【优选整合】苏教版高中数学 高三二轮 专题16 圆锥曲线基本问题 教案
高二数学选修1-1 圆锥曲线及轨迹-苏教版 教案
高二数学选修1-1 圆锥曲线及轨迹-苏教版一、复习的目标、重点1、通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程，掌握它的定义。
2、通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线、抛物线的定义。
3、理解圆锥曲线的统一定义4、理解曲线与方程的关系，掌握求轨迹方程的一般方法和步骤。
二、知识结构1、圆锥曲线的定义，并利用定义解决有关问题。
2、求轨迹方程并判断是什么曲线 三、基础训练1、设定点F 1(0,－3)，F 2(0,3)，动点P(x ,y )满足条件|PF 1|+|PF 2|=a （a >0），则动点P 的轨迹是 椭圆或线段或不存在2、已知A 、B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340m /s ，则炮弹爆炸点的所在曲线为 双曲线的一支3、如果M(x ,y )在运动过程中，总满足关系式10)3()3(2222=-++++y x y x ，则M 的轨迹是 椭圆4、若动圆与定圆(x －2)2+y 2=1外切，又与直线x +1=0相切，则动圆圆心的轨迹是 抛物线5、“点M 在曲线y 2=4x 上”是“点M 的坐标满足方程y =x 2-”的 必要不充分 条件6、若P(2,－3)在曲线x 2－ay 2=1上，则a 的值为31四、典例选讲例1、若一个动点P(x ,y )到两个定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)的距离之差的绝对值为定值a (0≤a ≤2)，试探求点P 的轨迹。
解：当a =0时，|PF 1－PF 2|=0，从而PF 1=PF 2，所以点P 的轨迹为直线：x =0 当a =2时，|PF 1－PF 2|=2=F 1F 2，点P 的轨迹为两条射线：y =0（|x |≥1）当0<a <2时，|PF 1－PF 2|=a <F 1F 2，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，a 为实轴长的双曲线。
例2、已知圆C 1：(x +3)2+y 2=1和圆C 2：(x －3)2+y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹。
2022江苏高考数学二轮复习教学案(祥解)--圆锥曲线(含轨迹问题)
2022江苏高考数学二轮复习教学案（祥解）--圆锥曲线（含轨迹问题）本节知识在江苏高考试题中要求比较低，椭圆的标准方程和几何性质是B 级考点，其余差不多上A 级考点，但高考必考．在明白得定义的基础上，只需对标准方程及其性质熟悉，专门是圆锥曲线中的离心率运算(含范畴)．要能准确建模(方程或不等式)．1. 把握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；把握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法．2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；了解双曲线的简单几何性质．3. 了解抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程；了解抛物线的简单几何性质．1. 若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是________．2.若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________．3.双曲线2x 2－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________．4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得PF 1PF 2＝e ，则该椭圆离心率e 的取值范畴是________．【例1】 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1) 求椭圆G 的方程； (2) 求△PAB 的面积． 【例2】 直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22，1)到两焦点的距离之和为4 3.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且AF →＝3FB →.求过O 、A 、B 三点的圆的方程．【例3】 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 交椭圆于M 、N 两点．(1) 当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若只是定点，请说明理由．【例4】 (2011·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆B ：(x －1)2＋y 2＝16与点A(－1,0)，P 为圆B 上的动点，线段PA 的垂直平分线交直线PB 于点R ，点R 的轨迹记为曲线C.(1) 求曲线C 的方程；(2) 曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ，过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为M 、N ，连结QM 、QN ，分别交直线x ＝t(t 为常数，且t ≠2)于点E 、F ，设E 、F 的纵坐标分别为y 1、y 2，求y 1·y 2的值(用t 表示)．1. (2011·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为__________．2.(2010·全国)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于D 点，且BF →＝2FD →，则C 的离心率为________．3.(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好通过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．4.(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范畴为________．5.(2011·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24＋y 22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k.(1) 当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； (2) 当k ＝2时，求点P 到直线AB 的距离d ； (3) 对任意k>0，求证：PA ⊥PB.6.(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，一条准线的方程为x ＝2 2. (1) 求该椭圆的标准方程；(2) 设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M ，N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12，问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求出F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．(2011·苏锡常镇二模)(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上的一点．(1) 求证：A 、C 、T 三点共线；(2) 假如BF →＝3FC →，四边形APCB 的面积最大值为6＋23，求现在椭圆的方程和P 点坐标．(1) 证明：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)①，则A(0，b)，B(0，－b)，T ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0.(1分)AT ：x a 2c＋y b ＝1 ②，BF ：x c ＋y －b ＝1 ③，(3分) 联立①②③解得：交点C ⎝⎛⎭⎫2a 2ca 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，代入①得(4分)⎝⎛⎭⎫2a 2c a 2＋c 22a 2＋⎝⎛⎭⎫b 3a 2＋c 22b 2＝4a 2c 2＋(a 2－c 2)2(a 2＋c 2)2＝1，(5分)满足①式，则C 点在椭圆上，A 、C 、T 三点共线．(6分) (2) 解：过C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，△OBF ∽△ECF.∵BF →＝3FC →，CE ＝13b ，EF ＝13c ，则C ⎝⎛⎭⎫4c 3，b 3，代入①得⎝⎛⎭⎫43c 2a 2＋⎝⎛⎭⎫b 32b 2＝1，∴ a 2＝2c 2，b 2＝c 2.(7分)设P(x 0，y 0)，则x 0＋2y 20＝2c 2.(8分)现在C ⎝⎛⎭⎫4c 3，c 3，AC ＝235c ，S △ABC ＝12·2c·4c 3＝43c 2，(9分) 直线AC 的方程为x ＋2y －2c ＝0，P 到直线AC 的距离为d ＝|x 0＋2y 0－2c|5＝x 0＋2y 0－2c5， S △APC ＝12d·AC ＝12·x 0＋2y 0－2c 5·235c ＝x 0＋2y 0－2c 3·c.(10分) 只需求x 0＋2y 0的最大值．(解法1)∵ (x 0＋2y 0)2＝x 20＋4y 20＋2·2x 0y 0≤x 20＋4y 20＋2(x 20＋y 20)(11分)＝3(x 20＋2y 20)＝6c 2，∴ x 0＋2y 0≤6c.(12分)当且仅当x 0＝y 0＝63c 时，(x 0＋2y 0)max ＝6c.(13分)(解法2)令x 0＋2y 0＝t ，代入x 2＋2y 20＝2c 2得(t －2y 0)2＋2y 20－2c 2＝0，即6y 20－4ty 0＋t 2－2c 2＝0.(11分)Δ＝(－4t)2－24(t 2－2c 2)≥0，得t ≤6c.(12分) 当t ＝6c ，代入原方程解得：x 0＝y 0＝63c.(13分)∴ 四边形的面积最大值为6－23c 2＋43c 2＝6＋23c 2＝6＋23，(14分) ∴ c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，(15分)现在椭圆方程为x 22＋y 2＝1，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63.(16分)第13讲 圆锥曲线(含轨迹问题)1. 已知方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范畴是________，若该方程表示双曲线，则m 的取值范畴是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫1，32 (－∞，1)∪(2，＋∞)2. 点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点，F 1 ，F 2为椭圆的焦点，假如∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为________．【答案】 633. 已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．【答案】 x ＝－14. 设P 点在圆x 2＋(y －2)2＝1上移动，点Q 在椭圆x 29＋y 2＝1上移动，则|PQ|的最大值是________．【答案】 1＋362 解析：圆心C(0,2)，|PQ|≤|PC|＋|CQ|＝1＋|CQ|，因此只要求|CQ|的最大值．设Q(x ，y)，∴ |CQ|＝x 2＋(y －2)2＝9(1－y 2)＋(y －2)2＝－8y 2－4y ＋13， ∵ －1≤y ≤1，∴ 当y ＝－14时，|CQ|max ＝272＝362，∴ |PQ|max ＝1＋362.5. (2011·南京二模)如图，椭圆C ：x 216＋y 24＝1的右顶点是A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四边形OAMB 是矩形(O 为坐标原点)，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点． (1) 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；(2) 过点B 的直线l 1、l 2与椭圆C 分别交于点R 、S(不同于B)，且它们的斜率k 1、k 2满足k 1k 2＝－14，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标．(1) 证明：由题意得A(4,0)，B(0,2)，D(0，－2)，E(2,0)，P(4,1)． 因此直线DE 的方程为y ＝x －2， 直线BP 的方程为y ＝－14x ＋2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－14x ＋2，得⎩⎨⎧x ＝165，y ＝65，因此直线DE 与直线BP 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫165，65.因为⎝⎛⎭⎫165216＋⎝⎛⎭⎫6524＝1，因此点⎝⎛⎭⎫165，65在椭圆x 216＋y 24＝1上． 即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上． (2) 解：直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y 24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16k 11＋4k 21，y ＝2－8k 211＋4k 21，因此点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 11＋4k 21，2－8k 211＋4k 21. 因为k 1k 2＝－14，因此直线BS 的斜率k 2＝－14k 1， 直线BS 的方程为y ＝－14k 1x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝－14k 1x ＋2，x 216＋y24＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16k 11＋4k 21，y ＝8k 21－21＋4k 21.因此点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21. (若写成“同理可得点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21”也能够) 因此R 、S 关于坐标原点O 对称，故R 、O 、S 三点共线，即直线RS 过定点O.6. (2011·扬州三模)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c 24 (c 是椭圆的半焦距)相离，P 是直线AB 上一动点，过点P 作圆G 的两切线，切点分别为M 、N.(1) 若椭圆C 通过两点⎝⎛⎭⎫1，423、⎝⎛⎭⎫332，1，求椭圆C 的方程；(2) 当c 为定值时，求证：直线MN 通过一定点E ，并求OP →·OE →的值(O 是坐标原点)； (3) 若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率的取值范畴． 