同底指数函数与对数函数图象交点个数
对数函数与指数函数
对数函数与指数函数对数函数与指数函数是高中数学中的两个重要概念，它们在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将对对数函数与指数函数的定义、性质以及它们之间的关系进行探讨。
一、对数函数的定义与性质对数函数是指以某个正数为底数，使指数为某一给定数的幂等于一个给定数的函数。
通常表示为“log”。
1.1 对数函数的定义以正数a(a≠1)为底数，正数x为真数，表示为logₐ(x)。
其中，a为底数，x为真数，log为对数。
1.2 对数函数的基本性质（1）logₐ(xy) = logₐx + logₐy（2）logₐ(x/y) = logₐx - logₐy（3）logₐ(x^p) = p·logₐx（4）logₐa = 1（5）logₐ1 = 0以上是对数函数的一些基本性质，对数函数还具有域、值域以及单调性等性质，但由于篇幅限制无法一一讨论。
二、指数函数的定义与性质指数函数是以某个正数为底数，幂为自变量，函数值为因变量的函数。
通常表示为“a^x”。
2.1 指数函数的定义以正数a(a≠1)为底数，实数x为幂，表示为a^x。
其中，a为底数，x为幂。
2.2 指数函数的基本性质（1）a^x · a^y = a^(x+y)（2）a^x / a^y = a^(x-y)（3）(a^x)^y = a^(xy)（4）a^0 = 1（5）a^1 = a以上是指数函数的一些基本性质，指数函数还具有增减性、奇偶性以及图像特点等性质，但同样由于篇幅限制无法一一展开。
三、对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数是互为反函数的关系，可以相互转化。
3.1 对数函数与指数函数的转化关系设y = logₐx，则x = a^y。
对数函数与指数函数之间的转化关系可以通过这个等式得到。
3.2 对数函数与指数函数的图像关系由于对数函数与指数函数之间是互为反函数的关系，它们在直角坐标系中的图像关系也是互为镜像。
对数函数的图像是指数函数图像关于直线y = x的镜像。
高中数学重点知识总结——对数函数及对数函数图象性质知识点总结
高中数学重点知识总结对数函数及对数函数图象性质一、对数函数的概念一般地，函数log a y x =（0a >且1a ≠），叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是()0,+∞。
二、对数函数的图象三、对数函数图象的性质1.图象都过定点()0,1。
定义域：()0,+∞，值域：R 。
2.01a <<时，为定义域上的减函数；.1a >时，为定义域上的增函数。
3.底数越大，在直线1x =的右侧越靠近x 轴，即“底大图低”。
四、对数函数图象的对称性由图象可得，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称。
五、反函数1.互为反函数的两个函数的定义域和值域正好互换。
2.底数相同的指数函数和对数函数互为反函数。
如3x y =与3log y x =互为反函数。
3.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称。
六、指、对、幂函数的增长快慢比较任给三个单调增的指数函数、对数函数、幂函数，总存在一点0x ，使得0x x >时下面两种情况同时成立。
（1）函数值的大小关系：指数>幂函数>对数函数。
（2）函数值的增长速率：指数>幂函数>对数函数。
七、高中阶段常见的考查方式1.求对数函数在某区间上的单调性、最值、值域。
2.求对数函数的复合函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性等。
3.根据几个对数函数的图象判断底的大小关系。
4.根据对数函数的底，判断对应的函数图象。
5.跟据对数式值的正负找不等式关系。
如：若log 0a b >，则1,1a b >>或01,01a b <<<<。
若log 0a b <，则1,01a b ><<或01,1a b <<>。
6.给出对数函数简单变形或与其他函数复合后的解析式，选大致图象选项，或 判断奇偶性。
7.构造对数函数比较两个实数的大小，或判断两个实数的正负。
同底的指数函数与对数函数的交点问题
同底的指数函数与对数函数的交点问题问题：()log ,0,1xa y x y aa a ==>≠的图像在0x >上的交点个数。
解答：1.当1a >时，由二者图像的对称性知，二者图像的交点都在直线y x =上，故原问题等价于讨论()1xy aa =>与y x =在0x >上的交点的个数，等价于讨论()ln 1y x a a =>与ln y x =在0x >上的交点的个数。
令()ln ln f x x a x =-，则()1ln ,0f x a x x '=->。
当10ln x a <<时，()0f x '<，()f x 在10,ln a ⎛⎤ ⎥⎝⎦严格递减；当1ln x a >时，()0f x '>，()f x 在1,ln a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭严格递增；因此()f x 在01ln x a =处取得最小值()01lnln f x a =+。
图1 1ea e >图2 1ea e =图3 11ea e <<当()01lnln 0f x a =+>，即当1e a e >时，()0f x >在0x >上恒成立，()f x 在0x >上没有零点（如图1）；当1e a e =时，()0f x ≥在0x >上恒成立，且()010ln f x x x e a=⇔===，此时()f x 在0x >上有且仅有一个零点0x e =（如图2）；当11ea e <<时，最小值()00f x <，又因为()0111ln 1ln e x a a a<<=<-，且 ()()()()111ln 0,ln 1ln ln 01ln 1f a f a a a a a ⎛⎫=>=+-+> ⎪ ⎪--⎝⎭后式求导讨论即可验证（如下图），故()f x 在()01,x 和()01,1ln x a a ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭上各有一个零点，又由()f x 在0x 两侧的严格单调性知这两个零点都是唯一的，故()f x 在0x >上有且仅有两个零点。
《对数》指数函数与对数函数PPT教学课件(第二课时对数的运算)
第二课时 对数的运算
第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标
核心素养
对数的运算 掌握对数的运算性质，能运用运算性 数学运算
性质 质进行对数的有关计算
了解换底公式，能用换底公式将一般
换底公式
数学运算
对数化为自然对数或常用对数
能灵活运用对数的基本性质、对数的 对数运算的
运算性质及换底公式解决对数运算 综合问题
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
■名师点拨 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意 义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5) 是错误的． 2．换底公式
logcb logab＝__l_o_g_ca_____ (a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1；b>0)．
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第四章 指数函数与对数函数
2. 1 1＋ 1 1＝________． log149 log513 11
解析：log14119＋log11513＝llgg419＋llgg513＝－ －22llgg23＋－ －llgg53＝llgg23＋llgg53＝lg13＝ log310. 答案：log310
)
A．8
B．6
C．－8
D．－6
解析：选 C.log219·log3215·log514＝log23－2·log35－2·log52－2＝ －8log23·log35·log52＝－8.
