领育国际高中数学课件：2-10 变化率与导数、导数的计算

Δy 5 为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x ，即 f′(x0)＝ lim ＝□ Δx fx0＋Δx－fx0 Δx→0 lim Δx Δx→0 __________________ 。
0
(2)几何意义 6 ____________ (x0，f(x0)) 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点□
►名师点拨 与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知切点求切线方程。解决此类问题的步骤为： ①求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处切线的 斜率； ②由点斜式求得切线方程为 y－y0＝f′(x0)· (x－x0)。 (2)已知斜率求切点。已知斜率 k，求切点(x1，f(x1))，即解方程 f′(x1)＝k。 (3)求切线倾斜角的取值范围。 先求导数的取值范围， 即确定切线斜率的取值范围， 然后利用正切函数的单调性解决。
4．基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)＝c f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1) f(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且 a≠1) f(x)＝lnx 导函数
0 10 __________ f′(x)＝□ nxn－1 11 __________ f′(x)＝□ cosx 12 __________ f′(x)＝□ －sinx 13 __________ f′(x)＝□ axlna(a＞0) 14 __________ f′(x)＝□
y－y0＝f′(x0)(x－x0) 。 切线的斜率 7 _________________ 8 ____________________ 处的□ 。相应地，切线方程为□
3．函数 f(x)的导函数 fx＋Δx－fx lim Δx 9 _________________ 称函数 f′(x)＝□ 为 f(x)的导函数，导函数有时也记作 y′。 Δx→0
则过曲线 y＝x3 上一点 P(a，b)的切线方程为( A．3x－y－2＝0 B．4x－3y＋1＝0 C．3x－y－2＝0 或 3x－4y＋1＝0 D．3x－y－2＝0 或 4x－3y＋1＝0
)
(2)曲线 y＝3lnx＋x＋2 在点 P0 处的切线方程为 4x－y－1＝0，则点 P0 的坐标是 ( ) A．(0,1) C．(1,3) B．(1，－1) D．(1,0)
3 (2)由题意知 y′＝x＋1＝4，解得 x＝1，此时 4×1－y－1＝0，解得 y＝3，∴点 P0 的 坐标是(1,3)，故选 C。 1 (3)∵f′(x)＝x。 ∴直线 l 的斜率为 k＝f′(1)＝1， 又 f(1)＝0，∴切线 l 的方程为 y＝x－1。 g′(x)＝x＋m，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有 x0＋m＝1，y0＝x0－1， 1 7 y0＝ x2 0＋mx0＋ ，m＜0，于是解得 m＝－2，故选 D。 2 2 答案：(1)A (2)C (3)D
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； 19 ____________________ (2)[f(x)g(x)]′＝□ f′xgx－fxg′x fx [gx]2 ′＝□ 20 ____________________( (3) g(x)≠0)。 gx
1 2
3
1 · x－lnx lnx′x－x′lnx x 1－lnx lnx 解析：(2)y′＝ x ′＝ ＝ x2 ＝ x 2 。 x2
(3)y＝tanx；
sinx′cosx－sinxcosx′ sinx 解析：(3)y′＝ cosx ′＝ cos2x ＝ cosxcosx－sinx－sinx 1 ＝ 。 cos2x cos2x
lnx (2)y＝ x ；
(4)y＝3xex－2x＋e；
解析：(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3x(ln3)· ex＋3xex－2xln2 ＝(ln3＋1)· (3e)x－2xln2。
π (5)y＝sin22x＋3。
π 解析：(5)设 y＝u ，u＝sinv，v＝2x＋3，
课堂学案
考点通关
考点例析 通关特训
考点一 【例 1】 求下列函数的导数： 1 1 ＋ ； (1)y＝(1－ x) x
导数的计算
1 1 － 解析：(1)∵y＝(1－ x)1＋ ＝ － x＝x x x ∴y′＝(x
－ 1 2
1 2
－x ，
1 2
1 － 2 1 －1 )′－(x )′＝－ x － x 2。 2 2
1 3．某质点的位移函数是 s(t)＝2t3－2gt2(g＝10 m/s2)，则当 t＝2 s 时，它的加速 度是( ) B．4 m/s2 D．－4 m/s2 A．14 m/s2 C．10 m/s2
解析：由 v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得 t＝2 时，a(2)＝v′(2) ＝12×2－10＝14(m/s2)。 答案：A
)
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e。 答案：C
2． 曲线 y＝xlnx 在点(e， e)处的切线与直线 x＋ay＝1 垂直， 则实数 a 的值为( A．2 1 C. 2 B．－2 1 D．－ 2
)
