沪科版八级数学下册名师导学案：一元二次方程的解法——因式分解法
17.2.4一元二次方程解法—因式分解法 教案-2020-2021学年沪科版八年级数学下册
1、正确理解因式分解法的实质。
2、熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程。
三、自学提纲：
自学课本28-29页内容，思考以下问题：
1、对于方程x2+x=0 ， 除了配方法、公式法外，还有没有更简便的方法解这个方程呢？
2、理解因式分解法。
四、合作探究：
1、方程：x2+x=0
你可以有哪些方法解这个方程？除了配方法、公式法外，还有没有更简便的方法解这个方程呢？
（1）25x2-36=0（2）
例4、用因式分解法解方程
x2-5x+6=0
小试牛刀:
(1)x2-8x+12=0 (2) x2-x-12=0
六、课堂练习：
课本30页练习1、2、3、4
（1）、（x- ）（x- ）=0
（2）、4x2-3x=0
（3）、3(x+1)=x(x+1)
（4）、x2-6x-7=0
七、课堂小结:
解：x(x+1)=0
∴x=0或(x+1)=0
则x1=0，x2=-1
2、上述解法中，通过因式分解，将一个一元二次方程化为两个一元一次方程来求解方法叫做因式分解法。
3、因式分解法理论是如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零。
若AB=0,则A=0或B=0
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1)x(x-2)=0
回忆前面所学有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习 做好铺垫.通过此题学生会更好培养学生的思维能力。
以学生为主体，给学生充分自学空间。
理解使用因式分解法的方程特点，即方程的一边是0，另一边易于分解因式．同时，还要让学生体会一题多解及方 法的灵活选择.体会右化零、左分解、两方程、各求解。灵活选择简便的方法。
2023-2024学年(沪科版)八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的解法——因式分解法
2023-2024学年（沪科版）八年级数学下册名师教学设计：一元二次方程的解法——因式分解法一. 教材分析《2023-2024学年（沪科版）八年级数学下册》中一元二次方程的解法——因式分解法，是学生在学习了方程的解法、一元二次方程的定义及判别式等知识后，进一步学习一元二次方程的解法。
因式分解法是一元二次方程的一种重要解法，它把一元二次方程转化为两个一次因式的方程，使问题变得简单。
本节课的教学内容，旨在让学生掌握因式分解法解一元二次方程的方法，提高学生解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元一次方程的解法，对解方程的过程有一定的了解。
同时，学生已经学习了因式分解的知识，对因式分解的方法和步骤有一定的了解。
但学生对一元二次方程的解法——因式分解法可能还比较陌生，需要通过本节课的学习，让学生理解和掌握这一方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解一元二次方程的解法——因式分解法，并能运用因式分解法解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的解法——因式分解法。
2.难点：如何判断一元二次方程是否可以通过因式分解法求解，以及如何运用因式分解法解一元二次方程。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探究。
2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
3.实践操作法：学生通过动手操作，实践因式分解法解一元二次方程的过程，提高学生的实践能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师准备PPT，内容包括一元二次方程的定义、判别式、因式分解法等。
2.学生准备：学生准备笔记本，用于记录学习内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾一元一次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
沪科版八年级数学下册17.2一元二次方程的解法---因式分解法教学课件 (共17张PPT)
（1）用简便方法计算：
20052 4010 2003 20032 20052 2 2005 2003 20032
(2005 2003)2
4
（2）将4x2 1 再加上一项，使它成为完全平
方式，你有几种方法？
说能出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
a 2ab b （1）形如____________2____形式的多项式可以2 用完全平方公式分解因式。
1. 将方程左边因式分解，右边等于0;
2. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个 一元一次方程.
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
（3）利用十字相乘法：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 解：(x 1)(x 7) 0
1 1
x 1 0或x 7 0
1 7
x1 1, x2 7
例题
☞
(1) x2_5x+6=0
解下列方程: (2)(x+4)(x-1)=6
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
解: x 4 (5 2x).
x1 3, x2 1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地 面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:设小圆形场地的半径为r.
(r 5)2 2r2
r2 10r 25 0
r 10 200 . 2
负值舍去,r 5 5 2.
