寻根溯源 活水长流——浅谈对数列求和中错位相减法运用的探究
寻根溯源 活水长流——浅谈对数列求和中错位相减法运用的探究
寻根溯源活水长流——浅谈对数列求和中错位相减法运用的探究教学研究>教学反思数学教学通讯(教师版)投稿邮箱:sxjk@vip.163.coro浅谈对数列求和中错位相减法运用的探究王建鹏福建惠安高级中学362100罗增儒老师在《数学解题学引论》一书中曾对数学的解题方法作了非常精辟地诠释.罗老师认为.我们探讨解题方法的实质.就是要透过那机械操作的形式去弄清每一个解题方法与什么样的数学知识相联系,与什么样的数学方法相结合.简而言之,数学方法应重在理解,重在本质.目前,高中新课程数列求和的教学主要强调通解通法,强调不同求和方法各自的使用背景.比如说.教师在平时的讲题中经常强调等差乘等比型数列求和问题只能用错位相减法来解决,似乎成了"自古华山一条道"的绝法:并且,错位相减法的存在价值似乎也仅仅在于用来解决等差乘等比型数列求和问题,别无它用.然而正所谓"横看成岭侧成峰,远近高低各不同",不同视角的切人让我带来了不同的发现.笔者认为.倘若我们能从问题的根源人手,则这些问题可全盘皆活,水到渠成.引例求&--1?20+2?2+3?2z+???+n?2.法一显然,an=n?2为等差乘等比型数列,可选择采用错位相减法.法二注意到nn?"型以及()--n?,可选择以导数为工具.采用构造函数法.解析令)=1.0+2?+3?2+…?,不难观察到,(矿)=n.1.所(一Xn+l_X卜可知Js,l厂(2)=n?2-(n+1)?21=(,卜1)?2l|法三不妨换个角度理解,如果我们能构造出一个新的数列},使得%'2L…bt,n=…l≥2,显然s=(6一6,卜)+(6)+…+(b2-b)+6,因此可选择采用裂项相消法.解析令=n?2=(帆+6)?2n_[0(n一1)+6]?2=(2an+2b-an+a-b)?2=[cm+(叶6)]?2,可得a=l,6=一1,即cbn?2.-I=(n一1)?2"一(n一2)?2～,所以S=1+(1?22—O)+(2?23-I?22)+(3?24-2?23)+???+ [(n-1)?2"-(n一2)?2]=(n-1)?21.j疑点用裂项法解决等差乘等比型数列的求和问题,听起来有点不可思议,但我们做到了.在此笔者并无意鼓励大家要改弦易辙,削弱错位相减法的作用,只希望我们借此能更深刻地体会裂项思想同样作为数列求和的～种重要通法的魅力.正如"一千个读者就有一千个哈姆雷特",我们学习数列更应关注的是其数学本质.错位相减法绝非解决等差乘等比型数列求和问题的唯一途径.只能说是典型方法.反之思考,错位相减法是否只能解决等差乘等比型数列的求和问题呢?正所谓"不识庐山真面目,只缘身在此山中".对于"错位相减法"这位老朋友,我们又了解多少呢?探究案例1(2010届厦门高三质量检查第15题)自等相一槲一一一～一一～一一一一一一一一一投稿邮箱:sxjk@数学教学通讯(教师版)教学研究>教学反思已知数列{%}的通项为%=(2n一1)?2,求其前rt项和时,我们用错位相减法,即由|s卜2+3?22+5?23+…+(2n一1)?2得2S=1.22+3?23+5?2+…+(2凡一1)?2叶.两式相减得一S.--2+2?2z+2?2+…+2?2(2n—1)?2.求出S=(2n一3)?2+&类比推广以上方法,若数列{b}的通项为6n?2,则其前//,项和.解析S:1?2+2?2+3?2+…+n?2n2S=1?22+2?2'+3?2+…+(n一1)?2%n?2,则一.s,=[1?2+3?22+5?2…+(2n—1)-2卜n?2n+l=[(2n一3)?2'+6]一n?2.所~Sn=(n2-2n+3)2~1-6.案倒2(自编题)执行如图1所示的程序框图.则输出的结果为.图1解析不难发现,这个框图事实上可看成是个递推数列.问题可以化归为:若数列{}满足广2:凡+1且Ⅱ1=1,求{%}的通项公式.考虑到该递推数列的特征,可采用迭代法对%进行求解,即当≥2时,Ⅱ(口2n)+2(口一2)+2(珥r2口)+…+2~2(a2-2a1)+2.-t.nl=n?2o+(n,一1)?2+(n—2)?22+…+2?2"-%1?2.显然.之后的运算过程可用错位相减法来完成.(反思案例l与案例2有何共通之处?从形式上看.两个案例都不是等差乘等比型数列的求和问题.但通过化简都可以成功化归为等差乘等比型数列的求和问题.可见,正磺I的说法应该是:错位相减法能解决本质上为等差乘等比型数列的求和问题.然而,我们探究的目的绝非纯粹地强化错位相减法或者裂项相消法,而是希望借助这样的共同反思,加深对数列求和方法的本质理解,加深对教学过程中从发散到回归的教学理念的升华.正所谓"解需有法.而解无定法",在解决问题时,首先要对相关知识与方法"寻根溯源",总结一套切实可行的解题思路,更要在此基础上打破思维定式,见机行事,才能在我们的脑海中"活水长流".(上接第30页)利为止,形成一个比赛过程.问其中中方获胜的所有可能出现的比赛过程有多少种?变式5一座桥上有编号为1,2,3,……,l7,18的l8盏灯,为了节约用电,又不影响照明.可以把其中的6盏灯关掉,但不能同时关掉相邻的灯.也不能关掉两端的路灯,问不同的关灯方法有多少种?以上问题的答案都是C,放在同一节课让学生探究,非常有助于其对"挡板法"的掌握.4.变结论在题目条件不变的前提下,不断变化结论.逐层挖掘题目深沉含义.