上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高三数学考前测试卷及答案
2020年上海市交大附中高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年上海市交大附中高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知函数是R上的增函数，则对任意，，“”是“”的条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要2.已知，，，则z对应的点在A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上3.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足，则点集所表示的区域的面积是A. B. C. D.4.已知，，，2，3，，为，，，中不同数字的种类，如1，2，，2，2，，求所有的256个的排列所得的的平均值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.计算矩阵的乘积：______．6.______．7.已知，则的值等于______ ．8.若双曲线的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为______．9.在首项为21，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第______项．10.如图，二面角的大小是，线段，，AB与l所成的角为，则AB与平面所成的角是______用反三角函数表示．11.已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，则面积的最大值为______．12.已知函数，是以2为周期的偶函数，且当时，有，则函数的反函数是______．13.已知是定义在R上的函数，方程恰好有7个解，则这7个解的和为______．14.设0．是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a和b分别为10以内的非负整数，且，，若集合，则A中所有元素的和为______15.已知数列满足，是一个已知的正整数，若存在，当且为奇数时，恒为常数p，则______16.若实数x，y满足，则xy的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．求该圆锥的表面积S和体积V；求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d．18.已知函数的图象如图所示．求出函数的解析式；若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变得到函数的图象，求出函数的单调递增区间及对称中心．19.若函数满足“存在正数，使得对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立”，则称该函数为“依附函数”．分别判断函数，是否为“依附函数”，并说明理由；若函数的值域为，求证：“是依附函数”的充要条件是“”．20.如图，已知点P是x轴下方不含x轴一点，抛物线C：上存在不同的两点A、B满足，，其中为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．若P点坐标为，时，求弦AB所在的直线方程；在的条件下，如果过A点的直线与抛物线C只有一个交点，过B点的直线与抛物线C也只有一个交点，求证：若和的斜率都存在，则与的交点N在直线PM上；若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．21.设数列是公差不为零的等差数列，满足，；数列的前n项和为，且满足．求数列、的通项公式；在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入n个数，，，，使，，，，成等差数列．求；是否存在正整数m，n，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：函数是R上的增函数，则对任意，，“”“”，故选：C．利用增函数的定义即可判断出关系．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：因为，所以，则，复数z在复平面内所对应的点为，设，则，消去b得：．故z对应的点在抛物线上，故选：B．由已知求得，代入z化简得到，设，则，消去b即可得到点P的轨迹．本题点的轨迹方程，考查复数代数形式的乘除运算，考查曲线的参数方程，是中档题．3.答案：D解析：解：由两定点A，B满足，，则，则，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设，再设．由，得：．所以，解得由．所以等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选D．由两定点A，B满足，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及，表示，把不等式去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式组所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．4.答案：D解析：【分析】本题考查排列、组合的应用，是新定义的题型，关键是理解题目中“不同数字的种类”的定义，属于一般题．根据题意，依次分析、2、3、4时的情况数目，结合“不同数字的种类”的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，的排列共有种，其中当时，即排列中只有1个数字，有4种情况，当时，即排列中有2个不同的数字，若有3个数字相同，有种情况，若有2个数字相同，有种情况，此时有种情况，当时，即排列中有3个不同的数字，有种情况，当时，即排列有4个不同的数字，有种情况，则的平均值为．故选：D．5.答案：解析：解：，，．故答案为：．利用矩阵的乘积运算法则即可得出．本题考查了矩阵的乘积运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：解析：【分析】本题考查了二项式展开式定理的逆用问题，是基础题．【解答】解：．故答案为：．7.答案：解析：解：把两边平方得：，即，．故答案为：把已知的等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，右边计算出结果，整理后即可求出的值．此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．8.答案：解析：解：双曲线的焦距为6，可得，解得．所以双曲线的虚轴长为：．故答案为：．通过双曲线的焦距，求出m，然后求解双曲线的虚轴长．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．9.答案：5解析：解：可得，等比数列的通项公式，则数列单调递减，，，故当时，数列的项与1最接近．故答案为：5．由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．10.答案：解析：解：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角，为，又由已知，，连接CB，则为AB与平面所成的角．设，则，，．直线AB与平面所成的角的正弦值，即AB与平面所成的角是．故答案为：．过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，可得为二面角的平面角，连接CB，则为AB与平面所成的角，在直角三角形ABC中即可求解．本题考查平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．11.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由正弦定理化简已知可得结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：因为：所以由正弦定理得所以：，面积，而当且仅当时取等号，所以：，即面积的最大值为．故答案为．12.答案：解析：解：当时，，，由单调性可知，又，所求反函数是，．故答案为：，．结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．13.答案：解析：解：设，则，函数满足，函数关于直线对称，方程的所有实数根也是关于在数轴上对称分布，一旦在的左侧取到实数根，一定也能在的右侧取到相应实数根，且两根之和为1，方程恰好有7个解，即方程恰好有7个解，有一个根为，左右各对应3个根，这7个解的和为，故答案为：．构造函数，则函数满足，即函数关于直线对称，所以方程的7个解有一个根为，左右各对应3个根，从而求出这7个解的和．本题主要考查了函数的对称性，是中档题．14.答案：143解析：解：由题意可知0．，又和b分别为10以内的非负整数，且，，当时，，3，9，此时n依次等于99，33，11；当时，n均不存在．综合知：11，，故A中所有元素的和为．故答案为：143．先由题意得到0．，再利用列举法求出满足题意的n即可．本题主要考查两位的循环纯小数的形式及用列举法求集合中的元素，属于基础题．15.答案：解析：解：若存在，当且为奇数时，恒为常数p，则，，，解得．故答案为：．推导出，，，由此能求出p．本题考查常数的求法，考查递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，故，由基本不等式可得，或，，由三角函数的有界性可得，故，即，此时，即，，故，解得，故，当时，xy的最小值，故答案为：配方可得，由基本不等式可得，或，进而可得，，由此可得xy的表达式，取可得最值．本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出是解决问题的关键，属中档题．17.答案：解：设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则厘米，且，解得：厘米，表面积平方厘米，圆锥的高厘米，体积立方厘米．由知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，最高点到底面的距离为等边三角形的高，厘米．故该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离厘米．解析：设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则厘米，利用半圆周长等于圆锥底面周长列式求得厘米，则表面积可求，再求出圆锥的高，则体积可求．由知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，可得最高点到底面的距离为等边三角形的高．本题考查圆锥表面积与体积的求法，考查圆锥侧面积公式的应用，考查计算能力，是中档题．18.答案：解：由函数的图象可得，解得：．又由得：，．而得：，，，，综上：．显然，由，，得的单调递增区间为，，由，得：对称中心是，．解析：由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，最高点求出的值，可得函数的解析式．由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性，求出函数的单调递增区间及对称中心．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，最高点求出的值，正弦函数的单调性，以及图象的对称性，属于中档题．19.答案：解：可取，则对任意，存在，使得成立，分说明：可取任意正数，则分是“依附函数”，分对于任意正数，取，则，分此时关于的方程无解，不是“依附函数”分证明：必要性：反证法假设，的值域为，存在定义域内的，使得，分对任意正数，关于的方程无解，即不是依附函数，矛盾，分充分性：假设，取，分则对定义域内的每一个值，由，可得，而的值域为，存在定义域内的，使得，即成立，是“依附函数”分解析：根据“依附函数”的定义直接判断即可；从必要性及充分性两个角度，利用反正法求证即可．本题以新定义为载体，旨在考查学生的逻辑推理能力，以及接受新知识运用新知识的能力，考查创新意识及应用意识，属于中档题．20.答案：解：设，，由，，可得，，由D点在C上可得：，化简得：，同理可得：，、B两点不同，不妨设，，弦AB所在的直线方程为．证明：由可知，，，设：，与C：联立，并令，可得，同理的斜率，：，：，解方程组得：交点，而直线PM的方程为，得证．证明：设，，，由，得，代入，化简得：，同理可得：，显然，、是方程的两个不同的根，，，，即直线PM的方程为，，，，，线段PQ与QM的比为定值．解析：设，，求出D、E坐标，设，，然后判断求解弦AB所在的直线方程．设：，与C：联立，并令，可得，同理的斜率，求出交点坐标，然后推出直线PM的方程即可．设，设出A、B坐标，由，求出，代入，说明、是方程的两个不同的根，利用韦达定理，求出P、Q坐标，然后求解线段比例即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，是难题．21.答案：解：设数列的公差为d，，则由，得，，，，将代入上式，得，，，，．由，当时，，，得，，，又，，是首项为，公比为的等比数列，，在和之间插入n个数，，，，，，，，成等差数列，设公差为，，则，，，则，，得，．，当时，，当时，，当时，，下证，当时，有，即证，设，，则，在上单调递增，故时，，，时，m不是整数，所有的正整数对为及．解析：设数列的公差为d，，利用等差数列的通项公式求出，从而再由，当时，，推导出是首项为，公比为的等比数列，由此能求出．在和之间插入n个数，，，，推导出，从而，进而，由此利用错位相沽法能求出．，当时，，当时，，当时，，再证明当时，，由此能求出所有的正整数对．本题考查数列的通项公式、前n项和、整数对的求法，考查等差数列、等比数列的性质、错位相减求和法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
上海交大附中分校2019-2020学年高三数学文联考试题含解析
上海交大附中分校2019-2020学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题p：直线l1：2ax+y+1=0，l2：x+2ay+2=0，l1∥l2的充分不必要条件是a=；命题q：?x∈（0，π），sinx+＞2，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题参考答案：D【考点】2E：复合命题的真假．【分析】命题p：由2a×2a﹣1=0，解得a=．即可判断出命题p的真假．命题q：?x∈（0，π），sinx+≥2，x=时取等号，可得q是假命题．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：命题p：由2a×2a﹣1=0，解得a=．经过验证可得：a=l1∥l2．∴l1∥l2的充分不必要条件是a=，因此p是真命题．命题q：?x∈（0，π），sinx+≥2，x=时取等号，∴q是假命题．∴只有命题p∧（￢q）是真命题．故选：D．【点评】本题考查了直线平行的充要条件、基本不等式的性质、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2. 在平面直角坐标系中，已知向量a, b, |a|=|b| = 1 , a·b = 0,点Q满足=(a+b).曲线C={P| =acos+bsin,0＜2},区域={P|0＜r||R, r＜R}．若C∩为两段分离的曲线，则（A）1＜r＜R＜3 （B）1＜r＜3≤R（C）r≤1＜R＜3 （D）1＜r＜3＜R参考答案：A3. 三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，高为，底面是正三角形，若P 是中心，则PA 与平面ABC所成角的大小是A. B. C. D.参考答案：B略4. 已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B由题意得圆的圆心(0,0)到直线的距离为，故直线和圆相切，即直线和圆有1个公共点，所以的元素个数为1．选B．5. 下列命题中,为真命题的是( )A.,使得B.C.D.若命题,使得, 则参考答案：D6. 若正数a，b满足，的最小值为（）A．1 B．6 C．9 D．16参考答案：B【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】正数a，b满足，可得a＞1，且b＞1；即a﹣1＞0，且b﹣1＞0；由变形为a﹣1=；化为+9（a﹣1）应用基本不等式可求最小值．【解答】解：∵正数a，b满足，∴a＞1，且b＞1；变形为=1，∴ab=a+b，∴ab﹣a﹣b=0，∴（a﹣1）（b﹣1）=1，∴a﹣1=；∴a﹣1＞0，∴ =+9（a﹣1）≥2=6，当且仅当=9（a﹣1），即a=1±时取“=”（由于a＞1，故取a=），∴的最小值为6；故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的灵活应用问题，应用基本不等式a+b≥2时，要注意条件a＞0，且b＞0，在a=b时取“=”．7. 三次函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)内是减函数，则()A．a≤0 B．a＝1 C．a＝2 D．a＝参考答案：A8. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，a2=3，S5=25，若{}的前n项和为，则n 的值为（）A．504 B．1008 C．1009 D．2017参考答案：D【考点】8E：数列的求和．【分析】先求出等差数列{a n}的通项公式，再根据裂项求和即可求出n的值．【解答】解：设等差数列的公差为d，则由题意可得a2=a1+d=3，S5=5a1+d=25，联立解得a1=1，d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴==（﹣），∴++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），∴（1﹣）=，∴1﹣=，∴2n+1=2017，∴n=1008，故选：B【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，以及裂项求和，属于中档题．9. 设集合，，，则中元素的个数是( )A．3 B．4 C．5 D． 6参考答案：B略10. 已知球的直径，是该球球面上的两点，，，则三棱锥的体积为A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点. 为内心，若，则双曲线的离心率为 .参考答案：212. 在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+|y|≤2的概率为．参考答案：略13. 用一个边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，半径为1的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为参考答案：略14. 已知函数则________;若，则实数的取值范围是_______________.参考答案：-5;，所以。
上海市交大附中2019-2020学年高三下学期期中数学试题
上海市交大附中2019-2020学年高三下学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．计算矩阵的乘积：()300c a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 2．计算：012393n n nn n n C C C C ++++=L _____. 3．已知sin cos 22θθ+=，则sin θ=_____. 4．若双曲线2214x y m-=的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为_____. 5．在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项 6．如图，二面角l αβ--的大小是3π，线段AB ⊂α，B l ∈，AB 与l 所成的角为6π，则AB 与平面β所成的角是_____（用反三角函数表示）7．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C -，则△ABC 面积的最大值为_____.8．已知函数()lg(1)f x x =+，()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()g x =()f x ，则函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =_____.9．已知()y f x =是定义在R 上的函数，方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解，则这7个解的和为_____.10．设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ¹，0b ≠，若集合••1{|0.,}A n ab n n *==∈N ，则A 中所有元素的和为_____. 11．已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（*n ∈N ），127k a =⋅（k 是一个已知的正整数），若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =_____.12．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________ 13．已知函数()y f x =是R 上的增函数，则对任意12,x x ∈R ，“12x x <”是“12()()f x f x <”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．非充分非必要 14．已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ） A ．圆上 B ．抛物线上 C ．双曲线上 D ．椭圆上15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ==⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，由点集{P |OP uuu v ＝λOA u u u v ＋μOB uuu v，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A． B．C．D．16．已知1a ，{}234,,1,2,3,4a a a ∈，()1234,,,N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类，如(1123)3N ，，，，=(1221)2N =，，，，求所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为（ ）A ．8732B ．114C ．17764D ．1756417．如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ．18．已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，，2πϕ<）的图象如下图所示（1）求出函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数()y g x =的图象，求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心.19．若函数()y f x =满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()f x f x λ=成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①()2x f x =，②2()log g x x =是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数()y h x =的值域为[,]m n ，求证：“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是“0[,]m n ∉”．20．如图，已知点P 是x 轴下方（不含x 轴）一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ=uu u r uu u r ，PE EB λ=uur uu r ，其中λ为常数，且D 、E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M ．（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点，过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点，求证：若1l 和2l 的斜率都存在，则1l 与2l 的交点N 在直线PM 上；（3）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值．21．设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足6713a a a +=，2224967a a a a +=+，设正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且423n n S b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b 、11x 、2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x ，使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列；⋅⋅⋅；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x ，使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列．① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++L L ；② 对于①中的n T ，是否存在正整数m 、n ，使得12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(,)m n ；若不存在，请说明理由．参考答案1．(3,)a ac【解析】【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可.【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：(3,)a ac【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．4n【解析】【分析】先把原式写成0011223333n n n n n n C C C C ++++L ，再利用二项式定理得解.【详解】由题得原式=0011223333(13)4n n n n n n n n C C C C ++++=+=L .故答案为：4n【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．13【解析】【分析】把等式sincos 22θθ+=两边同时平方化简即得解. 【详解】 由题得221sin cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=. 故答案为：13【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．【解析】【分析】由题得243,m +=解方程即得解.【详解】由题得20,43,5m m m >+=∴=.所以双曲线的虚轴长为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．5【解析】【分析】先求出等比数列的通项，再列举出数列的前几项，比较即得解.【详解】 由题得等比数列的通项为112341212121=21(),21,,,,2248n n a a a a a -⨯∴==== 5621211.31,0.66,1632a a =≈=≈ 所以521 1.3116a =≈与1最接近. 所以最接近于1的项是第5项.故答案为：5【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6． 【解析】【分析】 如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC ，证明3ACO π∠=，不妨设1,AC =根据已知求出2,2AB AO ==求出sin 4ABO ∠=即得解.【详解】如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC .因为AO β⊥，所以AO l ⊥，因为AC l ⊥，,AO AC ⊂平面AOC ,AO AC A =I ,所以l ⊥平面AOC ，所以l OC ⊥,所以ACO ∠就是二面角l αβ--的平面角，所以3ACO π∠=.由题得6ABC π∠=,不妨设1,2,AC AB AO =∴== 由题得AB 与平面β所成的角是ABO ∠,所以2sin 24ABO ∠==.所以ABO ∠=.故答案为：【点睛】 本题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算，考查空间直线和平面所成的角的作法和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得222a b c bc -=-，结合余弦定理可求A 的值，由基本不等式可求4bc „，再利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-(2)()()b a b c b c ∴+-=-2222a b ab b c bc ∴-+-=-，又因为2a =， 所以2222222221,,cos ,223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-∴+-=∴==∴=，ABC ∆面积1sin 2S bc A ==， 而222b c a bc +-=222b c bc a ∴+-=2242b c bc bc bc ∴+-=≥-4bc ∴„所以1sin 2S bc A =„ABC ∆【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 8．310([0,lg 2])x x -∈【解析】【分析】先根据偶函数性质求出[1x ∈-，0]上的解析式，再根据周期为2求出[1x ∈，2]上的解析式，最后求出反函数．【详解】当10x -剟时，01x -剟，()()(1)f x f x lg x ∴=-=-+， 当12x 剟时，120x --剟，()(2)[(2)1](3)f x f x lg x lg x ∴=-=--+=-+． ()(3)(12)g x lg x x ∴=-+剟，()310g x x ∴-+=，()310g x x ∴=-，所以1()310x g x -=-，()(3)(12)g x lg x x =-+Q 剟是减函数，()[0,lg 2]g x ∈所以1()310x g x -=-，(02)x lg 剟. 故答案为：310([0,lg 2])x x -∈【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查根据函数的奇偶性周期性求解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．3.5【解析】【分析】先分析出原方程的两根应满足(1)1αα+-=，再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2ααββγλ---，,即得解.【详解】若α满足(2019)0f α+=，则取1x α=-，则(2020)(2019)0f x f α-=+=，则1α-也是原方程的一根.所以原方程的两根应满足(1)1αα+-=，既然有7个根，所以应有一根满足1(1),2ααα=-∴=. 所以这7个根为11,,1,,1,2ααββγγ---，, 所以它们的和为13+=3.52. 故答案为：3.5【点睛】 本题主要考查方程的零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10．143【解析】【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集合A ，求和可得所求．【详解】0.ab&&是一个循环节长度为两位的循环纯小数， 即0.0.ab =&&0.100.001991100ab a b ab ab ⨯+++⋯==-， 1{|0.A n ab n==&&，*110}{|99a b n N n n +∈==，*}n N ∈， a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ¹，0b ≠，可得0a =，1b =，99n =；0a =，3b =，33n =；0a =，9b =，11n =； 0a ≠时，不存在满足题意的n ，则A 中所有元素的和为993311143++=．故答案为：143【点睛】本题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法，注意运用列举法，考查化简运算能力，属于基础题．11．1【解析】【分析】先分析出当1k =时，当2k =时，得1p =，再说明127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=列举出该数列，即得解. 【详解】由题得127k a =⋅是一个偶数，所以112272722k k a a -===g g ，当1k =时，234567897,22,11,34,17,52,26,13,a a a a a a a a ========101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,a a a a a a a a a a a =========== 211,a =L L ，所以1p =；当2k ≥时，1227k a -=g 是偶数，所以223272k a a -==g ， 当2k =时，同理可得1p =；L L ； 所以127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=所以从第1k +项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,L 所以1p =. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查递推数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．1.4【解析】 【分析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件，再根据二次函数性质求xy 的最小值. 【详解】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞，()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()1121x y x y ∴-++≥=-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 13．C 【解析】 【分析】先证明充分性，再证明必要性，即得解. 【详解】当12x x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12()()f x f x <，所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分条件；当12()()f x f x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12x x <，所以所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的必要条件.综合得“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．B 【解析】 【分析】先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1biz b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅g 211111444()+1+1+1z bibi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1biz b z =-因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-， 消去b 得24y x =-. 所以z 对应的点在抛物线上. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15．D 【解析】由2OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v==⋅=知：21cos ,,,2223OA OB OA OB OA OB OA OBπ⋅===∴=⨯⨯u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v . 不妨设()(()2,0,,,OA OB OP x y ===u u u v u u u v u u u v ，则：2x y λμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解得12x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎪=⎪⎝⎩由|λ|＋|μ|≤1得2y y -+≤作出可行域，如图所示．则所求面积1242S =⨯⨯=本题选择D 选项.16．D 【解析】 【分析】本题首先可以确定()1234,,,N a a a a 的所有可能取值分别为1234、、、，然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出()1234,,,N a a a a 的平均值。
