高一数学教案第二章《二次函数的图像》北师大版必修1
北师大版高中数学必修1《二章 函数 4 二次函数的再研究 4.1 二次函数的图像》优质课教案_29
《二次函数的图像》教学设计一、教材分析：二次函数是个高中数学一个非常重要的函数，是初中和高中数学的一个知识的交汇点，是研究一般函数图像、性质的一个很典型的函数模板。
从具体的二次函数的图像和性质方面去研究一些函数图像之间的变换特点和规律，进而引导学生对一般函数图像间的变换特点和规律的了解和掌握。
从特殊到一般，再由普遍的一般规律去指导具体的函数问题。
二、教学目标：1.会利用配方法对二次函数进行上下、左右平移做出分析;3.从对应的角度掌握函数图像平移、伸缩的实质;4.用一般的平移、伸缩的变化去指导具体的函数图像变换.三、重难点分析:1.重点:从二次函数图像的变换得出一般函数图像的变换;2.难点:从函数的概念上,用点的对应的角度将两个函数的图像的关系联系起来.四、教学方法:师生探究,用实际问题去找规律,再由一般的规律去指导实际问题.五、教学过程:(1)问题引出:对于初中学过的二次函数,我们了解了二次函数的开口方向,二次函数的对称轴,顶点坐标等问题,对于二次函数的图像,也有了一定的认识.那么对于二次函数各个参数a ，b ，c 对函数的图像有怎样的影响,我们可以通过多媒体的演示进行观察和总结.（2）动手实践:(1)请大家画出二次函数 与函数 的图像,并对其关系做出分析;(2)请大家画出二次函数 与函数 的图像,并对其关系做出分析;(3)请大家画出二次函数 与函数 的图像,并对其关系做出分析;思考:（1）从列表，描点的过程中，注意观察函数图像之间的关系； （2）从函数的图像分析总计图像的变换或平移方法;得出函数图像的平移变换结论(1) ;二次项系数变换主要由纵坐标的扩大或缩小得到；(2) ;顶点变化有图像的左右上下变化得到，即左加右减，上加下减；教师引导:从对应的角度去解释 ：由顶点坐标（0.0）变化顶点坐标（h.k ）（h>0,k>0）只需把图像先向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位。
学生探究：从对应的角度去解释其他的几种函数图像变换。
2021学年高中数学第二章函数2.4.1二次函数的图像学案含解析北师大版必修1.doc
§4 二次函数性质的再研究4．1 二次函数的图像知识点 二次函数的图像[填一填]1．二次函数函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫作二次函数．它的定义域是R .如果b ＝c ＝0，则函数变为y ＝ax 2.我们知道，它的图像是一条顶点为原点的抛物线．a >0时，抛物线开口向上，a <0时，抛物线开口向下．2．二次函数的图像变换(1)二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像可由y ＝x 2的图像横坐标不变，纵坐标伸长为原来的a 倍得到；(2)二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像可由y ＝ax 2的图像向左(h >0)(或向右(h <0))平移|h |个单位，再向上(k >0)(或向下(k <0))平移|k |个单位得到；(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像，可把它先配方，再由y ＝ax 2的图像平移得到；(4)函数y ＝f (x ＋a )的图像可由y ＝f (x )的图像向左(a >0)(或向右(a <0))平移|a |个单位得到；(5)函数y ＝f (x )＋k 的图像可由y ＝f (x )的图像向上(k >0)(或向下(k <0))平移|k |个单位得到．[答一答]1．函数y ＝ax 2和y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像之间有怎样的关系？提示：函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像可以由函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像向左(h >0)或向右(h <0)平移|h |个单位，再向上(k >0)或向下(k <0)平移|k |个单位得到．h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图像的平移变换，所以函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像形状相同，只是位置不同．2．函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像之间有怎样的关系？提示：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方可以得到其恒等形式y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，从而可以知道，由y ＝ax 2的图像如何平移就得到y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，即y ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a (a ≠0)中，二次项系数a 决定着函数图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线x ＝－b 2a，它是一条平行于y 轴或与y 轴重合的直线；a ，b ，c 共同决定抛物线顶点(－b 2a ，4ac －b 24a)的位置，c 的大小决定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的位置，当c ＝0时，抛物线经过坐标原点，当c >0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，当c <0时，交点在y 轴的负半轴．作二次函数图像一般用描点作图法和平移变换法．(1)描点作图法：①先找出顶点坐标，画出对称轴；②找出抛物线上关于对称轴对称的四个点；③把上述五点按从左到右的顺序用平滑的曲线连接起来．如果题中涉及二次函数及其图像，那么只需画出图像，截取需要的部分即可．(2)平移变换法：任意抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)都可转化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，并且都可由y ＝ax 2的图像经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示．①a 决定抛物线开口方向：a >0，开口向上；a <0，开口向下．②c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标，即抛物线过点(0，c )，在画抛物线简图时常常用到．③对称轴：直线x ＝－b 2a.在对称轴的两侧，二次函数的单调性相反． ④顶点坐标：(－b 2a ，4ac －b 24a )．当a >0时，4ac －b 24a 是二次函数的最小值；当a <0时，4ac －b 24a 是二次函数的最大值．⑤画二次函数的简图：求出顶点坐标，画出点(0，c )．注意开口方向及其对称轴，画出抛物线的简图，如图所示．类型一 二次函数的定义【例1】 当m 为何值时，函数y ＝(m －3)xm 2－9m ＋20是二次函数．【思路探究】 根据定义y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．【解】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9m ＋20＝2m －3≠0， 解得m ＝6或m ＝3且m ≠3，∴m ＝6，∴当m ＝6时，函数y ＝(m －3)xm 2－9m ＋20是二次函数．规律方法 不要忽略条件m －3≠0.已知函数y ＝(4a ＋3)x 4a 2－a －1＋x －1是一个二次函数，求满足条件的a 的值．解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋3≠04a 2－a －1＝2， 即⎩⎨⎧ a ≠－34a ＝－34或a ＝1，∴a ＝1.即a 的值为1时，函数为二次函数．类型二 二次函数的平移变换【例2】 将抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5先向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，求平移后的抛物线的解析式．【思路探究】 方法1：依据抛物线y ＝ax 2与y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的关系，求出经过两次平移后的抛物线所对应的函数解析式．方法2：由于抛物线的平移，其形状、开口方向不变，即a 相同，只是顶点的位置发生了改变，故先求抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5的顶点坐标，再求平移后抛物线的顶点坐标，从而得到函数解析式．【解】 方法1：抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5＝－(x －1)2＋6，向下平移1个单位长度，得抛。
关于二次函数的图像与性质的数学教案(9篇)
关于二次函数的图像与性质的数学教案（9篇）二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象讨论函数的阅历，培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间沟通争论，到达对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解，把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思索探究，猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互沟通、展现，表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。
误区三:无视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延长，而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质；2、会用二次函数的图象与性质解决问题；学习重点：二次函数的性质；学习难点：二次函数的性质与图像的应用；二学问点回忆：函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题：例 1：已知是二次函数，求m的值例 2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；（2）知函数的单调区间是，求a；例 3：求二次函数在区间[0，3]上的最大值和最小值；变式：（1）已知在[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。
秋学期高中数学北师大版必修一二次函数的图像教案
§2. 4 .1 二次函数的图像 1一、学习目标:1．会用描点法画出二次函数 与2()y a x h k =-+的图象；2．能结合图象确定抛物线 与2()y a x h k =-+的开口方向、对称轴与顶点坐标；3．通过比较抛物线 与2()y a x h k =-+同 的关系，培养观察、分析、总结的能力;二、教学要点:重点：画出形如与2()y a x h k =-+的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点坐标. 难点:理解函数 、2()y a x h k =-+与及其图象间的相互关系三、教学过程:教学活动设计补充完善 一.创设问题情景，引入新课 二次函数2axy =与c ax y +=2的图象都是轴对称图形，对称轴都是 ，有最大值或最小值，顶点都是 ，c ax y +=2的图象是函数2ax y =经过 移动得到.那么函数2ax y =的图象能否左右移动呢？它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有那些性质呢? 二、讲授新课（一）典例分析 例1、（1）在同一直角坐标系中做出y=23x 与 y=23(1)x -的图象，并指出三者的相同点、不同点和联系。
