第四讲参数的估计(2)

ˆ se 1


2 x i
ˆ var 0
n x
2 i
2 X i
2
ˆ se 0

n x
2 X i 2 i

4
2 ˆ var 1 2 x i

ˆ var 0
ˆ和 ˆ 的方差（以及他们的标准误）有如下特点 0 1
（ 1）
n x
2 X i i
2 2
ˆ 1
的方差与

2
成正比，而与
ˆ 和 （2） 由于 0
ˆ 是估计量，他们不仅从一个样本变到另 1
x
2 i 成反比。
一个样本而且对给定的一个样本，他们还可能是互相依赖的。
这种依赖性将由他们之间的协方差来衡量，事实上
2 ˆ , ˆ X var ˆ X cov 0 1 1 x2 i
17
ˆ ˆ 1 P 1 1 1


*
（1）（*）式并没有说 1 落入给定界限内的概率是 1 因为 1 虽然未知，但被假定为某个定数，或者落在区间内， 或者落在区间外。 （*）式应该描述为：用一定的方法构造出来的一个区间包含
1 的概率为 1
16
ˆ ˆ ) 1 P(
如果存在这样一个区间，称之为置信区间 （confidence interval）； 1-称为置信系数（置信度） （confidence coefficient）， 称为显著性水平（level of significance ） ； 置 信 区 间 的 端 点 称 为 置 信 限 （confidence limit）或临界值（critical values）。
9
由于似然函数的极大化与似然函数的对数的极 大化是等价的，所以，取对数似然函数如下：
n 1 2 2 L ln L ln 2 2 Yi 0 1 X i 2 2
*
10
解得模型的参数估计量为：
ˆ X i2 Yi X i Yi X i 0 nX i2 (X i ) 2 ˆ nYi X i Yi X i 1 2 2 n X ( X ) i i
回
3、最小二乘估计量的性质：
顾
1、最小二乘估计法过程及其相关结论，参数估计量的离差形式 2、基本假设的内容（6条）（高斯-马尔科夫假设4条+2条）
高斯-马尔科夫定理的内容；
ˆ 是 Y 的一个线性函数的具体形式 i 1 权数 k i 的一些性质
ˆ ? 有效性中 var 1

1
§2.3

1
的区间就不再是随机的，而是固定的了。
这时我们不能说一个给定了的固定区间包含真实 1 的概率是 1 在这种情况下 1 或者落入这个固定区间内或者落在区间之外， 从而概率只能是1或者0。 （4）既然置信区间是一个随机区间，我们可以从重复抽样 的意义理解。具体地说：如果在重复抽样中，在 1 的概率基础上构造置信区间多次，那么从长期看，平均 的说这些区间将有100 1 %次包含着参数的真值。
13
例：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对于所 抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表 2.2.1进行。
表 2.2.1 参数估计的计算表
Xi
Yi
xi
yi
xi y i
xi2
y i2
X i2
Yi 2
1 800 594 -1350 2 1100 638 -1050 3 1400 1122 -750 4 1700 1155 -450 5 2000 1408 -150 6 2300 1595 150 7 2600 1969 450 8 2900 2078 750 9 3200 2585 1050 10 3500 2530 1350 求和 21500 15674 平均 2150 1567
640000 352836 1210000 407044 1960000 1258884 2890000 1334025 4000000 1982464 5290000 2544025 6760000 3876961 8410000 4318084 10240000 6682225 12250000 6400900 53650000 29157448
E i 0
Cov Xi , i E Xi i 0
于是相应的样本矩条件可写成
1 n ˆ ˆ X 0 Yi 0 1 i n i 1 1 n ˆ ˆ X X 0 Yi 0 1 i i n i 1


同普通最小二乘法的正规方程组，故得到的估计量一致
0 2 i 2 i 2
2 N 1 , x2 i
2、若进一步假定i 遵从以0为均值 2 为方差的正态分布，则
Yi 也遵循正态分布，即
Yi
N 0 1 X i ,
2