2020年上海交通大学附属中学高三数学文摸底试卷含解析
2020年上海交通大学附属中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为( )A．+y2=1 B．+=1C．+y2=1或+=1 D．+y2=1或+x2=1参考答案：C考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的性质，得a=2b，再讨论焦点的位置，即可得到a，b的值，进而得到椭圆方程．解答：解：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a=2b，由于椭圆经过点（2，0），则若焦点在x轴上，则a=2，b=1，椭圆方程为=1；若焦点y轴上，则b=2，a=4，椭圆方程为=1．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意讨论焦点位置，考查运算能力，属于基础题和易错题．2. 若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（）A. B. C. D.参考答案：C3. 函数的值域为( )A. B. C. D.参考答案：B4. P是双曲线上的点，F1、F2是其焦点，且，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A．B． C． D．参考答案：D5. 等比数列的各项均为正数，且，则（）A B C D参考答案：B6. 若，则复数＝ ( )A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋参考答案：D7. 若复数是纯虚数，则实数的值为（）...或.参考答案：B由且得，选B；8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．C．2 D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示：该几何体的体积V==．故选：D．9. 函数的零点所在的大致区间是（）A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）参考答案：C略10. 设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．【解答】解：若sinθ=cosθ，则θ=kπ+，（k∈z），故2θ=2kπ+，故cos2θ=0，是充分条件，若cos2θ=0，则2θ=kπ+，θ=+，（k∈z），不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若数列满足，则数列的通项公式为.参考答案：；故12. 计算：_____________.参考答案：.13. 若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n= ．参考答案：5【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】由题意可得T r+1=C n r（2x）r=2r C n r x r分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系数，从而可求【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，T r+1=C n r（2x）r=2r C n r x r令r=3可得含x3项的系数为：8C n3，令r=1可得含x项的系数为2C n1∴8C n3=8×2C n1∴n=5故答案为：514. ．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i＜m中的整数m的值是．参考答案：6【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；算法和程序框图．【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及i的关系．最终得出结论．【解答】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；第二次循环：S=+=，i=2+1=3；第三次循环：S=+=，i=3+1=4；第四次循环：S=+=，i=4+1=5；第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S，不满足判断框中的条件；∴判断框中的条件为i＜6？故答案为：6．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题15. 除以5的余数是______________.参考答案：316. 已知数列的前项和为，某三角形三边之比为，则该三角形最大角为_____________.参考答案：略17. （文）已知，关于的不等式的解集是.参考答案：原不等式等价为，即，因为，所以不等式等价为，所以，即原不等式的解集为。
精品解析：上海市交大附中2019-2020学年高三下学期期中数学试题(解析版)
交大附中高三期中数学试卷一． 填空题1.计算矩阵的乘积：()300c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 【答案】(3,)a ac【解析】【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可. 【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：(3,)a ac【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.计算：012393n n n n n n C C C C ++++=_____.【答案】4n【解析】【分析】先把原式写成0011223333n n n n n n C C C C ++++，再利用二项式定理得解.【详解】由题得原式=0011223333(13)4n n n n n n n n C C C C ++++=+=. 故答案为：4n【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知sincos 22θθ+=，则sin θ=_____. 【答案】13【解析】【分析】把等式sin cos 22θθ+=两边同时平方化简即得解. 【详解】由题得221sin cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=.故答案为：13【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.若双曲线2214x y m-=的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为_____.【答案】【解析】【分析】由题得243,m +=解方程即得解.【详解】由题得20,43,5m m m >+=∴=.所以双曲线的虚轴长为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5.在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项 【答案】5【解析】【分析】先求出等比数列的通项，再列举出数列的前几项，比较即得解. 【详解】由题得等比数列的通项为112341212121=21(),21,,,,2248n n a a a a a -⨯∴==== 5621211.31,0.66,1632a a =≈=≈ 所以521 1.3116a =≈与1最接近. 所以最接近于1项是第5项.故答案为：5【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6.如图，二面角l αβ--的大小是3π，线段AB ⊂α，B l ∈，AB 与l 所成的角为6π，则AB 与平面β所成的角是_____（用反三角函数表示）【答案】3arcsin 4 【解析】 【分析】 如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC ，证明3ACO π∠=，不妨设1,AC =根据已知求出32,,2AB AO ==求出3sin 4ABO ∠=即得解. 【详解】如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC .因为AO β⊥，所以AO l ⊥，因为AC l ⊥，,AO AC ⊂平面AOC ,AO AC A ⋂=, 所以l ⊥平面AOC ，所以l OC ⊥,所以ACO ∠就是二面角l αβ--的平面角，所以3ACO π∠=.由题得6ABC π∠=,不妨设31,2,AC AB AO =∴== 由题得AB 与平面β所成的角是ABO ∠,所以332sin 24ABO ∠==.所以arcsin 4ABO ∠=.故答案为：【点睛】本题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算，考查空间直线和平面所成的角的作法和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C -，则△ABC 面积的最大值为_____.【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得222a b c bc -=-，结合余弦定理可求A 的值，由基本不等式可求4bc ，再利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-(2)()()b a b c b c ∴+-=-2222a b ab b c bc ∴-+-=-，又因为2a =， 所以2222222221,,cos ,223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-∴+-=∴==∴=，ABC ∆面积1sin 2S bc A ==， 而222b c a bc +-=222b c bc a ∴+-=2242b c bc bc bc ∴+-=≥-4bc ∴所以1sin 32S bc A ==，即ABC ∆【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8.已知函数()lg(1)f x x =+，()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()g x =()f x ，则函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =_____.【答案】310([0,lg 2])x x -∈【解析】【分析】先根据偶函数性质求出[1x ∈-，0]上的解析式，再根据周期为2求出[1x ∈，2]上的解析式，最后求出反函数．【详解】当10x -时，01x -，()()(1)f x f x lg x ∴=-=-+，当12x 时，120x --，()(2)[(2)1](3)f x f x lg x lg x ∴=-=--+=-+．()(3)(12)g x lg x x ∴=-+，()310g x x ∴-+=，()310g x x ∴=-，所以1()310x g x -=-，()(3)(12)g x lg x x =-+是减函数，()[0,lg 2]g x ∈所以1()310x g x -=-，(02)x lg .故答案为：310([0,lg 2])x x -∈【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查根据函数的奇偶性周期性求解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知()y f x =是定义在R 上的函数，方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解，则这7个解的和为_____.【答案】3.5【解析】【分析】先分析出原方程的两根应满足(1)1αα+-=，再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2ααββγλ---，,即得解.【详解】若α满足(2019)0f α+=，则取1x α=-，则(2020)(2019)0f x f α-=+=，则1α-也是原方程的一根.所以原方程的两根应满足(1)1αα+-=，既然有7个根，所以应有一根满足1(1),2ααα=-∴=. 所以这7个根为11,,1,,1,2ααββγγ---，, 所以它们的和为13+=3.52. 故答案为：3.5 【点睛】本题主要考查方程的零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ，0b ≠，若集合••1{|0.,}A n ab n n *==∈N ，则A 中所有元素的和为_____. 【答案】143【解析】【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集合A ，求和可得所求．【详解】0.ab 是一个循环节长度为两位的循环纯小数，即0.0.ab =0.100.001991100ab a b ab ab ⨯+++⋯==-， 1{|0.A n ab n==，*110}{|99a b n N n n +∈==，*}n N ∈， a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ，0b ≠， 可得0a =，1b =，99n =；0a =，3b =，33n =；0a =，9b =，11n =；0a ≠时，不存在满足题意的n ，则A 中所有元素的和为993311143++=．故答案为：143【点睛】本题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法，注意运用列举法，考查化简运算能力，属于基础题．11.已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（*n ∈N ），127k a =⋅（k 是一个已知的正整数），若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =_____.【答案】1【解析】【分析】先分析出当1k =时，当2k =时，得1p =，再说明127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=列举出该数列，即得解.【详解】由题得127k a =⋅是一个偶数， 所以112272722k k a a -===， 当1k =时，234567897,22,11,34,17,52,26,13,a a a a a a a a ========101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,a a a a a a a a a a a ===========211,a =，所以1p =； 当2k ≥时，1227k a -=是偶数， 所以223272k a a -==， 当2k =时，同理可得1p =；； 所以127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=所以从第1k +项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,所以1p =.故答案为：1【点睛】本题主要考查递推数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12.若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】【分析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件，再根据二次函数性质求xy 的最小值.【详解】∵()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞，()()()()2221121111111x y xy x y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+()1121x y x y ∴-++≥=-+, 当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xy x y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 二． 选择题13.已知函数()y f x =是R 上的增函数，则对任意12,x x ∈R ，“12x x <”是“12()()f x f x <”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】C【解析】【分析】先证明充分性，再证明必要性，即得解.【详解】当12x x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12()()f x f x <，所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分条件；当12()()f x f x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12x x <，所以所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的必要条件.综合得“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ） A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上 【答案】B【解析】【分析】 先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1bi z b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅ 211111444()+1+1+1z bi bi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1bi z b z =- 因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-，消去b 得24y x =-.所以z 对应的点在抛物线上.故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ==⋅=，由点集{P |OP ＝λOA＋μOB ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( ) A. 22 B. 23 C. 42D. 43【答案】D【解析】由2OA OB OA OB ==⋅=知： 21cos ,,,2223OA OBOA OB OA OB OA OB π⋅===∴=⨯⨯. 不妨设()()()2,0,1,3,,OA OB OP x y ===，则：23x y λμμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩. 解得3123x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩由|λ|＋|μ|≤1得3223x y y -+≤.作出可行域，如图所示．则所求面积1243432S =⨯⨯⨯=. 本题选择D 选项.16.已知1a ，{}234,,1,2,3,4a a a ∈，()1234,,,N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类，如(1123)3N ，，，，=(1221)2N =，，，，求所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为（ ）A. 8732B. 114C. 17764D. 17564【答案】D【解析】【分析】本题首先可以确定()1234,,,N a a a a 的所有可能取值分别为1234、、、，然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出()1234,,,N a a a a 的平均值． 【详解】由题意可知：当()1234,,,1N a a a a =时，14114464P =⨯=； 当()1234,,,2N a a a a =时，()1214442468421425664C C C P ⨯++===；当()1234,,,3N a a a a =时，()34436+3+31449425616P ⨯===； 当()1234,,,4N a a a a =时，4444243==425632A P =，综上所述，所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为：121931751+2+3+4=6464163264⨯⨯⨯⨯，故选D ． 【点睛】本题考查了平均值的计算，能否通过题意得出()1234,,,N a a a a 的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题．三． 解答题17.如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ． 【答案】（1）=50S π厘米，33V π=立方厘米；（2）53h =厘米． 【解析】 【分析】（1）设底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，求出圆锥的高，利用公式即可求出该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）根据圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米即可求出最高点到桌面的距离d ． 【详解】（1）设底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，则10l =厘米，且r l 2π=π， 解得：=5r 厘米，表面积=50S rl ππ=（平方厘米）， 圆锥的高2253h l r =-=（厘米）， ∴体积21125333V r h ππ==（立方厘米）． （2）∵圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米， ∴最高点到底面的距离为等边三角形的高，53h =厘米．【点睛】本题主要考查圆锥的表面积和体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18.已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，，2πϕ<）的图象如下图所示（1）求出函数()f x 的解析式； （2）若将函数()f x 的图象向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数()y g x =的图象，求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心. 【答案】（1）1()4sin()223f x x π=++；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈，(,2),212k k Z ππ-∈.【解析】 【分析】（1）通过函数的图象求出振幅，周期，以及b ．求出函数f （x ）的解析式；（2）利用平移变换的运算求出函数y ＝g （x ）的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心．【详解】（1） 6422A b A A b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩由图可得212422T T πππωω=⇒==⇒= 且()62,362f k k Z πππϕπ=⇒+=+∈而2πϕ<,故3πϕ=综上1()4sin()223f x x π=++（2）显然()4sin(2)26g x x π=++ 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()g x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈.. 由2,(,2),6212k x k k Z k Z ππππ+=∈⇒-∈. 【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法，平移变换以及正弦函数的单调区间，对称中心的求法，考查计算能力．19.若函数()y f x =满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()f x f x λ=成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①()2x f x =，②2()log g x x =是否为“依附函数”，并说明理由；（2）若函数()y h x =的值域为[,]m n ，求证：“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是“0[,]m n ∉”． 【答案】（1）①是，②不是；理由详见解析（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）①可取1λ=，说明函数()2x f x =是“依附函数”； ②对于任意正数λ，取11x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，说明2()log g x x =不是“依附函数”；（2）先证明必要性，再证明充分性，即得证.【详解】（1）①可取1λ=，则对任意1x ∈R ，存在21x x =-∈R ，使得12221x x ⋅=成立，（说明：可取任意正数λ，则221log x x λ=-） ∴()2x f x =是“依附函数”，②对于任意正数λ，取11x =，则1()0g x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，∴2()log g x x =不是“依附函数”． （2）必要性：（反证法）假设0[,]m n ∈，∵()y h x =的值域为[,]m n ，∴存在定义域内的1x ，使得1()0h x =， ∴对任意正数λ，关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解， 即()y h x =不是依附函数，矛盾， 充分性：假设0[,]m n ∉，取0mn λ=>，则对定义域内的每一个值1x ，由1()[,]h x m n ∈，可得1[,][,]()m n h x n mλλλ∈=，而()y h x =的值域为[,]m n ， ∴存在定义域内的2x ，使得21()()h x h x λ=，即12()()h x h x λ=成立，∴()y h x =是“依附函数”．【点睛】本题主要考查函数的新定义，考查充分必要条件的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，已知点P 是x 轴下方（不含x 轴）一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ=，PE EB λ=，其中λ为常数，且D 、E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M ．（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点，过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点，求证：若1l 和2l 的斜率都存在，则1l 与2l 的交点N 在直线PM 上；（3）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值． 【答案】（1）230x y -+=；（2）详见解析；（3）证明详见解析，定值为1+λλ． 【解析】 【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，得到211230x x --=和222230x x --=，即得,A B 的坐标，即得弦AB 所在的直线方程； （2）先求出1:690l x y --=，2:210l x y ++=，再求出交点(1,3)N -，即得证；（3）先求出直线PM 的方程为0x x =，得到200(12)(1)M x y y λλλ+-+=，20Q y x =，即得线段PQ 与QM 的比. 【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =，3PE EB =，可得111323(,)44x y D +-+，221323(,)44x y E +-+， 由D 点在C 上可得：2112313()44y x -++=，化简得：211230x x --=，同理可得：222230x x --=，∵A 、B 两点不同，不妨设(3,9)A ，(1,1)B -， ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=．（2）由（1）可知，(3,9)A ，(1,1)B -，设11:9(3)l y k x -=-， 与2:C y x =联立，并令0∆=，可得16k =，同理2l 的斜率22k =-， ∴1:690l x y --=，2:210l x y ++=，解方程组得交点(1,3)N -，而直线PM 的方程为1x =，得证．（3）设00(,)P x y ，211(,)A x x ，222(,)B x x ，由PD DA λ=，得20101(,)11x x y x D λλλλ++++，代入2yx ，化简得：22101002(1)0x x x y x λλλ-++-=， 同理可得：22202002(1)0x x x y x λλλ-++-=，显然12x x ≠，∴1x 、2x 是方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根，∴1202x x x +=，20012(1)y x x x λλ+-⋅=，∴1202M x x x x +==，即直线PM 的方程为0x x =， ∵2220012(12)(1)2M x y x x y λλλ+-++==，20Q y x =， ∴200(1)(1)M Q x y y y λλλ+-+-=，200Q P y y x y -=-，所以线段PQ 与QM 的比为200200(1)(1)1Q PM Q y y x y y x y y λλλλλ-==+-+--+∴线段PQ 与QM 的比为定值1λλ+．【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程的求法，考查抛物线的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足6713a a a +=，2224967a a a a +=+，设正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且423n n S b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b 、11x 、2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x ，使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列；⋅⋅⋅；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x ，使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列．① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++；② 对于①中的n T ，是否存在正整数m 、n ，使得12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(,)m n ；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）n a n =，1123n nb -=⋅；（2）①123(3)43n nn T +=-；②存在符合题意的正整数对(,)m n ，它们为(3,3)和(9,2)． 【解析】 【分析】（1）求出等差数列的首项和公差即得数列{}n a 的通项公式，由题得当2n ≥时，423n n S b +=，11423n n S b --+=，相减即得{}n b 的通项公式；（2）①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++，再利用错位相减法求和得解；②假设存在正整数,m n ，使得12m n m a T a +=，化简得2(23)23(23)n n m n +=+-+，令()33(23)n f n n =-+，证明4n ≥时，2(23)3(23)n n n +∉-+Z ，列举得解.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，则由6713a a a +=可得1a d =，再由2224967a a a a +=+化简得：244d d =，解得：1d =，∴n a n =，当1n =时，11423S b +=得：112b =；当2n ≥时，423n n S b +=，11423n n S b --+=， 两式相减得113n n b b -=，∴1123n n b -=⋅．（2）①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++， 123121113521[35(21)][1]243333n n n n n nb b b n b nb +--=++++-+=+++++， 设2135211333n n P --=++++，所以2311352133333nn P -=++++， 上面两式错位相减得23122222211++333333n nn P --=+++-， 所以1111[1()]2211211331+22()=2()(22)13333313n n n n n n n P n -----=⨯-=---⨯+- 所以13313=333n n n n P -++=--， ∴123(3)43n n n T +=-． ②假设存在正整数,m n ，使得12m n ma T a +=， 代入化简得23(23)3n nn m -+=，即2(23)23(23)n n m n +=+-+， 令()33(23)n f n n =-+，则由(1)()2(33)0n f n f n +-=-≥可得：(1)(2)(3)(4)()f f f f f n =<<<<<．当4n ≥时，()(4)480f n f ≥=>， ∴3(23)2(23)n n n -+>+，即2(23)3(23)n n n +∉-+Z ，舍去；当1n =时，3m =-，舍去； 当2n =时，9m =，符合题意； 当3n =时，3m =，符合题意；综上：存在符合题意正整数对(,)m n ，它们为(3,3)和(9,2)．【点睛】本题主要考查数列通项的求法和数列求和，考查数列的存在性问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高三数学考前测试卷
