《认识分式》精品课件A 北师大版 八年级
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八年级数学下册5.1.1认识分式课件新版北师大版
B组
1.当x=2时，分式
4x 1 3x a
没有意义,求a的值.
a=6
a 1
2.取你喜欢的一个数，求分式 2 a 的值.
必做题：课本 第110页 第2、3、4题； 选做题：助学 第110页 第5题.
众所周知，我国土地资源相对贫乏，特别是作为农业生产基 础的耕地更为紧缺.不及世界平均水平的一半,仅相当世界人均耕 地3．75亩的37％.
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一 定期限内固沙造林 2 400 hm2，实际每月固沙造林的 面积比原计划多 30 hm2，结果提前完成原计划的任 务．如果设原计划每月固沙造林 x hm2，那么
（1）原计划完成造林任务需要多少个月？
2400
x
（2）实际完成造林任务用了多少个月？
2400 x 30
（1）2019年上海世博会吸引了成千上万的参观者，
某一时段内的统计结果显示，前a天日均参观人数35
万人，后b天日均参观人数45万人，这(a+b)天日均
参观人数为多少万人？
35a 45b
ab
解：（1）当a=1时，a 1 = 1 1 =2；
2a 1 21-1
当a=2时，
a 1 2a 1
=
21 2 2 -1
=1；
当a=-1时，2aa
1 1
=
-11 2（-1）-1
=
0；
(2)当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都
有意义.由分母2a-1=0，得a= 1
有意义.
4 b
c
; （5）
b 2
a
3
1
（6）x
3 y
;
; . （7） x 2 x y y 2 （8） m ( n p )
数学八年级下北师大版5.1 认识分式(1)课件(19张)
(2)一件商品售价x元，利润率为a%(a>0)，则 这种商品每件成本是多少元？
课堂小结
1、分式的定义： 一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以
表A示为诚分BA式的。形式。如果B中含有字母，那么称 B
2、分式有意义的条件：
当分式 A 中的分母B≠0时，分式 A有意义。
B
B
范例讲解
例1、(1)当a=1、2、-1时，分别求分式
a 1 2a 1
的
值； (2)当a为何值时，分式
a 1 2a 1
有意义？
解： (2)当分母的值为零时，分式没有意义，除 此之外，分式都有意义。
由分母2a-1=0，得
a
1 2
所以当
a
1 2
时，分式
a 1 2a 1
有意义。
分式的分母不能为0
新知归纳
B
A
分子
B
分母
巩固练习 1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
(1)
b 2a
;
(2)
a
2
b
;
(3)
x 4
1 x
;
(4) 1 xy x2 y. 2
合作交流
ⅰ、下列分数有意义吗？为什么？
(1) 3 ; 2
(2) 5 ; 0
(3) . 0
分数有意义的条件： 分数的分母不为0。
范例讲解
例、(1)当a=1、2、-1时，分别求分式
2400
需要 x 个月；
2400
(2)实际完成一期工程用了 x 30 个月。
新知探究
Ⅱ、2010上海世博会吸引了成千上万的参观者， 某一时段内的统计结果显示，前a天日均参观人数 35万，后b天日均参观人数45万，这(a+b)天日均 参观人数为多少万？
课堂小结
1、分式的定义： 一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以
表A示为诚分BA式的。形式。如果B中含有字母，那么称 B
2、分式有意义的条件：
当分式 A 中的分母B≠0时，分式 A有意义。
B
B
范例讲解
例1、(1)当a=1、2、-1时，分别求分式
a 1 2a 1
的
值； (2)当a为何值时，分式
a 1 2a 1
有意义？
解： (2)当分母的值为零时，分式没有意义，除 此之外，分式都有意义。
由分母2a-1=0，得
a
1 2
所以当
a
1 2
时，分式
a 1 2a 1
有意义。
分式的分母不能为0
新知归纳
B
A
分子
B
分母
巩固练习 1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
(1)
b 2a
;
(2)
a
2
b
;
(3)
x 4
1 x
;
(4) 1 xy x2 y. 2
合作交流
ⅰ、下列分数有意义吗？为什么？
(1) 3 ; 2
(2) 5 ; 0
(3) . 0
分数有意义的条件： 分数的分母不为0。
范例讲解
例、(1)当a=1、2、-1时，分别求分式
2400
需要 x 个月；
2400
(2)实际完成一期工程用了 x 30 个月。
新知探究
Ⅱ、2010上海世博会吸引了成千上万的参观者， 某一时段内的统计结果显示，前a天日均参观人数 35万，后b天日均参观人数45万，这(a+b)天日均 参观人数为多少万？
北师大版初二数学下册5.1.1《认识分式》课件
教材版本：北师大版 《数学》 八年级 下册
课题：5.1.1 认识分式
