最新2019-2020年度浙教版八年级数学上册《三角形的初步认识》同步测试题及答案解析-精品试题
最新浙教版八年级数学上学期《三角形的初步认识》单元测试及答案解析.docx
《第1章三角形的初步认识》一、填空题1．已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（）A．4 B．5 C．9 D．132．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（）A．50° B．30° C．20° D．15°3．如图所示，△ACB≌A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．40°4．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种5．尺规作图是指（）A．用直尺规范作图B．用刻度尺和圆规作图C．用没有刻度的直尺和圆规作图D．直尺和圆规是作图工具6．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）A．50° B．40° C．70° D．35°7．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45° B．54° C．40° D．50°8．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．75° B．60° C．65° D．55°9．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC∥AB，则∠BAD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．50°10．如图所示，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB＜BD．若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（）A．AE=CD B．AE＞CD C．AE＜CD D．无法确定二、认真填一填11．若三角形的两边长分别为3、4，且周长为整数，这样的三角形共有个．12．如图，在△ABC和△DEF中，已知：AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件可以是．（只填写一个条件）13．若△ABC≌△DEF，且∠A=110°，∠F=40°，则∠E= 度．14．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠A= ，∠C= ．15．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC；则∠DAE= ．16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为．17．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点P处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于度．18．如图，△ABC中，∠BAC=100°，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，如果BC=12cm，那么△FAN的周长为cm，∠FAN= ．三、解答题19．如图，点A、C、D、B 四点共线，且AC=DB，∠A=∠B，∠E=∠F．求证：DE=CF．20．如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．21．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°．（1）画出下列图形：①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE．（2）试求∠DAE的度数．22．作图，如图已知三角形ABC内一点P（1）过P点作线段EF∥AB，分别交BC，AC于点E，F（2）过P点作线段PD使PD⊥BC垂足为D点．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．24．如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．求证：BD平分∠ABC．25．如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积会等于10？26．（14分）课本拓展旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？1．尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？2．初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2﹣∠C= ；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案．3拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）《第1章三角形的初步认识》参考答案与试题解析一、填空题1．已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（）A．4 B．5 C．9 D．13【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有【分析】根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于5，而小于13．故选C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，此题基础题，比较简单．2．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（）A．50° B．30° C．20° D．15°【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】首先根据平行线的性质得到∠2的同位角∠4的度数，再根据三角形的外角的性质进行求解．【解答】解：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°．∴∠3=∠4﹣∠1=50°﹣30°=20°．故选：C．【点评】本题应用的知识点为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．两直线平行，同位角相等．3．如图所示，△ACB≌A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．40°【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有【分析】根据全等三角形性质求出∠ACB=∠A′CB′，都减去∠A′CB即可．【解答】解：∵△ACB≌A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠A′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB，∴∠ACA′=∠BCB′，∵∠BCB′=30°，∴∠ACA′=30°，故选B．【点评】本题考查了全等三角形性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等．4．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有【专题】常规题型．【分析】要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．【解答】解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．5．尺规作图是指（）A．用直尺规范作图B．用刻度尺和圆规作图C．用没有刻度的直尺和圆规作图D．直尺和圆规是作图工具【考点】作图—尺规作图的定义．菁优网版权所有【分析】根据尺规作图的定义作答．【解答】解：根据尺规作图的定义可知：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．故选C．【点评】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．6．如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）A．50° B．40° C．70° D．