（2）在上面的坐标系中作出二次函数y=23(1)2x -+的图象.并与二次函数y=3(x-1)2的图象的性质进行比较.例2、能否用移动的观点说明函数y=23x 与 y=23(1)x -的图象之间的关系？ y=23(1)x - 和y=23(1)2x -+的图像呢？点拨：上面三函数图像之间的关系.：它们的图像都是 ，并且 相同，只是 不同，将函数23y x =的图象 平移 个单位，就得到函数()231y x =-的图像；再 平移 个单位，就得到函数()2312y x =-+的图象.对应训练：1、求下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标 （1）y=23(1)x + （2）y=23(2)4x --+ （3）21(5)32y x =+-2、试说明上述三个函数的增减性和最大值（最小值）§2.4 .1 二次函数的图象2一、学习目标: 1．能够正确说出c bx ax y ++=2图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。
二次函数的图像说课稿(精选6篇)
二次函数的图像说课稿（精选6篇）二次函数的图像说课稿 1尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天我说课的题目是《二次函数的图像》，这是北师大版必修1第二章的第四节课。
下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”、“为什么这样教？”三个问题，从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。
一、教材内容分析：１、本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。
一方面，本节课是对初中有关内容的深化，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。
2、教学目标定位。
根据教学大纲要求、新课程标准精神和高一学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。
第一个层面是基础知识与能力目标：理解二次函数的图像中a、b、c、k、h的作用，能熟练地对二次函数的一般式进行配方，会对图像进行平移变换，领会研究二次函数图像的方法，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；第二个层面是过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，养成即能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯；第三个层面是情感、态度和价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
3、教学重难点。
重点是二次函数各系数对图像和形状的影响，利用二次函数图像平移的特例分析过程，培养学生数形结合的思想和划归思想。
难点是图像的平移变换，关键是二次函数顶点式中h、k的正负取值对函数图像平移变换的影响。
二、教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
高中数学 第二章 函数 2.4.1 二次函数的图像学案 北师大版必修1(2021年最新整理)
2018版高中数学第二章函数2.4.1 二次函数的图像学案北师大版必修1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章函数2.4.1 二次函数的图像学案北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.4。
1 二次函数的图像1．理解y＝x2与y＝ax2(a≠0），y＝ax2与y＝(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的图像之间的关系．(重点)2．掌握a，h，k对二次函数图像的影响．(难点、易混点）[基础·初探]教材整理 1 函数y＝x2与函数y＝ax2(a≠0)的图像间的关系阅读教材P41～P42第2自然段结束有关内容，完成下列问题．二次函数y＝ax2（a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到．其中a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．下列二次函数图像开口,按从小到大的顺序排列为________．①f(x）＝错误!x2；②f(x）＝错误!x2；③f（x）＝－错误!x2;④f（x)＝－3x2。
【解析】y＝ax2(a≠0）的图像在同一直角坐标系中｜a|越大，开口就越小．【答案】④②③①教材整理 2 函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a（x＋h）2＋k(a≠0)的图像阅读教材P42第3自然段~P44的有关内容，完成下列问题．1．y＝ax2错误!y＝a（x＋h）2错误!y＝a(x＋h）2＋k。
2．将二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)通过配方化为y＝a（x＋h）2＋k(a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左右、上下平移得到函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的图像．3．在二次函数y＝a(x＋h）2＋k（a≠0）中,a决定了二次函数图像的开口大小及方向．判断（正确的打“√"，错误的打“×”)(1)二次函数y＝3x2的开口比y＝x2的开口要大．（）（2)要得到y＝－(x－2)2的图像，需要将y＝－x2向左平移1个单位．( ）(3）要得到y＝2(x＋1)2的图像,需将y＝2（x＋1)2－1的图像向上平移1个单位．( ）【答案】（1)×(2)×（3）√［小组合作型]二次函数图像间的变换（1）y＝x2；（2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像.【导学号：04100027】【精彩点拨】对每个函数列表、描点、连线作出相应的图像，然后利用图像分析y＝x2与y＝2x2－4x的关系．【尝试解答】列表:x－3－2－10123y＝x29410149y＝x2－272－1－2－127y＝2x2－301660－2064x由图像可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．法一:先把y＝x2的图像向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图像，然后把y＝(x－1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍,得到y＝2(x－1)2的图像,最后把y＝2(x－1）2的图像向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图像．法二：先把y＝x2的图像向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图像，然后再把y＝x2－1的图像向右平移1个单位长度得到y＝（x－1)2－1的图像,最后把y＝(x－1)2－1的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍,便可得到y＝2（x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像．任意抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）都可转化为y＝a（x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2的图像经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示．即上述平移规律“h值，正、负，左、右移”,亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．[再练一题］1．画二次函数y＝错误!x2－6x＋21的图像，并说明它是如何经过y＝错误!x2平移得到的．【解】∵y＝错误!x2－6x＋21＝错误!(x－6)2＋3，∴抛物线的顶点坐标为（6,3），对称轴为x＝6.令x＝0，求得y＝21，它与y轴交点为（0,21)，此交点距顶点太远,画图时利用不上．令y＝0,12x2－6x＋21＝0,∵Δ＜0,方程无实数解，∴抛物线与x轴没有交点．因此，画此函数图像,应利用函数的对称性列表,在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可．(1）利用二次函数的对称性列表：x45678y5 3.533。
高一数学北师大版必修1教学教案第二章4-2二次函数的性质
必修1《二次函数的性质再研究》教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》（北师大版）第二章第二节第二课时《二次函数的性质再研究》。
关于《二次函数的性质》在初中已经学习过，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为二节课（探究图象及其性质）。
二次函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习其他初等函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以二次函数性质应重点研究。
二、学生学习况情分析二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。
基于在初中教材的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，已经让学生掌握了二次函数的图象及一些性质，利用单调性、对称轴及顶点坐标求函数值域，本节课在课本给出的一个例题基础上研究了含参数二次函数值域的求解。
本节课需要认真设计问题来激发学生学习新知的兴趣和欲望。
三、设计思想1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。
如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是采用数形结合的思想，利用二次函数的性质求值域。
本节课，力图让学生通过对参数的讨论，从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究解决含参数函数的值域求解的方法，让学生去体会这种研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。
2.结合新课程实施的教学理念，在本课的教学中我努力实践以下两点：（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究尝试培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
（2）在教学过程中努力做到师生的互动，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法数形结合的思想.四、教学目标根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：1、知识与技能：掌握二次函数的图象与性质，能够根据二次函数的定义域、单调性，求函数值域的性质，提高学生理解和掌握知识的方法.2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法掌握从函数图象出发研究函数性质的数学方法，加深对函数概念的理解和研究函数的方法的认识。
高一数学北师大版必修1教学教案第二章4-1二次函数的图像
教学设计4.1 二次函数的图像教学分析二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的。
而在初中，已经学习了二次函数的概念和二次函数的图像与性质，因此本课的教学是在学生学过二次函数的上，运用图像变换的观点把二次函数2y x =的图像经过伸缩变换和平移变换，而得到二次函数2()(0)y a x h k a =++≠的图像。
