离散数学 第四章 代数系统 (1)

例3 设X = { a,b,c,d }，定义 X2 到 X 的关系如下表所示。 * a b c d a a a d d b b b c c c c c b b d d d a a
• 由上表可以看出X2中的任意一个元素的象仍在X中，且象是 唯一的。由定义1知 * 是X上的一个二元运算。 • 上表称为X上二元运算 * 的运算表。 • 由代数系统的定义知，< X,* >是代数系统。
例1 设I是整数集合，＋和×是整数的加法和乘法。 由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，由定义1知＋是I上的 二元运算。 由于两个整数之积仍为整数，且结果唯一，由定义1知×是I上的 二元运算。 由代数系统的定义知< I, ＋, ×>是代数系统。 例2 设X是非空集合，2X是X的幂集，∩和∪是集合的交和并。 由于X中任意两个子集之交仍为X的子集，且结果唯一，由定义1 知∩是2X 上的二元运算。 由于X中任意两个子集之并仍为X的子集，且结果唯一，由定义1 知∪是2X上的二元运算。 由代数系统的定义知< 2X ,∩,∪>是代数系统。
1.4
子代数系统
定义8. 定义 设A=<X, f1, f2,…, fm>是代数系统，其中f1, f2,…, fm是 X上的m个运算，其阶分别为p1,p2, … ,pm .若S⊆X且S≠∅，对A 上的每一运算 fi，有子关系 fsi，使得 fsi 是S上的Pi阶运算，则称 < S, fS1, fS2,…, fSm >是A的子代数系统，记为 As＝ < S, f1, f2,…, fm > 子代数系统的概念将贯穿于本章。因为每个非空集合总有 非空子集存在，因此每遇到一个代数系统就会遇到子代数系 统的问题。由于子代数系统中的运算就是原来那个代数系统 中相应运算的子关系。因此经常将子代数系统中的运算符用 原来那个代数系统中的运算符来表示。这也是前面所说的 “运算符是任意的”的一种具体体现。
定义1 设X是一非空集合，Xn 是X的n重叉积集合，n∈N，f 定义 是从Xn到X的关系。若 f 是从Xn到X的函数，则称 f 是X上的n元 运算。记为 f : Xn → X 。 一个运算含有运算的对象、运算的结果和运算的法则。运算 的对象是Xn中的元素，运算的结果是X中的元素，而运算法则 f 则是从Xn 到X之间的一个函数——后者唯一的关系。通常称Xn 是运算 f 的定义域，称X是运算 f 的值域，称 f 为运算符。由于 f 的定义域和值域都只与X这个集合有关，因此称 f 是X上的运 算。这就是通常所说的运算的封闭性。 • 定义1中的 n 称为运算的阶。 当 n=1 时，称 f 为一元运算 最常用的运算 当 n=2 时，称 f 为二元运算 当 n=k 时，称 f 为 k 元运算 • 通常用等式来描述运算，即将运算 f : Xn → X 表示为 f (x1,x2,x3,…,xn) = x 其中 (x1,x2,x3,…,xn)∈Xn ，x∈X 。
例14 在代数系统<I,＋,×>中 1) 乘法对加法满足分配律。因为 ∀a,b,c∈I，有 a×(b＋c)＝(a×b)＋(a×c) (b＋c)×a＝(b×a)＋(c×a) 2) 加法对乘法不满足分配律。因为对于2,3,5∈I，有 (2＋3)×5≠(2×5)＋(3×5) 例15 在代数系统<2X,∩,∪>中 1) ∩对∪满足分配律，因为 ∀A,B,C∈2X，有 A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C) (B∪C)∩A＝(B∩A)∪(C∩A) 2) ∪对∩满足分配律，因为 ∀A,B,C∈2X，有 A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) (B∩C)∪A＝(B∪A)∩(C∪A) 当一个二元运算满足交换律时，两个等式中只要有一个成 立即可。
例11 在代数系统 < I,＋,×> 中 1)加法幺元是0，0的逆元是其本身。每个元素关于＋都有 逆元。∀a∈I，a的逆元是-a。 2)乘法的幺元是1，1的逆元是其本身。除了1和-1以外，每 个元素关于×都无逆元。 ,∩, > 例12 在代数系统 < 2X,∩,∪> 中 1)∩的幺元是X，X的逆元是其本身。除X外每个元素关于 ∩都无逆元。 2)∪的幺元是∅，∅的逆元是其本身。除∅外每个元素关于 ∪都无逆元。 定理2 定理 设<X，*> 是代数系统，*是X上的二元运算，*满足 结合律且有幺元e。 任取x∈X，若x有逆元，则x的逆元唯一。
定义4 设 < X, ∗ > 是代数系统， ∗是X上的二元运算。若 定义 ∀x,y,z∈X， 1) 当 x ∗ y=x ∗ z 时，有y=z ; 2) 当 y ∗ x=z ∗ x 时，有y=z ; 则称运算 ∗ 满足消去律。 • 当运算 ∗ 满足交换律时，1)、2)两式中只要有一式成立即有 ∗ 满足消去律。 例1 在代数系统 < I,＋,×> 中，加法满足消去律，乘法不满足 消去律。 例2 在代数系统 < 2X,∩,∪> 中，∩和∪都不满足消去律。 取X={a,b,c,d}，S1={a,b}, S2={b,c}, S3={b}, S4={a,b,c} 由于 S1∩S3 = {b} = S2∩S3 ，但S1≠ S2，故∩不满足消去律。 由于 S1∪S4 = {a,b,c} = S2∪S4 ，但S1≠ S2，故∪不满足消去律。
