“试算法”和“相对差法”标定单约束重力模型
重力模型标定方法及分析
以幂 函数双约束 重力模 型的标 定为例 ：
＾
＝
由于重力模型是从万有引力 的定律 抽象而来 ， 因此 用于交通 分析时必然存在 一定 的弊端 。首 先模 型的物 理意义是 揭示 人 的 活动的社会现象 ， 又没有 完全立 足于人 的 出行规 律。其次 ， 但 对
收 稿 日期 ：０ ２０ —０ ２ １ －２１ 作者 简 介 ： 季 凯 （９ ７ ， ， 士 ， 程 师 １７ ．） 男 硕 工
其中 ， Ａ 为小 区 的交通吸引总量 ； Ｉ Ｐ 为小 区 ｉ 的交通发生总
第 ０ １２年 １ 期 ８卷 １ ２３ 第 ４ 月
季
凯： 重力模型标定方法及分析
Ｋ Ｐ ／Ｃ 。 ； ； Ａ
Ｊ
Ｋ ：［ ｉ ∑ ＡＣ］ 。 ／ ￣～
＝
于阻抗 函数而言 ， 出行距 离的 系数 为 常数 的假 设不 符合 实际 ， 对 对于距离太小 的情 况 ， 有时 预测值 过高 ， 导致 与实 际值 的误 差 较 大 。此外 ， 小区内出行时 间较难 确定 ， 使得 小 区内交通 量预 测结
， ｃ ）＝ ｅｐ ｆ 。 （ ｘ （ Ｃ ） ｌ ４ 多项式 函数 ： ）
广义费进行 测度 。 常用的阻抗 函数形式包括 以下 ５类 ：
１ 幂 函数 ： ）
， Ｃ ）＝ｃ 。 （
１ １ 重力模 型分 类 ．
随着交通研究者 的不 断努 力开 发 ， 重力模 型在 表达 形式 、 参 数标定 与检验 方法上 已有多种 形式 。按 照表达形 式 的不 同可 分
第 ３ 卷 第 １ 期 ８ １
・
１ ・ ８
２０ １２ 年 ４ 月
山 西 建 筑
重力模型标定方法及比较分析.kdh
最小二乘法、多元线性回归法、试算法分别标定不同的重力模型， 可得出针对于不同重力模型的标定方法。
关键词： 重力模型； 标定； 比较； 分析
中图分类号： Ｕ４９１．１
文献标识码： Ａ
文章编号： １００２－ ４７８６（ ２００８） ０８－ ００１７－ ０４
Ｃａｌｉｂｒ ａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ Ｃｏｍｐａｒ ｉｓｏｎ ｏｆ Ｇｒ ａｖｉｔｙ Ｍｏｄｅｌ
设ｙ＝ｌｎｑｉｊ， ｂ０＝ｌｎｋ， ｂ１＝α， ｂ２＝β， ｂ３＝－ γ， ｌｎＯｉ＝
αβ
ｘ１， ｌｎＤｊ＝ｘ２， ｃｉｊ＝ｘ３， 则 公 式 ｑｉｊ＝ｋＯｉ Ｄｊ ｆ（ ｃｉｊ） 可 以 转
单约束重力模型需要标定的参数很少， 而双约束重 化为：
力模型需要标定的参数有一定的规律， 故适合采用
ｙ＝ｂ０＋ｂ１ｘ１＋ｂ２ｘ２＋ｂ３ｘ３
于样本观测值以外的范围， 主要可以通过两种方法
合计
４０．８２７ ３ ３３．８６８ ０ ３１．６５３ ８ １０６．３４９ １
来实现： 采用扩大后的样本重新估计参数和比较不 包括在样本内的实际值与同期预测值。 ３ 算例分析
下面结合具体算例对不同重力模型进行标定， 即根据表３－ １、表３－ ２所示数据， 采用重力模型求 出ＯＤ表。
试算法进行参数标定。
此方程为三元线性回归方程， 其中ｂ０、ｂ１、ｂ２、ｂ３为
２．３ 重力模型的检验
待标定系数， 采用最小二乘法标定这些数据， 得出：
一个模型是否合理， 必须通过检验来判定。检
ｂ０＝２．１８１３， ｂ１＝１．３０３， ｂ２＝１．００８９， ｂ３＝－ ２．１
验的方法有： ａ） 经验检验 是较粗略的检验方法， 即看标定
ＸＩＥ Ｘｉａｎｇ－ ｊｕｎ
重力模型
TransCAD重力模型操作规程
在TransCAD应用重力模型时，需遵循“交通区阻抗确定-阻抗函数标定（K系数的确定）-交通分布”的一般规律。
B）统计检验即用一些数理统计的方法进行分析，检验，检验模型参数是否可靠。
C）预测检验即检验估计值的稳定性及对样本容量变化时的灵敏度，确定所建立的模型是否可用于样本观测值以外的范围，主要可以通过两种方法来实现：采用扩大后的样本重新轨迹参数和比较不包括在样本内的实际值与同期预测值。
3.重力模型及标定方法的比较
1.交通分区阻抗分析
如果所规划的区域地势比较平坦，路网比较均匀，而且交通分区之间没有明显的大型障碍物（如高山、海湾等），则可以使用小区间距离作为交通阻抗。反之，则需要根据路网的设置情况采用最短路径法来分析交通区之间的交通阻抗。对于前者，阻抗矩阵的生成方法比较简单，只需要将交通分区层设置为当前使用层，然后采用Distance Matrix命令就可以自动生成，对于后者，一般需要采用基于路网的多路径法，即利用Multi paths命令，输出阻抗矩阵。
