清华大学微积分课件5
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清华大学微积分课件
x0
x x0
x
-1 -1.5
2020/5/11
limarctan 1 不存 在！
x0
x
9
2. 函数在无穷远的极限
定义3： 设 函数 f ( x )在 区间( a, )有 定义
若x无 限变 大时 ，f ( x )无 限趋 于某 一
常 数， 则 称当x 时, f ( x )有 极限A，
记作 lim f ( x ) A x
趋向于一点
O
x• x0 x•
x
x x0 ， x x0， x x0
趋向于无穷
x ， x ， x
2020/5/11
4
（二）函数极限的定义
1. 函数在一点的极限
定义1：
设 函 数 f ( x )在 点x0的 某 空 心 邻 域
有 定 义. 如 果 当“ x 无 限 趋 于 ” x0时 ， 其 对
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
左
极
限,
记
作
lim
x x0
f
(x)Fra bibliotekA（2） 若 f ( x )在 （x0 , x0 )内 有 定 义.当
x x0时, f ( x )无 限 趋 于 确 定 值A,则 称A
是f
(
x
)在x0处
的
右
极
限,
记
作
lim
ff((xx))存存在在,,则则当当xyx 1x x时 0 时, ,f
f(
x( x)有)有界界. .
即存即在存M在M0和 0和 0N, 使 0当, 使0 当xxx0N时,时,
微积分 第5讲 清华大学 高等数学 课件
{an} Ú {bn} Âñ
y²: é n 1 ^êÆ8B{y 0 an bn. n = 1 ž, ¤y(ØÒ´K ^‡. yb ¤y(Øé n 1 ¤á, d8B½Â• 1 bn+1 = (an + bn) anbn = an+1 0. 2 l dêÆ8B{Œ•¤‡(ؤá
9 / 53
?
Œ•, ∀n an+1 = bn+1 =
(PŠ [a2, b2]) 7•¹Tê
Xde (1) ∀n (2) ∀k
,Œ
Xe4ü4«m
1 2n (b0
{[an, bn]}:
1, b n − a n =
− a 0 ); áõ‘. Ó˜‡
1, [ak , bk ] •¹ {xn} ¥
d«m@½nŒ• {an}, {bn} Âñ 4•, PŠ c. f {xnk } ¦ u´dY% d (2), ·‚Œ ∀k 1, þk ak nŒ•f
¿… c ´þã¤k4«m
∞
•˜ú
:, •=
[an, bn] = {c}.
n=1
18 / 53
y²: dK Œ•, ∀n a1 an an+1
1, ·‚k bn+1 bn b1 .
u´düNk.½n• {an} Ú {bn} þÂñ. Ù4•©O• a, b. @o·‚k 0 = lim (bn − an) = b − a.
an n→∞ bn
= 0.
14 / 53
~ 2. e lim xn = A, ¦y:
n→∞
x1 + x2 + · · · + xn = A. n→∞ n lim
y²: ∀n
1 , - an =
清华微积分高等数学课件第一讲函数
理等。
在清华，微积分课程是理工科学生的必修课，对于培养学生的
03
逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
课程目标
01
掌握微积分的基本概念和原理，如极限、连续性、 可微性、积分等。
02
学会运用微积分的方法解决实际问题，提高分析问 题和解决问题的能力。
03
培养学生对微积分的兴趣和热爱，为后续学习打下 坚实的基础。
通过选取一定数量的x值，计算对应的 y值，然后在坐标纸上标出这些点，再 用直线连接这些点。这种方法适用于 绘制简单的函数图像。
计算机绘制
使用数学软件或编程语言，如Matlab、 Python等，可以快速绘制函数的图像， 并可以自定义坐标轴范围、刻度等参 数。
函数图像的变换
平移变换
将函数图像沿x轴或y轴方向平移一定的距离。平移变换包括左移和右 移、上移和下移。
02 函数的基本概念
函数的定义
总结词
函数是数学中的基本概念，用于描述两个集合之间的映射关 系。
详细描述
函数是建立在两个数集之间的一种对应关系，对于数集A中的每 一个元素x，按照某种法则，数集B中都有唯一确定的元素y与之 对应。
函数的表示
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、 表格法和图象法。
详细描述
解析法是用数学表达式表示函数关系， 是最常用的一种表示方法；表格法是 用表格列出函数值，便于查找和计算； 图象法则是通过绘制函数图像来表示 函数关系。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、周期性和奇偶性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内的取值范围有限；单调性是指函数在某一区间内的增减性；周期性是指函数按照一 定周期重复的特性；奇偶性则是指函数图像关于原点或y轴的对称性。
清华大学微积分课件(全)x66_ppt课件
3 d ) rdr 0(r 1 2
1 2
D
11
[解法2] 利用Gauss公式
