实数大小及不等式的基本性质
不等式的基本性质
(同向不等式相加 同向不等式相加) 同向不等式相加 (传递性 传递性) 传递性
= ( x + 10 x + 21) − ( x + 10 x + 24) = −3 < 0
2 2
所以 ( x + 3)(x + 7) < ( x + 4)(x + 6)
不等式的基本性质: 不等式的基本性质 (1 )如果 a > b , 那么 b < a ; 如果 b < a , 那么 a > b .即 (对称性 对称性) a>b⇔ b<a 对称性 ( 2 )如果 a > b , b > c , 那么 a > c .即 a > b , b > c ⇔ a > c
( iii )如果 a > b , c < d , 那么 a − c > b − d .
(4)如果a > b, c > 0, 那么ac > bc; 如果a > b, c < 0, 那么ac < bc. (乘法法则 乘法法则) 乘法法则 如果a > b > 0, c > d > 0, 那么ac > bd . (5)如果a > b > 0, 那么a n > bn ( n ∈ N , n ≥ 2).
高考数学知识点不等式的基本性质详解
高考数学知识点不等式的基本性质详解不等式的调查在高考中从未消逝，以下是不等式的基本性质详解，请参考。
不等式的基本性质
1.不等式的定义：a-bb,a-b=0a=b,a-b0a
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟习的知识背景，来看法作差法比大小的实际基础是不等式的性质。
作差后，为判别差的符号，需求分解因式，以便运用实数运算的符号法那么。
2.不等式的性质：
①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两局部。
不等式基本性质有：
(1)abb
(2)acac(传递性)
(3)ab+c(cR)
(4)c0时，abc
c0时，abac
运算性质有：
(1)ada+cb+d。
(2)a0,c0acbd。
(3)a0anbn(nN,n1)。
(4)a0N,n1)。
应留意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：和即推出关系和等价关系。
普通地，证明不等式就是从条件动身实施一系列的推出变换。
解不等式就是实施一系列的等价变换。
因此，要正确了解和运用不等式性质。
②关于不等式的性质的调查，主要有以下三类效果：
(1)依据给定的不等式条件，应用不等式的性质，判别不等式能否成立。
(2)应用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判别实数值的大小。
(3)应用不等式的性质，判别不等式变换中条件与结论间的充沛或必要关系。
以上为大家分享的不等式的基本性质详解希望大家可以熟练运用。
不等式的基本性质
＝－5＜0
∴（2x－5）（x＋1）＜2x2－3x
亲爱的同学们，下节课见！
第二章 不等式
2.1 不等式的基本性质
1.作差比较法：比较两个实数的大小，可以通过考察它们的差来实现.
对于两个任意的实数a和b，有：a－b＞0⇔a＞b；
a－b＝0⇔a＝b；
a－b＜0⇔a＜b.
2.不等式的性质.
（1）性质1（加法法则）：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.
（2）性质2（乘法法则）：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
（
√ ）
2.如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d.
（
√ ）
3.如果a＞b，且c＞d，那么ac＞bd.
（
× ）
三、选择题
1.已知a＞b，且ac＞bc，那么（
A. c＞0
B. c＝0
A ）.
C. c＜0
2.若m＞3，则下列不等式中必定成立的是（
A. m＞0
B. m－3＜0
3.如果a＞b，那么（
A. ac＜bc
（4）设a＞b，则－2a＜ －2b，
（5）设x＜y，则1－2x＞1－2y，
1 1
（6）设x＞y＞0，则 ＜ .
2.根据条件，写出x的取值范围：
（1）x＋4＞7， x＞3
（2）2x－1＜3，x＜2
（3）3－2x＞5， x＜－1
（4）2－x＜x－4， x＞3
二、判断题
1.如果a＜b，且b＜c，那么a＜c.
（
三、解答题
比较大小.
1.x2＋1与（x＋1）2，其中x＞0.