最小二乘法应用比较广泛，即使数据不完整也能进行计算，标定所求参数，而且矩阵中数据越多，所标定的重力模型中的参数值越准确；而试算法要求数据具有一定的完整性，且OD矩阵不能是稀疏矩阵。
就计算过程的复杂程度而言，最小二乘法以矩阵计算为主，计算过程复杂；试算法则是简单的循环迭代过程，其标定过程中的数据计算也比较简单，所以适于标定单约束重力模型和双约束重力模型。
横观各向同性岩体平直-光滑节理双模型细观参数联合标定方法
第53卷第6期2022年6月中南大学学报(自然科学版)Journal of Central South University (Science and Technology)V ol.53No.6Jun.2022横观各向同性岩体平直−光滑节理双模型细观参数联合标定方法王朝阳1,2，林鹏1,3，许振浩1,3，王文扬1,3，吴杰1,3(1.山东大学岩土与结构工程研究中心，山东济南，250061；2.山东大学土建与水利学院，山东济南，250061；3.山东大学齐鲁交通学院，山东济南，250061)摘要：为更真实地模拟节理岩体的力学行为，颗粒流程序(PFC)采用平直节理模型(FJM)和光滑节理模型(SJM)分别模拟横观各向同性岩体的岩石部分和节理部分。
但双模型(FJM 和SJM)标定涉及的细观参数多，导致宏观−细观参数对应关系复杂。
为此，本文提出一种横观各向同性岩体双模型细观参数联合标定方法。
首先，遴选核心细观参数，建立岩体参数标定指标体系，对指标体系中的宏观−细观参数进行了敏感性分析，得到显著影响各宏观参数的细观参数；然后，提出FJM 和SJM 细观参数标定优先级体系，构建双模型细观参数联合分析方法，建立表征宏细观参数之间的函数关系；第三，为提高参数标定的准确性，提出了细观参数迭代校准方法；最后，形成了一套针对横观各向同性岩体的标准化细观参数标定流程。
研究结果表明：所提标定方法可应用于页岩的细观参数标定，标定结果的相对误差小于3%，验证了该方法的有效性。
关键词：横观各向同性岩体；颗粒流；平直节理模型；光滑节理模型；标定方法；迭代修正中图分类号：TU457文献标志码：A开放科学(资源服务)标识码(OSID)文章编号：1672-7207（2022）06-2211-13A transversely isotropic rocks integrated microparameter calibration method for flat joint model and smooth joint modelWANG Zhaoyang 1,2,LIN Peng 1,3,XU Zhenhao 1,3,WANG Wenyang 1,3,WU Jie 1,3(1.Geotechnical &Structural Engineering Research Center,Shandong University,Jinan 250061,China;2.School of Civil Engineering,Shandong University,Jinan 250061,China;3.School of Qilu Transportation,Shandong University,Jinan 250061,China)Abstract:In order to simulate the mechanical behavior of the jointed rock mass more realistically in particle flow code(PFC),the flat joint model(FJM)and smooth joint model(SJM)were used to simulate the rock part andthe收稿日期：2021−09−10；修回日期：2021−12−02基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(52022053，52009073)；山东省自然科学基金资助项目(ZR201910270116)(Projects(52022053,52009073)supported by the National Natural Science Foundation of China;Project (ZR201910270116)supported by the Natural Science Foundation of Shandong Province)通信作者：许振浩，博士，教授，从事地下工程灾害防治研究；E-mail ：******************.cnDOI:10.11817/j.issn.1672-7207.2022.06.022引用格式：王朝阳,林鹏,许振浩,等.