北京市顺义区2020届高三上学期第一次统练(期末)数学试卷及答案

2020年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1）3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2﹣x B．y=x3+x C．y=﹣D．y=lnx4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=05．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．356．已知a，b∈R，则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．在平面直角坐标系中，若不等式组，（a为常数）表示的区域面积等于3，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．58．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则以下结论正确的是（）A．当x=2时，y有最小值B．当x=2时，有最大值C．当x=时，y有最小值2 D．当x=时，y有最大值2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥则实数k等于_______．10．抛物线y2=8x的准线与双曲线C：﹣=1的两条渐近线所围成的三角形面积为_______．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=_______．12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_______（单位：cm2）．13．国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆，据此推测该地区今年Q型汽车销售量约为_______辆；这两款车的销售总量约为_______辆．（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）14．设集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大和最小元素分别是M、m，则M=_______，m=_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x．x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．16．某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如表数据：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差（℃）9 11 13 12 8 10发芽数（粒）23 25 30 26 16 24（1）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；（2）从3月1日至3月6日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子数分别为m，n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足的事件A的概率．17．已知等差数列{a n}，a2=3，a5=9．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=c，其中c为常数，且c＞0，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2，F，G分别为AD，DC的中点．（1）求证：CF⊥平面ABED；（2）求四棱锥C﹣ABED的体积；（3）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．19．已知函数f（x）=xe x+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），点A（2，）为椭圆上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）设M、N为椭圆上两点，若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值；（3）在（2）的条件下，△AMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算和i2=﹣1进行化简即可．【解答】解：i（1+i）=i+i2=﹣1+i，故选C．2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由B中不等式变形得：2x＜1=20，解得：x＜0，即A=（﹣∞，0），则A∩B=（﹣1，0），故选：A．3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2﹣x B．y=x3+x C．y=﹣D．y=lnx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数图象关于原点对称，一次函数和y=x3在R上的单调性，反比例函数在定义域上的单调性，以及指数函数和对数函数的图象便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=2﹣x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）；∴该函数为定义域R上的奇函数；y=x3和y=x在R上都是增函数，∴y=x3+x在R上为增函数，∴该选项正确；C．反比例函数在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．35【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1T=3，S=3，i=2不满足i＞4，T=5，S=8，i=3不满足i＞4，T=7，S=15，i=4不满足i＞4，T=9，S=24，i=5满足i＞4，退出循环，输出S的值为24．故选：C．6．已知a，b∈R，则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】ab≥2，可得：a2+b2≥2ab≥4．反之不成立，例如取a=，b=2．即可判断出结论．【解答】解：∵ab≥2，∴a2+b2≥2ab≥4，当且仅当a=b=时取等号．反之不成立，例如取a=，b=2．∴“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的充分不必要条件．故选：A．7．在平面直角坐标系中，若不等式组，（a为常数）表示的区域面积等于3，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．5【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于3，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：不等式组，（a为常数）围成的区域如图所示．∵由于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于3，∴×|AC|×|x A﹣x B|=3，解得|AC|=6，∴C的坐标为（1，6），由于点C在直线ax﹣y+1=0上，则a﹣6+1=0，解得a=5．故选：D．8．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则以下结论正确的是（）A．当x=2时，y有最小值B．当x=2时，有最大值C．当x=时，y有最小值2 D．当x=时，y有最大值2【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由已知得FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x，从而PC=，AP=，BP=，进而得到y2==，由此利用换元法及二次函数性质能求出结果．【解答】解：∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x在Rt△DCP中，PC=，在Rt△FAP中，AP=，在Rt△ABP中，BP=，∵BC=BP+PC=+=y整理得y2==，令t=则y2=，则当t=，即x=时，y取最小值．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥则实数k等于3．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由条件求出的坐标，由⊥可得•=0，解方程求得k 的值．【解答】解：∵向量=（2，1），+=（1，k），∴=（﹣1，k﹣1）∵⊥，则•=（2，1）•（﹣1，k﹣1）=﹣2+k﹣1=0，∴k=3，故答案为3．10．抛物线y2=8x的准线与双曲线C：﹣=1的两条渐近线所围成的三角形面积为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，双曲线C：﹣=1的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（﹣2，），（﹣2，﹣），即有三角形的面积为×2×2=2．故答案为：2．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=或．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得，sinA=2sinBsinA，从而可求sinB，进而可求B．【解答】解：∵a=2bsinA，由正弦定理可得，sinA=2sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB=，∵0°＜B＜180°．∴B=或．故答案为：或．12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是3π+4（单位：cm2）．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，∴底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，∴几何体的表面积S=π×12+π×1×2+2×2=3π+4（cm2），故答案为：3π+4．13．国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆，据此推测该地区今年Q型汽车销售量约为1050辆；这两款车的销售总量约为2970辆．（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）【考点】等差数列与等比数列的综合；对数的运算性质．【分析】由题意可得，今年Q型电动汽车的月销售量与R型电动汽车的月销售量分别构成等比数列和等差数列，然后利用等比数列和等差数列的前n项和求解．【解答】解：由题意可得，今年Q型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以1.1为公比的等比数列，则今年Q型电动汽车的销售量为≈1050；R型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以20为公差的等差数列，则R型电动汽车的销售量为=1920．∴这两款车的销售总量约为：1050+1920=2970．故答案为：1050；2970．14．设集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大和最小元素分别是M、m，则M=5，m=2．【考点】集合的表示法．【分析】根据级别不等式的性质求出最小值，a取最小值1，b取最大值2时，求出最大值M．【解答】解： +b≥+a≥2，故m=2，a=1，b=2时+b=5，故M=5，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x．x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）根据两角差的正弦公式得到f（x）=，从而求出f（x）的最小正周期；（2）根据x的范围，求出2x﹣的范围，从而求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）由已知f（x）=sin2x﹣2cos2x=，∴f（x）的最小正周期为π；（2）∵，∴，∴当，即x=0时，f min（x）=﹣2，当，即时，．16．某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如表数据：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差（℃）9 11 13 12 8 10发芽数（粒）23 25 30 26 16 24（1）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；（2）从3月1日至3月6日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子数分别为m，n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足的事件A的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据平均数即可求出，（2）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．（1）这6天的平均发芽率为：，【解答】解：∴这6天的平均发芽率为24%，（2）（m，n）的取值情况有事件数为15，设为事件A，则事件A包含的基本事件为（25，30），（25，26）（30，26），∴所求概率．17．已知等差数列{a n}，a2=3，a5=9．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=c，其中c为常数，且c＞0，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式即可得出．（2）对c分类讨论，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）由已知，解得d=2，a1=1，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（Ⅰ）知：b n=c=c2n﹣1，当c=1时，b n=1，∴S n=n．当c≠1时，∵，∴{b n}是b1=c，公比为c2的等比数列；∴．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2，F，G分别为AD，DC的中点．（1）求证：CF⊥平面ABED；（2）求四棱锥C﹣ABED的体积；（3）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由AB⊥平面ACD得出平面ACD⊥平面ABED，由等边三角形得出CF⊥AD，利用面面垂直的性质得出CF⊥平面ABED；（2）棱锥的底面ABED为直角梯形，高为CF，代入体积公式计算即可；'（3）取CE的中点H，连结GH，BH，则可证明四边形ABHG是平行四边形，于是AG∥BH，得出AG∥平面BCE．【解答】证明：（1）∵F为等腰△ACD的边AD的中点，∴CF⊥AD，∵AB⊥平面ACD，AB⊂平面ABED，∴平面ACD⊥平面ABED，∵平面ACD∩平面ABED=AD，CF⊥AD，．CF⊂平面ACD，∴CF⊥平面ABED．（2）∵△ACD是边长为2的等边三角形，∴CF=．==3，∵S梯形ABED∴．（3）结论：直线AG∥平面BCE．证明：取CE的中点H，连结GH，BH，∵G是CD的中点，∴GH∥DE，且GH==1，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴GH∥AB，又GH=AB=1，∴四边形ABHG为平行四边形，∴AG∥BH，又AG⊄平面BCE，BH⊂平面BCE，∴AG∥平面BCE．19．已知函数f（x）=xe x+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于xe x+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xe x+x2+2x，求出函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=e x+xe x+2ax+2，∵f（x）在x=1处取得极值，∴f'（﹣1）=0，解得a=1．经检验a=1适合，∴f（x）=xe x+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（e x+2），当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减；当x∈（﹣1+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）递增．（2）函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，等价于xe x+x2+2x﹣m=0在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根，等价于xe x+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xe x+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（e x+2），由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣1）递减；在（﹣1，+∞）递增．g（x）在[﹣2，2]上的极小值也是最小值；．又，g（2）=8+2e2＞g（﹣2），∴，即．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），点A（2，）为椭圆上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）设M、N为椭圆上两点，若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值；（3）在（2）的条件下，△AMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=2，由A满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为﹣k，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，结合两点的斜率公式计算即可得到所求定值；（3）不妨设过M，N的直线方程为：，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，由点到直线的距离公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由已知c=2，∵在椭圆上，∴，又a2=b2+c2，解得b2=4，a2=8，可得椭圆方程为+=1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为﹣k，∴由，消去y得（1+2k2）x2﹣（8k2﹣4k）x+8k2﹣8k﹣4=0，由曲线E与直线l只有两个公共点，可得△＞0，且x1，2是方程的二根，∴，∴，∴，同理，∴为定值．（3）不妨设过M，N的直线方程为：由，消去y得，由△＞0，解得m2＜8，，，计算得：点到直线MN的距离，∴=∴当m2=4，即m=±2时，．2020年9月8日。

北京市2020届高三数学上学期期末考试试题理

高三数学上学期期末考试试题理第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B = （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}- （D ）{|22}x x -≤≤答案：B考点：集合的运算。