解：∵（x2＋1）－（x＋1）2
＝x2＋1－（x2＋2x＋1）
不等式基本概念与性质
不等式基本概念与性质不等式是数学中重要的概念之一，用于表示两个数的大小关系。
与等式相比，不等式描述的是不等关系，由此引出了不等式的基本概念与性质。
本文将从不等式的定义、不等式的解集、不等式性质等方面进行论述，旨在让读者更全面地了解不等式的基本概念与性质。
一、不等式的定义不等式是表示两个数的大小关系的数学式子，用不等号（>、<、≥、≤）进行表示。
其中，>表示“大于”，<表示“小于”，≥表示“大于等于”，≤表示“小于等于”。
二、不等式的解集不等式的解集由使不等式成立的所有实数组成。
解集的表示方法有两种：用区间表示和用集合表示。
（1）用区间表示解集当不等式中含有“>”、“<”时，解集用开区间表示。
例如，不等式x > 3的解集表示为(3, +∞)，表示所有大于3的实数。
当不等式中含有“≥”、“≤”时，解集用闭区间表示。
例如，不等式x≤ 5的解集表示为(-∞, 5]，表示所有小于等于5的实数。
（2）用集合表示解集当解集中的元素不连续时，用集合表示解集。
例如，不等式2 < x < 5的解集表示为{x ∈ R | 2 < x < 5}，表示所有大于2且小于5的实数。
三、不等式的性质不等式具有一些基本的性质，这些性质对于解不等式方程非常有帮助。
（1）加减性质若a > b，则a + c > b + c，a - c > b - c，其中c为任意实数。
（2）乘除性质若a > b 且 c > 0，则ac > bc；若a > b 且 c < 0，则ac < bc。
（3）倒数性质若a > b 且 c > 0，则1/a < 1/b；若a > b 且 c < 0，则1/a > 1/b。
这些性质可以用来化简不等式的形式，使得求解不等式更加简单。
四、不等式的图示为了更直观地理解不等式的解集，我们可以将不等式的解集用数轴表示出来。
不等式的基本性质8条证明过程不等式的基本性质和等式的基本性质的异同
不等式的基本性质：①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）⑤如果x>y，z>0，那么x÷z>y÷z；如果x>y，z<0，那么x÷z<y÷z；⑥如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数)，x的n次幂<y的n次幂（n为负数）或者说，不等式的基本性质有：①对称性；②传递性：③加法单调性：即同向不等式可加性：④乘法单调性：⑤同向正值不等式可乘性：⑥正值不等式可乘方：⑦正值不等式可开方：⑧倒数法则。
[2]……如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以上是其中比较有名的。
不等式的基本性质和等式的基本性质的异同：①相同点：无论是等式还是不等式，都可以在它的两边加（或减）同一个数或同一个整式；②不同点：对于等式来说，在等式的两边乘（或除以）同一个正数（或同一个负数），等式仍然成立，但是对于不等式来说，却不大一样，在不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向。
原理：①不等式F（x）< G（x）与不等式G（x）>F（x）同解。
②如果不等式F（x）< G（x）的定义域被解析式H（x ）的定义域所包含，那么不等式F （x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。
3不等式的性质证明和基本不等式
3.分析法: 由结论到条件，注意格式规范→步
步可逆即充要
x Ex：已知：
y 0 ，比较：
x y x y
与
x x
2 2
y y
2 2
的大小.
Ex：比较
x
2
与 2 x 的大小。
1 a b 1 b c 1 a c
ab 2
Ex：已知 a
b c ，求证：
Ex:已知 a , b
R , a b , 求证： a b b ( a b ) a
( Ex:已知 a , b R , 求证：
a
2
1
)2 (
b
2
1
1
1
)2 a 2 b 2
b
a
Ex：已知
求证： lg
2
a,b,c R ,
lg b c 2
且不全相等
a c 2 lg a lg b lg c
2
且可推广：
a,b,c R ,
a b c 3
3
abc 仅 当 a b c 0时 取 等 号
n
且进一步：
ai R ,
a1 a 2 a n n
a1 a n
称作：n个正数的算术平均数不小于它的几何平均数 且变形为：
1 a,b
二、不等式的基本性质
（1）传递性：a
b,b c a c
a （2）加法单调性：
a （3）乘法单调性：
b a c b c
b, c 0 ac bc b, c d a c b d b 0, c d 0 ac bd
2019-2020学年人教版高中数学选修4-5教材用书：第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 1.不等式的基本性
1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差与0的大小；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差与0的大小．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘一个数仍为等式，但不等式两边同乘同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N*)．已知x，y均为正数，设m＝x ＋y，n＝x＋y，试比较m和n的大小．两式作差――→变形 转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝＋－4xy＋＝－＋，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小． 解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2) ＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b2≥0. 当且仅当a ＝b 时，等号成立， 所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a29＋a4，B 点对应的实数为1，试判断A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a29＋a4－1＝－－9＋a4≤0，所以6a29＋a4≤1. 当且仅当a ＝±3时，等号成立，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合.已知a >b >0，c <d <0，e <0.求证：a －c >b －d .可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明． 法一：e a －c －eb －d＝－d －a ＋－－＝－a ＋c －－－，∵a >b >0，c <d <0，∴b －a <0，c －d <0.∴b －a ＋c －d <0.又∵a >0，c <0，∴a －c >0.同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴－a ＋c －－－>0，即e a －c >eb －d . 法二：⎭⎪⎬⎪⎫c<d<0⇒－c>－d>0a>b>0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c>b －d>0⇒1a －c <1b －d e<0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．已知x ≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y . 证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1 ＝(1－y )＝(1－y )(xy －1)(x －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以1－y ≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 所以x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y .4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，所以x a >y b ，所以a x <by .