单自由度体系地震能量反应的计算
【2019年整理】第三章1单自由度体系的弹性地震反应分析与地震作用
地震波记录
• 50年代起，美国、前苏联和中国先后采用反应谱理论建立了抗震 计算方法。
反应谱理论与振型分解法
• 由于反应谱理论正确而简单地反映了地震特性，以及结构的 动力特性，从而得到了国际上广泛的承认。实际上到50年代， 反应谱理论已基本取代了震度法。 • 值得一提的是，结构力学的振型分解法的发展是使反应谱理 论从单自由度推广到多自由度的关键。
17
3. 振动方程的简化
令： = k m (3.6) (3.7)
=
c 2 m
代入式（3.4b）得 即 (t ) 2 x (t ) 2 x (t ) = g (t ) x x (3.5)
式中 ：称为自振频率
：称为阻尼比。对于一般结构 = 0.01 0.1。
8
震害分析实例
• 1976 年 7 月 28 日唐山地震，天津第二毛纺厂的3 层钢筋
混凝土框架厂房，二层框架柱的上、下端，混凝土剥 落，主筋外露，钢筋弯钩拉脱。
• 震后，对二层柱进行局部修复加固。同年 11 月 15 日宁
河地震时，该厂房因底层严重破坏而全部倒塌。 • 事后，对该钢筋混凝土框架结构采用振型分解反应谱 法进行抗震承载力验算。计算结果表明，各层承载力 和变形均满足要求。
• 目前，工程中求解结构地震反应的方法有两类：
1. 拟静力法，也称为等效荷载法。 • 通过反应谱理论将地震对结构的作用等效为静力荷载， 按静力方法求解结构的内力和位移等。 2. 直接动力法或称为时程分析法。 • 通过输入地震波，对结构动力方程直接积分，求出结 构的地震反应与时间变化的关系，得到结构地震反应 的时程曲线。
D
sin D t ]
(3.11)
pdt 代入式（3.11）则可得到瞬时 m 冲量作用下的质点位移时程曲线： (0) = 现将x(0) = 0和x
第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
第三节 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱一、水平地震作用的基本公式 由上一节可知，()()[]()()t kx t x c t xt x m +=+- 0 3.26因()()r kx t xc ，略去不计，有()()[]()t kx t x t x m ≈+-0 3.27质点的绝对加速度为3.28()()()()()t x t x mkt xt x t a 20ϖ-=-=+= 将式3.24代入上式，得3.29质点的最大绝对加速度为()m ax a t a S =3.30一、 地震反应谱 反应谱分析法：求解结构最大地震反应的方法即反应谱分析法，这种方法是对单质点单自由度体系，在给定的阻尼比 时，取不同的自振周期T ，求出任意给定的地震波下的最大加速度 。
然后，以阻尼比 为参数，作出自振周期T 与最大反应的关系曲线族，即反应谱。
这样一来，对于任何单质点、单自由度体系，如果已知其自振周期T 、阻尼比 ，便可从反应谱图中直接查得该结构体系在特定地震波下的最大反应，实际运用是比较方便的。
图3.7是根据1940.5.18美国埃尔森特罗地震时地面运动加速度记录绘出的加速度反应谱曲线。
任何地震波所得的地震反应谱，几乎后共同的特点。
1、谱曲线是多峰点的，是由于地面运动的不规则造成的，但在阻尼比等于零时反应谱的谱值最大，而任何较小的阻尼比都能否使峰点削平很多。
2、当结构自振周期较小时，随周期T 的增加，反应急剧增长，而较大自振周期时，反应逐渐衰减、稳定。
目前，世界各国已普遍计算和利用地震反应谱。
在现今设计中，已有许多可以直接应用的地震反应谱，包括最大加速度、最大相对加速度或最大相对位移反应，以满足不同使用的要求。
aS 与质点质量的乘积即为水平地震作用的绝对最大值a mS F = 3.31二、 标准反应谱βGk x Sg x mg mS F max a max a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00 3.32式中： k—— 地震系数 β—— 动力系数mg G =——重力（一）地震系数1、概念：即指地面运动最大加速度与重力加速度的比值2、公式：gxk max0 =3.333、有关因素：与地震烈度有关4、确定：见表 3.1 （二）动力系数β1、概念：即指单质点弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面最大加速度之比。