解析：取集合A ，B 的公共部分即可，所以，A B ={1,0,1,2}- 2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a = （A ）3 （B ）13（C ）13-（D ）3-答案：D考点：复数的概念及其运算。

解析：(2i)(i)a -+＝21(2)a a i ++-，实部与虚部互为相反数，所以，21(2)a a ++-=0，解得：3a =-3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（A ）34（B ）45（C ）56（D ）67答案：B考点：程序框图。

解析：第1步：S ＝12，k ＝1＜4，k ＝k+1＝2第2步：S ＝23，k ＝2＜4，k ＝k+1＝3第3步：S ＝34，k ＝3＜4，k ＝k+1＝4 第4步：S ＝45，k ＝4＜4，否，退出循环，所以，S ＝45。

4．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =.若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（A ）30 （B ）45（C ）90（D ）186答案：C考点：等差数列的通项公式，前n 项和。

解析：公差d ＝6－3＝3，3(1)33n a n n =+-⨯=，26n n b a n ==，数列{}n b 是以6为首项，6为公差的等差数列，前5项和为：S ＝545662´??＝90 5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（A ）2（B（C）（D）俯视图侧（左）视图正（主）视图答案：D 考点：三视图。

2020-2021学年北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）数学（文）试题及答案解析

2020-2021学年北京市顺义区高三第一次统一练习（一模）数学（文）试题及答案解析顺义区高三第一次统一练习数学试卷(文科)一、选择题.(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}{}2320,2,1,1,2A x x x B =-+==--,则=?B AA.{}2,1--B.{}1,2-C.{}1,2D.{}2,1,1,2--2.下列函数中,既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是 A.22y x =-+B.1y x=C.2xy -=D.ln y x =3.在复平面内,复数()212i +对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.当5n =时,执行如图所示的程序框图,输出的S 的值等于 A.2 B.4C.7D.115.若441xy+=,则x y +的取值范围是A.[]0,1B.[]1,0-C.[)1,-+∞D.(],1-∞-6.函数()sin y x ?=+的图像关于y 轴对称的充分必要条件是 A.2π=B.?π=C.,2k k ππ=+∈Z1,1i S ==D.2,2k k ππ=+∈Z7.已知无穷数列{}n a 是等差数列,公差为d ,前n 项和为n S ,则 A.当首项10,0a d ><时,数列{}n a 是递减数列且n S 有最大值 B.当首项10,0a d <<时,数列{}n a 是递减数列且n S 有最小值 C.当首项10,0a d >>时,数列{}n a 是递增数列且n S 有最大值 D.当首项10,0a d <>时,数列{}n a 是递减数列且n S 有最大值8.某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表所示:设在进价基础上增加x 元后,日均销售利润为y 元,且()20y ax bx c a =++≠.该经营部要想获得最大利润,每桶水在进价的基础上应增加 A.3元 B.4元C.5元D.6元二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.双曲线2214x y m-=则m = ,其渐近线方程为 .10.不等式组0,20,30x x y x y ≤??+≥??-+≥?所表示平面区域的面积为 .11.设向量)(),2,2a b ==-r r ,若()()a b a b λλ+⊥-r r r r,则实数λ= .12.已知函数()3269f x x x x =-+,则()f x 在闭区间[]1,5-上的最小值为 ,最大值为 . 13.已知直线:l y =,点(),P x y 是圆()2221x y -+=上的动点,则点P 到直线l 的距离的最小值为 .14.已知函数()()2sin 0,6f x x x πωω??=+>∈ ??R .又()()122,0f x f x =-=且12x x -的最小值等于π,则ω的值为 .三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)设数列{}n a 满足:111,3,*n n a a a n +==+∈N . (I)求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ;(II)已知{}n b 是等比数列,且12468,b a b a S ==+.求数列{}n b 的前n 项和.16.(本小题满分13分)在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知cos 3b B A ===B 为钝角..(I)求a 的值; (II)求cos C 的值.17.(本小题满分14分)如图(1),在Rt ABC ?中,90,3,6,,C BC AC D E ∠===o分别是,AC AB 上的点,且//,2DE BC DE =.将ADE ?沿DE 折起到A DE '?的位置,使A C CD '⊥,如图(2).(I)求证://DE 平面A BC '; (II)求证:A C BE '⊥;(III)线段A D '上是否存在点F ,使平面CFE A DE '⊥平面.若存在,求出DF 的长;若不存在,请说明理由.18.(本小题满分13分)某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查,抽调了50名市民,他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表:(I)若所抽调的50名市民中,收入在的有15名,求的值,并完成频率分布直方图;(2)(1)CD (百元)(II)若从收入(单位:百元)在[)55,65的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,求选中的2人至少有1人不赞成“楼市限购令”的概率.19.(本小题满分14分) 已知椭圆22:416C x y +=. (I)求椭圆C 的离心率;(II)设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.20.(本小题满分13分)已知函数()22ln f x a x ax x =+-. (I)当0a >时,求函数()f x 的单调区间;(II)设()()22g x a x f x =-,且函数()g x 在点1x =处的切线为l ,直线//l l ',且l '在y 轴上的截距为1,求证:无论a 取任何实数,函数()g x 的图像恒在直线l '的下方;(III)已知点()()()()001,1,,A g Q x g x ,且当01x >时,直线QA 的斜率恒小于2,求实数a 的取值范围.顺义区高三第一次统一练习数学试卷答案(文科)一、CBBD DCAD 二、 9.11,2y x =±10.3211. 12.16,20-1- 14.12三、15.解:(I)因为13,*n n a a n +=+∈N ,所以13,*n n a a n +-=∈N ,所以数列{}n a 是以11a =为首项,公差3d =的等差数列, 所以()()1111332n a a n d n n =+-=+-?=-,............... ...........................................4分()()12132312222n n n a a n n S n n ++-===-. ............... ...........................................6分(II)由(I)可知32n a n =-,所以()()128881224,9222n a a a S ++====, 所以4681692108b a S =+=+= ................ ...........................................9分设等比数列{}n b 的公比为q , 则341108274b q b ===, 所以3q =, ............... ...........................................11分所以数列{}n b 的前n 项和()41323213n n n B -==?--. ............... ...........................................12分16.解:(I)在ABC ?中,因为cos A =,所以sin A ===分由正弦定理,sin sin a bA B=得sin 3sin b A a B ===................ ...........................................6分(II)因为B 为钝角,所以，cos 3B ===-. ...........................................8分由(I)可知,sin 3A =,又sin cos B A ==所以()()cos cos cos C A B A B π=-+=-+ ...........................................10分cos cos sin sin 33333A B A B =-+?=--+ ??=............... ...........................................13分17.(I)证明:因为,D E 分别为,AC AB 上的点,且//DE BC ,又因为DE A BC '?平面,所以//DE 平面A BC '. ............... ...........................................3分 (II)证明:因为90,//C DE BC ∠=o,所以,DE CD DE AD ⊥⊥,由题意可知,DE A D '⊥, ............... ...........................................4分又A D CD D '?=,所以DE A CD '⊥平面, ............... ...........................................5分所以BC A CD '⊥平面, ............... ...........................................6分所以BC A C '⊥, ............... ...........................................7分又A C CD '⊥,且CD BC C ?=, 所以A C BCDE '⊥平面, ............... ...........................................8分又BE BCDE ?平面,所以A C BE '⊥. ............... ...........................................9分 (III)解:线段A D '上存在点F ,使平面平面CFE A DE '⊥.理由如下: 因为A C CD '⊥,所以,在Rt A CD '?中,过点C 作CF A D '⊥于F , 由(II)可知,平面DE A CD '⊥,又平面CF A CD '? 所以DE CF ⊥, 又A D DE D '?=, 所以平面CF A DE '⊥,... ...........................................12分因为CF CEF ?平面, 所以平面平面CFE A DE '⊥,故线段 A D '上存在点 F ,使平面平面CFE A DE '⊥. ................................13分如图（1），因为DE BC P , 所以，DE AD BC AC =，即236AD= , 所以，4,2AD CD == .所以，如图（2），在'Rt ACD ? 中,'4,2A D CD ==所以，'60A DC ∠= ,在Rt CFD ? 中,1DF = ............... ...........................................14分C18.解:(I)由频率分布表得0.10.20.10.11a b +++++=,即0.5a b +=.因为所抽调的50名市民中,收入(单位:百元)在[)35,45的有15名, 所以150.350b ==, 所以0.2,0.25010a c ==?=, 所以0.2,0.3,10a b c ===, 且频率分布直方图如下:............... ...........................................4分(II)设收入(单位:百元)在[)55,65的被调查者中赞成的分别是123,,A A A ,不赞成的分别是12,B B ,事件M :选中的2人中至少有1人不赞成“楼市限购令”,则从收入(单位:百元)在[)55,65的被调查者中,任选2名的基本事件共有10个:()()()()12131112,,,,,,,A A A A A B A B ,()()()232122,,,,,A A A B A B ,()()3132,,,A B A B ,()12,B B , ............... ...........................................10分(百元)事件M 包含的结果是()()1112,,,A B A B ,()()2122,,,A B A B ,()()3132,,,A B A B , ()12,B B 共7个, ............... ...........................................11分所以()710P M =, ............... ...........................................12分故所求概率为710. ............... ...........................................13分19.解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C的离心率2c e a ==. ............... ...........................................4分 (II)由22416y kx x y =+??+=?得()22148120k x kx ++-=,由题意可知0?>. ............... ...........................................5分设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+................ .....................................7分因为BEF ?是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥, 因此BM 的斜率1 BM k k=-. ............... ...........................................8分又点B 的坐标为()0,2-, 所以222122381440414M BMM y k k k k x k k ++++===---+,............... ....................................10分即()238104k k k k+-=-≠,亦即218k =,所以k = ............... ...........................................12分故EF 的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF 的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离................ ...........................................14分20.(I)解:()22ln f x a x ax x =+-,()()()()22212112120ax ax a x ax f x a x a x x x x+-+-'=+-==>,............... ...........................................2 分所以,0a >时,()f x 与()f x '的变化情况如下:因此,函数()f x 的单调递增区间为,2a ??+∞,单调递减区间为0,2a ??. ............... ...........................................4分 (II)证明:()()22ln g x a x f x x ax =-=-,()1g x a x'=-, 所以()11g a '=-, 所以l 的斜率1l k a =-.因为//l l ',且l '在y 轴上的截距为1,所以直线l '的方程为()11y a x =-+................ ...........................................6分令()()()()11ln 10h x g x a x x x x =--+=-->,则无论a 取任何实数,函数()g x 的图像恒在直线l '的下方,等价于()()0,0h x a x R , ............... ...........................................7分而()111xh x x x-'=-=. 当()0,1x ∈时,()0h x '>,当()1,x ∈+∞时,()0h x '<, 所以函数()h x 的()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减, 从而当1x =时,()h x 取得极大值()12h =-,即在()0,+∞上,()h x 取得最大值()12h =-,.....................................................8分所以()()20,0h x a x ≤-R , 因此,无论a 取任何实数,函数()g x 的图像恒在直线l '的下方................ ...........................................9分(III)因为()()0001,,,ln A a Q x x ax --, 所以00000ln ln 11QA x ax a x k a x x -+==---,所以当01x >时,0ln 21x a x -<-, 即()()00ln 210x a x -+-<恒成立. ............... ...........................................10分令()()()()ln 211r x x a x x =-+->, 则()()12r x a x'=-+, 因为1x >,所以101x<<. (i)当2a ≤-时,20a +≤,此时()0r x '>,所以()r x 在()1,+∞上单调递增,有()()10r x r >=不满足题意;(ii)当21a -<<-时,021a <+<, 所以当11,2x a ??∈ ?+??时,()0r x '>,当1,2x a ??∈+∞ ?+??时,()0r x '<,所以至少存在11,2t a ?∈ ?+??,使得()()10r t r >=不满足题意;(iii)当1a ≥-时,21a +≥,此时()0r x '<,所以()r x 在()1,+∞上单调递减,()()10r x r <=,满足题意. 综上可得1a ≥-,故所求实数a 的取值范围是[)1,-+∞................ ...........................................13分。