故a x ＋1<b y ＋1，即x ＋a x <y ＋b y .所以x x ＋a >yy ＋b.(1)已知－π2≤α≤β≤2，求α－β的取值范围．(2)已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围． 求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． (1)∵－π2≤α≤β≤π2， ∴－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2，且α≤β.∴－π≤α－β≤π且α－β≤0.∴－π≤α－β≤0.即α－β的取值范围为．(2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b .解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围． 解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又∵1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12α＋β，－3≤32α－β－32⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.6．三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，求ba 的取值范围．解：两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，①b a ≤1＋c a ≤2·ba ，②将②×(－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，－2·b a ≤－1－c a ≤－ba，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.即b a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，32. 课时跟踪检测(一)1．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a>3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >bcD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：选D 当a >b >0，ac >ad 时，c ，d 的大小关系不确定． 2．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bc B ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：选C a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 3．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b ，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．4．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d－c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd ＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.5．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________(填序号)．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④6．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________．解析：由a >b >1，c <0，得1a <1b ，c a >c b ；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a －c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：①②③7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________． 解析：设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.由不等式同向可加性，得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8.答案：(3,8)8．若a >0，b >0，求证：b2a ＋a2b≥a ＋b . 证明：∵b2a ＋a2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝－＋ab，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴－＋ab≥0.∴b2a ＋a2b≥a ＋b . 9．已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，ab 的取值范围．解：∵－6<a <8，∴－12<2a <16. 又2<b <3，∴－10<2a ＋b <19. ∵2<b <3，∴－3<－b <－2. 又∵－6<a <8，∴－9<a －b <6. ∵2<b <3，∴13<1b <12.①当0≤a <8时，0≤ab <4；②当－6＜a ＜0时，－3＜ab＜0.综合①②得－3<ab<4.∴2a ＋b ，a －b ，ab的取值范围分别为(－10,19)，(－9,6)，(－3,4)．10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各式大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)由题意，知a >0，a ≠1，①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a .②a 3＋1－(a 2＋a )＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2)＝a 3(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1，∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0，即a 5＋1>a 3＋a 2. (2)根据(1)可得am ＋n＋1＞a m ＋a n.证明如下：a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m －1)(a n －1)．当a >1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0. 当0<a <1时，0<a m<1,0<a n<1， ∴(a m－1)(a n－1)>0.综上可知(a m－1)(a n－1)>0，即a m ＋n＋1>a m ＋a n.。
1.1.1不等式的基本性质
性质 6 开方性质 如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n≥2)
【练习】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b，c>d，则 ac>bd. [自主解答] (1)错误．当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2>0，在ca2>cb2两边同乘以 c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是 ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当 a，b，c，d 为正数时成立．
即α＋β∈
－π，π 22
，α－β∈
－π2，0
.
