3.3几何概型习题课
2021年高中数学 3.3.1几何概型课后习题新人教版必修3
2021年高中数学 3.3.1几何概型课后习题新人教版必修31．如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的＿＿＿，＿＿＿＿成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．在几何概型中，事件Ａ的概率的计算公式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3．古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是＿＿＿＿，但古典概型要求基本事件有＿＿＿＿＿，几何概型要求基本事件有＿＿＿＿＿＿＿．4.某广播电台每当整点或半点时就会报时，某人睡完觉后想知道时间就打开收音机调到该广播电台，问这人等待的时间不超过５min的概率是＿＿＿＿＿＿．5.已知地铁列车每10min一班，在车站停１min，则乘客到达站台立即乘上车的概率为＿.6.在线段上任取一点,其坐标小于1的概率是_____________.7.在地球上海洋占70.9%的面积,陆地占29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国国土内的概率为________.(地球的面积约为 5.1亿平方千米)8.从区间内任取两个数,则这两个数的和小于的概率是( )A. B. C. D.9.A是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A、B两点,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为( )A. B. C. D.10.已知集合A=,在平面直角坐标系中,点的坐标,点正好在第二象限的概率是 ( )A. B. C. D.11．取一根长度为３m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１m的概率有多大？12．在１万平方千米的海域中有80平方千米的大陆架贮藏着石油.假设在海域中的任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少？13.在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的,若取出1立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.14．甲、乙两人约定在６时到７时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．15.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的,如果甲船停泊时间为1h,乙船停泊时间为2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.29562 737A 獺29839 748F 璏35282 89D2 角22864 5950 奐26714 685A 桚O}34304 8600 蘀39216 9930 餰26267 669B 暛24035 5DE3 巣430817 7861 硡24481 5FA1 御23311 5B0F 嬏。
必修三几何概型习题课
（2）由（1）知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)=ax2-4bx+1在 区间［1,+∞
a b 8 0 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 a 0 b 0 构成所求事件的区域为三角形部分.
a b 8 0, 由 a b , 2
概率与统计
几何概型习题课
知识梳理
1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或 体积)成正比，则这样的概率模型叫做几何概型.也就是说：事 件A为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量 (长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.满足以 上条件的试验称为几何概型. 2.在几何概型中，事件A P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果 所构成的区域长度（面积或体积）=μA/μΩ,其中μΩ表示区域Ω的 几何度量，μA表示子区域A的几何度量.
变式探究
4.有一杯2升水中含有一个细菌，有一个小杯从这杯水中取出 0.3升水，则小杯中含有这种细菌的概率是___________ 解析：P点只能在中间一段弧上运动，该弧所对的圆心角为 150°- 45°- 75°= 30°，30/150=1/5
答案：1/5
1.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，几何概型适用 于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型.
解析: 设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打
开收音机的时刻位于［50，60］时间段内，因此由几何概型的
P（A）=（60-50）/60=1/6
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
点评:在本例中，等待的时间X是随机的，可以是0到60之间的任
何一刻，并且是等可能的，我们称X服从［0,60］上的均匀分布， X为［0,60］上的均匀随机数.
高中数学必修三3.3.1几何概型习题新人教A版必修3
A′，连接 AA′，它是一条弦，
1
31 1
A. B. C. D.
2
23 4答案： C3．已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点
1 AD
为 2，则 AB＝ (
)
P，使△ APB的最大边是
AB”发生的概率
1 13
7
A. B. C. D.
2 42
4
答案： D
几何概型
1．如图所示，在一个边长分别为
A 组 基础巩固 a， b( a>b>0) 的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分
aa 别为 3， 2，且高为 b. 现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是
()
7
5
A. 10 B. 7
55 C. D.
12 8
答案： C
2. 如图， A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点
所以
P( A) ＝
r ， a] 的长度 [0 ， a] 的长度
＝
a－ a
r
.
10．在长度为 10 cm 的线段 AD上任取两点 B， C在 B， C处折此线段而得一折线，求此折线
能构成三角形的概率．
解：设 AB， AC的长度分别为 x， y，由于 B， C在线段 AD上，因而应有 0≤ x，y≤10，
1 所以 GS∥ CD， GS＝ 2CD.
又 AB∥ CD， AB＝ CD，
1 所以 GS∥ AB，且 GS＝ 2AB，
又 M为 AB中点，所以 GS＝ AM， 所以四边形 AGSM为平行四边形． 所以 AG∥ MS， 又 MS? 平面 FMC， AG?平面 FMC， 所以 AG∥平面 FMC， 即 GP∥平面 FMC.
