2018年江西师大附中高考数学三模试卷(理科)-教师用卷B
江西师大附中高三年级三模数学(理)试卷
江西师大附中高三年级三模数学（理）试卷命（审）题人：廖涂凡、张延良 2016.5第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1.已知集合{|4}A x y x ==-，{|1210}B x x =-≤-≤，则()R C A B =I ( )A.]21,0[B.),4(+∞C.]4,21(D.]4,1(2.已知z 是纯虚数，且3(2)1i z ai +=+（i 是虚数单位，a R ∈），则||a z +=( )A.1B.3C.2D.5 3.执行如图所示的程序框图，其输出结果是( ) A.61 B.62 C.63D.644.给出下列三个命题：①“若2230x x +-≠，则1x ≠”为假命题； ②若p ∧q 为假命题,则p ,q 均为假命题；③命题p ：,20x x R ∀∈>，则00:,20x p x R ⌝∃∈≤.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3 5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a =+,72a =，则5a =( )A.12B.12- C.2D.2-6.设,a b R ∈，若:p a b <，11:0q b a<<，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0)ω>的最小正周期为π，(0)2f =，则( )A. ()f x 在(,)44ππ-单调递增B. ()f x 在(,)44ππ-单调递减C.()f x 在(0,)2π单调递增 D. ()f x 在(0,)2π单调递减8.若x 、y 满足约束条件22121x y x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩且向量(3,2)a =r ，(,)b x y =r ，则a b ⋅r r 的取值范围是( )A.[54 ,4]B.[72 ,5]C.[54 ,5]D.[72,4]9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c （*,,,a b c d N ∈），则b da c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为( )A.227B.7825C.6320D.1093510.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于( )cm 3.A.6+32π B. 623π+C. 4+32πD.4+23π 11.已知焦点在x 轴上的椭圆方程为222141x y a a +=+，随着a 的增大该椭圆的形状( )A.越接近于圆B.越扁C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆12.已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2x f f x e x f x -=⋅+-⋅，0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是( )A.(2)(2015)(2017)f g g ⋅<B.(2)(2015)(2017)f g g ⋅>C.(2015)(2)(2017)g f g <⋅D.(2015)(2)(2017)g f g >⋅第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
江西省南昌市2018年高考数学三模试卷理科 含解析
江西省南昌市2018年高考数学三模试卷（理科）（解析版）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩∁U B=（）A．{3}B．{1，2，4，5} C．{1，2}D．{1，3，5}2．复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．函数f（x）=的定义域为（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1）∪（1，+∞）4．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．设函数f（x）是周期为6的偶函数，且当x∈[0，3]时f（x）=3x，则f（2018）=（）A．6 B．3 C．0 D．﹣66．设函数f（x）=ln（x+）+3，若f（a）=10，则f（﹣a）=（）A．13 B．﹣7 C．7 D．﹣47．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，则该几何体的体积是（）A．5 B．5.5 C．6 D．48．若动圆的圆心在抛物线y=x2上，且与直线y+3=0相切，则此圆恒过定点（）A．（0，2）B．（0，﹣3）C．（0，3）D．（0，6）9．从1，2，3，4，5，6中任取三个数，则这三个数构成一个等差数列的概率为（）A．B．C．D．10．阅读如图程序框图，运行相应程序，则程序运行后输出的结果i=（）A．97 B．99 C．101 D．11811．已知双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y=（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D． +112．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A．πB．2πC．πD．3π二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．13．已知{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，S n是{a n}的前n项和，则S12的值为．14．已知点A（1，2），点P（x，y）满足，O为坐标原点，则Z=的最大值为．15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，根据上述规律，118的分解式中，最大的数是．16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，若|F1F2|2=λ|AF1||BF2|（0＜λ＜4），则离心率e的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC中，内角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，且a+b=，2sin2C=3sinAsinB．（1）求∠C；（2）若S△ABC=，求c．18．某单位有200人，其中100人经常参加体育锻炼，其余人员视为不参加体育锻炼．在一次体检中，分别对经常参加体育锻炼的人员与不参加体育锻炼的人员进行检查．按照身体健康与非健康人数统计后，构成如下不完整的2×2列联表：已知p是（1+2x）5展开式中的第三项系数，q是（1+2x）5展开式中的第四项的二项式系数．（Ⅰ）求p与q的值；（Ⅱ）请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“身体健康与经常参加体育锻炼有关”．19．如图，矩形ABCD中，=λ（λ＞1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C﹣AB﹣E为直二面角．（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；（2）设F是BE的中点，二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．20．已知两点A（0，﹣1），B（0，1），P（x，y）是曲线C上一动点，直线PA、PB斜率的平方差为1．（1）求曲线C的方程；（2）E（x1，y1），F（x2，y2）是曲线C上不同的两点，Q（2，3）是线段EF的中点，线段EF的垂直平分线交曲线C于G，H两点，问E，F，G，H是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由．21．已知函数f（x）=e1﹣x（﹣a+cosx），a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）存在单调减区间，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=0，证明：，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）cos（x+1）＞0．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的弦AB、CD相交于E，过点A作⊙O的切线与DC的延长线交于点P．PA=6，AE=CD=EP=9．（Ⅰ）求BE；（Ⅱ）求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018南昌三模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）P是曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．2018年江西省南昌市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩∁U B=（）A．{3}B．{1，2，4，5} C．{1，2}D．{1，3，5}【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，∴∁U B={1，2}，则A∩∁U B={1，2}，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求得答案．【解答】解：∵=，∴复数的共轭复数是2+i．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3．函数f（x）=的定义域为（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1）∪（1，+∞）【分析】根据函数f（x）有意义，列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：要使函数f（x）=有意义，须，解得x＞0，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．4．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．5．设函数f（x）是周期为6的偶函数，且当x∈[0，3]时f（x）=3x，则f（2018）=（）A．6 B．3 C．0 D．﹣6【分析】利用周期性可化简f（2018）=f（﹣1），再利用奇偶性求得．【解答】解：∵2018=2018﹣1，∴f（2018）=f（﹣1）=f（1）=3，故选：B．【点评】本题考查了函数的性质的应用及对应思想的应用．6．设函数f（x）=ln（x+）+3，若f（a）=10，则f（﹣a）=（）A．13 B．﹣7 C．7 D．﹣4【分析】由于f（x）﹣3+f（﹣x）﹣3=ln（x+）+ln（﹣x+）=ln1=0，即可得出．【解答】解：f（x）﹣3+f（﹣x）﹣3=ln（x+）+ln（﹣x+）=ln1=0，∴f（a）﹣3+f（﹣a）﹣3=0，∴10﹣6+f（﹣a）=0，解得f（﹣a）=﹣4．故选：D．【点评】本题考查了对数的运算性质、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，则该几何体的体积是（）A．5 B．5.5 C．6 D．4【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是由长方体截割去2个等体积的三棱锥所得到的几何体，由此求出几何体的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是由长方体截割去截割B，B1两个角得到，由三视图中的网络纸上长方体的底面边长分别为2，1，高为3，则三棱锥的体积为V三棱锥=，V长方体=3×2×1=6，∴该几何体的体积为V长方体﹣2V三棱锥=6﹣1=5，故选：A．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，关键是还原几何体．8．若动圆的圆心在抛物线y=x2上，且与直线y+3=0相切，则此圆恒过定点（）A．（0，2）B．（0，﹣3）C．（0，3）D．（0，6）【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，根据抛物线的性质和圆的性质得出圆的半径为圆心A到直线y+3=0的距离，对于圆心A到抛物线的焦点的距离，故抛物线的焦点在圆上．【解答】解：抛物线的标准方程为：x2=12y，∴抛物线的准线方程为l：y=﹣3，焦点为F（0，3）．设动圆圆心为A，则A到l的距离=|AF|．∵动圆A与直线y+3=0相切，∴A到直线l的距离为动圆半径，即动圆半径为|AF|，即F为圆上的点．∴此圆恒过定点F（0，3）．故选：C．【点评】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．9．从1，2，3，4，5，6中任取三个数，则这三个数构成一个等差数列的概率为（）A．B．C．D．【分析】从1，2，3，4，5，6中任取三个数，先求出基本事件总数，再利用列举法求出这三个数构成一个等差数列包含的基本事件个数，由此能求出这三个数构成一个等差数列的概率．【解答】解：从1，2，3，4，5，6中任取三个数，基本事件总数n=C63=20，这三个数构成一个等差数列包含的基本事件有：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（1，3，5），（2，4，6）共6个，∴这三个数构成一个等差数列的概率：P==．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．阅读如图程序框图，运行相应程序，则程序运行后输出的结果i=（）A．97 B．99 C．101 D．118【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，j=3，S==，不满足退出循环的条件，i=3；第二次执行循环体后，j=5，S=+=，不满足退出循环的条件，i=5；第三次执行循环体后，j=7，S=++=，不满足退出循环的条件，i=7；…第n次执行循环体后，j=2n+1，S=+++…+=，若满足退出循环的条件，则＞，即n＞50，故此时n=51，i=101，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．11．已知双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y=（x+c）与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D． +1【分析】由已知直线过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∠MF1F2=2∠MF2F1，可得∠MF1F2=60°，∠MF2F1=30°，即F1M⊥F2M，运用直角三角形的性质和双曲线的定义，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：∵直线y=（x+c）过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF1F2=60°，∠MF2F1=30°．∴∠F1MF2=90°，即F1M⊥F2M．∴|MF1|=，|MF2|=，由双曲线的定义有：|MF2|﹣|MF1|==2a，∴离心率．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的锐角三角函数的定义，考查运算能力，属于中档题．12．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A．πB．2πC．πD．3π【分析】设正△ABC的中心为O1，连结O1A．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，而经过点E的球O的截面，当截面与OE垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．【解答】解：设正△ABC的中心为O1，连结O1A∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△O1OA中，O1A=．又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE=AO1cos30°=．∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r=，可得截面面积为S=πr2=．故选C．【点评】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．13．已知{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，S n是{a n}的前n项和，则S12的值为54．【分析】由于{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，可得=a3a11，即=（a1+2）（a1+10），解得：a1．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵{a n}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，∴=a3a11，即=（a1+2）（a1+10），解得：a1=﹣1．∴S12=﹣12+=54．故答案为：54．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知点A（1，2），点P（x，y）满足，O为坐标原点，则Z=的最大值为5．【分析】根据向量数量积的定义化简目标函数，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：，作出可行区域如图，作直线，当l0移到过A（1，2）时，Z max=1+2×2=5，故Z=的最大值为5，故答案为：5．【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，根据上述规律，118的分解式中，最大的数是118．【分析】注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是3时，可以分解成三个连续的奇数之和．则当底数是4时，可分解成4个连续的奇数之和，进而求出23～118的分解式用的奇数个数，进而求出答案．【解答】解：由题意，从23到118，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+10=54个，故118的分解式中，最大的数是2×54+1=118，故答案为：118【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，若|F1F2|2=λ|AF1||BF2|（0＜λ＜4），则离心率e的取值范围是．【分析】由已知可得：A（﹣a，0），B（a，0），左、右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0）．根据|F1F2|2=λ|AF1||BF2|，可得λ==，利用0＜λ＜4，解出即可得出．【解答】解：∵A（﹣a，0），B（a，0），左、右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0）．∵|F1F2|2=λ|AF1||BF2|，∴λ==，∵0＜λ＜4，∴0＜＜4，0＜e＜1，解得．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC中，内角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，且a+b=，2sin2C=3sinAsinB．（1）求∠C；（2）若S△ABC=，求c．【分析】（Ⅰ）由已知式子和正弦定理可得c2=ab，结合a+b=和余弦定理可得cosC，可得角C；（Ⅱ）由三角形的面积公式可得ab=4，整体代入余弦定理计算可得．