2020届高三第一次质量检测数学试卷(含答案)

高三数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =▲．2．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的▲条件． 3．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和．若a 1=1q 2，且S 5=S 2+7，则首项a 1的值为▲．4．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则a ，b ，c 的大小关系为▲． 5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为▲．6．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f +++⋯+f (50)=▲．7．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若a 2，a 3，a 6成等比数列，则数列{}n a 的通项公式为▲．8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点是棱1BB 的中点，则三棱锥11D DEC -的体积为▲． 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS==∑▲．10.若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为▲．11．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是▲．12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2， 1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是▲．13．已知当x ∈[0,1]时，函数y =(mx −1)2的图象与y =√x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是▲．14．设函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +1)=2 f(x)，且当x ∈(0,1]时，f(x)=x(x −1)．若对任意x ∈(−∞,m]，都有f(x)≥−89，则m 的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题, 共计70分. 请写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17.（本小题满分15分）已知函数2()1f x x =-，()1g x a x =-，()()()F x f x g x =-．（1）2a =，[]0,3x ∈，求()F x 值域；（2）0a >，解关于x 的不等式()0F x ≥．18．（本小题满分15分）如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形ABCD 组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点P ），为了固定该设备，计划除从隧道最高点Q 处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自,A B 两点分别使用钢管支撑.已知道路宽8AB cm =，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为L .（1）①设PQ x =，将L 表示为关于x 的函数； ②设PAB θ∠=，将L 表示为关于θ的函数；（2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？19.（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知12a =，13()n n a a f n +=+．（1）若()f n k =（k 为常数），314a =，求k ；（2）若()21f n n =-．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围．20. (本小题满分16分)已知函数2()(1),()ln (,)f x x a x a g x x b x a b R =++-=-∈ (1)当2b =时，求函数()g x 的单调区间；(2)设函数(),1()(),1f x x h x g x x ≤⎧=⎨>⎩若0a b +=，且()0h x ≥在R 上恒成立，求b 的取值范围；(3)设函数()()()u x f x g x a =-+，若2a b +≥，且()u x 在(0,)+∞上存在零点，求b 的取值范围.高三数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1.(–∞，1)2.充分不必要条件3.144.a c b <<5.1010.16.27.a n =3-2n8.439.2nn+110.[1,2) 11.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12.44013.(0,1]∪[3,+∞)14.（−∞,73]二、解答题：本大题共6小题, 共计70分. 请写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . （1）当S =∅1−m >1+m ⟹m <0 （2）当S ≠∅则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[−∞,3]．16.解：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC−A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.1）22221(13)()()()12123(01)x x x F x f x g x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=-=---=⎨+-≤<⎪⎩………2分13x ≤≤，221[0,4]x x --∈……………………………4分 01x ≤<，223[3,0)x x +-∈-……………………………6分所以()()()F x f x g x =-的值域为[3,4]-……………………………7分（2）(1)(1) (1)()(1)(1) (1)x x a x F x x x a x -+-≥⎧=⎨-++<⎩……………………………9分1x ≥，()0F x ≥，0a >，令(1)12a a --=-①当2a ≥时，(1)1a -≥，所以1x ≤或1x a ≥-，即：1x =或1x a ≥- ②当02a <<时，(1)1a -<，所以1x a ≤-或1x ≥，即：1x ≥1x <，()0F x ≥，0a >得：1x a ≤--或1x ≥1x a ⇒≤--……………………13分综上：当2a ≥时不等式()0F x ≥的解为：1x a ≤--或1x =或1x a ≥- 当02a <<时不等式()0F x ≥的解为：1x a ≤--或1x ≥……………………15分18．解（1）延长QP 交AB 于点E ，则⊥QE AB ，且E 为AB 的中点，所以142EA EB EQ AB ====，由对称性可知，PA PB =. ①若PQ x =，则04x <<，4EP x =-，在Rt PAE ∆中，PA ==所以)204L PQ PA x x =+=+<<，②若PAB θ∠=，则04πθ<<，在Rt PAE ∆中，4cos cos AE PA θθ==，tan 4tan PE AE θθ==，所以44tan PQ QE PE θ=-=-，所以42sin 244tan 2440cos cos 4L PQ PA θπθθθθ-⎛⎫=+=-+⨯=+⨯<< ⎪⎝⎭. （2）选取②中的函数关系式，2sin 440cos 4L θπθθ-⎛⎫=+⨯<< ⎪⎝⎭，记()2sin 0cos 4fθπθθθ-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则由()22sin 10cos f θθθ-'==及04πθ<<可得，6πθ=，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f θ'<，此时()fθ单调递减，当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()0f θ'>，此时()f θ单调递增，所以当6πθ=时，()fθ取得最小值，从而钢管总长度为L 取得最小值，即所用的钢管材料最省.19.解：（1）k 的值为﹣1；（2）①②。

2020北京顺义高三一模数学

2020北京顺义高三一模数学考生须知1.本试卷总分150分，考试用时120分钟。

2.本试卷共6页，分为选择题(40分)和非选择题(110分)两个部分。

3.试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

4.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自己保留。

第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x|−3<x<2},B={−3,−2,0},那么A∩B=A. {−2}B. {0}C. {−2,0}D. {−2,0,2}2. 在复平面内，复数:z=i(1+i)对应的点位于A. 第一象限B.第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上为减函数的是A. y=−x2B. y=log12x C. y=cosx D. y=(12)x4. 抛物线y2=4x上的点与七焦点的距离的最小值为A. 4B. 2C. 1D.12 5. 若角α的终边经过点P(1,−2),则sinα的值为A. 2√55B. √55C. −√55D. −2√556. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A. 6B. 8C. 12D. 247. 若α为任意角，则满足cos (α+k ·π4)=cosα的一个k 值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知a,b,c ∈R ,在下列条件中，使得a <b 成立的一个充分而不必要条件是A. a 3<b 3B. ac 2<bc 2C. 1a >1bD. a 2<b 29. 设{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 1·a 3=16,S 3=14,若存在n 0使得a 1,a 2,···,a n 0的乘积最大，则n 0的一个可能值是A. 4B. 5C. 6D. 710. 已知函数f (x )={1−|x +1|,x <0x 2−2x,x ≥0,若实数m ∈[−2,0],则|f (x )−f(−1)|在区间[m,m +2]上的最大值的取值范围是A. [1,4]B. [2,4]C. [1,3]D. [1,2]第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市顺义区届高三第一次统练考试数学(理)试题.pdf

n
（A）若 n 为偶数，则集合 M 的个数为 22 个；
n
（B）若 n 为偶数，则集合 M 的个数为 22 −1个；
n−1
（C）若 n 为奇数，则）若 n 为奇数，则集合 M 的个数为 2 2 个.
二.填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)
9. 已知 i 为虚数单位，在复平面内复数 2i 对应点的坐标为 __________. 1+ i
10.一个几何体的三视图如图所示，
则这个几何体的体积是___________．
3
4 主视图
侧（左）视图
俯视图
2
11. ( x − 1)6 的展开式中，常数项是______________. x
12.已知抛物线 y2 = 2 px（ p 0）的焦点为 F ，准线为 l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥ l ，垂足为 A .如果 APF 是边长为 4 的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为__________, 点 P 的横坐标 xP = ______.
0)
满足对任意实数
x1
x2
，都有
f (x2 ) − f (x1) 0 成立，则 a 的取值范围是 x2 − x1
（A） (0,1) （B） (1, +)
（
C）
1,
5 3
8.设非空集合 M 同时满足下列两个条件：
① M 1, 2,3,, n −1 ；
（
D）
5 3
,
2
②若 a M ，则 n − a M ， (n 2, n N + ) .则下列结论正确的是
4x − 3y + 4 0
13.
设
x,
y
满足约束条件