解：(1) 令椭圆mx 2＋ny 2＝1，其中m ＝1a 2，n ＝1b 2，得⎩⎨⎧m ＋329n ＝1，274m ＋n ＝1，因此m ＝19，n ＝14， 即椭圆为x 29＋y 24＝1. (2) 直线AB ：x －a ＋yb ＝1，设点P(x 0，y 0)，则OP 的中点为⎝⎛⎭⎫x 02，y 02，因此点O 、M 、P 、N 所在的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝x 20＋y 24，化简为x 2－x 0x ＋y 2－y 0y ＝0，与圆x 2＋y 2＝c 24作差，即有直线MN ：x 0x ＋y 0y ＝c 24. 因为点P(x 0，y 0)在直线AB 上，因此x 0－a ＋y 0b ＝1，因此x 0⎝⎛⎭⎫x ＋b a y ＋⎝⎛⎭⎫by －c 24＝0，因此⎩⎨⎧x ＋ba y ＝0，by －c24＝0，得x ＝－c 24a ，y ＝c 24b ，故定点E ⎝⎛⎭⎫－c 24a ，c 24b ，OP →·OE →＝⎝⎛⎭⎫x0，b a x 0＋b ·⎝⎛⎭⎫－c 24a ，c 24b ＝c 24.(3) 直线AB 与圆G ：x 2＋y 2＝c 24(c 是椭圆的半焦距)相离， 则ab a 2＋b 2＞c2，即4a 2b 2＞c 2(a 2＋b 2)，4a 2(a 2－c 2)＞c 2(2a 2－c 2)，得e 4－6e 2＋4＞0.因为0＜e ＜1，因此0＜e 2＜3－ 5.①连结ON 、OM 、OP ，若存在点P 使△PMN 为正三角形，则在Rt △OPN 中，OP ＝2ON＝2r ＝c ，因此aba 2＋b 2≤c ，a 2b 2≤c 2(a 2＋b 2)，a 2(a 2－c 2)≤c 2(2a 2－c 2)，得e 4－3e 2＋1≤0. 因为0＜e ＜1，因此3－52≤e 2＜1.②由①②，得3－52≤e 2＜3－5，因此5－12≤e ＜10－22. 基础训练1. 3或2532. 32 3. 26＋44. [2－1,1) 解析：∵ PF 1PF 2＝e, ∴ PF 1＝ePF 2＝e(2a －PF 1)，PF 1＝2ae1＋e ，又a －c ≤PF 1≤a ＋c ，∴ a －c ≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，a(1－e)≤2ae 1＋e ≤a(1＋e)，1－e ≤2e1＋e ≤1＋e ，解得e ≥2－1.又0＜e ＜1, ∴ 2－1≤e ＜1.例题选讲例1 解：(1) 由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 因此椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝x ＋m.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E(x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4；因为AB 是等腰△PAB 的底边，因此PE ⊥AB.因此PE 的斜率k ＝2－m 4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.现在方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.因此y 1＝－1，y 2＝2. 因此|AB|＝3 2.现在，点P(－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|－3－2＋2|2＝322，因此△PAB 的面积S ＝12|AB|·d ＝92. 例2 解：(1) 由题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝43，a ＝2 3. 因为点(22，1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，因此812＋1b 2＝1，解得b ＝3， 故所求椭圆方程为x 212＋y 23＝1.(2) 如图设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(y 1＜0，y 2＞0)．点F 的坐标为F(3,0)．由AF →＝3FB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3－x 1＝3(x 2－3)，－y 1＝3y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－3x 2＋12，y 1＝－3y 2，① 又A 、B 在椭圆C 上，因此⎩⎨⎧(－3x 2＋12)212＋(－3y 2)23＝1，x 2212＋y223＝1，解得⎩⎨⎧x 2＝103，y 2＝23.因此B ⎝⎛⎭⎫103，23，代入①得A 点坐标为(2，－2)．因为OA →·AB →＝0，因此OA ⊥AB. 因此过O 、A 、B 三点的圆确实是以OB 为直径的圆， 其方程为x 2＋y 2－103x －23y ＝0.变式训练 已知点P(4,4)，圆C ：(x －m)2＋y 2＝5(m<3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1) 求m 的值与椭圆E 的方程；(2) 设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范畴．解：(1) 点A 坐标代入圆C 方程，得(3－m)2＋1＝5.∵ m ＜3，∴ m ＝1. 圆C ：(x －1)2＋y 2＝5.设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0.∵ 直线PF 1与圆C 相切，∴ |k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.解得k ＝112或k ＝12. 当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去． 当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴ c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0). 2a ＝AF 1＋AF 2＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2.椭圆E 的方程为：x 218＋y 22＝1.(2) AP →＝(1,3)，设Q(x ，y)，AQ →＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵ x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y)2＝18，而x 2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴ －3≤xy ≤3. 则(x ＋3y)2＝x 2＋(3y)2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范畴是[0,36]. x ＋3y 的取值范畴是[－6,6]．∴ AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范畴是[－12,0]. (注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决)例3 解：(1) 直线AM 的斜率为1时，直线AM 方程为y ＝x ＋2， 代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0， 解之得x 1＝－2，x 2＝－65，∴ M ⎝⎛⎭⎫－65，45.(2) 设直线AM 的斜率为k ，则AM ：y ＝k(x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1， 化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.∵ 此方程有一根为－2，∴ x M ＝2－8k 21＋4k 2，同理可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0.∵ k MP ＝y Mx M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2，同理可运算得k PN ＝5k4－4k 2.∴ 直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0.变式训练 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其焦点在圆x 2＋y 2＝1上．(1) 求椭圆的方程；(2) 设A 、B 、M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cosθOA →＋sinθOB →.① 求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； ② 求OA 2＋OB 2.(1) 解：依题意，得c ＝1.因此a ＝2，b ＝1.因此所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2) ①证明：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②.又设M(x ，y)，因OM →＝cosθOA →＋sinθOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cosθ＋x 2sinθ，y ＝y 1cosθ＋y 2sinθ. 因M 在椭圆上，故(x 1cosθ＋x 2sinθ)22＋(y 1cosθ＋y 2sinθ)2＝1. 整理得⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2cosθsinθ＝1.将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得x 1x 22＋y 1y 2＝0. 因此k OA k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值．② 解：(y 1y 2)2＝⎝⎛⎭⎫－x 1x 222＝x 212·x 222＝(1－y 21)(1－y 22)＝1－(y 21＋y 22)＋y 21y 22，故y 21＋y 22＝1. 又⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22＝2，故x 21＋x 22＝2.因此OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝3.例4 解：(1) 连结RA ，由题意得RA ＝RP ，RP ＋RB ＝4， 因此RA ＋RB ＝4＞AB ＝2，由椭圆定义，得点R 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2) 设M(x 0，y 0)，则N(－x 0，－y 0)，QM 、QN 的斜率分别为k QM 、k QN ， 则k QM ＝y 0x 0－2，k NQ ＝y 0x 0＋2，因此直线QM 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线QN 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x －2)． 令x ＝t(t ≠2)，则y 1＝y 0x 0－2(t －2)，y 2＝y 0x 0＋2(t －2)，又(x 0，y 0)在椭圆x 204＋y 203＝1上，因此y 20＝3－34x 20.因此y 1·y 2＝y 20x 20－4(t －2)2＝⎝⎛⎭⎫3－34x 20(t －2)2x 20－4＝－34(t －2)2，其中t 为常数且t ≠2.高考回忆1. x 29－y 227＝1 解析：由题设可得双曲线方程满足3x 2－y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ3－y 2λ＝1.因此c 2＝λ3＋λ＝4λ3.又抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则c 2＝4λ3＝36，因此λ＝27.因此双曲线的方程x 29－y 227＝1.2. 33 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，设D(x 2，y 2)，B(0，b)，C(c,0)，BF →＝(c ，－b)，FD →＝(x 2－c ，y 2)⎩⎨⎧x 2＝32c ，y 2＝－b 2.∴ 1a 2·94c 2＋1b 2·b 24＝1，∴ 94e 2＝34，∴ e ＝33.3. x 25＋y 24＝1 解析：作图可知一个切点为(1,0)，因此椭圆c ＝1.分析可知直线AB 为圆x 2＋y 2＝1与以⎝⎛⎭⎫1，12为圆心，12为半径的圆的公共弦．由(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝14与x 2＋y 2＝1相减得直线AB 方程为：2x ＋y －2＝0.令x ＝0，解得y ＝2，∴ b ＝2，又c ＝1，∴ a 2＝5，故所求椭圆方程为：x 25＋y 24＝1.4. (1，2) 解析：由题可知A ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，ab c ，c －a 2c <ab c ，∴ b<a ，∴ c 2－a 2<a 2，∴ c a <2，即1<e< 2.5. 解：(1) 由题意知M(－2,0)，N(0，－2)，M 、N 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－22， 直线PA 平分线段MN ，又直线PA 通过原点，因此k ＝22.(2) 直线PA ：y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋2y 2＝4，得P ⎝⎛⎭⎫23，43，A ⎝⎛⎭⎫－23，－43，C ⎝⎛⎭⎫23，0，AB 方程：y －43＝x －23－23－23，即：x －y －23＝0，因此点P 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪23－43－232＝223.(3) (解法1)由题意设P(x 0，y 0)，A(－x 0，－y 0)，B(x 1，y 1)，则C(x 0,0)，∵ A 、C 、B 三点共线，∴ k AC ＝k AB ，y 02x 0＝y 1＋y 0x 1＋x 0，又因为点P 、B 在椭圆上，∴ x 204＋y 202＝1，x 214＋y 212＝1，两式相减得：k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1＝－x 0＋x 12(y 0＋y 1)，∴ k PA k PB ＝y 0x 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x 0＋x 12(y 0＋y 1)＝－(y 1＋y 0)(x 0＋x 1)(x 1＋x 0)(y 0＋y 1)＝－1，∴ PA ⊥PB.