2020年高中数学第3章概率3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生练习新人教A版必修3
3.3.1 几何概型 3.3.2 均匀随机数的产生课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 四个选项中小明中奖的概率分别为38，14，13，13，故应选A 中的游戏盘．2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为( )A.13 B ．23 C.14D ．34解析：选 A 记M ＝“射线OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”．如图所示，作射线OD ，OE 使∠AOD ＝30°，∠AOE ＝60°.当OC 在∠DOE 内时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90，所以P (M )＝3090＝13. 3．(2019·银川期末)已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( )A.19 B ．18 C.14D ．38解析：选B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}, 所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18.4．如图所示的是我国发行的一枚2019猪年生肖邮票——“肥猪旺福”，其规格为42 mm×46 mm.为估算邮票中肥猪图案的面积，现向邮票中随机投掷21粒芝麻，经统计恰有12粒芝麻落在肥猪图案内，则可估计肥猪图案的面积大致为( )A ．1 104 cm 2B ．11.04 cm 2C ．8.28 cm 2D ．12 cm 2解析：选B 由题意，可估计肥猪图案面积大约是：S ＝1221×42×46＝11.04(cm 2)，故选B.5．(2019·济南模拟)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12 B ．14 C.32D ．74解析：选D 如图，由题意，知当点P 在CD 边上靠近点D 的四等分点时，EB ＝AB (当点P 超过点E 向点D 运动时，PB ＞AB )．设AB ＝x ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，则BF ＝34x ，在Rt △BFE 中，EF 2＝BE 2－FB 2＝AB 2－FB 2＝716x 2，即EF ＝74x ，所以AD AB ＝74. 6.一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为________．解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径 R ，则R ＝33a ，所以正三角形的面积为34a 2，圆的面积S ＝πR 2＝13πa 2.由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P ＝34a 213πa 2＝334π.答案：334π7.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．解析：设事件M 为“此动点在三棱锥A －A 1BD 内”则P (M )＝V 三棱锥A －A 1BD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝V 三棱锥A 1－ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·12S 矩形ABCDAA 1·S 矩形ABCD ＝16.答案：168．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到；若物品不掉在河里，则能找到．已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为________m.解析：物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为2425，即掉到河里的概率为125，则河流的宽度占总距离的125，所以河宽x ＝500×125＝20(m)．答案：209．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中“黄心”的概率为多少？解：因为射中靶面内任一点都是等可能的， 所以基本事件总数为无限个．此问题属于几何概型，事件对应的测度为面积， 总的基本事件为整个箭靶的面积， 它的面积为π⎝⎛⎭⎪⎫12222 cm 2.记事件A ＝{射中“黄心”}，它的测度为“黄心”的面积，它的面积为π⎝⎛⎭⎪⎫12.22 cm 2，P (A )＝“黄心”的面积箭靶的面积＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫12.222π⎝ ⎛⎭⎪⎫12222＝1100，所以射中“黄心”的概率为1100.‖层级二‖|应试能力达标|1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A.16 B ．13 C.23D ．45解析：选C 设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x )cm ，若矩形的面积大于20 cm 2，则x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212＝23.2．在区间[－π，π]内随机取两个实数，分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( )A.78 B ．34 C.12D ．14解析：选B 由题意，知点(a ，b )在边长为2π的正方形边上及内部．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，需满足4a 2＋4b 2－4π≥0，即a 2＋b 2≥π，a 2＋b 2≥π表示以原点为圆心，π为半径的圆及其外部，如图中阴影部分所示，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以函数f (x )有零点的概率为3π24π2＝34.3．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n (n ≥3，n ∈N )边形内的概率为P n ，下列论断正确的是( )A ．随着n 的增大，P n 减小B ．随着n 的增大，P n 先增大后减小C ．随着n 的增大，P n 增大D ．随着n 的增大，P n 先减小后增大解析：选C 根据几何概型的概率计算公式有P n ＝S 正n 边形S 圆，而圆的面积固定，正n 边形的面积随n 的增大而增大，所以P n 也增大．4.如图所示，有一套无线电监控设备，监控着圆心角为直角的扇形OAB区域，其半径为a km，在半径OA，OB的中点C，D处的两个检测点有数据接收装置，其有效接收半径都为a2，只有当C，D两个检测点都有数据接收时，该处的监控才有效，现在在扇形OAB区域内任意选取一个点，则该点监控有效的概率是( )A.12－1πB．1πC．1－2πD．2π解析：选A 如图所示，两个半圆将扇形AOB分为四块区域，其面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝S扇形AOB＝14π·a2＝14πa2.又由图可知S3＝S扇形EDO＋S扇形ECO－S正方形OCED＝18πa2－14a2，故由几何概型概率公式可得，所求概率P＝S3S扇形AOB＝18πa2－14a214πa2＝12－1π.故选A.5．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．解析：圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×4π3×13＝2π3，则构成事件“点P到点O的距离大于1”的区域体积为2π－2π3＝4π3.由几何概型的概率公式，得所求概率P＝4π32π＝23.答案：236．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________． 解析：(1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5.(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15截圆所得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即所求的概率．由于圆的半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的劣弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.答案：(1)5 (2)167．两对讲机持有者张三、李四在某货运公司工作，他们的对讲机的接收范围是25 km ，下午3：00张三在基地正东30 km 处向基地行驶，李四在基地正北40 km 处也向基地行驶，则下午3：00后他们可以交谈的概率为________．解析：记事件A ＝{下午3：00后张三、李四可以交谈}．设x ，y 分别表示张三、李四与基地的距离，则x ∈[0,30]y ∈[0,40]则他们的所有距离的数据构成有序实数对(x ，y )，则所有这样的有序实数对构成的集合为试验的全部结果．以基地为原点，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴正方向建立坐标系(图略)，则长和宽分别为40 km 和30 km 的矩形区域表示该试验的所有结果构成的区域，它的总面积为1 200 km 2，可以交谈的区域为x 2＋y 2≤252的圆及其内部满足x ≥0，y ≥0的部分，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝14×π×2521 200＝25π192. 答案：25π1928．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}， 构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }． 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。
课时作业3：3.3.1几何概型
几何概型一、选择题1、取一根长度为3cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪的两段的长都不小于1cm 的概率是（）A. 23B.13C.14D. 不能确定2、某人睡午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间小于10分钟的概率是（）A. 16B.112C.160D.1723、在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（）A. 34B.23C.12D.134、在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油，假若在海域中任意一点钻探，那么钻到油层面的概率是（）A. 140B.125C.1250D.1500二、填空题5、已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是__________________________。