学 校：郑州市第三十四中学 授课教师：王 丽
我们学校准备组织学生 a人，老师 b
人参观博物馆，如果博物馆的门票是学生价
2元/人，成人价5元/人，那么他们买门票需
要付
元，平均每人
元。
学习目标
1、会根据分式的概念，区别整式与分式； 2、会求分式的值，并会判断分式有无意义。
1
B、x
x
1
C、x2x 1
)
D、x
x
1
3、当x=3 时，分式 2 x 1 的值为 3x 2
课堂小结：
谈谈本节课你的收获有哪些？
当堂测试
检测题在作业盒子里， 时间3分钟。
作业布置
基础作业：课本p109、110页第1、2、3题。 提高作业：第4、5、题及课后作业。 预习作业：自主预习下一节内容。
自主学习完后提交的问题：
课堂学习任务一：
问题1：说出你是如何对自主学习任务中的“问题1” 进行分类的? 问题2：找出你所列的代数式的中整式？除整式外的其 它代数式是什么？它们有什么共同特征？它们与整式 又有什么不同点？ 问题3：类比分数，概括分式的概念及表达形式； 问题4：根据分式的概念，自己列举一个是分式的式子 （1）自己给定其中所含字母的一个值，求此时该分式 的值； （2）说明什么情况下你所列的分式有意义？什么情况 下无意义？
要求：小组内讨论5分钟，后展示交流。
应用新知
从“1、2、a、b、c”中选取若干个数字
或字母，组成两个代数式，其中一个是整式 ，另一个是分式。
反馈训练
1、在下面四个代数式中,分式为( )
A、2
x
课题：5.1.1 认识分式
学 校：郑州市第三十四中学 授课教师：王 丽
我们学校准备组织学生 a人，老师 b
人参观博物馆，如果博物馆的门票是学生价
2元/人，成人价5元/人，那么他们买门票需
要付
元，平均每人
元。
学习目标
1、会根据分式的概念，区别整式与分式； 2、会求分式的值，并会判断分式有无意义。
1
B、x
x
1
C、x2x 1
)
D、x
x
1
3、当x=3 时，分式 2 x 1 的值为 3x 2
课堂小结：
谈谈本节课你的收获有哪些？
当堂测试
检测题在作业盒子里， 时间3分钟。
作业布置
基础作业：课本p109、110页第1、2、3题。 提高作业：第4、5、题及课后作业。 预习作业：自主预习下一节内容。
自主学习完后提交的问题：
课堂学习任务一：
问题1：说出你是如何对自主学习任务中的“问题1” 进行分类的? 问题2：找出你所列的代数式的中整式？除整式外的其 它代数式是什么？它们有什么共同特征？它们与整式 又有什么不同点？ 问题3：类比分数，概括分式的概念及表达形式； 问题4：根据分式的概念，自己列举一个是分式的式子 （1）自己给定其中所含字母的一个值，求此时该分式 的值； （2）说明什么情况下你所列的分式有意义？什么情况 下无意义？
要求：小组内讨论5分钟，后展示交流。
应用新知
从“1、2、a、b、c”中选取若干个数字
或字母，组成两个代数式，其中一个是整式 ，另一个是分式。
反馈训练
1、在下面四个代数式中,分式为( )
A、2
x
认识分式(第2课时)北师大数学八年级下册PPT课件
巩固练习
变式训练
x 1
将分式
x
2
2x x2 1
1化为最简分式,所得结果是____x___1___.
课堂检测
基础巩固题
1.下列约分正确的是 ( C )
A. m 1 m
m3
3
C. 9b 3b 6a 3 2a 1
B. x y 1 y
x2
2
D.
xa b yb a
x y
课堂检测
基础巩固题
2.已知
探究新知
知识点 1 分式的基本性质
思考：下列两式成立吗？为什么？ 3 3c（c 0） 4 4c
5c 5（c 0） 6c 6
探究新知
原因：分数的基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于
0的数，分数的值不变.
即对于任意一个分数 a 有：
b
a b
=
ac bc
a
b
=
a÷ b÷
c c
解：（2）
x
2
x2 9 6x
9
（x 3）（x 3)
（x 3）2
x 3. x3
探究新知
素养考点 2 最简分式
例2 下列分式中,最简分式是( B )
A.
x 1 x2 1
C. x2 36 2x 12
B.
x2 x2
1 1
y x2
D. x y
探究新知
方法总结 最简分式的标准是分子、分母中不含有公 因式,不能再约分. 判断的方法是把分子、分母分解因式,并且 观察有无互为相反数的因式,这样的因式可以通 过符号变化化为相同的因式从而进行约分.
(2) x2
x2 1 2x
． 1
北师大版八年级下册数学课件5.1认识分式 (共21张PPT)
叫做分式.
分母不等于0
①分子=0 ②分母≠0 ③最后答案
a＋1 ＝ 2a - 1
-
2? (
1＋1
1)-
＝0； 1
(2)当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之
外，分式都有意义.
由分母2a
－1＝0，得a＝
1. 2
所以，当a≠
1 2
时，分式 2aa＋－11有意义.
小试牛刀
1.当x取什么值时，下列分式有意义？
(1) 8 ; x- 1
1
(2) x2 -
. 9
因为分式4xx－＋53的值为－1，所以这个分式的分子、分母互为相反 数，即(4x＋3)＋(x－5)＝0，解得 x＝25.当 x＝25时，x－5＝25－5 ＝－253≠0，故当 x＝25时，分式4xx－＋53的值为－1.