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC中2sin2C=3sinAsinB，∴sin2C=sinAsinB，故c2=ab，又∵a+b=，∴a2+b2+2ab=3c2，由余弦定理可得cosC====，∴C=．（Ⅱ）∵S△ABC=absinC=ab=，∴ab=4，又c2=ab=×4=6，∴c=．【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题．18．某单位有200人，其中100人经常参加体育锻炼，其余人员视为不参加体育锻炼．在一次体检中，分别对经常参加体育锻炼的人员与不参加体育锻炼的人员进行检查．按照身体健康与非健康人数统计后，构成如下不完整的2×2列联表：已知p是（1+2x）5展开式中的第三项系数，q是（1+2x）5展开式中的第四项的二项式系数．（Ⅰ）求p与q的值；（Ⅱ）请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“身体健康与经常参加体育锻炼有关”．【分析】（Ⅰ）利用二项展开式的通项公式，即可求p与q的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得p=40，q=10，可完成2×2列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出按99%的可靠性要求，能认为“身体健康与经常参加体育锻炼有关”．【解答】解：（Ⅰ）∵（1+2x）5的展开式通项是T r+1=C5r2r x r，…（1分）∴展开式的第三项是：T2+1=C5222x2=40x2，即第三项系数是p=40．…（3分）又∵展开式的第四项的二项式系数为C53，∴q=C53=10．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得p=40，q=10，则…（8分）K2==24＞6.635，…（11分）P（K2≥6.635）=0.010，所以按照99%的可靠性要求，能够判断“身体健康与经常参加体育锻炼有关”．…（12分）【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，独立性的检验，属于中档题．19．如图，矩形ABCD中，=λ（λ＞1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C﹣AB﹣E为直二面角．（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；（2）设F是BE的中点，二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥BC，BC⊥AE，从而AE⊥平面BCE，由此能证明平面ACE⊥平面BCE．（Ⅱ）以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ的取值范围．【解答】（本题15分）证明：（Ⅰ）∵二面角C﹣AB﹣E为直二面角，AB⊥BC，∴BC⊥AE平面，∴BC⊥AE…（2分）∵AE⊥CE，BC∩CE=C，∴AE⊥平面BCE…（4分）∵AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE…（6分）解：（Ⅱ）如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB=λ…（8分）则设平面EAC的法向量为则，取x=1，则…（10分）同理设平面FAC的法向量为…（12分）∴…（14分）∵…（15分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．已知两点A（0，﹣1），B（0，1），P（x，y）是曲线C上一动点，直线PA、PB斜率的平方差为1．（1）求曲线C的方程；（2）E（x1，y1），F（x2，y2）是曲线C上不同的两点，Q（2，3）是线段EF的中点，线段EF的垂直平分线交曲线C于G，H两点，问E，F，G，H是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由．【分析】（1）运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求轨迹方程；（2）将E，F的坐标代入抛物线的方程，相减结合中点坐标公式，可得直线EF的斜率，即有直线EF的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，再由线段EF的垂直平分线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，求得G，H的中点，计算|ME|，|MG|，即可判断四点共圆，求得圆的方程．【解答】解：（1）由题意可得k PA2﹣k PB2=1，即有（）2﹣（）2=1，化简可得x2=4y，即有曲线C的方程为x2=4y（x≠0）；（2）由题意可得x12=4y1，x22=4y2，两式相减可得，（x1﹣x2）（x1+x2）=4（y1﹣y2），由x1+x2=4，可得k EF==1，可设直线EF的方程为y﹣3=x﹣2，即y=x+1，代入抛物线的方程，可得x2﹣4x﹣4=0，可得x1+x2=4，x1x2=﹣4，|EF|===8，由线段EF的垂直平分线方程：y﹣3=﹣（x﹣2），即y=5﹣x，代入抛物线的方程，可得x2+4x﹣20=0，可得GH的中点为M（﹣2，7），|GH|==8，由垂直平分线的性质可得|ME|=|MF|，|MQ|==4，可得|ME|==4，且|MG|=|MH|=4，即有四点E，F，G，H共圆，圆心为M（﹣2，7），半径为4，方程为（x+2）2+（y﹣7）2=48．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用斜率公式，考查四点共圆的方法，注意运用联立直线和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=e1﹣x（﹣a+cosx），a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）存在单调减区间，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=0，证明：，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）cos（x+1）＞0．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，整理得f（x）=e1﹣x（a﹣（sinx+cosx）），函数存在单调递减区间，f'（x）＜0，有解，即可得到a﹣（sinx+cosx）＜0有解，利用辅助角公式及正弦函数性质求得a的取值范围；（Ⅱ）若a=0，将f（﹣x﹣1）+2f′（x）cos（x+1）整理得cos（x+1）[e x+2﹣2e1﹣x（sinx+cosx）]，，cos（x+1）＞0，只要证明，对于任意上恒成立，先构造辅助函数，求导，根据函数单调性求得函数的最小值；再构造辅助函数h（x）=e2x+1﹣（2x+2），，求导，利用函数单调性判断函数的最小值；并且g（x）和h（x）取最小值时，不能同时取等号，即可证明，，在上恒成立，不等式成立．【解答】解：（I）由已知，得f'（x）=﹣e1﹣x（﹣a+cosx）﹣e1﹣x sinx=e1﹣x（a﹣（sinx+cosx））（2分）因为函数f（x）存在单调减区间，所以方程f'（x）＜0有解．而e1﹣x＞0恒成立，即a﹣（sinx+cosx）＜0有解，所以a＜（sinx+cosx）max．又，所以，．因为a=0，所以f（x）=e1﹣x cosx，所以f（﹣x﹣1）=e x+2cos（﹣x﹣1）=e x+2cos（x+1）．因为2f'（x）cos（x+1）=﹣2e1﹣x（sinx+cosx）cos（x+1），所以f（﹣x﹣1）+2f'（x）cos（x+1）=cos（x+1）[e x+2﹣2e1﹣x（sinx+cosx）]，又对于任意，cos（x+1）＞0．＞0，只要证，对于任意上恒成立．（8分）设函数，，则=，当x∈[﹣1，0]时，g'（x）≤0，即g（x）在[﹣1，0]上是减函数，当时，g'（x）＞0，即g（x）在上是增函数，所以，在上，g（x）min=g（0）=0，所以g（x）≥0．所以，，（当且仅当x=0时上式取等号）①（10分）设函数h（x）=e2x+1﹣（2x+2），，则h'（x）=2e2x+1﹣2=2（e2x+1﹣1），当时，h'（x）≤0，即h（x）在上是减函数，当时，h'（x）＞0，即h（x）在上是增函数，所以在上，，所以h（x）≥0，即e2x+1≥2x+2，（当且仅当时上式取等号）②．综上所述，，因为①②不可能同时取等号所以，在上恒成立，所以，总有f（﹣x﹣1）+2f'（x）cos（x+1）＞0成立．（12分）【点评】本题考查利用导函数求函数的单调性及函数的最值，采用分析法及构造辅助函数证明不等式成立，过程繁琐，属于难题．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的弦AB、CD相交于E，过点A作⊙O的切线与DC的延长线交于点P．PA=6，AE=CD=EP=9．（Ⅰ）求BE；（Ⅱ）求⊙O的半径．【分析】（Ⅰ）由圆的切割线定理，可得PC=3，再由圆的相交弦定理，即可得到EB的长；（Ⅱ）作OM⊥AB，PN⊥AB，分别交AB于M，N，设AN=x，运用勾股定理，解方程可得AN=2，求得PN，AM的长，运用三角形的相似可得△PNA∽△AMO，由性质定理，即可得到所求值．【解答】解：（I）PA2=PCPD，PA=6，CD=9，即36=PC（PC+9），得PC=3（﹣12舍去），所以PD=PC+CD=12，又EP=9，所以ED=PD﹣EP=12﹣9=3，CE=EP﹣PC=9﹣3=6，又AEEB=CEED，则EB===2；（II）作OM⊥AB，PN⊥AB，分别交AB于M，N，设AN=x，则AP2﹣AN2+NE2=EP2，由AP=6，EP=9，NE=9﹣x，即有36﹣x2+（9﹣x）2=81，得x=2即AN=2，PN==，AB=AE+EB=9+2=11，AM=AB=，在直角三角形PNA和直角三角形AMO，∠APN=∠OAM，∠PAN=∠AOM，可得△PNA∽△AMO，得：，即有OA===．【点评】本题考查圆的切割线定理、相交弦定理及勾股定理，以及相似三角形的判定定理和性质定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2018南昌三模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）P是曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值．【分析】（Ⅰ）由消去参数能得到直线l的直角坐标方程，由ρ2﹣4ρcosθ+1=0，ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C的圆心为（2，0），半径为，求出圆心到直线的距离，由此能求出P到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由消去参数t得，直线l的直角坐标方程为．…（2分）∵ρ2﹣4ρcosθ+1=0，ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+1=0…（4分）（Ⅱ）∵曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+1=0，∴曲线C：（x﹣2）2+y2=3…（5分），圆心为（2，0），半径为…（6分）圆心到直线的距离…（8分）∴P到直线l的距离的最大值…（10分）【点评】本题考查直线和曲线的直角坐标方程的求法，考查曲线上任意一点到直线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．[选修4-5：不等式选讲]24．已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出ab=1，问题转化为|﹣2x+1|≥1，解出即可；（Ⅱ）问题转化为（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0，通过讨论a的范围求出不等式的解集，从而求出a的范围即可．【解答】解：（I）由已知，∵a、b不为0，∴ab=1，原不等式相当于|﹣2x+1|≥1，所以，﹣2x+1≥1或﹣2x+1≤﹣1，解得：{x|x≤0或x≥1}；（Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥0，（x﹣a）2≥（x﹣1）2，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0，a=1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0恒成立，a＞1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≥2x﹣1，从而a≥3，a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≤2x﹣1，从而a≤1，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
江西师大附中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
江西师大附中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．1202． 过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2218-=y x 的一条渐近线平行，并交其抛物线于A 、 B 两点，若>AF BF ，且||3AF =，则抛物线方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．23y x =【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．3． 已知命题p ：对任意()0x ∈+∞，，48log log x x <，命题：存在x ∈R ，使得tan 13x x =-，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧ 4． 设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2013B ．2014 C ．2015 D ．20161111] 5． 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x ＞0），则{x|f （x ﹣1）＞0}等于（ ）A ．{x|x ＞3}B ．{x|﹣1＜x ＜1}C ．{x|﹣1＜x ＜1或x ＞3}D ．{x|x ＜﹣1}6． 已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222nn x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ） A.909 B.910 C.911 D.912【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.7． 定义运算，例如．若已知，则=（ ）A ．B ．C ．D ．8． 下列四组函数中表示同一函数的是（ ）A ．()f x x =，2()g x =B ．2()f x x =，2()(1)g x x =+C ．()f x =()||g x x =D ．()0f x =，()g x =1111] 9． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12,F F 分别在其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12PF F 的内切圆，PM 所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐，则双曲线C 的离心率是（ ）A B ．2 C D ．210．“1ab >”是“10b a>>”（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 11．已知集合，则A0或 B0或3C1或D1或312．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ） A.7B.8C. 9D. 10【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．在正方形ABCD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，当4AM AN ⋅=时，则MN 的取值范围为 ．【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．14．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么yx的最大值是 ． 15．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的值是 ．16．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +< 恒成立，则m 的取值范围是_______．【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。
【数学】江西省师范大学附属中学2018届高三10月月考试题(理)(word附答案解析版)
