概率论1-1的练习
概率论与数理统计 习题课1-1
P( A B C ) =
事件的关系 互斥: 互斥:AB = φ 对立事件, 对立事件,样本空间的划分
P ( B A) = P ( B )
n个事件两两互斥,就称这n个事件互斥 个事件两两互斥,就称这n
独立
P ( A B ) = P ( A)
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
n个事件独立的要求很高
3 1 1 2 4未中, 3 或者1、、未中, 伤 L因此总的概率为 C 4 6 2 3
3 4
1 3 1 1 ∴ P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 − − C 4 6 6 2
4
3
1 n k k
条件概率
乘法公式
全概公式和贝叶斯公式
n个独立事件至少发生其一的概率
伯努利概型
在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率 重伯努利试验中,事件A恰好发生k
k Pn (k ) = Cn p k q n − k , k = 0,1,2, L , n
1. B
掷两颗骰子,已知两颗骰子的点数之和为7 2. 掷两颗骰子,已知两颗骰子的点数之和为7,求其中 一颗为1的概率。 一颗为1的概率。 解:
3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字,因此他随意地拨号, 某人忘记了电话号码的最后一个数字,因此他随意地拨号, 求他拨号不超过3次而接通电话的概率; (1)求他拨号不超过3次而接通电话的概率; 若已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少? (2)若已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少?
解:设A = {第 i 次拨号拨对 }, i = 1,2,3 i
1 3
表示施放4枚深水炸弹击沉潜水艇的事件 解 设A表示施放 枚深水炸弹击沉潜水艇的事件,则 表示施放 枚深水炸弹击沉潜水艇的事件,
概率之1-1_
第 1次
H
第 2次 H 注:在每次试验 中必有一个样本 点出现且仅有一 个样本点出现.
(H,H):
(H,T): (T,H): (T,T):
H
T T
T
H T
Ch1-1-24
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.
练习:
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数. 答案:
1. {3, 4, 5, , 18}.
2. {10, 11, 12, }.
Ch1-1-28
说明: 1. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样本空间 也不同. 例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”.
记 N 正品, D 次品.
则 3 { NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DDN , DND, DDD }. 以上例子都属于有限样本空间。
Ch1-1-25
实例4 记录某公共汽车站某日
上午某时刻的等车人数.
4 {0, 1, 2,}.
无限样本空间. 实例5 考察某地区 12月份的平
Ch1-1-10
然而德.梅勒争执到:再掷一次骰子,对他来说 最糟糕的事是他将失去他的优势,游戏是平局, 每人都得到相等的30个金币;但如果掷出的是 “5”,他就赢了,并可拿走全部的60个金币。 在下一次掷骰子之前,他实际上已经拥有了30 个金币,他还有50%的机会赢得另外30个金币, 所以,他应分得45个金币。
Ch1-1-13
创立:1713年,雅各布-伯努利的《猜测术》出 版,是概率论成为数学中的一个独立分支的标志。 他建立了第一个极限定理,即伯努利大数定律。
概率论与数理统计:概率论练习题1及答案
5 / 8概率论练习题1(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)1、若当事件A ,B 同时发生时,事件C 必发生,则下列选项正确的是( ) A .()()P C P AB =; B .()()P C P AB ≤; C .()()P C P AB ≥; D .以上答案都不对.2、设随机变量()~X E λ,则下列选项正确的是( )A .X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λ-⎧>=⎨≤⎩;B .X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩;C .X 的分布函数为(),00,0x e x F x x λλ-⎧>=⎨≤⎩;D .X 的分布函数为()1,00,0x e x F x x λλ-⎧->=⎨≤⎩.3、设相互独立的连续型随机变量1X ,2X 的概率密度函数分别()1f x ,()2f x ,分布函数分别为()1F x ,()2F x ,则下列选项正确的是( ) A .()()12f x f x +必为某一随机变量的概率密度函数; B .()()12f x f x ⋅必为某一随机变量的概率密度函数; C .()()12F x F x +必为某一随机变量的分布函数; D .()()12F x F x ⋅必为某一随机变量的分布函数.4、设()~,X B n p ,()2~,Y N μσ,则下列选项一定正确的是( ) A .()E X Y np μ+=+; B .()E XY np μ=⋅; C .()()21D X Y np p σ+=-+; D .()()21D XY np p σ=-⋅.5、设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从()1,0.2B ,则下列选项正确的是( )6 / 8A .()1P X Y ==;B .()1P X Y ≤=;C .()1P X Y ≥=;D .以上答案都不对. 6、设12,,,,n X X X 为独立的随机变量序列,且都服从参数为()0λλ>的指数分布,当n 充分大时,下列选项正确的是( )A .21nii Xn nλλ=-∑近似服从()0,1N ; Bni X nλ-∑近似服从()0,1N ;C .21ni i X λλ=-∑近似服从()0,1N ; D .1ni i X nnλ=-∑近似服从()0,1N .