您的位置：360文档中心› 2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)04 指数、对数、幂函数(原卷版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)04 指数、对数、幂函数(原卷版)

合集下载

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)31 空间向量与立体几何(原卷版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)31 空间向量与立体几何(原卷版)

考点31空间向量与立体几何一、考纲要求1、了解空间向量的基本定理及其意义；理解空间向量的夹角、数量积的概念；2、理解直线的方向向量与平面的法向量，3、能用向量方法证明有关线、面位置关系。

4、能用向量方法证明有关线、面的夹角等计算问题。

二、近五年江苏高考求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的平面角是近几年江苏高考附加题常见的题型，用空间向量的方法研究立体几何中的空间角的问题。

三、考点总结1、向量是利用数形结合解题的一种重要手段，只有掌握向量运算的各种集合意义，才能更好地利用向量这一工具解决相关问题。

2、用向量的方法解决立体几何的两大问题：一是特殊位置关系的判断，二是一般位置关系的计算。

四、近五年江苏高考1、（2018年江苏卷）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．2、（2017年江苏卷） 如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1) 求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2) 求二面角BA 1DA 的正弦值．3、(2015年江苏卷). 如图，在四棱锥P ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1) 求平面P AB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2) 点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．五、三年模拟题型一 异面直线所成的角1、(2019南京学情调研） 如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 的边长AB ＝3，侧棱AA 1＝2，E 是棱CC 1的中点，点F 满足AF →＝2FB →.(1) 求异面直线FE 和DB 1所成角的余弦值；(2) 记二面角EB 1FA 的大小为θ，求|cos θ|.2、(2019南京、盐城一模） 如图，四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AD ＝1，PA ＝AB ＝2，点E 是棱PB 的中点．(1) 求异面直线EC 与PD 所成角的余弦值； (2) 求二面角BECD 的余弦值．3、(2018南京学情调研） 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AP ＝AB ＝AD ＝1.(1) 若直线PB 与CD 所成角的大小为π3，求BC 的长；(2) 求二面角BPDA 的余弦值．4、(2018镇江期末）如图，AC ⊥BC ，O 为AB 中点，且DC ⊥平面ABC ，DC ∥BE.已知AC ＝BC ＝DC ＝BE ＝2.(1) 求直线AD 与CE 所成角； (2) 求二面角OCEB 的余弦值．5、(2018苏北四市期末）在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ＝1，AA 1＝2，E ，F ，G 分别是棱AA 1，AC 和A 1C 1的中点，以{FA →，FB →，FG →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.(1) 求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值； (2) 求二面角FBC 1C 的余弦值．6、(2017苏锡常镇调研） 如图，已知正四棱锥P ABCD 中， P A ＝AB ＝2，点M ，N 分别在P A ，BD 上，且PM P A ＝BN BD ＝13. (1) 求异面直线MN 与PC 所成角的大小； (2) 求二面角NPCB 的余弦值．7、(2017南京学情调研） 如图，在底面为正方形的四棱锥P ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是线段PC 的中点．(1) 求异面直线AP 与BE 所成角的大小；(2) 若点F 在线段PB 上，且使得二面角FDEB 的正弦值为33，求PFPB的值．8、(2017南京、盐城二模） 如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2，∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．(1) 求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； (2) 设点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D＝λ.若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．题型二 直线与平面所成的角1、(2019常州期末）如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，已知正四棱锥PABCD 的高OP ＝2，点B ，D 和C ，A 分别在x 轴和y 轴上，且AB ＝2，点M 是棱PC 的中点．(1) 求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值； (2) 求二面角APBC 的余弦值．2、(2019镇江期末）在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1) 求直线DC 1与平面A 1B 1D 所成角的正弦值； (2) 求二面角B 1DC 1A 1的余弦值．3、(2018苏州暑假测试）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，且PA ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，PA ⊥平面ABCD.(1) 求PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(2) 棱PD 上是否存在一点E 满足∠AEC ＝90°？若存在，求AE 的长；若不存在，请说明理由．4、(2017南通一调）如图，在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且BQ ＝λBB 1(λ≠0)．(1) 若λ＝12，求AP 与AQ 所成角的余弦值；(2) 若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°，求实数λ的值．规范解答 以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Axyz .5、(2017苏北四市一模）如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点．(1) 求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；(2) 点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．题型三 平面与平面所成的角1、(2019 盐城市2019届高三第三次模拟考试）如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AC ＝AD ＝3，PA ＝BC ＝4.(1) 求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；(2) 求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．2、(2018南通、泰州一调） 如图，在四棱锥PABCD 中，AP ，AB ，AD 两两垂直，BC ∥AD ，且AP ＝AB ＝AD ＝4，BC ＝2.(1) 求二面角PCDA 的余弦值；(2) 已知H 为线段PC 上异于C 的点，且DC ＝DH ，求PHPC的值．3、(2018苏州期末）如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直直角梯形ABPE 所在的平面于直线AB ，且AB ＝BP ＝2，AD ＝AE ＝1，AE ⊥AB ，且AE ∥BP.(1) 求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值；(2) 在线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．4、(2017常州期末） 如图，以正四棱锥VABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点．正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos 〈BE →，DE →〉＝－1549.(1) 求ha的值；(2) 求二面角BVCD 的余弦值．。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)05 函数与方程(原卷版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)05 函数与方程(原卷版)

考点05 函数与方程一、考纲要求1、了解二次函数的零点与相对应的一元二次方程的根的联系·2、了解二分法求方程近似解的过程·3、会用函数的图像理解和研究函数的性质·4、掌握数形结合的思想，以及能运用数形结合解决一些函数问题。

二、近五年高考分析函数与方程的思想是数学的四大思想之一，也体现了数形结合的思想，是近几年江苏高考的热点也是江苏高考的重点，经常体现在填空题的后几天或者大题的压轴题。

通过近几年江苏高考不难发现高考对函数的方程即函数的零点以及函数的性质等是函数重点考查的内容，在复习中要重点关注。

三、考点总结在高考复习中要注意以下几点：①要熟悉一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数等基本函数的图像，会处理含义绝对值函数的图像，等根据函数的图像的变换处理一些较为复杂的函数的图像问题。

②解决函数零点问题要用到以下方法（1）直接法，即求方程的根·（2）定理法，利用函数零点存在性定理估计零点的范围。

（3）数形结合，即与函数的图像结合找出函数的零点。

③正确掌握函数与方程的思想，能正确的对函数与图像进行转化。

能借助于图像解决函数与方程的问题。

四、五年真题1、（2019年江苏卷）.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.2、（2018年江苏试卷） 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．3、（2017年江苏试卷） 设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，()2,,x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩,其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．4、（2015年江苏试卷） 已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤1，|x 2－4|－2， x >1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________． 五、三年模拟题型一： 判断函数零点个数问题1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为2、(2017南通期末） 已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x －3|，1≤x <2，12f ⎝⎛⎭⎫12x ， x ≥2，则函数y＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．题型二：函数的图像问题1、(2019扬州期末）已知函数f(x)＝a ＋3＋4x －|x ＋a|有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为________．2、(2018扬州期末） 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（－x ＋1）－1，x ∈[－1，k]，－2|x －1|，x ∈（k ，a]，若存在实数k 使得该函数的值域为[－2，0]，则实数a 的取值范围是________．3.(2018苏锡常镇调研） 已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是 ．4、2017南京学情调研） 已知函数()312,02,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩当x ∈(－∞，m ]时，f (x )的取值范围为[－16，＋∞)，则实数m 的取值范围是________． 题型三：根据函数零点确定参数问题1、(2019宿迁期末）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，1≤x<2，2f ⎝⎛⎭⎫12x ，x≥2， 如果函数g(x)＝f(x)－k(x －3)恰有2个不同的零点，那么实数k 的取值范围是________.2、(2019通州、海门、启东期末）函数f(x)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ，x<－1，e x－|x －a|，x≥－1有3个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．3、(2018南京、盐城一模） 设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （3－x ），0≤x≤3，－3x ＋1，x>3，若函数y ＝f(x)－m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．4、(2018镇江期末） 已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1，x≤0，|ln x|，x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．5.(2018南京、盐城、连云港二模） 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ，x≥0，t ∈R .若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________．6.(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x≤0(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．7、(2017苏州暑假测试） 已知函数()31,1,11x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤≤⎩若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)14 两角和与差的正弦、余弦、正切(解析版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)14 两角和与差的正弦、余弦、正切(解析版)

考点14 两角和与差的正弦、余弦、正切一、考纲要求1、了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式。

2、体会化归思想的应用；掌握上述两角和与差的三角函数公式，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.3、能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用。

4、掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

二、近五年江苏高考“两角和(差)的正弦、余弦和正切”是C 级要求，课标要求是“两个周期函数的叠加仍然是一个周期函数”，其本质就是a sin x +b cos x = A sin ( x + φ )的转化，根据高考考试说明只需对特殊角进行转化，不必涉及非特殊角的情形. 此外，三角恒等式的证明未必会考(近 5 年江苏高考都没有考)，但常利用三角恒等变换进行化简与变形来解决综合题，因为化简的正确性将直接关系到整道题目能否顺利、正确的解决，所以“两角和(差)的正弦、余弦和正切”这个C 级要求务必要引起足够的重视，此C 级要求与其特例“二倍角的正弦、余弦和正切” B 级要求的熟练和准确必须强化训练到位三、考点总结：注意此处的教学要求为C 级，必须要引起足够的重视. 首先，两角和(差)的正弦、余弦及正切是三角恒等变换的基础和核心，后续的二倍角等公式实际是两角和(差)的特例；其次，高考并不一定会考三角恒等式的证明(近五年的江苏省高考试卷就说明了这一点)，在这里重要的是强化三角恒等变换的能力，弱化公式的机械记忆；最后，用三角变换研究较复杂函数的性质，更易体现“在知识的交汇点处命题”这一高考命题的基本思想，这样的题目更显得活泼、有生气，这一点在 2008~2018 年的各地高考试卷中均有相当明显的反映.四、近五年江苏高考试题1、(2019年江苏卷)已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】10. 【解析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭， 得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22221221⎫⨯+-⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112133=210113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.2、(2018年江苏卷) 已知为锐角，，．（1）求的值； （2）求的值．【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，所以，因此． 因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.3、(2017年江苏卷).若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 【答案】 75思路分析 α＝⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4. tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.4、(2016年江苏卷) 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________． 【答案】：8解法1 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，因为△ABC 为锐角三角形，所以cos B cos C ≠0，所以tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ，所以tan A tan B tan C ＝－tan B tan C tan B ＋tanC1－tan B tan C＝－2tan 2B tan 2C 1－tan B tan C＝2－⎝⎛⎭⎫1tan B tan C －122＋14≥8，当tan B tan C ＝2时等号成立．故tan A tan B tan C 的最小值为8.解法2 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，因为△ABC 为锐角三角形，所以cos B cos C ≠0，所以tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又由tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ，从而得tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ，因为△ABC 为锐角三角形，所以tan A ，tan B ，tan C >0，所以tan A tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ，即tan A tan B tan C ≥22，即tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ＝4时等号成立．故tan A tan B tan C 的最小值为8.解法3 因为tan A tan B tan C ＝sin A sin B sin C cos A cos B cos C ，而sin A ＝2sin B sin C ，所以tan A tan B tan C ＝sin 2A2cos A cos B cos C ，又cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin B sin C －cos B cos C ，从而cos B cos C ＝sin B sin C －cos A ＝12sin A －cos A ，故tan A tan B tan C ＝sin 2A 2cos A ⎝⎛⎭⎫12sin A －cos A ＝tan 2A tan A －2＝(tan A －2)＋4tan A －2＋4≥24＋4＝8(因为△ABC 为锐角三角形，所以tan A tan B tan C >0，故tan A －2>0)，当且仅当tan A ＝4时等号成立．故tan A tan B tan C 的最小值为8.5、(2015年江苏卷) 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________【答案】： 3【解析】由题意得tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βtan α＝17＋21－27＝3.6、(2015年江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1) 求AB 的长； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． 解题过程：(1) 因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210. 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 五、三年模拟题型一 两角和与差的正弦、余弦和正切1、(2019无锡期末）已知θ是第四象限角，且 cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ()2θ－6π的值为________．【答案】5214因为θ是第四象限角，所以sin θ<0， 则sin θ＝－1－cos 2θ＝－35，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos （2θ－6π）＝sin θcos π4＋cos θsin π4cos 2θ＝22（sin θ＋cos θ）cos 2－sin 2θ＝22（sin θ＋cos θ）（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）＝2245－⎝⎛⎭⎫－35＝5214.解后反思 本题考查了同角三角函数关系，诱导公式，两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式的应用，应注意正确选择二倍角的余弦公式进行化简．2、(2019扬州期末）设a ，b 是非零实数，且满足a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，则ba ＝________．【答案】 3解法1(方程法) 因为a ，b 是非零实数，由a sin π7＋b cos π7a cos π7－b sin π7＝tan 10π21，得tan π7＋b a 1－b a tanπ7＝tan 10π21，解得ba ＝tan10π21－tan π71＋tan 10π21·tanπ7，即b a ＝tan ⎝⎛⎭⎫10π21－π7＝tan π3＝ 3. 解法2(系数比较法) tan 10π21＝tan ⎝⎛⎭⎫π7＋π3＝tan π7＋31－3tan π7＝sin π7＋3cos π7cos π7－3sin π7，tan 10π21＝sin π7＋b a cos π7cos π7－b a sinπ7＝sin π7＋3cos π7cos π7－3sin π7，所以ba ＝ 3.解后反思 为了求b a 的值，自然要解出ba ，所以解法1是最自然的一种解法；解法2通过配角的技巧，再通过系数比较法求出了ba的值，技巧性强了点．3、(2018南京、盐城一模） 已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________． 【答案】34π【解析】因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan αtan β－(tan α＋tan β)＋1＝2，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1，所以tan (α＋β)＝－1.又α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，即α＋β＝34π4、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan (α－β)的值为________．【答案】 97【解析】 由三角函数的定义可知tan α＝21＝2，tan β＝15，故tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－151＋2×15＝97.5、(2017南京、盐城二模） 若sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α的值为________． 【答案】43－310【解析】令α－π6＝β，由已知得β是锐角，且sin β＝35，cos β＝45，所以cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫β＋π6＝cos βcos π6－sin βsin π6＝45×32－35×12＝43－310.6、(2017苏州暑假测试） 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝________. 【答案】 －4＋6215【解析】因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×223＝－4＋6215. 7、(2017苏北四市一模）若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．【答案】 －13【解析】因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即cos αsin β＝2sin αcos β.又因为cos αsin β＝23，所以sin αcos β＝13，从而sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13. 8、(2017苏锡常镇调研) 已知sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 【答案】 23－4解法 1 由题意可得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12－π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π12，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π12－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12·sin π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π12＋3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π12，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－2tan π12＝－2tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝－23－21＋3＝23－4. 解法2 tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝3－11＋3＝2－ 3.因为sin α＝3sin αcos π6＋3cos αsin π6，即sin α＝332sin α＋32cos α，即tan α＝32－33，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝tan α＋tan π121－tan αtan π12＝32－33＋2－31－32－33－3＝16－83－4＝23－4.9、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B .若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.(1) 求cos(α－β)的值； (2) 求α＋β的大小．【答案】规范解答 因为锐角α的终边与单位圆交于点A ，且点A 的横坐标是31010，所以由任意角的三角函数的定义可知cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010.(2分) 因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55.(4分) (1) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×⎝⎛⎭⎫－55＋1010×255＝－210.(8分)(2) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1010×⎝⎛⎭⎫－55＋31010×255＝22.(11分) 因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2， 所以α＋β＝3π4.(14分)易错警示 求角的大小，经常会因为忽略角的取值范围而导致增解．另外，在求角的大小时，一般地，应首先确定所求角的范围，然后根据角的范围来确定求角的哪个三角函数，通常所选择的那个三角函数应该在范围内是单调的．题型二 二倍角的正弦、余弦和正切1、(2019镇江期末） 若2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α＝________． 【答案】 －78解法1 设π4－α＝β⎝⎛⎭⎫β∈⎝⎛⎭⎫－34π，－π4，则α＝π4－β.由2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，得2cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2sin 2β＝4sin βcos β＝sin β，而sin β≠0，故cos β＝14.所以sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝cos 2β＝2cos 2β－1＝－78. 解法2 由2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α得2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝22(cos α－sin α)．又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α－sin α≠0，故cos α＋sin α＝22.两边平方得sin 2α＝－78. 2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，已知向量a ＝(6sin α，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，cos α－62，且a ⊥b .(1) 求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋7π12的值． 【解析】(1) 因为a ＝(6sin a ，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，cos α－62，且a ⊥b . 所以6sin a ＋2cos α＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝64.2分 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，(4分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝104， 故sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝64所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝155.(6分)(2) 由(1)得cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫1042－1＝14.(8分)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，π， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝154.(10分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋7π12＝＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫2a ＋π3sin π4(12分) ＝2－308.(14分) 3、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求： (1) cos α的值； (2) sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值． 思路分析 (1) 记α＋π4＝β，则cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝22(cos β＋sin β)，所以要先求出cos β.(2) 2α－π4＝2β－3π4，由(1)易得sin2β与cos2β的值．规范解答 (1) 记α＋π4＝β，则β∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，sin β＝210，cos β＝－1－sin 2β＝－7210.(3分) 所以cos α＝cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝22(cos β＋sin β)＝－35.(6分) (2) 由(1)得，sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2β－3π4＝－22(sin2β＋cos2β)．(10分) 因为sin2β＝2sin βcos β＝－725，cos2β＝cos 2β－sin 2β＝2425，(12分)所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝－17250.(14分) 解后反思 (1) 也可由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，展开得sin α＋cos α＝15.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，及α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，解得sin α＝45，cos α＝－35.(2) 由(1)得sin2α＝－2425，cos2α＝－725，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝22(sin2α－cos2α)＝－17250.。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)22 空间几何题的面积与体积(解析版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)22 空间几何题的面积与体积(解析版)