2020年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1）3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2﹣x B．y=x3+x C．y=﹣D．y=lnx4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=05．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．356．已知a，b∈R，则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．在平面直角坐标系中，若不等式组，（a为常数）表示的区域面积等于3，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．58．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则以下结论正确的是（）A．当x=2时，y有最小值B．当x=2时，有最大值C．当x=时，y有最小值2 D．当x=时，y有最大值2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥则实数k等于_______．10．抛物线y2=8x的准线与双曲线C：﹣=1的两条渐近线所围成的三角形面积为_______．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=_______．12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是_______（单位：cm2）．13．国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆，据此推测该地区今年Q型汽车销售量约为_______辆；这两款车的销售总量约为_______辆．（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）14．设集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大和最小元素分别是M、m，则M=_______，m=_______．三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x．x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．16．某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如表数据：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差（℃）9 11 13 12 8 10发芽数（粒）23 25 30 26 16 24（1）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；（2）从3月1日至3月6日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子数分别为m，n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足的事件A的概率．17．已知等差数列{a n}，a2=3，a5=9．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=c，其中c为常数，且c＞0，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2，F，G分别为AD，DC的中点．（1）求证：CF⊥平面ABED；（2）求四棱锥C﹣ABED的体积；（3）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．19．已知函数f（x）=xe x+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），点A（2，）为椭圆上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）设M、N为椭圆上两点，若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值；（3）在（2）的条件下，△AMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2020年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算和i2=﹣1进行化简即可．【解答】解：i（1+i）=i+i2=﹣1+i，故选C．2．已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，1）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由B中不等式变形得：2x＜1=20，解得：x＜0，即A=（﹣∞，0），则A∩B=（﹣1，0），故选：A．3．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=2﹣x B．y=x3+x C．y=﹣D．y=lnx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数图象关于原点对称，一次函数和y=x3在R上的单调性，反比例函数在定义域上的单调性，以及指数函数和对数函数的图象便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=2﹣x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x3+x的定义域为R，且（﹣x）3+（﹣x）=﹣（x3+x）；∴该函数为定义域R上的奇函数；y=x3和y=x在R上都是增函数，∴y=x3+x在R上为增函数，∴该选项正确；C．反比例函数在定义域上没有单调性，∴该选项错误；D．y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．4．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．35【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1T=3，S=3，i=2不满足i＞4，T=5，S=8，i=3不满足i＞4，T=7，S=15，i=4不满足i＞4，T=9，S=24，i=5满足i＞4，退出循环，输出S的值为24．故选：C．6．已知a，b∈R，则“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】ab≥2，可得：a2+b2≥2ab≥4．反之不成立，例如取a=，b=2．即可判断出结论．【解答】解：∵ab≥2，∴a2+b2≥2ab≥4，当且仅当a=b=时取等号．反之不成立，例如取a=，b=2．∴“ab≥2”是“a2+b2≥4”成立的充分不必要条件．故选：A．7．在平面直角坐标系中，若不等式组，（a为常数）表示的区域面积等于3，则a的值为（）A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．5【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于3，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：不等式组，（a为常数）围成的区域如图所示．∵由于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于3，∴×|AC|×|x A﹣x B|=3，解得|AC|=6，∴C的坐标为（1，6），由于点C在直线ax﹣y+1=0上，则a﹣6+1=0，解得a=5．故选：D．8．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则以下结论正确的是（）A．当x=2时，y有最小值B．当x=2时，有最大值C．当x=时，y有最小值2 D．当x=时，y有最大值2【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由已知得FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x，从而PC=，AP=，BP=，进而得到y2==，由此利用换元法及二次函数性质能求出结果．【解答】解：∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，FA=DE=DP=x在Rt△DCP中，PC=，在Rt△FAP中，AP=，在Rt△ABP中，BP=，∵BC=BP+PC=+=y整理得y2==，令t=则y2=，则当t=，即x=时，y取最小值．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知向量=（2，1），+=（1，k），若⊥则实数k等于3．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由条件求出的坐标，由⊥可得•=0，解方程求得k 的值．【解答】解：∵向量=（2，1），+=（1，k），∴=（﹣1，k﹣1）∵⊥，则•=（2，1）•（﹣1，k﹣1）=﹣2+k﹣1=0，∴k=3，故答案为3．10．抛物线y2=8x的准线与双曲线C：﹣=1的两条渐近线所围成的三角形面积为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，双曲线C：﹣=1的两条渐近线为y=±x，可得两交点为（﹣2，），（﹣2，﹣），即有三角形的面积为×2×2=2．故答案为：2．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2bsinA，则B=或．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得，sinA=2sinBsinA，从而可求sinB，进而可求B．【解答】解：∵a=2bsinA，由正弦定理可得，sinA=2sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB=，∵0°＜B＜180°．∴B=或．故答案为：或．12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是3π+4（单位：cm2）．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，∴底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，∴几何体的表面积S=π×12+π×1×2+2×2=3π+4（cm2），故答案为：3π+4．13．国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q型和R型车均为50辆，据此推测该地区今年Q型汽车销售量约为1050辆；这两款车的销售总量约为2970辆．（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）【考点】等差数列与等比数列的综合；对数的运算性质．【分析】由题意可得，今年Q型电动汽车的月销售量与R型电动汽车的月销售量分别构成等比数列和等差数列，然后利用等比数列和等差数列的前n项和求解．【解答】解：由题意可得，今年Q型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以1.1为公比的等比数列，则今年Q型电动汽车的销售量为≈1050；R型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以20为公差的等差数列，则R型电动汽车的销售量为=1920．∴这两款车的销售总量约为：1050+1920=2970．故答案为：1050；2970．14．设集合{+b|1≤a≤b≤2}中的最大和最小元素分别是M、m，则M=5，m=2．【考点】集合的表示法．【分析】根据级别不等式的性质求出最小值，a取最小值1，b取最大值2时，求出最大值M．【解答】解： +b≥+a≥2，故m=2，a=1，b=2时+b=5，故M=5，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分.15．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x．x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在[0，]上的最大值与最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）根据两角差的正弦公式得到f（x）=，从而求出f（x）的最小正周期；（2）根据x的范围，求出2x﹣的范围，从而求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）由已知f（x）=sin2x﹣2cos2x=，∴f（x）的最小正周期为π；（2）∵，∴，∴当，即x=0时，f min（x）=﹣2，当，即时，．16．某农业科研实验室，对春季昼夜温差大小与某蔬菜种子发芽多少之间的关系进行研究，分别记录了3月1日至3月6日的每天昼夜温差与实验室每天每100粒种子浸泡后的发芽数，得到如表数据：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日3月6日昼夜温差（℃）9 11 13 12 8 10发芽数（粒）23 25 30 26 16 24（1）求此种蔬菜种子在这6天的平均发芽率；（2）从3月1日至3月6日这六天中，按照日期从前往后的顺序任选2天记录发芽的种子数分别为m，n，用（m，n）的形式列出所有基本事件，并求满足的事件A的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据平均数即可求出，（2）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．（1）这6天的平均发芽率为：，【解答】解：∴这6天的平均发芽率为24%，（2）（m，n）的取值情况有事件数为15，设为事件A，则事件A包含的基本事件为（25，30），（25，26）（30，26），∴所求概率．17．已知等差数列{a n}，a2=3，a5=9．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令b n=c，其中c为常数，且c＞0，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式即可得出．（2）对c分类讨论，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）由已知，解得d=2，a1=1，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（2）由（Ⅰ）知：b n=c=c2n﹣1，当c=1时，b n=1，∴S n=n．当c≠1时，∵，∴{b n}是b1=c，公比为c2的等比数列；∴．18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD是等边三角形，AD=DE=2AB=2，F，G分别为AD，DC的中点．（1）求证：CF⊥平面ABED；（2）求四棱锥C﹣ABED的体积；（3）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由AB⊥平面ACD得出平面ACD⊥平面ABED，由等边三角形得出CF⊥AD，利用面面垂直的性质得出CF⊥平面ABED；（2）棱锥的底面ABED为直角梯形，高为CF，代入体积公式计算即可；'（3）取CE的中点H，连结GH，BH，则可证明四边形ABHG是平行四边形，于是AG∥BH，得出AG∥平面BCE．【解答】证明：（1）∵F为等腰△ACD的边AD的中点，∴CF⊥AD，∵AB⊥平面ACD，AB⊂平面ABED，∴平面ACD⊥平面ABED，∵平面ACD∩平面ABED=AD，CF⊥AD，．CF⊂平面ACD，∴CF⊥平面ABED．（2）∵△ACD是边长为2的等边三角形，∴CF=．==3，∵S梯形ABED∴．（3）结论：直线AG∥平面BCE．证明：取CE的中点H，连结GH，BH，∵G是CD的中点，∴GH∥DE，且GH==1，∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴GH∥AB，又GH=AB=1，∴四边形ABHG为平行四边形，∴AG∥BH，又AG⊄平面BCE，BH⊂平面BCE，∴AG∥平面BCE．19．已知函数f（x）=xe x+ax2+2x+1在x=﹣1处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于xe x+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xe x+x2+2x，求出函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=e x+xe x+2ax+2，∵f（x）在x=1处取得极值，∴f'（﹣1）=0，解得a=1．经检验a=1适合，∴f（x）=xe x+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（e x+2），当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减；当x∈（﹣1+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）递增．（2）函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，等价于xe x+x2+2x﹣m=0在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根，等价于xe x+x2+2x=m在[﹣2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xe x+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（e x+2），由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣1）递减；在（﹣1，+∞）递增．g（x）在[﹣2，2]上的极小值也是最小值；．又，g（2）=8+2e2＞g（﹣2），∴，即．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的一个焦点F（2，0），点A（2，）为椭圆上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）设M、N为椭圆上两点，若直线AM的斜率与直线AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率为定值；（3）在（2）的条件下，△AMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得c=2，由A满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为﹣k，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，结合两点的斜率公式计算即可得到所求定值；（3）不妨设过M，N的直线方程为：，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，由点到直线的距离公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由已知c=2，∵在椭圆上，∴，又a2=b2+c2，解得b2=4，a2=8，可得椭圆方程为+=1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线AM的斜率为k，则直线AN的斜率为﹣k，∴由，消去y得（1+2k2）x2﹣（8k2﹣4k）x+8k2﹣8k﹣4=0，由曲线E与直线l只有两个公共点，可得△＞0，且x1，2是方程的二根，∴，∴，∴，同理，∴为定值．（3）不妨设过M，N的直线方程为：由，消去y得，由△＞0，解得m2＜8，，，计算得：点到直线MN的距离，∴=∴当m2=4，即m=±2时，．2020年9月8日。