35°【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．菁优网版权所有【分析】根据数据线的内角和定理以及角平分线的定义，可以证明．【解答】解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB），=180°﹣2（∠DBC+∠BCD）∵∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠BCD），∴∠A=180°﹣2（180°﹣∠BDC）∴∠BDC=90°+∠A，∴∠A=2（110°﹣90°）=40°．故选B．【点评】注意此题中的∠A和∠BDC之间的关系：∠BDC=90°+∠A．7．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45° B．54° C．40° D．50°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD．【解答】解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．8．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．75° B．60° C．65° D．55°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有【分析】因为三角板的度数为45°，60°，所以根据三角形内角和定理即可求解．【解答】解：如图，∵∠1=60°，∠2=45°，∴∠α=180°﹣45°﹣60°=75°，故选A．【点评】本题利用三角板度数的常识和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．9．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC∥AB，则∠BAD的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．50°【考点】旋转的性质．菁优网版权所有【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACB=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AE，∠BAC=∠DAE，再根据等腰三角形两底角相等列式求出∠CAE，然后求出∠DAB=∠CAE，从而得解．【解答】解：∵CE∥AB，∴∠ACB=∠CAB=75°，∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，∴AC=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠CAE=180°﹣70°×2=40°，∵∠CAE+∠CAD=∠DAE，∠DAB+∠CAD=∠BAC，∴∠DAB=∠CAE=40°．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质并求出∠DAB=∠CAE是解题的关键．10．如图所示，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB＜BD．若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（）A．AE=CD B．AE＞CD C．AE＜CD D．无法确定【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有【分析】本题可通过证△ABE和△CBD全等，来得出AE=CD的结论．两三角形中，已知了AB=BC、BE=BD，因此关键是证得∠ABE=∠CBD；由于△ABC和△BED都是等边三角形，因此∠EBD=∠ABC=60°，即∠ABE=∠CBD=120°，由此可得证．【解答】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°；∴∠ACB+∠CBE=∠EBD+∠CBE=120°，即：∠ABE=∠CBD=120°；∴△ABE≌△CBD；∴AE=CD．故选A．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，当出现两个等边三角形时，一般要利用等边三角形的边和角从中找到一对全等三角形．二、认真填一填11．若三角形的两边长分别为3、4，且周长为整数，这样的三角形共有 5 个．【考点】三角形三边关系；一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有【分析】设第三边的长为x，根据三角形的三边关系的定理可以确定x的取值范围，进而得到答案．【解答】解：设第三边的长为x，则4﹣3＜x＜4+3，所以1＜x＜7．∵x为整数，∴x可取2，3，4，5，6．故答案为5．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．12．如图，在△ABC和△DEF中，已知：AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件可以是AB=DE ．（只填写一个条件）【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有【专题】开放型．【分析】根据“SSS”添加条件．【解答】解：若加上AB=DE，则可根据“SSS”判断△ABC≌△DEF．故答案为AB=DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定：判定方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”．13．若△ABC≌△DEF，且∠A=110°，∠F=40°，则∠E= 30 度．【考点】全等三角形的性质．菁优网版权所有【分析】根据全等三角形的性质得出∠D=∠A=110°，∠C=∠F=40°，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A=110°，∠F=40°，∴∠D=∠A=110°，∠C=∠F=40°，∴∠DEF=180°﹣110°﹣40°=30°．故答案为：30；【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，利用其性质得出对应角相等是解题关键．14．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠A= 30°．，∠C= 90°．．【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有【分析】有三角形内角和180度，又知三角形内各角比，从而求出．【解答】解：由三角形内角和180°，又∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A=180°×=30°，∠C=180°×=90°．故填：30°，90°．【点评】本题考查三角形内角和定理，结合已知条件，从而很容易知道各角所占几分之几．而解得．15．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC；则∠DAE= 10°．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有【分析】根据∠B=60°，∠C=40°可得∠BAC的度数，AE平分∠BAC，得到∠BAE和∠CAE 的度数，利用外角的性质可得∠AED的度数，再根据垂直定义，得到直角三角形，在直角△ABD中，可以求得∠DAE的度数．【解答】解：∵∠C=40°，∠B=60°，∴∠BAC=180°﹣40°﹣60°=80°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=40°，∴∠AED=80°，∵AD⊥BC于D，∴∠ADC=90°，∴∠DAE=180°﹣80°﹣90°=10°，故答案为：10°．【点评】本题主要考查角平分线的定义和垂直的定义，外角性质，三角形内角和定理，综合利用各定理及性质是解答此题的关键．16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为 1 ．【考点】三角形的面积．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等求出△AEC的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△ACD的面积，然后根据S1﹣S2=S△ACD﹣S△ACE计算即可得解．【解答】解：∵BE=CE，∴S△ACE=S△ABC=×6=3，∵AD=2BD，∴S△ACD=S△ABC=×6=4，∴S1﹣S2=S△ACD﹣S△ACE=4﹣3=1．