南京市2018届高三数学9月调研试卷带答案
江苏南京市高三年级第三次模拟考试数学试题附含答案解析
南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学2018.05注意事项：1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2•答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题的答案写在答题纸.上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.集合A= {x| x 2+ x —6 = 0} , B= {x| x 2- 4 = 0}，贝U AU B= ▲_ .2. 已知复数z 的共轭复数是—.若z（2 —i）= 5,其中i为虚数单位，则-的模为▲3. 某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在［50 , 60］元的学生人数为▲S^1I-1While I v 8S—S+ 2I —I + 3End WhilePrint S（第4题图）4. 根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为▲.5•已知A, B, C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为▲x —y —3< 0,6. 若实数x, y满足x + 2y—5> 0,则丫的取值范围为▲.xy —2< 0,7. 已知a,卩是两个不同的平面，I , m是两条不同的直线，有如下四个命题:①若I丄a, I丄卩，贝U a//®；②若I丄a, a丄卩，贝U l 〃卩；③若I // a , I丄卩，贝U a丄卩；④若I // a , a丄卩，贝U l丄卩.其中真命题为▲（填所有真命题的序号）2 2x y&在平面直角坐标系xOy中，若双曲线孑一b2= i（a>0, b>0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为▲9. 若等比数列｛a n｝的前n项和为S, n€N*,且a i=1, 9=33,贝U a?的值为▲2x + x + a, O w x w 2,10. 若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)= 则f(a+1)—6X+ 18, 2v x w3, 的值为▲.11. 在平面直角坐标系xOy中，圆M x + y —6x—4y+ 8= 0与x轴的两个交点分别为A, B, 其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N,过点A作直线l与圆M圆N分别交于C, D两点•若D为线段AC的中点，则直线I的方程为▲.12. 在△ ABC中, AB=3,AC=2, D为边BC上一点.若広B 忌=5,卞C 怎D= —£,则匚B -T A C3的值为▲.c b13. 若正数a, b, c成等差数列，则+ 的最小值为▲.2a + b a+ 2c -----------14. 已知a, b€ R, e为自然对数的底数.若存在b€ ［—3e,—ej，使得函数f （x）= e x—ax —b在［1 , 3］上存在零点，贝U a的取值范围为▲.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，锐角a ,卩的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P, Q已知点P的横坐标为卑7，点Q的纵坐标为3^43.(1 )求COS2 a的值；(2)求2 a — 3的值.（第15题图）16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥 P — ABC 中, PA= 6,其余棱长均为2, M 是棱PC 上的一点，D, E 分别 为棱AB BC 的中点.(1) 求证：平面PBCL 平面ABC (2) 若PD//平面AEM 求PM 的长.其中AC 为2百米，ACL BC / A 为n^.若在半圆弧駅，线段AQ 线段AB 上各建一个观赏亭D, E, F ,再修两条栈道 DE DF,使DE// AB DF// AC(1)试用B 表示BD 的长;18. (本小题满分16分)已知过点M | , 0)的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)试问x 轴上是否存在定点 N,使得_N A •"N B 为定值.若存在，求出点 N 的坐标; 若不存在，请说明理由19. (本小题满分16分)32已知函数 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0)，记 f' (x )为 f (x )的导函数. (1) 若f (x )的极大值为0,求实数a 的值；(2) 若函数g ( x ) = f ( x ) + 6x ,求g ( x )在［0,1］上取到最大值时 x 的值；a a +217.(本小题满分14分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB AC 和以BC 为直径的半圆弧 ©C 组成,(2 )试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2 2x yC ：孑+ R = 1(a >b >0)经过点P (8 , |),离心率C(第17题图)(3)若关于x 的不等式f(x) >f' (x)在【2,亍］上有解，求满足条件的正整数a的集合.20. (本小题满分16分)若数列｛a n｝满足：对于任意n € N* , a n+ I a +1 - a n + 2|均为数列｛a n｝中的项，则称数列｛a n｝为“ T数列”.2(1)若数列｛a n｝的前n项和2n , n€ M，求证：数列｛a n｝为“ T数列”；(2)若公差为d的等差数列｛a n｝为“ T数列”，求d的取值范围；(3)若数列｛a n｝为“T数列”，a1= 1，且对于任意n€ N*，均有a・v a n+1 —a2< a n+1,求数列｛a n｝的通项公式.南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1 •附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3•答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题 的答案写在答•纸.上对应题目的答案空格内•考试结束后，交回答题纸.21. 【选做题】在 A 、B C 、D 四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷纸指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4— 1:几何证明选讲1在厶ABC 中, AC = q AB M 为边 AB 上一点，△ AMC 勺外接圆交 BC 边于点N, BN= 2AM 求证：CM 是/ ACB 勺平分线.B. 选修4— 2:矩阵与变换1 2 2 0已知矩阵A 0 1 , B = 0 1 下得到直线I 1,求直线I 1的方程.C. 选修4— 4:坐标系与参数方程2018.05，若直线I : x — y + 2= 0在矩阵AB 对应的变换作用在极坐标系中，已知圆 C 经过点P (2, ~3),圆心C 为直线 sin( B —~3)= —寸3与极 轴的交点，求圆 C 的极坐标方程.D. 选修4— 5:不等式选讲已知 a , b, c € (0 ,+s )，且 a + b + c = 1,求.2a + b + 2b + c + , 2c + a 的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ： y 2= 2px (p >0)的焦点为F ,点A (1 , a ) ( a > 0) 是抛物线 C 上一点，且 AF = 2. (1 )求p 的值；(2 )若M N 为抛物线C 上异于A 的两点，且 AML AN 记点M N 到直线y =— 2的距离 分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值.23. (本小题满分10分)n € N*且 n 》2.(1) 若 f n (1) = 7g n (1)，求 n 的值；(2) 对于每一个给定的正整数 n ,求关于x 的方程f n ( x ) + g n (x ) = 0所有解的集合.n — 1 已知 f n (X )= E i = 1n — iA n x (x + 1)…(x + i—1)n rg n (x ) = A+ x (x +1)…(x + n — 1)，其中 x € R,6分又因为卩为锐角，所以cos 3 =鲁•8分(2)1 -1 =7•因为点Q 的纵坐标为善”，所以sin 3所以 COS2 a = 2cos 2 a3.*3 14 •南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：i •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 1. { — 3, - 2, 2} 2 • 5 3• 1504• 7 5• 262] 7 • ①③ 8.5 9• 410 • 211 • x + 2y — 4 = 0 12 • — 31314 • [e 2, 4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 •（本小题满分14分）COS a2 •［忏证明过程或演算步骤,因为点P 的横坐标为台7 P 在单位圆上，a 为锐角,分18.（本小题满分16分）因为a 为锐角，所以0 V 2a Vn.严n又 COS2 a > 0,所以 0 V 2 aV —,n n n又3为锐角，所以一2 V 2 a — 3 V —，所以2 a — 3 =三•14分 16.(本小题满分14分)(1)证明：如图1,连结PE因为△ PBC 勺边长为2的正三角形，E 为BC 中点， 所以PEL BC......................... 2分且 PE = )3,同理 AE= '3.因为PA={6,所以PE + A E = PA ，所以PE L AE ……4分因为 PEI BC PEI AE, B8 AE= E , AE BC 平面 ABC 所以PE 丄平面ABC因为PE 平面PBC 所以平面PBC L 平面ABC (2)解法一如图1，连接CD 交AE 于 O 连接OM因为PD//平面AEM PD 平面PDC 平面 AEI W 平面PDC= OM 所以PD// OM....................... 9分PM DO所以PC = DC................ 11分因为D, E 分别为AB BC 的中点，Cm AE= QDO 1所以O 为 ABC 重心，所以Dc = 3,1 2所以 PM= 3PO 3. ................... 14 分解法二如图2，取BE 的中点N,连接PN因为D, N 分别为AB BE 的中点， 所以DN// AE因为 a 为锐角，所以Sin a因此 sin2 a = 2sin 4护a COS a = 7所以 sin(2 a — 3 )X-壬=137 142 '-10分 12分COS a= 且 7，(图1)B又DN 平面AEM AE 平面AEM所以DN//平面AEM又因为PD/平面AEM DN 平面PDN PD平面PDN DNH PD= D,所以平面PD/平面AEM .....................................又因为平面AEM P平面PBC= ME平面PDN T平面PBC= PNPM NE所以ME/ PN所以PC= NC ........... 11分因为E, N分别为BC BE的中点，NE 1 1 2所以3,所以PM= 3卩°= 3 - ............. 14分17.（本小题满分14分）解：（1）连结DCn在厶ABC中, AC为2百米，ACL BC / A为-,3所以/ CBA=-6 , AB= 4 , BC= 2 3. ................ 2 分一n t所以DF= 4cos 0 si n(石 +0)，......................... 6 分且BF= 4cos20 ,所以DE= AF=4- 4cos20 , ....... 8 分所以DE+ DF= 4 —4cos20 + 4 cos 0 sin(才 + 0 )= . 3sin2 0 —cos2 0 + 3n=2 sin(2 0 —~) + 3.n n n所以当20弋=n ,即0=§时，DHDF有最大值5,此时E与c重合 (13)n因为BC为直径，所以/ BDC= y ,所以BD = BC cos 0 cos 0 . ............ 4分所以—sin( DFn0+石)BFnsin( — - 0 )BDsin / BFD12分n n 因为~3 w 0 <_2，n 5 n 6 < "6(2)在厶BDF中，/ DBF= 0 +： , / BFD=才,BD- 2 3cos 0 ,精品文档答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大. 14分分18.（本小题满分16分）精品文档当I 斜率不存在时,2y ),氏5，—y )，则 y 2= 1 2 2(5)24 25则-N A H NB = (5— n )「—y =(5— n )224 2 4 425=n — 5n —5,当 I 经过左？右顶点时， "N A "N B = ( — 2 — n )(2 — n ) = n — 4. 2 44 2令 n — n — = n — 4，得 n = 4.F 面证明当N 为(4 , 0)时，对斜率为k 的直线I : y = k (x —弓,恒有~NA5 =12.设 A (X i , y i ) , B (X 2, y 2),2X 2 ’4+y =1， 由 2 消去y = k (X —-),516 2 16 y ，得(4k + 1) X — kx + k — 4= 0, 52 516 2k5所以刘+X 2= 4k 77，16 / k — 4 25 X 1X 2 =4k + 1 '10分所以 NA NB = (X 1 — 4)( X 2— 4) + yy,22 2=(X 1 — 4)( X 2 — 4) + k (X 1— 5)( X 2—5)2 2 2=(k + 1)X 1X 2— (4 + k )( X 1' X 2) + 16+ k5 2512分16 2 , 16 2k — 4 k2 25 2 2 5 4 2=(k + 1) 2 — (4 + — k ) 2 + 16+ k(2)解法设 N (n , 0),解("离心率e =|=乎，所以c =a 2- c 2= 2a ,所以椭圆 2X"2'C 的方程为4b 因为椭圆c 经过点只5, 3「 16 9 5)，所以 25b 2'25bb 21.精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分,"2 八，16.2 八 16.2,, 2 2 4"2,,"2 八(k + 1)( 25k — 4) — —k (4 + 5k ) + 25k (4k + 1)4k 2+ 116 2 k 5 所以 X 1 + X 2 = ,4k + 1tt 22 2所以 NA NB = (X 3— n )( x 4— n ) + y 5y 2= (X 1 — n )( x 2— n ) + k (X 1 — 5)(x 2 — #162k一 422 2 5 24 2 =(k + 1)2— (n + - k ) 2 + n + k 4k + 1 ' 5 74k +125(k 2+ 1)(歎—4) — 16k 2( n + |k 2) + 加4 k 2 +1)2 4k 2+ 1+ nk 2 — 416 16 2 2则(—fn — f)k — 4 = 4入k +入对任意的实数k 恒成立, 5 52 , 16 16 2k — 4( — n — )k — 45 5 --- 为常数，设2=入，入为所以在 解法设Nn , .2—16k — 4 4k 2 + 1卜16=12.x 轴上存在定点 N (4 , 0), 使得 NA NB 为定值. 16分0)，当直线I 斜率存在时, 2:y = k (x —5)，y i )，B (x 2，y 2)，设 A (X 1, 2X -4 + y =1， 由 2消去 y = k (X —-),5y ， 得(4 k 22 + 1)x + 咏—4= 0,5 254k + 1卜n 2.12分’ 16 16、T T(—尹 R若NA NB 为常数，则 2—4k +1常数,卜16^k 2— 4 25X1X2=4k 2 + 1，2=(k + 1)X 1X 2— ( n +X 1 + X 2) + n 2+ 25 k 225精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分16 16—l n — = 4 入, 所以 5 5 '所以n = 4,入=—4,由 a n v a n% — a 2 v a n + 1 ,得 1 + (n — 1)t v t [2 + (2n — 1) t ] v 1 12分所以"N A ~NB = (2-4)2-y 2= (|- 4)2 - 25= 12,所以在x 轴上存在定点 N 4 , 0)，使得_NA ~NB 为定值. .................. 16分19.(本小题满分16分)32解：(1)因为 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0),所以 f' (x ) = 6x 2— 6ax = 6x ( x — a ). 令 f (x ) = 0，得 x = 0 或 a ................... 2分当 x € ( —a, 0)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增； 当 x € (0 , a )时，f' (x ) v 0, f ( x )单调递减； 当 x € (a ,+^)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增.2故 f ( x )极大值=f (0) = 3a — 2 = 0,解得 a = 3................... 4 分32(2) g ( x ) = f ( x ) + 6x = 2x — 3ax + 6x + 3a — 2 (a > 0),22则 g '(x ) = 6x — 6ax + 6= 6(x — ax + 1) , x € [0 , 1].2① 当 0v a w 2 时，△= 36( a — 4) < 0,所以g '(x ) > 0恒成立，g ( x )在[0 , 1]上单调递增， 贝U g ( x )取得最大值时x 的值为1....................... 6分a 2② 当 a >2 时，g '(x )的对称轴 x = 2> 1，且△= 36( a — 4) >0, g ' (1) = 6(2 — a )v 0, g ' (0) = 6> 0,所以g '(x )在(0 , 1)上存在唯一零点当 x € (0 , x o )时，g '(x ) > 0, g ( x )单调递增, 当 x € (x °, 1)时，g '(x ) v 0, g ( x )单调递减,综上，当0v a w 2时，g ( x )取得最大值时x 的值为1;a —寸 a 2— 4 当a >2时，g ( x )取得最大值时x 的值为 2....... 9分32(3) 设 h ( x ) = f ( x ) — f ' ( x) = 2x — 3( a + 2) x + 6ax + 3a — 2,a a + 2则h ( x ) > 0在Q —厂]有解......... 10分2 ,2 a + 2 2 a + 4h '(x ) = 6[x — (a + 2)x + a ] = 6[( x —^) —p],a a + 2 a 3 2因为h '(x )在g , ~^)上单调递减，所以 h '(x ) v h'Q = — ?a v 0,a a + 2、所以h ( x )在(2，—厂)上单调递减,当直线l 斜率不存在时, A (2, y ), B (|,- y )，则 y 2= 1X o =a — a — 42则g ( x )取得最大值时 x 的值为X 0 =a3 2所 以 h (2 )> 0, 即 a -3a - 6a + 4............................................ 12分3 2 2设 t ( a ) = a - 3a - 6a + 4 (a > 0),贝U t ' ( a ) = 3a - 6a -6, 当 a c (0 , 1 +、2) 时，t ' ( a ) v 0, t ( a )单调递减； 当 a c (1 + ,2,+s )时，t ' ( a ) >0, t (a )单调递增.因为 t (0) = 4 > 0 , t (1) =- 4 v 0,所以 t ( a )存在一个零点m C (0....... 14分因为 t (4) =-4 v 0, t (5) = 24 > 0，所以 t ( a )存在一个零点 n C (4 , 5), 所以t ( a ) w 0的解集为[m , n ],故满足条件的正整数 a 的集合为｛1 , 2, 3 , 4｝ ................. 16分(本小题满分16分)2 2(1 )当 n 》2 时，a n = S — S-1= 2n —2(n — 1) = 4n — 2,又 a 1= S= 2 = 4x 1-2，所以 a n = 4n — 2............. 2分所以 a n + | a n +1 — a n +2| = 4n — 2+ 4 = 4( n + 1) — 2 为数列｛a n ｝的第 n + 1 项， 因此数列｛a n ｝为“ T 数列”. .......... 4分(2)因为数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，所以 a n + | a n +1- a n +2| = a 1+ (n - 1) d +1 d | . 因为数列｛a n ｝为“T 数列”，所以任意 n C N*，存在 m€ N*，使得 a + ( n - 1) d + | d | = a m ,即有(m- n ) d 6分① 若 d >0,则存在 m = n + 1 C N*，使得(n — n ) d = | d | , ② 若 d v 0,则 m= n - 1.此时，当n = 1时，m= 0不为正整数，所以 d v 0不符合题意.综上，d >0...................... 8分(3 ) 因为 a n v a n + 1, 所以 a n + | a n + 1- a n + 2| = a n + a n +2 — a n + 1 .又因为 a n v a n + a n + 2— a n + 1 = a n + 2— (a n +1 — a n ) v a n + 2,且数列｛ a n ｝为“ T 数列”， 所以 a n + a n + 2— a n + 1= a n + 1, 即卩 a n + a n + 2= 2a n + 1 , 所以数列｛a n ｝为等差数列.......... 10分设数列｛a n ｝的公差为t (t >0)，则有a n = 1 + (n - 1)t ,0.1),20. 解: |d |nt ,整理得n(2t2—t) >t2-3t + 1, ①n(t —2t ) >2t —t —1.②22 t —3t + 1若2t —t v 0,取正整数N> 2t2 t，2 2 2则当n> N0时，n(2t —t) v (2 t —t) N0v t —3t +1，与①式对于任意n€ N*恒成立相矛盾，因此2t —t >0.同样根据②式可得t —2t2> 0,2 1所以2t —t = 0•又t >0,所以t = 21经检验当t = 2时，①②两式对于任意n € M恒成立，1所以数列｛a n｝的通项公式为a n = 1 + 2 (n —1)=n+ 1......................................... 16分2 -由a n v a n% —a2v a n + 1,得1 + (n —1)t v t [2 + (2n —1) t] v 112分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.05说明：1 •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.21 •【选做题】在A、B C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4—1:几何证明选讲证明：连结MN则/ BMN=Z BCA ........ 2分又/ MBI4Z CBA 因此△MB MA CBA .......... 4分AB BN所以AB T M N• .............................. 6分1 BN又因为AC T尹3所以M N T 2, 即卩BI T 2MN .......... 8分又因为BN= 2AM所以AM= MN所以CM是/ ACB勺平分线. ...... 10分B. 选修4—2:矩阵与变换12 2 022解：因为A= ,B= ，所以AB=........ 4分010 101设点P D(X0,y°）是l上任意 -点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(X, y)因为P D(X0,y0）在直线l : x-y + 2= 0 上, 所以X0-y°+ 2 = 0 •①X0x 22X0 X由AI B = ，即c1y。
2018届南京市高三数学综合题及答案