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第四章 指数函数与对数函数
4．已知
a2＝1861(a>0)，则
log2a＝________． 3
解析：由 a2＝1861(a>0)得 a＝49， 所以 log3249＝log23232＝2. 答案：2
指数函数与对数函数的性质证明
指数函数与对数函数的性质证明指数函数与对数函数是数学中常见的两类函数，它们具有许多重要的性质。
本文将就指数函数和对数函数的性质进行证明和解析。
一、指数函数的性质证明1. 指数运算法则：指数运算法则是指对于任意实数a，b和整数m，n，有以下等式成立：a^m * a^n = a^(m+n)(a^m)^n = a^(m*n)(a*b)^n = a^n * b^n证明：对于第一个等式，我们可以将a^m * a^n展开，得到a * a * ... * a * a * a（m个a）* a * a * ... * a * a * a（n个a）。
根据乘法的结合律，我们可以将这些a进行合并，得到a^(m+n)。
因此该等式成立。
对于第二个等式，我们可以将(a^m)^n展开，得到a^m * a^m * ... *a^m * a^m * a^m（n个a^m）。
根据乘法的结合律，我们可以将这些a^m进行合并，得到a^(m*n)。
因此该等式成立。
对于第三个等式，我们可以将(a*b)^n展开，得到(a*b) * (a*b) * ... * (a*b) * (a*b) * (a*b)（n个a*b）。
根据乘法的结合律，我们可以将这些a*b进行合并，得到(a^n) * (b^n)。
因此该等式成立。
2. 指数的负指数和零指数：对于任意实数a（a≠0），有以下等式成立：a^(-m) = 1/(a^m)a^0 = 1证明：对于第一个等式，我们可以将a^(-m)进行展开，得到1/(a^m)，而1/a^m等价于1/a * 1/a * ... * 1/a（m个1/a）。
根据乘法的结合律，我们可以将这些1/a进行合并，得到1/(a^m)。
因此该等式成立。
对于第二个等式，任何数的0次方都等于1，即a^0 = 1。
因此该等式成立。
二、对数函数的性质证明1. 对数运算法则：对于任意正数a，b和正整数m，n，有以下等式成立：log_a (a^m * a^n) = log_a (a^(m+n))log_a (a^m) = mlog_a (m * n) = log_a (m) + log_a (n)证明：对于第一个等式，我们可以将log_a (a^m * a^n)进行展开，得到log_a (a^m) + log_a (a^n)，而log_a (a^m) + log_a (a^n)等价于m + n，根据对数的定义，我们可以得到等式左边等于右边。
探究同底指数函数与对数函数交点个数
探究同底指数函数与对数函数交点个数每次教高一，我都将“同底的指数函数与对数函数的交点个数问题”作为学生的一个自主探究材料，并在课堂教学中让学生通过即兴说题，激发学生的理性思维。
本文摘录一次对这一课题的探究过程，供中学同仁教学参考。
一、提出课题在指数函数和对数函数的基础上学完反函数后，我特意安排了一节复习课，目的是加深学生对指数函数和对数函数的相关性质的认识，同时也向学生展示一个完整的数学探究案例。
一上课，我就特意营造气氛引导学生提出探究课题，先提问学生所学过的有哪些反函数，然后要求学生画出其图像。
不一会，台下叽叽喳喳起来，已有学生按捺不住向我举手提问，好戏开场了。
生A：老师！我们知道，互为反函数的两个函数其图像关于直线y=x对称，那教材上和您为什么都不把它们的图像画在同一坐标系中以更好地研究其相关性质呢？师：这个问题你提得很好，其他同学也应有类似疑问。
（教师板书：为什么不将指数函数y= 与对数函数y= (a>0，且a≠1)的图像画在同一坐标系中？？？）众生：是啊！为什么呢？师：这个问题的内涵很丰富，探究价值也很高，很值得我们一起来思考。
同学们！你们能告诉生A为什么吗？生B：可能是因为这两个函数图像的交点个数不定。
师：大家说是吗？生C：（微笑）应该是这个原因。
因为底数a是一个参数，同底的指数函数与对数函数两图像的交点个数应与底数值有关。
师：英雄所见略同，我也持与你们相同的看法。
那大家能不能就生A的问题及其他同学的分析提出一个探究课题？生D：同底的指数函数与对数函数两图像的交点个数与底数值的关系。
生E：生D的提法太抽象，目标也不明确。
我的题目是：求指数函数y= 与对数函数y= 的图像的交点个数。
掌声猛然响起。
师：改得非常好，一个“求”字就让课题生动起来了。
这节课我们就来弄清楚这两个函数图像的交点个数。
（老师板书探究课题：求指数函数y= 与对数函数y= 的图像的交点个数。
）二、数学探究师：这节课我们的探究课题是：求指数函数y= 与对数函数y= 的图像的交点个数。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，也是应用数学中常见的数学模型。
指数函数与对数函数既有相似之处又有一些不同点，下面是对这两个函数的一些基本特点进行总结。
一、指数函数指数函数的定义形式为：y=a^x，其中a为底数，x为指数，a>0，且a≠1。
1. 基本性质：（1）当a>1时，指数函数是增函数；当0<a<1时，指数函数是减函数。
（2）当x>0时，指数函数是正值函数；当x<0时，指数函数是正值函数。
（3）当x=0时，指数函数的值为1。
（4）当x为无穷大时，指数函数可能趋于无穷大或者趋于0。
2. 反函数：指数函数的反函数称为对数函数，记作y=logₐx，其中a为底数，x为真数，a>0，且a≠1。
3. 基本性质：（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。
（2）当x=1时，对数函数的值为0。
（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0<x<1时，对数函数是负值函数。
（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。
4. 常用公式：（1）换底公式：logₐb=logₐc·log_cb，可用于将对数函数的底数换成我们熟悉的底数，如换底公式常用来求解以10为底和以e为底的对数函数。
（2）指数函数的复合函数性质：如果f(x)是指数函数y=a^x，g(x)是一个函数，那么(f°g)(x)=a^(g(x))。
二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，对数函数的定义形式为：y=logₐx，其中a为底数，x为真数，a>0，且a≠1。
1. 基本性质：（1）对数函数y=logₐx是定义在（0，+∞）上的减函数。
（2）当x=1时，对数函数的值为0。
（3）当x>1时，对数函数是正值函数；当0<x<1时，对数函数是负值函数。
（4）当x趋近于0时，对数函数趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，对数函数趋近于无穷大。
单元复习 幂函数、指数函数与对数函数-高一数学(苏教版2019必修第一册)
故 f(x)=lg
+1
(2)由(1)知,f(x)=lg 1- (-1<x<1),
-+1
1-
1+ -1
1+
所以 f(-x)=lg1-(-)=lg1+=lg 1- =-lg 1- =-f(x),
所以 f(x)为奇函数.