中心差分法计算单自由度体系动力反应
中心差分法计算单自由度体系动力反应首先，考虑一个单自由度体系，由质点和一个弹簧组成。
系统的运动可以由以下常微分方程描述：m*x''(t)+c*x'(t)+k*x(t)=F(t)其中，m是质点的质量，x(t)是质点的位移，c是阻尼系数，k是弹簧刚度，F(t)是施加在质点上的外力。
为了使用中心差分法计算系统的动力反应，我们需要将上述方程转化为离散形式。
首先，将时间t划分为等间隔的离散时刻t0, t1, t2, ...，其中t0是初始时刻，tn是第n个离散时刻。
令Δt = tn+1 - tn为时间步长。
将位移x(t)和外力F(t)在时刻tn处展开为泰勒级数：x(tn) = x(nΔt)F(tn) = F(nΔt)x(tn+1) = x((n+1)Δt)F(tn+1) = F((n+1)Δt)然后，在动力方程中将位移和外力替换为对应的离散形式：m*(x(tn+1) - 2*x(tn) + x(tn-1))/Δt^2 + c*(x(tn+1) - x(tn-1))/(2*Δt) + k*x(tn) = F(tn)根据上述离散形式的动力方程，我们可以得到关于位移x((n+1)Δt)的递推关系式：(m + c*Δt/(2) + k*Δt^2)*x(tn+1) - (m - c*Δt/(2))*x(tn) = Δt^2*F(tn) + (2*m - k*Δt^2)*x(tn-1)由于x(tn-1)是已知量，而x(tn)和x(tn+1)是未知量，我们可以根据上述递推关系式进行迭代计算，从而得到系统在每个离散时刻的位移。
具体的计算步骤如下：1.初始化系统的初始条件，包括初始位移x(0)和初始速度x'(0)。
2. 根据初始条件，计算第一个离散时刻tn = t0下的位移x(t0)。
3. 根据递推关系式，计算系统在下一个离散时刻tn+1 = tn + Δt 下的位移x(tn+1)：(m + c*Δt/(2) + k*Δt^2)*x(tn+1) = Δt^2*F(tn) + (2*m -k*Δt^2)*x(tn-1) + (m - c*Δt/(2))*x(tn)解上述方程，得到x(tn+1)的值。
第三章1-单自由度体系的弹性地震反应分析与地震作用
1 k
x g (t )
上式与振动方程（3.4b）完全相同。
17
3. 振动方程的简化
令： = k m (3.6) (3.7)
=
c 2 m
代入式（3.4b）得 即 (t ) 2 x (t ) 2 x (t ) = g (t ) x x (3.5)
式中 ：称为自振频率
x (t )
建立振动方程有两种方法： 刚度法和柔度法
m
k
fD
m
fS
fI
x g (t )
14
1. 刚度法
地震时，任意时刻质点m的相对位移为x(t ) 任意时刻基础的位移为xg (t ) 质点m的绝对加速度为： x(t ) xg (t ) 取质点m为脱离体，则其所受 到的作用力有：
xg (t )
t
30
振动方程的特解——续
2 x 2 x = g x x
观察振动方程，可将方程右边项 xg (t )看作单位质量(m = 1)上 的动力荷载。
g (t )曲线划分成若 现将 x 干个瞬时荷载（如图）。
当t = 时： 体系的质量 m = 1 g ( ) 1 瞬时荷载为 P = x g ( ) d 瞬时冲量为 Pdt = x
x(t ) = et (c1 cosDt c2 sin Dt )
D = 1 2
D : 有阻尼单自由度体系的 自振频率
一般工程为欠阻尼情况： 边界条件： 代入上式：
x0 = x(0), x 0 = x(0)
c1 = x0
代入上式导数式： c = 2
x 0 x0
6
建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用
2
max
1
Tg
2021/3/7
结构抗震设计
16
设计特征周期
规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应
谱特征周期Tg，取名为“设计特征周期”。
设计特征周期的值应根据建筑物所在地区的地震环境 确定。（所谓地震环境，是指建筑物所在地区及周围 可能发生地震的震源机制、震级大小、震中距远近以 及建筑物所在地区的场地条件等。）
式中 k11——使质点1产生单位位移而质点2保持不动时，
在质点1处所需施加的水平力； k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，
