内蒙古包头市数学总复习-第三单元 函数及其图像 第15课时 二次函数的应用课件
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二次函数的图像和性质课件
03
二次函数的图像与性质的 应用
判断单调性
总结词
通过图像和导数判断二次函数的单调性
详细描述
利用二次函数的导数，可以判断函数的单调区间。导数大于0 时，函数递增；导数小于0时，函数递减。结合函数图像，可 以更直观地判断单调性。
求最值
总结词
利用二次函数的极值点求最值
VS
详细描述
二次函数存在极值点，极值点处的函数值 可能是最大值或最小值。通过求导并令导 数为0，可以找到极值点，从而求得最值 。
二次函数的图像和性质课件
contents
目录
• 二次函数的概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图像与性质的应用 • 实际应用案例 • 总结与回顾
01
二次函数的概念
二次函数的定义
定义
一般地，形如$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次 函数。
解释
二次函数是包含未知数的二次多
总结二次函数的对称 轴、开口方向、顶点 坐标等性质。
易错点与难点回顾
01
回顾二次函数图像的绘制方法和 易错点，如混淆顶点坐标和对称 轴坐标等。
02
回顾二次函数的性质和易错点， 如错误地认为二次函数总是单调 的等。
学生自我测评与作业布置
设计相关题目，让学生自主检测掌握 情况。
布置相关作业，要求学生完成并提交 。
详细描述
在投资组合理论中，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性来构建投资组合。二次函 数可以用来描述风险和收益之间的非线性关系，帮助投资者更好地理解投资组合的风险和 收益特性。
扩展知识点
投资组合理论、风险和收益的关系。
物理运动中的二次函数
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
二次函数的图像课件
物理学
二次函数可以描述物体在自由落体中的运动和抛体的轨迹。
经济学
二次函数用来建模成本、收益和市场需求曲线等经济现象。
工程学
二次函数可以应用于建筑设计、电子电路和机械运动等领域。
1
顶点坐标
顶点坐标(h, k)是二次函数图像的最低或最高点。
2
开口方向
二次函数的a值决定了图像是开口向上还是向下。
3
对称轴
对称轴是通过顶点的一条垂直线，它将图像分成两个对称部分。
二次函数的图像特点
平滑曲线
二次函数图像是一条光滑的 曲线，没有突变或间断。
变化率
图像的斜率反映了函数在不 同点上的变化速度。
极值点
通过移动顶点，我们可以使 二次函数图像的最低点或最 高点达到所需的位置。
二次函数的平移变换
1
垂直平移
2
通过添加或减去一个常数，我们可以上
下移动二次函数图像。
3
水平平移
通过添加或减去一个常数，我们可以左 右移动二次函数图像。
变化顶点
平移可以使图像的顶点移动到新的位置， 改变函数的最低或最高点。
二次函数的图像课件
欢迎来到本课件！在这里，我们将深入探讨二次函数的有趣且迷人的图像特 性，帮助您了解这个重要的数学概念。
二次函数的定义
二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a不 等于0。
二次函数的标准形式
二次函数的标准形式是f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)是顶点坐标。
二次函数的缩放变换
水平缩放
通过改变a的值，我们可以拉伸或压缩二次函数图像 的水平方向。
二次函数可以描述物体在自由落体中的运动和抛体的轨迹。
经济学
二次函数用来建模成本、收益和市场需求曲线等经济现象。
工程学
二次函数可以应用于建筑设计、电子电路和机械运动等领域。
1
顶点坐标
顶点坐标(h, k)是二次函数图像的最低或最高点。
2
开口方向
二次函数的a值决定了图像是开口向上还是向下。
3
对称轴
对称轴是通过顶点的一条垂直线，它将图像分成两个对称部分。
二次函数的图像特点
平滑曲线
二次函数图像是一条光滑的 曲线，没有突变或间断。
变化率
图像的斜率反映了函数在不 同点上的变化速度。
极值点
通过移动顶点，我们可以使 二次函数图像的最低点或最 高点达到所需的位置。
二次函数的平移变换
1
垂直平移
2
通过添加或减去一个常数，我们可以上
下移动二次函数图像。
3
水平平移
通过添加或减去一个常数，我们可以左 右移动二次函数图像。
变化顶点
平移可以使图像的顶点移动到新的位置， 改变函数的最低或最高点。
二次函数的图像课件
欢迎来到本课件！在这里，我们将深入探讨二次函数的有趣且迷人的图像特 性，帮助您了解这个重要的数学概念。
二次函数的定义
二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a不 等于0。
二次函数的标准形式
二次函数的标准形式是f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)是顶点坐标。
二次函数的缩放变换
水平缩放
通过改变a的值，我们可以拉伸或压缩二次函数图像 的水平方向。
二次函数的图像和性质ppt课件
二次函数的图像和性质ppt课件
contents
目录
• 引言 • 二次函数的定义和公式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的实际应用 • 总结与回顾 • 课后作业与思考题
01 引言
课程背景介绍
01
二次函数是数学中基础知识之一 ，掌握好二次函数的图像和性质 对于后续学习代数、几何等数学 领域都有重要的意义。