考点22 空间几何题的面积与体积一、考纲要求1. 直观了解柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,对柱、锥、台、球的概念的理解不作过高要求,复习时不要过分挖深.2. 多面体与旋转体表面上两点间的最短距离问题,要适当强化,体现了空间问题向平面问题转化.3. 柱、锥、台、球的表面积与体积的计算可能会在高考填空题中出现,注意体现不同几何体之间的联系,同时注意与平面几何中的面积等进行类比.二、近五年江苏高考立体几何中的计算作为江苏考纲必考知识点，每年都会考查，但是江苏高考对立体几何中的运算要求比较简单，近要求计算简单几何体的体积与表面积等简单的运算。

从近五年江苏高考试题可以发现主要考查柱、锥、球的表面积与体积，因此，在复习中要注意把握深度。

三、考点总结：把握空间几何体的结构特征是认识几何体的一个重要方面,也是进一步学习立体几何的基础. 在学习过程中,要通过互相对比的方式来把握它们的实质与不同,既要看到它们之间的不同,也要理解它们之间的联系,这样才能理解它们之间的共性和个性,做到心中有数,心中有图. 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题. 即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托,因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式. 同时也要学会运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解.四、近五年江苏高考题1、（2019江苏卷）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【答案】10.【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点， 所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ， 所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 2、（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果. 详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为3、（2017江苏卷）如图，圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．【答案】 32【解析】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为h ＝2R .因为V 1＝πR 2h ＝2πR 3，V 2＝4πR 33，所以V 1V 2＝32. 【解后反思】 因为所求的是两体积的比值，所以不妨设R ＝1，不会影响结果4、（2016江苏卷）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．(1) 若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？【答案】 (1) 由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P A 1B 1C 1D 1的体积 V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2) 设A 1B 1＝a (m)，PO 1＝h (m)，则0<h <6，O 1O ＝4h .连结O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)， 于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)． 令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h <23时，V ′>0，V 是单调增函数； 当23<h <6时，V ′<0，V 是单调减函数． 故h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．5、（2015江苏卷）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________． 【答案】 7【解析】设新的底面半径为r ，则13π×52×4＋π×22×8＝13πr 2×4＋πr 2×8，解得r ＝7.五、三年模拟题型一 柱的表面积与体积1、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正四棱柱的体积为________cm 3.【答案】54【解析】由题意知，正四棱柱的高为（35）2－32＝6，所以它的体积V ＝32×6＝54，故答案为54. 2、(2019常州期末） 已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为________．【答案】 38【解析】设圆锥底面半径为2r ，高为2h ，则圆柱底面圆半径为r ，高为h ，所以V 圆柱V 圆锥＝πr 2h 13π（2r ）2·2h ＝38.3、(2019苏锡常镇调研（一）） 已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．【答案】 2π【解析】设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则l ＝4－4r 2，0<r<1.圆柱的侧面积为S ＝2πrl ＝2πr 4－4r 2＝4πr 2（1－r 2）≤2π[r 2＋(1－r 2)]＝2π，当且仅当r 2＝1－r 2，即r ＝22时取“＝”，所以这个圆柱的侧面积的最大值为2π.4、(2019南京三模）有一个体积为2的长方体，它的长､宽､高依次为a ，b ，1．现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为 ． 【答案】14【解析】依题意有：a ×b ×1＝2，所以，ab ＝2，设新长方体高为h ，则（a ＋1）（b ＋2）h ＝2，化简为：h ＝21424a b ≤=++，当且仅当2a ＝b ，即1,2a b ==时，h 有最大值为14.5、(2018南京学情调研） 将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27π cm 3，则该圆柱的侧面积为________cm 2.【答案】18π【解析】设正方形的边长为x cm ，则圆柱的体积为πx 2·x ＝27π，解得x ＝3，所以该圆柱的侧面积为2π×3×3＝18π(cm 2)．6、(2018南通、泰州一调） 如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm (不计损耗)．【答案】210【解析】由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为6×34×42×4－93×4＝603，设所求正三棱柱的底面边长为x cm ，则有34x 2·6＝603，解得x ＝210，所以所求边长为210cm . 7、(2018苏北四市期末） 已知正四棱柱的底面边长为3 cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的体积是________cm 3.【答案】 54【解析】设该正四棱柱的侧棱长为h cm ，则(35)2＝32＋h 2，解得h ＝6(负值舍去)，从而这个正四棱柱的体积是V ＝32×6＝54(cm 3)．8、(2018苏中三市、苏北四市三调）现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为1S ,2S ,则12S S 的值为 ▲ ．【答案】25【解析】设正四棱柱得高为a ，所以底面边长为8a ，根据体积相等，且高相等，所以正四棱锥的高为3a ，则正棱锥侧面的高为,所以.9、(2017南通一调）如图，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝3 cm ，AA 1＝1 cm ，则三棱锥D 1A 1BD 的体积为________cm 3.【答案】32【解析】VD 1A 1BD ＝VBA 1DD 1＝13×3×12×3×1＝32.【解后反思】 对于三棱锥体积的求解，找“高”是关键，要能够换底，找到易求的那个高．10.(2017常州期末）以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．【答案】22【解析】如图，由题意可得圆柱的侧面积为S 1＝2πrh ＝2πr 2.圆锥的母线l ＝h 2＋r 2＝2r ，故圆锥的侧面积为S 2＝12×2πr ×l ＝2πr 2，所以S 2∶S 1＝2∶2.题型二 锥的表面积与体积1、(2019扬州期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________． 【答案】22π3【解析】圆锥的高为h ＝32－12＝22，圆锥的体积V ＝13×π×12×22＝22π3.2、(2019镇江期末） 已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________． 【答案】3π3【解析】先求出圆锥的底面半径和高．设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则⎩⎪⎨⎪⎧πr 2＝π，πrl ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.所以h ＝ 3.圆锥的体积V ＝13Sh ＝3π3. 3、(2019泰州期末） 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．【答案】14【解析】解法1(割补法) 设△ABC 的面积为S ，三棱柱的高为h ，则V 1＝V A 1ABC －V MABC ＝13Sh －13S×12h ＝16Sh ，V 2＝V ABCA 1B 1C 1－VA 1ABC ＝Sh －13Sh ＝23Sh ，所以V 1V 2＝Sh 6·32Sh ＝14. 解法2(等积转换) V 1＝VBA 1MC ＝12VBA 1AC ＝12VA 1ABC ，V 2＝2V A 1BC 1B 1＝2VBA 1B 1C 1＝2V A 1ABC ，所以V 1V 2＝14.解后反思 计算几何体的体积一般可以选用等积转换和割补法这两种方法，要注意多观察，将所求的体积合理地转化.4、(2019苏北三市期末） 已知正四棱锥的底面边长为23，高为1，则该正四棱锥的侧面积为________． 【答案】 . 83【解析】：如图，在正四棱锥中，BC ＝23，SO ＝1，取BC 的中点E ，连续OE ，SE ，则OE ＝12BC ＝3，侧面是四个全等的等腰三角形，设侧面积为S ，则S ＝4S △SBC ＝4·12·SE·BC ＝2·SO 2＋OE 2·23＝2·12＋（3）2·23＝8 3.所以正四棱锥的侧面积为8 3.解后反思 这个题首先要弄清楚正四棱锥的定义(底面是正方形的四棱锥，顶点在底面的射影是底面正方形的中心)，弄清楚四棱锥的高SO 和斜高SE ，以及高和斜高之间的勾股关系(SE 2＝SO 2＋OE 2)．5、(2018苏州暑假测试）如图，正四棱锥PABCD 的底面一边AB 的长为2 3 cm ，侧面积为8 3 cm 2，则它的体积为________cm 3.【答案】4【解析】如图，过点P 作PO 垂直于底面ABCD ，且垂足为O ，在平面ABCD 中，过点O 作直线AB 的垂线，垂足为E ，连结PE.由正四棱锥的性质知，PE ⊥AB ，所以S 侧＝(12×23×PE)×4＝83，解得PE ＝2，在Rt △POE 中，PO ＝PE 2－EO 2＝22－3＝1，所以正四棱锥的体积为13×(23)2×1＝4.6、(2018常州期末） 已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．【答案】3【解析】设截得的小圆锥的高为h 1，底面半径为r 1，体积为V 1＝13πr 21h 1；大圆锥的高为h ＝6，底面半径为r ，体积为V ＝13πr 2h ＝8.依题意有r 1r ＝h 1h ，V 1＝1，V 1V ＝13πr 21h113πr 2h ＝⎝⎛⎭⎫h 1h 3＝18，得h 1＝12h ＝3，所以圆台的高为h －h 1＝3.7、(2018镇江期末） 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为6，则该正四棱锥的体积为________． 【答案】83【解析】：正四棱锥的底面边长为 2，可知底面正方形对角线长为22，所以正四棱锥的高为（6）2－（2）2＝2，所以正四棱锥的体积V ＝13×4×2＝83.8、(2018扬州期末） 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为________．【答案】223π 【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，则由12·2π3·l 2＝3π，得l ＝3，又由2π3·l ＝2πr ，得r ＝1，从而有h ＝l 2－r 2＝22，所以V ＝13·πr 2·h ＝223π.9、(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为2的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH 的体积为________．（图1）（图2）【答案】43【解析】连结EG ，HF ，交点为O ，正方形EFGH 的对角线EG ＝2，EO ＝1，则点E 到线段AB 的距离为1，EB ＝12＋22＝ 5.SO ＝SE 2－OE 2＝5－1＝2，故正四棱锥SEFGH 的体积为13×(2)2×2＝43.10、(2018苏锡常镇调研（一））若正四棱锥的底面边长为 2 cm ，侧面积为8 cm 2，则它的体积为________cm 3.【答案】433【解析】思路分析 在以高为直角边、斜高为斜边的直角三角形中，求出高．该正四棱锥其中一个侧面的面积为2 cm 2，斜高为2 cm ，高h ＝22－12＝3(cm )．体积V ＝13Sh ＝433(cm 3)．解后反思 必须熟练掌握正四棱锥中的四个直角三角形．11、(2017苏锡常镇调研（一）） 已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为________．【答案】 43【解析】如图所示的正四棱锥P ABCD 中，P A ＝3，AB ＝2，故AO ＝22AB ＝2，所以PO ＝P A 2－AO 2＝3－2＝1，所以V ＝13Sh ＝13×22×1＝43.易错警示 本题易错在审题时看成三棱锥以及忘了体积公式中系数13.题型三 球的表面积与体积1、(2019苏州期末）如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．【答案】 2 3【解析】正三棱锥的底面正三角形的边长为a ＝23，面积S ＝34a 2＝33，高h ＝2.所以正三椎锥的体积V ＝13Sh ＝2 3.2、(2019苏州三市、苏北四市二调）设P ，A ，B ，C 为球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝2 m ，PB ＝3 m ，PC ＝4 m ，则球O 的表面积为________m 2.【答案】 29π解析：根据题意，可知三棱锥PABC 是长方体的一个角，如图所示，该长方体的外接球就是经过P ，A ，B ，C 四点的球，因为PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，所以长方体的体对角线的长为PA 2＋PB 2＋PC 2＝29，即外接球的直径2R ＝29，可得R ＝292，因此外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫2922＝29π，解后反思 几何体的外接球问题，关键要找到球心所在的位置，进而确定半径的值，本题抓住PA ，PB ，PC 两两垂直，将其补形成一个长方体，从而转化为长方体的外接球的问题，这一类题在各类考题中常有出现，同学们一定要掌握其方法．3、(2018无锡期末） 直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．【答案】 50π【解析】根据条件可知该直三棱柱的外接球即三棱锥B 1ABC 的外接球，也就是以BA ，BC ，BB 1为棱的长方体的外接球，设其半径为R ，则2R ＝BA 2＋BC 2＋BB 21＝32＋42＋52，得R ＝522，故该球的表面积为S ＝4πR 2＝50π.解后反思 解决空间几何体的外接球问题的关键是确定球心的位置，求得球半径．多数试题中几何体的外接球通常可以考虑转化为相应长方体的外接球模型，这也正是本题的命题背景．4、(2018苏州期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．【答案】 30π【解析】 思路分析 设球形容器的最小半径为R ，则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R 的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上．球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R ＝12＋22＋52＝30，得4R 2＝30.从而S 球面＝4πR 2＝30π.解后反思 本题由于背景文字较多，易出现没有读懂题意，没有正确理解图形的情况．本题的关键在于理解球的直径与两个并排长方体体对角线之间的关系．。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)12 线性规划(解析版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)12 线性规划(解析版)

考点12 线性规划一、考纲要求1. 能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.2. 能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决二、近五年江苏高考一般地，二元一次不等式Ax +By+ C >0 在平面直角坐标系中表示Ax +By+ C =0 某一侧所有点组成的平面区域。

我们把直线画成虚线表示区域不包括边界直线。

当我们在坐标系中画不等式Ax +By+ C ≥0 所表示的平面区域时，此区域的边界直线画成实线。

线性规划问题的考查，通常以求最优解、最值等问题出现，一般情况下，可通过作出图像，用数形结合的方法解题，题目多为填空题，为容易题或中档题，多数情况下可用特殊位置法求解。

高考对此内容的考查主要有三种：一是与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的距离、面积等问题；二是求目标函数的最值(取值范围)或已知目标函数的最值，求约束条件或目标。

三、考点总结：`函数中的参数的取值范围；三是求实际生活中效益最大，耗费的人力、物力资源最少等问题。

1. 用二元一次不等式表示平面区域，是简单线性规划问题的基础。

2. 掌握二元一次不等式表示平面区域的方法：(1 )直线定界，特殊点定域。

(2 )讨论B >0 时，不等式的方向。

(3 )也可根据斜截式判断：y < kx + b 表示直线的下方；y >kx + b 表示直线的上方。

3. 解决线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要的一环，故要重视正确画图；而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点上。