上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高三数学考前测试卷一、填空题1．已知集合{}2,A x x x R =≤∈，{}4,B x Z =≤∈，则A B =______.2．函数2cos 2y x x =+的最小正周期是______.3．抛物线2y x =的准线方程是______.4．已知方程102x b x -=-的一个根是2a i +（其中a R ∈，i 是虚数单位），则实数b =______.5．设,x y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是______.6．若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x 项的系数，则2323222lim ...n n n a a a →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭______.7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖儒。
如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线AC 与BD 所成的角的余弦值为______.8．为抗击此次疫情，我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组，则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数是_______. 9．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______.10．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()()3g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()129...27g a g a g a +++=，则129...a a a +++=______.11．已知整数数列{}n a 共5项，其中11a =，54a =，且对任意14i ≤≤，都有12i i a a +-≤，则符合条件的数列个数为______.12．已知点()0,2P ，椭圆221168x y +=上两点()11,A x y 、()22,B x y 满足()AP PB R λλ=∈，则112223122312x y x y +-++-的最大值为______.二、选择题 13．“,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦”是“()sin arcsin x x =”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A 、F 、B 三点共线”等价的是（ ）A ．2124p x x =B ．212y y p =-C ．112FA FB p += D ．2121234p x x y y +=-15．已知曲线Γ的参数方程为(3cos ln x t t t y t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，其中参数t R ∈，则曲线Γ（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．没有对称性16．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S 、n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，*n N ∈，()()112122n n n n n n b a a +++=++，对任意的*n N ∈，n k T >恒成立，则k 的最小值是（ ） A ．1B ．12C ．13D ．16三、解答题17．如图，四棱锥O ABCD -的底面是边长为1的菱形，2OA =，60ABC ∠=︒，OA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点.（1）求证：直线MN平面OCD ；（2）求点M 到平面OCD 的距离.18．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改造，如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且60OA =米，60AOB ∠=︒，设POB θ∠=.（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值.（精确到0.1平方米）19．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”. （1）已知函数()2cos 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由； （2）若()()22log 22x mx f x ⎧-⎪=⎨-⎪⎩33x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.20．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点2N ⎭. （1）求椭圆M 的方程； （2）若斜率为12-的直线1l 与椭圆M 交于,P Q 两点（点P ，Q 不在坐标轴上）；证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列.（3）设直线2l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值.21．已知()f x 是定义在[)0,+∞上的函数，满足：①对任意[)0,x ∈+∞，均有()0f x >；②对任意120x x ≤<，均有()()12f x f x ≠.数列{}n a 满足：10a =，()11n n n a a f a +=+，*n N ∈. （1）若函数()()210x f x a x =⋅-≥，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，求证：对任意正实数M ，均存在*0n N ∈，使得0n n >时，均有n a M >；（3）求证：“函数()f x 在[)0,+∞上单调递增”是“存在*n N ∈，使得()()12n n f a f a +<”的充分非必要条件.上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高三数学考前测试卷参考答案一、填空题 1．{}0,1,2 2．π 3．14y =- 4．5 5．－15 6．87．38．6119．1,02⎛⎤-⎥⎝⎦10．2711．5212．18+221168x y +=上两点()11,A x y 、()22,B x y 在直线23120x y +-=同侧，所以()()11221212231223122423x y x y x x y y +-++-=-+-+. ∵AP PB λ=，∴,,A P B 三点共线.（i ）当直线AB 斜率不存在时，不妨设(A ，(0,B -，此时11222312231224x y x y +-++-=；（ii ）当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为：2y kx =+，则有2221168y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221880k x kx ++-=，由韦达定理得122122821821k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()121224421y y k x x k +=++=+ ()()11221212216122312231224232421k x y x y x x y y k -+-++-=-+-+=++ 令43k t -=，原式2243224246173214t tt t t =+=++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭当0t =，原式24=； 当0t ≠，原式1243218176t t=+⨯≤+++k =时取得. 二、选择题13．B 14．B 15．C 16．C 三、解答题17．（1）证明：取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，∵M 、N 分别是OA 、BC 的中点， ∴PM AD ，且12PM AD =，NC AD ，且12NC AD =， ∴PMNC ，且PM NC =，则PMNC 是平行四边形，得MNPC ，∵PC ⊂平面OCD ，MN 平面OCD ，∴直线MN平面OCD ；（2）解：连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ， 由（1）得，点N 到平面OCD 的距离为d ， 设三棱锥O CDN -的体积为V ，则1133CDN OCD V S OA S d =⨯⨯=⨯⨯，依题意，1sin 28CDN S CD CN BCD =⨯⨯⨯∠=， ∵1AC AD CD ===，∴OC OD ==，则12OCD S CD =⨯=由11233d =，得点M 到平面OCD的距离d =.18．（1）在OPN △中利用正弦定理：()60sin 60sin120sin ON PNθθ==︒-︒化简得()60ON θ=︒-，PN θ=.所以停车场面积()sin120sin 60S ON PN θθ=⋅⋅︒=︒-.所以()60S θθ=︒-.()060θ︒<<︒. （2）1sin 2S θθθ⎫=-⎪⎪⎝⎭23600sin cos θθθ=-()230θ=+︒-所以，当30θ=︒时，停车场面积S 最大，最大面积约为1039.2平方米.19．（1）由题意，函数()f x 在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-， 可得002cos 2cos 33x x ππ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即00cos cos 33x x ππ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00x =，所以存在02x π=满足()()00f x f x -=-所以函数()2cos 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是“M 类函数”. （2）由220x mx ->在3x ≥上恒成立，可得32m <， 因为()()22log 22x mx f x ⎧-⎪=⎨-⎪⎩33x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，所以存在实数0x 使得()()00f x f x -=-，①当03x ≥时，则03x -≤-，所以()22002log 2x mx -=--，所以20024x mx -=，即00122m x x =-， 因为函数142y x x =-，3x ≥为单调增函数，所以56m ≥； ②当033x -<<时，033x -<-<，此时22-=，不成立； ③当03x ≤-，则03x -≥，所以()2200log 22x mx +=，所以00122m x x =-+ 因为函数()1432y x x x =-+≤-为单调减函数，所以56m ≥；综上所述，求实数m 取值范围53,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 20．（1）根据题意，设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，所以2b a ==，则椭圆方程为222214x y b b+=.将2⎫⎪⎪⎭代入椭圆方程，可得2221142b b +=，解得2a =，1b =.故椭圆的方程为2214x y +=. （2）证明：设直线u 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m=--=->△，且1220x xm +=>，()212210x x m =->；故()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()212122121212111424OP OQPQ x x m x x m y y k k k x x x x -++====. 即直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列.（3）由题意，设直线v 的方程为x ky n =+，联立2214x y x ky n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240k y kny n +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224kn y y k -+=+，212244n y y k -=+，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，所以0CA CB ⋅=， 由()112,CA x y =-，()222,CB x y =-，则()()1212220x x y y --+=，将11x ky n =+，22x ky n =+代入上式并整理得()()()()2212121220k y y k n y y n ++-++-=，则()()()()22222214222044k n k n n n k k +---++-=++，化简得()()5620n n --=，解得65n =或2n =， 因为直线x ky n =+不过点()2,0C ，所以2n ≠，故65n =.所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭. 故121162225ABCS DC y y ⎛=-=⨯-== ⎝设211044t t k ⎛⎫=<≤ ⎪+⎝⎭，则ABC S =10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，当14t=时，1625ABC S ==，所以ABC 面积的最大值为1625. 21．（1）由()210x f x a =⋅->，即12xa ⎛⎫> ⎪⎝⎭对一切[)0,x ∈+∞恒成立，所以1a >当1a >时，()f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，所以对任意120x x ≤<，均有()()12f x f x ≠ 综上，实数a 的取值范围为：1a >；（2）证明：由函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，即对一切[)0,x ∈+∞，均有()()0f x f ≤所以对一切*n N ∈，均有()()0n f a f ≤，可得：()()1110n n n n a a a f a f +=+≥+ 所以：()121110n n n n a a a a a a f --=-++-+≥，对一切2n ≥， 对任意正实数M ，取()*002n Mf N =+∈⎡⎤⎣⎦，当0n n >时，()()()()001111000n Mf n n a M f f f +---≥>>=； （3）非必要性：取()13x f x x +⎧=⎨-⎩[][)()0,12,1,2x x ∈+∞∈，在[)0,+∞不为增函数但10a =，()21111a a f a =+=，()322132a a f a =+=，()22f a =，()()32322f a f a =<充分性：假设对一切*n N ∈，均有()()120n n f a f a +≥>，所以：()()()111220n n n f a f a f --≥=（1） 由递推式()()()()11111111121200220n n n n n n a a a a f a f f f +--⎛⎫=+≤+≤≤++++< ⎪⎝⎭ 因为f 为增函数，所以()()120n f a f f +⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭（2） 由（1）（2）可知：()()2200nf f f ⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭对一切*n N ∈，2n ≥均成立 又()00A f =>，()200B f f ⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭可知，当2log A n B ⎛⎫> ⎪⎝⎭时，上述不等式不成立 所以假设错误，即存在*n N ∈，使得()()12n n f a f a +<。
2019-2020学年上海市交大附中高二(下)数学期末模拟试卷
2019-2020学年上海市交大附中高二（下）数学期末模拟试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.如图，在下列三棱柱中，若M、N、P分别为其所在棱的中点，则不能得出平面MNP的是A. B.C. D.2.已知四棱柱中，平面ABCD，且底面ABCD是正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.3.半径为2cm的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，则它的最高处距桌面A. 4cmB. 2cmC.D.4.设a，b是异面直线，下列命题正确的是A. 过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B. 过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C. 过a一定可以作一个平面与b垂直D. 过a一定可以作一个平面与b平行二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.证明点P在平面内的方法是________证明点P在直线l上的方法是________6.在空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列四个命题：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则；其中真命题的序号为______ ．7.已知异面直线a与b所成的角，P为空间一点，则过P点与a和b所成角的直线有______条，过P点与a和b所成角的直线有______条，过P点与a和b所成角的直线有______条8.如图所示，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且，E为AB的中点，F为的中点，则EF的长为______．9.在三棱锥ABCD中，，E，F分别是AB，CD的中点，，则异面直线AD与BC所成的角为______ ．10.在正方体中，与平面之间的关系是________．11.在正方体中，点P在线段上运动，则异面直线DP与所成的角最大是．12.如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为______．13.已知平面内一动点P到点的距离与点P到y轴的距离的差等于则动点P的轨迹方程为______ ．14.已知在棱长为1的正方体中，点E是线段上的动点，点F是线段BC上的动点，则的最小值是______．15.在直三棱柱中，，，则直三棱柱内切球的表面积的最大值为______ ．16.如图，在四面体中，，对棱AC与BD所成的角为，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为________．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.设，求证：；已知，，比较与的大小．18.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，Q是棱PC上异于P，C的一点．求证：；过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面点F在棱PB上，求证：．19.在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．20.如图，四边形ABCD为矩形，平面ABE，，F为CE上的点，且平面ACE．求证：；求三棱锥的体积；设M在线段AB上，且满足，试在线段CE上确定一点N，使得平面DAE．21.如图，已知四棱锥的底面ABCD是菱形，，，是以CD为底边的等腰三角形，且点F为PC的中点．求证：平面BFD；求二面角的余弦值；求三棱锥的体积．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法解决问题．【解答】解：在A，B中，可得，所以平面MNP；在D中，可得，所以平面MNP；故选C．2.答案：D解析：解：如图，连接，，则为异面直线与所成角，由已知可得：，．．异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．由已知画出图形，找出异面直线与所成角，再由余弦定理求解．本题考查异面直线所成角的求法，是基础的计算题．3.答案：D解析：【分析】本题考查圆锥的侧面积及圆锥的轴截面，先根据圆锥的侧面积求出圆锥的底面半径，利用轴截面等面积法求得底面圆心到母线的距离，再乘以2，即为最高处距桌面的距离．【解答】解：设圆的半径为R，，圆锥的底面半径为r，高为h，最高处距桌面距离为H，根据题意：，，故，，最高处距桌面距离：，故选D4.答案：D解析：【分析】本题考查了空间中的位置关系，根据线面、线线的位置关系逐项判断即可．【解答】解：A项错，若点P与a所确定的平面与b平行，就不能作一条直线与a，b相交；B项错，若平面都与a，b垂直，则与a，b是异面直线矛盾；C项错，假如这样的平面存在时，平面，则，当直线a与b不垂直时，平面不存在，所以C错误；D项正确，在a上任取一点A，过A点作直线，则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是唯一的．故选D．5.答案：证明；证明，，解析：【分析】本题主要考查点与直线和平面的关系，属于基础题．【解答】解：证明点P在平面内的方法是证明，证明点P在直线l上的方法是证明，，，故答案为证明；证明，，．6.答案：解析：解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，若，，则，满足平行线公理，所以正确；中正方体从同一点出发的三条线，也错误；可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；可以翻译为：垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理，正确；故答案为：．有平行线公理判断即可；中正方体从同一点出发的三条线进行判断；可以翻译为：平行于同一平面的两直线平行，错误，还有相交、异面两种情况；由线面垂直的性质定理可得；与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形．本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．7.答案：2 1 4解析：解：平移a，b过P，如图，平面内，设a与b所成锐角的角分线为m，所成钝角的角分线为n，则m与a，b所成最小角为，n与a，b所成最小角为，过P点与a和b所成角的直线有1条；上下旋转m，可得与a和b所成角的直线有2条；分别上下旋转m，n，可得过P点与a和b所成角的直线有4条，故答案为：2，1，4．平移a，b过P，通过异面直线所成角的概念结合直线旋转得答案．本题考查异面直线所成角，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8.答案：解析：【分析】利用向量模的计算公式和向量的数量积的定义即可得出．熟练掌握向量模的计算公式和向量的数量积的定义是解题的关键．【解答】解：，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且，E 为AB的中点，F为的中点，，，故答案为．9.答案：解析：【分析】本题考查的知识点是异面直线所成的角，属于基础题．设G为AC的中点，其中根据三角形中位线定理得到为异面直线AD、BC所成的角或其补角，是解答本题的关键．【解答】解：设G为AC的中点，连接EG，FG，则、F分别是AB、CD中点且且，为异面直线AD、BC所成的角或其补角，，即异面直线AD、BC所成的角为．故答案为：．10.答案：垂直解析：【分析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的运用．【解答】解：在正方体中，，，，平面．故答案为垂直．11.答案：解析：【分析】本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．由，得为异面直线DP与所成角，由此能求出异面直线DP与所成角的最大值．【解答】解：如图，在正方体中，连接，DB，则，所以为异面直线DP与所成的角，易知当点P与点B重合时，最大，且最大为．12.答案：12解析：【分析】本题考查异面直线的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是基础题．结合正方体的结构特征，利用列举法能求出在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数．【解答】解：在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线有：，，CD，，BC，，，，，BD，，，共12条．故答案为：12．13.答案：或解析：【分析】本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．根据平面内一动点P到点的距离与点P到y轴的距离的差等于1，可得当时，点P到F 的距离等于点P到直线的距离，所以动点P的轨迹为抛物线；当时，也满足题意．【解答】解：平面内一动点P到点的距离与点P到y轴的距离的差等于1，当时，点P到F的距离等于点P到直线的距离，动点P的轨迹为抛物线，方程为；当时，．动点P的轨迹C的方程为或．故答案为或．14.答案：解析：解：如图，，把正方体上底面折起，连接与B重合，则的最小值是．故答案为：．由题意画出图形，再由勾股定理求解．本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是基础题．15.答案：解析：解：设棱柱的内切球的半径为r，则的内切圆为球的大圆，设，，则，由等面积可得，．设，，则，设，，，，直三棱柱内切球的表面积的最大值为．故答案为：．棱柱底面三角形的内切圆即为球的大圆，求出直三棱柱内切球的半径的最大值，即可得出结论．本题考查了棱柱的结构特征，棱柱与内切球的关系，属于中档题．16.答案：或解析：解：取BC的中点P，连接MP、NP，因为M、N分别是AB、CD的中点，所以，，，，所以，就是异面直线AC与BD所成的角或补角，即或又，所以当时，为正三角形，所以当时，本题考查直线与直线的位置关系，平行线性质定理，异面直线所成的角，属于较综合的题型。
上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析
上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高一数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分） 1.若52arcsin(2),43x π-=则x =____.【答案】2 【解析】 【分析】由反三角函数的定义得5sin (2)64x π=-，即可求解x . 【详解】由题意，52arcsin(2)43x π-=，所以5arcsin(2)46x π-=，由反三角函数的定义，5sin 264x π=-，即15224x =-，解得2x =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查反三角函数的应用，属于基础题. 2.在公差d 不为零的等差数列{}n a 中，617,a =且31143,,a a a 成等比数列，则d =____【答案】3 【解析】 【分析】由数列{}n a 是等差数列得61517a a d =+=，由31143,,a a a 成等比数列，所以234311a a a =，联立两式求出1a 和d 即可.【详解】由题意，数列{}n a 是等差数列，所以61517a a d =+=①， 又31143,,a a a 成等比数列，所以234311a a a =，即()()()211124210a d a d a d ++=+②， 联立①②式，解得，12a =，3d =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和等比中项的应用，考查学生计算能力，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 中，160,4,n a a a >=则22232425log log log log a a a a +++=____【答案】4 【解析】 【分析】由对数的运算性质，()2223242522345log log log log log a a a a a a a a +++=，再由等比数列的下标性质，1623454a a a a a a ===，即可得到答案.【详解】由对数的运算性质，()2223242522345log log log log log a a a a a a a a +++=， 由等比数列下标性质，1623454a a a a a a ===， 所以()222425234lo log g 4log 24a a a a ===，即22232425log log log log 4a a a a +++=. 故答案为：4【点睛】本题主要考查等比数列的性质和对数的运算性质，属于基础题. 4.前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是______. 【答案】765 【解析】 【分析】前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列，利用求和公式即可得出.【详解】解：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列.令()100271n =+-，解得15n =.∴前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和为()1521007652⨯+=.故答案为：765.【点睛】本题考查了等差数列的求和，重点考查了等差数列的定义，属基础题.5.在ABC ∆中，2220a b mc +-=（m 为常数），且cos cos cos sin sin sin A B CA B C+=，则m 的值是______. 【答案】3 【解析】 【分析】由已知等式可得2sin sin sin cos C A B C =，再由正弦定理将角化边得到2cos c ab C =，最后由余弦定理求出cos C 代入化简，即可求出参数的值. 【详解】解：cos cos cos sin sin sin A B CA B C+= ()cos sin cos sin sin sin sin cos A B B A C A B C ∴+= ()sin sin sin sin cos A B C A B C ∴+=2sin sin sin cos C A B C ∴=由正弦定理可得2cos c ab C =①根据余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=②由①②得2223a b c += 又因为2220a b mc +-= 所以3m = 故答案为：3【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于基础题. 6.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，n S 为其前n 项和，若488,24,S S ==则16S =___【答案】120 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，利用等比数列求和公式分别表示出4S 和8S ，再计算16S 即可.【详解】由题意，设等比数列{}n a 的公比为()0q q >且1q ≠，则()441811a q S q--==，()8814112a q Sq-=-=，所以48413S q S =+=，解得42q =， 又()41118a q q--=，所以181a q=--， ()()16141618121201a q S q-==-⨯-=-.故答案为：120【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查学生的计算能力，属于基础题. 7.已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 【答案】9 【解析】 【分析】先将函数()f x 转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数()f x 在区间[]0,π上的最大值和最小值，从而得出结果．【详解】由题意可得：()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由[0,]x π∈，[,]x ϕϕπϕ+∈+，3,2ππϕπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 4()5sin()5sin 545min f x πϕϕ∴=+=-=-⨯=-，()5sin 52max f x π==， 当12,[0,]x x π∈时，()()()12()5)49(max min f x f x f x f x -=-=--=． 