今天我们学了什么？
分式的定义 分式有意义 分式的值为0
整式A、B相除可写 为 的形式，若分 母中含有字母，那么
－3a2，x＋2 2
，a＋2b π＋2
，3.
a＋1 例2 (1)当a＝1，2，－1时，分别求分式 2a－1 的值.
a＋1 (2)当a取何值时，分式 2a－1 有意义？
解：
(1)当a＝1时，
a＋1 ＝ 2a - 1
1＋1 2? 1
＝2； 1
当a＝2时，2aa＋- 11＝
2＋1 2? 2
＝1； 1
当a＝－1时，
8．已知分式2xx＋－nm，当 x＝2 时，分式的值为 0；当 x＝1 时，分
式无意义，则 m＋n＝______3__．
由题意得
4－m＝0， 2＋n≠0， 解得 1＋n ＝0，
m＝4， n＝－1.
故 m＋n＝4＋(－1)＝3.
分母不等于0
①分子=0 ②分母≠0 ③最后答案
a＋1 ＝ 2a - 1
-
2? (
1＋1
1)-
＝0； 1
(2)当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之
外，分式都有意义.
由分母2a
－1＝0，得a＝
1. 2
所以，当a≠
1 2
时，分式 2aa＋－11有意义.
小试牛刀
1.当x取什么值时，下列分式有意义？
(1) 8 ; x- 1
1
(2) x2 -
. 9
因为分式4xx－＋53的值为－1，所以这个分式的分子、分母互为相反 数，即(4x＋3)＋(x－5)＝0，解得 x＝25.当 x＝25时，x－5＝25－5 ＝－253≠0，故当 x＝25时，分式4xx－＋53的值为－1.
今天我们学了什么？
分式的定义 分式有意义 分式的值为0
整式A、B相除可写 为 的形式，若分 母中含有字母，那么
－3a2，x＋2 2
，a＋2b π＋2
，3.
a＋1 例2 (1)当a＝1，2，－1时，分别求分式 2a－1 的值.
a＋1 (2)当a取何值时，分式 2a－1 有意义？
解：
(1)当a＝1时，
a＋1 ＝ 2a - 1
1＋1 2? 1
＝2； 1
当a＝2时，2aa＋- 11＝
2＋1 2? 2
＝1； 1
当a＝－1时，
8．已知分式2xx＋－nm，当 x＝2 时，分式的值为 0；当 x＝1 时，分
式无意义，则 m＋n＝______3__．
由题意得
4－m＝0， 2＋n≠0， 解得 1＋n ＝0，
m＝4， n＝－1.
故 m＋n＝4＋(－1)＝3.
认识分式教学课件--北师大版初中数学八年级(下)
2a
当 a≠ 时， 分式有意义 由分子 a+1=0， 得 a=-1 当 a = -1 时， 分式的值为零。
随堂训练
随堂训练
1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）5x-7 （4） （7）
（2） （5）
（8）
（3）3x2-1 பைடு நூலகம்6）
随堂训练
2、已知分式
x2 4 x2
（, 1）当x为何值时，分式无意义?
35a 45b ab
问题：1、上述代数式中哪些是整式？
b ax
2、除整式外的其他代数式，它们有什么共同
特征？它们与整式有什么不同？
知识讲授
知识讲授
分式的定义 一般地、用A,B表示两个整式，A÷B可以
表示成A
B
称式子A B
的情势.且除式B中含有字母，那么 为分式.
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
(2) 当x为何值时，分式有意义?
解: (1)当分母等于零时,分式无意义。
即 x+2=0 ∴x = -2 x2 4 无意义。
x2
(2)由（１）得 当x ≠-2时，分式有意义
∴当x ≠ -2时分式
x2 4 有意义。
x2
随堂训练
（3）已知分式 x2 4当x为何值时，分式的值为零? x2
当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零。
3
解:属于整式的有（2）、（4） 属于分式的有（1）、（3）
判断一个代数式是否是分式的关键是什么？
例题讲授
例2（1）当 a =1，2、-1时，分别求分式
的值； 解：当 a=1时
当 a=2时
当a=-1时
（2）当 a取何值时，分式 有意义？分式的值为零？
当 a≠ 时， 分式有意义 由分子 a+1=0， 得 a=-1 当 a = -1 时， 分式的值为零。
随堂训练
随堂训练
1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）5x-7 （4） （7）
（2） （5）
（8）
（3）3x2-1 பைடு நூலகம்6）
随堂训练
2、已知分式
x2 4 x2
（, 1）当x为何值时，分式无意义?
35a 45b ab
问题：1、上述代数式中哪些是整式？
b ax
2、除整式外的其他代数式，它们有什么共同
特征？它们与整式有什么不同？
知识讲授
知识讲授
分式的定义 一般地、用A,B表示两个整式，A÷B可以
表示成A
B
称式子A B
的情势.且除式B中含有字母，那么 为分式.
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
(2) 当x为何值时，分式有意义?