(解法2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点T(x 0，y 0)，则P(－x 1，－y 1)，C(－x 1,0)，∵ A 、C 、B 三点共线，∴ y 2x 2＋x 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 12x 1＝k AB ，又因为点A 、B 在椭圆上，∴ x 224＋y 222＝1，x 214＋y 212＝1，两式相减得：y 0x 0＝－12k AB ，∴ k OT k PA ＝y 0x 0·y 1x 1＝－12k AB ×2k AB ＝－1，∵ OT ∥PB ，∴ PA ⊥PB. (解法3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 22＝1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2， A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－21＋2k 2，－2k 1＋2k 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2k 2，0， k AC ＝2k1＋2k 241＋2k 2＝k 2，直线AC ：y ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 1＋2k 2，代入x 24＋y 22＝1得到⎝⎛⎭⎫1＋k 22x 2－2k 21＋2k 2x －4＋6k 21＋2k 2＝0，解得x B ＝4＋6k 2(2＋k 2)1＋2k 2，k PB ＝y B －y P x B －x P ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x B－21＋2k 2x B －21＋2k 2＝－4k 4k 2＝－1k .∴ k PA ·k PB ＝k·⎝⎛⎭⎫－1k ＝－1，∴ PA ⊥PB. 点评：本题要紧考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式，直线的垂直关系的判定．另外还考查了解方程组，共线、点在曲线上的问题．字母运算的运算求解能力， 考查推理论证能力．(1)(2)属容易题；(3)是考查学生灵活运用、数学综合解题能力，属难题．6. 解：(1) 由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2) 设P(x ，y)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →，得 (x ，y)＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M ，N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，因此x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2)＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2) ＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，因此x 2＋2y 2＝20.因此P 点是椭圆x 2(25)2＋y 2(10)2＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝(25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．。
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(1)若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程;(2)(理)连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明;否则说明理由。
(文)若为x轴上一点,求证:2.如图所示，已知圆定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。
(1)求曲线E的方程;(2)若过定点F(0，2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足的取值范围。
3.设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且⑴求椭圆C的离心率;⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程.4.设椭圆的离心率为e=(1)椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.(2)求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M(2， )处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1⊥OQ2.5.已知曲线上任意一点P到两个定点F1(- ，0)和F2( ，0)的距离之和为4.(1)求曲线的方程;(2)设过(0，-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标原点)，求直线的方程.6.已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B.过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为(m，n).(Ⅰ)当m+n>0时，求椭圆离心率的范围;(Ⅱ)直线AB与⊙P能否相切?证明你的结论.7.有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.(1)求证：直线AB恒过一定点;(2)当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积8.已知点P(4，4)，圆C：与椭圆E：有一个公共点A(3，1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围.9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。
苏教版学高中数学选修圆锥曲线与方程章末复习课讲义
圆锥曲线的定义及应用（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线Ｄ．以上都不对（２）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F１，F２在x轴上，离心率为错误!.过F１的直线l交C于A，B两点，且△ABF２的周长为１6，那么C的方程为________．（１）C （２）错误!＋错误!＝１[（１）把轨迹方程５错误!＝|３x＋４y—１２|写成错误!＝错误!.∴动点M到原点的距离与它到直线３x＋４y—１２＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线３x＋４y—１２＝0为准线的抛物线．（２）设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），因为AB过F１且A，B在椭圆上，如图所示，则△ABF２的周长为|AB|＋|AF２|＋|BF２|＝|AF１|＋|AF２|＋|BF１|＋|BF２|＝４a＝１6，∴a＝４．又离心率e＝错误!＝错误!，∴c＝２错误!，∴b２＝a２—c２＝8，∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．]“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．１．点P是抛物线y２＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是（２,３），求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标．[解] 抛物线y２＝8x的准线方程是x＝—２，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝—２的距离，过点P作PD垂直于准线x＝—２，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝２—（—２）＝４，所以|PM|＋|PF|的最小值是４．此时点P的纵坐标为３，所以其横坐标为错误!，即点P的坐标是错误!.圆锥曲线的方程【例２】C的方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（２）已知抛物线y２＝8x的准线过双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一个焦点，且双曲线的离心率为２，则该双曲线的方程为________．（１）D （２）x２—错误!＝１[（１）由题意得错误!，解得错误!，则b２＝a２—c２＝３，故椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）由题意得错误!，解得错误!，则b２＝c２—a２＝３，因此双曲线方程为x２—错误!＝１．]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．（１）定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．（２）定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx２＋ny２＝１（m>0，n>0）．（３）定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．２．（１）以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是（）Ａ．y２＝8xＢ．y２＝—8xＣ．y２＝8x或y２＝—8xＤ．x２＝8y或x２＝—8yC[由题意知２p＝8，故选Ｃ．]（２）焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为２，到左顶点的距离为３的椭圆的标准方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．x２＋错误!＝１A[依题意，得a＝２，a＋c＝３，故c＝１，b＝错误!＝错误!，故所求椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝１．]圆锥曲线的几何性质【例３】（１）如图所示，F１，F２是椭圆C１：错误!＋y２＝１与双曲线C２的公共焦点，A，B分别是C１，C２在第二、四象限的公共点．若四边形AF １BF２为矩形，则C２的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! D.错误!（２）已知a>b>0，椭圆C１的方程为错误!＋错误!＝１，双曲线C２的方程为错误!—错误!＝１，C１与C２的离心率之积为错误!，则C２的渐近线方程为________．[思路探究] （１）由椭圆可求出|AF１|＋|AF２|，由矩形求出|AF１|２＋|AF２|２，再求出|AF２|—|AF１|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率．（２）根据离心率的关系列出关于a，b的方程，求出错误!，再求渐近线方程．（１）D （２）x±错误!y＝0 [（１）由椭圆可知|AF１|＋|AF２|＝４，|F１F２|＝２错误!.因为四边形AF１BF２为矩形，所以|AF１|２＋|AF２|２＝|F１F２|２＝１２，所以２|AF１||AF２|＝（|AF１|＋|AF２|）２—（|AF１|２＋|AF２|２）＝１6—１２＝４，所以（|AF２|—|AF１|）２＝|AF１|２＋|AF２|２—２|AF１|·|AF２|＝１２—４＝8，所以|AF２|—|AF１|＝２错误!，因此对于双曲线有a＝错误!，c＝错误!，所以C２的离心率e＝错误!＝错误!.（２）设椭圆C１和双曲线C２的离心率分别为e１和e２，则e１＝错误!，e２＝错误!.因为e１·e２＝错误!，所以错误!＝错误!，即错误!４＝错误!，所以错误!＝错误!.故双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x，即x±错误!y＝0．]求解离心率的三种方法（１）定义法：由椭圆（双曲线）的标准方程可知，不论椭圆（双曲线）的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a２—b２＝c２（a２＋b２＝c２）以及e＝错误!，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．（２）方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．（３）几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆（双曲线）的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．３．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O 为原点，若△ABO的面积是错误!c２，则这一椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!A[错误!ab＝错误!c２，即a２（a２—c２）＝１２c４，所以（a２＋３c２）（a２—４c２）＝0，所以a ２＝４c２，a＝２c，故e＝错误!＝错误!.]直线与圆锥曲线的位置关系【例４】，左、右焦点分别为F１（—c,0），F２（c,0）．（１）求椭圆的方程；（２）若直线l：y＝—错误!x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F１F２为直径的圆交于C，D两点，且满足错误!＝错误!，求直线l的方程．[思路探究] （１）利用定义解题．（２）利用勾股定理和弦长公式来解．[解] （１）由题设知错误!解得a＝２，b＝错误!，c＝１，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由（１）知，以F１F２为直径的圆的方程为x２＋y２＝１，∴圆心到直线l的距离d＝错误!，由d<１得|m|< 错误!.（*）∴|CD|＝２错误!＝２错误!＝错误!错误!.设A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!得x２—mx＋m２—３＝0，由根与系数的关系可得x１＋x２＝m，x１x２＝m２—３．∴|AB|＝错误!＝错误!错误!.由错误!＝错误!，得错误!＝１，解得m＝±错误!，满足（*）．∴直线l的方程为y＝—错误!x＋错误!或y＝—错误!x—错误!.直线与圆锥曲线的三种位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x（或y）的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：１．相交：Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ>0⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．２．相切：Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ＝0⇔直线与双曲线相切；Δ＝0⇔直线与抛物线相切．３．相离：Δ<0⇔直线与椭圆相离；Δ<0⇔直线与双曲线相离；Δ<0⇔直线与抛物线相离．４．已知椭圆E：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），其焦点为F１，F２，离心率为错误!，直线l：x＋２y—２＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.（１）若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；（２）若线段AB上存在点P满足|PF１|＋|PF２|＝２a，求a的取值范围．[解] （１）由椭圆的离心率为错误!，得a＝错误!c，由A（２,0），得a＝２，∴c＝错误!，b＝错误!，∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）由e＝错误!，设椭圆方程为错误!＋错误!＝１，联立错误!得6y２—8y＋４—a２＝0，若线段AB上存在点P满足|PF１|＋|PF２|＝２a，则线段AB与椭圆E有公共点，等价于方程6y２—8y ＋４—a２＝0在y∈[0,１]上有解．设f（y）＝6y２—8y＋４—a２，∴错误!即错误!∴错误!≤a２≤４，故a的取值范围是错误!≤a≤２．。