6、边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落在圆及正方形夹的部分的概率是__________________________。
7、在等腰直角三角形ABC中，在斜线段AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率是_______________________。
8、几何概率的两个特征：（1）_______________________________________________________。
（2）_______________________________________________________。
三、解答题9、如图，在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？答案：一、选择题1、B ；2、A ；3、D ；4、C ；二、填空题5、1106、2(4)a π-7、28、（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的区域来表示。
（2）每次试验的各种结果是等可能的。
9、解：因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的所以符合几何概型的条件。
高中数学 第三章 概率 3.3 几何概型专项讲解与训练(含解析)新人教A版必修3
3.3 几何概型一．理论基础 1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．把满足这样条件的概率模型称为几何概型． 2．在几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝d 的测度D 的测度.3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．二.通法提炼题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，求cos π2x 的值介于0到12之间的概率．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．cosπ2x的值介于0到12之间的概率为232＝13.(1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为________．(2)在半径为1的圆内的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．【答案】(1)35(2)12【解析】(1)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝35.(2)记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE 上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长(此时F为OE中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：P(A)＝12×22＝12.题型二与面积、体积有关的几何概型例2 (1)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．思维点拨求随机点所在区域与所有区域的面积或体积比．【答案】 (1)4－π4 (2)23(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为________．(2)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 【答案】 (1)1－π4 (2)1－π12【解析】 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2， 如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2＝4π2.事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. (2)V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.题型三 生活中的几何概型问题例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率． 思维点拨 当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．(4)结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)【答案】9 32三．归纳总结1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个．2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．四、巩固练习1．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．【答案】3 5【解析】 取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35.2．设p 在[0,5]上随机地取值，则方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实根的概率为________．【答案】 35【解析】 一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，而Δ＝p 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4＋12＝(p ＋1)(p －2)，解得p ≤－1或p ≥2，故所求概率为P ＝[0，5]∩{－∞，－1]∪[2，＋∞}的长度[0，5]的长度＝35.3．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是________．【答案】 35【解析】 不等式2x －x 2≥14，可化为x 2－x －2≤0，则－1≤x ≤2，故所求概率为2－－14－－1＝35.4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为______．【答案】 125．如图，在圆心角为直角的扇形OA B 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．【答案】 1－2π【解析】 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连结OC ，DC . 不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12×1×1＝1， 所以整体图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以阴影部分面积为S 3＝π－2. 所以P ＝π－2π＝1－2π.6．已知集合A ＝{α|α＝n π9，n ∈Z }，若从A 中任取一个元素均可作为直线l 的倾斜角，则直线的斜率小于零的概率是________． 【答案】 497．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.【答案】 3【解析】 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m <4时，由题意得m －－26＝56，解得m ＝3. 即m 的值为3.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．【答案】 129．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________． 【答案】1316【解析】 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×122π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×142π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．。
331几何概型(两课时)
四、知能训练
1.公共汽车在0～5分钟内随机地到达车站， 求汽车在1～3分钟之间到达的概率。
分析：将0～5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段，则1～3分钟是这一线段中 的2个单位长度。
解：设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A，则
P(A)312
55
所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率 2
的概
1
250
率3.是在_区__间__[_1_,3_]上任取一个数,则这个数大于2的概 率是______12__
四、知能训练
1、某公共汽车站每隔15分钟有一辆车发 出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客
到站候车时间大于10分钟的概率。 2、在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，
则△PBC的面积大于S/4的概率是多少？
举例
（五）与体积有关的几何概型
• 细菌出现的每一个位置都是一个基本事件, 细菌出现位置可以是1升水中的任意一点.且 细菌出现在每一点是等可能的
• 取得的0.1升水可视作构成事件的区域，1升 水可视作试验的所有结果构成的区域，可 用“体积比”公式计算其概率
（五）与体积有关的几何概型
（六）几何概型的应用
3、向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝麻，
那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方 形中心的概率分别是多少？由此能说明什么 问题？
3、向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝 麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落 在正方形中心的概率分别是多少？由此能 说明什么问题？
概率为0的件可能会发生，概率为1 的事件不一定会发生.
（六）几何概型的应用
练习：课本：P142 B组 1, 2
小结
• 1.几何概型的特点. • 2.几何概型的概率公式.