二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)1、设事件A ,B ,C 相互独立,且()()()P A P B P C ==,()1927P A B C =,则()P A =.2、若()14P A =,()13P B A =,()12P A B =,则()P A B =.3、设()2~10,X N σ,且()10200.3P X <<=,则()010P X <<=.4、设随机变量X 与Y 相互独立,且()~100,0.3X B ,()~4Y P ,则()D X Y -=.5、设平面区域(){},01D x y x y =≤≤≤,二维随机变量(),X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(),X Y 的联合分布密度函数为.6、若随机变量X 的分布律为()()2,0,1,2,k P X k ae k -+===,则常数a =.三、解答题(本大题共 6 小题,共 64 分)5 / 81、设盒一装有1支红色笔和2支黑色笔,盒二装有2支红色笔和1支黑色笔,盒三装有3支红色笔和3支黑色笔.现掷一枚匀质骰子,若掷出1点,则从盒一中任取一支笔,若掷出6点,则从盒三中任取一支笔,否则均从盒二中任取一支笔.求取出黑色笔的概率.(10分)2、一盒装有6只灯管,其中有2只次品,4只合格品,随机地抽取一只测试,测试后不放回,直到2只次品都被找出,求所需测试次数X 的概率分布及均值.(10分)3、设连续型随机变量X 的分布密度函数为(),13;0,ax b x f x +<<⎧=⎨⎩其他.,且{}{}23212P X P X <<=-<<,求常数a 和b 的值.(10分)6 / 84、设某工程队完成某项工程所需时间X (天)服从()100,25N .工程队若在100天内完工,可获奖金10万元;若在100~115天内完工,可获奖金3万元;若超过115天完工,则罚款5万元.求该工程队在完成工程时所获奖金的均值(要求用标准正态分布的分布函数值表示).(10分)5、设二维随机变量(),X Y 的概率密度函数为()8,01;,0,xy x y f x y <<<⎧=⎨⎩其他,求关于X 和Y 的边缘分布密度函数()X f x 和()Y f y ,并判别X 与Y 是否相互独立.(10分)5 / 86、设()~,X U a b ,且()0E X =,()13D X =.试确定X 的概率密度函数(6分)7、设随机变量X 服从标准正态分布,求2Y X =的概率密度函数()Y f y .(8分)6 / 8概率论练习题1参考答案一、单项选择题(本大题 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 1、C ; 2、B ; 3、D ; 4、A ; 5、D ; 6、B . 二、填空题(本大题 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)1、13; 2、13; 3、0.3; 4、25; 5、()()2,,;,0,x y D f x y ∈⎧⎪=⎨⎪⎩其他.; 6、23e e ---.三、解答题(本大题 6 小题,共 64 分)1、解 设A 表示“取出黑色笔”,iB 表示“从盒i 中取笔”,1,2,3i =.……..2分则()()1316P B P B ==,()246P B =,()123P A B =,()213P A B =,()312P A B =,…………7分故由全概率公式,有()()()31124111563636212iii P A P B P A B ===⋅+⋅+⋅=∑.……………….10分2、解 由题意可知,X 的所有可能取值为2,3,4,5,6,…………….…….2 且{}1215P X ==,{}2315P X ==,{}145P X ==, {}4515P X ==,{}163P X ==,……..7分 所以 ()121411423456151551533E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………10分 3、解 由密度函数的性质()1f x dx +∞-∞=⎰,可得()31421ax b dx a b +=+=⎰,………..3分又由 {}{}23212P X P X <<=-<<,可得()()32212ax b dx ax b dx +=+⎰⎰,即02ab +=,…..7分联立方程,解得11,36a b ==-.………………………………………….10分4、解 方法1 由题设知工程队完成工程所需天数()~100,25X N .设所获奖金为Y 万元,Y 的可能取值为10,3,-5,Y 取各值的概率为()100100{10}{100}(100)00.55P Y P X F -⎛⎫==≤==Φ=Φ= ⎪⎝⎭, ()115100100100{3}{100115}(115)(100)30.555P Y P X F F --⎛⎫⎛⎫==<≤=-=Φ-Φ=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 115100{5}{115}1(115)11(3)5P Y P X F -⎛⎫=-=>=-=-Φ=-Φ ⎪⎝⎭,…………….8分Y 因此 ()()()()100330.5513E Y =⨯Φ+Φ---Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()100.5330.551383 1.5=⨯+Φ---Φ=Φ-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.…………10分方法2 由题设知工程队完成工程所需天数()~100,25X N , 所获奖金10,100;3,100115;5,115.X Y X X ≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩…………………………………………….2分5 / 8而()100100{10}{100}(100)00.55P Y P X F -⎛⎫==≤==Φ=Φ= ⎪⎝⎭, ()115100100100{3}{100115}(115)(100)30.555P Y P X F F --⎛⎫⎛⎫==<≤=-=Φ-Φ=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 115100{5}{115}1(115)11(3)5P Y P X F -⎛⎫=-=>=-=-Φ=-Φ ⎪⎝⎭,…….8分因此 ()()()()100330.5513E Y =⨯Φ+Φ---Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()100.5330.551383 1.5=⨯+Φ---Φ=Φ-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.