二次函数的定义
01
02
03
定义
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c$（$a$、$b$、 $c$是常数，$a \neq 0$ ）的函数叫做二次函数。
解释
二次函数是包含未知数的 二次多项式的函数，其未 知数的最高次数为2。
示例
$y = 2x^2 + 3x - 4$是 一个二次函数。
二次函数的公式
01
02
03
04
当x增大时，如果a>0，y值会 随之增大；如果a<0，y值会
随之减小。
当x增大时，如果a>1，y值会 快速增大；如果0<a<1，y值
会缓慢增大。
当x减小时，如果a>0，y值会 随之减小；如果a<0，y值会
随之增大。
当x减小时，如果a>1，y值会 快速减小；如果0<a<1，y值
会缓慢减小。
减。
当$\Delta = 0$时，函
数有一个实根；当
$\Delta < 0$时，函数
没有实根。
极值：当$a > 0$时，二 次函数在区间$(-\infty, -b/2a)$上单调递增，在 区间$(-b/2a,+\infty)$ 上单调递减，此时$b/2a$为极小值点；当 $a < 0$时，二次函数在 区间$(-\infty, -b/2a)$ 上单调递减，在区间$(b/2a,+\infty)$上单调递 增，此时$-b/2a$为极 大值点。
contents
目录
• 引言 • 二次函数的定义和公式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的实际应用 • 总结与回顾 • 课后作业与思考题
01 引言
课程背景介绍
01
二次函数是数学中基础知识之一 ，掌握好二次函数的图像和性质 对于后续学习代数、几何等数学 领域都有重要的意义。
二次函数的定义
01
02
03
定义
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c$（$a$、$b$、 $c$是常数，$a \neq 0$ ）的函数叫做二次函数。
解释
二次函数是包含未知数的 二次多项式的函数，其未 知数的最高次数为2。
示例
$y = 2x^2 + 3x - 4$是 一个二次函数。
二次函数的公式
01
02
03
04
当x增大时，如果a>0，y值会 随之增大；如果a<0，y值会
随之减小。
当x增大时，如果a>1，y值会 快速增大；如果0<a<1，y值
会缓慢增大。
当x减小时，如果a>0，y值会 随之减小；如果a<0，y值会
随之增大。
当x减小时，如果a>1，y值会 快速减小；如果0<a<1，y值
会缓慢减小。
减。
当$\Delta = 0$时，函
数有一个实根；当
$\Delta < 0$时，函数
没有实根。
极值：当$a > 0$时，二 次函数在区间$(-\infty, -b/2a)$上单调递增，在 区间$(-b/2a,+\infty)$ 上单调递减，此时$b/2a$为极小值点；当 $a < 0$时，二次函数在 区间$(-\infty, -b/2a)$ 上单调递减，在区间$(b/2a,+\infty)$上单调递 增，此时$-b/2a$为极 大值点。
初中数学_《二次函数的应用》(复习)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的应用》教学设计35321212++-=x x y 3532121-2++=x x y 教学环节教学内容 学生活动环节目标 创设情境问题引入 1.已知二次函数 ，求出抛物线的顶点坐标与对称轴。
2.已知二次函数图象的顶点坐标是（6,2.6），且经过点（0,2），求这个二次函数的表达式 。
3.抛物线 c bx x y ++=261-经过点（0,4）经过点（3,217），求抛物线的关系式。
问题：（1）求二次函数顶点坐标的方法 （2）设表达式的思路（3）如何求二次函数与x 轴及y 轴的交点坐标课前布置，独立完成，上课时没完成的继续完成，之后组内批阅，找学生上台板演，并回答老师提出的问题。
这三个小题是后面实际应用问题的答案，学生在复习二次函数基础知识的同时，把后面的计算提到前面来，便于后面把教学重点放在解题思路的分析与掌握上，减少学生的计算量。
探索交流获得新知1例题解析例 1 ：这是王强在训练掷铅球时的高度y （m)与水平距离x(m)之间的函数图像，其关系式为 ，则铅球达到的最大高度是_____米，此时离投掷点的水平距离是____米。
铅球出手时的高度是_____米，此次掷铅球的成绩是____米。
2、跟踪练习：如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从1、学生独立思考后回答问题答案。
2、根据图像回答解题思路。
（前面已经求过前两个空，只计算后面两个即可）引导学生得到解决问题的方法：这四个问题都是求线段的长度，共同点为已知点的一个坐标，可将其代入表达式求另一个坐标，再把坐标转化成线段的长。
O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，出手后水平运行6米达到最大高度2.6米，(1) 运行的高度记为y(m)，运行的水平距离记为x(m)，建立平面平面直角坐标系如图，求y 与x的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2) 若球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m。
中考数学复习第三单元函数第15课时二次函数的综合应用
的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图15-6所示,以水平方向为x轴,喷水池
中心为原点建立直角坐标系.