解: (1)当分母等于零时,分式无意义。
即 x+2=0 ∴x = -2 x2 4 无意义。
x2
(2)由（１）得 当x ≠-2时，分式有意义
∴当x ≠ -2时分式
x2 4 有意义。
x2
随堂训练
（3）已知分式 x2 4当x为何值时，分式的值为零? x2
当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零。
3
解:属于整式的有（2）、（4） 属于分式的有（1）、（3）
判断一个代数式是否是分式的关键是什么？
例题讲授
例2（1）当 a =1，2、-1时，分别求分式
的值； 解：当 a=1时
当 a=2时
当a=-1时
（2）当 a取何值时，分式 有意义？分式的值为零？
八年级数学下册(北师)5.1 认识分式(第1课时)课件
如果设原计划每月固沙造林x公顷， 这一问题中有哪些等量关系？
1、实际每月固沙造林的面积=x+30公顷 2、原计划完成的时间—实际完成的时间=4个月
3、每月固2沙40造0 公林顷的面积 完成一期工程的时间（ 月）
如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么
2400 原计划完成一期工程需要___x____个月，
首页
随堂训练
1、归纳：对于分式 A B
（1） 分式无意义的条件是
B=。0
（2）分式有意义的条件是 B≠0
。
（3）分式的值为零的条件是 B≠0且A=0 。
首页
a+1
2、当a=1，2时，分别求分式 2a 的值。
3、a取何值时，分式
a+1 2a
有意义？
变式训练：
（1）当a取什么值时，分式
a 1 2a2 1
首页
思考并回答: 1、截至2月6日,红十字会接受捐款占了全
国民间捐款总额的多少?现在我国人口近13亿,平均 每人捐了多少?假设中国有a亿人口,那么平均每人又 捐了多少?
2 、 2月6日后,捐款还在不断的增多,假设 到2月份底,中国红十字总会及各地红十字会接受捐 款x亿元,中华慈善总会及各地慈善会接受捐款y亿元, 问红十字会捐款占捐款总额的多少?慈善会呢?
情景２：“中国沙化土地达174万平方公里，占国 土面积的18.2%，沙化面积每年仍以3436平方公里 的速度扩展”。
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期 分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造 林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30公顷，结果提前4个月完成原计划任务。原计划 每月固沙造林多少公顷？
2400 实际完成一期工程用了__x___3_0__个月。
北师大版八年级下册第五章第一节认识分式课件(共21张PPT)
（2）当 a取何值时，分式有意义？当 a取何值时，分式无意义？ 解：分式有意义需要:分母2a ≠0，即a ≠0 分式无意义需要：分母2a=0,即a=0
分式有意义：分母不为0;分式无意义：分母为0
巩固练习：1、当x 取什么值时，下列分式有意义（无意义）？
解：
（1） x 2x 1
（2） x 3 (x 1)(x 2)
①分子、分母都是整式 ②分母中含有字母
巩固练习：下列代数式：① ②
A．① ⑤ B．①③④⑤
③
④ x2 ⑤
x
C．①④⑤
，其中是分式的是（ C ）
D．②③
1
分式有：① a
④ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 x
5
⑤ xy
分式的判断必须对原 来的形式做出判断
（二）分式有无意义的条件
我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能
为0.要使分式有意义，分式 A 中的分母应满足什么 B
且分母不等于零
当堂检测
1.下列各式中不是分式的是（ B ）
A、 2x x y
B、12
C、- 1 x y
D、x2 x x
2.要使分式 x 1 有意义，则x应满足的条件是（ B ）
(x 1)(x 2)
有意义 （x-1)(x-2) ≠0
A.x ≠1 B .x ≠2且x ≠1 C.x ≠2 D.X ≠1或x ≠2
分析：由分子x-1=0 得，x=1
由分母2x-y≠0 即2×1-y≠0 所以y≠2
拓展提高
【例4】（1）当x为何值时，分式 x2 2的值为负数？ （2）当x为何值时，分式 x 3的值为正数?
3x 9
4x
解：
Q 分式 x2 2的值为负数且x2 2 f 0 3x 9
北师大版八年级数学下册 (认识分式)分式与分式方程课件
5 xy
1
20x2 y 4x 5xy 4x
确定最大公因式的步骤： ①确定系数，取分子与分母系数的最大公因数； ②确定字母(因式)，取分子与分母中相同的字母(因式)； ③确定字母(因式)的指数，相同字母(因式)的最小指数.
练习1 化简（1） 14mn 2k 4mn
x y
（2）x y3
解： 7nk 2mn 2 2mn
C
这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分
关系的根据.
利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且
等于第三边的一半”,可以证明小明分割出的四个
小三角形全等. 已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. 求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△F
C
分析:利用三角形中位线性质,可转化用(SSS) 来证明三角形全等. 证明: ∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.
D
E
求证:DE∥BC,DE=
1 2BC
B
C
分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证
明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的
关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应
的边相等.
证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.
∵ AE=CE,∠AED=∠CEF,
A
∴△ABC≌△CDA(SAS).
x
2 x x
1
x y2
内 容 b b m b b m (m ≠ 0)
类比思想
a am a am
归纳推理
分
式
的
用途
分式约分的依据
分式运算的基础
基
本
性
质
(1)分子分母同时乘或除以同一个不等于零的整式
北师大版八年级数学下册认识分式课件(共32张)
1 认识分式
锦囊妙计
化简求值的思路 当分式比较复杂时 , 一般不要直接代入 , 要先化简 再代入求值 .