补上底面 S 1:
S : z 1 x y
2
2 2
2
z 0 , x y 1
xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy S
S
1
z
n
y
SS 1
o
n1
D xy
D xy
Z dx ^ dy 0 Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 2 )
1
S3
同理可证
Z Zdx ^ dy dV 比较 ( 1 ) 式与 (2 ) 式 ,可以得到 z S
X Xdy ^ dz dV , x S
S3
n
Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 1 ) 1
2018/11/16
D xy
9
另一方面,曲面积分
S外
Zdx ^ dy Zdx ^ dy Zdx ^ d Zdx^ dy
S 1 S 2 S 3
[注意] Z [x ,y ,z ( x , y )] dxdy 2
z
n
y
T 2 2 v ( x ,y , z ), dS 1 4 x 4 y d o D xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy
S
2 2 x v ndS (x y 1 ) d
S 2
0
2018/11/16
2若 向 向 曲 量 面 场
定1 理 ： 设 为空间有 ,其 界 边 S 是 闭 界 分 域
清华大学微积分高等数学课件第讲简单常微分方程一 共40页
y,
dy dx
,,
dny dx n ) 0
y
x x0
y0
dy
dx
x x0
y1
有n个
定解条件
d n1 y
y n 1
n1
dx 29.07.2019
x x0
13
定义5: ( 积分曲线 与积分曲线族)
常微分方程的每一个都 解是一个 一元函数y f (x) 或是F(x, y) 0 ( 隐式解), 它的图形称为该常微分 方程的一条积分曲.线
(分离变量时,这个解被丢掉了!)
故C也可以等于零
于是得到Байду номын сангаас程 dy 2xy dx
通解 yCx e2 (CR)
29.07.2019
19
(2) [解]
1y2 3x2ydy dx
分离变量
ydy 1 y2
dx 3x2
两端积分, 得 121y21C
2
3x
通解 1y2 1 C
16
(一) 分离变量法
[例1] 解方程 这两个方程的共同特点
(1) dy 2xy
是变量可分离型
dx
(2) 1y2 3x2ydy dx
dy
f(x)(y)
分离变量
g(y)dyf(x)dx
dx
两边积分 g(y)dyf(x)dx 通解
29.07.2019
17
(1) [解]
dy 2xy dx
15
(一) 变量可分离型 dy f(x)g(y)
dx
或f(x)d xg(y)dy
清华大学微积分课件(全)x58
曲面分别是 1 2 2 2 2 z1 = ( x + y ), z2 = 4 − x − y 3 其交线在 xoy 平面上的投影 x 2 + y2 = 3 曲线为： 曲线为：
2012-4-2
o
x
3 2
z = 0
1 2 2 z1 = ( x + y ) 3
4
用什麽坐标系计算较好
积分区域 方程分别是
D
= 4 ∫∫ dxdy
D1
= 4 ∫ 4 dθ ∫
0
2012-4-2
π
a
2 cos 2 θ
0
rdr
2
15
= 4a
2
∫
π
4
0
cos 2θ d θ = 2a
[例2] 求由两个半径相等且其 对称轴垂直 相交的圆柱面所围立体 的体积 V
[解 ] 设两圆柱面 解
z
z= a −x
2
2
的方程为
x + y =a
2
z
∆S v P1 v
1
P 3
v
P
M
M1
y
o
u
u + ∆u
u x
o
∂x ∂y ∂z T v v1 = ( , , ) ∆u ∂u ∂u ∂u
∂x ∂y ∂z T v v 2 = ( , , ) ∆v ∂v ∂v ∂v 2012-4-2
v v ∆ S = v1 × v 2
20
v i ∂x v v v1 × v 2 = ∂u ∂x ∂v
dθ ∫ dϕ ∫ ρ ⋅ ρ sin ϕ d ρ
2 2 0
π 4 0
R
∫
d θ ∫ sin ϕ d ϕ ∫ ρ d ρ
清华大学微积分高等数学课件第讲常微分方程二市公开课金奖市赛课一等奖课件
dy p( x) y 0 dx
齐次 非齐次
(1) 如何解齐次方程？
dy p( x) y 0 dx
可什分麽类离型型？！
10/10/
6
第6页
分离变量
dy p( x)dx y
解得 y ce p( x )dx 齐次通解
注意： 齐次通解结构：
是p(x)一个原函数 不是不定积分！
设 y1( x) 是 y' p( x) y 0的 一个非
则 (1) 的通解为 y( x) y y( x)
10/10/
11
第11页
[例1] 求y' y 1 (1)的通解。 [解] 易知y' y 0 (2)的一个解
y1( x) e x , (2)的通解 y Ce x . 观察出 y( x) 1 是(1)的一个解. (1)的通解 y( x) Ce x 1
性质5：
如果 y*( x) 是非齐次方程 (1)的一个解， y( x)是齐次方程 (2)的一个解,则 y*( x) y( x) 是非齐次方程(1)的解.