在质点1处引起的弹性反力； c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力； c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，
在质点1处产生的阻尼力；
在进行建筑结构地震反应分析时， 除了少数质量比较集中的结构 可以简化为单质点体系外，大 量的多层和高层工业与民用建 筑、多跨不等高单层工业厂房 等，质量比较分散，则应简化 为多质点体系来分析，这样才 能得出比较符合实际的结果。
一般，对多质点体系，若 只考虑其作单向振动时，则体 系的自由度与质点个数相同。
1、两自由度运动方程的建立 2、两自由度弹性体系的运动微分方程组 3、两自由度弹性体系的自由振动 三、多自由度弹性体系的自由振动 1、n自由度体系运动微分方程组 2、n自由度弹性体系的自由振动 四、振型分解法 1、两自由度体系振型分解法 2、n自由度体系振型分解法
2021/3/7
结构抗震设计
21
一、多质点和多自由度体系
15
单自由度体系地震作用计算原理
地震作用下线弹性单自由度体系的运动方程
• 为了研究单质点弹性体系的水平地震反应，根据结构的 计算简图并进行受力分析，从而建立体系在水平地震作 用下的运动方程（动力平衡方程）
g (t ) (t )] FI (t ) m[ x x
(t ) Fd (t ) cx
Fe (t ) kx(t )
抗震验算
多遇地震
强度
S R / RE
结构弹性变形验算
ue e h
非线性单自由度体系在任意加速度作用下反 应的数值计算
• 分析承受任意动力荷载的线性结构，Duhamel积分通常提供了最方便 的解法。但是必须强调，因为在这两种方法的推导过程中都使用了叠 加原理，所以它们只能适用于线性体系，也即在反应过程中休系的特 性保持不变的情况。另一方面，有许多种重要的结构动力学问题，体 系并不能视作线性的。例如，足以引起严重破坏的地震运动下的建筑 物反应等等。因此，还需要发展适用于非线性体系的其它分析方法。 • 对于非线性分析，最有效的方法大概是逐步积分法，在这种方法中， 采用一系列短时间增量△t计算反应，而通常为了计算方便起见，取 △t为等步长，在每个时刻间隔的起点和终点建立动力平衡条件，并以 一个假没的反应机理为根据，近似地计算在时间增量范图内体系的运 动(通常忽略在时间间隔内可能产生的不平衡)。体系的非线性特性可 用每个时间增量起点所求得的当前变形状态的新特性来说明，利用本 计算时间区间终点的速度和位移作为下一计算时间区间的初始条件从 而可得到整个反应；因此，这个过程可以逐步地从加荷开始时起进行 到任何所要求的时间，而非线性特性则可用一系列相继改变的线性体 系来逼近。
c 2m
1
1
运动方程的求解
第三章2 工程结构地震反应分析与抗震验算.ppt
h 1 ---直线下降段的斜率调整系数；按下式确定
h1 = 0.02 + (0.05 - z ) / 8 当h1 < 0时，取h1 = 0
h2 - -阻尼调整系数，h2 < 0.55时，取h2 = 0.55
h2
=1+
0.05 - z 0.06 +1.7z
Tg : 特征周期，见表3.2
max：水平地震系数的最大值 α max = kβ max ,β max= 2.25
结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为
F
=
F (t ) max
= m &x&(t) + &x&g (t) max
= mSa
= mg Sa
&x&g (t) max = Gk = G
&x&g (t) max
g
G ---集中于质点处的重力荷载代表值；
g ---重力加速度
= Sa
&x&g (t) max
地震特征周期分组的特征周期值（s）
场地类别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
第一组 0.25
0.35
0.45 0.65
查表确定 Tg Tg = 0.3
第二组 0.30
0.40
第三组 0.35
0.45
0.55 0.75 0.65 0.90
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚 度 ic = EIc / h = 2.6104 kN m ,阻尼比为0.05。试求该结构多 遇地震时的水平地震作用。
地震反应谱
有阻尼自由振动
振动方程为 简化为