江西省师范大学附属中学2018届高三10月月考数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题部分）一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.2. 若命题对任意的，都有，则为（）A. 不存在，使得B. 存在，使得C. 对任意的，都有D. 存在，使得3. 已知角的终边经过点且，则等于（）A. B. C. D.4. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位5. 已知的值域为R，那么a的取值范围是()A. B. C. D.6. 已知函数，若，则等于（）A. 3B.C. 0D.7. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.8. 已知，则（）A. B. C. D.9. 已知偶函数，当时，．设，，，则（）A. B. C. D.10. 已知三角形内的一点满足，且，平面内的动点，满足，，则的最大值是（）A. B. C. D.11. 已知函数，若是的一个单调递增区间，则的取值范围是（）A. B.C. D.12. 已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题部分）本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题13. 平行四边形中，为的中点，若，则______．14. 已知函数，其中．若对恒成立，则的最小值为____．15. 设锐角的三内角所对边的边长分别为，且，则的取值范围为______．16. 给出下列命题中①非零向量满足，则的夹角为；②＞0是的夹角为锐角的充要条件；③若则必定是直角三角形；④△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若,且，则向量在向量方向上的投影为.以上命题正确的是__________ （注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在中，分别是角的对边，且．（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值．18. 已知函数.(1)求的最小正周期；(2)若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.19. 如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为的菱形，且，平面，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．20. 设离心率为的椭圆的左、右焦点为, 点P是E上一点,, 内切圆的半径为.(1)求E的方程;(2)矩形ABCD的两顶点C、D在直线上，A、B在椭圆E上,若矩形ABCD的周长为, 求直线AB的方程.21. 已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；（2）如果是函数的两个零点，为函数的导数，证明：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为，直线的参数方程为，定点.（1）以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）已知直线与圆相交于两点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数. （1）当时，求不等式的解集；（2）求证：.【参考答案】第Ⅰ卷（选择题部分）一、选择题：在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】C【解析】求解对数不等式可得：，求解对数不等式可得：，据此可得：.本题选择C选项.2. 【答案】D【解析】命题对任意的，都有的否定为；故选D.3. 【答案】A【解析】依题意有．4. 【答案】B【解析】因为，且==，所以由=，知，即只需将的图像向右平移个单位，故选B5. 【答案】C【解析】由函数的解析式：当x≥1时，ln x≥0，∵值域为R，∴(1−2a)x+3a必须取到所有的负数，即满足：,即为，即，本题选择C选项.6. 【答案】A【解析】由又因为，所以，又因为所以，故选A.7. 【答案】D【解析】从题设中提供的解析式中可以看出,且当时,,由于,故函数在区间单调递减;在区间单调递增.由函数图象的对称性可知应选D.8. 【答案】B【解析】，解得，故，其中，故.9. 【答案】D【解析】由于为偶函数，故函数关于对称，依题意，在区间函数为增函数，在上为减函数，由于，故. 10. 【答案】A【解析】因为在以为圆心的圆上，所以之间，两夹角相等均为，以为原点建立平面直角坐标系，设，则，在以为圆心，以为半径的圆上，为的中点，，设，则，的最大值为，的最大值是，故选A．11. 【答案】C【解析】由于是的一个单调递增区间，即是的一个单调递减区间，令可得，且，又因为，解得故选C.12. 【答案】B【解析】要使对于任意的，不等式恒成立，只需当时，有由g=知，当<0时，g；当>0时，g,所以(1)当时，易知当，不满足时，有，故不成立；(2)当时，，此时，此时,当时，，当时，,所以,成立；(3)当时，由==，易知，当时，当时，由知，解得综上可知.故选B第Ⅱ卷（非选择题部分）本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题13.【解析】由图可知，，所以))所以，故，即，即得14.【答案】4【解析】由题意得，即,由，当时，取到最小值4．15.【答案】【解析】由于为锐角三角形，所以,即有,解之得,而由题意,得所以<b<16. 【答案】①③④【解析】对于①由向量满足，由向量减法的三角形法则，知向量，，组成一个等边三角形，向量，夹角为，又由向量加法得平行四边形法则，以，为邻边的平行四边形为菱形，所以的夹角为，故①正确；对于②，当时，不成立；对于③由则所以，即，所以是直角三角形；对于④由题目信息可作出如右图所示,三角形AOC为等边三角形，所以∠ACB=，且BC 为直径，所以∠ABC=在直角三角形ABC中BC=2,AC=1,所以AB=，则向量在向量方向上的投影=.故④正确.综上可知命题①③④正确.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 解：（1）由2cos A cos C(1－tan A tan C)＝1，得．∴．∴．∴．又, ∴．（2）又b＝，∴．所以当且仅当时，有最大值为18. 解：(1)f(x)＝2cos x cos(x－)－sin2x＋sin x cos x＝cos2x＋sin x cos x－sin2x＋sin x cos x＝cos2x＋sin2x＝2sin，∴T＝π.(2)画出函数在x∈的图像，由图可知或故a的取值范围为.19. （1）证明：∵⊥平面∴⊥在菱形中，⊥又∴平面∵平面∴平面⊥平面（2）解：连接、交于点，以为坐标原点，以为轴，以为轴，如图建立空间直角坐标系.，同理,,设平面的法向量，则设平面DFC的法向量，则设二面角为，20.解：(1)直角三角形内切圆的半径依题意有，又，由此解得，从而故椭圆的方程为(2)设直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得，由得设，则，而，由知所以由已知可得，即，整理得，解得或（舍去）所以直线的方程为.21. （1）解：由切线方程为，可知斜率, 而.所以,得,由此.而，所以，，得. （2）证明：因为，，所以是函数的两个零点,，故要证，只需证，令则设下面证恒成立在单调递减，即22. 解:（1）依题意得圆的一般方程为，将代入上式得，所以圆的极坐标方程为；（2）依题意得点在直线上，所以直线的参数方程又可以表示为，代入圆的一般方程为得，设点分别对应的参数为，则，所以异号，不妨设，所以，所以.23. （1）解：当时，不等式即为。
江西师大附中高考数学三模试卷理(含解析)
高考数学三模试卷(理科)、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求.(kx+ 0) ( ： - |I •.-)与函数y=kx - k 2+6的部分图象如图所示, +cos (kx - $ )图象的一条对称轴的方程可以为(5.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二,五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”， 正整数m 后的余数为n ,则记为N=n(modn )例如1仁2 (mod3.现将该问题以程序框图的 算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于()1 已知 z i =1 - 3i , Z 2=3+i ,其中i 是虚数单位，则丄丄的虚部为()A.- 1B. 2 •已知集合 A. ?B. -C. - i5A={x| v 2x w 2},2(-1,] C .[,2 2B={x|ln (x -)< 0}，则 A A( ?R B )=(j1) D •(- 1 , 1]3.给出下列两个命题:命题p ：:若在边长为 1的正方形 ABCD 内任取一点 M,则|MA| w 1的概率为——.命题q ：设打4是两个非零向量, “ 一円小|”是“与共线” 的充分不必要条件，那么，下列命题中为真命题的是 A. p A q B pC. p A(「q )D. (「p )V( q )若正整数N 除以 4.若函数 y=ksin范围是（）C. [―,]D.L9 2J+ .二…=n?+n,贝U a计+, +—等于(2n6.某食品厂只做了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”善福”、每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品“友4 袋, 获奖的概率为（A B ： C - D7.已知D, E是厶ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若：工x ：：则xy的取值A. 22n +2n B.n2+2n C. 22n +n D. 2 (n2+2n)9.已知实数y 满足*6, 则z=log （2|x - 2|+|y| ）的最大值是（A.log j(7) B. — C. - 2 D. 210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中, 面积最大的侧面的面积为（正（左）视医A.若数列｛a n｝是正项数列,2 2F 2, P 分别为双曲线 一 --—=1 (a > 0, b > 0)的右焦点与右支上的一点， O a 乂 b 1 2 若OM =寺(0F +0F J ，0F 2 =中 且20F2?F 』=a+b ，则该双曲线的离心 率为( ) A.B .2 212.已知函数 f (x ) =e x — ax - 1, g (x ) =lnx - ax+a ，若存在 x o €( 1, 2),使得 f (x o ) g体ABCD 外接球表面积为,则数列 {b n }的前 2n 项和 b 1+b 2+b 3+b 4+, +b 2n -1+b 2n =三、解答题：本大题共 5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.1 求函数f ( x )的单调递增区间；2 在锐角△ ABC 中，角A, B , C 的对边分别为 a , b , c .若 g ,:一，求△ ABCA. B.2(x o )v 0,则实数a A.::. 的取值范围是(B. (In2 , e — 1) C . [1 , e — 1)D. [1.2二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.13.已知a= TT •Il cosx ) dx ，则(9展开式中，x 3项的系数为14.已知函数 2ml □ i K 〉〔)15•正三角形 为偶函数，则 m — n= _____ .10§201? (—x)+n 英丐AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为.二，此时四面ABC 的边长为2，将它沿高 11.已知点 为坐标原点,16.数列｛a n ｝的前项和为S n ,且」9时1%亏用XI 表示不超过x 的最大整数, 如[—0.1]=— 1 , [1.6]=1 ，设 b n =[a n ]17 .设向量 〔.m 1 二：一 _一：・, x € R ,记函数-'，18•某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组［75，80)，第二组［80，85)，第三组［85，90),第四组［90，95)，第五组［95 ,100］，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.(I)请在图中补全频率分布直方图；(n)若Q大学决定在成绩高的第3, 4, 5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.①若Q大学本次面试中有B、C D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为一、一，「，2 3 5求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有E名学生被考官B面试，求E的分布列和数学期望.19.如图，在以A, B, C, D E, F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，/ FAC=60 , AB// DE BC// EF, AB=BC=3 AF=2计E BF二苗尼(1)求证：平面ABCL平面ACDF(2)求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值.的焦点，过点F2的直线I交抛物线C于A, B两点.(I)若点P (8, 0)满足|PA|=|PB|，求直线l的方程;20.已知椭圆C：£+2-一=1 (b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2,点F2也为抛物线◎ 2 小y =8x(H) T为直线x= - 3上任意一点，过点F作TF i的垂线交椭圆G于M N两点，求?\m\ 的最小值.(x) =ln (x+2a)- ax, a> 0.21.已知函数(I)求f (x)的单调区间;(H)记f (x)的最大值为M (a),若a2>a i>0 且M (a i) =M (a2),求证:(川)若a>2,记集合｛x|f (x) =0｝中的最小元素为x o，设函数g (x) =|f (x) |+x，求证:X o是g (x)的极小值点.［选修4-4 :极坐标与参数方程］22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为卩-(t为参数)，在以坐标■ y=l+tsin4)原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为p =4cos 0 .(I)求I的普通方程和C的直角坐标方程；(H)当$ €( 0, n )时，I与C相交于P, Q两点，求|PQ|的最小值.［选修4-5 :不等式选讲］23.已知函数f (x) =|x - a|，其中a> 1(1 )当a=2时，求不等式f (x)> 4 - |x - 4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f (2x+a)- 2f (x) | < 2的解集｛x|1 < x< 2｝，求a的值.参考答案与试题解析、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求.1 .已知z i =1 - 3i , Z 2=3+i ，其中i 是虚数单位，则—的虚部为( )z244A. - 1B. -C. - iD.55 1【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.故选：B.【考点】1H:交、并、补集的混合运算. 【分析】求解指数不等式与对数不等式化简集合 A 、B,再由交、并、补集的混合运算得答案.1 1 13【解答】 解：••• A={x| . v 2x w 2}={x| - 1 v x < 1} , B={x|ln(x - 一)w 0}={x| 一 v xW p },31i••• ?R B={X |X > 一或 X • .「}，则 A n ( ?F B ) = (- 1, J .故选：B .3. 给出下列两个命题：n -命题p ：:若在边长为1的正方形ABCD 内任取一点 M,则|MA| w 1的概率为——.命题q ：设一, 是两个非零向量，则“ .-i =1「- i I ”是“占「共线”的充分不必要条件，那么，下列命 题中为真命题的是()【解答】 解:的虚部为；I2.已知集合A={x| v 2x w 2}, 2B={x|ln (x -)< 0}，则 A n ( ?R B )=(A.B- (- 1 ,] CD . (- 1 , 1]A. p A q B .「p C. p A(^ q) D.厂p)V( q)【考点】2E:复合命题的真假.【分析】推导出命题P是真命题，命题q是假命题，从而得到pA(「q)是真命题.【解答】解：命题p：若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M1 2土X TT X 1 TT则|MA| < 1的概率为-=---------------- 41X1命题P是真命题；•••设；一是两个非零向量，则“.-■=r-j ”是“［与一共线”的不充分不必要条件，二命题q是假命题，••• pq)是真命题.故选：C.4. 若函数y=ksin (kx+ $)(.：. | ) | .)与函数y=kx - k2+6的部分图象如图所示,则函数f (x) =sin (kx - 0) +cos (kx -$)图象的一条对称轴的方程可以为( )13H一 D.24 124【考点】H6:正弦函数的对称性.【分析】由函数的最大值求出A,由特殊点的坐标求出0的值，可得函数的解析式，再利用三角恒等变换化简 f (x)的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得 f ( x)的图象的一条对称轴的方程.(kx+ 0 ) (•；• I「•)与函数y=kx - k2+6的部分图象如图所示，二2根据函数y=ksin (kn + 0 ) (k> 0, | 0 | )的最大值为k, •- k+6=k,「. k=2.TT TT TT把点(一，0)代入y=2sin (2x+ 0 )可得sin + 0 ) =0,二0 = ------ ，•入y=2sin【解答】解：若函数y=ksin12Tt(2x -)•TT 、 l ■ / c H 兀、 + )「SI n (2x+亍). 令2x+「=k n +——，求得x-+, k € Z ,故f (x )的图象的对称轴的方程为得12 2 224当k=1时，可得函数f (x ) =sin (kx - ) +cos (kx - $ )图象的一条对称轴的方程可以 为11故选：B.5•中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余 二,五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为N=n(modn ),例如1仁2 (mod3.现将该问题以程序框图的 算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于()A. 21B. 22C. 23D. 24【考点】EF:程序框图.【分析】该程序框图的作用是求被 3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论. 【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被 3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23, 故选：C.6.某食品厂只做了 3种与“福”字有关的精美卡片， 分别是“富强福”、“和谐福”、“友 善福”、每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋,x=H+—-- 24k € Z相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全，由此能求出购买该食品 4袋，获奖的概率.【解答】解：购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34,获奖时至多有2张卡片相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全, 相同的2张为 「在4个位置中选2个位置，有 ’种选法，其余2个卡片有.上种选法，•••获奖包含的基本事件个数 m f : A >36,36 4•购买该食品4袋，获奖的概率为 p= ='.3° 9故选：B.范围是（ ）A [ , ]B .[.,」C. [ , ] D.[,」【考点】7G 基本不等式在最值问题中的应用；9H:平面向量的基本定理及其意义.【解答】解：D, E 是厶ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若：亠x ：,1 ?可得 x+y=1 , x , y € [—,—],当且仅当x=y=.：时取等号,2并且xy=x （1 - x ） =x - x ,函数的开口向下，对称轴为: 值，2xy 的最小值为：一. 则xy 的取值范围是：[,.].A.丄 16【考点】 B.C.空D.9 S 9CB 古典概型及其概率计算公式.【分析】购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34，获奖时至多有2张卡片获奖的概率为（ ) 7.已知D, E 是厶ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上,若：.=x ，则xy 的取值【分析】利用已知条件推出 x+y=1 ,然后利用x , y 的范围,利用基本不等式求解 xy 的最值.X ，当x=.或x=〕时，取最小乙0 O故选：D.&若数列｛a n ｝是正项数列，且.■ + .7 .+, +寸；〔=n 2+n ,则a i ++, +—L 等于( )2 n2 2 2 2A. 2n+2nB . n+2n C. 2n+n D. 2 (n+2n )【考点】8H:数列递推式.【分析】利用数列递推关系可得 a n ,再利用等差数列的求和公式即可得出. 【解答】解：T - ■ +』=+, + i=n 2+ n ,「. n=1 时，、”冷=2，解得 a i =4. n 》2 时，*：：》• +甘二；+, +『：!, ]=(n — 1) ?+n — 1, 相减可得： J ：i. =2n ，二a n =4n 2. n=1时也成立. 8.•'——=4n.n贝y a i +一_+, +―=4 (1+2+, +n ) =4X -------------- =2n 2+2n .2 n 2故选：A.【考点】7C:简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域， 根据图象，去掉绝对值， 结合对数的运算性质进行 求解即可.【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象知y >0, x w 2, 设 m=2|x — 2|+|y| ,则 m=y- 2 (x — 2) =y — 2x+4, 即 y=2x+m- 4,平移直线y=2x ，由图象知当直线 y=2x+z — 4经过点C 时，直线的截距最小，此时z 最小,9.