10/10/
5
第5页
一阶线性微分方程
a( x) dy b( x) y c( x) 0 dx
原则形式：
dy p( x) y q( x) dx
n
4
4
y 3 y'
2
1
y3
3x2
3
x
令
z
1 4
y 3
1
y3
z'
1
4
y3
y'
3
将原方程化为 3z' 2 z 3x2 x
10/10/
19
第19页
解线性方程 z' 2 z x2 (1)
清华大学微积分课件(全)x61
2012-4-2
v v( x, y, z) = X( x, y, z)i + Y ( x, y, z) j + Z( x, y, z)k
11
二、第二型曲线积分
（一）基本概念
1.有向曲线 有向曲线
规定 : A 为起点 B 为终点
参数方程
L: A
L− : B
B A
M •
•B
x = x( t ) y = y( t ) z = z( t )
一、向量场
发生某种物理现象的空间区域称为场 发生某种物理现象的空间区域称为场. 数量场: 如果区域Ω 数量场 如果区域Ω中每个点对应的物 理量是一个数量,则称这个场为 理量是一个数量 则称这个场为 数量场. 数量场 例如: 温度场、电位等. 例如 温度场、电位等 向量场: 如果区域Ω 向量场 如果区域Ω中每个点对应的物 理量是一个向量,则称这个场为 理量是一个向量 则称这个场为 向量场. 向量场
y B(−1,1) L 2 A(1,1) −
L
v v ∫ v ⋅ dl
L
∫
L
=∫
L1
L1
+∫
L2
+∫
L3
L3
L1
x
对于
∫
: x ≡ 1 , y = y ( −1 ≤ y ≤ 1)
C (1,−1)
dx = 0
2
∫
L1
( x − 2 xy )dx + ( y − 2 xy )dy
2
1 2
1 2
2 = ( y − 2 xy )dy = ∫ ( y − 2 y )dy = −1 −1 3 2012-4-2
终点
= ∫ [ X x′( t ) + Y y′( t ) + Z z′( t )]dt 化为定积分
v v( x, y, z) = X( x, y, z)i + Y ( x, y, z) j + Z( x, y, z)k
11
二、第二型曲线积分
（一）基本概念
1.有向曲线 有向曲线
规定 : A 为起点 B 为终点
参数方程
L: A
L− : B
B A
M •
•B
x = x( t ) y = y( t ) z = z( t )
一、向量场
发生某种物理现象的空间区域称为场 发生某种物理现象的空间区域称为场. 数量场: 如果区域Ω 数量场 如果区域Ω中每个点对应的物 理量是一个数量,则称这个场为 理量是一个数量 则称这个场为 数量场. 数量场 例如: 温度场、电位等. 例如 温度场、电位等 向量场: 如果区域Ω 向量场 如果区域Ω中每个点对应的物 理量是一个向量,则称这个场为 理量是一个向量 则称这个场为 向量场. 向量场
y B(−1,1) L 2 A(1,1) −
L
v v ∫ v ⋅ dl
L
∫
L
=∫
L1
L1
+∫
L2
+∫
L3
L3
L1
x
对于
∫
: x ≡ 1 , y = y ( −1 ≤ y ≤ 1)
C (1,−1)
dx = 0
2
∫
L1
( x − 2 xy )dx + ( y − 2 xy )dy
2
1 2
1 2
2 = ( y − 2 xy )dy = ∫ ( y − 2 y )dy = −1 −1 3 2012-4-2
终点
= ∫ [ X x′( t ) + Y y′( t ) + Z z′( t )]dt 化为定积分
[理学]清华大学微积分课件全x
![[理学]清华大学微积分课件全x](https://img.taocdn.com/s3/m/cd7cb1133169a4517723a359.png)
而 在( x0 , x0 )内 f ( x) 0,则 f 在 x0 取 得
极 大 值;
2019/5/13
3
[证] (1) 若 0, 使 在( x0 , x0 )内 f ( x) 0 在( x0 , x0 )内, f ( x) x ( x0 , x0 ) , f ( x) f ( x0 )
在 ( x0 , x0 )内, 有 f ( x) 0 在 ( x0 , x0 )内, 有 f ( x) 0
根 据 定 理1 知, f 在 x0 取 得 极 小 值.