可以培养学生的发散思维,让学生通过一道题目的解答,既巩同所学知识,又增强知识间的应用,挖掘思维的深度和广度,有效提高其解题能力和探究能力.下面的例题条件相同,结论却不同,把它们放到一起进行对比研究.可以从本质上理解"以不变应万变".'案例8设a,b,c都是正数,且a+b+c=1,求证:+三+1>t9.abc变式1设0,b,c都是正数,且n+6十c= 1,求证:a2+b>~9abc.变式2设Ⅱ,b,c都是正数,~La+b十c= l,求证:(1)(1-b)(1_-c)>~8abc.变式3设a,b,c都是正数,Ha+b"=,求证:(一)(÷一)(÷一)≥s.变式4设a,b,c都是正数,且0+6.}c=t,求证:(+?)(÷+)(+)≥通过结论形式的变式,让学生感受"万变不离其宗",可以加深学生对问题本质特征的理解,巩固和掌握.5.调换条件与结论条件和结论的换位思考.主要是为了考查学生的逆向思维能力,这对学生的思维品质要求教高.学生若能借助顺向思维去进行逆向思维.则他们的辩证思维能力就一定能得到提高.案例9过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P,Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点,求证:直线MQ平行于抛物线的对称轴.变式设抛物线y~=2px(p>O)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于P,Q两点,点在抛物线的准线z上,KMQ∥轴, 求证直线经过原点.通过变换命题的条件与结论,产生一个既类似又有区别的问题,可以让学生产生浓厚的兴趣,在挑战中寻找乐趣,使逆向思维得到发展.总之,变式教学可以让教师有目的,有意识地引导学生从"变"的现象中发现"不变"的本质,从"不变"的本质中探究"变"的规律,在无穷变化中领略数学的魅力.体会学习数学的乐趣.047。
错位相减法在数列求和中的应用
错位相减法在数列求和中的应用近年来，高考中数列问题正向多元化发展，命题中含有复合数列屡见不鲜.要想在高考中从容应对,就需熟练掌握等差、等比数列的有关知识,同时要善于把非等差等比数列转化为等差等比数列来求解.现对数列求和的方法----错位相减法简要分析如下：一.利用错位相减法推导等比数列求和公式.已知等比数列,它的前项和是,根据等比数列的通项公式,上式可写成的两边乘得的两边减去的两边,得当时,等比数列的前项和的公式又因为所以上面公式可写成当时，点评：通过将式的左右两边同时乘以公比,使式与式产生错位后相减得出.二、应用错位相减法求和如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.例1、求数列的前项和分析：数列成等差数列，数列成等比数列，此例用错位相减法可达到目的.同时应注意和两种情况.解：若，则若,则式两边同乘以，得减去得所以点评：这个数列可以看成一个等差数列和一个等比数列的对应项的乘积，这种数列我们称为“混合数列”，解决这类问题的常用方法是：依照等比数列前项和公式的推导方法——错位相减法，特别注意分和两种情况讨论.例2、（2007全国卷文，21题）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且,,.求,的通项公式.求数列的前项和.解：设的公差为，的公比为则依题意有>0且解得所以,,,减去得==点评：本题主要考查数列的概念，等差数列，等比数列，及求数列前项和的方法等基础知识，考查运算能力.第问就运用了混合数列的求和方法----错位相减法.。
《数列求和——错位相减法》教学设计新部编版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《数列求和——错位相减法》教学设计数学组：张涛 2017年11月13日教学目标：理解错位相减法，并能够应用错位相减法求数列的前n 项和。
教学重点：错位相减法的应用。
教学难点：错位相减法的计算过程。
教学内容：一、课前复习回顾等差、等比数列的通项公式与前n 项和公式：1、等差数列：①通项公式：()d m n a d n a a m n )(11-+=-+=②前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列：①通项公式：m n m n n q a q a a --==11；②前n 项和公式：)11)1(1≠--=q qq a S n n （ 3、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：{1,2,11=≥--=n S n S S n n n a设计意图：由于应用错位相减法解题时必定会使用等比数列前n 项和的通项公式求和，因此有必要做好复习铺垫工作。
二、问题探究典题导入例1、已知;,3,12n n n n n n b a c b n a ⨯==-=求数列}{n c 的前n 项和n S 。
解：由题悟法归纳：“错位相减法”的核心要领：乘公比，错位，相减。
以题试法33)1(63)1(23)12(31)31(32323)12()3333(2323)12()32323232(32②-①②3)12(35333133①①3)12(35333111112143214321432321321+•-=∴-•--=⨯----⨯+=-∴⨯--+++++=-⨯--⨯++⨯+⨯+⨯+=-⨯-++⨯+⨯+⨯=⨯⨯-++⨯+⨯+⨯=∴++++=+++-+++nnnnnnnnnnnnnnnnnnnSnnSnSnSnSnSccccSΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΘ即得得由1. 已知nn n a 3=，求数列}{n a 的前n 项和n S 。
