2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练7章1课时训练

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2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练4章5课时训练

1.函数y ＝|sin x |－2sin x 的值域是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[0,3]D ．[－3,0] 解析：选B.当0≤sin x ≤1时，y ＝sin x －2sin x ＝－sin x ，此时y ∈[－1,0]；当－1≤sin x <0时，y ＝－sin x －2sin x ＝－3sin x ，此时y ∈(0,3]，求其并集得y ∈[－1,3]．2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π4解析：选A.由题意知T ＝π4 ，由πω＝π4得ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tanπ＝0.3．(2009年高考重庆卷)下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11° 解析：选C.∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°， cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.又∵g (x )＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数， ∴sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.4．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是( )A.π2 B ．πC ．2π D.π4解析：选A.依题意得T 4＝π8，所以最小正周期为T ＝π2.5．已知函数y ＝2sin 2(x ＋π4)－cos2x ，则它的周期T 和图象的一条对称轴方程是( )A ．T ＝2π，x ＝π8B ．T ＝2π，x ＝3π8C ．T ＝π，x ＝π8D ．T ＝π，x ＝3π8解析：选 D.∵y ＝2sin 2(x ＋π4)－cos2x ＝1－cos(2x ＋π2)－cos2x ＝1＋sin2x －cos2x ＝1＋2sin(2x －π4)，所以其周期T ＝π，对称轴方程的表达式可由2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，故当k ＝0时的一条对称轴方程为x ＝3π8，故答案为D.6．(2008年高考天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数．令a ＝f (sin 2π7)，b ＝f (cos 5π7)，c ＝f (tan 5π7)，则( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A.sin 27π＝sin(π－57π)＝sin 57π. 又π2＜57π＜34π.由三角函数线tan 57π＜cos 57π＜sin 57π且cos 57π＜0，sin 57π＞0.如图．∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 57π＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 57π＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan 57π. 又f (x )在[0，＋∞)上递增且为偶函数，∴f (⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos 57π)＜f (⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 57π)＜f (⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan 57π)，即b ＜a ＜c ，故选A.7．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为________．解析：(1)要使函数有意义必须有⎩⎨⎧sin x >0cos x －12≥0，即⎩⎨⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎨⎧2k π<x <π＋2k π－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．答案：{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }8．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．解析：由题意知T 4≤π3，T ＝2πω，∴2ω≥3，ω≥32，∴ω的最小值等于32.答案：329．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos xcos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上)解析：画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象．答案：③④10.已知函数f (x )＝log 2[2sin(2x －π3)]．(1)求函数的定义域；(2)求满足f (x )＝0的x 的取值范围．解：(1)令2sin(2x －π3)>0⇒sin(2x －π3)>0⇒2k π<2x －π3<2k π＋π，k ∈Z ⇒k π＋π6<x <k π＋23π，k ∈Z .故函数的定义域为(k π＋π6，k π＋23π)，k ∈Z .(2)∵f (x )＝0，∴sin(2x －π3)＝22⇒2x －π3＝2k π＋π4或2k π＋34π，k ∈Z⇒x ＝k π＋724π或x ＝k π＋1324π，k ∈Z ，故x 的取值范围是{x |x ＝k π＋724π或x ＝k π＋1324π，k ∈Z }．11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围．解：(1)f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12.因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，所以0≤sin(2x －π6)＋12≤32，即f (x )的取值范围为[0，32]．12．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]， ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又－5≤f (x )≤1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－53a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5. (2)f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin(2x ＋π6)－1>1，∴sin(2x ＋π6)>12， ∴π6＋2k π<2x ＋π6<56π＋2k π，k ∈Z ，由π6＋2k π<2x ＋π6≤2k π＋π2，得k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z . 由π2＋2k π≤2x ＋π6<56π＋2k π得 π6＋k π≤x <π3＋k π，k ∈Z .∴函数g (x )的单调递增区间为(k π，π6＋k π](k ∈Z )，单调递减区间为[π6＋k π，π3＋k π)(k ∈Z )．。

2013届高考数学一轮复习课时练第1课时集合新人教版理

2013届高考一轮数学复习理科课时练（人教版）第1课时集合1．(2011·大纲全国)设集合U ＝{1,2,3,4}，M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则∁U (M ∩N )＝( )A ．{1,2}B ．{2,3}C ．{2,4}D ．{1,4} 答案 D解析依题意得，M ∩N ＝{2,3}，∁U (M ∩N )＝{1,4}，故选D.2．(2011·某某)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝( )A ．[12，＋∞) B．(0，12)C ．(0，＋∞) D．(－∞，0][12，＋∞)答案 A解析因为函数y ＝log 2x 在定义域内为增函数，故U ＝{y |y >0}，函数y ＝1x在(0，＋∞)内为减函数，故集合P ＝{y |0<y <12}，所以∁U P ＝{y |y ≥12}．3．(2011·)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1] B. [1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 答案 C解析由P ∪M ＝P ⇒M ⊆P ，即a ∈P ，又P ＝{x |－1≤x ≤1}，因此a 的取值X 围为[－1,1]，故选C.4．集合M ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈N *}，P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}，则下列关系中正确的是( )A ．M PB ．P MC ．M ＝PD ．M P 且PM答案 A解析 P ＝{x |x ＝1＋(a －2)2，a ∈N *}，当a ＝2时，x ＝1，而M 中无元素1，P 比M 多一个元素．5.如图所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义集合AB 为阴影部分所表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝3x ，x ＞0}，则AB ＝( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2} D．{x |0≤x ≤1或x ＞2} 答案 D解析依据定义，AB 就是将A ∪B 除去A ∩B 后剩余的元素所构成的集合．B ＝{y |y ＞1}，依据定义得：AB ＝{x |0≤x ≤1或x ＞2}．6．(2011·某某)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠Ø的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8 答案 B解析由题意知，集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.7．(2012·某某模拟)设集合P ＝{(x ，y )|x ＋y <4，x ，y ∈N *}，则集合P 的非空子集个数是( )A ．2B ．3C ．7D ．8 答案 C解析当x ＝1时，y <3，又y ∈N *，因此y ＝1或y ＝2；当x ＝2时，y <2，又y ∈N *，因此y ＝1；当x ＝3时，y <1，又y ∈N *，因此这样的y 不存在．综上所述，集合P 中的元素有(1,1)、(1,2)、(2,1)，集合P 的非空子集的个数是23－1＝7，选C.8．(2011·某某)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝{x ||x －1i |<2，i 为虚数单位，x ∈R }，则M ∩N 为( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1] 答案 C解析对于集合M ，函数y ＝|cos2x |，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式x 2＋1<2，即x 2<1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．正确选项为C.9．(2011·某某)已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x |－1<x <3}，A ∩Z ＝{0,1,2}，A ∩Z 中所有元素之和等于3. 10．(2011·《高考调研》原创题)已知集合A 、B 与集合AB 的对应关系如下表：________.答案 {2011,2012}11．a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a，b }，则b －a 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 答案 C解析利用集合相等的定义，后面集合中含有元素0，前面集合中也必含有元素0，且只可能a ＋b 或a 为0.注意后面集合中含有元素b a，故a ≠0，只能a ＋b ＝0，即b ＝－a .集合变成了{1,0，a }＝{0，－1，－a }，显然a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2，选C.12．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数为________．答案 10解析由题知，A ∩B ＝{0,1}，A ∪B {－1,0,1,2,3}，所以满足题意的实数对有(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，共10个，即A *B 中的元素有10个．13．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈A ∩B ；(2){9}＝A ∩B . 答案 (1)a ＝5或a ＝－3 (2)a ＝－3 解析 (1)∵9∈A ∩B 且9∈B ，∴9∈A . ∴2a －1＝9或a 2＝9.∴a ＝5或a ＝±3. 而当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，故舍去． ∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A ∩B . ∴a ＝5或a ＝－3.而当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}≠{9}，故a ＝5舍去． ∴a ＝－3.讲评 9∈A ∩B 与{9}＝A ∩B 意义不同，9∈A ∩B 说明9是A 与B 的一个公共元素，但A 与B 允许有其他公共元素．而{9}＝A ∩B 说明A 与B 的公共元素有且只有一个9.14．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，某某数m 的取值X 围．答案 m ∈(－∞，3]解析 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又A ＝{x |－2≤x ≤5}，当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，解得m <2.当B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.综上可知，m ∈(－∞，3]．讲评空集在以下两种情况下容易忘记：①在以方程的根、不等式的解为元素构成的集合中，方程或不等式无解时的情况容易漏掉；②在A ∪B ＝B 、A ∩B ＝A 中，容易忽视A ＝∅的情况．15．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )·(x －3a )＜0}． (1)若AB ，求a 的取值X 围；(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值X 围；(3)若A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，求a 的取值X 围．答案 (1)43≤a ≤2 (2)a ≤23或a ≥4 (3)3解析 ∵A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，∴A ＝{x |2＜x ＜4}． (1)当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ≥4⇒43≤a ≤2，当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，应满足⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2a ≥4⇒a ∈∅.∴43≤a ≤2时，A B . (2)要满足A ∩B ＝∅，当a ＞0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，a ≥4或3a ≤2， ∴0＜a ≤23或a ≥4.当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，a ≤2或a ≥43.∴a ＜0时成立．验证知当a ＝0时也成立．综上所述，a ≤23或a ≥4时，A ∩B ＝∅.(3)要满足A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，显然a ＞0且a ＝3时成立， ∵此时B ＝{x |3＜x ＜9}，而A ∩B ＝{x |3＜x ＜4}，故所求a 的值为3.1．(2011·某某)设集合M ＝{x |x 2＋x －6<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．(2,3] D ．[2,3] 答案 A解析集合M ＝(－3,2)，M ∩N ＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)． 2．若P ＝{x |x <1}，Q ＝{x |x >－1|，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆Q D ．Q ⊆∁R P 答案 C解析由题意，∁R P ＝{x |x ≥1}，画数轴可知，选项A ，B ，D 错，故选C.3．设全集U ＝Z ，集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝4m ，m ∈Z }，则U 等于( ) A ．P ∪Q B ．(∁U P )∪QC ．P ∪(∁U Q )D ．(∁U P )∪(∁U Q ) 答案 C4．设全集为U，在下列条件中，是B⊆A的充要条件的有________．①A∪B＝A；②∁U A∩B＝∅②∁U A⊆∁U B；④A∪∁U B＝U答案①②③④解析由韦恩图知①②③④均正确．5．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝Ø，则m的值是________．答案1或2思路本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁U A)∩B＝Ø对集合A，B 的关系进行转化．解析A＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝Ø，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠Ø.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4, 这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.1．(2011·文)已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁U P＝( )A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 D解析集合P＝[－1,1]，所以∁U P＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．(2011·某某)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D．{x |0≤x ≤1} 答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．3．M ＝{x |x ＝3n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝3n ＋1，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝3n －1，n ∈Z }且a ∈M ，b ∈N ，c ∈P .设d ＝a －b ＋c ，则( )A ．d ∈MB ．d ∈NC ．d ∈PD ．以上都不对答案 B解析 ①集合M 表示3的整数倍数集，N 表示被3除余1数集，P 表示被3除余2数集， ∴a 为3的倍数，b ＝3k ＋1，c ＝3n ＋2. ∴d ＝a －b ＋c 表示被3除余1的数．∴d ∈N . ②法2，取a ＝3，b ＝4，c ＝2，∴d ＝1被3除余1.4．(2012·东北三省等值模拟)已知集合A ＝{－1,0，a }，B ＝{x |0<x <1}，若A ∩B ≠Ø，则实数a 的取值X 围是( )A ．{1}B ．(－∞，0)C ．(1，＋∞) D．(0,1) 答案 D解析 ∵A 中－1,0不属于B ，且A ∩B ≠Ø ∴a ∈B ，∴a ∈(0,1)．5．已知集合A ＝B ＝{0,1}，集合C ＝{u |u ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，则集合C 的子集个数是( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．16 答案 A解析 ∵C ＝{u |u ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }， ∴C ＝{0,1}，故C 的子集个数为22个．6．(2012·某某一模)设函数y ＝x ＋1的定义域为M ，集合N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．ØB ．NC ．[1，＋∞) D．M 答案 B解析由题意得M ＝{x |x ≥－1}＝[－1，＋∞)，N ＝{y |y >0}＝(0，＋∞)，∴M ∩N ＝N . 7．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i ⊕A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3，满足关系式(x ⊕x )⊕A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 C解析 A 0⊕A 0＝A 0，A 1⊕A 1＝A 2，A 2⊕A 2＝A 0，A 3⊕A 3＝A 2，再次进行计算可知只有A 1，A 3符合题目要求，故选C.8．(2011·某某)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1x ＝y ，得2x 2＝1，解得x ＝22或x ＝－22，这时y ＝22或y ＝－22，即A ∩B 中有两个元素．9．(2011·某某理)设a ，b ，c 为实数，f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }．若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )A ．|S |＝1且|T |＝0B ．|S |＝1且|T |＝1C ．|S |＝2且|T |＝2D ．|S |＝2且|T |＝3 答案 D解析若a ＝b ＝c ＝0，则f (x )＝x 3＝0，x ＝0，|S |＝1，g (x )＝1，g (x )＝0无解，因此|T |＝0，即A 项有可能；若a ＝1且b 2－4c <0，则|S |＝1且|T |＝1成立，即f (x )＝0和g (x )＝0都仅有一个解x ＝－1，即B 项也是有可能的；若a ＝1且b 2－4c ＝0(b ＝22，c ＝2)，则|S |＝2且|T |＝2成立，即都仅有两个解x ＝－1和x ＝－2，即C 项也是有可能的；对于D 项，若|T |＝3，则Δ＝b 2－4c >0，从而导致f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )也有3解，因此|S |＝2且|T |＝3不可能成立．10．已知R 为实数集，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，若B ∪∁R A ＝R ，B ∩∁R A ＝{x |0<x <1或2<x <3}，求集合B .解析 A ＝{x |1≤x ≤2}． ∴∁R A ＝(－∞，1)∪(2，＋∞)．∵B ∪∁R A ＝R .B ∩∁R A ＝(0,1)∪(2,3)．∴B ＝(0,3)．11．(2011·海淀区)已知集合A＝{1,2,3，…，2n}(n∈N*)，对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m，则称S具有性质P.(1)当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x>9}和C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由；(2)若集合S具有性质P，试判断集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由．解析(1)当n＝10时，集合A＝{1,2,3，…，19,20}，B＝{x∈A|x>9}＝{10,11,12，…，19,20}不具有性质P.因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1＝10与b2＝10＋m，使得|b1－b2|＝m成立．集合C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}具有性质P.因为可取m＝1<10，对于该集合中任意一对元素c1＝3k1－1，c2＝3k2－1，k1，k2∈N*，都有|c1－c2|＝3|k1－k2|≠1.(2)若集合S具有性质P，那么集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}一定具有性质P.首先因为T＝{(2n＋1)－x|x∈S}，任取t＝(2n＋1)－x0∈T，其中x0∈S，因为S⊆A，所以x0∈{1,2,3，……，2n}，从而1≤(2n＋1)－x0≤2n，即t∈A，所以T⊆A，由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m，对上述取定的不大于n的正整数m，从集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}中任取元素t1＝2n＋1－x1，t2＝2n＋1－x2，其中x1，x2∈S，都有|t1－t2|＝|x1－x2|；因为x1，x2∈S，所以有|x1－x2|≠m，即|t1－t2|≠m，所以集合T＝{(2n＋1)－x|x∈S}具有性质P.。