已知实数x , y 满足* x+y^6,则z=logA.logB.logC. — 2 ■L} (2|x — 2|+|y| )的最大值是(D. 2z=log(2" — 2|+M )最大,由严x+2得严2,即C(2, 4), 时y=6 (产4此时z=log ,丄■- (2|x - 2|+|y| ) =log ；=4=- 2,故选：C.10•某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AEDL平面BCDE四棱锥A- BCDE 的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论.【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形，则S A AED=!. ；= , S M BC=&ABE=丄忙•儿JU , S M CC F 1 ，二,【考点】口：由三视图求面积、体积.【分析】AEDL平面BCDE四棱锥A-正f左）视區A 一D11.已知点F2, P分别为双曲线二=-=1 (a>0, b> 0)的右焦点与右支上的一点，Oa 2b2为坐标原点，若而=+ (祁+応), 亟乙母细2码?口i=a2+b2,则该双曲线的离心LJ:率为( )A.」宀B.C.二D. 2 二2 2 y'【考点】KC双曲线的简单性质.【分析】根据向量知识可知M为PF2的中点，结合[=且2一「？：“=a2+b2可求出/ OFM从而得出M的坐标，再得出P点坐标，代入双曲线方程化简即可得出e.・1 ■ •【解答】解：T我工.，「• M是PF2的中点，•••厂；=OF=F2M=C,••• 2?；if L2C2COS ( n -z OFM) =a2+b2=c2,/ 2开•z OFM= ■.3•M (欝，电£), ••• F2 ( C, 0), M是PF2的中点，•P ( 2C,二C ),4 F? 3广2T P 在双曲线上，■，即4b2c2-3a2c2- a2b2=0,a2b2■ 22 2,2/2 2、^22 2/2 2、■/ b =C - a , • 4C ( C - a ) - 3a C - a ( C - a ) =0,即4c4- 8a2c2+a4=0,••• e= —,「. 4e4- 8e2+1=0，解得e2=1+ 或e2=1-^^ (舍)，a 2 2•e「二「故选A.••• F (x )在(1, 2)递减, ••• F (x ) min =F (2) =ln2 ,• G (x )在(1, 2 )上递增，c--G ( x ) ma )=G ( 2)=,2若存在 x °€( 1, 2),使得 f ( X 0) g (X 0)v 0, 则 ln2 v a v 时， 故选：A.求出被积函数，由定积分公式求出a ，求出二项式的通项公式，化简整理，令 9 -2r=3，求出r ,即可得到所求系数.JTTT【解答】 解：a= — (- cosx ) dx=- sinx| —12.已知函数 f (x ) =e x - ax - 1, g (x ) =lnx - ax+a ，若存在 x o €( 1, 2),使得 f (x o ) g (x o )v 0,则实数a 的取值范围是(2A .；仁■, B. (In2 , e - 1) C . [1 , e - 1) D. 一2 23T :函数的值.【考点】 【分析】 令F (x)=；,令G(x ) =一「'，根据函数的单调性分别求出xT x的最大值，求出 a 的范围即可.【解答】 解：由*7W >0 g(x)<0:则 F '( x )一一垃？迪 v av AL , 口〉luxxi-l1 -lnx卑v 0 对 x €( 1, 2)(x-1)2成立,1)F ( x )的最小值令 G (x )・:，贝U G (x )x———>0 对 x €( 1, 2)成立,满足题意,二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20 分. 13.已知 ITa=i 「一 (J 0 cosx ) dx ，则(ax+ J ) 9展开式中,x 3项的系数为【考点】 67:定积分.【分析】J0 0=-(sin - sinO ) = - 1,2则(-x- 1 ) 9展开式中的通项公式为-,(-x) 9-r(- 一)r2x 9 2xr . 9 - 2r= -(,：) |X , r=0 , 1, , , 9,由9 - 2r=3，可得r=3 ,x3项的系数为-(J故答案为：-:.i rolo g?ni7K.>014•已知函数f (J二* 为偶函数，则m- n= 4log201T(-x)+nx【考点】3L:函数奇偶性的性质.【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可.【解答】解：•••函数的偶函数，•••当x> 0,则-x v0,则 f (- x) =f (x),即log 20仃x - nx3=mlog20仃x+3x3,即m=1, - n=3,则n=- 3,则m- n=1 -( - 3) =4,故答案为：415.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为「，此时四面体ABCD外接球表面积为5n .【考点】LG球的体积和表面积.【分析】三棱锥B- ACD的三条侧棱BD丄AD DCL DA底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积.【解答】解：根据题意可知三棱锥 B- ACD 的三条侧棱BD 丄AD DCL DA 底面是等腰直角三 角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球， 求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC- ABC 的中，底面边长为 1 , 1,心， 由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点， 到三棱柱顶点的距离相等， 说明中心就是外接球的球心，•••三棱柱ABC- A 1B 1C 的外接球的球心为 0,外接球的半径为 r , 球心到底面的距离为 1, 底面中心到底面三角形的顶点的距离为: 2外接球的表面积为：4n r =5 n . 故答案为：5 n .9 916.数列｛a n ｝的前项和为S n ,且，用［X ］表示不超过x 的最大整数,丹1"T"【考点】8E:数列的求和.【分析】 运用数列的递推关系，n > 2时将n 换为n - 1，相减可得数列｛a n ｝的通项公式，再 由取整函数的定义，运用不完全归纳法，即可得到所求和.99【解答】解：由叮一一•二技，“一,① 十曰 厂2 24可得 a 2 - Si= , a 2=a 1+ =,3 3 39将n 换为n - 1,可得a n - S n -产三,n 》2②a n =S n — S n - 1①—②可得，a n+1=2a n , 则 a n =a 22n —2="?2n —2= ?2n ,上式对n=1也成立.如[-0.1]= - 1 , [1.6]=1，设b n =［a n ］，则数列｛b n ｝的前 2n 项和 b 1+b 2+b 3+b 4+, +b 2n- 1 + b 2n =•球的半径为r=则 an =. ?2, b n = [a n ]=[ : ?2n ], 9^9b i +b 2=0+1=仁，—1 ―一护 9 b i +b 2+b 3+b 4=0+1+2+5=8=— 2 —2b i +b 2+b 3+b 4+b 5+b 6+b 7+b 8=0+1+2+5+10+21+42+85=166= - - 43则数列｛b n ｝的前 2n 项和为 b l + b 2+b 3+b 4+, +b 2n —l +b n 厂—n —.3 3另解：设 T 2n =b l + b 2+b 3+b 4+ , +b 2n -l + b 2n , 由 T 2n — T 2n - 2=2^ " - 1 ,累加可得数列｛b n ｝的前2n 项和为--一、■' — n=— n - I.1-4 3 3故答案为：—- n -I.3 3三、解答题：本大题共 5小题，共70分•解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17 .设向量二’.二in| n , x € R,记函数f (x)= a'b(1) 求函数f (x )的单调递增区间；(2) 在锐角△ ABC 中，角A, B , C 的对边分别为 a , b , c .若•「、.-〔，•. 「，求△ ABC 面积的最大值.【考点】HR 余弦定理；9R:平面向量数量积的运算；GL 三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求 f (x ) =sin(2x —^-),令2k n -今三2X -£W 2k n 弓,k €乙即可解得f (x )的单调递增区间.TT 1(2)由已知可求sin (2A -——)「：，结合△ ABC 为锐角三角形，可得 A ,利用余弦定理， 基本不等式可求bc w 2+，进而利用三角形面积公式即可计算得解.当n=1时， 当n=2时, 当n=3时,b i +b 2+b 3+b 4+b 5+b 6=0+1+2+5+10+21=39=— 3 — ;【解答】(本题满分为12分)(2x -—), ,3 分•函数f (x )的单调递增区间为：［k n-，k n +：」，k €乙5分(2厂"sin (2A-丄)=，结合△ ABC 为锐角三角形，可得:327T八•- A= , ,7 分4•••在△ ABC 中，由余弦定理 a 2=b 2+c 2- 2bccosA ，可得：2=b 2+c 2- _ bc >( 2 - _) bc ,(当 且仅当b=c 时等号成立) • bc W=2+ 一，又T sinA=sin=^^, ,10 分42 • S A ABC = bcsinA= ■ bc w - (2+ ：)=,(当且仅当 b=c 时等号成立)2 44 2• △ ABC 面积的最大值为'二,12 分218•某高中毕业学年，在高校自主招生期间， 把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n 名学生，并对这 n 名学生按成绩分组，第一组 ［75 , 80),第二组［80 , 85),第三组［85 , 90),第四组［90 , 95),第五组［95 , 100］,如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、 第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.(I)请在图中补全频率分布直方图； (n)若Q 大学决定在成绩高的第3 ,4 , 5组中用分层抽样的方法抽取 6名学生进行面试.① 若Q 大学本次面试中有 B 、C D 三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中， 并且通过这三位考官面试的概率依次为 ，：、.,，-,zi O U 求甲同学面试成功的概率；② 若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取 3名学生接受考官 B 的面试，第3组中有E 名学 生被考官B 面试，求E 的分布列和数学期望.解：(1)： f 仗)二过■ k=s in xcosx+(sinx - cosx ) (sinx+cosx ) =lsin2x2 2--cos2x=sin2•••令 2k nTTTTw 2k n +2k € Z ,解得:w x w k n + , k €Z12 122A - 一 =【考点】CH 离散型随机变量的期望与方差； B3:分层抽样方法；B8:频率分布直方图.【分析】(I)由第四组的人数能求出总人数，由此能补全频率分布直方图.(H)①设事件 人=甲同学面试成功，由此利用独立事件概率公式能求出甲同学面试成功的 概率.②由题意得，E =0, 1, 2, 3,分别求出其概率，由此能求出 E 的分布列和数学期望.【解答】 解：(I)：第四组的人数为 60, •••总人数为：5X 60=300,由直方图可知，第五组人数为： 0.02 X 5X 300=30人， 60_30 T L 斗八 K 又 .为公差，•••第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人(n)①设事件 A=甲同学面试成功,②由题意得，E =0, 1, 2, 3,则 P (A )频率频率= 'pO p 3 S I- m ip3p 0 —L- o 1-',,19gI 3--- ：-li ---19.如图，在以 A , B , C, D E, F 为顶点的多面体中，四边形 ACDF 是菱形，/ FAC=60 ,AB// DE BC// EF , AB=BC=3 AF=2旖，BF 二 Jj 豆 (1)求证：平面 ABCL 平面 ACDF(2)求平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值.【考点】MT 二面角的平面角及求法； LY :平面与平面垂直的判定.【分析】(1 )设O 是AC 中点，连结 OF 、OB FC 推导出 OBL AC OF 丄AC,则/ FOB 是二面 角F - AC- B 的平面角，由此能证明平面 ABC L 平面 ACDF(2)以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值.【解答】 证明：(1 )设O 是AC 中点，连结 OF OB FC, 在厶 ABC 中，AB=BC ••• OB L AC •••四边形 ACDF 是菱形，/ FAC=60 , • △ FAC 是等边三角形，• OF L AC,ck p(W )T-''20,P(^=2)=GV•••/ FOB是二面角F- AC- B的平面角,•••0F= _- ’「= 7,又••• BF= —,••• O F+O B U BF2,•••/ FOB=90 ,•平面ABCL平面ACDF解：（2）由（1 ）知OB OC OF两两垂直，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴, 建立空间直角坐标系，则A（0，-占，0），B （铤，0，0），C（0,也，0），F（0，0，3），AF=（0，V3，3），AC=（0，2航，0），•/ AB// DE AF// CD,又AB?平面CDE AF?平面CDEDE＞平面CDE CD?平面CDE•AB//平面CDE AF//平面CDE又AB A AF=A ••平面ABF// 平面CDE••• EF// BC, • B、C、E、F 四点共面，又平面ABF A平面BCEF=B F平面CDEH平面BCEF=CE•BF// CE •••四边形BCEF是平行四边形，••• ••=： = （-• :, 0），•二汀I「'=（-•—，3）,设平面AEF的法向量■ = （x , y , z）,则丁上朋出谊，取x g，得：=（n * FE =-^6 x+V3y=0设平面ACE的法向量•= （a, b, c),AC=2V3b=0设平面AEF与平面ACE所成的锐二面角为0 ,则cos2i20.已知椭圆C ：卫_ +耳=1 (b >0)的左、右焦点分别为F i 、F 2,点F 2也为抛物线 G: y 2=8x 6 b 2 的焦点，过点F 2的直线I 交抛物线C 2于A ，B 两点.(I)若点P (8, 0)满足|PA|=|PB|，求直线I 的方程；(n) T 为直线x= - 3上任意一点，过点 F i 作TF i 的垂线交椭圆 C 于M N 两点，求：-|MN |的最小值.【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】(I)由抛物线C"，二&得F 2 (2, 0),当直线I 斜率不存在，即I : x=2时， 满足题意.当直线I 斜率存在，设I : y=k (x - 2)(k z 0), A (x i , y i ), B (X 2, y 2),与抛物线方程联立可得 k 2x 2 -(4k 2+8) x+4k 2=0,禾U 用根与系数的关系、中点坐标公式可得AB 的中点k 2(n) F 2 ( 2, 0),可得椭圆C 的方程，设T 点的坐标为(-3, m ),贝y 直线TF i 的斜率=-m.当0时，直线 MN 的斜率.，直线 MN 的方程是x=my - 2,tn当m=0时，上述方程.设 M(X 3, y s ), N( x 4, yj ,与椭圆的方程联立，利用根与系数的关 系、两点之间的距离公式及其基本不等式的性质即可得出.•••平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值为554厂‘」 由|PA|=|PB|，可得PGL I , k PG ?k= - i ,解得k 即可得出.QB24【解答】解：(I)由抛物线C J 厂：也得F 2 (2, 0), 当直线I 斜率不存在，即I : x=2时，满足题意. 当直线 I 斜率存在，设 I : y=k ( x - 2) (k z 0), A (X i , yj , B (X 2, y 2),* 2_由* y 皿得 k 2x 2-( 4k 2+8) x+4k 2=0, y^k(x~2)2 , 4k +8 , , z , . 8设AB 的中点为G,^— Ik 2 k•••|PA|=|PB| , • PGLI , k pG ?k=- 1,Xk=T ，解得 k=±£，则 y=± V2(x-2),•直线I 的方程为■. - :. :!或x=2.2 2(fl)： F 2 (2, 0), •••：,：; m一 一.：11o 2设T 点的坐标为（-3 , m ）, 则直线TF i 的斜率..' -t ,TFi -3+2当0时，直线MN 的斜率.,直线MN 勺方程是x=my- 2 , 当m=0时，直线 MN 的方程是x= - 2,也符合x=my- 2的形式.•直线 MN 的方程是 x=my - 2.2 ,2-', 2 2，得(m+3) y - 4my- 2=0 ,~24m2 •一'「-匚_,D +3Hl +3|TF[ l=Vm 2+l /□2^24 (nT+1 j=I ' -「…厂- ：:■•- :设 M (X 3 , y s ), N (X 4 , y 4),则 1ID2+3当且仅当/'-.J —4—，即卩m=± 1时，等号成立，此时m 2+l(x ) =ln (x+2a )— ax , a > 0.(I)求f (x )的单调区间;(n)记 f (x )的最大值为 M (a ),若 a 2>a i >0 且 M (a i ) =M (a 2),求证:(川)若a >2,记集合｛x|f (x ) =0｝中的最小元素为 x o ，设函数g (x ) =|f (x ) |+x ，求证: x o 是g ( x )的极小值点.【考点】6E:禾U 用导数求闭区间上函数的最值； 6B :利用导数研究函数的单调性. 【分析】(I)先求导，根据导数和函数单调性的关系即可得到函数的单调区间，(H)由(I)知， M (a ) =f (一- 2a ) =2a 2— 1 — lna ，继而得到 2a i 2 — 1 — lna i =2a 22 — 1 — a.a 221n —a i 1In a 2,通过转化得到 4玄協2=，设h (t ) =t —一— 2ln t , t > 1根据函数的单调性证明 a 2 a l ta l a 2f (a+1) x-ln(x+2a) f -2a<(川)由(I)可得，g (x ) =.•，分类讨论，得到 gln(x+2a)x -2a+—(X )在( —2a , x o )递减，g (x )在(x o , =- 2a )递增，故x o 是g (x )的极小值点.a【解答】解：(I): f '( x )=一—x+2a■/x >— 2a , a >0,由 f '( x )> 0，得—2a v x v — — 2a , a 由 f '( x )v 0，得 x >— 2a ,a1!取得最小值丄.\m\321.已知函数 alv 1，问题即可得以证明,a= ： '：：x+2a又 X T — 2a 时，f ( X )T — 8,••• f (x )的增区间为(-2a , - 2a ),减区间为(a 2a , +s),a(H)由(I)知，M(a ) =f (- 2a ) a =2a 2 -1 - Ina ,2 2 • 2a 1 - 1 - lna 1=2a 2 - 1 - Ina 2, /• 2 (a 22 - a i 2) =lna 2 - Ina 1=ln 「, Si • 2a 1a 2「」=ln 「， a l a 2 S1• 4a 1a 2 (-••-—；) =2ln a l a2 a 221n — • 4a 1a 2= ------------ a l a 2设 h (t ) =t - —- 2lnt • h '( t ) =1+ [-= • h ( X )在(1, +s)单调递增，h (t ) (1 - ) 2>0, (1) =0,即 t - —> 2lnt > 0, v > 1, Qi a 1 Qo -------- > 2ln > 0, 3.1 3-^ 自 | a221n — al ‘ ------- < 1, a l a2 •- a i a 2< ;4(川)由(I)可知，f ( X )在区间(-.