2015-2016年四川省攀枝花十五中高二上学期期中数学试卷及解析(文科)

2015-2016学年四川省攀枝花十五中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）椭圆16x2+9y2=144长轴长是（）A．4 B．3 C．8 D．62．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx＜x成立．则¬p为（）A．B．C．D．3．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2+x=0 C．x2+y2﹣x=0 D．x2+y2﹣2x=04．（5分）已知直线l经过点M（2，3），当l截圆（x﹣2）2+（y+3）2=9所得弦长最长时，直线l的方程为（）A．x﹣2y+4=0 B．3x+4y﹣18=0 C．y+3=0 D．x﹣2=05．（5分）执行如图所示的程序框图．若输入x=3，则输出k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）过点P（2，4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．.3条7．（5分）“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且它的一个焦点在抛物线y2=12x的准线上，则此双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=19．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8 B．10 C．6 D．410．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．2 C．D．11．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根x1，x2，则点P（x1，x2）（）A．必在圆x2+）y2=2上B．必在圆x2+y2=2内C．必在圆x2+y2=2外D．以上三种情况都有可能12．（5分）已知点F1，F2分别是椭圆为C：的左、右焦点，过点F1（﹣c，0）作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线于点Q，若直线PQ与双曲线的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13．（5分）命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为：．14．（5分）已知程序框图，则输出的i=．15．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为．16．（5分）给出下列四个命题：（1）动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆；（2）双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；（3）点M与点F（0，﹣2）的距离比它到直线l：y﹣3=0的距离小1的轨迹方程是x2=﹣8y；（4）方程为+=1（a＞b＞0）的椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F1、F2，D是它短轴的一个顶点．若2﹣=，则该椭圆的离心率为．其中正确命题的序号．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p：4﹣x≤6，q：x＞a﹣1，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）直线3x﹣4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为且过点（1，），求弦AB所在直线的方程．19．（12分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：m2﹣15m＜0，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．20．（12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．22．（12分）如图所示，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点A（1，）在椭圆上．（1）求椭圆方程；（2）点M（x0，y0）在圆x2+y2=b2上，点M在第一象限，过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P、Q两点，问||+||+||是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．2015-2016学年四川省攀枝花十五中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）椭圆16x2+9y2=144长轴长是（）A．4 B．3 C．8 D．6【解答】解：椭圆16x2+9y2=144即为椭圆=1，则a=4，b=3，即有2a=8．故选：C．2．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx＜x成立．则¬p为（）A．B．C．D．【解答】解：由含有量词的命题否定法则，得∵命题p：，∴命题¬p为：∀x∈R，故选：D．3．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2+y2+2x=0 B．x2+y2+x=0 C．x2+y2﹣x=0 D．x2+y2﹣2x=0【解答】解：因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2﹣2x+y2=0，故选：D．4．（5分）已知直线l经过点M（2，3），当l截圆（x﹣2）2+（y+3）2=9所得弦长最长时，直线l的方程为（）A．x﹣2y+4=0 B．3x+4y﹣18=0 C．y+3=0 D．x﹣2=0【解答】解：当|AB|最长时为圆的直径，所以直线l的方程经过圆心，由圆的方程，得到圆心坐标为（2，﹣3），∵直线l经过点M（2，3），∴直线l的方程为：x﹣2=0．故选：D．5．（5分）执行如图所示的程序框图．若输入x=3，则输出k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：循环前x=3，k=0，接下来x=8，k=1满足判断框条件，第1次循环，x=8+5=13，k=2，第2次判断后循环，x=13+5=18，k=3，第3次判断并循环x=18+5=23，k=4，第4次判断并循环x=23+5=28，k=5，满足判断框的条件退出循环，输出k=5．故选：C．6．（5分）过点P（2，4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．.3条【解答】解：由题意可知点P（2，4）在抛物线y2=8x上故过点P（2，4）且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是①过点P（2，4）且与抛物线y2=8x相切②过点P（2，4）且平行与对称轴．∴过点P（2，4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有2条．故选：C．7．（5分）“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）mn＜0⇔m＞0，n＜0或m＜0，n＞0．若m＞0，n＜0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线；若m＜0，n＞0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线；所以由mn＜0不能推出方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线，即不充分．（2）若方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则m＜0，n＞0，所以mn ＜0，即必要．综上，“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且它的一个焦点在抛物线y2=12x的准线上，则此双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，且它的一个焦点在抛物线y2=12x的准线上，抛物线y2=12x的准线方程x=﹣3，∴，解得a=，b2=9﹣3=6，∴双曲线方程为．故选：C．9．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8 B．10 C．6 D．4【解答】解：如图，由抛物线y2=4x，得2p=4，p=2，∴|AB|=|AF|+|BF|=|AA′|+|BB′|=x1+x2+p，∵x1+x2=6，∴|AB|=8．故选：A．10．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．2 C．D．【解答】解：取双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x，即bx﹣ay=0．由圆x2+y2﹣4y+3=0化为x2+（y﹣2）2=1．圆心（0，2），半径r=1．∵渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，∴=1化为3a2=b2．∴该双曲线的离心率e===2．故选：B．