并将这种平移变换迁移到一般的函数,由y=f(x)的图像得到y=f(x+a)+b 的图像。
教学目标知识与技能：理解二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用；能够熟练地对二次函数解析式配方，研究二次函数的平移运动，并将其迁移到其他的函数过程与方法：结合教材中“问题提出”“动手实践”等栏目，引导学生思考，探索，在解决问题中构建新知情感、态度与价值观：通过图像的变换和展示优美的函数图像来陶冶学生的情操，通过探究问题培养学生主动交流的合作精神，善于探索的思维品质 重点：二次函数图像的变换难点：将二次函数图像的平移变换迁移到其他函数教学过程一． 引入新课在初中，我们已经学习过二次函数，知道它的图像为抛物线，并了解了图像的开口方向，对称轴，定点等性质。
本节课将进一步研究二次函数的图像与性质，而函数的图像特征是研究其性质的有利工具，为了进一步研究二次函数的性质，本节课我们先探究二次函数图像间的关系。
二． 新课探究提出问题：①请回顾二次函数的定义；②二次函数的解析式有几种形式？③二次函数的图像是什么形状？如何快速画出草图？讨论结果①一般地，函数2(a,,0)y ax bx c b c a =++≠为常数，叫作二次函数．其中自变量的最高次数是2，自变量取值范围即函数的定义域是全体实数．②有三种形式：一般式：2(0)y ax bx c a =++≠；顶点式：2()(0)y a x h k a =++≠,顶点（h,k ）;交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠,其中12,x x 是图像与x 轴交点的横坐标.注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有交点式．当且仅当二次函数的图像与x 轴相交时，二次函数的解析式才有交点式．③二次函数的图像是抛物线．画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画． 探究问题1：函数2y x =与2(0)y ax a =≠的图像之间有什么关系？[师生共同活动]请同学们用列表法在同一直角坐标系下画出222y x y x ==与的图像2所示，就是把AB 伸长为原来的2倍，即AC 的长度，得到当x ＝1时y ＝2x 2对应的值；将y ＝x 2的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的2倍得到y ＝2x 2的图像．[学生活动]请同学们用类似的方法画出函数221--22y x y x ==与的图像，讨论下列问题 （1）上面二次函数的图像开口大小由谁来决定？（2）如何由22a (0)y x y x a ==≠的图像得到的图像？教师给出动画展示a 对2(0)y ax a =≠的图像的影响并给出总结：（1）a 决定了图像的开口方向，a>0开口向上，a<0开口向下；（2）a 决定了图像在同一直角坐标系下的开口大小，|a|越小开口越大；（3）2(0)y ax a =≠的图像可由2y x =的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a 倍而得到.探究问题2：函数2y ax =与2()(0)y a x h k a =++≠的图像之间有什么关系？[学生活动]在同一坐标系中画出22y x =与22(1)+3y x =+的图像，回答下列问题：（1）抛物线22y x =与22(1)+3y x =+的顶点分别是多少？开口的大小由谁决定？（2）观察图像，如何由的图像22y x =得到22(1)+3y x =+的图像？ [讨论结果]把22y x =的图像向左平移1个单位长度得到22(1)y x =+的图像，再把22(1)y x =+的图像向上平移3个单位得到22(1)+3y x =+的图像．（如图）[动手实践]1.你能说出函数23y x =-的图像怎样得到函数23(2)1y x =---的图像吗？2.如果把函数23y x =向右平移2个单位，再向上平移5个单位，你得到的是哪个函数的图像？请你写出解析式.3. 由2y ax =怎样得到2()(0)y a x h k a =++≠的图像？4.思考：对于二次函数2()(0)y a x h k a =++≠，a 的作用是什么？h 和k 又有什么作用.教师给出动画展示a,h,k 对2()(0)y a x h k a =++≠的图像的影响并给出总结：二次函数2()(0)y a x h k a =++≠中，a 决定了图像的开口大小及开口的方向；h 决定了图像的左右平移，h 正左移，h 负右移；k 决定了图像的上下平移，k 正上移，k 负下移.探究问题3：函数2y ax =与2(0)y ax bx c a =++≠的图像之间有什么关系？[学生活动]思考：函数22y x =与2241y x x =+-的图像之间有什么关系？讨论结果：将2241y x x =+-的解析式转化成它的等价形式顶点式22(1)3y x =+-，由此知可将22y x =向左移1个单位，再向下移3个单位.师生共同总结将一般式转化成顶点式的步骤：提取二次项系数；配方；整理；化简. 教师总结:一般地，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可得到它的恒等形式2()(0)y a x h k a =++≠，再由2y ax =的图像经过平移得到它的图像.[巩固训练]1.由23(2)4y x =++的图像经过怎样的平移变换，可以得到23y x =的图像？2.把函数22y x x =-的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得到的图像对应的函数解析式为___________________[教师总结]上面我们经历了由2y x =的图像得到2y ax =的图像，由2(0)y ax a =≠的图像得到2()(0)y a x h k a =++≠的图像的变换过程，那么由二次函数的平移变换，我们能否将它迁移到一般的函数呢？探究问题4：能否由y=f(x)的图像得到函数y=f(x+a)+b 的图像？让学生讨论上述问题，教师加以引导得到下列结论：应用举例例1.画出1y x =的图像，怎样得到函数11y x =+和121y x =-+的图像？ 设计意图：反比例型函数是后面经常碰到的函数，并将上面得到的结论加以应用. 解析：将1y x=的图像先向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 例2.二次函数f(x)和g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像上的点，求出函数f(x)的解析式：（1）函数2()g x x =,f(x)的顶点为（4，7）;（2）函数2()2(1)g x x =-+，f(x)的图像过点（0,2），（1，6）；设计意图：选择适当的解析式形式求二次函数的解析式.解析：（1）二次函数f(x)的图像与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，则设其解析式为f(x)＝(x ＋h )2＋k ，f (x )图像的顶点是(4，－7)，所以f (x )＝(x －4)2－7＝x 2－8x ＋9；（2）设2()2(0)f x x bx c a =-++≠，则(0)2(1)26f c f b c ==⎧⎨-=--+=-⎩所以26c b =⎧⎨=⎩ 则2()262f x x x =-++备选例题：画出2y x -=的图像，怎样得到351x y x -=-的图像？ 课堂小结：①a,h,k 对二次函数2()(0)y a x h k a =++≠图像的影响；②函数2y x =与函数2()(0)y a x h k a =++≠的图像变换规律；③函数y=f(x)与函数y=f(x+a)+b 的图像变换规律.布置作业：习题24 A 组47P 1,2,34.画出函数1y x -=的图像，怎样得到函数123y x -=-+的图像？ 板书设计： 一.二次函数的定义二.探究的四个问题： ①2y x =2(0)y ax a =≠②2y ax =2()(0)y a x h k a =++≠③2y ax =2(0)y ax bx c a =++≠④()y f x =()y f x a b =++三.例题的讲解 四.学生板书 五.课堂小结六.布置作业 本节课的教学设计中，主要涉及图像的移动，“形”十分突出，因此教师一定要注意用好“形”，但是，又不能仅仅满足于对“形”的认识，教材还设置了“抽象概括”，意在从形出发，然后升华为对一般的函数的平移变换认识．这在上课时由学生自己根据提供的资料悟出，然后根据将它加以应用。
2.4.1二次函数的图像教案 秋学期高中数学北师大版必修1
2.4.1二次函数的图像一. 教学内容：二次函数的图像二. 教学要求：1. 掌握二次函数的对称性、单调性、最值公式及图象。
理解并掌握二次函数、二次方程与二次不等式的内在联系，能利用“数形结合”，“判别式”和“韦达定理”讨论二次方程根的情况及二次不等式的解集。
2. 理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质。
3. 掌握指数与对数函数的概念，图象和性质，会用定义法证明指数函数与对数函数的单调性，能应用其性质解（证）相关问题。
三. 知识串讲（一）二次函数1. 形如f(x)＝ax 2+bx+c （a ≠0）的函数叫做二次函数。
（1）二次函数的解析式一般式：f x ax bx c a ()()=++≠2顶点式：，其中，为顶点坐标。
f x a x m n a m n ()()()()=-+≠20两根式：，其中，是二次式的根。
f x a x x x x a x x ()()()()=--≠12120（2）图象和性质 直线为抛物线的对称轴，顶点坐标为，x b a b a ac b a =---22442()a xb a f x >∈-∞-02时，抛物线开口向上，，时，单调递减(]()x b a f x ∈-+∞[)()2，时，单调递增x b a y ac b a =-=-2442时，mina xb a f x <∈-∞-02时，抛物线开口向下，，时，单调递增(]()x b a f x ∈-+∞[)()2，时，单调递减x b a y ac b a =-=-2442时，max 2. 二次函数、二次方程与二次不等式y ax bx c a =++>20() ∆=-b ac 24∆>⇔++=<0021212ax bx c x x x x 有两个不等实根，（设）⇔=++抛物线与轴有两个交点，，，y ax bx c x x x 21200()() 则的解集为或ax bx c x x x x 2120++><>ax bx c x x x 2120++<<<的解集为∆=⇔++===-002212ax bx c x x b a 有两个相等实根⇔=++-抛物线与轴有一个交点，y ax bx c x b a 220() 则的解集为且ax bx c x R x b a 202++>∈≠-ax bx c 20++<∅的解集为∆<⇔++=002ax bx c 无实数根 ⇔=++抛物线与轴没有交点y ax bx c x 2则的解集为ax bx c R 20++>ax bx c 20++<∅的解集为 如下图：y ax bx c a b ac =++>=-2204()∆3. 二次函数在闭区间上必有最大、最小值，它们只能在区间端点或顶点处取得。
高中数学 第二章 二次函数的图像教案 北师大版必修1