高三数学圆锥曲线的综合问题 苏教版
高三数学圆锥曲线的综合问题 苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆锥曲线的综合问题二. 教学目标：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．三. 知识要点：解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识．反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质．学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的．具体来说，有以下三方面：（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值X 围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法．有时题设设计得非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口．（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识．（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号．【典型例题】例1. 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m 万千米和34m 万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2π和3π，求该彗星与地球的最近距离．分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解．同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考．仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a －c ，这样就把问题转化为求a ，c 或a －c ．解：建立如上图所示直角坐标系，设地球位于焦点F （－c ，0）处，椭圆的方程为22a x +22by =1，当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足∠xF A =3π（或∠xF A ′=3π）． 作AB ⊥Ox 于B ，则｜FB ｜=21｜F A ｜=32m ， 故由椭圆的第二定义可得m =a c （c a 2－c ）① 且34m =a c （c a 2－c +32m ）②两式相减得31m =a c ·32m ，∴a =2c ．代入①，得m =21（4c －c ）=23c ，∴c =32m ．∴a －c =c =32m ．答：彗星与地球的最近距离为32m 万千米点评：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a －c ，另一个是a +c ．（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想．另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质．例2. 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP 、BP 运到P 处（如图所示）．已知P A =100 m ，PB =150 m ，∠APB =60°，试说明怎样运土最省工．分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP 到P 较近；（2）沿BP 到P 较近；（3）沿AP 、BP 到P 同样远．显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M 是分界线上的任意一点则有｜MA ｜+｜P A ｜=｜MB ｜+｜PB ｜．于是｜MA ｜－｜MB ｜=｜PB ｜－｜P A ｜=150－100=50．从而发现第三类点M 满足性质：点M 到点A 与点B 的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程．解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系xOy ，设M （x ，y ）是沿AP 、BP 运土同样远的点，则｜MA ｜+｜P A ｜=｜MB ｜+｜PB ｜，∴｜MA ｜－｜MB ｜=｜PB ｜－｜P A ｜=50． 在△P AB 中，由余弦定理得｜AB ｜2=｜PA ｜2+｜PB ｜2－2｜PA ｜｜PB ｜cos60°=17500， 且50＜｜AB ｜．由双曲线定义知M 点在以A 、B 为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）．∵2a =50，4c 2=17500，c 2=a 2+b 2， 解之得a 2=625，b 2=3750∴M 点轨迹是6252x －37502y =1（x ≥25）在半圆内的一段双曲线弧．于是运土时将双曲线左侧的土沿AP 运到P 处，右侧的土沿BP 运到P 处最省工． 点评：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域．（2）应用分类思想解题的一般步骤：①确定分类的对象；②进行合理的分类；③逐类逐级讨论；④归纳各类结果．例3. 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m ，宽1.6 m 现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m 的距离行驶已知拱口AB 宽恰好是拱高OC 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车安全通过的a 的最小整数值．分析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m 到2 m 间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m （即在横断面上距拱口中点2 m ）处隧道的高度是否够3 m ，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得．解：如图，以拱口AB 所在直线为x 轴，以拱高OC 所在直线为y 轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为x 2=－2p （y －4a），∵点A （－2a，0）在抛物线上，∴（－2a ）2=－2p （0－4a ），得p =2a．∴抛物线方程为x 2=－a （y －4a）．取x =1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得22=－a （y －4a ），y =a a 4162-．由题意，令y ＞3，得aa 4162-＞3，∵a ＞0，∴a 2－12a －16＞0． ∴a ＞6+213．又∵a ∈Z ，∴a 应取14，15，16，……．答：满足本题条件使卡车安全通过的a 的最小正整数为14 m ．点评：本题的解题过程可归纳为两步：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m 处y 的值；二是由y ＞3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a 的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的．例4. 如图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b （a >0，b ≠0），且交抛物线y 2=2px （p >0）于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点．（1）写出直线l 的截距式方程；（2）证明：11y +21y =b1；（3）当a =2p 时，求∠MON 的大小．分析：易知直线l 的方程为a x +by=1，欲证11y +21y =b 1，即求2121y y y y +的值，为此只需求直线l 与抛物线y 2=2px 交点的纵坐标由根与系数的关系易得y 1+y 2、y 1y 2的值，进而证得11y +21y =b1．由OM ·ON =0易得∠MON =90°亦可由k OM ·k ON =－1求得∠MON =90°． （1）解：直线l 的截距式方程为a x +by=1． （2）证明：由a x +by=1及y 2=2px 消去x 可得by 2+2pay －2pab =0． 点M 、N 的纵坐标为y 1、y 2，故y 1+y 2=bpa2-，y 1y 2=－2pa ．所以11y +21y =2121y y y y +=pa b pa22--=b1．（3）解：设直线OM 、ON 的斜率分别为k 1、k 2， 则k 1=11x y ，k 2=22x y．当a =2p 时，由（2）知，y 1y 2=－2pa =－4p 2， 由y 12=2px 1，y 22=2px 2，相乘得（y 1y 2）2=4p 2x 1x 2，x 1x 2=22214)(p y y =2224)4(pp =4p 2， 因此k 1k 2=2121x x y y =2244p p -=－1．所以OM ⊥ON ，即∠MON =90°．点评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．例5. 已知椭圆C 的方程为22a x +22b y =1（a >b >0），双曲线22a x －22by =1的两条渐近线为l 1、l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1，又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B ．（如图）（1）当l 1与l 2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程；（2）当FA =λAP 时，求λ的最大值．分析：（1）求椭圆方程即求a 、b 的值，由l 1与l 2的夹角为60°易得a b =33，由双曲线的距离为4易得a 2+b 2=4，进而可求得a 、b ．（2）由FA =λAP ，欲求λ的最大值，需求A 、P 的坐标，而P 是l 与l 1的交点，故需求l 的方程将l 与l 2的方程联立可求得P 的坐标，进而可求得点A 的坐标将A 的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值．解：（1）∵双曲线的渐近线为y =±abx ，两渐近线夹角为60°， 又a b <1，∴∠POx =30°，即ab=tan30°=33∴a =3b ．又a 2+b 2=4，∴a 2=3，b 2=1．故椭圆C 的方程为32x +y 2=1．（2）由已知l ：y =b a （x －c ），与y =a b x 解得P （c a 2，cab），由FA =λAP 得A （λλ+⋅+12c a c ，λλ+⋅1c ab ）． 将A 点坐标代入椭圆方程得（c 2+λa 2）2+λ2a 4=（1+λ）2a 2c 2． ∴（e 2+λ）2+λ2=e 2（1+λ）2∴λ2=2224--e e e =－［（2－e 2）+222e -］+3≤3－22．∴λ的最大值为2－1． 点评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题．例6. 如图，矩形ABCD 中，b BC a AB 2,2==，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系，P 是x 轴上方一点，使PC 、PD 与线段AB 分别交于1C 、1D 两点，且2121121,,B C C D AD 成等比数列，求动点P 的轨迹方程，解：显然有)2,(),2,(),0,(),0,(b a D b a C a B a A ----， 设)0,(),0,(),0)(,(2111x D x C y y x P >，P C C ,,1 三点共线，ax ba xb y +=++∴122， by a x b a x 2)(21++=+∴，又D D P ,,1 三点共线，a xb a x b y -=-+∴222， by a x b a x 2)(22+-=-∴，211114112121,C D B C AD C D B C AD =⋅∴=⋅ ，22112)())((x x a x x a -=+-∴， 2)22(2)(22)(2by ay b y a x b b y x a b +=++⋅+-∴，∴化简得动点P 的轨迹方程为)0(12222>=+y by a x ．小结：在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点： 1、客观题求解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决． 2、四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一． 3、注意用好以下数学思想、方法：①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想【模拟试题】1、一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2 m 时，水面宽4 m ，若水面下降1 m 时，则水面宽为A 、6mB 、26mC 、4.5 mD 、9 m2、某抛物线形拱桥的跨度是20 m ，拱高是4 m ，在建桥时每隔4 m 需用一支柱支撑，其中最长的支柱是A 、4 mB 、3.84 mC 、1.48 mD 、2.92 m3、天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是 A 、椭圆 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、抛物线4、1998年12月19日，某某卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星．卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km ，远地点为n km ，地球的半径为R km ，则通信卫星运行轨道的短轴长等于A 、2))((R n R m ++B 、))((R n R m ++C 、2mnD 、mn 5、如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP =1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线对称轴1 m ，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是A 、2.5 mB 、4 mC 、5 mD 、6 m6、探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反射镜顶点的距离是____ cm ．7、在相距1400 m 的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s ，已知声速340 m/s 炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________．