北京市顺义区2020届高三数学第一次统练试题文新人教A版

顺义区高三第一次统练高三数学（文科）试卷 .1题号一二三总分151617181920得分一. 选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1. 已知全集U R =，集合{}|11M x x =-≤≤，{}|0N x x =≥，()U M C N =I( )A.[)1,0-B.[]1,0-C.[]0,1D.[)1,-+∞ 2.已知i 为虚数单位，则(21)i i += ( ) A. 2i + B. 2i - C. 2i -+ D. 2i -- 3.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数为A.1()f x x -=B.()cos f x x =C.1()()2xf x = D.2()log f x x = ( )4. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S 值为 ( )A.34B.78C.1516D.31325.已知||1a =r ，||2b =r ，()31a b a ⋅-=r r r，则a r 与b r 的夹角是( ) A.2π B.3π C.4π D. 6π 6“1k =”是“直线0x y k +-=与圆221x y +=相交”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.一个几何体的三视图如图所示，则其表面积等于（） A ．521+ B.522+ C.32 D. 618.已知关于x 的二次函数2()41f x ax bx =-+，其中,a b 满足600a b a b +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩则函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率为（） A 34 B 23 C 12 D 13二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)9.设12log 3a =，ln3b =，12c -=，则这三个数由大到小的顺序为_________.(用“>”连结各数) 10.已知5sin 5α=，则cos2α=_____________. 11.抛物线24y x =的焦点F 的坐标为__________,点F 到双曲线221x y -=的渐近线的距离为______________.12.在ABC V 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，且2223b c a bc +-=，则2cos cos cos()B C B C --的值为_____________. 13.已知数列{}n a 中，112a =，234a =，当2n ≥时，有1123n n n a a a +-=-，*()n N ∈成立.则4a =_________,通项公式n a =__________.14.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对x R ∀∈都有(4)()(2)f x f x f +=+ 成立.当1x ,[]20,2x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-,给出下列命题：(1)(2)0f =；(2)直线4x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴；（3）函数()y f x =在[]4,4-上有四个零点；（4）(2012)(0)f f =其中正确命题的序号为__________（把所有正确命题的序号都填上）.三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共13分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+（x R ∈）(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 的最大值，并指出取最大值时的x 值. 16．（本小题共13分）在某次测验中，有5位同学的平均成绩为80分，用n x 表示编号为n (1,2,3,4,5)n =的同学所得成绩，且前4位同学的成绩如下：(Ⅰ)求第5位同学的成绩5x 及这5位同学成绩的标准差； (注：标准差S =，其中x 为1x ，2x n x ⋅⋅⋅的平均数)（Ⅱ）从这5位同学中，随机地选3名同学，求恰有2位同学的成绩在80(含80)分以上的概率.17．（本小题共13分）如图：已知在空间四边形ABCD 中，AB AC DB DC ===，E 为BC 的中点. （Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若5AB =，6BC =，4AD =,求几何体ABCD 的体积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若G 为ABD V 的重心，试问在线段BC 上是否存在点F ，使GF∥平面ADE ？若存在，请指出点F 在BC 上的位置，若不存在，请说明理由. 18．（本小题共13分）已知函数()(1)kxf x x e =+,(k 为常数，0k ≠). （Ⅰ）当1k =时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19．（本小题共14分）已知椭圆G ：22221x y a b += （0a b >>）的离心率12e =，且经过点3(1,)2P .（Ⅰ）求椭圆G 的方程；(Ⅱ)设直线1:2l y x m =+与椭圆G 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m 变化时，求TAB V 面积的最大值.20．（本小题共14分）已知数列{}n a 各项均为正数，前n 项和n S 满足211322n n n S a a =+-，（*n N ∈），数列{}n b 满足:点列(,)n n A n b 在直线210x y -+=（Ⅰ）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n T 为数列{}n c 的前n 项和，且22n a n n c b -=⋅，求n T ；(Ⅲ)若对任意的*n N ∈不等式1120111(1)(1)(1)111n nn a b b b +≤+⋅+⋅⋅⋅++++恒成立，求正实数a 的取值范围.顺义区2012届高三第一次统练高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准9.b c a >>；10．35 ；；11.(1,0),2；12．2-；13．151,1162n -；14.(1)（2）（4）；三．解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 22sin cos x x x =+sin 222sin(2)3x x x π==-————4分∴周期T π=，————6分（Ⅱ）当22,32x k k Z πππ-=+∈，即512x k ππ=+时，————10分 max ()2f x =.————13分16.（本小题共13分）（Ⅰ）51(81798078)805x ++++=∴582x =，————3分80x =，S =13分）（Ⅱ）从这5名同学中随机选3名同学的情况可列举为(81,79,80),(81,79,78),(81,79,82),(81,80,78),(81,80,82)(81,78,82),(79,80,78),(79,80,82),(78,78,82),(80,78,82)共10种，—9分恰有2位同学成绩在80分以上记为事件A ，————10分63()105P A ==.————13分 17．（本小题共13分）（Ⅰ）证明：Q AB AC =，E 为BC 中点， ∴AE BC ⊥，———1分同理DE BC ⊥，又AE DE E =I∴BC ⊥平面ADE ，————3分 Q BC ⊂平面ABC∴平面ADE ⊥平面ABC ————5分(Ⅱ) Q 5AB =,∴5AB AC DB DC ====Q 6BC =∴3BE =,∴4DE =,同理4AE =，———7分又4AD =∴ADE S =V∴13ABCD ADE V S BC ==V V ————9分(其它方法给相应分数)（Ⅲ）假设在BC 上取一点F ，使GF ∥平面ADE . 记AD 的中点为H ，在BC 上取一点F ，使2BF =，则1FE =， —11分QG 为ABD V 的重心，∴21BG BF GH FE ==，∴GF ||HE ；又HE ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，∴||GF 平面ADE ，故在BC 上存在一点F ，使2BF =，则有GF ∥平面ADE .—13分 18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）Q ()(1)kxf x x e =+∴'()(1)(1),0kx kx kx f x e ke x e kx k k =++=++≠；——2分当1k =时，()(1)xf x x e =+，'()(2),xf x e x =+，令'()0f x >，Q 0xe >，∴2x >-，∴函数()f x 在(),2-∞-递减，在()2,-+∞递增. ———5分∴函数()f x 在2x =-时取得极小值21(2)f e -=-；————7分（Ⅱ）由（1）知∴'()(1),kxf x e kx k =++令'()0f x ≥，Q 0kxe >，∴10kx k ++≥，————9分由0k ≠∴当0k >时，111k x k k+≥-=--， ∴当0k >时()f x 在1(1,)k --+∞递增，在1(,1)k-∞--递减；———11分同理0k <时，()f x 在1(1,)k --+∞递减，在1(,1)k-∞--递增； —13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知22121914e a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩————2分 ∴椭圆G 的方程为：22143x y +=.————4分（Ⅱ）2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 得：2230x mx m ++-=，————5分Q 椭圆与直线有两个不同的交点，∴0>V ，即24m <，————6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点00(,)M x y∴12,x x m +=-，2123x x m =-，||AB ==12022x x m x +==-，001324y x m m =+=，∴3(,)24m M m -————8分设(,0)T t ，Q MT AB ⊥，∴1AT AB K K =-，解得8mt =-，————10分∴(,0)8mT -，||MT m =，1||||2TAB S AB MT =⋅=V Q 204m <<————12分∴当22m =即m =时，TAB V面积最大为16————14分 20．（本小题共14分）（Ⅰ）由已知211322n n n S a a =+-，∴226n nn S a a =+- （1）当2n ≥时，∴211126n n n S a a ---=+- （2）两式相减整理得：11()(1)0n n n n a a a a --+--=，————2分注意到0n a >，∴110n n a a ---=，∴2n a n =+，又当1n =时，11a S =，解得13a =适合，∴2n a n =+，————3分点列(,)n n A n b 在直线:21l y x =+上，∴21n b n =+.————4分 (Ⅱ)Q 22(21)2n a n n n C b n -=⋅=+⋅,∴12n n T c c c =++⋅⋅⋅+=23325272(21)2n n ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅ ∴23412325272(21)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅,错位相减得1(21)22n n T n +=-⋅+.————8分（Ⅲ）Q 对任意的*n N ∈不等式1120111(1)(1)(1)111n nn a b b b +≤+⋅+⋅⋅⋅++++恒成立，由0a >，即1231111)(1)(1)(1)1111n a b b b b ≤+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++，———9分令()f n=1231111)(1)(1)(1)1111n b b b b +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++，——10分∴(1)f n +=123111111)(1)(1)(1)(1)11111n n b b b b b ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅++++++，(1)1()f n f n +==> ∴(1)()f n f n +>，()f n 单调递增，————12分min ()(1)24f n f ==. ∴024a <≤.————14分。