2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练2章3课时巩固

1．(2010年皖南八校联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－3)＝－2，则f (3)＋f (0)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．7解析：选C.由题意得f (3)＋f (0)＝－f (－3)＋f (0)＝2＋0＝2.故选C.2．(2009年高考福建卷)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选A.由题意知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，在A 中，由f ′(x )＝－1x 2＜0得f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；在B 中，由f ′(x )＝2(x －1)＜0得x ＜1，所以f (x )在(－∞，1)上为减函数．在C 中，由f ′(x )＝e x ＞0知f (x )在R 上为增函数．在D 中，由f ′(x )＝1x ＋1且x ＋1＞0知f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x |)＜f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C.∵f (x )在R 上为减函数且f (|1x |)＜f (1)，∴|1x |＞1，即|x |＜1且x ≠0，得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.4．(原创题)已知f (x )＝x 2＋x ，则f (a ＋1a )________f (1)．(填“≤”“≥”)．解析：∵a ＋1a ≥2或a ＋1a ≤－2，f (x )的对称轴为x ＝－12.∴f (x )在(－12，＋∞)上为增函数，在(－∞，－12)上为减函数．又f (2)＝22＋2＝6>2＝f (1)，f (－2)＝(－2)2＋(－2)＝2＝f (1)，∴f (a ＋1a )≥f (1)．答案：≥5．(2008年高考上海卷)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________________.解析：由于f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]，可知b ≠0，∴f (x )为二次函数，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2.∵f (x )为偶函数，∴其对称轴为x ＝0，∴－2a ＋ab 2b ＝0，∴2a ＋ab ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.若a ＝0，则f (x )＝bx 2与值域是(－∞，4]矛盾，∴a ≠0，若b ＝－2，又其最大值为4，∴4b ×2a 24b ＝4，∴2a 2＝4，∴f (x )＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋46.已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．解：(1)证明：设x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0.∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2，代入可得a ＝25.。

2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练15章3课时训练

1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确C．假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确D．假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确解析：选B.首先要注意n为奇数，其次还要使n＝2k－1能取到1，故选B.2．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到() A．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2B．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2C．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2D．1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2解析：选B.∵n＝k＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋(2k＋1)＝k2＋(2k＋1)＝(k＋1)2.故选B.3．用数学归纳法证明：“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋21－a(a≠1)”在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析：选C.当n＝1时，左端＝1＋a＋a2.4．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)解析：选D.(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c解析：选A.∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b )＋c 1＋2×3＝32(2a －b )＋c 1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.6．在数列{a n } 中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1)B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)解析：选C.由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，得S 2＝2(2×2－1)a 2，即a 1＋a 2＝6a 2，∴a 2＝115＝13×5，S 3＝3(2×3－1)a 3，即13＋115＋a 3＝15a 3.∴a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9.故选C . 7．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________．解析：当n ＝k (k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k ) ·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1)8．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析：∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)29．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________．解析：计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜想a n ＝n 2.答案：n 210．对于n ∈N *，用数学归纳法证明：1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)(n ＋2)．证明：设f (n )＝1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1.(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n ＝k 时等式成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝1·(k ＋1)＋2[(k ＋1)－1]＋3[(k ＋1)－2]＋…＋[(k ＋1)－2]·3＋[(k ＋1)－1]·2＋(k ＋1)·1＝f (k )＋1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋1＋1)＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)．∴由(1)(2)可知当n ∈N *时等式都成立．11.已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a n (n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．解：(1)由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.∴b 2＝b 11－4a 12＝13. a 2＝a 1·b 2＝13.∴点P 2的坐标为(13，13)∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立，则当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a k 2(2a k＋1) ＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．12．已知正项数列{a n }和{b n }中，a 1＝a (0＜a ＜1)，b 1＝1－a .当n ≥2时，a n ＝a n －1b n ，b n ＝b n －11－a 2n －1. (1)证明：对任意n ∈N *，有a n ＋b n ＝1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，a 1＋b 1＝a ＋(1－a )＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立，即a k ＋b k ＝1，则当n ＝k＋1时，a k ＋1＋b k ＋1＝a k b k ＋1＋b k ＋1＝(a k ＋1)·b k ＋1＝(a k ＋1)·b k 1－a k 2＝b k 1－a k＝b k b k＝1. ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①、②可知，a n ＋b n ＝1对n ∈N *恒成立．(2)∵a n ＋1＝a n b n ＋1＝a n b n 1－a n 2＝a n (1－a n )1－a n 2＝a n 1＋a n， ∴1a n ＋1＝1＋a n a n ＝1a n＋1，即1a n ＋1－1a n＝1. 数列{1a n }是公差为1的等差数列，其首项为1a 1＝1a ， 1a n ＝1a ＋(n －1)×1，从而a n ＝a 1＋(n －1)a .。

2013高考总复习数学(文)配套课时巩固与训练7章1课时训练

1．已知a 1b B ．ab <1C.a b >1 D ．a 2>b 2解析：选D.若b ＝0，可排除A ，C ，无论b >0还是b <0，D 均成立．2．下列命题中的真命题是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若|a |>b ，则a 2>b 2C ．若a >b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2 解析：选D.∵a >|b |≥0，∴a 2>b 2，故选D.3．如果a ，b ，c 满足c acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：选C.当b ＝0时，b 2＝0，cb 2＝ab 2，故选C.4．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b解析：选C.法一：∵A 、B 、C 、D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．令a ＝2，b ＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2，即a >－b >b >－a .法二：∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0，－a －b >0>b >－a ，即a >－b >b >－a .5．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值为( )A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．符号不能确定解析：选A.法一：因为a <0，ay >0，所以y <0，又x ＋y >0，所以x >－y >0，所以x －y >0.应选A.法二：a <0，ay >0，取a ＝－2得：－2y >0，又x ＋y >0，两式相加得x －y >0.应选A.6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：选B.设步行速度与跑步速度分别为v 1，v 2，显然v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s 1＋s 2－4s v 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2) ＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室． 7．设A ＝1＋2x 4，B ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则A ，B 的大小关系是________．解析：∵A －B ＝1＋2x 4－2x 3－x 2＝2x 3(x －1)－(x 2－1)＝(x －1)(2x 3－x －1)＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)，∵(x －1)2≥0,2x 2＋2x ＋1>0，∴A －B ≥0，即A ≥B .答案：A ≥B8．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，其中能使1a <1b 成立的充分条件有________．解析：1a <1b ⇒b －a ab <0⇔b －a 与ab 异号，因此①②④能使b －a 与ab 异号．答案：①②④9．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这件事实中提炼出一个不等式组是________．解析：依题意47＋47k <1，且三次后全部进入，即47＋47k ＋47k 2≥1，故不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k <147＋47k ＋47k 2≥1.k ∈N *答案：⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k <147＋47k ＋47k 2≥1k ∈N *10．已知：a >b >0，c >d >0，求证：a d >b c .证明：∵c >d >0，∴1d >1c >0，又∵a >b >0，∴a d >b c >0.11.已知a >0，b >0，试比较a b ＋b a 与a ＋b 的大小．解：(a b ＋b a)－(a ＋b ) ＝a a ＋b b －ab (a ＋b )ab＝a a ＋b b －a b －b a ab＝a (a －b )－b (a －b )ab ＝(a －b )(a －b )ab＝(a ＋b )(a －b )2ab. ∵a >0，b >0.∴a ＋b >0，ab >0.又∵(a －b )2≥0(当且仅当a ＝b 时等号成立)，∴(a ＋b )(a －b )2ab≥0. 即a b ＋b a≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时等号成立)． 12．2008年北京成功举办了第29届奥运会，中国取得了51金、21银、28铜的骄人成绩．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12000元预订15张下表中球类比赛的门票：订上表中三种球类比赛门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数．解：设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n (n ∈N *)张，则男篮比赛门票预订(15－2n )张，得⎩⎪⎨⎪⎧ 800n ＋500n ＋1000(15－2n )≤12000800n ≤1000(15－2n )，解得427≤n ≤5514.由n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5.∴可以预订男篮比赛门票5张．。