+1
(3)原不等式可化为 lg 1- ≥lg(3x+1)(-1<x<1),
改进数学模型.
题型探究
一、直观想象
在本章中，函数图象的识别及应用均突出体现了直观想象的核心素养.
图象的识别
[例 1]
m
n
(1)已知函数 y＝x (m，n∈N *，且互质)的图象如图所示，
那么下面说法正确的是
(
)
m
A．m，n 是奇数， n <1
m
B．m 是偶数，n 是奇数， n >1
m
C．m 是偶数，n 是奇数， n <1
m
n
是奇数．根据函数图象，当 x∈(1，＋∞)时，y＝x 的图象在 y＝x 图象的下方，
m
n
m
所以 n <1.故选 C.
(2)当 0<a<1 时，函数 y＝ax 的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递减，
1
于是函数 y＝ax的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递增，函数ຫໍສະໝຸດ 1 1
1
y＝logax＋2的图象过定点2，0，在－2，＋∞上单调递减．
是由函数 f(x)＝ax 的图象向下平移一个单位长度，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上
方得到，分 a>1 和 0<a<1 两种情况作图，如图．当 a>1 时，直线 g(x)＝2a 与函数 f(x)
第四章指数函数与对数函数知识点清单总结梳理-高一上学期数学人教A版
新教材人教A版2019版数学必修第一册第四章知识点清单目录第四章指数函数与对数函数4. 1 指数4. 2 指数函数4. 3 对数4. 4 对数函数4. 5 函数的应用（二）第四章 指数函数与对数函数4. 1 指数一、根式1. n 次方根(1)定义：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N *.(2)表示：注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作√0=0.2. 根式(1)定义：式子√a n 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质(其中n>1，且n∈N *)： ①(√a n )n =a.②当n 为奇数时， √a n n =a ；当n 为偶数时， √a n n =|a|={a ，a ≥0，−a ，a <0.二、分数指数幂1. 正数的正分数指数幂： a m n =√a m n (a>0，m ，n∈N *，n>1).2. 正数的负分数指数幂： a −mn =1a m n =√a mn (a>0，m ，n∈N *，n>1). 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.三、实数指数幂1. 一般地，无理数指数幂a α(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. 这样，指数幂a x (a>0)中指数x 的取值范围就从整数逐步拓展到了实数. 实数指数幂是一个确定的实数.四、实数指数幂的运算性质1. a r a s = a r+s(a>0，r ，s∈R)；2. (a r )s =a rs (a>0，r ，s∈R)；3. (ab)r =a r b r (a>0，b>0，r∈R).4. 拓展：a r a s =a r-s (a>0，r ，s∈R). 五、根式与分数指数幂的化简、求值1. 运用根式的性质解题时的注意点(1)分清根式是奇次根式还是偶次根式：n>1，且n 为奇数时，( √a n )n =√a n n=a ，a 为任意实数；n>1，且n 为偶数，a ≥0时，(√a n )n 才有意义，且(√a n )n =a ；n>1，且n 为偶数，a 为任意实数时， √a n n 均有意义，且√a n n =|a|.(2)注意变式、整体代换，以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论.2. 根式与分数指数幂化简、求值的技巧(1)将根式化为幂的形式，小数指数幂化为分数指数幂，负指数幂化为正指数幂的倒数.(2)底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于利用指数幂的运算性质.注意：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.六、指数幂的条件求值问题解决指数幂的条件求值问题的一般方法——整体代换法1. 将已知条件或所求代数式进行恰当变形，从而通过“整体代换法”求出代数式 的值. 整体代换法是数学变形与计算常用的方法，分析观察条件与所求代数式的 结构特点，灵活运用恒等式是关键.2. 常用的变形公式如下：(1)a±2a 12b12+b=(a12±b12)2；(2)(a 12+b12)(a12-b12)=a-b；(3)a 32+b32=(a12+b12)(a-a12b12+b)；(4)a 32-b32=(a12-b12)(a+a12b12+b).4. 2 指数函数一、指数函数的概念1. 一般地，函数y=a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量,定义域是R.二、指数函数的图象和性质指数函数y=a x(a>0，且a≠1)0<a<1 a>1图象定义域R值域(0，+∞)性质过定点过定点(0，1)，即x=0时，y=1单调性在R上是减函数在R上是增函数函数值的变化当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1对称性y=a x与y=(1a)x的图象关于y轴对称三、与指数函数有关的函数的定义域、值域问题1. 与指数函数有关的函数的定义域、值域的求法(1)函数y=a f(x)的定义域与f(x)的定义域相同；(2)求函数y=a f(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=a x的单调性确定函数y=a f(x)的值域；(3)求函数y=f(a x)的定义域，需先确定y=f(u)的定义域，即u的取值范围，亦即a x的取值范围，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，即y=f(a x)的定义域；(4)求函数y=f(a x)的值域，需先利用函数u=a x的单调性确定其值域，即u的取值范围，再确定函数y=f(u)的值域，即y=f(a x)的值域. (以上a均满足a>0，且a≠1)四、与指数函数有关的函数的单调性问题1. 形如y=a f(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断方法：当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=a f(x)的单调递增(减)区间；当0<a<1时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=a f(x)的单调递增(减)区间.2. 形如y=f(a x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断方法：通过内层函数u=a x的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性.五、指数幂的大小比较1. 比较指数幂大小的方法（1）底数形同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断（2）底数不同，指数相同：利用幂函数的单调性来判断（3）底数不同，指数不同：通过中间量来比较六、指数方程与不等式的解法1. 指数方程的解法(1)对于a f(x)=b(a>0，且a≠1)型的指数方程，通常将方程两边化为同底数幂的形式，用指数相等进行求解.(2)解复杂的指数方程时，常用换元法转化为解一元二次方程. 用换元法时要特别 注意“元”的范围，用一元二次方程求解时，要注意对二次方程根的取舍.2. 