3
问题：一个估计量的精密度由？来衡量。 （它的标准误）
2 ˆ var 1 2 x i
可见，在满足一系列基本假设的情况下， 模型结构参数的最大似然估计量与普通最小 二乘估计量是相同的。
11
在最大似然估计法中，
因此， 2 的最大似然估计量不具无偏性， 但却具有一致性。
12
六、参数估计的矩法

矩估计的基本原理是用相应的样本矩来估计总体矩。 在基本假设中，已经给出了两个基本的总体矩条件
ˆX ˆ ˆ Y
ˆ表示的是收入的边际消费倾向，若
ˆ 0.77 我们就说某个地区的边际消费倾向
为0.77，这句话对吗？ 答：不对，正确的说法应是在一定的显著性水平下，给出 一置信区间。 模型不是万能的，不是任何问题都能回答，给的权力只 能这样回答。
21
（2）（*）式的区间是一个随机区间；
ˆ 它从一个样本变到另一个样本，因为他是根据 1
ˆ 是随机的。 构造出来的，而 1
18
ˆ ˆ 1 P 1 1 1


*
ˆ 尚不知道，（*）式的区间就是随机的。但是，一旦 （3）只要 1
ˆ 的一个特定的数值，（*）式 我们有了一个特定的样本并获得



5
2、随机误差项的方差2的估计 2又称为总体方差。
由于随机项i不可观测，只能从i的估计——残 差ei出发，对总体方差进行估计。
可以证明，2的最小二乘估计量为
ˆ2
2 e i
n2
6
它是关于2的无偏估计量。
五、参数估计的最大似然法(ML)
最大似然法(Maximum Likelihood,简称ML)，是
随机抽取n组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）。
由于Yi服从如下的正态分布：
Yi N 0 1 X i , 2
于是，Y的概率函数为
1 P Yi e 2

1 2
2 Y X 0 1 i 2 i
, i 1, 2,L , n （i=1,2,…n）
8
因为Yi是相互独立的，所以所有样本观测值的联合 概率，也即似然函数(likelihood function)为：
L 0 , 1 , 2 P Y1 , Y2 , L , Yn 1
2 2n
n 2
e

1 2
2
Yi 0 1 X i
2
将该似然函数极大化，即可求得到模型 参数的极大似然估计量。
不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最 大似然原理出发发展起来的其它估计方法的基础。 基本原理： 对于最大似然法，当从模型总体随机抽取n组样
本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型
中抽取该n组样本观测值的概率最大。
7
在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：
Yi 0 1 X i i
一元线性回归模型的参数估计（2）
四、参数估计量的概率分布及随机干扰项 方差的估计 五、参数估计的最大似然法(ML) 六、参数估计的矩法（MM） 七、参数的区间估计
2
四、参数估计量的概率分布及随机干扰项方 差的估计
在 i 的正态性假定下，我们可以得到 1、
ˆ 0
ˆ , ˆ 也是正态分布的。即 0 1 X ˆ N , 1 n x
-973 1314090 1822500 947508 -929 975870 1102500 863784 -445 334050 562500 198381 -412 185580 202500 170074 -159 23910 22500 25408 28 4140 22500 762 402 180720 202500 161283 511 382950 562500 260712 1018 1068480 1102500 1035510 963 1299510 1822500 926599 5769300 7425000 4590020
14
ˆ
1
xy x
i 2 i
i
4974750 0.670 7425000
ˆ Y ˆ X 1583 0.670* 2150 1424 0 1
因此，由该样本估计的回归 Y i i
15
七、参数的区间估计（置信区间）
要判断样本参数的估计值在多大程度上可以“近似” 地替代总体参数的真值，往往需要通过构造一个以样本参 数的估计值为中心的“区间”，来考察它以多大的可能性 （概率）包含着真实的参数值。这就是区间估计的粗略概 念。
19
在1%的显著性水平下 1的置信区间为：（-433.32,226.98）如何解释？