系
通过余弦定理，我们可以计算三 角形任意一个内角的大小，只需 要知道另外两条边的长度。
图形的应用
在现实生活中，许多图形的计算 都可以用余弦定理来求解，例如 桥梁、电线杆等。
例子
1 计算三角形边长
如果知道一个三角形的两条边长，以及它们对应的夹角，我们可以通过余弦定理计算出 第三条边长。
由于计算误差的存在，使用余弦定理可能会导致计算结果出现误差，在实际问题中需要格外 注意。
3
实际应用
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的计算方法，不能将余弦定理作为万能的三角形 问题解决方法。
总结
余弦定理的应用
余弦定理作为三角形问题的一 种解决方法，可以应用于多个 领域的计算，具有广泛的实用 价值。
余弦定理的不足
虽然余弦定理具有广泛的适用 范围，但是在某些特定情况下， 可能存在不足或者无法解决的 问题。
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
余弦定理PPT优秀课件
∴ cosA＝ AB AC = (8)(2)3(4) 2 ,∴ A≈84°.
AB AC
732 5
365
四、课堂练习：
1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( C )
A.直角三角形 B.
C.
D.等边三角形
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB ,∴b·b2c2a2aa2c2b2
解：∵ coAs b2 c2 a2 ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
∵coCs a2 b2 c2＝0.8071， 2ab
∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
∴ C≈36°,
(∵sinC＝
c
sin a
A
≈0.5954,∴
C ≈ 36°或144°(舍).)
例2在Δ ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个
∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B
故此三角形是等腰三角形.
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角Байду номын сангаас三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
解法一：
B
8
7
∵ |AB| ＝ [6(2)2 ](58)2 73
6
5
A
|BC| ＝ (24)2(81)2 85
4 3
|AC| ＝ (64)2(51)225
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
《高一数学余弦定理》课件
《高一数学余弦定理》ppt课件
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
《正弦定理余弦定理》课件
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REPORTING
基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。
必修五1.1.2余弦定理(共14张PPT)
余弦定理
a b c 2bc cos A
2 2 2
余弦定理推论
b c a cos A 2bc
2 2 2 B
2 2 2
c a b 2ab cosC
2 2 2
a c b cos B 2ac 2 2 2 a b c cosC 2ab
求角1322中在acbaabc?????abccbacos2222???baccabcos2222???cabbaccos2222???余弦定理bcacba2cos222???acbcab2cos222???abcbac2cos222???余弦定理推论bcacba2cos222???acbcab2cos222???abcbac2cos222???余弦定理推论适用范围
余弦定理（二）
学习目标
1、能够从余弦定理得到它的推论；
2、能够应用余弦定理及其推论解三角形； 3、学习解三角形的几种类型。
复习回顾
1、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
适用范围： 已知两角一边，解三角形。
2、余弦定理： 2 2 2 a b c 2bc cos A
延伸：在ABC中，a 2, b 2 , c 3 1， 求(1)角A；（2）角B、C。
思考？
我们发现在解三角形的过程中，求某一角有 时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理， 两种方案各有什么利弊？
用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦值是一 一对应的，无需讨论；而用正弦定理求角时，运算量 较少，但角与正弦值在 上不是一一对应，需讨 论解的情况。
2、在 ABC 中， b 3, c 3 3 , B
13,求最小角。
, 求a。
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△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
c2 a2 b2 cos B
2ac cos C a 2 b 2 c 2
例1、一个圆锥形的零件，底面 积是19平方厘米，高是12厘米。 这个零件的体积是多少？
1 3
×19
×12=76（立方厘米）
答：这个零件的体积是７６立方 厘米。
例２、工地上有一些沙子，堆起来 近似于一个圆锥，测得底面直径是 ４米，高是1.2米，这堆沙子大约多 少立方米？（得数保留两位小数）
1.2米 4米
（1）已知两角和任一边.
（2）已知两边和一边的对角.
情景设置：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度， 工程技术人员先在地面上选一适当的位置A， 量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A 对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC.
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
的证中：线设，∠A求B证M：＝AMα，12 则2( A∠BA2M ACC＝2) BC2. Ａ
１８０°－ α ．
在△ABM中，由余弦定理，得
α
AB2
AM
2
BM
2
2AM
•
BM
Ｂ
cos.