高
频
考
向
探
究
(2)王师傅在水池内维修(wéixiū)设备期间,喷水管意外
喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时
必须在离水池中心多少米以内?
图15-6
1
(2)当 y=1.8 时,1.8=- (x-3)2+5,
第九页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
题组二 易错题
【失分点】
忽略实际问题(wè在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰在水面
中心,安置(ānzhì)在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径
落下,且在过OA的任一平面上,抛物线形状均如图15-5①所示.如图②,建立直角坐标系,水
∴y 与 x 之间的函数关系式为
1
- 2 + 2(0 ≤ ≤ 2),
y=
1
2
2
2 -4 + 8(2 < ≤ 4).
由函数关系式可看出 A 中的函数图象与所求的分段函数对应.故选 A.
第六页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
2.如图 15-3,坐标平面上有一顶点为 A 的抛物
[答案(dáàn)] B
直角坐标系.
高
频
考
向
探
究
(3)经检修评估(pínɡ ɡū),游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,
中心为原点建立直角坐标系.
高
频
考
向
探
究
(2)王师傅在水池内维修(wéixiū)设备期间,喷水管意外
喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时
必须在离水池中心多少米以内?
图15-6
1
(2)当 y=1.8 时,1.8=- (x-3)2+5,
第九页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
题组二 易错题
【失分点】
忽略实际问题(wè在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰在水面
中心,安置(ānzhì)在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径
落下,且在过OA的任一平面上,抛物线形状均如图15-5①所示.如图②,建立直角坐标系,水
∴y 与 x 之间的函数关系式为
1
- 2 + 2(0 ≤ ≤ 2),
y=
1
2
2
2 -4 + 8(2 < ≤ 4).
由函数关系式可看出 A 中的函数图象与所求的分段函数对应.故选 A.
第六页，共四十页。
基
础
知
识
巩
固
高
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考
向
探
究
2.如图 15-3,坐标平面上有一顶点为 A 的抛物
[答案(dáàn)] B
直角坐标系.
高
频
考
向
探
究
(3)经检修评估(pínɡ ɡū),游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,
中考数学第三单元函数及其图象第15课时二次函数的应用
- + 20(9 ≤ ≤ 12,为整数),
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
z
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
10
10
(1)请你根据表格求出每件产品利润 z(元)与月份 x(月)的关系式;
(2)若月利润 w(万元)=当月销量 y(万件)×当月每件产品的利润 z(元),求月利润 w(万元)与月份 x(月)的关系
池中心多少米以内?
1
当 y=1.8 时,即 1.8=- (x-3)2+5,
5
解得 x1=7,x2=-1(舍去).
答:王师傅必须站在离水池中心 7 米以内.
2021/12/9
第十四页，共四十三页。
图15-5
高频考向探究
针对训练
[2018·衢州] 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物
biān)有一圈喷水头,喷出
的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物
处汇合,如图15-5所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15 m时,飞行的时间是多少?
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?
(3)在飞行过程中,小球的飞行高度何时最大?最大高度是多少?