简单指数不等式的解法(1)形如a f(x)>a g(x)的不等式，可借助y=a x (a>0，且a ≠1)的单调性求解；(2)形如a f(x)>b 的不等式，可将b 化成以a 为底数的幂的形式，再借助y=a x (a>0，且a ≠1)的单调性求解；(3)形如a x >b x 的不等式，可借助函数y=a x 与y=b x (a ，b>0，且a ，b ≠1)的图象求解.4. 3 对数一、对数的概念1. 对数的概念：一般地，如果a x =N(a>0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2. 常用对数与自然对数（1）以10为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为lg N ；（2）以e(e=2. 718 28…)为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为ln N.3. 对数与指数的关系当a>0，a ≠1时，a x =N ⇔x=log a N ，这是指数式与对数式互化的依据. 相关结论如下：(1)负数和0没有对数；(2)log a 1=0，log a a=1(a>0，且a ≠1)；(3) log a N a =N ，log a a N =N(a>0，且a ≠1，N>0).二、对数的运算性质1. 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)log a(MN)=log a M+log a N；(2)log a MN=log a M-log a N；(3)log a M n=nlog a M (n∈R).三、对数换底公式1. 对数换底公式：log a b=log c blog c a(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).2. 相关结论：log a b=1log b a ，log a n b m=mnlog a b(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；n≠0).四、对数的运算1. 利用对数的运算性质求值的关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的关系2. 对于复杂的算式，可先化简再计算. 化简的常用方法：①“拆”，将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”，将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.3. 在利用换底公式进行化简、求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，一般可以选择以10为对数式的底数进行换底.4. 利用换底公式化简与求值的思路：(1)用对数的运算性质进行部分运算→换成同一底数.(2)统一换为常用对数(或自然对数、指定底的对数) →化简、求值.五、对数运算性质的综合应用1. 在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义和运算性质，尤其要注意条件和待求式之间的关系.2. 解决对数应用问题时，首先要理解题意，弄清关键词及字母的含义，然后恰当设未知数，建立数学模型，最后转化为对数问题求解.4. 4 对数函数一、对数函数的概念1. 一般地，函数y=log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞).二、对数函数的图象与性质对数函数y=log a x(a>0，且a≠1)0<a<1 a>1图象定义域(0，+∞)值域R性质过定点过定点(1，0)，即x=1时，y=0单调性在(0，+∞)上是减函数在(0，+∞)上是增函数函数值的变化当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0对称性y=log a x与y=log1ax的图象关于x轴对称三、反函数1. 一般地，指数函数y=a x(a>0，且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0，且a≠1)互为反函数. 它们的定义域与值域正好互换.2. 拓展：(1)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.当a>1时，函数y=a x在R上是增函数，函数y=log a x在(0，+∞)上是增函数；当0<a<1时，函数y=a x在R上是减函数，函数y=log a x在(0，+∞)上是减函数. (2)互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称.四、不同函数增长的差异五、对数函数的图象及其应用1. 对数型函数图象过定点问题：求函数y=m+log a f(x)(a>0，且a≠1，f(x)>0)的图象所过定点时，只需令f(x)=1，求出x，即得定点为(x，m).2. 根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y=1与所给图象相交，比较交点的横坐标即得各个底数的大小关系.3. 函数图象的变换规律(1)一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.六、与对数函数有关的函数的定义域、值域问题1. 对数型函数的定义域(1)求对数型函数的定义域，要注意真数大于0，即在y=log a f(x)(a>0，且a≠1)中应首先保证f(x)>0；(2)若底数中也含有变量，则底数应大于0且不等于1.2. 求对数型函数值域的常用方法(1)直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数的值域.(2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(log a x)]2+nf(log a x)+c(m≠0，a>0，且a≠1))时，可以用配方法求函数的值域.(3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域.(4)换元法：求形如y=log a f(x)(a>0，且a≠1，f(x)>0)的函数的值域的步骤：①换元，令u=f(x)，利用函数的图象和性质求出u的范围；②利用y=log a u的单调性、图象求出y的取值范围.七、与对数函数有关的函数的单调性1. 求与对数函数有关的函数的单调性的要点(1)单调区间是定义域的子集.(2)若a>1，则y=log a f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；若0<a<1，则y=log a f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反.八、比较对数值的大小1. 比较对数值大小常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性进行比较.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化进行比较.(3)底数和真数都不同的，找中间量比较.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.九、解对数不等式1. 对数不等式的常见类型及解题方法(1)形如log a f(x)>log a b的不等式，借助函数y=log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论；(2)形如log a f(x)>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=log a a b)，再借助函数y=log a x的单调性求解；(3)形如log f(x)a>log g(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用图象求解.