2016届北京市十一学校高三上学期12月月考数学(文科)
2016届北京市东城区高三上学期期中考试文科数学试卷及答案
东城区2016届高三上学期期中考试数学文试卷一、选择题（60分）1、若集合A ＝{－1,2}，B ＝{|0x x >}，则A B ＝A 、∅B 、{－1}C 、{2}D 、{－1,2}2、命题的否定是3、已知角α的边经过点P （－1,0），则cos α的值为A 、0B 、－1C D4、下列函数中，定义域与值域相同的是5、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3103,10a a ==，则S 7的值是A 、30B 、29C 、28D 、27 6、函数1()ln f x x x=-的零点个数为A 、0B 、1 B 、2 D 、3 7、三个数之间的大小关系是A 、c ＜a ＜bB 、c ＜b ＜aC 、a ＜b ＜cD 、b ＜c ＜a8、“αβ≠”是“sin sin αβ≠”的A 、充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9、函数f （x ）＝的图象可能是10、已知函数的最小正周期为π，为了得到函数和图象，只要将y ＝f （x ）的图象A 、向左平移8π个单位长度 B 、向右平移8π个单位长度 C 、向左平移4π个单位长度 D 、向右平移4π个单位长度11、已知函数的最大值2，则实数a 的取值范围是A 、（0］ B 、（0 C 、（0,1） D 、A 、（0，2）12、已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中P ，Q 分别是这段图象的最高点和最低点，M ，N 是图象与x 轴的交点，且∠PMQ ＝90°，则A 的值为A、1 BC D、2二、填空题（30分）13、若曲线f（x）＝在点（1，a）处的切线平行于x 轴，则a＝14、在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，15、已知4-，则316、已知函数f（x）＝为实数，若f（x）在x＝－1处取得极值，则a＝17、已知函数f（x）＝＝18、在数列{}n a中，－三、解答题（60分）19、（本小题共14分）设函数（I）求f（x）的单调递增区间；（II）求f（x）在区间上的最大值和最小值。
【全国百强校】北京市十一学校2016届高三上学期12月月考物理试题
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17．如图所示为一离子选择器。极板 A、B 间距为 d，用来研究粒子的种类及偏向角。在 A、B 间加电压，B 板电势高于 A 板电势，且 A、B 极板间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B1。P 为一内壁光滑、绝缘两 端开口的直细管， 右端的开口在半径为 R 的圆形磁场区域中心 O 点 （作为坐标原点） ， 此磁场方向垂直纸面向里， 磁感应强度为 B2（细管中不存在磁场） 。细管的中心轴所在的直线通过 S 粒子源，粒子源可发出电荷量为 q、质 量为 m、速度大小和方向都不同的粒子，当有粒子从圆形磁场区域射出时，其速度方向与 x 轴的夹角为偏向角。 不计粒子重力。 （1）若已知 A、B 间电压值为 U，求从磁场 B1 射出能射入 P 管的粒子速度 v 的大小； （2）若粒子能从圆形区域磁场 B2 射出，且其偏向角为 θ，求 A、B 间的电压值 U1； （3）粒子能从圆形区域磁场 B2 射出时，A、B 间的电压值 U2 应满足什么条件？
b
a E
10． 利用霍尔效应制作的霍尔元件， 广泛应用于测量和自动控制等领域。 如图是霍尔元件的工作原理示意图， 磁感应强度为 B 的匀强磁场垂直于霍尔元件的工作面向下， 通入图示方向的电流 I， CD 两侧面会形成电势差 UCD， 下列说法中正确的是 A．电势差 UCD 仅与材料有关 B．若霍尔元件的载流子是自由电子，则电势差 UCD<0 C．仅增大磁感应强度时，电势差 UCD 变大 D．在测定地球赤道上方的地磁场强弱时，元件的工作面应保持水平
W1 W 中 W1 与电压 U 2 中 W2 是一样的，都是电场力做的功 q q
3．1930 年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示。这台加速器由两个铜质 D 形盒 D1、 D2 构成，其间留有空隙，下列说法正确的是 A．离子由加速器的中心附近进入加速器 B．离子由加速器的边缘进入加速器 C．离子从磁场中获得能量 D．离子从电场中获得能量 4．如图所示，E 为内阻不能忽略的电池，R1、R2、R3 为定值电阻，S0、S 为开关， 与 分别为电压表和电 流表。初始时，S0 与 S 均闭合，现将 S 断开，则 A． 的读数变大， 的读数变小 B． 的读数变大， 的读数变大 C． 的读数变小， 的读数变小 D． 的读数变小， 的读数变大
2021届北京市十一学校高三12月月考数学试题(解析版)
2021届北京市十一学校高三12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2560A x x x =-->，{}2,B x x n n Z ==∈，则()RA B =（ ）A ．{2,3}B ．{2,4,6}C ．{0,2,4,6}D ．{2}【答案】C【分析】先通过解二次不等式求出集合A ，再求出集合A 的补集，然后再求交集运算. 【详解】集合{}()()2560,16,A x x x =-->=-∞-⋃+∞所以[]1,6RA =-所以(){}0,2,4,6RA B ⋂=故选：C2．已知i 为虚数单位，且i 3i z ⋅=+，则复数z 的共轭复数的实部为（ ） A ．1 B ．1-C ．3D ．3-【答案】A【分析】由复数除法求得复数z ，根据共轭复数的实部相等得结论． 【详解】由已知3(3)()13()i i i z i i i i ++-===-⨯-，实部为1，因此其共轭复数的实部也为1． 故选：A ．3．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．y x x =-C ．1y x=D ．2y x =-【答案】B【分析】根据函数奇偶性的定义和基本函数的单调性，对选项进行逐一判断即可得到答案.【详解】选项A ：函数1y x =+不是奇函数，故不正确.选项B ：设()f x x x =-，则()()f x x x f x -=-=-，所以y x x =-是奇函数，又()2200x x f x x x x x≥⎧-=-=⎨<⎩，当0x ≥时，()2f x x =-为减函数所以()f x 在[)0+，∞上是减函数，则()f x 在(]0-∞，也为减函数.又()0=0f ，所以()f x 在R 上为减函数，故正确. 选项C ：函数1y x=在定义域内不是减函数，故不正确. 选项D ：函数2y x =-不是奇函数且在定义域内不是减函数，故不正确. 故选：B4．函数()2233,2()log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()3f a =，则a 的值是（ ） A ．3或B．C ．3D ．以上都不对【答案】B【分析】利用分段函数以及指对方程求解a 的值即可．【详解】函数()2233,2()log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，f （a ）＝3， 当2a <时，23a -＝3，解得a ＝3，舍去当2a ≥时，()23log 1a -＝3，解得，a =±a =-a =故选：B ． 5．已知函数1()x f x e=，()0.52a f =，()0.20.3b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】B【分析】首先根据指数函数与对数函数的单调比较三个自变量的大小，最后根据函数1()x f x e=的单调性比较三个函数值的大小即可. 【详解】函数1()x f x e=，()0.52a f =，()0.20.3b f =，()0.3log 2c f = 根据指数函数和对数函数的单调性可得：0.50221>=，0.2000.30.31<<=，0.30.3log 2log 01<<，因为函数1()x f x e=在R 上单调递减，且0.50.20.3log 20.23<<，所以0.20.053.(log 2)(0.23)()f f f >>，即a b c <<. 故选：B【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6．已知直线20x y +-=截圆22220x y x y a +-++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ） A ．-8 B ．-6 C ．-5 D ．-4【答案】D【分析】求得圆心和半径，求出圆心到直线距离，表示出弦长即可求解. 【详解】圆22220x y x y a +-++=化为()()22112x y a -++=-，故该圆的圆心为()1,1-圆心到直线的距离d ==则弦长为4=，解得4a =-. 故选：D.7．设α、β为两个不重合的平面，则α//β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α、β垂直于同一平面 C ．α、β平行于同一条直线 D ．α内有两条相交直线与β平行【答案】D【分析】根据面面平行的判定和性质，结合定义法判断“α内有两条相交直线与β平行”与“α//β”是否互为充要条件，即可确定选项【详解】A 项：若无数条直线为无数条平行线，则无法得到α//β，A 错误； B 项：α、β垂直于同一平面，此时α、β可以相交，B 错误 C 项：α、β平行于同一条直线，此时α、β可以相交，C 错误D 项：由面面平行的判定定理可知，α内有两条相交直线与β平行是α//β的充分条件 由面面平行的性质可知，α内有两条相交直线与β平行是α//β的必要条件 故，α内有两条相交直线与β平行是α//β的充要条件，D 正确故选：D【点睛】本题考查了面面平行的判定和性质，并利用定义法判断是否互为充要条件 8．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S .若3a ，4a ，8a 成等比数列，则A ．10a d ≤，40dS ≤B ．10a d <，40dS <C ．10a d >，40dS <D ．10a d <，40dS >【答案】B【分析】首先根据3a ，4a ，8a 成等比数列，得到21503d a d -=<，再计算4dS 即可找到答案.【详解】由题知： 2438=a a a ，即2111(3)(2)(7)a d a d a d +=++.化简为：2135a d d =-，即21503d a d -=<.22224114352(4)46460233d d dS d a d a d d d ⨯-=+=+=⨯+=-<.故选：B【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的性质，同时考查了等差数列的前n 项和，属于中档题.9．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．10．在一个正方体1111ABCD A BC D -中， P 为正方形1111D C B A 四边上的动点， O 为底面正方形ABCD 的中心， ,M N 分别为,AB BC 中点，点 Q 为平面ABCD 内一点，线段 1D Q 与OP 互相平分，则满足 MQ MN λ=的实数λ的值有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【详解】因为线段D 1Q 与OP 互相平分， 所以四点O ，Q ，P ，D 1共面，且四边形OQPD 1为平行四边形．若P 在线段C 1D 1上时，Q 一定在线段ON 上运动，只有当P 为C 1D 1的中点时， Q 与点M 重合，此时λ＝1，符合题意．若P 在线段C 1B 1与线段B 1A 1上时，在平面ABCD 找不到符合条件Q ；在P 在线段D 1A 1上时，点Q 在直线OM 上运动， 只有当P 为线段D 1A 1的中点时，点Q 与点M 重合， 此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个 故选C.二、填空题11．5(23)x -展开式中3x 的系数为___________. 【答案】720【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r +1项，令x 的指数为3可求3x 的系数．【详解】5(23)x -的展开式的通项公式为：()()()5551552332rrrrr r r r T C x C x ---+=-=-由53r -=解得2r，则3x 的系数为()2325329810720C -⨯⨯=⨯⨯=.故答案为：72012．能够说明“若21sin cos cos 2ααβ+=，则4k παβπ+=+，k Z ∈”是假命题的一组α，β的值为___________. 【答案】,612ππαβ==-（答案不唯一）.【分析】利用二倍角公式化简可得sin 2cos 2sin 22παββ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即可取值. 【详解】由21sin cos cos 2ααβ+=可得111cos 2sin 2222βα++=， 即sin 2cos 2sin 22παββ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 令22,2323πππαβ=-=，此时满足条件，但,612ππαβ==-不满足4k παβπ+=+.故答案为：,612ππαβ==-（答案不唯一）.13．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，若4MN MF =，则直线l 的斜率为___________.【答案】±【分析】过,M N 作准线的垂线，垂足分别为,Q P ，在直角梯形PNMQ 中结合抛物线的定义可求得直线MN 的斜率．【详解】过,M N 作准线的垂线，垂足分别为,Q P ，如图，作MH NP ⊥于H ，四边形PNMQ 是直角梯形，设MF a =，则由4MN MF =得3NF a =，又MQ MF a ==，3NP NF a ==， 所以32NH a a a =-=，又34MN a a a =+=， 所以在直角三角形HNM 中，21cos 42a HNM a ∠==，60HNM ∠=︒，即直线MN 的倾斜角为60︒故答案为：±【点睛】方法点睛：本题考查抛物线的焦点弦性质．涉及到抛物线的焦点弦长问题，特别是弦两端点到焦点的距离关系问题可以过纺唋准线的垂线，构造直角梯形，利用抛物线的定义得出这个直角梯形中各边的关系，完成求解．14．下列关于曲线||||2C x y +=的说法，正确的有___________. ①曲线C 关于x 轴对称； ②曲线C 关于原点都对称；③曲线C 所围成的封闭图形的面积大于16；①曲线C 所围成的封闭图形内部(含边界)的整点(横纵坐标均为整数的点)个数是17. 【答案】①②④【分析】利用方程确定曲线关于坐标轴、原点的对称性，作出曲线对应的图形可判断出曲线C 所围成的封闭图形的面积有大小，曲线内部整点个数．【详解】由曲线方程，点(,)P x y 在曲线上，点(,)Q x y -也在曲线上，因此曲线关于x 轴对称，①正确；点(,)P x y 在曲线上时，(,)R x y --也在曲线上，因此曲线关于原点对称，②正确；0,0x y ≥≥时，曲线方程为2y x =C ，如图，四个顶点是(4,0),(4,0),(0,2),(0,2)A B C D --， 曲线在菱形ACBD 内部，而菱形的面积为184162⨯⨯=，因此曲线C 所围成的封闭图形的面积小于16，③错；由图形可知曲线C 所围成的封闭图形内部(含边界)的整点在y 轴右侧有(4,0),(3,1),(3,0),(3,1),(2,0),(1,0)-共6个，因此y 轴左侧也有6个，y 轴上有(0,2),(0,1),(0,0),(0,1),(0,2)--共5个，因此整点有17个．④正确．故答案为：①②④．【点睛】关键点点睛：本题考查方程表示的曲线，用方程研究曲线的性质．曲线C 的方程是0(),f x y =，如果满足(,)0f x y -=，则曲线关于y 轴对称，如果满足(,)0f x y -=，则曲线关于x 轴对称，如果满足(,)0f x y --=，则曲线关于原点对称，结合点的对称性可得曲线其他的对称性．作出曲线的图形可通过图形得出曲线的其他性质．三、双空题15．已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是___________；若该几何体的体积与某圆柱的体积相等，则圆柱表面积的最小值为___________.【答案】2 136π【分析】由三视图可得这个几何体为正四棱锥，其底面边长为3，高为2，可得其体积; 设与该几何体的体积相等的圆柱的底面半径为r ，高为h ,可得22h rπ=，该圆柱表面积为242S r rπ=+，求出其导数，得出单调区间，可得最小值. 【详解】由三视图还原几何体可得这个几何体为正四棱锥，如图P ABCD -， 根据三视图可得该正四棱锥的底面边长为3，高为2.所以其体积为()213223⨯⨯=设与该几何体的体积相等的圆柱的底面半径为r ，高为h 则其体积为22r h π=，即22h r π=该圆柱表面积为224222S r rh r rπππ=+=+ 则244S r r π'=-，由2440S r r π'=->得31r π> ，2440S r r π'=-<得310r π<< 所以242S r r π=+在310π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 上单调递减，在31π⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增. 所以当31r π=时，S 有最小值2133314261ππππ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ 故答案为： 2； 136π【点睛】关键点睛：本题考查利用三视图还原立体图形和求圆柱的表面的最小值问题，解答本题的关键是由圆柱与已知的正四棱锥的体积相等得到22h r π=，然后得到圆柱表面积为242S r rπ=+，求导得出单调区间，从而得出答案，属于中档题.四、解答题16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，2AC BC ==，22AB =14CC =，M 是棱1CC 上一点.（1）求证：BC AM ⊥；（2）若M ，N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：//CN 平面1AB M ： （3）若132C M =，求二面角1A MB C --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4π【分析】（1）通过线面垂直性质得1CC BC ⊥，通过勾股定理得AC BC ⊥即可证明；（2）连接1A B ，交1AB 于O ，连接,OM ON ，通过证明四边形CMON 为平行四边形得//CN OM 可证；（3）以C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面1AB M 和平面1MB C 的法向量，利用向量关系可求解. 【详解】（1）1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1CC BC ∴⊥，2AC BC ==，22AB =222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥，1AC CC C =，BC ∴⊥平面11ACC A ，AM ⊂平面11ACC A ，∴BC AM ⊥；（2）连接1A B ，交1AB 于O ，连接,OM ON ， ,O N 为1,AB AB 中点，111//,2ON BB ON BB ∴=， M 是1CC 中点，111//,2CM BB CM BB ∴=，//,CM ON CM ON ∴=， ∴四边形CMON 为平行四边形，//CN OM ∴，OM ⊂平面1AB M ，CN ⊄平面1AB M ，//CN ∴平面1AB M ；（3）以C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()152,0,0,0,0,,0,2,4,0,0,02A M B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1532,0,,0,2,22AM B M ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设平面1AB M 的法向量为(),,n x y z =，则100n AM n B M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即52023202x z y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，令5x =，则3,4y z =-=，即()5,3,4n =-，又平面1MB C 的一个法向量为()2,0,0CA =， 则102cos ,2502n CA n CA n CA⋅<>===⨯⋅, 由图可知二面角1A MB C --为锐角，故二面角1A MB C --的大小为4π.【点睛】思路点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.17．2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数; (Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明)【答案】(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===. 故分布列为：X 0 1 2p514 1528 328()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥.故m 的最小值为4.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．在ABC 中，角A ､B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b =4c =.在下列三个条件中选择能使三角形存在的一个条件，补充在下面的问题中，并求解. （1）请写出你的选择，并求出a ；（2）在（1）的结论下，已知点D 在线段BC 上，且34ADB π∠=，求AD 长. ①cos 0b A c -=；②cos cos a B b A =；③cos 0a C b +=. (若选择多个条件分别作答，按第一个计分.)【答案】（1）选择③，a =（2【分析】（1）选择①，可得cos 1A >，不符合；选择②，由余弦定理得出a b =，可得a b c +<，不符合；选择③，由余弦定理可求得a ；（2）由余弦定理求得cos C ，即得sin C ，再由正弦定理即可求解.【详解】（1）若选择①，由cos 0b A c -=得cos 1cA b==>，不符合题意； 若选择②，cos cos a B b A =，由余弦定理得22222222a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，化简得 a b =，则4a b +=<，不符合题意；若选择③，cos 0a C b +=，由余弦定理得22202a b c a b ab+-⋅+=，即22230a b c +-=，b =4c =，则可得a =；（2）由余弦定理222cos25b a c C ab +-===，sin C ∴== 34ADB π∠=，4ADC π∴∠=， 则在ADC 中，由正弦定理可得sin sin AD ACC ADC=∠，sinsinAC CADADC⋅∴===∠【点睛】关键点睛：解决本题得关键是正确利用正余弦定理解三角形.19．已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为(0,1)，离心率为e=F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于A，B两点.（1）求椭圆的方程：（2）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点的坐标：若不存在，说明理由.【答案】（1）2215xy+=（2）在x轴上存在一个定点5,02N⎛⎫⎪⎝⎭满足条件,理由见解析. 【分析】(1)由题意1b=，由222415bea=-=，可得2a，从而可得答案.(2)根据题意设直线l的方程为()2y k x=-，与椭圆方程联立，得出韦达定理，由题意得出直线BC的方程，令0y=，得出x的表达式，将韦达定理代入可得答案.【详解】（1）椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆的方程为22221(0)x ya ba b+=>>由一个顶点为(0,1)，则1b=由22222222415c a b bea a a-===-=，所以222115ba a==，即25a=所以椭圆的方程为：2215xy+=（2）在x轴上存在一个定点5,02N⎛⎫⎪⎝⎭满足条件,理由如下.()2,0F,由题意直线l的斜率存在且不为0，设其方程为()2y k x=-设()()1122,,,A x yB x y，则()11,C x y-，则12x x≠由()22215y k xxy⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，可得()222251202050k x k x k+-+-=所以2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++ 所以2121BC y y k x x +=-,则直线BC 的方程为：()211121y y y y x x x x ++=-- 令0y =，可得()121122112121y x x y x y x x x y y y y -+=+=++由A B ，在直线()2y k x =-上，则()112y k x =-，()222y k x =-所以()()()()21121212122121211222224x k x x k x kx x k x x y x y x x y y y y k x x k -+--++===+++- 222222205202210551512042451k k k k k k k k k k k k -⨯--++===-⨯-+ 所以点5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线BC 上，即在x 轴上存在一个定点N 5,02⎛⎫⎪⎝⎭，使得C ，B ，N 三点共线【点睛】关键点睛：本题考查根据离心率求椭圆方程和直线过定点问题，解答本题的关键是直线l 的方程为()2y k x =-，与椭圆方程联立得出2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++，得出直线BC 的方程，令0y =，得出122121y x y x x y y +=+，将韦达定理代入，属于难题.20．