故答案为：1．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记．17．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点P处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于50 度．【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有【分析】根据已知求出∠ADP+∠AEP=360°﹣（∠1+∠2）=260°，根据折叠求出∠ADE+∠AED=×260°=130°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠1+∠2=100°，∴∠ADP+∠AEP=360°﹣（∠1+∠2）=260°，∵将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点P处，∴∠ADE=∠ADP，∠AED=∠AEP，∴∠ADE+∠AED=×260°=130°，∴∠A=180°﹣（∠ADE+∠AED）=50°，故答案为：50．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和折叠的性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，题目比较好，难度适中．18．如图，△ABC中，∠BAC=100°，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，如果BC=12cm，那么△FAN的周长为12 cm，∠FAN= 20°．【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有【分析】由EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，可得AF=BF，AN=CN，即可得△FAN的周长等于BC；又由∠BAC=100°，求得∠BAF+∠CAN=∠B+∠C=180°﹣∠BAC=80°，继而求得答案．【解答】解：∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，∴AF=BF，AN=CN，∴△FAN的周长为：AF+FN+AN=BF+FN+CN=BC=12cm；∴∠BAF=∠B，∠CAN=∠C，∵△ABC中，∠BAC=100°，∴∠BAF+∠CAN=∠B+∠C=180°﹣∠BAC=80°，∴∠FAN=∠BAC﹣（∠BAF+∠CAN）=20°．故答案为：12，20°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．三、解答题19．如图，点A、C、D、B 四点共线，且AC=DB，∠A=∠B，∠E=∠F．求证：DE=CF．【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】根据条件可以求出AD=BC，再证明△AED≌△BFC，由全等三角形的性质就可以得出结论．【解答】证明：∵AC=DB，∴AC+CD=DB+CD，即AD=BC，在△AED和△BFC中，∴△AED≌△BFC．∴DE=CF．【点评】本题考查了线段的数量关系，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明△AED≌△BFC是解答本题的关键．20．如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】（1）根据题目所给条件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；（2）根据AB∥CD可得∠1=∠2，根据AF=CE可得AE=FC，然后再证明△ABE≌△CDF 即可．【解答】解：（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；（2）∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）．【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°．（1）画出下列图形：①BC边上的高AD；②∠A的角平分线AE．（2）试求∠DAE的度数．【考点】作图—复杂作图．菁优网版权所有【分析】（1）利用直角三角板一条直角边与BC重合，沿BC平移使另一直角边过A 画BC边上的高AD即可；再根据角平分线的做法作∠A的角平分线AE；（2）首先计算出∠BAE的度数，再计算出∠BAD的度数，利用角的和差关系可得答案．【解答】解：（1）如图所示：（2）在△ABC中，∠BAC=180°﹣11°﹣40°=30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=15°，在Rt△ADB中，∠BAD=90°﹣∠B=50°，∴∠DAE=∠DAB﹣∠BAE=35°．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及角的计算，关键是正确画出图形．22．作图，如图已知三角形ABC内一点P（1）过P点作线段EF∥AB，分别交BC，AC于点E，F（2）过P点作线段PD使PD⊥BC垂足为D点．【考点】作图—基本作图．菁优网版权所有【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线平行线的方法作图即可；（2）利用直角三角板，一条直角边与BC重合，沿BC平移，使另一条直角边过点P 画垂线即可．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握利用直尺做平行线的方法．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】EF垂直平分AD，则可得AF=DF，进而再转化为角之间的关系，通过角之间的平衡转化，最终得出结论．【解答】证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．24．如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．求证：BD平分∠ABC．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有【专题】证明题．【分析】在AB上截取ME=BN，证得△BND≌△EMD，进而证得∠DBN=∠MED，BD=DE，从而证得BD平分∠ABC．【解答】解：如图所示：在AB上截取ME=BN，∵∠BMD+∠DME=180°，∠BMD+∠BND=180°，∴∠DME=∠BND，在△BND与△EMD中，，∴△BND≌△EMD（SAS），∴∠DBN=∠MED，BD=DE，∴∠MBD=∠MED，∴∠MBD=∠DBN，∴BD平分∠ABC．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．25．如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积会等于10？【考点】一元一次方程的应用；三角形的面积．菁优网版权所有【专题】几何动点问题．【分析】分为三种情况讨论，如图1，当点P在AB上，即0＜t≤4时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在BC上，即4＜t≤7时，由S△APE=S﹣S△PCE﹣S△PAB建立方程求出其解即可；如图3，当点P在EC上，即7＜t≤9四边形AECB时，由S△APE==10建立方程求出其解即可．【解答】解：如图1，当点P在AB上，即0＜t≤4时，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=6，AB=CD=8．∵AP=2t，∴S△APE=×2t×6=10，∴t=．如图2，当点P在BC上，即4＜t≤7时，∵E是DC的中点，∴DE=CE=4．∵BP=2t﹣8，PC=6﹣（2t﹣8）=14﹣2t．∴S=（4+8）×6﹣×（2t﹣8）×8﹣（14﹣2t）×4=10，解得：t=7.5＞7舍去；当点P在EC上，即7＜t≤9时，PE=18﹣2t．∴S△APE=（18﹣2t）×6=10，解得：t=．总上所述，当t=或时△APE的面积会等于10．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用．解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．26．课本拓展旧知新意：我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？