Ｍ
Ｃ
在△ACM中，由余弦定理，得
AC2 AM 2 MC2 2AM • MC cos(180 ).
因为cos(180 ° － α）＝－cos α,BM=MC=
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
隧道工程设计，经常要测算山脚的 长度，工程技术人员先在地面上选一适 当的位置A，量出A到山脚B、C的距离， 再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段 BC的张角），最后通过计算求出山脚的 长度BC.
例2: 1’在 ABC中，已知a2 b2 ab c2 求C的大小.
2'在 ABC中，已知S 1（a2 b2 c2） 4
求C的大小.
例3:在 ABC中，A 600，b 1,
S ABC
3,求
abc
的值.
sin A sin B sin C
例4:已知2a 3,a2 3a 3, a2 2a(a 0) 求三角形的最大角
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝ 3/2 千米
角,Ａ＝600求山脚ＢＣ的
长度．
注意:余弦定理适用任何三角形.
延伸变形：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
cos C a2 b2 c2 。 2ab
应用：已知三条边求角度．
例1：在三角形ABC中，已知a=7，b=10,c=6, 求A、B和C（精确到1°）。
口算下列圆柱的体积。
①底面积是5平方厘米，高 6 厘米， 体积 = ?
②底面半径是 2 分米， 高10分米， 体积 = ?
③底面直径是 6 分米， 高10分米， 体积 = ?
学习目标：
▪ 1、探索并掌握圆锥的体积公式。 ▪ 2、能利用公式计算圆锥的体
积，解决简单的实际问题。 ▪ 3、培养乐于学习，勇于探索的
圆柱体积＝底面积 高
圆柱体积＝底面积 高
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
1/2BC,
所以
AB
2
AC
2
2
AM
2
1 2
BC 2 ,
因此， AM 1
2
2( AB2 AC 2) BC2.
练习： 1’在ABC中, (a b c)(a b - c) 3ab, 求A. 2’在ABC中，已知AB 4，AC 7，BC
边的中线AD 7 ，求BC 2
思考：
a 证明： bcosC c cos B
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝底面积 高
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝底面积
高
1 3
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝底面积
高
1 3
想一想，讨论一下：
（1）通过刚才的实验，你 发现了什么？
（2）要求圆锥的体积必须 知道什么？
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c， BC=a，CA=b,
∵ AC =AB + BC
∴|AC| =|AB + BC|
2
|AC| =|AB
+
BC| 2
∴|AC|2= AB2+2AB • BC+BC 2
2
=|AB|+2|AB|
•|BC|cos（1800
2
-B）+|BC|
余弦定理：三角形任何一边的平方等于 其它两边平方的和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍.
a2 c2 b2 cos B
2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
例1.根据所给条件,判断ABC的形状:
(1) a cos A bcos B (2) a cos B bcos A (3) sinA 2sin BcosC (4) a(b cos B c cos C) (b2 c2) cos A
2ab
应用：
１、已知两条边和一个夹角，求第三条边.
２、已知三条边，求三个角.判断三角形的形状.
余弦定理2
１.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 2bc
b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
解得 1 k 4 ∵ k N
∴ k 2或3,但 k 2时不能构成三角形应舍去
当 k 3 时 a 2,b 3,c 4,cosC 1 ,C 109 4
余弦定理3
例1、在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定 要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°， 并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到 0.1 ° ，速度精确到0.1km/h）
例3
a，b是方程 x 2 2 3x 2 0
的两个根，且 2 cos( A B) 1
求： （1）C的度数； （2）AB的长； （3）△ ABC的面积
课后思考
如图，已知圆内接四边形ABCD的边长
分别为AB=2，BC=6，AD=CD=4，求四边
形ABCD的面积?
A
B2
4 D
6
4
C
圆锥的体积
复习:
余弦定理
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sin C
变形： a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C
a : b : c sin A : sin B : sin C
abc
2R
sin A sin B sin C
可以解决两类有关三角形的问题：
二、判断：
1、圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大（ × ）
2、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体的
1 3
（√ ）
3、正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面
积×高。
×
（）
4、等底等高的圆柱和圆锥，如果圆柱体的√ 体积 是27立方米，那么圆锥的体积是9立方米。（ ）
三、填表：
已知条 件
体积
圆锥底面半径2厘米，高9厘米 37.68立方厘米
在△ＡＢＣ中，由正弦定理，得
sin ABC ACsin BAC 0.5sin 75 0.4128
BC
1.17
所以
∠ＡＢＣ≈２４．４°
所以∠ＤＡＮ＝∠ＤＡＢ－∠ＮＡＢ＝ ∠ＡＢＣ－１５ ° ≈９．４ ° 答：渡船按北偏西９．４ °的方向，并以
１１．７km/h的速度航行．
例2、如图，ＡＭ是三角形ＡＢＣ中ＢＣ边上
例5:已知锐角三角形的两边长为2和 求第三边长x的取值范围.