…………10分5、解 关于X 的边缘分布密度函数()Xf x :当0x ≤或1x ≥时,(,)0f x y =,所以()(),00Xf x f x y dy dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰,当01x <<时,()()()1212,8441Xxxf x f x y dy xydy xy x x +∞-∞====-⎰⎰,所以,()()241,01;0,X x x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他. ………………………….4分关于Y 的边缘分布密度函数()Yf y :当0y ≤或1y ≥时,(,)0f x y =,所以()(),00Yf y f x y dx dx +∞+∞-∞-∞===⎰⎰,当01y <<时,()()230,844yyYf y f x y dx xydx yx y +∞-∞====⎰⎰,所以()34,01;0,Yy y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他..……………………………………………8分于是()()()()32161,01,01;,0,X Y xy x x y f x f y f x y ⎧-<<<<⎪=≠⎨⎪⎩其他,所以X 与Y 不相互独立.……………………………………………10分 6、解 因为()~,X U a b ,所以()2a bE X +=,()()212b a D X -=,于是有()241,2123b a a b -+==,解得 1,3a b =-=,………….…..4分故X 的概率密度函数为()1,13;40,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他..………………….6分7、22(0,1),(),.x X N x x ϕ-=-∞<<∞Y 的分布函数为2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤ ……………………2分 当0y ≤时,()()0Y F y P Y y =≤=,从而()0.Y f y = ……………………4分当0y>时,2()(){(YF y P X y P X=≤=≤≤=Φ-Φ…6分从而2()()(((Y Yyf y F yϕϕϕϕ-'''==Φ-Φ==+=7分所以20()0,0-⎧>=≤⎩yYyf yy……………………………………………8分6 / 8。
概率论习题一
第一章(A)A、AB互斥B、A、B互斥C A、B互斥D A、B互斥2、以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则A表示(C)A甲种产品滞销,乙种产品畅销B、甲乙两种产品均畅销C甲产品滞销或乙产品畅销D甲乙两种产品均滞销3、设A、B为两个事件,若AB,则一定有(B)A P(AB)=P(B)B、P(AB)=RB)CP(B|A)=P(B)D、P(A|B)=P(B)4、设AB为两个随机事件,则p(AB),P(AB),P(A)+P(B)由小到大的顺序是(A) AP(AB)<p(AB)<P(A)+P(B)BP(A)+P(B)<P(AB)<p(AB)Cp(AB»<P(AB)<P(A)+P(B)DP(AB)<P(A)+P(B)<p(AB)5、设AB为两个事件,且0<P(A)<1,RB)>0,P(B|A)=P(B|A),则必有(C)A、P(A|B)=P(A|B)RP(A|B)乎P(A|BCP(A|B)=P(A)D、P(A|B)=P(B)6、设A、B、C为三个相互独立的随机事件,且有0<P(C)<1,则下列事件不相互独立的是(A)A AC与CB AB与C C A B与CD A B与C7、在一次实验中,事件A发生的概率为p(0<p<1),进行n次独立重复试验,则事件A 之多发生一次的概率为(D)A1p n B p n C11P N D1p n np1p n18、对飞机连续射击三次,每次发射一枚炮弹,事件A(i=1,2,3)表示第i次射击击中飞机,则“至少有一次击中飞机”可表示为A,A2A3,“至多击中一次”表示为A〔A2A3A,2A3A1A2A3AA2A39、设A、B为随机事件,则ABAB=B10、若事件A、B互不相容,则PAB=P(A),PBA=RB),若事件A、B相互独立,则PAB=P(A)P(B),PBA=P(B)P(A)11、已知P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(B|A)=0.6,则PAB=0.6,PAB0.75.12、已知P(A)=0.5,P(B)=0.4,若A、B相互独立,则PAB=0.7.13、根据调查所知,一个城镇居民三口之家每年至少用600元买粮食的概率是0.5,至少用4000元买副食的概率是0.64,至少用600元买粮食同时用4000元买副食的概率为0.27,则一个三口之家至少用600元买粮食或至少用4000元买副食的概率为。
概率论与数据统计1-1 随机试验
事件 A={掷出奇数点}
事件B = {掷出点数为1,3,5}
显然 A=B
B A
A B
S
3、两事件A与B的和
“事件A、B中至少有一个发生”是一事件
把这一事件称为A与B的和,
记作 A B, 或A B
A或 B
S
A B A+B
即 A U B A、B中至少有一个发生
问如何用 Bi 表示A和 A ? A= B1B2
A B1B2 B1B2 B1B2 B1 B2
( B1B2 B1B2 ) ( B1B2 B1B2 )
例2 设A、B、C为三个事件,用A、B、 C的运算关系表示下列各事件.
1. A发生, B与C不发生
AB C
或
A B C
些随机事件。 1、包含关系
若果事件A的发生必然导致事件B发生,
则称事件A包含于B,或称B包含A
记作A B, 或B A
对任一事件A有:
B
A A B
S
φ A S
2、两事件A与B相等
若A B且B A 同时成立, 则称A 与B相等 记作A B,
试验E:掷一颗骰子,观察出现的点数
事件A、B对立(互逆)
AB 且A+B S
事件A、B互不相容(互斥)
c
两事件A、B互逆或互为对立事件: 除要求A、B互斥即AB= 外,还要求 A+B=S
6. “A、B都发生”与“A、B不都发生”是 对立事件. 正确 7. “A、B都发生”与“A、B都不发生”是 对立事件. 错误
因为A、B都发生是 A、B都不发生是
AB的对立事件是
AB
AB
练习一(预备知识-随机事件与概率)--1_参考答案
1 A. 8
2 B. 8
3 C. 8
4 D. 8 【参考答案】 A
15.设P (A) >0, P (B) >0, 则下列公式正确的是( )。
−1
+
C
3 n
p
3q
n
−3
+⋯+
C
2m n
+1p
2m
+1q
n
−2m −1 ⎛⎜⎜⎝m =
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
n−1 2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
⎞⎟
⎥⎟
⎥ ⎥ ⎦
⎠
而a +b = (p +q)n = 1
a −b = (q −p)n = (1−2p)n
密
解得:a
=
1 2
+
1 2
(1 − 2p )n
封
姓名
【参考答案】 事件A 出现偶数次的概率为a ,事件A 出现奇数次的概率为b
考试 时间 总主考
第 5 页 (共 6 页)
a
=
C
0 n
p
0q
n
+
C
2 n
p
2q
n
−2+⋯+ Cn2mp2mqn −2m ⎛⎜⎜⎝m =