mx cx kx 0 2hwx w2 x 0 x c / m 2hw
xe
（9） （10）
其解为
k/mw
hwt
2
( A cos wd t B sin wd t )
（11）
速度表达式： x ehwt (hwAsin wd t wd B cos wd t ) （12)
地震反应谱
汇报者：董艳博
地震反应谱 • 单自由度体系在给定的地震作用下某个（位移、速度、加 速度）最大反应与体系无阻尼自振周期的关系曲线称为该 反应的地震反应谱。
单质点系的振动
• 1、水平方向的振动时的运动方程的建立
x g (t ) ：地面（基础）的水平位移
x(t ) ：质点对地面的的相对位移
x g ( t ) x( t )
t
THANKS
t
F ( )d h (t ) x(t ) e hw sin d (t ) d cos d (t )d 0 md
地震动反应
单质点系受地震作用时的运动方程式 mx cx kx my
x y 2hwx w2 x
m( g ) x x
cx
m
x(t )：质点的总Fra bibliotek移mkx
xg (t )
x g ( t ) x( t ) ：质点的绝对加速度
取质点为隔离体，作用在质点上的力惯性力：
I m x g ( t ) x( t ) 弹性恢复力： S kx(t ) 阻尼力：（粘滞阻尼理论） R cx(t )
•
根据达朗贝尔原理， 运动方程为：
结构动力学结构地震响应分析
求解地震作用下结构内力得方法: 1、比较精确得方法: 建立结构体系得动力学模型,根据在地震作用下得 位移反应,利用刚度方程,直到求解内力。 适用情况:理论分析。 2、近似方法: 根据地震作用下结构得加速度反应,求出该结构体 系得惯性力,将此惯性力视作为一种反映地震影响 得等效力,即地震作用,再进行结构静力计算,求出各 构件内力。 适用于:结构设计。
1、3、1 地震震级
地震震级就是表征地震强弱得指标,就是地震释放多少 能量得尺度。 小于2级得地震人们感觉不到; 5级以上得地震就要引起不同程度得破坏,统称为破坏性 地震;7级以上地震称为强烈地震。
地震烈度:就是地震对地面影响得强烈程度,主要依据 宏观得地震影响和破坏现象等方面来判断。 地震烈度就是表示某一区域范围内地面和各种建筑 物受到一次地震影响得平均强弱程度得一个指标。
因此,多质点体系得等效总重力荷n载即为:
Geq 0.85 Gi
i 1
2、 质点得地震作用
➢ 在求得结构得总水平地震作用后,将其分配到各个质点,可以 得到各质点得地震作用。
x(t)
x(tk1 )
x(tk1 )(t
tk1 )
1 2
x(tk1 )(t
tk 1 ) 2
1 6
x(tk ) x(tk 1 ) tk tk 1
(t
tk1 )
xk
xk 1
xk1t
1 2
xk 1
t
2
1 6
(
xk
xk1 ) t 2
xk 1
x k 1t
1 3
xk1t 2
第三章-单自由度体系结构的地震反应
P(t)
t
(t)
x(t)
() (a)
t
() (b)
xt ＝e
Pdt sin t （3.11） m
图3.7 瞬时冲量及其 引起的自由振动
3.3.2
一般动力荷载下的动力反应 般动力荷载下的动力反应—— 杜哈美积分
P()
图3.8示任一动力荷载，它 图3 8示任 动力荷载 它 的整个加载过程可看作是 由一系列瞬时冲量所组成。 运用叠加原理，把各个瞬 时冲量单独作用下的动力 反应求出 然后再叠加以 反应求出，然后再叠加以 求得总的动力反应。 冲量 P d 在 t t 引起的单自由度体系的振 动为
（3 1） （3.1） （3.2）
2x 2 x ＝ a t x
c c c 2 ＝ , ξ ， 2 mω 2 mk m
称为阻尼比；k为弹簧系数；c为阻尼系数 称为阻尼比 为弹簧系数 为阻尼系数
k ＝ ， 叫做无阻尼的自振圆频率 m
P t a t ＝ m Nhomakorabea3.4.2 运动方程数值计算解
目前直接对运动微分方程进行数值积分的方法，如 平均加速度法、线性加速度法、纽马克—法、 Wilson－法等。 数值方法的基本思路 t 0 ， t 0 及各个分点间的递 x 利用初始条件 x t 0 ，x 推关系，一步一步地向下进行递推计算
叫做激振加速度
地面运动作用下单自由度体系的运动方程
X(t) -mXg(t)
D S
I
Xg(t) (a) (b) (c)
图3.4
力学模型
x(t ) 质量块的绝对加速度 相对加速度为 x(t ) xg (t ) ，相对加速度为
单自由度体系结构的地震反应