人教A版高中数学必修3第三章 概率3.3 几何概型习题(1)
【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.3.1几何概型练习 新人教A 版必修3基础巩固一、选择题1．如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，则应选择的游戏盘是( )[答案] A [解析] P (A )＝38，P (B )＝26＝13，P (C )＝1－π41＝1－π4，P (D )＝1π.则P (A )最大，故选A.2.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是( )A.14 B.π4C.13D.π3[答案] B[解析] 设事件A ＝{小鸡正在正方形的内切圆中}，则事件A 的几何区域为内切圆的面积S ＝πR 2(2R 为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P (A )＝πR22R2＝π4，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为π4. 3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取点则该点落在三棱锥A 1－ABC 内的概率是( ) A.13B.16C.12D.14[答案] B[解析] 体积型几何概型问题．P ＝VA 1－ABC VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16. 4.如图，在一个边长为a 、b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112B.14C.512D.712[答案] C [解析] S 矩形＝ab .S 梯形＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋12a b ＝512ab . 故所投的点落在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512ab ab ＝512. 5．(2015·山东济南模拟)在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( )A.π4B.π10C.π20D.π40[答案] A[解析] 设在[0,1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0,1]内，则有0≤a 2＋b 2≤1. 如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b2在[0,1]内的点在14单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为14π1＝π4.6．在面积S 为△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23[答案] C[解析] 如图，设点C 到边AB 的距离为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ，S △PBC＝12|PB |·h .又因为S △PBC >14S △ABC ，所以|PB |>14|AB |，故△PBC 的面积大于S4的概率是34.二、填空题7．(2013·福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＜0”发生的概率为________．[分析] 解不等式，求出a 的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可． [答案] 13[解析] 由题意，得0＜a ＜13，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a －1＜0”发生的概率为13.8．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体的6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”．那么小蜜蜂“安全飞行”的概率为________．[答案]127[解析] 棱长为3的正方体的体积为3×3×3＝27，若小蜜蜂“安全飞行”，则需控制在以原正方体的中心为中心的棱长为1的小正方体内部，故小蜜蜂飞行区域的体积为1×1×1＝1.根据几何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为127.三、解答题9．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．[解析] 在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.10．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m 、宽20 m 的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．[分析] 海豚在水中自由游弋，它的嘴尖在水池中的位置有无限多个，并且每个位置都是等可能的，满足几何概型的条件，本题可先求出所求事件对应部分面积及整个区域面积，再利用几何概型概率公式求解．[解析] 如下图，该区域是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m\”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，由于该区域的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)，所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.[点评] 解决此类题的关键：(1)根据题意确定是与面积(体积)有关的几何概型； (2)找出或构造出对应的几何图形，求出面积(体积)．能力提升一、选择题1．(2015·东曲阜师大附中月考)在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为( )A.π16B.π8C.π4 D.π2[答案] B[解析] 该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心，1为半径的14圆内，所以所求的概率为π8. 2．(2015·虹宁大连质检)一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为( )A.π2B ．1－π12C ．1－π6D ．1－π3[答案] B[解析] 作出满足题意的区域如右图，则由几何概型的知识得，所求概率P＝12×3×4－12π×1212×3×4＝1－π12.3．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x m 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为( )A ．16 mB ．20 mC ．8 mD ．10 m[答案] B[解析] 物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为2425，即掉到河里的概率为125，则河流的宽度占总距离的125，所以河宽为500×125＝20(m)． 4．(2014·湖北，理7)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14 C.34 D.78[答案] D[解析] 如图，由题意知平面区域Ω1的面积SΩ1＝S △AOM ＝12×2×2＝2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分，面积S 阴＝SΩ1－S △ABC ＝2－12×1×12＝74.由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P ＝S 阴SΩ1＝742＝78.故选D.二、填空题5．一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．[答案] 1 2[解析] 如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则△ABC的周长为3＋4＋5＝12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A，则P(A)＝DE＋FG＋MNBC＋CA＋AB＝3＋2＋112＝12.6．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为________．[答案]53125[解析] 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R＝5，圆柱底面半径r＝4，高h＝6，故球体积V＝43πR3＝500π3，圆柱体积V1＝πr2·h＝96π，∴所求概率P＝500π3－96π500π3＝53125.三、解答题7．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多少？[解析] (1)设事件A＝“弦长超过3”，弦长只与它跟圆心的距离有关，∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于12时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)＝12.