2020顺义区高三一模答案(1)(1)

答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据质量数和电荷数守恒， 24He+ 714N→ 817O+ 11X，X表示的是质子，故A正确，BCD错误。

故选：A。

根据质量数和电荷数守恒求出x的电荷数和质量数，即可判断x是否表示电子、质子、还是中子。

本题比较简单，考查了核反应方程中的质量数和电荷数守恒的应用。

2.【答案】B【解析】解：A、内能是物体内所有分子的分子动能和分子势能的总和，故A错误；B、温度是分子平均动能的标志，标志着物体内大量分子热运动的剧烈程度，故B正确；C、气体压强不仅与分子的平均动能有关，还与分子的密集程度有关，故C错误；D、气体膨胀对外做功且温度降低，温度是分子平均动能的标志，温度降低，则分子的平均动能变小，故D错误。

故选：B。

温度是分子平均动能的标志。

内能是所有分子的分子动能和分子势能的总和。

气体压强与温度、体积有关。

此题解答的关键是掌握温度的含义和气体压强的微观意义，并能运用来分析实际问题。

温度是分子平均动能的标志，温度越高，分子平均动能越大。

3.【答案】A【解析】解：A、矢量是既有大小、又有方向的物理量，速度、磁感应强度和冲量均为矢量，故A 正确。

B、I=UR 不是电流定义式，速度公式v=△x△t采用比值定义法，故B错误。

C、根据F=kx知k的单位是N⋅m，其基本单位表达是kg⋅s−2；故C错误。

D、点电荷采用的物理方法是理想化模型，故D错误。

故选：A。

速度、磁感应强度和冲量都是矢量。

速度公式v=△x△t采用比值定义法。

根据F=kx确定k的单位。

点电荷是一种理想化的物理模型。

解决本题的关键要理解并掌握物理基本知识。

要注意物理量定义式与决定式的区别，不能混淆。

4.【答案】C【解析】【分析】根据整体法求出AB共同的加速度，将加速度分解为水平方向和竖直方向，隔离对B分析，求出A、B之间的支持力和摩擦力，从而即可求解。

解决本题的关键能够正确地进行受力分析，运用牛顿第二定律进行求解，注意整体法和隔离的运用。

北京市顺义区19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)

北京市顺义区19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合M={x|x2−3x−4<0}，N={x|−5≤x≤0}，则M∩N=()A. (−1,0]B. [0,4)C. (0,4]D. [−1,0)2.已知复数z=1+i2−i，则复数z在复平面内所对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设a=20.5，b=log0.52，c=log42，则()A. a<b<cB. b<a<cC. b<c<aD. c<a<b4.若a<0，b>0，则下列不等式恒成立的是()A. a2<b2B. √−a<√bC. 1a <1bD. ab+ba≥25.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点是双曲线x25+p −y27+p=1的一个焦点，则p的值为()A. 4B. 6C. 8D. 126.如图，一个简单空间几何体的三视图中，其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其侧面积是()A. 12B. 8C. 4√3D. √37.已知非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=k|b⃗ |，且b⃗ ⊥(a⃗+2b⃗ )，若a⃗，b⃗ 的夹角为2π3，则实数k的值为()A. 4B. 3C. 2D. 128.已知f(x)=|xe x|，又g(x)=f2(x)−tf(x)+1(t∈R)有四个零点，则实数t的取值范围是()A. (e2+1e ,+∞) B. (2,e2+1e)C. (−e2+1e ,−2) D. (−∞,−e2+1e)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.sin2π3=______．10.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足4a1，2a2，a3成等差数列，则数列{a n}的公式q=______，如果a1=1，则S4=______．11.函数f(x)=x2−7的零点是________．12.在△ABC中，a=2，b=5，c=6，则cosB=________．13.已知直线l:x+y−1=0与圆C:(x−a)2+(y−b)2=3(a>0,b>−1)相交于A,B两点，且|AB|=2，则1a +3b+1的最小值为_______．14.某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图，有下列说法：①前3年中，总产量增长的速度越来越快；②前3年中，总产量增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变．其中正确的是________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f(x)=1+2√3sinxcosx−2sin2x，x∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若把f(x)向右平移π6个单位得到函数g(x)，求g(x)在区间[−π2,0]上的最小值和最大值．16. 在如图历示的空间直角坐标系中，A 为坐标原点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2)．(Ⅰ)求证：平面PAC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)在线段PD 上是否存在一点Q ，使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为2√69?若存在，指出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．17. 某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是［0,100］，样本数据分组为［0,20),［20,40),［40,60),［60,80),［80,100］.(1)求直方图中x的值；(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)−x(a∈R)．18.已知函数f(x)=(a−1)lnx−ax(Ⅰ)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)在[1,3]上的最大值为−2，求实数a的值．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4−2√3．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左右顶点分别是A、B，过点Q(2,0)的动直线与椭圆交于M，N两点，连接AN、BM相交于G点，试求点G的横坐标的值．20.已知等比数列{a n}满足a2=2a1，且a2+1是a1与a3的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=a n−2log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．解：由x2−3x−4<0，得−1<x<4．∴M={x|x2−3x−4<0}={x|−1<x<4}，又N={x|−5≤x≤0}，∴M∩N={x|−1<x<4}∩{x|−5≤x≤0}=(−1,0]．故选A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内所对应的点的坐标得答案．解：∵z=(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=1+3i5=15+35i，∴在复平面内z的对应点的坐标为(15,35 )，位于第一象限．故选A．3.答案：C解析：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解：∵a=20.5>1，b=log0.52<0，c=log42∈(0,1)，∴b<c<a．故选：C．4.答案：C 解析：根据题意，依次分析选项，对于A、B，举出反例可得其错误，对于C，分析可得1a <0，而1b>0，易得C正确，对于D，分析a、b的符号可得ab <0且ba<0，则有ab+ba<0，可得D错误，综合即可得答案．本题考查不等式的性质，关键是熟悉不等式的性质，对于不成立的不等式，可以举出反例，进行判断．解：根据题意，依次分析选项：对于A，若a=−3，而b=1，则a2>b2，故A错误；对于B，若a=−9，而b=1，则有√−(−9)>√b，故B错误；对于C，若a<0，则1a <0，而b>0，则1b>0，故1a<1b，故C正确；对于D，若a<0，b>0，故ab <0，ba<0，则有ab+ba<0，故D错误，故选C．5.答案：D解析：本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．求出抛物线与双曲线的焦点坐标，列出方程求解即可．解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点是(p2,0)，双曲线x 25+p −y27+p=1的一个焦点(√12+2p,0)，由题意可得√12+2p=p2，解得p=12．故选D．6.答案：B解析：根据已知一个简单空间几何体的三视图中，其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，我们可以判断出该几何体为一个正四棱锥，进而求出其底面棱长及侧高，代入侧面积公式，即可得到答案．本题考查的知识点是由三视图求侧面积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状及几何特征是解答本题的关键．解：由已知几何体的三视图中，正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，可得这个几何体是一个正四棱椎，且底面的棱长为2，棱锥的高为√3，其侧高为2，则棱锥的侧面积S=4×12×2×2=8，故选B．7.答案：A解析：本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，属于基础题．根据b⃗ ⊥(a⃗+2b⃗ )即可得出b⃗ ⋅(a⃗+2b⃗ )=0，然后根据|a⃗|=k|b⃗ |,<a⃗,b⃗ >=2π3进行数量积的运算即可得出−k2b⃗ 2+2b⃗ 2=0，再由b⃗ 2≠0即可求出k．解：∵|a⃗|=k|b⃗ |，<a⃗,b⃗ >=2π3，且b⃗ ⊥(a⃗+2b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+2b⃗ )=|a⃗||b⃗ |cos2π3+2b⃗ 2=−k2b⃗ 2+2b⃗ 2=0，且b⃗ 2≠0，∴−k2+2=0，解得k=4．故选：A．8.答案：A解析：本题考查了函数与方程，属于较难题．设f(x)=m，研究f(x)的单调性和极值，得出f(x)=m的解得情况，从而确定关于m的方程m2−tm+1=0的解的分布情况，利用二次函数的性质得出t的范围．解：f(x)={xe x ,x ≥0−xe x ,x <0，当x ≥0时，f ′(x)=e x +xe x =(1+x)e x >0，所以f(x)在[0,+∞)上是增函数，当x <0时，f ′(x)=−e x −xe x =−(1+x )e x ，所以当x <−1时，f ′(x)>0，当−1<x <0时，f ′(x)<0，所以f(x)在(−∞,−1]上是增函数，在(−1,0)上是减函数，当x =−1时，f(x)取得极大值f(−1)=1e ，在f(x)大致图像如下：令f(x)=m ，要使方程f 2(x)−tf(x)+1=0(t ∈R)有四个实数根，则方程m 2−tm +1=0应有两个不等根，且一个根在(0,1e )内，一个根在(1e ,+∞)内.再令ℎ(m)=m 2−tm +1，因为ℎ(0)=1>0，则只需ℎ(1e )<0，即(1e )2−1e⋅t +1<0，解得t >e 2+1e ．故选A ．9.答案：√32解析：解：∵sin2π3=sin(π−π3)=sinπ3=√32，故答案为√32．根据sin2π3=sin(π−π3)=sinπ3，运算求得结果．本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．10.答案：2 15解析：解：4a1，2a2，a3成等差数列，可得4a1+a3=4a2，即4a1+a1q2=4a1q，可得q2−4q+4=0，解得q=2，a1=1，则S4=1−241−2=15．故答案为：2，15．运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，由等比数列的求和公式即可得到所求和．本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，是基础题．11.答案：√7和−√7解析：本题考查了函数的零点的求解，属于容易题．求解f(x)=x2−7=0，即可得出零点．解：∵f(x)=x2−7，∴f(x)=x2−7=0，得出x=√7或x=−√7，∴函数f(x)=x2−7的零点是√7和−√7。