十、几种常见的函数模型的选择1. 常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是增长速度不变，可称为“直线上升”.(2)指数函数模型y=a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型y=log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓，可称为“对数增长”.2. 不同的函数模型能刻画现实生活中不同的变化规律(1)线性函数模型适合描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数模型适合描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数、幂函数模型适合描述增长速度平缓的变化规律.因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.4. 5 函数的应用（二）4. 5. 1 函数的零点与方程的解4. 5. 2 用二分法求方程的近似解一、函数的零点1. 函数的零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2. 方程、函数、函数图象之间的关系：方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.二、函数零点存在定理1. 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.三、用二分法求函数y=f(x)零点的近似值1. 二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2. 用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.(2)求区间(a，b)的中点c.(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0 (此时x0∈(a，c))，则令b=c；③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a=c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.四、一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题1. 设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a>0)的两个实数根,,令f(x)=ax 2+bx+c (a>0)，则x 1，x 2的分布情况如下表： 根的分布 图象等价条件 x 1<x 2<k 0,f (k)0,b 2a k ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪-<⎩k<x 1<x 2 0,f (k)0,b 2a k ⎧⎪∆>⎪>⎨⎪⎪->⎩m<x 1<k<x 2<nf (m)0,f (k)0,f (n)0>⎧⎪<⎨⎪>⎩x 1，x 2∈(k 1，k 2)12120,f (k )0,f (k )0,b k k 2a ∆≥⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<-<⎪⎩ 只有一根在(k 1，k 2)内120,b k k 2a ∆=⎧⎪⎨<-<⎪⎩ 或f(k 1)·f(k 2)<0五、函数零点个数的判断及应用1. 判断函数f(x)的零点个数的主要方法 (1)转化为解相应的方程，根据方程的解进行判断.(2)画出函数y=f(x)的图象，判断它与x 轴的交点个数，从而判断零点的个数.(3)利用函数零点存在定理进行判断，若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点.(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.2. 已知函数f(x)的零点个数求参数范围，通常要对已知条件进行变形，变形的方向：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数解析式尽可能简单.六、用二分法求方程的近似解1. 二分法求方程近似解的适用条件(1)在初始区间内函数图象是连续不断的；(2)函数在初始区间的两个端点的函数值异号，即是变号零点.2. 利用二分法求方程近似解的步骤(1)构造函数，选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.(2)用列表法清晰地表达函数零点所在的区间，依次进行计算.(3)求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(4)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.4. 5. 3 函数模型的应用一、常见的函数模型二、利用函数模型解决实际问题的基本过程三、利用函数模型解决实际问题1. 利用函数模型解决实际问题的步骤(1)审题——弄清题意，分清条件和要求的结论，理顺数量关系；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型；(3)求模——推理并求解函数模型；(4)还原——用得到的函数模型描述实际问题的变化规律.2. 建立拟合函数模型解决实际问题函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格，绘制散点图；(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据.。
指数函数与对数函数的零点问题
指数函数与对数函数的零点问题指数函数和对数函数是高中数学中常见的函数类型，它们在解决实际问题中具有重要的应用价值。
其中，指数函数与对数函数的零点问题是一个比较常见且具有一定难度的问题。
本文将围绕指数函数和对数函数零点问题展开讨论。
一、指数函数的零点问题指数函数通常可以表示为f(x)=a^x（a>0, a≠1）的形式，其中a被称为底数。
当指数函数的底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当0<a<1时，函数呈现衰减趋势。
指数函数的零点问题即是要找出满足f(x)=0的解x。
在解决指数函数零点问题时，常用的方法是对数运算法。
由于指数运算和对数运算是互逆的，因此我们可以通过对指数函数进行对数运算，将指数函数的零点问题转化为对数函数的求解问题。
举个例子来说明，假设有一个指数函数f(x)=2^x，要求解f(x)=0的解x。
我们可以将指数函数转化为对数形式，即2^x=0转化为log2(y)=x，其中y=0。
这样，我们就将求解指数函数的零点问题转化为了对数函数log2(y)的求解问题。
二、对数函数的零点问题对数函数通常可以表示为f(x)=loga(x)（a>0, a≠1）的形式，其中a 被称为底数。
对数函数的定义是y=loga(x)等价于a^y=x，其中y被称为指数。
对于对数函数的零点问题，即是要找出满足f(x)=0的解x。
与指数函数类似，我们可以通过指数运算的逆运算对数运算来解决对数函数的零点问题。
举个例子来说明，假设有一个对数函数f(x)=log2(x)，要求解f(x)=0的解x。
我们可以将对数函数转化为指数形式，即2^0=x。
根据指数运算的性质可知，任何数的0次幂都等于1，因此x=1。
这样，我们就找到了对数函数f(x)=log2(x)的零点x=1。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是互为反函数的关系。
即对于任意的a>0，a≠1和x，有a^(loga(x))=x，loga(a^x)=x。
指数函数与对数函数的交点问题
指数函数与对数函数的交点