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
八年级数学下册(沪科版)《一元二次方程的解法(3)》导学案
17.2一元二次方程的解法（3）导学案学习目标：1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.2.会用因式分解法解一元二次方程.学习重点：用因式分解法解一元二次方程.学习难点：方程中含有无理系数，需将常数项2看成2，才能分解因式，是本节的难点.课前预习问题：1. 将下列各式分解因式：22222(1)3 (2)49 (3)(34)(43) (4)2y y x x x x ------+思考：把一个多项式化成 的 的形式叫做因式分解.2、你能利用因式分解解下列方程吗？22(1)30 (2)49y y x -==学生练习后总结：像上面这种利用 解一元二次方程的方法叫做因式分解法.看看你的预习效果：3.你认为用因式分解法解一元二次方程应先考虑的条件是： .4.你能初步总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？课堂合作学习，探究新知：1.例4 用因式分解法解方程2 560x x -+=注意结构特点：方程的右边是0，左边可以分解成两个一次因式的积.用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.2.例5 解下列一元二次方程：()22 +-=-=--=-(3)x x x x x x x(1)(4)(1) 6 (2)22(34)(43)注意突出整体的思想：把x-2及3x-4和4x-3看成整体；还要突出化归的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解，同时要认真板演，强调书写格式，两个一元一次方程之间的连结词要用“或”，而不能用“且.想一想：将第（1），（2），（3）题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？x=-3.例6 （补充）解方程22在本例中出现无理系数，要注意将常数项2看成2，另外对于方程中出现两个相等的根，要做好板书示范.体会分享：能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的右边是，左边可以分解成两个的积；2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3.用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.4.用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为零；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.5.数学思想：整体思想和化归思想.当堂作业：1.用因式分解法解下列方程：2(1) 8x x = 2(2) 5+20x x = 2(3) (2)2(2)0x x ---=2(4) 34x x +=； 2(5) (1)2(2)x x -=-2.若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗？。
导学案：一元二次方程的解法—因式分解法
导学案：一元二次方程的解法—因式分解法一、【课前回顾】1.因式分解的方法有_____________________________________2.把下列式子进行因式分解，并说明用哪种方法（1）2x2-4x＝______________________；( )（2）x2-4＝________________________；( )（3）x2 -4x -12＝____________________；( )二、【探究新知】1.解下列方程，从中你能发现什么新的方法？（1）2x2-4x＝0；（2）x2-4＝0．(3)x2-3x-10=0【归纳】利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法．2.【例1】解方程：(1) x 2-11x+28=0 (2) x2=2x (3) (x+3)(x-1)=5【例2】解方程：⑴x(x-2)+x-2=0 ⑵3x(x+2)=5(x+2)⑶(3x+1)2-5=0 ⑷x2-6x+9=（5-2x）2三、【练习巩固】1、说出下列方程的根：（1）(8)0x x -= （2）(31)(25)0x x +-=2、用因式分解法解下列方程：(1) (41)(57)0x x -+= (2) 2x (3) 3(1)2(1)x x x -=-(4) 2(1)250x +-= (5) 22(3)9x x -=- (6) 2216(2)9(3)x x -=+四、【作业报置】1、方程(3)0x x +=的根是（ ）A .10x = 20x =B .13x = 23x =C .10x =23x =D .10x = 23x =-2、下列方程适合用因式分解法的是（ ）A .210x x ++=B .22310x x -+=C .2230x x ++=D .2(1)1x x -=-3、方程22(1)1x x +=+的根是________________。
新泸科版八年级数学下册名师导学案：一元二次方程
【学习目标】1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义．2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．【学习重点】一元二次方程的意义及一般形式．【学习难点】正确识别一般式中的“项”及“系数”．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解．解题思路：判断一个方程是否为一元二次方程，不能光看其表面形式，要根据整理(去括号，移项，合并同类项)以后的结果来确定．情景导入生成问题旧知回顾：1．什么是一元一次方程？答：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等式两边都是整式，这样的方程叫一元一次方程．2．根据题意列出方程，并判断是否为一元一次方程？(1)面积为900 m2的一块绿地，长比宽多10 m，求绿地长和宽各为多少米？(2)一个小组的同学元旦见面时，每两人都握手一次，所有人共握手28次，求小组同学数x.解：(1)设绿地宽为x m，列方程得x(x＋10)＝900，整理得x2＋10x－900＝0；(2)由题意得x （x －1）2＝28，整理得x 2－x －56＝0. 以上所列方程均不是一元一次方程．自学互研 生成能力知识模块一 一元二次方程【自主探究】阅读教材P 19～20，完成下面的问题：什么是一元二次方程？举例说明．答：像x 2＋2x －1＝0，x 2－36x ＋35＝0这样的方程，都是只含有一个未知数，并且未知数最高项次数是2的整式方程叫做一元二次方程．范例1：下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( A )A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B .1x 2＋1x－2＝0 C ．x 2－1＝y D ．x 2＋2x ＝x 2－1仿例：方程(m ＋2)x |m|＋3mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则( B )A ．m ＝±2B ．m ＝2C ．m ＝－2D ．m ≠±2范例2：(百色中考)已知x ＝2是一元二次方程x 2－2mx ＋4＝0的一个解，则m 的值为( A )A ．2B ．0C ．0或2D ．0或－2仿例：若m(m ≠0)是关于x 的一元二次方程x 2＋nx ＋m ＝0的根，则m ＋n ＝－1． 学习笔记：要注意一元二次方程的定义中二次项系数不能为0，一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)，一定要掌握它的特征．行为提示：在群学后期教师可有意安排每组的展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示，有补充、有质疑、有评价穿插其中．学习笔记：检测可当堂完成.知识模块二 一元二次方程的一般形式阅读教材P 20，完成下列问题：一元二次方程的一般形式是什么？答：一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．其中，二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c.