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
n 2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
⎞⎟
⎥⎟
⎥ ⎥ ⎦
⎠
b
=
概率论与数理统计第一章习题及答案
概率论与数理统计习题 第一章 概率论的基本概念习题1-1 设C B A ,,为三事件,用C B A ,,的运算关系表示下列各事件.(1)A 发生,B 与C 不发生, (2)A 与B 都发生,而C 不发生,(3)C B A ,,中至少有一个发生,(4)C B A ,,都发生,(5)C B A ,,都不发生, (6)C B A ,,中不多于一个发生, (7)C B A ,,中不多于两个发生, (8)C B A ,,中至少有两个发生,解(1)A 发生,B 与C 不发生表示为C B A 或A - (AB+AC )或A - (B ∪C ) (2)A ,B 都发生,而C 不发生表示为C AB 或AB -ABC 或AB -C (3)A ,B ,C 中至少有一个发生表示为A+B+C (4)A ,B ,C 都发生,表示为ABC(5)A ,B ,C 都不发生,表示为C B A 或S - (A+B+C)或C B A ⋃⋃(6)A ,B ,C 中不多于一个发生,即A ,B ,C 中至少有两个同时不发生,相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为:C A C B B A ++。
(7)A ,B ,C 中不多于二个发生相当于C B A ,,中至少有一个发生。
故表示为ABC C B A 或++(8)A ,B ,C 中至少有二个发生。
相当于AB ,BC ,AC 中至少有一个发生。
故表示为AB +BC +AC习题1-2 设B A ,为两事件且6.0)(=A P ,7.0)(=B P ,问(1)在什么条件下)(AB P 取得最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下)(AB P 取得最小值,最小值是多少?解 由P (A ) = 0.6,P (B ) = 0.7即知AB ≠φ,(否则AB = φ依互斥事件加法定理, P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾).从而由加法定理得P (AB )=P (A )+P (B )-P (A ∪B )(*)(1)从0≤P (AB )≤P (A )知,当AB =A ,即A ∩B 时P (AB )取到最大值,最大值为 P (AB )=P (A )=0.6,(2)从(*)式知,当A ∪B=S 时,P (AB )取最小值,最小值为 P (AB )=0.6+0.7-1=0.3 。
《概率论与数理统计》习题及答案--第一章
第一章
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:
( 1)掷一颗骰子,记录出现的点数 . A ‘出现奇数点’ ; ( 2)将一颗骰子掷两次, 记录出现点数 . A ‘两次点数之和为
一次的点数,比第二次的点数大 2’;
Байду номын сангаас10’,B ‘第
( 3)一个口袋中有 5 只外形完全相同的球,编号分别为 1,2,3,4,5 ;从中同时
解 ( 1) A1 A2 A3 ;( 2) A1 A2 A3 ;( 3) A1 A2 A3 ( 4) A1 A2 A1 A3 A2 A3 。
A1 A2 A3
A1 A2 A3 ;
4.在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同的概率。
解 设 A ‘任取一电话号码后四个数字全不相同’ ,则
P( A)
(2,3,5), (2, 4,5), (1,3,5)}
A {(1, 2,3), (1,2, 4), (1,2,5), (1,3, 4), (1,3,5), (1,4,5)}
( 4) S {( ab, , ), ( , ab, ), ( , ,ab), (a,b, ), ( a, ,b), (b, a, ),
(b, , a), ( , a, b,), ( ,b, a)} ,其中‘ ’表示空盒;
A {( ab, , ), (a, b, ), ( a, , b), (b, a, ), (b, , a)} 。
( 5) S {0,1, 2, }, A {0,1, 2,3, 4}, B {3, 4, } 。 2.设 A, B,C 是随机试验 E 的三个事件,试用 A, B,C 表示下列事件:
( 1)仅 A 发生; ( 2) A, B, C 中至少有两个发生; ( 3) A, B, C 中不多于两个发生; ( 4) A, B, C 中恰有两个发生; ( 5) A, B, C 中至多有一个发生。
概率论与数理统计自测卷1-1
自测卷1-1(随机事件与概率)一、单项选择题(每小题2分)1.A,B为两事件,则(A∪B) ̄ ̄= ( ) A、AB B、A¯ B¯C、AB¯D、A¯ ∪B¯2.袋中有二个白球一个红球,甲从袋中任取一球,放回后,乙再从袋中任取一球,则甲、乙两人取得的球同颜色的概率为( ) A、1/9 B、2/9 C、4/9 D、5/93.一个小组有六个学生,则这六个学生的生日都不相同的概率为(设一年为365天)( )A、1C6365B、1A6365C、C6365(365)6D、A6365(365)64.A,B为两事件,若A ⊂ B,P(B)>0,则P(A|B)与P(A) 比较应满足( ) A、P(A|B) ≤ P(A) B、P(A|B) = P(A)C、P(A|B) ≥ P(A)D、无确定的大小关系5.若A、B为两事件,A⊂B,P(A)>0,P(B)>0,则( ) A、P(A∪B)=P(A)+P(B) B、P(AB)=P(A)P(B)C、P(B|A)=1D、P(A-B)=P(A)-P(B)6.设A, B为二事件互不相容,0<p(A)=p<1,0<P(B)=q<1,则推不出结论( )A、P(A|B)=0B、P(A¯ B¯)=0C、p(AB¯)=pD、p(A¯∪B¯)=17.某工人生产了三个零件,以A i表示“他生产的第i个零件是合格品”(i=1,2,3),以下的事件表示式错误的是( )A、A1A2A3表示“没有一个零件是废品”B、A1¯∪A2¯∪A3¯表示“至少有一个零件是废品”C、A1¯A2A3∪A1A2¯A3∪A1A2A3¯表示“仅有一个零件是废品”D、A1¯A2¯A3∪A1¯A2A3¯∪A1A2¯A3¯表示“至少有两个零件是废品”8.设样本空间Ω={x: 0≤x≤4},事件A={x: 1<x≤3},B={x: 2≤x<4},则下列各表示式中错误的式子是( ) A、A∪B ̄ ̄ ={x: 0≤x≤1} B、A¯ B¯ ={x: 0≤x<2或3<x<4}C、A¯ B ={x: 3<x<4}D、A∪B¯ ={x: 1≤x<2}9.设A,B为两个随机事件,P(B)>0, P(A|B)=1, 则必有( ) A、P(A∪B)=P(A) B、A⊂B C、P(A)=P(B) D、P(AB)=P(A)10.某商店出售的灯泡中,甲厂的产品占70%,乙厂的产品占30%,甲厂产品的合格率为95%,乙厂产品的合格率为90%,则某顾客买一灯泡是合格品的概率为 ( )A、.0.935B、0.905C、0.875D、0.825二、填空题(每小题3分)11. 有55个由两个不同的英语字母组成的单字,那么,从26个英语字母中任取两个不同的字母来排列,能排成上述单字中某一个的概率为。