4. 目标函数所对应的直线束的斜率，如果与约束条件组中的某一约束条件所对应的直线斜率相等，那么最优解可能有无数个。

最后一定要注意检验，考虑最优解是否符合实际意义。

解题中，要特别注意目标函数所对应的直线束的斜率与边界的斜率的大小关系而导致的错误。

四、近几年江苏高考题1、(2017江苏卷)．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ．【答案】 [－52，1]【解析】 满足P A →·PB →≤20，点P (x ，y )的轨迹方程是x 2＋y 2＋12x －6y ≤20.又因为x 2＋y 2＝50，所以2x －y ＋5≤0.点P (x ，y )满足的所有约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5≤0.与线性规划类似，点P 对应的图形是：以E (－5，－5)，F (1，7)为端点的左侧圆弧EF ，圆弧EF 在x 轴上的射影为线段，点P 横坐标的范围是[－52，1]．易错警示 圆弧在x 轴上的射影与对应弦的射影和范围可能不一致．2、（2016江苏卷） 已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，， 则22x y +的取值范围是 .【答案】 ⎣⎡⎦⎤45，13 思路分析 注意到x 2＋y 2表示坐标原点到平面区域内的点的距离的平方，因此，问题转化为求坐标原点到平面区域内的点的距离的最大值与最小值．作出如图所示的平面区域，则A (1，0)，B (2，3)，C (0，2)，所以当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值为13，x 2＋y 2的最小值为坐标原点到直线AC 的距离的平方，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫|2|4＋12＝45，故x 2＋y 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤45，13.3、（2013江苏卷） 抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界)．若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤－2，12 【解析】 由y ＝x 2得y ′＝2x ，则在点x ＝1处的切线斜率k ＝2×1＝2，切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图阴影部分所示，则A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫12，0.作直线l 0：x ＋2y ＝0.当平移直线l 0至点A 时，z min ＝0＋2×(－1)＝－2；当平移直线l 0至点B 时，z max ＝12＋2×0＝12.故x ＋2y的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2，12.五、近三年模拟题题型一、目标函数的最值问题1、(2019无锡期末） 已知 x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥02x －y≤0x≥0，则z ＝ x ＋y 的取值范围是________．【答案】[0，3]【解析】由z ＝x ＋y 可得y ＝－x ＋z ，所以z 为直线y ＝－x 及平行直线的纵截距，根据可行域，令⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2故z max ＝3；令⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0x ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0故z min ＝0，所以z ＝x ＋y 的取值范围是．[0，3] 2、(2019南京三模）．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，2x ＋y ≥0，x ≤1，则x ＋3y 的最小值为 ．【答案】－5【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图所示，当目标函数z ＝x ＋3y 过点B （1，－2）时，取得最小值为：13(2)5z =+⨯-=-.3、(2019南通、泰州、扬州一调） 若实数x ，y 满足x≤y≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为________． 【答案】 －6【解法1】x ＋y≥x ＋2x ＋3＝3x ＋3，而2x ＋3≥x ，则x≥－3，所以3x ＋3≥－6，则x ＋y 的最小值为－6，此时x ＝y ＝－3.故答案为－6.【解法2】作出不等式组x≤y≤2x ＋3所表示的平面区域，如图所示，解得所以A(－3，－3)，令z ＝x ＋y ，可以得到y ＝－x ＋z ，作出直线l 0：y ＝－x 并平行移动，当直线经过A 点时，z 取最小值－3－3＝－6，故答案为－6.4、(2018南通、泰州一调） 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≤3，x －y －1≤0，则2x －y 的最大值为________．【答案】 5【解析】令z ＝2x －y ，作出平面区域，设直线l 0：y ＝2x ，将l 0平移，当l 0经过点B(4，3)时，z 取最大值为8－3＝5.5、(2018南京学情调研） 已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x≤4，y≥3，x ＋y≤8，则z ＝3x －2y 的最大值为________．【答案】 6【解析】由约束条件作出可行域，如图所示，欲求z ＝3x －2y 的最大值，即求直线y ＝32x －z 2纵截距的最小值，由图知，当直线y ＝32x －z2过点B 时取得，而点B 的坐标为(4，3)，所以z ＝3x －2y 的最大值为3×4－2×3＝6.6、(2018苏州期末）已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤3，x ＋y≥0，x －y ＋3≥0，则z ＝2x －3y 的最大值为________．【答案】15解法1(线性规划) 根据线性约束条件，画出可行域如图．z 的几何意义为动直线2x －3y ＝z 的截距负3倍，平移直线可得当直线经过点C 时，z 最大．又点C(3，－3)，故z max ＝15.解法2(向量的数量积) 先画出可行域，z ＝2x －3y 是定向量ON →＝(2，－3)与动向量OP →＝(x ，y)的数量积．可行域是以O(0，0)，A(3，－3)，B(3，6)，C(0，3)为顶点的梯形OABC 及它的内部．当点P 在点A(3，－3)处时，动向量OP →在定向量ON →方向上的投影最大．所以z ＝2x －3y ＝(2，－3)·(x ，y)≤(2，－3)·(3，－3)＝15.解后反思 利用向量数量积的几何意义“一个向量的模与另一个向量在该向量上的投影的乘积”，比平移直线更直观．7、(2018常州期末） 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y≤0，2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，则x ＋y 的取值范围是________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤43，8【解析】如图，画出可行域．阴影三角形的三个顶点坐标分别为A(0，2)，B ⎝⎛⎭⎫23，23，C(4，4)，则x ＋y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤43，8.8、(2018扬州期末）若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≤4，y≤3，3x ＋4y≥12，则x 2＋y 2的取值范围是________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤14425，25【解析】首先作出如图所示的可行域，设P(x ，y)表示可行域内任意一点，则x 2＋y 2的几何意义就是OP 2，它的最大值就是OA 2＝42＋32＝25，最小值就是原点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|3×0＋4×0－12|32＋422＝14425，故x 2＋y 2的取值范围为⎣⎡⎦⎤14425，25.9、(2017苏北四市一模） 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则3x ＋2y 的最大值为________．【答案】 3【解析】作出不等式组所表示的平面区域(如图)，令z ＝3x ＋2y，则y ＝－32x ＋z2，故当目标函数经过点C (1，0)时，取得最大值，故z max ＝3.10、(2017南通一调） 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．【答案】 7【解析】作出平面区域，如图所示的阴影部分，作出直线l 0：3x ＋2y ＝0，并平行移动，当直线经过点A (1，2)时，z max ＝3＋2×2＝7 .11、(2017南京、盐城一模） 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋y ≤7，x ＋2≤2y ，)则yx的最小值是________． 【答案】 34【解析】作出不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，而yx 表示区域内的点与坐标原点的连线的直线的斜率，故当直线过点A (4，3)时，⎝⎛⎭⎫y x min＝34.题型二 线性规划中的参数问题1、(2018无锡期末） 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥2，x ＋y≤4，2x －y≤c ，目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为5，则c 的值为________．【答案】5【解析】：如图，作可行域，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，2x －y ＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4－c ，根据目标函数的几何意义可知此为使得目标函数取得最小值的最优解，故z ＝3×2＋4－c ＝5，解得c ＝5.2、(2017无锡期末）设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围为________．【答案】 [2，5]【解析】直线y ＝kx －2上存在M 内的点，即直线与平面区域M 有公共点，作出平面区域M ，注意到直线y ＝kx －2经过定点P (0，－2)，求得直线l 1：x －y ＝0和l 2：x ＋y ＝4的交点A (2，2)及l 2和l 3：x ＝1的交点B (1，3)，则k P A ＝2，k PB ＝5，由题意可得k 的取值范围是[2，5]．3、(2017苏州暑假测试） 已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫92，8思路分析 注意到点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，m ，n ∈R ，所以m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，因此，本题的本质就是在约束条件下求目标式(m －2)2＋(n －2)2的取值范围，而(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ，n )到点(2，2)的距离的平方，因此，利用此几何意义不难得到问题的答案．因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP →＝mAB →＋nAC →，所以m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组平面区域如图所示．因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ，n )到点A (2，2)的距离的平方．因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32，故⎝⎛⎭⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2，即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，8.解后反思 本题是隐藏在向量背景下的线性规划问题，本题的关键在于找到m ，n 所满足的不等关系，有了不等关系，只需按线性规划问题的处理方法进行求解即可．。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)08 利用导数研究函数的性质(原卷版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)08 利用导数研究函数的性质(原卷版)

考点08 利用导数研究函数的性质一、考纲要求1、了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次函数的多项式函数的单调性。

2、了解函数极大（小）值、最大（小）值与导数的关系，会求不超过三次函数的多项式函数的极大（小）值、最大（小）值。

二、近五年江苏高考利用导数研究函数的单调性、奇偶性、极值和最值是近几年江苏高考的热点和难点，在江苏考查中主要以压轴题的方式出现，难度较大。

纵观这几年江苏高考不难发现主要利用导数研究函数的单调性以及零点和不等式等知识点的结合。

因此在复习中要注意加强函数的性质的研究和学习。

三、考点总结1、利用导数研究函数的单调性要注意一下两点：（1）求函数的单调性不要忘记求函数的定义域。

（2）给定区间的单调性不要忽略等号；2、利用导数求函数的单调区间，这类问题常于含参的不等式结合，要重视分类讨论的思想和数形结合的思想的应用。

3、求参数的取值范围，这类问题可以转化为研究函数的极值或者最值问题；四、五年高考1、（2019年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____.2、（2019年江苏卷）.设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈，()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 3、(2018江苏高考) 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 4、（2018年江苏卷） 记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”． （1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值； （3）已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．5、(2017年江苏卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a ＞0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2) 证明：b 2＞3a ；(3) 若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．6、(2016年江苏卷)已知函数f (x )＝a x ＋b x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．(1) 设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2) 若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 7、(2015年江苏卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )．(1) 试讨论f (x )的单调性；(2) 若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪（1，32）∪（32，＋∞），求c 的值．四、三年模拟 题型一 函数的单调性1、(2018无锡期末）若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．2、(2017南京三模）若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ，a ＋1]上单调递增，则实数a 的最大值为 ．3、(2017常州期末）若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪e x2－ae x (a ∈R )在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．4、(2018苏州暑假测试）已知函数f(x)＝(ax 2＋x)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1) 若f ′(x )是函数f (x )的导函数，当a >0时，解关于x 的不等式f ′(x )>e x ； (2) 若f (x )在[－1，1]上是单调递增函数，求a 的取值范围；(3) 当a ＝0时，求整数k 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在[k ，k ＋1]上有解．题型二 利用导数研究函数的极值与最值1、(2019扬州期末）若存在正实数x ，y ，z 满足3y 2＋3z 2≤10yz ，且ln x －ln z ＝e y z ，则xy 的最小值为_________．2、(2018苏北四市期末）已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋1，g(x)＝ln x －a(a ∈R )．(1) 当 a ＝1时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的极值；(2) 若存在与函数f (x )，g (x )的图像都相切的直线，求实数a 的取值范围．3、(2018南京学情调研）已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R .(1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；(2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；(3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值．题型三 恒成立问题1、(2019南京三模）已知函数f (x )＝12x 2－a ln x ＋x －12，对任意x ∈[1，＋∞)，当f (x )≥mx 恒成立时实数m 的最大值为1，则实数a 的取值范围是 ．2、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ax ＋b ，a ，b ∈R .(1) 若g (－1)＝0，且函数g (x )的图像是函数f (x )图像的一条切线，求实数a 的值； (2) 若不等式f (x )>x 2＋m 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 若对任意实数a ，函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．3、(2018苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，g(x)＝ln x.(1) 若a ＝0，b ＝－2，且f(x)≥g(x)恒成立，求实数c 的取值范围； (2) 若b ＝－3，且函数y ＝f(x)在区间(－1，1)上是单调递减函数． ①求实数a 的值；②当c ＝2时，求函数h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥g （x ），g （x ），f （x ）<g （x ）的值域．4、(2017苏锡常镇调研）已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －ax ＋a (a 为正实数，且为常数)．(1) 若函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若不等式(x －1)f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)14 两角和与差的正弦、余弦、正切(原卷版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)14 两角和与差的正弦、余弦、正切(原卷版)

考点14 两角和与差的正弦、余弦、正切一、考纲要求1、了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、两角和与差的正切公式。

2、体会化归思想的应用；掌握上述两角和与差的三角函数公式，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.3、能从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体会化归思想的应用。

4、掌握二倍角公式(正弦、余弦、正切)，能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。

二、近五年江苏高考“两角和(差)的正弦、余弦和正切”是C 级要求，课标要求是“两个周期函数的叠加仍然是一个周期函数”，其本质就是a sin x +b cos x = A sin ( x + φ )的转化，根据高考考试说明只需对特殊角进行转化，不必涉及非特殊角的情形. 此外，三角恒等式的证明未必会考(近 5 年江苏高考都没有考)，但常利用三角恒等变换进行化简与变形来解决综合题，因为化简的正确性将直接关系到整道题目能否顺利、正确的解决，所以“两角和(差)的正弦、余弦和正切”这个C 级要求务必要引起足够的重视，此C 级要求与其特例“二倍角的正弦、余弦和正切” B 级要求的熟练和准确必须强化训练到位三、考点总结：注意此处的教学要求为C 级，必须要引起足够的重视. 首先，两角和(差)的正弦、余弦及正切是三角恒等变换的基础和核心，后续的二倍角等公式实际是两角和(差)的特例；其次，高考并不一定会考三角恒等式的证明(近五年的江苏省高考试卷就说明了这一点)，在这里重要的是强化三角恒等变换的能力，弱化公式的机械记忆；最后，用三角变换研究较复杂函数的性质，更易体现“在知识的交汇点处命题”这一高考命题的基本思想，这样的题目更显得活泼、有生气，这一点在 2008~2018 年的各地高考试卷中均有相当明显的反映. 四、近五年江苏高考试题1、(2019年江苏卷)已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 2、(2018年江苏卷) 已知为锐角，，．（1）求的值； （2）求的值．3、(2017年江苏卷).若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 4、(2016年江苏卷) 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________． 5、(2015年江苏卷) 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________6、(2015年江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1) 求AB 的长； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． 五、三年模拟题型一 两角和与差的正弦、余弦和正切1、(2019无锡期末）已知θ是第四象限角，且 cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ()2θ－6π的值为________．2、(2019扬州期末）设a ，b 是非零实数，且满足a sin π7＋b cosπ7a cos π7－b sinπ7＝tan 10π21，则ba ＝________．3、(2018南京、盐城一模） 已知锐角α，β满足(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________．4、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）在平面直角坐标系xOy 中，已知角α，β的始边均为x 轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan (α－β)的值为________．5、(2017南京、盐城二模） 若sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α的值为________． 6、(2017苏州暑假测试） 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝________. 7、(2017苏北四市一模）若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．8、(2017苏锡常镇调研) 已知sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 9、(2017南京学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B .若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.(1) 求cos(α－β)的值； (2) 求α＋β的大小．题型二 二倍角的正弦、余弦和正切1、(2019镇江期末） 若2cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α＝________． 2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，已知向量a ＝(6sin α，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，cos α－62，且a ⊥b .(1) 求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋7π12的值． 3、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求： (1) cos α的值； (2) sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值．。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)34 坐标系与参数方程(原卷版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)34 坐标系与参数方程(原卷版)

考点34 坐标系与参数方程一、考纲要求1、了解极坐标，会进行极坐标方程与直角坐标程的互化。

2、会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，了解简单图形的极坐标方程。

3、理解直线的参数方程及其应用，理解椭圆与圆的参数方程及其简单应用。

会进行曲线参数方程与普通方程的互化。

二、近五年江苏高考 在近五年江苏高考中, 坐标系与参数方程作为一道送分的大题，均考查的极坐标方程与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、解决此类问题的关键就是转化为普通方程。

三、考点总结：1、极坐标方程，要记住一些特殊的直线与圆的极坐标方程为主，求解有两种策略，一是求曲线的极坐标方程，二是先求它的普通方程，然后转化为极坐标方程。

2、参数方程、极坐标方程与普通方程之间的相互转化。

并研究曲线位置之间的关系。

3、考查方程应用时，主要考查直线的参数方程以及与圆、椭圆等长度的问题 四、五年高考1、（2019年江苏卷）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离.2、(2018年江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为，曲线C 的方程为，求直线l 被曲线C 截得的弦长．3、(2017年江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．4、(2016年江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．5、(2015年江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．五、三年模拟题型一 极坐标与直角坐标1、(2019南京学情调研）在极坐标系中，已知直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2与曲线C ：ρ＝6sin θ相交于A ，B两点，求线段AB 的长．2、(2019无锡期末）自极点O 作射线与直线ρcos θ＝3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12，若Q 为曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)上一点，求PQ 的最小值．3、(2018苏州暑假测试）在极坐标系中，设直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫3，π6，B (3，0)，且直线l 与曲线C ：ρ＝a cosθ(a >0)有且只有一个公共点，求实数a 的值．4、(2018南京、盐城一模）在极坐标系中，直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1与曲线ρ＝r (r >0)相切，求r 的值．5、(2018苏锡常镇调研）在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫22，π4，圆心为直线ρsin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．6、(2017苏州暑假测试）自极点O 任意作一条射线与直线ρcos θ＝3相交于点M ，在射线OM 上取点P ，使得OM ·OP ＝12，求动点P 的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．7、(2017苏北四市一模）已知曲线C 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程．8、(2017南京学情调研）已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝m .若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．题型二 曲线的参数方程1、(2019泰州期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2、(2019 南京、盐城二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，点P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．3、(2018南京学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋cos θ，y ＝2a ＋sin θ(θ为参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．4、(2018南通、泰州一调）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．5、(2018南京、盐城、连云港二模）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，点P 是圆C 上的任意一点．若点P 到直线l 的距离的最大值为3，求a 的值．6、(2017南京、盐城二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k(k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．题型三 极坐标与参数方程的综合1、(2019常州期末）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ＋1，y ＝12t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，求直线l 被曲线C所截的弦长．2、(2019扬州期末） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－2－t (t 为参数)．在极坐标系中(与平面直角坐标系xOy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合)，圆C 的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，求直线l 被圆C 截得的弦长．3、(2018苏州期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，求△AOB 的面积．4、(2018无锡期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋m(t 是参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ＝4sin θ，且直线l 与圆C 相交，求实数m 的取值范围．5、(2018常州期末）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α(α为参数)，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，直线l 与曲线C交于M ，N 两点，求MN 的长．6、(2018镇江期末）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 若曲线C 上的A ，B 两点的极坐标分别为A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2，求1ρ21＋1ρ22的值．7、(2018扬州期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝m ＋22t ，y ＝22t(t 是参数，m 是常数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.(1) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2) 若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且PQ ＝2，求实数m 的值．8、(2017苏州期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)11 一元二次不等式(原卷版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)11 一元二次不等式(原卷版)

考点11 一元二次不等式一、考纲要求1、掌握一元二次不等式的解法2、了解一元二次不等式与相应函数、方程的关系3、掌握三个二次的关系二、近五年江苏高考一元二次不等式在江苏考纲中为C级要求，是必考的知识点，但是直接考查的不多，往往与其它知识点结合考查，多以简单的题目为主，它多与导数、函数、解析几何等相关知识结合。