范例3：一元二次方程x 2－2(3x －2)＋(x ＋1)＝0的一般形式是2仿例：一元二次方程2x 2－1－3x ＝0的二次项系数是2，一次项系数是－是－1． 知识模块三 根据实际问题列方程范例4：现代化教学设备实现“班班通”，某市2014年安装“班班通”多媒体设备的经费是144万元，2016年安装“班班通”多媒体设备的经费是300万元．若设这两年安装“班班通”多媒体设备的经费平均增长率为x ，则可列方程144(1＋x)2＝300．仿例1：如图是一张长9 cm 、宽5 cm 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12 cm 2的一个无盖长方体纸盒．设剪去的正方形的边长为x cm ，可列出关于x 的方程为(9－2x)(5－2x)＝12，化简得4x 2－28x ＋33＝0． 仿例2：有几位同学约定，在新年零点钟声敲响后，互通电话祝福，他们通话的总次数为21次，求参与约定的同学数x.可列方程为x （x －1）2＝21，化简为x 2－x －42＝0. 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 一元二次方程知识模块二 一元二次方程的一般形式知识模块三 根据实际问题列方程检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
2018-2019学年(沪科版)八年级数学下册名师导学案：一元二次方程的解法——因式分解法
一元二次方程的解法——因式分解法【学习目标】1．正确理解因式分解法的实质,熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．2．进一步体会转化的思想,能选择恰当的方法解一元二次方程．【学习重点】用因式分解法解一元二次方程．【学习难点】正确理解AB＝0⇔A＝0或B＝0.行为提示:点燃激情,引发学生思考本节课学什么．行为提示:教会学生怎么交流,先对学,再群学．充分在小组内展示自己,分析答案,提出疑惑,共同解决．解题思路:归纳:因式分解法是解一元二次方程最常用的方法,它简单易行,能迅速解题,但它的缺陷是只适用一些特殊的方程,即方程左边能分解因式且右边为0.情景导入 生成问题旧知回顾:1．一元二次方程的求根公式是什么？答:求根公式x ＝－b±b 2－4ac 2a(a ≠0,b 2－4ac ≥0)． 2．把下列各式因式分解:(1)2x 2－x ；(2)x 2－16y 2；(3)9a 2－24ab ＋16b 2解:(1)原式＝2x(x －1)；(2)原式＝(x ＋4y)(x －4y)；(3)原式＝(3a －4b)2.3．如果a·b ＝0,则可得a ＝0或b ＝0．自学互研 生成能力知识模块一 因式分解法解一元二次方程【自主探究】阅读教材P 28～29,完成下列问题:因式分解法依据的原理是什么？什么是因式分解法？答:依据:如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个是0；反过来,如果两个因式中有一个等于0,则它们的积就等于0.通过因式分解,将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．范例1:用因式分解法解方程:(1)(1＋2)x 2－(1－2)x ＝0；解:[(1＋2)x －1＋2]x ＝0,x 1＝0,x 2＝－3＋22；(2)(2x －1)2－10(2x －1)＋25＝0；解:(2x －1－5)2＝0,(2x －6)2＝0,x 1＝x 2＝3；(3)(x －1)(x ＋2)＝2x ＋4.解:(x－1)(x＋2)－2(x＋2)＝0,(x＋2)(x－1－2)＝0,x＋2＝0或x－3＝0,x1＝－2,x2＝3.学习笔记:归纳:从范例2可看出,符合(x＋n)2＝a(a≥0)的形式选用直接开方法；方程左边能因式分解,且右边为0的形式应该用因式分解法,若不能用因式分解法,再考虑公式法或配方法．行为提示:找出自己不明白的问题,先对学,再群学,对照答案,提出疑惑,小组解决不了的问题,写在小黑板上,在小组展示的时候解决．学习笔记:检测可当堂完成． 仿例1:方程(x －3)(x －1)＝x －3的解是( D )A ．x ＝2B ．x ＝3C ．x ＝3或x ＝1D ．x ＝3或x ＝2仿例2:经计算,整式x ＋1与x －4的积为x 2－3x －4,则x 2－3x －4＝0的解为( B )A ．x 1＝－1,x 2＝－4B ．x 1＝－1,x 2＝4C ．x 1＝1,x 2＝4D ．x 1＝1,x 2＝－4仿例3:用因式分解法解下列方程: (1)3x 2－6x ＝0; (2)(3x ＋2)2－4x 2＝0；解:x 1＝0,x 2＝2； 解:x 1＝－25,x 2＝－2；(3)5(2x －1)＝(1－2x)(x ＋3); (4)2(x －3)2＋(3x －x 2)＝0.解:x 1＝12,x 2＝－8; 解:x 1＝3,x 2＝6.知识模块二 选用适当方法解一元二次方程范例2:请选择合适的方法填在横线上．(1)解方程x 2＝23x,用因式分解法较合理；(2)解方程7x 2－127x ＋2＝0,用公式法较合理；(3)解方程x 2－2x －1999＝0,用配方法较合理；(4)解方程16(x －1)2＝9,用直接开方法较合理．仿例:对方程(1)(2x －1)2＝5；(2)x 2－x －1＝0；(3)x(x －3)＝3－x,选择合适的解法是( B )A ．因式分解法、公式法、因式分解法B ．直接开平方法、公式法、因式分解法C ．公式法、配方法、公式法D ．直接开平方法、配方法、公式法交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”．知识模块一因式分解法解一元二次方程知识模块二选用适当方法解一元二次方程检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获:________________________________________________________ ________________2．存在困惑:________________________________________________________ ________________。
沪科版八年级下册数学17.2 一元二次方程的解法 ——因式分解法 (共18张PPT)
你荒废了时间， 时间就把你荒废了
----莎士比亚
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。
(沪科版)八年级数学下册名师 精品导学案：一元二次方程的应用(2)
一元二次方程的应用(2)【学习目标】1．使学生掌握运用去分母或换元的方法解可化为一元二次方程的分式方程；使学生理解转化的数学基本思想．2．使学生能够利用最简分母进行验根．【学习重点】掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法．【学习难点】使学生认识解分式方程必须检验的道理，且方程的解符合实际问题的要求．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．归纳：分式方程化为整式方程后有两种形式：一种为一元一次方程，一种为一元二次方程，所求的解必须检验是否为原分式方程的解．情景导入 生成问题旧知回顾：怎样解分式方程？怎样进行检验？1x ＋2＋4x x 2－4＋22－x＝1. 解：方程两边同乘(x ＋2)(x －2)得，x －2＋4x －2(x ＋2)＝x 2－4，x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2，检验：把x ＝2代入(x ＋2)(x －2)，(x ＋2)(x －2)＝0，∴x ＝2不是原方程的解，原方程解为x ＝1.自学互研 生成能力知识模块一 可化为一元二次方程的分式方程【自主探究】阅读教材P 43～44，完成下列问题：如何解可化为一元二次方程的分式方程？答：分式方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为一元二次方程(整式方程)，解一元二次方程，并检验所求得的根是否为分式方程的根．范例1：解方程：6x x 2－1＋5x －1＝x ＋4x ＋1. 解：去分母得6x ＋5(x ＋1)＝(x ＋4)(x －1)，整理得x 2－8x －9＝0，所以x 1＝－1，x 2＝9.经检验，x 1＝－1是增根，x 2＝9是原方程的根，所以原方程的根是x ＝9.仿例：把分式方程4x －1x －1＝1去分母，并整理为一元二次方程的一般形式，得x 2－4x ＋4＝0．学习笔记：解分式方程必须检验．检验分两步进行，一是所求方程的解，二是所求方程的解是否使实际问题有意义．