11．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根x1，x2，则点P（x1，x2）（）A．必在圆x2+）y2=2上B．必在圆x2+y2=2内C．必在圆x2+y2=2外D．以上三种情况都有可能【解答】解：∵椭圆的离心率e==，∴c=a，b=a，∴ax2+bx﹣c=ax2+ax﹣a=0，∵a≠0，∴x2+x﹣=0，又该方程两个实根分别为x1和x2，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=+1＜2．∴点P在圆x2+y2=2的内部．故选：B．12．（5分）已知点F1，F2分别是椭圆为C：的左、右焦点，过点F1（﹣c，0）作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线于点Q，若直线PQ与双曲线的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入C：，得y1=，∴P（﹣c，），∵过点F2作直线PF2的垂线交直线于点Q，PF2⊥QF2，∴设Q（，y），得，解得y=2a，∴Q（，2a），∵直线PQ与双曲线的一条渐近线平行，∴，即4a﹣=+，整理，得2e3﹣+2e﹣=0，解得e=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13．（5分）命题：“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为：若x≠0且y≠0 则xy≠0．【解答】解：若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x≠0且y≠0 则xy≠0”故答案为：若x≠0且y≠0 则xy≠0．14．（5分）已知程序框图，则输出的i=9．【解答】解：S=1，i=3不满足S≥100，执行循环体，S=3，i=5不满足S≥100，执行循环体，S=15，i=7不满足S≥100，执行循环体，S=105，i=9满足S≥100，退出执行循环体，输出i的值为9．故答案为：9．15．（5分）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为12．【解答】解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0，∴P的纵坐标为2，∴△APF周长最小时，该三角形的面积为﹣=12．故答案为：12．16．（5分）给出下列四个命题：（1）动点到两个定点的距离之和为定长，则动点的轨迹为椭圆；（2）双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；（3）点M与点F（0，﹣2）的距离比它到直线l：y﹣3=0的距离小1的轨迹方程是x2=﹣8y；（4）方程为+=1（a＞b＞0）的椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F1、F2，D是它短轴的一个顶点．若2﹣=，则该椭圆的离心率为．其中正确命题的序号（2），（3），（4）．【解答】解：（1）若点M到F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，故错误；（2）根据定义可知，双曲线﹣=1与椭圆+y2=1中c2=34，且在x轴上，故有相同的焦点，故正确；（3）法1：点M与点F（0，﹣2）的距离比它到直线l：y﹣3=0的距离小1，∵点M到点F（0，﹣2）的距离比它到直线l：y﹣3=0的距离小1，设M（x，y），依题意得∴由两点间的距离公式，得=|y﹣3|﹣1，根据平面几何原理，得y＜3，原方程化为=2﹣y两边平方，得x2+（y+2）2=（2﹣y）2，整理得x2=﹣8y即点M的轨迹方程是x2=﹣8y，故正确．法2：也可根据第二定义可知点M与点F（0，﹣2）的距离与它到直线l：y﹣2=0的距离相等，可得焦准距为8，可得x2=﹣8y．（4）方程为+=1（a＞b＞0）的椭圆的左顶点为A，左、右焦点为F1、F2，D是它短轴的一个顶点．∴D（0，b），A（a，0），F1（﹣c，0）F2（c，0），2﹣=，∴2（﹣c，﹣b）=（c，﹣b）+（a，﹣b），∴﹣2c=a+c，∴该椭圆的离心率为，故正确．故答案为（2），（3），（4）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题p：4﹣x≤6，q：x＞a﹣1，若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：由题意得：p：x≥﹣2，又q：x＞a﹣1，因为p是q的充分不必要条件，所以a﹣1＜﹣2，即a＜﹣1．故a的取值范围a＜﹣1．18．（12分）直线3x﹣4y+12=0与坐标轴的交点是圆C一条直径的两端点（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为且过点（1，），求弦AB所在直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，A（0，3）B（﹣4，0）AB的中点（﹣2，）为圆的圆心，直径AB=5以线段AB为直径的圆的方程（x+2）2+（y﹣）2=；（Ⅱ）圆C的弦AB长度为，所以圆心到直线的距离为1，设直线方程为y﹣=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+=0，所以=1，所以k=0或﹣，所以弦AB所在直线的方程为y=或3x+4y﹣5=0．19．（12分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：m2﹣15m＜0，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．【解答】解：命题p为真命题时，将方程改写为，只有当1﹣m＞2m＞0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，若命题q为真命题时，0＜m＜15，∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴p，q中有一真一假；当p真q假时，无解；当p假q真时，，解得综上：m的取值范围为20．（12分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．【解答】解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①，因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，解得b=﹣1；（II）由（I）可知b=﹣1，把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得y=1，故点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2，所以圆A的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，【解答】解：所以，又椭圆的离心率为，即，所以，…（2分）所以a=3，．所以b=1，椭圆M的方程为．…（3分）（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．由消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2﹣9=0，…（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，．①…（6分）因为以AB为直径的圆过点C，所以．由，得（x1﹣3）（x2﹣3）+y1y2=0．…（7分）将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，得（k2+1）y1y2+k（m﹣3）（y1+y2）+（m﹣3）2=0．将①代入上式，解得或m=3（舍）．…（8分）所以，令D是直线AB与X轴的交点，则|DC|=则有=．…（10分）设，则．取得最大值．…（12分）所以当时，S△ABC22．（12分）如图所示，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点A（1，）在椭圆上．（1）求椭圆方程；（2）点M（x0，y0）在圆x2+y2=b2上，点M在第一象限，过点M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P、Q两点，问||+||+||是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．【解答】解：（1）∵右焦点为F2（1，0），∴c=1∴左焦点为F1（1，0），点H（1，）在椭圆上，∴2a=|HF1|+|HF2|=4，∴a=2，∴b==∴椭圆方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），（|x1|≤2）∴|PF2|2=（x1﹣1）2+y12=（x1﹣4）2，∴|PF2|=2﹣x1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）连接OM，OP，由相切条件知：|PM|2=|OP|2﹣|OM|2=x12+y12﹣3=x12，∴|PM|=x1，∴|PF2|+|PM|=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）同理可求|QF2|+|QM|=2∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=4为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）。