图15-4
2021/12/9
x
1
2
3
4
5
6
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9
10
11
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(1)请你根据表格求出每件产品利润 z(元)与月份 x(月)的关系式;
(2)若月利润 w(万元)=当月销量 y(万件)×当月每件产品的利润 z(元),求月利润 w(万元)与月份 x(月)的关系
池中心多少米以内?
1
当 y=1.8 时,即 1.8=- (x-3)2+5,
5
解得 x1=7,x2=-1(舍去).
答:王师傅必须站在离水池中心 7 米以内.
2021/12/9
第十四页，共四十三页。
图15-5
高频考向探究
针对训练
[2018·衢州] 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物
biān)有一圈喷水头,喷出
的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物
处汇合,如图15-5所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15 m时,飞行的时间是多少?
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少?
(3)在飞行过程中,小球的飞行高度何时最大?最大高度是多少?
图15-4
2021/12/9
二次函数的图象课件
二次函数的图象课件
这份课件将带您深入了解二次函数的概念、表达形式和图像特征。还将介绍 二次函数在不同领域的应用，以及常见错误和避免方法。让我们开始探索二 次函数的奥秘吧！
什么是二次函数
二次函数是一个以二次项为最高次的代数函数，它的图像呈现出抛物线的形状，并且具有特定的顶点和对称轴。
二次函数的标准式
二次函数的一般式是 y = ax^2 + bx + c，通过一般式可以求出二次函数的零点 和判别式，进一步分析函数的特性。
ห้องสมุดไป่ตู้次函数在坐标系中的图像
二次函数在坐标系中的图像呈现出抛物线的形状，具有对称性和特定的轨迹。 图像的形状和位置可以通过函数的系数来推测。
二次函数的对称轴
二次函数的对称轴是图像的对称线，它垂直于 x 轴并过顶点。通过对称轴可 以进一步确定图像的形状和特征。
二次函数的标准式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数。通过标准式，可以得到二次函数的图像特征和解 析式。
二次函数的顶点式
二次函数的顶点式是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点的坐标。顶点式可以直接得到二次函数的顶点和对称轴。
二次函数的一般式
二次函数的判别式
二次函数的判别式是 b^2 - 4ac，通过判别式可以判断二次函数的解的情况， 进一步分析函数的开口方向和交点情况。
二次函数的零点和解析式
二次函数的零点是函数与 x 轴交点的横坐标，解析式是零点的一种简化表达 方式。通过求解零点和解析式，可以进一步分析函数的特性。
这份课件将带您深入了解二次函数的概念、表达形式和图像特征。还将介绍 二次函数在不同领域的应用，以及常见错误和避免方法。让我们开始探索二 次函数的奥秘吧！
什么是二次函数
二次函数是一个以二次项为最高次的代数函数，它的图像呈现出抛物线的形状，并且具有特定的顶点和对称轴。
二次函数的标准式
二次函数的一般式是 y = ax^2 + bx + c，通过一般式可以求出二次函数的零点 和判别式，进一步分析函数的特性。
ห้องสมุดไป่ตู้次函数在坐标系中的图像
二次函数在坐标系中的图像呈现出抛物线的形状，具有对称性和特定的轨迹。 图像的形状和位置可以通过函数的系数来推测。
二次函数的对称轴
二次函数的对称轴是图像的对称线，它垂直于 x 轴并过顶点。通过对称轴可 以进一步确定图像的形状和特征。
二次函数的标准式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数常数。通过标准式，可以得到二次函数的图像特征和解 析式。
二次函数的顶点式
二次函数的顶点式是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点的坐标。顶点式可以直接得到二次函数的顶点和对称轴。
二次函数的一般式
二次函数的判别式
二次函数的判别式是 b^2 - 4ac，通过判别式可以判断二次函数的解的情况， 进一步分析函数的开口方向和交点情况。
二次函数的零点和解析式
二次函数的零点是函数与 x 轴交点的横坐标，解析式是零点的一种简化表达 方式。通过求解零点和解析式，可以进一步分析函数的特性。
初三数学中考复习：二次函数的应用 复习课 课件(共32张PPT)
二次函数的应用
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图像性质 用函数观点看方程与不等式
应用
一1.从、二二次次函函数数角与度方看程二次、方不程等、式不等式
(形)
（数）
解法一：观察图像， 解法二：解方程，
(形)
（数）
解法一：观察图像，
一、二次函数与方程、不等式
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例2：