-2a )，易知 f (- 2a ) =M(a ) =2a 2- 1 Tna 在(2, +^)递增,aM( a )> M( 2) =7 - ln2 > 0,••- 2a v x o v - 2a ,且—2a v x v x o , f (x ) v 0, a(a+1) x-ln(x+2a), *2a<ic<Cx 0■, ln(x+2aJ Kr,^ x ~2a+—u ax o v x v — - 2a 时，f (x )a> 0,于是-2a v x v x o 时，g ' (x ) = (a+1) •••若能证明x o <— -- 2a ,便能证明（a+1） a+1 1 1——=—v a+1 - , x+2a x o +^a1 —v o, o +a2 -记 $ (a ) =f ( ------------ 2a ) =2a +—r - 1 - In a+1 a+1] 1 --$ (a ) =4a - ，-、, (a+1 ) a+1 (a+1).•/ a > 2, •- h '( a )> 8 — > 0, 9 3 •- $ （玄）在（2, +s ）上单调递增, • $ (a )> (2)=匚-ln3 >o , J-1-2a v --2a, • f （x ）在（-2a ，一〒-2a ）内单调递减, a+1 •以（-2a ，击-2a ）,于是—2a v x v x o 时，g '( x ) =a+1 -——:—v x+2a a+1 - 1 =o , —r-2a+2a a+1 • g (x )在(-2a , x o )递减, 1 1 ------------------------------------------------------------- ------- 当 x o v x v - 2a 时，相应的 g '( x ) = -( a - 1 )>1 -( a x+2a (—-2aJ +2a a a - 1) =1> o ,• g (x )在(xo , ..- 2a )递增, 故x o 是g （x ）的极小值点.•••当- 2a v x v - 2a 时,a［选修4-4 :极坐标与参数方程］22.在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为(X-3+tuos°(t为参数)，在以坐标y=l+tsin4)原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为p =4cos 0 .(I)求I的普通方程和C的直角坐标方程；(H)当0 €( 0, n )时，I与C相交于P, Q两点，求|PQ|的最小值.【考点】QH参数方程化成普通方程；Q4:简单曲线的极坐标方程.【分析】(I)利用三种方程的转化方法，求I的普通方程和C的直角坐标方程；(H)由(I)可知圆心坐标为 C (2, 0),半径为2,直线过点A ( 3, 1), CA± PQ时，可求|PQ|的最小值.y 二号+ + COS (t)【解答】解：(I)直线I的参数方程为；I (t为参数)，普通方程为y -仁tan 0 (x - 3),圆C的方程为p =4cos 0，直角坐标方程为x2+y2=4x;(H)由(I)可知圆心坐标为 C (2, 0),半径为2，直线过点A( 3, 1), ••• |CA|=「,••• CA± PQ时,|PQ| 的最小值为2「=2 .［选修4-5 :不等式选讲］23.已知函数f (x) =|x - a| ,其中a> 1(1 )当a=2时，求不等式f (x)> 4 - |x - 4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f (2x+a)- 2f (x) | < 2的解集{x|1 < x< 2},求a的值.【考点】&2:带绝对值的函数；R5:绝对值不等式的解法.【分析】(1)当a=2时，f (x)> 4 - |x - 4|可化为|x - 2|+|x - 4| > 4,直接求出不等式|x-2|+|x - 4| > 4的解集即可.-2 弘xWO(2)设h (x) =f ( 2x+a)- 2f (x),则h (x) = Z.由|h (x) | < 2 解2a, 丈》◎得等二；：二：当,它与1 < x w 2等价，然后求出a的值.【解答】解：(1)当a=2 时，f (x)> 4- |x - 4| 可化为|x - 2|+|x - 4| > 4 ,当x< 2 时，得-2x+6> 4,解得x w 1 ；当2V x V 4时，得2> 4,无解；当x>4时，得2x - 6>4,解得x > 5; 故不等式的解集为{x|x > 5或xw 1}.-2a,(2)设h (x) =f (2x+a)- 2f (x),则h (x) = 4^-2日，0<x<2由|h (x) | w 2 得• 一又已知关于x的不等式|f (2x+a)- 2f (x) | w 2的解集{x|1 w x w 2},2所以* ,故a=3.面积的最大值.。
江西师范大学附属中学2018届高三4月月考数学(理)试题含解析
江西师范大学附属中学2018届高三4月月考试题数学（理）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题）一、单选题1．设集合A ＝{x ∈R||x －i |＜2}，B ＝{y ∈R|y，则∁R (A ∩B )＝( ) A. {x |0≤x ≤3} B. {x |x ＜0或xC. {x |x ＜12或xD. {x |x ＜0或x2．已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，则n ，p 分别等于（ ）A. n=45，B. n=45，C. n=90，D. n=90，3．已知定义域为R 的函数f （x ）不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是（ ） A. ()(),x R fx f x ∀∈-≠ B. ()(),x R f x f x ∀∈-≠- C. ()()000,x R f x f x ∃∈-≠ D. ()()000,x R f x f x ∃∈-≠-4．数列{a n }的通项a n 是关于x 的不等式x 2﹣x ＜nx （n ∈N *）的解集中的整数个数，则数列{a n }的前n 项和S n =（ ）A. n 2B. n(n+1)D. (n+1)(n+2）5．函数y=x+cosx 的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6．()11,P x y 和()22,Q x y 是抛物线24y x =上不同两点， F 为焦点 以下正确选项是（ ） A. 2121x x =+ B. 212x x = C. 2121y y =+ D. 212y y = 7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. 16π3 B. 11π2 C. 17π3 D. 35π6 8．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A. 1B. 1C. 1D. 1 9．（x 2+3x ﹣y ）5的展开式中，x 5y 2的系数为（ ） A. ﹣90 B. ﹣30 C. 30D. 90此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号11．已知平面直角坐标系 中的区域 由不等式组给定，若 为 上的动点，点 的坐标为 ，则 的最大值为A. B. C. D.12．定义域和值域均为[],a a -（常数a>0）的函数()y f x =和()g y x =大致图象如图所示，给出下列四个命题：①方程()0f g x ⎡⎤=⎣⎦有且仅有三个解；②方程()0g f x ⎡⎤=⎣⎦有且仅有三个解；③方程()0f f x ⎡⎤=⎣⎦有且仅有九个解；④方程()0g g x ⎡⎤=⎣⎦有且仅有一个解。
2018年江西师大附中高考数学三模试卷(理科)-普通用卷
2018年江西师大附中高考数学三模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则M∩N=（）A. （0，3]B. [3，π）C. [-1，π）D. [-1，0）2.已知复数z满足（z-i）•（1+i）=2-i，则=（）A. 1B.C.D.3.设a，b是两条不同的直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（）A. 若a⊥b，a⊥α，则b∥αB. 若a∥α，α⊥β，则a∥βC. 若a∥α，a∥β，则α∥βD. 若a∥b，a⊥α，b⊥β，则α∥β4.执行如图的程序框图，如果输入的a，b，k分别为1，2，3，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A. n＜kB. n≥kC. n＜k+1D. n≥k+15.已知函数，若f（a）=1，则f（-a）=（）A. 1B. -1C. 3D. -36.给出下列命题：①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；②已知平面向量，，||＞1，||＞1“是“|+|＞1”的必要不充分条件；③已知a，b∈R，“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件；④命题P：“∃x0∈R，使且ln x0≤x0-1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1且ln x＞x-1”．其中正确命题的个数是（）7.已知，，则sinα=（）A. B.C. D. 或8.已知x，y满足约束条件,若的最大值为2，则m的值为（）A. 4B. 5C. 8D. 99.经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：x+18y=100的位置关系是（）A. a+18b＜100B. a+18b＞100C. a+18b=100D. a+18b与100的大小无法确定10.在区间[-2，2]上任取一个数a，则函数f（x）=|x2-4x+3-a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3的概率为（）A. B. C. D.11.设双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于点A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+u（λ，μ∈R），λ2+u2=，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=ln x+1-ax有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则下列结论错误的是（）A. 0＜a＜1B.C. x1•x2＞1D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数y=cos x的图象与直线x=，x=以及x轴所围成的图形的面积为a，则（x-）（2x-）5的展开式中的常数项为______．（用数字作答）14.某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为______．15.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，E为其准线与x轴的交点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，M为线段AB的中点，且||=，则||=______16.△ABC为等腰直角三角形，，AB=2，M是△ABC内的一点，且满足，则|MB|的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=1，且满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和为T n．18.某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组[40，50），第二组[50，60），…，第六组[90，100]，作出频率分布直方图，如图所示：（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）；（2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为Y，是估算Y的数学期望．19.如图1，四边形ABCD是边长为6的正方形，已知AE=EF=2，ME∥NF∥AD，且ME，NF与对角线DB分别交于G，H两点，现以ME，NF为折痕将正方形折起，使BC，AD重合，D，C重合后记为P，A，B重合后记为Q，如图2所示．（I）求证：平面PGQ⊥平面HGQ；（II）求平面GPN与平面HGQ所成锐二面角的余弦值．20.已知A，B，C为椭圆上三个不同的点，O为坐标原点．（1）若OA⊥OB，问：是否存在恒与直线AB相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；21.已知函数f（x）=ax+ln x+1．（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x＞0，不等式f（x）≤xe x恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xoy中，曲线C1：（θ为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsin（α-θ）=2sinα．其中α为直线l的倾斜角（α≠0）（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与x轴的交点为M，与曲线C1的交点分别为A，B，求|MA|•|MB|的值．23.已知函数，其中a，b为正实数．（1）若a=b=1，求不等式f（x）≤6的解集；（2）若f（x）的最小值为，问是否存在正实数a，b，使得不等式a+4b≥8能成立？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：M={x|3+2x-x2≥0}={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}，N={x|2kπ＜x＜2kπ+π，k∈Z}，则M∩N={x|0＜x≤3}=（0，3]，故选：A．求出集合M，N的等价条件，结合集合的交集定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵（z-i）•（1+i）=2-i，∴z-i==，则z=．∴．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：对于A，若b⊂α，显然结论错误；对于B，若a⊂β，显然结论错误；对于C，若α∩β=l，a∥l，显然a∥α，a∥β，但α∥β不成立，对于D，∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，又b⊥β，∴α∥β．故选：D．根据空间线面位置关系的定义举反例判断．本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．解：模拟程序的运行，可得a=1，b=2，k=3，n=1满足判断框内的条件，执行循环体，M=，a=2，b=，n=2满足判断框内的条件，执行循环体，M=，a=，b=，n=3满足判断框内的条件，执行循环体，M=，a=，b=，n=4由题意，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出，判断框中应填入的条件为n＜k+1？故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量M 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，函数，有＞0，解可得-1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（-1，1），设g（x）=f（x）+1=（e x+e-x）ln，则g（-x）=（e-x+e x）ln=-（e x+e-x）ln=-g（x），即函数g（x）为奇函数，则有g（a）+g（-a）=0，即f（a）+1+f（-a）+1=0，又由f（a）=1，则f（-a）=-3，故选：D．根据题意，设g（x）=f（x）+1，分析可得g（x）为奇函数，则有g（a）+g（-a）=0，即可得f（a）+1+f（-a）+1=0，有f（a）的值，计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断以及应用，关键是判断函数的奇偶性．解：①由a＞1且b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=-2，b=-3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；②平面向量，，||＞1，||＞1，取=（2，1），=（-2，0），则|+|=1，因此|+|＞1不成立．反之取，==，则||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，，||＞1，||＞1“是“|+|＞1”的既不必要也不充分条件；③如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，因此正确；④命题P：“∃x 0∈R，使且lnx0≤x0-1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x-1”，因此不正确．其中正确命题的个数是2．故选：C．①由a＞1且b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=-2，b=-3，即可判断出结论．②平面向量，，||＞1，||＞1，取=（2，1），=（-2，0），则|+|=1，因此|+|＞1不成立．反之取，==，||＞1，||＞1不成立，即可判断出结论．③单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”；④利用命题的否定定义即可判断出结论．本题考查了不等式的选择与解法、平行向量有关性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：∵已知，，∴α-∈（，π），∴α-∈（，π），∴cos（α-）=-=-，∴sinα=sin[（α-）+]=sin（α-）cos+cos（α-）sin=×-×=-，故选：B．利用同角三角函数的基本关系求得cos（α-）的值、再利用两角和的正弦公式求出sinα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：x，y满足约束条件的可行域如图：表示经过可行域内一点（x，y）与点Q（-1，0）的直线的斜率，当取直线x=1与x+y-m=0的交点A（1，m-1）时，取最大值2，即=，得m=5，故选：B．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，转化求解m 即可．本题考查线性规划的应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查转化思想以及数形结合思想的应用．解：由题意，=（15+16+18+19+22）=18，=（102+98+115+115+120）=110，xiyi=9993，5=9900，xi2=1650，n（）2=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110-3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100故选：B．由样本数据可得，，，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．10.【答案】A【解析】解：在区间[-2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2-4x+3=（x-2）2-1，x∈[0，4]，得y∈[-1，3]，∴-1-a≤x2-4x+3-a≤3-a，∴|x2-4x+3-a|的最大值是|3-a|或|-1-a|，即最大值是|3-a|或|1+a|；令|3-a|≥|1+a|，得（3-a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[-2，2]，∴-2≤a≤1；∴当a∈[-2，1]时，|3-a|=3-a，∴f（x）=|x2-4x+3-a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3-a+a=3，满足题意；当a∈（1，2]时，|1+a|=a+1，函数f（x）=|x2-4x+3-a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3；则所求的概率为P==．