(浙江专版)19版高考数学一轮复习第二章函数2.3二次函数与幂函数学案

§2.3二次函数与幂函数考纲解读浙江省五年高考统计的分析解读 1.幂函数主要考查其图象和性质,一般以小题形式出现,难度应该不大(例:2014浙江7题).2.二次函数主要考查其图象和性质以及应用,特别是以二次函数为载体,考查数学相关知识,如求最值、函数零点问题,考查数形结合思想(例:2015浙江18题,2015浙江文20题).3.预计2019年高考试题中,二次函数仍是考查的重点之一.考查仍会集中在二次函数的图象以及主要性质上,求二次函数的最值、二次函数零点分布问题,复习时应引起高度重视.五年高考考点二次函数与幂函数1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关答案 B2.(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上答案 A3.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间上单调递减,那么mn的最大值为( )A.16B.18C.25D.答案 B4.(2013重庆,3,5分)(-6≤a≤3)的最大值为( )A.9B.C.3D.答案 B5.(2013辽宁,11,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=( )A.16B.-16C.a2-2a-16D.a2+2a-16答案 B6.(2017北京文,11,5分)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案7.(2013江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.答案-1,8.(2015浙江文,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.解析(1)当b=+1时,f(x)=+1,故对称轴为直线x=-.当a≤-2时,g(a)=f(1)=+a+2.当-2<a≤2时,g(a)=f=1.当a>2时,g(a)=f(-1)=-a+2.综上,g(a)=(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,因此≤s≤(-1≤t≤1).当0≤t≤1时,≤st≤,由于-≤≤0和-≤≤9-4,所以-≤b≤9-4.当-1≤t<0时,≤st≤,由于-2≤<0和-3≤<0,所以-3≤b<0.故b的取值范围是[-3,9-4].教师用书专用(9)9.(2014大纲全国,16,5分)若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间是减函数,则a的取值范围是. 答案(-∞,2]三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点二次函数与幂函数1.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,8)若函数f(x)=x2+ax+b有两个零点x1,x2,且3<x1<x2<5,那么f(3),f(5)( )A.只有一个小于1B.都小于1C.都大于1D.至少有一个小于1答案 D2.(2018浙江重点中学12月联考,3)已知函数y=x2-4x+1的定义域为[1,t],在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t的取值范围是( )A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.(2,3)答案 B3.(2017浙江杭州二模(4月),9)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的两个零点为x1,x2,若|x1|+|x2|≤2,则( )A.|a|≥1B.|b|≤1C. |a+2b|≥2D.|a+2b|≤2答案 B4.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,9)f(x)=ax2+bx+c,当0≤x≤时,f(x)∈[2,4],则a的最大值为( )A.8B.16C.32D.64答案 C5.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,8)已知f(x)=则y=f(x)-x的零点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C6.(2016浙江绍兴一模,8)对于函数f(x),若存在x0∈N,满足|f(x0)|≤,则称x0为函数f(x)的一个“近零点”.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)有四个不同的“近零点”,则a的最大值为( )A.2B.1C.D.答案 D7.(2016浙江宁波“十校”联考,18)若存在区间A=[m,n](m<n),使得{y|y=f(x),x∈A}=A,则称函数f(x)为“可等域函数”,区间A为函数f(x)的一个“可等域区间”.已知函数f(x)=x2-2ax+b(a,b∈R).(1)若b=0,a=1,g(x)=|f(x)|是“可等域函数”,求函数g(x)的“可等域区间”;(2)若区间[1,a+1]为f(x)的“可等域区间”,求a,b的值.解析(1)由题意知,g(x)=|x2-2x|是“可等域函数”,∵g(x)=|x2-2x|=|(x-1)2-1|≥0,∴n>m≥0,结合函数图象,由g(x)=x得x=0,1,3,当1≤m<n≤2时,g(x)≤1,不符合要求.所以函数g(x)的“可等域区间”为[0,1],[0,3].(7分)(2)f(x)=x2-2ax+b=(x-a)2+b-a2,因为[1,a+1]为f(x)的“可等域区间”,所以a+1>1,即a>0.当0<a≤1时,解得(10分)当1<a≤2时,无解;(12分)当a>2时,解得(15分)B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江浙东北联盟期中,7)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若函数y=f(x)e x(e为自然对数的底数)在x=-1处取得极值,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是( )答案 D2.(2017浙江稽阳联谊学校联考,10)设二次函数f(x)=x2+ax+b,若对任意的实数a,都存在实数x∈,使得不等式|f(x)|≥x成立,则实数b的取值范围是( )A.∪[2,+∞)B.∪C.∪D.∪答案 D3.(2017浙江“超级全能生”联考(3月),10)已知函数f(x)=x2-2tx+1在(-∞,1]上递减,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围为( )A.