某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种 水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
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解决最值类的主要步骤：
第三步：确定自变量取值范围。（与自变量相关的量） 第四步：利用二次函数性质解决最值等问题。（顶点、图像） 第五步：回归实际题。
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例2：
分析：
优秀ppt公开课ppt免费课件下载免费 课件20 20届 初三数 学中考 复习： 二次函 数的应 用 复习课 课件（共32张PPT）
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➢ 构造函数解方程，利用两个函数图象交点确定解。 ➢ 可对方程进行同解变形，再构造函数。
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图像性质 用函数观点看方程与不等式
应用
一1.从、二二次次函函数数角与度方看程二次、方不程等、式不等式
(形)
（数）
解法一：观察图像， 解法二：解方程，
(形)
（数）
解法一：观察图像，
一、二次函数与方程、不等式
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例2：
某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种 水产品的销售情况，销售单价定为多少元时，获得的利润最多？
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解决最值类的主要步骤：
第三步：确定自变量取值范围。（与自变量相关的量） 第四步：利用二次函数性质解决最值等问题。（顶点、图像） 第五步：回归实际题。
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例2：
分析：
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➢ 构造函数解方程，利用两个函数图象交点确定解。 ➢ 可对方程进行同解变形，再构造函数。
二次函数的图像与性质课件
一阶导数等于零的点是函数的拐点，也是单调性的分界点。通过分析这
些点的左右两侧的导数符号变化，可以判断出函数的单调性。
二次函数的极值问题
极值的概念
01
02
03
极值
函数在某点的值大于或小 于其邻近点的值，称为该 函数在该点有极值。
极大值
函数在某点的左侧递减， 右侧递增，则该点为极大 值点。
极小值
函数在某点的左侧递增， 右侧递减，则该点为极小 值点。
顶点坐标
总结词
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出，顶点的x坐标为-b/2a，y坐标为cb^2/4a。这个顶点是抛物线的最低点或最高点，取决于抛物线的开口方向。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是抛物线的对称轴，也是顶点的x 坐标。
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于x轴对称当且仅当$a > 0$，关于y轴对称当且仅当 $a < 0$。
点对称
总结词
二次函数的图像关于某点对称。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于点$(h, k)$对称当且仅当 $f(h+x) = f(h-x)$且$f(k+y) = f(k-y)$。
解方程问题
总结词
通过二次函数的图像与x轴的交点，可以求 解一元二次方程的根。
详细描述
一元二次方程的根即为二次函数图像与x轴 的交点横坐标。通过观察二次函数的开口方 向和与x轴的交点数，可以判断一元二次方 程实数根的个数。
二次函数知识点归纳图像
二次函数知识点归纳图像引言二次函数是高中数学中的重要知识点，在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将通过图像的方式来归纳和总结二次函数的相关知识点，帮助读者更好地理解和记忆这一内容。
1. 二次函数的概念二次函数是指具有形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b 和 c 是实数，且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口向上或开口向下的抛物线。
2. 抛物线的开口方向二次函数抛物线的开口方向由二次项系数 a 的正负决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是二次函数图像的最高点或最低点，也是图像的对称轴上的点。
顶点的横坐标由公式 x = -b/(2a) 计算，纵坐标由将横坐标代入函数中得到。
4. 抛物线的对称轴对称轴是指通过抛物线顶点且垂直于 x 轴的一条直线。
对称轴的方程可以通过将公式 x = -b/(2a) 代入得到。
5. 抛物线的焦点和准线焦点和准线是与抛物线相关的两个重要概念。
焦点是指到抛物线上任意一点的距离与到准线上同一点的距离相等的点，焦点的横坐标由公式 x = -b/(2a) 计算，纵坐标通过将横坐标代入函数得到。