故答案为：9【点睛】本题考查了三角函数的恒等变化，以及正弦函数图象的性质，正弦函数的最值，把函数化简()()5sin f x x ϕ=+是解题的关键，属于中档题．8.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，∠ABC =90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且22,BD =则a +4c 的最小值为____【答案】18 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式找到a 和c 的关系，再结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】根据题意，90ABC ∠=，所以12ABC S ac =△， 因为BD 是ABC ∠的平分线，所以45ABD CBD ∠=∠=， 由三角形面积公式，112sin 22222ABDSBD c ABD c c =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=， 112sin 22222CBDSBD a CBD c a =⨯⨯⨯∠=⨯⨯=， 因为ABCABD CBD S SS=+，所以12ac a c =+， 化简得，221a c+=， 所以()222828*********a c a c a c a c a c c a c a ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当28a cc a=，即2a c =，即6a =，3c =时，等号成立， 故答案为：18【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用和基本不等式求最值的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.9.已知数列{}n a 的前n 项和2212,n S n n =-数列{||}n a 的前n 项和,n T 则nT n的最小值____ 【答案】5 【解析】由n S 和1n S -的关系求出数列{}n a 的通项公式，再根据正负表示出数列{||}n a 的通项公式为144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，求出n T ，并表示出n T n ，再分别求出13n ≤≤和4n ≥时的最小值，即可判断nT n的最小值. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和2212n S n n =-()n N*∈，所以1121210a S ==-=-，当2n ≥时，()()12221221121414n n n n n n n S n a S -⎡⎤-----=-⎣⎦=-=，当1n =时，1411410a ⨯-=-=， 所以414n a n =-，当13n ≤≤时，0n a <，当4n ≥时，0n a >，所以144,13414,4n n n a n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，数列{||}n a 的前n 项和n T ，所以22212,1321236,4n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩，当13n ≤≤时，212n T n n =-+，当3n =时，n Tn 的最小值为6； 当4n ≥时，36212n n T n n=+-， 由对勾函数的性质，当4n =时，n Tn有最小值5；综上所述，n Tn的最小值为5故答案为：5【点睛】本题主要考查由n S 求数列通项公式的求法、等差数列前n 项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题. 10.在等差数列{}n a 中，若10100110100,910,S S S ===___【答案】990【分析】由等差数列前n 项和公式，利用1a 、d 来表示10S 和100S ，求出1a 和d ，再计算110S 即可. 【详解】由题意，设数列{}n a 公差为d ， 由等差数列前n 项和公式，101109101002S a d ⨯=+=， 1100109099100021a S d ⨯==+，解得，11009100a =，150d =-，所以11010091101091110990100250S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭. 故答案为：990【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查学生计算能力，属于基础题.11.设函数sin ,0(),2,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩函数2lg(),0(),0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩则方程f （x ）=g （x ）根的数量为___个. 【答案】7 【解析】 【分析】作函数()f x 和()g x 的图象，利用数形结合的方法求解即可.【详解】由题意，作函数sin ,0()2,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩和2lg(),0(),0x x g x x x -<⎧=⎨≥⎩的图象，当0x <时，0sin 1x ≤≤，()lg 101--=⎡⎤⎣⎦，所以10x <-时，()f x 和()g x 没有交点，100x -<<时，结合图像，()f x 和()g x 有5个交点；当0x ≥时，()2x f x =和2()g x x =有两个交点，分别为()2,4和()4,16；所以()()f x g x =根的数量为7个. 故答案为：7【点睛】本题主要考查方程的根的求法，涉及分段函数的表示，考查学生数形结合的能力，属于中档题.12.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和,n T 且736,2n n S n T n +=+则使得2k ka b 为整数的正整数k 有_____个. 【答案】3 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和公式和7362n n S n T n +=+，设出n S ，求出n a ，设出n T ，求出n b ，再得到2k ka b 的表达式，即可求出2kka b 为整数的正整数k 的个数.【详解】由7362n n S n T n +=+，设()736n S mn n =+， 当1n =时，1143S a m ==，当2n ≥时，()11429n n n a S S m n -=-=+，1143S a m ==符合上式，所以()11429n n n a S S m n -=-=+；设()2n T mn n =+， 当1n =时，113T b m ==，当2n ≥时，()121n n n b T T m n -=-=+，113T b m ==符合上式，所以()121n n n b T T m n -=-=+；则()()2282915142121k k m k a b m k k +==+++， 当1,2,7k =时，2k ka b 为整数，所以使得2kka b 为整数的正整数k 有3个.故答案为：3【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.13.设等差数列{}n a 的各项都是正数，公差为d ，前n 项和为,n S若数列也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的前6项和为_____ 【答案】9 【解析】 【分析】由题意，等差数列的前n 项和公式()112n n n S na d -=+，由数列为等差数列，表示出数列()1n d =-，联立两式求解出1a 和d ，即可计算{}n a 的前6项和.【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n S na d -=+，又数列()1n d =-，所以)()22111n S a n d n d =+-+-，所以)()()22111112n n a n d n d na d -+-+-=+， 解得，()2112na n d d =-+-， 当2n =时，21a d d =+-，当3n =时，21322a d d =+-，联立两式，解得114a =，12d =， 所以{}n a 的前6项和6165169422S ⨯=⨯+⨯= 故答案为：9【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用和前n 项和公式，考查学生分析转化能力和计算能力，属于中档题.14.若等差数列{}n a 满足22120110,a a +≤则201202203401M a a a a =++++的最大值为_____【答案】1000 【解析】 【分析】由题意，()221120010a a d ++≤，令1x a =，1200y a d =+，则公差200y xd -=，再由等差数列前n 项和公式得301200a M =，则3011322a x y =-+，当301a 取最大值时，直线301320x y a -+=与圆相切，由点到直线的距离公式求出301a 的最大值，即可求出M 的最大值.【详解】由题意，22120110a a +≤，即()221120010a a d ++≤，令1x a =，1200y a d =+，则等差数列{}n a 的公差200y xd -=， 则()2014012012022301034012002002a a M a a a a a+⨯===++++，30111330030020022y x a a d x x y -=+=+⨯=-+，即301320x y a -+=， ()221120010a a d ++≤为半径的圆内（包含圆周）， 所以301a 取最大值时，直线301320x y a -+=与圆相切，=301a 的最大值为5，所以max 20051000M =⨯=. 故答案为：1000【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式的应用、直线与圆的位置关系，考查学生分析转化能力，综合性较强，属于难题.二、选择题（本大题共20题，每题3分，满分60分）15.已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a ++=π，则()28cos a a +的值为（ ） A. -12B. C.12【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可知,1952a a a += ,求出5a ,再由2852a a a +=即可求解. 【详解】∵数列{}n a 为等差数列，1598a a a ++=π， ∴由等差数列的性质可得,1952a a a +=， 所以538a π=，即583a π=, 因为2852a a a +=,所以28163a a π+=， ∴281621cos()cos cos 332a a ππ+===-. 故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题. 16.ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c若6,a b ==，,,B A C 成等差数列，则B =（ ） A.6πB.56πC.6π或56π D.23π【答案】A 【解析】 【分析】B ，A ，C 成等差数列，可得2A ＝B +C ＝π﹣A ，解得A ．利用正弦定理可得sin B bsinAa=，即可得出．【详解】∵B ，A ，C 成等差数列，∴2A ＝B +C ＝π﹣A ， 解得A 3π=．则sinB1332sinbsinAaπ===， 又a ＞b ，∴B 为锐角． ∴B 6π=．故选：A ．【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为()0d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A. {}n a λ（λ为常数） B. {}n n a b + C. {}22n n a b - D. {}n n a b ⋅【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的定义对选项逐一进行判断，可得出正确的选项. 【详解】数列{}n a 和{}n b 是公差均为()0d d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，()11n b b n d =+-，11n n a b a b ∴-=-.对于A 选项，()11n n n n a a a a d λλλλ++-=-=，数列{}n a λ（λ为常数）是等差数列； 对于B 选项，()()()()11112n n n n n n n n a b a b a a b b d +++++-+=-+-=，数列{}n n a b +是等差数列； 对于C 选项，()()()()222222221111n n n n n n n n ab a b a a b b ++++---=---()()()()()()111111112n n n n n n n n n n n n a a a a b b b b d a b a b d a b ++++++=-+--+=-+-=-，所以，数列{}22n n a b -是等差数列；对于D 选项，()()()211n n n n n n n n n n a b a b a d b d a b d d a b ++-=++-=++，不是常数，所以，数列{}n n a b 不是等差数列. 故选：D .【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，注意等差数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若15a =，24b =，60A =︒，则这样的三角形解的个数为（ ） A. 1B. 2C. 0D. 不确定【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求出sin B 即可判断出解的个数 【详解】因为15a =，24b =，60A =︒所以由正弦定理得：sin sin a b A B= 即1524sin 60sin B=︒解得sin 1B =>，故无解 故选：C【点睛】本题考查的是正弦定理的运用，较简单. 19.已知函数()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.下列说法中错误的是（ ）A. 函数()f x 的定义域是12,3x x k k Z ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.B. 函数()f x 图象与直线12,3x k k Z =+∈没有交点C. 函数()f x 的单调增区间是5232,3,1k k k Z ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭D. 函数()f x 的周期是2 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质逐个判定即可. 【详解】对A,()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域满足122323x k x k ππππ+≠+⇒≠+,k Z ∈. 故A 正确.对B,由A 可知B 正确. 对C, ()2tan 23f x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递增区间即tan 23x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭的单调递减区间.即3,2232k x k k Z ππππππ+<+<+∈,化简得1722,33k x k k Z +<<+∈.故C 错误. 对D, ()f x 的周期是22ππ= ,故D 正确.故选：C【点睛】本题主要考查了正切型函数的性质判定.属于基础题.20.函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为（ ）. A. []0,1 B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到42333x πππ≤+≤，现利用余弦函数的的图象和性质求解. 【详解】因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以42333x πππ≤+≤所以11cos 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 所以cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】本题主要考查了余弦函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21.函数y =sinx ，3[,]22x ππ∈的反函数是（ ）A. y =arcsinx ，x ∈[-1，1]B. y =-arcsinx ，x ∈[-1，1]C. y =π+arcsinx ，x ∈[-1，1]D. y =π-arcsinx ，x ∈[-1，1]【答案】D 【解析】 【分析】先由诱导公式得到()sin ,,22y x x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，再根据反函数的定义求解即可. 【详解】由题意，3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则[]1,1y ∈- 所以()sin ,,22y x x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以arcsin x y π-=，[]1,1y ∈-， 所以arcsin x y π=-，[]1,1y ∈-，即3sin ,,22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的反函数是arcsin y x π=-，[]1,1x ∈- 故选：D【点睛】本题主要考查反函数的求法，属于基础题.22.在ABC 中，若ABC 的面积为S ，且2244,2S b c a =+-=，则ABC 的外接圆的面积为（ ）A.4π B.2π C. 2πD. 4π【答案】C 【解析】 【分析】利用2244,2S b c a =+-=求得A ，由此利用正弦定理求得ABC ∆外接圆的半径，进而求得外接圆的面积. 【详解】由2244,2S b c a =+-=得2222sin bc A b c a ⋅=+-，所以222sin cos 2b c a A A bc+-==，由于A 是三角形的内角，所以π4A =.设三角形ABC 外接圆半径为r，由正弦定理得2sin a r r A ====，所以外接圆的面积为2π2πr ⋅=. 故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.23.已知曲线122:cos ,:sin(2),3C y x C y x π==+则下面结论正确的是（ ） A. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位，得到曲线2CB. 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到曲线2CC. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位，得到曲线2CD. 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1,2纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到曲线2C 【答案】D【解析】 【分析】由诱导公式将cos y x =化为sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据图像变换规律，即可得到答案. 【详解】由题意，1C ：cos sin 2y x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭， 故将1C 上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 再把得到的曲线向左平移12π个单位，得到2sin 2sin 21223y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即曲线2C 的图像. 故选：B【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数图像变换规律，属于基础题. 24.已知()()2sin (0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象关于直线6x π=对称，若存在12,x x R ∈，使得对于任意的x 都有()()()12f x f x f x ≤≤，且12x x -的最小值为2π，则ϕ等于（ ） A.12π B.6π C.4π D.3π 【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 的最大值和最小值对应的横坐标的距离，求得()f x 的半周期，由此求得ω的值，结合根据()f x 的对称轴列方程，求得ϕ的值.【详解】依题意存在12,x x R ∈，使得对于任意的x 都有()()()12f x f x f x ≤≤，所以()()12,f x f x 分别是()f x 的最小值和最大值，而12x x -的最小值为2π，所以π,π22T T ==，由()2ππ0T ωω==>解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+.由于()f x 的图象关于直线6x π=对称，所以ππ2sin 63f ϕ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为2或2-，即πsin 3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为1或1-，由于ππ50,2336ππϕϕ<<<+<，所以πππ,326ϕϕ+==. 故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性和对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.25.若等比数列{}n a 的前n 项和3(2),n n S m =+则22212n a a a +++=（ ）A.413n - B. 4n -1C. 3(41)n-D. 无法确定【答案】C 【解析】 【分析】利用1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-，以及数列{}n a 为等比数列求出m 的值，再得到数列2{}n a 是等比数列，再由等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】当1n =时，1113(2)63m m a S =⨯+=+=，当2n ≥时，1113(2)3(2)32n n n n n n m S S m a ---+-+⨯-===，因为数列{}n a 为等比数列，所以当1n =时，13632n m -⨯+=，解得1m =-， 所以数列{}n a 是以3为首项，2为公比的等比数列，当2n ≥时，()()212222132432n n n n aa---⨯==⨯，数列2{}n a 是以239=为首项，4为公比的等比数列， 所以()()2221291434114n n n a a a ⨯-+++==--.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.26.已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A. 2(1)n n +B. 12(1)n n +C. 2(1)n n +D.21nn + 【答案】A 【解析】 【分析】由题得出数列前n 项和n S ，再用裂项相消法即可求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】等差数列前n 项和公式为()112n n n S na d -=+，又14a =，4d =，所以()242122=+-=+n n n n n S n ，所以()2111111=22212+1⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n n n n n n S n ，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()111111111+12122312121⎛⎫⎛⎫=--++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭n nT n n n n . 故选：A【点睛】本题主要考查求数列前n 项和，解题的关键是会用裂项相消求数列前n 项和. 27.已知函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，数列{}n a 是等差数列，1580,a >则123313314315()()()()()()f a f a f a f a f a f a ++++++的值（ ）A. 恒为负数B. 恒为正数C. 恒为0D. 可正可负【答案】A 【解析】 【分析】函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数，所以(0)0f =，当0x >时，()0f x <，所以可得158()0a f <，由等差数列{}n a 的性质可得131515820a a a +=>，即1315()()0f a f a +<，同理可以得到2314()()0f a f a +<，3313()()0f a f a +<，⋅⋅⋅，进而可以得到所求式子的符号.【详解】由题意，函数f （x ）是定义在R 上的单调递减函数，且f （x ）为奇函数， 所以(0)0f =，当0x >时，()0f x <；因为数列{}n a 是等差数列，且1580a >，所以158()0a f <， 又131515820a a a +=>，所以1315()()0f a f a +<， 同理，2314()()0f a f a +<，3313()()0f a f a +<，⋅⋅⋅， 所以123313314315()()()()()()0f a f a f a f a f a f a ++++++<故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的性质，函数的奇偶性和单调性的综合应用，属于中档题. 28.已知函数f （x ）=asinx +cosx 的一条对称轴为,11x π=则函数g （x ）=sinx -acosx 的一条对称轴可以为（ ） A. 922x π=B. 1322x π=C. 1011x π=D. 1311x π=【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式化简()()f x x α=+，其中1tan aα=，由()f x 的一条对称轴是11x π=求出α，再根据辅助角公式化简()()g x x β=-，其中tan a β=，利用tan tan 1αβ⋅=，求出α和β的关系，即可求出()g x 的一条对称轴.【详解】由题意，()()sin cos f x a x x x α=+=+，其中1tan aα=， 因为()f x 的一条对称轴是11x π=，所以1,112ππαπ+=+∈k k Z ，解得119,22αππ=+∈k k Z ，函数()()sin cos g x x a x x β=-=-，其中tan a β=， 所以()g x 的对称轴是22,2πβπ=++∈x k k Z ，因为1tan tan 1a aαβ⋅=⋅=，所以sin sin 1cos cos αβαβ=， 即()cos cos sin sin cos 0αβαβαβ-=+=， 所以33,2παβπ+=+∈k k Z ，所以()()33131,211ππβπαπ=+-=+--∈k k k k k Z ，所以()g x 的一条对称轴()()3123121313,2112222πππππππ=++-+=+-+=+∈x k k k k k k k k Z ， 当0k =时，1322x π=. 故选：B【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，两角和差的余弦公式和三角函数的性质，考查学生的分析转化能力，属于中档题.29.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。
上海市上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题 Word版含解析
交大附中高三月考数学试卷一、填空题1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，，行列式中第行第列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于另外两点、，是坐标原点，则__________.【答案】【解析】【分析】先分别观察函数和会发现两个函数都在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以得到点A(1，0)，且A为PQ中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题.【详解】解：因为，在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称所以点A为(1，0)，P、Q两点关于点A对称所以所以故答案为：2.【点睛】本题主要考查三角函数与反三角函数的图像与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键.11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题13.，则角所在的象限是：（）A. 第二或第三象限B. 第一或第四象限C. 第三或第四象限D. 第一或第二象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得且不是x轴的轴线角，由此可得结论.【详解】由题意存在，∴不是x轴的轴线角，又, ∴，∴角所在的象限是第一或第二象限，故选D.【点睛】本题考查了象限角、三角函数值的符号，属于基础题．14.如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A. B.C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】先找到PD与平面ABC所成的角，再将要比较的角通过构造的直角三角形建立三角函数值之间的关系，比较即可．【详解】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴cos cos cos< cos,又均为锐角，∴，故选C.【点睛】本题考查了空间中的线面关系，直线与平面所成的角、线线角及直角三角形中三角函数值的定义的应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．15.已知，，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x|＞1时，；当|x|＜1时，1；当x＝1时，-1；当x＝﹣1时，不存在．∴f（x）∴只有A选项符合f（x）大致图像，故选A.【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理得到，再利用椭圆定义及余弦定理，基本不等式推导出P为短轴端点时，cos最小，最大，可得，从而得到结果. 【详解】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,∴．在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大，∴=,∴故选：D．【点睛】本题考查了考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了正、余弦定理的应用，当P 为短轴端点时，最大是解题的关键，属于中档题．三、解答题17.函数部分图象如图所示.（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1） ,；（2）在区间上的最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）由图可知A＝1，，从而可求ω；再由图象经过点（，1），可求得；（2）依题意g（x）化简整理为g（x）＝sin（2x），再利用正弦函数的性质结合x的范围求得g（x）的最大值和最小值．【详解】（1）由图可知：，A＝1，∴T＝π，∴ω2，∴f（x）＝cos（2x+）又∵图象经过点，∴1＝cos（2），∴2kπ，k∈Z，∴2kπ，k∈Z，又∵||，∴，∴解析式为f（x）＝cos（2x）；（2）g（x）＝f（x）+sin2x＝cos（2x）+sin2x＝cos2x cos sin2x sinsin2x cos2x＝sin（2x）；当时，2x，当2x时，即x=时，g（x）的最大值为，当2x，即x=时g（x）的最小值为，综上所述，在区间上的最大值为，最小值为．【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的单调性与最值，属于基础题．18.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径．（1）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）；（2）若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，四面体的外接球为球，求两点在球上的球面距离．【答案】（1）异面直线与所成的角为；（2）．【解析】【分析】（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x 轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．（2）由题意找到球心并求得R与∠AGB，即可求出A,B两点在球G上的球面距离．【详解】（1）以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系．由题意圆柱的体积为=4，解得AA1＝3．易得各点的坐标分别为：A（0，﹣2，0），，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．得，，设与的夹角为θ，异面直线A1B与AP所成的角为α，则，得，即异面直线A1B与AP所成角的大小为arccos．（2）由题意得AA1＝2，OB=1，四面体的外接球球心在A1B的中点，所以R=,此时=，所以两点在球上的球面距离为.【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量来解决问题的方法，考查了球面距离的概念及公式，属于基础题.19.现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角．（1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离为码，试求当为何值时最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域内射门到球门的最佳射门点的轨迹.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）要求得最大，只需最大，利用，将其展开后表示为关于x的函数，利用基本不等式求得最值.（2）设点，其中，，将表示为关于x、y 的函数，利用基本不等式求得取到最值时的条件，得到关于x，y的方程即为点的轨迹..【详解】（1），当且仅当，即时，取得最大值，又在上单调递增，∴当取得最大值时，最大，∴，取得最大值；（2）过点作于，设点，其中，，∴，当且仅当，即时，取得最大值，此时轨迹方程为，其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在的一部分．【点睛】本题考查函数模型的性质及其应用，考查了轨迹问题，重点考查了两角差的正切公式及利用基本不等式求最值的方法，是中档题．20.已知曲线的方程为．（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．【答案】(1) 曲线是焦点在轴上的椭圆，焦点坐标为； (2) 见解析；(3)见证明【解析】【分析】（1）将a代入，两边平方并化简，可得曲线C的方程及形状；（2）将代入曲线，利用PQ中点的横坐标为，求出m，验证判别式是否成立，可得结论．（3）将曲线C化简，得到焦点坐标，求得，再求得点到直线的距离，代入化简得到定值.【详解】（1）当时，，两边平方并化简得，∴曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为；（2）将代入，消去，得，由题意，，即，解得或（舍），此时，，，设，，，将代入，得，则，的中点坐标为在对称轴上，∴，解得，不满足，∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；（3），两焦点坐标为、，，，即，∴，用替换中的，可得，∴，∴．【点睛】本题考查曲线与方程的应用，考查了直线与曲线的位置关系、弦中点及对称问题，考查了点点距、点线距公式，属于综合题．21.数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中．①证明：数列为等比数列；②求集合．【答案】(1) (2) ①见证明；②【解析】【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d．根据a4＝4，前8项和S8＝36．可得数列{a n}的通项公式；（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．根据b n＝B n﹣B n﹣1，数列{b n}满足．建立关系即可求解；②由，得，即．记，由①得，，由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．讨论整数成立情况即可；【详解】（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和，解得所以数列的通项公式为（2）①设数列的前项和为，由（1）及得上两式相减，得到=所以又，所以，满足上式，所以当时，两式相减，得，，所以所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即，∴．令，显然，此时变为，即，当时，，不符合题意；当时，，符合题意，此时；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；下证当，时，方程：∵∴∴，显然，从而当，时，方程没有正整数解．综上所述：．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．考查推理能力，属于难题．。