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充、纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成.知识模块二 可化为一元二次方程的分式方程应用题范例2：(天津中考)甲、乙两地间铁路长2 400 km ，经技术改造后，列车实现了提速，提速后比提速前增加20 km /h ，列车从甲地到乙地行驶时间减少4 h ．已知列车在现有条件下完全行驶的速度不超过140 km /h .请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？解：设提速后列车速度为x km /h ，则2 400x －20－2 400x ＝4，∴x 1＝120，x 2＝－100(舍去)，经检验，x ＝120是原方程的根．∵120＜140，∴仍可再提速．仿例1：某市为处理污水，需铺设一条长为4 000 m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10 m ，结果提前20天完成任务．设原计划每天铺设管道x m ，则可列方程4 000x －4 000x ＋10＝20． 仿例2：(嘉兴中考)杭州市到北京的铁路长1 487 km .火车的原平均速度为x km /h ，提速后平均速度增加了70 km /h ，由杭州到北京的行驶时间缩短了3 h ，则可列方程为1 487x －1 487x ＋70＝3．仿例3：某商店以2 400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中赢利350元，则每盒茶叶的进价为( A )A ．40元B ．50元C ．60元D ．70元仿例4：甲、乙两班学生绿化校园，如果两班合作6天可以完成，如果单独工作，甲班比乙班少用5天，那么甲、乙两班单独工作分别需要10天和15天．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 可化为一元二次方程的分式方程知识模块二 可化为一元二次方程的分式方程应用题检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________ 教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
沪教版八年级数学-一元二次方程的解法因式分解教师版
一元二次方程的解法因式分解知识精要 1. 十字相乘一般地，))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++十字相乘法的关键：把常数项分解成两个数的乘积，并且满足这两个数相加等于一次项系数；（口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中）2．因式分解法解一元二次方程：通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于零的形式，再使两个一次式分别 等于0，这种解法，叫做因式分解法。
一般步骤：（1） 将方程右边化为0（2） 将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程 （3） 令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程 （4） 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 精解名题 例1解方程： （1）0232=+x x ； （2）x x 232=； （3）280x x +=； （4）2540x x -=. 【答案】（1）30,2x x ==-；（2）20,3x x ==；（3）0,8x x ==-；（4）40,5x x ==. 例2解方程：（1）2320x x -+=； （2）22480x x +-=； （3）23540x x --=； （4）25500x x +-=；【答案】（1）2,1x x ==；（2）6,8x x ==-；（3）6,9x x =-=；（4）5,10x x ==-例3. 用因式分解法解方程：（1）022=+x x （2）x x 1142=（3）()4222-=-x x （4）2(3)4(3)0x x x -+-=解：（1）2x 2+x=x （2x+1） ∴x=0或2x+1=0， ∴x 1=0，x 2=-12． （2）移项，得：4x 2-11x=0 因式分解，得：x （4x-11）=0 于是，得：x=0或4x-11=0 ∴x 1=0，x 2=114(3) 移项，得（x-2）2-2x+4=0 （x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 得x-2=0或x-4=0 ∴x 1=2，x 2=4 (4) (3)(34)0x x x --+= (3)(53)0x x --=30x -=或530x -= 12335x x ==，例4.用十字相乘法解下列方程(1) 027122=++x x (2) 0562=+-x x(3) 0453142=--x x (4) 0242232=-+-x x(5) 012132=+-x x (6) 07432=-+x x(7) 04432=+--x x (8) 01872=--x x例5．将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a b c d ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x = ． 解析：本题中给出了2阶行列式定义，让考生根据定义规定的运算法则，从1111x x x x +--+6=中，提炼出一元二次方程()()()()11116x x x x ++---=，化简、整理，得224,x x =∴=答案：例6:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0． 当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0．(2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程． 分解因式，得［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0， ∵a ＋b ≠0且a －b ≠0，∴x 1＝b a a b +-，x 2＝ba ba -+． 说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例7:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x 与y 的比值．解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时，135y 13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--．当x ＝－y 时，21y4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2． 说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用．例8 解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0解 我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2． 当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗 热身练习1.方程x 2－2x －3=0的根是 x 1＝3，x 2＝-1． ． 2．如果a 2－5ab －14b 2=0，则bba 532+= 17/5或-1/5 . 解析：∵a 2—5ab —14b 2＝0，∴（a —7b ）（a +2b ）＝0，∴ a ＝7b 或a ＝—2b ．∴23172315555a b a b bb ++==-或 3．用因式分解法解下列方程（1）0432=--x x （2）0672=+-x x （3）0542=-+x x 解（1）∵x 2-3x-4=（x-4）（x+1） ∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0 ∴x 1=4，x 2=-1（2）∵x 2-7x+6=（x-6）（x-1） ∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0 ∴x 1=6，x 2=1 （3）∵x 2+4x-5=（x+5）（x-1） ∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0 ∴x 1=-5，x 2=1 4．