例1 在代数系统 < I,＋,×> 中，二元运算加和乘都满足结合 律和交换律。 例2 在代数系统 < 2X,∩,∪> 中，二元运算交和并都满足结合 律和交换律。 例3 设 I 是整数集合，“－”是整数减法。 由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故“－”是I上的 二元运算。由代数系统的定义知 < I, － >是代数系统。 取 1,2,3∈I，由于 (3－2)－1≠ 3－(2－1) 3－2 ≠ 2－3 故在此代数系统中，减法运算不满足结合律，也不满足交换 律。
例13 设X={e,a,b,c,d}，*是X上的二元运算，*的运算表如下。 * e a b c e e a b c a a a a e b b a a e c c e e c d d e e c
d d e e c c 从表中可知，<X，*> 是代数系统，e是关于*的幺元。由于有 b*c=c*b=e b*d=d*b=e 故c和d均为b的逆元，即b的逆元不唯一。原因在于运算*不满 足结合律。因为 (b*c)*d = e*d = d ≠ b*(c*d) = b*c = e 从例13还可以看到a的逆元也是c, d。因此当代数系统中的二元 运算不满足结合律时，逆元的情况极为复杂。
定义5 设 < X, ∗ > 是代数系统， ∗ 是X上的二元运算。 定义 1) 若存在 x0 ∈X ，∀x∈X，有 x ∗ x0 = x0 ∗ x = x 则称 x0 是关于运算 ∗ 的幺元。 2) 若存在 y0 ∈X ，∀x∈X， 有 x ∗ y0 = y0 ∗ x = y0 则称 y0 是关于运算 ∗ 的零元。 • 通常将幺元记为 e 或 1，将零元记为 0 。 例1 例2 例3 例4 在代数系统 < I,＋,×> 中，加法幺元是 0，乘法的幺元是 1。 在代数系统 < 2X,∩,∪> 中， ∩的幺元是X，∪的幺元是∅。 在代数系统 < I,＋,×> 中，关于加法无零元，乘法的零元是0。 在代数系统 < 2X,∩,∪> 中， ∩的零元是∅，∪的零元是X。
从以上的术语解释中可以看Байду номын сангаас，代数和运算是分不开的。 • 在代数式中，运算是加、减、乘、除、乘方、开方等。 • 在代数和中，运算是加法。 • 在代数数中，运算体现在整系数方程中。要求得一个代数数 就必须求解某个整系数方程，而求解方程的过程也就是运算的 过程，即通过某些运算才能求得代数数。 • 在代数方程中，运算是多项式的加、减、乘。 • 在代数曲线中，运算体现在代数方程 F(x,y) = 0中。要想求得 (x,y)的轨迹，就必须解方程 F(x,y) = 0，而解方程的过程也就是 运算的过程，即通过某些运算才能求得点的轨迹。 • 代数的本义是用符号代替数字进行运算。虽然这个概念现在 已大大拓广了，但代数仍然是和运算紧密联系在一起的。现代 代数的含义是对各种运算进行研究，从众多具体的运算中抽出 其公共的最基本的性质，然后根据这些性质的不同而构成各种 不同的代数系统，使之符合人们使用之需要。
上面所讨论的二元运算的性质都是针对某个二元运算而言的。 在<I,＋,×>和<2X,∩,∪>这两个代数系统中都分别有两个二元 运算。分配律是两个二元运算之间的一种关系。 定义7.设 <X,*,△>是代数系统，*和△是X上的两个二元运算。 ∀x,y,z∈X 1)若有 x*(y△z)=(x*y)△(x*z) (y△z)*x=(y*x)△(z*x) 则称运算*对运算△满足分配律。 2)若有 x△(y*z)=(x△y)*(x△z) (y*z)△x =(y△x)*(z△x) 则称运算△对运算*满足分配律。
第四章 代数系统
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 代数系统的基本概念 代数系统的同构与同态 半群 群 环 域
第一节 代数系统的基本概念
1.1 运算
为了理解代数的实质，下面引入几个与代数有关的术语解释。 • 代数式——由数字和字母经有限次加、减、乘、除、乘方、 开方等运算所得到的式子。 • 代数和——若干个数，不改变它们的正负性质而相加，所得 的和称为代数和。 • 代数数——满足整系数方程的数。 • 代数方程——由多项式组成的方程。 • 代数曲线——在直角坐标系中，设点的坐标为(x,y)。如果x,y 满足一个二元既约代数方程 F(x,y) = 0，则称这点的轨迹为代数 曲线。
定理1 设 < X, ∗ > 是代数系统， ∗ 是X上的二元运算。 定理 1) 若关于 ∗ 有幺元，则幺元唯一； 2) 若关于 ∗ 有零元，则零元唯一。
定义6. 定义 设<X,*>是代数系统，*是X上的二元运算，且关于*有幺 元e。 若对于某个x∈X ，存在y∈X ，使得 x*y = y*x = e 则称y是x关于运算*的逆元，同时称x是关于运算*的可逆元。 幺元和零元是对整个代数系统而言。即在一个代数系统中，对 某个二元运算来说，只可能有一个幺元，同样也只可能有一个零 元。而逆元是对代数系统中的每个元素而言的。现在讨论的是X中 的某个元素对某个二元运算是否有逆元的问题。当然关于逆元的 讨论，只能在二元运算有幺元的前提下进行，即幺元的存在是讨 论逆元的先决条件，否则逆元问题无从谈起。 从定义6可以看出，如果y是x的逆元，则x也是y的逆元。这两者 的关系是同时成立的。另外如果x有逆元存在，则称x是可逆元。 当知道x有逆元存在时，并不一定知道x的逆元究竟是谁。 因此可 逆元的概念是元素本身的性质，而逆元的概念则是两个元素之间 的关系，并且这两个元素可能是相同的，也可能是不相同的。