例5.△ABC中，若已知三边为连续正 整数，最大角为钝角，解此三角形.
解：设三边 a k 1, b k, c k 1 , k N 且 k 1
∵C为钝角 ∴ cos C a2 b2 c2 k 4 0
2ac
2(k 1)
情趣。
想一想:
▪圆柱和圆锥的底面积和高 有什么关系?
圆柱和圆锥等底等高
你发现了什么?
圆柱的体积是与它等底 等高圆锥体积的3倍.
圆柱体积＝底面积 高
变式（1）：已知条件不变，结论换成求
ABC的面积。
变式（2）：已知条件不变，结论换成判
定 ABC的形状。
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a2 b2 c2
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
解：如图，取ＡＣ方向为水流方向，以ＡＣ为 一边、ＡＢ为对角线作平行四边形ＡＣＢＤ， 其中ＡＢ＝1.2(km),AC=5×0.1=0.5(km),
小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b 2 c 2 a 2 2bc
c2 a2 b2 cos B
2ac cos C a 2 b 2 c 2
例1、一个圆锥形的零件，底面 积是19平方厘米，高是12厘米。 这个零件的体积是多少？
1 3
×19
×12=76（立方厘米）
答：这个零件的体积是７６立方 厘米。
例２、工地上有一些沙子，堆起来 近似于一个圆锥，测得底面直径是 ４米，高是1.2米，这堆沙子大约多 少立方米？（得数保留两位小数）
1.2米 4米
（1）已知两角和任一边.
（2）已知两边和一边的对角.
情景设置：
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度， 工程技术人员先在地面上选一适当的位置A， 量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A 对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC.
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
的证中：线设，∠A求B证M：＝AMα，12 则2( A∠BA2M ACC＝2) BC2. Ａ
１８０°－ α ．
在△ABM中，由余弦定理，得
α
AB2
AM
2
BM
2
2AM
•
BM
Ｂ
cos.
Ｍ
Ｃ
在△ACM中，由余弦定理，得
AC2 AM 2 MC2 2AM • MC cos(180 ).
因为cos(180 ° － α）＝－cos α,BM=MC=
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
应用：已知两边和一个夹角，求第三边．
隧道工程设计，经常要测算山脚的 长度，工程技术人员先在地面上选一适 当的位置A，量出A到山脚B、C的距离， 再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段 BC的张角），最后通过计算求出山脚的 长度BC.
例2: 1’在 ABC中，已知a2 b2 ab c2 求C的大小.
2'在 ABC中，已知S 1（a2 b2 c2） 4
求C的大小.
例3:在 ABC中，A 600，b 1,
S ABC
3,求
abc
的值.
sin A sin B sin C
例4:已知2a 3,a2 3a 3, a2 2a(a 0) 求三角形的最大角
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝ 3/2 千米
角,Ａ＝600求山脚ＢＣ的
长度．
注意:余弦定理适用任何三角形.
延伸变形：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
cos C a2 b2 c2 。 2ab
应用：已知三条边求角度．
例1：在三角形ABC中，已知a=7，b=10,c=6, 求A、B和C（精确到1°）。
口算下列圆柱的体积。
①底面积是5平方厘米，高 6 厘米， 体积 = ?
②底面半径是 2 分米， 高10分米， 体积 = ?
③底面直径是 6 分米， 高10分米， 体积 = ?
学习目标：
▪ 1、探索并掌握圆锥的体积公式。 ▪ 2、能利用公式计算圆锥的体
积，解决简单的实际问题。 ▪ 3、培养乐于学习，勇于探索的
圆柱体积＝底面积 高
圆柱体积＝底面积 高
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
1/2BC,
所以
AB
2
AC
2
2
AM
2
1 2
BC 2 ,
因此， AM 1
2
2( AB2 AC 2) BC2.