3.13.1 概述
建筑结构的地震反应
3.1 概述
3.2.1力学模型及其运动方程
线性单自由度体系的运动方程
()
平衡方程地面运动作用下单自由度体系的运动方程平衡方程为（如图3.4）：
3.2.2单自由度体系的无阻尼自由振动3.2.3单自由度体系的有阻尼自由振动
例题分析
[例题3.1]
用下的受迫振动
3.3.1瞬时冲量及其引起的自由振动
应——杜哈美积分
3.4.1杜哈美积分的数值计算3.4 单自由度体系地震反应的数值计算
3.4.1杜哈美积分的数值计算
3.4.2运动方程数值计算解线性加速度法
线性加速度法线性加速度法
[]
例题分析例题分析
3.5 抗震设计反应谱 3.5.1水平地震作用的基本公式
采用的反应谱地震系数
动力系数标准的地震影响系数曲线
α
例题分析
例题分析
[例题3.3]
反应与计算 3.6.1材料的非线性
3.6.2单自由度非线性体系的运动方程 3.6.3非线性运动方程的求解3.6.4恢复力模型
“半退化三线型”恢复力模型。
7-反应谱概念与设计反应谱
)d
max
最大相对速度
Sv
x(t) max
t 0
xg
( )e
(t )
sin (t
)d
max
最大加速度
Sa x(t) xg max
t 0
xg ( )e
(t )
sin (t
)d
max
最大反应之间的关系 Sa Sv 2Sd
二、地震反应谱：
最大相对位移
Sd
x(t) max
绝对加速度反应谱 相对速度反应谱
相对位移反应谱
地震反应谱的特点：
3.对于速度反应谱，当结构周 期小于某个值时幅值随周期增 大，随后趋于常数。
4.对于位移反应谱，幅值随周期 增大。
绝对加速度反应谱 相对速度反应谱
相对位移反应谱
地震反应谱的特点：
5.土质条件对反应谱的形状和 很大的影响，土质越松软，加 速度反应谱峰值对应的结构周 期也就越长。
max
3.曲线下降段，自特征周期至5倍特征周期区段： 0.9
4.直线下降段，自5倍特征周期至6s区段：1 0.02
＊阻尼对地震影响系数的影响
当结构阻尼比不等于0.05时，其形状参数作如下调整 ：
1.曲线下降段衰减指数的调整
2 2 2
d
t 0
xg
(
)e
(t
)
sin
d
(t
)d
2
d
t 0
xg
(
)e
(t
)
s
in
d
(t
)d
质点相对于地面的最大加速度反应为：
Sa x(t) xg max
t 0
xg ( )e (t )
地震效应计算公式
地震效应计算公式地震效应计算公式是指用于计算地震对建筑物、结构物、土壤和人体等造成的影响和损害的数学公式。
这些公式根据地震波参数和结构物的特性来计算地震效应，包括地震力、地震加速度、地震位移、地震反应谱等。
下面将介绍几个常用的地震效应计算公式。
1.地震力计算公式：地震力是指地震作用下作用于建筑物或结构物的力，可以用于评估结构的稳定性和设计地震时的重要参数。
通常使用摩擦模型或弹簧模型来计算地震力。
根据弹性力学理论，地震力可以使用以下公式进行计算：F=m*a其中，F代表地震力，m代表结构物的质量，a代表地震加速度。
这个公式可以适用于单自由度结构。
2.地震加速度计算公式：地震加速度是指地震波在其中一点上产生的加速度。
地震加速度的计算对于评估结构物的破坏程度至关重要。
根据地震学的知识，可以使用以下公式计算地震加速度：a=V*y其中，a代表地震加速度，V代表地震速度，y代表地震波的周期。
地震加速度与地震速度和周期的乘积成正比。
3.地震位移计算公式：地震位移是指地震波在其中一点上产生的位移。
地震位移的计算对于评估结构物的变形程度和应力程度至关重要。
根据动力学理论，可以使用以下公式计算地震位移：S = (2 * pi * V * y) / g其中，S代表地震位移，V代表地震速度，y代表地震波的周期，g代表重力加速度。
地震位移与地震速度、周期和重力加速度的乘积成正比。
4.地震反应谱计算公式：地震反应谱是指结构物在地震波作用下的频率-加速度关系曲线。
地震反应谱的计算对于评估结构物的自振频率、阻尼比和峰值反应至关重要，可以用于确定结构物的抗震性能。
地震反应谱可以通过以下公式计算：Sa = Sd * (2 * pi / T^2)其中，Sa代表地震反应谱值，Sd代表地震谱加速度图的最大值，T代表周期。
地震反应谱与地震谱加速度和周期的平方成正比。
综上所述，地震效应的计算公式包括地震力、地震加速度、地震位移和地震反应谱等。
单自由度体系结构的地震反应(2)
• 动力系数(放大倍数）
＝ Sa
xg max
7