关于数列中错位相减法的进一步思考
ｒ 上
＋
３
＋
…
＋
Ａ
＝
引 理 设 数 列 ：
（ ０≠ １ ， ｂ ≠０ ） ， 则Ａ ＝Ａ，
— — — — — — — — 一
（ ２—１ ） ＋Ｙ （ ２—１ ）＋ 、
，
一Leabharlann Ａ ， ： 旦 二 一 ｛ ， 则 数 列Ａ 前ｎ 项和 为ｓ ＝
一 ．
＋
（
… ＋
业
二 １ ２ ： ± （ 二 ２ ± 兰 ！
２
ｙ一
中一
＋
文［ １ ］仅 适 合 在 数 列 Ｂ 为 等 差 数 列 （ 即 一 次 函 数 ）的
时候 ， 但是在实 际教学过程中 ， 经 常 碰 到 一 些 利 用 二 次 错 位
（ 兰 — ＿ （ — 二 — ＿ ｌ 业
数 学学习与研究
２ ０ １ ５ ． ７
●
专 题 研 究
・
・
艚
●
ｒ Ａ
・ ． ．
１
和为 Ｓ ：Ａ 。
一
Ａ
＋ Ｙｍ ＋
，
ｊ ４ Ａ ＋ Ｂ： ０ ，
Ｙ１ ２ ／ ＋ Ｙ２ ｎ 一 ＋ …
．
ａ
ａ
ａ ｘ（ ｎ 一１） ＋ａ ｙ （ 一１ ）＋ａ ｚ— ｎ 一ｙ ｎ—ｚ
ａ
＝
（ 二 ２ ±（ 二
ａｘ － ｘ
二 ２ ± 兰二 ± 三二 三
看， 学生对此 问题的掌握不是很顺 畅 ， 其 最 大 的 问 题 是 最 后
．
・
．
： ＝ ｂ
＝
６ ｎ ＋ｃ ｎ ＋ｄ时 ， 』 ４ 是 否 也 可 以写 成 相 邻 两 项 数列 之 差 呢 ？ 推 理 Ｉ设 数 列 Ａ ：
高中数学数列错位相减法求和超好用的解题技巧及其步骤
2பைடு நூலகம்
〖2020.全国Ⅰ〗
设 是公比不为1的等比数列，1 为2 ，3 的等差中项.
1 求 的公比;
2 若1 = 1, 求数列 的前项和.
课堂练习
练习1：专题测试卷第20页
8. 已知数列 满足1 = 1, +1 = 2 + − 1.
-
数列求和
－－－错位相减法
高考分析
纵观近几年高考命题，数列求和是高考中每年必考的内容之一.
全国卷经常以等差数列、等比数列为基础考查程序化计算类的数
列求和，近几年侧重于新的情境，考查内容更加灵活多变.
2020年全 2020年
2021年新 2021年全 2022年全国甲 2022年新高
卷
国Ⅰ卷
全国Ⅲ卷 高考Ⅰ卷 国乙卷
（大招，偷偷启动）
错位相减法万能公式：
= + ∙ −1
= + −
−
=
, =
−
−
练习1
判断下面可以用错位相减法求数列的前n项和的有哪些？
①
③
= + 2
②
1 n1
a n (2n 1) ( ) .
2
2 4 6
考Ⅰ卷
错位相减 错位相减 错位相减
法
求和
法
数列求和
数列前n项和
的最小值
裂项相消求
和
错位相减法是高考数列的高频考点，这部分的考点往往得分点偏低:
1、错位相减过程中最后一项是“－”,很多同学错把原来的“＋”抄下来了;
2、错位相减后，其中一部分构成新的等比数列，项数数错了，多了一项，
数列求和——错位相减法 教学设计 2023届高三数学二轮复习
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 ， ， 对任意的正整数 恒成立，求实数 的取值范围.
6．(2021·新高考І卷·16)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折 次，那么 ______ .
设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
(1)求{an}的公比；
(2)若a1=1，求数列{nan}的前n项和.
解：(1) ；
(2) ，
记{nan}的前n项和为Sn，则
重点讲解求和步骤中
“4．解出和Sn”的注意事项：
两式相减后，等式右边中间的n－1项求和转化成了等比数列求和，应先提公因数——等差数列的公差，再选择适当的求和公式计算；
2.通过课程的学习，学生能进一步发展数学学科核心素养的运算能力；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
教学重点
错位相减法求数列的和
教学难点
错位相减后的项数、符号、化简等易错问题，以及对转化数学思想的理解。
教
教学过程设计
教学
步骤
数列求和——错位相减法 教学设计
教学课题
数列求和——错位相减法
课程类型
复习课
教学目标
知识与技能
熟练掌握错位相减法，能够准确、快速地用错位相减法求出“等差×等比”数列的和。
过程与方法
通过两等式的错位相减，将无法求和的问题转化成等比数列求和，在运算的过程中，体会转化与化归的数学思想。
等比数列错位相减法的应用