2019/5/13
6
[例1] 求 f ( x) ( x 1)3 x2 的极值.
[解]先 求 可 能 的 极 值 点(驻 点 和 不 可 导 点)
2
4
10
（二）函数的最大、最小值
( A ) 闭区间上连续函数的最大、最小值
设 f : [a, b] R, 欲求其最大、最小值
方法如下:
(1) 求 f 在 (a, b)上的所有驻点和 不可导点: xi (i 1, 2, , n)
(2) max f ( x) x[a, b]
2019/5/13
max
f (a),
f (b),
f ( xi ), i
1, 2, , n 11
( B ) 最大、最小值应用问题
(1) 如 果 在(a, b)内 f ( x) 有 唯 一 的 驻 点x0 , 而 且 是 极 值 点.则 f ( x0 )就 是 所 要 求 的 最 大 值 或 最 小 值.
(2)如果在(a, b)内 f ( x) 有唯一的驻点x0 , 又从实际问题本身可以知道, f ( x)的
清华微积分高等数学课件第五讲导数与微分一
复合函数的导数
链式法则
对于复合函数，其导数为外层函数对内层函数的导数乘以内层函 数对自变量的导数。
复合函数求导步骤
首先确定复合函数的中间变量，然后使用链式法则求导。
常见复合函数的求导
例如，对于$f(g(x))$，其中$g(x)$为$x$的线性函数，可以直接使 用链式法则求导。
隐函数的导数
由方程组确定的函数的导 数
THANKS FOR WATCHI一种局部变化率，表示函数在某一点附近的小变化所引起的函数值的大小的变化。具体 来说，如果函数在某一点的微分存在，则该点的函数值会随着输入的微小变化而产生相应的微小变化 。
微分的几何意义
总结词
微分在几何上表示函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
如果函数在某一点的微分存在，那么该点的切线斜率就等于该点的微分值。换句话说，微分就是函数图像在某一 点处的切线的斜率。
对于由方程组确定的函数，可以使用偏导数 的方法求导。
隐函数求导步骤
首先对方程两边同时对自变量求导，然后解出关于 中间变量的导数，最后得到隐函数的导数。
常见隐函数的求导
例如，对于$F(x, y) = 0$，可以使用偏导数的 方法求出$y$关于$x$的导数。
03 微分概念与运算
微分的定义
总结词
微分是函数在某一点的变化率的量度。
微分在近似计算中的应用
总结词
利用微分进行近似计算，可以更快速、 准确地得到函数值。
VS
详细描述
在进行函数值的近似计算时，可以利用微 分的性质和运算规则，通过已知的函数值 和导数值来快速、准确地计算出函数在某 一点的近似值，从而提高计算效率和精度 。例如，泰勒级数展开就是利用微分进行 近似计算的一种方法。
清华大学微积分高等数学课件第5讲导数与微分一
8
[注意1] 导数的等价定义：
f(x0) lx i0m f(x0xx )f(x0)
f(x 0)lh i0m f(x 0h h )f(x 0)
f(x0)x l ix0m f(xx ) x f0 (x0)
2019/12/13
9
[注意2] 导数的意义： 导数是函数在一点的变化率
2019/12/13
yx在x0不
可
导 20
y x
2019/12/13
o
x
尖点
21
[例 ] 研 究 f(x)x1 3 在 x0的 可 导
[解]
y
f(0x)f(0)
1
( x)3
1
x
x
x(x)3 2
y
1
lxi m 0xlxi m 0(x)3 2
lim y lim f ( x0 x ) f ( x0 )
x x 0
x 0
x
存在 ,则称函数 f 在 x0 可导 , 并称此 极限值为函数 f 在 x0 的导数 . 记作
2019/12/13
f ( x 0 ),
df ,
dx x x 0
dy dx x x 0
2019/12/13 微分是增量的“线性主 部” 15
四、可导、可微与连续的关系
定理1: 函数可微与可导是等价的
(1) 函 数 f(x)在 点 x0处 可,则 导它 在
点x0必 可,且 微 A(x0) f(x0)
即
df(x0) f(x0)x