南京市2018届高三数学综合题一、填空题1．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为 ． 【答案】{13，23，1}．【提示】由题意知，⎩⎨⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎨⎧0＜ω≤1 ω＝ k 3，其中k ∈Z ，则k ＝13或k ＝23 或k ＝1．【说明】本题考查三角函数的图象与性质（单调性及对称性）．三角函数除关注求最值外，也适当关注其图象的特征，如周期性、对称性、单调性等． 2．如图：梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－12，则AD →·BC →＝ ． 【答案】0．【提示】以AB→，AD →为基底，则AC →＝AD →＋13AB →，BD →＝AD →－AB →则AC →·BD →＝AD →2－23AB →·AD →－13AB →2＝4－8cos ∠BAD －12＝－12，所以cos ∠BAD ＝12，则∠BAD ＝60o ，则AD →·BC →＝AD →·(AC →－AB →)＝AD →·(AD →－23AB →)＝AD →2－23AB →·AD →＝4－4＝0．【说明】本题主要考查平面向量的数量积，体现化归转化思想．另本题还可通过建立平面直角坐标系将向量“坐标化”来解决．向量问题突出基底法和坐标法，但要关注基底的选择与坐标系位置选择的合理性，两种方法之间的选择．3．设α、β为空间任意两个不重合的平面，则：①必存在直线l与两平面α、β均平行；②必存在直线l与两平面α、β均垂直；③必存在平面γ与两平面α、β均平行；④必存在平面γ与两平面α、β均垂直．其中正确的是___________．（填写正确命题序号）【答案】①④．【提示】当两平面相交时，不存在直线与它们均垂直，也不存在平面与它们均平行（否则两平面平行）．【说明】本题考查学生空间线面，面面位置关系及空间想象能力．4．圆锥的侧面展开图是圆心角为3π，面积为23π的扇形，则圆锥的体积是______．【答案】π．【提示】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πrl＝3π，且12·2πr·l＝23π，解得l＝2，r＝3，所以圆锥高h＝1，则体积V＝13πr2h＝π．【说明】本题考查圆锥的侧面展开图及体积的计算．5．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．当线段AB的长度最小值时，切线l的方程为____________．【答案】x＋y－2＝0．【说明】本题考查直线与圆相切问题和最值问题．6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，它的右准线过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的方程为．【答案】x24－y212＝1．【解析】本题主要考查了双曲线、抛物线中一些基本量的意义及求法．7．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1、C2、C3依次为y＝2log2x、y＝log2x、y＝k log2x(k为常数，0＜k＜1)．曲线C1上的点A在第一象限，过A分别作x轴、y轴的平行线交曲线C2分别于点B、D，过点B作y轴的平行线交曲线C3于点C．若四边形ABCD 为矩形，则k的值是___________．【答案】12．【提示】设A(t，2 log2t)(t＞1)，则B(t2，2 log2t)，D(t，log2t)，C(t2，2k log2t)，则有log2t＝2k log2t，由于log2t＞0，故2k＝1，即k＝12．【说明】本题考查对数函数的图像及简单的对数方程．注意点坐标之间的关系是建立方程的依据．*8．已知实数a、b、c满足条件0≤a＋c－2b≤1，且2a＋2b≤21＋c，则2a－2b 2c的取值范围是_________．【答案】[－14，5－172]．【提示】由2a＋2b≤21＋c得2a－c＋2b－c≤2，由0≤a＋c－2b≤1得0≤(a－c)－2(b －c)≤1，于是有1≤2(a－c)－2(b－c)≤2，即1≤2a－c22(b－c)≤2．设x＝2b－c，y＝2a－c，则有x＋y≤2，x2≤y≤2x2，x＞0，y＞0，2a－2b2c＝y－x．在平面直角坐标系xOy中作出点(x，y)所表示的平面区域，并设y－x＝t ．如图，当直线y －x ＝t 与曲线y ＝x 2相切时，t 最小．此时令y ′＝2x ＝1，解得x ＝12，于是y ＝14，所以t min ＝14－12＝－14．当直线过点A 时，t 最大．由⎩⎨⎧y ＝2x 2，x ＋y ＝2，解得A (－1＋174，9－174)， 所以t max ＝9－174－－1＋174＝5－172．因此2a －2b 2c 的取值范围是[－14，5－172]．【说明】本题含三个变量，解题时要注意通过换元减少变量的个数．利用消元、换元等方法进行减元的思想是近年高考填空题中难点和热点，对于层次很好的学校值得关注．9．已知四数a 1，a 2，a 3，a 4依次成等比数列，且公比q 不为1．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列， 则正数q 的取值集合是 ．【答案】{－1＋ 52，1＋ 52}．【提示】因为公比q 不为1，所以不能删去a 1，a 4．设{a n }的公差为d ，则① 若删去a 2，则由2a 3＝a 1＋a 4得2a 1q 2＝a 1＋a 1q 3，即2q 2＝1＋q 3， 整理得q 2(q －1)＝(q －1)(q ＋1)．又q ≠1，则可得 q 2＝q ＋1，又q ＞0解得q ＝1＋52；② 若删去a 3，则由2a 2＝a 1＋a 4得2a 1q ＝a 1＋a 1q 3，即2q ＝1＋q 3，整理得q (q －1)(q ＋1)＝q －1．又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0解得 q＝－1＋52．综上所述，q＝±1＋52．【说明】本题主要考查等差数列等差中项的概念及等比数列中基本量的运算．*10．数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n＝a n a n＋1a n＋2(n∈N*)，设S n为{b n}的前n项和．若a12＝38a5＞0，则当S n取得最大值时n的值等于___________．【答案】16．【提示】设{a n}的公差为d，由a12＝38a5＞0得a1＝－765d，d＞0，所以a n＝(n－815)d，从而可知1≤n≤16时，a n＞0，n≥17时，a n＜0．从而b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18＞…，b15＝a15a16a17＜0，b16＝a16a17a18＞0，故S14＞S13＞……＞S1，S14＞S15，S15＜S16．因为a15＝－65d＞0，a18＝95d＜0，所以a15＋a18＝－65d＋95d＝45d＜0，所以b15＋b16＝a16a17(a15＋a18)＞0，所以S16＞S14，故S n中S16最大．【说明】利用等差数列及等差数列的基本性质是解题基本策略．此题借助了求等差数列前ｎ项和最值的方法，所以在关注方法时，也要关注形成方法的过程和数学思想．二、解答题11．三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且2sin B＝3cos B．(1)若cos A＝13，求sin C的值；(2)若b＝7，sin A＝3sin C，求三角形ABC的面积．解 (1)由2sin B ＝3cos B ，两边平方得2sin 2B ＝3cos B ，即2(1－cos 2B )＝3cos B ，解得cos B ＝12或cos B ＝－2(舍去)．又B 为三角形内角，则B ＝π3．因为cos A ＝13，且A 为三角形内角，则sin A ＝223，故sin C ＝sin(B ＋A )＝sin(π3＋A )＝ 32cos A ＋12sin A ＝3＋226．(2)解法一 因为sin A ＝3sin C ，由正弦定理可得a ＝3c ．由余弦定理知：b 2＝ a 2＋c 2－2ac cos B ，则7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1，则a ＝3．面积S ＝12ac sin B ＝334．解法二 由sin A ＝3sin C 得sin(C ＋B )＝3sin C ，即sin(C ＋π3)＝3sin C ，则12sin C ＋32cos C ＝3sin C ， 即32cos C ＝52sin C ，故可得tan C ＝35． 又C 为三角形的内角，则sin C ＝2114．由正弦定理知bsin B ＝csin C，则c ＝1．又sin A ＝3sin C ＝32114，故面积S ＝12bc sin A ＝334． 【说明】本题考查同角三角函数关系式，两角和差公式及正、余弦定理，具有一定的综合性．12．三角形ABC 中，三内角为A 、B 、C ，a ＝(3cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，3sin B )，AE DC Bc ＝(1，－1)．(1)若a ·c ＝1，求角A 的大小；(2)若a //b ，求当A －B 取最大时，A 的值．解 (1)a ·c ＝3cos A －sin A ＝2cos(A ＋π6)＝1，则cos(A ＋π6)＝12．因为A ∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，则A ＋π6＝π3，则A ＝π6．(2)因为a //b ，所以3cos A ·3sin B ＝sin A ·cos B ，则tan A ＝3tan B ．由于A 、B 为三角形内角，则A 、B 只能均为锐角，即tan A ＞0，tan B ＞0． tan(A －B ) ＝ tan A －tan B 1＋tan A ·tan B ＝2tan B1＋3tan 2B＝21tan B＋ 3tan B ≤223＝33， 当且仅当1tan B ＝3tan B 时，B ＝π6取“＝”号．又A －B ∈(－π2，π2)，则A －B 的最大值为π6，此时A ＝π3．所以，当A －B 的最大时，A ＝π3．【说明】本题第一问考查向量数量积的坐标运算，两角和差公式及已知三角函数值求角问题；第二问考查平面向量平行的条件及两角差的正切公式，利用基本不等式求最值．13．如图，六面体ABCDE 中，面DBC ⊥面ABC ，AE ⊥面ABC ． (1)求证：AE //面DBC ；(2)若AB ⊥BC ，BD ⊥CD ，求证：AD ⊥DC ． 证明 (1)过点D 作DO ⊥BC ，O 为垂足．因为面DBC ⊥面ABC ，又面DBC ∩面ABC ＝BC ，DO 面DBC ， 所以DO ⊥面ABC ．BCA 1B 1C 1MN A 又AE ⊥面ABC ，则AE //DO ．又AE ⊂/ 面DBC ，DO ⊂面DBC ，故AE // 面DBC ． (2)由（1）知DO ⊥面ABC ，AB ⊂面ABC ，所以DO ⊥AB ． 又AB ⊥BC ，且DO ∩BC ＝O ，DO ，BC ⊂平面DBC ，则AB ⊥面DBC ． 因为DC ⊂面DBC ，所以AB ⊥DC ．又BD ⊥CD ，AB ∩DB ＝B ，AB ，DB ⊂面ABD ，则DC ⊥面ABD ． 又AD ⊂ 面ABD ，故可得AD ⊥DC ．【说明】本题第(1)问考查面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理；第(2)问通过线面垂直证线线垂直问题．14．如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1是边长为2的菱形，∠A 1AC＝60o ．在面ABC 中，AB ＝23，BC ＝4，M 为BC 的中点，过A 1，B 1，M 三点的平面交AC 于点N ． (1)求证：N 为AC 中点； (2)平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1． 解 (1)由题意，平面ABC //平面A 1B 1C 1，平面A 1B 1M 与平面ABC 交于直线MN ，与平面A 1B 1C 1交于直线A 1B 1，所以MN // A 1B 1．因为AB // A 1B 1，所以MN //AB ，所以CN AN ＝CM BM．因为M 为AB 的中点，所以CNAN＝1，所以N 为AC 中点． (2)因为四边形A 1ACC 1是边长为2的菱形，∠A 1AC ＝60o ．在三角形A 1AN 中，AN ＝1，AA 1＝2，由余弦定理得A 1N ＝3，故A 1A 2＝AN 2＋A 1N 2，从而可得∠A 1NA ＝90o ，即A 1N ⊥AC ． 在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝23，BC ＝4，则BC 2＝AB 2＋AC 2，从而可得∠BAC=90o ，即AB ⊥AC ． 又MN //AB ，则AC ⊥MN ．因为MN ∩A 1N ＝N ，MN ⊂面A 1B 1MN ，A 1N ⊂面A 1B 1MN ， 所以AC ⊥平面A 1B 1MN ．又AC ⊂平面A 1ACC 1，所以平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．【说明】本题考查面面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，综合考查空间想象及逻辑推理能力．立体几何中线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理要适当关注，不成为重点，但也不要成为盲点．关注以算代证的方法．15．某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值．经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x 万元之间满足：①y 与(a －x )和x 2的乘积成正比；②x ∈(0，2am 2m ＋1]，其中m 是常数．若x ＝a2时，y ＝a 3．(1)求产品增加值y 关于x 的表达式；(2)求产品增加值y 的最大值及相应的x 的值．解：(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2，因为当x ＝a2时，y ＝a 3，所以k ＝8，所以f (x )＝8(a －x )x 2，x ∈(0，2am2m ＋1]．(2)因为f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍)，x ＝2a3．①当2am 2m ＋1≥2a3，即m ≥1时，当x ∈(0，2a 3)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2a3)上是增函数，当x ∈(2a 3，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2a 3，2am2m ＋1)上是减函数，所以y max ＝f (2a 3)＝3227a 3；②当2am 2m ＋1＜2a3，即0＜m ＜1时，当x ∈(0，2am 2m ＋1)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，2am2m ＋1)上是增函数，所以y max ＝f (2am 2m ＋1)＝32m 2(2m ＋1)3a 3， 综上，当m ≥1时，投入2a 3万元，最大增加值3227a 3． 当0＜m ＜1时，投入2am 2m ＋1万元，最大增加值32m 2(2m ＋1)3a 3． 【说明】适当关注建模容易，解模难的应用题，如本题需要对解模过程进行分类讨论．16．如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6．设S 的眼睛距地面的距离按3米．(1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由． 解 (1) 如图，作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°．又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝30°，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝3． 因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米. (2) 方法一：连结SM ，SN ，设ON ＝a ，OM ＝b ．在△SON 和△SOM 中，(23)2＋1－b 22·23·1＝－(23)2＋1－a 22·23·1，得a 2＋b 2＝26．cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113＞12．又∠MSN ∈(0，π)， 则∠MSN ＜π3．故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．方法二提示:设∠MOS ＝θ，建立cos ∠MSN 关于θ的关系式，求出cos ∠MSN 最小值为1113，从而得到∠MSN ＜π3． 方法三提示:假设∠MSN ＝π3，设ON ＝a ，OM ＝b ，联立a 2＋b 2＝26和a 2＋b 2－ab ＝4消元，判断方程是否有解．方法四提示：计算过S 点作圆O (1为半径)的两切线夹角大于60o ．也可合理建系．【说明】第(1)问主要考查了对图形的认识；第(2)问突出应用题中变量的选择，方法的选择．另外应用题中除求解函数最值问题外，也考虑涉及方程的解、不等式等问题，如方法三．17．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线y 2＝2x 的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1)求灯罩轴线所在的直线方程； (2)若路宽为10米，求灯柱的高．解：(1)由题意知，BF ＝12，则x A ＝1.5＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A (2，2)． 设点A 处的切线方程为y －2＝k (x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0． 则△＝4－4k (4－4k )＝0，解得k ＝12．故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6． （2）由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5．又CF ＝1，则CD ＝6． 答：灯柱的高为6米.【说明】本题改编自必修2(P92)例5，考查学生综合应用函数、不等式知识解决实际问题的能力．解析几何应用题不需重点训练，但也需要学生适当了解和关注．18．如图，在Rt ΔABC 中，∠A 为直角，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1，1)在直线AC 上，斜边中点为M (2，0)． (1)求BC 边所在直线的方程；(2)若动圆P 过点N (－2，0)，且与Rt ΔABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P 中半径最小的圆方程．解 (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，AC 与AB垂直，所以直线AC 的斜率为－3．故AC 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．设C 为(x 0，－3x 0－2)，因为M 为BC 中点，所以B (4－x 0，3x 0＋2)．点B 代入x －3y －6＝0，解得x 0＝－45，所以C (－45，25)．所以BC 所在直线方程为：x ＋7y －2＝0．(2)因为Rt ΔABC 斜边中点为M (2，0)，所以M 为Rt ΔABC 外接圆的圆心． 又AM ＝22，从而Rt ΔABC 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．设P (a ，b )，因为动圆P 过点N ，所以该圆的半径r ＝(a ＋2)2＋b 2，圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由于⊙P 与⊙M 相交，则公共弦所在直线的方程m 为：(4－2a )x －2by ＋a 2＋b 2－r 2＋4＝0．因为公共弦长为4，r ＝22，所以M (2，0)到m 的距离d ＝2，即|2(4－2a )＋a 2＋b 2－r 2＋4|2(2－a )2＋b2＝2， 化简得b 2＝3a 2－4a ，所以r ＝(a ＋2)2＋b 2＝4a 2＋4． 当a ＝0时，r 最小值为2，此时b ＝0，圆的方程为x 2＋y 2＝4．OxyA M NB 【说明】本题考查直线与直线的位置关系，直线与圆有关知识，考查圆与圆位置关系及弦长的求法及函数最值求法．19．如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)．(1)求点A ，B 所在的曲线L 方程；(2) 过 L 上点C (－2，0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l //OA ．求证：CD ·CE OA2为定值． 解 (1)因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8 所以两点A ，B 到M ，N 的距离之和均为4>23，可知所求曲线为椭圆．由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1．曲线L 方程为x 24＋y 2＝1（y ≠0）． (2)由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为点C (－2，0)在曲线上，则D (－8k 2＋21＋4k 2，4k1＋4k 2)，E (0，2k )，所以CD ＝41＋k 21＋4k2，CE ＝21＋k 2． 因为OA //l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4．所以x 2A ＝4 1＋4k 2，y A 2＝4k ２ 1＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k ２1＋4k 2， 化简得CD ·CE OA 2＝2，所以CD ·CE OA2为定值． 【说明】本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．20．如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点(2，62)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M ．(i)设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值； *(ii)设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.解：(1)由题意得2c ＝2 ，所以c ＝1，又2a 2＋32b2＝1消去a 可得2b 4－5b 2－3＝0，解得b 2＝3或b 2所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1．(2)(i)设P (x 1，y 1)(y 1≠0)，M (2，y 0)，则k 1＝y 02，k 2＝1x 1－2，因为A ，P ，M 三点共线，所以y 0＝4y 1x 1＋2， 则k 1k 2＝4y212(x 21－4)．因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以y 21＝34(4－x 21)，则k 1k 2＝4y212(x 21－4)＝－32为定值．(ii)方法一：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －y 0＝2－x 1y 1(x －2)，即y ＝2－x 1y 1(x －2)＋y 0＝2－x 1y 1(x －2)＋4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1[(x －2)＋4y 124－x 12]＝2－x 1y 1[(x －2)＋12－3x 124－x 12]＝2－x 1y 1(x ＋1)，所以直线m 过定点(－1，0)．方法二：直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1(x －2)， 若P 为(0，3)，则m 的方程为y ＝233x ＋233， 若P 为(0，－3)，则m 的方程为y ＝－233x －233，两直线方程联立解得Q (－1，0)．因为k MQ ·k 2＝4y 13(x 1＋2)·y 1x 1－2＝4y 123(x 12－4)＝12－3x 123(x 12－4)＝－1，所以Q 在过M 且与BP 垂直的直线上， 所以直线m 过定点(－1，0)．【说明】考查椭圆方程的求法及直线与椭圆中的一些定值、定点问题．其中定点问题可以考虑先从特殊情况入手，找到定点再证明． 21．已知函数f (x )＝1x －a ＋λx －b (a ，b ，λ为实常数)．(1)若λ＝－1，a ＝1．①当b ＝－1时，求函数f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程； ②当b ＜0时，求函数f (x )在[13，12]上的最大值．* (2)若λ＝1，b ＜a ，求证：不等式f (x )≥1的解集构成的区间长度D 为定值．解 (1)①当b ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x ＋1＝2x 2－1，则f ′(x )＝－4x(x 2－1)2，可得f ′(2)＝－42，又f ( 2)＝2，故所求切线方程为y －2＝－4 2(x － 2)，即42x ＋y －10＝0．②当λ＝－1时，f (x )＝1x －1－1x －b，则 f ′(x )＝－1(x －1)2＋1(x －b )2＝(x －1)2－(x －b )2(x －1)2(x －b )2＝2(b －1)(x －b ＋12)(x －1)2(x －b )2．因为b ＜0，则b －1＜0 ，且b ＜b ＋12＜12故当b ＜x ＜b ＋12时，f ′(x )＞0，f (x )在(b ，b ＋12)上单调递增；当b ＋12＜x ＜12 时，f ′(x )＜0，f (x )在(b ＋12，12)单调递减．(Ⅰ)当b ＋12≤13，即b ≤－13时，f (x )在[13，12]单调递减，所以[f (x )]max ＝f (13)＝9b －92－6b； (Ⅱ)当13＜b ＋12＜12，即－13＜b ＜0时，[f (x )]max ＝f (b ＋12)＝4b －1．