高一数学等比数列的前n项的和(2) 同学们大家好上节课讲的等比数列前n项和公式的推导大家还记得吗首先等比数列的前n项和公式应该是这样的一个表达式当q不得1的时候是1减q分之a 乘以(1-q )当q得1的时候就是n倍的a另外在推导这个公式的时候我们用到了一种特殊的办法叫错位相减法我们来复习一下推导过程开始的时候我们先把等比数列分成两大类当q得1的时候这个等比数列就是常数列每项都相等因此其前n项和S 就是n倍的a那么当q不得1的时候我们使用了一种特殊的数列求和的方法就是错位相减法那么首先应该先写出S 是a 加上a q加上a q 一直加加到a 乘q两边乘以等比数列的公比q就得到q倍的S 等于a q加上a q 加上a q 一直加加到a 乘q这两个式子下边一个式子的第1项就是上边式子的第2项下边式子的第2项就是上边的第3项我们会发现这两个式子错位相等的因此我们把这两个式子相减大多数项就可以消掉了等号左边是(1-q)倍的S等号右边第①式上式只剩首项a下边这个式子只剩最后一项a 乘q当然它是要被减去的这时候q不得1我们就把1减q除过来于是就得到了等比数列的前n项和公式错位相减法是处理与等比数列求和相关问题的常用办法这节课我们就来看一看错位相减法还能解决哪些问题先看一道例题求数列2 4乘3 6乘3的平方2n乘以3 n属于N﹡就是非0的自然数求这个数列的前n项和S这个数列既不是等差数列也不是等比数列那么如何去求和呢我们再好好看一看这个数列虽然它本身不等差也不等比但是这个数列的每一项我们把它的每一项第一个因数拿出来那就是2 4 6一直到2n这是不是一个公差为2的等差数列我们再把这数列每一项的第二个因数拿出来那就是1 3 32一直到3这是不是就是一个首项为1公比为3的等比数列呢那么实际上这个数列就是由等差数列2n的每一项和等比数列3 的相应项的乘积构成的那么又要对这个数列求和又和等比数列有关系所以我们就考虑到利用错位相减法来处理我们来看具体的解答过程因为S 是2加上4乘3加上6乘32一直加加到2n乘以3那么它的前一项就应该是把n都换成n减1的时候也就是2(n-1)乘以3我们应该前边写3项后边写2项一共写出5项来为什么呢这样便于我们去寻找规律然后我们用等比成分的公比q也就是3去乘以①式的两边就会得到3倍的S 等于2乘以3 加上4乘以32加上6乘以3 一直加加到2(n-1)乘以3最后一项是2n乘以3把这个式子称为②式下面我们就把①式和②式错位相减也就是①减②那么等号左边就是负2倍的S等号右边我们就把3的指数一样的这样两项相减并且把3的多少次方都提出来那就会得到2这个2没有人和它配对它自己写加上(4-2)乘以3继续阅读。
错位相减法在数列求和中的应用
错位相减法在数列求和中的应用
错位相减法：
这类数列的主要特征是：已知数列{}n C 满足n n n C a b =⋅其中{}n a 等差，{}n b 等比且公比不等于1，老师们形象地称这类数列{}n C 为“等差乘等比型”数列。
求这类数列前n 项的和时通常在和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法即所谓的“错位相减法”。
引申思考：当等比数列的公比为q=1时，问题又该怎么处理呢？
思路为：当等比数列的公比为q=1时，此时的等比数列就是一个常数列，那么在求和的过程中就可以把它提出来，进而简化为简单的数列求和问题。
例1：Sn=2*（2n-1）求Sn
解：Sn=2*（2n-1+1）/2=2n
例2. 求21322n S =++…+212
n n - 解：（方法一）：设，1(21)
2n n C n =-则11a =，2d =，112b = 12q = 由裂项公式
1122
1
1226111(1)1(1)22
a q x d q q =+=+⨯=---- 0241112
d d q ===-- 10(1)6(41)n x x n d n =+-=+-
164n x n +=+
于是n C 可裂为11n n n n n C x b x b ++=-
=1
11[64(1)](64)22n n n n ++--+
n S =1111n n x b x b ++- =3232n n +-
（方法二）设1(21)2n n C n =-，分析可知Cn 是一个擦比数列，就可以用错位相减法，。
数列求和微专题错位相减法求和教学设计
数列求和方法——错位相减法求和三维目标：1. 知识与技能：理解并掌握错位相减法，明确错位相减法在数列求和当中的应用题型和解题步就。
2. 过程与方法：通过提出问题，从而对数列求和除了公式法以外，对不能直接用公式法求和的数列探究新的求和方法，结合等比数列的求和公式的推导方法进行推进，从而得出应用范围：形如数列C n＝a n·b n ,{a n}是等差数列,{b n} 是等比数列;则数列{C n} 可采用错位相减法求和。
这体现了由特殊到一般的认知规律，由感性认识升华到理性思考的数学过程；完全符合提出问题、分析问题、解决问题的科学方法的要求；3. 情感、态度与价值观：通过本节内容的学习探究，让学生体会到发现数学、感知数学、研究数学、利用数学并处理数学问题的愉悦；培养学生科学地研究问题的习惯，融会贯通前后数学知识的能力，进一步挖掘知识、感受数学的内在美.教学重点、难点：选择错位相减法求和的数列的特征。
则通项公式中必有一部分为等差数列，一部分为等比数列，方可用错位相减法求和。
教学方法：PPT演示，语音讲解，录屏软件录屏、录音形成视频mp4文档。