横观各向同性岩体平直−光滑节理双模型细观参数联合标定方法[J].中南大学学报(自然科学版),2022,53(6):2211−2223.Citation:W ANG Zhaoyang,LIN Peng,XU Zhenhao,et al.A transversely isotropic rocks integrated microparameter calibration method for flat joint model and smooth joint model[J].Journal of Central South University(Science and Technology),2022,53(6):2211−2223.第53卷中南大学学报(自然科学版)joint part of the transversely isotropic rock mass,respectively.However,there exists complex relationship between macroscopic and microscopic parameters due to a large number of microparameters of dual-model.Aiming at addressing this challenge,an integrated parameter calibration method of dual-model was developed.Firstly,a calibration parameter index system was proposed through parameter selection.Numerical simulations and sensitivity analysis were conducted to obtain the relationship between macroparameters and microparameters. Secondly,microparameters priority of FJM and SJM was carried out,which provided an integrated analysis way of dual-model microparameters.The macroscopic and microscopic parameter functional representation system was developed.Thirdly,in order to improve the accuracy of parameter calibration,an iterative calibration method for microparameters was proposed.Finally,a set of standardized microparameter calibration procedures for transversely isotropic rocks was proposed.The results show that the calibration method can be applied to the integrated microparameter calibration of shale,and the relative error of calibration results is less than3%,which verifies the effectiveness of this method.Key words:transversely isotropic rocks;particle flow code;flat joint model(FJM);smooth joint model(SJM); calibration method;iteration correction自然界中含定向组构单元的岩石(体)通常被作为横观各向同性岩石(体)进行研究[1]。
一种改进的重力模型标定方法
一种改进的重力模型标定方法
闫小勇
【期刊名称】《交通信息与安全》
【年(卷),期】2003(021)004
【摘要】首先对现有的几种主要的重力模型标定方法进行了比较分析,在此基础上,提出了一种基于抛物线法的重力模型标定方法.相应的数值实验结果表明,文章提出的改进方法在计算效率方面较以往的方法有了一定的提高.