2013届高考一轮数学复习理科课时同步2-7

课时作业(十)1．函数y ＝ln 1|2x －3|的图像为( )答案 A解析易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D 项．当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数，所以选A.2．下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y ＝log 2x 的图像重合的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝log 12xC ．y ＝4x2 D ．y ＝log 21x ＋1答案 C3．若函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，则( )A ．f (2)>f (3)B ．f (2)>f (5)C ．f (3)>f (5)D ．f (3)>f (6) 答案 D解析依题意，由f (x ＋4)＝f (4－x )知，f (x )的对称轴为x ＝4，所以f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5)，由于f (x )在(4，＋∞)上是减函数，所以f (3)＝f (5)>f (6)，选D.4．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0，的图像大致是( )答案 B解析当x <0时，函数的图像是抛物线y ＝x 2(x <0)的图像；当x ≥0时，函数的图像是指数函数y ＝2x (x ≥0)的图像向下平移一个单位所得的图像，所以选B.5．(2011·安徽江南十校联考)函数y ＝2|log 2x |的图像大致是( )答案 C解析当log 2x >0，即x >1时，f (x )＝2 log 2x ＝x ；当log 2x <0，即0<x <1时，f (x )＝2－log 2x ＝1x .所以函数图像在0<x <1时为反比例函数y ＝1x 的图像，在x >1时为一次函数y ＝x 的图像．6．(2012·温州模拟)当直线y ＝kx 与曲线y ＝|x |－|x －2|有3个公共点时，实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A 解析依题意得，当x<0时，y＝－x＋(x－2)＝－2；当0≤x≤2时，y＝x＋(x－2)＝2x－2；当x>2时，y＝x－(x－2)＝2.在坐标系下画出该函数的图像，将x轴绕着原点逆时针方向旋转，当旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中，相应的直线与该函数的图像都有三个不同的交点，再进一步旋转，相应的直线与该函数的图像都不再有三个不同的交点，因此满足题意的k的取值范围是(0,1)，选A.7．(2012·南昌一模)定义a*b＝ab－1－ka－2，则方程x*x＝0有唯一解时，实数k的取值范围是()A．{－5，5} B．[－2，－1]∪[1,2]C．[－5，5] D．[－5，－1]∪[1，5]答案 B解析依题意得，关于x的方程x2－1－kx－2＝0，即kx＋2＝x2－1有唯一解．在直角坐标系中画出函数y＝x2－1与y＝kx＋2的图像，注意到函数y＝x2－1的图像是由双曲线x2－y2＝1上除去位于第三、四象限的部分所组成，并且该双曲线的渐近线是y ＝±x ，函数y ＝kx ＋2的图像恒过点(0,2)，结合图像分析可知，当函数y ＝x 2－1与y ＝kx ＋2的图像有唯一的公共点时，k 的取值范围是[－2，－1]∪[1,2]，选B.8．f (x )定义域为R ，对任意x ∈R ，满足f (x )＝f (4－x )且当x ∈[2，＋∞)时，f (x )为减函数，则( )A ．f (0)<f (1)<f (5)B ．f (1)<f (5)<f (0)C ．f (5)<f (0)<f (1)D ．f (5)<f (1)<f (0)答案 C解析 ∵f (x )＝f (4－x )，∴f (x ＋2)＝f (2－x )． ∴f (x )的图像关于直线x ＝2对称又x ∈[2，＋∞)时，f (x )为减函数 ∴x ∈(－∞，2]时，f (x )为增函数而f (5)＝f (－1)，∴f (5)<f (0)<f (1)，选C.9．若函数y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．答案－1≤m <0 解析首先作出y ＝(12)|1－x |的图像(如上图所示)，欲使y ＝(12)|1－x |＋m 的图像与x 轴有交点，则－1≤m <0.10．若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________．答案 1≤m < 2解析曲线y ＝1－x 2表示x 2＋y 2＝1的上半圆(包括端点)，如图．要使y ＝x ＋m 与曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则直线只能在l 1与l 2之间变动，故此1≤m < 2.11．设函数f (x )、g (x )的定义域分别为F 、G ，且FG .若对任意的x ∈F ，都有g (x )＝f (x )，则称g (x )为f (x )在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f (x )＝(12)x(x ≤0)，若g (x )为f (x )在R 上的一个延拓函数，且g (x )是偶函数，则函数g (x )的解析式为________．答案 g (x )＝2|x |解析画出函数f (x )＝(12)x(x ≤0)的图像关于y 轴对称的这部分图像，即可得到偶函数g (x )的图像，由图可知：函数g (x )的解析式为g (x )＝2|x |12．已知x 2>x 13，则实数x 的取值范围是________．答案 {x |x <0或x >1}解析分别画出函数y ＝x 2与y ＝x 13的图像，如图所示，由于两函数的图像都过点(1,1)，由图像可知不等式x 2>x 13的解集为{x |x <0或x >1}．点评本题根据幂函数的图像求解，不等式x 2>x 13的解集即为幂函数y ＝x 2的图像在幂函数y ＝x 13的图像上方部分的所有点的横坐标的集合．13．作图：(1)y ＝a |x －1|，(2)y ＝log a |(x －1)|，(3)y ＝|log a (x －1)|(a >1)．答案解析 (1)的变换是：y ＝a x →y ＝a |x |→y ＝a |x －1|，而不是：y ＝a x →y ＝a x －1→y ＝a |x －1|，这需要理解好y ＝f (x )→y ＝f (|x |)的交换．(2)题同(1)，(3)与(2)是不同的变换，注意区别．14．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解析f (x )＝⎩⎨⎧(x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1，x ∈(1，3)作出图像如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图像．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎨⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0.得a ＝－34.由图像知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个不等实根．1．(2012·陕西宝鸡质检)函数f (x )＝ln x －12x 2的图像大致是( )答案 B解析 ∵f ′(x )＝1x －x ＝0在(0，＋∞)上的解为x ＝1，且在x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数单调递增；故x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，函数单调递减．故x ＝1为极大值点，f (1)＝－12<0，故选B.2．设a >1，对于实数x ，y 满足：|x |－log a 1y ＝0，则y 关于x 的函数图像是( )答案 B解析由题意知1y ＝a |x |，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(1a )x ，x ≥0，(1a )－x，x <0.∵a >1，∴函数在[0，＋∞)上是减函数，经过点(0,1)，且函数为偶函数．故图像关于y 轴对称．故选B.3．(2012·福建龙岩模拟)如图，当参数λ分别取λ1，λ2时，函数y ＝x1＋λx(x ≥0)的部分图像分别对应曲线C 1和C 2，则( )A ．0<λ1<λ2B ．0<λ2<λ1C ．λ1<λ2<0D ．λ2<λ1<0 答案 A解析由图可知，λ显然不为0.当λ分别取λ1、λ2时，x1＋λ1x ≥x1＋λ2x (x ≥0)，则1＋λ1x ≤1＋λ2x ，因为λ1≠λ2，所以λ1<λ2.又x1＋λ1x ≥0(x ≥0)，则1＋λ1x >0，即λ1>0，故0<λ1<λ2.4．(2011·东营联考)函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增答案 D解析当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数，当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图像的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增．5．(2011·浙江金华模拟)M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．πB.2πC.3π D ．2π答案 C解析当|MN |最小时，点M 、N 必为两曲线的相邻的两个交点，所以可设为M (π4，2π2)，N (5π4，－2π2)，根据两点间距离公式得|MN |＝π2＋(2π)2＝3π. 6．已知幂函数y ＝x4－3m －m2(m ∈Z )的图像与y 轴有公共点，且其图像关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图像．解析依题意，其图像与y 轴有公共点，则 4－3m －m 2>0，即m 2＋3m －4<0，解得－4<m <1. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－3，－2，－1,0.当m ＝－3或m ＝0时，函数可化为y ＝x 4，符合题意，其图像如图①.当m ＝－2或m ＝－1时，函数可化为y ＝x 6，符合题意，其图像如图②.7．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值．(2)作出函数f (x )的图像；(3)根据图像指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图像写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．解析 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎨⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4.f (x )的图像如图所示． (3)f (x )的减区间是[2,4]．(4)由图像可知f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}． (5)∵f (5)＝5>4，由图像知，函数在[1,5]上的值域为[0,5)．8．(2011·济南期末)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围．(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解析 (1)方法一：∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e. 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根．方法二：作出g (x )＝x ＋e 2x 的图像如图．可知若使g (x )＝m 有实根，则只需m ≥2e. 方法三：解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0. 此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图像有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的图像．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．9．(2012·宁夏银川模拟)已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋ 1|. (1)作出y ＝f (x )的图像； (2)解不等式f (x )≤6.解析(1)f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ≤－1，4，－1<x ≤3，2x －2，x >3，图像如下图所示：(2)由f(x)≤6得：当x≤－1时，－2x＋2≤6，x≥－2，∴－2≤x≤－1；当－1<x≤3时，4≤6成立；当x>3时，2x－2≤6，x≤4，∴3<x≤4.∴不等式f(x)≤6的解集为[－2,4]．另解：(数形结合)由上图可知，不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤4}．。