2
2
利用性质证明简单不等式
【例 3】 已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
[自主解答] ∵a>b，∴－a<－b. 又 c>a>b>0， ∴0<1．c－在a<证c－明b本，例∴时c－，1 a连>c续－1用b>到0.不等式的三个性质，一是不等式的 乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又 －又a∵<－a>bb，>则0，0∴<c－a a<>c－b b；. 三是倒数性质．最后再次用到不等式的 乘法性质．
五、不等式的基本性质的应用
比较大小
【例 1】 设 A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且 x>3，试比较 A 与 B 的
中职对口升学-高三数学第一轮复习：不等式的基本性质及区间
解析
对于本题选项A ,若c = 0 ,则 ac = bc = 0 ,A选项不成立 ; 对于选项B和选项D ,可以通过特殊值来判断,令a=0,b=1,c=-2,d=-3,可排除选项B和D. 本题选项C正确.
技巧 点拨
解答此类题目,要注意不等式性质的正确应用,同时也 要考虑其他知识 另外也可用特殊值法来判断.
典例解析
例3 已知 的取值范围.
解析
对于a +b ,a b 的取值范围可直接利用不等式的同向可加性和同向可乘性求
得.对a - b 和 的取值范围,应先求出-b 和 的取值范围.
根据不等式的同向可加性可知8<a +b <13;根据不等式的同向可乘性可知
12<a b <30;
因为2<b <3,所以-3<-b <-2.
第一轮 复习
第一节 不等式的基本性质及区间
知识梳理 知识点一 不等式的基本性质
1.不等式的定义 表示不等关系的式子称为不等式，满足不等式的未知数的取 值的集合称为不等式的解集.
知识点一 不等式的基本性质
2.实数的大小比较基本性质
（1）作差比较法.对于任意两个实数a,b.
（2）作商比较法.对于任意两个实数a,b.
又因为6<a <10,所以6-3<a -b <10-2,即3<a -b <8.
又因为
所以
既
技巧 点拨
利用不等式的性质求取值范围时一定要熟练掌握不等式的性质,特别 是同向可加性和同向可乘性.
同学们！再见！
知识点一 不等式的基本性质
3.不等式的基本性质
性质1 性质2 性质3
如果a >b ,并且b >c ,那么a >c 如果a >b ,那么a +c >b +gt;b c ;如果a >b ,c <0,那么a c <b c
实数大小及不等式的基本性质PPT课件
.
３.教学重难点
• 教学重点： 比较两个实数的大小 ， 归 结为判断它们差的符号.
• 教学难点： 理解实数的运算性质与实数 大小顺序之间的关系.
设
这一节课核心内容是比较两个实数大
计 小，其理论依据是实数的大小顺序与实数
意
的运算性质之间的关系，而将实数的大小 顺序转化为实数的运算性质，这是学生不
图 容易理解的知识 ．
.
• 学生情况分析
在初中学生就已经了解不等式，并学了一元 一次不等式的解法及一元一次不等式组的解 法；到了高一，又学习了一元二次不等式， 简单的分式不等式及含绝对值不等式的解法； 由此学生初步掌握了不等式的一些基本知识， 而且具备了一定的逻辑思维能力.进入高二， 对学生的理性思维能力的培养，数形结合的 思想及自主探究学习能力都有较高的要求.
2.合作交 流
将全班学生分成五个小组，第一个小组讨 论到公园玩的人数为3人的情况，第二个小组讨 论去公园玩的人数为4人的情况，依次类推，第 五个小组讨论到公园玩的人数为7人的情况.
设
让学生进行小组合作活动，培养学生
计 合作交流的团队精神. 在老师的指导下，让
意 学生有目的去研究问题，培养学生探究问题，
设 计 意
在教学中，不仅要让学生从生活实际中感受到数学 知识的应用，同时要使学生从感性认识上升到理性
图 认识.达到由实践到理论,再由理论指导实践的目的.
.
4.范例启迪
例1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a －4)的大小.
分析：要比较这两个代数式的大小，可转
化为判断它们差的正负，而(a＋3)(a－5)－(a＋ 2)(a－4)=-7﹤０则有(a＋3)(a－5)﹤(a＋2)(a－ 4).