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应
二、地震影响系数
• 地震系数 k＝ xg max
g
反应地面运动强烈程度。一般，地震烈度愈大，地面 运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数 与地震烈度之间有一定的对应关系。
地震烈度与地震系数的关系
地震烈度
6
7
2 1+0.05 0.08+1.6
20
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 六、 《抗震规范》设计反应谱
2. 地震影响系数曲线的确定 1)选用国内、外近300条地震纪录，按场地类别归类，统 计拟合出标准地震影响系数曲线。
2)谱曲线的峰值 max ：取决于设防烈度
表5-5 水平地震影响系数最大值αmax
对应关系，这样给定任一地面运动，即可做出一条a-T 曲线称作加速度反应谱曲线。
13
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 四、地震反应谱
反应谱曲线的特点 1）多峰值；2)阻尼影响大；3)随周期变化规律显著
El Centro波加速度反应谱
El Centro波速度反应谱
14
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 五、设计地震反应谱
地震系数k 0.05
0.1
表3-3
8
9
0.2
0.4
8
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 二、地震影响系数
• 动力系数(放大倍数） ＝ Sa xg max
反应单质点体系最大绝对加速度与地面运动最大加速度 的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比 地面运动最大加速度放大了多少倍.
9
建筑结构抗震 单自由度体系的地震反应 三、水平地震作用的计算
3—3 单自由度体系的水平地震作用与反应谱
F(t) = −m[ɺɺg (t) + ɺɺ(t)] x x
F(t) = −m[ɺɺg (t) + ɺɺ(t)] = cx(t) + kx(t) ≈ kx(t) x x ɺ
3.3.2 地震反应谱
1、定义与计算 将式( 将式(3—32) 32)
1 x(t) = dx(t) = − ∫ ɺɺg (τ )e−ζω(t−τ ) sin ω′(t −τ )dτ x ω′
2π 1 β(T) = ⋅ T ɺɺg (t) x
2、动力系数 x S 41） 式(3—41） F = mg ɺɺ • = Gkβ(T) 中的动力系数 g x ɺɺ (t) 为 β(T) = Sa / ɺɺg (t) max x (3—43) (3— 将式( 39)代入上式， 将式(3—39)代入上式，则得 （ 3-3-6）
t ∫0
代入（ 代入（3-3-2）式 F(t) = −m[ɺɺg (t) + ɺɺ(t)] = cx(t) + kx(t) ≈ kx(t) x x ɺ ，并注意到 ω′ = ω 地震作用， 地震作用，即 及 k = mω2 即，则得水平
t F(t) = mω2 x(t) = −mω∫0 ɺɺg (τ )e−ζω(t−τ ) sin ω(t −τ )dτ x （3 - 3 - 3 ）
设计地震 分组 第一组 第二组 第三组 I 0.25 0.30 0.35
特征周期 Tg 值(s)
场 地 类 别 II 0.35 0.40 0.45 III 0.45 0.55 0.65 IV 0.65 0.75 0.90
3、Tg
≤ T ≤ 5Tg
区段：在这一区段为曲线下降
段，曲 线呈双曲线 变化：
1、地震系数 x ɺɺg (t ) max Sa F = mg • 41) 式(3-41) g x ɺɺg (t) 地震系数为
地震作用计算——地震反应分析
体系的自由振动由体系初位移和初速度引起，而体系的强迫振动由地
面运动引起。若体系无初速度和初位移，则体系地震反应中的自由振动项
为零。即使体系有初位移和初速度，由于体系有阻尼，由x1（t）式子可知， 体系的自由振动项也会很快衰减，一般可不考虑。因此，可仅取体系强迫
振动项，即x2（t），计算单自由度体系的地震位移反应。
4.2.2 振动微分方程及解答
各种阻尼状态下单自由度体系的自由振动
0 0 1 1 1
4.2.2 振动微分方程及解答 2. 非齐次微分方程的特解——杜哈曼积分（强迫振动）