适当的方法解方程:9x(x ＋4)=7(x ＋4)022=--x x05922=--x x5．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；(3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．解答 (1)x 2－4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，(x －2a )2＝(a －1)2，∴x －2a ＝±(a －1)， ∴x 1＝3a －1，x 2＝a ＋1．(2)x 2＋(5－2k )x ＋k 2－5k －6＝0，x 2＋(5－2k )x ＋(k ＋1)(k －6)＝0， ［x －(k ＋1)］［x －(k －6)＝0， ∴x 1＝k ＋1，x 2＝(k －6)．(3)x 2－2mx ＋m 2＝9m 2，(x －m )2＝(3m )2∴x 1＝4m ，x 2＝－2m(4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0，(x ＋m )［x ＋(m ＋1)］＝0，∴x 1＝－m ，x 2＝－m －16．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx yx +-的值． 解(x ＋4y )(x －y )＝0，x ＝－4y 或x ＝y当x ＝－4y 时，y x y x +-＝3544=+---y y y y ；当x ＝y 时，y x y x +-＝yy yy +-＝0．7．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．解 (x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)－12＝0，(x 2＋y 2)2－(x 2＋y 2)－12＝0， (x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋3)＝0，∴x 2＋y 2＝4或x 2＋y 2＝－3(舍去) 五．解方程（1） ()()24222=-+•+x x x x （2）062=--x x解：（1）（x 2+ x ）（ x 2+ x —2）＝24，整理得 （x 2+ x ）2—2（x 2 + x ）—24＝0，∴（x 2+ x —6）（ x 2+ x +4）=0．∴x 2+ x —6＝0．x 2+ x +4＝0由x 2+ x —6＝0得x 1＝-3，x 2＝2． 方程x 2+ x +4＝0无解． ∴原方程的根是x ＝-3或x ＝2．（2）062=--x x ，即062=--x x ，解得x ＝3或x ＝-2（舍去），x 1＝3，x 2＝-3．∴原方程的根是x ＝3或x ＝-3． 自我测试1. 已知：关于x 的方程()1222-=--x ax x a 是一元二次方程，求a ≠3 。
新沪科版八年级数学下册《17章 一元二次方程 17.2 一元二次方程的解法 因式分解法》教案_6
17.2.4一元二次方程的解法----因式分解法一．教学目标：(一)．知识与技能：1．能快速、准确地进行因式分解．2．熟练运用因式分解法解一元二次方程．(二)过程与方法：通过新方法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力及探索精神．(三)．情感、态度与价值观：1.通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想。
2.培养学生分析问题、解决问题的能力及探索精神。
3.增强学生学习数学的自信心。
二．教学重难点：教学重点：用因式分解法解一元二次方程式。
教学难点：一元二次方程的整理与分解，以及运用中的有关代数式的变换，准确进行因式分解。
三．教学方法：根据本节课的教材特点，我主要采用了引导发现法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，引导学生自主探索，动手实践，合作交流。
这种教学方法有利于提高学生的数学素养，能有效地激发学生的思维积极性，学生在学习过程中调动各种感官，进行观察、比较、归纳、猜想与证明，四、教学过程(一)．复习引入我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?直接开平方法配方法公式法问：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是多少？你是怎样求出来的？解法一：.03:2=-xx解.914)3(2=⨯⨯--.293±=∴x解法二：得由方程解,3:2xx=.032=-xx().03=-∴xx.03,0=-=∴xx或.30或这个数是∴（二），讲授新课1.ab=0零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．“或”有下列三层含义①a ＝0且b ＝0②a ≠0且b ＝0③a ＝0且b ＝02.把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.3.当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.提示:(1).用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;(2).关键是熟练掌握因式分解的知识;(3).理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”4.因式分解的方法有那些?（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:2a -2b =(a+b)(a-b),222)(2b a b ab a ±=+±.（3）十字相乘法:2x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).2．例1 1. 2x -4=0; 2. 2)1(+x -25=0. 解：(x+2)(x-2)=0 解：[(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+2=0,或x-2=0. ∴x+6=0,或x-4=0.∴1x =-2, 2x =2. ∴1x =-6, 2x =4. 教师提问、板书，学生回答．分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．例2 用因式分解法解方程 (1)x(x-2)+x-2=0;,4324125)2(22+-=--x x x x (),02)2(=-+-x x x 解：()().012=+-x x.01,02=+=-∴x x 或 .1,221-==∴x x,014,,:2=-x 得：合并同类项移项解().012)12(=-+x x.012,012=-=+∴x x 或.21;2121=-=∴x x （三）巩固提高例3 解方程（1）3（x-2）-x （x-2）＝0．解：原方程可变形为（x-2）（3-x ）＝0．∴ x-2＝0或3-x ＝0．∴ 1x ＝2，2x ＝3．教师板演，学生回答．此方程不需去括号将方程变成一般形式．对于总结的步骤要具体情况具体分析．（2）2)23(+x =42)3(-x .解：原式可变形为2)23(+x -42)3(-x ＝0．[（3x ＋2）＋2（x-3）][（3x ＋2）-2（x-3）]＝0即：（5x-4）（x ＋8）=0．∴ 5x-4＝0或x ＋8＝0．学生练习、板演、评价．教师引导，强化．6．2)24( x ＝x （2x ＋1）．学生练习、板演．教师强化，引导，训练其运算的速度．（四）小结1．因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）化方程为一般形式；（2）将方程左边因式分解；（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．但要具体情况具体分析．3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．（五）练习P29（六）、布置作业教材P ．29页T5，T6。
沪科版八年级数学下册导学案设计：17.2一元二次方程解法4因式分解法(无答案)
班级：组别：姓名：组内评价：教师评价：
17.2 一元二次方程的解法（因式分解法）
【学习目标】
1.知道因式分解法解一元二次方程的意义，会利用因式分解法解一元二次方程.