1 认识分式
题型五 与利用参数法求分式的值
例题7 如已知 xy=23 , 试求 x32y-23+x2yx-2y-yx2的2 值 .
1 认识分式
解 由xy=23 ，可设 x = 2 k, y = 3 k ( k ≠ 0) , 代入可得
D. x+y=y+x
1 认识分式
答案 D
1 认识分式
锦囊妙计 分式变形的三个注意点
( 1 ) 分子、分母同时进行相同的运算； ( 2 ) 分子、分母只能同时乘除 , 不能同时加减； ( 3 ) 分子、分母同时乘 ( 或除以 ) 的整式不能为 0 .
1 认识分式
例题4 如不改变分式的值 , 把下列各式中的分子、分母的各 项系数都化为整数．
例题9 如有三个整式 x 2- 1 , x2+ 2 x + 1 , x2+ x, 请你从中任意 选择两个 , 将其中一个作为分子 , 另一个作为分母组成一个 分式 , 将这个分式进行化简 , 并求出当 x = 2 时分式的值．
1 认识分式
解 本题答案不唯一 , 如选择 x2- 1 作为分子 ,x2+ 2 x + 1 作为分母 , 组成分式．
第五章 分式与分式方程
1 认识分式
第五章 分式与分式方程
1 认识分式
考场对接
1 认识分式
考场对接
题型一 分式有无意义与值为零的条件
例题1 无论 x 取什么值 , 下列分式中总有意义的是 ( ) ．
2x A. x2+1
3x C. x2+1
8年级数学北师大版下册课件第5章《认识分式》
-2
+1 1
解:整式有 , , (x-y);
3 π 2
1 1
1
分式有 ,- , (a+b), .
-
-2
• 2.市政府计划用鲜花美化城市广场.如果1平方米的空地可以摆放a
盆鲜花,那么20000盆鲜花可以美化
平方米的空地.
课堂小结
再
见
第5章 分式与分式方程
•5.1.1 分式的概念
情境导入
•
面对日益严重的土地沙化问题,某县决定在一 hm2,
结果提前完成原计划的任务.
• 如果设原计划每月固沙造林x hm2,那么
• (1)原计划完成造林任务需要多少个月?
• (2)实际完成造林任务用了多少个月?
, ,
5
x π
2
2
• 重点
• 知识点2:分式有意义和无意义的条件
• 由分数的特点，类比解答：
=0
判断一个分式有
无意义，关键是
≠0
看分母，如果分
=1
母等于零，分式
无 意义，如果
≠1
分母不等于零，
分式有意义。
• 知识点3:分式的值为0的条件
满足分式的值为0的两个条件:一是分子等于0,二是分母
不等于0,两者必须同时满足.
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，除此之
外，分式都有意义.
1
由分母2a-1=0，得 a .
2
1
a 1
所以，当 a 时，分式 2a 1 有意义.
2
随堂演练
• 1.下列有理式中,哪些是整式?哪些是分式?
1 +1 1
1
1
,
,,
北师大版数学八下认识分式课件
x≠1
例3、若分式
2
6 x
没有意义
1
，则x
的取值范围是什么？
x1
2
x2
例4、若分式 2x 1的值为0 ，则x 的值等于多少？
x=2
一个概念 分式的概念
①分子分母都是整式 ②分母中含有英文字母
③分母≠0。
④分数线具有括号和除号 双重功能。
三个条件
分式有意义的条件 分母≠0 分式无意义的条件 分母=0 分式的值为零的条件 分子=0且分母≠0
分母
分数：分子、分母都Βιβλιοθήκη 不为具体数字同
点
这些代数式分子、分母都为整
式，且分母中含有英文字母
分式定义：
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B
中含有英文字母，那么称 BA为分式.其中A 叫作分式的分子，B为分式的分母,并且B≠0.
分式的概念
①分子分母都是整式 ②分母中含有英文字母 ③分母≠0。
1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
1
• 扩大延伸：
x 4
1、当ｘ= 4 时，分式 x x 4 的值是零。
x2 4
2、当ｘ= 2 时，分式 x 2 的值是零。
3、要使分式
x2 (x 1)(x 2)
有意义，则x满足
x 1且x 2
1
4、要使分式 x2 9 有意义，则x满足 x 3且x 3
5、要使分式
|
2x x | 3
没有意义，则x满足
x 3或x 3
6、分式
x
x
2
1有意义的条件是 1
x取全体实数
基础过关测试
1、在下面四个代数式中,分式为( B )
A、2x 5 B、 1 C、x 8 D、－ 1 + x
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1、分数
5 ， 有意义吗？ 0 0
a1 2、分式 2a 成立有条件吗？ 有什么条件？ a1 3、分式 中 ，a 可取多少值？ 2a a1 4、计算a=1, a=2时，分式 值分别是多少？ 2a
我们知道：除数不能为0，那么分式中的分母 应满足什么条件呢？ 分式的分母表示除数，由于除数不能为0， 所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分 A 式 才能有意义，否则无意义. B
② ④⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑾ ⑿
① ③
⑩ ⒀
⑤
1、判断一个有理式是不是分式，
关键看是否符合下式： A(整式) 且B中含有字母, B 0. B(整式) 2、整式包括单项式和多项式，单个字母 或数字是单项式。
二个应用
• 一、列分式 • 例2：把甲、乙两种饮料按质量比x：y混合在 一起，可以调制成一种混合饮料。调制1千克 这种混合饮料需多少甲种饮料？
这一问题中有哪些等量关系?