教学过程：1、知识回顾：数列求和公式法2、问题探究：已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1 =2，S n = a n+1-2，求数列{(2n+1)a n}的前n项和T n.解：当n≥2时，由S n = a n+1-2,可得S n -1= a n+2，两式相减得a n+1=2a n 当n=1时，由a1=S1 =a2-2, ∴ a2=a1+2=4. ∴a n+1/a n=2∴ a n=2·2n-1=2n.∴(2n+1)a n= (2n+1)2n于是①T n =3×21+5×22+7×23+…+(2n+1)2n则② 2T n = 3×22+5×23+…+(2n-1)2n +(2n+1)2n+1两式相减，得-T n =6+2×(22+23+…+2n )-(2n+1)2n+1 =∴T n =2+(2n-1)2n3、方法归纳：错位相减法求和(1)应用范围：形如C n＝a n·b n ,{a n}是等差数列,{b n} 是等比数列; (2)解题步骤：I，等式①S n=C1+C2+C3+ … +C n两边同乘数列{b n} 的公比q 得: ② q S n=q C1+q C2+q C3+ … +q C n（达到错位）II，① -②，再利用等比数列求和公式求和4、训练巩固：求和：S n＝x＋2x2＋3x3＋…＋nx n(x≠0).5、课堂小结：错位相减法求和(1)形如c n＝a n·b n, {a n} 与{b n}中一个是等差数列,一个是等比数列;(2)步骤：乘公比，错位减微课录制的软件和步就；1、软件版本： Microsoft 3652、操作步就：I、打开准备好的PPT课件（Microsoft powerpoint2019）II、点击菜单栏图一图二图三1、点击录制2、点击录制3、点击从头开始图五图六4、点击录制按钮开始录制5、点击停止按钮录制完成6、导出视频7、创建视频。
关于数列中错位相减法的进一步思考
关于数列中错位相减法的进一步思考错位相减法是指对数列中连续的两个或多个数取差值，也就是把其中一个数减去另一个数，从而得到更多的信息。
这种方法主要用于推导数列中未知的某一项数，即通过观察数列中连续的两个或多个数，可以找出它们之间的关系，然后再把这个关系应用到未知的数上，以得到最终的结果。
错位相减法可以拓展到多维数列上，对满足一定条件的循环数列，可以在错位比较的基础上，建立欧拉函数、费希尔等更多的关系式，以解决更多复杂的问题。
此外，在错位相减法的基础上也可以建立一系列数学模型，这些模型用于对数列进行分析，例如求出有关数列的规律性、预测数列的下一项等。
题型-函数求和之错位相减法
题型-函数求和之错位相减法概述：错位相减法是一种常见的数学求和方法，特别适用于函数求和。
在该方法中，函数的值在相邻的位置上进行错位，并相互相减得到一个新的函数值序列，然后对这个新的函数值序列进行求和。
这种方法可以帮助我们简化函数求和的过程，尤其适用于一些具有递推关系的数列。
步骤：1. 将函数的值按照位置进行错位，即将第1个位置处的函数值与第2个位置处的函数值相减；将第2个位置处的函数值与第3个位置处的函数值相减；以此类推。
2. 得到一个新的函数值序列，即错位相减后的函数值序列。
3. 对新的函数值序列进行求和，即将序列中的所有函数值相加。
注意事项：1. 错位相减法适用于具有递推关系的函数求和，即函数的值与前一个位置的函数值有一定的关系。
2. 求和结果可能与直接对函数的值进行求和得到的结果有所差异，因此需要注意计算的准确性。
3. 在使用该方法时，需要确保函数值序列的长度足够大，以保证错位相减后的函数值序列能够稳定收敛。
例子：假设有一个函数 f(n) = n^2，我们想要计算 f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n) 的值。
使用错位相减法，我们可以进行如下操作：f(1) - f(2) + f(2) - f(3) + f(3) - f(4) + ... + f(n-1) - f(n)。
得到的结果正好是 f(1) - f(n)，即 n^2 - n。
注意，这里的例子只是为了简单说明错位相减法的原理，实际应用中需要根据具体情况进行调整和推导。
总结：错位相减法是一种简化函数求和的方法，特别适用于具有递推关系的函数。
通过将函数值进行错位相减，并对新的函数值序列进行求和，我们可以得到函数求和的结果。
在实际应用中，需要注意计算的准确性和函数值序列的收敛性。
数列求和公式错位相减法
数列求和公式错位相减法好的，以下是为您生成的文章：咱今天就来好好唠唠数列求和公式里的错位相减法，这可是高中数学里的一个重要“武器”！记得我之前带过一个学生，叫小李。
这孩子其他数学知识掌握得还算不错，可一碰到错位相减法就犯迷糊。
有一次做练习题，碰到一道要用错位相减法求解的数列求和题，他愣是盯着题目半天没动笔。
我走过去一看，他那迷茫的小眼神，就好像掉进了一个找不到出口的迷宫。
咱先来说说啥是错位相减法。
它主要是用来处理形如 {aₙ×bₙ} 这样的数列求和，其中 {aₙ} 是等差数列，{bₙ} 是等比数列。
比如说，有个数列求和是求1×2 + 2×2² + 3×2³ + … + n×2ⁿ 的和。
这时候就得请出咱们的错位相减法啦。
咱们先设这个数列的和是 Sₙ ，那 Sₙ = 1×2 + 2×2² + 3×2³ + … +n×2ⁿ ①。
然后两边同时乘以等比数列的公比 2 ，就得到 2Sₙ = 1×2² + 2×2³ + 3×2⁴ + … + n×2ⁿ⁺¹②。
接下来，① - ②，你看啊，这就神奇了。
1×2 这一项在减的时候，2Sₙ 那边没有对应的项，就原封不动地留下来，成了 -Sₙ。
然后 2×2²减去 1×2²得到 2²，3×2³减去 2×2³得到 2³，以此类推，一直到n×2ⁿ 减去 (n - 1)×2ⁿ 得到2ⁿ ，最后还有一项是 -n×2ⁿ⁺¹。