2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练8章2课时训练

1．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＋k ＋12＝0相交于一点，则k ＝( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12解析：选 B.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0得交点为(－1，－2)，代入x ＋ky ＋k ＋12＝0，得k ＝－12.2．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B.l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，k AB ＝2－(－1)3－a＝1，a ＝0. 由l 1∥l 2，－2b ＝1，得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.3.点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3解析：选C.直线l ：y ＝k (x －2)的方程化为kx －y －2k ＝0，所以点P (－1,3)到该直线的距离为d ＝3|k ＋1|k 2＋1＝3k 2＋2k ＋1k 2＋1＝31＋2k k 2＋1，由于2k k 2＋1≤1，所以d ≤32，即距离的最大值等于32，选C.4．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－2,1)解析：选C.设P 点坐标为(a,5－3a )，由题意知：|a －(5－3a )－1|2＝ 2. 解之得a ＝1或a ＝2，∴P 点坐标为(1,2)或(2，－1)．故应选C.5．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0，若直线l 1与l 2关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B.在l 2上任取一点(x ，y )，关于l ：x －y －1＝0的对称点(x 0，y 0)在l 1上，根据点关于线的对称关系列方程组解出x 0，y 0，代入l 1即可得出方程x －2y －1＝0.6．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1 解析：选C.由l 1∥l 3得k ＝5，由l 2∥l 3得k ＝－5，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10. 故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10.7．已知直线l 1：kx －y ＋1－k ＝0与l 2：ky －x －2k ＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为________．解析：解⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1－k ＝0ky －x －2k ＝0，得⎩⎨⎧x ＝k k －1y ＝2k －1k －1， ∵交点在第一象限，∴⎩⎨⎧ k k －1＞02k －1k －1＞0，∴k ＞1或k ＜0. 答案：k ＜0或k ＞18．设直线l 经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l 的距离最大时，直线l 的方程为______________．解析：设A (－1,1)，B (2，－1)，当AB ⊥l 时，点B 与l 距离最大，此时l 的方程为：y －1＝－11＋1－1－2(x ＋1)，即为：3x －2y ＋5＝0.答案：3x －2y ＋5＝09．已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使|PM |＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是________(填上所有正确答案的序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x解析：根据题意，看所给直线上的点到定点M 距离能否取4.可通过求各直线上的点到点M 的最小距离，即点M 到直线的距离来分析．①d ＝|5＋1|12＋(－1)2＝32＞4，故直线上不存在点到点M 距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2＜4，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|(－3)2＋42＝4，直线上存在一点，使之到点M 距离等于4，是“切割型直线”．答案：②③10．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程．(1)l ′与l 平行且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4；(3)l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线．解：(1)直线l ：3x ＋4y －12＝0，k l ＝－34，又∵l ′∥l ，∴k l ′＝k l ＝－34.∴直线l ′：y ＝－34(x ＋1)＋3，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43. 设l ′在x 轴上截距为b ，则l ′在y 轴上截距为－43b ，由题意可知，S ＝12|b |·|－43b |＝4，∴b ＝±6.∴直线l ′：y ＝43x ＋6或y ＝43x － 6.(3)∵l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线，∴l ′与l 关于原点对称．在l 上任取点(x 0，y 0)，则在l ′上对称点为(x ，y )．x ＝－x 0，y ＝－y 0，则－3x －4y －12＝0.∴l ′为3x ＋4y ＋12＝0.11.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0②由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a 1－a，故l 1和l 2的方程可分别表示为：(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a 1－a＝0，又原点到l 1与l 2的距离相等．∴4|a －1a |＝|a 1－a|，∴a ＝2或a ＝23， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.12．光线通过点A (－2,4)，经直线2x －y －7＝0反射，若反射线通过点B (5,8)．求入射光线和反射光线所在直线的方程．解：如右图，已知直线l ：2x －y －7＝0，设光线AC 经l 上点C 反射为BC ，则∠1＝∠2.再设A 关于l 的对称点为A ′(a ，b )，则∠1＝∠3.∴∠2＝∠3，则B ，C ，A ′三点共线．∵A ′A ⊥l 且AA ′中点在l 上，∴⎩⎨⎧2·a －22－b ＋42－7＝0，b －4a ＋2·2＝－1.解得a ＝10，b ＝－2，即A ′(10，－2)．∴A ′B 的方程为y ＋2＝8＋25－10(x －10)，即2x ＋y －18＝0.∴A ′B 与l 的交点为C (254，112)．∴入射光线AC 的方程为y －4＝4－112－2－254(x ＋2)．即2x －11y ＋48＝0.∴入射光线方程为2x －11y ＋48＝0，反射光线方程为2x ＋y －18＝0.。

2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练3章3课时巩固

2．(原创题)用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．⎠⎛a c f (x )d xB ．|⎠⎛acf (x )d x | C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛b c f (x )d x D ．⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛a bf (x )d x 解析：选D.由定积分的几何意义知选项D 正确．3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12C.23D.16解析：选A.由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12 (x 2－x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12x 221＝56. 4．若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14 (1＋2x )d x ，则公比等于________．解析：本题考查定积分运算及等比数列基本量的求解．由已知得a 4＝(x ＋x 2)|41＝18，故q 3＝1823＝27⇒q ＝3. 答案：35.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.解析：⎠⎛-11(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )| 1-1＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－1或a ＝13.答案：－1或136．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x －2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又f ′(x )＝2x －2，所以a ＝1，b ＝－2，即f (x )＝x 2－2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2－2x ＋1.(2)依题意，所求面积为S ＝⎠⎛01(x 2－2x ＋1)d x ＝(13x 3－x 2＋x )|10＝13.。

高三巩固训练理科数学

高三巩固训练理科数学参考公式:统计中2χ的公式：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ，其中21111n n n +=+，22122n n n +=+，12111n n n +=+，22212n n n +=+，22122111n n n n n +++=一、选择题:(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合2{12},{log 2}A x x B x x =-<=<，则A B =A ．(1,3)-B ．(0,4)C .(0,3)D ．(1,4)-2. 若复数iia 213-+（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A ．2- B ．4 C .6- D ．63. 函数)22sin(2x y -=π是A ．最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数4. 等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，使得0n a >的最小正整数n 为A ．7B ．8C ．9D ．105. 为了解疾病A请计算出统计量，你有多大的把握认为疾病A 与性别有关下面的临界值表供参考：A. 95% 6.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a sin A +c sin C a sin C =b sin B ．则B ∠=A. 6πB. 4πC. 3πD. 34π7.某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为A. 600B. 288C. 480D. 504 8. 设,m n 是空间两条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是 A ．当α⊂m 时，“//n α”是“n m //”的必要不充分条件 B ．当α⊂m 时，“m ⊥β”是“βα⊥”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件 9. 函数2ln ||x y x x=+的图象大致为10.定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如图所示. 设x x f ⊗=1)(.()f x 在区间[2,2]-上的最大值为. A -2 B -1 C 0 D 211. 已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则 OC AB ⋅的值为A 15- B15C 65-D 6512. 若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是A ①③B ①③④C ①②④D ②③④16题图第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)13.不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为 .14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .15. 设dx x )12(20-⎰，则二项式4⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中的常数项为 .16.如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 .三、解答题:(本大题共6小题，共74分)17（本题满分12分）已知函数)()4sin cos 03f x x x πωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.⑴求)(x f 的解析式;(2)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 18（本题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =，*133()n n n a a n N +-=∈，数列{}n b 满足3nn na b =. （1）证明数列{}n b 是等差数列并求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列}{n a 的前n 项和n S .19. （本题满分12分）某企业计划投资A ，B 两个项目, 根据市场分析，A ，B 两个项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2，X 1和X 2的分布列分别为：(1)若在A ，B 两个项目上各投资1000万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求利润的期望()()12,E Y E Y 和方差()()12,D Y D Y ；(2)由于资金限制,企业只能将x (0≤x ≤1000)万元投资A 项目，1000－x 万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．20.（本题满分12分）已知四边形ABCD 是菱形，060BAD ∠= 四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，G H 、分别是CE CF 、的中点.(1)求证：平面//AEF 平面BDGH(2)若平面BDGH 与平面ABCD 所成的角为060，求直线CF 与平面BDGH 所成的角的正弦值21. （本题满分12分）设),(),,(2211y x Q y x P 是抛物线px y 22=)0(>p 上相异两点，P Q 、到y 轴的距离的积为4且0=⋅OQ OP ．（1）求该抛物线的标准方程. （2）过Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值． 22.(本题满分14分)设1ln )()(++=x xa x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线012=++yx 垂直.(1)求a 的值;(2) 若),1[+∞∈∀x ，)1()(-≤x m x f 恒成立，求m 的范围.（3）求证：*21.().41ni in N i=<∈-∑20题图2013.4济南市高三理科数学参考答案一、选择题: ：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)13 .8π14. 4163π+ 15. 24 16.三、解答题:(本大题共6小题，共74分) 17.解()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππωωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭----------------------------1分22sin cos x x x ωωω=-+sin 22x x ωω= -----------------------------------------------------------3分2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ -----------------------------------------------------4分2,12T ππωω==∴= -----------------------------------------5分⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴32sin 2)(πx x f ---------------------------------------------------------6分(2)46x ππ-≤≤，22633x πππ∴-≤+≤1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭，即()12f x -≤≤，-------------------9分当2,36x ππ+=-即4x π=-时，()min 1f x =-，当2,32x ππ+=即12x π=时，()max 2f x =. ---------------------------------12分18.解（1）证明：由3n n n a b =，得1113n n n a b +++=， ∴1111333n n n n n n a a b b +++-=-= ---------------------2分所以数列{}n b 是等差数列，首项11b =，公差为13-----------4分∴121(1)33n n b n +=+-=------------------------6分（2）13(2)3n n n n a b n -==+⨯ -------------------------7分n n a a a S +++=∴ 2113)2(3413-⨯+++⨯+⨯=n n ----①n n n S 3)2(343332⨯+++⨯+⨯=∴ -------------------②----------9分①-②得n n n n S 3)2(33313212⨯+-++++⨯=--n n n 3)2(3331212⨯+-+++++=-n n n 3)2(233⨯+-+=-----------------------------------11分23)2(433nn n n S +++-=∴------------------------------------------12分19. 解: (1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列为--------------2分E (Y 1)＝50×0.8＋100×0.2＝60，----------------------------------3分 D (Y 1)＝(50－60)2×0.8＋(100－60)2×0.2＝400，------------------------4分E (Y 2)＝20×0.2＋80×0.5＋120×0.3＝80，---------------------------------------5分 D (Y 2)＝(20－80)2×0.2＋(80－80)2×0.5＋(120－80)2×0.3＝1200.-------------------6分 (2) ()()()()22121261000110001000100010x x f x D Y D Y x D Y x D Y -⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+=+- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭＝4410 [x 2＋3(1000－x )2]＝4410(4x 2－6000x ＋3×106)．--------------------------------10分当600075024x ==⨯时，f (x )＝300为最小值．-------------------------------12分 20. 解:（1）G H 、分别是CE CF 、的中点所以//EF GH ------------① ---------------1分连接AC 与BD 交与O ,因为四边形ABCD 是菱形，所以O 是AC 的中点连OG ,OG 是三角形ACE 的中位线//OG AE ---------② --------------3 分由①②知，平面//AEF 平面BDGH --------------4分（2）,BF BD ⊥平面BDEF ⊥平面ABCD ，所以BF ⊥平面ABCD ----------------------------5分取EF 的中点N ,//ON BF ON ∴⊥平面ABCD ，建系{,,}OB OC ON 设2AB BF t ==，,则()()()100,0,10B C F t ，，，，122t H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭-----------------------------------------------------------6分 ()11,0,0,22t OB OH ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭设平面BDGH 的法向量为()1,,n x y z =1101022n OB x tn OH x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩,所以(10,n t =- 平面ABCD 的法向量()20,0,1n = ---------------------------9分121|cos ,|2n n <>==,所以29,3t t == -------------------------------10分所以(1,CF =,设直线CF 与平面BDGH 所成的角为θ13133321336|,cos |sin 1=⨯=〉〈=n CF θ -------------------------------12分 21. 解：（1）∵ OP →·OQ →＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，--------------------------1分又P 、Q 在抛物线上，故y 12＝2px 1，y 22＝2px 2，故得 y 122p ·y 222p＋y 1y 2＝0， y 1y 2＝－4p 2222212144)(||p py y x x ==∴--------------------------3分又|x 1x 2|＝4，故得4p 2＝4，p =1．所以抛物线的方程为: 22y x =-------------4分（2）设直线PQ 过点E (a ,0）且方程为x ＝my ＋a联立方程组⎩⎨⎧=+=x y amy x 22消去x 得y 2－2my －2a ＝0 ∴ ⎩⎨⎧-==+ay y m y y 222121 ① --------------------------------6分设直线PR 与x 轴交于点M (b ,0)，则可设直线PR 方程为x ＝ny ＋b ,并设R (x 3,y 3)，同理可知，⎩⎨⎧-==+by y n y y 223131 ② --------------------------7分由①、②可得32y b y a= 由题意，Q 为线段RT 的中点，∴ y 3＝2y 2，∴b =2a 分又由（Ⅰ）知， y 1y 2＝－4，代入①，可得－2a ＝－4 ∴ a ＝2．故b ＝4．-----------------------9分 ∴831-=y y∴3123123124)(1||1|PR |y y y y n y y n -+⋅+=-+=2481222≥+⋅+=n n .当n =0，即直线PQ 垂直于x 轴时|PR |取最小值24--------------------12分 22.解：(1)2)1(ln )()1)(ln ()(++-+++='x x a x x x x ax x f -----------------------2分由题设21)1(='f ，2142)1(=+∴a 11=+∴a ，0=∴a . -------------------------------4分(2) 1ln )(+=x xx x f ,),1(+∞∈∀x ，()(1)f x m x ≤-，即1ln ()x m x x≤-设1()ln ()g x x m x x=--，即0)(),,1(≤+∞∈∀x g x .22211()(1)mx x mg x m x x x -+-'=-+=-------------------------------------6分①若0,()0m g x '≤>，0)1()(=≥g x g ，这与题设0)(≤x g 矛盾.---------- -------8分 ②若0m >方程20mx x m -+-=的判别式214m ∆=- 当0≤∆，即12m ≥时，0)(≤'x g .)(x g ∴在)(0,+∞上单调递减，0)1()(=≤∴g x g ，即不等式成立. ----------------------------------------------------------------------9分当102m <<时，方程20mx x m -+-=，其根10x =>，11x =>，当0)(),,1(2>'∈x g x x ,)(x g 单调递增，0)1()(=>g x g ，与题设矛盾.综上所述，12m ≥ .------------------------------------------------------------------------10分 (3) 由(2)知,当1>x 时, 21=m 时,11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立.不妨令*21,21k x k N k +=∈-所以221121214ln 212212141k k k k k k k k ++-⎛⎫<-= ⎪--+-⎝⎭， ()()*21[ln 21ln 21],441kk k k N k +--<∈-----------------------11分()()()()()22211ln 3ln1441112ln 5ln 344211ln 21ln 21,441n n n n ⎧-<⎪⨯-⎪⎪-<⎪⨯-⎨⎪⎪⎪+--<⎪⨯-⎩ ---------------------12分累加可得*211ln(21).().441ni in n N i =+<∈-∑*21ln .().41ni i n N i =<∈-∑------------------------14分。