8、一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2=2y （0≤y ≤20）在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的X 围为________．9、河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面的部分高43m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距____________m 时，小船不能通航．10、双曲线9x 2－16y 2=1的焦距是____________．11、若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为_____；以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +32y =1的公共点有_________个．12、设P 1（2，2）、P 2（－2，－2），M 是双曲线y =x1上位于第一象限的点，对于命题①|MP 2|－|MP 1|=22；②以线段MP 1为直径的圆与圆x 2+y 2=2相切；③存在常数b ，使得M 到直线y =－x +b 的距离等于22|MP 1|其中所有正确命题的序号是____________．[参考答案]1、解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x 2=－2p y （p>0），由题意知，抛物线过点（2，－2），∴4=2p ×2∴p =1．∴x 2=－2y ． 当y 0=－3时，得x 02=6． ∴水面宽为2|x 0|=26．答案：B2、解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x 2=－2py （p >0），由题意知其过定点（10，－4），代入x 2=－2py ，得p =225． ∴x 2=－25y 当x 0=2时，y 0=254-，∴最长支柱长为4－|y 0|=4－254=3.84（m ）． 答案：B3、解析：设旗杆高为m ，华表高为n ，m ＞n 旗杆与华表的距离为2a ，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x 轴、垂直平分线为y 轴建立直角坐标系设曲线上任一点M （x ，y ），由题意2222)()(y a x y a x +-++=nm，即（m 2－n 2）x 2+（m 2－n 2）y 2－2a （m 2－n 2）x +（m 2－n 2）a 2=0． 答案：B4、解析：由题意22R n m ++－c =m +R ，①22Rn m +++c =n +R ， ② ∴c =2mn -，2b =222)2()22(m n R n m --++=2))((R n R m ++． 答案：A5、解析：以O 为原点，OP 所在直线为y 轴建立直角坐标系（如下图），则抛物线方程可设为y =a （x －1）2+2，P 点坐标为（0，1），∴1=a +2∴a =－1． ∴y =－（x －1）2+2．令y =0，得（x －1）2=2，∴x =1±2． ∴水池半径OM =2+1≈2.414（m ）． 因此水池直径约为2×|OM |=4.828（m ）． 答案：C6、解析：设抛物线方程为y 2=2px （p >0），点（40，30）在抛物线y 2=2px 上，∴900=2p ×40．∴p =445．∴2p =845． 因此，光源到反射镜顶点的距离为845 cm ．答案：8457、解析：设M （x ，y ）为曲线上任一点， 则|MA |－|MB |=340×3=1020<1400．∴M 点轨迹为双曲线，且a =21020=510，c =21400=700．∴b 2=c 2－a 2=（c +a ）（c －a ）=1210×190．∴M 点轨迹方程为22510x －19012102⨯y =1． 答案：22510x －19012102⨯y =1 8、解析：玻璃球的轴截面的方程为x 2+（y －r ）2=r 2由x 2=2y ，x 2+（y －r ）2=r 2，得y 2+2（1－r ）y =0，由Δ=4（1－r ）2=0，得r =1 答案：0＜r ≤19、解析：建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2=－2py （p >0）．将点（4，－5）代入求得p =58．∴x 2=－516y ．将点（2，y 1）代入方程求得y 1=－45．∴43+|y 1|=43+45=2（m ）． 答案：210、答案：65．解析：将双曲线方程化为标准方程得912x －1612y =1．∴a 2=91，b 2=161，c 2=a 2+b 2=91+161=14425．∴c =125，2c =65． 11、答案：0<m 2+n 2<3 ，2． 解析：将直线mx +ny －3=0变形代入圆方程x 2+y 2=3，消去x ，得（m 2+n 2）y 2－6ny +9－3m 2=0． 令Δ<0得m 2+n 2<3．又m 、n 不同时为零，∴0<m 2+n 2<3．由0<m 2+n 2<3，可知|n |<3，|m |<3，再由椭圆方程a =7，b =3可知公共点有2个．12、答案：①②③．解析：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP 1|可知正确．。
【优选整合】苏教版高中数学高三二轮专题16圆锥曲线基本问题教案.doc
第2讲圆锥曲线的基本问题咼考定位圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线的定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题.椭圆有关知识为B级要求，双曲线的有关知识为A级要求.真题感悟考点整合I明考向扣要点真题感悟2 21. ___________________________________________________________ （2016-江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，双曲线〒一号=1的焦距是 _____________________解析由已知，/ = 7, y = 3,则（？ = 7 + 3 = 10,故焦距为2c=2\[\0.答案2你2.（2015-江苏卷）在平面直角坐标系xQy中，P为双曲线x2~y2=\右支上的一个动点.若点P到直线x~y+1=0的距离大于c恒成立，贝I」实数c的最大值为________ .解析双曲线x2—y2= 1的渐近线为x±y=0,直线兀一y+l= 0与渐近线x—y=0平行，故两平行线的距离〃=扌詳==¥.由点P到直线x~y+l= 0的距离大于c恒成立，得c趕, 故c的最大值为券.答案半23.（2017-江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，双曲线于一尹的右准线与它的两条渐近线分别交于点F, Q,其焦点是Fi，局，则四边形F X PF2Q的面积是___________ ・2解析由双曲线方程〒一y= 1知0=诵，b=l, c = 2,所以渐近线方程为尹=准线方程为x=|,所以点P, 0纵坐标的绝对值为[yo|= ±¥冷=¥1 1/34.（2016-江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOp中，F是椭F02=2C=4.所以5，AFip/?2 = 2^7i^72,[yo|=2x^x 2 则S 四边形F\PF2 Q=2S“MF2=2羽.l(a>b>0)的右焦点，盲线尹=号与椭圆交于C 两点，且ZBFC=90。
苏教版选修2《圆锥曲线》说课稿
苏教版选修2《圆锥曲线》说课稿一、教材分析1. 教材背景《圆锥曲线》是苏教版高中数学选修2的一部分，属于高中数学的选修课程，主要内容是圆锥曲线的基本知识和相关性质。
2. 教材特点•系统性强：本教材从基本概念开始，逐渐引入更加深入的内容，形成一个系统的学习框架。
•理论与实际结合：教材不仅重点讲解圆锥曲线的理论知识，还将这些知识与实际问题相结合，突出数学在实际应用中的重要性。
•画图辅助：教材中大量使用图示和实例，帮助学生理解和掌握圆锥曲线的性质。
•培养分析和解决问题的能力：本教材注重培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，通过大量的例题和练习题提高学生的综合运用能力。
二、教学目标1. 知识与技能目标•了解圆锥曲线的基本概念和性质；•掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及其性质；•学会解圆锥曲线的相关问题。
2. 过程与方法目标•培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力；•注重引导学生理解和发现数学规律，提高其数学思考和解决问题的能力；•提供充分的实例和练习，鼓励学生进行实践操作和探索性学习。
3. 情感态度价值观目标•培养学生对数学的兴趣和热爱，提高数学学科的学习积极性；•培养学生的数学思想意识，能够运用数学知识解决实际问题；•培养学生的合作意识和创新精神，提高其团队合作和问题解决能力。
三、教学重点和难点1. 教学重点•圆锥曲线的基本定义和性质；•椭圆、双曲线、抛物线的方程及其性质。
2. 教学难点•理解椭圆、双曲线和抛物线的方程及其性质；•解决实际问题时如何应用圆锥曲线的知识。
四、教学过程与方法设计1. 教学过程安排时间段教学环节教学内容教学方法第1课时导入引入圆锥曲线的概念提问引导讲授椭圆的基本定义和性质讲授、示例分析第2课时讲授双曲线的基本定义和性质讲授、示例分析梳理椭圆与双曲线的对比示范导出、提问引导第3课时讲授抛物线的基本定义和性质讲授、示例分析综合运用圆锥曲线的应用实例小组讨论、展示第4课时练习巩固习题讲解与练习教师辅导、学生独立思考课堂总结总结圆锥曲线的重点知识教师点评、学生互动作业布置布置相关练习题布置写作任务2. 教学方法•提问引导：通过提问的方式，引导学生主动思考、发现问题，并激发学生的学习兴趣。
高中苏教数学圆锥曲线教案
高中苏教数学圆锥曲线教案课时：1课时教学目标：1. 了解圆锥曲线的定义与性质。
2. 能够绘制椭圆、双曲线和抛物线的基本形态。
3. 能够利用圆锥曲线的性质解决实际问题。
教学重点：1. 圆锥曲线的基本概念。
2. 椭圆、双曲线和抛物线的性质。
教学难点：1. 圆锥曲线的几何解释。
2. 圆锥曲线的公式推导。
教学准备：1. 教材《高中数学》（苏教版）。
2. 平面直角坐标系的绘制工具。
3. 圆锥曲线的示意图。
教学内容与过程：一、引入教师引导学生回顾平面直角坐标系的相关知识，提出问题：在平面直角坐标系中，什么是圆锥曲线？为什么称之为圆锥曲线？有哪些类型的圆锥曲线？二、讲解1. 圆锥曲线的定义：平面上点P(x,y)到两个固定点F1和F2的距离之比为常数e（离心率）的轨迹称为椭圆；平面上点P(x,y)到两个固定点F1和F2的距离之差的绝对值为常数ε的轨迹称为双曲线；平面上点P(x,y)到一个固定点F和一条直线L的距离之比为常数的轨迹称为抛物线。
2. 椭圆、双曲线和抛物线的几何特征：椭圆是一个闭合曲线，双曲线有两个分支，抛物线只有一个分支。
3. 圆锥曲线的示意图：通过绘制特定的圆锥曲线示意图，展示椭圆、双曲线和抛物线的形态。
三、练习与讨论在平面直角坐标系中绘制椭圆、双曲线和抛物线的基本形态，并让学生讨论各类型圆锥曲线的性质和特点。
四、拓展应用利用圆锥曲线的性质解决实际问题，如焦点在x轴上的椭圆的方程为x²/16+y²/9=1，求离心率e和焦距。
五、总结与评价总结圆锥曲线的基本概念和性质，评价学生在绘制和讨论过程中的表现，强调圆锥曲线在几何和解析几何中的重要性。
六、作业布置布置作业：练习册上相关练习题，加深对圆锥曲线的理解。
教学反思：本节课通过引入、讲解、练习和拓展应用的方式，帮助学生理解圆锥曲线的基本概念和性质，引导学生在实践中应用所学知识解决问题。
在教学过程中要注重理论与实践相结合，激发学生的兴趣，提高学生的学习效果。
高中数学第二章圆锥曲线学案苏教版选修
抛物线定义 标准方程准线焦半径的位置关系圆锥曲线F 的直线2μ为定值．y x c =-代由(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+与a 共线, 12123()()0y y x x +++=,又1122,y x c y x c =-=-， 即222232a c c a b=+,所以223a b = ，3c ∴==，故离心率c e a ==． （2）由（１）知223a b =,所以椭圆22221x y a b+=可化为22233x y b +=设(,)OM x y =,由已知得1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，(,)M x y 在椭圆上,2221212()3()3x x y y b λμλμ∴+++=，即222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++= ① 由（1）知222212331,,222x x c a c b c +===， 又222222112233,33x y b x y b +=+=代入①，得221λμ+=．故22μλ+为定值,定值为1 ．例2：如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥． （1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M的距离d 的最小值．解析:（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0） 设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x y x y x -=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> （2）直线AP 的方程是.063=+-y x 设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ，于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d ，有,1529(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤-例3：已知方向向量为)3,1(=的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C满足OM ON ⋅=cot∠MON≠0（O 为原点）.求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.解析:（1）直线:l y =- ①过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=， ② 解①②得.23=x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上， ∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③（2）设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=k k k k k k kx x x x kMN 点O 到直线MN 的距离21|2|k k d +=．,cot 634MON ∠=⋅||||cos 0,OM ON MON ⋅∠≠。
江苏省南京市高三应知应会讲义 圆锥曲线与方程教案 苏教版