2400 那么原计划完成一期工程需要 个月, x 2400 实际完成一期工程用了 x 30 个月. 依据题意,可列出方程 2400 2400 4. x x 30
如果设原计划每月固沙造林x公顷,
做一做
（1）长方形的面积为10cm2,长为7cm,宽应为
长方形的面积为S,长为a,宽应为
强调：A B
中，B 中一定要有字母
温馨提示：
一个常数而不是字母。
是圆周率，它代表的是
随堂练习
2例1 当x取什么值时，下列分式有意义？ 2x x 1 x ⑴ x2 ， ⑵ 4x 1 ， ⑶ | x | 3
解⑴： 由分母 x－2=0，得 x=2。 x 所以当 x≠2时， 分式 有意义。 x2
•分式有意义的条件：
分式的分母不等于零
•分式的值为零的条件：
分式的分子等于零 且分母不等于零
•分式无意义的条件： 分式的分母等于零
1.判断下列代数式是否为分式？
m m 1 2 5 a b xy （ 1） , , x , , , 8 a 3 x 6 2 5x 2y
2 2
5 a2 1 （2） ， ,a a b
两个应用
三个条件 分式有意义的条件 分母不等于零
分式的值为零的条件 分子等于零 且分母不等于零
作
业
回顾与思考
1、下列两个整数相除如何表示成分数的形式：
3 3÷4= 4 , 10 10 ÷ 3= 3 ,
2、在代数式中，整式的除法也可以类似地表示。 试用用类似分数的形式表示下列整式的除法： ⑴ 90÷x 可以用式子 60÷(x-6)可以用式子 (2) n公顷麦田共收小麦m吨, 平均每公顷产量可以用式子
整式 有理式 分式 到本节课,我们一共学习了哪些 代数式呢?请同学们讨论一下!
单项式 多项式
整式和分式统称为有理式。
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
1 1 3 ab 1 ① 2 ,② ( x y ),③ ，④ 0,⑤ , x 5 x 2 c x x y 1 2x y 1 ⑥ y ,⑦ ,⑧ 5 x ,⑨ ,⑩ 2, 2 2 3 a a 1 4 ⑾ ,⑿ ( x y ),⒀ 3 3 x
随堂练习
1.当 x 取什么值时，下列分式的值为零 : | x | 2 x2 , (2) (1) . 2x 5 2x 4 解⑴： 由分子x+2=0，得 x=-2。 而当 x=-2时，分母 2x－5=-4－５≠0。 x2 所以当x=-2时，分式 的值是零。 2x 5 由分子|x|－2=0，得 x=±2。 解⑵ ： 当x=2时，分母 2x+4=4+4≠0。 当x=-2时，分母 2x+4=-4+4=0。 | x | 2 所以当x=2时，分式 2 x 4 的值是零。
例1、下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
2 xy 2x y 1 x (1) ; (2) ; (3) ; (4) . x 2 x y 3
解:属于整式的有（2）、（4） 属于分式的有（1）、（3）
为什么（2）、（4）不是分 式？判断的关键是什么？
分母含有字母是分式，
分母不含字母是整式.
代数式分类：
已知分式
(2) 当x为何值时，分式有意义? 即 x+2=0 ∴x = -2
x 4 , (1) 当x为何值时，分式无意义? x2
2
解: (1)当分母等于零时,分式无意义。
x2 4 无意义。 x2
(2)由（１）得 当x ≠-2时，分式有意义 ∴当x = -2时分式:
x2 4 有意义。 x2
2、从”1,2,a,b,c“中选取若干个数或字母，组成两 个代数式，其中一个是代数式，一个是分式． 3、当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是 （
B
）
（A）
2 x2
（B）
1 2 x 2
( C)
1 2 x
1 （D） 1 x
总结
①分子分母都是整式 一个概念 分式的概念 ②分母中含有字母 ③分母不能为零。 列分式 求分式的值 分式无意义的条件 分母等于零
1 解⑵ ：由分母 4x+1=0，得 x= - 。 4 1 x 1 所以当 x≠- 时， 分式 有意义。 4 4x 1
由分母|x|－3=0，得 x=±３ 。 解⑶：
2x 所以当x≠ ±３时， 分式 | x | 3 有意义。
随堂练习3：
2a 1 1、当 a 0,1,2时，分别求分式 2 的值。 a 1
200 33 S a 10 7
cm;
.
（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱 形容器中,水面的高度为
V S
cm;把体积为v
的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面的高度为
cm.