1．尝试探究：（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？2．初步应用：（2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2﹣∠C= 50°；（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案∠P=90°﹣∠A ．3拓展提升：（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有【专题】探究型．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB ，再利用三角形内角和定理整理即可得解；（2）根据（1）的结论整理计算即可得解；（3）表示出∠DBC+∠ECB ，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB ，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；（4）延长BA 、CD 相交于点Q ，先用∠Q 表示出∠P ，再用（1）的结论整理即可得解．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB=360°﹣（∠ABC+∠ACB ）=360°﹣（180°﹣∠A ）=180°+∠A ；（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C ，∴130°+∠2=180°+∠C ，∴∠2﹣∠C=50°；（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A ，∵BP 、CP 分别平分外角∠DBC 、∠ECB ，∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB ）=（180°+∠A ），在△PBC 中，∠P=180°﹣（180°+∠A ）=90°﹣∠A ；即∠P=90°﹣∠A ；故答案为：50°，∠P=90°﹣∠A ；（4）延长BA、CD于Q，则∠P=90°﹣∠Q，∴∠Q=180°﹣2∠P，∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，=180°+180°﹣2∠P，=360°﹣2∠P．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．。
2019—2020年最新浙教版八年级数学上册《直角三角形》同步练习题1及答案.docx
2.6直角三角形（2）1、如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、以上都错2、在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠A=30°，则AD等于（）A、4BDB、3BDC、2BDD、BD4、如图，CD是斜边AB上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则A等于（）A、25B、30C、45D、605、如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点，有以下判断：①DE=AC；②DE⊥AC；③∠CAB=30°；④∠EAF=∠ADE；其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、46．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=70°，则∠B=_______．7、如果三角形的三个内角的比是3∶4∶7，那么这个三角形是8．△ABC为等腰直角三角形，D、E、F分别为AB、BC、AC边上的中点，则图中共有_____个等腰直角三角形．9、在一个直角三角形中，如果有一个锐角为30度，且斜边与较小直角边的和为18cm，则斜边的长为。
10、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于11．已知：如图∠B=∠E=90°∠A=∠D FB=EC ，求证：AB=DE12、已知：如图，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，求BC13．已知AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F，求证：△ADF是等腰三角形．14、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。
求证：DE=DC。
最新2019-2020年度浙教版八年级数学上册《直角三角形》同步练习题及答案解析-精品试题
浙教版八年级数学上册第二章特殊三角形2.6《直角三角形》同步练习题一、选择题1．如果三角形的三个内角之比为1∶2∶3，那么这个三角形是(C)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形或钝角三角形2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3，则点D到AB的距离是(C)A．5 B．4 C．3 D．2(第2题) (第3题)3．如图，图中直角三角形的个数为(D)A. 6B. 7C. 8D. 94．如图，CD是等腰直角三角形AB C斜边AB上的中线，DE⊥BC于点E，则图中等腰直角三角形的个数是(C)A．3 B．4 C．5 D．6(第4题) (第5题)5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，AB＝6，则DE 的长是(B)A．2 B．3 C．4 D．2.56．把等边△ABC的一边AB延长一倍到点D，连结CD，则△ADC是(B)A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不能确定7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连结DE，则△BDE的周长是(B)A．7＋ 5 B．10C．4＋2 5 D．12二填空题8．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，则△ABC是______三角形．9. 直角三角形斜边上的高与中线分别为5 cm和6 cm，则它的面积是_____cm2. 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，则△ABC是_______直角三角形．11．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，则∠B＝________；(2)在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，则∠C＝_________.(第12题)12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)CD是斜边AB上的高线，则∠ACD＝_______，∠A＝_____；(2)若E是AB的中点，则图中的等腰三角形有____；(3)若CE＝3 cm，则AB＝______cm；(4)若∠A－∠B＝10°，则∠A＝_______．(第13题)13．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是BC边上的高线，则∠BAD的度数是_____，∠C的度数是_____．若BC＝8 cm，则BD＝_____cm，AD ＝____cm.三、解答题14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于点E，F是BD的中点，连结EF.求证：CD＝2EF.15．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°.求证：AC＝12AB.(第16题)16．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD是∠BAC的平分线，点E，F分别是AB，AC的中点，问：DE，DF的长度有什么关系？并说明理由．(第17题)17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，CD平分∠ACB，E在AC上，且AE＝AD，EF⊥CD交BC于点F，交CD于点O.求证：BF＝2AD.18．如图，在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC上的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB，AC交于点E，F，连结EF.