圆锥曲线与方程一、考试说明要求二、应知应会知识和方法 （Ⅰ）求圆锥曲线的标准方程1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点坐标分别是（－3，0），（3，0），椭圆经过点（5，0）； （2）两个焦点坐标分别是（0，－4），（0，4），椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于10； （3）两个焦点坐标分别是（－2，0），（2，0）且过点（52，－32）．解：（1）x 225＋y 216＝1；（2）y 225＋x 29＝1；（3）x 210＋y 26＝1．2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e ＝23，长轴长为6，那么椭圆的方程是 ．解：x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1．3．离心率为53，一条准线方程为x ＝3，中心在原点的椭圆方程是 ． 解：x 25＋9y 220＝1．4．若双曲线经过点（－3，6），且它的两条渐近线方程是y ＝±3x ，则双曲线的方程是 ． 解：y 29－x 2＝1．5．以椭圆x 28＋y 25＝1的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程是 ．解：x 23－y 25＝1．6．焦点在直线x －2y －4＝0上的抛物线标准方程是 ．解：x 2＝－8y 或y 2＝16x ．7．若抛物线y 2＝－2px （p ＞0）上一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10， 则抛物线方程是 ，点M 的坐标是 ． 解：y 2＝－4x ，M （－9，±6）．说明：求圆锥曲线的标准方程，分三步：①由条件求出方程中的基本量（a ，b ，p ）；②确定焦点位置；③写出方程。
通常会运用待定系数法，并结合圆锥曲线的定义和简单几何性质来解决．（Ⅱ）利用圆锥曲线定义求简单的轨迹方程 1．已知点F 1（－5，0），F 2（5，0），动点P 到F 1与F 2的距离之差是6，则点P 的轨迹是 ，其轨迹方程是 ． 解：双曲线的右支，x 29－y 216＝1（x ＞0）．2．设B （0，－5），C （0，5），△ABC 的周长为36，则△ABC 的顶点A 的轨迹方程是 ． 解：y 2169＋x 2144＝1（x ≠0）．说明：考查直接运用定义求轨迹，要关注限制条件． （Ⅲ）由方程研究几何性质1．椭圆方程为3x 2＋2y 2＝1，则焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ． 解：（0，±66），（0，±22），（±33，0），2，233，33，y ＝±62． 2．双曲线方程为y 2－x 24＝1，则焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ，渐进线方程为 ．解：（0，±5），（0，±1），2，4，5，y ＝±55，y ＝±12x ． 3．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是 ，焦点坐标是 ．解：y ＝2，（0，－2）．4．椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离是52，则点P 到右焦点的距离是 ．解：85．已知点A （3，2），F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，则使PA ＋PF 最小时，点P 的坐标是______________． 解：（2，2）．6．点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上一点，F 1 ，F 2为椭圆的焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为_____．解：63． 7．已知双曲线x 24－y 2＝1的两焦点F 1、F 2，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为__________．解：3． 说明：（1）会由曲线的标准方程，解决曲线的几何性质问题，如求顶点坐标，焦点坐标，准线方程等等，其关键是将方程转化为标准方程形式，定位定量，并运用数形结合来解决．（2）综合运用圆锥曲线的定义、方程及其几何性质解决相关量的计算，常常需要数形结合，将几何图形特征与代数运算相结合．（Ⅳ）综合问题1．过点（3，－2）且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同焦点的椭圆方程是 ． 解：x 215＋y 210＝1．2．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3且它的一条准线与曲线y 2＝4x 的准线重合，则此双曲线的方程是 ． 解：x 23－y 26＝1．3．椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝__________． 解：－1．4．若椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝_______________．解：3或163．5．已知椭圆短轴上的两个三等份点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为 ． 解：e ＝1010． 6．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为2x －y ＝0，则双曲线的离心率为 ． 解：5或52． 7．直线y ＝22x 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1（a ＞b ＞0）的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为 ．解：22． 8．如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点A ，D 为椭圆的两个焦点， 其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率的值是_________． 解：3－1．说明：有关离心率的计算，一是利用的几何图形特征直接求解，二是设法找出a 、b 、c 的等量或不等量关系，得出关于e 的方程或不等式求解；方程中含有参数时，要注意确定焦点位置。
高中数学第二章2.1圆锥曲线学案苏教版选修
2.1圆锥曲线F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．问题1：若绳长等于两点F1、F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段F1F2.问题2：若绳长L大于两点F1、F2的距离．移动笔尖(动点M)满足的几何条件是什么？提示：MF1＋MF2＝L.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．(2)焦距：两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.2011年3月16日，中国海军第7批、第8批护航编队“温州号”导弹护卫舰，“马鞍山”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域高船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰哨兵相距1 600 m的“温州号”舰，3 s后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“马鞍山”舰和“温州号”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．问题1：“温州号”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？提示：MB－MA＝340×3＝1 020(m)．问题2：把快艇作为一个动点，它的轨迹是双曲线吗？提示：不是．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．(1)焦点：两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点．(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线．问题2：DA是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是Rt△的一条直角边．问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：DA＝DC.1．一般地，平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．2．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．圆锥曲线定义用集合语言可描述为：(1)椭圆P＝{M|MF1＋MF2＝2a,2a>F1F2}；(2)双曲线P＝{M||MF1－MF2|＝2a,2a<F1F2}；(3)抛物线P＝{M|MF＝d，d为M到直线l的距离}．2．在椭圆定义中，当2a＝F1F2时，M的轨迹为线段F1F2，在双曲线定义中，当2a＝F1F2时，M的轨迹为两条射线．3．过抛物线焦点向准线作垂线，垂足为N，则FN的中点为抛物线顶点，FN所在直线为抛物线对称轴．4．对于椭圆、双曲线，两焦点的中点是它们的对称中心，两焦点所在直线及线段F1F2的垂直平分线是它们的对称轴．[对应学生用书P19][例1] 平面内动点M到两点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之和为3m，问m取何值时M的轨迹是椭圆？[思路点拨] 若M的轨迹是椭圆，则MF1＋MF2为常数，但要注意这个常数大于F1F2.[精解详析] ∵MF1＋MF2＝3m，∴M到两定点的距离之和为常数，当3m大于F1F2时，由椭圆定义知，M的轨迹为椭圆，∴3m>F1F2＝＋2＋－2＝6，∴m>2，∴当m>2时，M的轨迹是椭圆．[一点通]深刻理解圆锥曲线的定义是解决此类问题的前提，一定要注意定义中的约束条件：(1)在椭圆中，和为定值且大于F1F2；(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于F1F2；(3)在抛物线中，点F不在定直线上．1．命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和PA＋PB＝2a(a＞0，a为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．解析：若P点轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a＞0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若PA＋PB＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a＞AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a＜AB时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要而不充分条件．答案：必要不充分2．动点P到两个定点A(－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是10，则点P的轨迹是________．解析：由题意知：PA＋PB＋AB＝10，又AB＝4，∴PA＋PB＝6>4.∴点P的轨迹是椭圆．答案：椭圆[例2] 设F1，F2F1QF2的平分线的垂线，垂足是P，那么点P的轨迹是什么曲线？[思路点拨] 利用双曲线的定义，结合平面图形的性质判断．[精解详析] 如图所示，点Q在双曲线的右支上，有QF1－QF2＝2a.①延长F1P、QF2交于L.∵∠F 1QP ＝∠LQP ，QP ⊥F 1P ， ∴F 1Q ＝QL ，代入①， 则QL －QF 2＝2a ，即F 2L ＝2a .取线段F 1F 2中点O ，则由P 是F 1L 中点有PO ＝12F 2L ＝12·2a ＝a .∴P 的轨迹是以O 为圆心，以a 为半径的圆．[一点通] 当点在圆锥曲线上时，点一定满足圆锥曲线的定义，如本题中，点Q 在双曲线上，则有QF 1－QF 2＝2a ，这是定义的要求．另外利用平面图形的性质解题是解析几何中很常见的解题思想．3．平面内到两定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的和为3的点的轨迹是________． 解析：F 1F 2＝2＜3，∴点P 的轨迹是椭圆． 答案：椭圆4．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，试判断动圆圆心M 的轨迹．解：设圆M 的半径为r ，由题意，得MC 1＝1＋r ，MC 2＝3＋r .∵MC 2－MC 1＝2<C 1C 2，∴圆心M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的双曲线的左支．5．已知定点P (0,3)和定直线l ：y ＋3＝0，动圆M 过P 点且与直线l 相切．求证：圆心M 的轨迹是一条抛物线．解：∵直线y ＋3＝0与圆相切，∴圆心M 到直线y ＋3＝0的距离为圆的半径r . 又圆过点P (0,3)，∴r ＝MP ，∴动点M 到点P (0,3)的距离等于到定直线y ＋3＝0的距离，∴动点M 的轨迹是以点P (0,3)为焦点，以直线y ＋3＝0为准线的抛物线．椭圆定义中常数为动点到两焦点的距离之和，由三角形中两边之和大于第三边知，应要求常数大于焦距．双曲线定义中常数为动点到两焦点的距离之差的绝对值，由三角形中两边之差小于第三边知，应要求常数小于焦距．[对应课时跟踪训练(七)]1．平面内到一定点F 和到一定直线l (F 在l 上)的距离相等的点的轨迹是________________________．答案：过点F 且垂直于l 的直线2．设F 1、F 2为定点，PF 1－PF 2＝5，F 1F 2＝8，则动点P 的轨迹是________． 解析：∵5＜8，满足双曲线的定义，∴轨迹是双曲线． 答案：双曲线3．以F 1、F 2为焦点作椭圆，椭圆上一点P 1到F 1、F 2的距离之和为10，椭圆上另一点P 2满足P 2F 1＝P 2F 2，则P 2F 1＝________.解析：∵P 2在椭圆上，∴P 2F 1＋P 2F 2＝10， 又∵P 2F 1＝P 2F 2，∴P 2F 1＝5. 答案：54．平面内动点P 到两定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离之差为m ，若动点P 的轨迹是双曲线，则m 的取值范围是________．解析：由题意可知，|m |＜4，且m ≠0，∴－4<m <4，且m ≠0. 答案：(－4,0)∪(0,4)5．已知椭圆上一点P 到两焦点F 1、F 2的距离之和为20，则PF 1·PF 2的最大值为________． 解析：∵PF 1＋PF 2＝20， ∴PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 22)2＝(202)2＝100.答案：1006．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过F 作直线与抛物线相交于A 、B 两点，试判断以AB 为直径的圆与l 的位置关系．解：如图，取AB 的中点O2，过A 、B 、O 2分别作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，O 2O 1⊥l ，根据抛物线的定义，知AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，∴O 2O 1＝AA 1＋BB 12＝AF ＋BF 2＝AB2＝R (R 为圆的半径)， ∴以AB 为直径的圆与l 相切．7．动点P (x ，y )的坐标满足x －2＋y 2＋x ＋2＋y 2＝8.试确定点P 的轨迹．解：设A (2,0)，B (－2,0)， 则x －2＋y 2表示PA ，x ＋2＋y 2表示PB ，又AB ＝4，∴PA ＋PB ＝8＞4，∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．8．在相距1 600 m 的两个哨所A，B，听远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是340 m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时间早3 s．试判断爆炸点在怎样的曲线上？解：由题意可知点P离B比离A远，且PB－PA＝340×3＝1 020 m，而AB＝1 600 m＞1 020 m，满足双曲线的定义，∴爆炸点应在以A，B为焦点的双曲线的靠近A的一支上．。