体现函数方程的思想。

三、考点总结：①掌握三个“一元二次”的关系② 解不等式恒成立问题的技巧:1. 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2. 解恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.四、近几年江苏高考题1、（2019年江苏卷）.函数y =_____.2、(2017年江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 3、（2015年江苏卷）不等式224x x-<的解集为________.4、（2014年江苏卷） 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．五、三年模拟题型一 一元二次不等式的解法1、(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，≥，，，则不等式()()f x f x >-的解集为 ．2、(2018苏北四市期末）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x ＋1|，x≤1，（x －1）2，x>1，函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，则不等式g(x)≤2的解集为________．3、(2017南通一调）已知函数f (x )＝|x |＋|x －4|，则不等式f (x 2＋2)＞f (x )的解集用区间表示为________．4、(2017镇江期末） 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集为________．5、(2017苏北四市摸底） 已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，则不等式f (log 2x )<f (2)的解集为________.6、(2017南京、盐城、徐州二模） 已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )<f (3x－4)的解集是________．7、(2017苏北四市期末） 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2， x ≥0，x 2＋2x ， x <0，则不等式 f (f (x ))≤3的解集为________．8、（2017苏州期末）已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ．9、（2017苏北四市期末）已知函数()2f x x x =-，则不等式)(1)f x f ≤的解集为 ．题型二 一元二次不等式中含参问题1、(2018镇江期末） 已知函数f(x)＝x 2－kx ＋4，对任意x ∈[1，3]，不等式f(x)≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．2、(2016徐州、连云港、宿迁三检） 已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围是________．3、（2017苏州期末）若2101m x mx -<+（m ≠ 0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是 ．4、（2016宿迁调研）若不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，则实数x 的值为 ．。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)01 集合的概念与运算(原卷版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)01 集合的概念与运算(原卷版)

考点01 集合的概念与运算一、考纲要求1、了解集合的含义，体会元素与集合的关系。

2、了解集合之间包含关系与相等关系，能识别给定集合的子集，了解集合的全集与空集的含义。

3、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，会求给定集合的补集， 二、近五年高考情况分析 分析：从近五年江苏高考数学试题可以看出，高考主要以简单的送分题的形式出现，主要考察了集合的运算，即集合的子集、交集、并集以及补集·《集合》部分在江苏高考中主要是以送分题出现，重点考查集合的子集以及集合交、并、补的运算，属于容易题，因此，在高中一轮复习中要控制题目的难度和深度，不要对这部分知识点进行深度的挖掘。

三、考点总结1、集合与函数、方程以及不等式的集合是近几年江苏高考即模拟的热点，因此要注意各个模块知识点的融汇贯通。

考题的难度一般不是太大，就需要学生要细心答题。

2、在高考复习中要注意一下几点：①把握元素与集合、集合与集合之间的关系，明确集合，对集合中的元素进行分析，能化简的一定要化简。

②复习中要准确掌握集合语言、图形语言，突出等价转化思想，同时要掌握空集与全集以及特殊集合的关系。

③注意借助于图形关系表示集合基本关系的能力，渗透数形结合的思想。

解决含义参数问题时，要注意检验结合集合元素的互异性。

四、五年高考真题1、（2019年江苏高考）.已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =_____.2、（2018年江苏高考） 已知集合，，那么________．3、（2017年江苏高考） 已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．4、（2016年江苏高考） 已知集合A ＝{－1,2,3,6}，B ＝{x|－2<x<3}，则A∩B ＝________.5、（2015年江苏高考） 已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 五、三年模拟试题 题型一、集合间的简单运算1、(2019南通、泰州、扬州一调）已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝________．2、(2019苏州期初调查） 已知集合A ＝{－1，0，1}，集合B ＝{x|x>0}，则A∩B ＝________．3、(2019苏北三市期末） 已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x|0<x≤2}，则A∩B ＝________．4、(2019苏锡常镇调研（一）） 已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{x|－1<x<1}，则A∩B ＝________．5、(2019无锡期末）设集合 A ＝{x|x ＞0}，B ＝{x|－2＜x ＜1}，则 A∩B ＝________．6、(2019南京、盐城二模）已知集合A ＝{x|1<x<3}，B ＝{x|2<x<4}，则A ∪B ＝________．7、(2019苏北四市、苏中三市三调） 已知集合{1023}U =-，，，，{03}A =，，则U A =ð ．8、(2019南京三模）已知集合U ＝{x |1＜x ＜6，x ∈N }，A ＝{2，3}，那么∁U A ＝ ．9、(2018南京学情调研）若集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，则P∩Q ＝________． 10、(2017常州期末）已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{3,4}，B ＝{1,4,5}，则A ∪∁U B ＝________.11、(2016南京三模） 已知全集U ＝{－1,2,3，a}，集合M ＝{－1,3}．若∁U M ＝{2,5}，则实数a 的值为________． 12、(2017南通一调） 设集合A ＝{1,3}，B ＝{a ＋2,5}，A ∩B ＝{3}，则A ∪B ＝________. 13、(2017无锡期末） 设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |－1＜x ≤2}，则A ∩B ＝________. 14、(2017南京、盐城一模）已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝(－∞，0)，则A ∩B ＝________. 15、(2018苏中三市、苏北四市三调） 已知集合{} 1035 A =-，，，，{} 20 B x x =->，则A B = ．16、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调） 已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x ≥，则U A ð= ． 17、(2017南京三模）已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{3，4}，则∁U (A ∪B )＝ ．题型二、集合与集合之间的关系1、(2019泰州期末）已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A∩B≠∅，则a ＝________．2、(2019苏州三市、苏北四市二调） 已知集合A ＝{1，3，a}，B ＝{4，5}．若A∩B ＝{4}，则实数a 的值为________．3、(2019通州、海门、启东期末）已知集合A ＝{1，m －2}，B ＝{2，3}，且A∩B ＝{2}，则实数m 的值为________．4、(2019南京学情调研）已知集合A ＝{x|1<x<5，x ∈R }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，那么集合A ∩B 中有________个元素．5、(2018盐城三模）已知(,]A m =-∞，(1,2]B =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 __ ．6、(2018苏州期末） 已知集合A ＝{1，2a }，B ＝{－1，1，4}，且A ⊆B ，则正整数a 的值为________．7、(2016盐城三模） 已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{1,3,5,7,9}，C ＝A∩B ，则集合C 的子集的个数为________．8、(2018无锡期末） 已知集合A ＝{1，3}，B ＝{1，2，m}，若A ∪B ＝B ，则实数m ＝________．9、(2018苏锡常镇调研（二））设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =，则实数a = __ ． 10、(2018南通、泰州一调）已知集合A ＝{－1，0，a}，B ＝{0，a}．若B ⊆A ，则实数a 的值为________．题型三、集合与不等式、方程等的结合1、(2019扬州期末）已知集合M ＝{－2，－1，0}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|⎝⎛⎭⎫12x >2，则M∩N ＝________．2、(2019宿迁期末） 已知集合A ＝{x|x ＋1>0，x ∈R }，B ＝{x |2x －3<0，x ∈R }，则A ∩B ＝________．3、(2017南京学情调研） 已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{x |x 2－x ≤0}，则A ∩B ＝________.4、(2017苏州暑假测试）. 设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x|x 2＋x≤0}，则M∩N ＝________.5、(2017苏锡常镇调研（一）） 已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }，则∁U M ＝________.6、(2018南京三模）集合A ＝{x| x 2＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2－4＝0}，则A ∪B =______．。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)20 等差数列与等比数列(原卷版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)20 等差数列与等比数列(原卷版)

考点20 等差数列与等比数列一、考纲要求1. 理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式、前n 项和的公式，能运用公式解决一些简单问题.2. 能在具体的情境中识别数列的等差关系，并能运用有关的知识解决问题.了解等差数列与一次函数的关系及等差数列的前n 项和的公式与二次函数的关系.3. 理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n 项和的公式，能运用公式解决一些简单问题.4. 能在具体的情境中识别数列的等比关系，并能运用有关的知识解决问题.了解等比数列与指数函数的关系二、近五年江苏高考等比数列是高考中的C 级要求，它作为一种特殊的数列，也是一种基本的数列形式，是高考命题的热点与难点. 考查形式主要有两种：一是考查等比数列的概念，二是公式、性质的直接应用及等比中项的间接应用. 解题中，要紧紧抓住以下几个方面：1. 深刻理解并应用好它的定义. 在理解定义时，要紧扣从“第二项起”和“比是同一常数”这两点.2. 高效、灵活地应用好的通项公式及前n 项和公式，进行科学的计算 . 在等比数列中有五个量a 1 ，q ，n ，a n ，S n ，当知道其中三个量就可以求出其余的两个量，即“知三求二”，要求能根据不同的问题合理选用不同的公式，恰当应用它们，做到运算简单、合理、有效，运算量小. 为此，就得合理地应用好两种基本方法“基本量法”与“对称性”法. 另外，对于利用等比数列的前n 项和公式时，要注意判断它的公比 q 是否等于 1 ，否则就容易导致出错 .3. 合理应用好等比数列的相关性质，等比数列的相关性质主要有两个方面 . 一是“通项”的性质；二是“和”的性质 .4. 处理好一类问题 . 在高考命题中，经常借助于数列的通项与前 n 项和的关系来命题问题，这是高考数列命题的热点，近几年中，江苏省高考多次在这方面进行命题，今后，还会在这方面进行命题 . 三、考点总结：等差数列与等比数列作为两种基本的数列，是高考中数列考查的重中之重，值得关注 . 考查的形式主要有等差数列、等比数列的实际应用以及等差数列、等比数列与其他知识的综合 . 在复习中，要紧抓以下几个方面 ：1. 关注两种基本方法：研究等差数列、等比数列的基本方法就是“基本量法”及活用好它们的“对称性”；2. 领悟等差数列、等比数列的两类本质：等差数列、等比数列是两类特殊数列，又是两类特殊的函数，这种双重身份，注定它们必然是高考中的重点、难点，故而，学习中，要从“函数”及“数列”这两个方面来认识它们；3. 两类数学思想：分类讨论思想以及函数与方程的思想是解决数列问题所经常使用的两类数学思想。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)23 点线面的判定与性质(原卷版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)23 点线面的判定与性质(原卷版)

考点23 点线面的判定与性质一、考纲要求1. 了解空间线面平行、面面平行的有关概念，能正确地判断空间线线、线面、面面的位置关系;理解关于空间中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理;并能用图形语言和符号语言表述这些定理 . 2能运用公理及其推论和相关定理证明一些空间位置关系的简单命题 . 二、近五年江苏高考 江苏高考对立体几何的考查主要有两个方面，一是对体积(或点到平面的距离)、表面积的一类计算问题的考查，二是对直线与平面的位置关系的考查 . 以一大一小两题的形式进行考查，其中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行、垂直的位置关系的考查是高考中必考的问题，尤其是直线与平面平行、垂直关系的证明尤为重要 . 在证明的过程中，一定要注意推理的严密性，条件不要遗漏 . 另外，要关注与位置关系有关的一类探究性问题，它体现了新课程中考查学生的探究能力的要求，值得注意 三、考点总结：复习中，一要重视对本部分概念的内涵与外延的理解、定理的应用，做到弄清搞透;二要重视对典型问题求解基本思想方法的掌握，做到应用自如，特别是化归、转化等思想方法的掌握与应用;三要重视解题过程的规范训练，尽量避免因解题不规范而丢分 . 对于本部分的内容，高考的重点还是线线平行、线面平行、面面平行的判定以及它们的性质的应用四、近五年江苏高考题1、（2019江苏卷）.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．2、（2018江苏卷）在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．3、（2017江苏卷）如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1) EF∥平面ABC；(2) AD⊥AC.4、（2016江苏卷）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1) 直线DE∥平面A1C1F；(2) 平面B1DE⊥平面A1C1F.5、（2015江苏卷）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1) DE∥平面AA1C1C；(2) BC1⊥AB1.五、三年模拟题型一性质定理与判定定理的综合考查1、(2019苏北模拟）已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号．．．．．．．．．．．)．2、(2018南京三模）已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：①若l⊥α，l⊥β，则α∥β；②若l⊥α，α⊥β，则l∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β．其中真命题为________（填所有真命题的序号）．3.(2017南京、盐城二模）已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.4、(2017镇江期末）设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β.其中正确命题的序号为________．5、(2017泰州期末）若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．题型二线面平行、垂直的判定与性质1、(2019镇江期末）如图，在四棱锥V ABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.(1) 求证：BC⊥平面VCD；(2) 求证：AD∥MN.2、(2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．(1) 求证：EF∥平面ABC；(2) 求证：BB1⊥AC.3、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证：(1)MN∥平面PBC；MD⊥平面PAB.4(2019苏锡常镇调研（一））如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：(1) EF∥平面ABC；(2) BD⊥平面ACE.5、(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.求证：(1) DE∥平面ABB1A1；(2) BC1⊥平面A1B1C.6、(2018无锡期末）如图，ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF.(1) 求证：AC⊥平面BDE；(2) 求证：AC∥平面BEF.7、(2018苏北四市期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：(1) MN∥平面ABB1A1；(2) AN⊥A1B.8、(2018苏锡常镇调研（一））如图，正三棱柱ABCA1B1C1的高为6，其底面边长为2.已知点M，N 分别是棱A1C1，AC的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点．求证：(1) B1M∥平面A1BN；(2) AD⊥平面A1BN.9、(2018常州期末）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，点Q是棱PC上异于P，C的一点．(1) 求证：BD⊥AC；(2) 过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QF∥BC.10、(2017苏州暑假测试）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝22AD，E，F分别为PC，BD的中点．(1) 求证：EF∥平面P AD；(2) 求证：EF⊥平面PDC.11.(2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F 在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：(1) 直线A1E∥平面ADC1；(2) 直线EF⊥平面ADC1.题型三面面平行的判定与性质1、(2019南京、盐城一模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1上的点(其中点D 不同于点C)，且AD⊥DE，F为棱B1C1上的点，A1F⊥B1C1于点F.求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2) A1F∥平面ADE.2、(2019通州、海门、启东期末）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC，D，E分别是AC，A1B 的中点．(1) 求证：DE∥平面BCC1B1；(2) 若AB⊥DE，求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1.3、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB ＝AC，点E，F分别在棱BB1，CC1上(均异于端点)，且∠ABE＝∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1.求证：(1) 平面AEF⊥平面BB1C1C；(2) BC∥平面AEF.4、(2018镇江期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC中点，AB＝AC，BC1⊥B1D.求证：(1) A1C∥平面ADB1；(2) 平面A1BC1⊥平面ADB1.5、(2018苏中三市、苏北四市三调）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，11C BC D =．求证：（1）11B D ∥平面1C BD ；（2）平面1C BD ⊥平面11AAC C ．6、(2017南京、盐城一模）如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点． (1) 求证：B 1C 1∥平面A 1DE ； (2) 求证：平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1.7.(2017南通一调）)如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP ＝OC ，P A ⊥PD .求证：(1) 直线P A ∥平面BDE; (2) 平面BDE ⊥平面PCD .。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)16 平面向量的线性运算(解析版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)16 平面向量的线性运算(解析版)

考点16 平面向量的线性运算一、考纲要求1、理解向量的加法、减法和数乘运算,理解其几何意义;理解向量共线定理. 了解向量的线性运算性质及其几何意义2、了解平面向量的基本定理及其意义.3、理解平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件二、近五年江苏高考平面向量的线性运用是平面向量模块中比较重要的知识点，用一组基底可以表示其它的向量，这也是为下一节平面向量的数量积的基础，因此平面向量的线性运算是这几年江苏高考常考的知识点。