【总页数】3页(P93-95)
【作者】闫小勇
【作者单位】石家庄铁道学院,石家庄,050043
【正文语种】中文
【中图分类】U2
【相关文献】
1.重力模型标定方法及分析 [J], 季凯
2.一种改进的IMU加表标定模型及快速标定方法 [J], 张红宇;叶新生
3.一种重力测量卫星质心在轨标定改进算法 [J], 辛宁;邱乐德;张立华;刘乃金
4.基于出行时空分布的重力模型标定方法研究 [J], 朱亮;王元庆;周荣
5.一种减小加速度计重力法标定中安装误差影响的方法 [J], 占伟伟;蔡莉
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结构力学最全知识点梳理及学习方法
第一章 绪 论§1-1 结构力学的研究对象和任务一、结构的定义:由基本构件（如拉杆、柱、梁、板等）按照合理的方式所组成的构件的体系，用以支承荷载并传递荷载起支撑作用的部分。
注：结构一般由多个构件联结而成，如：桥梁、各种房屋（框架、桁架、单层厂房）等。
最简单的结构可以是单个的构件，如单跨梁、独立柱等。
二、结构的分类：由构件的几何特征可分为以下三类1．杆件结构——由杆件组成，构件长度远远大于截面的宽度和高度，如梁、柱、拉压杆。
2．薄壁结构——结构的厚度远小于其它两个尺度，平面为板曲面为壳，如楼面、屋面等。
3．实体结构——结构的三个尺度为同一量级，如挡土墙、堤坝、大块基础等。
三、课程研究的对象♦ 材料力学——以研究单个杆件为主♦ 弹性力学——研究杆件（更精确）、板、壳、及块体（挡土墙）等非杆状结构 ♦ 结构力学——研究平面杆件结构四、课程的任务1．研究结构的组成规律，以保证在荷载作用下结构各部分不致发生相对运动。
探讨结构的合理形式，以便能有效地利用材料，充分发挥其性能。
2．计算由荷载、温度变化、支座沉降等因素在结构各部分所产生的内力，为结构的强度计算提供依据，以保证结构满足安全和经济的要求。
3．计算由上述各因素所引起的变形和位移，为结构的刚度计算提供依据，以保证结构在使用过程中不致发生过大变形，从而保证结构满足耐久性的要求。
§1-2 结构计算简图一、计算简图的概念：将一个具体的工程结构用一个简化的受力图形来表示。
选择计算简图时，要它能反映工程结构物的如下特征：1．受力特性（荷载的大小、方向、作用位置）2．几何特性（构件的轴线、形状、长度）3．支承特性（支座的约束反力性质、杆件连接形式）二、结构计算简图的简化原则 1．计算简图要尽可能反映实际结构的主要受力和变形特点．．．．．．．．．．．．．．，使计算结果安全可靠； 2．略去次要因素，便于．．分析和．．．计算．．。
三、结构计算简图的几个简化要点1．实际工程结构的简化：由空间向平面简化2．杆件的简化：以杆件的轴线代替杆件3．结点的简化：杆件之间的连接由理想结点来代替（1）铰结点：铰结点所连各杆端可独自绕铰心自由转动，即各杆端之间的夹角可任意改变。
无约束重力模型
分别表示i小区和j小区的人口(用出行人数代替了总人数)
表示i，j小区之间的距离 (用出行费用函数 表示参数
来表示)
模型本身不满足交通守恒约 束条件：
改进的重力模型可表示为：
常见的交通阻抗函数有以下几种形式：
幂函数： 指数函数： 组合函数：
为参数，根据现状OD调查资料，利用最小二乘法 确定。
例：按例3中表3和表4给出的现状OD表和将来发生与吸引交通 量，以及表5和表6给出的现状和将来行驶时间，试利用重力模 型和平均增长系数法，求出将来OD表。设定收敛标准为
标定 的方法与乌尔希斯重力模型 相同。
这两种模型均能满足出行产生约束条件，即： 此都称为单约束重力模型。
，因
用上述两种重力模型进行交通分布预测时，首先是将预测的 交通产生量和吸引量以及将来的交通阻抗参数带入模型进行 计算。通常计算出的交通吸引量与给定的交通吸引量并不相 同，因此需要进行进一步迭代计算。
缺点
（1）缺乏对人的出行行为的分析； （2）将出行费用视为定值； （3）重力模型使用了同一时间段； （4）求内内交通量时的行驶时间难以给出； （5）交通小区之间的距离小时，有夸大预测的可能性； （6）必须借助于其它方法进行收敛计算。
17
1.9459
38
51
50 2550
15
3.6376
6
51
27 1377
23
1.7918
4