【课堂新坐标】数学苏教版选修教案：圆锥曲线Word版含解析
第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，掌握椭圆、抛物线的定义，了解双曲线的定义，并能用数学符号或自然语言描述．2．过程与方法(1)通过用平面截圆锥面，体会圆锥曲线的形状及产生过程，归纳圆锥曲线的定义内涵，通过数形结合，由具体形象抽象出概念．(2)通过具体动点轨迹的判定过程，体会定义法求动点轨迹的方法．3．情感、态度与价值观通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们透过现象揭示事物内在本质的思维方式，提高他们认识事物的能力．●重点难点重点：椭圆、抛物线、双曲线的定义．难点：用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义．教学时，应从回顾圆的定义入手，结合冷却塔、油罐车、探照灯等实例，激发学生的探究兴趣，通过平面按不同的角度截割圆锥曲面的动画效果，使学生生动的认识椭圆、抛物线、双曲线的形象，抽象出三种圆锥曲线的概念．(教师用书独具)●教学建议本节课作为圆锥曲线的起始课程，安排本章的开篇，本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭圆、双曲线和抛物线的概念．这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系．根据问题的难易度及学生的认知水平，要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义，这是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数学素养．●教学流程回顾初中有关圆的概念，作为三种圆锥曲线定义的铺垫．⇒通过用平面去截圆锥面得到不同曲线的动画，展示圆锥曲线的产生过程，揭示圆锥曲线的定义内涵．⇒由形象到具体，由具体到抽象，抽象出圆锥曲线的定义，通过生活中的实例，理解概念实质，通过举反例，诠释概念内涵．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握椭圆定义及应用，判别动点轨迹是否为椭圆，求椭圆上一点到焦点的距离．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握双曲线定义及应用，判别动点轨迹是否为双曲线，求双曲线上一点到焦点的距离．⇒通过例3及变式训练，让学生掌握抛物线定义及应用，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，二者可以灵活转化．⇒通过易错易误辨析，体会双曲线定义的严谨性，以及双曲线图形的特殊性，严防思维的漏洞．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.1．平面中，到一个定点的距离为定值的点的轨迹是什么？【提示】圆．2．函数y＝x2的图象是什么？【提示】开口向上的抛物线．3．用刀切火腿肠时，截面会有什么形状？【提示】圆、椭圆．1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．2．设P为相应曲线上任意一点，常数为2a.下列说法中不正确的是________．①已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；②已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；③到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆；④到F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．【思路探究】判定是否为椭圆回顾椭圆定义分析距离满足条件【自主解答】①中F1F2＝8，故到F1、F2两点的距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2.②中到F1、F2两点的距离之和6小于F1F2，故这样的轨迹不存在．③中点(5,3)到F1、F2的距离之和为(5＋4)2＋32＋(5－4)2＋32＝410>F1F2＝8，故③中是椭圆的轨迹．④中是线段F1F2的垂直平分线．【答案】①②④1．判断动点P的运动轨迹是否为椭圆，关键分析两点：(1)点P到两定点的距离之和是否为常数．(2)该常数是否满足大于两定点间的距离．如果满足以上两条，则动点P的轨迹便为椭圆．2．椭圆定义不仅可以用来判定动点轨迹形状，也可由椭圆求解其他问题．图2－1－1如图2－1－1，已知F1，F2为椭圆两焦点，直线AB过F1，若椭圆上任一点M满足MF1＋MF2＝8，F1F2＝6，求△ABF2的周长．【解】由椭圆定义，AF1＋AF2＝8，BF1＋BF2＝8，∴△ABF2周长为16.曲线上的点到两个定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值分别等于(1)6，(2)10，(3)12.满足条件的曲线若存在，是什么样的曲线？若不存在，请说明理由．【思路探究】求F1F1→将常数与F1F2比较大小→由定义判别【自主解答】(1)∵F1F2＝10>6，∴满足该条件的曲线是双曲线．(2)∵F1F2＝10，∴满足该条件的曲线不是双曲线，而是两条射线．(3)∵F1F2＝10<12，∴满足条件的点不存在．1．到两定点距离差的绝对值为一个常数时，动点轨迹不一定是双曲线，应与焦距比较大小．2．本例(1)中，若将“绝对值”去掉，则轨迹只是双曲线的一支．若一个动点P到两个定点F1(－1,0)、F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(a≥0)，试讨论点P的轨迹．【解】∵F1F2＝2，故有(1)当a＝2时，P点轨迹是两条射线y＝0(x≥1)或y＝0(x≤－1)；(2)当a＝0时，轨迹是线段F1F2的垂直平分线，即y轴；(3)当0＜a＜2时，轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线；(4)当a＞2时，轨迹不存在．若动点M到点F(3,0)的距离等于它到直线x＝－3的距离，那么点M的轨迹是什么图形？【思路探究】由题意知MF＝d(d为点M到直线x＝－3的距离)，可根据抛物线的定义确定点M的轨迹是抛物线．【自主解答】由题意知，动点M到点F(3,0)和定直线x＝－3的距离相等，点F(3,0)不在定直线x＝－3上，所以由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F(3,0)为焦点，直线x ＝－3为准线的抛物线．1．本题中动点M的轨迹是抛物线，在求解的过程中一定要判断点F是否在给定的定直线x＝－3上，当F在定直线x＝－3上时，动点M的轨迹是以F点为垂足的定直线x＝－3的垂线；当F不在定直线x＝－3上时，动点M的轨迹才是抛物线．2．利用抛物线的定义判定动点的轨迹，关键是看动点到定直线与到定点的距离是否相等．如图2－1－2所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，侧面AA1B1B内有一动点P，满足P到平面AA1D1D的距离与到直线BC的距离总相等，则P点的轨迹是________．图2－1－2【解析】如题图，PM是点P到平面AA1D1D的距离，PB是P到直线BC的距离，故PM＝PB，所以P的轨迹是以AA1为准线，点B为焦点的一段抛物线．【答案】以AA1为准线，点B为焦点的一段抛物线忽略圆锥曲线定义中的条件致误若一动圆与圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心M的轨迹为________．【错解】双曲线．【错因分析】在错解中，忽略了MC2>MC1，从而导致错误．圆C2的圆心C2(4,0)，半径为2，设动圆的半径为r.因为动圆与圆C1外切，所以MC1＝r＋1.又因为动圆与圆C2外切，所以MC2＝r＋2，从而MC2－MC1＝1<C1C2＝4，所以根据双曲线的定义可知点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的一支．【防范措施】在椭圆的定义中，一定要注意常数大于F1F2这一条件；在双曲线的定义中，要注意常数为小于F1F2的正数这一条件，同时注意取绝对值；在抛物线的定义中，要注意点不能在定直线上，否则轨迹是一条直线．【正解】双曲线的一支．1．利用圆锥曲线的定义判定动点轨迹时，应注意定义中的条件，若部分满足，则动点轨迹不是完整的圆锥曲线．2．利用圆锥曲线定义解题是本章的一个重要解题方法，此方法常与平面几何知识结合，利用数形结合的思想解题.1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之和等于6的点P的轨迹是________．【解析】∵F1F2＝6，∴点P的轨迹是线段F1F2.【答案】线段F1F22．已知△ABC，其中B(0,1)，C(0，－1)，且AB－AC＝1，则A点的轨迹是________．【解析】∵AB－AC＝1<2＝BC，∴A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的下支(x≠0)．【答案】以B、C为焦点的双曲线的下支(x≠0)3．抛物线上一点到焦点距离为4，则它到准线的距离为________．【解析】根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故它到准线的距离为4.【答案】 44．已知A、B是两个定点，AB＝8，且△ABC的周长等于18，试确定这个三角形的顶点C所在的曲线．【解】由题意知，AB＋BC＋CA＝18，∵AB＝8，∴BC＋CA＝10>AB.∴点C所在的曲线是以A，B为焦点的椭圆．(除去椭圆与直线AB的两个交点)一、填空题1．已知M(－2,0)，N(2,0)是平面上的两点，动点P满足PM＋PN＝6，则动点P的轨迹是________．【解析】∵PM＋PN＝6>4，∴动点P的轨迹是一椭圆．【答案】椭圆2．到定点(0,7)和定直线y＝7的距离相等的点的轨迹方程是________．【解析】∵定点(0,7)在定直线y＝7上，∴到定点(0,7)与到定直线y＝7距离相等的点的轨迹是过(0,7)的该直线的垂线，其方程为x＝0.【答案】x＝03．命题甲：动点P到定点A、B的距离之和P A＋PB＝2a(a>0)；命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．【解析】甲D⇒/乙，乙⇒甲．【答案】必要不充分4．定点F1(－3,0)，F2(3,0)，动点M满足|MF1－MF2|＝6，则M点的轨迹是________．【解析】∵|MF1－MF2|＝6＝F1F2，∴M的轨迹是x轴上以F1，F2分别为端点的两条射线．【答案】x轴上分别以F1，F2为端点的两条射线5．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为______．(填椭圆、双曲线或抛物线)【解析】由题意P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹为一条抛物线．【答案】抛物线图2－1－36．如图2－1－3，点A为圆O内一定点，P为圆周上任一点，AP的垂直平分线交OP 于动点Q，则点Q的轨迹为________．【解析】由题意，QA＝QP，∴OQ＋QA＝OQ＋QP＝OP(半径)>OA，∴Q点的轨迹是以O、A为焦点的一椭圆．【答案】以O、A为焦点的一椭圆7．(2013·徐州高二检测)已知椭圆的两个焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若△AF1F2的周长为18，则△ABF2的周长为________．【解析】因为AF2＋AF1＋F1F2＝18，F1F2＝8，所以AF2＋AF1＝10，于是BF2＋BF1＝10，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝20.【答案】208．△ABC的顶点A(0，－4)，B(0,4)，且4(sin B－sin A)＝3sin C，则顶点C的轨迹是________．【解析】运用正弦定理，将4(sin B－sin A)＝3sin C转化为边的关系，即4(b2R－a 2R)＝3×c2R，则AC－BC＝6<AB，显然，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支去掉点(0,3)．故填以A，B为焦点的双曲线的上支去掉点(0,3)．【答案】以A，B为焦点的双曲线的上支(去掉点(0,3))二、解答题9．已知F 1(－4,3)，F 2(2,3)为定点，动点P 满足PF 1－PF 2＝2a ，当a ＝2或a ＝3时，求动点P 的轨迹．【解】 由已知可得，F 1F 2＝6.当a ＝2时，2a ＝4，即PF 1－PF 2＝4<F 1F 2，根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线的一支(对应于焦点F 2)；当a ＝3时，PF 1－PF 2＝6＝F 1F 2，此时动点P 的轨迹是射线F 2P ，即以F 2为端点向x 轴正向延伸的射线．故当a ＝2时，动点P 的轨迹是双曲线的一支(对应于焦点F 2)；当a ＝3时，动点P 的轨迹是射线F 2P .10．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝16，圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1，动圆P 与两圆相外切，求动圆圆心P 的轨迹．【解】 设圆P 的半径为r ，两圆圆心分别为C 1(－3,0)，C 2(3,0)，由圆P 与两圆相外切可知PC 1＝4＋r ，PC 2＝1＋r ，∴PC 1－PC 2＝3<C 1C 2＝6，∴点P 的轨迹为以C 1，C 2为焦点的双曲线的右支．11．若点P (x ，y )的坐标满足方程(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y ＋12|5，试判断点P 的轨迹是哪种类型的圆锥曲线．【解】(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y ＋12|5， 即(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y ＋12|32＋42， 等式左边表示点P (x ，y )到点(1,2)的距离，右边表示点P (x ，y )到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离，即点P (x ，y )到点(1,2)的距离与到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离相等．又∵点(1,2)不在直线3x ＋4y ＋12＝0上，由拋物线的定义知，点P的轨迹是以(1,2)为焦点，直线3x＋4y＋12＝0为准线的拋物线.(教师用书独具)如图，某山区的居民生活用水源于两处，一处是位于该地区内的一口深水井，另一处是位于该地区西边的一条河(河岸近似看成直线)．已知井C到河岸AB的距离为4千米，请为该区域划一条分界线，并指出应如何取水最合理．【思路探究】审题→转化为数学模型→找距离相等→点的轨迹→转化为实际问题答案【自主解答】分界线上的点到深水井C和到河岸AB的距离应相等，依据抛物线定义可知，分界线是以C为焦点，河岸AB为准线的抛物线．所谓取水合理，即选择最近点取水，易知抛物线包含的区域应到深水井取水，抛物线上的区域到深水井或河中取水均可，其他区域则应到河中取水．1．实际问题有时可以以圆锥曲线为数学模型进行思考，要根据题意，抽象出数学关系和条件．2．利用圆锥曲线的定义求解实际问题，要注意实际意义的限制，很多情形下，动点的轨迹只是圆锥曲线的一部分．一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000,0)处晚30017 s ，已知坐标轴的单位长度为1 m ，声速为340 m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？【解】 由声速为340 m/s 可知F 1、F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6 000(m)，且小于F 1F 2＝10 000(m)，因此爆炸点在以F 1、F 2为焦点的双曲线上，因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应在靠近F 2处的一支上.。