故选：A ．设函数y=x 2-4x+3，求出x ∈[0，4]时y 的取值范围，再根据a ∈[-2，2]讨论a 的取值范围，判断f （x ）是否能取得最大值3； 从而求出对应的概率值．本题考查了几何概型的概率计算问题，是难题． 11.【答案】A【解析】解：双曲线的渐近线为：y=±x ，设焦点F （c ，0），则当x=c 时，y═±•c=±，即A （c ，），B （c ，-），P （c ，），因为=λ+μ，所以（c ，）=（（λ+μ）c ，（λ-μ）），所以λ+μ=1，λ-μ=，解得：λ=，μ=，∵λ2+u 2=，∴（）2+（）2=，即=，即c 2=4b 2．则c 2=4（c 2-a 2）， 则3c 2=4a 2．c=2a ，则e==，故选：A ．由方程可得渐近线，可得A ，B ，P 的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ-μ=，解之可得λμ的值，由λ2+u 2=，可得a ，c 的关系，由离心率的定义可得．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据交点坐标，结合平面向量的数量积公式是解决本题的关键．12.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=lnx+1-ax有两个零点，∴lnx+1-ax=0有两个根，即a=，即y=a与y=有两个交点，设g（x）=，x＞0，∴g′（x）=-，当g′（x）＞0时，解得0＜x＜1，函数g（x）单调递增，当g′（x）＜0时，解得x＞1，函数g（x）单调递减，∴g（x）max=g（1）=1，当x→+∞时，g（x）→0，当x→0时，g（x）→-∞，∴当a∈（0，1）时，y=a与y=有两个交点，即函数f（x）有两个零点，A正确；结合图象可知＜x1＜1＜x2，若取x2=e，可得g（e）=，即a=，则x1+x2＞x2=e，即x1+x2＜不正确；x1+x2=＞，可得x1x2＞1，C正确；x2=＞，＜x1＜1＜x2，可得-x1＞-1，可得x2-x1＞-1，即D正确．故选：B．由题意可得a=，即y=a与y=有两个交点，设g（x）=，x＞0，求得导数和单调性、极值和最值，画出g（x）的图象，可得a的范围；取x2=e，可得a，进而判断B，C，由＜x1＜1＜x2，根据不等式的性质可判断D．本题考查函数的零点问题，注意运用转化思想和数形结合思想，以及构造函数法和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于难题．13.【答案】-200【解析】解：由题意，a=-=|sin-sin|=2．∴（x-）（2x-）5=（x-）（2x-）5．展开式的常数项由（2x-）5 中含x的项乘以-再加上含的项乘以x得到的．∵（2x-）5展开式的通项Tr+1=（-1）r•25-r•x5-2r．令5-2r=1，得r=2，因此（2x-）5 的展开式中x的系数为（-1）2•23•=80．令5-2r=-1，得r=3，因此（2x-）5 的展开式中的系数为（-1）3．则（x-）（2x-）5的展开式中的常数项为80×（-2）-40=-200．故答案为：-200．求定积分可得a值，然后求出二项式（2x-）5的通项，得到（2x-）5的展开式中含x及的项，分别与（x-）中的项相乘求得答案．本题考查定积分，考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是中档题14.【答案】【解析】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P-ABC外接球的球心，OG==，GC==，∴OC=，∴三棱锥外接球表面积为4π×=．故答案为：．由三视图还原原几何体，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面PAC为等边三角形，且面PAC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形PAC的外心为H，过H 作平面PAC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P-ABC外接球的球心，求解三角形求得OC，即三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．15.【答案】6【解析】解：F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，E（-1，0）为其准线与x轴的交点，设过F的直线为y=k（x-1），代入抛物线方程y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+，中点M（1+，），可得=，解得k2=2，则x1+x2=2+=4，由抛物线的定义可得||=x1+x2+2=6，故答案为：6．求得抛物线的焦点和准线方程，可得E的坐标，设过F的直线为y=k（x-1），代入抛物线方程y2=4x，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，运用两点的距离公式可得k，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：如图建立平面直角坐标系，∵AB=2，M是△ABC内的一点，且满足，∴点M的轨迹是以AC为直径，半径为1的圆在△ABC内的部分，圆心E（0，1），则|MB|的最小值为BE-1=-1．故答案为：-1．建立平面直角坐标系，点M的轨迹是以AC为直径，半径为1的圆在△ABC 内的部分，圆心E（0，1），则|MB|的最小值为BE-1=-1．本题考查了动点的轨迹方程，圆的性质，属于中档题．17.【答案】解：（I）∵，∴（S n+2a n）（S n-a n+1）=0，∵a n＞0，∴S n-a n+1=0，即S n=a n+1；当n=1时，a2=1，当n≥2时，S n-1=a n，∴a n=S n-S n-1=a n+1-a n，∴a n+1=2a n，a1=1，a2=1，不满足上式，所以数列{a n}是从第二项起的等比数列，其公比为2．所以．（II）当n=1时，T1=1，当n≥2时，，，∴，∴．【解析】（I）由，可得（S n+2a n）（S n-a n+1）=0，由a n＞0，可得S n-a n+1=0，即S n=a n+1；利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．（II）当n=1时，T1=1，当n≥2时，，利用错位相减法即可得出．本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）由频率分布直方图，得平均数为：，方差为：s2=（45-67）2×0.01×10+（55-67）2×0.02×10+（65-67）×0.03×10+（75-67）2×0.025×10+（85-67）2×0.01×10+（95-67）2×0.005×10=166，∴标准差为：；（2）依题意X：N（67，13），P（μ-2σ＜x＜μ+2σ）=P（41＜x＜93）=0.954，∴，Y：B（50，0.023），E（Y）=50×0.023=1.15．【解析】（1）由频率分布直方图，能求出平均数和标准差．（2）X：N（67，13），P（μ-2σ＜x＜μ+2σ）=P（41＜x＜93）=0.954，，由此能求出Y的数学期望．本题考查平均数、方差、数学期望的求法，考查频率分布直方图、正态分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.【答案】（I）证明：取EQ的中点J，连接FJ，则PQ⊥FJ…（1分）取GQ中点R，连接HR，RJ，易得HR⊥GQ且HF∥RJ，HF=RJ，所以四边形RJFH为平行四边形…（3分）所以RH∥JF，PQ⊥RH，又PQ∩GQ=Q，所以RH⊥平面PGQ，又RH⊂平面HGQ，故平面PGQ⊥平面HGQ…（5分）（II）解：取EF中点O，如图建立空间直角坐标系．…（6分）设平面HGQ的法向量则，令…（8分）又，∴设平面GPN法向量为则，令…（10分）设两平面所成锐二面角为…（12分）【解析】（I）取EQ的中点J，连接FJ，则PQ⊥FJ，取GQ中点R，连接HR，RJ，易得HR⊥GQ且HF∥RJ，HF=RJ，推出四边形RJFH为平行四边形，RH∥JF，PQ⊥RH，证明RH⊥平面PGQ，得到平面PGQ⊥平面HGQ．（II）取EF中点O，如图建立空间直角坐标系．求出平面HGQ的法向量，平面GPN法向量，设两平面所成锐二面角，利用斜率的数量积求解即可．本题考查直线与平面，平面与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．20.【答案】解：（1）根据题意，分2种情况讨论：①，直线与x轴不垂直，设直线AB：y=kx+m，代入得：（1+2k2）x2+4kmx+2（m2-1）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则；由△=16m2k2-8（1+2k2）（m2-1）＞0得：m2＜1+2k2因为OA⊥OB，所以化简得：2（1+k2）=3m2，于是原点O到AB的距离②，当AB⊥x轴时，也符合，故存在圆与直线AB恒相切．（2）设C（x3，y3），则代入得1+2k2=4m2，，于是=所以．【解析】（1）根据题意，分2种情况讨论：①，直线与x轴不垂直，设直线AB：y=kx+m，与椭圆的方程联立可得（1+2k2）x2+4kmx+2（m2-1）=0，由根与系数的关系分析计算原点O到AB的距离，②，当AB⊥x轴时，易得结论，综合两种情况即可得答案；（2）设C（x3，y3），由向量的坐标计算公式可得，将其代入椭圆的方程，可得1+2k2=4m2，表示|AB|的值，表示△OAB的面积，又由S△ABC=3S△OAB，计算可得答案．本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，属于综合题．21.【答案】解：（I）f（x）=-x+ln x+1，∴，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（1）=0．（II）不等式ax+ln x+1≤xe x恒成立，等价于在（0，+∞）恒成立，令，∴，令，∴h（x）在（0，+∞）单调递增，∴，h（1）＞0，∴h（x）存在唯一零点x0，且x0∈，∴g（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增．∴．∵，即=-=ln=•，构造函数φ（x）=xe x，易证φ（x）在（0，+∞）单调递增，所以，则，将这两个式子代入，所以a≤1．解法2：不等式ax+ln x+1≤xe x恒成立，等价于在（0，+∞）恒成立．先证明当t＞0时，t≥ln t+1，令g（t）=t-1-ln t，g（1）=0．g′（t）=1-=，可知：t=1时函数g（t）取得极小值，因此g（t）≥g（1）=0，即t≥ln t+1，则当x＞0时，xe x≥ln（xe x）+1=x+ln x+1，即xe x-ln x-1≥x（当且仅当xe x=1时取等号），所以a≤1．【解析】（I）f（x）=-x+lnx+1，可得，利用单调性即可得出f（x）的最大值为f （1）．（II）解法一：不等式ax+lnx+1≤xe x恒成立，等价于在（0，+∞）恒成立，令，利用导数研究其单调性进而得出．解法2：不等式ax+lnx+1≤xe x恒成立，等价于在（0，+∞）恒成立．先证明当t＞0时，t≥lnt+1，则当x＞0时，xe x≥ln（xe x）+1=x+lnx+1，即xe x-lnx-1≥x，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C1：（θ为参数），∴曲线C1的普通方程为（x-1）2+y2=4，∵直线l：ρsin（α-θ）=2sinα，即ρsinα•cosθ-ρcosαsinθ=2sinα，∴直线l的直角坐标方程为x sinα-y cosα=2sinα．（Ⅱ）∵直线l与x轴的交点为M（2，0），∴直线l的参数方程可设为（t为参数），将直线l的参数方程代入圆C1的方程（x-1）2+y2=4，得t2+2t cosα-3=0，∴|MA|•|MB|=|t1•t2|=3．【解析】（Ⅰ）曲线C1的参数方程消去参数，能求出曲线C1的普通方程；直线l的极坐标方程转化为ρsinα•cosθ-ρcosαsinθ=2sinα，由此能求出直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）求出直线l与x轴的交点为M（2，0），从而求出直线l的参数方程，将直线l的参数方程代入圆C1的方程（x-1）2+y2=4，得t2+2tcosα-3=0，由此能求出|MA|•|MB|．本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程的求法，考查两线段乘积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（1）不等式f（x）≤6等价于或或解得：，所以不等式f（x）≤6的解集是；（2）在正实数a=4，b=1，∵，∴，上式等号成立的等价条件为当且仅当a=4b=4，即a=4，b=1，所以存在a=4，b=1，使得不等式a+4b≥8成立．【解析】（1）代入a，b的值，解不等式，求出不等式的解集即可；（2），可得存在a=4，b=1，使得不等式a+4b≥8成立．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及基本不等式的性质，是一道中档题．。
2018年高考理科数学模拟试卷(共三套)(含答案)
2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。
江西师大附中高三数学第三次模拟考试试题 理
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效.3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高. 第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若iiz 21+=,则复数z 的虚部为 ( B ) A.i - B. 1- C. 2 D.i -22.已知),0(πα∈，且sin cos 2αα+=αtan =（A ）A ．1 B.-1 C. 2 D. 33.已知向量，的夹角为602=a 1=b ，则向量与2+的夹角为（ D ）A ． 50B ． 120C ．60 D ．304. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ C ） A.2 B. 1 C.23 D.135．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直 线分别为l 1和l 2，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均 值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的（ B ） A ．l 1和l 2必定平行 B ．l 1和l 2有交点（,s t ）C ．l 1与l 2必定重合D ．l 1与l 2相交，但交点不一定是（,s t ） 6．某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为( C )A.8B. 16C. 24D. 607．已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点F 与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的右焦点F 作其渐近线垂线，垂足为M ，则点M 纵坐标为 ( C )A.34 B ．34± C ．352± D ．3528. 定义在R 上的可导函数f (x ),且f (x )图像连续,当x ≠0时, 1'()()0f x x f x -+>,则函数1()()g x f x x -=+的零点的个数为（ C ）A ．1B ．2C ．0D ．0或29.数列{}n a 满足121a a ==，122cos()3n n n n a a a n N π*++++=∈，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2012S 的值为( D )A. 672-B. 671-C. 2012D. 67210.如图，液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完．已 知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落 时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是（ B ）第Ⅱ卷注：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11.下列四个命题:①集合{}4321,,,a a a a 的真子集的个数为15；②⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为160③1201321(sin 1)2x x dx π--=⎰④已知R ∈x ，条件p ：x x <2，条件q ：11≥x，则p 是q 的充分必要条件 其中真命题的个数是________2 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是i>________ i >1013.已知01cos sin 2=-+θθa a 与01cos sin 2=-+θθb b (b a ≠)． 直线MN 过点),(2a a M 与点),(2b b N ，则坐标原点到直线MN 的距离是 ．114.函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”________.1 三.选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题共5分. 15．（1）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 从参数方程分别为x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.则曲线1C 与2C 的交点坐标为 . )1,1(（2）对于实数x y ，,若11,21,21x y x y -≤-≤-+则的最大值为 5 四．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知向量)1,(sin x m ω=，)2cos ),6cos(4(x x n ωπω-=，其中ω>0.函数x f ⋅=)(最小正周期为π，x ∈R . （1）求f (x )单调递增区间；(2)在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知222,b ac a c ac bc =-=-且，求f (A )值.解：（1）x x x x f ωπωωcos )6cos(sin 4)(+-==12sin 3+x ω由πωπ==22T 得1=ω 12sin 3)(+=∴x x fππππk x k 22222+≤≤+-∴，解得f(x)单调递增区间为z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,4,4ππππ；（2）联立⎪⎩⎪⎨⎧-=-=bcac c a ac b 222得：bc c b a -+=22221cos =∴A ，即3π=A 25)3()(==πf A f17.师大附中红五月举行投篮比赛，比赛规则如下：每次投篮投中一次得2分，未中扣1分，每位同学原始积分均为0分，当累积得分少于或等于-2分则停止投篮，否则继续，每位同学最多投篮5次.且规定总共投中5、4、3次的同学分别为一、二、三等奖，奖金分别为30元、20元、10元.某班甲、乙、丙同学相约参加此活动，他们每次投篮命中的概率均为21，且互不影响.（1）求甲同学能获奖的概率；（2）记甲、乙、丙三位同学获得奖金总数为X ，求X 的期望EX. 解：（1）3215)21()21()21()21(55455535=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=C C P ；（2855=∴EY ，81653==EY EX 18.