2.能根据一元二次方程的特点灵活选择合适的方法解方程.
3.通过选择合适的方法解方程，体会解决问题的多样性.
4.学会与他人合作，积极探索方程的不同解法，勇于发表自己的观点.
【导学过程】
一、预习导学
1、自学成才
（1）自主填空
当a=0时，ab = ；当b = 0 时，ab = ；
当ab = 0时，则a = 或 b = 。
（2）思考探讨：你能用文字语言叙述上述结论吗？
（3）学以致用：你能用上述结论解方程（x + 3）（x – 3）= 0 吗？试一试！
你能解方程x2– 9 = 0 吗？
（4）思考：上述解方程的过程，通过因式分解，将一个转化为两个。
（5）因式分解法：
2、合作探讨：如何用因式分解法解一元二次方程？
（1）先将方程化为;
（2）再把方程左边；
（3）然后根据“若ab = 0时，则a = 或b = ”将方程化为两个，最后求解。
3、牛刀小试：阅读课本“例题4”然后解下列方程：
（1）x2 + 3x = 0 （2）x2 = x 二、合作探究
1、
2、
3、下列解方程的过程正确吗？为什么？如果不正确，如何改正？
（x + 4）（x – 1）= 6
则x + 4 = 6 或x – 1 = 6
∴x1 = 2x2 = 7
三、达标测评
四、收获与反思：
1、自我判别：对照“学习目标”，，我学会了哪些？
2、葵花宝典（有何收获？）：
四、达标测评。
沪科初中数学八下《17.2一元二次方程的解法-因式分解法》教案3
《17.2.3 一元二次方程的解法-因式分解法》教学目标：使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系；能够利用乘法公式对简单的多项式进行因式分解．教学重点：理解因式分解的意义；识别分解因式与整式乘法的关系．教学难点：运用乘法公式进行因式分解．教学过程：一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容．复习与回顾：整式的乘法，计算下列各式：x （x +1）= ； （x +1）（x –1）= ．讨论：630能被哪些数整除?在小学我们知道，要解决这个问题需要把630分解成质数乘积的形式：75326302⨯⨯⨯=，类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式．问题1：把下列多项式写成两个整式的乘积的形式：（1）x x +2＝______________；（2）12-x ＝___________．学生活动设计学生独立思考，发现由于x （1＋x ）＝x x +2、（x －1）（x ＋1）＝12-x ，得到上述问题的答案：（1）x x +2＝x （1＋x ）；（2）12-x ＝（x －1）（x ＋1）．教师活动设计：让学生独立完成上述问题，在解决问题的过程中体会上述过程与整式乘法的关系，初步理解因式分解；进而引导学生观察上述等式从左到右的过程与整式乘法的联系，作以下归纳： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫做因式分解，也叫做分解因式． 问题2：谈谈你对整式乘法和因式分解的理解．师生活动设计：在学生讨论的基础上，让学生作以下分析：因式分解是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式；而整式乘法是把几个整式乘积的形式化为多项式，所以因式分解与整式乘法是相反的变形．练习：理解概念判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解?（1）x 2－4y 2=（x +2y ）（x －2y ）； （2）2x （x －3y ）=2x 2－6xy ；（3）（5a －1）2=25a 2－10a +1； （4）x 2+4x +4=（x +2）2；（5）（a －3）（a +3）=a 2－9； （6）m 2－4=（m +2）（m －2）；（7）2πR +2πr = 2π（R +r ）．二、主体探究、合作交流，探究因式分解的方法问题3：分解因式ma ＋mb ＋mc ．学生活动设计学生根据对因式分解概念的理解以及因式分解和整式乘法的关系，自主探索上述问题的答案，从探索的过程中总结这种分解因式的方法——提公因式法．学生分析：多项式中的各项都含有因式m ，因此可以把m 提出来得到：ma ＋mb ＋mc ＝m （a ＋b ＋c ）． 教师活动设计：适当提醒和启发，引导学生对这种因式分解的特点进行归纳，进而得到：多项式中各项都有的因式，叫做这个多项式的公因式；把多项式ma +mb +mc 分解成m （a +b +c ）的形式，其中m 是各项的公因式，另一个因式（a +b +c ）是ma +mb +mc 除以m 的商，像这种分解因式的方法，叫做提公因式法．巩固练习：说出下列多项式各项的公因式（1）ma +mb ； （2）4kx －8ky ；（3）5y 3+20y 2； （4）a 2b －2ab 2+ab ． 提公因式的方法：（1）系数的最大公约数作为公因式的系数；（2）相同字母的最低次数作为公因式中的字母部分．例1：分解因式把c ab b a 323128-．分析：应先找出238b a 与c ab 312的公因式，再提公因式进行分解．例2：把2 a （b ＋c ）－3（b +c ）分解因式．分析：（b +c ）是这两个式子的公因式，可以直接提出． 2()3()a b c b c +-+解：)32)((-+=a c b ．随堂小测：问题4：你能将多项式x 2－16和多项式m 2－4n 2因式分解吗？这两个多项式有着什么共同特点？。
【最新沪科版精选】沪科初中数学八下《17.2一元二次方程的解法-因式分解法》教案2.doc