x(t) 2 x(t) 2 x(t) xg (t)
利用数值积分的思路进行求解： 1、将地震的地面加速度分成有限个脉冲 2、讨论在单一脉冲作用后结构的响应 3、单一脉冲作用后结构的响应为自由振动，解的形式已知 （只是初速度不同）。 4、在所有脉冲作用下结构的响应为每一自由振动的叠加 （积分）
相当于地震产生的作
单质点弹性体系在地 震作用下的微分方程
用于结构上的强迫力
x(t)
c m
x(t)
k m
x(t)
xg
(t)
x(t) 2 x(t) 2 x(t) xg (t)
2
x(t) 2 2
c km
k m
x(t)
k m
x(t) xg (t)
单自由度体系结构的地震反应
加速度反响谱曲线确定过程：
应取0.9。 4)直线下降段，自5倍特征周期至6s区段，下降斜率调整系
数η1应取0.02，阻尼调整系数η2=1 。
地震影响系数曲线
2 当建筑构造的阻尼比按有关规定不等于0.05时，地震影响系 数曲线的阻尼调整系数和形状参数应符合以下规定：
1) 曲线下降段的衰减指数应按下式确定：
0.900..3056
• 由?抗震标准?可直接查得地震影响系数α，从而可方便地求得 单质点体系的水平地震作用。
F 由ma Sm 2 T• x g g 0S g 1 m aa xS g 0 ta x • g 0( G ) e 2 T ( t ) • s S i g n a2 T x ( 0 tg m ) a• d xx 0 m Sa m ax 得a x :k
• 对假设干条个地面运动加速度时程，可得到假设干条α-T曲
线。
• 对不同的建筑场地分类，对得到的α-T曲线进展统计、拟合，
并结合工程经历适当进展调整，可确定对应场地的标准α-T
曲线，即为标准的地震影响系数曲线。
• 假设构造的阻尼比不等于0.05，可在标准地震影响系数的根
底上进展修正而得到。
• 按照以上思路所得到的地震影响系数-自振周期曲线为设计
得 a ( t ) 0 t x 0 () e ( t )• si ( t n ) d
§3.3 单自由度体系地震作用及其反响谱
单自由度体系地震能量反应的计算
第26卷 第1期西安科技大学学报Vol.26 No.1 2006年3月 JO UR NAL OF X I A N U N IV ERSIT Y OF SCIENCE A ND T ECHN OLO GY M ar.2006文章编号:1672-9315(2006)01-0040-04单自由度体系地震能量反应的计算杨文星1,2,罗少锋2(1.西安科技大学建筑与土木工程学院,陕西西安 710054; 2.西安建筑科技大学土木工程学院,陕西西安 710055)摘 要:在地震中,结构吸收地震波输入的能量,并以阻尼耗能和滞回耗能的形式消耗能量。
通过结构弹塑性地震反应分析的时程分析法,可以计算出结构地震总输入能及结构阻尼耗能和滞回耗能的时程曲线。
这些曲线可以为结构抗震分析提供依据。
简要介绍了计算单自由度体系弹塑性地震能量反应的基本过程,并以算例说明。
关键词:能量计算;地震能量;总输入能;滞回耗能;阻尼耗能中图分类号:T U133 文献标识码:ACalculation of seismic energy response of singledegree of freedom systemYANG Wen xing,1,2LUO Shao feng2(1.School o f Civ il Engineering and Architecture,Xi an Univer syity of S cience a nd T ec h nology,Xi an710054,China;2.School of Civ il Engineering,Xi an Univer sity of Architecture and T echnology,X i an710055,China)Abstract:During an earthquake,construction absorbs energy from seism ic w ave.Then construction dissipates energy in form of damping energy and hysteretic dissipated energ y.The curves of structural seism ic total input energ y,hysteretic dissipated energ y and