指数函数y=a x(a>0,a=1)与对数函数y=log a x(a>0,a=1)互为反函数，它们的交点问题一直让人困惑，是有一个交点，还是有两个交点，还是有更多的交点，一直是部分人争论的话题。
下面就此问题进行探究。
一个交点：一个交点的情况很普遍，可以随便找到一个实例比如a= 0.5，此时y=0.5x与y=log0.5x的交点是1个，其部分图像（仅画出了交点附近的图像）如图1：
图1:指数函数与对数函数有1个交点的情况
两个交点：两个交点的情况也比较好找，比如a=√
2，此时y=
(√
2)x与y=log√
2
x的交点是2个，其部分图像（仅画出了交点附近的图像）
如图2：
1
图2:指数函数与对数函数有2个交点的情况
三个交点：三个交点的情况比较少见，很难想到，此处给出一个实例，比如a=0.03，此时y=0.03x与y=log0.03x的交点是3个，其部分图像（仅
：
画出了交点附近的图像）如图3
2。
高考函数难点破解应用GGB数形结合研究指对函数图象交点问题
GGB 辅助教学典型案例——数形结合探究指、对函数图象交点问题问题：同底的指数函数x y a =（0,1a a >≠）与对数函数log a y x =（0,1a a >≠）图象可能有几个交点？这是高中函数教学中困扰广大师生的难点问题．结合GGB 的动态直观演示功能，可以数形结合直观地解决这个问题．步骤如下：1．打开GGB 工作页面，创建一个滑动条，命名为a ．2．输入函数x y a =和函数log a y x =．3．拉动滑动条a ，可以动态观察函数x y a =与log a y x =图象相交的情况．(1)若1a >①拉动滑动条a ，让a 足够大，观察发现：两函数图象不相交，无交点（如上图所示）②拉动滑动条a ，让a 逐渐变小，观察发现：两函数图象逐渐靠近，在两图像刚好一接触（即相切）的那一刹，两函数图象只有一个公共点．记此时的a 的值为0a ．③拉动滑动条a ，当01a a <<时，观察发现两函数图象有两个交点．(2)若01a <<①拉动滑动条a ，当a 足够大时，观察发现：两函数只有一个交点．设交点为A ，过点A 分别作函数x y a =与log a y x =的切线,AB AC ．此时0AC AB k k << ②拉动滑动条a ，当a 逐渐变小时，观察发现：两切线,AB AC 逐渐靠近．在两切线,AB AC 重合的那一刹，即0AC AB k k =<时，两函数图像只有一个交点．设此时a 的值为1a ．③拉动滑动条a ，当10a a <<时，观察发现：两切线,AB AC 的斜率满足0AB AC k k <<，此时两函数图像有3个交点（如图所示,,A M N 三点）．4．如何求出临界值01,a a ？（其中1001a a <<<）①当0a a =时，两函数图象有唯一公共点A ．点A 在对称轴y x =上，设(,)A t t ．此时两函数在点A 处的切线重合，即对称轴直线y x =．函数()x f x a =，()log a g x x =的导函数分别为'()ln x f x a a =，1'()ln g x x a=， 于是()()'()'()1f t g t t f t g t ==⎧⎨==⎩，即11ln t a t t a ⎧=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎨=⋅⋅⋅⎪⎩①② 由②式得1ln t a =，代入①式得1ln 1ln a a a =，即log 1ln a e a a =，11ln e e a e a=⇒=． 故临界值10e a e =．②当1a a =时，两函数图象有唯一公共点A ．点A 在对称轴y x =上，设(,)A t t ． 此时两函数在点A 处的切线重合，于是()()'()'()f t g t t f t g t ==⎧⎨=⎩，即1ln ln t t a t a a t a ⎧=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎨=⋅⋅⋅⎪⎩①② ①式代入②式得221ln t a =，因为0,01t a ><<，所以1ln t a =-， 代入①式得1ln 1ln a a a -=-，即11ln e a=-，即ln e a e a e -=-⇒=． 故临界值1e a e -=．5．综上所述，指数函数x y a =与对数函数log a y x =图象的交点情况为： ①当0e a e -<<时，两函数图象有3个交点；②当1e e a -≤<时，两函数图象有1个交点； ③当11ea e <<时，两函数图象有2个交点； ④当1e a e =时，两函数图象有1交点； ⑤当1e a e >时，两函数图象有2个交点；说明：以上结合GGB 软件数形结合动态直观解决交点问题的方法，优点是直观形象，缺点是欠缺严谨性．严谨论证详见附录的论述．附：指数函数x a y =与对数函数x y a log =交点个数问题的严谨论证 论题：指数函数x a y =)10(≠>a a 且与对数函数x y a log = )10(≠>a a 且交点个数问题．论述：分1>a 及10<<a 两种情况进行讨论．（一）当1>a 时，过原点)0,0(O 作函数x a y =的切线l ，设切点为),(00y x P ∵a a y x ln =' ∴切线l 的斜率00ln xx x k y a a ='== 又∵0000x y a k x x == ∴a a x a x x ln 000= ∴e a x a log ln 10== 从而log ln ln a e k a a e a ==(1)当1k =，即1ln =a e ，亦即1e a e =时，点P 在直线x y =上，∴00y x =故00x a x =，可得00log x x a =∴),(00y x P 是x a y =与x y a log =的公共点．(2)当1k >,即1ln >a e ，亦即1e a e >时，x a y =与x y =相离, x a y =与x y a log =没有公共点．(3)当1k <,即1ln <a e ，亦即11e a e <<时，x a y =与x y =有两个公共点),(11y x M ,),(22y x N ,同理可知),(11y x M ,),(22y x N 均是x a y =与x y a log =的公共点． 下面先证如下引理：当1>a 时，x a y =与x y a log =不可能有不在x y =上的公共点．证明：用反证法．假设x a y =与x y a log =有公共点),(t s Q ,t s t s ≠>,0,,若t s >,则t a s =①，t s a =log ②，由②可得s a t =③∵x a y =在R 上单调递增，又∵t s >∴ts a a >由此式结合①③可知s t >,这与t s >矛盾．故t s >不能成立．同理s t >时亦不能成立．从而假设不真．引理得证．综上可知： 当11e a e <<时, x a y =与x y a log =有两个公共点, 当1e a e =时, x a y =与x y a log =有唯一公共点, 当1e a e >时, x a y =与x y a log =没有公共点．（二）当10<<a 时,作函数x a x f a x log )(-=,易知-∞=+→)(lim 0x f x ,+∞=+∞→)(lim x f x 不妨设(0)m a e m =<, 则x me xf mx ln 1)(-=,mx mx mxe x m e x f ----='2)( 过原点(0,0)O 作mx e y -=的切线,则切线的斜率'ln m k e e me -==-(1)当2m me ≥-,即e m -≥时,0)(≥'x f 恒成立．从而)(x f 在(0,)+∞上单调递增, ∴)(x f 有唯一的零点．(2)当2m me <-,即e m -<时,不妨设mx e y -=与x m y 2=交于两点),(11y x M ,),(22y x N , (21x x <) 则当),0(1x x ∈时,0)(>'x f , 当),(21x x x ∈时, 0)(<'x f ,当),(2+∞∈x x 时, 0)(>'x f∴)(x f 的单调递增区间为),0(1x ,),(2+∞x ,单调递减区间为),(21x x)(x f 在1x x =处取得极大值,且0)(1>x f ,)(x f 在2x x =处取得极小值,且0)(2<x f ,由零点存在定理可知, )(x f 有3个零点,分别在区间),0(1x ,),(21x x ,),(2+∞x 之内． 