三、考点总结：1、平面向量的基本概念及其线性运算是向量的基本知识,一般以填空题的形式出现,有时也出现在解答题的某一步骤. 命题的落脚点可能以平面图形为载体考查平面向量,重点在于对三点共线及基底向量等相关知识的运用.2、平面向量的基本定理及其坐标运算是向量的基本知识,一般以填空题的形式出现,有时也出现在解答题的某一步骤. 命题的落脚点可能以平面图形为载体考查平面向量,借助基向量考查交点位置或借助向量的坐标考查共线等问题四、近几年江苏高考题1、（2017江苏卷） 如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________【答案】3思路分析 建立平面直角坐标系，可能计算量较小．以哪个向量所在直线作为x 轴更易计算呢？以O 为原点，OC →方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系xOy ，则OC →＝(2，0)．单位向量OA →＝1，－7|1，－7|＝1，－752，OB →＝1，1|1，1|＝1，12.由OC →＝mOA →＋nOB →，得⎩⎨⎧m 52＋n2＝2，－7m 52＋n2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5n ＝10，7m ＝5n ，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74.所以m ＋n ＝3.解后反思 若以O 为原点，OA →方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(1,0)，OC →＝2·1，7|1，7|＝1，75.由tan(α＋45°)＝－43，得OB →＝－3，45. 也可在OC →＝mOA →＋nOB →两边分别点乘OA →和OB →；还可以在OC →＝mOA →＋nOB →两边点乘∠AOB 的平分线所在的向量，等等．请对比各种解法．2、（2015江苏卷）. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【答案】 －3解析：因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.五、三年模拟题型一：平面向量基本定理1、(2019无锡期末）在四边形 ABCD 中，已知 AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中，a ，b 是不共线的向量，则四边形 ABCD 的形状是________．【答案】7.【解析】梯形因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋－4a －b ＋(－5a ＋－3b )＝－8a －2b 所以，AD →＝2BC →，即AD ∥BC ，且|AD |≠|BC |，所以，四边形ABCD 是梯形．2、(2019苏北四市、苏中三市三调）如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AE λμ=+（λμ∈，R ），则λμ+的值为 ．【答案】43【解析】：建系（坐标法）以AB 所在的直线为x 轴，以AE 所在的直线为y 轴， 设六边形边长为2，(0,0)A ,(2,0)B，C，(2,D,(0,E由AD AC AE λμ=+得：λμ+，2=2=332=3λλμ⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎩⎪⎩ 故4+=3λμ.3、(2017苏北四市摸底） 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为________.【答案】：. 58解析：如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边的中线，且AD ∩CE ＝O .在△AEO 中，由正弦定理得AE sin ∠AOE ＝EO sin ∠EAO ；在△ACO 中，由正弦定理得AC sin ∠AOC ＝CO sin ∠CAO ，两式相除得AE AC ＝EOOC ，因为AE ＝12AB ＝1，AC ＝3，所以EO OC ＝13.所以CO →＝3OE →，即AO →－AC →＝3(AE →－AO →)，即4AO →＝3AE →＋AC →，所以4AO →＝32AB →＋AC →，从而AO →＝38AB →＋14AC →，因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝38，y ＝14，于是x ＋y ＝58.课本探源 本题的难点是EO OC ＝13关系的建立，借助于正弦定理，可以证明AE AC ＝EOOC.实际上，必修5P54例5已经证明了此结论，若能够想到这一点，理顺本题的解题思路就容易多了：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，用正弦定理证明：AB AC ＝BDDC.4、(2017常州期末）在△ABC 中，∠C ＝45°，O 是△ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 [－2，1)思路分析 本题中三点在圆O 上是一个关键条件，可以建立坐标系求出m ，n 的关系式，再利用三角换元求解，也可以对向量等式两边平方后得到m ，n 的关系式，再利用线性规划求解．因为C ＝π4，O 是△ABC 外心，所以∠AOB ＝90°，OC →＝mOA →＋nOB →，所以C 在优弧AB 上．建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设半径为1，则A (0,1)，B (1,0)．设C (cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫π2，2π，代入OC →＝mOA →＋nOB →，可得n ＝cos θ，m ＝sin θ，即m ＋n ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 又θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，9π4，所以m ＋n ∈[－2，1)．解后反思 本题易错在没有注意点C 在优弧AB 上，错误的认为点C 在整个圆上．本题是典型的二元函数的值域问题，解题方法比较多，可以用基本不等式、线性规划、三角换元，但由于点C 在圆弧上，最好的方法建立坐标系，利用三角函数求解，定义域的寻找也较为简单．来转化．基底法运算量小于坐标法、坐标法的思维难度低于基底法．5、(2017南京、盐城、徐州二模） 如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.【答案】2434【解析】：： 因为O ，E 分别是AC ，AO 的中点，所以BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋14AC →＝BA →＋14(BC →－BA →)＝34BA→＋14BC →.又BE →＝λBA →＋μBD →＝λBA →＋μ(BC →＋CD →)＝(λ＋μ)BA →＋μBC →，故λ＋μ＝34.6、（2017连云港期中） 如图在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，AC 与BE 交于R ，若AR x AB y AD=+，则y x +的值为 ． RD E CBA【答案】32【解析】： 在ABCD 中，//CB AD ，1122AE AD BC ==， 所以AER CBR ∆∆∽，因为12AE BC =，所以1123AR CR AC ==；所以()1133AR AC AB AD ==+，故23x y +=．7、（2017徐州摸底）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若=+AD x AB y AC ，则x +y = ．【答案】1+3【解析】过D 作DH AB ⊥，所以90∠=︒DHB ；因为45∠=︒ABC ，90∠=︒EBD ， 所以45DBH ∠=︒；所以ABC HBD ∆∆，又因为DE BC =，所以2BH BD BD AB BC DE ===，所以22BH DH AB AC ===， 所以()AD AH HD AB BH HD =+=++，故331AD AB AC ⎛⎫=++ ⎪ ⎝⎭；即31x =+，y =． 题型二、平面向量基本定理及线性运算综合运用1、(2019泰州期末） 已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →＋PC →＝0，则λμ＝________．【答案】－34思路分析 由于题中出现了四个向量，因此可以考虑消去PC →或PD →，再根据平面向量基本定理，即可求得λ和μ的值．解法1(转化法) 如图，因为PA →＋PB →＋2PD →＝0，所以PA →＋PB →＋2(PC →＋CD →)＝0，即PA →＋PB →＋2(PC →＋BA →)＝0，即PA →＋PB →＋2(PC →＋PA →－PB →)＝0，所以，3PA →－PB →＋2PC →＝0，即32PA →－12PB →＋PC →＝0，所以λ＝32，μ＝－12，λμ＝－34.解法2(基底法) 因为12PA →＋12PB →＋PD →＝0，λPA →＋μPB →＋PC →＝0，两式相减得⎝⎛⎭⎫λ－12PA →＋⎝⎛⎭⎫μ－12PB →＋DC →＝⎝⎛⎭⎫λ－12PA →＋⎝⎛⎭⎫μ－12PB →＋PB →－PA →＝0，所以λ－12＝1，μ－12＝－1，λμ＝32×⎝⎛⎭⎫－12＝－34. 解法3(几何法) 取AB 中点E ，则PA →＋PB →＝2PE →＝－2PD →，所以PD →＝EP →，即P 为DE 中点，延长CP 交BA 延长线于点F ，易知：A ，E 为BF 的三等分点，且P 为CF 中点．由PA →＝13PB →＋23PF →＝13PB →－23PC →，得32PA →－12PB →＋PC →＝0，所以λμ＝－34.解后反思 本题考查了平面向量基本定理，也就是平面向量分解的唯一性定理，解法1，把PD →用其他三个向量来表示，根据平面向量的基本定理得到λ和μ的值；解法2，两式相减，同时消去了PC →，PD →，转化为以PA →，PB →为基向量的方程；解法3，通过构造三角形，根据向量的线性运算，找到PA →，PB →，PC →这三个向量的关系式，以上三种解法都可以称为基底法，此外本题可以将平行四边形特殊化为矩形或正方形，通过坐标法来处理．2、(2018南京学情调研）在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为________．【答案】 13解法1(基底法) 因为AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝λAC →＋(1－λ)AB →，所以AM →·BC →＝[λAC →＋(1－λ)AB →]·(AC →－AB →)＝λ|AC →|2＋(λ－1)|AB →|2＋(1－2λ)AB →·AC →＝4λ＋9(λ－1)＋(1－2λ)×2×3×cos 120°＝19λ－12＝－173，解得λ＝13.解法2(坐标运算法) 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意有，A(0，0)，B(3，0)，C(－1，3)，设点M 的坐标为(x ，y)，则(x －3，y)＝λ(－1－3，3)，即⎩⎨⎧x ＝3－4λ，y ＝3λ，故AM →·BC →＝(3－4λ，3λ)·(－4，3)＝19λ－12＝－173，解得λ＝13.解后反思 一般地，解决平面向量问题有三种方法：基底法、坐标运算法和几何意义法．用坐标法解决平面向量问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，用基底法解决平面向量问题的关键是找到一组便于表示其他向量和运算的基底即可．3、(2018无锡期末）在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠A ＝π3，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD内一点，若|AB →－NB →|＝|AM →－AN →|，则AM →·AN →＝________．【答案】. 6解法1(基底法) 因为AB →－NB →＝AN →，AM →－AN →＝NM →，||AB →－NB →＝||AM →－AN →，所以||AN →＝||NM →，故动点N 在线段AM 的垂直平分线上，设线段AM 的中点为P ，则AP →＝12AM →，由AN →＝AP →＋PN →，可得AM →·AN→＝AM →·(AP →＋PN →)＝AM →·AP →＋AM →·PN →＝AM →·AP →＋0＝12AM →2＝12(AD →＋DM →)2＝12⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →2＝12AD →2＋12AB →·AD →＋18AB →2＝12AD →2＋12||AB →||AD →cos π3＋18AB →2＝12×4＋12×4×2×12＋18×16＝6. 解法2(基底法) 因为AB →－NB →＝AN →，AM →－AN →＝NM →，|AB →－NB →|＝|AM →－AN →|，所以|AN →|＝|NM →|，故动点N 在线段AM 的垂直平分线上，设线段AM 的中点为P ，则AP →＝12AM →，应用AN →在AM →方向上的投影，可得AM →·AN →＝12AM 2，在△ADM 中，因为AD ＝DM ＝2，∠ADM ＝120°，由余弦定理得AM 2＝AD 2＋DM 2－2AD·DM·cos 120°＝12，故AM →·AN →＝12AM 2＝6.解法3(坐标法) 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，依据条件有A(0，0)，B(4，0)，C(5，3)，D(1，3)，M(3，3)，设N(x ，y)，由|AB →－NB →|＝|AM →－AN →|，得|AN →|＝|NM →|，即x 2＋y 2＝（x －3）2＋（y －3）2，化简得3x ＋3y ＝6，从而有AM →·AN →＝(3，3)·(x ，y)＝3x ＋3y ＝6，故AM →·AN →＝6.解后反思 解法1，2体现了基底向量在解决向量问题中的应用．当然，首先必须利用向量运算及简单的轨迹知识去将问题逐步向基底向量转化，解题过程需要有较强的目标意识．而解法3是另一种常见的思想方法，即坐标化思想，它比起基底向量思想更接地气，更受青睐，因为它对思维要求低一点，但对运算要求较高，在江苏高考中经常会出现便于建系的向量题4、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）如图，已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q.若||AB →＝3，||AC→＝5，则(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)的值为________．【答案】 －16思路分析1 由于||AB →，||AC→是已知的，故以AB →，AC →为基底，将所有的向量转化为AB →，AC →的形式，通过向量的基底运算来解决问题．思路分析2 由题意可知，本题所给出的△ABC 是不确定的，而结果是唯一的，因此，可采用特殊化的方法来加以处理，即将△ABC 进行特殊化来进行研究．解法1 因为AP →＝AQ →＋QP →，所以AP →＋AQ →＝2AQ →＋QP →，而AB →－AC →＝CB →，由于QP →⊥CB →，所以QP →·CB →＝0，所以(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)＝(2AQ →＋QP →)·CB →＝2AQ →·CB →，又因为Q 是BC 的中点，所以2AQ →＝AB →＋AC →，故2AQ →·CB →＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝9－25＝－16.解法2 由题意得△ABC 是不确定的，而最后的结果是唯一的，因此，取AB ⊥BC ，从而P 为AC 的中点，又|AB →|＝3，|AC →|＝5，所以|BC →|＝4，cos ∠BAC ＝35，故AP →＋AQ →＝12AC →＋12(AB →＋AC →)＝12AB →＋AC →，从而(AP →＋AQ →)·(AB →－AC →)＝(12AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12AB →2＋12AB →·AC →－AC →2＝12×9＋12×3×5×35－25＝－16.5、(2017无锡期末） 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE →＝λBC →，CF →＝λCD →.若AE →·BF →＝－1，则实数λ＝________.【答案】22【解析】：因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCD →，所以AE →·BF →＝(AB →＋λBC →)·(BC →＋λCD →)＝AB →·BC →＋λAB →·CD →＋λBC →2＋λ2BC →·CD →＝||AB →||BC →cos120°－λAB →2＋λBC →2＋λ2||BC →||CD→cos60°＝2λ2－2＝－1，解得λ＝±22.因为点E ，F 分别在边BC ，DC 上，所以λ>0，所以λ＝22.。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)06 函数模型及其应用(解析版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)06 函数模型及其应用(解析版)

考点06 函数模型及其应用一、考纲要求①了解指数函数、对数函数、幂函数、简单分段函数模型的意义，并能进行简单运用；②了解数学模型、掌握根据已知条件建立函数关系式，掌握应用数学知识解决问题的一般步骤；二、近五年高考分析函数模型是江苏高考必考题，江苏高考常见的题型主要有三个知识点：一是一元二次函数、指、对数等模型；二是基本不等式模型；三是导数模型；因此一元二次函数、指、对数等模型在近几年江苏高考中考查较少，但是作为江苏高考的一个重要知识点，这几年比如要考查，因此要引起足够的重视。

三、考点总结在高考复习中要注意以下几点：1、解决应用题的一般步骤：分析实际问题，找到自变量，分析出函数与自变量之间的关系，写出解析式，特别要注意函数的定义域，建立函数模型进行运算。