概率论第一章作业题
第一章 随机事件及其概率1.填空题(1)若,则}9,6,4,2{ },8,4,2,1{==B A =∪B A ;=∩B A 。
(2)若是四个事件,则四个事件至少发生一个可表示为 D C B A ,,,;四个事件恰好发生两个可表示为 。
(3)有三个人,每个都以相同的概率被分配到4间房的每一间中,则某指定房间中恰有两人的概率是 ;(4)十件产品中有3件次品,从中随机抽取2件,至少抽到一件次品的概率是 。
2.选择题(1)某公司电话号码有五位,若第一位数字必须是5,其余各位可以是0到9中的任意一个,则由完全不同的数字组成的电话号码的个数是( )(A )126 (B )1260 (C )3024 (D )5040(2)若8.0)( ,9.0)(,,=∪=⊃⊃C B P A P C A B A ,则=−)(BC A P ( )(A )0.4 (B )0.6 (C )0.8 (D )0.7(3)在书架上任意放置10本不同的书,其中指定的三本书放在一起的概率为( )(A )1/15 (B )3/15 (C )4/5 (D )3/5(4)若3.0)( ,4.0)( ,5.0)(=−==B A P B P A P ,则为( ))(B A P ∪(A )0.6 (B )0.7 (C )0.8 (D )0.53.化简下列各式(1);A B A −∪)((3); ))((C B B A ∪∪(2)))((B A B A ∪∪; (4)))()((B A B A B A ∪∪∪4.指出下列各式成立的条件并说明条件的意义(1);A ABC =(3)AB B A =∪;(2)A B A =∪; (4)A C B A =∪∪;(5);)(B A B A =−∪ (6)A AB =。
5.若、A B 、C 、是四个事件,试用这四个事件表示下列各事件D (1)这四个事件至少发生一个;(2)这四个事件恰好发生两个;(3)、A B 都发生,而C 、都不发生;D (4)这四个事件至多发生一个。
概率论复习概率论第一章练习
《概率论》第一章 练 习一、填空题:(1)设A 、B 为随机事件,P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,则P (A B )= 。
(2)设A 、B 为随机事件,P (A )=0.92,P (B )=0.93,P (B/A )=0.85,则P (A/B )=_ _,P (A B )=_ __。
见课本习题—20题(3)设事件A 、B 相互独立,已知P (A )=0.5,P (A B )=0.8,则P(A B )= , P (A B )= 。
(4)袋中有50个乒乓球,其中20个黄球,30个白球,今两人依次随机地从中各取一球,则第二个人取得黄球的概率是 。
(5)设两个独立事件A 、B 都不发生的概率为1/9,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则P (A )= 。
(6)一射手对同一目标独立地进行4次射击,若至少命中一次的概率是80/81,则该射手的命中率为 。
(7) 袋中有5个黑球,3个白球,大小相同,一次随机地取出4球,其中“恰好2个黑球,2个白球”的概率为: 、(8) 事件A 、B 、C 中至少有两个不发生,可用运算符号表示为: ;而运算符号C B A -+)(则表示事件 。
(9) A 、B 为相互独立的事件,P (A )=0.4,P (AB )=0.12,则P (B )= ;P (A B )= 。
(10) 设A 、B 为互不相容事件,P (B )=0.4,P (A+B )=0.75,则P (A )=(11)设A 、B 为互不相容事件,P (A )=0.35,P (A+B )=0.80,则P (B )= ;P (A )-P (AB )= 。
(12)A 、B 为相互独立的事件,P (A )=0.4,P (AB )=0.12,则B)= 。
P(B)= ;P(A(13)某人射击时,中靶的概率为3/4,如果射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率为(14)设每次试验成功的概率为:P(0<P<1),则3次重复试验中至少失败1次的概率为(15)甲、乙两个人独立地对同一目标各射击一次,其中命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是二、计算题:1、现有编号为1,2,3的3个盒子,1号盒中有3个红球,2个黄球;2号盒中有2个红球,3个黄球;3号盒中有1个红球,4个黄球。
概率论第一章习题
一.选择题1.设,,A B C 为三个事件,与事件A 不相容的事件是() (A)AB AC (B)()A B C (C)ABC (D)A B C2.设,,A B C 为三个事件,则‘其中至少有两个事件不发生’这一事件可表示为() (A)A B C (B)A B C (C)AB AC BC (D)ABC3.以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为( ). A .“甲种产品滞销,乙种产品畅销”; B .“甲、乙两种产品均畅销”; C .“甲种产品滞销”; D .“甲种产品滞销或乙种产品畅销”;4.设任意两个事件A 和B 满足条件AB AB ,则()(A)A B (B)A B (C)A B A (D)A B B5. 设,A B 是两个随机事件,且0()1P A ,0()1P B ,()()1P A B P A B 则下列正确的选项是()(A) A 与B 相互独立(B) A 与B 相互对立 (C) A 与B 互不相容 (D) A 与B 互不独立6.设,,A B C 为三个事件两两独立,则,,A B C 相互独立的充分必要条件是()(A)A 与BC 独立 (B)AB 与A C 独立(C)AB 与AC 独立 (D)A B 与A C 独立7.将一枚均匀的硬币独立地掷两次,记事件1A 表示掷第一次出现正面,2A 表示掷第二次出现正面,3A 表示正反面各出现一次,4A 表示正面出现两次,则()(A)123,,A A A 相互独立 (B)234,,A A A 相互独立(C)123,,A A A 两两独立 (D)234,,A A A 两两独立8.设,,A B C 是三个相互独立的随机事件,且0()1P C ,则下列事件不一定独立有()(A) A B 与C(B) AC 与C (C) A B 与C (D) AB 与C 9.对于任意两个事件A B ,,有( ).A .若AB ,则A B ,一定独立; B .若AB ,则A B ,有可能独立;C .若AB ,则A B ,一定独立;D .若AB ,则A B ,一定不独立.10.