当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与点A，B重合)，△PEF始终是等腰直角三角形，请你说明理由．(第18题)(第19题)19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F.求证：AB垂直平分DF.参考答案：1.C 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.B8. 直角; 9. 30; 10. 等腰; 11. 45°, 60°; 12. ∠B，∠BCD, △ACE和△BCE,6，50°; 13. 45°,45°,4，414. 【解】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴CD＝BD＝AD.∵F是BD的中点，∴EF是BD上的中线．又∵DE⊥BC，∴EF ＝12BD ＝12CD ， ∴CD ＝2EF.15. 【解】 作AB 边上的中线CD.∵∠ACB ＝90°，∴BD ＝CD ＝AD ＝12AB. 又∵∠B＝30°，∴∠BCD ＝∠B＝30°.∵∠ACB ＝90°，∴∠B ＋∠A＝90°，∠ACD ＋∠BCD＝90°，∴∠A ＝∠ACD＝60°.∵∠ADC ＝∠B＋∠BCD＝60°，∴∠A ＝∠ACD＝∠ADC，∴△ACD 是等边三角形．∴AC ＝CD ＝12A B. 16. 【解】 DE ＝DF.理由如下：∵∠B ＝∠C，∴AB ＝AC.又∵AD 平分∠BAC，∴AD ⊥BC ，∴△ABD ，△ACD 都为直角三角形．∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴DE ＝12AB ，DF ＝12AC ，∴DE＝DF.17. 【解】连结DF，过点D作DG⊥BC于点G. ∵∠A＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∠B＝∠A CB＝45°，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD.∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，∴∠EDC＝∠ACD，∴DE＝EC.∵EF⊥CD，∴EF垂直平分CD.∴FD＝FC，∴∠FDC＝∠FCD.∴∠FDC＝∠ACD，∴DF∥AC.∴∠DFB＝∠ACB＝45°.∴∠B＝∠BFD＝45°，∴BD＝DF，∠BDF＝90°，∴△DBF为等腰直角三角形．∵DG⊥BF，∴DG为斜边BF上的中线，∴DG＝12BF.又∵CD平分∠ACB，∠A＝∠DGC＝90°，∴AD＝DG.∴AD＝12BF，即BF＝2AD.18. 【解】 连结PA.∵PA 是等腰Rt△ABC 底边上的中线，∴AP ⊥BC ，∠B ＝∠C＝45°.∴∠PAB ＝∠PAC＝45°.∴∠PAB ＝∠C.∵AP ⊥BC ，PE ⊥PF ，∴∠APE ＋∠APF＝∠APF＋∠CPF＝90°，∴∠APE ＝∠CPF.∵PA 是Rt△ABC 斜边上的中线，∴PA ＝12BC ＝PC. 在△PAE 和△PCF 中，∵∠PAE ＝∠C，PA ＝PC ，∠APE ＝∠CPF，∴△PAE ≌△PCF(ASA)，∴PE ＝PF.∴△PEF 始终是等腰直角三角形．19.【解】 ∵∠ACB＝90°，A C ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA＝45°，∠CAD ＋∠CDE＝90°.∵CE ⊥AD ，∴∠CED ＝90°.∴∠CDE ＋∠DCE＝90°，∴∠CAD ＝∠DCE ，即∠CAD＝∠BCF. ∵BF ∥AC ，∴∠CBF ＋∠ACB＝180°，∴∠CBF ＝180°－∠ACB＝90°.∴∠CBF ＝∠ACD＝90°.在△ACD 和△CBF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ACD＝∠CBF，AC ＝CB ，∠CAD ＝∠BCF，∴△ACD ≌△CBF(ASA)，∴CD ＝BF.∵D 为BC 的中点，∴CD ＝BD ，∴BD ＝BF. 又∵∠CBF＝90°，∴△DBF 为等腰直角三角形．∵BF ∥AC ，∴∠ABF ＝∠CAB＝∠DBA＝45°， ∴AB 是等腰Rt△DBF 的顶角平分线， ∴AB 垂直平分DF.。
2019秋浙教版八年级上册数学同步测试试题：1.1 认识三角形
第1章三角形的初步知识1．1 认识三角形第1课时三角形的三边关系知识点1.三角形的概念1．一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是(D)A B C D2．如图1所示，∠BAC的对边是(C)A．BD B．DC C．BC D．AD图1 图23．如图2，图中三角形的个数为(C)A．3个B．4个C．5个D．6个【解析】图中的三角形为△ABD，△ACE，△DCE，△ACD和△ABC，共5个三角形．知识点2.三角形的分类4．[2018秋·开封期中]将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能(C)A．都是直角三角形B．都是钝角三角形C．都是锐角三角形D．是一个直角三角形和一个钝角三角形【解析】如答图①，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形；①②③第4题答图如答图②，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形；如答图③，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．∵剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．5．如图3中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是(D)图3A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能知识点3.三角形的三边关系6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(D)A．2 cm，3 cm，5 cmB．7 cm，4 cm，2 cmC．3 cm，4 cm，8 cmD．3 cm，3 cm，4 cm7．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是(A)A．6 B．3 C．2 D．118．用一条长为25 cm的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为7 cm，则该等腰三角形的腰长为__7 cm或9 cm__．【解析】7 cm是腰长时，底边为25－7×2＝11，∵7＋7＞11，∴7 cm，7 cm，11 cm能组成三角形；7 cm是底边时，腰长为12×(25－7)＝9 cm，7 cm，9 cm，9 cm能够组成三角形．综上所述，它的腰长为7 cm或9 cm. 知识点4.三角形的内角和定理9．如图4是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为(B)图4A．30°B．40°C．50°D．60°10．在△ABC中，(1)若∠A＝30°，∠B＝80°，则∠C＝__70°__；(2)若∠A＝50°，∠B＝∠C，则∠C＝__65°__；(3)若∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶5，则∠A＝__20°__，∠B＝__60°__，∠C＝__100°__．【易错点】求与等腰三角形有关的边长时，没有指明已知边是底还是腰时，需要分类讨论，注意利用三边关系检验．11．用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边长为5 cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另两边的长度．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则2x＋2x＋x＝20，解得x＝4，∴2x＝8，∴各边长为8 cm，8 cm，4 cm；(2)①当5 cm为底时，腰长＝7.5 cm；②当5 cm为腰时，底边＝10 cm，∵5＋5＝10，故不能构成三角形，舍去．∴能构成有一边长为5 cm的等腰三角形，另两边长为7.5 cm，7.5 cm.第2课时三角形的高线、中线与角平分线知识点1.三角形的高线1．过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是(A)A BC D2．