顺义区2020届高三一模数学试卷

顺义区2020届高三第一次统练数学试卷一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.设集合()(){}M=310x x x -+<，{}04N x x =<<，则M N ⋂=A. ()0,3B. ()1,4-C. ()0,1D. ()1,3-2.设复数121i z i+=-，则z 在复平面内对应的点在 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 若3log 0.2a =，0.22b =，20.2c =，则A.a c b <<B. a b c <<C. c a b <<D. b c a <<4. 若1b a >>，则下列不等式一定正确的是A. 2ab >B.2a b +<C. 11a b <D. 2b a a b+> 5.抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p =A. B. 8 C. 4 D. 16. 如图，一个简单空间几何体的主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图的轮廓为正方形，该几何体的侧面积是A. B. C. 8 D. 127.设非零向量,a b 满足()2a b a -⊥，则“a b =”是“a 与b 的夹角为3π”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.当[]0,1x ∈时，若函数()()21f x mx =-的图象与()2m g x x =+的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是A.[)2+∞，B.(]50,2+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，C.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.(][)0,1+∞2，第二部分(非选择题共110分)二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9.sin 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 10. 设n S 为公比1q ≠的等比数列{}n a 的前n 项和,且13a ，22a ，3a 成等差数列，则q =__________,42S S = . 11. 若函数()2,01,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.12. 在ABC ∆中，若8ac =，7a c +=，3B π=，则b =_________. 13.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点,当AOB ∆的面积达到最大时，k =________.14.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. （13分）函数f(x)=sinωx∙cosωx−√3sin2ωx+√32（0ω>）的部分图象如图所示. （I）求ω的值；（II）求f(x)在区间[−π3,π3]的最大值与最小值及对应的x的值.16.（14分）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB，E是PB 的中点.（I）求证：平面PBC⊥平面PCD；（II）求二面角E-AD-B的大小；（III）试判断AE所在直线与平面PCD是否平行，并说明理由.17. （13分）某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30，40)，[40，50)，…[90，100]，整理得到如下频率分布直方图：（I）若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；（II）若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；（III）若规定分数在[80，90)为“良好”, [90，100]为“优秀”. 用频率估计概率，从该校高三年级随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X，求X的分布列和数学期望.18. （13分）已知函数2()2ln f x x a x =-，其中a R ∈ (Ⅰ)当2=a 时，求曲线)(x f y =在点()1,(1)A f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数)(x f 存在最小值Q ，求证:Q 1≤.19.（14分）已知椭圆C ：223412x y +=.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)设A B ，分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上，直线AP ，BP 分别与直线4x =相交于点M ，N.当点P 运动时，以M ，N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.20. （13分）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（I ）若{}n a 具有性质P ，且1241,3,1,a a a ===67819a a a ++=，求3a ；（II ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是等比数列，141b c ==，4164b c ==，n n n a b c =+.判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（III ）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.。