2013高考总复习数学(理)配套课时巩固与训练6章5课时训练

1．已知a ，b ∈(0，＋∞)，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定解析：选C.依题意A ＝a ＋b 2，G ＝ab ，∴AG －ab ＝a ＋b 2·ab －ab ＝ab (a ＋b 2－ab ) ＝ab ·(a －b )22≥0，∴AG ≥ab .2．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4.∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴S △OP 1P 2＝1.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A ．(2,4)B ．(－13，－43)C ．(－12，－1)D ．(－1，－1)解析：选B.由S 2＝10，S 5＝55，得2a 1＋d ＝10,5a 1＋10d ＝55，解得a 1＝3，d ＝4，可知直线PQ 的一个方向向量是(1,4)，只有(－13，－43)与(1,4)平行．故选B.4．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能构成一等差数列，则这群羊共有( )A ．6只B ．5只C ．8只D ．7只错误!解析：选A.依题意除去一只羊外，其余n －1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列，设a 1＝7，d >0，S n －1＝65－10＝55.∴有(n －1)a 1＋(n －1)(n －2)2d ＝55. 即7(n －1)＋(n －1)(n －2)d 2＝55， (n －1)[7＋(n －2)d 2]＝55，∵55＝11×5且(n －1)∈Z ，[7＋(n －2)d 2]∈Z .∴⎩⎨⎧ n －1＝5，7＋n －22d ＝11.∴n ＝6.5．2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾．大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止第5天(包括第5天)捐款总数将达到( )A ．4800元B ．8000元C ．9600元D ．11200元解析：选B.由题意知，5天共捐款10×10＋(10×2)×(10＋5)＋(10×4)×(15＋5)＋(10×8)×(20＋5)＋(10×16)×(25＋5)＝8000(元)．6．已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．(－72，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)解析：选 D.∵{a n }是递增数列，∴a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，∴λ＞－2n －1对于n ∈N *恒成立．而－2n －1在n ＝1时取得最大值－3，∴λ＞－3，故选D.7．凸多边形的各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n 等于________．解析：由条件得，(n －2)×180°＝120°×n ＋n (n －1)2×5°，∴n ＝9或n ＝16，∵a 16＝120°＋(16－1)×5°＝195°>180°，∴n ＝16(舍去)，而a 9＝160°<180°，∴n ＝9.答案：98．已知函数f (x )＝a ·b x 的图象过点A (2，12)，B (3,1)，若记a n ＝log 2f (n )(n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 的最小值是________．解析：将A 、B 两点坐标代入f (x )得⎩⎨⎧ 12＝ab 21＝ab 3，解得⎩⎨⎧a ＝18，b ＝2 ∴f (x )＝18·2x ，∴f (n )＝18·2n ＝2n －3，∴a n ＝log 2f (n )＝n －3.令a n ≤0，即n －3≤0，n ≤3.∴数列前3项小于或等于零，故S 3或S 2最小．S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－2＋(－1)＋0＝－3.答案：－39．某纺织厂的一个车间有n (n >7，n ∈N *)台织布机，编号分别为1,2,3，…，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1,2,3，…，n .定义记号a ij ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定a ij ＝1，否则a ij ＝0.若第7号织布机有且仅有一人操作，则a 17＋a 27＋a 37＋a 47＋…＋a n 7＝________；若a 31＋a 32＋a 33＋a 34＋…＋a 3n ＝2，说明________________________．解析：依题意，第7台织布机有且仅有一人操作，说明a 17，a 27，a 37，…，a n 7中有且仅有一个值为1，其余值为0，∴a 17＋a 27＋a 37＋…＋a n 7＝1.同理，由a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝2.说明a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机．答案：1 a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机10．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1.(2)10年出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．11．已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3，….(1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项．解：(1)证明：a 1＝12，2a n ＋1＝a n ＋n ，∵a 2＝34，a 2－a 1－1＝34－12－1＝－34，又b n ＝a n ＋1－a n －1，b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1，∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1＋(n ＋1)2－a n ＋n 2－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－a n －12a n ＋1－a n －1＝12.b n ＝－34×(12)n －1＝－32×12n ，∴{b n }是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)∵a n ＋1－a n －1＝－32×12n ，∴a 2－a 1－1＝－32×12，a 3－a 2－1＝－32×122，…∴a n －a n －1－1＝－32×12n －1，将以上各式相加得：∴a n －a 1－(n －1)＝－32(12＋122＋…＋12n －1)， ∴a n ＝a 1＋n －1－32×12(1－12n －1)1－12＝12＋(n －1)－32(1－12n －1)＝32n ＋n －2. ∴a n ＝32n ＋n －2.12.在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求数列{S n }的通项公式；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n <k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．解：(1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 32＋2a 3a 5＋a 52＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2，∴a 3a 5＝4.而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n .(2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1， b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴S n ＝n (9－n )2.(3)由(2)知S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n 2.当n ≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n >9时，S n n <0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n n ＝18最大．故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n <k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19.。

2013届高考一轮数学复习理科课时同步7-7

课时作业(三十八)1．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2 B .13n ＋13n ＋1 C.13n ＋1＋13n ＋2 D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2 答案 D2．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1)B.12n (2n ＋1) C.1(2n －1)(2n ＋1) D.1(2n ＋1)(2n ＋2) 答案 C解析由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，得S 2＝2(2×2－1)a 2，即a 1＋a 2＝6a 2， ∴a 2＝115＝13×5，S 3＝3(2×3－1)a 3，即13＋115＋a 3＝15a 3.∴a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9.故选C.3．n 为正奇数时，求证：x n ＋y n 被x ＋y 整除，当第二步假设n ＝2k －1命题为真时，进而需证n ＝________，命题为真．答案 2k ＋14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n .(1)求S 1，S 2，S 3；(2)猜想S n 的表达式并证明．解析 (1)由(S 1－1)2＝S 21得：S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2得：S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3得：S 3＝34. (2)猜想：S n ＝n n ＋1. 证明：①当n ＝1时，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，S k ＝kk ＋1成立．则当n ＝k ＋1时，由(S k ＋1－1)2＝a k ＋1S k ＋1得：S k ＋1＝12－S k＝12－k k ＋1＝k ＋1k ＋2，从而n ＝k ＋1时，猜想也成立．综合①②得结论成立．5．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512.解析 (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2.那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)1a 1＋b 1＝16<512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)·n . 故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <16＋12(12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1))＝16＋12(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝16＋12(12－1n ＋1)<16＋14＝512.6．已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12a n ·(4－a n )，(n ∈N)．证明：a n <a n ＋1<2，(n ∈N)．证明解法一用数学归纳法证明：(1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32，所以a 0<a 1<2，命题正确．(2)假设n ＝k 时命题成立，即a k －1<a k <2. 则当n ＝k ＋1时，a k －a k ＋1 ＝12a k －1(4－a k －1)－12a k (4－a k ) ＝2(a k －1－a k )－12(a k －1－a k )(a k －1＋a k ) ＝12(a k －1－a k )(4－a k －1－a k )．而a k －1－a k <0,4－a k －1－a k >0，所以a k －a k ＋1<0. 又a k ＋1＝12a k (4－a k )＝12[4－(a k －2)2]<2. 所以n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N 时有a n <a n ＋1<2. 解法二用数学归纳法证明：(1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32，所以0<a 0<a 1<2；(2)假设n ＝k 时有a k －1<a k <2成立，令f (x )＝12x (4－x )，f (x )在[0,2]上单调递增，所以由假设有：f (a k －1)<f (a k )<f (2)，即12a k －1(4－a k －1)<12a k (4－a k )<12×2×(4－2)，也即当n ＝k ＋1时，a k <a k ＋1<2成立．所以对一切n ∈N ，有a k <a k ＋1<2.7．已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1，a ∈R(1)当a ＝2时，试比较f (x )与1的大小；(2)求证：ln(n ＋1)>13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *)．解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝ln x ＋2x ＋1，其定义域为(0，＋∞)．令h (x )＝f (x )－1＝ln x ＋2x ＋1－1，∵h ′(x )＝1x －2(x ＋1)2＝x 2＋1x (x ＋1)2>0，∴h (x )在(0，＋∞)上是增函数． ①当x >1时，h (x )>h (1)＝0，即f (x )>1； ②当0<x <1时，h (x )<h (1)＝0，即f (x )<1； ③当x ＝1时，h (x )＝h (1)＝0，即f (x )＝1.(2)证法一：根据(1)的结论，当x >1时，ln x ＋2x ＋1>1，即ln x >x －1x ＋1.令x ＝k ＋1k (k ∈N *)，则有ln k ＋1k >12k ＋1，∴∑nk ＝1ln k ＋1k >∑nk ＝1 12k ＋1.∵ln(n ＋1)＝∑nk ＝1ln k ＋1k ，∴ln(n ＋1)>13＋15＋17＋…＋12n ＋1(n ∈N *)．证法二：当n ＝1时，ln(n ＋1)＝ln2.∵3ln2＝ln8>1，∴ln2>13，即n ＝1时命题成立．假设当n ＝k 时，命题成立，即ln(k ＋1)>13＋15＋…＋12k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，ln(n ＋1)＝ln(k ＋2)＝ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1>13＋15＋…＋12k ＋1＋ln k ＋2k ＋1. 根据(2)的结论，当x >1时，ln x ＋2x ＋1>1，即ln x >x －1x ＋1.令x ＝k ＋2k ＋1，则有ln k ＋2k ＋1>12k ＋3，则有ln(k ＋2)>13＋15＋…＋12k ＋1＋12k ＋3，即n ＝k ＋1时命题也成立．8．已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项的和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．思路 (1)求得a 2、a 5的值即可得a n 的表达式，再利用T n －T n －1＝b n 求出{b n }的通项公式；(2)首先求出S n ＋1与1b n的表达式，先进行猜想，再进行证明．解析 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.又∵{a n }的公差大于0，∴a 5>a 2.∴a 2＝3，a 5＝9.∴d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1.∵T n ＝1－12b n ，b 1＝23，当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1， ∴b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －(1－12b n －1)，化简，得b n ＝13b n －1，∴{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·(13)n －1＝23n ，∴a n ＝2n －1，b n ＝23n .(2)∵S n ＝1＋(2n －1)2n ＝n 2，∴S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2，以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，∴1b 1<S 2.当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，∴1b 2<S 3.当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，则1b 3<S 4.当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，得1b 4>S 5.猜想：n ≥4时，1b n >S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1，即3k2>(k ＋1)2，那么，n ＝k ＋1时，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k 2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1，∴n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知n ∈N *，n ≥4时，1b n>S n ＋1成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n <S n ＋1，当n ≥4时，1b n>S n ＋1.1．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)是真命题，则F (k ＋1)是真命题，现已知F (7)是假命题，则有：①F (8)是假命题；②F (8)是真命题；③F (6)是假命题；④F (6)是真命题；⑤F (5)是假命题；⑥F (5)是真命题．其中真命题的是( )A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④ 答案 A解析用反证法，假设F (6)真，则F (7)真，与已知矛盾；假设F (5)真，则F (6)真，进而F (7)真，与已知矛盾．2．(2011·山东济南模拟)设函数f (x )＝x 2e x －1－13x 3－x 2(x ∈R)．(1)求函数y ＝f (x )的单调区间； (2)求y ＝f (x )在[－1,2]上的最小值；(3)当x ∈(1，＋∞)时，用数学归纳法证明：∀n ∈N *，e x －1>xnn ！.解析 (1)f ′(x )＝2x e x －1＋x 2e x －1－x 2－2x ＝x (x ＋2)(e x －1－1)，令f′(x)＝0，可得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：－2)和(0,1)．(2)当x∈[－1,2]时，f(－1)＝1e2－23<0，f(2)＝4(e－53)>0，f(x)极小值＝f(1)＝－13>f(－1)，f(x)极大值＝f(0)＝0.所以f(x)在[－1,2]上的最小值为1e2－2 3.(3)证明：设g n(x)＝e x－1－x nn！，当n＝1时，只需证明g1(x)＝e x－1－x>0，当x∈(1，＋∞)时，g1′(x)＝e x－1－1>0，所以g1(x)＝e x－1－x 在(1，＋∞)上是增函数．∴g1(x)>g1(1)＝e0－1＝0，即e x－1>x.当x∈(1，＋∞)时，假设n＝k时不等式成立，即g k(x)＝e x－1－x kk！>0，当n＝k＋1时，因为g k＋1′(x)＝e x－1－(k＋1)x k(k＋1)！＝e x－1－x kk！>0，所以g k＋1(x)在(1，＋∞)上也是增函数．所以g k ＋1(x )>g k ＋1(1)＝e 0－1(k ＋1)！＝1－1(k ＋1)！>0，即当n ＝k ＋1时，不等式成立．所以当x ∈(1，＋∞)时，∀n ∈N *，ex －1>x nn ！. 3．已知函数f (x )＝x －sin x ，数列{a n }满足：0<a 1<1，a n ＋1＝f (a n )，n ＝1,2,3，….证明：(1)0<a n ＋1<a n <1，(2)a n ＋1<16a 3n .解析 (1)先用数学归纳法证明0<a n <1，n ＝1,2,3，…. (ⅰ)当n ＝1时，由已知结论成立． (ⅱ)假设当n ＝k 时结论成立，即0<a k <1. 因为0<x <1时，f ′(x )＝1－cos x >0，所以f (x )在(0,1)上是增函数．又f (x )在[0,1]上连续，从而f (0)<f (a k )<f (1)，即0<a k ＋1<1－sin 1<1. 故当n ＝k ＋1时，结论成立．由(ⅰ)(ⅱ)可知，0<a n <1对一切正整数都成立．又因为0<a n <1时，a n ＋1－a n ＝a n －sin a n －a n ＝－sin a n <0，所以a n ＋1<a n .综上所述0<a n ＋1<a n <1. (2)设函数g (x )＝sin x －x ＋16x 3,0<x <1. 由(1)知，当0<x <1时，sin x <x .从而g ′(x )＝cos x －1＋x 22＝－2sin 2x 2＋x 22>－2(x 2)2＋x22＝0.所以g (x )在(0,1)上是增函数．又g (x )在[0,1]上连续，且g (0)＝0，所以当0<x <1时，g (x )>0成立．于是g (a n )>0，即sin a n －a n ＋16a 3n >0.故a n ＋1<16a 3n .。