2、函数问题归结于求函数的最大值和最小值，高考中往往是几个知识点的考查综合考查，近几年出现开放性与其它模块的结合。

四、五年高考1、(2011年江苏卷)、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

解析：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1) S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2) V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，则V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值，此时h a ＝12.即当x ＝20时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12.2、（2012年江苏卷）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解析： (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0， 故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10km.(2) 因为a >0，所以炮弹可击中目标等价于存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根， 所以判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0， 解得a ≤6，所以0<a ≤6.所以当a 不超过6km 时，炮弹可击中目标．五、三年模拟题型一 一元二次函数、指数函数等模型1、(2018常州期末）已知小明(如图中AB 所示)身高1.8米，路灯OM 高3.6米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O.点光源从M 发出，小明在地面上的影子记作AB′.(1) 小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB′扫过的图形面积；(2) 若OA ＝3米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段AA 1走到A 1，∠OAA 1＝π3，且AA 1＝10米．t秒时，小明在地面上的影子长度记为f(t)(单位：米)，求f(t)的表达式与最小值．解析： (1) 由题意AB ∥OM ，AB′OB′＝AB OM ＝1.83.6＝12，OA ＝3，所以OB′＝6.小明在地面上的身影AB′扫过的图形是圆环，其面积为π×62－π×32＝27π(平方米)．(6分) (2) 经过t 秒，小明走到了A 0处，身影为A 0B 0′，由(1)知A 0B 0′OB 0′＝AB OM ＝12，所以f(t)＝A 0B 0′＝OA 0＝OA 2＋AA 20－2OA·AA 0cos ∠OAA 0，(10分)化简得f(t)＝t 2－3t ＋9＝⎝⎛⎭⎫t －322＋274，0<t≤10，当t ＝32时，f(t)的最小值为332.(13分) 答：f(t)＝t 2－3t ＋9，0<t≤10，当t ＝32(秒)时，f(t)的最小值为332(米)．(14分)2、(2016苏州暑假测试）如图，相距14 km的两个居民小区M和N位于河岸l(直线)的同侧，M和N到河岸的距离分别为10 km和8 km.现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，并从P分别排设到两个小区的直线水管PM，PN和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段水管长为t km(0<t<8)．(1) 求污水处理站P到两小区水管的长度之和的最小值(用t表示)；(2) 试确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长度最小，并分别求出此时污水处理站到两小区水管的长度．解析: (1) 如图，以河岸l所在直线为x轴，以过点M垂直于l的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则可得点M(0,10)，N(83，8)，设点P(s，t)，过P作平行于x轴的直线m，作N关于m的对称点N′，则N′(83，2t－8)．(3分) 所以PM＋PN＝PM＋PN′≥MN′＝32＋t－2＝2t2－18t＋129(0<t<8)，所以所求最小值为2t2－18t＋129(0<t<8)．(7分)(2) 设三段水管总长为L km，则由(1)知L＝PM＋PN＋PQ≥MN′＋PQ＝2t2－18t＋129＋t(0<t<8)，(9分)所以(L－t)2≥4(t2－18t＋129)，即3t2＋(2L－72)t＋(516－L2)≤0，所以方程3t2＋(2L－72)t＋(516－L2)＝0在t∈(0,8)上有解，(11分)故Δ＝(2L－72)2－12(516－L2)≥0，即L2－18L－63≥0，解得L≥21或L≤－3，所以L的最小值为21，此时对应的t＝5∈(0,8)，故N′(83，2)．(13分)所以MN′的方程为y＝10－33x，令y＝5，得x＝53，即P(53，5)，从而PM＝10，PN＝6.(15分)答：满足题意的点P距河岸5 km，距小区M到河岸的垂线5 3 km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10 km和6 km.(16分)3、(2017苏州期末）某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥(图1)将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸(图2)如下：其中，点A ，E 为x 轴上关于原点对称的两点，曲线BCD 是桥的主体，C 为桥顶，且曲线段BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为y ＝84＋x 2，x ∈[－2,2]，曲线段AB ，DE 均为开口向上的抛物线段，且A ，E 分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处(B ，D)的切线的斜率相等．(1) 求曲线段AB 在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；(2) 车辆从A 经B 到C 爬坡．定义车辆上桥过程中某点P 所需要的爬坡能力为：M P ＝(该点P 与桥顶间的水平距离)×(设计图纸上该点P 处的切线的斜率)，其中M P 的单位：m .若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8 m ，1.5 m ，2.0 m ，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1 m ，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？分析 (1) 首先B (－2,1)．设曲线段AB 对应函数的解析式为f (x )，则f (－2)＝1且f ′(－2)＝12.(2) 先算出M P 的最大值． 解析： (1) 首先B (－2,1)，由y ′＝－16x ＋x 22，得曲线段BCD 在点B 处的切线的斜率为12.(2分)设曲线段AB 对应函数的解析式为y ＝f (x )＝a (x －m )2(x ∈[m ，－2])，其中m ＜－2，a ＞0.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f －＝a －2－m2＝1，f －＝2a －2－m ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－6，a ＝116.(4分) 所以曲线段AB 对应函数的解析式为y ＝116(x ＋6)2(x ∈[－6，－2])．(5分)(2) 设P (x ，y )，记g (x )＝M P＝(0－x )y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧－18x x ＋，x ∈[－6，－2]，16x2＋x 22，x ∈[－2，0].)(7分)①当x ∈[－6，－2]时，g (x )的最大值为g (－3)＝98；(10分)②当x ∈[－2,0]时，g (x )－g (－2)＝－x 2－2＋x 22≤0，即g (x )≤g (－2)＝1，得g (x )的最大值为g (x )max ＝98.(13分)综上所述，g (x )max ＝98.(14分)因为0.8＜98＜1.5＜2，所以，游客踏乘的观光车不能过桥，蓄电池动力、内燃机动力观光车能够顺利过桥．(16分)4、（2015南京、淮安三模）某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现f (n )近似地满足 f (n )＝9A a ＋bt n ，其中t ＝2-23，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A ．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍； （2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大． 解析：（1）由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A ．所以⎩⎪⎨⎪⎧9Aa ＋b ＝A ，9A a ＋14b ＝3A ，解得a ＝1，b ＝8． （4分）所以f (n )＝9A1＋8×t n，其中t ＝2-23．令f (n )＝8A ，得9A 1＋8×tn ＝8A ，解得t n＝164， 即2-2n3＝164，所以n ＝9．所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍． （6分）（2）由（1）知f (n )＝9A1＋8×t n．第n 年的增长高度为△＝f (n )－f (n －1)＝9A 1＋8×t n －9A1＋8×t n －1． （9分） 所以△＝72At n －1(1－t )(1＋8t n )(1＋8t n －1)＝72At n －1(1－t )1＋8t n －1(t ＋1)＋64t 2n －1＝72A (1－t )1t n －1 ＋64t n＋8(t ＋1) （12分）≤72A (1－t )264t n×1tn －1＋8(t ＋1)＝72A (1－t )8(1＋t )2当且仅当64t n＝1tn －1，即2-2(2n -1)3＝164时取等号，此时n ＝5． 所以该树木栽种后第5年的增长高度最大． （14分）题型二、函数的含参讨论模型1、(2017常州期末）某辆汽车以x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x ≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15⎝⎛⎭⎫x －k ＋4500x L ，其中k 为常数，且60≤k ≤100. (1) 若汽车以120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L ，欲使每小时的油耗不超过9 L ，求x 的取值范围；(2) 求该汽车行驶100 km 的油耗的最小值．解析： (1) 由题意，当x ＝120时， 15⎝⎛⎭⎫x －k ＋4500x ＝11.5，所以k ＝100.(2分) 由15⎝⎛⎭⎫x －100＋4500x ≤9，得x 2－145x ＋4500≤0，所以45≤x ≤100.(4分) 又因为60≤x ≤120，所以x 的取值范围是[60,100]．(6分) (2) 设该汽车行驶100 km 的油耗为y L ，则y ＝100x ·15⎝⎛⎭⎫x －k ＋4500x ＝20－20k x ＋90000x 2(60≤x ≤120)．(8分) 令t ＝1x，则t ∈⎣⎡⎦⎤1120，160，(9分) 所以y ＝90000t 2－20kt ＋20＝90000⎝⎛⎭⎫t －k 90002＋20－k2900， 对称轴t ＝k 9000，因为60≤k ≤100，所以k9000∈⎣⎡⎦⎤1150，190.(11分) ①若1120≤k 9 000≤190，即75≤k ≤100，则当t ＝k 9 000，即x ＝9 000k 时，y min ＝20－k 2900；(13分)②若1150≤k 9 000＜1120，即60≤k ＜75，则当t ＝1120，即x ＝120时，y min ＝1054－k6.(15分)答：当75≤k ≤100时，该汽车行驶100 km 的油耗的最小值为20－k 2900；当60≤k ＜75时，该汽车行驶100km 的油耗的最小值为1054－k6.(16分)2、(2016南京三模）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．(1) 若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围；(2) 已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D ，且乙从A 到D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．思路分析 (1) 先求出AD ＝12千米，用路程速度＝时间列出一个含绝对值的不等式，解出v 的范围；(2) 解法3中用向量(即物理中的“位移”)更易显示PQ 的长度． 利用PQ →＝AQ →－AP →，求出f (t )＝PQ →2关于时间t 的四个时间段的表达式． 利用函数f (t )在四个时间段上的单调性，求出f (t )max ，解不等式f (t )max ≤25. 解析： (1)由题意，可得AD ＝12千米． 由题可知126－16v ≤14，(2分)解得649≤v ≤647.(4分)(2) 解法1 设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )． 由于乙先到达D 地，故16v ＜2，即v ＞8.(6分)①当0＜vt ≤5，即0＜t ≤5v时，f (t )＝(6t )2＋(vt )2－2×6t ×vt ×cos ∠DAB ＝⎝⎛⎭⎫v 2－485v ＋36 t 2. 因为v 2－485v ＋36＞0，所以当t ＝5v 时，f (t )取最大值，所以⎝⎛⎭⎫v 2－485v ＋36×⎝⎛⎭⎫5v 2≤25，解得v ≥154.(9分) ②当5≤vt ≤13，即5v ≤t ≤13v时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋9＝(v －6)2⎝⎛⎭⎫t －1v －62＋9.因为v ＞8，所以1v －6＜5v ，(v －6) 2＞0，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，所以(v －6) 2 ⎝⎛⎭⎫13v －1v －62＋9≤25，解得398≤v ≤394.(13分)③当13≤vt ≤16，即13v ≤t ≤16v 时，f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2，因为12－6t ＞0,16－vt ＞0，所以f (t )在⎣⎡⎦⎤13v ，16v 上递减，即当t ＝13v时，f (t )取最大值， ⎝⎛⎭⎫12－6×13v 2＋⎝⎛⎭⎫16－v ×13v 2≤25，解得398≤v ≤394.综上所述，8＜v ≤394.(16分)解法2 设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )． 由于乙先到达D 地，故16v ＜2，即v ＞8.(6分)以A 点为原点，AD 为x 轴建立直角坐标系， ①当0＜vt ≤5时，f (t )＝⎝⎛⎭⎫45vt －6t 2＋⎝⎛⎭⎫35vt 2. 由于⎝⎛⎭⎫45vt －6t 2＋⎝⎛⎭⎫35vt 2≤25，所以⎝⎛⎭⎫45v －62＋⎝⎛⎭⎫35v 2≤25t 2对任意0＜t ≤5v 都成立， 所以⎝⎛⎭⎫45v －62＋⎝⎛⎭⎫35v 2≤v 2，解得v ≥154.(9分) ②当5≤vt ≤13时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋32.由于(vt －1－6t )2＋32≤25，所以－4≤vt －1－6t ≤4对任意5v ≤t ≤13v都成立，即⎩⎨⎧v －6≤5t，－3t ≤v －6对任意5v ≤t ≤13v都成立，所以⎩⎨⎧v －6≤5v 13，－3v13≤v －6，解得398≤v ≤394.(13分)③ 当13≤vt ≤16，即13v ≤t ≤16v ，此时f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2.由①及②知8＜v ≤394，于是0＜12－6t ≤12－78v ≤12－78×439＝4，又因为0≤16－vt ≤3，所以f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2≤42＋32＝25恒成立． 综上所述，8＜v ≤394.(16分)解法3 首先，由乙先到达D ，得16v<2，即v >8.(6分)设从A 出发经过t 小时，甲、乙两管理员的位置分别为P ，Q ，则AP →＝(6t,0)． 当0<t ≤5v时，AQ →＝⎝⎛⎭⎫45vt ，35vt ； 当5v ≤t ≤13v 时，AQ →＝⎝⎛⎭⎫4＋v ⎝⎛⎭⎫t －5v ，3＝(vt －1,3)； 当13v ≤t ≤16v 时，AQ →＝⎝⎛⎭⎫12，3－v ⎝⎛⎭⎫t －13v ＝(12,16－vt )； 当16v ≤t ≤2时，AQ →＝(12,0)． 记f (t )＝PQ →2＝(AQ →－AP →)2，则f (t )＝因为v >8，所以在相应的t 的范围内，v 2－485v ＋36，(v －6)t －1,16－vt,12－6t 均为正数，可知f (t )在⎝⎛⎦⎤0，5v 和⎣⎡⎦⎤5v ，13v 上递增，在⎣⎡⎦⎤13v ，16v 和⎣⎡⎦⎤16v ，2上递减． 即f (t )在⎝⎛⎦⎤0，13v 上递增，在⎣⎡⎦⎤13v ，2上递减，所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫13v . 令f ⎝⎛⎭⎫13v ≤25，得v －v－1≤4，解得8<v ≤394.解后反思 当分段函数f (t )的图像连续时，整体考虑函数的单调性求最值，可减少很多(无效)计算量．一个小窍门是：分段函数的各个分界点，能用“闭区间”就不用开区间．3、（2015苏中三市、宿迁调研）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：mg/m 3)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎨⎧168－x－1， 0≤x ≤4，5－12x ， 4<x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4mg/m 3时，它才能起到净化空气的作用．(1) 若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2) 若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值．(精确到0.1，参考数据：2取1.4)解析： (1) 因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 648－x －4， 0≤x ≤4，20－2x ， 4<x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4.(3分) 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综上，得0≤x ≤8.故一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天. (7分)(2) 设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天浓度g (x )＝2⎝⎛⎭⎫5－12x ＋a ⎣⎡⎦⎤168－x －－1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a 14－x－a －4.(10分) 因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.(14分)题型三 函数综合模型1、(2018南京学情调研）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f(x)＝t 1＋t 2.(1) 求f(x)的解析式，并写出其定义域；(2) 当x 等于多少时，f(x)取得最小值？思路分析 本题分为两个阶段：建模和解模，建模阶段就是用自变量x 表示时间t 1，t 2.解模阶段就是根据解析式f(x)＝1 000⎝⎛⎭⎫9x ＋1100－x 求出最小值，思路1，分母的和为常数，运用“1＝1100[x ＋(100－x)]”的代入法；思路2，用导数求最值．解析： (1) 因为t 1＝9 000x，(2分)t 2＝ 3 0003（100－x ）＝1 000100－x，(4分) 所以f(x)＝t 1＋t 2＝9 000x ＋1 000100－x，(5分) 定义域为{x|1≤x≤99，x ∈N *}．(6分)(2) 解法1(基本不等式) f(x)＝1 000(9x ＋1100－x )＝10[x ＋(100－x)]⎝⎛⎭⎫9x ＋1100－x ＝10[10＋9（100－x ）x ＋x 100－x]．(10分) 因为1≤x≤99，x ∈N *，所以9（100－x ）x ＞0，x 100－x＞0， 所以9（100－x ）x ＋x 100－x ≥29（100－x ）x ·x 100－x ＝6，(12分) 当且仅当9（100－x ）x ＝x 100－x，即当x ＝75时取等号．(13分) 答：当x ＝75时，f (x )取得最小值．(14分)解法2(导数) f′(x)＝－9 000x 2＋ 1 000（100－x ）2，令f′(x)＝0得，x ＝75，x ∈N *(10分) 当x ∈(0，75)时，f ′(x )<0；当x ∈(75，100)时，f ′(x )>0，(13分)故当x ＝75时，f (x )取得最小值．(14分)易错警示 本题要注意定义域的书写，人只能是正整数个，即x ∈N *.一般地，求解函数解析式时，必须给出定义域，否则高考阅卷时会扣分，即便在后面列表中有范围，也没有用．2、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）将一铁块高温熔化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮(如图)，并沿虚线l 1，l 2裁剪成A ，B ，C 三个矩形(B ，C 全等)，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以l 1为母线，将A 作为圆柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l 1为侧棱，将A 作为正四棱柱的侧面展开图，并从B ，C 中各裁剪出一个正方形(各边分别与l 1或l 2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B ，C 都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；(2) 设l 1的长为x dm ，则当x 为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？解析： (1) 设所得圆柱的底面半径为r dm ，则(2πr ＋2r)×4r ＝100，(4分)解得r ＝52（π＋1）2（π＋1）.(6分) (2) 设所得正四棱柱的底面边长为a dm ，则⎩⎨⎧a≤x 2，a≤100x －4a ，即⎩⎨⎧a≤x 2，a≤20x .(9分) 解法1 所得正四棱柱的体积 V ＝a 2x≤⎩⎨⎧x 34，0<x≤210，400x ，x>210，(11分) 记函数p(x)＝⎩⎨⎧x 34，0<x≤210，400x ，x>210.则p(x)在(0，210]上单调递增，在(210，＋∞)上单调递减，所以当x ＝210时，p(x)max ＝2010. 所以当x ＝210，a ＝10时，V max ＝2010 dm 3.(14分)解法2 2a≤x≤20a，从而a≤10.(11分) 所得正四棱柱的体积V ＝a 2x≤a 2⎝⎛⎭⎫20a ＝20a≤2010.所以当a ＝10，x ＝210时，V max ＝2010dm 3.(14分)答：(1) 圆柱的底面半径为52（π＋1）2（π＋1）dm ； (2) 当x 为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．(16分)解后反思 这道题跳出了应用题的常规模式，它的目标函数是双变量函数，如何求它的最值，这里采用的是放缩兼消元的方法，这种方法不常见，解法1是消去a 保留x ，解法2是消去x 保留a.3、（2015常州期末）几名大学毕业生合作开3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元．该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20 000元．假设该产品的月销售量t (x )(件)与销售价格x (元/件)(x ∈N *)之间满足如下关系：①当34≤x ≤60时，t (x )＝－a (x ＋5)2＋10 050；②当60≤x ≤76时，t (x )＝－100x ＋7 600.设该店月利润为M (元)(月利润＝月销售总额－月总成本)，求：(1) M 关于销售价格x 的函数关系式；(2) 该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．解析：规范解答 (1) 当x ＝60时，t (60)＝1 600，代入t (x )＝－a (x ＋5)2＋10 050，解得a ＝2.(2分) 所以M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 2－20x ＋x －－20 000，34≤x <60，x ∈N *，－100x ＋x －－20 000，60≤x ≤76，x ∈N *.即M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 3＋48x 2＋10 680x －360 000，34≤x <60，x ∈N *，－100x 2＋11 000x －278 400，60≤x ≤76，x ∈N *.(4分) (注：写到上一步，不扣分)(2) 设g (u )＝(－2u 2－20u ＋10 000)(u －34)－20 000，34≤u <60，u ∈R ，则g ′(u )＝－6(u 2－16u －1 780)． 令g ′(u )＝0，解得u 1＝8－2461(舍去)，u 2＝8＋2461∈(50,51)．(7分)当34<u <50时，g ′(u )>0，g (u )单调递增；当51<u <60时，g ′(u )<0，g (u )单调递减．(10分)因为x ∈N *，M (50)＝44 000，M (51)＝44 226，所以M (x )的最大值为44 226.(12分)当60 ≤x ≤76时，M (x )＝100(－x 2＋110x －2 584)－20 000单调递减，故此时M (x )的最大值为M (60)＝21 600.(14分)综上所述，当x ＝51时，月利润M (x )取最大值44 226元．(15分)故该打印店月利润最大为44 226元，此时产品的销售价格为51元/件．(16分)。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)10 基本不等式(原卷版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)10 基本不等式(原卷版)

考点10 基本不等式一、考纲要求1、掌握基本不等式2ab ≤。

2、能用基本不等式证明简单不等式。

3、能用基本不等式求最值问题。

二、近五年江苏高考基本不等式是江苏数学考纲要求的c 级要求，是江苏高考试卷重点考查的模块之一，基本不等式是求函数最值得一种重要的方式，纵观近五年江苏高考不难发现基本不等式经常与三角函数、直线和圆等结合求函数的最值。

在高考中属于中档题或者难题·因此在复习中要引起学生的重视。

三、考点总结在学习中，要掌握运用基本不等式求函数的最值，要注意以下几点： ①掌握基本不等式满足的条件：一正、二定、三相等。

②掌握基本不等式的一些常见变形，最终都要化成 d bxcax ++的形式。

③掌握基本不等式的一些常见题型和方法技巧，如三元变二元，二元变一元。

以及双换元等。

在多次运用基本不等式的时一定要保证等号成立的条件。

四、近五年高考题1、（2019年江苏卷）平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.2、（2018年江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为________．3、（2017年江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．4、(2016年江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．5、（2015年江苏卷）. 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．五、三年模拟题型一 运用基本不等式求函数最值1、(2019常州期末） 已知正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，则1x ＋xy 的最小值为________．2、(2019镇江期末）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1x ＋4y ，则x ＋y 的最小值为________．3、(2019苏北三市期末） 已知a>0，b>0，且a ＋3b ＝1b －1a ，则b 的最大值为________．4、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ． 5、(2018苏锡常镇调研（一）） 已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________．6、(2018苏锡常镇调研（二）） 已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为 __ . 7、(2018镇江期末）已知a ，b ∈R ，a ＋b ＝4，则1a 2＋1＋1b 2＋1的最大值为________．8、(2017苏州期末）已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．题型二 运用基本不等式处理多元问题1、(2019南京、盐城一模）若正实数a ，b ，c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________．2、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b的最小值为________． 3、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b)，则a ＋b ＋c 的最小值为________．4.(2018苏州期末） 已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1c ＝1，则c 的取值范围是________．5、(2017无锡期末） 已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．题型三运用基本不等式求函数含参的问题1、(2019扬州期末）已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________．2、(2018南京、盐城一模）若不等式k sin2B＋sin A sin C>19sin B sin C对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为________．。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)03 函数的概念与基本性质(解析版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)03 函数的概念与基本性质(解析版)