下面补充证明0)(1>x f ，0)(2<x f ．证明：设mx e y =（e m -<）与x y =的交点为),(33x x ∵e m -< ∴11-<⋅e m ∴11-⋅<e e e m 即当e x 1=时，mx e y =的函数值小于x y =的函数值，数形结合可知e x 13< ∵mx e y =（e m -<）与x y =的交点为),(33x x∴33mx e x =从而33ln mx x = 于是01ln 1)(33333=-=-=mx mx x m e x f mx 又∵333323)(mx mx e mx x m e x f ----='333231mx emx x m x ---=3232321mx e mx x m ---=32333)1)(1(mx e mx mx mx ---+= ∵0,03><x m ，∴013>-mx ，0323>--mx e mx 又∵ex 13<，∴1ln 3-<x ，∴3311ln 0mx x +=+< ∴0)(3<'x f ，又∵当),0(1x x ∈时,0)(>'x f , 当),(21x x x ∈时, 0)(<'x f , 当),(2+∞∈x x 时, 0)(>'x f∴),(213x x x ∈ 又∵)(x f 在区间),(21x x 单减及0)(3=x f ∴0)(1>x f 且0)(2<x f ． 证毕．综上可知：当e m -≥即1<≤-a e e 时，x a y =与x y a log =有唯一公共点,且此公共点在x y =上，当e m -<即ee a -<<0时，x a y =与x y a log =有三个公共点,且有两个不在直线x y =上，但关于x y =对称，而第三个公共点在直线x y =上． 综合以上论述,我们可以得到如下结论：①当0e a e -<<时，x a y =与x y a log =有三个公共点,且有两个不在直线x y =上，但关于x y =对称，而第三个公共点在直线x y =上； ②当1e e a -≤<时，x a y =与x y a log =有唯一公共点,且此公共点在x y =上，当③11e a e <<时, x a y =与x y a log =有两个公共点,且两个公共点均在直线x y =上； ④当1e a e =时, x a y =与x y a log =有唯一公共点, 且该公共点在直线x y =上； ⑤当1e a e >时, x a y =与x y a log =没有公共点．。
指数函数与对数函数的基本概念与性质
指数函数与对数函数的基本概念与性质1. 引言指数函数和对数函数是高中数学中重要的函数概念，广泛应用于科学、工程和经济等各个领域。
本文将介绍指数函数和对数函数的基本概念及其性质。
2. 指数函数的基本概念指数函数是以底数为常数，指数为自变量的函数，通常表示为y =a^x，其中a为底数，x为指数，y为函数值。
指数函数的定义域为实数集，底数大于0且不等于1。
3. 指数函数的性质3.1 底数大于1时，指数函数呈现增长趋势；底数在(0,1)之间时，指数函数呈现衰减趋势；底数为1时，指数函数为常值函数。
3.2 指数函数的值域取决于底数的正负情况，当底数大于1时，值域为(0,正无穷)；当底数在(0,1)之间时，值域为(正无穷,0)。
3.3 指数函数具有反函数，即对数函数。
4. 对数函数的基本概念对数函数是指以某个常数为底数，以该底数的幂作为自变量的函数，通常表示为y = loga x，其中a为底数，x为函数值，y为自变量。
对数函数的定义域为正实数集。
5. 对数函数的性质5.1 对数函数的底数必须大于0且不等于1，函数值大于0。
5.2 对数函数的图像呈现与指数函数相反的趋势，即底数大于1时，对数函数呈现衰减趋势；底数在(0,1)之间时，对数函数呈现增长趋势；底数为1时，对数函数为常值函数。
5.3 对数函数的值域取决于底数的正负情况，当底数大于1时，函数值在负无穷到正无穷之间；当底数在(0,1)之间时，函数值在正无穷到负无穷之间。
6. 指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数是互为反函数的关系，即a^loga x = x，loga(a^x) = x。
指数和对数函数的性质可以相互推导，其中指数函数的性质1对应于对数函数的性质5。
指数函数和对数函数在实际应用中常常相互转化使用。
7. 应用举例7.1 金融领域：指数函数可以用来计算复利，对数函数可以用来计算年化收益率。
7.2 化学领域：指数函数可以用来描述元素的放射性衰变过程，对数函数可以用来描述溶液的酸碱性。
同底的指数函数与对数函数的交点
（注：e1/e≈1.444）第一部分：当1<a时，有三种情况:无交点，一个交点，两个交点，具体如下：（1）a>e1/e 时，y=a x图像恒在直线y=x的上方，y=log a x图像恒在直线y=xx的图像没有交点；的下方，结论：y=a x与y=logaa>e1/e 时，y=a x与y=log a x的图像没有交点（2）a=e1/e 时，y=a x图像与直线y=x相切，y=log a x图像恰好与直线y=xx的图像只有一个交点，且在直线y=x上；相切与前述切点，结论：y=a x与y=logaa=e1/e 时，y=a x与y=log a x的图像只有一个交点（3）1<a<e1/e ，y=a x与y=x的图像有两个交点，y=log a x与y=x的图像恰x的图像有2交点，且都在直线y=x 好相交与上述两个交点，结论：y=a x与y=loga上；1<a<e1/e 时，y=a x与y=log a x的图像有2个交点第二部分：当0＜a<1时，y=a x与y=log a x的图像至少有一个交点，且这个交点在在直线y=x上；具体如下：（4）e-e≤a<1时，y=a x与y=log a x的图像只有一个交点(注：e-e≈0.066)；e-e＜a<1时，y=a x与y=log a x的图像只有一个交点a=e-e≈0.066时，y=a x与y=log a x的图像只有一个交点（1/e,1/e）（5）0<a<e-e 时，y=a x与y=log a x的图像至少有三个交点，其中一个在直线y=x上。
1/77≤a≤1/16时，y=a x与y=log a x的图像有三个交点。
gao 指数函数与对数函数的关系
y=a
x
x、y互换 、 互换
x=a
y
互化
y = log a x
y
y = 2x
y=x
y = log 2 x
1
0
1
x
问题3 问题3：同底的指数函 数与对数函数图像有 什么关系？ 什么关系？
反函数的定义： 反函数的定义：
当一个函数是一一映射时 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的 一一映射 因变量作为一个新的函数的自变量， 因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个 函数的自变量作为新的函数的因变量， 函数的自变量作为新的函数的因变量， 我们称这两个函数互为反函数。 我们称这两个函数互为反函数。 反函数
2.定义域、值域 定义域、 定义域 互换
3.横、纵坐标互换 横 4.单调性不变 单调性不变 5.增减速度一快一慢 增减速度一快一慢
注意：同底ห้องสมุดไป่ตู้指数函数和对数函数性质关系， 注意：同底的指数函数和对数函数性质关系，也体现了 所有互为反函数的两函数间性质关系
课后思考：
1.为什么同底的指数函数和对数函数单调性一致？ 为什么同底的指数函数和对数函数单调性一致？ 为什么同底的指数函数和对数函数单调性一致 2.为什么同底的指数函数和对数函数增减速度一快一慢？ 为什么同底的指数函数和对数函数增减速度一快一慢？ 为什么同底的指数函数和对数函数增减速度一快一慢
函数y = f ( x ) ( x ∈ A)的反函数，记作f −1 ( x ) .