苏教版高中数学选修圆锥曲线教案(1)
§2.1圆锥曲线教学目标1.通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义，并能用数学符号或自然语言的描述。
2．通过用平面截圆锥面,感受、了解双曲线的定义。
能用数学符号或自然语言描述双曲线的定义。
教学重点、难点重点：椭圆、抛物线、双曲线的定义。
难点：用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义教具多媒体课件、实物投影仪内容分析本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭圆、双曲线和抛物线的概念。
这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系。
根据问题的难易度及学生的认知水平，要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义。
这是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数学素养。
学法指导教学中向学生展示平面截圆锥面得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。
对用Dandelin双球发现椭圆的特性（由此形成椭圆的定义），可直接给出放进双球后的图形，再引导学生发现“到两切点距离之和为定值”的特性，这一内容让学生感知、认同即可，不必对探究、推理过程作过多研究。
教学过程设计1．问题情境我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。
提出问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？2．学生活动学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线：对于Dandelin 双球理论只要让学生感知、认同即可。
3．建构数学（1）圆锥曲线的定义椭圆：平面内到两定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
对于第二种情形，平面与圆锥曲线的截线由两支曲线构成。
（类比椭圆的定义） 双曲线：平面内到两定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点1F ，2F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
高中数学圆锥曲线 讲学案(二) 苏教版选修1-1
抛物线 为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是〖备选习题〗：
A组
1、双曲线 有唯一公共点，则k值为（）
（A）． （B）． （C）． （D）．
2、若x > 0 , y > 0 ,x2－y2=1 ,则 的取值范围为（）
A．（－∞，－1）∪（0，+∞）B．（－∞，0）∪（1，+∞）
C．（－∞，0）D．（－∞，1）
B组
在双曲线 的一支上不同三点 与焦点
F（0，5）的距离成等差数列.（1）求 的值，（2）证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求出该点坐标。
〖归纳小结〗：
感悟一：
感悟二：
圆锥曲线讲学案(二)
〖学习目标及要求〗：
1、学习目标：（1）了解直线和圆锥曲线的位置关系
（2）初步掌握解决直线与圆锥曲问题的思路和方法
2、重点难点：⑴直线和圆锥曲线位置关系的判断
⑵有关中点弦长问题的处理方法以及应注意的问题
3、高考要求：直线和圆锥曲线位置关系的判断
4、体现的思想方法：数形结合。
5、知识体系的建构：代数方法解决几何问题提
〖讲学过程〗：
一、预习反馈:
二、探究精讲:
探究一：已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，两准线间的距离为 已知椭圆的一个焦点 ，对应的准线方程为 ，且离心率 的等比中项.（1）求椭圆方程，（2）是否存在直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰为直线 平分？若存在，求出直线l的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由.
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第2讲 圆锥曲线的基本问题高考定位 圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线的定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题.椭圆有关知识为B 级要求，双曲线的有关知识为A 级要求.真 题 感 悟1.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________. 解析 由已知，a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 答案 2102.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________.解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.答案 223.(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________.解析 由双曲线方程x 23－y 2＝1知a ＝3，b ＝1，c ＝2，所以渐近线方程为y ＝±13x ＝±33x ，准线方程为x ＝32，所以点P ，Q 纵坐标的绝对值为|y 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪±33×32＝32，又F 1F 2＝2c ＝4.所以S △F 1PF 2＝12F 1F 2·|y 0|＝12×4×32＝3，则S 四边形F 1PF 2Q ＝2S △F 1PF 2＝2 3.答案 23圆x 2a 2＋y 2b 2＝4.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，又F (c ，0)，则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2， 又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得： c 2－34a 2＋b 24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a ＝23＝63.答案 63考 点 整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：MF 1＋MF 2＝2a (2a >F 1F 2)； (2)双曲线：|MF 1－MF 2|＝2a (2a <F 1F 2). 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上). 3.圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e ＝ca ＝1－b 2a 2； (2)双曲线：①e ＝c a ＝1＋b 2a 2.②渐近线方程：y ＝±b a x 或y ＝±ab x . 4.有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算.(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝1＋k2|x2－x1|或P1P2＝1＋1k2|y2－y1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”、“设而不求法”来简化运算.热点一圆锥曲线的定义和标准方程【例1】(1)(2017·全国Ⅲ卷改编)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为________.(2)(2016·北京卷改编)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则a＝________；b＝________.解析(1)由题设知ba＝52，①又由椭圆x212＋y23＝1与双曲线有公共焦点，易知a2＋b2＝c2＝9，②由①②解得a＝2，b＝5，则双曲线C的方程为x24－y25＝1.(2)由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知ba＝2，由c＝5，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.答案(1)x24－y25＝1(2)1 2探究提高(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义要求PF1＋PF2＞F1F2，双曲线的定义中要求|PF1－PF2|＜F1F2.(2)注意数形结合，画出合理草图.【训练1】(1)若双曲线E：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且PF1＝3，则PF2等于________.(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________.解析 (1)由双曲线定义|PF 2－PF 1|＝2a ，∵PF 1＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3， ∴PF 2－PF 1＝6，∴PF 2＝9.(2)∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3.答案 (1)9 (2)(－1，3) 热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________.(2)(2016·北京卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.(2)取B 为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝OB ＝22，又∠AOB ＝π4，∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b .又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2.答案 (1)13 (2)2探究提高 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等.【训练2】 (1)(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________.(2)(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2AB ＝3BC ，则E 的离心率是________.解析 (1)∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.(2)由已知得AB ＝2b 2a ，BC ＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c ，又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0， 解得e ＝2或e ＝－12(舍去). 答案 (1)2 (2)2热点三 有关圆锥曲线的弦长问题【例3】 (2015·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程.解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1， 则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意. 当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2 ＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2 ＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意.从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2）， 从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.探究提高 (1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练3】 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF→＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果AB ＝154，求椭圆C 的方程.解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －c ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2（c ＋2a ）3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2（c －2a ）3a 2＋b 2.因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2， 即3b 2（c ＋2a ）3a 2＋b 2＝2·－3b 2（c －2a ）3a 2＋b 2，得离心率e ＝c a ＝23. (2)因为AB ＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b 2＝154，由c a ＝23，得b ＝53a ， 所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝5，故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线.2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.3.在椭圆焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，则S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2·tan α2.4.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca .5.通径：过双曲线、椭圆的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短.。