精品解析：上海交通大学附属中学2023届高三三模数学试题(解析版)
上海交通大学附属中学2023届高三三模数学试题一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合{}{}1,1,1,3,5A x x B =≤=-∣，则A B = __________.【答案】{}1,1-【分析】化简A ，根据交集运算得解.【详解】因为{}{}1[1,1],1,1,3,5A xx B =≤=-=-∣，所以{}1,1A B ⋂=-，故答案为：{}1,1-.2.复数12i3iz -=+的模为__________．【答案】2【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】()()()()12i 3i 12i 17i ,3i 3i 3i 102z z ----===∴==++-．故答案为：23.不等式301x x +≥-的解集为__________.【答案】(](),31,∞∞--⋃+【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得.【详解】原不等式等价于()()31010x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得3x ≤-或1x >,故答案为：(](),31,∞∞--⋃+.4.已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f -=________【答案】18-【分析】设幂函数()f x x α=，将1,82⎛⎫⎪⎝⎭代入，求得3α=-，进而可得结果.【详解】设幂函数()f x x α=，因为幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，所以311822α-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3α=-，所以()()()331,22,8f x x f --=-=-=-故答案为18-.【点睛】本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题.5.已知函数()2sin2f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期是__________．【答案】π【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得函数的最小正周期.【详解】()2sin2sin22sin 23f x x x x x x π⎛⎫=+=++++ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，故答案为：π．6.方程42log 17xx +=的解为_________．【答案】4x =【分析】设函数()42log xf x x =+，()0,x ∈+∞，由函数的单调性，结合特殊值，即可求得方程42log 17xx +=的解.【详解】设函数()42log xf x x =+，()0,x ∈+∞，由于函数42,log xy y x ==在()0,x ∈+∞上均为增函数，又()4442log 416117f =+=+=，故方程42log 17xx +=的解为4x =.故答案为：4x =.7.81(x-的展开式中含x 项的系数为______.【答案】28【分析】化简二项式定理展开式通项()()38218C 1kk kk Tx -+=⋅-⋅，求出k 值，代入即可.【详解】设展开式中第1k +项含x 项，则(()()83821881C C 1kkkk kk T x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令3812k -=，解得6k =，代入得，()6678C 128T x x =⋅-⋅=故答案为：28.8.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是___．【答案】8.5##172【分析】根据百分位数的定义即可求出结果.【详解】党员人数一共有61098740++++=，4040%16⨯=，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16和17个数分别为8，9，所以第40百分位数是898.52+=，故答案为：8.59.若存在实数a ，使得1x =是方程2()3x a x b +=+的解，但不是方程x a +=则实数b 的取值范围是__________.【答案】()3,-+∞【分析】根据1x =是2()3x a x b +=+的解，不是x a +=【详解】由题意知，2(1)3a b +=+，且1a +≠()1a =-+，显然30b +≥，即3b ≥-，若3b =-，此时显然不满足题意，故()3,b ∞∈-+.故答案为：()3,-+∞10.随机变量()2N 105,19X ，()2N 100,9Y ，若()()P X A P Y A ≤=≤，那么实数A的值为__________.【答案】95.5【分析】由正态分布性质可得()105N 0,119X - ，()100N 0,19Y - ，由此可利用对称性构造方程求得结果.【详解】()2N 105,19X ，()2N 100,9Y ，()105N 0,119X -∴ ，()100N 0,19Y - ，()()P X A P Y A ≤=≤ ，105100199A A --∴=，解得：95.5A =.故答案为：95.5.11.已知曲线1C ：2y x =+与曲线2C ：22()4x a y -+=恰有两个公共点，则实数a 的取值范围为__________.【答案】(){}4,02-⋃-【分析】根据2y x =+与22()4x a y -+=的位置关系分析可得.【详解】如图：2y x =+与x 轴焦点为()2,0A -，当点A 在圆2C 外，则2y x =+表示的两条射线与圆相切与2C 相切时恰有两个公共点，联立22()4x a y -+=得()222420x a x a +-+=，由()2242420a a ∆=--⨯⨯=，得2a =-±，因2y x =+，所以2x ≥-，故2a =-+，当点A 在圆2C 上，如图，此时2y x =+与22()4x a y -+=有3个或1个交点不符合题意，当点A 在圆2C 内，如图，此时2y x =+与22()4x a y -+=有2个交点符合题意，此时，22(2)04a --+<，得40a -<<综上a 的取值范围为：(){}4,02-⋃-.故答案为：(){}4,02-⋃-.12.函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21f x x =+，若存在12,,,n x x x ⋯满足120n x x x ≤<<< ，且()()()()()()122312023n n f x f x f x f x f x f x --+-++-= ，则n n x +最小值为__________.【答案】1518.5【分析】根据题意，先求出函数一个周期的值域，要使n n x +取得最小值，尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最高点，且()()01,23f f ==-，再利用函数的周期性求解.【详解】解： 函数()y f x =是最小正周期为4的偶函数，且在[]2,0x ∈-时，()21,f x x =+∴函数的值域为[]3,1-，对任意(),,1,2,3,,i j x x i j m = ，都有()()min ()()4i jmaxf x f x f x f x -≤-=，要使n n x +取得最小值，尽可能多让()1,2,3,,i x i m = 取得最高点，且()()01,23f f ==-，()()()()()()12122310,2023n n n x x x f x f x f x f x f x f x -≤<<<-+-++-= ，n ∴的最小值估计值为20231506.754+=，故n 的最小值取507，相应的n x 最小值为1011.5，则n n x +的最小值为1518.5.故答案为：1518.5二､选择题（本大题共4题，满分20分）13.设R λ∈，则“1λ=”是“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解.【详解】若直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行，则()()3110λλλ---=，解得1λ=或3λ=-，经检验1λ=或3λ=-时两直线平行．故“1λ=”能得到“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”，但是“直线()311x y λ+-=与直线()12x y λλ+-=平行”不能得到“1λ=”故选：A14.函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图象如图所示，则函数y ()f x =的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．15.已知函数()21f x ax x a =+++为偶函数，则不等式()0f x >的解集为（）A.∅B.()()1,00,1-U C.()1,1- D.()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】先求得参数a 的值，再去求不等式()0f x >的解集【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()11f f -=，即2a a a a ++=+解之得1a =-，经检验符合题意.则()2f x x x=-+由20x x -+>，可得()()1,00,1x ∈-U 故()20f x x x =-+>的解集为()()1,00,1-U ，故选：B.16.已知*n ∈N ，集合πsin N,0k A k k n n ⎧⎫⎛⎫=∈≤≤⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合A 恰有8个子集，则n 的可能值有几个（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定n 的取值.【详解】由题意易知，π2ππsin0,sin,sin ,,sin n n n n，均是集合A 中的元素，又集合A 恰有8个子集，故集合A 只有三个元素，有πsin0sin sin πn n==，则结合诱导公式易知，n 可取的值是4或5.故选：B三､解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，5435()a a a =-，5434()b b b =-．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：22*1()n n n S S S n N ++∈<；【答案】（1）n a n =，12n n b -=；（2）证明见解析【分析】（1）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；（2）利用（1）的结论首先求得数列{}n a 的前n 项和，然后利用作差法证明即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，11a =，5435()a a a =-得，145=+a d d ，故1d =，于是1(1)n a n n =+-=；由11b =，5434()b b b =-得，4324()q q q =-，又等比数列公比0q ≠，得到2244(2)0q q q -+=-=，故2q =，于是12n n b -=.【小问2详解】由（1）得，(1)2n n n S +=，故2(1)(2)(3)4n n n n n n S S ++++=，2221(1)(2)4n n n S +++=，作差可得[]221(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)042n n n n n n n n n n n S S S ++++++=+-++--=<，即221n n n S S S ++<得证.18.如图，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，,90,222AB CD ADC PD CD AD AB ∠===== ∥.（1）求异面直线AB 与PC 所成角的大小；（2）求二面角B PC D --的余弦值.【答案】（1）π4；（2）3【分析】（1）根据AB DC 可得异面直线所成的角，利用直角三角形求解即可；（2）以点D 为坐标原点，建立坐标系，再由向量法得出二面角B PC D --的余弦值.【小问1详解】由AB CD ，则异面直线AB 与PC 所成角即为PCD ∠，由题意知，PD ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，故PD CD ⊥，所以tan 1PD PCD CD ∠==，即π4PCD ∠=，即异面直线AB 与PC 所成角为4π.【小问2详解】因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，又PD DC ⊥，AD DC ⊥，所以以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2D A B C P ，则()()()()0,2,2,1,1,0,0,0,2,1,0,2PC BC DP PA =-=-==-，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r ，则220n PC y z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1x =，得1,1y z ==，得()1,1,1n = ，取平面PDC 的法向量为()1,0,0DA =，设二面角B PC D --的大小为θ，由图形知，θ为锐角，所以3cos 3n DA n DAθ⋅=== ，所以二面角B PC D --的余弦值为3.19.流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为248mm ，经过3分钟覆盖面积为264mm ，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y （单位：2mm ）与经过时间x （单位：min ）的关系现有三个函数模型：①x y ka =（0k >，1a >），②log b y x =（1b >），③y q =+（0p >）可供选择.（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm ？（结果保留到整数）【答案】（1）答案见解析；（2）至少经过9min 培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm .【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择x y ka =，并求出解析式；（2）根据题意，4273003x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，求出x 的取值范围，进而得出结果.【小问1详解】因为x y ka =（0k >，1a >）的增长速度越来越快，log b y x =（1b >）和y q =+（0p >）的增长速度越来越慢，所以应选函数模型x y ka =（0k >，1a >）.由题意得234864ka ka ⎧=⎨=⎩，解得4327a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以该函数模型为4273xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（0x ≥）；【小问2详解】由题意得4273003x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，即410039x⎛⎫>⎪⎝⎭，所以43100log 9x >，又341001g100221g3220.4779log 8.3684921g2lg320.3010.4771g 3--⨯==≈≈-⨯-.所以至少经过9min 培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm .20.在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆22:143x yE +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，直线1AF 与椭圆E 相交于另一点B .（1）求12AF F ∆的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与直线4x =相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB 与MAB △的面积分别是1S ，2S ，若213S S =，求点M 的坐标.【答案】（1）6；（2）4-；（3）()2,0或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由椭圆方程的性质可求12AF F ∆的周长；（2）设(),0P t ，求出直线AP 方程，解出Q 点坐标，计算OP QP ⋅，利用二次函数求出最下值；（3）由题意可知：M 到直线AB 距离2d 是O 到直线AB 距离1d 的3倍，求出2d 的值，则点M 的坐标为与直线AB 平行的直线和椭圆的交点，求出直线方程与椭圆联立可解出点M .【详解】解：（1）由椭圆方程可知：2,1a c ==.所以12AF F △的周长为1212226AF AF F F a c =++=+；（2）由椭圆方程得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0P t ，则直线AP 方程为()321y x t t=--，又4x =，所以直线AP 与4x =的交点为344,21t Q t -⎛⎫⋅ ⎪-⎝⎭，()22,0344,214(2)44t t t OP QP t t t t -⎛⎫--⋅= ⎪-⎝⎭⋅=⋅-=--≥- ，当2t =时，()min4OP QP⋅=-（3）若213S S =，设O 到直线AB 距离1d ，M 到直线AB 距离2d ，则2111322AB d AB d ⨯⨯=⨯⨯⨯，即213d d =，31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，1(1,0)F -，可得直线AB 方程为()314y x =+，所以135d =，295d =.由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为340x y m -+=，与直线AB 的距离为95，求得6m =-或12，当6m =-时，直线l 为3460x y --=，联立方程：223460143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得27120y y +=，解得()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当12m =时，直线l 为34120x y -+=，联立方程：2234120143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：2724270y y ++=，∆<0此时方程无解.综上所述，M 点坐标为()2,0或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.21.记()(),f x g x ''分别为函数()(),f x g x 的导函数.若存在，满足()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“兰亭点”.（1）证明：函数()f x x =与()222g x x x =+-不存在“兰亭点”；（2）若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“兰亭点”，求实数a 的值；（3）已知函数()()2e ,xb f x x a g x x=-+=.对存在实数0a >，使函数()f x 与()g x 在区间()0,∞+内存在“兰亭点”，求实数b 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）e 2；（3）()327,00,e ∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题中“兰亭点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“兰亭点”的定义列两个方程，解方程组可得a 的值；（3）通过构造函数以及结合“兰亭点”的定义列两个方程，再由方程组有解即可求得结果.【小问1详解】函数()()2,22f x x g x x x ==+-，则()()1,22f x g x x '='=+.由()()f x g x =且()()f x g x =，得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，()f x 与()g x 不存在“兰亭点”.【小问2详解】函数()()21,ln f x ax g x x =-=，则()()12,f x ax g x x''==.设0x 为()f x 与()g x 的“兰亭点”，由()0f x =()0g x 且()0f x '=()0g x '，得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎨=⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则2121e 22e a -==⎛⎫ ⎪⎝⎭.当e 2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为()f x 与()g x 的“兰亭点”.因此，a 的值为e 2.【小问3详解】()()()()2e 12,0x b x f x x g x x x -=-='≠'，函数()y f x =与()y g x =在区间()0,∞+内存在“兰亭点”，记为x t =，所以()22e e 12tt b t a t b t t t ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得()3233121e t t t a t t b t ⎧-=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，由于0a >，解得01t <<或3t >，而()321e t t b t =-，所以()()2222330(1)1et t t t b t t '-+=>≠-，所以函数()321e t t b t =-在(0,1),(3,)∞+上为增函数，因为0=t 时0b =，1t →时，b →+∞，3t =时，327e b =-，t →+∞时，0b →，所以01t <<时，()0,b ∈+∞；3t >时，327,0e b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.综上，实数b 的取值范围是()327,00,e ∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。
精品解析：上海市上海交通大学附属中学2019届高三3月月考数学试题(解析版)
交大附中高三月考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、填空题1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用，着重考查二项展开式的通项公式，属于中档题．2.若，，用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值，结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时，，时，，时，，时，，时，，时，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念，考查了集合中元素的确定性、互异性，是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根，则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组，可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根，∴+，（整理得：⇒，∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用，考查了复数相等的条件，是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇，人文类课题论文60篇，其他论文39篇，为了了解该校学生论文完成的质量情况，若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核，则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程，计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇，则，∴x＝18，故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用，考查了各层的抽样比，属于基础题.5.设，，行列式中第行第列的元素的代数余子式记作，函数的反函数经过点，则__________.【答案】2【解析】【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可，函数y＝f（x）的反函数图象经过点，可知点（2，1）在函数的图象上，代入数值即可求得a．【详解】由题意得第3行第2列元素的代数余子式M32依题意，点（2，1）在函数的图象上，将x＝2，y＝1，代入中，得，解得a＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义、反函数以及原函数与反函数之间的关系，会进行矩阵的运算，是一道基础题．6.国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是，则____（其中为虚数单位）．【答案】【解析】【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算即可.【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：，∴，故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.7.在三棱锥中，，，平面，．若其主视图、俯视图如图所示，则其左视图的面积为_____．【答案】【解析】【分析】三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，根据底面是一个等腰直角三角形，作出左视图的另一条直角边长，计算出左视图的面积．【详解】由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是，得到左视图是一个直角三角形，∵，∴左视图的另一条直角边长是，∴左视图的面积故答案为．【点睛】本题考查由几何体画出三视图，并且求三视图的面积，解题的关键是得出左视图的基本量，是一个基础题．8.某校“凌云杯”篮球队的成员来自学校高一、高二共10个班的12位同学，其中高一（3）班、高二（3）各出2人，其余班级各出1人，这12人中要选6人为主力队员，则这6人来自不同的班级的概率为_____．【答案】【解析】【分析】先求出12人中选6人的所有种数，再分类讨论，利用组合知识，得出6人来自不同的班级的选法种数，利用古典概型概率公式计算结果．【详解】在12人中要选6人，有种；由题意，当6人来自除高一（3）班、高二（3）班以外的8个班时，有28种；6人有1人来自高一（3）班或高二（3）班，其余5人来自另外的8个班时，有2224种；6人有1人来自高一（3）班、1人来自高二（3）班，其余4人来自另外的8个班时，有280种；故共有280+224+28＝532种．∴概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率及组合知识，考查分类讨论的数学思想，考查分析解决问题的能力，比较基础．9.已知是周期为的函数，且，则方程的解集为____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的表达式，即可得到结论．【详解】由分段函数得当时，，,若时，由得，又周期为，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数值的计算以及函数方程的求解，考查了函数周期性的应用，注意分类讨论进行求解，属于基础题.10.若函数的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于另外两点、，是坐标原点，则__________.【答案】【解析】【分析】先分别观察函数和会发现两个函数都在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称，所以得到点A(1，0)，且A为PQ 中点，再结合向量的中点公式和数量积运算解题.【详解】解：因为，在区间[0,2]上单调递减且关于(1,0)对称所以点A为(1，0)，P、Q两点关于点A对称所以所以故答案为：2.【点睛】本题主要考查三角函数与反三角函数的图像与性质，以及向量的中点公式与数量积，熟悉三角函数与反三角函数的单调性与对称性是解决本题的关键.11.已知集合，若实数满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”．以下集合中，不存在“可行数对”的是_________．①；②；③；④．【答案】②③【解析】【分析】由题意，，问题转化为与选项有交点，代入验证，可得结论．【详解】由题意对任意的，均有，则，即与选项有交点，对①，与有交点，满足；对②，的图形在的内部，无交点，不满足；对③，的图形在的外部，无交点，不满足；对④，与有交点，满足；故答案为②③.【点睛】本题考查曲线与方程的定义的应用，考查了理解与转化能力，将问题转化为与选项有交点是关键．12.对任意，函数满足：，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，0≤f（n）≤1，f（n+1）．展开代入可得，又，化为＝．再根据数列的前15项和与，解得，．可得，．解出f（2k﹣1），即可得出，对n分奇偶分别求和并取极限，利用极限相等求得.【详解】∵，，∴，展开为，，即0≤f（n）≤1，．即，∴，化为＝．∴数列{}是周期为2的数列．∵数列{}的前15项和为，∴＝7（）+．又，解得，．∴＝，＝．由0，f（k+1），解得f（2k﹣1）．0，f（n+1），解得f（2k），又，令数列的前n项和为，则当n为奇数时，，取极限得；则当n为偶数时，，取极限得；若数列的前项和的极限存在，则，，故答案为.【点睛】本题考查了数列求和及数列中的极限问题，考查了数列的周期性、递推关系、分组求和等知识，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题13.，则角所在的象限是：（）A. 第二或第三象限B. 第一或第四象限C. 第三或第四象限D. 第一或第二象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得且不是x轴的轴线角，由此可得结论.【详解】由题意存在，∴不是x轴的轴线角，又, ∴，∴角所在的象限是第一或第二象限，故选D.【点睛】本题考查了象限角、三角函数值的符号，属于基础题．14.