(2)设事件B ＝“弦长超过3”，弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点在半径为12的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P (B )＝14.(3)设事件C ＝“弦长超过3”，固定一点A 于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC ，显然只有当弦的另一端点D 落在BC ︵上时，才有|AD |>|AB |＝3，由几何概率公式知P (C )＝13.8．(2015·江西南昌摸底)两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．[探究] 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即23小时，设两人分别于(20＋x )时和(20＋y )时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，则有－23≤x －y ≤23，因此转化成与面积有关的几何概型问题，利用几何概型概率公式求解．[解析] 设两人分别于(20＋x )时和(20＋y )时到达约定地点，要使两人能在约定时间范围内相见，则有－23≤x －y ≤23.(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－13212＝89.。
2014人教A版高中数学必修三33《几何概型》配套训练
3、3 几何概型1、函数f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],那么任意x0∈[-5,5],使f(x0)≤0的概率为( )A、0、1B、C、0、3D、0、4答案:C2、有四个游戏盘,如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖、小明希望最容易中奖,她应当选择的游戏盘为( )解析:四个游戏盘中奖概率分别为P(A)=,P(B)=,P(C)=1-,P(D)=、∵P(A)>P(B)>P(D)>P(C),∴A中奖率大、答案:A3、(2012湖北高考,文10)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆、在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率就是( )A、B、C、1-D、解析:设OA=OB=2R,连接AB,如图所示,由对称性可得,阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积,S阴影=π(2R)2-×(2R)2=(π-2)R2,S扇=πR2,故所求的概率就是=1-、答案:C4、平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径为r(r<a)的硬币任意抛掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率、解:设“硬币不与任一平行线相碰”为事件A,硬币中心为O,过O向较近的平行线作垂线,垂足为M,则0≤OM≤a,而A要发生,则有r<OM≤a,∴P(A)=、5、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,在正方体内随机取点M、(1)求M与面ABCD的距离大于的概率;(2)求M与面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于的概率、解:V正方体=a3、(1)所求概率为、(2)所求概率为、6、如图所示,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB 上任取一点C ,试求△AOC 为钝角三角形的概率、解:先瞧使△AOC 为直角三角形的情况: 若∠OCA=90°,则OC=1; 若∠OAC=90°,则OC=4、如图,C 1与C 2分别就是适合以上两种情况的点C ,它们均在线段OB 上,由题意知,当点C 在线段OC 1或C 2B 上时,△AOC 为钝角三角形、又OB=5,OC 1+C 2B=1+1=2,则△AOC 为钝角三角形的概率为、7、已知函数f (x )=-x 2+ax-b ,若a ,b 都就是从区间[0,4]内任取的一个数,则f (1)>0成立的概率就是( )A 、B 、C 、D 、解析:f (1)=-1+a-b ,令f (1)>0,则a-b>1、又0≤a ≤4,0≤b ≤4,满足a-b>1的阴影部分如图所示、∴P=、 答案:B8、如图,在墙上挂着一块边长为16cm 的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2cm,4cm,6cm,某人站在3m 之外向此板投镖、设投中线上或没有投中木板时不算,可重投,则:(1)投中大圆内的概率就是 、(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率就是 、 (3)投中大圆之外的概率就是 、解析:设事件A={投中大圆内},事件B={投中小圆与中圆形成的圆环},事件C={投中大圆外}、S 正方形=162=256(cm 2),S 大圆=62π=36π(cm 2),S 中圆-S 小圆=12π(cm 2),S 大圆外=S 正方形-S 大圆=(256-36π)(cm 2)、由几何概型概率公式得P (A )=,P (B )=,P (C )==1-、答案:(1) (2)π (3)1-9、在△ABC 内任取一点P ,求△ABP 与△ABC 的面积之比大于的概率、解:如图,设点P ,C 到边AB 的距离分别为d P ,d C ,则S △ABP =AB ·d P ,S △ABC =AB ·d C ,所以、要使,只需点P落在某条与AB平行的直线EF的上方,当然点P应在△ABC之内,而这条与AB平行的直线EF与AB的距离等于d C,由几何概型概率公式,得P=、10、两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达、设两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时,求有一艘船欲停靠泊位时必须等待一段时间的概率、解:分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间,一艘船到达泊位时必须等待当且仅当0≤x-y≤2,0≤y-x≤1,即(x,y)落入如图阴影区域,因此所求概率为≈0、121、11、某人从甲地去乙地共走了500m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件东西丢在了途中,若东西掉在河里,则找不到;若东西不掉在河里,则能找到,已知该件东西能被找到的概率为,问河宽为多少?解:设“该件东西能被找到”为事件A,由已知P(A)=,得x=100、答:河宽为100m、12、在区间[-1,1]上任取两实数a,b,求方程x2+ax+b2=0的两根:(1)都就是实数的概率;(2)都就是正数的概率、解:如图,把a,b分别瞧作平面直角坐标系中的横坐标、纵坐标,则总区域面积为4、(1)要使方程两根为实数,只需Δ=a2-4b2≥0,则|a|≥2|b|,区域为图中所示阴影部分,面积为1,所以所求概率为、(2)要使两根均为正数,则应满足:所以区域仅为阴影部分的左半部分,面积为,故所求概率为、。
3.3几何概型随堂优化训练课件ppt
解：(1)利用计算器或计算机产生一组 0～1 之间的均匀随 机数 a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，a=a1*3,得到一组[0,3]上的均匀随机数;
(3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3] 内随机数的个数 N；
(4)计算频率NN1，即为所求概率的近似值． 用随机模拟的方法解决与长度有关的几何概
思维突破：本题有两个独立变化量 a，b，一个基本事件就 是一个 a，b 值的确定，即可用有序数对(a，b)表示一个基本事 件，借助平面直角坐标系，把基本事件对应平面直角坐标系下 的一个区域，转为几何概型求解．
解：∵0≤a≤100,0≤b≤100， ∴试验全部结果构成区域为图 D19 中的矩形 OABC，发生 堵塞，即 a＋b>100 的区域为△ACB，显然两部分的面积之比为 1 2.
型问题，关键在于将对应的区域长度转化为随机数的范围[a，b]， 进而在[a，b]上产生随机数．
【变式与拓展】 4．利用随机模拟方法计算图 3-3-4 中阴影部分(曲线 y＝2x 与 x 轴，x＝±1 围成的图形)的面积．
图 3-3-4
解：(1) 利用计算机产生两组[0,1] 上的均匀随机数，a1 ＝ RAND，b1＝RAND；
其中
AE＝
a 2.
∴P(AM<AC)＝AAEB＝
2 2.
确定基本事件集和所求事件集所对应的几何
图形，并正确求相应的几何量，然后按公式计算概率即可．
【变式与拓展】
1．(2013 年湖北)在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为56，则 m＝________.
解析：方法一：|x|≤m 解得－m≤x≤m. 又因为 x 满足|x|≤m 的概率为56，则显然 m>0. 若 m≤2，则4－2(m－2)＝m3 ＝56，得 m＝52，不符合； 若 m≥4，则 x 满足|x|≤m 的概率为 1，也不符合； 则 2<m<4，故有m4－－((－－22))＝m＋6 2＝56，则 m＝3.