如果一个三角形两边上的高线的交点在三角形的内部，那么这个三角形是(A) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形3．[2018秋·黄石港区校级期中]如图1，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝40°，∠EAD＝15°，求∠C的度数．图1解：∵AD⊥BC，∠EAD＝15°，∴∠AED＝90°－15°＝75°.∵∠AED是△ABE的外角，∠B＝40°，∴∠BAE＝∠AED－∠B＝75°－40°＝35°.∵AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE＝2×35°＝70°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－70°－40°＝70°.知识点2.三角形的中线4．如图2，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是(D)图2A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD＝DC，BE＝ECD．AD＝EC，DC＝BE5．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个(B)A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形C．直角三角形D．周长相等的三角形6．如图3，已知在△ABC中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长．图3解：∵CF，BE分别是AB，AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，∴AB＝2AF＝2×3＝6，AC＝2AE＝2×2＝4，∵△ABC的周长为15，∴BC＝15－6－4＝5.7．如图4，在△ABC中，CD是中线，已知BC－AC＝5 cm，△DBC的周长为25 cm，求△ADC的周长．图4解：∵CD是中线，∴AD＝BD，∴△DBC的周长－△ADC的周长＝(BC＋BD＋CD)－(AC＋AD＋CD)＝BC－AC，∵BC－AC＝5 cm，△DBC的周长为25 cm，∴25－△ADC的周长＝5，∴△ADC的周长＝20 cm.知识点3.三角形的角平分线8．如图5所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是(A)图5A．20°B．30°C．45°D．60°9．[2018秋·江城区期中]如图6，已知AD，CE都是△ABC的角平分线，AD，CE交于点F，∠BAC＝60°，∠ACB＝76°，求∠AFC的度数．图6解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝12∠BAC＝30°，∵CE是△ABC的角平分线，∠ACB＝76°，∴∠ACF＝12∠ACB＝38°，∴∠AFC＝180°－30°－38°＝112°.【易错点】不能正确理解三角形的高线、中线和角平分线的概念．10．三角形中：①中线、角平分线、高线都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内．其中正确的是(B)A．①②B．①③C．②④D．③④。
2019年秋季浙教版八年级上册数学 第1章 三角形的初步知识 单元测试题(含答案)
第1章三角形的初步知识一、选择题姓名1.已知三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A. 6cmB. 5cmC. 11cmD. 13cm2.用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（）A. 已知两条直角边B. 已知两个锐角C. 已知一直角边和直角边所对的一锐角D. 已知斜边和一直角边3.下列画图的语句中，正确的为（）A. 画直线AB=10cmB. 画射线OB=10cmC. 延长射线BA到C，使BA=BCD. 过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交4.已知a，b，c是三角形的三条边，则|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的化简结果为（）A. 0B. 2a+2bC. 2cD. 2a+2b﹣2c5.如图，直线m∥n．若∠1=70°，∠2=25°，则∠A等于（）A. 30°B. 35°C. 45°D. 55°6.求作点P，使P到三角形三边的距离相等的方法是（）A. 作两边垂直平分线的交点B. 作两边上的高线的交点C. 作两边上的中线的交点D. 作两内角的平分线的交点7.下列命题中，属于真命题的是（）A. 圆周角等于圆心角的一半B. 在同一圆中，等弧所对的圆周角相等C. 平分弦的直线垂直于弦D. 过弦的中点的直线必经过圆心8.如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A. AB＝ACB. BD＝CDC. ∠B＝∠CD. ∠BDA＝∠CDA二、填空题9.把“绝对值相等的数相等”写成如果…．那么…的形式为________ ．10.命题“对顶角相等”的条件是________，结论是________．11.如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=________ .12.将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．13.木工师傅作一木制矩形门框时，常需在其相邻两边之门钉上一根木条，他这样做的目的是________ ，其中所涉及的数学道理是________ ．14.已知三角形三个内角的度数之比为2：2：5，则其最大内角的度数是________．15.如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠ADE=________ °。
浙教版2019-2020学年八年级数学第一学期第1章《三角形的初步认识》单元测试卷及答案
第1章单元测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )A. 5B. 6C. 12D. 16(第2题)2．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，则下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )A. ∠M＝∠NB. AM＝CNC. AB＝CDD. AM∥CN3．如图，图中∠1的度数为( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°(第3题)(第4题)4．如图，把一块含有45°角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数为( )A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°(第5题)5．如图，在余料ABCD中，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于12GH长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E.若∠A＝96°，则∠EBC的度数为( )A. 45°B. 42°C. 36°D. 30°6．如图，已知∠1＝∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D，AE，BD的交点为C，则图中的全等三角形共有( )A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对, (第6题)),(第7题))7．如图，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝E D.若∠ABC＝72°，则∠E等于( )A．18°B．36°C．54°D．72°(第8题)8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BOC∶S△CAO＝( )A．1∶1∶1 B．9∶10∶11C．10∶11∶12 D．11∶12∶139．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G.若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为( )A. 70°B. 80°C. 50°D. 55°,(第9题)),(第10题)) 10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则m＋n与b＋c的大小关系是( )A. m＋n＞b＋cB. m＋n＜b＋cC. m＋n＝b＋cD. 