设函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中a R ∈. （1）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处切线的倾斜角为4π，求a 的值： （2）讨论函数()f x 的单调性：（3）已知导函数()'f x 在区间(1,)e 上存在零点，证明：当(1,)x e ∈时，2()f x e >-. 【答案】（1）2a =；（2）0a 时，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，02a <<时，()f x 在(0,)2a 递增，在(2a，1)递减，在(1,)+∞递增，2a =时，()f x 在(0,)+∞递增，2a >时，()f x 在(0,1)递增，在(1,)2a 递减，在(2a，)+∞递增；（3）证明见解析．【分析】（1）求出函数在2x =处的导数f '（2）1=，解得2a =；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（3）根据导函数在(1,)e 上存在零点，则()0f x '=在(1,)e 上有解，则有12ae <<，即22a e <<，得到函数()f x 的最小值，构造函数2()ln (1ln 2)4xg x x x x =--+，22x e <<，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．【详解】（1）解：根据条件()2(2)af x x a x'=+-+， 则当2x =时，f '（2）4(2)2122a aa =+-+=-+=，解得2a =； （2）解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， (2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=+-+=， ①0a 时，20x a ->，令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<，解得：01x <<， 故()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，②02a <<时，令()0f x '>，解得：1x >或02a x <<，令()0f x '<，解得：12ax <<，故()f x 在(0,)2a 递增，在(2a，1)递减，在(1,)+∞递增，③2a =时，()0f x '，()f x 在(0,)+∞递增， ④2a >时，令()0f x '>，解得：2a x >或01x <<，令()0f x '<，解得：12ax <<，故()f x 在(0,1)递增，在(1,)2a 递减，在(2a，)+∞递增；综上：0a 时，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，02a <<时，()f x 在(0,)2a 递增，在(2a，1)递减，在(1,)+∞递增，2a =时，()f x 在(0,)+∞递增，2a >时，()f x 在(0,1)递增，在(1,)2a 递减，在(2a，)+∞递增；（3）证明：因为(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=+-+=， 又因为导函数()f x '在(1,)e 上存在零点， 所以()0f x '=在(1,)e 上有解，则有12ae <<，即22a e <<，且当12ax <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2a x e <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以22()()ln (2)ln (1ln2)22424a a a a a f x f a a a a a =+-+=--+，设2()ln (1ln 2)4x g x x x x =--+，22x e <<，则()ln 1(1ln2)ln ln222x xg x x x '=+--+=--， 则11()02g x x ''=-<，所以()g x '在(2,2)e 上单调递减，'()(2)10g x g '<=-< 所以()g x 在(2,2)e 上单调递减，则22(2)2ln22(1ln2)g e e e e e e g =--+=-<（2）， 所以2()g x e >-，则根据不等式的传递性可得，当(1,)x e ∈时，2()f x e >-．【点睛】方法点睛：在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导”，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. “再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径.二次求导的一般解题步骤为：设()()g x f x '=，再求()'g x ，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()'f x 的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.21．设正整数数列{}n a 满足1,23,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数.(1)若51a =，请写出所有可能的1a 的取值； (2)求证：{}n a 中一定有一项的值为1或3；(3)若正整数m 满足当1a m =时，{}n a 中存在一项值为1，则称m 为“归一数”，是否存在正整数m ，使得m 与1m +都不是“归一数”？若存在，请求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a 可能取得值为：2，5，16，（2）证明见解析，（3）不存在。
北京市十一学校2011届高三12月月考数学试卷(理科)
北京市十一学校2011届高三12月月考数学试卷（理5—16班）命题人：贺思轩 2010．12．2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
请将答案直接填在答题纸对应题号后的空格内1、设全集U=R ，集合}02|{2<-=x x x A ，103x B x x ⎧-⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则集合A ðU B=（ ）A ．}10|{<<x xB ．}10|{≤<x xC ．}20|{<<x xD ．}1|{≤x x2、等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，若205=S ，则=++432a a a （ ） A ． 9 B ． 12 C ． 15 D ． 183、在ABC ∆中，如果sin A C =，30B=，那么角A 等于 （ ） A ．30B ．45C ．60D ．1204、若向量a ，b 满足||||1a b ==，且a ·b +b ·b =23，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5、一组合体三视图如右，正视图中正方形 边长为2，俯视图为正三角形及内切圆， 则该组合体体积为（ ） A ．B ．43π CD ．43π6、已知直线a 、b 和平面α、β，下面命题中的假命题是（ ）A ．若//a β，//αβ，a α⊄，则//a αB ．若//a β，//b α，//αβ，则//a bC ．若a α⊥，//b β，//αβ，则a b ⊥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥ 7、若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F 点”，下列曲线中存在“F 点”的是（ ） A ． 122=-y xB ．1242522=+y x C ．11522=-y x D ．1151622=+y x 8、给出如下四个命题：①四个非零实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的充要条件是ad bc =；②设a ，b R ∈，且0ab ≠，若1a b <，则1ba>；③若()2log f x x =，则()f x 是偶函数；④若直线y x a =+与曲线2194x x y ⋅-=有两个交点，则a =错误命题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案直接填在答题纸对应题号后的横线上。
2023届北京市十一学校高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2023届北京市十一学校高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{3,10},02xA yy x x B x x ⎧⎫==-<<=≥⎨⎬+⎩⎭∣，则UA B 等于（ ）A ．()2,0-B ．[)2,0-C ．()3,2--D ．(]3,2--【答案】B【分析】分别求出集合,A B ，再根据补集和交集的定义即可得出答案.【详解】解：(){3,10}3,0A yy x x ==-<<=-∣， 由02xx ≥+，得()2020x x x ⎧+≥⎨+≠⎩，解得0x ≥或<2x -， 所以()[)0,20,2xB xx ∞∞⎧⎫=≥=--⋃+⎨⎬+⎩⎭，则[)2,0U B =-， 所以[)2,0UAB -=.故选：B.2．已知a b c d ，，，为实数，a b >且c d >，则下列不等式一定成立的是（ ）． A ． ac bd > B ． a c b d ->- C ． a d b c ->-D ． 11a b<【答案】C【分析】给实数a b c d ，，，在其取值范围内任取值2a =，2b =-，1c =，4d =-，代入各个选项进行验证，A 、B 、D 都不成立，由此可得选项. 【详解】令2a =，2b =-，1c =，4d =-， 选项A ，2ac =，8bd =， ac bd <， A 错误； 选项B ，1a c -=，2b d -=， a c b d -<-，B 错误；选项C ，a b >，c d >， d c ∴->-，根据不等式的加法性质a d b c ->-，C 正确.； 选项D ，112a =，112b =-，11a b>，D 错误. 故选：C ．【点睛】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法． 3．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥C ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥D ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥ 【答案】D【解析】由线面平行的性质和面面平行的判定可判断选项A ；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质可判断选项B ；由面面垂直的性质定理和线面位置关系可判断选项C ；由线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断选项D ；【详解】对于选项A ：若//l α，//l β，则//αβ或α与β相交，故选项A 不正确； 对于选项B ：若αβ⊥，l α⊥，则//l β或l β⊂，故选项B 不正确；对于选项C ：若αβ⊥，//l α，则//l β或l β⊂或l 与β相交，故选项C 不正确； 对于选项D ：若//l α，由线面平行的性质定理可得过l 的平面γ，设m γα=，则//m l ，所以m β⊥，再由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故选项D 正确； 故选：D 4．函数()3xxf x x =⋅的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】化简函数解析式，由此可得出合适的选项.【详解】函数()3x x f x x =⋅的定义域为{}0x x ≠，且()1,0331,03xx xx x f x x x ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎪⎝⎭==⎨⋅⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩， 因此，函数()3xxf x x =⋅的图象为选项D 中的图象.故选：D.5．已知抛物线C ：2=12y x 的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，过A 点作准线的垂线交准线于B ，若2π3FAB ∠=，则BF =（ ） A ．23 B ．43 C ．433D ．833【答案】B【分析】结合图形，利用抛物线的定义，直角三角形的性质进行求解.【详解】因为AB l ⊥，根据抛物线定义有：AF AB =， 设l 与x 轴的交点为D ，因为2π3FAB ∠=，所以π6BFD ∠=. 因为6DF p ==，所以6==43cos30BF ︒故A ，C ，D 错误. 故选：B.6．已知函数()()22cos 1f x x θ=+-，则“()Z 4k k πθπ=+∈”是“()f x 为奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用二倍角的余弦公式以及已知条件求出θ，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为()()()22cos 1cos 22f x x x θθ=+-=+，若函数()f x 为奇函数，则()2Z 2k k πθπ=+∈，解得()Z 42k k ππθ=+∈，因为,Z 42k k ππθθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ ,Z 4k k πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭， 因此，“()Z 4k k πθπ=+∈”是“()f x 为奇函数”的充分而不必要条件.故选：A.7．《周髀算经》中有这们一个问题：从冬至日起，依次有小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至､立春､春分日影长之和为31.5尺，谷雨日影长为5.5尺，则这十二个节气日影长之和为（ ）A ．80尺B ．96尺C ．162尺D ．228尺【答案】B【分析】设十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ，公差为d ，把已知用数列语言描述后求解可得．【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ，公差为d ， 由题意可得14731.5a a a ++=，即4331.5a =，解得410.5a =， 因为谷雨日影长为5.5，即9 5.5a =， 所以()15.510.515d =-=-， 所以110.5313.5a =+=， 所以()1212111213.51962S ⨯=⨯+⨯-=. 故选：B.8．已知a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=，则,a b a -=（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】B【分析】先根据已知条件求出()a b a ⋅-和b a -，然后利用向量的夹角公式可求出结果 【详解】因为a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=， 所以()2211a b a a b a ⋅-=⋅-=-=，222()252b a b a b a b a -=-=-⋅+=-=所以()1cos ,22a b a a b a a b a⋅--===-， 因为[],0,πa b a -∈， 所以π,4a b a -=， 故选：B9．设,m n ∈R ，若直线()()1120m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A ．(,2-∞-B ．)2∞⎡++⎣C ．2⎡-+⎣D ．[(),22∞∞--⋃++【答案】D【分析】利用直线与圆相切的性质可得m ，n 的关系式，再借助均值不等式求解能求出m n +的取值范围．【详解】,m n ∈R ,直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切， 圆22(1)(1)1x y -+-=的圆心(1,1)，半径1r =，1=，整理得()1mn m n =++，2()2m n mn +， 2()()12m n m n +∴++，2()4()40m n m n ∴+-+-， 解得222m n +-或222m n ++，m n ∴+的取值范围是[(),22∞∞--⋃++故选：D10．已知点()2,0P 和圆22:36O x y +=上两个不同的点,M N ，满足90,MPN Q ∠=是弦MN 的中点，给出下列三个结论： ①MP 的最小值是4； ②点Q 的轨迹是一个圆；③若点()5,3A ，点()5,5B ，则存在点Q ，使得90AQB ∠=；其中所有正确结论的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】①设()6cos ,6sin M θθ，再根据两点的距离公式进行求解即可；②设出(),x y ，找到等量关系，建立方程，求出点Q 的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点Q . 【详解】解：点M 在圆22:36O x y +=上，设()6cos ,6sin M θθ，则||MP ==当cos 1θ=时，||MP 取得最小值，最小值为4，①正确； 设点Q (),x y ，则由题意得：2222PQ QM OM OQ ==-，则()()2222236x y x y -+=-+，整理得：()22117x y -+=，所以点Q 的轨迹是一个圆，②正确；以AB 为直径的圆，圆心为()5,4，半径为1，方程为：()()22541x y -+-=，下面判断此圆与点Q 的轨迹方程()22117x y -+=是否有交点，1=，两圆相离，故不存在点Q ，使得90AQB ∠=︒，③错误， 所以正确的个数为2个. 故选：C.二、填空题11．在复平面内，复数21iz =+，则z 的共轭复数的虚部是__________． 【答案】1【分析】由复数除法化简成标准形式，再求出共轭复数，即可求虚部. 【详解】()()()21i 1i 1i 1i z -==-+-，则1i z =+，故虚部是1.故答案为：112．能说明“设数列{}n a 的前n 项和n S ，对于任意的*N n ∈，若1n n a a +>，则1n n S S +>”为假命题的一个等比数列是__________．（写出数列的通项公式）【答案】12n na =-（答案不唯一） 【分析】根据数列的单调性结合{}n a 的符号可得出结果. 【详解】取12n n a =-，则1111110222n n n n n a a +++-=-+=>，则1n n a a +>， 但110n n n S S a ++-=<，故12n na =-满足题意. 故答案为：12n na =-.（答案不唯一） 13．若函数25,1()2,1x a x f x x ax x ⎧++≥=⎨-+<⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[1,7]【分析】根据题意，分段函数在R 上单调递增，则每一段函数在相应的区间上必须单调递增，再结合分段函数在1x =处需满足的条件，列出不等式组即可得到答案．【详解】函数25,1()2,1x a x f x x ax x ⎧++≥=⎨-+<⎩在R 上单调递增，当1x ≥时，()||5f x x a =++单调递增，故0x a +≥恒成立，解得1a ≥-，此时()5f x x a =++； 当1x <时，2()2f x x ax =-+单调递增，故212aa -=≥-，解得1a ≥， 要使()f x 在R 上单调递增，需满足111512a a a a ≥-⎧⎪≥⎨⎪++≥-+⎩，解得17a ≤≤，即a 的取值范围是[1,7]．故答案为：[1,7]．14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B A D 的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形； ②直线11B D 到平面CMN 的距离是22； ③存在点P ，使得1190B PD ∠=；④1PDD △面积的最小值是455． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④【分析】对于①，直线MN 与1111,C B C D 的延长线分别交于11,M N ,连接11,CM CN 分别交1111,B B D D 于22,M N ,连接22,MM NN 即可解决；对于②等体积法11--=B CMN C B MN V V 解决即可；对于③④，建立空间直角坐标系，设,01PC MC λλ=≤≤，得(2,22,2)--P λλλ即可.【详解】对于①，如图直线MN 与1111,C B C D 的延长线分别交于11,M N ,连接11,CM CN 分别交1111,B B D D 于22,M N ,连接22,MM NN ，则五边形22MM CNN 即为所求的截面图形，故①正确；对于②，由题知11//MN B D ，MN ⊂平面CMN ，11B D ⊄平面CMN ， 所以11//B D 平面CMN ，所以点1B 到平面CMN 的距离即为直线11B D 到平面CMN 的距离，设点1B 到平面CMN 的距离为h ，由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2可得，3,2CM CN MN ===22121723()22∆=-CMN S 所以111171733B CMN CMNV Sh h -=⋅==，111111123323C B MN B MN V SCC -=⋅=⨯⨯=， 所以由11--=B CMN C B MN V V ，可得21717h =，所以直线11B D 到平面CMN 的距离是21717，故②错误； 对于③，如图建立空间直角坐标系，则11(2,0,2),(0,2,2),(2,2,0),(1,0,2)B D C M ， 设,01PC MC λλ=≤≤， 所以(1,2,2)==-PC MC λλ，又因为11(2,0,2),(0,2,2),(2,2,0),(1,0,2)B D C M ， 所以(2,22,2)--P λλλ，所以11(,22,22),(2,2,22)=--=--PB PD λλλλλλ， 假设存在点P 使得1190︒∠=B PD ，所以211(2)2(22)(22)0⋅=-+-+-=PB PD λλλλλ， 整理得291440λλ-+=， 所以7131λ+=>（舍去），或713λ-= 所以存在点P 使得1190︒∠=B PD ，故③正确； 对于④，由③知(2,22,2)--P λλλ，所以点(2,22,2)--P λλλ在1DD 的射影为(0,2,2)λ， 所以点(2,22,2)--P λλλ到1DD 的距离为2222216(2)(2)5445()55=-+--+-+d λλλλλ当2=5λ时，min d =所以1PDD △面积的最小值是122⨯=④正确； 故答案为：①③④三、双空题15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>C 的焦点到其渐近线的距离为5，则=a __________，渐近线方程为__________．【答案】52##2.5 2y x =± 【分析】利用点到直线的距离公式可求得b 的值，利用已知条件可得出关于a 、c 的值，解出这两个量的值，即可得出双曲线C 的渐近线方程. 【详解】双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=， 双曲线C5b ==，由题意可得5c a b ⎧=⎪⎨⎪==⎩，解得52a c ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±. 故答案为：52；2y x =±.四、解答题16．ABCππcos 0,6,36ABCB B a S⎛⎫⎛⎫-++=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求B ∠；(2)记AC 边上的中线为BD ．求AC 和BD 的长度． 【答案】(1)2π3(2)14,AC BD =【分析】（1ππcos 036B B ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得B .（2）利用三角形的面积公式求得c ，利用余弦定理求得b 也即求得AC ，利用向量运算求得BD .【详解】（1ππcos 036B B ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππcos 0266B B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，πππcos 2sin 0663B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由于ππ4π333B <+<，所以π2ππ,33B B +==.（2）由三角形的面积公式得11sin 61022ac B c c =⨯⨯==，由余弦定理得14AC b ===.由()12BD BA BC =+两边平方并化简得： 2113610026101942BD ⎡⎤⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以BD =17．已知函数()()3221123R 32f x x ax a x a =-+++∈．(1)若=1x -为函数()f x 的极值点，求实数a 的值；(2)()f x 的单调增区间（不含端点）内有且只有两个整数时，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1a =或12a =-；(2)112a <≤或112a -≤<-．