设A 与B 为任意两个事件,且()0P AB ,则()A.A 与B 相互独立 B.A BC.AB 未必为 D.()0P A 或者()0P B11. 对于任意两个随机事件A 与B ,其对立的充要条件为()(A) A 与B 至少有一个发生 (B) A 与B 不同时发生(C) A 与B 至少必有一个发生,且A 与B 至少必有一个不发生(D) A 与B 至少必有一个不发生 12. 设,A B 是两个随机事件,且0()1P A ,()0P B ,()()P B A P B A 则必有() (A) ()()P A B P A B(B) ()()P A B P A B (C) ()()()P AB P A P B (D) ()()()P AB P A P B13. 设,A B 是两个相互独立的随机事件,且()0P A ,()0P B ,则必有()P A B ()(A) ()()P A P B(B) 1()()P A P B (C) 1()()P A P B (D) 1()P AB14.设AB ,则下列选项成立的是()A.()1()P A P B B.(|)0P A B C.1P(A|B ) D.0P(AB )15.设A 与B 互不相容 ,则下列选项成立的是() A.()0P AB B.()()()P AB P A P B C.()1()P A P B D.()1P A B16.设A 与B 为任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论正确的是() A.A 与B 不相容 B.A 与B 相容C.()()()P AB P A P B D.()()P A B P A17.设,A B 为任意随机事件,则必有()(A) ()()()P AB P A P B (B) ()()()P AB P A P B(C) ()()()2P A P B P AB (D) ()()()2P A P B P AB 18.设,A B 为任意随机事件,且A B ,0()P B ,则下列选项成立的是()(A) ()()P A P A B(B) ()()P A P A B (C) ()()P A P A B (D) ()()P A P A B19.设事件A 和B 满足()1P B A ,则()(A) A 是必然事件; (B) 事件A 与B 相互独立;(C)A B ; (D)()0P B A20. A 和B 为随机事件,且()0P B ,()1P A B ,则()(A) ()()P A B P A ; (B) ()()P A B P B ;(C) ()()P A B P A ; (D) ()()P A B P B21.设,,A B C 为三个随机事件,()0P ABC ,且0()1P C ,则一定有()(A)()()()()P ABC P A P B P C (B)()()()P A B C P A C P B C(C)()()()()P A B C P A P B P C (D)()()()P A B C P A C P B C22. 已知()0P B ,12A A ,则下列各式中不正确的是() (A)12()0P A A B (B)1212()()() P A A B P A B P A B (C)12()1P A A B (D)12()1 P A A B23.假设事件A 与B 相互独立,且()0.5P B ,()0.3P A B ,则()P B A ()(A) 0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.424.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为(01)p p ,则此人第4次射击恰好第二次命中目标的概率为()(A) 23(1)p p (B) 26(1)p p (C) 223(1)p p (D) 226(1)p p25.在圆周上随机挑选5个点,五个点都落在某一侧的半圆内的概率() A.4152 B. 512 C. 412 D.5152 26.在8件产品中由4件次品,从中任取3件,则取到2件次品的概率为() A.14 B. 37 C. 12 D.6727.有编号为1,2,3的三箱同型号零件,已知各箱中所含的一等品的比例为13,12,23,其余的为二等品,现先从三个箱子任取一箱,然后再从该箱中任取一个零件,那么取出的零件为一等品的概率是() A.12 B. 13 C. 23 D.34二.计算题1. 已知事件A ,B 满足()()P AB P AB ,且()P A p ,求()P B .2.设A ,B 为随机事件, 0.7,P A 0.3P A B ,则P AB =?3. 已知事件A ,B 满足()0.6P A ,()0.5P B ,()0.2P AB ,求()P A B ,()P B A . 4.设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则 P A ?5.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件不合格品,则另一件也是不合格品的概率.6.小明从家到公司上班总共有三条路可以直达(如下图),但是每条路每天拥堵的可能性不太一样,由于路的远近不同,选择每条路的概率如下:123()0.5,()0.3,()0.2P L P L P L每天上述三条路不拥堵的概率分别为:123()0.2,()0.4,()0.7P C P C P C假设遇到拥堵会迟到,(1)小明从Home 到Company 不迟到的概率是多少?(2)到达公司未迟到选择第1条路的概率是多少?7. 已知某酒鬼有90%的日子都会出去喝酒,10%的日子在家休息,出去喝酒他会等概率的随机去固定的三家酒吧,今天警察找了其中两家酒吧都没有找到酒鬼,那么酒鬼在第三家酒吧的概率是多少?8. 已知某医院用某种新药医治流感,对病人进行试验,其中3/4的病人服用此药,1/4的病人不服此药,5天后有70%的病人痊愈. 已知不服药的病人5天后有10%可以自愈. 求(1)该药的治愈率,(2)若某病人5天痊愈,求他是服用此药而痊愈的概率?9.甲袋中5只红球,10只白球. 乙袋中5只白球,10只红球. 今从甲袋中任取一球放入乙袋,然后从乙袋中任取一球放回甲袋. 求再从甲袋中任取一球是红球的概率.10.设平面区域D1是由x=1,y=0,y=x所围成,今从D1随机投入 10个点. 求这10个点中至少有两个点落在由y=x2与y=x所围成的区域D内的概率.11.某彩票每周开奖一次,每次提供百万分之一的中奖机会.若你每周买一张彩票,坚持10年(每年52周),问你从未中奖过的概率是多少?。
概率论与数理统计——第一章练习题
第一章 随机事件与概率(一)随机事件知识点1、称试验E 的样本空间的子集为随机事件,用A 、B 、C …表示。
事件A 的元素是样本点,它在一次试验中,可能出现,也可能不出现。
A 中的某个样本点出现了,事件A 发生,否则,A 不发生。
因此,在一次试验中,可能发生也可能不发生的事情,就是随机事件。
样本空间S 有两个特殊的子集;S 自身和空集φ。