经过这么一操作，-Sₙ 就等于2 + 2² + 2³ + … + 2ⁿ - n×2ⁿ⁺¹。
错位相减法的由来 数学史
错位相减法的由来数学史
错位相减法是一种常用的数列求和方法，广泛应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
这种方法的由来可以追溯到数学史上的不同文化和时期。
在古代，中国和印度的数学家们就开始探索各种数列求和的方法。
其中，中国古代数学名著《九章算术》中就提到了错位相减法的思想。
印度数学家阿耶波多也独立地发现了这种求和方法，并在他的著作中进行了详细的阐述。
随着数学的发展，欧洲的数学家也开始研究数列求和的问题。
在文艺复兴时期，意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘书》中，也提到了错位相减法的应用。
他通过将等差数列和等比数列相乘的形式，巧妙地应用了错位相减法来求和。
到了17世纪，法国数学家帕斯卡在研究概率论和组合数学时，也发现了错位相减法的应用。
他利用这种求和方法来求解一些复杂的概率问题，为错位相减法的发展做出了重要贡献。
近代以来，随着数学的进一步发展，错位相减法的应用范围越来越广泛。
在数论、组合数学、统计学等领域中，都出现了错位相减法的应用。
同时，一些数学家也对错位相减法进行了深入的理论研究，为其发展提供了重要的理论支持。
总的来说，错位相减法的由来可以追溯到古代中国和印度数学家的探索，经过欧洲数学家的进一步发展，逐渐成为一种广泛应用于各种数列求和的方法。
这种方法的发现和应用，不仅推动了数学的发展，也为解决实际问题提供了重要的工具。
在现代数学中，错位相减法已经成为一种重要的数列求和方法，被广泛应用于各种领域。
它的出现和发展，不仅体现了人类智慧的伟大，也证明了数学在实际应用中的重要价值。
浅谈数列应用中的“错位相减”
浅谈数列应用中的“错位相减”作者：向昌钊来源：《中学教学参考·理科版》2009年第10期一般地,求等比数列前n项和的方法我们习惯称之为“错位相减法”,其方法的主要功能是使不可求的和问题转化为可求的和问题.其实,教材中的求和问题只是一类数列的求和问题的特例,我们可以推广到更为一般性的求和问题:一个非零等差数列与一个等比数列的对应项之积构成的新数列的求和.下面我们先来推广这类问题的求和.定理:已知数列｝、｝分别为等差数列和等比数列,其首项分别为a、b,公差为d,公比为则数列｝的前n项和----[a+(n--q.证明:由已知得:--∴---两式相减得:(1---[a+(n-∴当q≠1时,(1----q-[a+(n-从而----[a+(n--q.评析:在“错位相减法”中,“错位”是为了“对位”,“对位”是为了整体“并项”,“并项”之后就可以利用等比数列的求和公式完成求和了.要强调的是:我们是在原求和式的两边乘以等比数列｝的公比q.在数列的应用中还有另一种形式的“错位相减”,例如:已知数列的前n项和公式求通项公式我们一般按照下列步骤进行转换:①错项:由已知条件中关于n的关系式写出--1),我们称之为错项.②相减:将①步所得关系式与原关系式对应相减,即--1)--=f(n)-f(n-1).③得出通项公式:由--得---f(n-1)(n≥2).当然,最后需验证一下是否满足-f(n-1)(n≥2),如果满足,则通项可化简为-f(n-1)(n∈这种形式的“错位相减”方法,可广泛应用于有关与的混合关系式以及与与的复杂递推关系式等,可逐步实现数列问题的类型的转换.下面就几种常见类型举例说明.一、类型1:实现混合关系式转化为递推公式【例1】已知数列｝满足且求证｝是等差数列.证明:由已知得(n∈两式相减得:--变形得:-∵∴化简得-∈即数列｝是以4为公差的等差数列.评析:“错位相减”的效果是使混合关系式直接转化为通项之间的递推式(或等差数列的定义式).二、类型2:实现复杂的通项关系的转换.复杂的通项关系往往使我们一筹莫展,我们可以结合具体题型的特点对上述方法加以充分的发挥即可实施问题的类型转换.【例2】已知数列｝满足--求证｝是等差数列.证明:由已知得:-n--两式相减得-n-即--(注:在此第一次应用错位相减法).由-(n≥2)得--(n-注:在此第二次应用错位相减法),即也即又由已知得:即综上所述∈故｝是等差数列.评析:第一次“错位相减”的效果是将复杂的通项(涉及多项)关系转化为仍较复杂的两连续项的递推关系,那么经过第二次“错位相减”,就得出了等差数列的定义式(不完整),结果虽然带有一点“巧合”,就算我们没这么好的“运气”,但接下来怎么去想,或许已经有眉目了.三、实现与的高次关系的转换.对涉及与的高次关系,通过错位相减可以使次数不断降低,递推关系逐步趋于明朗.【例3】已知正项数列｝的前项和为对任意n∈都有求数列的通项公式.解:由已知得两式相减得--∵∴由得--,∵∴-∈;又由已知得∵解得∴-综上所述-∈∴数列｝是以1为首项、1为公差的等差数列,∴评析:这里两次使用了“错位相减”的方法,让我们再一次感受到这一方法的“巧妙”与“实用”之处.“错位相减”就是对已知关系式的“错项再联合”,既体现对已知条件的充分挖掘又体现整体运算的技巧.一次或多次使用错位相减的方法,逐步使问题得到有效的转换的过程中我们可以感受到这种方法的实用性.(责任编辑:金铃)。
错位相减法在数列求和中的应用
错位相减法在数列求和中的应用
陈峥嵘
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2016(000)006