(2)函数 f(x)在x点 0处可 ,则 微它
点x0必可 ,且 导f(x0)A(x0)
k(x0) lx i0m f(x0xx)f(x0)
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11
2. 单侧导数定义： f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x ) 左导数 lim 0 x 0 x
f 在 x0 左可导 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 右导数 lim f ( x ) 0 x 0 x f 在 x0 右可导
(2) 割线斜率的极限是切线 斜率
f ( x0 x ) f ( x 0 ) k ( x0 ) lim x 0 x
(3) 曲线 L 在点M0 ( x0 , y0 )的切线方程
2014-5-19
y f ( x0 ) k ( x0 )( x x0 )
7
二、导数定义与性质 1. 导数定义： 设函数 y f ( x ) 在点 x0 的
什麽是曲线的切线？
2014-5-19 5
y
Байду номын сангаас
当N M 0时, 割线 的极限位置就是切线
N
L : y f ( x)
M0
割线
T
切线
x0 x
o
2014-5-19
x0
x
6
(1) 求区间x0 到 x0 x 的割线斜率
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) k ( x0 , x ) x
0
[注意1] 当确定点x0 时, 微分df ( x0 )是
x x x0 的线性函数.
[注意2] 当x很小时, 微分df ( x0 ) 可作为 增量f ( x0 ) 的近似值, 其误差
f ( x0 ) df ( x0 )
是x的高阶无穷小 .
2014-5-19
微分是增量的“线性主 部”
即 f ( x)在点 x0 可微, 且A( x0 ) f ( x0 )
2014-5-19 17
[证] (2) 设函数 f ( x )在点 x0可微
f ( x0 ) A( x0 ) x o(x)
(x 0)
f ( x 0 ) f ( x 0 ) l i m x 0 x A( x0 )x o( x ) lim A( x0 ) x 0 x
某邻域有定义.如果极限 f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 存在, 则称函数 f 在 x0 可导, 并称此 极限值为函数 f 在 x0 的导数. 记作 df f ( x0 ), dx ,
x x0
2014-5-19
定理： 函数 f 在点 x0 可导 f 在 x0 的
2014-5-19
左、右导数都存在且相 等, 即 f ( x0 )存在 f ( x0 ) f ( x0 )
12
3. 导函数定义： 若函数 f 在开区间 ( a, b) 上处处
可导, 则称 f 在开区间 (a, b) 上可导. 若函数 f 在开区间 (a , b) 上可导,
(2) 平均速度的极限是瞬时 速度
x( t 0 t ) x( t 0 ) v( t 0 ) lim t 0 t
如果极限存在, 这个极限值就是质点的 瞬时速度.
2014-5-19 4
[例2]
曲线的切线斜率问题
设曲线 L, 其方程为 y f ( x ) ( a x b ) f ( x ) C[a, b]. x0 ( a, b ), 求曲线 L 在点M 0 ( x0 , y0 )的切线 (其中, y0 f ( x0 )).
(13) (arcsi nx )
(14) (arccosx )
1 1 x 1
2
2014-5-19
1 x 1 (15 ) (arctan x ) 2 1 x 1 (16 ) ( arc cot x ) 2 1 x
2
28
微分基本公式
根据df ( x ) f ( x ) x , 故 由导数基本公式便可以得到 微分基本公式. ( 见讲义：P 67)
2014-5-19
公式 (C ) 0
30
[例2] 求 f ( x) cos x 在 x 的导数.