考点03函数的概念与基本性质一、考纲要求1、理解函数的概念，会求一些简单函数的定义域和值域2、理解简单的分段函数，能求出给定自变量所对应的函数值，会画出函数的图像3、理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性4、了解函数奇偶性的含义5、会运用函数的图像理解和研究函数的性质。

理解二次函数的图像和性质。

能运用数形结合的思想结合在区间上的最值。

二、近五年高考分析从近几年江苏高考可以看出，函数的性质是近几年江苏的热点也是重点考查的知识点。

函数的定义域在这几年多次考查，函数的性质几乎每年都要进行考查，在大题中经常与导数等知识点结合考查，因此，对应本章要重点复习，要引起足够的重视。

三、考点总结函数是江苏高考的重点和热点，在填空题和解答题中多以压轴题的形式出现，试题的区分度很强。

在高考和各类考试中重点考查函数的定义域和值域以及函数的性质即函数的周期性、单调性和奇偶性。

因此，在复习中要注意一下几点：①函数的解析式主要有待定系数法、换元法、构造方程组的方法；②求函数的定义域要特别注意结果一定要写成集合的形式；函数的值域的方法有图像法、配方法、换元法、基本不等式、单调性以及运用导数等方法；③函数的性质有单调性要注意区间若含有多个区间用逗号或者和连接、周期性要记住一些常见的结论，奇偶性要注意定义域要关于原点对称。

注意题目的综合运用。

四、五年真题1、(2019江苏卷)函数y =_____. 【答案】[1,7]-.【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.2.(2019江苏卷)设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】13⎡⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为11=，得4k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 3、（2018年江苏卷）. 函数满足，且在区间上，则的值为________． 【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 解析：由得函数的周期为4，所以因此4、（2018年江苏卷） 函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.5、（2017年江苏卷） 设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．【答案】8解析：首先f (x )∈[0,1)，所以方程f (x )＝lg x 的解x 0∈[1,10)．由图像可知，在[9,10)上方程无解，方程在[1,9)上的整数解只有x ＝1.再按x －k ∈D 和x －k ∉D 两种情况，讨论f (x )＝lg x 在(k ，k ＋1)上的解，其中k ＝1,2， (8)① 若x －k ∈D ，且x ∈(k ，k ＋1)，其中k ＝1,2,3，…，8，设x －k ＝n －1n ，n ∈N *且n ≥2.则方程为()221n n -＝lg ⎝⎛⎭⎫k ＋1－1n ，即10(n －1)2＝⎝⎛⎭⎫k ＋1－1n n 2，这样的n 不存在． ②若x －k ∉D ，且x ∈(k ，k ＋1)，其中k ＝1,2，…，8，则方程为x －k ＝lg x .记g (x )＝x －lg x －k ，则g ′(x )＝1－1x ln10＞1－1ln10＞0，所以g (x )在(k ，k ＋1)上递增．因为g (k )＝－lg k ，g (k ＋1)＝1－lg(k ＋1)＞0，所以在(1,2)内无解，当k ＝2,3，…，8时，在x ∈(k ，k ＋1)内各恰有一解，共有7解． 与①类似，可证这些解都是无理数，从而满足x －k ∉D . 综上所述，方程共有8解．解后反思 对于解答题，尽量不用“由图像可知”，可把“思路分析”中的内容并入①②，并稍作改动，例如在①中允许n ＝1，则k ＝1，得x ＝1.试试写一下．另外，若把题中的D 改为区间[0,1)中的所有有理数组成的集合，再试做一下．6、（2017年江苏卷） 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎣⎡⎦⎤－1，12 【解析】思路分析 先容易判断f (x )是奇函数，再确定f (x )的单调性．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上递增．又因为f (x )是奇函数，所以f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (2a 2)≤f (1－a )⇔2a 2≤1－a .即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12.解后反思 这类题的解题思路是：先确定所给“特定函数”的奇偶性和单调性，再用“一般函数”的性质解“抽象的不等式”，而不是去解一个“具体的不等式”．7、（2016年江苏卷） 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． 【答案】[－3,1]【解析】由3－2x －x 2≥0得－3≤x ≤1，所以函数y ＝3－2x －x 2的定义域为[－3,1]．8、（2016年江苏卷） 设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝()()(),102,015x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 【答案】－25【解析】因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝a －12，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝110，从而得a －12＝110，解得a ＝35，所以f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.五、三年模拟题型一：函数的定义域和表示1、(2019泰州期末） 函数y ＝1－x 2的定义域是________． 【答案】[－1，1]【解析】要使函数式有意义，则有1－x 2≥0，即x 2－1≤0，解得－1≤x≤1，所以函数的定义域为[－1，1]． 易错警示 定义域、值域、解集一定要写成集合或区间的形式，否则会产生不必要的扣分． 2、(2019苏州三市、苏北四市二调） 函数y ＝4x －16的定义域为________． 【答案】[2，＋∞)【解析】由4x －16≥0，得4x ≥16＝42，解得x≥2，所以函数的定义域为[2，＋∞)．3、(2019苏锡常镇调研（一））已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（3－x ），x≤0，2x －1，x>0，若f(a －1)＝12，则实数a ＝________．【答案】log 23【解析】当a －1≤0，即a≤1时，f(a －1)＝log 2(4－a)＝12，解得a ＝4－2(舍)；当a －1>0，即a>1时，f(a－1)＝2a －1－1＝12，解得a ＝log 23.解后反思 本题以分段函数为背景，考查指数及对数的基本运算及分类讨论的数学思想． 4、(2018苏北四市期末） 函数y ＝log 12x 的定义域为________． 【答案】(0，1]【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log 12x≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x≤1，所以0<x≤1，即该函数的定义域为(0，1]．5、(2017常州期末） 函数y ＝1－x ＋lg(x ＋2)的定义域为________．【答案】(－2,1]【解析】由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋2＞0，解得－2＜x ≤1，故所求函数的定义域为(－2,1]．6、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 函数f (x )＝－x 2的定义域是________．【答案】[－2,2]【解析】思路分析 被开方数lg(5－x 2)非负．由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1，即x 2－4≤0，解得－2≤x ≤2.题型二：函数的值域1、(2018南京三模）．若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，则f (a+1)的值为 ． 【答案】2【解析】周期为3，所以2)1()1(0),0()3(==+∴==f a f a f f2、(2018南京、盐城一模） 设函数y ＝e x ＋1e x －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－∞，2]【解析】因为e x >0 ，所以y ＝e x ＋1ex －a≥2e x ·1ex －a ＝2－a ，当且仅当e x ＝1，即x ＝0时取等号．故所求函数的值域A ＝[2－a ，＋∞)．又A ⊆[0，＋∞)，所以2－a≥0，即a≤2.3、(2018苏州暑假测试）已知函数f(x)＝x ＋ax (a>0)，当x ∈[1，3]时，函数f(x)的值域为A ，若A ⊆[8，16]，则a 的值是________． 【答案】15【解析】思路分析 题设“当x ∈[1，3]时，函数f(x)的值域为A ，若A ⊆[8，16]”等价于“对于任意的x ∈[1，3]，不等式8≤x ＋ax≤16恒成立．解法1(分离变量法) 由题意，对于任意的x ∈[1，3]，不等式8≤x ＋ax ≤16恒成立，也就是说，不等式x(8－x)≤a≤x(16－x)恒成立，故[x(8－x)]max ≤a≤[x(16－x)]min ，即15≤a≤15，所以a ＝15.解法2(特值法) 由题意，当x ＝1，3时，⎩⎪⎨⎪⎧8≤f （1）＝1＋a≤16，8≤f （3）＝3＋a3≤16，即⎩⎪⎨⎪⎧7≤a≤15，15≤a≤39，所以a ＝15. 本题命题的根源是用“两边夹法则”化不等式为等式．两边夹法则的内容是：如果x ，a 是实数，且a≤x≤a ，那么x ＝a.两边夹法则的变式有：①若(x －y)2≤0，则x ＝y ；②若a≤f(x)≤a ，则f(x)＝a ；③若g(x)≤f(x)≤g(x)，则f(x)＝g(x)．两边夹法则体现了由不等向相等、由变量向常量的转化思想．本题是“知不等式求值”问题，故可从两边夹法则思路来考虑．4、(2018无锡期末）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1x 2，x≤－12，log 12⎝⎛⎭⎫1＋x 2，x>－12，g(x)＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是________． 【答案】(－2，0)【解析】思路分析 根据条件可以将问题等价转化为关于函数y ＝f(a)的值域问题，然后利用分段函数的值域求法和一元二次不等式的解法处理即可．由题意，存在a ∈R ，使得f (a )＝－g (b )，令h (b )＝－g (b )＝b 2＋2b ＋2.当a ≤－12时，f (a )＝a 2＋2a －1a 2＝－1a 2＋2a ＋1＝－⎝⎛⎭⎫1a －12＋2，因为a ≤－12，所以－2≤1a <0，从而－7≤f (a )<1； 当a >－12时，f (a )＝log 12⎝⎛⎭⎫1＋a 2，因为a >－12，所以1＋a 2>14，从而f (a )<2.综上，函数f (a )的值域是(－∞，2)． 令h (b )<2，即b 2＋2b ＋2<2，解得－2<b <0.5、(2018扬州期末） 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（－x ＋1）－1，x ∈[－1，k]，－2|x －1|，x ∈（k ，a]，若存在实数k 使得该函数的值域为[－2，0]，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎦⎤12，2【解析】根据函数f(x)的解析式作出草图如图，①当x ∈[－1，k]时，f(x)＝log 12(－x ＋1)－1，它在[－1，1)上是单调递增的，且f(－1)＝－2，f ⎝⎛⎭⎫12＝0，因为该函数在[－1，a]上的值域为[－2，0]，所以必须有－1<k≤12；②当x ∈(k ，a]时，f(x)＝－2|x －1|，在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，且f(0)＝f(2)＝－2，f(1)＝0，因为函数的值域为[－2，0]，所以必须有0≤k<a≤2.综合①②，要求存在实数k 使得该函数的值域为[－2，0]，则必须0≤k≤12<a≤2.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，2.易错警示 这里易错写成⎣⎡⎦⎤12，2，对于区间端点究竟是开还是闭，可通过检验的方式判定，这里若a ＝12，f(a)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，因为k<a ＝12，f(k)<0，这样函数f(x)的值域里就不含有函数值0，与题意值域为[－2，0]不符，故a≠12.题型三： 函数的性质1、(2019南京学情调研）若函数f(x)＝a ＋12x－1是奇函数，则实数a 的值为________． 【答案】12【解析】解法1(特殊值法) 因为函数f(x)为奇函数，且定义域为{x|x≠0}，所以有f(1)＋f(－1)＝0，即(a ＋1)＋(a －2)＝0，解得a ＝12.解法2(定义法) 因为函数f(x)为奇函数，所以有f(x)＋f(－x)＝0，即a ＋12x －1＋ a ＋12－x －1＝0，即2a －1＝0，解得a ＝12.易错警示 本题由于是填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．2.(2019苏州期初调查）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x≥0，－x 2＋ax ，x<0，为奇函数，则实数a 的值等于________．【答案】－2【解析】解法1(特殊值法) f(－1)＝－1－a ，f(1)＝－1, 因为f(x)为奇函数，所以－1－a ＝1，则a ＝－2. 解法2(定义法) 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝x 2＋2x ＝－f(x)，即x 2＋2x ＝x 2－ax 对x<0恒成立，所以a ＝－2.3.(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )．当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为________． 【答案】. 2【解析】因为f(x ＋2)＝f(x)，则f(－1)＝f(1)，又f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，则有f (1)＝－f (1)，即f (1)＝0，所以1－a ＋1＝0，则a ＝2，故答案为2.4.(2019镇江期末） 已知函数f(x)＝12x －2x ，则满足f(x 2－5x)＋f(6)>0的实数x 的取值范围是________．【答案】(2，3)【解析】思路分析 用函数的单调性和奇偶性解答．函数f(x)的定义域为R ，且f (－x )＝12－x －2－x ＝－12x ＋2x ＝－f (x )，故f (x )在R 上是奇函数．又12x 与－2x 在R上都是单调递减的，从而f (x )在R 上单调递减，从而由题意可得f (x 2－5x )>－f (6)＝f (－6)，故x 2－5x <－6，解得2<x <3.5、(2018南京学情调研）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是________． 【答案】(－∞，2]【解析】因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数，所以f (x )在R 上为单调增函数．又因为f (－1)＝－2，所以f (1)＝2，故f (2x －3)≤2＝f (1)，即2x －3≤1，解得x ≤2.6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x .若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(－1，1)解法1(奇偶性的性质) 因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f (a )＋f (－a )＝2 f (|a |)<4，即f (|a |)<2，即|a |2＋|a |<2，(|a |＋2)(|a |－1)<0，解得－1<a <1.解法2(奇偶性的定义) 当x≤0时，－x≥0，又因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x ≤0.当a ≥0时，f (a )＋f (－a )＝(a 2＋a )＋(－a )2－(－a )＝2a 2＋2a <4，解得0≤a <1；当a ≤0时，f (a )＋f (－a )＝(a 2－a )＋(－a )2＋(－a )＝2a 2－2a <4，解得－1<a ≤0.综上，－1<a <1.解后反思 解法2是从函数的奇偶性定义入手，先求函数解析式，再对a 分类求解，没有充分运用函数的奇偶性，而解法1借助了函数奇偶性的性质，即对于R 上偶函数f (x )有f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，把自变量化成非负值，避免分类讨论．7、(2017苏州暑假测试） 已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (－1)＝________. 【答案】－1【解析】因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)＝－(2－1)＝－1，因此f (0)＋f (－1)＝－1.8、(2017苏北四市期末）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则不等式f (x )≤－5 的解集为________． 【答案】(－∞，－3]【解析】当x ＞0时，f (x )＝2x －3＞－2；因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0；当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝2－x －3，f (x )＝－2－x ＋3，此时不等式f (x )≤－5可化为－2－x ＋3≤－5，解得x ≤－3.综上所述，该不等式的解集为(－∞，－3]．9、(2017无锡期末）已知()()()()23,0,0xx f x g x x ⎧->⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则f (g (－2))＝________. 【答案】1【解析】因为f (x )是奇函数，所以g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－1，从而f (g (－2))＝f (－1)＝－f (1)＝1. 解后反思 解决本题的关键是充分利用奇函数的性质进行恰当赋值．题型四：函数性质的综合运用1、(2019泰州期末）、已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(－1，＋∞)【解析】函数f(x)＝2x 4＋4x 2为偶函数，因为f′(x)＝8x 3＋8x ＝8x(x 2＋1)，所以当x ∈[0，＋∞)时，函数f(x)为增函数，当x ∈(－∞，0)时，函数f(x)为减函数，由f(a ＋3)>f(a －1)，得f(|a ＋3|)>f(|a －1|)，即(a ＋3)2>(a －1)2，解得a>－1，所以实数a 的取值范围为(－1，＋∞)．2、(2019南京、盐城二模）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则不等式f (x －1)>f (x )的解集为________．【答案】(－2，3)【解析】解法1 f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则当x <0时，有－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－5(－x )]＝－x 2－5x ，即()()()225x,05x,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，. ①当x ≥1时，由f (x －1)>f (x )得(x －1)2－5(x －1)>x 2－5x ，解得x <3，所以1≤x <3；②当0≤x <1时，由f (x －1)>f (x )得－(x －1)2－5(x －1)>x 2－5x ，解得－1<x <2，所以0≤x <1；③当x <0时，由f (x －1)>f (x )得－(x －1)2－5(x －1)>－x 2－5x ，解得x >－2，所以－2<x <0.综上，由①②③得不等式f (x －1)>f (x )的解集为(－2，3)．解法2 在同一坐标系中分别作出函数y ＝f(x)与y ＝f(x －1)的图像(将函数y ＝f(x)的图像向右平移一个单位长度得到y ＝f(x －1)的图像)，根据对称性可得，两个函数分别交于点(－2，6)，(3，－6)，从图像可得f(x －1)>f(x)的解集为(－2，3)．3、(2019苏北三市期末）已知a ，b ∈R ，函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则关于x 的不等式f (2－x )>0的解集为________．【答案】(0，4) f(x)＝(x －2)(ax ＋b)＝ax 2＋(b －2a)x －2b.因为函数f(x)是偶函数，所以b ＝2a, 故f(x)＝ax 2－4a.又函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以a<0.解法一(代数角度) f(2－x)＝a(2－x)2－4a>0，即(2－x)2<4，即－2<2－x<2，即0<x<4，故所求不等式的解集是(0，4)．解法二(数形结合) 作出函数f(x)的示意图，如图．从图像可知f(x)>0，需－2<x<2，故f(2－x)>0，只需－2<2－x<2，解得0<x<4，故所求不等式的解集是(0，4)．4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知函数f(x)＝(2x ＋a)(|x －a|＋|x ＋2a|)(a<0)．若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2019的x 的值为________．【答案】337【解析】思路分析 去绝对值化简f(x)，由f(x)的图像得到函数f(x)在R 上单调递增且关于点⎝⎛⎭⎫－a 2，0对称，根据f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (672)＝0，求得a 的值，再解不等式，求得x 的值．【解析】f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--<<+--≥++a x a x a a x a a x a x a x ,2),2(32,)2()2(22，结合函数的图像可知：函数f (x )在R 上单调递增且关于点⎝⎛⎭⎫－a 2，0对称，因为f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (672)＝0，所以1＋6722＝－a 2，解得 a ＝－673.由f (x )＝2019，当x ≤－673时，f (x )＝－(2x ＋a )2≤0，不成立；当－673<x <1346时，(－3)×(－673)(2x －673)＝2019，解得x ＝337，又因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f (x )＝2019有唯一解x ＝337，故所求x 的值为337.5、(2018苏州暑假测试） 设f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x ，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f 2(x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎦⎤－∞，－32 【解析】思路分析 在函数性质问题中，出现“双f”特征“f(x ＋a)≥f 2(x)”应联想到直接代入解析式求解(解法1)、用函数的单调性求解(解法2)，故法1只需根据条件求出函数f(x)的解析式；法2的难点在于是否能够把f 2(x)写成f(t)的形式，易知f 2(x)＝f(2x)．解法1(利用解析式) 当x≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得，f (x )＝2|x |，x ∈R .由f (x ＋a )≥f 2(x )得，2|x ＋a |≥(2|x |)2，即|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即(3x ＋a )(x －a )≤0对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧（3a ＋a ）（a －a ）≤0，[3（a ＋2）＋a ]（a ＋2－a ）≤0，解得a ≤－32.解法2(偶函数的性质) 当x≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得，f (x )＝2|x |，x ∈R ，易证f 2(x )＝f (2x )，x ∈R ，故由f (x ＋a )≥f 2(x )得，|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，下同解法1.6、(2018扬州期末） 已知函数f(x)＝sin x －x ＋1－4x2x ，则关于x 的不等式f(1－x 2)＋f(5x －7)<0的解集为________．【答案】{x|2<x<3}【解析】因为函数f(x)＝sin x －x ＋1－4x 2x 的定义域为R ，且f (－x )＝sin(－x )－(－x )＋1－4－x2－x ＝－sin x ＋x ＋4x －12x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －x ＋1－4x 2x ＝－f (x )，所以由奇函数的定义可知f (x )为R 上的奇函数．又f ′(x )＝cos x －1－1＋4x 2x ln2.因为－1≤cos x ≤1，ln2>0，则有f ′(x )<0，所以f (x )为R 上的减函数，因此不等式f (1－x 2)＋f (5x －7)<0，即f (1－x 2)<－f (5x －7)，亦即f (1－x 2)<f (7－5x )，即1－x 2>7－5x ，解得2<x <3，故不等式f (1－x 2)＋f (5x －7)<0的解集为{x |2<x <3}．解后反思 解此类抽象不等式，很少运用函数表达式，通过代入将它转化为具体不等式来解，主要是运用函数的奇偶性、单调性、定义域等性质，通过去掉对应法则f ，将它转化为关于变量x 的具体不等式来解．。