[-,]B.[1,]C. [2,3]D.[1,2]答案 B二、填空题4.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,17)设关于x的方程x2-ax-2=0和x2-x-1-a=0的实根分别为x1,x2和x3,x4,若x1<x3<x2<x4,则a的取值范围是.答案-1<a<15.(2018浙江高考模拟卷,17)已知关于x的方程x2+2bx+c=0(b,c∈R)在[-1,1] 上有实根,且0≤4b+c≤3,则b 的取值范围为.答案[0,2].6.(2017浙江绍兴教学质量调测(3月),17)已知a,b∈R且0≤a+b≤1,函数f(x)=x2+ax+b在上至少存在一个零点,则a-2b的取值范围为.答案[0,1]7.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,16)记M(x,y,z)为x,y,z三个数中的最小数,若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≥b≥c>0)有零点,则M的最大值为.答案三、解答题8.(2017浙江温州中学高三3月模拟,19)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),对任意实数x,不等式2x≤f(x)≤(x+1)2恒成立.(1)求f(-1)的取值范围;(2)对任意x1,x2∈[-3,-1],恒有|f(x1)-f(x2)|≤1,求实数a的取值范围.解析(1)由题意可知f(1)≥2,f(1)≤2,∴f(1)=2, (2分)∴a+b+c=2.∵对任意实数x都有f(x)≥2x,即ax2+(b-2)x+c≥0恒成立,∴又a+b+c=2,∴a=c,b=2-2a,(4分)此时f(x)-(x+1)2=(x-1)2.∵对任意实数x,f(x)≤(x+1)2都成立,∴0<a≤,∴f(-1)=a-b+c=4a-2的取值范围是(-2,0].(7分)(2)对任意x1,x2∈[-3,-1],恒有|f(x1)-f(x2)|≤1等价于在区间[-3,-1]上的最大值与最小值之差M≤1.由(1)知 f(x)=ax2+2(1-a)x+a,a∈,即f(x)=a+2-,其图象的对称轴方程为x0=1-∈(-∞,-1] .据此分类讨论如下:(i)当-2<x0≤-1,即<a≤时,M=f(-3)-f(x0)=16a+-8≤1,解得<a≤.(10分)(ii) 当-3<x0≤-2,即<a≤时,M=f(-1)-f(x0)=4a+-4≤1恒成立.(12分)(iii)当x0≤-3,即0<a≤时,M=f(-1)-f(-3)=4-12a≤1,解得a≥,故a=.(14分)综上可知,≤a≤.(15分)9.(2016浙江宁波一模,18)已知函数f(x)=x2-1.(1)对于任意实数x∈[1,2],4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x-1)|恒成立,求实数m 的取值范围;(2)若对任意实数x1∈[1,2],存在实数x2∈[1,2],使得f(x1)=|2f(x2)-ax2|成立,求实数a的取值范围.解析(1)由题意得,对任意实数x∈[1,2],4m2(x2-1)+4(m2-1)≤2x-x2恒成立,整理得(4m2+1)x2-2x-4≤0.(3分)所以对任意的x∈[1,2],m2≤恒成立.又=+-∈.所以m2≤,故实数m的取值范围为.(7分)(2)由题意知,y=f(x1)(1≤x1≤2)的值域为D1=[0,3].令g(x)=2f(x)-ax,即g(x)=2x2-ax-2,原问题等价于g(x)=0在[1,2]上有解,且g(x)=3或-3在[1,2]上有解.(9分)若g(x)=0在[1,2]上有解,即a=2在x∈[1,2]上有解,从而0≤a≤3;若g(x)=3在[1,2]上有解,即a=2x-在x∈[1,2]上有解,从而-3≤a≤;若g(x)=-3在[1,2]上有解,即a=在x∈[1,2]上有解,从而3≤a≤.综上,所求a 的取值范围为0≤a≤或a=3.(15分)C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 三个“二次”问题的处理方法1.(2017浙江杭州质检,17)设函数f(x)=2ax2+2bx,若存在实数x0∈(0,t),使得对任意不为零的实数a,b均有f(x0)=a+b成立,则t的取值范围是.答案(1,+∞)2.(2017浙江测试卷,17)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)在区间(0,1)上有两个零点,则3a+b的取值范围是.答案(-5,0)方法2 关于二次函数值域和最值的解题策略3.(2017浙江镇海中学模拟练习(二),17)已知函数f(x)=2ax2+bx+1-a.若对任意实数x∈[-1,1],均有f(x)≥0,则a-b的最大值为( )A.-1B.0C.1D.2答案 D4.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),17)已知f1(x)=x+1,且f n(x)=f1[f n-1(x)](n≥2,n∈N*),若关于x的函数y=x2+nf n(x)-n+10(n∈N*)在区间(-∞,-2]上的最小值为-3,则n的值为.答案3或6方法3 幂函数的解题策略5.比较大小:(1)3.,3.,(-1.8;(2)31.4,51.5.解析(1)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0<3.<1,3.>1,(-1.8<0,从而可以比较出它们的大小:<3.<3..(2)它们的底数和指数都不同,而且都大于1,我们插入一个中间数31.5,利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4<31.5<51.5,即31.4<51.5.6.已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=2-8x+q-1,若g(x)>0对任意x∈[-1,1]恒成立,求实数q的取值范围.解析(1)∵f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,∴-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,∴-1<m<3,又∵m∈Z,∴m=0,1,2.m=0,2时,f(x)=x3不是偶函数,m=1时,f(x)=x4是偶函数,∴f(x)的解析式为f(x)=x4.(2)由f(x)=x4知g(x)=2x2-8x+q-1,g(x)>0对任意x∈[-1,1]恒成立⇔g(x)min>0,x∈[-1,1].∵g(x)=2x2-8x+q-1=2(x-2)2+q-9,∴g(x)在[-1,1]上单调递减,于是g(x)min=g(1)=q-7.∴q-7>0,即q>7.故实数q的取值范围是(7,+∞).。