《17.2.3一元二次方程的解法-因式分解法》一、教学目标知识与技能目标1、是学生了解因式分解的意义，理解因式分解与整式乘法的联系与区别．2、掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如x2+（p+q）x+pq的多项式因式分解，培养学生应用因式分解解决问题的能力．过程与方法目标1、通过了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体事物之间可以相互转化的辩证思想．2、经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法．3、培养学生全面观察问题、分析问题和逆向思维的能力．情感与态度目标1、通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想．2、培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度以及创新意识．二、教学重点、难点教学重点：因式分解的概念与目的；用提公因式法和公式法分解因式（学生习惯依葫芦画瓢，作题有时不理解题目要求，常常把分解因式的题做成多项式的乘法．让学生理解因式分解的目的是很重要的．讲讲因式分解的作用可以帮助学生理解因式分解的目的．）教学难点：因式分解的方法，特别是公式法；分组分解法和形如x2+（p+q）x+pq的多项式的因式分解．（在以往的教学中发现，学生在使用公式法分解因式时不够灵活，易出错．原因是不能理解公式中a、b是变量，可以变成其它的式子，单项式或多项式；两个公式只是两种计算规律．学生的思维往往被公式中a、b这两个字母迷惑．）关键点：对公式的结构特征应做出具体分析，掌握公式的特点，加深理解，并培养学生在多变的情况运用公式．三、教学过程（一）设置问题，以趣激情兴趣是最好的老师，可以激发情感，唤起某种动机，从而引导学生成为学习的主人．若能利用短短几分钟时间，在刚开始就激发学生的兴趣，这正是老师追求的一个目标．所以我设置以下的问题：手工课上，老师给小王同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你，你能帮助小王同学解决这个问题吗？（留一定的时间让学生思考、讨论，在学生感到新奇又不知所措的过程中积蓄了强烈的求知欲望．设置悬念，无疑对整节的学习也创设了良好的情绪状态．）（二）以旧探新，引出课题因式分解的概念类同于因数分解的概念，借助于学生已有的整式乘法的基础，给学生提供一些问题背景，同时给学生留有充分探索的空间，．这个环节围绕几个问题展开，在积极的状态下，用类比的方法，找到新知生长点，把数的有关知识正迁移到式，由学生自己给出因式分解的名称，引出课题，显得顺理成章．利用多媒体课件，依次出示，让学生回答．1．（回顾旧知）计算：（1）a （a +1）；（2）（a +b ）（a –b ）；（3）（a +1）2在前一章已学过整式乘法，学生不难得出正确答案；2．接着提出：把上述等式反过来看，等式是否还成立？由等式性质学生应该很快得出肯定地答案：（1）a 2+a =a （a +1）；（2）a 2–b 2=（a +b ）（a –b ）；（3）a 2+2a +1=（a +1）2．3．这时再请学生观察、比较以上2题两种代数式变形的例子，它们之间有什么区别和联系？右边是一个多项式；第（2）小题是把一个多项式化成几个整式的积的形式，左边是一个多项式，右边是几个整式的积，两者的过变形刚好相反．此时教师可马上点题，在小学里，我们已学过：2×32×5×7=630称为整数乘法，反之630=2×32×5×7称为因数分解，类似于因数分解，我们可把右边多项式转化为几个整式的积这种变形称之为什么？从而由学生自己得出本节课的课题《因式分解》并由学生归纳出因式分解的定义：一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做这个多项式的因式分解．（三）层层递进，巩固新知趁此时学生处在一个积极思维的状态，教师给出两个练习1．列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？（1）2m （m －n ）=2m 2－2mn （2）)(21212a b ab ab ab -=- （3）4x 2－4x +1=（2x －1）2（4）x 2－3x +1=x （x －3）+12．填空：（1）∵3a （a +4）=3a 2+12a ∴3a 2+12a =（ ）（ ）；（2）∵（a +3）2=a 2+6a +9∴a 2+6a +9=（ ）（ ）；（3）∵（2－a ）（2+a ）=4－a 2∴4－a 2=（ ）（ ）；通过此练习，引导学生归纳自己对因式分解的理解，师生归纳要注意的问题：（1）因式分解是对多项式而言的一种变形；（2）因式分解的结果仍是整式；（3）因式分解的结果是几个整式的积的形式；（4）因式分解与整式乘法正好相反．△这安排是为通过尝试教学，引导学生主动探求，造求学生自主学习的积极势态，通过一定的练习，达到知觉水平上的运用，加深学生对因式分解概念的理解，从而突出本节课的重点，其中练习（2）的安排是让学生感受到因式分解是整式乘法的逆过程，由此寻求因式分解的方法，为下一个环节例题的讲解作了个铺垫，降低了本节课的难点．（四）范例教学，练习反馈1、检验下列因式分解是否正确：（1）x 2y －xy 2=xy （x －y ）（2）2x 2－1=（2x +1）（2x －1）（3）x 2+3x +2=（x +1）（x +2）（给学生一定的时间思考讨论，教师适当引导，最后教师给出完整的板书）2、为了进一步淡化难点，完全放手让学生自主进行，充分暴露学生的思维过程，展现学生生动活泼、主动求知和富有的个性，使学生真正成为学习的主体，使因式分解与整式的乘法的关系得到正强化．同时也分散了本节课的难点，我马上让学生模仿我的解题尝试练习： 要使等式3857192()()()a b ab b a a b ---=-（ ）成立，则括号内应填上（ ）．A ．27222a ab b -+B ．2222a ab b -+C ．223a b ab -+D ．223a b ab --让学生上台板书，我及时点拨讲评．。
新沪科版八年级数学下册《17章 一元二次方程 17.2 一元二次方程的解法 因式分解法》教案_11
17.2 一元二次方程的解法因式分解法（第一课时）一、学情分析本节课的学习建立在学生在七年级已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，积累了解方程的一些方法；学习了因式分解，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学目标：1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；2、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的（缺项）一元二次方程；3、通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。