【总页数】1页(P25)
【作者】陈峥嵘
【作者单位】湖南省常宁市第一中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.高考数列求和中对错位相减法新的探索 [J], 吴莎
2.错位相减法在高考数列求和中的应用 [J], 马传虎
3.浅谈拆项在数列求和中的一则应用——由一个数列求和的小练习想到的 [J], 高群安
4.试论错位相减法在高中数学数列中的应用 [J], 宋媛媛;
5.寻根溯源活水长流——浅谈对数列求和中错位相减法运用的探究 [J], 王建鹏因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
2020年全国高考一道数列求和题的方法探究——探讨数列求和系列之错位相减法
问题 （人教 Ａ 版）必修５，习题２．５Ａ 第４题： 求和：１＋２狓＋３狓２ ＋ … ＋狀狓狀－１． 上述问题是教材 中 的 一 个 练 习 题，初 看，无 从 下 手，数列各项系数都在变化；后看，欣然发现系数成等 差数列；再思，能否处理各项系数呢？ 能，一定能．堡 垒的突破口就是如何构造一个等式，把各项系数处理 为相同值，问 题 就 迎 刃 而 解．本 例 含 参 需 要 做 含 参 讨 论，现先通过实例，探究形如犮狀 ＝犪狀犫狀 数列（其中｛犪狀｝ 为等差数列，｛犫狀｝为等比数列）求和问题的解法，层层
所以，当狓＝１时，犛狀 ＝狀（狀２＋１）（狀∈犖＋），因此，
犛狀
烄１－狓狀 （１－狓）２
狀狓狀 －２
（狓
＝烅烆狀（狀２＋１）（狓 ＝１）
≠１）， （狀
∈
犖＋）．
因此，若解决 带 参 求 和 时，要 注 意 对 参 数 分 类 讨
论；若等比数列公比为负数的情形，构造两式“错项对
齐”预防出现项数遗漏的情况．
复习 备考 学习交流 ２０２１年４月
２０２０年全国高考一道数列求和题的方法探究
——— 探讨数列求和系列之错位相减法
? 广东省惠州市惠阳中山中学 古君文
“数列”是高中数学的重要内容之一，也是高考重 点考查的模块，其中数列求和又是数列模块中重点考 查对象，也是高考的热点．下面以２０２０年全国卷 Ⅰ 理 科数学 第 １７ 题 为 例，现 对 其 求 和 问 题 的 解 法 进 行 探 究．本题第 （２）问，解 决 此 类 题 型，常 见 方 法 为 错 位 相 减法，下面对其解法进行探讨．题目如下：
递进，解法探究，归纳应用．下面先通过不含参的数列 求和的实际例子进行解法探讨．
三、问题回探
数列求和错位相减
数列求和错位相减数列求和错位相减随着数学技能的不断提高，我们经常会遇到各种数列问题。
其中，求和问题是最基本的一种问题，而本文将介绍的是一种特殊的求和方法——数列求和错位相减。
一、什么是数列求和错位相减数列求和错位相减是一种求解数列问题的方法。
它的具体方法是将数列按照一定的规律错位相减，然后将差值加起来得到求和结果。
这一方法通常适用于一些存在周期性变化的数列问题。
例如，对于一个等差数列：1, 3, 5, 7, 9…如果采用传统的求和方法，其公式为：Sn = n(2a+(n-1)d)/2其中，Sn为前n项和，a为首项，d为公差。
则该序列前5项之和为：S5 = 5(2*1+(5-1)*2)/2=25而采用数列求和错位相减的方法，则可以按照如下步骤进行：1. 将数列分成两部分，如下所示：1, 5, 9…3, 7, 11…2. 对两部分数列进行相减：(5-1) + (9-5) + … = 4 + 4 + … = 2n-1(7-3) + (11-7) + … = 4 + 4 + … = 2n+13. 将两部分差值相加：(2n-1) + (2n+1) = 4n得出的结果为求和结果的n倍，因此需要除以n得到真正的结果：Sn = 4n/n = 4二、数列求和错位相减的应用数列求和错位相减在实际问题中常常会被应用。
比如，我们常常会遇到以下类型的问题：1. 求一个周期性变化的数列的前n项和。
2. 求某个阶段内两个连续数相邻的差值之和。
3. 求某个阶段内两个连续数相邻的比值之和。
这些问题都可以通过数列求和错位相减来解决。
下面我们以一个例子来说明其应用：假设有以下数列：1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33现在需要求出该数列中，连续两项之间的差值之和。
按照数列求和错位相减的方法，我们可以将数列分成两部分：1, 9, 17, 25, 335, 13, 21, 29对两部分进行相减：8 + 8 + 8 + 8 = 324 + 4 + 4 = 12将两部分相加：32 + 12 = 44得到的结果即为连续两项之间的差值之和。
例谈错位相减求和在高考中的应用
例谈错位相减求和在高考中的应用
摘要：数列知识是高中数学的重点知识之一，数列是特殊的函数，数列知识一直是高考必考的知识点，以等差数列和等比数列知识为基础，通常考查数列求和等问题，对学生的要求较高.在数列求和问题中，错位相减法又是一种重要的求和方法，在高考数学中经常考查.
关键词：等差数列等比数列数列求和错位相减法
数列求和问题是数列的概念，数列通项公式的进一步应用，作为数列知识的应用，是高考考查的重点知识之一.通过研究教材中数列的知识，结合高考中对数列知识的考查来看，错位相减法又是一种重要的求和方法，在高考数学中经常考查.本文溯本求源，回归课本对错位相减法结合高考例题进行研究.