【分析】（1）求出导函数()f x '，由(1)0f '-=求得a 值，并验证=1x -是极值点即可得；（2）由（1）得()f x 的增区间是(,2)a a -(0)a >或(2),a a -(0)a <，由0在增区间内，因此可得增区间内还有一个整数1或1-，分类讨论可得a 的范围．【详解】（1）22()2f x x ax a '=-++，由题意2(1)120f a a '-=--+=，1a =或12a =-，()()(2)f x x a x a '=-+-，0a ≠时，()f x '在x a =-和2x a =两侧符号相反，x a =-与2x a =是()f x 的极值点，因此1a =或12a =-符合题意．（2）由（1）知0a >时，2a x a -<<时，()0f x '>，()f x 递增，a<0时，2a x a <<-时，()0f x '>，()f x 递增，显然0x =在()f x 的增区间内，()f x 的单调增区间（不含端点）内有且只有两个整数时，由于2a a >-， 因此1122a a -≥-⎧⎨<≤⎩或2211a a -≤<-⎧⎨-≤⎩，解得112a <≤或112a -≤<-．18．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD E 为棱PB 中点，2,3PA AD CD BC ====，23PC =，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知． 条件①：5AB =； 条件②：BC平面PAD ．(1).求证：BC CD ⊥；(2).求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析. 2【分析】连接AC ，由题目条件可推得ADC △为等腰直角三角形，且π4ACD ∠=，π2ADC ∠=.对于（1），若选条件①，证明π4ACB ∠=即可.若选条件②，证明BC AD ∥即可. 对于（2），建立以A 为原点的空间直角坐标系.若选条件①，由题得AE ，平面PCD 法向量对应坐标，后可得答案.若选条件②，由题目条件得5AB =AE ，平面PCD 法向量对应坐标，后可得答案 【详解】（1）如图，连接AC ，因PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则PA AC ⊥.又2PC PA ==，则AC =注意到2AD DC ==，则ADC △为等腰直角三角形，其中π4ACD ∠=，π2ADC ∠=. 若选条件①，由余弦定理可得，22222cos AC BC AB ACB AC BC +-∠===⋅，结合ACB ∠为三角形内角，得4ACB π∠=，又π4ACD ∠=，则π2BCD ∠=，即BC CD ⊥.若选条件②，因BC平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD AD =，则BC AD ∥，又π2ADC ∠=，则π2BCD ∠=，即BC CD ⊥.（2）若选条件①，由（1）可得BCD ∠=π2ADC ∠=，则BC AD ∥， 故建立以A 为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系（x 轴所在直线与DC 平行） 又23，PA AD CD BC ====，AB =则()()()()000210220020,,，,,，,,，,,A B C D -，()1002112,,，,,P E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则1112,,AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,2DP =-，()2,0,0DC =.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则0220200n DP z y x n DC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩. 取()0,1,1n =，又设AE 与平面PCD 所成角为θ，则3sin cos ,n AE θnAE n AE⋅====⋅. 即直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为6若选条件②，由（1）可得BC AD ∥，故建立以A 为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系（x 轴所在直线与DC 平行） 因π2BCD ∠=，则4ACBπ∠=， 则由余弦定理可得222π2cos4AB AC CB AC CB =+-⋅⋅AB ⇒=又23，PA AD CD BC ====，则()()()()000210220020,,，,,，,,，,,A B C D -，()1002112,,，,,P E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则1112,,AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,2DP =-，()2,0,0DC =.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则0220200n DP z y x n DC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩. 取()0,1,1n =，又设AE 与平面PCD 所成角为θ，则1223622sin cos ,n AE θn AE n AE⋅====⋅⋅. 即直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为26.19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>3,A B分别为椭圆E 的上、下顶点，且2AB =.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于,M N （不与点,A B 重合）两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，判断直线l 是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 【答案】(1)2214x y +=(2)直线l 经过定点(1,1)--．【分析】（1）根据离心率和2AB =，222a b c =+求出2a =，1b =，从而求出椭圆方程；（2）先考虑直线斜率存在时，设直线:l y kx t =+，(1t ≠±)，联立后用韦达定理，利用题干条件列出方程，求出1t k =-，从而求出直线过的定点，再考虑斜率不存在时是否满足，最终求出答案.【详解】（1c a =因为,A B 为椭圆的上、下顶点，且2AB =，所以22b = 即1b = ， 又222a b c =+ 解得：2a =所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=（2）直线l 经过定点()1,1--，证明如下：①当直线l 的斜率存在时，设:l y kx t =+，(1t ≠±)， 由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)8440k x ktx t +++-=， 则 222(8)4(14)(44)0kt k t ∆=-+->得：2241t k <+ 设1122(,),(,)M x y N x y则122814kt x x k -+=+，21224414t x x k -=+，则1212121212112(1)()AM AN y y kx x t x x k k x x x x --+-++=+= 8(1)24(1)(1)k t t t -==+-所以1t k =-，经检验，可满足2241t k <+， 所以直线l 的方程为1y kx k =+-，即()11y k x =+-所以直线l 经过定点()11--，． ②当直线l 的斜率不存在时，设:l x m =，(,)M M m y ，(,)M N m y -， 则112M M AM AN y y k k m m---+=+= 解得1m =-，此时直线l 也经过定点()11--， 综上直线l 经过定点(1,1)--．【点睛】直线过定点问题，需要设出直线方程y kx b =+，与曲线联立方程后用韦达定理得到两根之和，两根之积，利用题干中条件得到等量关系，找到k 与b 的关系，或者求出b 的值，从而确定所过的定点，注意考虑直线斜率不存在的情况.20．已知函数()()e 1ln xf x m x =+，其中0m >，()f x '为()f x 的导函数.(1)当1m =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()e xf x h x ='，且()52h x 恒成立. ①求m 的取值范围；②设函数()f x 的零点为0x ，()f x '的极小值点为1x ，求证：01x x >. 【答案】(1)2e e y x =- (2)①3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;②详见解析【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解.（2）①先对函数()e (1ln )x f x m x =+求导，得到()e 1ln x m f x m x x '⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，推出()()1ln e x f x m h x m x x ==++'，求导，得到2(1)()(0)m x h x x x '-=>，解对应不等式，得到()h x 单调性，求出其最小值，再根据()52h x ≥恒成立，即可得出结果；②先设()()e 1ln x m g x f x m x x ⎛⎫'==++ ⎪⎝⎭，求导得22()e 1ln x m m g x m x x x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭. 设22()1ln (0)m mH x m x x x x=+-+>，对其求导，判定单调性，从而得到函数()g x 单调性，得到2x 是函数()g x 的极小值点，得到21x x =，再由①得32m =时，5()2h x ≥，推出所以ln m m x m x+≥，得到()1()0g x g x ≥>，得到函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.【详解】（1）1m =时，()()e 1ln xf x x =+,()1e 1ln x f x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭,()12e f '=,()1e f =，所以函数在1x =处的切线方程()e 2e 1y x -=-，即2e e y x =-.（2）①由题设知，()e 1ln (0)x m f x m x x x '⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，()()1ln e x f x m h x m x x ==++'，2(1)()(0)m x h x x x '-=>，由()0h x '>，得1x >，所以函数()h x 在区间(1,)+∞上是增函数； 由()0h x '>，得01x <<，所以函数()h x 在区间()0,1上是减函数. 故()h x 在1x =处取得最小值，且()11h m =+.由于5()2h x ≥恒成立，所以512m +≥，得32m ≥，所以m 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；②设()()e 1ln x m g x f x m x x ⎛⎫'==++ ⎪⎝⎭，则22()e 1ln x m m g x m x x x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭.设22()1ln (0)m mH x m x x x x=+-+>， 则()22332222()0m x x m m m H x x x x x -+'=-++=>， 故函数()H x 在区间(0,)+∞上单调递增，由（1）知，32m ≥， 所以(1)10H m =+>，11ln 21ln 02H m ⎛⎫=-≤- ⎪⎝⎭，故存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20H x =，所以，当20x x <<时，()0H x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当2x x >时，()0H x >，()0g x '>，函数()g x 单调递增. 所以2x 是函数()g x 的极小值点.因此21x x =，即11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由①可知，当32m =时，5()2h x ≥，即33521ln 22x x ++≥，整理得1ln 1x x+≥， 所以ln mm x m x+≥. 因此()11111()e 1ln e (1)0x x m g x g x m x m x ⎛⎫≥=++≥+> ⎪⎝⎭，即()0f x '>.所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 由于()10H x =，即121121ln 0m mm x x x +-+=， 即121121ln m m m x x x +=-， 所以()()()1111102112e 1ln e0x x x f x m x m f x x -=+=<=. 又函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以01x x >.21．对于无穷数列{}n c ，若对任意*,N m n ∈，且m n ≠，存在*N k ∈，使得m n k c c c +=成立，则称{}n c 为“G 数列”．(1)若数列{}n b 的通项公式为{}2,n n b n t =的通项公式为21n t n =+，分别判断{}{},n n b t 是否为“G 数列”，并说明理由；(2)已知数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列，*128,N a a =∈，且21a a >，求2a 所有可能的取值；②若对任意*n ∈N ，存在*N k ∈，使得k n a S =成立，求证：数列{}n a 为“G 数列”． 【答案】(1){}n b 是“G 数列”，{}n t 不是“G 数列”； (2)①9,10,12,16；②证明见解析．【分析】（1）根据“G 数列”的定义验证即可；（2）①设公差为d ，利用“G 数列”定义得d 是8的正约数：1，2，4，8，分别求出2a 并验证符合题意即得；②利用122k a a S a +==，求出公差d 与首项1a 的关系，然后表示出通项公式n a ，再根据“G 数列”定义证明．【详解】（1）2n b n =，对任意的,N*m n ∈，m n ≠，2m b m =，2n b n =，222()m n b b m n m n +=+=+， 取k m n =+，则m n k b b b +=，∴{}n b 是“G 数列”，21n t n =+，对任意的,N*m n ∈，m n ≠，21m t m =+，21n t n =+，2222(1)m n t t m n m n +=++=++为偶数，而21n t n =+为奇数，因此不存在N*k ∈ 使得m n k t t t +=，∴{}n t 不是“G 数列”； （2）数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列，*128,N a a =∈，且21a a >，210d a a =->，N*d ∈， 8(1)n a n d =+-，对任意的,N*m n ∈，m n ≠，8(1)m a m d =+-，8(1)n a n d =+-， 88(2)m n a a m n d +=+++-，由题意存在N*k ∈，使得m n k a a a +=，即88(2)8(1)m n d k d +++-=+-，显然k m n ≥+， 所以(2)8(1)m n d k d +-+=-，(1)8k m n d --+=，1k m n --+N*∈，所以d 是8的正约数，即1d =，2，4，8， 1d =时，29a =，7k m n =++； 2d =时，210a =，3k m n =++；4d =时，212a =，1k m n =++；8d =时，216a =，k m n =+．综上，2a 的可能值为9，10，12，16；②若对任意*n ∈N ，存在*N k ∈，使得k n a S =成立， 所以存在N*t ∈，122t a a S a +==，3t ≥，设{}n a 公差为d ，则112(1)a d a t d +=+-，1(2)a t d =-， (2)(1)(3)n a t d n d t n d =-+-=+-，对任意的,N*m n ∈，m n ≠，(3)m a t m d =+-，(3)n a t n d =+-，(26)m n a a t m n d +=++-，取3N*k t m n =++-∈，则(3)(26)k m n a t k d t m n d a a =-+=++-=+，所以{}n a 是“G 数列”．【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义并应用新定义求解．第（2）问中，第一个问题是直接利用等差数列的通项公式根据新定义进行验证即可，第二个问题关键是确定数列的通项公式，因此根据已知条件求得数列的首项与公差的关系，这样通项公式中相当于只含有一个参数d （或1a ），然后利用通项公式进行检验．。
【全国百强校】北京市十一学校2016届高三12月月考数学(理)试题答案
北京十一学校2016届高三十二月考答案 2015.12.12数学卷（理科） 时间：120分钟一、选择题：BAACADBC 二、填空题：9. 1 10. (1,0)；5 11. 35 12.83；6+ 13. (3,5) 14. ②③ 三、解答题：15.解：（Ⅰ）由已知，有2133cos sin cos 3cos 22f xxx x x ……………1分2133sin cos cos 2x x x133sin 21cos2444x x……………3分13sin 2cos244x x1sin 2cos cos 2sin233x x ……………4分1sin 223x .……………5分所以，f x 的最小正周期22T .……………6分（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. .……………7分故由当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，即,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，f x 单调递减；.……………8分 故由当2,326x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，f x 单调递增；.……………9分 以及144f，1122f ，144f ..……………10分 得当4x π=时，f x 取到最大值14；当12x π=-时，f x 取到最大值12-. .……………13分考点：三角函数的性质.16. 解：（I ）因为{}n a 是首项11a =，公差2d =的等差数列，所以()1121n a a n d n =+-=-.……………2分故111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，.……………4分 有12231111111111111111232352212122121n n n a a a a a a n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. .…6分 （II ）由（I ）得()()12121,13(21)22n n n a a n n S n n ++-=+++-===.……………8分 447,16.a S ==因为()01442=++-S q a q ，即28160q q -+=.……………9分所以()240q -=，从而4q =..……………10分又因12b =，是{}n b 公比4q =的等比数列，所以11211242n n n n b b q ---==⋅=.……………11分 从而{}n b 的前n 项和()()1124113n nn b q T q-==--.……………13分 考点：等差数列、等比数列、数列求和. 17. 解：（Ⅰ）如图，连结． 因为四边形是正方形， 所以与互相平分． 又因为是中点， 所以是中点．在△中，是中点，是中点，所以∥． ……………2分 又因为平面，平面， ……………3分 所以∥平面． ……………4分 （Ⅱ）取中点．在△中，因为， 所以．因为平面平面， 且平面PAD平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD . 因为OF ⊂平面ABCD ，所以PO OF ⊥. 又因为F 是AC 的中点，所以OF AD ⊥. ……………5分AC ABCD AC BD F BD F AC PAC E PA F AC EF PC EF ⊄PBC PC ⊂PBC EF PBC AD O PAD PA PD =PO AD ⊥PAD ⊥ABCD如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴，||OA 为单位长建立空间直角坐标系. ……………6分 因为2PA PD AD ===，所以OP =(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -.，，．于是，，． 因为OF ⊥平面PAD ，所以(0,1,0)OF =是平面PAD 的一个法向量．……………7分 设平面EFD 的一个法向量是000(,,)n x y z =．因为00n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩……………8分所以即 令01x =则(1,1,n =-．所以||cos ,5||||5OF n OF n OF n ⋅<>===⋅. ……………9分 由图可知，二面角F ED P --为钝角，故二面角F ED P --的余弦值为……..10分 （III ）假设在棱PC 上存在一点G ，使得GF ⊥平面EDF .设111(,,)Gx y z ，则111(,1,)FG x y z =-. 由（II ）可知平面EDF的一个法向量是(1,1,n =-. ………11分 因为GF ⊥平面EDF，所以可设(,,)FG n λλλ==-， 则111,1,x y z λλ==-=.又因为点G 在棱PC 上，所以CG 与PC 共线. ……………12分 因为(1,2,PC =-，111(1,2,)CG x y z =+-，所以111212x y +-==-，即1112λλ+--==-，无解. ……………13分 故在棱PC 上不存在一点G ，使得GF ⊥平面EDF . ……….14分 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角 18. 解：（I ）()f x '=x -（1+2a ）+4121a x ++=(21)(12)4121x x a a x +--+++=()()21221x x a x --+……………2分P 1(,0,22E (0,1,0)F (0,2,0)AB =3(2DE =(1,1,0)DF=00000,30,22x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩令()f x '=0，则x =12或x =2a ……………3分 i 、当2a >12,即a >14时，所以()f x 的增区间为（-2，2）和（2a ，+∞），减区间为（2，2a ）……5分 ii 、当2a =12,即a =14时，()f x '=()22121x x -+≥0在（12-，+∞）上恒成立，所以()f x 的增区间为（12-，+∞） ……………6分 iii 、当0<2a <12,即0<a <14时，所以()f x 的增区间为（-2，2a ）和（2，+∞），减区间为（2a ，2）……8分 综上所述： 0<a <14时，()f x 的增区间为（-12，2a ）和（12，+∞），减区间为（2a ，12） a =14时，()f x 的增区间为（12-，+∞）a >14时，()f x 的增区间为（-12，12）和（2a ，+∞），减区间为（12，2a ）……………9分（II ）由题意，a >14时，存在0x ∈（12，+∞），0()f x <2122a -，即a >14时, ()f x 在（12，+∞）上的最小值小于2122a - .……………10分 由（Ⅱ）a >14时，()f x 在（12，2a ）上递减，在（2a ，+∞）上递增，()f x 在（12，+∞）上的最小值为(2)f a ，…………………………………………………11分所以(2)f a <2122a -, 即24122(12)ln(41)2a a a a a +-+++<2122a -…………………12分 化简得ln(41)1a +<，41a e +<，14e a -<，又a >14，所以1144e a -<<，所求实数的取值范围为11(,).44e -……………13分 考点：导数综合.19. 解：（Ⅰ）依题意不妨设，，则，.……………1分由，得. ……………2分又因为，……………3分 解得.所以椭圆的方程为. ……………4分（Ⅱ）依题直线的方程为.由得. ……………5分设，，则，. …………6分所以弦的中点为. ……………7分 所以……………8分. ……………9分 直线的方程为， 由，得，则， ……………10分 所以. …………11分所以.……………12分 a1(0,)B b -2(0,)B b 1(1,)FB b =--2(1,)FB b =-12FB FB a ⋅=-21b a-=-221a b -=2,a b ==C 22143x y +=l (1)y k x =-22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(34)84120k x k x k +-+-=11(,)M x y 22(,)N x y 2122834k x x k +=+212241234k x x k -=+MN 22243(,)3434k kP k k-++MN ===2212(1)43k k +=+PD 222314()4343k k y x k k k +=--++0y =2243k x k =+22(,0)43k D k +DP =224312(1)43DP k k MN k +==++=又因为，所以. ……………13分 所以.所以的取值范围是. ……………14分20. 解：（I ）①②③④……………4分（II ）（i ）故0()n n a a n Z -+=∈. ……………5分 （ii ）（1）用数学归纳法证明当n N ∈时，有1n n a a +>. 当0n =时，结论显然.设()n k k N =∈时，有1k k a a +>成立，则当1n k =+时，有21111132()2k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++=->+->>. 故1()n n a a n N +>∈. ……………7分（2）当0n <时，由（ii ），有n n a a -=-，1(1)n n a a +-+=-. 由(1)0n n ->-+≥，得(1)n n a a --+>，即1n n a a +->-，1n n a a +>. 由（1）（2），有1()n n a a n Z +>∈. 故{}n a 单调递增. ……………9分 （III ）令2014k k b a -=，2015k k c a -=，其满足020*******b a a c -===，40294029201420152014201540194029b a a a a a ---=====. 记k k k d b c =-，则{}n d 也具有性质A ，且040290d d ==. 若10d ≠，则令1kk d x d =. {}n x 也具有性质A ，且00x =，11x =. 由（II ）知{}n x 单调递增，则4029101x x =>=，矛盾. 故10d =，从而，由11()3n n n d d d n Z -++=∈，及010d d ==， 可得0()n d n Z =∈，即0n n b c -=，201420150n n a a ---=，20142015n n a a --=对一切整数n 成立. 故取2014m n =-，2015()l n n N =-∈. 易得,,(m l Z m l ∈≠否则4029)2n Z =∉，(,)l m 满足题意. 由n 有无穷多种取值，且不同的整数n 对应不同的整数对(,)l m ，知这样的整数对(,)l m 有无穷多个. ……13分211k +>21011k <<+104<<DP MN1(0,)4。