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28
728
22
1.3863
5
26
50 1300
23
1.6094
17
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702
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() 6.6644 7.2442 6.6280 7.2640 7.8438 7.2277 6.5903 7.1701 6.5539
重力模型及解释及系数计算方法
重力模型及解释及系数计算方法9、简述交通分布的重力模型的基本原理及其计算过程：重力分布模型仿效牛顿万有引力定律，认为交通小区间的交通量与交通小区各自的交通发生量和吸引量成广义的正比关系，而与交通小区间的交通阻抗（距离、时间、费用）成广义的反比。
重力分布模型是一个非常有用的交通分布模型，它适用于运输网络出现较大变化时的未来交通出行分布预测。
但该模型应用时，需要标定模型的参数。
重力模型(gravity model)是一种最常用的方法，它根据牛顿的万有引力定律，即两物体间的引力与两物体的质量之积成正比，而与它们之间距离的平方成反比类推而成。
重力模型考虑了两交通小区间的吸引强度与吸引阻力，认为两交通小区之间的出行吸引与两交通小区的出行发生、吸引量成正比，与交通小区间的交通阻抗成反比。
重力模型直观上容易理解，预测考虑的因素比较全面，尤其是强调了局部与整体之间的相互作用，比较切合实际，即没有完整的O-D表，也能用O-D矩阵（只要能标定a）预测。
重力模型的一个致命缺点是短程O-D分布偏大，尤其是区内出行，在预测时必须给予注意。
下式为Casey(1955)提出的重力模型。
其中，：i，j小区的人口；d为i，j小区间的距离,α为系数。
上式的约束条件为：s.t.同时满足守恒条件的α是不存在的，因此，将重力模型修改如下：其中，为交通阻抗函数。
交通阻抗函数的几种形式：指数函数：（1）幂函数：（2）组合函数：（3）为参数。
单约束型B.P.R.模型其中，调整系数。
发生侧得到保证，即：以下以幂指数交通阻抗函数为例介绍其计算方法：第1步令m=0，m为计算次数。
第2步给出n（可以用最小二乘法求出）。
第3步令第4步求出第5步收敛判定。
若下式满足，则结束计算；反之，令m+1=m，返回第２步重复计算。
,作业：按上次作业给出的现状OD表和将来生成、发生与吸引交通量，利用下式重力模型和弗拉塔算法，求出将来OD表。
收敛标准。
重力模型:其中，，，。
ES_MODEL v1.5培训教程
ES_MODEL v1.5培训教程ES_MODEL v1.5培训教程2009年10月北京© 2009版权所有北京飞瑞新龙技术有限公司保密事项本手册的所有内容是为ES_MODEL©试用版和正式版用户使用的。
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内容表述的约定ES_MODEL：指ES_MODEL静校正处理系统。
目录 (I)1.11.1.3 1.2.5 1.3.1 1.4.2 1.5.101.6.13 1.7.15 1.8 (20)1.9.27 1.10.322.352.1 (36)2.2.38 2.3.39 2.4.422.5.48 2.6.52 2.7.53 2.8.58 2.9.592.10.61 2.11.64 2.12.66 2.13.67 2.14.682.15.733 (92)附录1.常见问题 (92)附件2.道头字定义约定 (96)附件3.图表索引 (97)前言ES_MODEL静校正处理系统是由北京飞瑞新龙技术有限公司开发的、具有国际先进水平的静校正软件。
该软件的核心技术源自于二十多年的地震资料处理技术研究、扎实的数学功底以及对计算机核心技术的充分理解。
该软件采用的静校正方法以折射原理为基础，借用层析成像思想，采用非线性全局优化的遗传算法与梯度法结合，高效率、精确地实现模型反演。
机械优化设计约束优化方法
定义目标函数相对下降量: (1)
下一迭代点如仍为内点, 继续进行, 直至迭代点到边界或域外时止.
2. 试验步长因子t
迭代点在边界附近偏域内一侧时使 用, S (k采) 用最有利的适用可行方向.