1.不等式的基本性质
题型3利用不等式的性质求范围
[例 3] 已知 30<x<42,16<y<24，求 x＋y，x－2y，xy的取值范围． [思路点拨] 根据题目提供的条件，结合不等式的性质进行求解． [解] ∵30<x<42,16<y<24，∴46<x＋y<66. ∵16<y<24，∴－48<－2y<－32， ∴－18<x－2y<10. ∵16<y<24，∴214<1y<116. ∴54<xy<281.
a>b>0且c>d>0 ac>bd
乘方性: a>b>0
an>bn (n≥2，n∈N)
开方性: a>b>0
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使用不等式的性质时，一定要注意：
它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件， 例如：(1)不等式两边同乘以同一个数 c：①c＞0 时 不等号不变； ②c＝0 时得 等式 ；③c<0 时 不等号变号．
(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加， 但不可以相减；而 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同 向且两边为 正数时，可以相乘，但不可以相除．
(3)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两 种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可 逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的 条件．如 a＞b，ab＞0⇒1a＜1b，而反之不成立．
练习
4．已知－π2≤α＜β≤π2，求 α－β 的取值范围． 解：∵－π2≤α＜β≤π2， ∴－π2≤α＜π2，－π2≤－β＜π2，且 α＜β. ∴－π≤α－β＜π，且 α－β＜0. ∴－π≤α－β＜0.即 α－β 的取值范围为[－π，0)．
第一讲 一 1 不等式的基本性质
进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、 记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等
式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结
构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件．
[例 3]
π π (1)已知：－ ≤α<β≤ ，求 α－β 的范围． 2 2
求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个 重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行 运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性
质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一
定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．
α＋β α－β π π π π 5．“已知－ ≤α≤ ，－ ≤β≤ ”，求 ， 的取值 2 2 2 2 2 2 范围．
n n
n
a>
n
b (n＝2k＋
3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若 a>b，c>d，则 ac>bd； a b (2)若 a>b>0，c>d>0，则 c >d； (3)若 a>b，c<d，则 a－c>b－d； (4)若 a>b，则 a ＞b ， a> b(n∈N 且 n≥2)．
n n
n
n
解：(1)取 a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3，即 3>2，－2>－3. 此时 ac＝bd＝－6.因此(1)为假命题． (2)因同向不等式不能相除，取 a＝6，b＝4，c＝3，d＝2，此 a b 时c ＝d＝2.因此(2)为假命题． (3)∵c<d，∴－c>－d，因此(3)为真命题． (4)当 a>b>0 时，才能成立，取 a＝－2，b＝－3，当 n 为偶 数时不成立，因此(4)为假命题．
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2.合作交 合作交 流
2.合作交流 合作交流
各组选出一名同学将讨论结果填在表中相应位置
人 数 3 4 5 6 7 方案一 方案二 两种方案差价 100 125 150 175 200 90 120 150 180 210 方案一与二总价大小比 100-90=10>0 较 100>90 125-120=5>0 150-150=0 175-180=-5<0 200-210=-10<0 125>120 150=150 175<180 200<210
３.教学重难点
• 教学重点： 比较两个实数的大小 ， 归 教学重点： 结为判断它们差的符号. 结为判断它们差的符号. • 教学难点： 理解实数的运算性质与实数 教学难点： 大小顺序之间的关系. 大小顺序之间的关系.
设 计 意 图
这一节课核心内容是比较两个实数大 小，其理论依据是实数的大小顺序与实数 的运算性质之间的关系， 的运算性质之间的关系，而将实数的大小 顺序转化为实数的运算性质， 顺序转化为实数的运算性质，这是学生不 容易理解的知识 ．
• 教法设计
按照弗莱维尔的认识理论， 按照弗莱维尔的认识理论，在教学过程 中让学生在教师创设的问题情境中不断自我 调节，自我控制，自我意识， 调节，自我控制，自我意识，主动去探求解 决问题的方法.本节课采用的教学方法是探究 决问题的方法 本节课采用的教学方法是探究 式教学法. 式教学法 同时将“以老师为中心”转变为“ 同时将“以老师为中心”转变为“以学 生为主体，老师为主导”的学习模式,在老师 生为主体，老师为主导”的学习模式 在老师 的指导下激发学生的思维，让学生发现问题、 的指导下激发学生的思维，让学生发现问题、 探究问题、解决问题，培养学生的学习能力， 探究问题、解决问题，培养学生的学习能力， 为学生终身学习奠定良好基础. 为学生终身学习奠定良好基础
左边反映的是实数的大小顺序， 左边反映的是实数的大小顺序，右边反映的是 实数的运算性质． 实数的运算性质．
设 计 意 图
在教学中， 在教学中，不仅要让学生从生活实际中感受到数学 知识的应用， 知识的应用，同时要使学生从感性认识上升到理性 认识.达到由实践到理论 再由理论指导实践的目的. 达到由实践到理论,再由理论指导实践的目的 认识 达到由实践到理论 再由理论指导实践的目的
设 计 意 图
由于学生刚接触比较两个实数的大小，设置本例让学生体会比 由于学生刚接触比较两个实数的大小， 较两个实数的大小可转化为判断它们差的正负，而且这两个代 较两个实数的大小可转化为判断它们差的正负， 数式作差后结果是-7，与0的大小关系一目了然. 数式作差后结果是的大小关系一目了然.