练习：求下列函数的反函数： 练习：求下列函数的反函数： x y 0 0 1 1 2 4 3 9
问题9： 问题 ：上面练习中函数与函数 x y -3 -2 -1 0 9 4 1 0 1 1 2 4 3 9
指数函数对数函数交点个数问题
指数函数、对数函数图像交点问题反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角度产生的，函数的反函数，本身也是一个函数。
在实际教学过程中，我们除了从定义的角度把反函数讲解清晰之外，譬如：从映射的角度可知,函数y=f(x)是定义域集合A 到值域C 的映射,它的反函数y =f -1（x ）是集合C 到集合A 的映射，再结合函数的定义可知，只有一一映射的函数才存在反函数。
我们还应该把握从抽象到直观，再从直观到抽象相结合的传授知识的基本原则，给学生的一个形象、直观的认识。
正是基于这个原因，中学数学教材中引进了作为一种重要的函数和互为反函数的典型例子的指数函数、对数函数。
一、分析反函数的定义可知，原函数与反函数图像如果有交点，它们必然关于y=x 对称；若原函数与直线y=x 有交点，则反函数图像也必与y=x 相交且交点重合。
为了验证上面的结论，我分别给了学生以下几个例子（1）与它的反函数图像只有一个交点12-=x y 函函2121+=x y ，且在y=x 上。
)1,1(（2）函数与它的反函数的图像有三个交点3x y =31x y =，且都在y=x 上。
)1,1()0,0()1,1(、、--（3）函数的反函数是它自身，故反比例函数与它的反函x y 1=数图像有无数个交点，其中有两个在y=x 上。
引入此例是)1,1()1,1(、--为了说明若原函数图像与反函数图像的交点不在y=x 上则一定对称地、成对出现在y=x 两侧，因为太特殊，解释起来有点牵强，所以我们引进了第4个例子（是用一种引导的方式给出的）。
（4）若点既在函数图像上，也在其反函数图像上，)2,1(b ax y +=求a ，b 的值。
经过计算，也就是说点既在函数7,3=-=b a )1,2()2,1(、图像上，也在其反函数图像上，验证了我们上述的观点。
73x y +-=在学生从代数的角度验证、认同了这个结论后，为了给学生一个直观的认识，我打算利用几何画板为学生演示一下，结果发现，在电脑屏幕上不能清晰地显示图像的交点（如左下图）；把方程中的7改成8之后，清晰地显示出了交点（图右下图）至此，从数和直观的角度，学生对原函数与反函数图像的交点问题有了一个初步的认识。
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同底指数函数与对数函数图象交点个数
必修一教材第76页有这样一个探究：指数函数)10(≠>=a a a y x 且与对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且互为反函数，那么它们图象有什么关系呢？
通过探究发现，我们容易知道它们的图象关于直线x y =对称，那么它们图象交点有几个呢？教科书上为何没有把它们两者图象画在同一坐标系下？
这是一个探究价值很高的问题，教材这样处理，主要原因是这两个函数图象交点个数不定.下面我们一起来研究下.
分1>a 和10<<a 两者情况进行讨论.
1. 当1>a 时
在几何画板中，画出x y 2=与x y 2log =图象，发现它们没有公共点（如图1）.
当底数a )1(>a 逐渐变小时，)1(>=a a y x 与)1(log >=a x y a 图象与x y =逐渐接
近，然后相切（如图2），再相交（如图3），而且我们清楚地看到它们交点在x y =上
.
图1 图2 图3 事实上，由反函数图象对称性知，确实如此，所以研究)1(>=a a y x 与
)1(log >=a x y a 图象交点情况即研究)1(>=a a y x 与x y =图象交点情况.
下面，我们从“临界状态”入手研究，从代数角度看只需联立方程0
=-⇒⎩⎨⎧==x a x
y a y x x
让方程只有一个根即可，属于超越方程，无法用常规方法解，利用导数（选修2-2中知识）解法如下：
()
1ln 1ln 1ln 111=⇒=⎪⎩⎪⎨⎧⇒==⎩⎨⎧⇒='=x x x a a x a a x a x x x x x ∴e e e
a e a e x 1,,===即得 所以，当e e a 1
=时，函数x a y =与x y a log =图象与x y =相切.
根据指对数函数单调性以及以上分析得：
当e e a 1>时，函数x a y =与x y a log =图象有0个交点； 当e e a 1=时，函数x a y =与x y a log =图象有1个交点； 当e e a 11<<时，函数x a y =与x y a log =图象有2个交点.
2. 当10<<a 时 同样地，我们也在几何画板中画出x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21与x y 2
1log =图象，发现它们有一个交点（如图4）.
当底数a )10(<<a 逐渐变小时，我们惊奇地发现)10(<<=a a y x 与)10(log <<=a x y a 图象出现了3个交点（如图5）.
图4 图5 由函数的单调性和连续性知，当10<<a 时，)10(<<=a a y x 与
)10(log <<=a x y a 图象不可能相切，所以交点情况只有1个或者3个.
同样地，我们也可以用导数解出临界状态时的a 的值，类似的，我们得到以下结论： 当1<≤-a e a 时，函数x a y =与x y a log =图象有1个交点；
当a e
a -<<0时，函数x
a y =与x y a log =图象有3个交点. 综上所述， 当e
e a 1
>时，函数x a y =与x y a log =图象有0个交点； 当e e a 1=或1<≤-a e
a 时，函数x a y =与x y a log =图象有1个交点； 当e e a 1
1<<时，函数x a y =与x y a log =图象有2个交点；
当a e a -<<0时，函数x
a y =与x y a log =图象有3个交点.
微练习：
1．下列命题
① 若点）（n m ,在函数x a y =图象上，则点）（m n ,在函数x y a log =图象上
② 当1>a 时，函数x y a log =的图象与直线x y =无公共点
③ 若点）（n m ,既在函数x a y =图象上，也在函数x y a log =图象上，则n m =
④ 当10<<a 时，函数x a y =的图象与直线x y =有且只有一个公共点
其中正确的命题的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．已知1>a ,则方程|log |x a a x =实根的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．1个或2个
D ．1个或2个或3个
3．已知10<<a ，则方程|log |||x a a x =的实根的个数为（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．2个或3个
D ．2个或4个
【答案】
1.①由反函数图象对称性知正确；②当1>a 时，函数x y a log =的图象与直线x y =可能
有0个或1个或2个交点，所以错误；③当10<<a 时，函数x a y =与函数x y a log =交
点有3个时，其中2个不在x y =上，所以错误；④当10<<a 时，函数x a y =与直线只
有一个交点，所以正确.故选C.
2.由函数与方程思想知，方程的根的个数即函数x a y =与函数x y a log =图象交点个数，而x y a log =是把x y a log =图象在x 轴下方部分作关于x 轴对称，又因为当1>a 时，函数x
a y =与函数x y a log =图象交点可能有0个或1个或2个，所以|log |x a a x =实根个数可能是1个或2个或3个，故选D.
3.当10<<a 时，方程|log |||x a a x =在区间）（1,0内实根个数是1个或3个，在区间[)∞+，
1内的实根个数为1个，所以10<<a 时，方程|log |||x a a x =实根个数为2个或4个，故选D.。