高中数学 第二章 二次函数的图像教案 北师大版必修1 教学目的：理解二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用；领会二次函数图像移动的方法 教学重点：二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用教学难点：领会二次函数图像移动的方法教学方法：逐层推进教学过程：一．复习引入说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点(1) y = (x+2)2-1， (2) y = - (x -2)2+2 ， (3) y = a (x+h)2+k二．问题探索探索问题1：2y x =和2(0)y ax a =≠的图像之间有什么关系？实践探究1：在同一坐标系中做出下列函数的图像; 2y x =; 22y x =; 212y x = 观察发现1:１.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图像可由的y=x 2图像各点纵坐标变为原来的a 倍得到.２.a 决定了图像的开口方向: a>o 开口向上，a<0开口向下.3. a 决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大 巩固性训练一下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1).21()4f x x =; 21()2f x x =; 21()3f x x =-; 2()3f x x =- 探索问题2：2(0)y ax a =≠ 和 2(),(0)y a x h k a =++≠的图像之间有什么关系？实践探究2：在同一坐标系中做出下列函数的图像：22y x = ； 22(1)y x =+； 22(1)3y x =+-观察发现2：二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0),a 决定了二次函数图像的开口大小及方向；而且“a 正开口向上，a 负开口向下”；｜a ｜越大开口越小；h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”。
巩固性训练二：１.将二次函数y=3x 2的图像平行移动,顶点移到（－３，２），则它的解析式为Y=3(x+3) 2+2 。
北师大版高中数学必修1《二章 函数 4 二次函数的再研究 4.1 二次函数的图像》优质课教案_1
《二次函数的图像》教案
【三维目标】
1．知识与技能：
理解二次函数中参数a，h，k对图像的影响，熟练掌握对二次函数解析式进行配方。
掌握图像变换规律。
2．过程与方法：
让学生通过学习二次函数的图像变换，借助图形直观认识函数图像的变换,找到一般的变换规律,体会从特殊到一般以及数形结合的数学思想。
3．情感、态度与价值观：
通过图像的变换，展示数学中的图形美陶冶学生的情操，通过探究问题培养学生良好的思维品质。
【学习重点与难点】
重点：二次函数图像变换规律及应用。
难点：二次函数的图形变换规律迁移到其他函数。
教学过程：
渭南中学
李卫娟2017年12月。
高中数学第二章函数二次函数的图像学案含解析北师大版必修1
高中数学北师大版必修1：§4二次函数性质的再研究4．1二次函数的图像知识点二次函数的图像[填一填]1．二次函数函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫作二次函数．它的定义域是R.如果b＝c＝0，则函数变为y＝ax2.我们知道，它的图像是一条顶点为原点的抛物线．a>0时，抛物线开口向上，a<0时，抛物线开口向下．2．二次函数的图像变换(1)二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像横坐标不变，纵坐标伸长为原来的a 倍得到；(2)二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可由y＝ax2的图像向左(h>0)(或向右(h<0))平移|h|个单位，再向上(k>0)(或向下(k<0))平移|k|个单位得到；(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，可把它先配方，再由y＝ax2的图像平移得到；(4)函数y＝f(x＋a)的图像可由y＝f(x)的图像向左(a>0)(或向右(a<0))平移|a|个单位得到；(5)函数y＝f(x)＋k的图像可由y＝f(x)的图像向上(k>0)(或向下(k<0))平移|k|个单位得到．[答一答]1．函数y＝ax2和y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像之间有怎样的关系？提示：函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可以由函数y＝ax2(a≠0)的图像向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到．h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图像的平移变换，所以函数y ＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像与函数y＝ax2(a≠0)的图像形状相同，只是位置不同．2．函数y＝ax2和y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像之间有怎样的关系？提示：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可以得到其恒等形式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，从而可以知道，由y＝ax2的图像如何平移就得到y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像．在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，即y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a(a≠0)中，二次项系数a决定着函数图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b和a共同决定抛物线对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线x ＝－b2a ，它是一条平行于y 轴或与y 轴重合的直线；a ，b ，c 共同决定抛物线顶点(－b 2a ，4ac －b 24a )的位置，c 的大小决定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的位置，当c＝0时，抛物线经过坐标原点，当c >0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，当c <0时，交点在y 轴的负半轴．作二次函数图像一般用描点作图法和平移变换法．(1)描点作图法：①先找出顶点坐标，画出对称轴；②找出抛物线上关于对称轴对称的四个点；③把上述五点按从左到右的顺序用平滑的曲线连接起来．如果题中涉及二次函数及其图像，那么只需画出图像，截取需要的部分即可． (2)平移变换法：任意抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)都可转化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，并且都可由y ＝ax 2的图像经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示．①a 决定抛物线开口方向：a >0，开口向上；a <0，开口向下．②c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标，即抛物线过点(0，c )，在画抛物线简图时常常用到． ③对称轴：直线x ＝－b2a.在对称轴的两侧，二次函数的单调性相反．④顶点坐标：(－b 2a ，4ac －b 24a )．当a >0时，4ac －b 24a 是二次函数的最小值；当a <0时，4ac －b 24a 是二次函数的最大值．⑤画二次函数的简图：求出顶点坐标，画出点(0，c )．注意开口方向及其对称轴，画出抛物线的简图，如图所示．类型一 二次函数的定义【例1】 当m 为何值时，函数y ＝(m －3)xm 2－9m ＋20是二次函数． 【思路探究】 根据定义y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．【解】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9m ＋20＝2m －3≠0，解得m ＝6或m ＝3且m ≠3，∴m ＝6，∴当m ＝6时，函数y ＝(m －3)xm 2－9m ＋20是二次函数． 规律方法 不要忽略条件m －3≠0.已知函数y ＝(4a ＋3)x 4a 2－a －1＋x －1是一个二次函数，求满足条件的a 的值．解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋3≠04a 2－a －1＝2，即⎩⎨⎧a ≠－34a ＝－34或a ＝1，∴a ＝1.即a 的值为1时，函数为二次函数． 类型二 二次函数的平移变换【例2】 将抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5先向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，求平移后的抛物线的解析式．【思路探究】 方法1：依据抛物线y ＝ax 2与y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的关系，求出经过两次平移后的抛物线所对应的函数解析式．方法2：由于抛物线的平移，其形状、开口方向不变，即a 相同，只是顶点的位置发生了改变，故先求抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5的顶点坐标，再求平移后抛物线的顶点坐标，从而得到函数解析式．【解】 方法1：抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5＝－(x －1)2＋6，向下平移1个单位长度，得抛物线y ＝－(x －1)2＋6－1，再向左平移4个单位长度，得抛物线y ＝－(x －1＋4)2＋5.整理得y ＝－x 2－6x －4.方法2：∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5＝－(x －1)2＋6，∴它的顶点坐标是(1,6)，向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度后的抛物线的顶点坐标是(－3,5)，故新的抛物线的解析式为y ＝－(x ＋3)2＋5＝－x 2－6x －4.规律方法 一般地，求经过平移后的抛物线的解析式，运用顶点式要简单些．若将二次函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度，得到二次函数f (x )＝x 2－3x ＋2的图像，则a 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：函数f (x )＝x 2＋x 通过配方可得f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14，将它的图像向右平移a (a >0)个单位长度后，对应的函数解析式为f (x －a )＝⎝⎛⎭⎫x ＋12－a 2－14.函数f (x )＝x 2－3x ＋2通过配方可得f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －322－14，由题意得12－a ＝－32，解得a ＝2.故选B. 类型三 二次函数的形状和位置【例3】 将二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数y ＝x 2－2x ＋1的图像，求b 与c .【思路探究】 要求b 与c ，需先求函数y ＝x 2＋bx ＋c 的解析式，要求解析式，应先求抛物线的顶点坐标，根据两条抛物线的平移情况可以确定其顶点坐标．【解】 ∵函数y ＝x 2－2x ＋1可变形为y ＝(x －1)2， ∴抛物线y ＝x 2－2x ＋1的顶点坐标为(1,0)．根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图像，即把抛物线y ＝x 2－2x ＋1的图像向下平移3个单位，再向右平移2个单位就可得到抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图像，此时顶点B (1,0)平移至点A (3，－3)处．∴抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点是(3，－3)． 即y ＝(x －3)2－3＝x 2－6x ＋6， 对照y ＝x 2＋bx ＋c ，得b ＝－6，c ＝6.规律方法 抛物线y ＝a (x ＋h )2＋k 在平移时，a 不变，只是h 或k 发生变化，故抛物线的平移问题，关键在于准确求出顶点的坐标，掌握顶点位置的变化情况．阅读下面文字后解答问题．