综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎨⎧ 4b －1，－13＜b ＜0， 9b －92－6b ，b ≤－13．(2) f(x)≥1即1x－a＋1x－b≥1．……………………(*)①当x＜b时，x－a＜0，x－b＜0，此时解集为空集．②当a＞x＞b时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≤(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0，设g (x)＝x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)，因为△＝(a－b)2＋4＞0，所以g(x)有两不同的零点，设为x1，x2(x1＜x2)，又g (a)＝b－a＜0，g (b)＝a－b＞0，且b＜a，因此b＜x1＜a＜x2，所以当a＞x＞b时，不等式x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≥0的解为b＜x ≤x1．③当x＞a时，不等式(*)可化为(x－a)＋(x－b)≥(x－a)(x－b)，展开并整理得，x2－(a＋b＋2)x＋(ab＋a＋b)≤0，由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2综上所述，f(x)≥1的解构成的区间为(b，x1]∪(a，x2]，其长度为(x1－b)＋(x2－a)＝x1＋x2－a－b＝a＋b＋2－a－b＝2．故不等式f(x)≥1的解集构成的区间长度D为定值2．【说明】本题考查了导数的应用、分类讨论思想、解一元二次不等式．其中第(2)问涉及不常考的解一元二次不等式分类讨论问题，注意比较a、b与两根的大小．22．已知函数f (x)＝ln x(x＞0)．(1)求函数g (x)＝f (x)－x＋1的极值；*(2)求函数h(x)＝f (x)＋|x－a|(a为实常数)的单调区间；*(3)若不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)g (x )＝ln x －x ＋1，g ′(x )＝1x －1＝1－xx，当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当x ＞1时，g ′(x )＜0， 可得g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故g (x )有极大值为g (1)＝0，无极小值． (2)h (x )＝ln x ＋|x －a |．当a ≤0时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，h (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋x －a ，x ≥a ，ln x －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h (x )＝ln x ＋x －a ，h ′(x )＝1＋1x＞0恒成立，此时h (x )在(a ，＋∞)上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h (x )＝ln x －x ＋a ，h ′(x )＝1x －1＝1－xx．当0＜a ≤1时，h ′(x )＞0恒成立，此时h (x )在(0，a )上单调递增； 当a ＞1时，当0＜x ＜1时h ′(x )＞0，当1≤x ＜a 时h ′(x )≤0， 所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，a )上单调递减． 综上，当a ≤1时，h (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；当a ＞1时，h (x )增区间为(0，1)，(a ，＋∞)；减区间为(1，a )． (3)不等式(x 2－1)f (x )≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立，即(x 2－1)ln x ≥k (x －1)2对一切正实数x 恒成立． 当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；ln x ＜0，则(x 2－1)ln x ＞0；当x≥1时，x2－1≥0；ln x≥0，则(x2－1)ln x≥0．因此当x＞0时，(x2－1)ln x≥0恒成立．又当k≤0时，k(x－1)2≤0，故当k≤0时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2恒成立．下面讨论k＞0的情形．当x＞0且x≠1时，(x2－1)ln x－k(x－1)2＝(x2－1)[ln x－k(x－1)x＋1]．设h(x)＝ln x－k(x－1)x＋1(x＞0且x≠1)，h′(x)＝1x－2k(x＋1)2＝x2＋2(1－k)x＋1x(x＋1)2．记△＝4(1－k)2－4＝4(k2－2k)．①当△≤0，即0＜k≤2时，h′(x)≥0恒成立，故h(x)在(0，1)及(1，＋∞)上单调递增．于是当0＜x＜1时，h(x)＜h(1)＝0，又x2－1＜0，故(x2－1) h(x)＞0，即(x2－1)ln x＞k(x－1)2．当x＞1时，h(x)＞h(1)＝0，又x2－1＞0，故(x2－1)h(x)＞0，即(x2－1)ln x ＞k(x－1)2．又当x＝1时，(x2－1)ln x＝k(x－1)2．因此当0＜k≤2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2(1－k)x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2(x1＜x2)．函数φ(x)＝x2＋2(1－k)x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ(1)＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈(1，k－1)时，φ(x)＜0，即h′(x)＜0，从而h(x)在(1，k－1)在单调递减；而当x∈(1，k－1)时，h(x)＜h(1)＝0，此时x2－1＞0，于是(x2－1) h(x)＜0，即(x2－1)ln x＜k(x－1)2，因此当k＞2时，(x2－1)ln x≥k(x－1)2对一切正实数x不恒成立．综上，当(x2－1)f (x)≥k(x－1)2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是(－∞，2]．【说明】本题以函数的最值为载体考查分类讨论思想．第三问比较难，两个注意：①适当变形后研究函数h(x)；②当k＞2时，区间(1，k－1)是如何找到的．23．已知函数f (x)＝sin x－x cos x的导函数为f ′(x)．(1)求证：f (x)在(0，π)上为增函数；(2)若存在x∈(0，π)，使得f′(x)＞12x2＋λx成立，求实数λ的取值范围；*(3)设F(x)＝f′(x)＋2cos x，曲线y＝F(x)上存在不同的三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，x1＜x2＜x3，且x1，x2，x3∈(0，π)，比较直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小，并证明．解 (1)证明：f′(x)＝x sin x，当x∈(0，π)时，sin x＞0，所以f′(x)＞0恒成立，所以f (x) 在(0，π)上单调递增．(2)因为f′(x)＞12x2＋λx，所以x sin x＞12x2＋λx．当0＜x＜π时，λ＜sin x－12 x．设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6．(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)． 设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F ′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G ′(x )＝F ′(x )－F ′(x 2)＝f (x 2)－f (x )，由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G ′(x )＜0． 则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F ′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F ′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F ′(x 2)得证．同理可以证明：F ′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．【说明】本题以三角函数为载体，考查导数的应用及分类讨论思想，适时结合形分析．其中第三问找一个中间量F′(x2)，难度稍大．24．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}(0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2，n∈N*)具有性质P： i，j(1≤i≤j≤n)，a i＋a j与a j－a i两数中至少有一个属于A．(1)分别判断数集{1，2，3，4}是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：a1＝0；*(3)证明：当n＝5时，a1，a2，a3，a4，a5成等差数列．证明 (1)由于4＋4与4－4均不属于数集{1，2，3，4}，所以该数集不具有性质P．(2)因为A＝{a1，a2，…，a n}具有性质P，所以a n＋a n与a n－a n中至少有一个属于A，又a n＋a n＞a n，所以a n＋a n∈∕A，所以a n－a n∈A，即0∈A，又a1≥0，a2＞0，所以a1＝0；(3)当n＝5时，取j＝5，当i≥2时，a i＋a5＞a5，由A具有性质P，a5－a i∈A，又i＝1时，a5－a1∈A，所以a5－a i∈A，i＝1，2，3，4，5．因为0＝a1＜a2＜a3＜a4＜a5，所以a5－a1＞a5－a2＞a5－a3＞a5－a4＞a5－a5＝0，则a5－a1＝a5，a5－a2＝a4, a5－a3＝a3，从而可得a2＋a4＝a5，a5＝2a3，故a2＋a4＝2a3，即0＜a4－a3＝a3－a2＜a3，又因为a3＋a4＞a2＋a4＝a5，所以a3＋a4∈∕A，则a4－a3∈A，则有a4－a3＝a2＝a2－a1．又因为a5－a4＝a2＝a2－a1，所以a5－a4＝a4－a3＝a3－a2＝a2－a1＝a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2的等差数列．【说明】本题主要考查集合、等差数列的性质，考查运算能力、推理论证能力，本题是数列与不等式的综合题．对于复杂的数列问题，我们往往可以从特殊情况入手，找到解题的突破口．25．设M⊂≠N*，正项数列{a n}的前项积为T n，且∀k∈M，当n＞k 时，T n＋k T n－k＝T n T k都成立．(1)若M＝{1}，a1＝3，a2＝33，求数列{a n}的前n项和；(2)若M＝{3，4}，a1＝2，求数列{a n}的通项公式．解：(1)当n≥2时，因为M＝{1}，所以T n＋1T n－1＝T n T1，可得a n＋1＝a n a12，故a n＋1 a n＝a12＝3(n≥2)．又a1＝3，a2＝33，则{a n}是公比为3的等比数列，故{a n}的前n项和为3(1－3n)1－3＝32·3n－32．(2)当n＞k时，因为T n＋k T n－k＝T n T k，所以T n＋1＋k T n＋1－k＝T n＋1T k，所以T n ＋k T n －kT n ＋1＋k T n ＋1－k＝T n T k T n ＋1T k，即a n ＋1＋k a n ＋1－k ＝a n ＋1， 因为M ＝{3，4}，所以取k ＝3，当n ＞3时，有a n ＋4a n －2＝a n ＋12； 取k ＝4，当n ＞4时，有a n ＋5a n －3＝a n ＋12． 由a n ＋5a n －3＝a n ＋12知，数列a 2，a 6，a 10，a 14，a 18，a 22，…，a 4n －2，…，是等比数列，设公比为q ．………………①由a n ＋4a n －2＝a n ＋12 知，数列a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，a 17，…，a 3n －1，…，是等比数列，设公比为q 1，………………②数列a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，a 18，…，a 3n ，…，成等比数列，设公比为q 2，…………………③数列a 4，a 7，a 10，a 13，a 16，a 19，a 22，…，a 3n ＋1，…，成等比数列，设公比为q 3，…………④由①②得，a 14a 2＝q 3，且a 14a 2＝q 14，所以q 1＝q 34；由①③得，a 18a 6＝q 3，且a 18a 6＝q 24，所以q 2＝q 34；由①④得，a 22a 10＝q 3，且a 22a 10＝q 34，所以q 3＝q 34；所以q 1＝q 2＝q 3＝q 34．由①③得，a 6＝a 2q ，a 6＝a 3q 2，所以a 3a 2＝qq 2＝q 14，由①④得，a 10＝a 2q 2，a 10＝a 4q 32，所以a 4a 2＝q 2q 32＝q 12，所以a 2，a 3，a 4是公比为q 14的等比数列，所以{a n }(n ≥2)是公比为q 14的等比数列．因为当n ＝4，k ＝3时，T 7T 1＝T 42T 32；当n ＝5，k ＝4时，T 9T 1＝T 52T 42， 所以(q 14)7＝2a 24，且(q 14)10＝2a 26，所以q 14＝2，a 2＝2 2． 又a 1＝2，所以{a n }(n ∈N *)是公比为q 14的等比数列．故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1· 2．【说明】本题主要考查等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．*26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{M n }满足条件：M 1= S t 1，当n ≥2时，M n = S t n －S t n －1，其中数列{t n }单调递增，且t n ∈N *．（1）若a n ＝n ，①试找出一组t 1、t 2、t 3，使得M 22＝M 1M 3；②证明：对于数列a n ＝n ，一定存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方；（2）若a n ＝2n －1，是否存在无穷数列{t n }，使得{M n }为等比数列．若存在，写出一个满足条件的数列{t n }；若不存在，说明理由．解：（1）若a n ＝n ，则S n ＝n 2＋n2，①取M 1＝S 1＝1，M 2＝S 4－S 1＝9，M 3＝S 13－S 4＝81，满足条件M 22＝M 1M 3， 此时t 1＝1，t 2＝4，t 3＝13．②由①知t 1＝1，t 2＝1＋3，t 3＝1＋3＋32，则M 1＝1，M 2＝32，M 3＝92，一般的取t n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12，此时S t n ＝3n －12(1＋3n －12)2，S t n －1＝3n －1－12(1＋3n －1－12)2，则M n ＝S t n －S t n －1＝3n －12(1＋3n －12)2－3n －1－12(1＋3n －1－12)2＝(3n －1)2，所以M n 为一整数平方．因此存在数列{t n }，使得数列{M n }中的各数均为一个整数的平方． （3）假设存在数列{t n }，使得{M n }为等比数列，设公比为q ．因为S n ＝n 2，所以S t n＝t n 2，则M 1＝t 12，当n ≥2时，M n ＝t n 2－t n －12＝q n －1 t 12，因为q 为正有理数，所以设q ＝rs(r ，s 为正整数，且r ，s 既约)．因为t n 2－t n －12必为正整数，则r n －1s n －1t 12∈N *，由于r ，s 既约，所以t 12sn －1必为正整数．若s ≥2，且{t n }为无穷数列，则当n ＞log s t 12＋1时，t 12s n －1＜1，这与t 12sn －1为正整数相矛盾．于是s ＝1，即q 为正整数．注意到t 32＝M 3＋M 2＋M 1＝M 1(1＋q ＋q 2)＝t 12(1＋q ＋q 2)，于是t 32t 12＝1＋q＋q2．因为1＋q＋q2∈N*，所以t32t12∈N*．又t3t1为有理数，从而t3t1必为整数，即1＋q＋q2为一整数的平方．但q2＜1＋q＋q2＜(q＋1) 2，即1＋q＋q2不可能为一整数的平方．因此不存在满足条件的数列{t n}．【说明】本题主要考查等差、等比数列的性质，考查阅读理解能力、运算求解能力、推理论证能力．对于新构造的函数，可以尝试列举，了解构造的过程和含义，从中观察发现规律或寻找突破口．对于存在性问题，也可以考虑先从特殊情况入手寻找突破口．*27．已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n．(1)求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；(2)求1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋1a2n－1－1a2n的值．解 (1)令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．于是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1．(2)a k＝C k2n，k＝1，2，3，…，2n，首先考虑1C k2n＋1＋1C k＋12n＋1＝k!(2n+1－k)!(2n＋1)!＋(k＋1)!(2n－k)!(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋1－k＋k＋1)(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋2)(2n＋1)!＝2n＋2(2n＋1) C k2n，则1C k 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1＋1C k ＋12n ＋1)，因此1C k 2n －1 C k ＋12n ＝2n ＋12n ＋2(1 C k 2n ＋1－1 C k ＋22n ＋1)．故1a 1－1a 2＋1a 3－1a 4＋…＋1a 2n －1－1a 2n ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 32n ＋1＋1 C 32n ＋1－1 C 52n ＋1＋…＋1C 2n －12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1) ＝2n ＋12n ＋2(1 C 12n ＋1－1 C 2n ＋12n ＋1)＝2n ＋12n ＋2(12n ＋1－1)＝－nn ＋1．【说明】本题考查二项式定理、赋值法、组合恒等变换．关于组合数的倒数问题一直没有涉及过，注意关注一下．。
江苏专版2020届高三数学一轮复习《数列》典型题精选精练附答案详析
3、（南京市 13 校 2019 届高三 12 月联合调研）设等比数列 {an }的前 n 项积为 Pn ，若 P12 = 32P7 ，则
a10 的值是 ▲ ．
4、（苏州市
2019
届高三上学期期中）已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn
，S4 S2
4
，则
S8 S4
▲．
5、（徐州市 2019 届高三上学期期中）已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， S11 132 ， a6 a9 30 ， 则 a12 的值为 ▲ ．
（3）若数列 an
的各项均为正数，且an M
，数列
4n
an
中是否存在无穷多项依次成等差数列，
若存在，给出一个数列an 的通项；若不存在，说明理由．
4、（南京市 2018 高三 9 月学情调研）已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前 n 项和为 Sn， 数列{an2}的前 n 项和为 Tn，且 3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*． （1）求 a1 的值； （2）求数列{an}的通项公式； （3）若 k，t∈N*，且 S1，Sk－S1，St－Sk 成等比数列，求 k 和 t 的值．
．
11、（苏锡常镇四市 2019 届高三教学情况调查（二））已知数列an 是各项都不为 0 的无穷数列，
江苏省南京市2019届高三9月学情调研测试数学试题Word版含答案
a＞
0，
b
＞
0)
的一条渐近线的交点的纵坐标为
2，则
I≤ 5 Y
S← 2 S
I← I＋ 2 Y
N 输出 S 结束
（第 4 题图）
该双曲线的离心率是
▲．
7．不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的 5只球，其中 2只白球， 3只红球，现从中随
机取出 2只球，则取出的这 2只球颜色相同的概率是
▲．
8．已知函数
南京市 2019 届高三年级学情调研
数学
2018.09
注意事项： 1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题 ~第 20 题）两部
分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡 ．．．上对应
x＝ x2 两处取到极值，且
x2 x1 ≥ 2，则实数 a 的取值
范
围
是 ▲．
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分） 如图，已知四边形 ABCD 是矩形，平面 ABCD ⊥平面 BCE，BC＝ EC， F 是 BE 的中点．
→AB
·
→AD
的值为
▲．
13．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1， 1)，B(1，－ 1)，点 P 为圆 (x－ 4)2＋ y 2＝4 上任
意一点，记△ OAP 和△ OBP 的面积分别为
S1 和 S2，则
S1 S2 的最小值是
▲．
14．若函数
f
(x)
18届江苏南京盐城高三第一次模拟考试数学试题及答案