北京十一学校高三数学12月考试题(教师版)
北京市十一学校2014届月考数学试卷（时间120分钟 满分150分） 2013.12.5一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.答．案请填涂在答题卡中．．．．．．．．．. 1. 已知集合{}0,1,3M =，集合{}3,N x x a a M ==∈，则M N = （ D ） A.{}0 B.{}0,3 C. {}1,3,9 D . {}0,1,3,92. 已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么下列结论正确的是 ( B )A. 命题:2p x x ⌝∀∈R ≤， B ．命题:2p x x ⌝∃∈<R ， C ．命题:2p x x ⌝∀∈-R ≤， D ．命题:2p x x ⌝∃∈<-R ， 3. （此题理科生做，文科生不做）在极坐标系中,直线的方程为224sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ,则点⎪⎭⎫ ⎝⎛43,2πA 到直线的距离为 ( B )A.2 B .22 C.222- D.222+ 3. （此题文科生做，理科生不做）已知3sin()45x π-=，那么sin 2x 的值为 ( B )A.325 B. 725 C. 925 D. 18254．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ B ） A ．38 B ．4 C ．2 D ．345. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( A )A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3)6. 已知三次函数d cx bx ax x f +++=23)(，R d c b a ∈,,,(), 命题p ：)(x f y =是R 上的单调函数；命题q ：)(x f y =的图像与x 轴恰有一个交点．则p 是q 的（ A ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件命题人 戴红7．设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤-+≥++067202y x y x y x ，若目标函数(0,0)z ax by a b =-+>>的值是最大值为8，则b a 24+的最小值为（ A ） A ．29 B ．2 C ．25D ．4 8. 已知偶函数f(x)（x ∈R ），当(2,0]x ∈-时，f(x)=-x(2+x)，当[2,)x ∈+∞时，f(x)=(x-2)(a-x)（a R ∈）. 关于偶函数f(x)的图象G 和直线l :y=m （m R ∈）的3个命题如下：①当a=4时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；②若对于[0,1]m ∀∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；③(1,),(4,)m a ∀∈+∞∃∈+∞，使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是 ( D )A. ①②B. ①③C. ②③ D . ①②③二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +的值为 . 31010．已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 ．911.过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为60 的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），AF BF= ．312. 若平面向量,αβα≠α≠β 、（0，） 满足|β |=1，且,αβ-α的夹角为120°，则|α | 的取值范围是.13. 已知正数,,a b c 满足a b ab +=，a b c abc ++=，则c 的取值范围是______． 解：令0ab t =>，由均值不等式得4ab a b ab =+≥⇒≥，即4t ≥则t c tc +=，即141(1,]113t c t t ==+∈-- 14. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数()20k k >的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C 过点(1,1)-；②曲线C 关于点(1,1)-对称；③若点P 在曲线C 上，点,A B 分别在直线12,l l 上，则PA PB +不小于2.k ；④设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1x =-、点(1,1)-及直线1y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k .其中，所有正确结论的序号是 . 答案：②③④三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A 、B 两点．（Ⅰ）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求sin()αβ+的值； （Ⅱ） 若∣AB ∣=32,求函数()4f x OA OB =-⋅ 的最小正周期及单调递减区间.15.解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，3cos 5α=， 12sin 13β=． ………………………………………………………1分 ∵α的终边在第一象限，∴4sin 5α=． ∵β的终边在第二象限，∴ 5cos 13β=-．………………………………………2分 ∴sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+=455()13⨯-+351213⨯=1665．……………4分 （Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=|AB |=|OB OA -|, ……………………………………5分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅， …………………6分∴9224OA OB -⋅= ，∴18OA OB ⋅=- ． …………………………………………………………………7分∵0cos ≠x ,得()Z ∈+≠k k x 2ππ∴()x f 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z R k k x x ,2ππ. …………………………………8分 因为()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f()21sin cos 3sin +-=x x x21sin 2sin 232+-=x x 2122cos 12sin 23+--=x xx x 2cos 212sin 23+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx , …………………………………10分所以()x f 的最小正周期为ππ==22T . …………………………………11分 因为函数x y sin =的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++k k k 232,22ππππ, 由()Z ∈+≠+≤+≤+k k x k x k 2,2326222πππππππ, 得()Z ∈+≠+≤≤+k k x k x k 2,326ππππππ, 所以()x f 的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎝⎛++⎪⎭⎫⎢⎣⎡++k k k k k 32,2,2,6ππππππππ. ………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-， …………………6分 ∴OA OB ⋅ =1||||cos 8OA OB AOB ∠=- ． ………………………………… 7分∵0cos ≠x ,得()Z ∈+≠k k x 2ππ∴()x f 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z R k k x x ,2ππ. …………………………………8分 因为()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f()21sin cos 3sin +-=x x x21sin 2sin 232+-=x x 2122cos 12sin 23+--=x x x x 2cos 212sin 23+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx , …………………………………10分所以()x f 的最小正周期为ππ==22T . …………………………………11分 因为函数x y sin =的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++k k k 232,22ππππ, 由()Z ∈+≠+≤+≤+k k x k x k 2,2326222πππππππ, 得()Z ∈+≠+≤≤+k k x k x k 2,326ππππππ,所以()x f 的单调递减区间为()Z ∈⎥⎦⎤⎝⎛++⎪⎭⎫⎢⎣⎡++k k k k k 32,2,2,6ππππππππ.………………………13分16．（本小题满分13分）已知函数)(x f y =,若存在0x ，使得00)(x x f =,则称0x 是函数)(x f y =的一个不动点，设二次函数2()(1)2f x ax b x b =+++-. (Ⅰ) 当2,1a b ==时，求函数)(x f 的不动点；(Ⅱ) 若对于任意实数b ，函数)(x f 恒有两个不同的不动点，求实数a 的取值范围；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若函数)(x f y =的图象上B A ,两点的横坐标是函数)(x f 的不动点，且直线211y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围. 16. (Ⅰ) 当2,1ab ==时，2()221f x x x =+-，解2221x x x +-= …2分 得11,2x x =-=所以函数()f x 的不动点为11,2x x =-=……3分（Ⅱ）因为 对于任意实数b ，函数)(x f 恒有两个不同的不动点， 所以 对于任意实数b ，方程()f x x =恒有两个不相等的实数根，即方程2(1)2ax b x b x +++-=恒有两个不相等的实数根， ………4分 所以 24(2)0x b a b ∆=-->………5分即 对于任意实数b ，2480b ab a -+> 所以 2(4)480b a a ∆=--⨯<……………………7分解得 02a << …………………8分 （Ⅲ）设函数()f x 的两个不同的不动点为12,x x ，则1122(,),()A x x B x x ， 且12,x x 是220ax bx b ++-=的两个不等实根， 所以12b x x a+=- 直线AB 的斜率为1，线段AB 中点坐标为(,)22b b a a-- 因为 直线211y kx a =++是线段AB 的垂直平分线， 所以 1k =-，且(,)22b b a a --在直线211y kx a =++上 则 21221b b a a a -=++ (0,2)a ∈ ……………………10分所以211112a b a a a =-=-≥=-++ 当且仅当1(0,2)a =∈时等号成立 …………………12分 又 0b <所以 实数b 的取值范围1[,0)2-. …………13分17．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211122nS n n =+ ()n *∈N . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1(211)(29)n n n c a a =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式2013n k T >对一切n *∈N 都成立的最大正整数k 的值；（Ⅲ）设,(21,),()313,(2,),n n a n k k f n a n k k **⎧=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩N N 是否存在m *∈N ，使得(15)5()f m f m += 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．17. （Ⅰ）当1n =时, 116a S == ……………… 1分当2n ≥时, 221111111()[(1)(1)]52222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+.…… 2分 而当1n =时, 56n +=∴5n a n =+． ………………3分（Ⅱ）1(211)(29)n n n c a a =--1111()(21)(21)22121n n n n ==--+-+∴12n T c c =++…n c +1111[(1)()2335=-+-+…11()]2121n n +--+21n n =+………………6分 ∵11102321(23)(21)n n n n T T n n n n ++-=-=>++++ ∴n T 单调递增，故min 11()3n T T ==． ………………8分 令132013k >，得671k <，所以max 670k =. ……………… 10分（Ⅲ）**,(21,)5,(21,)()=313,(2,)32,(2,)n n a n k k n n k k N f n a n k k n n k k N **⎧⎧=-∈+=-∈⎪⎪=⎨⎨-=∈+=∈⎪⎪⎩⎩N N （1）当m 为奇数时，15m +为偶数， ∴347525m m +=+，11m =． ………………1 1分（2）当m 为偶数时，15m +为奇数， ∴201510m m +=+，57m *=∉N （舍去）．………………1 2分综上，存在唯一正整数11m =，使得(15)5()f m f m +=成立． ……………………1 3分18. （本小题满分13分）已知圆4)4()3(:22=-+-y x C ，直线1l 过定点)0,1(A 。
【真题】16年北京市东城区高三(上)数学期中试卷含答案(文科)
2015-2016学年北京市东城区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）如果集合A={﹣1，2}，B={x|x＞0}，那么集合A∩B等于（）A．∅B．{﹣1}C．{2}D．{﹣1，2}2．（5分）命题“∀x∈R，（）x＞0”的否定是（）A．∃x∈R，（）x＜0 B．∀x∈R，（）x≤0 C．∀x∈R，（）x＜0 D．∃x ∈R，（）x≤03．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，0），则cosα的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．4．（5分）下列函数中，其定义域与值域相同的是（）A．y=2x B．y=x2 C．y=log2x D．y=5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=3，a10=10，则S7的值是（）A．30 B．29 C．28 D．276．（5分）函数f（x）=﹣lnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）三个数a=0.152，b=20.15，c=log20.15之间的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a8．（5分）“α≠β”是“sinα≠sinβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）函数f（x）=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．（5分）已知函数f（x）=的最大值是2，则实数a的取值范围是（）A．（0，]B．（1，）C．（0，1） D．（0，）12．（5分）已知函数y=Acos（x+φ）（A＞0）在一个周期内的图象如图所示，其中P，Q分别是这段图象的最高点和最低点，M，N是图象与x轴的交点，且∠PMQ=90°，则A的值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题13．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．14．（5分）在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若a=3bsinA，则sinB=．15．（5分）已知＜α＜π，且tanα=﹣，则sin（α+）=．16．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+a，其中a为实数，若f（x）在x=﹣1处取得极值，则a=．17．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=．18．（5分）在数列{a n}中，已知a1=，a n+1=1﹣，n∈N*，则a30=．三、解答题19．（14分）设函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．20．（14分）已知等比数列{a n}满足27a2﹣a5=0，a1a2=a3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=3log3a n+3，求证：{b n}是等差数列．21．（15分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求a﹣b的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，m﹣2]上单调递增，求实数m的取值范围．22．（17分）已知，其中e是无理数，a∈R．（1）若a=1时，f（x）的单调区间、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是﹣1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）如果集合A={﹣1，2}，B={x|x＞0}，那么集合A∩B等于（）A．∅B．{﹣1}C．{2}D．{﹣1，2}【解答】解：∵A={﹣1，2}，B={x|x＞0}，∴A∩B={2}．故选：C．2．（5分）命题“∀x∈R，（）x＞0”的否定是（）A．∃x∈R，（）x＜0 B．∀x∈R，（）x≤0 C．∀x∈R，（）x＜0 D．∃x ∈R，（）x≤0【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，（）x＞0”的否定是：∃x∈R，（）x≤0，故选：D．3．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣1，0），则cosα的值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣D．【解答】解：角α的终边经过点P（﹣1，0），则cosα==﹣1，故选：B．4．（5分）下列函数中，其定义域与值域相同的是（）A．y=2x B．y=x2 C．y=log2x D．y=【解答】解：对于A，y=2x的值域为（0，+∞），定义域为R，定义域与值域不同，可排除A；对于B，y=x2的值域为[0，+∞），定义域为R，定义域与值域不同，可排除B；对于C，y=log2x的定义域为（0，+∞），值域为R，定义域与值域不同，可排除C；对于D，y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域与值域相同，符合题意．故选：D．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=3，a10=10，则S7的值是（）A．30 B．29 C．28 D．27【解答】解：由题意，设等差数列的公差为的d，则d==1，故a4=a3+d=4，故S7===7×4=28故选：C．6．（5分）函数f（x）=﹣lnx的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）=﹣lnx的零点个数等价于函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象：由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1故选：B．7．（5分）三个数a=0.152，b=20.15，c=log20.15之间的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵0＜a=0.152＜1，b=20.15＞1，c=log20.15＜0，∴b＞a＞c，故选：A．8．（5分）“α≠β”是“sinα≠sinβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当α=β时，sinα=sinβ，成立．当，时，满足sinα=sinβ，但α=β不成立，∴sinα=sinβ是α=β的必要不充分条件．根据逆否命题的等价性可知“α≠β”是“sinα≠sinβ”必要不充分条件．故选：B．9．（5分）函数f（x）=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当0＜a＜1时，函数f（x）=a x﹣，为减函数，当a＞1时，函数f（x）=a x﹣，为增函数，且当x=﹣1时f（﹣1）=0，即函数恒经过点（﹣1，0），故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数f（x）=sinωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，可得ω=2则设将y=f（x）的图象向左平行a个单位得到函数的图象则即2a=解得a=故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=的最大值是2，则实数a的取值范围是（）A．（0，]B．（1，）C．（0，1） D．（0，）【解答】解：∵f（）==2，且函数f（x）=的最大值是2，∴当x时，log a x≤2恒成立；当a＞1时，log a x≤2不可能恒成立；当0＜a＜1时，log a x≤2恒成立可化为≥a2，即0＜a≤；故选：A．12．（5分）已知函数y=Acos（x+φ）（A＞0）在一个周期内的图象如图所示，其中P，Q分别是这段图象的最高点和最低点，M，N是图象与x轴的交点，且∠PMQ=90°，则A的值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：过Q，P分别作x轴的垂线于B，C，∵函数的周期T==4，∴MN=2，CN=1，∵∠PMQ=90°，∴PQ=2MN=4，即PN=2，则PC==，即A=，故选：C．二、填空题13．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．14．（5分）在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若a=3bsinA，则sinB=．【解答】解：△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若a=3bsinA，则由正弦定理可得sinA=3sinBsinA，求得sinB=，故答案为：．15．（5分）已知＜α＜π，且tanα=﹣，则sin（α+）=﹣．【解答】解：∵＜α＜π，且tanα=﹣，∴sin（α+）=cosα=﹣=﹣．故答案为：﹣．16．