4.范例启迪 范例启迪
Hale Waihona Puke 比较( 的大小. 例 2 已知 x≠0,比较(x2+1)2 与 x4+x2+1 的大小. ≠0,比较 分析： +1)= )=x 分析：(x +1) -(x +x +1)= 而 x≠0 即 x ﹥0 ≠ 从而有(x +1) ﹥x +x +1. +1. 从而有(
设 计 意 图
2 2 4 2 2 2 4 2 2 2
根据最新的教学理念, 根据最新的教学理念,我在教学过程中努力让学生理 解和应用数学知识，获得数学新知识的同时， 解和应用数学知识，获得数学新知识的同时，在思维 能力、情感态度及价值观等多方面能得到进一步发展， 能力、情感态度及价值观等多方面能得到进一步发展， 并结合弗洛姆的目标分析法. 并结合弗洛姆的目标分析法.
6.课堂小结
• 1.实数的大小顺序与实数的运算性质之间 实数的大小顺序与实数的运算性质之间 的关系
• 2比较两个实数的大小，其具体解题步骤 比较两个实数的大小， 比较两个实数的大小 为： 设 通过小结，指导学生明确本节内容的重点， 通过小结，指导学生明确本节内容的重点，掌握比较两个 计 意 实数大小的方法. 实数大小的方法 第二步： 第一步： 第三步： 第一步：作差 第二步：变形 第三步： 图 定号
• 学生情况分析
在初中学生就已经了解不等式， 在初中学生就已经了解不等式，并学了一元 一次不等式的解法及一元一次不等式组的解 到了高一，又学习了一元二次不等式， 法；到了高一，又学习了一元二次不等式， 简单的分式不等式及含绝对值不等式的解法； 简单的分式不等式及含绝对值不等式的解法； 由此学生初步掌握了不等式的一些基本知识， 由此学生初步掌握了不等式的一些基本知识， 而且具备了一定的逻辑思维能力.进入高二 进入高二， 而且具备了一定的逻辑思维能力 进入高二， 对学生的理性思维能力的培养， 对学生的理性思维能力的培养，数形结合的 思想及自主探究学习能力都有较高的要求. 思想及自主探究学习能力都有较高的要求
观察上表，思考如何比较方案一与二的总价大小关系，并 得出什么情况下采用哪种方案最佳.
设 计 意 图
让学生在探究中进行体验练习， 让学生在探究中进行体验练习，在体 验中获得知识， 验中获得知识，突出以学生为主体的教学 意图． 意图．
1.由此可见，要比较两个实数的大小， 1.由此可见，要比较两个实数的大小，只 由此可见 要考察它们差与零的大小就可以. 要考察它们差与零的大小就可以. 2.数轴上右边的实数比左边的实数大 数轴上右边的实数比左边的实数大， 2.数轴上右边的实数比左边的实数大，如 下面数轴上点A所对应的实数a 下面数轴上点A所对应的实数a点B所对应 的实数b 的实数b，即a>b.
不等式的性质
——比较两个实数大小 比较两个实数大小
1.教材地位 1.教材地位
实数的运算性质与实数的大 小顺序之间的关系是不等式 这一章内容的理论基础， 这一章内容的理论基础，是 推导不等式性质、 推导不等式性质、证明不等 式和解不等式的主要依据. 式和解不等式的主要依据.