1 解析：依题意得 y′＝1＋lnx，y′|x＝e＝1＋lne＝2，所以－ ×2＝－1，a＝2。 a 答案：A
1 7 (3)已知 f(x)＝lnx，g(x)＝2x2＋mx＋2(m＜0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都 相切，且与 f(x)图象的切点为(1，f(1))，则 m 等于( A．－1 C．－4 B．－3 D．－2 )
π 解析： (1)由 f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x 得 f′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x， 则 a＝f′4＝
通关特训 2 值为( ) A．－3 C．－15
(1)已知直线 y＝kx＋b 与曲线 y＝x3＋ax＋1 相切于点(2,3)，则 b 的 B．9 D．－7 )
1 －∞，－ B. 2
(2)已知 a 为常数，若曲线 y＝ax2＋3x－lnx 存在与直线 x＋y－1＝0 垂直的切线， 则实数 a 的取值范围是(
ex 15 __________ f′(x)＝□
1 16 ______________________ f′(x)＝□ xlna(a＞0，且 a≠1)
1 17 __________ f′(x)＝□ x
5.导数运算法则
f′(x)± g′(x) 18 __________________； (1)[f(x)± g(x)]′＝□
1．函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率
2．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 (1)定义
Δy fx0＋Δx－fx0 lim Δx lim Δx 3 ________________ 4 __________Байду номын сангаас_ Δx→0 称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率□ ＝□ Δx→0
π π 3－2sin ＋2cos ＝1。由 y＝x3 得 y′＝3x2，过曲线 y＝x3 上一点 P(a，b)的切线的斜 2 2 率 k＝3a2＝3×12＝3.又 b＝a3，则 b＝1，所以切点 P 的坐标为(1,1)，故过曲线 y＝x3 上的点 P 的切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2＝0，故选 A。
6.复合函数的导数 设 u＝v(x)在点 x 处可导， y＝f(u)在点 u 处可导， 则复合函数 f[v(x)]在点 x 处可导，
f′[v(x)]v′(x) y′u· u′x 21 ____________________ 22 ________________ 且 f′(x)＝□ ，即 y′x＝□ 。
4．曲线 y＝x3－x＋3 在点(1,3)处的切线方程为__________。
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2。 ∴该切线方程为 y－3＝2(x－1)，即 2x－y＋1＝0。 答案：2x－y＋1＝0
5．函数 y＝xcosx－sinx 的导数为__________。
解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′ ＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx ＝cosx－xsinx－cosx ＝－xsinx。 答案：y′＝－xsinx
(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直 线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个 以上的公共点。 (4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线 y＝x3 在其过(0,0)点的切线 y＝0 的两侧。
1．若 f(x)＝xex，则 f′(1)＝( A．0 C．2e B．e D．e2
第二章 函数、导数及其应用
第十节
变化率与导数、导数的计算
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
课前学案
基础诊断
夯基固本 基础自测
fx2－fx1 1 __________ x2－x1 ，若 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2) 函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为□ Δy 2 ________ Δx －f(x1)，则平均变化率可表示为□ 。
2
则 y′x＝y′u· u′v· v′x＝2u· cosv· 2
π π ＝4sin2x＋3· cos2x＋3 2π ＝2sin4x＋ 3 。
►名师点拨 导数的计算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导。 (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再 求导。 (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导。 (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导。 (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导。 (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导。