议一议
分式、有理式的定义
1、上面的问题出现了代数式: V 90 , 60 m 2400 2400 , S , , , S x 30 a x x6 n x 它们有什么共同特征？ 类似分数 , 分母中都有字母. 它们与分数有什么相同点和不同点？ A 相同点: 这些式子与分数一样都是 B (即
5.1 认识分式
温故而知新 你能判断下面哪些式子是整式吗？
x xy y
2
2
3x y
2
3
xy y
a 9a 1
5x-1
2 mn
23 x2 xy y2 3x y
a
xy y
2 mn
a 9aa1
m 3
m 3
5 2 3 2 2 m 答：整式有 a,3x y ,5 x 1, x xy y , x 3 -
90 x
60 x6
来表示。 来表示。
m n 吨来表示.
从环境保护说起
面对日益严重的土地 实际每月造林的面积 沙化问题, 某县决定分期分 =原计划每月造林的面积+30公顷; 批固沙造林. 一期工程计划 原计划完成工程的时间 在一定的期限内固沙造林 —实际完成的时间=4个月. 2400公顷, 实际每月固沙造 林的面积比原计划多30公顷, 结果提前4个月完成原计划任务. 原计 划每月固沙造林多少公顷?
A÷B)的形式
不同点:分数的分子A与分母B都是整数,而这些式 子中的A,B都是整式,并且B中含有字母.
议一议
分式、有理式的定一般地，如果A、B表示两个
整式，并且B中含有字母，那么代数式
叫做分式（fraction），其中A是分式的分 子，B是分式的分母。
1)分母中含有字母是分式的一大特点！ 5 2)分式比分数更具有一般性，如：分数 仅表示 x 3 5÷3的商，而分式 则可以表示任意两个整式 y 相除的商（除式不等于零），其中包括 5÷3 .
2 x 4 , (3) 当x为何值时，分式的值为零? 已知分式 x2
(4) 当x= 1时，分式的值是多少?
(３)当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零。
x 4 0, 且x 2
2
x 2
(4)将分子等于1分别带入分子和分母
当x 1时， 12 - 4 原式 -1 1 2
答案：
x x y
千克
• 二、分式的求值 a 1 • 例题3：（1）当 a=1，2时，分别求分式 2a 的值； •
• • • • •
a 1 1 1 解：（1）当 a=1时 1 2a 2 1
当 a=2时
a 1 2 1 3 2a 2 2 4
类比 分数 来 学习 分式
5 ， 有意义吗？ 0 0
a1 2、分式 2a 成立有条件吗？ 有什么条件？ a1 3、分式 中 ，a 可取多少值？ 2a a1 4、计算a=1, a=2时，分式 值分别是多少？ 2a
我们知道：除数不能为0，那么分式中的分母 应满足什么条件呢？ 分式的分母表示除数，由于除数不能为0， 所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分 A 式 才能有意义，否则无意义. B
② ④⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑾ ⑿
① ③
⑩ ⒀
⑤
1、判断一个有理式是不是分式，
关键看是否符合下式： A(整式) 且B中含有字母, B 0. B(整式) 2、整式包括单项式和多项式，单个字母 或数字是单项式。
二个应用
• 一、列分式 • 例2：把甲、乙两种饮料按质量比x：y混合在 一起，可以调制成一种混合饮料。调制1千克 这种混合饮料需多少甲种饮料？
这一问题中有哪些等量关系?
2400 那么原计划完成一期工程需要 个月, x 2400 实际完成一期工程用了 x 30 个月. 依据题意,可列出方程 2400 2400 4. x x 30
如果设原计划每月固沙造林x公顷,
做一做
（1）长方形的面积为10cm2,长为7cm,宽应为
长方形的面积为S,长为a,宽应为
强调：A B
中，B 中一定要有字母
温馨提示：
一个常数而不是字母。
是圆周率，它代表的是
随堂练习
2例1 当x取什么值时，下列分式有意义？ 2x x 1 x ⑴ x2 ， ⑵ 4x 1 ， ⑶ | x | 3
解⑴： 由分母 x－2=0，得 x=2。 x 所以当 x≠2时， 分式 有意义。 x2
•分式有意义的条件：
分式的分母不等于零
•分式的值为零的条件：
分式的分子等于零 且分母不等于零
•分式无意义的条件： 分式的分母等于零
1.判断下列代数式是否为分式？
m m 1 2 5 a b xy （ 1） , , x , , , 8 a 3 x 6 2 5x 2y
2 2
5 a2 1 （2） ， ,a a b
两个应用
三个条件 分式有意义的条件 分母不等于零
分式的值为零的条件 分子等于零 且分母不等于零
作
业
回顾与思考
1、下列两个整数相除如何表示成分数的形式：
3 3÷4= 4 , 10 10 ÷ 3= 3 ,
2、在代数式中，整式的除法也可以类似地表示。 试用用类似分数的形式表示下列整式的除法： ⑴ 90÷x 可以用式子 60÷(x-6)可以用式子 (2) n公顷麦田共收小麦m吨, 平均每公顷产量可以用式子
整式 有理式 分式 到本节课,我们一共学习了哪些 代数式呢?请同学们讨论一下!