有这样一道题目：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像经过点A (0，a )，B (1，－2)，c ＝1(答案不唯一)，求证：这个二次函数图像的对称轴是直线x ＝2”．题目中的横线部分是一段被墨水污染而无法辨认的文字，请你根据已有的信息，在原题中的横线上，添加一个适当的条件，把原题补充完整．解析：根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ·02＋b ·0＋c ＝a ，a ·12＋b ·1＋c ＝－2，－b 2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝1，∴二次函数的解析式为y ＝x 2－4x ＋1.根据求出的二次函数解析式再任意写出一个要求补充的条件即可．例如c ＝1或b ＝－4；经过点(－1,6)或(4,1)或(2，－3)等等即可．类型四 二次函数图像的应用【例4】 如图是一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20m ，水位上升3m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10m.(1)在如图的坐标系中，求抛物线的解析式；(2)若洪水到来时，水位以0.2m/h 的速度上升，从警戒线开始，再持续多长时间才能到拱桥顶．【思路探究】 (1)从图形可知抛物线为y ＝ax 2的形式，且点D 、B 在抛物线上，AB ＝20m ，BE ＝10m ，DF ＝12CD ＝5m ，EF ＝3m.∵点B 在点D 下方，∴设点D 的坐标为(5，y )，则点B 的坐标为(10，y －3)，把D 、B 两点坐标代入抛物线y ＝ax 2中，可求出抛物线的解析式．(2)从(1)中可求出点D 的纵坐标，即从警戒线到拱桥顶的距离可知．又知水位以0.2m/h 的速度上升，就可求出再持续多长时间才能到拱桥顶．【解】 (1)∵CD ＝10，∴DF ＝12CD ＝5.∵AB ＝20，∴BE ＝12AB ＝10.设抛物线方程为y ＝ax 2，点D 的坐标为(5，y )． ∴点B 的坐标为(10，y －3)． 又∵点D 、B 在抛物线y ＝ax 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝25a ，y －3＝100a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－125，y ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－125x 2.(2)由(1)可得点D 的坐标为(5，－1)， ∴从警戒线到拱桥顶的距离为1m ，∴10.2＝5(h)． ∴若洪水到来时，水位以0.2m/h 的速度上升，再持续5h ，才能到拱桥顶．规律方法 把实际问题转化为数学问题，即转化为点的坐标及函数的解析式，应该注意点所在的象限，也就是点的坐标的符号．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图像的一部分，图像过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1； ③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( B ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：因为图像与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确； 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图像，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图像开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．——规范解答——二次函数图像的应用【例5】 作出函数y ＝G (x )＝x |x －2|，x ∈R 的图像，利用图像分别求G (x )＝1，G (x )≥1的解集．【自主解答】 G (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2－1，x ≥2，－(x －1)2＋1，x <2， 利用描点法作出图像，如图所示．在图像上作出y ＝1.可知：当x ＝1或x ＝1＋2时，G (x )＝1；当x ≥1＋2时，G (x )≥1.所以G (x )＝1的解集为{x |x ＝1，或x ＝1＋2}，G (x )≥1的解集为{x |x ≥1＋2，或x ＝1}．【点评】 1.函数图像的应用技巧(1)要熟悉一些常见的函数图像对称性的判定方法，如奇函数的图像、偶函数的图像等． (2)方程f (x )＝g (x )的解的个数可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像的交点个数． (3)不等式f (x )>g (x )的解集为f (x )的图像位于g (x )的图像上方的那部分点的横坐标的取值范围．2．两种常见图像的交换技巧(1)y ＝|f (x )|的图像是保留y ＝f (x )的图像中位于x 轴上半平面内的部分及与x 轴的交点，将y ＝f (x )的图像中位于下半平面内的部分以x 轴为对称轴翻折到上半平面中去而得到．(2)y ＝f (|x |)的图像是保留y ＝f (x )的图像中位于右半平面内的部分及与y 轴的交点，去掉左半平面内的部分而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y 轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到．若【例5】条件不变，要使方程x |x －2|＝a 有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围． 解：要使方程x |x －2|＝a 有三个不同的实数解，即函数y ＝G (x )＝x |x －2|与y ＝a 有三个不同的交点，G (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2－1，x ≥2－(x －1)2＋1，x <2利用描点法作出图像，如图所示． 在图像上作出y ＝a .可知0<a <1时，方程x |x －2|＝a 有三个不同的实数解．一、选择题1．已知一次函数y ＝ax ＋c 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，它们在同一坐标系中的大致图像是图中的( D )解析：排除法，A 图中一次函数a >0，二次函数a <0，故排除A ；同理排除C ；在B 图中由直线知c >0，而二次函数中c <0故排除B.选D.2．将二次函数y ＝3x 2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图像的解析式为( C )A ．y ＝3(x ＋2)2＋1B ．y ＝3(x －2)2－1C ．y ＝3(x －2)2＋1D ．y ＝3(x ＋2)2－1解析：将二次函数y ＝3x 2向右平移2个单位长度得到y ＝3(x －2)2的图像，再向上平移1个单位长度可得y ＝(x －2)2＋1的图像，故选C.3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，则y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为( D )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6 解析：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2＋bx ＋c ，将点(－1,0)、(3,0)代入y ＝－2x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＋c ＝0－18＋3b ＋c ＝0，解得b ＝4，c ＝6， ∴y ＝－2x 2＋4x ＋6. 二、填空题4．抛物线y ＝ax 2－4x ＋c 的顶点是(－1,2)，则a ＝－2，c ＝0.解析：由题意，得⎩⎨⎧2a ＝－14ac －164a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2c ＝0.5．二次函数y ＝12x 2＋3x ＋52的图像是由函数y ＝12x 2的图像先向左(左、右)平移3个单位，再向下(上、下)平移2个单位得到．解析：∵y ＝12x 2＋3x ＋52＝12(x ＋3)2－2，∴将y ＝12x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到y ＝12x 2＋3x ＋52的图像．三、解答题6．画出函数y ＝2x 2－4x －6的草图．解：y ＝2x 2－4x －6＝2(x 2－2x )－6＝2(x 2－2x ＋1－1)－6＝2[(x －1)2－1]－6＝2(x －1)2－8.函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，－8)， 对称轴为直线x ＝1.令y ＝0得2x 2－4x －6＝0，即x 2－2x －3＝0，∴x ＝－1或x ＝3， 令x ＝0得y ＝2－8＝－6，故函数图像与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)，与y 轴的交点坐标为(0，－6)． 画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)、(－1,0)、(3,0)、(0，－6)，画出直线x ＝1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)、(－1,0)、(3,0)、(0，－6)，在连线的过程中，要保持关于直线x ＝1对称，即得函数y ＝2x 2－4x －6的草图，如图所示．。
数学高一2.4.1二次函数的图象学案 北师大必修1
普通高中课程标准实验教科书 [北师版] –必修1第二章 函数§2.4.1二次函数的图象（学案）[学习目标]1、知识与技能(1) 通过绘制二次函数图象，观察二次函数图象的特征；(2) 通过画出具体二次函数的图象,总结二次函数2x y =和2ax y =以及 ()k h x a y +-=2的图象之间的关系和变换特征.(3) 利用多媒体绘画技术演示各函数图象之间的关系并能直观认识. 2、过程与方法(1)通过学习二次函数的图象，借助图形直观认识函数图象的变换,找到一般的变换 规律,完成从直观到抽象的转变.(2)了解运用多媒体技术制作演示函数函数图象,理解和研究二次函数的性质. 3、情感.态度与价值观通过学习感受到学习二次函数图象的必要性与重要性，增强学习函数的积极性和自信心.[学习重点]:二次函数图象的变换.[学习难点]：二次函数图象的绘制与想象以及发展到一般函数图象的变换结论． [学习用具]：直尺、多媒体和画图纸 [学习方法]：观察、思考、交流、总结. [学习过程] 【新课导入】 [互动过程1]我们初中学习过二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线,了解了抛物线的开口方向、对称轴、顶点等特征以及与系数之间的关系.请同学们回顾二次函数()02≠++=a c bx ax y 的开口方向与谁的取值有关?抛物线的对称轴的方程是什么?顶点的坐标是什么?怎样表示出?练习 1.回答二次抛物线（1）322+-=x x y 的对称轴方程_________和顶点坐标__________;（2）11622++=x x y 的对称轴方程_______和顶点坐标________. [提出问题] 1．2x y =和()02≠=a ax y 的图象之间有什么关系?2．()02≠=a ax y 和()()02≠++=a k h x a y 的图象之间有什么关系?3．()02≠=a ax y 和()02≠++=a c bx ax y 的图象之间有什么关系?这三个问题是本节课所要解决的问题.引出课题： 2.4.1二次函数的图象1．请同学们列表画出函数2x y =和22x y =的图像x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x y = … 9 4 1 0 1 4 9 … 22x y =…18822818…[互动过程2]从表中你发现了什么?