S 含所有的样本点,每次试验,必然发生;φ不含样本点,每次试验一定不发生。
在一定条件下,每次试验一定发生的事情,称为必然事件。
每次试验一定不发生的事情,称为不可能事件。
必然事件S ,不可能事件φ是事先就能明确是否会发生,属于确定性现象,但在概率统计中,为了研究问题的需要,仍将其作为特殊的随机事件处理,使得事件间有着完整的关系,S A ⊂⊂φ。
此外,在样本空间的子集中,只含一个样本点的事件,称为基本事件。
样本点的个数超过一个的事件,称为复合事件。
2、事件之间的关系和运算由于事件是样本点的集合,因此,事件之间的关系和运算可借助集合之间的关系与运算来定义。
其运算规律也同集合间的运算规律。
(1)事件的包含与相等若事件A 发生必然导致事件B 发生,则称A 包含于B (或B 包含A ),记B A ⊂(或A B ⊃)。
若B A ⊂且A B ⊃,则称事件A 与事件B 相等,记B A =。
(2)事件的和事件A 与事件B 至少有一个发生的事件,记作B A ,称为A 与B 的和事件,有{}B e A e e B A ∈∈=或 。
同样地有限个事件n A A A ,,,21 至少有一个发生的事件,记作 ni i A 1=,称为有限个事件的和事件。
可列多个事件 ,,,,21i A A A 至少有一个发生的事件,记作 ∞=1i i A ,称为可列多个事件的和事件。
(3)事件的积事件A 与事件B 同时发生的事件,记作B A (或AB ),称为A 与B 的积事件,{}B e A e e AB ∈∈=且 类似地,有限个多个事件n A A A ,,,21 同时发生的事件,记作 ni i A 1=。
概率论第1章测验
且已知 P( A B C )
9 , 求 P ( A) (共 15 分) 16
7. 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率为 p,0 p 1 , 则此 人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率。 (共 10 分)
1. 设 A, B, C 是随机试验 E 的三个事件,试用 A, B, C 表示下列事件: (1)仅 A 发生; (2) A, B, C 中至少有两个发生; (4) A, B, C 中恰有两个发生;
(3) A, B, C 中不多于两个发生;
(5) A, B, C 中至多有一个发生。 (共 20 分、每问 4 分) 2. 把 n 个不同的球随机地放入 N ( N n) 个盒子中,求下列事件的概率: (1)某指定的 n 个盒子中各有一个球; (2)任意 n 个盒子中各有一个球;(共 10 分) 3. 设袋子中装有 r 只红球, t 只白球,每次自袋中任取一只球,观察其颜色然后 放回,并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球。若袋中连续取球四次,试求第 一、第二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。 (共 15 分) 4. 据美国的一份资料报道,在美国总的来说患肺癌的概率为 0.1% ,在人群中有
20 % 是吸烟者, 他们患肺癌的概率约为 0 分) 5. 对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为 98 % ,而 当机器发生某种故障时,其合格率为 55 % 。每天早上机器开动时,机器调整良好 的概率为 95 % 。 试求已知某日早上第一件产品是合格品时, 机器调整良好的概率 是多少?(共 15 分) 6.设两两独立的三事件 A, B, C 满足条件
§1-1随机试验与 随机事件
B A
所以选(D)
(本节结束)
B
(4) 什么时候关系式. A B , C B . 当女生是三年级学生,三年级学生都是女生, 且运动员是三年级学生时, B , C B A
例4.如下图电路,Ai=―i开关接通”,i=1,2,3,4,5 B=―灯亮”,用Ai表示灯亮。
1 3 4
2
5
×
解 B= A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2
(2). 事件的积(交):A与B同时发生的事件 称为A与B的
A 积或 交,记为 AB 或 B
AB A B
如例1,掷一枚骰子, B=―出现偶数点”,C=―点数不超过 2点”={ A1 , A2 },则 BC={ A2 } , 事件的积也可以推广到n个或无穷可列个事件。 A1A2…A n ,表示A1,A2,…A n同时发生。
A
A
如例1,掷一枚骰子,B=―出现偶数点”,
B = ―出现奇数点”
课内练习一:
1. 填空 Ω A A Φ A + Ω = ——,A + Φ= ——,A Ω= ——,AΦ= ——, Φ A A _____, A A A – Ω= ——,Ω - A = ——,A –Φ= ——, 2. 判断下列命题是否正确?
集 合 论 全集 空集 元素 子集 A的余集 A是B的子集 A与B相等 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集
ω
A
A
A B
A=B A∪B AB A-B
AB=φ
事件A和事件B互不相容
A与B没有共同元素
4.
事件的运算规律
A+B=B+A , AB=BA ,
交换律
概率论第一章
(1)从丙盒中取出的是白球的概率;
(2)若从丙盒内取到白球,当初从甲盒内取到3个白球的概率.
6.甲袋中有3个白球2个黑球,乙袋中有4个白球4个黑球,现从甲袋中任取2求放入乙袋,再从乙袋中取一球,求取出球是白球的概率p;如果已知从乙袋中取出的球是白球,求从甲袋中取出的球是一白一黑的概率q.
7.三人独立地同时破译一个密码,他们每人能够编译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.求此密码能被译出的概率p.
6.三个箱子,第一个箱子中4个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球与3个白球,第三个箱子中有3个黑球和5个白球,现随机的选取一个箱子从中任取一个球,则这个球为白球的概率是_______;若已发现取出的这个球是白球,则它不是取自第二个箱子的概率是_________.
三、计算题
1.铁路一编组站随机的编组发往三个不同是地区E1,E2和E3各2节、3节和4节车皮,求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率p.
(A)A与B独立(B)B与C独立
(C)A与C独立(D)B C与A独立
11.A,B,C三个随机事件必相互独立,如果他们满足条件
(A)A,B,C两两独立(B)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
(C)P(A-B)-1(D)P(来自-B)=0二、填空题1.两个人相约于晚7点到8点间在某处会面,到达者等足20分钟便立即离去,设两人的到达时刻在7点到8点间都是随机且等可能的,则两人能会面的概率p=_____.