三、教学重难点掌握并灵活运用用因式分解法（提公因式法、公式法）解一元二次方程。
四、教学过程本节课设计了以下教学环节：复习回顾——情境引入，探究新知——例题解析——疑问升级——课堂练习——课堂小结——布置作业。
一、复习回顾内容：我们已经学过了哪些方法可以解一元二次方程？（学生回忆、交流、汇报。
）二、情景引入、探究新知课件出示：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？（学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。
）学生A ：学生B ：22:30.a=1b=-3c=0.b 4ac 90.x x -=∴-=>解其中，，.293±=∴x .30或这个数是∴ 学生C ： .23x x = .032=-x x().03=-∴x x.03,0=-=∴x x 或.3,021==∴x x.30或这个数是∴师：同学们在上面用了多种方法解决此问题，观察以上三个同学的做法是否存在问题?你认为那种方法更合适?为什么?（小组内交流,选代表回答,及时让学生补充不同的思路，关注每一个学生的参与情况。
）解：设这个数为x ,根据题意得故师：这几位同学的回答条理清楚并且叙述严密，相信下面同学的回答会一个比一个棒!(及时评价鼓励，激发学生的学习热情)师：学生C的解法。
新沪科版八年级数学下册《17章 一元二次方程 17.2 一元二次方程的解法 因式分解法》教案_11
试一试 解方程： x²－9 = 0
解：将方程左边因式分解，得
(x+3)(x-3)=0
这里用到 什么样的 数学思想 方法？
因此，有 x+3=0或x-3=0
解方程，得 x1 = -3， x2 =3
这种通过因式分解，将一个一元二次 方程转化为两个一元一次方程来求解 的方法叫做因式分解法
x²－9 = 0
§因式分解法解方程
学习要点：ax²+bx=0型的方程的解法 x²+(a+b)x+ab=0法法一二：：两a边=1都，加b上=44，得c=0 x²+4x+4=4
b即²－4（acx=+24)²²=－4 4×1×0=16﹥0
带入求开根平公方式，，得得 xx+=2=±42 16 4 4
☻
① x 2x 3 0 ② 4x2－3x=0
③ 3( x +1)=x(x+1) ④x2－6x－7=0
⑤ t (t＋3)=28
⑥ (x+1)(x+3) =15
☻
亲爱的同学们！这 节课有什么收获？
✎
别忘了做作业哟！
基础训练17.2 （四）、（五）
祝亲爱的同学们 天天有好心情！
解：把方程左边分解因式，得
(x－2)(x－3)=0
因此，有 x－2=0或x－3=0
∴x1 =2， x2 =3
典型例题
解方程：(x＋4)(x－1)=6
解：原方程化为 x2+3x-10=0 因式分解，得 (x+5)(x-2)=0 因此，有 x+5 =0 或 x-2=0 ∴ x1 =－5， x2 =2
☞ 用因式分解法解方程
∴ ∴x1x=10=，0，x2x=2－=－4 4
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一元二次方程的解法——因式分解法
【学习目标】
1．正确理解因式分解法的实质，熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．
2．进一步体会转化的思想，能选择恰当的方法解一元二次方程．
【学习重点】
用因式分解法解一元二次方程．
【学习难点】
正确理解AB ＝0⇔A ＝0或B ＝0.
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．
解题思路：
归纳：因式分解法是解一元二次方程最常用的方法，它简单易行，能迅速解题，但它的缺陷是只适用一些特殊的方程，即方程左边能分解因式且右边为0.
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．一元二次方程的求根公式是什么？
答：求根公式x ＝－b±b2－4ac 2a
(a ≠0，b 2－4ac ≥0)． 2．把下列各式因式分解：
(1)2x 2－x ；(2)x 2－16y 2；(3)9a 2－24ab ＋16b 2
解：(1)原式＝2x(x －1)；(2)原式＝(x ＋4y)(x －4y)；(3)原式＝(3a －4b)2.
3．如果a·b ＝0，则可得a ＝0或b ＝0．
自学互研 生成能力
知识模块一 因式分解法解一元二次方程
【自主探究】
阅读教材P 28～29，完成下列问题：
因式分解法依据的原理是什么？什么是因式分解法？
答：依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个是0；反过来，如果两个因式中有一个等于0，则它们的积就等于0.通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．
范例1：用因式分解法解方程：
(1)(1＋2)x 2－(1－2)x ＝0；
解：[(1＋2)x－1＋2]x＝0，
x1＝0，x2＝－3＋22；
(2)(2x－1)2－10(2x－1)＋25＝0；
解：(2x－1－5)2＝0，
(2x－6)2＝0，
x1＝x2＝3；
(3)(x－1)(x＋2)＝2x＋4.
解：(x－1)(x＋2)－2(x＋2)＝0，
(x＋2)(x－1－2)＝0，
x＋2＝0或x－3＝0，
x1＝－2，x2＝3.
学习笔记：
归纳：从范例2可看出，符合(x＋n)2＝a(a≥0)的形式选用直接开方法；方程左边能因式分解，且右边为0的形式应该用因式分解法，若不能用因式分解法，再考虑公式法或配方法．
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．
学习笔记：
检测可当堂完成．仿例1：方程(x－3)(x－1)＝x－3的解是(D)
A．x＝2B．x＝3
C．x＝3或x＝1 D．x＝3或x＝2
仿例2：经计算，整式x＋1与x－4的积为x2－3x－4，则x2－3x－4＝0的解为(B)
A．x1＝－1，x2＝－4 B．x1＝－1，x2＝4
C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝－4
仿例3：用因式分解法解下列方程：
(1)3x2－6x＝0; (2)(3x＋2)2－4x2＝0；。