X (k)
X (k 1)
f
F ( X (k ) ) F ( X (k1) ) F(X (k))
(2)
迭代公式
若仍不可行, 则重
复此步骤, 直至进入 X (s)
可行域为止.
2020/4/11
X (q1)
12
三. 终止判别条件
各顶点与好点函数值之差的均方根应不大于误差限
{1 k
k
1
[F ( X ( j) ) F ( X L )]2}2
j 1
不是十分可靠, 可改变
重作, 看结果是否相同.
2020/4/11
•①可取定步长、加速步长和收缩步长,但不能取最 优步长; ②对每一迭代点均需进行可行性和下降性检查.
2020/4/11
3
二.迭代步骤
2020/4/11
4
三.存在问题
有时会出现死点, 导致输出“伪最优 点”.
* 为辨别真伪, 要用K-T条件进行检查.
2020/4/11
5
§5-3 约束随机方向法
坐标轮换法有时会输出“伪最优点” ,用随机方向法可克服这一缺点.
可调参数
① 惩罚项用约束条件构造; ② 到达最优点时,惩罚项的值为0; ③ 当约束不满足或未到达最优点时,惩罚项的值大于0.
2. 分类
① 内点法----将迭代点限制在可行域内; ② 外点法----迭代点一般在可行域外; ③ 混合法----将外点法和内点法结合起来解GP型问题.
5-重力模型法
束，则可得到双约束重力模型（过程略）：
( ) qij = ai ⋅ bj ⋅ Oi ⋅ Dj ⋅ f cij
∑ ( )
−1
ai
=
j
bj ⋅ Dj ⋅ f
cij
∑ ( )
−1
bj = i ai ⋅ Oi ⋅ f cij
双约束重力模型可以同时满足行列约束条件，是目前使
用较多的一种重力模型。
表1 现状OD矩阵及未来发生、吸引量
1 2 3 Oi` Oi 1 4 2 2 8 16
2 2 8 4 14 28
3 2 4 4 10 40
Dj` 8 14 10 32
Dj 16 28 40
84
表2 各区之间的行程时间
123 1244 2412 3422
美国联邦公路局重力模型
模型形式为：
∑ ( ( ) ) qij = Oi ⋅
5.5 重力模型的优缺点
优点：
模型形式直观，可解释性强，易被规划人员理解和 接 受； 能比较敏感地反映交通设施变化对出行的影响，适 用于中长期需求预测； 不需要完整的基年OD矩阵，如果有可信赖的模型参 数，甚至不需要基年OD矩阵； 特定交通小区（如新开发区）之间的分布量为零时， 也能进行预测。 能比较敏感地反映交通小区之间行驶时间变化的情况。
双约束重力模型的标定
双约束重力模型中的ai与bj是在计算过程中产生的，不是固 定的参数，因而对于双约束重力模型只有阻抗函数中的参数需 要标定。在取指数型阻抗函数时，需要标定的就是参数β。
如果参数β的取值能使得由重力模型计算结果中得到的出行
长度分布，与实际调查得到的出行长度分布最大程度地吻合， 则该值就作为模型参数标定的最优值。因此重力模型的标定问 题就转化为一个方程求根的问题。可以用牛顿法等数值方法求
第四部分无约束优化方法教学课件
X X
(1) 1
(0) 2
X X
( 1
( 2
0 0
) )
X X
(1) 1
(1) 2
X X
( 1
( 2
2 2
) )
图4－12 坐标轮换法原理图（动画演示）
2. 搜索方向与步长的确定 （1）搜索方向的确定
对于第k轮第i次的计算
xik xik1aikdik
第k轮第I次的迭代方向，它轮流取n维坐标的单位向量。
f x1xTGxbTxc
2
从点x k出发，沿G某一共轭方向d k 作一维搜索,到达x k 1
xk1xk akdk
xk1xk akdk 而在点x k 、x k 1处的梯度分别为：
gk Gxk b gk1Gxk1b