[解 ] x x y cos(x x ) cos x 2 sin(x ) sin 2 2 x y x sin 2 sin(x ) x x 2 2 x y x sin 2 lim limsin(x ) x sinx x 0 x x 0 2 2 公式 (cos x ) sinx
且在点a 右可导, 在点b 左可导, 则称 f 在闭区间 [a , b]上可导. 若函数 f 在区间I 上可导, 则在区间 I 上定义了一个新的函数 f ( x ), 称为 f
的导函数.
2014-5-19 13
三、函数的微分 导数是从函数对自变量变化的速度来 研究;而微分则是直接研究函数的增量， 这有许多方便之处。 （一）函数的微分的定义 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某邻域有定义.
2014-5-19
y x 在 x 0不可导
20
y x
o
2014-5-19
尖点
x
21
[例] 研究 f ( x) x 在 x 0的可导性
y f ( 0 x ) f ( 0) ( x ) 1 [解 ] x x x ( x )
1 3 2 3
1 3
当 x 很小时,
y dy 即
在点x0附近, 用切线近似代替 曲线 — “以直代曲” .
2014-5-19 26
五、基本导数（微分）公式
(1) (C ) 0
x lna a x) 1 ( 6 ) (log ( 5) (ln x ) 1 x (7) (sinx ) cos x (8) (cos x ) sinx
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[注意2] 导数的意义： 导数是函数在一点的变化率 物理意义
瞬时速度： v(t0 ) s(t0 )
线密度： ( x ) m( x )
几何意义 切线斜率： k( x0 ) f ( x0 )
导数 f ( x0 ) 是曲线 y f ( x )在点
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M 0 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率 .
如果 f ( x ) 在点 x0 的增量可表示成
f ( x0 ) A( x0 ) x o( x )
则称函数 f 在点 x0 可微.
线性函数 A x 称为函数 f 在点 x0 的微分.
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记作 df ( x0 ) A x 或 dy x x A x
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四、可导、可微与连续的关系
定理1: 函数可微与可导是等价的
(1) 函数 f ( x )在点x0处可导, 则它在 点 x0 必可微, 且 A( x0 ) f ( x0 ) 即 df ( x0 ) f ( x0 )x
(2) 函数 f ( x )在点x0处可微, 则它在 点 x0 必可导, 且
y( 0) 不存在！
振荡
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1 2 x sin , 若 y x 0,
x0 x0
2
1 x sin 0 x 则 y(0) lim x 0 x 1 lim x sin 0 x 0 x
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f ( x0 ) A( x0 )
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[证] (1)
设 f ( x )在点 x0 可导,即
f ( x 0 ) lim f ( x 0 ) x 0 x
由有极限函数与无穷小 量的关系知
f ( x 0 ) f ( x0 ) o(1) x f ( x0 ) f ( x0 ) x o(x)
y 1 lim lim x 0 x x 0 ( x )
2 3
f ( x) x 在 x 0 不可导
y
O
1 3
有铅垂切线
y x
1 3
x
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1 x sin , x 0 [例] y , 求 y(0) x x0 0, 1 x sin 0 1 x [解] y(0) lim limsin x 0 x 0 x x
作 业
P59 习题3.1
8. 9 (3)(6). 11(2)(6). 12. 13.
预习P60 —67. P70 —78
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第五讲 导数与微分（一）
一、引言
二、导数定义与性质 三、函数的微分
四、可导、可微与连续的关系 五、基本导数（微分）公式
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一、引言 两个典型背景示例
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5. 利用定义求导的例子
[例1] 求 y f ( x) C (C为常数) 在 x 的导数.
[解] (1) 给 x 以增量 x, 得到 y f ( x x) f ( x) C C 0
(2) 求增量比 y 0 0 x x y 0 (3) 令 x 0, 取极限得 li m x 0 x
[例1] 运动物体的瞬时速度
设汽车沿t轴作直线运动, 若己知其运动 规律(路程与时间的函数关系)为 x x( t ) 求在时刻 t 0 的瞬时速度.
t
3
t0
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t t0 t
[解] (1) 求时段 t0 到t0 t 的平均速度
x( t 0 t ) x( t 0 ) v (t0 , t ) t
( 3) (e ) e
x
x
( 2) ( x ) x (4) (a x ) a x lna
1
1 ( 9) (tan x ) sec x 2 cos x 1 2 (10 ) (cot x ) csc x 2 sin x