南京市、盐城市2018届高三第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为▲．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为▲．7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是▲．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为▲．时间(单位:分钟)频率组距50607080901000.035a 0.0200.0100.005第3题图Read xIf 0x >Thenln y x←Elsexy e ←End If Print y第4题图9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是▲．10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为▲．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m=-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为▲．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为▲．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =.（1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅ ，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个AB第13题图ACA 1B 1C 1MN第15题图底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点)2处时，点Q的坐标为(,0)3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.xy O BN M PQ D第18题图ADCB EG FOM N H第17题-图甲NEFG第17题-图乙（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅- m 对任意的*n N ∈都成立，求m m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）.（1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D .若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）ABEDF O ·第21(A)图如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.MABCDOP第22题图1．{}12．13．12004．15．236．67．(,2]-∞8．34π9．1(0,]410．403411．9[1,)412．13．2414．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ．……………4分又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ．…………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ．……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥．……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M = ，所以1AB ⊥平面1A MC ．……………12分又1A C ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥．……………14分16．解：（1）因为52c b =，则由正弦定理，得5sin sin 2C B=．……………2分又2C B =，所以sin 2sin 2B B=，即4sin cos B B B =．……………4分又B 是ABC ∆的内角，所以sin 0B >，故5cos 4B =．……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =．……………10分从而2223cos 25a c b B ac +-===，……………12分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而32422cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-．……14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RMT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==.……………2分故所得柱体的底面积OEFOEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=-.……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-.…………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<.………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =.…………………12分列表如下：x (0,2)2(2,3)()f x '＋0－()f x 增极大值减所以当2x =时，()f x 取得最大值.答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分18．解：（1）由32N Q，得直线NQ 的方程为32y x =-．………2分令0x =，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=．…………………4分将点N 的坐标2代入，得222((3)213a+=，解得24a =．ADCB EG FO MNHT所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM的方程为y kx =-在y kx =0y =，得P xk =，而点Q 是线段OP的中点，所以2Q x k =．所以直线BN 的斜率22BN BQk k k k===．………………10分联立22143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)0k x +-=，解得234M x k =+．用2k 代k ，得2316N x k =+．………………12分又2DN NM =，所以2()N M N xx x =-，得23M N x x =．………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =．所以直线BM 的方程为62y x =．………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)xy x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为11y y x x =-，令0y =，得P x =同理，得Qx =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==．………10分又2DN NM = ，所以2122()x x x =-，得21203x x =>43=，解得21433y y =+．………12分将212123433x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C 的方程中，得2211(41927x y ++=．又22114(1)3yx=-，所以21214(1)(431927yy-+=21120y+=，解得1y=（舍）或13y=．又1x>，所以点M的坐标为(,33M．……………14分故直线BM的方程为2y x=．…………………16分19．解：（1）由题意，可得22()()n n na a d a d dλ=+-+，化简得2(1)0dλ-=，又0d≠，所以1λ=.………………4分（2）将1231,2,4a a a===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n na a a+-=，所以数列{}n a是首项为1，公比2q=的等比数列，所以12nna-=…6分欲存在[3,7]r∈，使得12nm n r-⋅-，即12nr n m--⋅对任意*n N∈都成立，则172nn m--⋅，所以172nnm--对任意*n N∈都成立.………………8分令172n nnb--=，则11678222n n n n nn n nb b+-----=-=，所以当8n>时，1n nb b+<；当8n=时，98b b=；当8n<时，1n nb b+>．所以n b的最大值为981128b b==，所以m的最小值为1128.………………10分（3）因为数列{}n a不是常数列，所以2T ．①若2T=，则2n na a+=恒成立，从而31a a=，42a a=，所以22221212221221()()a a a aa a a aλλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a aλ-=，又0λ≠，所以21a a=，可得{}n a是常数列．矛盾．所以2T=不合题意.………………12分②若3T=，取*1,322,31()3,3nn ka n k k Nn k=-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n na a+=恒成立．……14分由2221321()a a a a aλ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n na a a+-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k ka a a a aλ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k ka a a a aλ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k ka a a a aλ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3.………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x '=，所以(1)1f '=，.当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-.…2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x -+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立．………………8分因为03a <<，所以3=2（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3.………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--.……………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-.………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t -<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t -<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，①在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，②………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4.………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程.………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos(13πρθ+=，得(cos cos sin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x --=．………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．ABE DF O ·第21(A)图因为直线cos(13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =.10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](133x x ++≥⨯+⨯，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤，………5分由133x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当,26x y ==时，max ()x y +=．所以当x y +取最大值时x的值为2x =.………………10分22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =- ，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||AP =，||BM =．则cos ,6||||AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM所成角的余弦值为6.………5分（2）(2,1,0)AB =- ，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB = ，所以n 4OB ⋅=，||n = ||1OB = ．则cos ,||||n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC……………10分23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+①，MABCDOP第22题图xyz在①中令1n =，得()011111f C C ==．………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =．…………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =．……3分（2）猜想()f n =21n n C -（或()f n =121n n C --）．………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n n n n n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++ ，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21n n f n C -=成立.………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n r n n C C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----+++ ．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21n n C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++ ，即②成立.余下同方法一.…………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x+=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++ ⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21n n f n C -=成立.………………10分。
2017-2018学年江苏省南京市高三(上)9月调研数学试卷
2017-2018学年江苏省南京市高三（上）9月调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.1. （5 分）若集合P={ - 1, 0, 1 , 2} , Q={0, 2, 3}，则P A Q= _______ .2. （5 分）若（a+bi）（3-4i）=25 （a, b € R, i 为虚数单位），则a+b 的值为 .3. （5分）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生,为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为_________ .4. （5 分）如图所示的算法流程图，若输出y的值为「,则输入x的值为________5. （5分）记函数f （x）= 厂―「的定义域为D.若在区间［-5, 5］上随机取一个数X,则x€ D的概率为________ .6. （5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线"--=1的焦点到其渐近线的距16 9离为_______ .'2<x<47. （5分）已知实数x, y满足条件' y>3 ，则z=3x- 2y的最大值为____________8. （5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27 n crK则该圆柱的侧面积为________ cm2.9. （5分）若函数f （x）=Asin （^x® （A>0, w>0, |创< n）的部分图象如第1页（共24页）10. （5分）记等差数列｛a n｝前n项和为S n•若a m=10, S2m-1=110,贝U m的值为______ .11. _______________________________________________________________ （5分）已知函数f （x）是定义在R上的奇函数，且在（-X, 0］上为单调增函数•若f （- 1）=-2，则满足f （2x- 3）< 2的x的取值范围是 _________________ .12. （5分）在厶ABC 中，AB=3, AC=2, / BAC=120, BM= .若AM?EC=-竺,3 则实数入的值为_________ .13. （5分）在平面直角坐标系xOy中，若圆（x-2）2+ （y-2）2=1上存在点M , 使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上，则实数k的最小值为________ .14（5分）已知函数f（x）= ……若存在唯一的整数x,使得|^-3 |x-l | + 3, （x>0）x>0成立，则实数a的取值范围为 ________ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （14分）在直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=AC E是BC的中点，求证：（I）平面ABE丄平面BBCC;（n）“c//平面ABE.第3页(共24页)第4页（共24页）416. （14分）在厶ABC 中，内角A , B, C 所对的边分别为a , b , c , cosB=.(I)若 c=2a,求二二L —的值；sinC(H) 若 c — B="，求 si nA 的值.417. (14分)某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产 品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲 型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置.设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完 乙型装置所需时间为t 2小时. 设 f (X )=t 1+t 2.(I)求f ( X )的解析式，并写出其定义域； (U)当x 等于多少时，f (x )取得最小值?2 218. (16分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C : —=1 (a > b >0)a b的离心率为乎，且过点(1,爭).过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一 点P ，交直线I : x=m (m >a )于点M .已知点B (1，0)，直线PB 交I 于点N .19. (16分)已知函数 f (x ) =2x 3— 3 (a+1) x 2+6ax ，a € R.(I)曲线y=f (x )在x=0处的切线的斜率为3,求a 的值；(U)若对于任意x €(0，+^)，f (x ) +f ( — x )> 12lnx 恒成立，求a 的取值 范围；(I)求椭圆C 的方程;m 的值.(川)若a> 1,设函数f (x)在区间［1, 2］上的最大值、最小值分别为M (a)、m (a),记h (a) =M (a)—m (a),求h (a)的最小值.第5页(共24页)第6页（共24页）20. （16分）已知数列｛a n ｝的各项均为正数，记数列｛a n ｝的前n 项和为S ，数列 ｛a n 2｝的前 n 项和为 T n , 且 3T n =E 2+2S , n € N *.（I ）求a i 的值；（U ）求数列｛an ｝的通项公式；（川）若k , t € N *，且0, S k -3, S - S k 成等比数列，求k 和t 的值.【选做题】在21,22,23,24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分.请 在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ［选修4-1:几何证明选讲］21. 如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于点B ， DA=DC 求证：CA=3CB［选修4-2:矩阵与变换］22 .设二阶矩阵A=P 2（I ）求 A -1;（U ）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线 C : 6X 2-『=1，求曲线C的方程.［选修4-4 :坐标系与参数方程］23 .在平面直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为" （t 为参数），圆C［选修4-5:不等式选讲］ 24 .解不等式：|x -2|+| x+1| >5 .【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分•请在答卷卡指定区域内作22 .设二阶矩阵A=（B 为参数）.若直线I 与圆C 相切，求实数a 的值.的参数方程为第7页(共24页)答•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25.如图，在四棱锥 P - ABCD 中，PA ±平面 ABCDAB 丄AD,AD// BC, AP=AB=AD=1(I)若直线PB 与CD 所成角的大小为一二，求BC 的长；26.袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有 4个，分别编号为1，2，3，4.现从袋中随机取两个球.(I)若两个球颜色不同，求不同取法的种数；(U)在(1)的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量 X ,求随机变量X 的概率分布与数学期望.20仃-2018学年江苏省南京市高三（上）9月调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.1. （5 分）若集合P={ - 1, 0, 1 , 2} , Q={0, 2, 3}，则P A Q= {0, 2} . 【解答】解：集合P={ - 1 , 0, 1, 2},Q={0, 2, 3},则P A Q={ - 1 , 0, 1, 2} A {0, 2, 3}={0, 2}.故答案为：{0, 2}.2. （5 分）若（a+bi）（3-4i）=25 （a, b € R, i 为虚数单位），则a+b 的值为7.【解答】解：由题意得，（a+bi）（3-4i）=25,•••（3b- 4a）i+3a+4b=25,.f3b-4a=0l3a+4b=25--a=3 b=4,• a+b=7,故答案为：73. （5分）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16 .【解答】解：•••高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名第8页（共24页）学生•本校共有学生150+150+400+300=1000,第9页(共24页)第10页（共24页）•••用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40名学生进行调查 •••每个个体被抽到的概率是•.•丙专业有400人， •要抽取400X 丄=1625 故答案为：164(5分)如图所示的算法流程图，若输出y 的值为丄，则输入x 的值为 -並2—【解答】解：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=''… .的函数值,［log 2Gx), x<0 当x >0时，y=2x =，解得x=- 1，不合条件，舍去；二当 xv 0 时，y=log2 (- x )=，，解得 x=- ■:;二综上，yJ 时，输入的x 值为-:. 故答案为：-15. (5分)记函数f (x ) = ： ,：「的定义域为D •若在区间［-5, 5］上随机取一个数x ,则x € D 的概率为_ 【解答】解：函数f (x )I ： = I| =则 4 —3x—x2> 0, 即卩/+3x— 4< 0, 解得-4W x< 1;••• f (x)的定义域为D=[ - 4, 1]; 在区间[-5, 5]上随机取一个数x, 则x€ D的概率为P= : J .5-(-5) 2故答案为：1 .26. （5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线厂—=1的焦点到其渐近线的距16 9离为3 .2 2【解答】解：双曲线二-—=1的焦点坐标为（土5,0）,渐近线的方程为x土二y=0,16 9 3双曲线二—_=1的焦点到渐近线的距离为：一口——=3,故答案为：3.7. （5分）已知实数x, y满足条件y>3 ，则z=3x- 2y的最大值为6 ^+y<8f2<x<4【解答】解：作出实数x, y满足条件、y>3，对应的平面区域如图：x+y<3L由z=3x- 2y 得y= x—,平移直线y= x—,经过点A时，直线丫= *的截距最小，此时z最大.2 2 2 2由（尸3,解得A （4, 3）,x=4L此时Z max=3X 4 -2X 3=6,故答案为：6.8. （5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为 27 n er 3，，则该圆柱的侧面积为18n cm2.【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积 为 27 n cm,设正方形的边长为acm ,则V=nf ?a=27n 解得a=3cm ,•••该圆柱的侧面积为S=2冗X 3 X 3=18n crn . 故答案为：18 n9. （5分）若函数f （x ） =Asin （^x® （A >0, w>0, |创V n ）的部分图象如 图所示，则f （ - n 的值为 -1.【解答】解：有函数的图象可得 A=2, 再根据］T=? 十_ ,求得3=. 由于点（n 2）在函数图象上, 可得: 2=2sin (=X n + ®),可得:3Xn +® =2kk €Z ,求得© =2k n k€ Z,又由于| ©| V n,可得：©=-=,6故函数的解析式为f (x) =2sin ( x-),3 6可得：f (—n) =2sin ( —Z n- —) = - 2si^^=—1.3 6 6故答案为：-1.10. (5分)记等差数列｛a n｝前n项和为S n.若a m=10, S m-1=110,则m的值为6 .【解答】解：由a m=10,--2a m =a1 +a2m -1 =20,c (血T) (a, +^兀_1 )二S2m-1= =10 (2m- 1) =110,解的m=6,故答案为：611. (5分)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且在(-X, 0]上为单调增函数.若f (- 1) =-2,则满足f (2x-3)< 2的x的取值范围是 (-%, 2 .