g k 1 g k G x k 1 x k a k G d k
dj TGdk1 0
fx k 1 f x k a k d k m i n f x k a d k
第四节共轭方向及共轭方向法
为了克服最速下降法的锯齿现象，提高收敛速度，发展了 一类共轭方向法。搜索方向是共轭方向。 一、共轭方向的概念
共轭方向的概念是在研究二次函数
f x1xTGxbTxc
2 时引出的。 首先考虑二维情况
三、变尺度法的一般步骤
第七节 坐标轮换法
坐标轮换法是每次搜索只允许一个变量变化，其余变量保持 不变，即沿坐标方向轮流进行搜索的寻优方法。
它把多变量的优化问题轮流地转化成单变量的优化问题。
因此又称变量轮换法。
其基本原理是将一个多维的无约束最优化问题转化为 一系列较低维的最优化问题来求解，简单地说，就是先将 (n-1)个变量固定不动，只对第一个变量进行一维搜索得到 最优点x1（1）。然后，又保持(n-1)个变量不变，再对第二 个变量向，会产生 锯齿现象。 为避免锯齿的发生，取下一次的迭代搜索方向直接指向极 小点，如果选定这样的搜索方向，对于二元二次函数只需 进行两次直线搜索就可以求到极小点。
理论力学三大类问题的基本求解方法(附件2)
理论力学三大类问题的基本求解方法2009-121 求解静力平衡问题的基本方法（平面问题为重点）（1）选取研究对象，进行受力分析，并画受力图。
一般针对所求，先对整体进行初步的受力分析，若所求未知量小于或等于独立平衡方程的个数，则只研究整体即可；反之，若所求未知量个数大于独立平衡方程的个数，则必须取分离体进行受力分析。
可以采取整体＋分离体的解决方案，也可采取分离体＋分离体的解决方案；另外，若所求的未知量有系统内力，也必须取分离体研究，以暴露出所要求的内力；画受力图注意将各力画在原始的作用点处，分布力原样画出，待列方程计算时，再作简化处理。
再有，注意二力杆的判别，及摩擦力方向的判定。
（2）列平衡方程求解。
首先根据受力图，判断是何种力系的平衡问题。
再针对所求用尽可能少的平衡方程得出所求。
（3）结果校核——利用多余的平衡方程校核所得的结果。
对用符号表示的结果，可采用量纲分析的方法进行校核。
2 求解运动学问题的基本方法（以平面运动为重点）首先正确判断问题类型，尤其注意正确区分点的合成运动问题与刚体平面运动问题。
判断的依据是，点的合成运动的问题中，运动机构的不同构件之间有相对滑动。
而刚体平面运动理论用来分析同一平面运动刚体上两个不同点间的速度和加速度的关系。
此时，运动机构的不同构件之间有相对转动，却无相对滑动。
另外，注意点的合成运动与刚体平面运动的综合问题。
2．1 点的运动学问题——注意在一般位置建立点的运动方程；2．2 点的合成运动问题（1）首先是机构中各构件的运动分析；（2）再针对所求，正确选择动点、动系和定系。
注意动点相对于动系和定系都要有相对运动，即动点、动系、定系要分属于不同的构件。
同时，尽可能使动点的相对轨迹清楚易判断；求解加速度时，尽量将动系固连在平动的物体上，避免求科氏加速度；（3）分析三种运动及其相应的三种速度和加速度，正确画出速度矢量图或加速度矢量图。
注意速度合成的平行四边形关系；（4）利用速度或加速度合成定理进行求解。
无约束重力模式
无约束重力模式根据无约束重力模型公式：γβαij jit UTkjiX ∙=),(两边取对数得Ln(Tij)=lnk+αlnGi+βlnAj-γlntijTij─交通区i到交通区j的出行分布量：Gi─交通区i的出行产生总量：Aj─交通区j的出行吸引总量：K，α，β，γ─模型参数；公式转换为:Y=K+αx1+βx2-γx3参数的确定是通过拟合现状OD调查资料，用最小二乘法确定。