北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末检测试题

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第一学期期末检测试题第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置）1.已知集合{}02|2＜x x x A -=，{}210，，=B ，则=B A ▲. 2.若复数)23(i i z -=（i 是虚数单位），则z 的虚部为▲. 3.如图，若输入的x 值为3π，则相应输出的值为▲. 4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)160155，、第二组[)165160，、……、第八组[]195190，. 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为▲.5.双曲线116922=-y x 的焦点到渐近线的距离为▲. 6.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是▲. 7.已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为▲.8.已知正四棱锥底面边长为24，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为▲. 9.已知函数)32sin()(π+=x x f （）π＜x ≤0，且21)()(==βαf f （）βα≠，则=+βα▲.10.已知)sin (cos αα，=m ，)12(，=n ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππα，，若1=⋅n m ，则=+)232sin(πα▲.11.已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为▲. 12.已知圆O ：422=+y x ，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为▲.13.已知数列{}n a 中，a a =1（）20≤a ＜，⎩⎨⎧≤+--=+)2(3)2(21n n n n n a a a a a ＞（）*N n ∈，记n n a a a S +++= 21，若2015=n S ，则=n ▲.14.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，）（a a x a x x f 3221)(--+-=. 若集合{}Φ=∈--R x x f x f x ，＞0)()1(|，则实数a 的取值范围为▲.二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB =，D 、E 分别为BC 、1CC 中点，D B BC 11⊥. （1）求证：//DE 平面1ABC ；（2）求证：平面⊥D AB 1平面1ABC . 16.（本小题满分14分）已知函数x x x x f ωωωcos sin cos 3)(2+=（）0＞ω的周期为π.（1）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20π，x 时，求函数)(x f 的值域；（2）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若3)2(=A f ，且4=a ，5=+c b ，求ABC ∆的面积.17.（本小题满分15分）如图，已知椭圆12222=+by a x （）0＞＞b a 的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M在1PF 上，且满足MP M F λ=1（）R ∈λ，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.（1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标；（2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围.18.（本小题满分15分）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xoy . （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为lh S 32=） 19.（本小题满分16分）已知函数xe x ax xf )2()(2++=（）0＞a ，其中e 是自然对数的底数. （1）当2=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解. 20.（本小题满分16分）若数列{}n a 中不超过)(m f 的项数恰为m b （）*N m ∈，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数)(m f 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.（1）已知2n a n =，且2)(m m f =，写出1b 、2b 、3b ；（2）已知n a n 2=，且m m f =)(，求{}m b 的前m 项和m S ；（3）已知n n a 2=，且3)(Am m f =（）*N A ∈，若数列{}m b 中，1b ，2b ，3b 是公差为d （）0≠d 的等差数列，且103=b ，求d 的值及A 的值.第二部分（加试部分）21.（本小题满分10分）已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A . 22.（本小题满分10分）在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（）R ∈ρ距离的最大值.23.（本小题满分10分）某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金m 元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n 元. 活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n 元的概率；（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由. 24.（本小题满分10分）已知函数232)(x x x f -=，设数列{}n a 满足：411=a ，)(1n n a f a =+. （1）求证：*N n ∈∀，都有31＜＜n a ；（2）求证：44313313313121-≥-++-+-+n na a a .参考答案一、填空题 1．{}12．3 3．124．144 5．4 6．257．31 8．5 9．76π10．725-11．312．1±13．1343 14．1(,]6-∞ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．证明：（1）D 、E 分别为BC 、1CC 中点，1//DE BC ∴， …………2分DE ⊄平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC //DE ∴平面1ABC …………6分（2）直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC AD ⊂平面ABC 1CC AD ∴⊥…8分 AB AC =，D 为BC 中点 AD BC ∴⊥，又1CC BC C =，1CC ，BC ⊂平面11BCC B ，11面AD BCC B ∴⊥1BC ⊂平面11BCC B 1AD BC ∴⊥…………11分又11BC B D ⊥，1B DAD D =，1B D ，AD ⊂平面1AB D 1BC ∴⊥平面1AB D1BC ⊂平面1ABC ∴平面1AB D ⊥平面1ABC …………14分16．解：（1）1()cos2)sin 2sin(2)23f x x x x πωωω++=+…………2分 ()f x 的周期为π，且0ω>，22ππω∴=，解得1ω=()sin(2)3f x x π∴=+4分又02x π≤≤，得42333x πππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤，0sin(2)13x π≤+≤+ 即函数()y f x =在[0,]2x π∈上的值域为1]+．………7分（2）()2A f=sin()3A π∴+=(0,)A π∈，知4333A πππ<+<，解得：233A ππ+=，所以3A π=…………9分由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即2216b c bc =+-216()3b c bc ∴=+-，因为5b c +=，所以3bc =…………12分∴1sin 2ABC S bc A ∆= …………14分17．（1）22184x y +=12(2,0),(2,0)F F∴-21OP F M F M k k k ∴===∴直线2F M 的方程为：2)y x =-，直线1F M的方程为：2)y x =+ (4)分由2)2)y x y x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩解得：65x =∴点M 的横坐标为65…………6分（2）设00(,),(,)M M P x y M x y2PO F M ⊥，00(,)OP x y =2000242()0333x c x y ∴-+=即220002x y cx +=…………9分联立方程得：2200022002221x y cx x y ab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去0y 得：222222002()0c x a cx a a c -+-=解得：0()a a c x c +=或 0()a a c x c-=…………12分0a x a -<<0()(0,)a a c x a c-∴=∈20a ac ac ∴<-< 解得：12e >综上，椭圆离心率e 的取值范围为1(,1)2．…………15分18．解：（1）设抛物线的方程为：2(0)y ax a =->，则抛物线过点3(10,)2-，代入抛物线方程解得：3200a =， …………3分令6y =-，解得：20x =±，则隧道设计的拱宽l 是40米； …………5分（2）抛物线最大拱高为h 米，6h ≥，抛物线过点9(10,())2h --，代入抛物线方程得：92100h a -=令y h =-，则292100h x h --=-，解得：210092h x h =-，则2100()922l h h =-，2292400l h l =-………9分229266400l h l ≥∴≥- 即2040l <≤232292232(2040)33400400ll S lh l l l l ∴==⋅=<≤--………12分当20l <<'0S <；当40l <≤时，'0S >，即S在上单调减，在上单调增，S ∴在l =l =，274h =答：当拱高为274米，拱宽为15分19．解：（1）2()(22)x f x x x e =++，则'2()(253)(1)(23)x x f x x x e x x e =++=++………2分令'()0f x = ，31,x =--23()()52极大值=f x f e -∴-= ，1()(1)3极小值=f x f e --=………4分（2）问题转化为'2()(21)30xf x ax a x e ⎡⎤=+++≥⎣⎦在[2,2]x ∈-上恒成立；又0x e > 即2(21)30ax a x +++≥在[2,2]x ∈-上恒成立； ………6分2()(21)3令g x ax a x =+++0a >，对称轴1102x a=--<①当1122a --≤-，即102a <≤时，()g x 在[2,2]-上单调增， min ()(2)10g x g ∴=-=>102a ∴<≤………8分 ②当12102a -<--<，即12a >时，()g x 在1[2,1]2a ---上单调减，在1[1,2]2a --上单调增，2(21)120a a ∴∆=+-≤解得：11a ≤≤112a ∴<≤+ 综上，a的取值范围是(0,1+．………10分（3）1,a = 设2()(2)4x h x x x e x =++-- ，'2()(33)1x h x x x e =++- 令2()(33)1x x x x e ϕ=++- ，'2()(56)x x x x e ϕ=++ 令'2()(56)0,2,3得x x x x e x ϕ=++==--33()(3)10极大值=x e ϕϕ∴-=-< ，21()(2)10极小值=x e ϕϕ-=-<………13分 ()h x ∴在0(,)x -∞上单调减，在0(,)x +∞上单调增又43148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e -=>-=-<=-<=-> 由零点的存在性定理可知：12()0(4,3),(0,1)的根h x x x =∈--∈ 即4,0t =-．………16分 20．解：（1）1m =，则111a =≤11b ∴=；2m =，则114a =<，244a =≤22b ∴=3m =，则119a =<，249a =<399a =≤33b ∴=…………3分（2）m 为偶数时，则2n m ≤，则2m m b =；m 为奇数时，则21n m ≤-，则12m m b -=； 1()2()2为奇数为偶数m m m b m m -⎧⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩…………5分m 为偶数时，则21211(12)2224m m m m S b b b m =+++=+++-⨯=； m 为奇数时，则221211(1)11424m m m m m m m S b b b S b ++++-=+++=-=-=；221()4()4为奇数为偶数m m m S m m ⎧-⎪⎪∴=⎨⎪⎪⎩…………8分（3）依题意：2n n a =，(1)f A =，(2)8f A =，(5)125f A =，设1b t =，即数列{}n a 中，不超过A 的项恰有t 项，所以122t t A +≤<，同理：1221282,21252,++t d t d t d t d A A ++++≤<≤<即⎧⎪⎨⎪⎩13222122,22,22,125125++t t t d t d t dt d A A A +-+-++≤<≤<≤<故22131222max{2,2,}min{2,2,}125125++t d t d t t d t t d A ++-++-≤<由⎧⎨⎩312222,22,125++t d t t d t d -++-<<得4d <，d 为正整数 1,2,3d ∴=，…………10分当1d =时，232242max{2,2,}max{2,,}21254125++=t d tt t t d t t -⨯= ， 21121228282min{2,2,}min{2,,}21252125125=t d t t t t t d t t ++++-+⨯⨯=<不合题意，舍去；当2d =时，2312162max{2,2,}max{2,2,}2125125+=t d t tt d t t t +--⨯= ， 211212322322min{2,2,}min{2,2,}2125125125=t d t t t t d t t t ++++-+⨯⨯=<不合题意，舍去；当3d =时，232642max{2,2,}max{2,2,}2125125++=t d t tt d t t t -⨯= ， 211211212821282min{2,2,}min{2,2,}2125125125+=t d t t t t d t t t ++++-+⨯⨯=>适合题意，………12分此时12822125t tA ≤<⨯，125,3,6b t b t b t ==+=+，336t b t ∴+≤≤+ 310b =47t ∴≤≤t 为整数 4,5,6t t t ∴===或7t =(3)27f A =，310b =10112272A ∴≤<1011222727A ∴≤<………14分当4t =时，11422125A ≤<∴无解当5t =时，12522125A ≤<∴无解当6t =时，13622125A ≤<13264125A ∴≤<当7t =时，14722125A ≤<∴无解13622125A ∴≤<*A N ∈64A ∴=或65A =综上：3d =，64A =或65．………16分-度第一学期高三期末调研测试数学试题Ⅱ参考答案21．解：（1）设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''．由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx nyy y'=+⎧⎨'=⎩…………5分又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-= 依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨=⎩，1201A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦…………10分 22．解：圆的直角坐标方程为22(4)16x y +-=， …………3分直线的直角坐标方程为y =， …………6分圆心(0,4)到直线的距离为2d ==，则圆上点到直线距离最大值为246D d r =+=+=．…………10分23．解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元为事件M ．则131()344P M =⨯=即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金n 元的概率为14． …………4分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下： ①先在甲箱中摸球，参与者获奖金可取0,,m m n 则3121111(0),(),()44364312P P m P m n3110()4612412m nEm m n …………6分 ②先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取0,,n m n则2131111(0),(),()33443412P P n P m n ηηη====⨯==+=⨯=2110()3412123m nEn m n …………8分当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32m n 时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32m n 时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．答：当32m n >时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当32m n时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当32m n 时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大．…………10分24．（1）解：①当1n =时，114a =，有1103a << 1n ∴=时，不等式成立 …………1分②假设当*()n k k N =∈时，不等式成立，即103k a << 则当1n k =+时，于是21113()33k k a a +-=-103k a <<，∴21103()33k a <-<，即111033k a +<-<，可得1103k a +<<所以当1n k =+时，不等式也成立由①②，可知，对任意的正整数n ，都有103n a <<…………4分（2）由（1）可得21113()33n n a a +-=-两边同时取3为底的对数，可得31311log ()12log ()33n n a a +-=+-化简为313111log ()2[1log ()]33n n a a ++-=+-所以数列31{1log ()}3n a +-是以31log 4为首项，2为公比的等比数列 …………7分133111log ()2log 34n n a -∴+-=，化简求得：12111()334n n a --=，1213413n n a -∴=- 2n ≥时，101211111211n n n n n n C C C C n n ------=++++≥+-=，1n =时，121n -=*n N ∴∈时，12n n -≥，121343413n n n a -∴=⋅≥⋅-11233344131313n na a a +∴+++≥----．…………10分。

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由上分析知：除去第一、二名的得分，第三、四名的总分为13分，
所以第四名总分不可能超过6分，若第四名某一个环节的比赛中拿到3分，则{1个环节第二，3个环节第四}，共6分；此时第三名{3个环节第三，1个环节第四}，共7分，满足题意，②③正确；
故选：C
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.11.函数的定义域为_______________.
故此时不存在
选择条件③：成等差数列
因为成等差数列，所以，
因为，所以
又由余弦定理可得，
化简得
联立方程组，可解得：或（舍），
又，，所以可知为等边三角形，此时存在，
所以 .
18.某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有两种农产品供选择，每人只购其中一种.大家约定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若掷出点数为1或2，购买农产品A，若掷出点数大于2，则购买农产品B.
A.①②B.①④C.①②③D.②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设条件进行推理分析知：第三、四名的总分为13分，第四名总分不可能超过6分，结合第一、二名的环节名次，即可确定正确的项.
【详解】由题设，第一名14分，则{2个环节第一，2个环节第二}、{3个环节第一，1个环节第三}；
第二名13分，可能名次{1个环节第一，3个环节第二}、{2个环节第一，1个环节第二，1个环节第三}、{3个环节第一，1个环节第四}；
所以，可设，，且，，则，，
所以 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系，设点坐标，应用向量数量积的坐标运算求m、n的值或范围，比较它们的大小.

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（1）求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率；
（2）用分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望 .19.已知函数 .
（1）若，求曲线在点处切线方程；
（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.
20.已知椭圆过点，且离心率 .
（1）求椭圆的方程；
A.截面可能是矩形B.截面可能是菱形C.截面可能是梯形D.截面不可能是正方形
8.已知两点，，若直线上存在点P，使得成立，则称该直线为“单曲直线”.下列直线中，“单曲直线”是（）
① ；② ；③ ；④
A.①②B.①③C.②③D.②④
9.如图，△ ，△ 是全等的等腰直角三角形，为直角顶点，三点共线.若点分别是边上的动点（不包含端点）.记，，则（）
（2）点在直线上，点关于轴的对称点为，直线、分别交椭圆于、两点（不同于点）.求证：列的指数和.
（1）若，求所有可能的取值；
（2）求证: 的充分必要条件是；
（3）若，求所有可能取值之和.
A. B. C. D. 大小不能确
10.为弘扬传统文化，某中学举办了主题为“琴、棋、书、画”的传统文化知识竞赛.现有四位选手进入到决赛.决赛按“琴、棋、书、画”的主题分为四个环节，规定每个环节的第一名到第四名的得分依次为4，3，2，1分，四个环节结束后统计总分.若总分第一名获得14分，总分第二名获得13分.有下列结论：①总分第三名不超过9分；②总分第四名可能在某一个环节的比赛中拿到3分；③总分第四名不超过6分；④总分第三名可能获得某一个环节比赛的第一名.其中，所有正确结论的序号是（）
③若点，点是抛物线上的动点，则的最小值是；

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