高中数学 第三章 概率 3.3 几何概型教材习题点拨 新人
高中数学 第三章 概率 3.3 几何概型教材习题点拨 新人教A 版必修3练习1.解:因为黄豆随机撒在图形上，它落在图形中各点的机会是均等的，符合几何概型的条件.在左图中(见题图)，阴影为圆内接等腰三角形，底边为圆的直径，设圆半径为R ，则2221R R R S =⨯⨯=阴影，而S 圆＝πR 2， 所以这粒黄豆落到阴影部分的概率为ππ122===R R S S P 圆阴暗.在下图中(见题图)，整个圆被平均分成8份，而阴影部分占3份，由几何概型知83=P ，即此粒黄豆落在阴影部分的概率为83. 2.解:由于红色区域占整个靶面的21，由几何概型知200镖中有100镖左右能落在红色区域. 习题3.3A 组1.解:(1)红色区域占了整个区域9份中的4份，所以P （“豆子落在红色区域”）94==桌面红色区域S S ；(2)黄色区域占了整个区域9份中的3份，所以P （“豆子落在黄色区域”）3193===桌面黄色区域S S ；(3)绿色区域占了整个区域9份中的2份，所以P （“豆子落在绿色区域”）92==桌面绿色区域S S ；(4)一粒豆子不会同时落在红色区域和绿色区域，所以“豆子落在红色区域”和“豆子落在绿色区域”是互斥事件，所以P （“豆子落在红色区域或绿色区域”）＝P （“豆子落在红色区域”）＋ P （“豆子落在绿色区域”）32969294==+=； (5)一粒豆子不会同时落在黄色区域和绿色区域，所以“豆子落在黄色区域”和“豆子落在绿色区域”是互斥事件，所以P （“豆子落在黄色区域或绿色区域”）＝ P （“豆子落在黄色区域”）＋ P （“豆子落在绿色区域”）959293=+=. 2.解:(1)因为整个区域为26份，编号为25的区域只占了26份中的一份，所以P （“飞镖落在编号为25的区域”）26125==靶子面积的区域编号为S S ； (2)从图中可以看出，绿色(浅色)区域与红色(深色)区域是间隔涂色的，所以它俩各自占了13份，即P （“飞镖落在绿色区域”）212613===靶子面积绿色区域S S ；(3)编号不小于24的区域有24号、25号、26号总共3个区域，所以P （“飞镖落在编号不小于24的区域”）263262524=++=靶子面积的区域编号为的区域编号为的区域编号为S S S S ； (4)编号在6号到9号之间，包括6号、23号、9号总共3个区域，所以P （“飞镖落在编号为6号到9号之间的区域”）2639236=++=靶子面积的区域编号为的区域编号为的区域编号为S S S S ； (5)因为靶子上区域是从1号到26号对称排布的，所以编号为奇数的区域有13个，故P （“飞镖落在编号为奇数的区域”）212613===靶子面积编号为奇数的区域S S ；（6）红色的编号为奇数的区域有17号、19号、21号、23号、25号、15号总共6个区域，所以P （“飞镖落在红色的编号为奇数的区域”）靶子面积的区域编号为的区域编号为的区域编号为的区域编号为的区域编号为的区域编号为S S S S S S S 152523211917+++++=133266==. 3.解:(1)P （“某人到达路口时看见红灯”）527530==； (2)P （“某人到达路口时看见黄灯”）151755==；(3)P （“某人到达路口时看见的不是红灯”）＝1－P （“某人到达路口时看见红灯”）53521=-=. B 组1.解:设甲轮船到达的时刻为x ，乙轮船到达的时刻为y ，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，基本事件区域为由直线x ＝24、y ＝24以及x 轴,y 轴围成的正方形区域，下面分类讨论：①甲轮船先到，则乙轮船需要等待，所以x ＋6≥y ；②乙轮船先到，则甲轮船需要等待，所以y ＋6≥x .如图所示，两轮船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的区域为在正方形区域内由直线y ＝x ＋6与直线y ＝x －6围成的阴影部分，故P （“两轮船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待”）167169124241824242=-=⨯-⨯==正方形阴影S S .点拨:因为甲、乙两艘轮船在一昼夜的时间中随机到达,所以它们到达的时刻有无限多个且各时刻都是等可能的,可以利用几何概型求解.2.C 点拨:如果A 和B 互为对立事件,则A 和B 中必有一个发生,由此得到对立事件的加法公式:P (A )＋P (B )＝1.又对立事件必为互斥事件,故选C.。
高中数学 第3章 概率 3.3 几何概型自主练习 苏教版必
3.3 几何概型自主广场我夯基 我达标1．转动图中各转盘，指针指向红色区域的概率最大的是( )图7-8思路解析：由于转盘指针指转盘圆周上任一点是等可能的，所以此题是一个几何概型问题.则指针指向各色区域的概率应为各色区域所对应的圆弧的长度与圆的周长之比.由题图可知指针指向红色区域的概率最大应是图形D ，因为在此图形中红色区域所对应的圆弧长为圆周长的一半.答案：D2．某人向下图的靶子上射箭，假设能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，最容易射中阴影区的是( )图7-9思路解析：由于箭头落在图中任意一点的可能性是相等的，箭头射中阴影区的概率应为阴影的面积与图形面积的比值.若最容易射中，则阴影部分的面积与图形的面积的比值最大. 答案：B3．在线段［0，3］上任取一点，则此点坐标不小于2的概率是( )A ．31B ．21C ．32D ．97 思路解析：在线段［0，3］上任取一点的可能性是相等的，若在其上任意取一点,此点坐标不小于2,则该点应落在线段[2，3]上.所以，在线段［0，3］上任取一点，则此点坐标不小于2的概率应是线段[2，3]的长度与线段［0，3］的长度之比，即为31. 答案：A4．几何概型的两个特征：（1）_________________________________________________；（2）_________________________________________________.思路解析：充分利用几何概型的定义.在几何概型中我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.答案：（1）每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的区域来表示 （2）每次试验的各种结果是等可能的5．某人忘记了时间去看闹钟，看闹钟的一刹那，秒针指在3和5之间的概率是_________.思路解析：由于闹钟的秒针指在0～60秒的任意一时刻的可能性是相等的，而3和5包含了10，则由几何概型的概率计算公式可得秒针指在3和5之间的概率是6010=61. 答案：61 6．圆O 有一内接正三角形，向圆O 随机投一点，则该点落在内接正三角形内的概率是_______.思路解析：向圆内投点，所投的点落在圆形区域内任意一点的可能性相等，所以本题的概率模型是几何概型.向圆O 随机投一点，则该点落在内接正三角形内的概率应为正三角形的面积与圆的面积的比. 答案：433 7．有一根4m 长的木料，小张不知何用，随便把它锯成两截，则截得的两段的长度都不小于1m 的概率是多少？思路解析：如下图,设AB 长度为4， AD 和EB 的长度都为1，则要使截得的两段的长度都不小于1m ，小张应在DE 间锯开.又要锯开此木料，在木料上任意一点下锯的可能性相等，则由几何概型的计算公式可得：截得的两段的长度都不小于1 m 的概率是线段DE 长度与线段AB 长度之比.答案：21.8．已知线段AB ，在这条线段上随机选一点M ，M 点到A 点距离比它到B 点距离近的概率是多少？思路解析：如下图：取线段AB 的中点C ，若M 点到A 点距离比它到B 点距离近，则M 点应落在线段AC 上，则M 点到A 点距离比它到B 点距离近的概率应为线段AC 与线段AB 之比.答案：21. 9．某人打开收音机，想听电台报时，问他等待的时间小于15min 的概率是多少？（假定电台每小时报时一次）思路解析：因为电台每小时报时一次，我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报时之间，例如(13:00，14:00)，而且取各点的可能性一样，要遇到等待时间短于15分钟，只有当他打开收音机的时间正好处于13:45至14:00之间才有可能，相应的概率是6015=41=0.25. 答案：0.25.