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+a，其中a为实数，若f（x）在x=﹣1处取得极值，则a=﹣1．【解答】解：函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+a，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣1，∵f（x）在x=﹣1处取得极值，∴3+2a﹣1=0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．17．（5分）已知函数f （x ）=，则f （6）= 1 ．【解答】解：函数f （x ）=， 则f （6）=f （5）=f （4）==1．故答案为：1．18．（5分）在数列{a n }中，已知a 1=，a n +1=1﹣，n ∈N *，则a 30= 2 ．【解答】解：∵a 1=，a n +1=1﹣，n ∈N *，∴a 2=1﹣2=﹣1，a 3=2，a 4=1﹣=，…， ∴a n +3=a n ． 则a 30=a 3×10=a 3=2， 故答案为：2．三、解答题19．（14分）设函数f （x ）=（sinx +cosx ）2+cos2x ． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间； （Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）化简已知函数可得f （x ）=（sinx +cosx ）2+cos2x =1+sin2x +cos2x=1+sin （2x +），由2kπ﹣≤2x +≤2kπ+可得kπ﹣≤x ≤kπ+，∴f （x ）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]k ∈Z ； （Ⅱ）∵x ∈[﹣，]，∴2x +∈[﹣，]，∴当2x +=即x=时，f （x ）有最大值+1，当2x +=﹣即x=﹣时，f （x ）有最小值﹣+120．（14分）已知等比数列{a n }满足27a 2﹣a 5=0，a 1a 2=a 3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=3log3a n+3，求证：{b n}是等差数列．【解答】（Ⅰ）解：∵等比数列{a n}满足27a2﹣a5=0，a1a2=a3，∴27a1q﹣a1q4=0，a12q=a1q2，∴a1=3，q=3，∴a n=3n；（Ⅱ）证明：b n=3log3a n+3=3n+3，∴b n﹣b n=3，+1∴{b n}是等差数列．21．（15分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求a﹣b的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣1，m﹣2]上单调递增，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令x＜0，则﹣x＞0，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x2﹣2x]=x2+2x．∴a=1，b=2，∴a﹣b=﹣1．（2）f（x）=，即有f（x）在[﹣1，1]上递增，由于函数f（x）在区间[﹣1，m﹣2]上单调递增，∴[﹣1，m﹣2]⊆[﹣1，1]，∴，解得，1＜m≤3．22．（17分）已知，其中e是无理数，a∈R．（1）若a=1时，f（x）的单调区间、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是﹣1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵当a=1时，，∴，（1分）∴当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减当1＜x＜e时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，（3分）∴f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间为（1，e）；f（x）的极小值为f（1）=1．（4分）（2）由（1）知f（x）在（0，e]上的最小值为1，（5分）令h（x）=g（x）+，x∈（0，e]∴，（6分）当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增，（7分）∴，∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+，（8分）（3）假设存在实数a，使，（x∈（0，e]）有最小值﹣1，∴，（9分）①当a≤0时，∵0＜x≤e，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，e]上单调递增，此时f（x）无最小值．（10分）②当0＜a＜e时，若0＜x＜a，则f'（x）＜0，故f（x）在（0，a）上单调递减，若a＜x＜e，则f'（x）＞0，故f（x）在（a，e]上单调递增.，得，满足条件．（12分）③当a≥e时，∵0＜x＜e，∴f'（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上单调递减，（舍去），所以，此时无解．（13分）综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是﹣1．（14分）（3）法二：假设存在实数a，使，x∈（0，e]）的最小值是﹣1，故原问题等价于：不等式，对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．即不等式a≥﹣x（1+lnx），对x∈（0，e]恒成立，求“等号”取得时实数a的值．设g（x）=﹣x（1+lnx），即a=g（x）max，x∈（0，e]（10分）又（11分）令当，g'（x）＞0，则g（x ）在单调递增；当，g'（x）＜0，则g（x ）在单调递减，（13分）故当时，g（x ）取得最大值，其值是故．综上，存在实数，使得当x∈（0，e]时f（x）的最小值是﹣1．（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
十一学校高三十二月月考 数学试卷(文科) .docx
2016届十一学校高三十二月月考 数学试卷（文科）满分：150分 时间：120分钟 2015.12.11一、选择题：（本题共8道小题，每一小题只有一个正确答案，每小题5分满分共40分） 1．已知集合{|(1)(2)0},{|lg 0}A x x x B x x =+->=≥，则集合AB =（ ）（A ）{|2}x x > （B ）{|1}x x <- （C ）{|12}x x << （D ）{|12}x x ≤< 2．“1k =”是“直线1:20l kx y ++=与直线2:0l x ky k +-=平行”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 已知0x >，0y >，且21x y +=，则xy 的最大值是（ ） （A ）14 （B ）18（C ）4 （D ）8 4．抛物线21(0)2x y a a=≠的焦点坐标是（ ） （A ）(,0)2a（B ）(,0)2a 或(,0)2a -（C ）10)8a （， （D ）10)8a （，或10)8a-（，5. 右图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的侧面积为是（） （A ）33（B ）314+（C ）310+ （D ）37+(2,0)M 221x y +=,MA MB ,A B MA MB ⋅=命题人 杨春艳1主视图左视图俯视图（A ）12- （B ）32- （C ）12（D ）327．已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点的个数（ ） （A ）0 （B ）2 （C ）3 （D ）48. 在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组002x y x y y ≥≤+⎧⎪-≤⎨⎪⎩所表示的平面区域为D ，在映射:u x yT v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v ，则由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 二、填空题：（本题共6道小题，每小题5分满分共30分） 9． 设复数z 满足32iz i =-+，则z 的共轭复数z =______10．已知直线1:360l x y +-=与直线2:0,(0,02)l kx y m k m -+=><<，12,l l 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k =11．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是13，则双曲线22221x y a b -=的两条渐近线方程为______.12.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且4,5a b ==，并且53ABCS=,则边c 的长度为________13.已知过定点(1,0)-的动圆与直线1x =相切，则此动圆圆心轨迹方程是_________.14.已知点(3,4)P 和圆22:(2)4C x y -+=，,A B 是圆C 上的两个动点，且||23AB =，则圆心到直线AB 的距离d =________；()OP OA OB ⋅+（O 为坐标原点）的取值范围是________.三、解答题：（本题共6道小题，每小题都要求写出必要的详细解答步骤，满分共80分）15．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为22nn n S a =-，（Ⅰ）求14,a a （Ⅱ）证明:2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅲ）求{}n a 的前n 项和S n .16．（本小题满分13分）已知函数()4cos sin()(0)4f x x x πωωω=⋅+>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π的单调区间.17．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy 中，直线12:24,:1l y x l y x =-=-，设圆C 的半径为1，圆心在1l 上． （Ⅰ）若圆心C 也在直线2l 上，①求圆C 的方程；②过点(20)A ，作圆C 的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆在直线2l 截得的弦长为2，求圆C 的方程.18．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥．设D ，E 分别为PA ，AC 中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面PBC ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PAB ；（Ⅲ）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点 D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．DE B A P C D E B A P C19．（本小题满分14分）已知函数32()ln ,()2f x x x g x x ax x ==+-+（Ⅰ）如果函数()g x 的单调减区间为1(,1)3-,求函数()g x 的解析式; （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,求函数()g x 的图像过点(1,1)P 的切线方程;（Ⅲ）对任意的(0,)x ∈+∞,若不等式2()()2f x g x '≤+恒成立,求实数a 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为（0,1），离心率为e =25， 过椭圆的右焦点F 的与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于A ,B 两点. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C ,B ,N 三点共线？ 若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）设(,0)M m 是线段OF （O 为坐标原点）上的一个动点，且()MA MB AB +⊥ , 求m 的取值范围.1-8 D A B C D D B C 9)23i - 10) 3 11)223y x =±12)2113)24y x =- 14)1;[2,22]14.2OA OB OM += (M 是AB 的中点)|CM|=1，M 的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆 法一：OP OM ⋅ 的几何意义是OM 在OP 的投影OM 1与||OP 的积.当MM 1与OP 垂直时，OM 1达到最大与最小，（就是向直线做垂线，垂足为C 1，|OC 1|加减半径）法二：M 的轨迹方程为：22(2)1x y -+=令2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩所以()2OP OA OB OP OM ⋅+=⋅2(3,4)(2cos ,sin )θθ=⋅+=12+（6cos 8sin )θθ+ 最大值22，最小值215．解：（1）因为1111,22a S a S ==+，所以112,2a S ==2n = 时，222222,6;S a a =-= 3n = 时，33328,16;S a a =-=4n = 时，444216,40;S a a =-=…………………………4分（2）由题设 22n n n S a =- 11122n n n S a +++=-以上两式相减：222na a a =--即：122nn n a a +-=，1122n n n n a a ++-=12(常数) 所以是首项为1，公差为12 的等差数列. …………………………8分（3）由（2）111(1)(1)222n n a n n =+-=+，即()112n n a n -=+⋅ 所以12(1)222n n nn S n n -=+-=⋅ . …………………………12分16．解：（Ⅰ）f (x )＝4cos ωx sin (ωx ＋π4)＝22sin ωx cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin (2ωx ＋π4)＋2．…………………………4分因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而2π2ω＝π，故ω＝1． …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f (x )＝2sin (2x ＋π4)＋2．若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4．当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，区间[π8，π2]上单调递减．…………………………13分17．解：（Ⅰ）①由题设，圆心C 是直线24,1y x y x =-=-的交点，解得点(3,2)C ．所以圆的方程是22(3)(2)1x x -+-= …………………………3分② 由题可知，若切线的斜率不存在，直线2x =是圆C 的切线 若切线的斜率存在，设为k ，设切线方程为(2)y k x =-， 所以2|322|11k k k --=+，解得34k =，即3460x y --=. 综上所求切线方程为2y =和3460x y --=. …………………………7分（Ⅱ）因为圆心在直线1l 上，所以设圆心C 的坐标为(,24)a a -因为圆在直线2l 截得的弦长为2，∴半弦长为22，且半径为1， 所以圆心C 到直线2l 的距离为2221()22-=即|241|222a a -+-=， …………………………10分 所以|3|1a -=，截得42a a ==或，所以圆心分别为4,4,(2,0)（） 所以所求圆C 的方程为22(4)(4)1x y -+-=或22(2)1x y -+=……………………13分 18． 解：（Ⅰ）因为点E 是AC 中点，点D 为PA 的中点，所以DE ∥PC ．又因为DE ⊄面PBC ，PC ⊂面PBC ，所以DE ∥平面PBC ． ………….4分（Ⅱ）因为平面PAC ⊥面ABC , 平面PAC 平面ABC =AC ,又PA ⊂平面PAC ，PA AC ⊥，所以PA ⊥面ABC . 所以PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，且PA AB=A ，P（Ⅲ）当点F 是线段AB 中点时，过点D ,E ,F 的平面内的 任一条直线都与平面PBC 平行．取AB 中点F ，连EF ，连DF . 由（Ⅰ）可知DE ∥平面PBC ．因为点E 是AC 中点，点F 为AB 的中点， 所以EF ∥BC ．又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC ． 又因为DE EF =E ，所以平面DEF ∥平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．……….14分19． 解:（Ⅰ）2()3210g x x ax '=+-<的解集是1(,1)3-,所以将1x =代入方程23210x ax +-=1a ∴=-,32()2g x x x x ∴=--+ …………………………4分（Ⅱ）2()321g x x x '=--，设切点为00(,)x y 所以切线的斜率为2000()321k g x x x '==-- 又因为切线过点（1,1），所以切线方程为2001(21)(1)y x x x -=--- …………………………6分因为切点在切线上也在曲线上所以3200002000021(21)(1)y x x x y x x x ⎧=--+⎪⎨-=---⎪⎩ 所以000001,21x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 所以切线方程为1y = 或20x y +-= …………………………9分 （Ⅲ）22ln 3212x x x ax ≤+-+在(0,)x ∈+∞上恒成立31ln 22a x x x ∴≥--…………………………11分 设31()ln 22x h x x x =--,22131(1)(31)()222x x h x x x x-+'∴=-+=- 令1()0,1,3h x x x '=∴==-(舍)当01x <<时,()0h x '>,当1x >时,()0h x '<1x ∴=时,()h x 取得最大值,max ()2h x =- 2a ∴≥-a ∴的取值范围是[)2,-+∞ …………………………14分20．解：（Ⅰ）由已知b =1，由e =25 得22245a b a -=，所以25,a = 椭圆的方程为2215x y += ………3分 （Ⅱ）右焦点为F (2,0) ………………4分 设直线l 的方程为(2),(0)y k x k =-≠由2255(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩ 得2222(15)202050k x k x k +-+-= ………………6分 0∆> 恒成立设1122(),(,)A x y B x y ，由根与系数的关系21222122201520515k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………7分因为点C 与点A 关于x 轴对称，所以11(,)C x y -，假设存在0(,0)N x 满足题意，022011(,),(,)BN x x y CN x x y =--=- 因为C ,B ,N 三点共线，所以//BN CN所以021201()()x x y y x x -=-- ，即1202112()y y x x y x y +=+ ，因此1221012(2)(2)(2)(2)k x x k x x x k x k x -+-=-+- 12121222()4x x x x x x -+=+- 2222222052022151520415k k k k k k-⋅-⋅++=-+ =52 所以存在定点5(,0)2N ,使得C ,B ,N 三点共线 ………………10分(Ⅲ)由已知02m ≤≤，而1122(,)(,)MA MB x m y x m y +=-+-=1212(2,)x x m y y +-+2121(,)AB x x y y =--，因为()MA MB AB +⊥所以1212(2,)x x m y y +-+2121(,)0x x y y ⋅--=， ………………12分—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————桑水 2212(1)()240k x x m k ++--= ，22815k m k=+ 即2085m k m =>-，所以805m << .即当805m <<时()MA MB AB +⊥.………………14分。
高三上学期月考(四)数学(文)考试试题-word版
2016届高三上学期月考（四）数学（文）试题本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页.时量120分钟，满分150分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}R x x x xA ∈-==,22，{}m B ,1=，若B A ⊆，则m 的值为 A.2 B.-1 C.-1或2 D.2或22.已知角α的终边上有一点)3,1(P ，则)2cos(2)2sin()sin(πααπαπ-+--的值为A.1B.54-C.-1D.-4 3.已知命题2:-=m p ；命题:q 直线057)3()1(2:1=-+-++m y m x m l 与直线052)3(:2=-+-y x m l 垂直.则命题p 是命题q 成立的A.充要条件B.既非充分又非必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件 4.下列函数中，y 的最小值为4的是A.x x y 4+= B.2)3(222++=x x yC.)0(sin 4sin π<<+=x xx y D.x x e e y -+=4 5.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足08276=+-a a a ，数列{}n b 是等比数列，且77a b =，则1182b b b ⋅⋅等于A.1B.2C.4D.8 6.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=16241x xA ，{})3ln(2x x y x B -==，从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是 A.61 B.31 C.21 D.327.对满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥+0,04,01y x y x x 的任意实数x ，y ，x y x z 422-+=的最小值是A.-2B.0C.1D.68.若长方体1111D C B A ABCD -中，AB=1，C B 1，D C 1分别与底面ABCD 所成的角为︒45，︒60，则长方体1111D C B A ABCD -的外接球的体积为A.677π B.37π C.374π D.67π9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若bc b a 322=-，B C sin 32sin =，则A=A.︒150B.︒120C.︒60D.︒3010.如图，1F ，2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B.若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为A.4B.7C.332 D.3 11.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当]5,3[∈x 时，42)(--=x x f ，则 A.)6(cos )6(sinππf f < B.)1(cos )1(sin f f > C.)32(cos )32(sin ππf f < D.)2(cos )2(sin f f >12.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0),10(log ,0,1)2sin()(x a a x x x x f a ，且π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是 A.)55,0( B.)1,55( C.)1,33( D.)33,0( 选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.将某班参加社会实践编号为：1,2,3，...，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是_________.14.过点（2,1）且在x 轴上截距是在y 轴上截距的两倍的直线的方程为______.15.如图，在△ABC 中，E 为边AC 上一点，且3=，P 为BE 上一点，且满足)0,0(>>+=n m n m ，则331++mn 的最小值为______.16.已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=,0,12,0,1)(2x x x x x x f 若关于x 的方程0)()(2=-x af x f 恰有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_____.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85. （1）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班、乙班各一人的概率.18.（本小题满分12分）如图，PA⊥平面ABCD ，矩形ABCD 的边长AB=1,BC=2,E 为BC 的中点. （1）证明：PE⊥DE；（2）如果异面直线AE 与PD 所成的角的大小为3π，求PA 的长及点A 到平面PED 的距离.