【解答】解：根据题意，函数f (x)是定义在R上的奇函数，且在(-X, 0]上为单调增函数，则在f (x)在[0, +X)上也是增函数，故函数f (x) R上也是增函数；又由 f (- 1) =-2,则 f (1) =-f (- 1) =2,则 f (2x- 3)< 2? 2x- 3< 1,解可得x<2,即不等式的解集为(-x, 2];故答案为：(-x, 2].12. (5分)在厶ABC中，AB=3, AC=2 / BAC=120,丽二蔽.若而?反=-则实数八的值为」—【解答】解：如图所示,△ ABC中，AB=3, AC=2 / BAC=120,r=x「=入(小)，—* —* —* —* —*• ••叶？：= (1+ !') ?:'=(AB + 入(AC - AB)) ? ( AC - AB)=[(i -八7S+蔽]?(疋-7S)=(1 - 2 八'?£'-( 1 - R ；.J. +X, ■=(1 - 2R X 3X 2 X cos120，( 1-R X 32+R ?217=19 X- 12=-三-解得X=.故答案为:13. (5分)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x-2) 2+ (y-2) 2=1上存在点M , 使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上，则实数k的最小值为 -；.【解答】解：根据题意，圆C: (x- 2) 2+ (y- 2) 2=1关于x轴的对称图形是：圆D: (x-2) 2+ (y+2) 2=1,则圆D上存在点N在直线kx+y+3=0 上,又直线kx+y+3=0过定点P (0,- 3),•••直线与圆D相切时，有d=r,解得k=-；或k=0,3•••实数k的最小值为-’.3故答案为：」.14. （5分）已知函数f（x）= … 」一若存在唯一的整数x,使得二互一| + 3f（x>0）x >0成立，则实数a的取值范围为[0, 2] U [3, 8]（【解答】解：作出f f x）的函数图象如图所示：•••存在唯一的整数x,使得二0成立,x••• a v f f x)只有1个整数解，又f (2) =0, ••• 0< av 3.(2)若x v 0,则f f x)> f f 0) =0,•••存在唯一的整数X,使得f > 0成立，X••• a>f (x)只有1 个整数解，又f (- 1) =2, f ( - 2) =8,2v a< 8.•••当O w a<2或3< a< 8时，「丄二->0只有1个整数解.x故答案为：[0, 2] U [3, 8].二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (14分)在直三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=AC E是BC的中点，求证：(I)平面ABE丄平面BBCC;(n) “c//平面ABE.【解答】(本小题满分14分)证明：(I)在直三棱柱ABC- A1B1C1中，CC丄平面ABC.••• AE?平面ABC, • CC丄AE.v AB=AC E为BC的中点，• AE丄BC. ••• BC?平面B1BCG, CC?平面B1BCC,且BC A CC=C,•AE丄平面B1BCC.••• AE?平面AB1E,：平面AB1E丄平面BBCC .(n)连接A1B,设A1B n AB1=F, 连接EF.在直三棱柱ABC- A1B1G中，四边形AA1B1B为平行四边形，• F为A1B的中点.••• E是BC的中点，所以EF/ A1C.••• EF?平面A0E, A1C?平面ARE,•A1C//平面ABiE.16. （14分）在厶ABC 中，内角A , B, C 所对的边分别为a , b , c , cosB=.5（I ）若c=2a,求二心的值;sinC（H ） 若 C - B=，求 si nA 的值.4【解答】（本小题满分14分）解：（ 1）在厶ABC 中，因为cosB=:, 5所以：a 2 + c 2-b 2 42ac 5因为：c=2a, 所以： (f)2 + c 2-b 2 2=，即=■, 2cXf 5 £ 20由正弦定理得 二二sinC c又 O v B v n,所以 sinB= '_ 一=，所以 sin2B=2sinBcosB=Z .1= 1 .5 55 25因为 C -B=_，即 C=B^ ,4 4 所以 A=n -( B+C ) =- 2B,4所以 sinA=sin (^^ - 2B ) =sin cos2B — cos sin2B=' )x4 4 4 225224 = 31 血 IF •.所以:sinC 10（U ）因为cosB=，所以 5cos2B =2coSB - i .尿 $所以:17. (14分)某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产 品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲 型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置. 设加工甲 型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完 乙型装置所需时间为t 2小时. 设 f ( X )=t 1+t 2.(I)求f ( X )的解析式，并写出其定义域; (U)当x 等于多少时，f (x )取得最小值?(10+x 100-x:')=10X( 10+6) =160. V x 100-x当且仅当x=75人时，函数f (x )取得最小值160小时.2 218. (16分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C :+ =1 (a > b >0)己b的离心率为拳，且过点(1,半).过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一 点P ，交直线I : x=m (m >a )于点M .已知点B (1，0)，直线PB 交I 于点N .(I)求椭圆C 的方程；(U)若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数 m 的值.【解答】解：(l )T t1=3 x••• f (x) =t1+t2=_ +' '■',工 100-x 5(II ) f ( x ) =1000 ： !t= Dr 112=・=航■.定义域为{x| K x < 99, x € N *}.X 100-M1) =10[x+ ( 100 - x ) ] (2 一i —) =10X 100-K> 10X( 10+2 ；川【解答】（本小题满分16分） 解：（I ）因为椭圆C 的离心率为，, 所以 a 2=4b 2.又因为椭圆C 过点（1,二），3_所以亠T \-，a b 解得 a 2=4，b 2=1.2 “所以椭圆C 的方程为一.（U ）设 P （X o , y o ）, - 2v X o V 2, x o 工 1,2 则］—因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N （2 - X o ,- y o ）,所以2 - X o =m. 由 A (-2, 0),P (xo , yo ),可得直线 AP 的方程为 y=r (X +2)，y D因为 PB 丄MB ,所以 k pB ?k MB = - 1，所以 k pB ?k MB = ?, = - 1,X Q -1m-1Yr* (nH-2)pn ________ ______________ _ - 1即：，i —「I = 1.所以 因为 X o =2- m ,令 x=m ,得 y= .. (m+2),即 M (m ,屯+2(m+2)).2化简得3m2- 10m+4=0，解得m=3因为m>2,所以m=「319. (16分)已知函数f (x) =2x3- 3 (a+1) x2+6ax, a€ R.(I)曲线y=f (x)在x=0处的切线的斜率为3,求a的值；(U)若对于任意x€(0, +^) , f (x) +f (-x)> 121 nx恒成立，求a的取值范围；(川)若a> 1,设函数f (x)在区间［1, 2］上的最大值、最小值分别为M (a)、m (a),记h (a) =M (a)- m (a),求h (a)的最小值.【解答】解：(I) f'( x) =6x^- 6 (a+1) x+6a,故k=f'( 0) =6a,由6a=3,解得：a—;(n) f (x) +f (- x) =- 6 (a+1) x2> 12lnx对任意x€( 0, +x)恒成立，故-(a+1)》丁xg( x)豊,x> 0,则g( x 生警),令g' (x) =0,解得：x= ■■,故g (乂)在(0,二)递增，在(_, +x)递减，故g (x) max=g ( J =,e故-(a+1)》一，故a<- 1 - 一e e故a的范围是(-x,- 1-—］；(川)f'(x) =6x2- 6 (a+1) x+6a=6 (x- 1) (x- a),f (1) =3a- 1, f (2) =4,令f' (x) =0,解得：x=1 或x=a,①当1v a w「时，3x€( 1, a)时，f'(x)v0, f (乂)在(1, a)递减，x€(a, 2)时，f'(x)>0, f (幻在(a, 2)递增，I f (1)< f (2),故M (a) =f (2) =4, m (a) =f (a) =- a3+3a2,故h (a) =M (a)- m (a) =a3- 3a2+4,••• h' (a) =3a (a-2)v0,••• h (&)在(1,「］递减，3故a€( 1,吕］时，h (a)最小值=h (£)=［;②当.v a v 2时，3x€( 1, a)时，f'(x)v0, f (乂)在(1, a)递减，x€(a, 2)时，f'(x)>0, f (幻在(a, 2)递增，T f (1 )> f (2), • M (a) =f (1) =3a- 1, m (a) =f (a) =- a3+3a2, 故h (a) =M (a)- m (a) =a3- 3a2+3a - 1,T h' (a) =3 (a- 1) 2>0,故h (a)在(匚，2)递增，3故a€(「，2)时，h (a)> h (「)=［;③当a>2时，x€( 1, 2)时，f'( x)v 0, f (刈在(1, 2)递减，故M (a) =f (1) =3a- 1, m (a) =f (2) =4,故h (a) =M (a)- m (a) =3a- 5,故h (a)在［2, +x)上的最小值是h (2) =1,综上，h (a)最小值=三.M I20. (16分)已知数列｛a n｝的各项均为正数，记数列｛a n｝的前n项和为S，数列｛a n2｝的前n 项和为T n, 且3T n=E2+2S, n € N*.(I)求a1的值；(U)求数列｛an｝的通项公式；（川）若k, t € N*，且S, S k-S1, S - S k成等比数列，求k和t的值.【解答】解：（I）由3T n=S2+2S n, n €N*. n=1 时，3T i= -+2S,可得.... .工0，解得a i=1.（II）由3T n=S2+2S，n € N*. n >2 时，-- +2S n-1,相减可得：-「=S2Ji n-1 °n-l ^a n「+细,--3an=Si+Si T+2.• • 3a n+i=Si+i+Si+2，可得：3a n+i —3a n=a n+ 什a n,化为：a n+i=2a n. n=1 时，3E二蟲乜匕，可得3（1+£）二（1+ a»'+2（仔比），十 > 0,解得a2=2, 满足上式.•••数列｛a n｝是等比数列，首项为I,公比为2.二a n=2n—i.（III）由（ii）可得：sn=…「=2n—i.2-1由0, S k—0, S —S<成等比数列，•••.■-_ I •■.:,可得（2k- 2）2=2f-2k.化为：2f= （2k）2—3?2k+4，可得：2f —2= （2k—i）2—3?2k —i+i. （*）k=i时不满足题意，• k>2.k=2 时，2f=8,解得t=3.k>3时，t=2时，化为2k=3,不成立舍去.t > 3时，（*）左边为偶数，右边为奇数，不成立.综上可得：t=3, k=2.【选做题】在21,22,23,24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分.请在答卷卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ［选修4-1:几何证明选讲］2i.如图，CD是圆O的切线，切点为D, CA是过圆心O的割线且交圆O于点B, DA=DC 求证：CA=3CB因为 DA=DC 所以/ DAO=Z C.在圆 O 中，AO=DO,所以/ DAO=Z ADO, 所以/ DOC=2/ DAO=2Z C . 因为CD 为圆O 的切线，所以/ ODC=9°,从而/ DOG / C=90,即 2/ C+/C=90, 故/ C=30,所以 OC=2OD=2OB 所以CB=OB 所以CA=3CB［选修4-2:矩阵与变换］ 22•设二阶矩阵A 』】'.13 4」(I)求 A";(n)若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线 C : 6x 2- y 2=1，求曲线C的方程.(n)设曲线C 上任意一点P(x, y ),在矩阵A 对应的变换作用下得到点P (X’,y ),"detA =3 4 = " 2【解答】1 9解：(I厂A=34则［叮* 2］丹严八， _y ］ L3 dLyJ L3x+4y_.* =x+2yV =3x+4y•••(x ； y')在曲线 C 上，.6x 2-y'2=1,代入 6 (x+2y ) 2-( 3x+4y ) 2=1，化简得 8y 2 - 3^=1, .曲线C 的方程为8y 2-3x 2=1.［选修4-4 :坐标系与参数方程］23. 在平面直角坐标系xOy中，直线I 的参数方程为（尸T+t （ t 为参数），圆C【解答】解：由直线I 的参数方程为"'，得直线I 的普通方程为x -y+仁0.【尸t由圆C 的参数方程为（E+3 ，得圆C 的普通方程为（x -a ） 2+（y -2a ）2=1.Iy=2a+sin9因为直线I 与圆C 相切，所以 二二-亠丨=1，V2 解得 a=1± ':. 所以实数a 的值为1 ±匚.［选修4-5:不等式选讲］ 24. 解不等式：|x -2|+| x+1| >5.【解答】解：（1）当X V- 1时，不等式可化为-x+2 - x- 1 >5,解得x <- 2; （2） 当-Kx < 2时，不等式可化为-x+2+x+1 > 5,此时不等式无解； （3） 当x >2时，不等式可化为x -2+x+1 >5,解得x >3; 所以原不等式的解集为（-X,-2］ U ［3, +x ）.【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域 内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，PA ±平面 ABCDAB 丄AD,AD// BC, AP=AB=AD=1I 尸t （B 为参数）.若直线I 与圆C 相切，求实数a 的值.的参数方程为， x^a^cos 0y^2a+sin 6（I）若直线PB与CD所成角的大小为二，求BC的长；【解答】解：(I)分别以AB AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系A - xyz.••• AP=AB=AD=1 ••• A (0 , 0, 0), B (1, 0, 0), D (0, 1, 0), P (0, 0, 1). 设 C (1, y , 0),则瓦=(1, 0, - 1), CD = (- 1,1- y , 0). ；直线P B 与CD 所成角大小为1即］J ，解得y=2或y=0 (舍)，V2x Vl+(l-y)2 2• C (1, 2, 0),则 BC 的长为 2;(U)设平面PBD 的一个法向量为■= (x , y , z ). •- 1= (1 , 0, - 1), 1= (0 , 1 , - 1),审 —*''''■ '■,令 x=1 ,则 y=1 , z=1 , = (1 , 1 , 1). PD "npy-z-0•••平面PAD 的一个法向量为 F (1 , 0 , 0), --cog 二|面角B - PD- A 的余弦值为 J .■C 1••• I cos v 〒: i'.l>1 =| (U)求二面角B - PD- A 的余弦值.26.袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有 4个，分别编号为1，2，3，4.现从袋中随机取两个球.（I ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（U ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量 X ,求随机变量X 的概率分布与数学期望.【解答】解：（1）两个球颜色不同的情况共有 ：？42=96 （种）.4（2）随机变量X 所有可能的值为0，1, 2，3.所以随机变量X 的概率分布列为:X12 3P13 ■g1 71所以 E ( =0X[+「+3 X-=.(X=0)96 4 (x=1)=二=■I，(X=2)=呻;=1 ■I -， (X=3)克!丄::.。
2018.9高三数学理科九月考试题答案
数学（理）答案2018.9一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请答案填在横线上. 13. 12e -14. 12- 15.1a ≥ 16.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题: 本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.17. 解: （Ⅰ）f(x)＝2sinx(32sinx ＋12cosx)＝3×1－cos2x 2＋12sin2x ＝sin(2x －π3)＋32.函数f(x)的最小正周期为T ＝π由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递增区间是[－π12＋k π，5π12＋k π]，k ∈Z .（Ⅱ）当x∈[0，π2]时，2x －π3∈[－π3，2π3]， sin(2x －π3)∈[－32，1]，f(x)∈[0，1＋32]．所以当x∈[0，π2]时，函数f(x)的值域为[0，1＋32]． 18. 解：（Ⅰ）由 解得 所以（Ⅱ）19. 解:（Ⅰ）正弦定理得又（Ⅱ）在，根据余弦定理得即又又 ,20.解:（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ． ∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1． 取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间 直角坐标系： O xyz -，如图所示，则B (1，0，0)，D (-1，1，0)， A 1(0，2，A (0，0，B 1(1，2，0)，∴(11,2,AB =，()2,1,0BD =-，(1BA =-． ∴10AB BD ⋅=，110AB BA ⋅=，∴1AB BD ⊥，11AB BA ⊥，∴AB 1⊥平面A 1BD ． （Ⅱ）设平面A 1AD 的法向量为(),,x y z =n ． 1,1,3()AD =--，1,2,0(0)AA =．∵AD ⊥n ，1AA ⊥n ，∴100AD AA ⋅=⋅⎧⎪⎪⎩=⎨n n，∴020x y y ⎧-+-==⎪⎨⎪⎩，0y x ==⎧⎪⎨⎪⎩，令1z =得(3,,1)0=n 为平面A 1AD 的一个法向量．由（1）知AB 1⊥平面A 1BD ，1AB 为平面A 1BD 的法向量，∴111cos AB AB AB ⋅-===⋅n n,n ． ∴锐二面角A －A 1D －B 的大小的余弦值为21. 解:（Ⅰ）证明：当1a =时，函数()2x f x e x =-．则()'2x f x e x =-，令()2x g x e x =-，则()'2x g x e =-，令()'0g x =，得l n 2x =．当()0,l n 2x ∈时，()'0g x <，当()ln2,x ∈+∞时，()'0g x >∴()f x 在[)0,+∞单调递增，∴()()01f x f ≥=． （Ⅱ）()f x 在()0,+∞有两个零点⇔方程2e 0x ax -=在()0,+∞有两个根，2x e a x ⇔=在()0,+∞有两个根，即函数y a =与()2xe G x x=的图像在()0,+∞有两个交点．()()3e 2'x x G x x -=，当()0,2x ∈时，()'0G x <，()G x 在()0,2递减当()2x ∈+∞,时，()'0G x >，()G x 在()2+∞,递增所以()G x 最小值为()2e 24G =， 当0x →时，()G x →+∞，当x →+∞时，()G x →+∞，∴()f x 在()0,+∞有两个零点时，错误！未找到引用源。
江苏省南京市2018届高三第三次调研考试数学试卷(含答案和评分标准)
南京市2018届高三年级第三次模拟考试数 学 2018．05一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．集合A ＝{x|x 2＋x －6＝0}，B ＝{x|x 2－4＝0}，则A ∪B ＝ ．2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i )＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为 ．3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为 ．第3题第4题4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为 ．5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为 ．6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则y x 的取值范围为 ． 7．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β；③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β．其中真命题为 （填所有真命题的序号）．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为 ．9．若等比数列{n a }的前n 项和为n S ，n ∈N *，且1a ＝1，6S ＝33S ，则n S 的值为 ．10．若()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，且()fx ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，则(f a 1)+的值为 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为 ．12．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 为边BC 上一点．若AB →·AD →＝5，AC →·AD →＝﹣23，则AB →·AC →的值为 ．13．若正数a ，b ，c 成等差数列，则c 2a ＋b ＋b a ＋2c的最小值为 ． 14．已知a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∈[﹣3e ，﹣e 2]，使得函数()f x ＝e x ﹣ax－b 在[1，3]上存在零点，则a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314． （1）求cos2α的值；（2）求2α﹣β的值．16．（本题满分14分）如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝6，其余棱长均为2，M 是棱PC 上的一点，D ，E 分别为棱AB ，BC 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）若PD ∥平面AEM ，求PM 的长．。
高三数学-【数学】江苏省南京市九校联合体2018届高三学情分析试卷 精品
南京市九校联合体2018届 高三数学学情分析试卷2018.12一、填空题（本题共14题，每题5分，共70分，请将正确答案填写在答题试卷上）1、复数ii4321+-在复平面上对应的点位于第 象限． 2、已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N = ．3、命题“0,x ∀>都有sin 1x ≥-”的否定： ． ４、已知,αβ是两个不同平面，,m n 是两条不同直线。