如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A. B.C. D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】先找到PD与平面ABC所成的角，再将要比较的角通过构造的直角三角形建立三角函数值之间的关系，比较即可．【详解】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴cos cos cos< cos,又均为锐角，∴，故选C.【点睛】本题考查了空间中的线面关系，直线与平面所成的角、线线角及直角三角形中三角函数值的定义的应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．15.已知，，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】讨论当|x|＞1，|x|＜1，当x＝1时和当x＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f（x）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x|＞1时，；当|x|＜1时，1；当x＝1时，-1；当x＝﹣1时，不存在．∴f（x）∴只有A选项符合f（x）大致图像，故选A.【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由正弦定理得到，再利用椭圆定义及余弦定理，基本不等式推导出P为短轴端点时，cos最小，最大，可得，从而得到结果.【详解】设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，由正弦定理可得，即有，由椭圆定义可得e,∴．在三角形中，由m+n=2a,cos-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cos最小，最大，∴=,∴故选：D．【点睛】本题考查了考查了椭圆的定义及几何性质的应用，考查了正、余弦定理的应用，当P为短轴端点时，最大是解题的关键，属于中档题．三、解答题17.函数部分图象如图所示.（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1） ,；（2）在区间上的最大值为，最小值为．【解析】【分析】（1）由图可知A＝1，，从而可求ω；再由图象经过点（，1），可求得；（2）依题意g（x）化简整理为g（x）＝sin（2x），再利用正弦函数的性质结合x的范围求得g（x）的最大值和最小值．【详解】（1）由图可知：，A＝1，∴T＝π，∴ω2，∴f（x）＝cos（2x+）又∵图象经过点，∴1＝cos（2），∴2kπ，k∈Z，∴2kπ，k∈Z，又∵||，∴，∴解析式为f（x）＝cos（2x）；（2）g（x）＝f（x）+sin2x＝cos（2x）+sin2x＝cos2x cos sin2x sinsin2x cos2x＝sin（2x）；当时，2x，当2x时，即x=时，g（x）的最大值为，当2x，即x=时g（x）的最小值为，综上所述，在区间上的最大值为，最小值为．【点睛】本题考查由y＝A sin（ωx+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的单调性与最值，属于基础题．18.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径．（1）若圆柱的体积为，，，求异面直线与所成的角（用反三角函数值表示结果）；（2）若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，四面体的外接球为球，求两点在球上的球面距离．【答案】（1）异面直线与所成的角为；（2）．【解析】【分析】（1）由题设条件，以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，用公式求出线线角的余弦即得．（2）由题意找到球心并求得R与∠AGB，即可求出A,B两点在球G上的球面距离．【详解】（1）以O为原点，分别以OB，OO1为y，z轴的正向，并以AB的垂直平分线为x轴，建立空间直角坐标系．由题意圆柱的体积为=4，解得AA1＝3．易得各点的坐标分别为：A（0，﹣2，0），，A1（0，﹣2，3），B（0，2，0）．得，，设与的夹角为θ，异面直线A1B与AP所成的角为α，则，得，即异面直线A1B与AP所成角的大小为arccos．（2）由题意得AA1＝2，OB=1，四面体的外接球球心在A1B的中点，所以R=,此时=，所以两点在球上的球面距离为.【点睛】本题考查了异面直线及其所成的角，考查了利用空间向量来解决问题的方法，考查了球面距离的概念及公式，属于基础题.19.现有一长为100码，宽为80码，球门宽为8码的矩形足球运动场地，如图所示，其中是足球场地边线所在的直线，球门处于所在直线的正中间位置，足球运动员（将其看做点）在运动场上观察球门的角称为视角．（1）当运动员带球沿着边线奔跑时，设到底线的距离为码，试求当为何值时最大；（2）理论研究和实践经验表明：张角越大，射门命中率就越大．现假定运动员在球场都是沿着垂直于底线的方向向底线运球，运动到视角最大的位置即为最佳射门点，以的中点为原点建立如图所示的直角坐标系，求在球场区域内射门到球门的最佳射门点的轨迹.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）要求得最大，只需最大，利用，将其展开后表示为关于x 的函数，利用基本不等式求得最值.（2）设点，其中，，将表示为关于x、y的函数，利用基本不等式求得取到最值时的条件，得到关于x，y的方程即为点的轨迹..【详解】（1），当且仅当，即时，取得最大值，又在上单调递增，∴当取得最大值时，最大，∴，取得最大值；（2）过点作于，设点，其中，，∴，当且仅当，即时，取得最大值，此时轨迹方程为，其表示焦点为，实轴长为8的等轴双曲线在的一部分．【点睛】本题考查函数模型的性质及其应用，考查了轨迹问题，重点考查了两角差的正切公式及利用基本不等式求最值的方法，是中档题．20.已知曲线的方程为．（1）当时，试确定曲线的形状及其焦点坐标；（2）若直线交曲线于点、，线段中点的横坐标为，试问此时曲线上是否存在不同的两点、关于直线对称？（3）当为大于1的常数时，设是曲线上的一点，过点作一条斜率为的直线，又设为原点到直线的距离，分别为点与曲线两焦点的距离，求证是一个定值，并求出该定值．【答案】(1) 曲线是焦点在轴上的椭圆，焦点坐标为； (2) 见解析；(3)见证明【解析】【分析】（1）将a代入，两边平方并化简，可得曲线C的方程及形状；（2）将代入曲线，利用PQ中点的横坐标为，求出m，验证判别式是否成立，可得结论．（3）将曲线C化简，得到焦点坐标，求得，再求得点到直线的距离，代入化简得到定值.【详解】（1）当时，，两边平方并化简得，∴曲线是焦点在轴上的椭圆，其长半轴长为1，短半轴长为，焦点坐标为；（2）将代入，消去，得，由题意，，即，解得或（舍），此时，，，设，，，将代入，得，则，的中点坐标为在对称轴上，∴，解得，不满足，∴曲线上不存在不同的两点、关于直线对称；（3），两焦点坐标为、，，，即，∴，用替换中的，可得，∴，∴．【点睛】本题考查曲线与方程的应用，考查了直线与曲线的位置关系、弦中点及对称问题，考查了点点距、点线距公式，属于综合题．21.数列满足对任意的恒成立，为其前项的和，且．（1）求数列的通项；（2）数列满足，其中．①证明：数列为等比数列；②求集合．【答案】(1) (2) ①见证明；②【解析】【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d．根据a4＝4，前8项和S8＝36．可得数列{a n}的通项公式；（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．根据b n＝B n﹣B n﹣1，数列{b n}满足．建立关系即可求解；②由，得，即．记，由①得，，由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．讨论整数成立情况即可；【详解】（1）设等差数列的公差为，因为等差数列满足，前8项和，解得所以数列的通项公式为（2）①设数列的前项和为，由（1）及得上两式相减，得到=所以又，所以，满足上式，所以当时，两式相减，得，，所以所以此数列为首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即，∴．令，显然，此时变为，即，当时，，不符合题意；当时，，符合题意，此时；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；下证当，时，方程：∵∴∴，显然，从而当，时，方程没有正整数解．综上所述：．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．考查推理能力，属于难题．。
2020年上海交通大学第二附属中学高三数学文联考试题含解析
2020年上海交通大学第二附属中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知公差不为零的等差数列等于A．4 B．5 C．8 D．10参考答案：A由得，即。
所以，所以,选A.2. （2）设，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A3. 若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为（）A．或 B．或 C．或D．或参考答案：【知识点】直线与圆的位置关系. H4【答案解析】D 解析：圆心的直线的距离d=，由垂径定理得解得a=-1或a=3，故选 D.【思路点拨】根据点到直线的距离及垂径定理求解.4. 在△ABC中，tan A是以-2为第三项，6为第七项的等差数列的公差，tan B是以为第二项，27为第七项的等比数列的公比，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上都不对参考答案：B，都是锐角。
故选：B5. 已知两个平面α，β和三条直线，若，且，，设和所成的一个二面角的大小为θ1，直线和平面β所成的角的大小为θ2，直线所成的角的大小为θ3，则A．θ1=θ2≥θ3 B．θ3≥θ1=θ2C．θ1≥θ3，θ2≥θ3 D．θ1≥θ2，θ3≥θ2参考答案：D6. (文科)某中学有学生3000人，其中高一、高三学生的人数是1200人、800人，为了解学生的视力情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个480人的样本，则样本中高一、高二学生的人数共有（）人。
A.288B.300C.320D.352参考答案：略7. 已知直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．[1，）D．（﹣，）参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】画出图象，当直线l经过点A，C时，求出m的值；当直线l与曲线相切时，求出m．即可．【解答】解：画出图象，当直线l经过点A，C时，m=1，此时直线l与曲线y=有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m=．因此当时，直线l：y=x+m与曲线y=有两个公共点．故选C．8. 函数的零点个数是（）A．个 B．个 C．个D．个参考答案：A9. 已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，a2﹣2a}，B?A，则实数a的不同取值个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得：若B?A，必有a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3，分2种情况讨论可得答案．【解答】解：∵B?A，∴a2﹣2a=﹣1或a2﹣2a=3．①由a2﹣2a=﹣1得a2﹣2a+1=0，解得a=1．当a=1时，B={1，﹣1}，满足B?A．②由a2﹣2a=3得a2﹣2a﹣3=0，解得a=﹣1或3，当a=﹣1时，B={1，3}，满足B?A，当a=3时，B={1，3}，满足B?A．综上，若B?A，则a=±1或a=3．故选：B．【点评】本题考查集合间包含关系的运用，注意分情况讨论时，不要漏掉情况．10. 如图平行四边形ABCD中， =， =，F是CD的三等分点，E是BC中点，M是AB中点，MC∩EF=N，若=λ1+λ2，则λ1+λ2=（）A．B．1 C．D．﹣参考答案：A【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】使用不同方法用表示出，结合平面向量的基本道理列出方程解出．【解答】解： ==， =，设，，则， =，∵==+=（）+（），∴，解得．∴λ1+λ2==．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若实数x，y满足x2+x+y2+y=0，则x+y的范围是．参考答案：[﹣2，0]【考点】圆的一般方程．【分析】将圆x2+x+y2+y=0，化为参数方程，进而根据正弦型函数的图象和性质，可得x+y 的范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+x+y2+y=0，∴（x+）2+（y+）2=，即2（x+）2+2（y+）2=1，令（x+）=cosθ，（y+）=sinθ，∴x=，y=，x+y==sin（）﹣1∈[﹣2，0]，故x+y的范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]【点评】本题考查的知识点是圆的方程，其中将一般方程化为参数方程，进而转化求三角函数的最值，是解答的关键．12. 在实数集上定义运算，并定义：若存在元素使得对，有，则称为上的零元，那么，实数集上的零元之值是参考答案：；根据“零元”的定义，，故13. 已知，且，则与夹角的取值范围是.参考答案：14. 已知函数为上的偶函数，当时，，则▲，▲ .参考答案：．，15. 用符号表示超过的最小整数，如，记．（1）若，则不等式的解集为；（2）若，则方程的实数解为．参考答案：。
2020上海二模高三数学含答案
浦东新区2019学年度第二学期高中教学质量检测试题高三数学2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每题填对得4分，7-12题每题填对得5分，否则一律得零分。
1.设全集{0,1,2}U =，集合{0,1}A =，则u C A = . 【答案】{}22.某次考试，5名同学的成绩分别为：96、100、95、108、115，则这组数据的中位数为 . 【答案】1003.若函数12()f x x =，则1(1)f −= .【答案】14.若1i −是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q += .【答案】05.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比 . 【答案】81:6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x t y t =−⎧⎨=⎩（t 为参数），圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 与圆O 的位置关系是 .【答案】相交7.若二项式4(12)x +展开式的第4项的值为，则23lim()nn x x x x →∞+++⋅⋅⋅+= .【答案】158.已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是 . 【答案】12222=−y x9.从(,4)m m N m *∈≥且个男生、6个女生中任选2个人发言.假设事件A 表示选出2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同.如果事件A 和事件B 的概率相等，则m = .【答案】1010．已知函数222()log (2)2f x x a x a =+++−的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 . 【答案】{}1 11、如图，在ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13AP t AC AB =+，若ABC 的面积为2，则AP 的最小值为 . .【解析】1323AP t AC AB t AC AB =+=+，21133t t ∴+=∴=设||,||AC b AB C ==11sin 2222ABC S bC A bc ∆==⋅⋅=，6bc ∴=22222c 91112os 26932AP AC AB AC AB b c π∴⎪⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅=++⨯⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭1(269)2bc ≥+=||min AP ∴=【点评】此题与2019长宁嘉定二模第10题相似 在ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足49CP mCA CB =+，若ABC，3ACB π∠=，则CP 的最小值为 .【解析】4293CP mCA CB mCA CD =+=+，由共线定理，13m =，由ABCS=可得4,2,CA CBCA CB ⋅=∴⋅=222214148393927CP CA CB CA CB CA CB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14161642,392793CA CB CP ⎛⎫⎛⎫≥⋅⋅+=∴≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知数列{}{},n n a b ，满足111a b ==，对任何正整数n 均有1n n n a a b +=++， 1n n n b a b +=+−，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 . 【答案】202133−【解析】()()222112n n n n n n n n a b a b a b a b ++⋅=+−+=，12n n n a b −=()1122,n n n n n n n a b a b a b ++++∴=+=113323nn n n nn n n n n a b c b b a a ⎛⎫+∴=+==⨯ ⎪⎝⎭2020202120206133313S ⎡⎤−⎣⎦∴==−−二、选择题（本大愿满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分，13．若x y 、满足01,0x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则目标函数2f x y =+的最大值为（ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 4【答案】.B14.如图，正方体1111A B C D ABCD −中，E F 、分别为棱1AA BC 、上的点，在平面11ADD A 内且与平面DEF 平行的直线（ ）.A 有一条 .B 有两条 .C 有无数条 .D 不存在【答案】.C15.已知函数()cos cos ,f x x x =⋅ 给出下列结论： ① ()f x 是周期函数；② 函数()f x 图像的对称中心(),0;2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭③ 若()()12,f x f x =则()12;x x k k Z π+=∈④ 不等式sin 2sin 2cos 2cos 2x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15,.88x k x k k Z ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.A ①② .B ②③④ .C ①③④ .D ①②④【答案】D16.设集合{1,2,3,,2020}S =⋯，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径，那么集合S 所有直径为71的子集元素个数之和为（ ）7070.711949.21949.2371949.2721949x A B C D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅【答案】C【解析】n 和71n +为最小和最大元素的子集有702个其中1,2,,70n n n +++每个元素出现次数是692所以n 和71n +出现次数是702,这些子集元素个数之和为69707070222372⨯+⨯=⨯ -11949n ∴≤≤，所以总的元素个数之和为702371949⋅⋅，故选C .三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.-17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD （及其内部）AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转120︒得到的. （1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BP BE ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小.（结果用反三角函数表示【解析】（1）因为34232212122π=⨯π⨯=θ=r S EBC 扇形． 所以，38234π=⨯π=⋅=h S V ． （2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，()031,,C −．所以，()222−−=,,FP ，()231−−=,,AC设异面直线FP 与CA 所成的角为α=αcos 426+=所以，异面直线FP 与CA 所成角426+=αarccos【点评】考察几何体体积的计算公式，比较常规。
上海市交大附中2020届高三下学期期中考试数学试题 Word版含解析
交大附中高三期中数学试卷一． 填空题1.计算矩阵的乘积：()300c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 【答案】(3,)a ac【解析】 【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可. 【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：(3,)a ac【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.计算：012393n n n n n n C C C C ++++=_____.【答案】4n【解析】【分析】 先把原式写成0011223333n n n n n n C C C C ++++，再利用二项式定理得解.【详解】由题得原式=0011223333(13)4n n n n n n n n C C C C ++++=+=. 故答案为：4n【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知23sincos 22θθ+=，则sin θ=_____. 【答案】13【解析】【分析】把等式23sin cos 22θθ+=两边同时平方化简即得解. 【详解】由题得221sin cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=.故答案为：13【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.若双曲线2214x y m-=的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为_____. 【答案】25【解析】 【分析】由题得243,m +=解方程即得解.【详解】由题得20,43,5m m m >+=∴=.所以双曲线的虚轴长为5故答案为：25【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5.在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项 【答案】5【解析】【分析】先求出等比数列的通项，再列举出数列的前几项，比较即得解.【详解】由题得等比数列的通项为112341212121=21(),21,,,,2248n n a a a a a -⨯∴==== 5621211.31,0.66,1632a a =≈=≈ 所以521 1.3116a =≈与1最接近. 所以最接近于1项是第5项.故答案为：5【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.如图，二面角l αβ--的大小是3π，线段AB ⊂α，B l ∈，AB 与l 所成的角为6π，则AB 与平面β所成的角是_____（用反三角函数表示）【答案】3arcsin【解析】【分析】 如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC ，证明3ACO π∠=，不妨设1,AC =根据已知求出32,,2AB AO ==求出3sin 4ABO ∠=即得解. 【详解】如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC .因为AO β⊥，所以AO l ⊥，因为AC l ⊥，,AO AC ⊂平面AOC ,AO AC A ⋂=,所以l ⊥平面AOC ，所以l OC ⊥,所以ACO ∠就是二面角l αβ--的平面角，所以3ACO π∠=.由题得6ABC π∠=,不妨设31,2,AC AB AO =∴== 由题得AB 与平面β所成的角是ABO ∠,所以332sin 24ABO ∠==. 所以3arcsin 4ABO ∠=. 故答案为：3arcsin 4【点睛】本题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算，考查空间直线和平面所成的角的作法和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C -，则△ABC 面积的最大值为_____.3【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得222a b c bc -=-，结合余弦定理可求A 的值，由基本不等式可求4bc ，再利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-(2)()()b a b c b c ∴+-=-2222a b ab b c bc ∴-+-=-，又因为2a =，所以2222222221,,cos ,223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-∴+-=∴==∴=， ABC ∆面积13sin 24S bc A ==， 而222b c a bc +-=222b c bc a ∴+-=2242b c bc bc bc ∴+-=≥-4bc ∴所以13sin 32S bc A ==，即ABC ∆3．3【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8.已知函数()lg(1)f x x =+，()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()g x =()f x ，则函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =_____.【答案】310([0,lg 2])x x -∈【解析】【分析】先根据偶函数性质求出[1x ∈-，0]上的解析式，再根据周期为2求出[1x ∈，2]上的解析式，最后求出反函数．【详解】当10x -时，01x -，()()(1)f x f x lg x ∴=-=-+，当12x 时，120x --，()(2)[(2)1](3)f x f x lg x lg x ∴=-=--+=-+．()(3)(12)g x lg x x ∴=-+，()310g x x ∴-+=，()310g x x ∴=-，所以1()310x g x -=-，()(3)(12)g x lg x x =-+是减函数，()[0,lg 2]g x ∈所以1()310x g x -=-，(02)x lg .故答案为：310([0,lg 2])x x -∈【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查根据函数的奇偶性周期性求解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知()y f x =是定义在R 上的函数，方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解，则这7个解的和为_____.【答案】3.5【解析】【分析】先分析出原方程的两根应满足(1)1αα+-=，再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2ααββγλ---，,即得解.【详解】若α满足(2019)0f α+=，则取1x α=-，则(2020)(2019)0f x f α-=+=，则1α-也是原方程的一根.所以原方程的两根应满足(1)1αα+-=， 既然有7个根，所以应有一根满足1(1),2ααα=-∴=. 所以这7个根为11,,1,,1,2ααββγγ---，, 所以它们的和为13+=3.52. 故答案为：3.5 【点睛】本题主要考查方程的零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ，0b ≠，若集合••1{|0.,}A n ab n n *==∈N ，则A 中所有元素的和为_____. 【答案】143【解析】【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集合A ，求和可得所求．【详解】0.ab 是一个循环节长度为两位的循环纯小数，即0.0.ab =0.100.001991100ab a b ab ab ⨯+++⋯==-， 1{|0.A n ab n==，*110}{|99a b n N n n +∈==，*}n N ∈， a 和b 分别为10以内的非负整数，且ab ，0b ≠， 可得0a =，1b =，99n =；0a =，3b =，33n =；0a =，9b =，11n =； 0a ≠时，不存在满足题意的n ，则A 中所有元素的和为993311143++=．故答案为：143【点睛】本题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法，注意运用列举法，考查化简运算能力，属于基础题．11.已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（*n ∈N ），127k a =⋅（k 是一个已知的正整数），若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =_____. 【答案】 1 【解析】【分析】先分析出当1k =时，当2k =时，得1p =，再说明127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=列举出该数列，即得解.【详解】由题得127k a =⋅是一个偶数，所以112272722k k a a -===， 当1k =时，234567897,22,11,34,17,52,26,13,a a a a a a a a ======== 101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,a a a a a a a a a a a =========== 211,a =，所以1p =；当2k ≥时，1227k a -=是偶数， 所以223272k a a -==， 当2k =时，同理可得1p =；； 所以127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=所以从第1k +项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,所以1p =.故答案为：1【点睛】本题主要考查递推数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】【分析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件，再根据二次函数性质求xy 的最小值.【详解】∵()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+ ()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+, 当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xy x y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二． 选择题13.已知函数()y f x =是R 上的增函数，则对任意12,x x ∈R ，“12x x <”是“12()()f x f x <”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】C【解析】【分析】先证明充分性，再证明必要性，即得解.【详解】当12x x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12()()f x f x <，所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分条件；当12()()f x f x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12x x <，所以所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的必要条件.综合得“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14.已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ） A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上 【答案】B【解析】【分析】先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1bi z b +=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅ 211111444()+1+1+1z bi bi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1bi z b z =- 因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-，消去b 得24y x =-.所以z 对应的点在抛物线上.故选：B【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15.在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ==⋅=，由点集{P |OP ＝λOA ＋μOB ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A. 2B. 3C. 42D. 43【答案】D【解析】由2OA OB OA OB ==⋅=知： 21cos ,,,2223OA OBOA OB OA OB OA OB π⋅===∴=⨯⨯. 