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)(023,211*+∈=++-=N n S a a n n （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在整数对（m,n ），使得等式842+=-m ma a n n 成立？若存在，请求出所有满足条件的（m,n ）；若不存在，请说明理由.20.(本小题满分12分)如下图所示，点)2,0(1 F ，)2,0(2F ，动点M 到点2F 的距离是4，线段1MF 的中垂线交2MF 于点P.（1）当点M 变化时，求动点P 的轨迹G 的方程；（2）若斜率为2的动直线l 与轨迹G 相交于A 、B 两点，)2,1(Q 为定点，求△QAB 面积的最大值.21.(本小题满分12分)选做题（请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号）22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 2=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty m t x 21,23（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线L 的普通方程；（2）设点P(m,0),若直线L 与曲线C 交于两点A ，B ，且1=⋅PB PA ，求实数m 的值．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设m x x x f --++=122)(. （1）当m=5时，解不等式0)(≥x f ； （2）若23)(≥x f 对任意R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案AADDDCAADBCA二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.13.13 14.x-2y=0或x+2y-4=0 15.15 16.0<a<1 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【解析】（1）∵甲班学生的平均分是85，则甲班7位学生成绩的方差为（2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A ，B ， 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C ，D ，E. 从这五名学生中任意抽取两名学生共有10种情况：（A ，B)，(A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）. .............（8分）其中两人均来自甲班（或乙班）共有4种情况：（A ，B)，（D ，C ），（E ，D ）,（C ，E ）. .............（10分）.............（12分）由勾股定理逆定理可得︒=∠90AED ，DE⊥AE， ∵PA⊥平面ABCD ，∴PA⊥DE，又A AE PA = ，∴DE⊥平面PAE ，∴PE⊥DE. .............（6分） （2）取PA 的中点M ，AD 的中点N ， 连MC ，NC ，MN ，AC ， ∴NC∥AE，MN∥PD，∴∠MNC 的大小等于异面直线PD 与AE 所成的角或其补角的大小，得PA=2. .............（9分）19.【解析】（1）当2≥n 时，0231=++-n n S a ，∴0)(3)(11=-+--+n n n n S S a a ， .............（2分） 即03)(1=+-+n n n a a a ，)2(21≥-=+n a a n n ，令由122a a -=得n n a a 21-=+，所以数列{}n a 是首项为-2，公比为-2的等比数列， .............（3分） ∴n n a )2(-=. .............（4分）（2）把n n a )2(-=代入842+=-m ma a n n 中得84)2()2(2+=-⋅--m m n n，4)2(8)2(2+---=n n m ，∴4)2(84)2(4)2(816)2(2+-+--=+-+--=nn n n m ， .............（6分） 要使m 是整数，则须有4)2(8+-n是整数，∴4)2(+-n能被8整除， .............（7分）当n=3时，44)2(-=+-n，24)2(8-=+-n，此时m=-14， .............（10分） 当4≥n 时，204)2(≥+-n ，4)2(8+-n 不可能是整数，， .............（11分）综上所述，所求满足条件的整数对有（-2,1），（1,2），（-14,3）. .............（12分）由椭圆的定义可知动点P的轨迹G的方程为（2分）所以（10分）由0)8(8)4(168222>-=--=∆m m m ，得82<m .又点Q 不在直线l 上，则0≠m ，所以802<<m . .............（11分）当且仅当42=m 即2±=m 时取等号.21.【解析】（1）a x x x f 2)(2++-='. .............（1分）（8分）22.【解析】（1）曲线C 的极坐标方程是θρcos 2=，化为θρρcos 22=，可得直角坐标方程：x y x 222=+.（2由0>∆，解得-1<m<3.m m t t 2221-=∴.①当2-≤x 时，不等式为：513≥--x ，即2-≤x ，满足；。
2016-2017学年度高三文科数学12月月考试卷 (教师用卷)
九月教育2016-2017学年度11月月考试卷高三数学（文）考试范围：高考总复习内容；考试时间：120分钟；总分：150分；命题人：郑周立学生姓名：___________班级：___________注意事项：第I 卷（选择题）评卷人 得分一、选择题（本题共12道小题，每小题0分，共0分）1.已知集合A={1,2,3}，B={x|x 2＜9}，则A∩B= （A ）{-2,-1,0,1,2,3}（B ）{-2,-1,0,1,2}（C ）{1,2,3} （D ）{1,2}答案及解析：1.D由x 2＜9得，-3＜x ＜3，所以B={x|-3＜x ＜3}，所以A∩B={1,2}，故选D. 2.设复数z 满足z +i =3-i ，则z =（A ）-1+2i （B ）1-2i （C ）3+2i （D ）3-2i答案及解析：2.C由z +i =3-i 得，z =3-2i ，故选C.3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9答案及解析：3.A4.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π答案及解析：4.C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：()222234l =+，S 表=πr 2+ch +21cl =4π+16π+8π=28π. 5.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是 （A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D ）y x=答案及解析：5.Dy=10lg x =x ，定义域与值域均为(0,+∞)，只有D 满足，故选D ．6.过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）(A)]60π，（ (B)]30π，（ (C)]60[π， (D)]30[π， 答案及解析：6.D7.设x，y满足的约束条件1010330x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y=+的最大值为（A）8 （B）7 （C）2 （D）1答案及解析：7.B..7,2).1,0(),2,3(),0,1(.Byxz故选则最大值为代入两两求解，得三点坐标，可以代值画可行区域知为三角形+=8.为了得到函数xxy3cos3sin+=的图象，可以将函数xy3sin2=的图象（）A.向右平移12π个单位长 B.向右平移4π个单位长C.向左平移12π个单位长 D.向左平移4π个单位长答案及解析：8.C9.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.1B.3C.7D.15开始输出结束是否答案及解析：9.C10.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=3，S4=15，则S6=( )A. 31B. 32C. 63D. 64答案及解析：10.C11.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=kx（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（A）12（B）1 （C）32（D）2答案及解析：11.D焦点F(1,0)，又因为曲线(0)ky kx=>与C交于点P，PF⊥x轴，所以21k=，所以k=2，选D.12.设函数()f x的定义域为R，(1)2f-=，对于任意的x R∈，()2f x'>，则不等式()24f x x>+的解集为（）A．(1,1)- B．()1,-+∞ C．(,1)-∞- D．(,)-∞+∞答案及解析：12.B第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.答案及解析： 13.31.313131313131313131.3131=•+•+•••率为他们选择相同颜色的概色的概率也是同理，均选择红、或蓝为甲乙均选择红色的概率14.2.在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= .答案及解析：14.1515.一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 。
北京市十一学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)
九年级（上）月考数学试卷（12月份）题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.抛物线y=（x-1）2+2的对称轴是（）A. 直线x=−1B. 直线x=1C. 直线x=−2D. 直线x=22.△ABC中，∠C=90°，sin A=45，则tan A的值是（）A. 43B. 34C. 35D. 453.AB是⊙O上的两点，OA=1，AB的长是23π，则∠AOB的度数是（）A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘4.若要得到函数y=（x+1）2+2的图象，只需将函数y=x2的图象（）A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度5.如图，△DEF和△ABC是位似图形点O是位似中心，点D，E，F，分别是OA，OB，OC的中点，若△ABC的面积是8，△DEF的面积是（）A. 2B. 4C. 6D. 86.已知函数y=ax2+bx+c，其中a＜0，b＜0，c＜0，此函数的图象可以是（）A. B.C. D.7.如图，⊙O的半径为2，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧怡好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 238.如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠BAD=120°，点E从点B出发，沿BC和CD边移动，作EF⊥直线AB于点F，设点E移动的路程为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.计算：sin30°-tan45°+3cos30°=______．10.请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式______．11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=3，则sin B的值是______．12.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若∠AED=∠B，AB=8，AC=6，AD=3，则EC=______．13.如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为1m，旗杆顶部与平面镜的水平距离为8m，若小明的眼睛与地面的距离为1.6m，则旗杆的高度为______（单位m）14.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是______．15.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…-10123…y…30-1m3…有以下几个结论：①抛物线y=ax2+bx+c的开口向下；②抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1；③方程ax2+bx+c的根为0和2；④当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，其中正确的是______．16.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线．已知：如图，∠BAC．求作：∠BAC的角平分线AP．小霞的作法如下：（1）如图，在平面内任取一点O；（2）以点O为圆心，AO为半径作圆，交射线AB于点D，交射线AC于点E；（3）连接DE，过点O作射线OP垂直于线段DE，交⊙O于点P；（4）过点P作射线AP．所以射线AP为所求．老师说：“小霞的作法正确．”请回答：小霞的作图依据是______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.如图，在⊙O中，AB=BC，∠ACB=60°．（Ⅰ）求证：△ABC是等边三角形；（Ⅱ）求∠AOC的大小．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.已知二次函数y=x2+2x-3（1）用配方法求y=x2+2x-3的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象．19.如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB=6，AC=5，sin C=35，求BC的长．20.如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．求证：△ABC∽△DEC．21.如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C 的仰角分别为45°和60°，点A距地面2.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要持续上升的高度为8.8米，求点B距地面多少米？22.如图，△ABC是等边三角形，D、E是直线BC上两点，若BC2=BD•CE（1）求证：△ADB∽△EAC；（2）求∠DAE的度数．23.北京亦庄实验中学动物社团的成员计划用总长为12米的篱笆围成一个矩形迷你动物园，养小兔子和小猫咪，如图是迷你动物园的平面图，中间用篱笆分隔成两个小矩形，设大矩形的边长为x米，面积为s平方米．（1）求面积s与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当x为多少米时迷你动物园的面积最大？最大面积是多少平方米？24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若∠B=60°，CD=23，求AE的长．25.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，点E是边BC上一动点，连接DE，过点E作DE的垂线交直线AB于点F，已知AD=4cm，AB=2cm，BC=5cm，设CE的长为xcm，BF的长为ycm．小帅，根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究，下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）通过取点画图，测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54 4.55 y/cm 2.5 1.100.9 1.5______ 2 1.9______ 0.90（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）（2）建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当CE=BF时，CE的长度约为______cm．26.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=1与y轴交于点A，与直线y=25x-1交于点B，抛物线y=mx2-4mx+2m-1的顶点为D．（1）①抛物线的对称轴方程为______；②如果抛物线的顶点D在直线y=1上，求抛物线的解析式；（2）如果抛物线与线段AB有唯一的公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围为______．27.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=α，点D为AC延长线上一点，连结BD，作AE⊥BD于点E，将射线AE绕点A逆时针旋转α后，所得的射线与BD延长线交于点F，连接CE．（1）①依题意补全图形．②用含α的代数式表示∠AEC为______．（2）当AC=BC时，用等式表示线段AF，CE，BE之间的数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：将线段CP绕圆心C旋转180°得到线段PP′，若满足r≤PP′≤3r，则称点P′是点P关于⊙C的旋转点．（1）当⊙O的半径为2时，①分别判断点M（12，0），N（1，3），T（3，0）关于⊙O的旋转点是否存在？若存在，直接写出其坐标．②若点P在直线y=x上，若点P关于⊙O的旋转点P′存在，求出点P的横坐标的取值范围；（2）若⊙C的圆心C在y轴上，半径为2，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，如果线段AB上的所有点都是⊙C的旋转点，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵抛物线的顶点式为y=（x-1）2+2，∴对称轴是x=1．故选：B．由抛物线的顶点式y=（x-h）2+k直接看出对称轴是x=h．要求熟练掌握抛物线解析式的各种形式的运用．2.【答案】A【解析】解：如图，∵sinA==，∴设BC=4x，AB=5x，∴AC==3x，∴tanA===．故选：A．根据正弦的定义得到sinA==，则可设BC=4x，AB=5x，根据勾股定理计算易计算AC，然后根据正切的定义即可得到tanA的值．本题考查了三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比，它的正切值等于它的对边与它的邻边的比．也考查了勾股定理．3.【答案】D【解析】解：∵OA=1，的长是，∴，解得：n=120°，∴∠AOB=120°，故选：D．直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的度数即可．本题考查扇形的弧长公式的应用，关键是通过弧长公式求出圆心角的度数．4.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标为（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=（x+1）2+2．故选：B．找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，∴=，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴=（）2，即=，解得：S△DEF=2，故选：A．根据点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点知=，由位似图形性质得=（）2，即=，据此可得答案．本题主要考查了三角形中位线定理、位似的定义及性质，掌握面积的比等于相似比的平方是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵a＜0，b＜0，c＜0，∴抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，抛物线与y轴的交点在x轴下方，故选：C．利用a、b、c的作用确定图象的位置，然后对各选项进行判断．本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．7.【答案】D【解析】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，Rt△OAD中，OD=CD=OC=1，OA=2，根据勾股定理，得：AD=，由垂径定理得，AB=2AD=2，故选：D．过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，根据折叠的性质可求出OD的长；连接OA，根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB=2AD，即可求出AB的长度．本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：①当E在BC边上时，y=S菱形ABCD-S△BEF-S△ADF-S△DEC=2××32-••x-•（3-x）•-•（3-x）•=-x2+x．②当点E在CD上时，y=•（6-x）•=-x+，故选：C．分两种情形求出y与x的关系即可判断．本题考查动点问题函数图象、分段函数、菱形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建分段函数解决实际问题，属于中考常考题型．9.【答案】1【解析】解：sin30°-tan45°+cos30°=-1+×=-+=1，故答案为：1．将特殊锐角的三角函数值代入计算即可得．本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值．10.【答案】y=-x2+1（答案不唯一）【解析】解：抛物线解析式为y=-x2+1（答案不唯一）．故答案为：y=-x2+1（答案不唯一）．根据二次函数的性质，抛物线开口向下a＜0，然后写出即可．本题考查了二次函数的性质，开放型题目，主要利用了抛物线的开口方向与二次项系数a的关系．11.【答案】12【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AC=3，∴sinB===，故答案为：．根据正弦函数的定义求解可得．本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．12.【答案】2【解析】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴=，∵AB=8，AC=6，AD=3，∴=，解得AE=4，则EC=AC-AE=2，故答案为：2．利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形ABC相似，由相似得比例求出AE的长，继而可得EC的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．13.【答案】12.8【解析】解：如图，BC=1m，CE=8m，AB=1.6m，由题意得∠ACB=∠DCE，∵∠ABC=∠DEC，∴△ACB∽△DCE，∴=，即=，∴DE=12.8．即旗杆的高度为12.8m．故答案为：12.8．根据BC=1m，CE=8m，AB=1.6m，利用题意得∠ACB=∠DCE，则可判断△ACB∽△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．14.【答案】52【解析】解：连接OA，∵C是AB的中点，∴AC=AB=2，OC⊥AB，∴OA2=OC2+AC2，即OA2=（OA-1）2+22，解得，OA=，故答案为：．连接OA，根据垂径定理求出AC的长，由勾股定理可得出OA的长．本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC是AB的垂直平分线是解答此题的关键．15.【答案】③④【解析】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x==1，故②错误，抛物线的顶点坐标是（1，-1），有最小值，故抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，故①错误，当y=0时，x=0或x=2，故方程ax2+bx+c的根为0和2，故③正确，当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞2，故④正确，故答案为：③④．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16.【答案】（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义【解析】解：小霞的作图依据是（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义；故答案为：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义根据作图的依据解答即可．此题考查作图-复杂作图问题，关键是根据作图的依据解答．17.【答案】（Ⅰ）证明：∵AB=BC，∴AB=BC，又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形；（Ⅱ）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°．【解析】（Ⅰ）根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AB=BC，根据等边三角形的判定定理证明△ABC是等边三角形；（Ⅱ）根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°，根据圆周角定理解答．