练习： 1’在ABC中, (a b c)(a b - c) 3ab, 求A. 2’在ABC中，已知AB 4，AC 7，BC
边的中线AD 7 ，求BC 2
思考：
a 证明： bcosC c cos B
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝
圆柱体积＝底面积 高 圆锥体积＝底面积 高
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝底面积
高
1 3
圆柱体积＝底面积 高
圆锥体积＝底面积
高
1 3
想一想，讨论一下：
（1）通过刚才的实验，你 发现了什么？
（2）要求圆锥的体积必须 知道什么？
研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c， BC=a，CA=b,
∵ AC =AB + BC
∴|AC| =|AB + BC|
2
|AC| =|AB
+
BC| 2
∴|AC|2= AB2+2AB • BC+BC 2
2
=|AB|+2|AB|
•|BC|cos（1800
2
-B）+|BC|
余弦定理：三角形任何一边的平方等于 其它两边平方的和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍.
a2 c2 b2 cos B
2ac
cosC a2 b2 c2 2ab
2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题：（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
例1.根据所给条件,判断ABC的形状:
(1) a cos A bcos B (2) a cos B bcos A (3) sinA 2sin BcosC (4) a(b cos B c cos C) (b2 c2) cos A
2ab
应用：
１、已知两条边和一个夹角，求第三条边.
２、已知三条边，求三个角.判断三角形的形状.
余弦定理2
１.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 2bc
b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
解得 1 k 4 ∵ k N
∴ k 2或3,但 k 2时不能构成三角形应舍去
当 k 3 时 a 2,b 3,c 4,cosC 1 ,C 109 4
余弦定理3
例1、在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定 要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°， 并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到 0.1 ° ，速度精确到0.1km/h）
例3
a，b是方程 x 2 2 3x 2 0
的两个根，且 2 cos( A B) 1
求： （1）C的度数； （2）AB的长； （3）△ ABC的面积
课后思考
如图，已知圆内接四边形ABCD的边长
分别为AB=2，BC=6，AD=CD=4，求四边
形ABCD的面积?
A
B2
4 D
6
4
C
圆锥的体积
复习:
余弦定理
复习回顾
正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sin C
变形： a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C
a : b : c sin A : sin B : sin C
abc
2R
sin A sin B sin C
可以解决两类有关三角形的问题：
二、判断：
1、圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大（ × ）
2、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体的
1 3
（√ ）
3、正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面
积×高。
×
（）
4、等底等高的圆柱和圆锥，如果圆柱体的√ 体积 是27立方米，那么圆锥的体积是9立方米。（ ）
三、填表：
已知条 件
体积
圆锥底面半径2厘米，高9厘米 37.68立方厘米
在△ＡＢＣ中，由正弦定理，得
sin ABC ACsin BAC 0.5sin 75 0.4128
BC
1.17
所以
∠ＡＢＣ≈２４．４°
所以∠ＤＡＮ＝∠ＤＡＢ－∠ＮＡＢ＝ ∠ＡＢＣ－１５ ° ≈９．４ ° 答：渡船按北偏西９．４ °的方向，并以
１１．７km/h的速度航行．
例2、如图，ＡＭ是三角形ＡＢＣ中ＢＣ边上
例5:已知锐角三角形的两边长为2和 求第三边长x的取值范围.
例5.△ABC中，若已知三边为连续正 整数，最大角为钝角，解此三角形.
解：设三边 a k 1, b k, c k 1 , k N 且 k 1
∵C为钝角 ∴ cos C a2 b2 c2 k 4 0
2ac
2(k 1)
情趣。
想一想:
▪圆柱和圆锥的底面积和高 有什么关系?
圆柱和圆锥等底等高
你发现了什么?
圆柱的体积是与它等底 等高圆锥体积的3倍.
圆柱体积＝底面积 高
变式（1）：已知条件不变，结论换成求
ABC的面积。
变式（2）：已知条件不变，结论换成判
定 ABC的形状。
a2 b2 c2 2bc cos A
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a2 b2 c2
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
解：如图，取ＡＣ方向为水流方向，以ＡＣ为 一边、ＡＢ为对角线作平行四边形ＡＣＢＤ， 其中ＡＢ＝1.2(km),AC=5×0.1=0.5(km),