现有一规划区域，共划分为5个交通区，经调查其现状OD分布见表1，各交通区间的出行时间见表2，通过对各交通区的交通生成进行预测，得到各交通区未来交通产生、吸引量见表3，分析计算得到未来各交通区间的交通出行时间见表4。
表A1（现状OD分布）表B2（各交通区间的出行时间）表C2（各交通区未来交通产生，吸引量）表D1（未来各交通区间的交通出行时间）解：选用出行时间的函数形式，将无约束重力模型变为：Ln(Tij)=lnk+αlnGi+βlnAj-γlntij格式LN(number)：number是用于计算其自然对数的正实数。
Ln是exp函数的反函数计算步骤：打开数据文件，在定下的单元格中输入公式 Ln(number),按下number之后选择要计算的数字，然后按下Entre键后公式将返回计算结果如下表：Y=K+αx1+βx2-γx3此方程为线性回归方程，k, α，β，γ是用最小二乘法标定。
计算步骤：[c¹·c]¯¹c¹·y=β^c=(1 x)：将C=( 1 x)转置的步骤是：按矩阵c选择行列数，在单元格中输入:=TRANSPOSE(B2:E26)，然后按Cntrl+Shift+Enter组合键最后得出的结果是如下表（C¹）:下一步的步骤是[C¹.c]；依据C4×25·C25×4＝C4×4 选择单元格区域的行列数，在单元格区域中输入为=MMULT(A28:Y31,B2:E26)，然后然后按Cntrl+Shift+Enter组合键最后得出的结果是如下表[C¹.c]：下一步是算[C¹.c] ¯¹；先选择单元格区域的行列数，在单元格区域中输入：=MINVERSE(B34:E37)然后按Cntrl+Shift+Enter组合键。
力法位移法总结
对称结 时也可按照变形和内力与原结构等价的原则截取半边结 构计算。
包括平衡条件的校核和变形协调条件的校核
超静定结构计算 结果的校核
结构上某点的位移等于原结构的 M 图与 Mi 图图乘。若除 荷载外，结构还有支座位移、温度变化等其他因素，则所 求位移除图乘结果外， 还要加上结构在其他因素下产生的 位移。
求解对称结构时，应选用对称基本结构，并选取对 称未知力和反对称未知力作为基本未知量， 可实现如下简 化： （1）对称单位力作用下，反对称位移（力法方程中 相应的副系数）等于零；反对称单位未知力作用下，对称 位移（相应的副系数）等于零； （2）在对称荷载作用下，反对称未知力等于零，只 考虑对称未知力； （3）在反对称荷载作用下，对称未知力等于零，只 考虑反对称未知力； （4）若选择了对称基本结构而基本未知力不对称 （也非反对称）时，可采用组合未知力法，将未知力分解 为对称与反对称两组分量， 形成组合未知力， 使计算简化； （5）在结点等高的对称刚架、排架上只作用结点集 中荷载， 则只有荷载的反对称分量产生弯矩， 荷载的对称 分量不产生弯矩； （6）结构若有两个对称轴，均应利用以简化计算。 以校核变形协调条件为主。 在求得结构的 M 图后， 可 在原结构任意基本结构上施加虚单位荷载，得到 Mi 图。 （1）对称结构，在对称荷载作用下，对称位置的结点角位移大小相等，转向相反；对称位置 的线位移互不独立，未知量减少一半。在反对称荷载作用下，对称位置的结点角位移大小相 等，转向相同，对称位置的线位移互不独立，未知量也减少一半。 对称结构在对称荷载或反对称荷载作用下可以取半边结构计算。 半边结构在原对称轴截 （2） 面切断处需加上与变形性质相当的约束，具体情况如下： 奇/偶数跨刚架在对称/反对称荷载作用下对称轴处截面应增加的约束 在对称荷载作用下 奇数跨对称刚架 偶数跨对称刚架 定向支座 固定支座 在反对称荷载作用下 竖向链杆 半结构，且中柱惯性矩减半（刚度减半）