本题考查的是等边三角形的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．18.【答案】解：（1）y=x2+2x-3=x2+2x+1-4=（x+1）2-4，所以二次函数y=x2+2x-3的顶点坐标为（-1，-4）；（2）∵二次函数y=x2+2x-3的开口向上，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，-4），与x轴的交点为（-3，0），（1，0），与y轴的交点为（0，-3），∴其图象为：【解析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式；（2）根据函数图象的画法画出二次函数图象即可．本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．19.【答案】解：作AH⊥BC于H．则∠AHC=∠AHB=90°．在Rt△ACH中，∵sin C=AHAC=35，AC=5，∴AH=3，∴CH=AC2−AH2=52−32=4，在Rt△ABH中，BH=AB2−AH2=62−32=33，∴BC=BH+CH=33+4．【解析】作AH⊥BC于H．分别在Rt△ACH和Rt△ABH中求出CH，BH即可；本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20.【答案】证明：∵CD为Rt△ABC斜边上的中线，∴CD=12AB=AD，∴∠A=∠ACD．∵DE∥AC，∴∠CDE=∠ACD=∠A．又∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD=AD，进而可得出∠A=∠ACD，由平行线的性质可得出∠CDE=∠ACD=∠A，再结合∠ACB=∠DCE=90°，即可证出△ABC∽△DEC；本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是：根据等腰三角形的性质结合平行线的性质，找出∠CDE=∠ACD=∠A．21.【答案】解：过点A作AD⊥CN，垂足为D．由题意，知∠BAD=45°，∠CAD=60°，CB=8.8米，DN=2.5米．在Rt△ABD中，∵∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD，∴AD=BD，在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，∵tan∠CAD=CDAD=CB+BDAD=8.8+BDBD=tan60°，∴3=8.8+BDBD即3BD=8.8+BD∴BD=8.83−1≈8.81.7−1≈12.6，∴BN=BD+DN=12.6+2.5=15.1（米）答：点B距地面约15.1米．【解析】过点A作AD⊥CN于点D，构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求解．本题考查了解直角三角形的仰角问题，题目难度较小，解决本题的关键是构造直角三角形，利用三角形的边角间关系．22.【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=CA，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACE=120°，∵BC2=BD•CE，∴AB•AC=BD•CE，∴ABCE=BDAC，∴△ADB∽△EAC；（2）∵△ADB∽△EAC，∴∠D=∠CAE，∵∠ABC=∠D+∠DAB=60°，∴∠CAE+∠DAB=60°，∴∠DAE=∠CAE+∠DAB+∠BAC=60°+60°=120°．【解析】（1）由等边三角形得AB=BC=CA、∠ABC=∠ACB=60°，即∠ABD=∠ACE=120°，结合BC2=BD•CE知AB•AC=BD•CE，据此可得答案；（2）由△ADB∽△EAC知∠D=∠CAE，由∠ABC=∠D+∠DAB=60°知∠CAE+∠DAB=60°，根据∠DAE=∠CAE+∠DAB+∠BAC可得答案．本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及等边三角形的性质．23.【答案】解：（1）根据题意得，s=x•12（12-3x）=-32x2+6x，∵0＜12-3x＜12×12，∴2＜x＜4；（2）∵s=-32x2+6x=-32（x-2）2+6，∴当x为2米时迷你动物园的面积最大，最大面积是6平方米．【解析】（1）根据矩形的面积=长×宽就可以得出s与x之间的关系式；（2）将（1）的解析式化为顶点式，就可以得出结论．本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题目的条件，求得函数关系式，利用函数的性质解决问题．24.【答案】（1）证明：如图1，连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°，∴∠OCD+∠ADC=180°，∴AD∥OC，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，则AC平分∠DAB；（2）解：如图2，连接OE．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠B=60°，∴∠1=∠3=30°，在Rt△ACD中，CD=23，∠1=30°，∴AC=2CD=43，在Rt△ABC中，AC=43，∠CAB=30°，∴AB=ACcos∠CAB═8，∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，∴△AOE是等边三角形，∴AE=OA=12AB=4；【解析】（1）想办法证明AD∥OC即可解决问题；（2）求出AB的长，再证明△AOE是等边三角形即可解决问题；此题考查了切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，利用了转化及数形结合的思想，遇到直线与圆相切，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．25.【答案】1.9 1.5 0.6～0.8【解析】解：（1）根据题意作图测量可得x=2.5时，y=1.9，当x=4时，y=1.5故答案为：1.9，1.5（2）根据题意作图得：（3）如图，作y=x的函数图象根据题意，所画图象于直线y=x交点即为所求数值．故测量数据在0.6～0.8之间．（1）根据题意作图测量即可；（2）根据表格的数据作图即可；（3）构造直线y=x与所画图象求交点即可．本题为动点问题的函数图象探究题，考查了函数图象的画法和将数据条件转化为函数图象的思想．解答关键是标准作图、数形结合．26.【答案】x=2 m＜1【解析】解：（1）①抛物线y=mx2-4mx+2m-1对称轴方程为：x=-=2，故答案为x=2；②∵抛物线的顶点D在直线y=1上，∴=1，解得m=-1，∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3；（2）如图1所示：m=-1；如图2所示：把A（0，1）代入y=mx2-4mx+2m-1得，2m-1=1，解得m=1，所以当m＜1时，抛物线与线段AB有唯一的公共点，综上，m的取值范围为：m＜1，故答案为m＜1．（1）①代入对称轴方程即可求得；②抛物线的顶点D在直线y=1上，则有=1，解方程即可；（2）结合函数图象，可得答案．本题考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键27.【答案】90°-α【解析】解：（1））①依题意补全图形如图所示；②∵∠CAB=α，∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-α，∵∠AEB=∠ACB=90°，∴A，B，E，C四点共圆，∴∠AEC=∠ABC=90°-α，故答案为：90°-α；（2）AF=BE+2CE，在AE上截取AH=BE，连接CH，∵∠ACB=∠AEB=90°，∴A，B，E，C四点共圆，∴∠CAE=∠CBE，在△ACH和△BCE中，∴△ACH≌△BCE（SAS），∴CH=CE，∠ACH=∠BCE，∵∠ACH+∠HCB=90°，∴∠BCE+∠HCB=90°，∴∠HCE=90°，∴HE==CE，∴AE=AH+HE=BE+CE，由旋转的性质可知，∠EAF=45°，又∠AEF=90°∴∠AFE=∠EAF=45°∴AF=AE=×（BE+CE）=BE+2CE．（1）①根据题意画出图形；②根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据圆周角定理计算；（2）在AE上截取AH=BE，连接CH，证明△ACH≌△BCE，根据全等三角形的性质得到CH=CE，∠ACH=∠BCE，根据勾股定理得到HE=CE，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是全等三角形的判定和性质，圆周角定理，旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．28.【答案】解：（1）①由旋转点的定义得：点到圆心O的距离为m，则1≤m≤3，∵点M（12，0），则MO=12＜1，∴点M关于⊙O的旋转点不存在；∵N（1，3），∴NO=12+(3)2=2，∴点N关于⊙O的旋转点存在，其坐标为：（-1，-3）；∵T（3，0），∴TO=3，∴点T关于⊙O的旋转点存在，其坐标为：（-3，0）；②∵点P在直线y=x上，点P关于⊙O的旋转点P′存在，∴1≤OP≤3，当OP=1时，过点P作PH⊥x轴于H，如图1所示：则OP=2OH，∴OH=22，点P的横坐标为：（22，0）或（-22，0），当OP=3时，过点P作PG⊥x轴于G，如图2所示：则OP=2OG，∴OG=322，点P的横坐标为：（322，0）或（-322，0），∴点P的横坐标的取值范围为：22≤x≤322或-322≤x≤-22；（2）∵直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，∴A（-1，0），B（0，1），如图3所示：当C在直线y=x+1下方时，∵∠BAO=45°，⊙C的圆心C在y轴上，半径为2，∴满足1≤BC≤3，∴圆心C纵坐标的取值范围为：-2≤y≤0；当C在直线y=x+1上方时，满足BC≥1，且AC≤3，当AC=3时，OC=AC2−OA2=32−12=22，∴圆心C纵坐标的取值范围为：2≤y≤22；综上所述，圆心C纵坐标的取值范围为：-2≤y≤0或2≤y≤22．【解析】（1）①由旋转点的定义得：点到圆心O的距离为m，则1≤m≤3，MO=＜1，则点M关于⊙O的旋转点不存在；NO=2，则点N关于⊙O的旋转点存在，其坐标为：（-1，-）；TO=3，则点T关于⊙O的旋转点存在，其坐标为：（-3，0）；②由题意得出1≤OP≤3，当OP=1时，过点P作PH⊥x轴于H，则OP=OH，得出OH=，点P的横坐标为：（，0）或（-，0），当OP=3时，过点P作PG⊥x轴于G，则OP=OG，得出OG=，点P的横坐标为：（，0）或（-，0），即可得出结果；（2）求出A（-1，0），B（0，1），当C在直线y=x+1下方时，满足1≤BC≤3，则圆心C纵坐标的取值范围为：-2≤y≤0；当C在直线y=x+1上方时，满足BC≥1，且AC≤3，当AC=3时，OC=2，则圆心C纵坐标的取值范围为：2≤y≤2，即可得出结果．本题是圆的综合题，主要考查了与圆有关的概念、新定义旋转点、等腰直角三角形的性质、勾股定理、图形与点的坐标、分类讨论等知识，熟练掌握新定义旋转点，确定点到圆心的取值范围是解题的关键．。
【吉林省长春十一中】2016届高三上学期12月月考数学(文科)试卷
吉林省长春十一中2016届高三上学期12月月考数学（文科）试卷一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(每题5分，共60分)1．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，{|}51,B y y m m *==+∈N ，则集合A B I 中最小元素为（ ） A ．1 B ．9 C ．11 D ．132．已知复数i ()1i m z m +=∈+R 为纯虚数，则m =（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣23．在一次某地区中学联合考试后，汇总了3 217名文科考生的数学成绩，用123217,,,a a a ⋯表示，我们将不低于120的考分叫“优分”，将这些数据按图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3 217名考生的（ ）A ．平均分B ．“优分”人数C ．“优分”率D ．“优分”人数与非“优分”人数的比值 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12n n S n a +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．232a a = B ．2332a a = C ．2323a a = D ．2313a a =5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．22π3-B ．42π3-C ．5π3D ．2π2-6．已知直线10:21l xy +=﹣和23:2l x y +=的倾斜角依次为,,αβ则下列结论中正确的是（ ） A ．90βα=+o B ．180αβ+=o C ．90αβ=+o D ．90αβ+=o7．已知1sin +cos 2θθ=，其中θ在第二象限，则cos sin θθ-=（ ）个)如下表所示： 型号甲样式 乙样式 丙样式 300 mlz 2 500 3 000 500 ml3 0004 5005 000 按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取100个，其中有乙样式的杯子35个。
(Ⅰ)求z 的值；(Ⅱ)用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个300 ml 的杯子的概率。
北京市科迪实验中学2016届高三上学期12月月考数学(文)
北京市科迪实验中学2015-2016学年第一学期高三年级12月考数学试卷（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用样本的频率分布来估计总体情况时，下列选项中正确的是A.估计准确与否与样本容量无关B.估计准确与否只与总体容量有关C.样本容量越大，估计结果越准确D.估计准确与否与所分组数有关2.某住宅区有居民2万户，从中随机抽取200户，调查是否已安装电话，调查如下表所示则该小区已安装电话的住户估计有A. 6500B. 3000C.19000D. 95003. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是A.||ln x y -=B.3x y =C.xy 2= D.x y cos =4. 执行如图所示的程序框图，输出的a 的值为A.3B. 5C.7D. 95．要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数y=sin2x 的图象 A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向右平移3π个单位 6. 下列命题正确的是A.“x<1”是“0232>+-x x ”的必要不充分条件B.若给定命题p ：R x ∈∃使得012<-+x x ，则p ⌝：R x ∈∀均有012≥-+x xC.若q p ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D.命题“若0232=+-x x ，则x=2”的否命题为“若0232=+-x x ，则x ≠2”7. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品的每天的仓储费用为1元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品A. 60B. 80C. 100D.1208.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤=ax a x x x f x ,20,)(2若存在实数b ，使函数g （x ）=f （x ）-b 有两个零点，则实数a 的取值范围是A.（0.2）B.（2，+∞）C.（2,4）D.（4，+∞）第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：第II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。
【吉林省长春十一中】2016届高三上学期12月月考数学(文科)试卷-答案
20．解：（1）Q 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，两个焦点为122,0,()(2,0)F F ﹣，P 是椭圆上的动点，且向量12PF PF u u u r u u u u r g 的最大值为22222()()2c a a b c c a c =⎧⎪∴⎨⎪+-=+⎩=，解得222,6,2,c a b ===，故椭圆C 的方程为22162x y +=． （2）当直线l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为(2)y k x =+，代入椭圆C 的方程22162x y +=，并整理得： 22223112126()0k x k x k ++-=+，设1122(,)(,)M x y N x y ，则2212122212126,3131k k x x x x k k -+=-=++ 2222121212226(1)||1||1()431k MN k x x k x x x x k +∴=+-=++-=+g g 坐标原点O 到直线l 的距离2|2|1k d k +=，46πsin cos ,()32OM ON θθθ=≠u u u u r u u u r Q g ， 263MON S ∴=△ 2222611|2|2(1)31||21623MON k kS k k MN d +∴==⨯⨯=++△ 解得33k =±，此时直线l 的方程为3(2)3y x =±+x'+0-()g xg x Z极大值] ()吉林省长春十一中2016届高三上学期12月月考数学（文科）试卷解析一、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(每题5分，共60分)1．【分析】由A与B，求出两集合的交集，确定出交集中的最小元素即可。
【解答】解：∵A={x|x=2n﹣1，n∈N*}={1，3，5，7，9，11，…}，B={y|y=5m+1，m∈N*}={6，11，16，…}，∴A∩B中最小元素为11，2．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出。
北京十一学校高三十二月月考 2015.12.12
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作北京十一学校2016届高三十二月月考 2015.12.12数学卷（理科） 时间：120分钟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本题共8道小题,在每一小题只有一个正确答案，每小题5分，满分共40分）1.复平面内，复数ii-1对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛=121|xx A ，集合{}0lg |>=x x B ，则=B A （ ）A ．{}0|>x xB ．{}1|>x xC ．{}{}0|1|<>x x x xD ．φ4.下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()x x f sin = B ．()1+-=x x f C ．()x x x f +-=22lnD ．()()()1,021≠<+=-a a a a x f xx 5.已知圆()()111:22=-++y x C 与x 轴的公共点为A ，与y 轴的公共点为B ，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） A ．22-+=x y B ．211-+=x y C ．22+-=x y D ．21-+=x y 6.已知平面向量b a,的夹角为︒120，且1-=⋅b a ，则b a -的最小值为（ ）A ． 1B ． 3C ． 2D ． 6 7.已知函数()x f 满足()()111+=+x f x f ，当[]1,0∈x 时，()x x f =，若在区间(]1,1-上方程()0=--m mx x f 恰好有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,0 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,218.正方体D C B A ABCD ''''-的棱长为1，F E ,分别是棱C C A A '',的中点，过直线F E ,的平面分别与棱D D B B ''、交于N M ,，设[]1,0,∈=x x BM ，给出以下四个命题：①B D BD MENF ''⊥平面平面； ②当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()[]1,0,∈=x x f L 是单调函数； ④四棱锥MENF C -'的体积()x h V =为常值函数； 以上命题中假命题．．．的序号为（ ） A ．①④ B ．② C ．③ D ．③④二、填空题：（本题共6道小题，每小题5分，满分30分）9.在极坐标中，点⎪⎭⎫⎝⎛4,2π到圆θρcos 2=的圆心的距离为_____________. 10.若点)4,4(P 为抛物线px y 22=上一点，则抛物线焦点坐标为____________；点P 到抛物线的准线的距离为______________.11.在ABC ∆中，若7,5,120==︒=∠BC AB A ，则CBsin sin 的值为____________. 12.如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为_________________；表面积为________________.13.若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥ay x y x y x ,62,0,1表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是__________.14.曲线C 是平面内到直线1:1-=x l 和直线1:2=y l 的距离之积等于常数()02>k k 的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C 过点()1,1-；②曲线C 关于点()1,1-对称；③若点P 在曲线C 上，点B A ,分别在直线21,l l 上，则PB PA +不小于k 2；④设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1-=x ，点()1,1-及直线1=y 对称的点分别为321P P P 、、，则四边形3210P P P P 的面积为定值22k . 其中，所有正确结论的序号是_____________.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）15.（本小题13分）已知函数().,43cos 33sin cos 2R x x x x x f ∈+-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=π （I ）求()x f 的最小正周期； （II ）求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上的最大值和最小值. 16.（本小题13分）已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列. （I ）求{}n a 的通项公式及⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和；（II ）设n S 表示{}n a 的前n 项和，{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足()01442=++-S q a q ，求{}n b的通项公式及其前n 项和n T . 17.（本小题14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PAD 平面平面⊥，F E ,分别为BDPA ,中点，2===AD PD PA . （I ）求证：PBC EF 平面//； （II ）求二面角P ED F --的余弦值；（III ）在棱PC 上是否存在一点G ，使EDF GF 平面⊥？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由.18.（本小题13分）已知函数()()().0,12ln 2142122>++++-=a x a x a x x f （I ）求函数()x f 的单调区间； （II ）当41>a 时，存在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,210x ，()20221a x f -<，求实数a 的取值范围. 19.（本小题14分）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为)0,1(F ，短轴的端点分别为21,B B ，且a FB FB -=⋅21.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过点F 且斜率为()0≠k k 的直线l 交于椭圆于N M ,两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .与MN 的交点为P ，试求MNDP 的取值范围.20.（本小题13分）若数列 ,,,,,,21012a a a a a --满足()Z n a a a n n n ∈+=+-311，则称{}n a 具有性质A . （I ）若数列{}{}n n b a 、具有性质A ，k 为给定的整数，c 为给定的实数.以下四个数列中哪些具有性质A ？请直接写出结论.①{}n a -；②{}n n b a +；③{}k n a +；④{}n ca . （II ）若数列{}n a 具有性质A ，且满足1,010==a a .