单项式 多项式
整式和分式统称为有理式。
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
1 1 3 ab 1 ① 2 ,② ( x y ),③ ，④ 0,⑤ , x 5 x 2 c x x y 1 2x y 1 ⑥ y ,⑦ ,⑧ 5 x ,⑨ ,⑩ 2, 2 2 3 a a 1 4 ⑾ ,⑿ ( x y ),⒀ 3 3 x
随堂练习
1.当 x 取什么值时，下列分式的值为零 : | x | 2 x2 , (2) (1) . 2x 5 2x 4 解⑴： 由分子x+2=0，得 x=-2。 而当 x=-2时，分母 2x－5=-4－５≠0。 x2 所以当x=-2时，分式 的值是零。 2x 5 由分子|x|－2=0，得 x=±2。 解⑵ ： 当x=2时，分母 2x+4=4+4≠0。 当x=-2时，分母 2x+4=-4+4=0。 | x | 2 所以当x=2时，分式 2 x 4 的值是零。
例1、下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
2 xy 2x y 1 x (1) ; (2) ; (3) ; (4) . x 2 x y 3
解:属于整式的有（2）、（4） 属于分式的有（1）、（3）
为什么（2）、（4）不是分 式？判断的关键是什么？
分母含有字母是分式，
分母不含字母是整式.
代数式分类：
已知分式
(2) 当x为何值时，分式有意义? 即 x+2=0 ∴x = -2
x 4 , (1) 当x为何值时，分式无意义? x2
2
解: (1)当分母等于零时,分式无意义。
x2 4 无意义。 x2
(2)由（１）得 当x ≠-2时，分式有意义 ∴当x = -2时分式:
x2 4 有意义。 x2
2、从”1,2,a,b,c“中选取若干个数或字母，组成两 个代数式，其中一个是代数式，一个是分式． 3、当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是 （
B
）
（A）
2 x2
（B）
1 2 x 2
( C)
1 2 x
1 （D） 1 x
总结
①分子分母都是整式 一个概念 分式的概念 ②分母中含有字母 ③分母不能为零。 列分式 求分式的值 分式无意义的条件 分母等于零
1 解⑵ ：由分母 4x+1=0，得 x= - 。 4 1 x 1 所以当 x≠- 时， 分式 有意义。 4 4x 1
由分母|x|－3=0，得 x=±３ 。 解⑶：
2x 所以当x≠ ±３时， 分式 | x | 3 有意义。
随堂练习3：
2a 1 1、当 a 0,1,2时，分别求分式 2 的值。 a 1
200 33 S a 10 7
cm;
.
（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱 形容器中,水面的高度为
V S
cm;把体积为v
的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面的高度为
cm.
议一议
分式、有理式的定义
1、上面的问题出现了代数式: V 90 , 60 m 2400 2400 , S , , , S x 30 a x x6 n x 它们有什么共同特征？ 类似分数 , 分母中都有字母. 它们与分数有什么相同点和不同点？ A 相同点: 这些式子与分数一样都是 B (即
5.1 认识分式
温故而知新 你能判断下面哪些式子是整式吗？
x xy y
2
2
3x y
2
3
xy y
a 9a 1
5x-1
2 mn
23 x2 xy y2 3x y
a
xy y
2 mn
a 9aa1
m 3
m 3
5 2 3 2 2 m 答：整式有 a,3x y ,5 x 1, x xy y , x 3 -
90 x
60 x6
来表示。 来表示。
m n 吨来表示.
从环境保护说起
面对日益严重的土地 实际每月造林的面积 沙化问题, 某县决定分期分 =原计划每月造林的面积+30公顷; 批固沙造林. 一期工程计划 原计划完成工程的时间 在一定的期限内固沙造林 —实际完成的时间=4个月. 2400公顷, 实际每月固沙造 林的面积比原计划多30公顷, 结果提前4个月完成原计划任务. 原计 划每月固沙造林多少公顷?
A÷B)的形式
不同点:分数的分子A与分母B都是整数,而这些式 子中的A,B都是整式,并且B中含有字母.
议一议
分式、有理式的定一般地，如果A、B表示两个
整式，并且B中含有字母，那么代数式
叫做分式（fraction），其中A是分式的分 子，B是分式的分母。
1)分母中含有字母是分式的一大特点！ 5 2)分式比分数更具有一般性，如：分数 仅表示 x 3 5÷3的商，而分式 则可以表示任意两个整式 y 相除的商（除式不等于零），其中包括 5÷3 .
2 x 4 , (3) 当x为何值时，分式的值为零? 已知分式 x2
(4) 当x= 1时，分式的值是多少?
(３)当分子等于零而分母不等于零时,分式的值为零。
x 4 0, 且x 2
2
x 2
(4)将分子等于1分别带入分子和分母
当x 1时， 12 - 4 原式 -1 1 2
答案：
x x y
千克
• 二、分式的求值 a 1 • 例题3：（1）当 a=1，2时，分别求分式 2a 的值； •
• • • • •
a 1 1 1 解：（1）当 a=1时 1 2a 2 1
当 a=2时
a 1 2 1 3 2a 2 2 4
类比 分数 来 学习 分式