不妨设()()()2,0,1,3,,OA OB OP x y ===，则：23x y λμμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解得3123xμλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩由|λ|＋|μ|≤1得3223x y y-+≤.作出可行域，如图所示．则所求面积1243432S=⨯⨯⨯=.本题选择D选项.16.已知1a，{}234,,1,2,3,4a a a∈，()1234,,,N a a a a为1234,,,a a a a中不同数字的种类，如(1123)3N，，，，=(1221)2N=，，，，求所有的256个()1234,,,a a a a的排列所得的()1234,,,N a a a a的平均值为（）A.8732B.114C.17764D.17564【答案】D【解析】【分析】本题首先可以确定()1234,,,N a a a a的所有可能取值分别为1234、、、，然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出()1234,,,N a a a a的平均值．【详解】由题意可知：当()1234,,,1N a a a a=时，14114464P=⨯=；当()1234,,,2N a a a a =时，()1214442468421425664C C C P ⨯++===；当()1234,,,3N a a a a =时，()34436+3+31449425616P ⨯===； 当()1234,,,4N a a a a =时，4444243==425632A P =，综上所述，所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为：121931751+2+3+4=6464163264⨯⨯⨯⨯，故选D ． 【点睛】本题考查了平均值的计算，能否通过题意得出()1234,,,N a a a a 的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决本题的关键，考查推理能力与计算能力，是难题． 三． 解答题17.如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ． 【答案】（1）=50S π厘米，1253V π=（2）53h =厘米． 【解析】 【分析】（1）设底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，求出圆锥的高，利用公式即可求出该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）根据圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米即可求出最高点到桌面的距离d ． 【详解】（1）设底面半径为r 厘米，母线的长为l 厘米，则10l =厘米，且r l 2π=π， 解得：=5r 厘米，表面积=50S rl ππ=（平方厘米），圆锥的高2253h l r =-=（厘米）， ∴体积21125333V r h ππ==（立方厘米）． （2）∵圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米， ∴最高点到底面的距离为等边三角形的高，53h =厘米．【点睛】本题主要考查圆锥的表面积和体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，，2πϕ<）的图象如下图所示（1）求出函数()f x 的解析式； （2）若将函数()f x 的图象向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数()y g x =的图象，求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心. 【答案】（1）1()4sin()223f x x π=++；（2）[,],36k k k Z ππππ-+∈，(,2),212k k Z ππ-∈.【解析】 【分析】（1）通过函数的图象求出振幅，周期，以及b ．求出函数f （x ）的解析式；（2）利用平移变换的运算求出函数y ＝g （x ）的解析式，通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心．【详解】（1） 6422A b A A b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩由图可得212422T T πππωω=⇒==⇒= 且()62,362f k k Z πππϕπ=⇒+=+∈而2πϕ<,故3πϕ=综上1()4sin()223f x x π=++（2）显然()4sin(2)26g x x π=++ 由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()g x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈.. 由2,(,2),6212k x k k Z k Z ππππ+=∈⇒-∈. 【点睛】本题考查三角函数的解析式的求法，平移变换以及正弦函数的单调区间，对称中心的求法，考查计算能力．19.若函数()y f x =满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()f x f x λ=成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①()2x f x =，②2()log g x x =是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数()y h x =的值域为[,]m n ，求证：“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是“0[,]m n ∉”．【答案】（1）①是，②不是；理由详见解析（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）①可取1λ=，说明函数()2x f x =是“依附函数”； ②对于任意正数λ，取11x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，说明2()log g x x =不是“依附函数”；（2）先证明必要性，再证明充分性，即得证.【详解】（1）①可取1λ=，则对任意1x ∈R ，存在21x x =-∈R ，使得12221x x ⋅=成立，（说明：可取任意正数λ，则221log x x λ=-） ∴()2x f x =是“依附函数”，②对于任意正数λ，取11x =，则1()0g x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，∴2()log g x x =不是“依附函数”． （2）必要性：（反证法）假设0[,]m n ∈，∵()y h x =的值域为[,]m n ，∴存在定义域内的1x ，使得1()0h x =， ∴对任意正数λ，关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解， 即()y h x =不是依附函数，矛盾， 充分性：假设0[,]m n ∉，取0mn λ=>，则对定义域内的每一个值1x ，由1()[,]h x m n ∈，可得1[,][,]()m n h x n mλλλ∈=，而()y h x =的值域为[,]m n ， ∴存在定义域内的2x ，使得21()()h x h x λ=，即12()()h x h x λ=成立，∴()y h x =是“依附函数”．【点睛】本题主要考查函数的新定义，考查充分必要条件的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，已知点P 是x 轴下方（不含x 轴）一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B满足PD DA λ=，PE EB λ=，其中λ为常数，且D 、E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M ．（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点，过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点，求证：若1l 和2l 的斜率都存在，则1l 与2l 的交点N 在直线PM 上； （3）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值． 【答案】（1）230x y -+=；（2）详见解析；（3）证明详见解析，定值为1+λλ． 【解析】 【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，得到211230x x --=和222230x x --=，即得,A B 的坐标，即得弦AB 所在的直线方程；（2）先求出1:690l x y --=，2:210l x y ++=，再求出交点(1,3)N -，即得证；（3）先求出直线PM 的方程为0x x =，得到200(12)(1)M x y y λλλ+-+=，20Q y x =，即得线段PQ 与QM 的比. 【详解】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PD DA =，3PE EB =，可得111323(,)44x y D +-+，221323(,)44x y E +-+，由D 点在C 上可得：2112313()44y x -++=，化简得：211230x x --=，同理可得： 222230x x --=，∵A 、B 两点不同，不妨设(3,9)A ，(1,1)B -， ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=．（2）由（1）可知，(3,9)A ，(1,1)B -，设11:9(3)l y k x -=-，与2:C y x =联立，并令0∆=，可得16k =，同理2l 的斜率22k =-，∴1:690l x y --=，2:210l x y ++=，解方程组得交点(1,3)N -，而直线PM 的方程为1x =，得证．（3）设00(,)P x y ，211(,)A x x ，222(,)B x x ，由PD DA λ=，得20101(,)11x x y x D λλλλ++++，代入2yx ，化简得：22101002(1)0x x x y x λλλ-++-=， 同理可得：22202002(1)0x x x y x λλλ-++-=，显然12x x ≠，∴1x 、2x 是方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根，∴1202x x x +=，20012(1)y x x x λλ+-⋅=，∴1202M x x x x +==，即直线PM 的方程为0x x =， ∵2220012(12)(1)2M x y x x y λλλ+-++==，20Q y x =， ∴200(1)(1)M Q x y y y λλλ+-+-=，200Q P y y x y -=-，所以线段PQ 与QM 的比为200200(1)(1)1Q PM Q y y x y y x y y λλλλλ-==+-+--+∴线段PQ 与QM 的比为定值1λλ+．【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程的求法，考查抛物线的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足6713a a a +=，2224967a a a a +=+，设正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且423n n S b +=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b 、11x 、2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x ，使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列；⋅⋅⋅；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x ，使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列． ① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++；② 对于①中的n T ，是否存在正整数m 、n ，使得12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(,)m n ；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）n a n =，1123n nb -=⋅；（2）①123(3)43nnn T +=-；②存在符合题意的正整数对(,)m n ，它们为(3,3)和(9,2)．【解析】 【分析】（1）求出等差数列的首项和公差即得数列{}n a 的通项公式，由题得当2n ≥时，423n n S b +=，11423n n S b --+=，相减即得{}n b 的通项公式；（2）①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++，再利用错位相减法求和得解；②假设存在正整数,m n ，使得12m n m a T a +=，化简得2(23)23(23)nn m n +=+-+，令()33(23)n f n n =-+，证明4n ≥时，2(23)3(23)nn n +∉-+Z ，列举得解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，则由6713a a a +=可得1a d =，再由2224967a a a a +=+化简得：244d d =，解得：1d =，∴n a n =，当1n =时，11423S b +=得：112b =；当2n ≥时，423n n S b +=，11423n n S b --+=， 两式相减得113n n b b -=，∴1123n n b -=⋅． （2）①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++，123121113521[35(21)][1]243333n n n n n nb b b n b nb +--=++++-+=+++++， 设2135211333n n P --=++++，所以2311352133333nn P -=++++， 上面两式错位相减得23122222211++333333n nn P --=+++-， 所以1111[1()]2211211331+22()=2()(22)13333313n n n n n n n P n -----=⨯-=---⨯+- 所以13313=333n n n n P -++=--， ∴123(3)43n n n T +=-． ②假设存在正整数,m n ，使得12m n ma T a +=， 代入化简得23(23)3n nn m -+=，即2(23)23(23)n n m n +=+-+， 令()33(23)n f n n =-+，则由(1)()2(33)0n f n f n +-=-≥可得：(1)(2)(3)(4)()f f f f f n =<<<<<．当4n ≥时，()(4)480f n f ≥=>，∴3(23)2(23)nn n -+>+，即2(23)3(23)nn n +∉-+Z ，舍去； 当1n =时，3m =-，舍去； 当2n =时，9m =，符合题意； 当3n =时，3m =，符合题意；综上：存在符合题意正整数对(,)m n ，它们为(3,3)和(9,2)．【点睛】本题主要考查数列通项的求法和数列求和，考查数列的存在性问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网- 21 -。
2019-2020学年上海交大附中高一(下)期末数学试卷
2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.3分）计算：arcsin （sin 5π6 ）=___ ．2.（填空题.3分）关于未知数x.y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) .则此方程组的解x+y=___ ．3.（填空题.3分）设 a ⃗=(32，sinα) . b ⃗⃗=(cosα，13) .且 a ⃗ || b ⃗⃗ .则cos2α=___ ． 4.（填空题.3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π3 .则a=___ ． 5.（填空题.3分）已知平面向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |= √3 .| b ⃗⃗ |=2. a ⃗•b ⃗⃗ =-3.则| a ⃗+2b ⃗⃗ |=___ ． 6.（填空题.3分）设S 1=12.S 2=12+22+12.S 3=12+22+32+22+12.….S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12．希望证明S n =n(2n 2+1)3.在应用数学归纳法求证上式时.第二步从k 到k+1应添的项是___ ．（不用化简）7.（填空题.3分）已知 a ⃗ + b ⃗⃗ + c ⃗ = 0⃗⃗ .且| a ⃗ |=3.| b ⃗⃗ |=4.| c ⃗ |=5.则 a ⃗ • b ⃗⃗ + b ⃗⃗ • c ⃗ + c ⃗ • a ⃗ =___ . a ⃗ • b⃗⃗ =___ ． 8.（填空题.3分）若数列{a n }为无穷等比数列.且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2.则a 1的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）设数列{a n }是公比为q 的等比数列.则 |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =___ ． 10.（填空题.3分）已知向量 a ⃗ =（5.5）. b ⃗⃗ =（λ.1）.若 a ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗ - b ⃗⃗ 的夹角是锐角.则实数λ的取值范围为___ ．11.（填空题.3分）如图.已知O 为矩形ABCD 内的一点.且OA=2.OC=4.AC=5.则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．12.（填空题.3分）已知平面直角坐标系内定点A （1.1）.动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.动点C 满足| CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3.则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为___ ．13.（单选题.3分）要得到函数y=3sin （2x+ π3 ）的图象.只需将函数y=3sin2x 的图象（ ）A.向左平移 π3 个单位长度 B.向右平移 π3 个单位长度 C.向左平移 π6 个单位长度 D.向右平移 π6 个单位长度14.（单选题.3分）O 是平面上一定点.A 、B 、C 是平面上不共线的三个点.动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) .λ∈[0.+∞）.则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心15.（单选题.3分）已知数列{a n }为等差数列.a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0.设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*）.当{b n }的前n 项和S n 最小时.n 的值有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个16.（单选题.3分）设O 为△ABC 所在平面内一点.满足2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -7 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（ ） A.6 B. 83 C. 127 D.417.（问答题.0分）解关于x 、y 的一元二次方程组 {ax +3y =−a −3x +(a −2)y =−2 .并对解的情况进行讨论．18.（问答题.0分）已知x∈R .设 m ⃗⃗⃗ =（ √3 cosx.sinx-cosx ）. n ⃗⃗ =（2sinx.sinx+cosx ）.记函数f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ ．（1）求函数f （x ）的最小值.并求出函数f （x ）取最小值时x 的值；（2）设△ABC 的角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.若f （C ）=2.c=2 √3 .求△ABC 的面积S 的最大值．19.（问答题.0分）已知△ABC 内接于⊙O .AB=c.BC=a.CA=b.⊙O 的半径为r ． （1）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .试求∠BOC 的大小； （2）若A 为动点.∠BAC=60°. AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .试求λ+μ的最大值．20.（问答题.4分）已知平方和公式：12+22+…+n 2= n (n+1)(2n+1)6.其中n∈N*． （1）记f （n ）=（-3n+1）2+…+（-5）2+（-2）2+12+42+…+（3n-2）2.其中n∈N*.求f （20）的值；（2）已知 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948 .求自然数n 的值；（3）抛物线y=kx 2、x 轴及直线AB ：x=a 围成了如图（1）的阴影部分.AB 与x 轴交于点A.把线段OA 分成n 等份.作以 an为底的内接矩形如图（2）.阴影部分的面积为S.等于这些内接矩形面积之和．a n×k×（ a n）2 +a n×k×（ 2a n）2 +a n×k×（ 3a n）2+…+ a n×k×（ n−1na ）2. 当n→+∞时的极限值S=n→∞[k•（ 1n）2+k•（ 2n）2+k•（ 3n）2+…+k•（n−1n ）2]2• an= n→∞ 12+22++(n−1)2n 3 •ak= n→∞(n−1)•n•(2n−1)6n 3 •ak= 13 ak ．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y2=x．抛物线y= √x、x轴及直线AB：x=4围成了图中的阴影部分.请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）21.（问答题.0分）设数列{a n}的前n项和为S n.2S n+a n=3.n∈N*.数列{b n}满足：对于任意的）n-1+3n-3成立．n∈N*.都有a1b n+a2b n-1+a3b n-1+…+a n b1=（13（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n=a n b n.问：数列{c n}中是否存在三项.使得它们构成等差数列？若存在.求出这三项；若不存在.请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.3分）计算：arcsin （sin 5π6 ）=___ ． 【正确答案】：[1] π6【解析】：由题意利用反正弦函数的定义.特殊角的三角函数值.求得结果．【解答】：解：arcsin （sin 5π6 ）=arcsin 12 = π6 . 故答案为： π6 ．【点评】：本题主要考查反正弦函数的定义.特殊角的三角函数值.属于基础题． 2.（填空题.3分）关于未知数x.y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) .则此方程组的解x+y=___ ．【正确答案】：[1] 307【解析】：推导出 {2x +y =63x −2y =0 .由此能求出x+y 的值．【解答】：解：∵关于未知数x.y 的方程组对应的增广矩阵为 (2163−20) . ∴ {2x +y =63x −2y =0 .解得 {x =127y =187 . ∴x+y= 307． 故答案为： 307 ．【点评】：本题考查方程的解求法.考查增广矩阵等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．3.（填空题.3分）设 a ⃗=(32，sinα) . b ⃗⃗=(cosα，13) .且 a ⃗ || b ⃗⃗ .则cos2α=___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：由平面向量的共线定理列方程求出sin2α的值.再求cos2α的值．【解答】：解：由 a ⃗=(32，sinα) . b ⃗⃗=(cosα，13) .且 a ⃗ || b ⃗⃗ . 则sinαcosα- 32 × 13 =0. 所以sinαcosα= 12 . 所以sin2α=1； 所以2α= π2 +2kπ.k∈Z ； 所以cos2α=0． 故选：0．【点评】：本题考查了平面向量的共线定理与三角函数求值问题.是基础题． 4.（填空题.3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π3 .则a=___ ． 【正确答案】：[1] √3【解析】：由题意化简函数f （x ）.将函数的对称轴代入可得辅助角的值.进而求出正切值.可得a 的值．【解答】：解：由题意显然a≠0.当a ＞0时.f （x ）= √a 2+1 sin （x+α）.且tanα= 1a . 因为函数的一条对称轴为x= π3.所以 π3+α= π2+kπ.k∈Z . 所以α= π6+kπ.k∈Z . 则tanα=tan （ π6+kπ）= √33. 所以 √33= 1a.解得：a= √3 ；当a ＜0.则f （x ）=- √a 2+1 sin （x+α）.且tanα= 1a . 下面运算相同. 综上所述.可得a= √3 . 故答案为： √3 ．【点评】：本题考查三角函数的化简即正弦函数的性质.属于基础题．5.（填空题.3分）已知平面向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |= √3 .| b ⃗⃗ |=2. a ⃗•b ⃗⃗ =-3.则| a ⃗+2b ⃗⃗ |=___ ． 【正确答案】：[1] √7【解析】：求出（a⃗+2b⃗⃗）2.开方即为| a⃗+2b⃗⃗ |．【解答】：解：（a⃗+2b⃗⃗）2= a⃗2+4a⃗•b⃗⃗+4b⃗⃗2 =3-12+16=7.∴| a⃗+2b⃗⃗ |= √7．故答案为：√7．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算.属于基础题．6.（填空题.3分）设S1=12.S2=12+22+12.S3=12+22+32+22+12.….S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12．希望证明S n= n(2n2+1).在应用数学归纳法求证上式时.第二步从k到k+1应添的项是___ ．（不用化简）3【正确答案】：[1]（k+1）2+k2【解析】：分别写出n=k与n=k+1时S n中的项.然后确定从k到k+1应添的项．【解答】：解：当n=k时.S n=12+22+32+…+k2+…+32+22+12.那么.当n=k+1时.S k+1=12+22+32+…k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12．从k到k+1应添的项是（k+1）2+k2.故答案为：（k+1）2+k2．【点评】：本题考查数学归纳法证题的步骤.考查逻辑思维能力与推理论证能力.是基础题．7.（填空题.3分）已知a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗ .且| a⃗ |=3.| b⃗⃗ |=4.| c⃗ |=5.则a⃗• b⃗⃗ + b⃗⃗• c⃗ + c⃗• a⃗ =___ . a⃗• b⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]-25; [2]0【解析】：首先.根据a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗得到c⃗=−(a⃗+b⃗⃗) .然后.根据| c⃗ |=5.求解a⃗•b⃗⃗=0 .然后.再求解a⃗• b⃗⃗ + b⃗⃗• c⃗ + c⃗• a⃗的值．【解答】：解：∵ a⃗ + b⃗⃗ + c⃗ = 0⃗⃗ .∴ c⃗=−(a⃗+b⃗⃗) .∵| c⃗ |=5.∴（a⃗+b⃗⃗）2=25.∴| a⃗|2+2a⃗•b⃗⃗+|b⃗⃗|2 =25.∵| a⃗ |=3.| b⃗⃗ |=4.∴9+2 a⃗•b⃗⃗ +16=25.a ⃗•b⃗⃗=0 . ∴ a ⃗ • b ⃗⃗ + b ⃗⃗ • c ⃗ + c ⃗ • a ⃗ = a ⃗ • b ⃗⃗ + c ⃗ •（ a ⃗ + b ⃗⃗ ） = a ⃗•b ⃗⃗ -（ a ⃗+b ⃗⃗ ）2 =0-25=-25． 故答案为：-25；0．【点评】：本题重点考查了平面向量的基本运算.数量积的运算性质等知识.属于中档题． 8.（填空题.3分）若数列{a n }为无穷等比数列.且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2.则a 1的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-4.-2）∪（-2.0）【解析】：设公比为q.由题意可得0＜|q|＜1.且 a11−q =-2.解不等式可得所求范围．【解答】：解：数列{a n }为无穷等比数列.且 lim n→∞（a 1+a 2+a 3+…+a n-1+a n ）=-2.设公比为q.可得0＜|q|＜1.且 a11−q =-2.则q=1+ a12 .由0＜|1+ a12 |＜1.解得-4＜a 1＜-2或-2＜a 1＜0. 故答案为：（-4.-2）∪（-2.0）．【点评】：本题考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题． 9.（填空题.3分）设数列{a n }是公比为q 的等比数列.则 |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =___ ． 【正确答案】：[1]0【解析】：利用三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式直接求解．【解答】：解：∵数列{a n }是公比为q 的等比数列. ∴ |a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9| =a 1a 5a 9+a 4a 8a 3+a 2a 6a 7-a 7a 5a 3-a 8a 6a 1-a 4a 2a 9 = a 13q 12 + a 13q 12 + a 13q 12 - a 13q 12 - a 13q 12 - a 13q 12 =0． 故答案为：0．【点评】：本题考查三阶行列式的值的求法.考查三阶行列式展开法则和等比数列的通项公式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．10.（填空题.3分）已知向量 a ⃗ =（5.5）. b ⃗⃗ =（λ.1）.若 a ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗ - b ⃗⃗ 的夹角是锐角.则实数λ的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-7.1）∪（1.7）【解析】：可先求出 a ⃗+b ⃗⃗=(λ+5，6)，a ⃗−b ⃗⃗=(5−λ，4) .根据题意即可得出 {(λ+5)(5−λ)+24＞04(λ+5)−6(5−λ)≠0.然后解出λ的值即可．【解答】：解： a ⃗+b ⃗⃗=(λ+5，6)，a ⃗−b ⃗⃗=(5−λ，4) . ∵ a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b⃗⃗ 的夹角是锐角. ∴ (a ⃗+b ⃗⃗)•(a ⃗−b ⃗⃗)＞0 .且 a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b ⃗⃗ 不共线. ∴ {(λ+5)(5−λ)+24＞04(λ+5)−6(5−λ)≠0 .解得-7＜λ＜7且λ≠1.∴实数λ的取值范围为（-7.1）∪（1.7）． 故答案为：（-7.1）∪（1.7）．【点评】：本题考查了向量坐标的加法和减法运算.向量数量积的计算公式.共线向量的坐标关系.考查了计算能力.属于基础题．11.（填空题.3分）如图.已知O 为矩形ABCD 内的一点.且OA=2.OC=4.AC=5.则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]- 52【解析】：建立坐标系.设O （m.n ）.C （a.b ）.根据条件得出O.C 的坐标之间的关系.再计算 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：以A 为原点.以AB.AD 为坐标轴建立平面直角坐标系. 设O （m.n ）.B （a.0）.D （0.b ）.则C （a.b ）. ∵OA=2.OC=4.AC=5.∴ {a 2+b 2=25m 2+n 2=4(m −a )2+(n −b )2=16 .整理可得：am+bn= 132 ． 又 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（a-m.-n ）. OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-m.b-n ）. ∴ OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m （m-a ）+n （n-b ）=m 2+n 2-（am+bn ）=4- 132 =- 52 ． 故答案为：- 52 ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算.属于中档题．12.（填空题.3分）已知平面直角坐标系内定点A （1.1）.动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.动点C 满足| CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3.则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为___ ． 【正确答案】：[1]24π【解析】：本题先将B 固定.得到C 的轨迹.C 的轨迹随着B 的动点而运动从而形成一个圆环.即C 在平面直角坐标系内覆盖的图形．【解答】：解：因为动点B 满足| AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.