给出下列命题： ①若m ∥,,n m n αα⊥⊥则 ②若m ∥,,n m ααβ= 则∥n ③若,,m m αβα⊥⊥则∥β ④若,,m n m n α⊥⊥则∥α其中不正确的是 ．（填写你认为恰当的序号） 5、一个算法的流程图如右图所示，则输出S 的值为 ．6、设O OM ),1,0(),21,1(==为坐标原点，动点),(y x p 满足01,01OP OM OP ON ≤⋅≤≤⋅≤,则z y x =-的最小值 是 ．7、函数1)1(log +-=x y a (01)a a >≠且，的图象恒过定点A ， 若点A 在一次函数n mx y +=的图象上，其中0mn >，则12m n+的 最小值为 ．8、设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB ∆∆-=+与则,2的面积之比为 ． 9、不等式322+-x x 122--≤a a 在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是 ． 10、在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列}{n a ,已知122a a =,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为 ．11、已知数列{n a }、{n b }都是等差数列，n n T S ,分别是它们的前n 项和，并且317++=n n T S nn ，则1612108221752b b b b a a a a ++++++= ． 12、实数,x y 满足tan ,tan x x y y ==，且x y ≠，则sin()sin()x y x y x y x y+--=+- ．13、已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为 ．14、设)(x f 是定义在)1,0(上的函数，且满足：①对任意)1,0(∈x ，恒有)(x f >0；②对任意)1,0(,21∈x x ，恒有2)1()1()()(2121≤--+x f x f x f x f ,则关于函数)(x f 有①对任意)1,0(∈x ，都有()(1)f x f x >-；②对任意)1,0(∈x ，都有)1()(x f x f -=；③对任意)1,0(,21∈x x ，都有)()(21x f x f <；④对任意)1,0(,21∈x x ，都有)()(21x f x f =上述四个命题中正确的有 ．二、解答题：（本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分12分） 已知tan 2α=2，求：（1）tan()4πα+的值；（2） 6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．16．（本小题满分14分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验．(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(5分)(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y 关于x 的线性回归方程 y bx a =+；(6分)(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?(3分)(参考公式: 1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑)17．（本小题满分15分）如图所示,在直四棱柱1111D C B A ABCD -中,BC DB =, DB AC ⊥,点M 是棱1BB 上一点． (Ⅰ)求证：//11D B 面BD A 1；(5分) (Ⅱ)求证：MD AC ⊥；(5分)(Ⅲ)试确定点M 的位置,使得平面1DMC⊥平面D D CC 11． (5分)MABCD A 1B 1C 1D 118．（本小题满分15分）已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B两点,曲线C 是以AB 为长轴,的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(5分)(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；(5分)(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由． (5分)19． （本小题满分18分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2,1,2,3,n a n -=…。
南京市2018届高三数学9月调研试卷带答案
南京市2018届高三数学9月调研试卷（带答案）南京市2018届高三年级学情调研数学2017.09注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q＝▲．2．若(a＋bi)(3－4i)＝25(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b的值为▲．3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为▲．4．如图所示的算法流程图，若输出y的值为12，则输入x的值为▲．5．记函数f(x)＝4－3x－x2的定义域为D．若在区间[－5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为▲．6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x216－y29＝1的焦点到其渐近线的距离为▲．7．已知实数x，y满足条件2≤x≤4，y≥3，x＋y≤8，则z=3x－2y的最大值为▲．8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为▲cm2.9．若函数f(x)＝Asin(x＋)(A＞0，＞0，||＜)的部分图象如图所示，则f(－)的值为▲．10．记等差数列前n项和为Sn．若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为▲．11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f(－1)＝－2，则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是▲．12．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120，→BM＝λ→BC．若→AM→BC＝－173，则实数λ的值为▲．13．在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为▲．14．已知函数f(x)＝2x2，x≤0，－3|x－1|＋3，x＞0．若存在唯一的整数x，使得f(x)－ax＞0成立，则实数a的取值范围为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：（1）平面AB1E⊥平面B1BCC1；（2）A1C//平面AB1E．16．（本小题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝45．（1）若c＝2a，求sinBsinC的值；（2）若C－B＝π4，求sinA的值．17．（本小题满分14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2．（1）求f(x)的解析式，并写出其定义域；（2）当x等于多少时，f(x)取得最小值？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b＞0)的离心率为32，且过点(1，32)．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(m＞a)于点M．已知点B(1，0)，直线PB交l于点N．（1）求椭圆C的方程；（2）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．（1）曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；（2）若对于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12lnx恒成立，求a的取值范围；（3）若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a)，记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．20．(本小题满分16分)已知数列的各项均为正数，记数列的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列的通项公式；（3）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．南京市2018届高三年级学情调研卷数学附加题2017.09注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DA＝DC．求证：CA＝3CB．B．选修4—2：矩阵与变换设二阶矩阵A＝1234．（1）求A－1；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C：6x2－y2＝1，求曲线C的方程．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝t（t为参数），圆C的参数方程为x＝a＋cos，y＝2a＋sin（θ为参数）．若直线l与圆C相切，求实数a的值．D．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x－2|＋|x＋1|≥5．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．（1）若直线PB与CD所成角的大小为π3，求BC的长；（2）求二面角B－PD－A的余弦值．23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．南京市2018届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{0，2}2．73．164．－25．126．37．68．189．－110．611．(－∞，2]12．1313．－4314．[0，2]∪[3，8]二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．（本小题满分14分）证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1平面ABC．因为AE平面ABC，所以CC1AE．……………2分因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AEBC．因为BC平面B1BCC1，CC1平面B1BCC1，且BC∩CC1＝C，所以AE平面B1BCC1．………………5分因为AE平面AB1E，所以平面AB1E平面B1BCC1.……………………………7分（2）连接A1B，设A1B∩AB¬1＝F，连接EF．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，所以F为A1B的中点．……………………………9分又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C．……………………………11分因为EF平面AB1E，A1C平面AB1E，所以A1C∥平面AB1E.……………………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）解法1在△ABC中，因为cosB＝45，所以a2＋c2－b22ac＝45．………………………2分因为c＝2a，所以(c2)2＋c2－b22c×c2＝45，即b2c2＝920，所以bc＝3510．……………………………4分又由正弦定理得sinBsinC＝bc，所以sinBsinC＝3510．……………………………6分解法2因为cosB＝45，B∈(0，)，所以sinB＝1－cos2B＝35．………………………2分因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，所以sinC＝2sin(B＋C)＝65cosC＋85sinC，即－sinC＝2cosC．………………………4分又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝255，所以sinBsinC＝3510．………………………6分（2）因为cosB＝45，所以cos2B＝2cos2B－1＝725．…………………………8分又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝35，所以sin2B＝2sinBcosB＝2×35×45＝2425．…………………………10分因为C－B＝π4，即C＝B＋π4，所以A＝π－(B＋C)＝3π4－2B，所以sinA＝sin(3π4－2B)＝sin3π4cos2B－cos3π4sin2B………………………………12分＝22×725－(－22)×2425＝31250．…………………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为t1＝9000x，………………………2分t2＝30003(100－x)＝1000100－x， (4)分所以f(x)＝t1＋t2＝9000x＋1000100－x，………………………5分定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．………………………6分（2）f(x)＝1000(9x＋1100－x)＝10[x＋(100－x)](9x＋1100－x)＝10[10＋9(100－x)x＋x100－x]． (10)分因为1≤x≤99，x∈N*，所以9(100－x)x＞0，x100－x＞0，所以9(100－x)x＋x100－x≥29(100－x)xx100－x＝6，…………………12分当且仅当9(100－x)x＝x100－x，即当x＝75时取等号．…………………13分答：当x＝75时，f(x)取得最小值． (14)分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆C的离心率为32，所以a2＝4b2．………………………2分又因为椭圆C过点(1，32)，所以1a2＋34b2＝1，………………………3分解得a2＝4，b2＝1．所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1．………………………5分（2）解法1设P(x0，y0)，－2＜x0＜2，x0≠1，则x024＋y02＝1．因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2－x0，－y0)，所以2－x0＝m．………………………7分由A(－2，0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y＝y0x0＋2(x＋2)，令x＝m，得y＝y0(m＋2)x0＋2，即M(m，y0(m＋2)x0＋2)．因为PB⊥MB，所以kPBkMB＝－1，所以kPBkMB＝y0x0－1y0(m＋2)x0＋2m－1＝－1，………………………10分即y02（m＋2）(x0－1)(x0＋2)(m－1)＝－1．因为x024＋y02＝1．所以(x0－2)(m＋2)4(x0－1)(m－1)＝1．………………………12分因为x0＝2－m，所以化简得3m2－10m＋4＝0，解得m＝5±133．………………………15分因为m＞2，所以m＝5＋133．………………………16分解法2①当AP的斜率不存在或为0时，不满足条件．………………………6分②设AP斜率为k，则AP：y＝k(x＋2)，联立x24＋y2＝1，y＝k(x＋2)，消去y得(4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0．因为xA＝－2，所以xP＝－8k2＋24k2＋1，所以yP＝4k4k2＋1，所以P(－8k2＋24k2＋1，4k4k2＋1)．………………………8分因为PN的中点为B，所以m＝2－－8k2＋24k2＋1＝16k24k2＋1．(*)……………………10分因为AP交直线l于点M，所以M(m，k(m＋2))，因为直线PB与x轴不垂直，所以－8k2＋24k2＋1≠1，即k2≠112，所以kPB＝4k4k2＋1－8k2＋24k2＋1－1＝－4k12k2－1，kMB＝k(m＋2)m－1．因为PB⊥MB，所以kPBkMB＝－1，所以－4k12k2－1k(m＋2)m－1＝－1．（**）………………………12分将(*)代入（**），化简得48k4－32k2＋1＝0，解得k2＝4±1312，所以m＝16k24k2＋1＝5±133．………………………15分又因为m＞2，所以m＝5＋133．………………………16分19．（本小题满分16分）解：（1）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率k＝f′(0)＝6a，所以6a＝3，所以a＝12．………………………2分（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12lnx对任意x∈(0，+∞)恒成立，所以－(a＋1)≥2lnxx2．………………………4分令g(x)＝2lnxx2，x＞0，则g(x)＝2(1－2lnx)x3．令g(x)＝0，解得x＝e．当x∈(0，e)时，g(x)＞0，所以g(x)在(0，e)上单调递增；当x∈(e，＋∞)时，g(x)＜0，所以g(x)在(e，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(e)＝1e，………………………6分所以－(a＋1)≥1e，即a≤－1－1e，所以a的取值范围为(－∞，－1－1e]．………………………8分（3）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，f(2)＝4．令f′(x)＝0，则x＝1或a．………………………10分f(1)＝3a－1，f(2)＝4．①当1＜a≤53时，当x∈(1，a)时，f(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋4．因为h(a)＝3a2－6a＝3a(a－2)＜0，所以h(a)在(1，53]上单调递减，所以当a∈(1，53]时，h(a)最小值为h(53)＝827．………………………12分②当53＜a＜2时，当x∈(1，a)时，f(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋3a－1．因为h(a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)2≥0．所以h(a)在(53，2)上单调递增，所以当a∈(53，2)时，h(a)＞h(53)＝827．………………………14分③当a≥2时，当x∈(1，2)时，f(x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(2)＝4，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3a－5，所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1．综上，h(a)的最小值为827．………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）由3T1＝S12＋2S1，得3a12＝a12＋2a1，即a12－a1＝0．因为a1＞0，所以a1＝1．………………………2分（2）因为3Tn＝Sn2＋2Sn，①所以3Tn＋1＝Sn＋12＋2Sn＋1，②②－①，得3an＋12＝Sn＋12－Sn2＋2an＋1．因为an＋1＞0，所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2，③………………………5分所以3an＋2=Sn＋2＋Sn＋1＋2，④④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，即an＋2＝2an＋1，所以当n≥2时，an＋1an＝2．………………………8分又由3T2＝S22＋2S2，得3(1＋a22)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即a22－2a2＝0．因为a2＞0，所以a2＝2，所以a2a1＝2，所以对n∈N*，都有an＋1an＝2成立，所以数列的通项公式为an＝2n－1，n∈N*．………………………10分(3)由(2)可知S¬¬n＝2n－1．因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k，………………………12分所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1(*)．由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．当k＝2时，2t＝8，得t＝3．………………………14分当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－32k－2＋1为奇数，所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－32k －2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．综上，k＝2，t＝3．………………………16分南京市2018届高三年级学情调研数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲证明：连接OD，因为DA=DC，所以∠DAO=∠C．………………………2分在圆O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO，所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．………………………5分因为CD为圆O的切线，所以∠ODC=90°，从而DOC＋C＝90°，即2C＋C＝90°，故∠C＝30°，………………………7分所以OC＝2OD＝2OB，所以CB＝OB，所以CA＝3CB．………………………10分B．选修4—2：矩阵与变换解：（1）根据逆矩阵公式，可得A－1＝－2132－12．………………………4分（2）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P(x，y)，则xy＝1234xy＝x＋2y3x＋4y，所以x＝x＋2y，y＝3x＋4y．……………………8分因为(x，y)在曲线C上，所以6x2－y2＝1，代入6(x＋2y)2－(3x＋4y)2＝1，化简得8y2－3x2＝1，所以曲线C的方程为8y2－3x2＝1． (10)分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：由直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝t，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0．………………………2分由圆C的参数方程为x＝a＋cos，y＝2a＋sin，得圆C的普通方程为(x－a)2+(y－2a)2＝1．………………………4分因为直线l与圆C相切，所以∣a－2a＋1∣2＝1，………………………8分解得a＝1±2．所以实数a的值为1±2．………………………10分D．选修4—5：不等式选讲解：(1)当x＜－1时，不等式可化为－x＋2－x－1≥5，解得x≤－2；……………………2分(2)当－1≤x≤2时，不等式可化为－x＋2＋x＋1≥5，此时不等式无解；……………4分(3)当x＞2时，不等式可化为x－2＋x＋1≥5，解得x≥3；……………………6分所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞).…………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）解：（1）以{→AB，→AD，→AP}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．因为AP＝AB＝AD＝1，所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．设C(1，y，0)，则→PB＝(1，0，－1)，→CD＝(－1，1－y，0)．…………………………2分因为直线PB与CD所成角大小为π3，所以|cos＜→PB，→CD＞|＝|→PB→CD∣→PB∣∣→CD∣|＝12，即12×1＋(1－y)2＝12，解得y＝2或y＝0（舍），所以C(1，2，0)，所以BC的长为2．………………………5分（2）设平面PBD的一个法向量为n1＝(x，y，z)．因为→PB＝(1，0，－1)，→PD＝(0，1，－1)，则→PBn1＝0，→PDn1＝0，即x－z＝0，y－z＝0．令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝(1，1，1)．………………………7分因为平面PAD的一个法向量为n2＝(1，0，0)，所以cos＜n1，n2＞＝n1n2∣n1∣|n2∣＝33，所以，由图可知二面角B－PD－A的余弦值为33．………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）两个球颜色不同的情况共有C2442＝96(种).………………………3分（2）随机变量X所有可能的值为0，1，2，3．P(X＝0)＝4C2496＝14，………………………5分P(X＝1)＝3C14C1396＝38，P(X＝2)＝2C14C1396＝14，P(X＝3)＝C14C1396＝18．所以随机变量X的概率分布列为：………………………8分所以E(X)＝014＋138＋214＋318＝54．………………………10分。