（i ）直接写出()Z n a a n n ∈+-的值； （ii ）判断{}n a 的单调性，并证明你的结论.（III ）若数列{}n a 具有性质A ，且满足20152004a a =-.求证：存在无穷多个整数对()m l ,，满足()m l a a m t ≠=.北京十一学校2016届高三十二月月考答案 2015.12.12数学卷（理科） 时间：120分钟一、选择题：BAACADBC 二、填空题：9. 1 10. ()0,1；5 11.53 12. 38；32246++ 13. ()5,3 14. ②③ 三、解答题：15.解：（I ）由已知，有()43cos 3cos 23sin 21cos 2+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=x x x x x f ………………1分 43cos 23cos sin 212+-⋅=x x x43cos 432sin 41++-=x x ………………3分x x 2cos 432sin 41-= ⎪⎭⎫⎝⎛-=3sin 2cos 3cos 2sin 21ππx x ………………4分⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 21πx ………………5分 所以，()x f 的最小正周期ππ==22T ………………6分（II ）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,4ππx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,6532πππx ………………7分 故由当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-2,6532πππx ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈12,4ππx 时，()x f 单调递减；………………8分 故由当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,232πππx ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,12ππx 时，()x f 单调递增；………………9分 以及414,2112,414=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-πππf f f ………………10分得当4π=x 时，()x f 取到最大值41； 当12π-=x 时，()x f 取到最大值21-………………13分故()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=+121121*********n n n n a a n n ，………………4分 有12121121121121215131213112111113221+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++n n n n n a a a a a a n n …6分 （II ）由（I ）得，()()()21212121231n n n a a n n S n n =-+=+=-+++= ………………8分16,744==S a .因为()01442=++-S q a q ，即01682=+-q q ………………9分所以()042=-q ，从而4=q ………………10分又因21=b ，是{}n b 公比4=q 的等比数列，所以12111242---=⋅==n n n n q b b ………………11分从而{}n b 得前n 项和()()1432111-=--=n n n q q b T ………………13分考点：等差数列、等比数列、数列求和. 16.解：（I ）如图，连接AC .因为四边形ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分. 又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点.在PAC ∆中，E 是PA 中点，F 是AC 中点，所以PC EF //.………………2分 又因为PBC PC PBC EF 平面，平面⊂⊄，………………3分 所以PBC EF 平面//. ………………4分 （II ）取AD 中点O .在PAD ∆中，因为PD PA =， 所以AD PO ⊥.因为ABCD PAD 平面平面⊥，且AD ABCD PAD =平面平面 ，所以ABCD PO 平面⊥ 因为ABCD OF 平面⊂，所以OF PO ⊥. 又因为F 是AC 中点，所以AD OF ⊥.………………5分如图，以O 为原点，OP OF OA ,,分别为z y x ,,轴，OA 为单位长建立空间直角坐标系……6分 因为2===AD PD PA ，所以3=OP ，则()()()()0,0,1,0,2,1,0,2,1),0,0,1(,0,0,0--D C B A O()()0,1,0,23,0,21,3,0,0F E P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 于是()()0,1,1,23,0,23,0,2,0=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=DF DE AB . 因为PAD OF 平面⊥，所以()0,1,0=OF 是平面PAD 的一个法向量.………………7分设平面EFD 的一个法向量是()000,,z y x n =.因为⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DE n DF n ………………8分所以⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-=-==+=+.3,,02323,000000000x z x y z x y x 即 令10=x ，则()3,1,1--=n.所以5551,cos ==⋅⋅=><nOF n OF n OF………………9分 由图可知，二面角P ED F --为钝角，故二面角P ED F --的余弦值为55-.……………10分 （III ）假设在棱PC 上存在一点G ,使得⊥GF 平面.EDF设),,,(111z y x G 则),1,(111z y x FG -=.由(II )知平面EDF 的一个法向量是)3,1,1(--=n …11分因为EDF GF 平面⊥，所以可设()λλλλ3,,--==n FG， 则λλλ3,1,111-=-==z y x .又因为点G 在棱PC 上，所以PC CG 与共线………………12分 因为()()111,2,1,3,2,1z y x CG PC -+=--=， 所以32211111-=-=-+z y x ，即332111--=--=-+λλλ，无解………………13分 故在棱PC 上不存在一点G ，使得EDF GF 平面⊥………………14分 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角17.解：（1）()()()()()()1221212142112121421+--=+++--+=++++-='x a x x x a a x x x a a x x f ……………2分令()0='x f ，则a x x 221==或 ……………………3分 i 、当212>a ，即41>a 时，x⎪⎭⎫⎝⎛-21,21 21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,21 a 2()+∞,2a所以()x f 的增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21和()+∞,2a ，减区间为⎪⎭⎫⎝⎛a 2,21………………5分 ii 、当212=a ，即41=a 时，()()012122≥+-='x x x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21上恒成立， 所以()x f 的增区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21 ………………6分 iii 、当2120<<a ，即410<<a 时，所以()x f 的增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 2,21和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21，减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,2a ………………8分综上所述：410<<a 时，()x f 的增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 2,21和⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21，减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,2a41=a 时，()x f 的增区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21 41>a 时，()x f 的增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21和()+∞,2a ，减区间为⎪⎭⎫⎝⎛a 2,21………………9分 ()x f '+-+()x fx⎪⎭⎫⎝⎛-a 2,21 a 2⎪⎭⎫ ⎝⎛21,2a21⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 ()x f ' +-+()x f（II ）由题意，41>a 时，存在()200221,,21a x f x -<⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈，即41>a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21上的最小值小于2221a - ……………………10分 由（II ）41>a 时，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,21上递减，在()+∞,2a 上递增，，()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21上的最小值为()a f 2 …………………………………………11分所以()22212a a f -<，即()()2222114ln 2142122a a a a a a -<++++-……………………12分 化简得()41,14,114ln -<<+<+e a e a a ， 又41>a ，所以4141-<<e a ，所求实数a 的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,41e ………………13分 考点：导数综合18.解：（I ）依题意不妨设()()b B b B ,0,,021-，则()()b FB b FB ,1,,121-=--=……………1分 由a FB FB -=⋅21，得a b -=-21………………2分又因为122=-b a ，…………3分 解得3,2==b a所以椭圆C 的方程为13422=+y x . ……………………4分 （II ）依题直线l 的方程为()1-=x k y由()()01248431341222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 得 ………………5分 设()()2211,,,y x N y x M ，则2221222143124,438kk x x k k x x +-=+=+………………6分 所以弦MN 的中点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+222433,434k k k k ……………………7分 所以()()()()[]21221222122141x x x x k y y x x MN -++=-+-=………………8分=()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++22222243124443641k k k k k =()3411222++k k ……………………9分 直线PD 的方程为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=++3441343222k k x k k k y ， 由0=y ，得3422+=k k x ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,3422k k D ……………………10分 所以()3413222++=k k k DP …………………………11分 所以()()1114114134112341322222222+-=+=++++=k k k k k k k k MN DP ……………………12分 又因为112>+k ，所以11102<+<k .…………………………13分 所以411114102<+-<k 所以MN DP的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0……………………14分 19.解：（I ）①②③④………………4分（II ）（i ）故()Z n a a n n ∈=+-,0………………5分（ii ）（1）用数学归纳法证明当N n ∈时，有n n a a >+1当0=n 时，结论显然设()N k k n ∈=时，有k k a a >+1成立，则当1+=k n 时，有()1111122223++++++>>-+>-=k k k k k k k k a a a a a a a a 故()N n a a n n ∈>+1………………7分（2）当0<n 时，由（ii ），有()11,+-+--=-=n n n n a a a a当()()n n n n n n a a a a a a n n >->->≥+-≥-+++--111,,,01即得由（1）（2），有()Z n a a n n ∈>+1，故{}n a 单调递增………………9分 （III ）令k k k k a c a b --==20152014,，其满足402940192015201420152014402940290201520140,a a a a a b c a a b ========---- 记k k k c b d -=，则{}n d 也具有性质A ，且040290==d d 若01≠d ，则令1d d x k k =.{}n x 也具有性质A ，且1,010==x x 由（II ）知{}n x 单调递增，则1014029=>>x x ，矛盾 故01=d ，从而，由()Z n d d d n n n ∈+=+-311，及010==d d 可得()Z n d n ∈=0，即0,020152014=-=---n n n n a a c b ，n n a a --=20152014对一切整数n 成立. 故取()Z n n l n m ∈-=-=2015,2014，易得l m Z l m ≠∈,,（否则Z n ∉=24029），()m l ,满足题意 由n 有无穷多种取值，且不同的整数n 对应不同的整数对()m l ,， 知这样的整数对()m l ,有无穷多个………………13分。
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2016届北京市十一学校高三上学期12月月考数学（文科）一、选择题（共8小题；共40分）1. 若集合A=x x2=1，B=x x2−3x+2=0，则集合A∪B= A. 1B. 1,2C. −1,1,2D. −1,1,−22. “k=1”是“直线l1：kx+y+2=0与直线l2：x+ky−k=0平行”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件3. 已知x>0，y>0，且2x+y=1，则xy的最大值是 A. 14B. 18C. 4D. 84. 抛物线x2=12ay a≠0的焦点坐标是 A. a2,0 B. a2,0或 −a2,0C. 0,18a D. 0,18a或0,−18a5. 如图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的侧面积为是 A. 3B. +C. +D. +6. 过点M2,0作圆x2+y2=1的两条切线MA，MB（A，B为切点），则MA⋅MB= A. −12B. −32C. 12D. 327. 已知函数f x=x4+ax2+bx+c c<0，若函数是偶函数，且f f0=c4+c，则函数f x的零点的个数 A. 0B. 2C. 3D. 48. 在平面直角坐标系xOy中，记不等式组x+y≥0,x−y≤0,y≤2,所表示的平面区域为D，在映射T：u=x+y,v=x−y,的作用下，区域D内的点x,y对应的象为点u,v，则由点u,v所形成的平面区域的面积为 A. 2B. 4C. 8D. 16二、填空题（共6小题；共30分）9. 设复数z满足i z=−3+2i，则z的共轭复数z= ______．10. 已知直线l1：x+3y−6=0与直线l2：kx−y+m=0，k>0,0<m<2，若l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k= ______．11. 已知椭圆x2a +y2b=1a>b>0的离心率是13，则双曲线x2a−y2b=1的两条渐近线方程为______．12. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，b=5，并且S△ABC=53，则边c的长度为______．13. 已知过定点−1,0的动圆与直线x=1相切，则此动圆圆心轨迹方程是______．14. 已知点P3,4和圆C：x−22+y2=4．A，B是圆C上的两个动点，且 AB =23，则圆心到直线AB的距离d= ______；OP⋅ OA+OB（O为坐标原点）的取值范围是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 设数列a n的前n项和为S n=2a n−2n，（1）求a1，a4；（2）证明：a n2n是等差数列；（3）求a n的前n项和S n．16. 已知函数f x=4cosωx⋅sin ωx+π4ω>0的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f x在区间0,π2的单调区间．17. 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=2x−4，l2：y=x−1，设圆C的半径为1，圆心在l1上．（1）若圆心C也在直线l2上，①求圆C的方程；②过点A2,0作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆在直线l2截得的弦长为2，求圆C的方程．18. 如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：BC⊥平面PAB；（3）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行?若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．19. 已知函数f x=x ln x，g x=x3+ax2−x+2；,1，求函数g x的解析式；（1）如果函数g x的单调减区间为 −13（2）在1的条件下，求函数g x的图象过点P1,1的切线方程；（3）对任意的x∈0,+∞，若不等式2f x≤gʹx+2恒成立，求实数a的取值范围．F的直线l与20. 已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为0,1，离心率为e=5坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆的方程；（2）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线?若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；（3）设M m,0是线段OF（O为坐标原点）上的一个动点，且 MA+MB⊥AB，求m的取值范围．答案第一部分1. C2. A3. B4. C5. D6. D7. B8. C第二部分9. 2−3i10. 311. y=±223x12. 2113. y2=−4x14. 1；2,22第三部分15. （1）因为a1=S1，2a1=S1+2，所以a1=2，S1=2．n=2时，S2=2a2−22，a2=6；n=3时，S3=2a3−8，a3=16；n=4时，S4=2a4−16，a4=40．所以a1=2，a4=40．（2）由题设S n=2a n−2n，S n+1=2a n+1−2n+1，以上两式相减可得a n+1=2a n+1−2a n−2n，即a n+1−2a n=2n，即a n+12n+1−a n2n=12（常数）．所以a n2n 是首项为1，公差为12的等差数列．（3）由2可得a n2n =1+12n−1=12n+1，即a n=n+1⋅2n−1，所以S n=2n+12n−1−2n=n⋅2n．16. （1）f x=4cosωx⋅sin ωx+π4=22sinωx cosωx+22cos2ωx=2sin2ωx+cos2ωx+2=2sin2ωx+π4+ 2.因为f x的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω=π，故ω=1．（2）由1知，f x=2sin2x+π4+2．若0≤x≤π2，则π4≤2x+π4≤5π4．当π4≤2x+π4≤π2，即0≤x≤π8时，f x单调递增；当π2≤2x+π4≤5π4，即π8≤x≤π2时，f x单调递减．综上可知，f x在区间0,π8上单调递增，区间π8,π2上单调递减．17. （1）①由题设，圆心C是直线y=2x−4和y=x−1的交点，解得点C3,2．所以圆的方程是x−32+y−22=1．②由题可知，若切线的斜率不存在，直线x=2是圆C的一条切线．若切线的斜率存在，设切线方程为y=k x−2，则k2+1=1，解得k=34，即3x−4y−6=0．综上所述，所求切线方程为x=2和3x−4y−6=0．（2）因为圆心在直线l1上，所以不妨设圆心C的坐标为a,2a−4，因为圆在直线l2截得的弦长为，所以半弦长为22，且半径为1，圆心C到直线l2的距离为1−222=22，即2=22，所以3−a =1，解得a=4或a=2．所以圆心分别为4,4或2,0，所求圆C的方程为x−42+y−42=1或x−22+y2=1．18. （1）因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE为三角形PAC的中位线，所以DE∥PC．又因为DE⊄面PBC，PC⊂面PBC，所以DE∥平面PBC．（2）因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA⊂平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥面ABC．所以PA⊥BC．又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，所以BC⊥面PAB．（3）当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连接EF，连接DF．1可知DE∥平面PBC．因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF为三角形ABC的中位线，所以EF∥BC．又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．又因为DE∩EF=E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．19. （1）因为函数g x的单调减区间为 −13,1，所以gʹx=3x2+2ax−1<0的解集是 −13,1，所以将x=1代入方程3x2+2ax−1=0，解得a=−1，所以g x=x3−x2−x+2．（2）设切点为x0,y0，则gʹx=3x2−2x−1，所以切线的斜率为k=gʹx0=3x02−2x0−1，又因为切线过点1,1，所以切线方程为y−1=3x02−2x0−1x−1．因为切点在切线上也在曲线上，所以y0=x03−x02−x0+2y0−1=3x02−2x0−1x0−1解出x0=0,y0=2,或x0=1,y0=1.所以切线方程为y=1或x+y−2=0．（3）依题意有2x ln x≤3x2+2ax−1+2在x∈0,+∞上恒成立，所以a≥ln x−32x−12x恒成立．设 x=ln x−3x2−12x，即需求 x的最大值．ʹx=1x −32+12x=−x−13x+12x，令 ʹx=0，所以x=1或x=−13（舍）．当0<x<1时， ʹx>0，当x>1时， ʹx<0，所以x=1时， x取得最大值， x max=−2，所以a≥−2，所以a的取值范围是−2,+∞．20. （1）由已知b=1，由e=5得a2−b2a2=45，所以a2=5，椭圆的方程为x25+y2=1．（2）右焦点为F2,0，设直线l的方程为y=k x−2k≠0，A x1y1，B x2,y2．联立直线和椭圆的方程有x2+5y2=5,y=k x−2,化简整理后得1+5k2x2−20k2x+20k2−5=0，Δ>0恒成立．由根与系数的关系，有x1+x2=20k21+5k2,x1x2=20k2−51+5k2.因为点C与点A关于x轴对称，所以C x1,−y1．假设存在N x0,0满足题意，则BN=x0−x2,−y2，CN=x0−x1,y1．因为C，B，N三点共线，所以BN∥CN，所以x0−x2y1=−y2x0−x1，即y1+y2x0=x2y1+ x1y2．因此x0=k x1−2x2+k x2−2x1 k x1−2+k x2−2=2x1x2−2x1+x212=2⋅20k2−51+5k2−2⋅20k21+5k220k21+5k2−4=5 2 .所在存在定点N52,0，使得C，B，N三点共线．（3）由已知0≤m≤2，而MA+MB=x1−m,y1+x2−m,y2=x1+x2−2m,y1+y2，AB=x2−x1,y2−y1．因为 MA+MB⊥AB，所以x1+x2−2m,y1+y2⋅x2−x1,y2−y1=0，即x1+x2−2m x2−x1+k x1−2+k x2−2k x2−2−k x1−2=0，因为x1≠x2，所以1+k2x1+x2−2m−4k2=0，所以m=8k21+5k．因为k2=m8−5m >0，所以0<m<85，即当0<m<85时， MA+MB⊥AB．。