所以B 点的轨迹是以A 为圆心.2为半径的一个圆. 又因为动点C 满足| CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3.所以C 点轨迹是以B 为圆心.3为半径的一个圆. 当B 点在圆上运动时.C 点在平面直角坐标系内覆盖的图形如下图所示即C在平面直角坐标系内覆盖的图形为一个圆环.其中大圆的半径为5.小圆的半径是1.所以C在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为52π-12π=24π．【点评】：本题考查根据曲线的轨迹方程求面积.考查学生的直观想象能力和作图能力.易错点是把覆盖的面积看成一整个圆.属于中档题．13.（单选题.3分）要得到函数y=3sin（2x+ π3）的图象.只需将函数y=3sin2x的图象（）A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向右平移π6个单位长度【正确答案】：C【解析】：由于函数y=3sin（2x+ π3）=3sin2（x+ π6）.故只要将函数y=3sin2x的图象相左平移π6个单位即可实现目标．【解答】：解：由于函数y=3sin（2x+ π3）=3sin2（x+ π6）.故只要将函数y=3sin2x的图象相左平移π6个单位.即可得到函数y=3sin（2x+ π3）的图象．故选：C．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.属于中档题．14.（单选题.3分）O 是平面上一定点.A 、B 、C 是平面上不共线的三个点.动点P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) .λ∈[0.+∞）.则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心【正确答案】：B【解析】：先根据 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量.确定 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的方向与∠BA C 的角平分线一致.再由OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) 可得到 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|）.可得答案．【解答】：解：∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量 ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的方向与∠BAC 的角平分线一致又∵ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|) .∴ OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|） ∴向量 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与∠BAC 的角平分线一致 ∴一定通过△ABC 的内心 故选：B ．【点评】：本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．15.（单选题.3分）已知数列{a n }为等差数列.a 1＜0且a 1+a 2+a 3+…+a 199=0.设b n =a n a n+1a n+2（n∈N*）.当{b n }的前n 项和S n 最小时.n 的值有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个【正确答案】：B【解析】：根据等差数列的性质.可推得a 100=0.进而可得数列{a n }为递增数列.a 99＜0.a 101＞0.根据题意.b n =a n a n+1a n+2（n∈N*）.当n≤97时.b n ＜0；当n=98.n=99.n=100时.b n =0；当n≥101时.b n ＞0．所以{b n }的前n 项和S n 最小时.n=97或n=98或n=99或n=100.共4个．【解答】：解：∵数列{a n }为等差数列 ∴a 1+a 199=a 2+a 198=…=a 99+a 101=2a 100. 又∵a 1+a 2+a 3+…+a 199=0. 即199a 100=0. ∴a 100=0．又∵a 1＜0.∴数列{a n }为递增数列. ∴a 99＜0.a 101＞0.∵b n =a n a n+1a n+2（n∈N*）.∴{b n }的前n 项和S n =a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n+1a n+2. 当n≤97时.b n ＜0.当n=98.n=99.n=100时.b n =0. 当n≥101时.b n ＞0.∴{b n }的前n 项和S n 最小时.n=97或n=98或n=99或n=100.共4个． 故选：B ．【点评】：本题主要考查等差数列的性质.考查数列的前n 项和的最值.考查学生运算和推理的能力.属于中档题．16.（单选题.3分）设O 为△ABC 所在平面内一点.满足2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -7 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .则△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为（ ） A.6 B. 83 C. 127 D.4【正确答案】：D【解析】：先设 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .于是得到点O 是△A 1B 1C 1的重心.则 S △OA 1B 1=S △OA 1C 1=S △OB 1C 1 =k.再结合三角形面积公式即可求出△ABC 的面积与△BOC 的面积.进而得到答案．【解答】：解：不妨设 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−7OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .如图所示.根据题意则 OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ .即点O 是△A 1B 1C 1的重心.所以有 S △OA 1B 1=S △OA 1C 1=S △OB 1C 1 =k. 又因为 S △OBCS△OB 1C 1=OB•OCOB1•OC 1=121 . S △OABS△OA 1B 1=OA•OB OA1•OB 1=114 . S △OACS△OA 1C 1=OA•OC OA1•OC 1=16 .那么 S △OBC =121k . S △OAB =114k . S △OAC =16k .S △ABC =S △OAB +S △OAC −S △OBC =(114+16−121)k =421k . 故△ABC 的面积与△BOC 的面积的比值为 421k 121k =4 ．故选：D ．【点评】：本题考查了向量的数乘运算.重心的性质.三角形的面积公式.考查了转化与化归的数学思想.属于难题．17.（问答题.0分）解关于x 、y 的一元二次方程组 {ax +3y =−a −3x +(a −2)y =−2 .并对解的情况进行讨论．【正确答案】：【解析】：（1）若 a1 = 3a−2 = −a−3−2（a-2≠0）.解得a.可得方程组有无数个解．（2）若 a1 = 3a−2 ≠−a−3−2（a-2≠0）.解得a.可得方程组无解．（3）若a=2时.方程组化为： {2x +3y =−5x =−2 .解出即可判断出结论．．若a-2≠0. a1 ≠ 3a−2 .解出可得方程组有唯一解．【解答】：解：（1）若 a1 = 3a−2 = −a−3−2（a-2≠0）.则a=3.此时两条直线重合.方程组有无数个解．（2）若 a1 = 3a−2 ≠−a−3−2（a-2≠0）.则a=-1.此时两条直线平行.方程组无解．（3）若a=2时.方程组化为： {2x +3y =−5x =−2 .解得 {x =−2y =−13 ．若a-2≠0. a 1≠ 3a−2.则a≠3.-1.2.此时两条直线相交.方程组有唯一解 {x =−a−4a+1y =−1a+1．【点评】：本题考查了方程组的解法、分类讨论方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题． 18.（问答题.0分）已知x∈R .设 m ⃗⃗⃗ =（ √3 cosx.sinx-cosx ）. n ⃗⃗ =（2sinx.sinx+cosx ）.记函数f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ ．（1）求函数f （x ）的最小值.并求出函数f （x ）取最小值时x 的值；（2）设△ABC 的角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.若f （C ）=2.c=2 √3 .求△ABC 的面积S 的最大值．【正确答案】：【解析】：结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数化简为f （x ）=2sin （2x- π6 ）．（1）根据正弦函数的图象可知.当2x- π6= −π2+2kπ时.f （x ）可取得最小值． （2）易知C= π3 .由余弦定理得.cosC= a 2+b 2−c 22ab .再利用基本不等式的性质可求出ab 的最大值.然后根据S △ABC = 12 absinC 即可得解．【解答】：解：f （x ）= m ⃗⃗⃗ •n ⃗⃗ =2 √3 sinxcosx+（sinx-cosx ）（sinx+cosx ）= √3 sin2x-cos2x=2sin （2x- π6 ）． （1）∵x∈R .∴2x - π6 ∈R .当2x- π6 = −π2 +2kπ.即x= −π6 +kπ.k∈Z 时.f （x ）min =2×（-1）=-2． 故f （x ）的最小值为-2.此时x= −π6 +kπ.k∈Z ．（2）∵f （C ）=2.∴2sin （2C- π6 ）=2.∴2C - π6 = π2 +2π.k∈Z .即C= π3 +kπ.k∈Z ． ∵C∈（0.π）.∴C= π3 ． 由余弦定理知.cosC= a 2+b 2−c 22ab .即 12 = a 2+b 2−122ab ≥ 2ab−122ab .当且仅当a=b 时.取等号．∴ab≤12.∴S △ABC = 12 absinC≤ 12×12×√32= 3√3 ． 故△ABC 的面积S 的最大值为 3√3 ．【点评】：本题考查平面向量与解三角形的综合运用.包含平面向量数量积的运算、二倍角公式、余弦定理以及基本不等式的性质等基础考点.考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力.属于中档题．19.（问答题.0分）已知△ABC 内接于⊙O .AB=c.BC=a.CA=b.⊙O 的半径为r ． （1）若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .试求∠BOC 的大小； （2）若A 为动点.∠BAC=60°. AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .试求λ+μ的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ .得∴- OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .等式两边同时平方.即可求得cos∠BOC=- √32 .进而求得∠BOC= 56π ．（2）因为⊙O 中.∠BAC=60°.所以∠BOC=120°. AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .等式两边同时平方.可得λ2+μ2=λμ+1.根据均值不等式.即可求得λ+μ≤2．【解答】：解：（1）∵ OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ . ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=（2 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + √3OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2. ∵AO=OB=OC=r .∴r 2=4r 2+2•2• √3 r 2•cos∠BOC+3r 2. 计算得cos∠BOC=- √32 . 由题.∠BOC∈（0.π）. ∴∠BOC= 56π ．（2）由题.⊙O 中.∠BAC=60°. ∴∠BOC=120°. AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = λOC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=（ λOC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2. ∴r 2=λ2r 2+2•λ•μr 2•cos120°+μ2r 2. ∴λ2+μ2=λμ+1.根据题意.可知λ＞0.μ＞0. ∴（λ+μ）2=3λμ+1≤3• (λ+μ)24+1.（当且仅当λ=μ时等式成立）.∴（λ+μ）2≤4 ∴λ+μ≤2．∴λ+μ的最大值为2．【点评】：本题考查了平面向量的数量积的应用及基本不等式的应用．考查学生转化的思想.属于中档题．20.（问答题.4分）已知平方和公式：12+22+…+n 2=n (n+1)(2n+1)6.其中n∈N*．（1）记f （n ）=（-3n+1）2+…+（-5）2+（-2）2+12+42+…+（3n-2）2.其中n∈N*.求f （20）的值；（2）已知 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948 .求自然数n 的值；（3）抛物线y=kx 2、x 轴及直线AB ：x=a 围成了如图（1）的阴影部分.AB 与x 轴交于点A.把线段OA 分成n 等份.作以 an 为底的内接矩形如图（2）.阴影部分的面积为S.等于这些内接矩形面积之和．an ×k×（ an ）2 +an ×k×（ 2an ）2 +an ×k×（ 3an ）2+…+ an ×k×（ n−1na ）2. 当n→+∞时的极限值S=n→∞[k•（ 1n ）2+k•（ 2n ）2+k•（ 3n ）2+…+k•（n−1n ）2]2• a n=n→∞12+22++(n−1)2n 3 •ak= n→∞(n−1)•n•(2n−1)6n 3 •ak= 13 ak ．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线y 2=x ．抛物线y= √x 、x 轴及直线AB ：x=4围成了图中的阴影部分.请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积（说明：直角积分运算最高得分为4分）【正确答案】：【解析】：（1）直接利用关系式的应用求出函数的值． （2）利用合比性质的应用求出n 的值．（2）首先求出被积函数原函数.进一步求出定积分的值．【解答】：解：（1）f （20）=（-59）2+（-56）2+...+（-5）2+（-2）2+12+42+...+（58）2. =12+22+32+...+592-[32+62+92+ (572)=12+22+32+…+592-[（3×1）2+（3×2）2+（3×3）2+…+（3×19）2] =12+22+32+…+592-[9×（12+22+32+…+192）] =59×(59+1)×(2×59+1)6 -9× 19×(19+1)(2×19+1)6=47980； （2） 12+32+⋯+(2n+1)222+42+⋯+(2n )2 = 4948 .由合比性质可知 12+32+⋯+(2n+1)2+22+42+⋯+(2n )222+42+⋯+(2n )2 = 49+4848. 所以(2n+1)[(2n+1)+1][2(2n+1)+1]64×n (n+1)(2n+1)6= 9748 .解得n=72.所以自然数n 的值为72．（3）S= ∫√x 40dx = 23x 32|04=163．【点评】：本题考查的知识要点：数列的求和.合比性质.定积分.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题．21.（问答题.0分）设数列{a n}的前n项和为S n.2S n+a n=3.n∈N*.数列{b n}满足：对于任意的n∈N*.都有a1b n+a2b n-1+a3b n-1+…+a n b1=（13）n-1+3n-3成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列c n=a n b n.问：数列{c n}中是否存在三项.使得它们构成等差数列？若存在.求出这三项；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）将n换为n-1.运用数列的递推式.结合等比数列的定义和通项公式.可得所求通项；（2）a1b n+a2b n-1+a3b n-1+…+a n b1=（13）n-1+3n-3中的n换为n-1.乘以13.相减可得所求通项公式；（3）求得c n=a n b n= 2n−13n−1.讨论单调性.假设存在三项c s.c p.c r成等差数列.其中s.p.r∈N*.运用等差数列中项性质和不等式的性质.推理运算.即可得到所求结论．【解答】：解：（1）由2S n+a n=3. ①得2S n-1+a n-1=3.（n≥2）. ②由① - ② 得2a n+a n-a n-1=0.即a n= 13a n-1（n≥2）．对① 取n=1得.a1=1≠0.所以a n≠0.所以{a n}为等比数列.首项为1.公比为13.即a n=（13）n-1.n∈N*．（2）由a n=（13）n-1.可得对于任意n∈N*．有b n+ 13 b n-1+（13）2b n-2+…+（13）n-1b1=（13）n-1+3n-3. ③则b n-1+ 13 b n-2+（13）2b n-3+…+（13）n-2b1=（13）n-2+3n-6.n≥2. ④则13 b n-1+（13）2b n-2+（13）3b n-3+…+（13）n-1b1=（13）n-1+n-2.n≥2. ⑤由③ - ⑤ 得b n=2n-1（n≥2）.对③ 取n=1得.b1=1也适合上式. 因此b n=2n-1.n∈N*．（3）由（1）（2）可知c n =a n b n = 2n−13n−1 . 则c n+1-c n =2n+13n - 2n−13n−1 = 4(1−n )3n. 所以当n=1时.c n+1=c n .即c 1=c 2.当n≥2时.c n+1＜c n .即{c n }在n≥2且n∈N*上单调递减. 故c 1=c 2＞c 3＞c 4＞c 5＞….假设存在三项c s .c p .c r 成等差数列.其中s.p.r∈N*. 由于c 1=c 2＞c 3＞c 4＞c 5＞….可不妨设s ＜p ＜r.则2c p =c s +c r （*）. 即2(2p−1)3p−1 = 2s−13s−1 + 2r−13r−1. 因为s.p.r∈N*.且s ＜p ＜r.则s≤p -1且p≥2. 由数列{c n }的单调性可知.c s ≥c p-1.即 2s−13s−1 ≥ 2p−33p−2. 因为c r =+ 2r−13r−1 .＞0. 所以 2(2p−1)3p−1 = 2s−13s−1 + 2r−13r−1 ＞ 2p−33p−2 . 即以2(2p−1)3p−1 ＞ 2p−33p−2.化简得p ＜ 72 .又p≥2且p∈N*.所以p=2或p=3.当p=2时.s=1.即c 1=c 2=1.由r≥3时.c r ＜c 2=1. 此时c 1.c 2.c r 不构成等差数列.不合题意．当p=3时.由题意s=1或s=2.即c s =1.又c p =c 3= 59 . 代入（*）式得c r = 19 ．因为数列{c n }在n≥2且n∈N*上单调递减.且c 5= 19 . r≥4.所以r=5．综上所述.数列{c n }中存在三项c 1.c 3.c 5或c 2.c 3.c 5构成等差数列．【点评】：本题考查数列的通项公式的求法.注意运用数列的递推式.考查等差数列中项性质.以及分类讨论思想方法.考查运算能力和推理能力.属于中档题．。
2020届上海市上海交通大学附属中学高三下学期考前测试数学试题
2020届上海市上海交通大学附属中学高三下学期考前测试数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．“22x ππ⎡⎥∈-⎤⎢⎣⎦，”是“()sin arcsin x x =”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件2．已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A 、F 、B 三点共线”等价的是（）A ．2124p x x =B ．212y y p =-C ．112FA FB p+= D ．2121234p x x y y +=-3．已知曲线Γ的参数方程为(3cos ln x t t t y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩其中参数t R ∈，,则曲线Γ（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．没有对称轴4．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n >=+∈*N ,1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*,n n N k T ∈>恒成立，则k 的最小值是（ ）A ．13B ．12C ．16D ．1第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．已知集合{}|2,A x x x R =≤∈，{}|4,B x x Z =≤∈，则A B =______.6．函数2cos 2y x x =+ 最小正周期为______________. 7．抛物线2yx 的准线方程为_______.8．已知方程102x b x -=-的一个根是2a i +（其中a R ∈，i 是虚数单位），则实数b =______.9．设x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0 ，则z =2x +y 的最小值是______.10．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖儒.如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线AC 与BD 所成的角的余弦值为______.11．为抗击此次疫情，我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组，则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数是_______. 12．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______.13．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数()()3g x f x x =-+，数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()()129...27g a g a g a +++=，则129...a a a +++=______.14．已知整数数列{}n a 共5项，其中11a =，54a =，且对任意14i ≤≤，都有12i i a a +-≤，则符合条件的数列个数为______.15．已知点()0,2P ，椭圆221168x y +=上两点()11,A x y ，()22,B x y 满足AP PBλ=（R λ∈），则112312x y +-+222312x y +-的最大值为__________．三、解答题16．如图，四棱锥O ﹣ABCD 的底面是边长为1的菱形，OA ＝2，∠ABC ＝60°，OA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点.（1）求证：直线MN ∥平面OCD ； （2）求点M 到平面OCD 的距离.17．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60∠︒AOB ，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）. 18．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足()()00f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.（1）已知函数()2cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；（2）若()()22log 22x mx f x ⎧-⎪=⎨-⎪⎩33x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.19．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点2N ⎭. （1）求椭圆M 的方程； （2）若斜率为12-的直线1l 与椭圆M 交于,P Q 两点（点P ，Q 不在坐标轴上）；证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列.（3）设直线2l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值.20．已知()f x 是定义在[)0,+∞上的函数，满足：①对任意[)0,x ∈+∞，均有()0f x >；②对任意120x x ≤<，均有()()12f x f x ≠.数列{}n a 满足：10a =，()11n n n a a f a +=+，*n N ∈.（1）若函数()()210xf x a x =⋅-≥，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，求证：对任意正实数M ，均存在*0n N ∈，使得0n n >时，均有n a M >；（3）求证：“函数()f x 在[)0,+∞上单调递增”是“存在*n N ∈，使得()()12n n f a f a +<”的充分非必要条件.参考答案1．B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】arcsin y x =的定义域为[1-，1]， sin(arcsin )[1x x x ∴=⇔∈-，1]，[2x π∈-，]2π推不出[1x ∈-，1]，[1x ∈-，1][2x π⇒∈-，]2π，∴ “[2x π∈-，]2π是“sin(arcsin)x =”的必要非充分条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查反三角函数，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 2．B 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为x ky t =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，将韦达定理逐一代入各选项中的等式，求出t 的值，进而可得出结论. 【详解】设直线AB 的方程为x ky t =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立22y px x ky t ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2220y pky pt --=，由韦达定理得122y y pk +=，122y y pt =-.抛物线的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，若A 、F 、B 三点共线，则2p t =.对于A 选项，222221212224444y y p t p x x p p ===，解得2pt =±；对于B 选项，2122y y pt p =-=-，解得2p t =； 对于C 选项，222222121212111111222222222p p p p y y p p FA FB y p y p p x x p p +=+=+=+=++++++， 整理得22412y y p =，即2244p t p =，解得2p t =±； 对于D 选项，22221212121223244y y p x x y y y y t pt p +=+=-=-，整理得224830t pt p -+=， 解得2p t =或32p t =. 故选：B. 【点睛】本题考查焦点弦性质相关的判断，涉及韦达定理的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题. 3．C 【解析】 【分析】设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称. 【详解】设()x f t =，()y g t = t R ∈()()()()()333cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-，()x f t ∴=是奇函数， ()()((ln ln g t g t t t -+=-+++((ln ln ln10t t =-+== ,()y g t ∴=也是奇函数，设点()()(),P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()(),Q f t g t --，()f t 和()g t 都是奇函数，所以点Q 的坐标是()()(),Q f t g t --，可知点Q 在曲线上，∴ 函数图象关于原点对称.故选：C 【点睛】本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型. 4．A 【解析】 【分析】由22n n n S a a =+可得21112n n n S a a ---=+，两式相减整理后可知11n n a a --=，则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，从而可得n a n =，进而可以确定111221n n n b n n +=-+++，则可求出121111 (3213)n n n T b b b n +=+++=-<++，进而可求出k 的最小值. 【详解】解：因为22n n n S a a =+，所以当2,n n N *≥∈时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得22112n n n n n a a a a a --=+-- ，整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=，由0n a > 知，10n n a a -+≠，从而110n n a a ---=，即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，则1211111111111 (366112213213)n n n n n T b b b n n n ++=+++=-+-++-=-<+++++， 所以13k ≥.则k 的最小值是13.故选:A 【点睛】本题考查了由递推数列求数列通项公式，考查了等差数列的定义，考查了裂项相消法求数列的和.一般如果已知了,n n S a 的关系式，一般地代入11,1,2,n n n S n a S S n n N*-=⎧=⎨-≥∈⎩ 进行整理运算.求数列的和常见的方法有，公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法等. 5．{}0,1,2 【解析】 【分析】计算出,A B 后可求A B .【详解】[]2,2A =-，{}|016,B x x x Z =≤≤∈，故{}0,1,2A B =.故答案为：{}0,1,2. 【点睛】本题考查集合的交集及无理不等式、绝对值不等式的解法，解无理不等式时注意根号下的代数式有意义，本题属于中档题. 6．π 【解析】由12cos 22cos 2)2y x x x x =+=+2sin(2)6x π=+知，周期22T ππ==，故填π. 7．14y =- 【解析】 【分析】 【详解】由抛物线的标准方程为x 2=y ，得抛物线是焦点在y 轴正半轴的抛物线，2p =1， ∴其准线方程是y=2p -，14y =-．故答案为14y =-． 8．5 【解析】 【分析】由行列式的计算法则可知220x x b -+=，结合2a i +是方程的一个根，可得()224440a a b a i -+-+-=，进而可列出关于,a b 的方程，即可求出b .【详解】 解：()212202x x x b x x b b x -=-+=-+=-，因为2a i +是方程的一个根，所以()()22220a i a i b +-++=，即()224440a a b a i -+-+-=，所以2240440a a b a ⎧-+-=⎨-=⎩，解得51b a =⎧⎨=⎩，故答案为:5. 【点睛】本题考查了行列式的计算，考查了复数的乘法运算，考查了由复数为零求解参数.本题的关键是由方程的根列参数的方程. 9．−15 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，然后运用线性规划来求解最小值 【详解】由题意约束条件作出可行域，用阴影部分表示，如图所示当目标函数z =2x +y 过点(−6，−3)时取得最小值 最小值为z =2×(−6)−3=−15 故答案为−15 【点睛】本题主要考查了线性规划，解题步骤为：画出可行域、改写目标函数、运用几何意义求出最值，注意在判定可行域时的方法。
2019年3月上海交通大学附属中学2019届高三月考数学试题(解析版)
绝密★启用前上海交通大学附属中学2019届高三下学期3月月考数学试题（解析版）2019年3月一、填空题1.二项式的展开式中，项的系数为________．【答案】【解析】分析：利用二项式定理的二项展开式的通项公式即可求得答案．详解：的展开式的通项公式为令，则有故答案-40．点睛：本题考查二项式定理的应用,着重考查二项展开式的通项公式,属于中档题．2.若,,用列举法表示________．【答案】【解析】【分析】分别将A、B中的元素代入求值,结合集合的定义从而求出中的元素．【详解】∵时,,时,,时,,时,,时,,时,,∴,故答案为：．【点睛】本题考查了列举法表示集合的概念,考查了集合中元素的确定性、互异性,是一道基础题．3.已知、是实系数一元二次方程的两个根,则________．【答案】5【解析】【分析】利用韦达定理及复数相等列出方程组,可解出结果．【详解】因为、是实系数一元二次方程的两个根,∴+,（整理得：⇒,∴故答案为：5.【点睛】本题考查复数集中实系数方程的韦达定理的应用,考查了复数相等的条件,是中档题．4.某学校高三年级学生完成并提交的社科类课题论文有54篇,人文类课题论文60篇,其他论文39篇,为了了解该校学生论文完成的质量情况,若按分层抽样从该校的所有完成并提交的论文中抽取51篇进行审核,则抽取的社科类课题论文有_____篇．【答案】18【解析】【分析】由题意按抽样比列出方程,计算可得结果．【详解】设抽取的社科类课题论文有x篇,则,∴x＝18,故答案为：18.【点睛】本题考查了分层抽样的概念的应用,考查了各层的抽样比,属于基础题.5.设,,行列式中第行第列的元素的代数余子式记作,函数的反函数经过点,则__________.【答案】2【解析】【分析】。