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南京市金陵中学2018届高三数学综合练习本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“若a 、b 都是奇数，则a +b 是偶数”的否命题是 （ ） A ．若a +b 不是偶数，则a 、b 都不是奇数 B ．若a +b 是偶数，则a 、b 都是奇数 C ．若a +b 不是偶数，则a 、b 不都是奇数 D ．若a 、b 不都是奇数，则a +b 不是偶数 2．已知向量a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2)，则下列为a 与b 共线的充要条件是 ( ) A ．存在一个实数λ，使得a =λb B ．1122x y x y = C ．x 1x 2-y 1y 2=0 D ．x 1y 2-x 2y 1=0 3.曲线 2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数，—π≤θ≤—3π）的长度为 （ ）A.34π B.32π C.35π D.3π4、若2()f x x ax b =++,且1(1)2,2(1)4f f ≤-≤≤≤,则点(a ,b )在a O b 平面上的区域是一个 （ ）A. 三角形B.矩形C. 菱形D. 直角梯形5、函数3221x e y -⋅=π的部分图象大致是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）6、已知ω>0，若函数()2cos2sin4xxx f ωω∙=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,4ππ上单调递增，则ω的取值范围是 ( )A.]32,0(B.]23,0( C.]2,0( D.),2[+∞图7－ 57．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 分别为DE 、FC 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，BG 与IH 所成的角的弧度数为 （ ）A ．6πB ．3πC ．32arccosD ．33arccos8．若0,0a b >>且a b ≠,在a ,b 之间插入n 个正数12,,,n x x x ,使之成为等比数列()*2,n n N ≥∈,记M =2a bN +=,则M 与N 的大小关系是 ( ) A.M>N B.M=N C.M<N D.不能确定 9. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB ，工作时3分钟自身复制一次，（即复制后所占内存是原来的2倍），那么，开机后（ ）分钟，该病毒占据64MB （. A. 45B. 48C. 51D. 4210.若直线 )0,(022>=+-b a by ax 过圆014222=+-++y x y x 的圆心,则ab 的最大值是 ( ) A.41 B. 21C. 1D. 2 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题4分，共16分．11．若32(1)1nnx x ax bx +=+++++ ，且a :b =3:1,那么(1)nx -的展开式中系数最大的项是 . 12．若函数1()()x f x a x R -=∈的反函数()1fx -的图像经过点（4，2），则()12f -的值为 .13．甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：人入选，则入选的应是 ．15．给出下列四个命题：图7－7① 已知函数()f x =()()43f f >；② 函数223sin sin y x x=+的最小值是 ③ 函数()()log 20,1xa y aa a =+>≠在R 上是增函数；④ 函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象的一个对称点是,012π⎛⎫⎪⎝⎭； 其中正确命题的序号是 （把你认为正确的都写上）.16. 在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得n T n a a +=对于任意的非零自然数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期。
2018届江苏省南京市高三数学第二次调研测试题(word版)
南京市2018届高三第二次调研测试数 学2018.04注意事项：1.本试卷共160分，考试时间120分钟2.答题前，考生务必将自己姓名，学校，班级，学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内，考试结束后，交回答题纸。
参考公式：设球的半径为R ，则球的体积公式为343V R π=一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}1,0,1A =-，{}2,1,0B =--，则_______________A B =U ð2.若将复数2(1)(12)i i -+∈表示为p+qi(p,q R,i 是序数单位)的形式，则p+q=3.已知向量,a b 满足||1,||3,,60____________a b a b a a b ==+=之间的夹角为度，则（）4.某学校为了解该校600名男生的百米成绩（单位：s ），随机选择了50名学生进行调查，右图是这50名学生百米成绩胡频率分布直方图。
根据样本的频率分布，估计这600名学生中成绩在[13,15]（单位：s ）内的人数大约是 .5.甲盒子里装有分别标有数字1.2,4,7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1,4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是6.阅读左面的流程图，若输入a=6,b=1，则输出的结果是7.已知变量x,y 满足2,236y x x y z x y y x ≤⎧⎪+≥=+⎨⎪≥-⎩则的最大值是8.cos103sin10+=9.将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A-BD-C ，若点A 、B 、C 、D 都在一个以O 为球心的球面上，则球O 的体积为10.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心、右焦点、右顶点分别为O 、F 、A ，右准线与x 轴的交点为H ，则FA OH 的最大值为11.下列三个命题：①若函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于y 轴对称，则2πϕ=；②若函数2()1ax f x x -=-的图象关于点（1，1）对称，则a=1； ③函数()|||2|f x x x =+-的图象关于直线x=1对称。
江苏省南京市2018届高三9月学情调研测试数学试卷(含答案)
江苏省南京市2018届高三9月学情调研测试数学试卷(含答案) 南京XXXX年级学习数学2017 .09参考公式:圆柱体体积公式:v = sh，其中s是圆柱体的底部面积，h是圆柱体的高度。
1，填空:这道大题有14项，每项5分。
总共70分。
请在答题纸上相应的位置填写答案。
1.如果集合p = {-1，0，1，2}，q = {0，2，3}，则p ∪; q =▲2。
如果(a+bi) (3-4i) = 25 (a，b∈R，I为虚数单位)，则A+B的值为▲ . 3。
一所大学的四个专业分别有150，150，400，300名学生。
为了了解学生的就业趋势，采用分层抽样的方法从该大学的四个专业中选取40名学生进行调查。
那么c专业的学生人数是▲14。
如算法流程图所示，如果输出y的值为，则输入2x的值为▲5。
记数函数f (x) = 4-3x-x2的定义域是D。
如果它在[-5区间内，则x ∈D的概率是▲x 26，如果一个数x是从[5]中随机取的。
在平面直角坐标系xOy中，从双曲线-= 1的焦点到169的渐近线的距离是▲ .？？2≤x≤4 x ≤ 4，7。
已知实数x，y满足条件？Y≥3，z = 3x-2y最大值？x+y≤8，？的值为▲8。
如果一个正方形绕其一边的直线旋转，并且圆柱体的体积为27πcm3，圆柱体的横向面积为▲ cm2.9。
如果函数f (x) = asin(？x+？)(A>0？> 0，|？| 10。
请注意，算术级数{an}的前N项之和是序号。
如果调幅= 10，S2M-1 = 110，则M值为▲11。
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，是(-∞，0)上的单调递增函数。
如果F (-1) =-2，则满足F (2x-3) ≤ 2的X的取值范围为▲20？4？X(问题9) 17 →→→→12。
在△ABC中，AB = 3，AC = 2，且BAC = 120？，BM = λ BC。
如果AM BC =-，实数λ3的值为▲13。
2018届江苏南京九中高三下学期二模模拟数学试题及答案
南京九中2018届高三第二学期二模模拟数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1、若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a = ． 解析：122(2)(34)(38)(46)34(34)(34)25z a i a i i a a iz i i i +++-++===--+为纯虚数，故得83a =． 2、设集合}02{},012{2<-=<-+=x x B x x x A ，则=⋂B A ．（2,3）3、某市高三数学抽样考试中，对90分布直方图如右下图所示，若(130,140] 分数段的人数为90人，则(90,100]分数 段的人数为 ．解析：根据直方图，组距为10，在(130,140]内的0.005=频率组距，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．因为(90,100]内的0.045=频率组距，所以频率为0.45，设该区间的 人数为x ，则由0.451800x=，得810x =，即(90,100]分数段的人数 为810．分数4、已知在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040表示的平面区域面积是9，则常数a 的值为_________．15、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3，现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为______． 136、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组为_________． ()81,8-7、圆柱形容器的内壁底半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为 ▲ 2cm .100π.8、若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ▲ . 0k <或4k = 9、若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的最大值是▲ ．410、若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成53：两段，则此椭圆的离心率为 ．解析：根据题意，可得2223()5()22bb c c a b c ⎧+=-⎪⎨⎪=+⎩，解得c e a ==． 11.已知变量,a R θ∈，则22(2cos )(2sin )a a θθ-+-的最小值为 ▲ .912、当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值为 ．NM E CBA 1322a -≤≤13．如图，两射线,AM AN 互相垂直，在射线AN 上取一点B 使AB 的长为定值2a ，在射线AN 的左侧以AB 为斜边作一等腰直角三角形ABC ．在射线,AM AN 上各有一个动点,D E 满足ADE ∆与ABC ∆的面积之比为3:2，则CD ED ⋅的取值范围为________________．)25,a ⎡+∞⎣14．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x 满足''()0,()()()()g x f x g x f x g x ≠⋅<⋅，()()x f x a g x =⋅，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．令()()n f n a g n =，则使数列{}n a 的前n 项和n S 超过15/16的最小自然数n 的值为．5解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出a 的值，从而得到数列{}n a 的通项公式．解析：∵()()x f x a g x =⋅，且()0g x ≠，∴()()x f x a g x =，从而有(1)(1)15(1)(1)2f f ag g a -+=+=-， 又''2()()()()()0()x f x g x f x g x a g x -=<，知()()xf x ag x =为减函数，于是得12a =，1()2n n a =，由于2341234111115()()()222216a a a a +++=+++=，故得使数列{}n a 的前n 项和n S 超过1516的最小自然数5n =．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）已知函数21()2cos ,2f x x x x R =--∈．（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．15. 解：（1）1cos 21()2sin(2)1226x f x x x π+=--=--，…………3分则()f x 的最小值是－2， …………5分 最小正周期是22T ππ==； …………7分（2）()sin(2)106f C C π=--=，则sin(2)16C π-=，0C π<<Q 022C π∴<< 112666C πππ∴-<-<，262C ππ∴-=，3C π∴=， …………10分sin 2sin B A =Q ，由正弦定理，得12a b =，① …………11分由余弦定理，得2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=， ②由①②解得1,2a b ==． …………14分 16．（本小题满分14分）在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2， 60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11 的中点． （1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11；E 1A 1B 1C（2）证明：//1F C 平面ABE ；（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积．16.（1）证明：在中ABC ∆，∵AC =2BC =4,060=∠ACB∴32=AB ，∴222AC BC AB =+，∴BC AB ⊥由已知1BB AB ⊥， ∴C C BB AB 11面⊥又∵C C BB ABE ABE AB 11面，故面⊥⊂ …………5分 （2）证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1在AB FM ABC //中，∆, 而FM ABE ⊄平面，∴直线FM //平面ABE在矩形11A ACC 中，E 、M 都是中点，∴AE M C //1 而1C M ABE ⊄平面，∴直线ABE M C 面//1 又∵M FM M C =⋂1 ∴1//FMC ABE 面面故AEB F C 面//1 …………………………10分 （或解：取AB 的中点G ，连结FG ，EG ，证明1//C F EG ，从而得证）（3）取11B C 的中点H ，连结EH ，则//EH AB且12EH AB ==由（1）C C BB AB 11面⊥，∴11EH BB C C ⊥面， ∵P 是BE 的中点，∴111111111223P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅=14分17、（本小题满分14分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间大体满足关系：HGB1,1,62,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数） （注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？ 解：（1）当x c >时，23P =，1221033T x x ∴=⋅-⋅=当1x c ≤≤时，16P x =-，21192(1)2()1666x x T x x x x x-∴=-⋅⋅-⋅⋅=---综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：292,160,x x x c T xx c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩------------------------- 6 （2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0当1x c ≤≤时，2926x x T x-=-9152[(6)]6x x =--+-15123≤-= 当且仅当3x =时取等号所以()i 当36c ≤<时，max 3T =，此时3x =()ii 当13c ≤<时，由222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知函数2926x x T x -=-在[1,3]上递增，2max 926c c T c-∴=-，此时x c =综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润 -------------------------14 18．（本小题满分16分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，一条准线:2l x =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，M 是l 上的点，F 为椭圆C 的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于,P Q 两点．①若PQ =D 的方程；②若M 是l 上的动点，求证点P 在定圆上，并求该定圆的方程．18. 解：（1）由题设：22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1a c ⎧⎪∴⎨=⎪⎩，2221b a c ∴=-=， ∴椭圆C的方程为：2212x y += ………………………… 4分（2）①由（1）知：(1,0)F ，设(2,)M t ，则圆D的方程：222(1)()124t t x y -+-=+， ………………………… 6分直线PQ 的方程：220x ty +-=， ………………………… 8分PQ ∴，∴ ………………………… 10分24t ∴=，2t ∴=±∴圆D 的方程：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++= …………… 12分②解法（一）：设00(,)P x y ，由①知：2220000(1)()124220t t x y x ty ⎧-+-=+⎪⎨⎪+-=⎩，即：2200000020220x y x ty x ty ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩， ………………………… 14分 消去t 得：2200x y +=2 ∴点P在定圆22x y +=2上． ………………………… 16分 解法（二）：设00(,)P x y ， 则直线FP 的斜率为001FP y k x =-， ∵FP ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-， ∴直线OM 的方程为：001x y x y -=-， 点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --． …………………………14 分 ∵MP ⊥OP ，∴0OP MP ⋅=,∴000002(1)(2)[]0x x x y y y ∂--++=∴2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上． …………………………16 分 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前 n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．19.解：（1）（法一）在221n n a S -=中，令1=n ，2=n ，得⎪⎩⎪⎨⎧==,,322121S a S a 即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,33)(,121121d a d a a a ………………………2分 解得11=a ，2=d ，21n a n ∴=-又21n a n =-时，2n S n =满足221n n a S -=，21n a n ∴=- ………………3分111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+， 111111(1)2335212121n n T n n n ∴=-+-++-=-++． (5)分（法二） {}n a 是等差数列， n n a a a =+∴-2121 )12(212112-+=∴--n a a S n n n a n )12(-=． …………………………2分由221n n a S -=，得 n n a n a )12(2-=， 又0n a ≠，21n a n ∴=-，则11,2a d ==． ………………………3分(n T 求法同法一)（2）①当n 为偶数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8217n n n n nλ++<=++恒成立． …………………………………6分828n n+≥，等号在2n =时取得．∴此时λ 需满足25λ<． …………………………………………7分②当n 为奇数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，即需不等式(8)(21)8215n n n n nλ-+<=--恒成立． …………………………………8分82n n-是随n 的增大而增大， 1n ∴=时82n n-取得最小值6-．∴此时λ 需满足21λ<-． …………………………………………9分 综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-． ………………………………………10分（3）11,,32121m n m nT T T m n ===++，若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++， 即2244163m nm m n =+++． ………………………12分由2244163m nm m n =+++，可得2232410m m n m-++=>，即22410m m -++>，∴11m <<． ……………………………………14分又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．因此，当且仅当2m =， 12n =时，数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列．…16分[另解：因为116366n n=<++，故2214416m m m <++，即22410m m --<， ∴11m <<，（以下同上）． ……………………………………14分] 20．(本小题满分16分)Equation Chapter 1 Section 1 已知函数|21|||112(),(),x a x a f x e f x e x R -+-+==∈.( I )若2=a , 求)(x f =)(1x f +)(2x f 在∈x [2，3]上的最小值； ( II)若[,)x a ∈+∞时, 21()()f x f x ≥, 求a 的取值范围； (III)求函数1212()()|()()|()22f x f x f x f xg x +-=-在∈x [1，6]上的最小值. 解:(1)因为2=a ,且∈x [2，3],所以3|3||2|131()2x x x xx x e e f x e e e e e e e --+--=+=+=+≥=,当且仅当x =2时取等号,所以()f x 在∈x [2，3]上的最小值为3e(2)由题意知,当[,)x a ∈+∞时,|21|||1x a x a e e -+-+≤,即|21|||1x a x a -+≤-+恒成立所以|21|1x a x a -+≤-+,即2232ax a a ≥-对[,)x a ∈+∞恒成立,则由2220232a a a a≥⎧⎨≥-⎩,得所求a 的取值范围是02a ≤≤(3) 记12()|(21)|,()||1h x x a h x x a =--=-+,则12(),()h x h x 的图象分别是以(2a -1,0)和(a ,1)为顶点开口向上的V 型线,且射线的斜率均为1±.①当1216a ≤-≤,即712a ≤≤时,易知()g x 在∈x [1，6]上的最小值为01(21)1f a e -==②当a <1时,可知2a －1<a ,所以 (ⅰ)当12(1)(1)h h ≤,得|1|1a -≤,即01a ≤<时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为221(1)a f e -=(ⅱ)当12(1)(1)h h >,得|1|1a ->,即0a <时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为22(1)a f e -= ③当72a >时,因为2a －1>a ,可知216a ->, (ⅰ)当1(6)1h ≤,得|27|1a -≤,即742a <≤时,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为271(6)a f e -=(ⅱ)当1(6)1h >且6a ≤时,即46a <≤,()g x 在∈x [1，6]上的最小值为12()f a e e ==(ⅲ)当6a >时,因为12(6)275(6)h a a h =->-=,所以()g x 在∈x [1，6]上的最小值为52(6)a f e -=综上所述, 函数()g x 在∈x [1，6]上的最小值为2222750017112742466aa a a e a ea a e a e a a e ----⎧<⎪≤<⎪⎪≤≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎪<≤⎪⎪>⎩。