2013年高考数学总复习高效课时作业7-1 文新人教版

2013年高考数学总复习高效课时作业7-1 文新人教版一、选择题1．利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是( ) A ．①② B ．① C ．③④D ．①②③④解析：因为斜二测画法规则依据的是平行投影的性质，则①②正确；对于③④，只有平行于x 轴的线段长度不变，所以不正确，故选A. 答案：A2．(2012年日照二模)已知正三棱柱ABC —A ′B ′C ′的主视图和左视图如图所示．设△ABC ，△A ′B ′C ′的中心分别是O ，O ′，现将此三棱柱绕直线OO ′旋转，在旋转过程中对应的俯视图的面积为S ，则S 的最大值为( )A ．8B ．4C ．12D ．16解析：由题中图可知，正三棱柱的高为4，底面正三角形的边长是2.底面一边水平时，俯视图面积最大，此时俯视图一边长为4，另一边长为2，面积为8.选A. 答案：A3．(2011)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2解析：该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为22，故其表面积是4×4＋4×12×4×22＝16＋16 2.答案：B4．(2011某某)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0解析：把底面三角形为等腰直角三角形的直三棱柱的一个侧面放在水平面上，当这个直三棱柱的底面三角形的高等于放在水平面上的侧面的宽度就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上即可满足要求，故命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面上即可符合要求，故命题③是真命题，选A.答案：A5．(2012年某某卷)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为( )解析：由长对正，高平齐，宽相等选择B.答案：B二、填空题6．(2011某某)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是______．解析：设正三棱柱的底面边长为a，利用体积为23，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为3，故所求矩形的面积为2 3.答案：237．(2012年某某卷)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是________．解析：该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱．几何体的体积是V ＝12×(2＋5)×4×4＝56.答案：568．如图，点O 为正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．解析：空间四边形D ′OEF 在面ABB ′A ′，面DCC ′D ′上的正投影为①，在面ADD ′A ′，面BCC ′B ′上的正投影为②，在面ABCD ，面A ′B ′C ′D ′上的正投影为③，故可能是①②③. 答案：①②③9．(2011某某)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m 3.解析：由题中三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为3、2、1；上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×3＝(6＋π)m 3.答案：(6＋π) 三、解答题10．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．解析：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的侧视图，如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a .AD 是正棱锥的高，即AD ＝3a ，所以该平面图形的面积为S ＝12×3a ×3a ＝32a 2.11．已知正三棱锥V －ABC 的正视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的侧视图和直观图； (2)求出侧视图的面积．解析：(1)如图．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，侧视图中VA 为42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.12．(2010年某某卷)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解析：(1)由题意得16r ＋8l ＝9.6(l 为圆柱母线长)，即2r ＋l ＝1.2，S ＝2πr ·l ＋πr 2＝2πr (1.2－2r )＋πr 2＝－3πr 2＋2.4πr ，即S ＝3π(－r 2＋0.8r )(0＜r ＜0.6)，故当r ＝0.4时，S 有最大值，S max ＝3π×(－0.42＋0.8×0.4)＝1.5072≈1.51(平方米)． (2)当r ＝0.3时，l ＝0.6，三视图为。

2013届高考一轮数学复习理科课时同步7-1

课时作业(三十二)1．若a 、b ∈R ，下列命题中 ①若|a |＞b ，则a 2＞b 2； ②若a 2＞b 2，则|a |＞b ； ③若a ＞|b |，则a 2＞b 2；④若a 2＞b 2，则a ＞|b |正确的是( ) A ．①和③ B ．①和④ C ．②和③ D ．②和④答案 C解析条件|a |＞b ，不能保证b 是正数，条件a ＞|b |可保证a 是正数，故①不正确，③正确，a 2＞b 2⇒|a |＞|b |≥b ，故②正确④不正确． 2. 设a >b >0，下列各数小于1的是( ) A ．2a －bB ．(a b)12C ．(a b )a －bD ．(b a )a －b答案 D解析 y ＝a x (a >0且a ≠1)．当a >1，x >0时，y >1，当0<a <1，x >0时，0<y <1. ∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,0<ba <1，由指数函数性质知，D 成立．3．(2011·沧州七校联考)若a >1,01C ．log a b <0D ．log b a >0 答案 C解析特殊值法：令a ＝2，b ＝12，则只有C 成立．4．(2012·杭州)如果a ，b ，c 满足c acB ．c (b －a )>0C ．cb <abD ．ac (a －c )<0 答案 C解析由ac <0且c 0，c <0， ∵b －c >0，∴a (b －c )>0，∴ab >ac ，A 成立． ∵b －a <0，∴c (b －a )>0，B 成立． ∵a －c >0，ac <0，∴ac (a －c )<0，D 成立．故选C.5．已知0<a 0 B ．2a －b >1 C ．2ab >2 D ．log 2(ab )<－2 答案 D解析由已知，0<a <1,0<b <1，a －b <0,0<ab <14，log 2(ab )<－2，故选D.6．设0log 12a ，B 不对；a >b >0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.7．若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b－1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析解法一由1a <1b <0，可知b <a <0. ①中，a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b<0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab ，即①正确．②中，∵b <a <0，∴－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误． ③中，∵b <a <0，即0>a >b ，又∵1a <1b <0， ∴a －1a >b －1b ，故③正确．④中，∵b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为单调递减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域上为增函数．∴ln b 2>ln a 2，故④错，综上分析①③正确．解法二 ∵1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2，显然1a ＋b ＝－13，1ab ＝12，此时①成立，∵|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误，∵a －1a ＝－1－(－1)＝0，b －1b ＝－2－(－12)＝－32，此时③成立．∵ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln4>0， ∴④错误，综上所述②④错误，①③正确．8．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是______．答案 (－3,3)解析－4<β<2⇒－4<－|β|≤0，－3<α－|β|<3.9．(2010·上海春季高考改编)若a >1，b <1，则下列两式的大小关系为ab ＋1____a ＋b .答案 <解析 (ab ＋1)－(a ＋b )＝1－a －b ＋ab ＝(1－a )(1－b )， ∵a >1，b <1，∴1－a <0,1－b >0， ∴(1－a )(1－b )<0，∴ab ＋1<a ＋b .10．若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是______．答案 12<a <1解析 ∵a 2＋1>2a ，log a (a 2＋1)<log a 2a ， ∴0<a <1， ∵log a (2a )<log a 1， ∴2a >1，∴a >12，∴12<a <1.11．下列命题为真的是____________． ①若a >b ，则a lg 12>b lg 12②若a >b >0，c >d >0，则a 2－d >b 2－c ③若a >b, 且a 、b ∈R ，则(13)a <(13)b④若α∈[－π，2π3]，则1－sin α>0 答案 ②③解析 lg 12<0，①是错误的，a >b >0，a 2>b 2，c >d >0，c >d >0，－c <－d ，a 2－d >b 2－c .②正确．y ＝(13)x是减函数，a >b ，则(13)a <(13)b .③正确．④中α＝π2时1－sin α＝0，不正确．12．已知a ＋b >0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析 a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －aa 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 13．已知a >0且a ≠1，比较log a (a 3＋1)和log a (a 2＋1)的大小．答案 >解析当a >1时，a 3>a 2，a 3＋1>a 2＋1. 又y ＝log a x 为增函数，所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a <1时，a 3<a 2，a 3＋1<a 2＋1，又y ＝log a x 为减函数，所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．综上，对a >0且a ≠1，总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．14．已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mxx －1，试比较f (a )与f (b )的大小．答案当m >0时，f (a )<f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m <0时，f (a )>f (b )．解析 f (x )＝mxx －1＝m (1＋1x －1)，所以f (a )＝m (1＋1a －1)，f (b )＝m (1＋1b －1)．由a >b >1，知a －1>b －1>0，所以1＋1a －1<1＋1b －1.①当m >0时，m (1＋1a －1)<m (1＋1b －1)，即f (a )<f (b )；②当m ＝0时，m (1＋1a －1)＝m (1＋1b －1)，即f (a )＝f (b )； ③当m <0时，m (1＋1a －1)>m (1＋1b －1)，即f (a )>f (b )．1．(2010·江西文)对于实数a ，b ，c ，“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由ac 2>bc 2⇒a >b ，但由a >b 推不出ac 2>bc 2，故选B. 2．若a >b >c ，a ＋2b ＋3c ＝0，则( ) A ．ab >ac B ．ac >bcC ．ab >bcD ．a |b |>c |b | 答案 A3．(2011·浙江理)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a 成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a ”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a ”的必要条件；即“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分而不必要条件．4．求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ； (2)(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．答案略证明 (1)a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ac ) ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]≥0， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac . (2)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－a 2c 2－2acbd －b 2d 2＝(ad －bc )2≥0，∴(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．1．(2010·江苏理)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x3y 4的最大值是________．答案 27解析由题设知，实数x ，y 均为正实数，则条件可化为lg3≤lg x ＋2lg y ≤lg8，lg4≤2lg x －lg y ≤lg9，令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有⎩⎨⎧lg3≤a ＋2b ≤3lg22lg2≤2a －b ≤2lg3，又设t ＝x 3y 4，则lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b ，令3a －4b ＝m (a ＋2b )＋n (2a －b )，解得m ＝－1，n ＝2，即lg t ＝－(a ＋2b )＋2(2a －b )≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴x 3y 4的最大值是27.另解：将4≤x 2y ≤9两边分别平方得，16≤x 4y 2≤81，① 又由3≤xy 2≤8可得，18≤1xy 2≤13，②由①×②得，2≤x 3y 4≤27，即x 3y 4的最大值是27.2．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小．答案 <解析由题意知，F(x)＝a(x－m)(x－n)，∴f(x)＝a(x－m)(x－n)＋x，∴f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，∵a>0，且0<x<m<n<1 a，∴x－m<0,1－an＋ax>0. ∴f(x)－m<0，即f(x)<m.。