我综合 我发展10．如图7-10所示,有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.图7-10思路解析：细菌在1升水中的分布可以看作是随机的，取得的0.1升水样可视为区域d ，1升自来水视为区域 D.由于取水样的随机性，所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比，即为0.1.答案：0.1.11．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒.当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯.思路解析：由于人任何时候到达路中是等可能的，则本题的概率模型是几何概型.则看到红、黄、绿灯的概率为红、黄、绿灯的时间与三种颜色灯时间和的比.答案：（1）52；（2）151；（3）53. 12．已知线段AB 和它的中点M ，在AB 上随机选取一点，这点到M 比到A 的距离较接近的概率是多少？思路解析：如下图：取AM 中点D ，在AB 上随机选取一点，这点到M 的距离比到A 的距离较接近，则所选点应落在线段DB 上.则在AB 上随机选取一点，这点到M 的距离比到A 的距离较接近的概率是线段DB 与线段AB 的比.答案：43. 13．如图7-11所示，一个边长为a 的正方形被平均分成了四等份，分别涂上了红、黄、蓝、黑四种颜色，现向正方形区域投掷飞镖，求：（1）飞镖投中黑色或黄色区域的概率是多少？（2）飞镖投不中红色区域的概率是多少？图7-11思路解析：本题的概率模型是几何概型，事件发生的概率为各色区域面积与总面积的比.记“投中黑色区域或投中黄色区域”为事件A ；记“投不中红色区域”为事件B.由于飞镖投中正方形区域内任意一点的机会是等可能的，则P （A ）为黑色区域和黄色区域的面积和与大正方形面积的比，为21，若投不中红色区域，就相当于投中了黑、黄和蓝色区域，则P （B ）为黑、黄和蓝色区域的面积和与大正方形面积的比为43. 答案：(1) 21；(2) 43.我创新 我超越14．设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间［0，1］上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间［1，3］上的诸数字，旋转该陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于［0.5，1．5］上的概率.思路解析：本题的概率模型是几何概型，解本题的关键是求出刻度位于［0.5，1.5］内圆弧的长度.由于其圆周的一半上均匀地刻上区间［0，1］上的诸数字，则[0.5，1]包含了41个圆周，而另一半上均匀地刻上区间［1，3］上的诸数字，则[1，1.5]包含了81，所以刻度位于［0.5，1.5］内圆弧的长度为圆周的83. 答案：83.。
高中数学第三章概率3.3几何概型3.3.2均匀随机数的产生优化练习新人教A版必修3(2021年整理)
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3.3。
2 均匀随机数的产生[课时作业][A组学业水平达标]1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则（）A．m〉n B．m〈nC．m＝n D．m是n的近似值解析：用随机模拟方法求得几何概型的概率是实际概率的近似值．答案：D2．设x是[0,1］内的一个均匀随机数，经过变换y＝2x＋3,则x＝错误!对应变换成的均匀随机数是（）A．0 B．2C．4 D．5解析:当x＝错误!时，y＝2×错误!＋3＝4。
答案:C3．已知函数f（x）＝log2x，x∈错误!，在区间错误!上任取一点x0，则使f（x0)≥0的概率为( ）A．1 B.1 2C。
错误! D.错误!解析：由log2x0≥0，得x0≥1，又x0∈错误!，所以1≤x0≤2，所以P＝错误!＝错误!＝错误!，故选C。
答案：C4．如图,曲线OB的方程为y2＝x（0≤x≤1），为估计阴影部分的面积，采用随机模拟方法产生x∈（0，1），y∈（0,1)的200个点(x，y），经统计,落在阴影部分的点共134个，则估计阴影部分的面积是( ）A．0.47 B．0.57C．0.67 D．0.77解析：根据题意,落在阴影部分的点的概率是错误!＝0.67，矩形的面积为1,阴影部分的面积为S，所以S＝0.67.答案:C5．将［0，1]内的均匀随机数转化为[－2，6]内的均匀随机数，需实施的变换为( )解析：将[0，1］内的随机数转化为［a，b］内的随机数，需进行的变换为答案:C6．若x可以在－4≤x≤2的条件下任意取值，则x是负数的概率是________．解析:记事件A为“x是负数”，则A的长度为0－（－4)＝4,整个事件长度为2－(－4)＝6，则P(A）＝错误!＝错误!。
高中数学第三章概率3.3几何概型3.3.1几何概型优化练习新人教A版必修61
学 习 资 料 专 题3.3.1 几何概型[课时作业] [A 组 学业水平达标]1．如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( ) A.12 B.32C.13D.14解析：如图，当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，由圆的对称性及几何概型得P ＝2π32π＝13.故选C.答案：C2．如图所示，以边长为1的正方形ABCD 的一边AB 为直径在其内部作一半圆．若在正方形中任取一点P ，则点P 恰好取自半圆部分的概率为( ) A.π2 B.12 C.π4 D.π8解析：所求概率P ＝12×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1221×1＝π8.故选D.答案：D3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19 C.111 D.18解析：总的时间段长为10 min ，在车站停1 min ， ∴P ＝110.答案：A4．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |＜6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( ) A.35 B.925 C.1625 D.25解析：PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925，故选B.答案：B5．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1 (x ＋12)≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D. 14 解析：由－1≤(x ＋12)≤1得，≤log 12(x ＋12)≤12，12≤x ＋12≤2,0≤x ≤32，所以由几何概型概率的计算公式得，P ＝32－02－0＝34，故选A.答案：A6．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧 的长度小于1的概率为________．解析：如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.答案：237．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为910，那么该台每小时约有________分钟广告．解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不到广告的概率为910，则看到广告的概率约为110，故60×110＝6.答案：68．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x )cm ，由4x (12－x )＞128得x 2－12x ＋32＜0,4＜x ＜8，因此所求的概率等于8－412＝13.答案：139．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ (1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解析：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35. 