无法确定(第10题解)二、填空题(每小题3分，共30分)11．如图，已知△ABC的周长为3 cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE 沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则图中阴影部分图形的周长为__ _cm.,(第11题)), (第12题))12．如图，在△ABC 中，AB >AC ，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；作直线MN 交AB 于点D ；连结C D.若AB ＝8，AC ＝4，则△ACD 的周长为 ．13．已知三角形的三边长分别为3，5，x ，则化简式子|x －2|＋|x －9|＝__ __．(第14题)14．如图，在△ABC 中，已知∠1＝∠2，BE ＝CD ，AB ＝5，AE ＝2，则CE ＝__ __．15．如图，在4×5的网格中，每个小正方形的边长都为1，在图中找两个格点D 和E ，使∠ABE ＝∠ACD ＝90°，并使AC ＝DC ，AB ＝EB ，则四边形BCDE 的面积为__ _．,(第15题))(第16题)16．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO .有下列结论：①AC ⊥BD ；②CB ＝CD ；③△ABC ≌△ADC ；④AD ＝C D.其中正确结论的序号是 ．(第17题)17．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的交点为G.若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是__ __．18．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2－∠1＝．(第18题)(第19题)19．如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2……依此类推，∠BD5C的度数是．20．如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板(即边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的12)后得到图③……记第n(n≥3)块纸板的周长为P n，则P n－P n－1＝．(第20题)三、解答题(共40分)21．(6分)如图，△ABC≌△A1B1C1，AD，A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线．求证：AD＝A1D1.(第21题)(第22题)22．(6分)如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，C D.(1)求证：△ABE≌△CB D.(2)若∠CAE＝27°，∠ACB＝45°，求∠BDC的度数．(第23题)23．(6分)如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的．若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，求∠α的度数．24．(6分)如图，已知BD，CE是△ABC的高线，点F在BD上，BF＝AC，点G 在CE的延长线上，CG＝A B.求证：AG⊥AF.(第24题)(第25题)25．(6分)如图，已知BE，CF分别是△ABC中AC，AB边上的高线，在BE的延长线上取点P，使PB＝AC，在CF的延长线上取点Q，使CQ＝A B.求证：AQ⊥AP.26．(10分)旧知新意：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？(1)尝试探究：如图①，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC＋∠ECB 之间的数量关系．(2)初步运用：如图②，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE.若∠1＝130°，则∠2－∠C＝50°．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在△ABC中，BP，CP分别平分外角∠DBC，∠ECB，则∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P＝．(3)拓展提升：如图④，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，则∠P与∠A，∠D有何数量关系？(第26题)第1章单元测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是(C)A. 5B. 6C. 12D. 16(第2题)2．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，则下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是(B)A. ∠M＝∠NB. AM＝CNC. AB＝CDD. AM∥CN3．如图，图中∠1的度数为(D)A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°(第3题)(第4题)4．如图，把一块含有45°角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数为(C)A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°(第5题)5．如图，在余料ABCD中，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于12GH长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E.若∠A＝96°，则∠EBC的度数为(B)A. 45°B. 42°C. 36°D. 30°6．如图，已知∠1＝∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D，AE，BD的交点为C，则图中的全等三角形共有(C)A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对, (第6题)),(第7题)) 7．如图，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝E D.若∠ABC＝72°，则∠E等于(B) A．18°B．36°C．54°D．72°【解】可证△ADB≌△CDE，△ABD≌△CBD，∴∠E＝∠ABD＝12∠ABC＝36°.(第8题)8．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BOC∶S△CAO＝(C)A．1∶1∶1 B．9∶10∶11C．10∶11∶12 D．11∶12∶13【解】利用角平分线的性质定理可得△ABO，△BOC，△CAO分别以AB，BC，AC为底时，高线长相等，则它们的面积之比等于底之比．9．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G.若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为(B)A. 70°B. 80°C. 50°D. 55°【解】连结B C.∵∠BDC＝140°，∴∠DBC＋∠DCB＝40°.又∵∠BGC＝110°，∴∠GBC＋∠GCB＝70°.∴∠GBD＋∠GCD＝30°.∴∠ABD ＋∠ACD ＝60°.∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°.∴∠A ＝80°.,(第9题)),(第10题))10．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝m ，PC ＝n ，AB ＝c ，AC ＝b ，则m ＋n 与b ＋c 的大小关系是(A)A. m ＋n ＞b ＋cB. m ＋n ＜b ＋cC. m ＋n ＝b ＋cD. 无法确定(第10题解)【解】 如解图，在BA 的延长线上取一点E ，使AE ＝AC ，连结ED ，EP . ∵AD 是∠BAC 的外角平分线， ∴∠CAD ＝∠EA D. 