2013年高考数学总复习高效课时作业6-7 理新人教版

2013年高考数学总复习高效课时作业6-7 理新人教版一、选择题1．欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 3，那么验证不等式成立所取的第一个n 的最小值应该是( ) A ．1 B ．9C ．10D ．n ＞10，且n ∈N *解析：210＝1 024＞103.故应选C. 答案：C2．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N *)，则从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的项为( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2C.（k ＋1）4＋（k ＋1）22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析：n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k 2，n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.比较上述两个式子，n ＝k ＋1时，等式的左边是在假设n ＝k 时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.答案：D3．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n的表达式是( ) A ．3n －2 B ．n 2C ．3n －1D. 4n －3解析：计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16. 可猜a n ＝n 2，故应选B. 答案：B4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳法假设证n＝k ＋1时的情况，只需展开( ) A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．故应选A. 答案：A5．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N *)能被8整除时，若n ＝k 时，命题成立，欲证当n ＝k ＋1时命题成立，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为( )A ．56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)B ．34×34k ＋1＋52×52kC ．34k ＋1＋52k ＋1D ．25(34k ＋1＋52k ＋1)解析：当n ＝k ＋1时， 34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋1×34＋52k ＋1×52＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1＝56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)．答案：A 二、填空题6．观察下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，1＋12＋13＋…＋131＞52，…，由此猜测第n 个不等式为________(n ∈N *)．解析：3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2.答案：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n27．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明不等式f (2n)＞n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是________．解析：多的项数等于2k ＋1－2k ＝2k.答案：2k8．用数学归纳法证明34n ＋2＋52n ＋1(n ∈N *)能被14整除，当n ＝k ＋1时对于式子34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1应变形为__________________．解析：假设n ＝k 时，34k ＋2＋52k ＋1(k ∈N *)能被14整除，为了充分利用上面的假设，需将n＝k ＋1时的式子作如下变形． 34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝(34k ＋2＋52k ＋1)×34＋52k ＋1(52－34)＝34(34k ＋2＋52k ＋1)－56×52k ＋1.故应填：34(34k ＋2＋52k ＋1)－14×4×52k ＋1.答案：34(34k ＋2＋52k ＋1)－14×4×52k ＋19．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)．解析：f (2)＝0，f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数． ∴f (3)－f (2)＝2，f (4)－f (3)＝3， f (5)－f (4)＝4，… f (n )－f (n －1)＝n －1.累加，得f (n )－f (2)＝2＋3＋4＋…＋(n －1) ＝2＋（n －1）2(n －2)． ∴f (n )＝12(n ＋1)(n －2)．答案：5 12(n ＋1)(n －2)三、解答题10．(某某省某某中学2012年3月高三第一次学情调研)已知多项式f (n )＝15n 5＋12n 4＋13n 3－130n .试探求对一切整数n ，f (n )是否一定是整数？并证明你的结论．解析：(1)先用数学归纳法证明：对一切正整数n ，f (n )是整数． ①当n ＝1时，f (1)＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N)时，结论成立，即f (k )＝15k 5＋12k 4＋13k 3－130k 是整数，则当n＝k ＋1时，f (k ＋1)＝15(k ＋1)5＋12(k ＋1)4＋13(k ＋1)3－130(k ＋1)＝C 50k 5＋C 51k 4＋C 52k 3＋C 53k 2＋C 54k ＋C 555＋C 40k 4＋C 41k 3＋C 42k 2＋C 41k ＋C 442＋C 30k 3＋C 31k 2＋C 32k ＋C 333－130(k ＋1)＝f (k )＋k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1根据假设f (k )是整数，而k 4＋4k 3＋6k 2＋4k ＋1显然是整数． ∴f (k ＋1)是整数，从而当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①、②可知对一切正整数n ，f (n )是正整数．(2)当n ＝0时，f (0)＝0是整数．(3)当n 为负整数时，令n ＝－m ，则m 是正整数，由(1)f (m )是整数，所以f (n )＝f (－m )＝15(－m )5＋12(－m )4＋13(－m )3－130(－m ) ＝－15m 5＋12m 4－13m 3＋130m＝－f (m )＋m 4是整数．综上，对一切整数n ，f (n )一定是整数． 11．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a n2(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．解析：(1)由题意a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2(13，13)，∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立，则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a k 2·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1； ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，….(1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格的证明．解析：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.(2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，….下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知S n ＝n n ＋1对所有正整数n 都成立．。

2013届高三数学(理)一轮复习广东专用版第七章第七节课时同步

课时知能训练一、选择题1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 ∵cos 〈m ，n 〉＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°.故直线l 与α所成的角θ＝120°－90°＝30°. 【答案】 A2．(2012·青岛模拟)已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP→＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( ) A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15【解析】 ∵AB→⊥BC →， ∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP→⊥AB →，BP →⊥BC →，则⎩⎨⎧(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.【答案】 B图7－7－133．如图7－7－13所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【解析】以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，则C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)，则EF→＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)． ∴EF →·BC 1→＝2. ∴cos 〈EF →，BC 1→〉＝22×22＝12.∴EF 和BC 1所成的角为60°. 【答案】 B图7－7－144．如图7－7－14，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105【解析】以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)．∴BC 1→＝(－2,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→|·|AC →|＝45×8＝105.∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105. 【答案】 D5．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°【解析】如图所示，二面角的大小就是〈AC→，BD →〉． ∵CD→＝CA →＋AB →＋BD → ∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋CA →·BD →＋AB →·BD →) ＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·BD→ ∴CA →·BD →＝12[(217)2－62－42－82]＝－24.因此AC →·BD →＝24，cos 〈AC →，BD →〉＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝12， ∴〈AC →，BD →〉＝60°，故二面角为60°. 【答案】 C 二、填空题图7－7－156．如图7－7－15所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．【解析】设PD ＝a ，则D (0,0,0)，A (2，0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1，a2)．∴DP →＝(0,0，a )，AE →＝(－1,1，a 2)．由cos 〈DP →，AE →〉＝33， ∴a 22＝a 2＋a 24·33， ∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．【答案】 (1,1,1)7．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．【解析】以A 为原点建系，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，D (0,1，0)．∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝(1,0，－12)，设平面A 1ED 的法向量为 n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎨⎧y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)，∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.∴所成的锐二面角的余弦值为23.【答案】 23图7－7－168．如图7－7－16所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．【解析】分别以C 1B 1、C 1D 1，C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．∵A 1M ＝AN ＝23a ，∴M (a ，23a ，a 3)，N (23a ，23a ，a )，∴MN →＝(－a 3，0，23a )．又C 1(0,0,0)，D 1(0，a,0)，∴C 1D 1→＝(0，a,0)．∴MN →·C 1D 1→＝0，∴MN →⊥C 1D 1→. ∵C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 【答案】平行三、解答题图7－7－179．如图7－7－17，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝12AD ＝a ，G 是EF 的中点．(1)求证：平面AGC ⊥平面BGC ；(2)求GB 与平面AGC 所成角的正弦值．【解】证明如图建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，F (a,0,0)，G (a ，a,0)，B (0,2a,0)，C (0,2a,2a )，D (0,0,2a )．(1)AG →＝(a ，a,0)，AC →＝(0,2a,2a )，设平面AGC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则AG →⊥n ，AC →⊥n ，∴AG →·n ＝0，AC →·n ＝0，故⎩⎨⎧ax ＋ay ＝02ay ＋2az ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝－y z ＝－y，∴n ＝(－y ，y ，－y )；设平面BGC 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则BG →·m ＝0，BC →·m ＝0，又BG→＝(a ，－a,0)，BC →＝(0,0,2a )， ∴⎩⎨⎧ax 1－ay 1＝02az 1＝0，∴m ＝(x 1，x 1,0)．∴n ·m ＝－x 1y ＋x 1y ＋0＝0，∴n ⊥m ，即平面AGC ⊥平面BGC .(2)由(1)知BG →＝(a ，－a,0)，平面AGC 的法向量为n ＝(－y ，y ，－y )，设BG →与n 的夹角为α，则|cos α|＝|BG →·n |BG →|·|n ||＝|－2ay2a ·3|y ||＝63，即GB 与平面AGC 所成角的正弦值为63.图7－7－1810．如图7－7－18，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE ；(3)求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．【解】 (1)证明设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．∵F 为CD 的中点，∴F (32a ，32a,0)．∴AF →＝(32a ，32a,0)，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →＝(2a,0，－a )， ∴AF →＝12(BE →＋BC →)，又AF ⊄平面BCE ，∴AF ∥平面BCE .(2)证明 ∵AF →＝(32a ，32a,0)，CD →＝(－a ，3a,0)，ED →＝(0,0，－2a )，又∵AF →·CD →＝0，AF →·ED→＝0， ∴AF→⊥CD →，AF →⊥ED →. ∵CD ∩ED ＝D ， ∴AF→⊥平面CDE ，又∵AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .(3)设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·BE →＝0，n ·BC→＝0. 可得⎩⎨⎧x ＋3y ＋z ＝0，2x －z ＝0，取n ＝(1，－3，2)．又BF →＝(32a ，32a ，－a )，设BF 和平面BCE 所成的角为θ，则sin θ＝|BF →·n ||BF →||n |＝2a 2a ·22＝24.∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24.图7－7－1911．(2012·广州模拟)如图7－7－19所示，已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC ＝90°，RB ＝BC ＝2.点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC .(1)求证：BC ⊥PB ；(2)求二面角A —CD —P 的平面角的余弦值．【解】 (1)证明点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，∴AD ∥BC ，AD ＝12BC ，∴∠PAD ＝∠RAD ＝∠RBC ＝90°， ∴PA ⊥AD ，∴PA ⊥BC ， ∵BC ⊥AB ，PA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面PAB . ∵PB ⊂平面PAB ， ∴BC ⊥PB .(2)建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz . 则D (－1,0,0)，C (－2,1,0)，P (0,0,1)． ∴DC→＝(－1,1,0)，DP →＝(1,0,1)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎨⎧n ·DC →＝－x ＋y ＝0，n ·DP →＝x ＋z ＝0，令x ＝1，得y ＝1，z ＝－1.∴n ＝(1,1，－1)．显然，PA→是平面ACD 的一个法向量，PA →＝(0,0，－1)． ∴cos 〈n ，PA →〉＝n ·PA →|n ||PA→|＝13×1＝33.∴二面角A —CD —P 的平面角的余弦值是33.。