10．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，在正方体内随机取一点M ，求使M ABCD 的体积小于16的概率． 解析：设点M 到面ABCD 的距离为h ， 则V M ABCD ＝13S 底ABCD ·h ＝16，即h ＝12.所以只要点M 到面ABCD 的距离小于12时，即满足条件．所有满足点M 到面ABCD 的距离小于12的点组成以面ABCD 为底，高为12的长方体，其体积为12.又因为正方体体积为1，所以使四棱锥M ABCD 的体积小于16的概率为P ＝121＝12.[B 组 应考能力提升]1．如图所示，在一个边长为a ，b (a >b >0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( ) A.112 B.14 C.512 D.712解析：两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式．S 矩形＝ab ，S 梯形＝12(13a＋12a )·b ＝512ab ，所以所投的点落在梯形内部的概率为S 梯形S 矩形＝512abab ＝512. 答案：C2．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12解析：由已知得B (1,0)，C (1,2)，D (－2,2)，F (0,1)，则矩形ABCD 的面积为3×2＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故该点取自阴影部分的概率等于326＝14.答案：B3.如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率是________．解析：将圆心角为90°的扇形等分成三部分：当射线OC 位于中间一部分时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°， ∴使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为：P ＝中间部分的圆心角大小÷整个扇形的圆心角的大小＝30°÷90°＝13，故使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为13.答案：134．如图所示，墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6 cm ，4 cm ，2 cm.某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问： (1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ (3)投中大圆之外的概率是多少？解析：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积D ＝16×16＝256(cm 2)． 设“投中大圆内”为事件A ，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B ，“投中大圆之外”为事件C ，则事件A 所占区域面积为d A ＝π×62＝36π(cm 2)； 事件B 所占区域面积为d B ＝π×42－π×22＝16π－4π＝12π(cm 2)；事件C 所占区域面积为d C ＝D －d A ＝(256－36π)(cm 2)．由几何概型的概率公式，得(1)P (A )＝d A D ＝36π256＝964π，即投中大圆内的概率为964π.(2)P (B )＝d B D ＝12π256＝364π，即投中小圆与中圆形成的圆环的概率为364π.(3)P (C )＝d C D ＝256－36π256＝1－964π，即投中大圆之外的概率为1－964π.5.设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解析：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，此方程有实根的条件是(2a )2－4b 2≥0，即a ≥b .(1)基本事件共有12个，分别是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3，1)，(3,2)，其中括号内第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，而构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，即如图所示的阴影部分，所以P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。
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太师庄中学高二年级数学学科导学案 编制： 时间：
3.3.1几何概型习题
【本节课的数学本质】
核心知识：几何概型的特点和计算方法
核心思想方法：数形结合思想方法，转化与转化思想
核心能力：阅读理解能力
【学习过程】
一. 创境激趣 问题定向
几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_______（_______或______）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：
P(A)=
二.自主探究 合作交流
1．[2014·湖南卷] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )
A.45
B.35
C.25
D.15
2．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）平行四边形中，为的
中点．若在平行四边形
内部随机取一点，则点取自△内部的概率为
___________．
3[2014·福建卷] 如图1-5所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆
子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
4．（2013届北京门头沟区一模文科数学）用计算机产生随机二元数组成区域-11-22x y <<⎧⎨<<⎩
,对每个二元数组(,)x y ,用计算机计算22y x +的值,记“(,)x y 满足2
2y x + <1”为事件A ,则事件A 发生的概率为_____________.
5．(昌平区2013届高三上学期数学文）设不等式组 表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是( ）
A ．
B ．
C ．
D ．
三. 展示评价
6．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩
≥≥≤所表示的平面区域是α，不等式组
44
0,0x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β. 从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是____________．
7．[2014·辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图1-1所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB
A.π2
B.π4
C.π6
D.π8
8．[2014·福州期末] 在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点M ，则|AM |＜1的概率为____________．
小结：
四.拓展提升
9.已知矩形中，，在矩形内随机取一点,则的
概率为__________ .
10．（海淀区2013届高三上学期期末考试数学文）在等边的边上任取一点，则
的概率是( )
A ．
B ．
C ．
D ． 五、检测
六、作业：
练习册 43页 1， 2, 3， 6， 44页 9, 15 ABCD 2,1AB BC ==ABCD M 90AMB ︒∠≤。