【高三数学试题精选】2018届高三数学9月月考试题(含答案)
2018届高三数学9月月考试题(含答案)
5 淮安市淮海中学2018届高三数学周练试题20189
参考式
样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝1n i＝1∑n(xi－－x)2，其中－x＝1n i＝1∑nxi．
锥体的体积式V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1 已知集合，，则集合中元素的个数为▲
2 若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝▲
3 命题“ ”的否定是▲
4 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为▲
5 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为▲
6．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的值为▲
7 如右上图，它是函数f(x)＝Asin( x＋ )(A＞0，＞0， [0，2 ) )图象的一部分，则f (0)的
值为▲
8 对于直线l，，平面α，α，则“l⊥”是“l⊥α”成立的▲ 条．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．
9 已知一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则该圆柱的体积为▲
10 已知函数f(x)＝13x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数的取值范围为▲
11 已知平行四边形ABcD中，AD＝2，∠BAD＝60°．若E为Dc。
江苏省南京市2018届高三9月学情调研测试英语试卷(含答案)
南京市2018届高三年级学情调研考试英语2017.09本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分120分，考试用时120分钟。
第一部分听力（共两节，满分分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题纸上。
第一节（共小题；每小题分，满分分）听下面段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的、三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What are the speakers mainly talking about?A. A friend.B. A program.C. The weather2. What time is it in New York?A. About 5 p.m.B. About 7 p.m.C. About 10 p.m.3. Why did the woman go to the city?A. To have a chat.B. To have dinner.C. To meet a friend4. How much will the woman pay if she buys two skirts?A. $38.B. $39.C. $405. Where will the woman get the ticket?A. On the Internet.B. In the museum.C. At the ticket office第二节（共小题：每小题分，满分分）听下面段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的、、三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题每小题秒钟；听完后，各小题将给出秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6、题。
6. What is the lost handbag like?A. It has a small button.B. It is a leather bag.C. It is an empty bag.7. What does the man ask the woman to do?A. To call the police.B. To search everywhere.C. To leave her information.听第段材料，回答第至题。
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南京市2018届高三数学9月调研试卷（带答案）南京市2018届高三年级学情调研数学2017.09注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q ＝▲．2．若(a＋bi)(3－4i)＝25(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b的值为▲．3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为▲．4．如图所示的算法流程图，若输出y的值为12，则输入x的值为▲．5．记函数f(x)＝4－3x－x2的定义域为D．若在区间[－5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为▲．6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x216－y29＝1的焦点到其渐近线的距离为▲．7．已知实数x，y满足条件2≤x≤4，y≥3，x＋y≤8，则z=3x－2y的最大值为▲．8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为▲cm2. 9．若函数f(x)＝Asin(x＋)(A＞0，＞0，||＜)的部分图象如图所示，则f(－)的值为▲．10．记等差数列前n项和为Sn．若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为▲．11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f(－1)＝－2，则满足f(2x－3)≤2的x的取值范围是▲．12．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120，→BM＝λ→BC．若→AM→BC＝－173，则实数λ的值为▲．13．在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为▲．14．已知函数f(x)＝2x2，x≤0，－3|x－1|＋3，x＞0．若存在唯一的整数x，使得f(x)－ax＞0成立，则实数a的取值范围为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：（1）平面AB1E⊥平面B1BCC1；（2）A1C//平面AB1E．16．（本小题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝45．（1）若c＝2a，求sinBsinC的值；（2）若C－B＝π4，求sinA的值．17．（本小题满分14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2．（1）求f(x)的解析式，并写出其定义域；（2）当x等于多少时，f(x)取得最小值？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，且过点(1，32)．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：x＝m(m＞a)于点M．已知点B(1，0)，直线PB交l于点N．（1）求椭圆C的方程；（2）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．19．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．（1）曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；（2）若对于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12lnx 恒成立，求a的取值范围；（3）若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a)，记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．20．(本小题满分16分)已知数列的各项均为正数，记数列的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列的通项公式；（3）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．南京市2018届高三年级学情调研卷数学附加题2017.09注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DA＝DC．求证：CA＝3CB．B．选修4—2：矩阵与变换设二阶矩阵A＝1234．（1）求A－1；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C：6x2－y2＝1，求曲线C的方程．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝t（t为参数），圆C的参数方程为x＝a＋cos，y＝2a＋sin（θ为参数）．若直线l与圆C相切，求实数a的值．D．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x－2|＋|x＋1|≥5．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．（1）若直线PB与CD所成角的大小为π3，求BC的长；（2）求二面角B－PD－A的余弦值．23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．南京市2018届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．{0，2}2．73．164．－25．126．37．68．189．－110．611．(－∞，2]12．1313．－4314．[0，2]∪[3，8] 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．（本小题满分14分）证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1平面ABC．因为AE平面ABC，所以CC1AE．……………2分因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AEBC．因为BC平面B1BCC1，CC1平面B1BCC1，且BC∩CC1＝C，所以AE平面B1BCC1．………………5分因为AE平面AB1E，所以平面AB1E平面B1BCC1.……………………………7分（2）连接A1B，设A1B∩AB¬1＝F，连接EF．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，所以F为A1B的中点．……………………………9分又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C．……………………………11分因为EF平面AB1E，A1C平面AB1E，所以A1C∥平面AB1E.……………………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）解法1在△ABC中，因为cosB＝45，所以a2＋c2－b22ac＝45．………………………2分因为c＝2a，所以(c2)2＋c2－b22c×c2＝45，即b2c2＝920，所以bc＝3510．……………………………4分又由正弦定理得sinBsinC＝bc，所以sinBsinC＝3510．……………………………6分解法2因为cosB＝45，B∈(0，)，所以sinB＝1－cos2B＝35．………………………2分因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，所以sinC＝2sin(B＋C)＝65cosC＋85sinC，即－sinC＝2cosC．………………………4分又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝255，所以sinBsinC＝3510．………………………6分（2）因为cosB＝45，所以cos2B＝2cos2B－1＝725．…………………………8分又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝35，所以sin2B＝2sinBcosB＝2×35×45＝2425．…………………………10分因为C－B＝π4，即C＝B＋π4，所以A＝π－(B＋C)＝3π4－2B，所以sinA＝sin(3π4－2B)＝sin3π4cos2B－cos3π4sin2B………………………………12分＝22×725－(－22)×2425＝31250．…………………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为t1＝9000x，………………………2分t2＝30003(100－x)＝1000100－x，………………………4分所以f(x)＝t1＋t2＝9000x＋1000100－x，………………………5分定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}． (6)分（2）f(x)＝1000(9x＋1100－x)＝10[x＋(100－x)](9x ＋1100－x)＝10[10＋9(100－x)x＋x100－x]．………………………10分因为1≤x≤99，x∈N*，所以9(100－x)x＞0，x100－x＞0，所以9(100－x)x＋x100－x≥29(100－x)xx100－x＝6，…………………12分当且仅当9(100－x)x＝x100－x，即当x＝75时取等号．…………………13分答：当x＝75时，f(x)取得最小值．………………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆C的离心率为32，所以a2＝4b2．………………………2分又因为椭圆C过点(1，32)，所以1a2＋34b2＝1，………………………3分解得a2＝4，b2＝1．所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1． (5)分（2）解法1设P(x0，y0)，－2＜x0＜2，x0≠1，则x024＋y02＝1．因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2－x0，－y0)，所以2－x0＝m．………………………7分由A(－2，0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y＝y0x0＋2(x＋2)，令x＝m，得y＝y0(m＋2)x0＋2，即M(m，y0(m＋2)x0＋2)．因为PB⊥MB，所以kPBkMB＝－1，所以kPBkMB＝y0x0－1y0(m＋2)x0＋2m－1＝－1，………………………10分即y02（m＋2）(x0－1)(x0＋2)(m－1)＝－1．因为x024＋y02＝1．所以(x0－2)(m＋2)4(x0－1)(m－1)＝1．………………………12分因为x0＝2－m，所以化简得3m2－10m＋4＝0，解得m＝5±133．………………………15分因为m＞2，所以m＝5＋133．………………………16分解法2①当AP的斜率不存在或为0时，不满足条件．………………………6分②设AP斜率为k，则AP：y＝k(x＋2)，联立x24＋y2＝1，y＝k(x＋2)，消去y得(4k2＋1)x2＋16k2x＋16k2－4＝0．因为xA＝－2，所以xP＝－8k2＋24k2＋1，所以yP＝4k4k2＋1，所以P(－8k2＋24k2＋1，4k4k2＋1)．………………………8分因为PN的中点为B，所以m＝2－－8k2＋24k2＋1＝16k24k2＋1．(*)……………………10分因为AP交直线l于点M，所以M(m，k(m＋2))，因为直线PB与x轴不垂直，所以－8k2＋24k2＋1≠1，即k2≠112，所以kPB＝4k4k2＋1－8k2＋24k2＋1－1＝－4k12k2－1，kMB＝k(m＋2)m－1．因为PB⊥MB，所以kPBkMB＝－1，所以－4k12k2－1k(m＋2)m－1＝－1．（**）………………………12分将(*)代入（**），化简得48k4－32k2＋1＝0，解得k2＝4±1312，所以m＝16k24k2＋1＝5±133．………………………15分又因为m＞2，所以m＝5＋133． (16)分19．（本小题满分16分）解：（1）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率k＝f′(0)＝6a，所以6a＝3，所以a＝12．………………………2分（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12lnx对任意x∈(0，+∞)恒成立，所以－(a＋1)≥2lnxx2．………………………4分令g(x)＝2lnxx2，x＞0，则g(x)＝2(1－2lnx)x3．令g(x)＝0，解得x＝e．当x∈(0，e)时，g(x)＞0，所以g(x)在(0，e)上单调递增；当x∈(e，＋∞)时，g(x)＜0，所以g(x)在(e，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(e)＝1e，………………………6分所以－(a＋1)≥1e，即a≤－1－1e，所以a的取值范围为(－∞，－1－1e]．………………………8分（3）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，f(2)＝4．令f′(x)＝0，则x＝1或a．………………………10分f(1)＝3a－1，f(2)＝4．①当1＜a≤53时，当x∈(1，a)时，f(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋4．因为h(a)＝3a2－6a＝3a(a－2)＜0，所以h(a)在(1，53]上单调递减，所以当a∈(1，53]时，h(a)最小值为h(53)＝827．………………………12分②当53＜a＜2时，当x∈(1，a)时，f(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋3a－1．因为h(a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)2≥0．所以h(a)在(53，2)上单调递增，所以当a∈(53，2)时，h(a)＞h(53)＝827．………………………14分③当a≥2时，当x∈(1，2)时，f(x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(2)＝4，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3a－5，所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1．综上，h(a)的最小值为827．………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）由3T1＝S12＋2S1，得3a12＝a12＋2a1，即a12－a1＝0．因为a1＞0，所以a1＝1．………………………2分（2）因为3Tn＝Sn2＋2Sn，①所以3Tn＋1＝Sn＋12＋2Sn＋1，②②－①，得3an＋12＝Sn＋12－Sn2＋2an＋1．因为an＋1＞0，所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2，③ (5)分所以3an＋2=Sn＋2＋Sn＋1＋2，④④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，即an＋2＝2an＋1，所以当n≥2时，an＋1an＝2．………………………8分又由3T2＝S22＋2S2，得3(1＋a22)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即a22－2a2＝0．因为a2＞0，所以a2＝2，所以a2a1＝2，所以对n∈N*，都有an＋1an＝2成立，所以数列的通项公式为an＝2n－1，n∈N*．………………………10分(3)由(2)可知S¬¬n＝2n－1．因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k，………………………12分所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1(*)．由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．当k＝2时，2t＝8，得t＝3．………………………14分当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－32k－2＋1为奇数，所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－32k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．综上，k＝2，t＝3．………………………16分南京市2018届高三年级学情调研数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲证明：连接OD，因为DA=DC，所以∠DAO=∠C．………………………2分在圆O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO，所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．………………………5分因为CD为圆O的切线，所以∠ODC=90°，从而DOC＋C＝90°，即2C＋C＝90°，故∠C＝30°，………………………7分所以OC＝2OD＝2OB，所以CB＝OB，所以CA＝3CB．………………………10分B．选修4—2：矩阵与变换解：（1）根据逆矩阵公式，可得A－1＝－2132－12．………………………4分（2）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P(x，y)，则xy＝1234xy＝x＋2y3x＋4y，所以x＝x＋2y，y＝3x＋4y．……………………8分因为(x，y)在曲线C上，所以6x2－y2＝1，代入6(x＋2y)2－(3x ＋4y)2＝1，化简得8y2－3x2＝1，所以曲线C的方程为8y2－3x2＝1．………………………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：由直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝t，得直线l 的普通方程为x－y＋1＝0．………………………2分由圆C的参数方程为x＝a＋cos，y＝2a＋sin，得圆C的普通方程为(x－a)2+(y－2a)2＝1．………………………4分因为直线l与圆C相切，所以∣a－2a＋1∣2＝1，………………………8分解得a＝1±2．所以实数a的值为1±2．………………………10分D．选修4—5：不等式选讲解：(1)当x＜－1时，不等式可化为－x＋2－x－1≥5，解得x≤－2；……………………2分(2)当－1≤x≤2时，不等式可化为－x＋2＋x＋1≥5，此时不等式无解；……………4分(3)当x＞2时，不等式可化为x－2＋x＋1≥5，解得x≥3；……………………6分所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞).…………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．（本小题满分10分）解：（1）以{→AB，→AD，→AP}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．因为AP＝AB＝AD＝1，所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．设C(1，y，0)，则→PB＝(1，0，－1)，→CD＝(－1，1－y，0)．…………………………2分因为直线PB与CD所成角大小为π3，所以|cos＜→PB，→CD＞|＝|→PB→CD∣→PB∣∣→CD∣|＝12，即12×1＋(1－y)2＝12，解得y＝2或y＝0（舍），所以C(1，2，0)，所以BC的长为2．………………………5分（2）设平面PBD的一个法向量为n1＝(x，y，z)．因为→PB＝(1，0，－1)，→PD＝(0，1，－1)，则→PBn1＝0，→PDn1＝0，即x－z＝0，y－z＝0．令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝(1，1，1)．………………………7分因为平面PAD的一个法向量为n2＝(1，0，0)，所以cos＜n1，n2＞＝n1n2∣n1∣|n2∣＝33，所以，由图可知二面角B－PD－A的余弦值为33．………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）两个球颜色不同的情况共有C2442＝96(种).………………………3分（2）随机变量X所有可能的值为0，1，2，3．P(X＝0)＝4C2496＝14， (5)分P(X＝1)＝3C14C1396＝38，P(X＝2)＝2C14C1396＝14，P(X＝3)＝C14C1396＝18．所以随机变量X的概率分布列为：………………………8分所以E(X)＝014＋138＋214＋318＝54．………………………10分。