2013年高考数学总复习高效课时作业7-2 理新人教版

2013年高考数学总复习高效课时作业7-2 理新人教版一、选择题1．(2011年某某)设球的体积为V 1，它的内接正方体的体积为V 2，下列说法中最合适的是( )A ．V 1比V 2大约多一半B ．V 1比V 2大约多两倍半C ．V 1比V 2大约多一倍D ．V 1比V 2大约多一倍半解析：设正方体的棱长为a ，则球的半径32a ，正方体的体积V 2＝a 3，球的体积V 1＝32πa 3，则V 1－V 2＝32πa 3－a 3＝⎝⎛⎭⎪⎫32π－1a 3≈1.72a 3，故选D. 答案：D2．(2011某某)已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．1解析：由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，设SD ＝x ，则DC ＝4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S －ABD 和C －ABD ，在△SAD 和△SBD中，由已知条件可得AD ＝BD ＝33x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC ＝∠SAC ＝90°，所以∠DCB ＝∠DCA ＝60°，在△BDC 中，BD ＝3(4－x )，所以33x ＝3(4－x )，所以x ＝3，AD ＝BD ＝3，所以△ABD 为正三角形，所以V ＝13S △ABD ×4＝ 3.答案：C3．(某某省某某市2012年3月高三高考模拟)若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积是( )A ．273＋12πB ．93＋12πC ．273＋3πD ．543＋3π解析：该几何体是一个下面为正六棱柱，上面是一个圆柱的组合体，正六棱柱的体积为6×12×3×3×32×2＝273，圆柱的体积为π×3＝3π，所以总体积为273＋3π，选C. 答案：C4．如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )A ．1∶ 2B ．1∶ 3C ．1∶2D.3∶2解析：设正方体的棱长为a ，则S 正方体＝6a 2，正四面体D 1－AB 1C 的棱长为2a ，S 正四面体＝4×34×(2a )2＝23a 2，所以S 正四面体S 正方体＝236＝13. 答案：B5．如图所示，扇形所含的中心角为90°，其所在圆的半径为R ，弦AB 将扇形分成两个部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，所得的旋转体体积V 1和V 2之比为( )A ．1∶1B ．1∶ 2C ．1∶2D ．1∶ 3解析：Rt △AOB 绕OA 旋转一周形成圆锥，其体积V 1＝13πR 3，扇形绕OA 旋转一周形成半球，其体积V ＝23πR 3，∴V 2＝V －V 1＝23πR 3－13πR 3＝13πR 3，∴V 1∶V 2＝1∶1. 答案：A 二、填空题6．(2012年某某高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知该图形如图所，S 表＝(3×4＋3＋4)×2－π－π＋2π＝38.答案：387．(2011课标全国)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O －ABCD 的体积为________．解析：设矩形对角线AC ，BD 交于点O 1，则BO 1＝23，因此OO 1＝|OB |2－|O 1B |2＝42－（23）2＝2，因此V ＝13Sh ＝13×6×23×2＝8 3.答案：8 38．(2011某某)三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积等于________．解析：依题意有，三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PA＝13×34×22×3＝ 3 答案： 39．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去△AOB ，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A (B )、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________．解析：由平面图折叠后的三视图如图：取DC 中点E ，则AE ＝23，OE ＝2，又AO ＝22，∴AE 2＝AO 2＋OE 2， ∴∠AOE ＝90°. 同理AC 2＝AO 2＋OC 2， ∴∠AOC ＝90°， ∴AO ⊥平面OCD ，∴V A －ODC ＝13×S △ODC ×AO＝13×12×22×22×22＝823. 答案：823三、解答题10．如图是一个几何体的三视图，(1)画出这个几何体的直观图． (2)求这个几何体的侧面积． (3)求这个几何体的体积．解析：(1)此几何体是上底边长为3，下底边长为5，高为3的正四棱台．(2)棱台侧面梯形的高为32＋⎝⎛⎭⎪⎫5－32＝10，∴棱台的侧面积S 侧＝12(3＋5)×10×4＝1610.(3)棱台的体积V ＝13(S ＋S ′·S ＋S ′)·h＝13×(52＋52·32＋32)×3＝49.11．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．解析：(1)证明：法一：在题图1中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ，取AC 的中点O ，连结DO ，则DO ⊥AC ，(如图) 又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ，又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面ACD .法二：在题图1中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ，∵平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，从而BC ⊥平面ACD .(2)由(1)可知BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知几何体D －ABC 的体积为423.12．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的三视图如图所示，其中正(主)视图AA 1B 1B 和侧(左)视图B 1BCC 1均为矩形，俯视图△A 1B 1C 1中，A 1C 1＝3，A 1B 1＝5，cos A 1＝35.(1)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，求证：BC ⊥AC 1；(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若D 是底边AB 的中点，求证：AC 1∥平面CDB 1； (3)若三棱柱的高为5，求三视图中侧视图的面积．解析：(1)证明：因为题中主视图和左视图均为矩形，所以该三棱柱为直三棱柱，在俯视图△A 1B 1C 1中，A 1C 1＝3，A 1B 1＝5，cos A 1＝35，由余弦定理可得B 1C 1＝4，所以∠A 1C 1B 1＝∠ACB ＝90°，∴B 1C 1⊥A 1C 1， ∴BC ⊥A 1C 1.又BC ⊥CC 1，CC 1∩A 1C 1＝C 1， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1. ∵AC 1⊂平面ACC 1A 1， ∴BC ⊥AC 1.(2)证明：(如图)连接BC 1交B 1C 于点M ，则M 为BC 1的中点，连结DM ，则在△BC 1A 中DM ∥AC 1.∵DM ⊂平面DCB 1，AC 1⊄平面DCB 1. ∴AC 1∥平面CDB 1.(3)侧视图中BC 的长等于底面ABC 中顶点C 到边AB 的距离d ，d ＝3×45＝125，∴侧视图的面积S ＝125×5＝12.。

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1．已知a 1b B ．ab <1
C.a b >1 D ．a 2>b 2
解析：选D.若b ＝0，可排除A ，C ，无论b >0还是b <0，D 均成立．
2．下列命题中的真命题是( )
A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd
B ．若|a |>b ，则a 2>b 2
C ．若a >b ，则a 2>b 2
D ．若a >|b |，则a 2>b 2 解析：选D.∵a >|b |≥0，∴a 2>b 2，故选D.
3．如果a ，b ，c 满足c ac
B ．c (b －a )>0
C ．cb 2<ab 2
D ．ac (a －c )<0
解析：选C.当b ＝0时，b 2＝0，cb 2＝ab 2，故选C.
4．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )
A ．a >b >－b >－a
B ．a >－b >－a >b
C ．a >－b >b >－a
D ．a >b >－a >－b
解析：选C.法一：∵A 、B 、C 、D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．
令a ＝2，b ＝－1，则有2>－(－1)>－1>－2，
即a >－b >b >－a .
法二：∵a ＋b >0，b <0，
∴a >－b >0，－a －b >0>b >－a ，
即a >－b >b >－a .
5．若x ＋y >0，a <0，ay >0，则x －y 的值为( )
A ．大于0
B ．等于0
C ．小于0
D ．符号不能确定
解析：选A.法一：因为a <0，ay >0，
所以y <0，又x ＋y >0，
所以x >－y >0，所以x －y >0.应选A.
法二：a <0，ay >0，取a ＝－2得：
－2y >0，又x ＋y >0，两式相加得x －y >0.应选A.
6．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A ．甲先到教室
B ．乙先到教室
C ．两人同时到教室
D ．谁先到教室不确定
解析：选B.设步行速度与跑步速度分别为v 1，v 2，
显然v 1<v 2，总路程为2s ，
则甲用时间为s v 1＋s v 2
，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s 1＋s 2
－4s v 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2) ＝s (v 1－v 2)2
v 1v 2(v 1＋v 2)
>0，故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2
，故乙先到教室． 7．设A ＝1＋2x 4，B ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则A ，B 的大小关系是________．
解析：∵A －B ＝1＋2x 4－2x 3－x 2＝2x 3(x －1)－(x 2－1)
＝(x －1)(2x 3－x －1)
＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)，
∵(x －1)2≥0,2x 2＋2x ＋1>0，
∴A －B ≥0，即A ≥B .
答案：A ≥B
8．下列四个不等式：①a <0<b ；②b <a <0；③b <0<a ；④0<b <a ，
其中能使1a <1b 成立的充分条件有________．
解析：1a <1b ⇒b －a ab <0⇔b －a 与ab 异号，因此①②④能使b －a 与ab 异号．
答案：①②④
9．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一
次的1k (k ∈N *)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受
击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这件事实中提炼出一个
不等式组是________．
解析：依题意47＋47k <1，且三次后全部进入，
即47＋47k ＋47k 2≥1，
故不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k <147＋4
7k ＋47k 2≥1.k ∈N *
答案：⎩⎪⎨⎪⎧ 47＋47k <147＋4
7k ＋47k 2≥1k ∈N *
10．已知：a >b >0，c >d >0，求证：a d >b c .
证明：∵c >d >0，∴1d >1c >0，
又∵a >b >0，∴a d >b c >0.
11.已知a >0，b >0，试比较a b ＋b a 与a ＋b 的大小．解：(a b ＋b a
)－(a ＋b ) ＝a a ＋b b －ab (a ＋b )ab
＝a a ＋b b －a b －b a ab
＝a (a －b )－b (a －b )ab ＝(a －b )(a －b )ab
＝(a ＋b )(a －b )2
ab
. ∵a >0，b >0.∴a ＋b >0，ab >0.
又∵(a －b )2≥0(当且仅当a ＝b 时等号成立)，
∴(a ＋b )(a －b )2ab
≥0. 即a b ＋b a
≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时等号成立)． 12．2008年北京成功举办了第29届奥运会，中国取得了51金、21银、28铜的骄人成绩．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷赛前准备用12000元预订15张下表中球类比赛的门票：
订上表中三种球类比赛门票，其中足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同，且足球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，求可以预订的男篮比赛门票数．
解：设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n (n ∈N *)张，则男篮比赛门票预订(15－2n )张，
得⎩
⎪⎨⎪⎧ 800n ＋500n ＋1000(15－2n )≤12000800n ≤1000(15－2n )，解得427≤n ≤5514.
由n ∈N *，可得n ＝5，∴15－2n ＝5.
∴可以预订男篮比赛门票5张．。