准线是一条与 x 轴平行且与焦点关于抛物线对称的直线，准线的纵坐标由公式 y = c - (b^2 - 1)/(4a) 计算。
6. 抛物线与坐标轴的交点抛物线与 x 轴的交点称为零点或根，抛物线与 y 轴的交点称为截距。
零点的横坐标可以通过解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 得到，截距可以直接从常数项 c 得到。
7. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即抛物线关于顶点和对称轴对称。
这意味着对于两个关于对称轴对称的点 P 和P’，它们关于顶点的函数值相等，即f(P) = f(P’)。
8. 抛物线的平移和缩放二次函数的图像可以通过平移和缩放的方式进行变换。
平移是指将抛物线沿 x 轴或 y 轴的正负方向移动，缩放是指通过改变 a、b 和 c 的值来改变抛物线的形状和大小。
二次函数的图像与性质课件
面积问题
矩形面积问题
通过二次函数表示矩形面 积与边长之间的关系，解 决最大面积问题。
三角形面积问题
利用二次函数表示三角形 面积与高或底之间的关系， 求解最大或最小面积。
梯形面积问题
通过二次函数表示梯形面 积与上底、下底和高之间 的关系，解决面积优化问 题。
利润问题
总利润与销售量关系
利用二次函数表示总利润与销售量之间的关系，找到最大利润点。
韦达定理的应用
韦达定理可用于求解一元二次方程的两个根的平方和、倒数和等问题，简化计算过程。同时，在解决 与二次函数相关的问题时，韦达定理也具有重要的应用价值。例如，在求解二次函数的顶点坐标、对 称轴等问题时，可以利用韦达定理进行求解。
PART 05
二次函数在实际问题中应 用
REPORTING
WENKU DESIGN
定价策略
通过二次函数分析商品定价与销售量、成本之间的关系，制定最优 定价策略。
成本控制
利用二次函数表示成本与产量之间的关系，寻求最低成本方案。
抛物线型问题
抛物线顶点与对称轴
01
通过二次函数的图像分析，确定抛物线的顶点坐标和对称轴方
程。
抛物线开口方向与最值
02
根据二次函数的系数判断抛物线的开口方向，并找到函数的最
与x轴交点
二次函数与x轴的交点即为方程的根。当Δ=b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实根，图像 与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有两个相等的实根（重根），图像与x轴有一个交点；当 Δ<0时，方程无实根，图像与x轴无交点。
PART 03
二次函数性质探讨
REPORTING
WENKU DESIGN
伸缩变换
2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第15课时 二次函数的图象与系数a、b、c的关系(课件)
6．如图，抛物线y＝x2＋mx与直线y＝－x＋b交于点A(2，0)和点B. (1)求m和b的值； 解：(1)∵抛物线y＝x2＋mx经过点A(2，0)， ∴4＋2m＝0，解得m＝－2. ∵直线y＝－x＋b经过点A(2，0)， ∴－2＋b＝0，解得b＝2；
第6题图
(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2＋mx＞－x＋b的解集；
(3)由题意知抛物线与y轴交于点(0，－2)， ∴1－3m＝－2，解得m＝1， ∴抛物线解析式为y＝x2－x－2. ∵点P到x轴的距离为3， ∴点P的纵坐标为3或 －3, 当 －3＝x2－x－2时，方程无解，
当3＝x2－x－2时， 解得x1＝ 1 2 21 ，x2＝ 1 2 21 ，
∴点P坐标为( 1 21 ，3)或( 1 21 ，3);
2a
x＝－1左侧
对称轴x＝－ b 与直线
2a
x＝－1重合
对称轴x＝－
b 2a
在直线
x＝－1右侧
结论判定
a＞0
a＜0
2a－b＜0 2a－b＞0
2a－b＝0
2a－b＞0 2a－b＜0
结论形式
联系知识
观察图象
抛物线与直线x＝1的交点 在x轴上方
抛物线与直线x＝1 抛物线与直线x＝1的交点
a＋b＋c
的交点的位置
a＜0
a－b＋c>0
a－b＋c＝0
a－b＋c<0
考点 2 二次函数与一元二次方程、一次函数的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的 图象与x轴的交点的横坐标值． 1. 抛物线与x轴有两个交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0有两个_不__相__等____的实 与一元二 数根⇔b2－4ac＞0； 次方程的 2. 抛物线与x轴有且只有一个交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实 关系 数根⇔b2－4ac___＝_____0； 3. 抛物线与x轴无交点⇔方程ax2＋bx＋c＝0___无__实__数__根______⇔ b2－4ac___＜_____0
(包头专版)2021年中考数学复习第三单元函数及其图象第15课时二次函数的应用课件
解得:x1=66,x2=74,
∵抛物线w=-5(x-70)2+4500开口向下,对称轴为直线x=70,
∴当66≤x≤74时,符合该网店要求,
而为了让消费者得到最大实惠,故x=66,
∴当销售单价定为66元时,既符合网店要求,又能让消费者得到最大实惠.