2020年高考数学江苏卷真题及答案解析

2020年高考数学江苏卷真题及答案解析
19
愿你以渺小启程，以伟大结束。
20
愿你以渺小启程，以伟大结束。
21
10
愿你以渺小启程，以伟大结束。
11
愿你以渺小启程，以伟大结束。
12
愿你以渺小启程，以伟大结束。
13
愿你以渺小启程，以伟大结束。
14
愿你以渺小启程，以伟大结束。
15
愿你以渺小启程，以伟大结束。
16
愿你以渺小启程，以伟
18
愿你以渺小启程，以伟大结束。
愿你以渺小启程，以伟大结束。
1
愿你以渺小启程，以伟大结束。
2
愿你以渺小启程，以伟大结束。
3
愿你以渺小启程，以伟大结束。
4
愿你以渺小启程，以伟大结束。
5
愿你以渺小启程，以伟大结束。
6
愿你以渺小启程，以伟大结束。
7
愿你以渺小启程，以伟大结束。
8
愿你以渺小启程，以伟大结束。
9
愿你以渺小启程，以伟大结束。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)02 常用逻辑用语(解析版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)02 常用逻辑用语(解析版)

考点02：常用逻辑用语一、考纲要求了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。

理解充分条件、必要条件、充分条件的意义，会判断充分条件、必要条件、充要条件。

了解或、且、非的含义·了解全称量词与存在量词的意义，能准确地对一个量词的命题进行否定·二、近五年高考分析从近几年江苏高考可以看出，高考对本章的考查主要体现在函数的恒成立和存在问题，这也是与函数知识点融合的热点问题，这就要引起考生的重视，另外一方面也要重点复习含有量词的否定等含有量词的简单问题以及两个命题的条件的问题。

三、考点总结本节内容是高考的要求掌握的内容，本节内容在江苏高考中很少直接考查，往往是以本节内容的知识点为依托考查函数、立体几何、解析几何等有关内容。

以两种形式考查，一是简单的填空题形式出现，如四种命题、含有量词的否定，集合的充分条件、必要条件、充要条件的判断。

而是中档题或者解答题中的考查，主要以存在量词和全称量词在函数中的考查，主要是研究函数的值域的关系，恒成立问题，存在问题等形式出现。

在高考复习中要特别注意以下几点：①、判断命题时要分清命题的条件与结论，进而根据命题的关系写出其它命题。

②、判断命题之间P 是q 的什么条件，要从两个方面入手：一是P 能否推出q ，另一方面是q 能否推出p 。

若不能推出可以举出一个反例即可，否则就要进行简单的证明。

对于证明命题的充要条件要从充分性和必要性两个方面加以证明。

③、对于含义存在于任意的问题，要充分理解题意，分清是函数中的值域问题还是恒成立问题或者是最值问题或者构造函数问题。

四、五年真题1、(2019年江苏试卷).定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”. （1）已知等比数列{an}满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{an}为“M －数列”；（2）已知数列{bn}满足: 111221,n n n b S b b +==-，其中Sn 为数列{bn}的前n 项和． ①求数列{bn}的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{cn}θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q ，所以a1≠0，q≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩． 因此数列{}n a 为“M—数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n ()*n N ∈. ②由①知，bk=k ，*k N ∈.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q ，所以c1=1，q>0.因为ck≤bk≤ck+1，所以1k k q k q -≤≤，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q ≥1；当k=2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=． 令()0f 'x =，得x=e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 3663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k=1，2，3，4，5时，ln ln k q k…，即k k q ≤， 经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5． 2、(2018年江苏卷) 设是首项为，公差为d 的等差数列，是首项为，公比为q 的等比数列．（1）设，若对均成立，求d 的取值范围； （2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．解析：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.详解：解：（1）由条件知：．因为对n=1，2，3，4均成立，即对n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得．因此，d的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，即，即当时，d满足．因为，则，从而，，对均成立．因此，取d=0时，对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．①当时，，当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为．②设，当x>0时，，所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为．因此，d 的取值范围为．3、（2017年江苏卷）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d=+-，从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d--+++-122(1)2na n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n na a a a a a a ---+++++=321123+++6，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n na a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列．4、（2016江苏卷）已知函数f (x )＝a x ＋b x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．(1) 设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值；【解析】思路分析 第1问的第2小题，通过将变量m 分离出来，将问题转化为求分离出的函数的最小值则可．第2问，注意到g (0)＝0，从而得0是函数g (x )的一个零点，为此，只需说明函数g (0)为函数g (x )的最大值或者最小值，进而说明它的某个极值点与0相等，由此来求出ab 的值．规范解答 (1) 因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x .①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，于是2x ＝1，解得x ＝0.②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， 所以,)(4)(2x f x m f+≤对于一切实数R 恒成立。

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)18 复数的概念与运算(原卷版)

2020年高考数学五年真题与三年模拟考点分类解读(江苏版)18 复数的概念与运算(原卷版)

考点18复数的概念与运算一、考纲要求1. 了解数系的扩充过程，理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件.2. 理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算.3. 了解复数的几何意义，了解复数代数形式的加、减运算的几何意二、近五年江苏高考高考中，复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式的四则运算，一般以填空题的形式出现，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势. 在复习这部分内容时，应注意避免繁琐的计算，注重技巧训练。

三、考点总结：在江苏近 5 年高考中，复数每年都有考查，但都是最基本的考查. 位置一般在填空题的前 4 题. 考查内容主要是复数的基本概念与四则运算，如纯虚数、实部、虚部等概念，其中复数的除法运算法则是分母实数化。

因此，在复习中要注意以下基础知识：1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋b i (a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部.若b＝0，则a＋b i为实数，若b≠0，则a＋b i为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋b i为纯虚数.(2)复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(3)共轭复数：a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数. (5)复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作_|z |__或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2.复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R ). (2)复数z ＝a ＋b i 平面向量OZ →(a ，b ∈R ).3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3).四、近五年江苏高考题1、（2019江苏卷）..已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____.2、（2018江苏卷）. 若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．3、（2017江苏卷）.已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．4、（2016江苏卷）. 复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是 .5、（2015江苏卷）设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.五、近三年模拟 题型一 复数的相关概念1、(2019苏北四市、苏中三市三调）已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ．.2.(2019南京三模）若复数z 满足z (1＋i)＝1，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第 象限．3、(2019南京、盐城二模） 若复数z 满足za ＋2i ＝i (i 为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a 的值为________．4、(2018南京学情调研）若(a ＋b i )(3－4i )＝25(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为_______．5、(2018苏州暑假测试） 已知a ＋b i2－i ＝3＋i (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值是________．6、(2018南京、盐城一模） 设复数z ＝a ＋i (a ∈R ，i 为虚数单位)，若(1＋i)·z 为纯虚数，则a 的值为________．7、(2018南通、泰州一调） 已知复数z ＝1＋4i 1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．8、(2018无锡期末）若复数a ＋3i1－2i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝________． 9、(2017无锡期末） 已知复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为________10、(2017常州期末） 已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________. 11、(2017苏州期末）已知复数z ＝1－i2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为________．题型二 复数的模与复数的四则运算 1、(2019苏锡常镇调研）已知复数34i5iz +=，其中i 是虚数单位，则z ＝ ． 2、(2019南通、泰州、扬州一调）已知复数z ＝2i1－i －3i (i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．3、(2019泰州期末）复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．4、(2019扬州期末） 若i 是虚数单位，且复数z 满足(1＋i )z ＝2，则|z|＝________．5、(2018苏州期末） 已知i 为虚数单位，复数z ＝32－32i 的模为________． 6、(2018常州期末）若复数z 满足z·2i ＝|z|2＋1(其中i 为虚数单位)，则|z|＝________． 7、(2017南京学情调研）设复数z 满足(z ＋i)i ＝－3＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．8.(2017南京三模）若复数z 满足z ＋2－z ＝3＋2i ，其中i 为虚数单位，－z 为复数z 的共轭复数，则复数z 的模为 ．题型三 复数的几何意义及其应用1、(2017南京、盐城二模） 若复数z 满足z (1－i)＝2i(i 是虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.2、(2017泰州期末） 如图，在复平面内，点A 对应的复数为z1，若zz12＝i (i 为虚数单位)，则z2＝________.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

考点04 指数、对数、幂函数
一、考纲要求
1、了解幂函数的概念，掌握常见的幂函数的图像；
2、理解指数函数的概念，以及指数函数的图像与性质。

会用指数函数模型解决简单的实际问题；
3、理解对数函数的概念及其性质，了解对数函数的换底公式，理解对数函数的性质，会画对数函数的图像；
二、近五年高考分析
指数函数、对数函数作为一类特殊的函数，在江苏高考中往往作为一种载体与其他函数结合考查，重点考查与指数、对数函数有关的综合函数的单调性、奇偶性以及与不等式等知识点的综合，难度往往较大。

幂函数在江苏高考中的要求较低，近几年江苏高考中还没有涉及，在平时的复习中可以适当的关注。

三、考点总结
在高考复习中要注意以下几点：
①要善于用指数函数的图像和性质，研究指数函数的单调性，对于这类问题考查的热点是对含参的讨论。

在有关根式的变形或者求值的过程中，要善于用转化的思想和方程观点处理问题；
②研究对数问题尽量华为同底，另外对数问题中要注意定义域的限制，充分对对数函数的概念、图像、性质讨论一些与之有关的复合函数的限制；
③对于与指数函数、对数函数有关的综合体现要善于运用数形结合的思想以及等价转化的思想，注意与其他知识点的结合。

四、五年真题
1、（2019年江苏卷）.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
2、(2016年江苏卷)已知函数f (x )＝a x ＋b x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)．
(1) 设a ＝2，b ＝1
2.
①求方程f (x )＝2的根；
②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2) 若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值． 3、（2015年江苏）.不等式224x x
-<的解集为________.
五、三年模拟
题型一：指数、对数函数的简单运用
1.(2019南京、盐城一模） 已知y ＝f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x ＋1，则f (－ln2)的值为________．
3.(2019镇江期末） 函数f(x)＝lg （3－x ）的定义域为________．
4、(2018南京、盐城、连云港二模）函数f(x)＝lg (2－x)的定义域为________．
5、(2018盐城三模）函数()ln(1f x =的定义域为 ．
6、(2017南京、盐城二模） 函数f (x )＝ln 11－x 的定义域为________．
7、(2017苏锡常镇调研（一）） 函数f (x )＝ )
34ln(1
-x 的定义域为________．
8、(2018苏州期末） 已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________．
9、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和
C 分别在函数13log a y x =，22log a y x =和3log a y x =(1a >)的图象上，则实数a 的值为 ．
10、(2017南京学情调研） 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )＋g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
.若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤12，1，使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立，则实数a 的取值范围是________．
题型二：指数、对数函数的综合运用
1、(2018苏锡常镇调研） 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ，x<1，x ＋4
x ，x≥1(e 是自然对数的底)．若函数y ＝f(x)的最小值是4，则实数a 的取值范围为________．
2、(2017镇江期末） 已知函数y ＝2x ＋
12x ＋1
与函数y ＝x ＋1
x 的图像共有k (k ∈N *)个公共点：A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，
y 2)，…，A k (x k ，y k )，则∑(x i ＋y i )＝________.
3、(2017镇江期末） 不等式log a x －ln 2x ＜4(a ＞0且a ≠1)对任意x ∈(1,100)恒成立，则实数a 的取值范围为________．
4、(2019苏锡常镇调研）已知函数f(x)＝(x ＋1)ln x ＋ax(a ∈R )．
(1) 若y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＋b ＝0，求实数a ，b 的值； (2) 设函数g (x )＝f （x ）
x ，x ∈[]e ,1(其中e 为自然对数的底数)．
①当a ＝－1时，求g (x )的最大值； ②若h (x )＝⎪⎪⎪⎪
g （x ）e x 是单调递减函数，求实数a 的取值范围．
5、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）已知函数f (x )＝1
e x ，g (x )＝ln x ，其中e 为自然对
数的底数．
(1) 求函数y ＝f (x )g (x )在x ＝1处的切线方程；
(2) 若存在x 1，x 2(x 1≠x 2)，使得g (x 1)－g (x 2)＝λ[f (x 2)－f (x 1)]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e ； (3) 若对任意的x ∈(0,1]，不等式f (x )g (x )≤a (x －1)恒成立，求实数a 的取值范围． ．
6、（2017年苏北四市联考）已知函数f (x )＝ax
e
x 在x ＝0处的切线方程为y ＝x .
(1) 求实数a 的值；
(2) 若对任意的x ∈(0,2)，都有f (x )<1
k ＋2x －x 2成立，求实数k 的取值范围；
(3) 若函数g (x )＝ln f (x )－b 有两个零点为x 1，x 2，试判断g ′⎝⎛⎭⎫
x 1＋x 22的正负，并说明理由．
7、（2017南京二模）已知函数f (x )＝g (x )·h (x )，其中函数g (x )＝e x ，h (x )＝x 2＋ax ＋a .
(1) 求函数g (x )在(1，g (1))处的切线方程；
(2) 当0＜a ＜2时，求函数f (x )在x ∈[－2a ，a ]上的最大值；
(3) 当a ＝0时，对于给定的正整数k ，问函数F (x )＝e·f (x )－2k (ln x ＋1)是否有零点？请说明理由．(参考数据e≈2.718，e ≈1.649，e e ≈4.482，ln2≈0.693)。

相关文档
最新文档