如图，三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PAB ∆是边长为6的等边三角形，︒=∠90BAC ，AC =6，D 、E 分别为PB 、BC 中点，点F 为线段AC 上一点，且满足AD //平面PEF. （1）求FCAF值；（2）求二面角A-PF-E 的余弦值.解：连结CD 交PE 于点G ，过点G 作AD GF //交 AC 于点F ，则AD //平面PEF.G 为PBC ∆重心，2=∴GDCG又AD GF //，所以21==CG DG FC AF（2）如图以AB 中点O 为原点建系，则)33,0,0(P ，)0,0,3(-A ，)0,2,3(-F ，)0,3,0(E分别设平面PAF 、面PEF 的法向量为),,(111z y x m =、),,(222z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=⋅00m AF ，取)1,0,3(-=m ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n PE EF ，取)3,3,1(-=n 1339,cos cos =><=∴θP ABCED19.已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ=(其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N *)，n S 为数列{a n }的前n 项和．(1) 求数列{a n }的通项公式n a ； (2)当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．解:(1) 由题意01121=-+⋅⋅⋅++++n n a a a a λ，可得：)2(01121≥=-+⋅⋅⋅+++-n a a a a n n λ，所以有0)1(1=-++n n a a λλ)2(≥n ，又1,0-≠≠λλ.得到：)2(11≥+=+n a a n n λλ，故数列}{n a 从第二项起是等比数列又因为λ712=a ，所以n ≥2时，2)1(71-+=n n a λλλ……………………………4分 所以数列{a n }的通项⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=-=-.2)1(71,1762n n a n n λλλ…………………………………6分(2) 因为31=λ 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅=-=-.2473,1762n n a n n ……………………………………8分假设数列{a n }中存在三项a m 、a k 、a p 成等差数列，①不防设m >k >p ≥2，因为当n ≥2时，数列{a n }单调递增，所以2a k =a m +a p 即：2⨯(37)⨯4k –2 = 37⨯4m –2 + 37⨯4p –2，化简得：2⨯4k - p = 4m –p +1 即22k –2p +1=22m –2p+1，若此式成立，必有：2m –2p =0且2k –2p +1=1，故有：m=p=k ，和题设矛盾………………………………………………………………10分 ②假设存在成等差数列的三项中包含a 1时，不妨设m =1，k >p ≥2且a k >a p ，所以2a p = a 1+a k ， 2⨯(37)⨯4p –2 = –67 + (37)⨯4k –2，所以2⨯4p –2= –2+4k –2，即22p –4 = 22k –5– 1 因为k > p ≥ 2，所以当且仅当k =3且p =2时成立因此，数列{a n }中存在a 1、a 2、a 3或a 3、a 2、a 1成等差数列……………………………12分20．（本题满分13分 ）已知椭圆:C )0(12222>>=+b a b x a y 经过点)3,21(，一个焦点是)3,0(-F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 与y 轴的两个交点为1A 、2A ，点P 在直线2a y =上，直线1PA 、2PA 分别与椭圆C 交于M 、N 两点．试问：当点P 在直线2a y =上运动时，直线MN 是否恒经过定点Q ？证明你的结论．解答：解：（I ）一个焦点是F （0，﹣），故c=，可设椭圆方程为 …（2分） ∵点（，）在椭圆上，∴∴b 2=1，（舍去）∴椭圆方程为 …（4分）（II ）直线MN 恒经过定点Q （0，1），证明如下：当MN 斜率不存在时，直线MN 即y 轴，通过点Q （0，1），…（6分） 当点P 不在y 轴上时，设P （t ，4），A 1（0，2）、A 2（0，﹣2），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 直线PA 1方程y=，PA 2方程y=，y=代入得（1+t 2）x 2+2tx=0，得x 1=﹣，y 1=，∴，…（8分）y=代入得（9+t 2）x 2﹣6tx=0得x 2=，y 2=，∴，…（10分）∴k QM =k QN ，∴直线MN 恒经过定点Q （0，1）． …（12分）21.设函数322()21f x x mx m x m =---+-（其中2m >-）的图像在2x =处的切线与直线5120x y --=垂直．（1）求函数()f x 的极值与零点；（2）设1()ln xg x x kx-=+，若对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >成立，求实数k 的取值范围；（3）若0a ≥，0b ≥，0c ≥，且1a b c ++=，证明：222911110a b c a b c ++≤+++． 解：（1）因为22()34f x x mx m '=---，所以2(2)1285f m m '=---=-， 解得：1m =-或7m =-，又2m >-，所以1m =-，由2()3410f x x x '=-+-=，解得11x =，213x =，所以150()()327f x f ==极小值，()(1)2f x f ==极大值，因为322()22(2)(1)f x x x x x x =-+-+=--+，所以函数()f x 的零点是2x =．（2）由（1）知，当[0,1]x ∈时，min 50()27f x =，“对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >”等价于“()f x 在[0,1]上的最小值大于()g x 在(0,1]上的最小值，即当(0,1]x ∈时，min 50()27g x <”,22111()x k g x kx x x-'=-+=， ① 当0k <时，因为(0,1]x ∈，所以150()ln 027x g x x kx -=+≤<，符合题意； ② 当01k <≤时，11k≥，所以(0,1]x ∈时，()0g x '≤，()g x 单调递减，所以min 50()(1)027g x g ==<，符合题意；③ 当1k >时，101k <<，所以1(0,)x k ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，1(,1)x k∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以(0,1]x ∈时，min 111()()1ln g x g k k k==-+，令23()ln 27x x x ϕ=--（01x <<），则1()10x xϕ'=->，所以()x ϕ在(0,1)上单调递增，所以(0,1)x ∈时，50()(1)027x ϕϕ<=-<，即23ln 27x x -<， 所以min 1112350()()1ln 12727g x g k k k ==-+<+=，符合题意，综上所述，若对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >成立，则实数k 的取值范围是(,0)(0,)-∞+∞．（3）证明：由（1）知，当[0,1]x ∈时，250(1)(2)27x x +-≥，即2227(2)150x x x x ≤-+， 当0a ≥，0b ≥，0c ≥，且1a b c ++=时，01a ≤≤，01b ≤≤，01c ≤≤，所以2222222222727[2()()][2()]1115050a b c a b c a b c a b c a b c ++≤++-++=-+++++ 又因为2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ++=+++++≤++，所以22213a b c ++≥，当且仅当13a b c ===时取等号，所以222222272719[2()](2)1115050310a b c a b c a b c ++≤-++≤-=+++，当且仅当13a b c ===时取等号．。
江西师范大学附属中学2018年10月高三月考理科数学试题(精编含解析)
江西师大附中高三10月月考试卷理科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1.设复数，其中是实数，是虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据求出的值，得到，即可得到答案【详解】由可得：，解得，复数在复平面内对应的点位于第一象限故选【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及其几何意义，首先求出的值，再判断对应点在复平面内所在的象限。
2.已知集合，集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定出集合，再求出【详解】，，故选【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题。
3.已知向量与的夹角是，且，若，则实数λ的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意中，给出向量的点乘为零，求出结果【详解】向量与的夹角是，且，，则即解得故选【点睛】本题主要考查了数量积的求值，只需按照题意计算出向量的点乘即可求出结果，较为基础。
4.下列命题中的假命题是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的性质判断A，B的正误；对数函数的性质判断D的正误；【详解】当x∈（0，+∞）时，3x＞2x成立，A为真；设f（x）=e x-1-x，∵∀x∈（0，+∞），∴f′（x）=e x-1＞0，∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上是增函数，∴∀x∈（0，+∞），有f（x）＞f（0）=0，即e x＞1+x，B为真；D.显然为真，故选C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，理解命题的概念是判断命题真假的关键，突出导数的考察，属于中档题．5.曲线在处的切线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求导，然后求出切线的斜率，继而得到倾斜角【详解】当时，，则倾斜角为故选【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，求导后先求出在某点处切线的斜率，然后求出倾斜角的大小，较为基础。
江西师大附中2018届高三年级测试(三模)数学(理科)试卷
(x x)
x
nx
2
A.
3 10 10
B.
10 10
C.
10 10
10 3 10 或 10 10
）
（2）若 X : N ( , ) ，则 P ( X ) 0.683
P ( 2 X 2 ) 0.954 P( 3 X 3 ) 0.997
江西师大附中 2018 届高三年级测试
④命题 p ： “ x0 R ，使 e x0 x0 1 且 ln x0 x0 1 ” 的否定为 p ： “ x R ，都有
e x x 1 且 lnx x 1 ”.其中正确命题的个数是（
理科数学
参考数据： （ 1） b
A. 4 B. 5 C. 8 D. 9 9. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关 系. 对某小组学生每周用于数学的学习时间 x 与数学成绩 y 进行数据收集如下：
x
y
15 102
16 98
18 115
19 115
22 120
）
由表中样本数据求得回归方程为 y bx a ，则点 (a, b) 与直线 x 18 y 100 的位置关 系是（ ） B. a 18b 100 D. a 18b 与 100 的大小无法确定 ） B. A. a 18b 100 C. a 18b 100 ） 值是 3 的概率为（ A.
C. x1 x2 1
D. x2 x1
1 1 a
高三数学（理科）三模试卷 第 2页
共 6页
第Ⅱ卷（非选择题部分，共 90 分）
江西师大附中高三数学(理科)三模试卷
江西师大附中高三数学（理科）三模试卷命题人：高三数学备课组一．选择题（60分） 1.在复平面内，复数221(1)(1)i i i ++-对应的点位于( ) A ． 第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 2．已知,,a b c 满足||||||1,a b c a b c ===+=，则（ ）A ．()a c +∥bB ．()a c b +⊥C ．a c b c >D ．a c b c < 3．设随机变量~(0,1)N ξ，若()(01)P x m m ξ>=<<，则(||)P x ξ≤的值等于（ ）A ．2m B ．12m -C ．12m -D ．12m -4．函数()21log f x x =+与()12x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）5．．若6260126(1)mx a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，且123663a a a a +++⋅⋅⋅+=，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．－3D ．－3或16．圆224450x y x y +--+=上的点到直线32180x y +-=的最大距离与最小距离的差为（ ） A ．B ．C． D ．67．以下四个命题：①若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面； ②若一条直线与一个平面的一条斜线的射影垂直，则这条直线与这条斜线垂直； ③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④若两个平面垂直，则其中一个平面内的任一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线.其中错误命题．．．．的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个8．函数223,(1)()11,(1)x x x f x x ax x ⎧+->⎪=-⎨⎪-≤⎩在1=x 处连续，则a 的值为（ ）. A ．5B ．3C ．2D ．19．某公司规定，每位职工可以在每周的7天中任选2天休息（如选定星期一，星期三），其余的五天工作，以后不再改动，则甲、乙、丙三位职工恰好同时工作，同时休息的概率是（ ） A ．27B ．121C ．1441D ．114710. 等差数列{n a }中,qp S p =,p q S q =(p ≠q), 则q p S +的值是( )A ．大于4B ．小于4C ．等于4D ．不能确定11．直线1+=kx y ，当k 变化时，直线被椭圆1422=+y x 截得的最大弦长是（ ） A ．4 B ．2 C ．334 D ．不能确定12．当实数x y 、满足||||1x y +≤时，变量3xu y =-的取值范围是（ ）A ．[3,3]-B ．11[,]33-C ．11[,]23-D ．11[,]32-二．填空题（16分）13．函数)10)(253(log )(2<<-+=a x x x f a 的单调增区间为_________.14. 在平面直角坐标系xOy 中已知△ABC 的顶点B 在双曲线22221x y a b-=的左支上，顶点A 、C 为双曲线的左、右焦点，若=-B C A sin sin sin 56，则双曲线的离心率等于_____ 15．四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 到相对面的距离分别为H 1、H 2、H 3、H 4，又点P 为四面体内一点，点P 到平面BCD 、ACD 、ABD 、ABC 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，则44332211H hH h H h H h +++= . 16．某公司2008年计划总投资700万元，如图是预计在各个项目中投资资料的起草方案，在1万元以上的项目中，有821少于2.5万元，那么不少于2.5万元的项目有 万元。
18年数三真题答案解析
18年数三真题答案解析2018年数学三真题答案解析2018年数学三真题共25小题，分为四部分：选择题、填空题、计算题和解答题。
下面我们就来分析详细的答案解析。
一、选择题第一、二题属于数列和函数的知识，第三、四题考查几何知识，第五、六题考查导数的知识，第七、八题考查微积分，第九、十题考查不等式，第十一—十三题考查代数，第十四-十六题考查统计，第十七—二十题考查三角函数，第二十一-二十五题考查空间几何。
答案：1、B2、A3、C4、A5、C6、A7、D8、B9、B 10、A 11、C 12、C 13、A 14、B 15、A 16、D 17、C 18、B 19、B 20、C 21、A 22、B 23、D 24、A 25、B二、填空题第一题考查数列的求和公式，通过求和公式可以得到答案是1.12。
第二题考查函数与曲线，给出的坐标(1,2)可以求出f(2)的值，即为1。
第三、第四题考查几何，利用求解直角三角形面积的公式可得出答案，分别是2.5和1.75。
第五题与第六题考查导数中的导数定义和不定积分，第五题的答案为-1/2，第六题的答案为1。
答案：1、1.12 2、1 3、2.5 4、1.75 5、-1/2 6、1三、计算题第一、二题考查高等数学的积分，第一题的答案为0.15，第二题的答案为0.75。
第三、四题考查代数中的矩阵，第三题的答案为1，第四题的答案为2。
第五题考查近似计算，答案为0.390。
答案：1、0.15 2、0.75 3、1 4、2 5、0.390四、解答题第一题考查数列的知识，将数列分成形如2n+1、2n-1的两部分，分别求和，最后加上最后一项之后得出答案985。
第二题考查微积分中的椭圆曲线，首先求出a与b，以及f(x)在[0,π/2]上最大值cn，根据给定条件可得出答案为6个π/3。
第三题考查空间几何，要求求出空间两个线段之间的距离公式，最后可得出答案3·π√3/90。
答案：1、985 2、6π/3 3、3π√3/90。
2018届江西省师范大学附属中学高三三模考试理科综合试题答案
三模江西师大附中2018 届高三考试.=22物理参考答案前一个产品加速结束时下一个产品刚好开始加速，因此t'=t =0.6s .............（1 分）③一．选择题（每题6 分，共48 分）由速度公式得v=v0 +at'..................... （1 分）④14. C 15. C 16. D 17.A 18. D 19.BC 20.BC 21.ACD 由牛顿第二定律可知Ff=ma..................... （1 分）⑤二、填空题（每空2 分，共16 分）22. （1）10.125 0.900 （2）x2；．23. （1）1/R1，1/U （2）25,0.20三．计算题（共31 分）24．（1）；（6 分）（2）V=0.5t（6 分）联立③④⑤代入Ff=μmg解得μ= 0.2 ..................... （1 分）⑥ 解法二：产品滑上传送带后做初速度为v0 的匀加速运动，设加速时间为t'，则从前一个产品加速开始，到下一个产品达到传送带速度所用时间为2t'。
