第二节(复变函数)

cos 1 sh 2 i sin 1ch 2
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（四）极限与连续性
函数的极限 例
z 1 2 i
lim
x
2
y
2
2 xyi 5 4 i
内，
定义： 设 w
f z 定义在 z 0的去心邻域 0 z z 0
如果有一确定的数 A 存在， 对于任意给定的 0 , 相应地必有一正数 0 , 使得当 0 z z 0 时有
2i
sin 1 2 i sin 1 cos 2 i cos 1 i sin 2 i
sin 1ch 2 cos 1 ish 2 简
sh 1 2 i i sin 1 2 i i sin 1ch 2 cos 1 ish 2
2 ( z 2 i ) chz
cos iz chz chiz cos z
sin iz ishz shiz i sin z
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根式
n
za
其中的字母变量是复常数
对数函数
ln z ln( z e
iArgz
) ln z iArgz• z
iArgz
s
一般幂函 数s ln z ( s 为复数 ) e
e e
2y
e e
2 y
2 (sin 2 (cos
2
x cos x sin
2
x) x)
2y
2 y
2
2
完全可以大于1
双曲函数
如：z=i时 cosi=1.543>1
shz
1
(e e
z
z
) •hz c

1
(e e
z
z
)
2 sh ( z 2 i ) ••h ,c
§1.2
设E是一个复数
复变函数
（一）复变函数的定义
z x iy 的集合. 如果有一个确定的
法则存在，对于集合E中的每一个复数 z , 就有一个或多个 复数 w u iv 与之对应， 那末称w 是 z 的函数，记为
w f z
Z称为w的宗量，定义域为E
在复变函数中，我们重点研究的是解析函数 复变函数的例子
z z0
3 lim
f z g z
z z0

A B
B
0
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例：
证 明函 数 f z
Re z z
当 z z 0 时 的极 限 不 存在
.
证法1
令 z x iy ,
x x y
2 2
则 f z
x x y
2 2
ux, y
定理二
f z g z
g z 0 0 在 z 0 处 连 续
2 h g z 在 z 0 处连续 , w f h 在 h g z 0 处连续 w f
g z 在 z 0 处连续
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定理三
_
若
f (z)
在闭区域 D 上连续，则
z0
z 0的去心邻域： 0 z z 0
z 1
z 0为点集 G 的内点：
于 该邻域内的所有点都属 G z 0的一个邻域，
z 0为点集 G 的外点： Z0及其邻域不属于点集E，称为该点集的外点
P 为 D 的境界点： 但在 P 的任意小的邻域内 P D， 总包含有 D 中的点 D 的境界线 : D 的所有边界点
圆形域 环形域
z z0 r a z z0 b
闭圆域
闭环域
z z0 r a z z0 b
4
单连通域： 复平面上的一个区域B， 如果在其中任作一条简 单闭曲线，而曲线的内 部总属于B.
多连通域： 非单连通域.
多连通域
单连通域
多连通域
5
简单曲线或若尔当（Jardan）曲线: 没有重点的曲线
z
。
z x iy ，于是 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y )
表明：一个复变函数就是两个二元实变函数的有序组 合，因而研究一个复变函数，也就是研究两个实二元 函数。
2
（二） 区域的概念
满足一定条件的点集，称为区域
z 0的邻域：
z z0
,
v x , y 0v .
让 z 沿直线 y kx 趋于零，则有
x 0 y kx
lim u x , y lim limx源自x 0 y kx
lim
2
x

x y
2
x 0 y kx
1 k x
2
2
x

x 0 y kx
w z
2
w x y 2 xyi
2 2 3
w x y ixy 4
2
1
复变函数： 单值函数：一个z只有一个w值与之对应；如： 特别的，若在E内有两个不同的 z 1 和 z 2 ，使
z
2
f ( z1 ) f ( z 2 )
则称w在E内多叶的 z 2 ，否则是单叶的 az b 。 多值函数：一个z有多个w值与之对应 因
cos .
lim f z 不存在 .
z 0
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函数的连续性
定义：
如果 lim f z f z 0 ,
z z0
那 末 就 说 f z 在 z 0 处 连 续 .
如 果 f z 在 区 域 D 内 处 处 连 续 ., 那 末 就 说 f z 在 D 内 连 续 .
对数函数 ln z ln( z e
) ln z iArgz• 由于辐角不能
唯一确定，所以有无限多值。 复变函数lnz在z为负实数时仍然有意义！
ln z ln( z e
i i 2 n
) ln z i ( 2 n 1) •
9
例 计算 sin 1 2 i , sh 1 2 i
_
(1) (2)
f (z) 在
f (z)
D 上有界
_ _
在 D 上有最大值和最小值
(3) f ( z ) 在 D 上一致连续
例证 f ( z ) e 在原点不连续
证： 沿负实轴
lim e 0
z0
1 z
1 z
1 z
沿正实轴 lim0 e z

故函数在原点无确定的极限，从而在原点不连续。
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x x0 y y0
x x0 y y0
lim u x , y u 0 ,
lim v x , y v 0
定理二
lim f z A ,
z z0 z z0
lim g z B ,
z z0
1 lim f z g z A B ; 2 lim f z g z AB ;
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两个定理：
定理一
f z u x , y iv x , y 在 z 0 x 0 iy 0 处连续 u x , y , v x , y 在 x 0 , y 0 处连续 1 f z , g z 在 z 0 处连续
f z g z , f z g z ,
若沿边界走，区域在左方，则走向称为边界的正向。
3
区域是满足以下条件的点集：
（1）全由内点组成
（2）具有连通性，即点集中的任意两点都可以用一条折线连接
且折线上的点都属于点集 闭区域或闭域： 区域D与它的边界，记为 D D为有界域： 如果区域D被包含在一个以原点为中心的圆里面，
即 M 0 , z D , 都满足 z M .
z
令
三角函数
sin z 1 2i (e e
iz iz
)
cos z
1 2
(e e
iz
iz
)
sin( z 2 ) sin z•
cos( z 2 ) cos z
7
在实数域中， sin x 1, • cos x 1 复数域中其模为
sin z cos z 1 2 1 2
2 n

a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
b 0 b1 z b 2 z b m z
2
m
(m , n Z )

e e
z
x iy
e (cos y i sin y )
x
e e
z1
z2
e
z1 z 2
e
z 2 ki
e , • z i
sin 1 2 i e
2
e
i 1 2 i
e
i 1 2 i
2i 2 2 e cos 1 i sin 1 e cos 1 i sin 1 2i
cos 1
e
2
i sin 1
e
2
e 2i
2
（繁琐） sin 1ch 2 cos 1 ish 2
1 k x
2

2
1
1 k
2
lim u x , y 不存在， lim f z 不存在 . x0
y 0
z 0
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证法2
令 z r cos i sin , 则 f z
r cos r
让 z 沿不同射线 arg z 趋于零时，趋于不同的 值.