数列求和，用哪种方法？一般要从通项公式入手，若通项公式未知，那么首先求通项公式，然后通过对通项公式的结构特征分析或是对通项公式变形，转化为与特殊数列有关或者是具备某种方法实用的特点的形式，从而选择合适的求和方法.对于等差数列和等比数列求和，确定基本量利用公式计算；对于非等差数列和等比数列的求和，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差数列或者是等比数列，这一思想方法往往通过对通项的分解或
错位相减完成；其二，不能转化为等差数列和等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和.错位相减法又是一种重要的求和方法.
参考文献：
[1]叶景辉，吴伟朝.例谈高考数列求和的常用方法[J].高中数学教与学，2015，08：44-47.
[2]张转周，韩万，曾庆雨，刘衍民.例谈数列求和的六种常用方法[J].中学数学教学参考，2015，12：69-70.。
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解析 令 ） １ ０ ・（ ＝
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所 （
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探 究
案例 １ （０ ０ 厦 门高三 质 量 检查 第 １题 ） ２ １届 ５
公 式．
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２＋ ２＋ ・ … ＋（凡 １ ・ 叶． ２３・３５ ２＋ ２ 一 ）２
解析 不 难 发现 ， 个 框 图 事 实上 可看 成 是 个 递 推 数 列．问 这 题 可 以化 归为 ： 数 列 ｛ ｝ 足 广 ： ＋ 且Ⅱ １ 求 ｛ 的 通项 若 满 ２ 凡 １ １ ， ％｝ ＝
目前 ， 中新课 程 数列 求 和 的教 学 主要 强 调 通解 通 法 ， 调 高 强 不 同求 和方 法 各 自的使 用 背景 ．比如 说 ． 师在 平 时 的讲 题 中经 教 常 强 调 等差 乘 等 比型 数 列 求 和 问题 只能 用 错 位 相 减 法 来 解 决 ， 似 乎 成 了“ 自古 华 山一 条 道” 的绝 法 ： 且 ， 位相 减 法 的 存 在价 并 错 值 似 乎 也仅 仅在 于用 来 解 决 等 差 乘 等 比 型数 列 求 和 问 题 ， 无 别
显然 ｓ＝ ６一 ， ） （ （ ６卜 ＋ ６
…
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教学 研究＞ 教学反 思
数学教学通讯（ 教师版 ）
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浅谈对数列求和中错位相减法运用的探究
王 建 鹏
福 建 惠安 高级 中 学
３ ２１０ ６ ０
罗增 儒 老师 在 《 学解 题 学 引论 》 书 中 曾对 数 学 的解 题 方 数 一
法 作 了非 常 精辟 地 诠 释．罗 老师 认 为 ． 们 探 讨 解 题 方 法 的实 我 质． 就是 要 透 过 那 机 械操 作 的形 式 去 弄 清 每 一 个 解题 方 法 与 什 么 样 的 数 学 知 识 相 联 系 ， 什 么 样 的数 学 方 法 相 结 合 ．简 而 言 与 之， 数学 方法 应 重在 理 解 ， 在 本质． 重
不可 思 议 ， 我 们 做 到 了．在 此 笔 者 并 无 意 鼓 励 大 家 要 改 弦 易 但 辙， 削弱 错 位相 减 法 的作 用 ， 希 望我 们 借 此能 更 深 刻地 体 会 裂 只
引例
求 ＆－ ・０２ ２＋ ２＋ ・ ｎ ２ － ２＋ ・ ３・ｚ・・ ・ ． １ ＋
项思 想 同样 作 为数 列求 和 的～ 种 重要 通 法 的魅 力．正 如 “ 一千 个 读者 就 有 一 千个 哈姆 雷 特 ” 我 们 学 习数 列 更应 关 注 的 是其 数 学 ， 本质 ．错位 相 减 法 绝 非解 决 等 差 乘 等 比型 数 列 求 和 问题 的唯 一 途径 ． 只能说 是 典 型方 法．
它 用．然 而 正所 谓 “ 看 成 岭 侧 成峰 ， 近高 低 各 不 同 ” 不 同视 横 远 ， 角 的切 人 让我 带来 了不 同的 发现．笔 者认 为 ． 若 我们 能 从 问题 倘 的根源 人手 ， 这些 问题可 全 盘 皆活 、 则 水到 渠 成．
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用 裂 项 法 解 决 等 差乘 等 比 型数 列 的 求 和 问 题 ， 听起 来 有 点
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数学教学通 讯 （ 教师版 ）
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已知 数 列 ｛ 的 通 项 为％＝ ２ 一 ） ２ ， 其 前 ｒ 和 时 ， ％｝ （ｎ １ ・ 求 ｔ 项 我 们 用 错 位相 减 法 ， 由｜ 即 ｓ 卜２ ３ ２＋ ・３ …＋ ２ 一 ）２ 得 ２ １ ＋ ・ ２ ２＋ （ｎ １ ・ Ｓ＝ ． ５
法 一 显 然 ，＝ ・ 为等 差乘 等 比型数 列 ， 选择 采 用 错位 ａ ｎ２ ｎ 可
相 减法 ．
法 二 注意 到ｎ ・“ 型 以及 （ ｎ ， ｎ ） ・ 可选 择 以 导数 为 工 － 具 ． 用构 造 函数法 ． 采
反 之 思 考 ， 位相 减 法 是 否 只 能 解 决 等 差 乘等 比型 数 列 的 错 求 和问题 呢？正 所 谓 “ 不识 庐 山真 面 目 ， 缘身 在 此 山 中” 对 于 只 ．