考向二 利用二次函数解决抛物线形问题
例2 [2019·临沂]从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动
每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.
(1)直接写出y与x的函数关系式.
(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润
最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了
保证捐款后每月利润不低于4220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休
故函数的表达式为 y=-2x+160.
= + ,
= -,
解得:
= + ,
= ,
例1[2019·青岛]某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天
的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图15-1所示.
(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售
C.y=x
D.y=-x
图15-3
[答案]B
[解析]设二次函数的表达式为 y=ax2,由题可知,点 A 的坐标为(-45,-78),代入表
达式可得:-78=a×(-45)2,解得 a=-
7
2
x ,故选
,∴二次函数的表达式为 y=-
B.
考向三 二次函数在几何图形中的应用
∵抛物线w=-5(x-70)2+4500开口向下,对称轴为直线x=70,
∴当66≤x≤74时,符合该网店要求,
而为了让消费者得到最大实惠,故x=66,
∴当销售单价定为66元时,既符合网店要求,又能让消费者得到最大实惠.
考向二 利用二次函数解决抛物线形问题
例2 [2019·临沂]从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动
每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.
(1)直接写出y与x的函数关系式.
(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润
最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了
保证捐款后每月利润不低于4220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休
故函数的表达式为 y=-2x+160.
= + ,
= -,
解得:
= + ,
= ,
例1[2019·青岛]某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天
的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图15-1所示.
(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售
C.y=x
D.y=-x
图15-3
[答案]B
[解析]设二次函数的表达式为 y=ax2,由题可知,点 A 的坐标为(-45,-78),代入表
达式可得:-78=a×(-45)2,解得 a=-
7
2
x ,故选
,∴二次函数的表达式为 y=-
B.
考向三 二次函数在几何图形中的应用
中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第15课时 二次函数的应用课件
件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b,
把(10,30),(16,24)代入,得
10 + = 30,
解得 = -1,
16 + = 24,
= 40.
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=-x+40(10≤x≤16).
可设这条抛物线的解析式为 y=ax2,
1
把(2,-2)代入,得-2=a×22,a=- ,
2
1
1
∴y=-2x2.当 y=-3 时,-2x2=-3,x=± 6,
图 15-1
∴水面下降 1 m,水面宽度增加
(2 6-4)m.
第六页，共二十九页。
课前双基巩固
3.[九上 P50 探究 2 改编] 某商品现在的售价为每件 60 元,每星期
的影响.
5.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为 4.1 元/千克,最高价格为 4.5 元/千克,小王按 4.1 元/千克
购入,若原价出售,则平均每天可卖出 200 千克,若价格每上涨 0.1 元,则每天少卖出 20 千克,则该种蔬菜
的价格定为
元/千克时,每天获利最大,最大利润为
第九页，共二十九页。
5
第十三页，共二十九页。
课堂考点探究
例 1 [2018·衢州] 某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为
抛物线,在距水池中心 3 米处达到最高,高度为 5 米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处
汇合,如图 15-3 所示,以水平方向为 x 轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
.答:扩建改造后喷水池水柱的最大高度为
解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b,
把(10,30),(16,24)代入,得
10 + = 30,
解得 = -1,
16 + = 24,
= 40.
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y=-x+40(10≤x≤16).
可设这条抛物线的解析式为 y=ax2,
1
把(2,-2)代入,得-2=a×22,a=- ,
2
1
1
∴y=-2x2.当 y=-3 时,-2x2=-3,x=± 6,
图 15-1
∴水面下降 1 m,水面宽度增加
(2 6-4)m.
第六页，共二十九页。
课前双基巩固
3.[九上 P50 探究 2 改编] 某商品现在的售价为每件 60 元,每星期
的影响.
5.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为 4.1 元/千克,最高价格为 4.5 元/千克,小王按 4.1 元/千克
购入,若原价出售,则平均每天可卖出 200 千克,若价格每上涨 0.1 元,则每天少卖出 20 千克,则该种蔬菜
的价格定为
元/千克时,每天获利最大,最大利润为
第九页，共二十九页。
5
第十三页，共二十九页。
课堂考点探究
例 1 [2018·衢州] 某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为
抛物线,在距水池中心 3 米处达到最高,高度为 5 米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处
汇合,如图 15-3 所示,以水平方向为 x 轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.
.答:扩建改造后喷水池水柱的最大高度为