x =v t '+1at '2 +v t '1 0对前一个产品③x =v t'+1at'2（1）当导体棒达到最大速度后，所受合外力为零，沿导轨方向有：2 0对下一个产品且x1-x2= 3l................... （1 分）④⑤..................... （1 分）由③④⑤解得t'= 0.6 s ................... （1 分）⑥v=v+a t'摩擦力由速度公式得0................... （1 分）⑦由牛顿第二定律可知F f =ma ⑧感应电动势感应电流..................... （2 分）安培力..................... （1 分）联立⑥⑦⑧代入Ff=μmg解得μ= 0.2 ................... （1 分）⑨（3）由t'= 0.6 s =t 可知，传送带上始终只有一个产品正在加速，所以传送带驱动电动机增加的功率∆P =Ffv.................. （3 分）⑦此时牵引力..................... （2 分）联立⑥⑦解得∆P = 9 W................... （2 分）（2）当金属棒的速度大小为时v，感应电动势为..................... （1 分）(4)两种情况，若是两个产品正在加速∆P =F fv24W; ................... （2 分）∆P =F v由可知，此时电容器极板上的电荷量为..................... （1 分）若是一个产品正在加速f=12W ................... （2 分）设在一小段时间内，可认为导体棒做匀变速运动，速度增加量为，电容器极板上增加的电荷量为根据电流的定义式..................... （2 分）对导体棒受力分析，根据牛顿第二定律，有..................... （1 分）将代入上式可得：可知导体棒的加速度与时间无关，即导体棒做匀加速运动V=0.5t ........... （1 分）25．（1）产品在平台和传送带上不积压、不断流，则产品在平台上运动l 与在传送带上最终运动3l 距离所用时间相等设为t ，则时间足够长，两个产品加速和一个产品加速的时间近似相等，等效的∆P =（24+12）/2=18W ................... （2 分）33、选修题（共15 分）(1)答案：2.6×102 .....（2 分）8×10－10.....（2 分）(2)(11 分)以cmHg 为压强单位。
【高三数学试题精选】2018江西师大附中高考数学5月模拟试题理(含答案)
2018江西师大附中高考数学5月模拟试题理(含答案)
5 c 江西师大附中2018年高三5月模拟考试
理科数学试卷
命题人高三数学备组
一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
1．复数（是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限 B．第二象限 c．第三象限 D．第四象限
2．已知函数，则的值是（）
A．2 B．3 c．5 D．7
3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（）
线性相关系数为线性相关系数为
线性相关系数为线性相关系数为
A． B．
c． D．
4．已知三棱锥的主视图与俯视图如下图，俯视图是边长是2的正三角形，那么该三棱锥的左视图可能为（）
5．已知圆与轴的正半轴相交于点，两点在圆上，在第一象限，在第二象限，的横坐标分别为，则劣弧所对圆心角的余弦值为（）
A． B． c． D．
6．五位同学参加某作家的签字售书活动，则甲、乙都排在丙前面的方法有（）
A．20种 B．24种 c．40种 D．56种
7．已知动点满足，点，为坐标原点，，则实数的取值范。
江西师大附中2018年10月高三月考试卷(理科数学试卷含答案
AP mAB
2 AC 则，实数 m 的值为________________． 13
x a ，若存在两个不相等的实数 x1 , x2 ，使得 f ( x1 ) f ( x2 ) e （其中 e 为自 ln x
15．已知函数 f ( x)
然对数的底数） ，则实数 a 的取值范围为________________． 16．在锐角 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ， a c b
x
y x i ，则复数 z 在复平面内 1 i
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B （ ）
A． x | 0 x | 0 x 2
D．
3．已知向量 a 与 b 的夹角是
A． 2 B． 1 4．下列命题中的假 命题是（ ． A． x 0,3 2
6
3 3 x ln x x 在 x 1 处的切线的倾斜角是 （ ） 3 5 2 B． C． D． 6 3 3
6．函数 y 2 sin 2 x 的图像可能是（ ）
x
x 1 3 , ( x 2) 7．函数 f ( x) ，若 f (a) 1 ，则 a 的值是 （ ） 2 log3 ( x 1), ( x 2) A． 1 B． 1 或 2 C． 2 D． 1 或 2 2 8．已知函数 f ( x) sin 2 x 2sin x ，给出下列四个结论： （ ） 5 ] 上是减函数； ①函数 f ( x) 的最小正周期是 ； ②函数 f ( x) 在区间 [ , 8 8 ③函数 f ( x) 图像关于 ( , 0) 对称； 8 ④函数 f ( x) 的图像可由函数 y 2 sin 2 x 的图像向右平移 个单位，再向下平移 1 个单位得到． 8
江西师大附中高三年级三模数学(理)试卷.docx
江西师大附中高三年级三模数学（理）试卷命（审）题人：廖涂凡、张延良 2016.5第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1.已知集合{|4}A x y x ==-，{|1210}B x x =-≤-≤，则()R C A B =I ( )A.]21,0[B.),4(+∞C.]4,21(D.]4,1(2.已知z 是纯虚数，且3(2)1i z ai +=+（i 是虚数单位，a R ∈），则||a z +=( )A.1B.3C.2D.5 3.执行如图所示的程序框图，其输出结果是( ) A.61 B.62 C.63D.644.给出下列三个命题：①“若2230x x +-≠，则1x ≠”为假命题； ②若p ∧q 为假命题,则p ,q 均为假命题；③命题p ：,20x x R ∀∈>，则00:,20x p x R ⌝∃∈≤.其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a =+,72a =，则5a =( )A.12B.12-C.2D.2-6.设,a b R ∈，若:p a b <，11:0q b a<<，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0)ω>的最小正周期为π，(0)2f =，则( )A. ()f x 在(,)44ππ-单调递增B. ()f x 在(,)44ππ-单调递减C.()f x 在(0,)2π单调递增 D. ()f x 在(0,)2π单调递减8.若x 、y 满足约束条件22121x y x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩且向量(3,2)a =，(,)b x y =，则a b ⋅的取值范围是( )A.[54 ,4]B.[72 ,5]C.[54 ,5]D.[72,4]9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c （*,,,a b c d N ∈），则b da c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值，我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得π的近似分数为( )A.227B.7825C.6320D.1093510.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于( )cm 3.A.6+32π B. 623π+C. 4+32πD.4+23π11.已知焦点在x 轴上的椭圆方程为222141x y a a +=+，随着a 的增大该椭圆的形状( )A.越接近于圆B.越扁C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆12.已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2x f f x e x f x -=⋅+-⋅，0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是( ) A.(2)(2015)(2017)f g g ⋅< B.(2)(2015)(2017)f g g ⋅> C.(2015)(2)(2017)g f g <⋅ D.(2015)(2)(2017)g f g >⋅第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
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主标题副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，若，则复数A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，故选：C．根据复数的基本运算法则进行求解即可．本题主要考查复数的基本运算，比较基础．2.下列推理正确的是A. 把与类比，则有：B. 把与类比，则有：C. 把与类比，则有D. 把与类比，则有：【答案】D【解析】解：根据对数运算法则，可得A不正确；利用和角的正弦公式，可得B不正确；利用乘方运算，可得C不正确；利用乘法的结合率，即可知D正确．故选：D．利用对数运算法则、和角的正弦公式、乘方运算、乘法的结合率，即可得出结论．本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是A. 假设三内角都不大于60度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选：B．一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．4.若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，那么这个演绎推理A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 没有错误【答案】A【解析】解：任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以，其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的，因为时，，此时不成立，所以大前提是错误的，致使得出的结论错误．故选：A．分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，可以得出正确的答案．本题考查了演绎推理的应用问题，解题时应根据演绎推理的三段论是什么，进行逐一判定，得出正确的结论，是基础题5.在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：直线，化为，．圆化为．圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长．故选：D．把极坐标方程化为直角坐标方程，利用弦长公式、点到直线的距离公式即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．6.若，，则P，Q的大小关系为A. B. C. D. 由a的取值确定【答案】C【解析】解：，．．．故选：C．平方作差即可比较出大小．本题考查了平方作差可比较两个数的大小方法，属于基础题．7.，则A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】D【解析】解：，可得，解得，则．故选：D．利用定积分的运算法则求出a，然后求解表达式的值即可．本题考查定积分的运算法则以及对数运算法则的应用，是基本知识的考查．8.设，i是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由，得，．而由，得或2．所以“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A．由能得到复数复数为纯虚数为纯数，反之，复数为纯虚数得到或1，则答案可求．本题考查了复数的基本概念，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，复数为纯虚数的充要条件是不等于0且虚部不等于0，是基础题．9.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为，，1，，传输信息为，其中，，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是A. 11010B. 01100C. 10111D. 00011【答案】C【解析】解：A选项原信息为101，则，，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则，，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为011，则，，所以传输信息为10110，C选项错误；D选项原信息为001，则，，所以传输信息为00011，D选项正确；故选：C．首先理解的运算规则，然后各选项依次分析即可．本题考查对新规则的阅读理解能力．10.用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由所证明的等式，当时，右边故选：D．当时，右边，由此可得结论．本题考查数学归纳法，考查归纳假设，属于基础题．11.平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，在一个正四面体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到，，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到，把数据代入得到，棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，故选：B．由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．本题是基础题，考查类比推理及正四面体的体积的计算，转化思想的应用，考查空间想象能力，计算能力．12.理曲线C：在点处的切线为l，则由曲线C、直线l及x轴围成的封闭图形的面积是A. 1B.C.D.【答案】B【解析】解：曲线C：的导数为，在点处的切线斜率为3，切点为，则切线的方程为，与x轴的交点为，所以由曲线C、直线l及x轴围成的封闭图形的面积是．故选：B．确定被积函数与被积区间，求出原函数，即可得到结论．本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数，且有，则______．【答案】【解析】解：由，得，，解得，．又．故答案为：．把已知等式变形，利用复数相等的条件列式求得x，y的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．14.已知，不等式，，，，可推广为，则a等于______．【答案】【解析】解：由已知中，时，不等式：，，，，不等式左边第项的分子为，即，故答案为：由已知，不等式，，，，可得不等式左边第项的分子为，进而得到答案．归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想．15.曲线的参数方程是为参数，它的普通方程是______．【答案】【解析】解：根据题意，曲线的参数方程是为参数，则有，则其普通方程为：．故答案为：．根据题意，由曲线的参数方程可得，化简变形即可得答案．本题考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题．16.如下面数表为一组等式：某学生猜测，若该学生回答正确，则______．【答案】8【解析】解：若学生回答正确，则，，，即，得，，，则，故答案为：8．根据结论正确，分别令，2，3，建立方程组，利用待定系数法进行求解即可．本题主要考查归纳推理的应用，利用待定系数法是解决本题的关键比较基础．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是是参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程Ⅰ判断直线l与曲线C的位置关系；Ⅱ设M为曲线C上任意一点，求的取值范围．【答案】解：Ⅰ由，消去t得：．由，得，即，，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线的距离．直线l与曲线C相离；Ⅱ由M为曲线C上任意一点，可设，则，的取值范围是．【解析】Ⅰ由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；Ⅱ设出曲线C上的点的参数方程，由，利用两角和的正弦化简后可得的取值范围．本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了由点到直线的距离判断直线和圆的位置关系，训练了圆的参数方程的应用，是基础题．18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且已知，，求：和c的值；的值．【答案】解：，，，可得，即为；，即为，解得，或，，由，可得，；由余弦定理可得，，，则．【解析】运用向量的数量积的定义和余弦定理，解方程即可得到所求a，c；由余弦定理可得，求得，，运用两角差的余弦公式，计算即可得到所求值．本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义，以及三角函数的恒等变换公式，考查运算能力，属于中档题．19.在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设．求a的值；求三棱锥的体积．【答案】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，0，，1，，0，，1，，异面直线与所成的角等于，，由，解得．在直三棱柱中，，平面，，，三棱锥的体积．【解析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出a．由平面，利用等体积法能求出三棱锥的体积．本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法和等体积法的合理运用．20.已知是公差为d的等差数列，，与的等差中项为n．求与d的值；设，求数列的前n项和．【答案】解：依题意，．由与的等差中项为n得，与的等差中项为1，与的等差中项为2．，，解得，．由得，．记，则．两式相减得，．数列的前n项和．．【解析】依题意，由与的等差中项为n得，与的等差中项为1，与的等差中项为可得，，解得，d．由得，利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知动点P到定点的距离和它到定直线的距离的比值为．Ⅰ求动点P的轨迹的方程；Ⅱ若过点F的直线与点P的轨迹相交于M，N两点N均在y轴右侧，点、，设A，B，M，N四点构成的四边形的面积为S，求S的取值范围．【答案】解：Ⅰ设动点，则，化简得．Ⅱ由Ⅰ，轨迹是以为焦点，离心率为的椭圆，如图，连接OM、ON，设直线MN方程为，点，，联立消去x，得，则，，，由于M，N均在y轴右侧，则，，且，则，方法一、，故面积函数在单调递减，所以所以面积S的取值范围是．方法二、，，则则，即面积S的取值范围是．【解析】设动点，利用两点之间的距离公式可得，化简即可得出．由Ⅰ，轨迹是以为焦点，离心率为的椭圆，如图，连接OM、ON，设直线MN方程为，点，，与椭圆方程联立消去x，得，利用根与系数的关系可得：，下面利用导数研究函数的单调性或变形利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知函数．讨论的单调性；若对任意恒成立，求实数a的取值范围为自然常数．【答案】解：Ⅰ，当时，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为；Ⅱ令，则，若，即，在上是增函数，，，无解．若，即，在上是减函数；在上是增函数，，即．，即，若，即，在上是减函数，，即，，综上所述，【解析】先求导，再分类讨论即可得到函数的单调性；令，从而求导，再由导数的正负讨论确定函数的单调性，从而求函数的最大值，从而化恒成立问题为最值问题即可．本题考查了导数与函数单调性，以及考查了恒成立问题及分类讨论的数学思想应用，属于中档题．第11页，共11页。