从图像上发生这样的变化?它们相对应的点之间有什么关系? 从表中我们不难发现,要得到22x 的值,只要把相应的2x 的值扩大____倍即可,在图像上 则可以看出把线段AB________为原来的____倍,即AC 的长度,得到当1=x时, 22y x =对应的值.同理,其余的x 的值对应的2x 的值,都_____为原来的___倍,就可以得到22y x =的图像了.请你用类似的方法画出221x y =和22x y -=的图像. 思考:（1）221x y =和22x y -=的图像与2x y =和22x y =的图像之间有什么关系? （2）二次函数()02≠=a ax y 与2x y =的图像之间有什么关系?请你总结出规律. 规律：二次函数()02≠=a ax y 的图像可以由2x y =的图像变化得到，横坐标____________，纵坐标__________________到原来的_____________倍. （3）二次函数()02≠=a ax y 中a 起什么作用?从图上可以看出，a 决定了图像的_________和__________________________. [互动过程3]请画出22y x =与()2213y x =++的图像,并回答下列问题:1．抛物线22y x =与()2213y x =++的顶点分别是______________.对称轴和开口方向_________________________那么开口大小呢？开口大小与谁有关呢？ 2．22y x =与()2213y x =++的图像有什么关系?抛物线22y x =的顶点为____________开口向_________, 对称轴为____________, ()2213y x =++的顶点是_________, 开口向________,对称轴为______________.从图上可以看出只要把22y x =向_________平移__________个 单位长度, 再向__________平移___________个单位长度就 可以得到()2213y x =++的图像.,它们的形状相同,位置不同. [互动过程4]1．你能说出由函数23x y -=的图像怎样得到函数 ()2321y x =---的图像吗?2．如果把函数25x y -=向右平移2个单位,再向上平移3个单位,你得到的是哪个函数的图像?请你写出解析式_______________________________.3．思考:对于二次函数()()20y a x h k a =++≠,a 的作用是什么?h 和k 分别代表什么含义?结论:一般地, 二次函数()()20y a x h k a =++≠,a 决定了二次函数图像的_________及___________;h 决定了二次函数图像的________平移,而且遵循的原则为“____________________”;k 决定了二次函数图像的__________平移,而且“_______________________”.4．思考:对于一个一般函数()y f x a b =++的图像与函数()y f x =的图像之间的关系怎样?你能由函数()y f x =的图像得到函数()y f x a b =++的图像吗? [互动过程5]1．你能写出函数2422-+=x x y 的顶点坐标吗?有哪些方法？请你把方程改写为 ()()20y a x h k a =++≠的形式吗？你能说出函数的图象是由22y x =的怎样进行平移的吗?2．请举出一例形如()02≠++=a c bx ax y 的函数改写为()()20y a x h k a =++≠形式的函数吗?试试看.3．你能写出函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点坐标吗?请你把函数改写为顶点式()()20y a x h k a =++≠的形式. 并说明函数的图象是怎样由()02≠=a ax y 的图象变来的.变化规律为: c bx ax y ++=2=_________________________,即把函数()02≠=a ax y 的图象向__________________________________平移_______________个单位,然后再向_________________平移________________个单位.4．二次函数()02≠++=a c bx ax y 中,确定函数图像开口大小和方向的参数是什么?确定函数图像位置的参数是什么?5．写出一个开口向下,顶点为(-3,1)的二次函数的解析式,并画出其图像.例1.二次函数()f x 和)(x g 的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数)(x g 的解析式和()f x 图像的顶点,写出函数()f x 的解析式.O xy（1）函数2)(x x g =,()f x 的顶点为(4,-7); （2）函数2)1(2)(+-=x x g ,()f x 的顶点为(-3,2)练习: 1．画出函数22y x =的图像,并由此图像得到函数2245y x x =-+的图像.练习: 2．不画函数的图像,你能说出由函数2y x =的图像怎样得到函数21232y x x =--的图像吗?练习: 3.画出函数1y x =的图像,怎样得到函数123y x =-+的图像?.练习: 4.画出函数2yx=-的图像,你能由函数2yx=-的图像,得到函数382xyx-=-的图像吗?[解决的问题]：1．2 3．4．〖课后练习〗P44练习1,2,3.〖课后作业〗P46习题1,2,3。
高中数学 第二章 函数 2.4 二次函数性质的再研究 2.4.1 二次函数的图像教案1 北师大版必修
高中数学第二章函数2.4 二次函数性质的再研究2.4.1 二次函数的图像教案1 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章函数2.4 二次函数性质的再研究2.4.1 二次函数的图像教案1 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4.1 二次函数的图像本节教材分析本节教材从三个递进的问题开始：1.解决二次函数的形状问题；2.解决其移动问题；3。
解决配方问题.三维目标理解二次函数的图像中k,,的作用，掌握研究二次函数移动的方法，能够熟练地对二次a,,bhc函数图像上下左右移动，并能迁移到其他函数，培养学生的变换作图的能力.教学重点:二次函数图像的变换．教学难点：将二次函数图像的上下左右移动迁移到其他函数.教学建议：处理本节课应在教师引导和学生动手的基础上,围绕三个问题，每走一步都抽象概括，再明晰一次.新课导入设计导入一:在初中，我们应经学过二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题。
导入二:高考试题中，有关二次函数的题目经常出现，二次函数是高中数学最重要的函数,因此有必要对二次函数的图像和性质进行深入学习，教师引出课题。
数学(北师大版)必修一教学设计：2-4-1二次函数的图像 Word版含答案
教学设计§4二次函数性质的再研究4．1二次函数的图像整体设计教学分析二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的．本节教材从三个递进的问题开始：1.解决二次函数的形状问题；2.解决其移动问题；3.解决配方问题．在教师引导和学生动手的基础上，围绕三个问题，每走一步都抽象概括，再明晰一次．这部分教材，信息技术大有用武之地．可以充分利用信息技术的动态特点，画出各种曲线族，把变化极其形象地表现出来，以便使学生掌握二次函数中各参数的变化对图像的影响．三维目标理解在二次函数的图像中a，b，c，h，k的作用，掌握研究二次函数移动的方法，能够熟练地对二次函数图像的上下左右移动，并能迁移到其他函数，培养学生变换作图的能力．重点难点教学重点：二次函数图像的变换．教学难点：将二次函数图像的上下左右移动迁移到其他函数．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在初中，我们已经学过了二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课进一步研究一般的二次函数的性质，引出课题．思路2.高考试题中，有关二次函数的题目经常出现，二次函数是高中数学最重要的函数，因此有必要对二次函数的图像和性质进行深入学习，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题①请回顾二次函数的定义.②二次函数的解析式有几种形式？③二次函数的图像是什么形状？如何快速画出其草图？讨论结果①一般地，函数y＝ax2＋bx＋c( a，b，c为常数且a≠0)叫作二次函数．其中自变量的最高次数是2，自变量取值范围即函数的定义域是全体实数．②有三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；零点式：y＝a (x－x1)(x－x2)(a≠0)．注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有零点式．当且仅当二次函数的图像与x轴相交时，二次函数的解析式才有零点式．③二次函数的图像是抛物线．画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画．“三点”是指：顶点，抛物线与x轴的两个交点；“一线”是指对称轴这条直线，“一开口”是指抛物线的开口方向，根据抛物线的这些特征描出其草图．如果抛物线与x轴仅有一个交点或没有交点时，可以先在抛物线上任取一点(除顶点)，再作出此点关于抛物线对称轴的对称点，这两个点和顶点合起来组成“三点”．提出问题①画出y＝x2的图像．并填写表1.表1何在图像上表现的？③如何由y＝x2的图像得到y＝2x2的图像？④如何由函数y＝f(x)的图像得到函数y＝Af(x)(A＞0，A≠1)的图像？讨论结果：①如图1是y＝x2的图像，图1如表2为所填表格：表2图2所示，就是把AB 伸长为原来的2倍，即AC 的长度，得到当x ＝1时y ＝2x 2对应的值．图2 图3③将y ＝x 2的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的2倍得到y ＝2x 2的图像．④将y ＝Af (x )的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的A (A ＞1)倍或缩短为原来的A (0＜A ＜1)倍得到y ＝Af (x )的图像．提出问题①在同一坐标系中画出y ＝2x 2，y ＝2(x ＋1)2，y ＝2(x ＋1)2＋3的图像，观察图像，如何由y ＝2x 2的图像得到y ＝2(x ＋1)2＋3的图像？②如何由y ＝ax 2的图像得到y ＝a (x ＋h )2＋k (h ≠0，k ≠0)的图像？ ③如何由y ＝f (x )的图像得到y ＝f (x ＋h )＋k (h ≠0，k ≠0)的图像？ ④由y ＝ax 2的图像如何平移得到y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像？讨论结果：①y ＝2x 2，y ＝2(x ＋1)2，y ＝2(x ＋1)2＋3的图像，如图4.图4观察图4，得把y ＝2x 2的图像向左平移一个单位长度得y ＝2(x ＋1)2的图像，再把y ＝2(x ＋1)2的图像向上平移3个单位得y ＝2(x ＋1)2＋3的图像．②把y ＝ax 2的图像向左(h ＞0)或向右(h ＜0)平移|h |个单位长度得y ＝a (x ＋h )2的图像，再把y ＝a (x ＋h )2的图像向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位得y ＝a (x ＋h )2＋k 的图像．③把y ＝f (x )的图像向左(h ＞0)或向右(h ＜0)平移|h |个单位长度得y ＝f (x ＋h )的图像，再把y ＝f (x ＋h )的图像向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位得y ＝f (x ＋h )＋k 的图像．④一般地，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可通过配方得到它的恒等形式y ＝a (x ＋h )2＋k ，从而就可以知道由y ＝ax 2的图像如何平移得到y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像．提出问题①二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，h，k对函数的图像有何影响？