第一章典型习题
一、选择题
1.设A和B为任意二不相容事件,且P(A)P(B)>0,则必有
(A) 和 不相容(B) 和 相容
概率论与数理统计课程第一章练习题及解答
概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题(在每题后的括号中对的打“√”错的打“某”)1、若P(A)1,则A与任一事件B一定独立。
(√)2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
(√)3、样本空间是随机现象的数学模型。
(√)4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。
(某)5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。
(某)6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。
(√)7、若S为试验E的样本空间,B1,B2,称B1,B2,,Bn为E的一组两两互不相容的事件,则(某),Bn为样本空间S的一个划分。
8、若事件A的发生对事件B的发生的概率没有影响,即P(BA)P(B),称事件A、B独立。
(√)9、若事件B1,B2,独立的。
(√)10、若事件B1,B2,,Bn(n2)相互独立,则其中任意k(2kn)个事件也是相互,Bn(n2)相互独立,则将B1,B2,,Bn中任意多个事件换成它们的对立事件,所得的n个事件仍相互独立。
(√)二、单选题1.设事件A和B相互独立,则P(AB)(C)1P(A)P(B)A、P(A)P(B)B、P(A)P(B)C、1P(A)P(B)D、2、设事件A与B相互独立,且0P(A)1,0P(B)1,则正确的是(A)A、A与AB一定不独立C、A与BA一定独立B、A与AB一定不独立D、A与AB一定独立3、设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则(B)A、P(C)P(A)P(B)1B、P(C)P(A)P(B)1C、P(C)P(AB)D、P(C)P(AB)4、在电炉上安装了4个温控器,其显示温度的误差是随机的,在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0,电炉就断电,以E表示事件“电炉断电”,而T(1)T(2)T(3)T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值,则事件E等于()A、{T(1)t0}B、{T(2)t0}C、{T(3)t0}D、{T(4)t0}分析事件{T(4)t0}表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度t0;事件{T(3)t0}表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0,即E{T(3)t0},选C。
概率论第1章大作业
4. 某人有两盒火柴,吸烟时从任一盒中取一根火柴,经过若 干时间后,发现一盒火柴已用完,如果最初两盒中各有n根火柴, 则此时另一盒中还有r根火柴的概率为
提示:设已用完的为甲盒,另一盒为乙盒; A=“取自甲盒”;A =“取自乙盒”;
共取了2n-r次,X取自甲盒的次数
X ~ b(2n r,1/ 2)
仪器使用的最初200小时内,至少有一只元件损坏的概率a .
解:法1 X i (i 1,2,3) 表示第 i 个元件的使用寿命 ,
Ai “第 i 个元件的使用寿命 200小时”(i 1,2,3) , A “在最初200小时内,至少有一只元件损坏”
由题设知 X i (i 1,2,3) 的概率密度为
且 P{ X 2} 1 , 试 确 定 常 数a, b, 并 求 X 的 分 布 律. 2
解:法1 由已知得 X 的分布律为
则 X 的分布律为
X 1 1 2
P
a
2 2a 2a b 2
3
3
知 1 P{X 2} 2a b 2 ,
2
3
X 1 1 2
111
P
632
3. 设P(A)=a, P(B)=0.3, P( A B) 0.7 , 若事件A与B互不相 容,则a=_____,若事件A与B相互独立则a=_____.
提示:P( A B) P( A) P(B) P( AB)
1 P( A) P(B) [P(B) P(BA)] 1 P( A) P(BA)
当x 0时,有
F ( x) 1[ 0ex d x x ex d x]
2
0
(3) 求 Y X 2 的概率密度 . 解 (1) 由概率密度的性质,有
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1.写出下列随机试验的样本空间:
(1)10件产品中有4件为次品,从中任取3件,记录3件中的正品数;
(2)10件产品中4件为次品,每次从中任取一件(取后不放回),直到将次品全部取出时所取的次数;
(3)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子出现的点数之和;
(4)掷一颗骰子两次,记录两次出现的点数;
(5)袋中有6个球,分别编号为1,2,3,4,5,6.从中依次任取两球,记录两球的编号;
(6)射击某一目标,记录到击中目标为止射击的次数;
(7)将一根单位长的细棍,任分为两段,记录各段的长度;
(8)掷一枚硬币3次,记录“正面”和“反面”出现的情况.
解:(1)Ω={0,1,2,3};
(2)Ω={4,5,6,7,8,9,10};
(3)Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12};
(4)Ω={(i,j)| i,j=1,2,3,4,5,6};
(5)Ω={(i,j)| i,j=1,2,3,4,5,6,且i≠j};
(6)Ω={1,2,3,…};
(7)Ω={(x,y)|x + y=1,且0<x<1,0<y<1};
(8)Ω={正正正,正正反,正反正,正反反,反正反,反反正,反正正,反反反}
2.若A 、B 、C 为3个事件,试用A 、B 、C 表示下列事件:
(1)A 、B 同时发生,而C 不发生;
(2)A 、B 、C 都发生;
(3)A 、B 、C 都不发生;
(4)A 、B 、C 至少有一个发生;
(5)A 、B 、C 至少有一个不发生;
(6)A 、B 、C 恰有一个发生;
(7)A 、B 、C 最多有一个发生;
(8)A 、B 、C 至少有两个发生;
(9)A 不发生,且B 、C 至少有一个发生.
解:(1)ABC ;(2)ABC ;(3)ABC ;(4)A ∪B ∪C ;(5)ABC 或A ∪B ∪C ;
(6)ABC ∪ABC ∪ABC ;(7)ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC ;
(8)AB ∪AC ∪BC ;(9)A (B ∪C ).
3.掷一枚硬币,令A i 表示“第i 次为正面朝上”,i =1,2,3.说明:(1)A 1A 2A 3;
(2)1A ∪2A ;(3)321A A A ;(4)A 1∪A 2∪A 3。
分别表示什么事件.
解:(1)“三次均为正面朝上”;
(2)“前两次中至少有一次反面朝上”;
(3)“三次均为反面朝上”;
(4)“三次中至少有一次正面朝上”.
4.设Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
A ={1,2,3,4},
B ={1,3,5,7,9},
C ={5,6,7,8}. 求(1)AB ;(2)A ∪B ;(3)B A ;(4)BC A ;(5)C B A ;(6)(A ∪B )C ;(7))(C B A ;
(8)C B A .
解:(1)AB ={1,3}; (2)A ∪B ={2,4,5,6,7,8,9,10};
(3)B
A={5,6,7,8,9,10};
A={1,2,3,4,5,7,9};(4)BC
(5)C
A={1,3,5,6,7,8,9,10};(6)(A B)C ={5,7};
B
(7)()
={2,4,5,6,7,8,9,10};(8)C
A B C
= ABC = .
B
A。