dam ping energy are obtained using time history analysis method to analyse elastic plastic structural.These curves can provide basis for struc tural seism ic analysis.Calculation procedure of SDOF system elastic plastic structural seismic energy is introduced briefly,and there are two examples to show the procedure.key words:energy calculation;seismic energy;total input seism ic energy;structural hysteretic dissipat ed energ y;structural damping energy0 概 述在地震过程中,结构吸收地震波输入的能量,产生结构反应,并通过结构反应转化和吸收部分能量,造成结构吸能部位的损坏。
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Ｃａｃ ｌｔｏ ｆｓ ｉｍ ｉ ｎｅ ｇ ｅ ｐｏ ｅ ｏ ｉ ｌ ｌｕ ａ ｉ ｎ ｏ ｅｓ ｃｅ ｒ ｙ ｒ ｓ ｎｓ ｆｓｎｇｅ ｄ ｇ ｅ ｆｆ ｅ ｄ ｍ ｙ ｔ ｍ ｅ ｒ ｅ ｏ ｒ ｅ ｏ ｓ ｓｅ
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Ｍａ ．２ ０ ｒ ｏ６
文章编 号 ： ６ ２ ３ ５２ ０ ）１ ０ ０ ４ １７ —９ １ （０ ６０ —０４ —０
单 自由度体 系地震能量反应 的计算
杨文 星 ． 罗少 锋 一 ，
（＿ １西安科技大学 建筑与土木工程学院， 陕西 西安 ７０５ ； ． １ ４ ２西安建筑科技大学 土木工程学院， ０ 陕西 西安 ７０ ５） １０５ 摘 要： 在地震 中， 结构吸收地震波输入的能量 ， 以阻尼耗能和滞 回耗能的形式 消耗 能量 。通过 结构 并
（ ． ｃｏｌｆＣｖｌ ｇｎｅｉｇａｄ Ａｒｈｔ ｔｒ ， ’ ，Ｕｎｖｒ ｉ ｆＳｚｒｅａ ｄＴ ｃｎ ｌ ｙ，Ⅺ ’ ７ ０ ５ １ Ｓｈｏ ｉｉＥｎ ｉｅｒｎ ， ｏ ｃｉｃｕｅ ｅ 口ｌ ｉｅｓ ｔ ｙ ｙｏ ｃ￣ｃ ｎ ｅｈ ｏ ｇ ｌ ｏ 口 １０ ４，Ｃ ｉａ； ｈｎ
２ Ｓ ｏｌ ｆＣｖ Ｅ ｇｎｅ ｎ Ⅺ ’ Ｕ ｉ ｒ ｔ ｏ Ａ ｃｉ ｔｒ 口 Ｔ ｈ ｏ ｇ ， ’ｒ７ ０ ５ 。Ｃ ｉ ） ． ｃ ｏ ｏ ｉ ｌ ｎ ｉ ｒ ｇ． ｎ ｅ ｉ ｆ ｒ ｔ ｕｅ ｅ ｎ ｌ ｙ Ⅺ ａ １０ ５ ｈｒ ｈ ｉ ｅｉ ｖ ｓｙ ｈｅ ｃ ｃ ｏ ｔ ｔ ａ
弹塑性 地震反应 分析的 时程分析 法， 以计算 出结构地震 总输入 能及结构 阻尼耗能和滞 回耗 能 的时程 可 曲线。这 些曲线 可以为 结构抗震分析提供依据 。简要 介绍 了计算 单 自由度体 系弹 塑性 地 震能量反应 的基本过 程， 以算例说 明。 并
关键词 ： 能量计 算 ； 地震能量 ； 总输入能 ； 回耗 能； 滞 阻尼耗能
・ 收稿 日期 ： ０ ５ ４ ５ ２ ０ 一ｏ —１
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第２ ６卷
第 １期
西 安
科
技
大
学
学 报
Ｖｌ． ６ Ｎｏ １ ０ ２ １ ．
２０ ０ ６年 ３月
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０ 概
述
在地震过程中 ， 结构吸 收地震波输入 的能量 ， 产生结构反 应 ， 并通 过结构 反应转化 和吸 收部分 能量 ， 造成 结
构吸能部位的损坏 。因此 ， 在地震动过程 中， 与结构破坏有直接联系的应是结构的地震能量反应 。
结构弹塑性地震反应分析一般采用动态分析方法进行， 即根据选定 的地震波和结构恢复力特性曲线 ， 对动 力方程进行直接积分 ， 采用逐步积分 的方法计算地震过程 中每一瞬间结构的位移 、 速度和加速度 反应 ， 从而 观察 到结构在强震作用下在弹性和非弹性阶段的内力变化以及构件开裂、 损坏直到结构倒塌的全过程。这种方法又 叫直 接动力法或时程分析法 。 …