②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，确定函数图像开口大小及方向的参数是什么？确定函数图像位置的参数是什么？③写出一个开口向下，顶点为(－3，1)的二次函数的解析式，并画出其图像.讨论结果：①h，k只改变函数图像的顶点位置，不改变图像形状．②确定函数图像开口大小及方向的参数是a，确定函数图像位置的参数是a，b，c.③例如y＝－(x＋3)2＋1.其图像如图5所示，图5应用示例例1 二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式；(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7)；(2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)．活动：学生思考确定二次函数的开口大小和方向的参数，以及二次函数解析式的顶点式．解：如果二次函数的图像与y＝ax2的图像开口大小相同，开口方向也相同，顶点坐标是(－h，k)，则其解析式为y＝a(x＋h)2＋k，(1)因为f(x)与g(x)＝x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，f(x)图像的顶点是(4，－7)，所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9；(2)因为f(x)与g(x)＝－2(x＋1)2的图像开口大小相同，开口方向也相同，g(x)＝－2(x＋1)2又与y＝－2x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，所以f(x)与y＝－2x2的图像开口大小也相同，开口方向也相同．又因为f(x)图像的顶点是(－3,2)，所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.点评：本题主要考查二次函数的解析式、其图像和性质，以及数形结合的能力．已知二次函数的顶点坐标求其解析式时，常设二次函数的顶点式．变式训练1．函数y＝2x2＋4x－1的对称轴和顶点分别是()．A ．x ＝－2，(－2，－1)B ．x ＝2，(－2，－1)C ．x ＝－1，(－1，－3)D ．x ＝1，(－2,3)解析：由y ＝2x 2＋4x －1＝2(x ＋1)2－3得对称轴是x ＝－1，顶点是(－1，－3)． 答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |2x ＋3|，x 2，x ，x ∈(－6，－1)，x ∈[－1，1]，x ∈[1，6]，则f (2)等于( )．A ．2 2B ．2C ． 2D ．无法确定解析：∵2∈[1,6]，∴f (2)＝ 2. 答案：C3．将函数y ＝x 2－2x 的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为( )．A ．y ＝x 2＋6x ＋7B ．y ＝x 2－6x ＋7C ．y ＝x 2＋2x －1D ．y ＝x 2－2x ＋1解析：所得解析式为y ＝(x －2)2－2(x －2)－1＝x 2－6x ＋7.答案：B例2 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？ 分析：利用题设条件，再根据根与系数的关系列方程并解出抛物线方程的系数，之后利用二次函数图像的平移规律得到答案．解：由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开，得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ，由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k2，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269， 得4－2(3－k )3＝269.解得k ＝43.所以该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.点评：本题考查利用二次函数的知识解决问题．函数图像的平移会对解析式产生影响，但函数图像中的某些特征不会产生变化．我们要抓住变化的关键，对函数解析式中变化的系数进行讨论． 变式训练如果把函数y ＝ f (x )的图像平移，可以使图像上的点P (1,0)变成Q (2,2)，则函数y ＝ f (x )的图像经过此种变换后所对应的函数为( )．A ．y ＝f (x －1)＋2B ．y ＝f (x －1)－2C ．y ＝f (x ＋1)＋2D ．y ＝f (x ＋1)－2解析：点P (1,0)变成Q (2,2)可以看成将点P (1,0)向右平移一个单位，再向上平移2个单位得到点Q (2,2)，则将函数y ＝ f (x )的图像向右平移一个单位，再向上平移2个单位得函数y ＝ f (x －1)＋2的图像．答案：A知能训练1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)，则( )．A ．a ＝1，b ＝－4，c ＝－11B ．a ＝3，b ＝12，c ＝11C ．a ＝3，b ＝－6，c ＝11D ． a ＝3，b ＝－12，c ＝11解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝2，4ac －b24a ＝－1，11＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11.答案：D2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x 2＋bx ＋c ，x >0，x ≤0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝__________，关于x 的方程f (x )＝ x 的解的个数为__________．解析：∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－4)2－4b ＋c ＝c ，(－2)2－2b ＋c ＝－2.解得b ＝4，c ＝2，画出函数y ＝f (x )，y ＝x 的图像，它们的图像有3个交点，故关于x 的方程f (x )＝ x 有3个解．答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x 2＋4x ＋2，x >0，x ≤033．已知二次函数f (x )的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )＝__________. 解析：设f (x )＝a (x －1)2－2，因为过点(2,4)， 所以有a (2－1)2－2＝4，得a ＝6. 所以f (x )＝6(x －1)2－2＝6x 2－12x ＋4. 答案：6x 2－12x ＋4拓展提升问题：两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图像只可能是图6中的( )．图6解析：这是一道考查二次函数解析式中a ，b ，c 的性质与函数图像特征的相关题目．由于f (x )，g (x )图像的对称轴方程分别是x ＝－b 2a ，x ＝－a 2b ，且－b 2a 与－a2b 同号，即它们的对称轴位于y 轴的同一侧，由此排除A ，B ；又由C ，D 中给出的图像可断定它们开口方向相反，故ab ＜0.于是－b 2a ＞0，－a2b＞0，即它们的对称轴都位于y 轴右侧，排除C.答案：D课堂小结本节学习了：(1)二次函数的解析式及其求法． (2)变换法画二次函数的图像．作业习题2—4A组2、3、4.设计感想本节课的教学设计中，主要涉及图像的移动，“形”十分突出，因此教师一定要注意用好“形”，但是，又不能仅仅满足于对“形”的认识，教材还设置了“抽象概括”，意在从形出发，然后升华为对一般的数的认识．备课资料函数图像的变换函数的变换，教材中给出的实际是函数的平移变换，而变换还可以有对称变换、放缩变换等．所谓对称变换，是指对于两个函数y＝f(x)和y＝g(x)，如果对于定义域内的所有x都有f(x)＝g(－x)，那么它们的图像关于y轴对称，如果f(x)＝－g(x)，那么它们的图像关于x轴对称，如果f(x)＝－g(－x)，那么它们的图像关于原点O成中心对称，则称其中一个函数由另一个函数经对称变换而得到．所谓放缩变换，是指对于两个函数y＝f(x)和y＝g(x)，如果对于定义域内的所有x都有f(x)＝kg(x)，那么函数y＝f(x)的图像由函数y＝g(x)的图像在y轴方向上扩大a倍，如果f(x)＝g(kx)，那么函数y＝f(x)的图像由函数y＝g(x)的图像在x轴方向上压缩a倍，则称其中一个函数由另一个函数经放缩变换而得到．(设计者张新军)。
高中数学 第二章 二次函数1学案 北师大版必修1
高中数学 第二章 二次函数1学案 北师大版必修1 使用说明：1．认真阅读学习目标，仔细阅读课本，提前预习，完成自主学习部分。
2．课堂积极讨论，大胆展示，发挥高效学习小组作用，完成合作探究部分。
3．带“*”号题为难题，可选做，其它题为必做、必会题。
4．每天晚点前小组长将学案阅、评，并交科代表处，科代表晚点下速交老师。
学习目标：1. 掌握二次函数的图像和基本性质；2. 学会运用二次函数的图象和性质研究有关问题（解析式、最值、参数取值）. 学习重点：二次函数的性质。
学习难点：运用二次函数的性质求参数的取值范围。
学习过程：一、自主学习1、一般地，二次函数2()()(0)f x a x h k a =++≠中，a 决定二次函数的什么性质？h 和k 呢？2、指出二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域、值域、对称轴、顶点坐标、最值、单调性。
3、函数k ax x f +=2)(的图象过点)7,1(和点)4,0(，则)(x f 的表达式为( ) A.43)(2+=x x f B.52)(2+=x x f C. 23)(2+=x x f D.45)(2+=x x f 4、二次函数c bx x y ++-=22，满足)2()4(f f =，那么 )2(f 与)3(f 的关系是（ ） A ． )2(f >)3(f B ． )2(f <)3(f C ． )2(f =)3(f D ．不确定5、请在坐标轴中画出二次函数()22126f x x x =-+-的图像，并求函数在26x ≤≤时的最值及对应点的坐标。
小结：函数在闭区间上最值的求法。
二、合作探究6、已知二次函数()f x 的图像过()0,1、()1,1、()4,9-三点，求函数()f x 的解析式。
7、已知函数2()369f x x ax =+-在[)1,+∞上是递增的，求a 的取值范围。
8、函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围。
北师大版高中数学必修1《二章 函数 4 二次函数的再研究 4.1 二次函数的图像》优质课教案_24