２.教学目标
• 知识与技能：理解实数的运算性质与实数大小顺序之间的关系 知识与技能： 并掌握作差法的步骤. 并掌握作差法的步骤. • 过程与方法：通过对作差法的学习，发现实数的运算性质与实 过程与方法：通过对作差法的学习， 数大小顺序之间的关系． 数大小顺序之间的关系． • 情感与态度：培养学生转化问题的思想和逻辑推理能力，培养 情感与态度：培养学生转化问题的思想和逻辑推理能力， 学生分类讨论的思想和严谨周密思考问题的能力， 学生分类讨论的思想和严谨周密思考问题的能力，并认识到数 学与现实生活是密切联系的. 学与现实生活是密切联系的. 设 计 意 图
设 计 意 图
体验练习 是课本例 的变式题， 体验练习1是课本例 的变式题，主要是训练学生 练习 是课本例2的变式题 严谨思考问题的习惯．通过体验练习2主要是让学生在解 严谨思考问题的习惯．通过体验练习 主要是让学生在解 题过程中去寻求作差法的解题步骤．体验练习3是本节设 题过程中去寻求作差法的解题步骤．体验练习 是本节设 置情境中所提出的问题，主要是培养学生的建模能力． 置情境中所提出的问题，主要是培养学生的建模能力．
将全班学生分成五个小组， 将全班学生分成五个小组，第一个小组讨 论到公园玩的人数为3人的情况 人的情况， 论到公园玩的人数为 人的情况，第二个小组讨 论去公园玩的人数为4人的情况 依次类推， 人的情况， 论去公园玩的人数为 人的情况，依次类推，第 五个小组讨论到公园玩的人数为7人的情况 人的情况. 五个小组讨论到公园玩的人数为 人的情况 设 让学生进行小组合作活动， 让学生进行小组合作活动，培养学生 计 合作交流的团队精神. 在老师的指导下，让 合作交流的团队精神. 在老师的指导下， 意 学生有目的去研究问题，培养学生探究问题， 学生有目的去研究问题，培养学生探究问题， 分析问题的能力． 图 分析问题的能力．
比较两个实数大小 设置情景 归纳总结 范例启迪 体验练习
1.比较 2+1)2 与 x4+x2+1 的大小 比较(x 比较 a2 2.已知 a>0，b>0,且 a≠b，比较 已知 ， 且 ， b + b2 与 a+b 的大小 a 3.放假了，大家结伴到公园玩， 放假了， 放假了 大家结伴到公园玩，发现 公园门口贴着一张票价优惠方案， 公园门口贴着一张票价优惠方案，其中 方案一是有一人买全票， 方案一是有一人买全票，则其余可享受 五折优惠；方案二是按团体购票，一概 五折优惠； 方案二是按团体购票， 元每人， 优惠 20 元.如果公园门票为 50 元每人， 如果公园门票为 采用哪一种优惠方案会更省钱？ 采用哪一种优惠方案会更省钱？
设计意图
通过设置情境， 通过设置情境，激 发学生的学习热情,培养 发学生的学习热情 培养 学生学习数学的兴趣.在 学生学习数学的兴趣 在 情境中提出问题,引导学 情境中提出问题 引导学 生探究问题． 生探究问题．这样在课 堂中,不仅调动了学生的 堂中 不仅调动了学生的 非智力因素和内在的动 机,而且能使他们以强烈 而且能使他们以强烈 的求知欲和饱满的热情 来学习新知识. 来学习新知识
设 计 意 图
a2 由于例 作差后所得的 需要讨论才能定 由于例 3 作差后所得的结果是a+1，需要讨论才能定出差的符 主要是培养学生分类讨论的数学思想, 号. 设置例 3 主要是培养学生分类讨论的数学思想,养成严谨 周密思考问题的习惯. 思考问题的习惯. 问题
5.体验练习
1.比较 2+1)2 与 x4+x2+1 的大小． 比较(x 的大小． 比较 a2 2 b22 a+b 2.已知 a>0，b>0,且 a≠b，比较 b b +a 与 a+b 的大小． 的大小． 已知 ， 且 ， a 3.放假了，大家结伴到公园玩，发现公园门口贴着一张票价优 放假了， 放假了 大家结伴到公园玩， 惠方案， 其中方案一是有一人买全票， 则其余人可享受五折优惠； 惠方案， 其中方案一是有一人买全票， 则其余人可享受五折优惠； 方案二是按团体购票， 方案二是按团体购票， 一概优惠 20 元.如果公园门票为 50 元每人， 如果公园门票为 元每人， 采用哪一种优惠方案会更省钱？ 采用哪一种优惠方案会更省钱？