§4二次函数性质的再研究4．1二次函数的图像●三维目标1．知识与技能(1)能够作出函数y＝a(x－h)2和y＝a(x－h)2＋k的图像，并能理解它与y＝ax2的图像的关系．(2)掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k图像的开口方向、对称轴和顶点坐标及a，h，k对二次函数图像的影响．经历二次函数y＝a(x－h)2＋k图像的形成过程，提高作图能力，学会观察比较，体验数形结合的数学思想．3．情感、态度与价值观(1)经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．(2)让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．●重点难点重点：二次函数图像的变换．难点：二次函数图像的上下左右移动．结合几何画板动态的演示函数图像的各种变换，让学生直观的感受到a，h，k对二次函数图像的影响．【问题导思】1．在初中已学习过二次函数，那么二次函数是如何定义的？它的定义域是什么？【提示】函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域为R.2．由y＝x2的图像如何得到y＝2x2和y＝－x2的图像？【提示】把y＝x2图像上各点的纵坐标变为原来的2倍即可得到y＝2x2的图像；把y ＝x2图像上各点的纵坐标变为原来的相反数，即可得到y＝－x2的图像．二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到．此时，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．一、函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的变换【问题导思】1．函数y＝x2的图像与函数y＝(x－1)2的图像有怎样的关系？如何由y＝x2的图像得到y＝(x－1)2的图像？【提示】它们的形状相同，位置不同．把y＝x2的图像向右平移1个单位就可得到y＝(x－1)2的图像．2．如何由y＝x2的图像得到y＝x2－1的图像？【提示】把y＝x2的图像向下平移1个单位．3．如何由y＝x2的图像得到y＝x2－2x－1的图像？【提示】y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，故只需把y＝x2的图像先向右平移1个单位，再向下平移2个单位．1．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像可由y＝ax2向左平移h个单位长度(h>0)，再向上平移k个单位长度(k>0)得到．2．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像可由y＝ax2向右平移|h|个单位长度(h<0)，再向下平移|k|个单位长度(k<0)得到．在二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图像的开口大小及方向．3．将二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左右、上下平移得到函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像.画出函数y＝2x2－4x－6的草图．【思路探究】选取二次函数上的特殊点及特殊的直线确定函数的草图．【自主解答】y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x)－6＝2(x2－2x＋1－1)－6＝2[(x－1)2－1]－6＝2(x－1)2－8.函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1.令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3，故函数图像与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，画出直线x＝1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如图所示．画二次函数的图像重点体现图像的特征“三点一线一开口”：1．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；2．“一线”是指对称轴这条直线；3．“一开口”是指抛物线的开口方向．在同一坐标系中作出下列函数的图像，并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像．(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.【思路探究】解答本题可就每个函数列表、描点、连线，作出相应图像，然后利用图像以及二次函数的平移变换规律分析y＝x2与y＝2x2－4x的图像之间的关系．【自主解答】(1)列表：(2)y＝2x2－4x＝2(x2－2x)＝2(x2－2x＋1－1)＝2(x－1)2－2.由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下：法一先把y＝x2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2x2的图像，然后把y＝2x2的图像向下平移2个单位长度得到y＝2x2－2的图像，最后把y＝2x2－2的图像向右平移1个单位长度得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像．法二先把y＝x2的图像向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图像，然后把y＝(x －1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2(x－1)2的图像，最后把y＝2(x－1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像．所有二次函数的图像均可以由函数y ＝x 2的图像经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下：y ＝x 2――→横不变纵变为原来的a 倍y ＝ax 2――→k >0，上移k <0，下移y ＝ax 2＋k ――→h >0，左移h <0，右移y ＝a (x ＋h )2＋k ，其中a 决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h 决定左、右平移，k 决定上、下平移．根据下列条件，求二次函数y ＝f (x )的解析式． (1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)； (2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)； (3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)． 【思路探究】 设二次函数 的解析式→列出含参数的方程(组)→解方程(组)→写出解析式【自主解答】 (1)设二次函数解析式为y ＝a (x －2)·(x －4)． 整理得y ＝ax 2－6ax ＋8a ， ∴8a ＝3，∴a ＝38.∴解析式为y ＝38(x －2)(x －4)；(2)设二次函数解析式为y ＝a (x －1)2＋2. 整理得y ＝ax 2－2ax ＋a ＋2， ∴a ＋2＝4，∴a ＝2. ∴解析式为y ＝2(x －1)2＋2； (3)设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝2.∴函数解析式为y ＝x 2－2x ＋2.求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选择解析式的形式，利用待定系数法求解．1．若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式．2．若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x －h )2＋k (其中顶点为(h ，k )，a 为常数，a ≠0)．3．若已知二次函数图像与x 轴的两个交点的坐标为(x 1,0)，(x 2,0)，则设所求二次函数为两根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a 为常数，且a ≠0)．课堂练习1．下列关于二次函数y ＝x 2＋x ＋1的开口方向和顶点的说法，正确的是( ) A ．开口向下，顶点(1,1) B ．开口向上，顶点(1,1) C ．开口向下，顶点(－12，34)D ．开口向上，顶点(－12，34)【解析】 ∵y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34，∴抛物线开口向上，顶点为(－12，34)．【答案】 D2．将函数y ＝x 2－2x 的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图像的解析式为( )A ．y ＝x 2＋6x ＋7B ．y ＝x 2－6x ＋7C ．y ＝x 2＋2x －1D ．y ＝x 2－2x ＋1 【解析】 ∵y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴平移后y ＝(x －3)2－2＝x 2－6x ＋7. 【答案】 B3．已知二次函数y ＝f (x )的图像如图2－4－1所示，则此函数的解析式为____．图2－4－1【解析】 由图像设f (x )＝ax 2＋3(a ≠0)． 把(2,0)代入得4a ＋3＝0，∴a ＝－34.∴f (x )＝－34x 2＋3.【答案】 y ＝－34x 2＋3。
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§4.1 二次函数的图像
教学目的：理解二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用；领会二次函数图像移动的方法 教学重点：二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用
教学难点：领会二次函数图像移动的方法
教学方法：逐层推进
教学过程：
一． 复习引入
说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点
(1) y = (x+2)2-1， (2) y = - (x-2)2+2 ， (3) y = a (x+h)2+k
二．问题探索
探索问题1：
2y x =和2(0)y ax a =≠的图像之间有什么关系？
实践探究1：在同一坐标系中做出下列函数的图像; 2y x =; 22y x =; 212
y x = 观察发现1:
１.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图像可由的y=x 2图像各点纵坐标变为原来的a 倍得到.
２.a 决定了图像的开口方向: a>o 开口向上，a<0开口向下.
3. a 决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大 巩固性训练一
下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1). 21()4f x x =; 21()2f x x =; 21()3
f x x =-; 2()3f x x =- 探索问题2：
2(0)y ax a =≠ 和 2(),(0)y a x h k a =++≠的图像之间有什么关系？
实践探究2：在同一坐标系中做出下列函数的图像：
22y x = ； 22(1)y x =+； 22(1)3y x =+-
观察发现2：
二次函数y=a(x+h)2+k (a ≠0),a 决定了二次函数图像的开口大小及方向；
而且“a 正开口向上，a 负开口向下”；｜a ｜越大开口越小；
h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；
k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”。
巩固性训练二：
１.将二次函数y=3x 2的图像平行移动,顶点移到（－３，２），则它的解析式为
Y=3(x+3) 2+2 。
2.二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数
g(x)=x 2+1，f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为 Y=(x-3) 2+2 。
探索问题3：
2(0)y ax a =≠，和2(0)y ax bx c a =++≠的图像之间有什么关系？
观察发现3：一般的，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠， 通过配方就可以得到它的恒等
形式：2(),(0)y a x h k a =++≠。
从而知道，由2(0)y ax a =≠ 的图像经过平移就可以得到2(0)y ax bx c a =++≠。
发展性训练
1. 由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移变换，可以得到y=3x 2的图像.
右移2单位，下移4单位
2. 把函数y=x 2-2x 的图像向右平移２个单位，再向下平移３个单位所得图像对应的
函数
解析式为 ： Y =(x-2)2-2(x-2)-3 = x 2- 6x+5 = (x-3)2-4 。
三．课堂小结：
１.a,h,k 对二次函数y =a(x+h)2+k 图像的影响。
２. y = x 2 与y =a(x+h)2+k 的图像变换规律。
四．课后作业：。