在△ACP 和△AEP 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AE ，∠CAP ＝∠EAP ，AP ＝AP ，∴△ACP ≌△AEP (SAS )．∴PC ＝PE . 在△PBE 中，PB ＋PE ＞AB ＋AE ， 即PB ＋PC >AB ＋A C.∵PB ＝m ，PC ＝n ，AB ＝c ，AC ＝b ， ∴m ＋n ＞b ＋c .二、填空题(每小题3分，共30分)11．如图，已知△ABC 的周长为3 cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A ′处，且点A ′在△ABC 外部，则图中阴影部分图形的周长为__3__cm.,(第11题)), (第12题))12．如图，在△ABC 中，AB >AC ，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；作直线MN 交AB 于点D ；连结C D.若AB ＝8，AC ＝4，则△ACD 的周长为12．13．已知三角形的三边长分别为3，5，x ，则化简式子|x －2|＋|x －9|＝__7__． 【解】 提示：2＜x ＜8.(第14题)14．如图，在△ABC 中，已知∠1＝∠2，BE ＝CD ，AB ＝5，AE ＝2，则CE ＝__3__． 【解】 在△ABE 和△ACD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，∠A ＝∠A ，BE ＝CD ，∴△ABE ≌△ACD (AAS )． ∴AC ＝AB ＝5. ∵AE ＝2，∴CE ＝3.15．如图，在4×5的网格中，每个小正方形的边长都为1，在图中找两个格点D 和E ，使∠ABE ＝∠ACD ＝90°，并使AC ＝DC ，AB ＝EB ，则四边形BCDE 的面积为__3__．,(第15题)),(第15题解))【解】如解图，四边形BCDE的面积为8－3－32－12＝3.(第16题)16．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO.有下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④AD＝C D.其中正确结论的序号是①②③．【解】∵△ABO≌△ADO，∴∠AOB＝∠AOD，AB＝AD，∠BAO＝∠DAO.∵∠AOB＋∠AOD＝180°，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，故①正确．在△ABC和△ADC中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)，∴CB＝CD，故②③正确．AD与CD不一定相等，故④错误．综上所述，正确结论的序号是①②③.(第17题)17．如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的交点为G.若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是__4__．【解】∵△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G，∴S△ABD＝S△ACD，S△AFG＝S△BFG，S△AGE＝S△CGE，S△BDG＝S△CDG，∴S△ABG＝S△ACG.∴S△BFG＝S△CGE.＝4.同理，S△BFG＝S△BDG，∴图中6个小三角形的面积都相等．∴S阴影＝13S△ABC 18．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2－∠1＝90°．(第18题)(第18题解)【解】如解图．∵AB∥DC，∴∠2＝∠3.∵∠3＋∠4＝180°，∴∠2＝180°－∠4.又∵∠1＋∠4＝90°，即∠1＝90°－∠4.∴∠2－∠1＝180°－∠4－(90°－∠4)＝90°.(第19题)19．如图，在△ABC 中，∠A ＝52°，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点D 1，∠ABD 1与∠ACD 1的平分线交于点D 2……依此类推，∠BD 5C 的度数是56°．【解】 ∵∠A ＝52°， ∴∠ABC ＋∠ACB ＝128°.∵BD 1，CD 1分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴∠D 1BC ＋∠D 1CB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝64°.∴∠D 1＝180°－64°＝116°.同理，∠D 2＝180°－64°－12×64°＝84°……∴∠D 5＝180°－64°－12×64°－⎝⎛⎭⎫122×64°－⎝⎛⎭⎫123×64°－⎝⎛⎭⎫124×64°＝56°. 20．如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板(即边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的12)后得到图③……记第n (n ≥3)块纸板的周长为P n ，则P n －P n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1．(第20题)【解】 ∵P 1＝3，P 2＝212，P 3＝234，P 4＝278，∴P 4－P 3＝18＝⎝⎛⎭⎫123＝⎝⎛⎭⎫124－1……故P n －P n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1.三、解答题(共40分)21．(6分)如图，△ABC ≌△A 1B 1C 1，AD ，A 1D 1分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的角平分线．求证：AD ＝A 1D 1.(第21题)【解】 ∵△ABC ≌△A 1B 1C 1，∴AB ＝A 1B 1，∠B ＝∠B 1，∠BAC ＝∠B 1A 1C 1. ∵AD ，A 1D 1分别是△ABC 和△A 1B 1C 1的角平分线， ∴∠BAD ＝12∠BAC ，∠B 1A 1D 1＝12∠B 1A 1C 1.∴∠BAD ＝∠B 1A 1D 1. 在△ABD 与△A 1B 1D 1中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠B 1A 1D 1，AB ＝A 1B 1，∠B ＝∠B 1，∴△ABD ≌△A 1B 1D 1(ASA )． ∴AD ＝A 1D 1.(第22题)22．(6分)如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，C D.(1)求证：△ABE ≌△CB D.(2)若∠CAE ＝27°，∠ACB ＝45°，求∠BDC 的度数． 【解】 (1)∵∠ABC ＝90°，∴∠CBD ＝90°＝∠AB C. 在△ABE 和△CBD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD (SAS )． (2)∵△ABE ≌△CBD ， ∴∠AEB ＝∠CD B.∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠CAE ＋∠ACB ＝27°＋45°＝72°， ∴∠BDC ＝72°.(第23题)23．(6分)如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的．若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，求∠α的度数．【解】 ∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3， ∴∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°. 设BE 与CD 的交点为F .∵△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边翻折180°形成的， ∴△ABE ≌△ABC ≌△AD C. ∴∠2＝∠ABE ，∠3＝∠AC D. ∴∠FBC ＝2∠2＝2×25°＝50°， ∠FCB ＝2∠3＝2×15°＝30°.∵∠α是△FBC的一个外角，∴∠α＝∠FBC＋∠FCB＝50°＋30°＝80°.24．(6分)如图，已知BD，CE是△ABC的高线，点F在BD上，BF＝AC，点G 在CE的延长线上，CG＝A B.求证：AG⊥AF.(第24题)【解】∵BD，CE是△ABC的高线，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.∵∠EHB＝∠DHC，∴∠EBH＝∠DCH.又∵BF＝CA，AB＝GC，∴△ABF≌△GCA(SAS)．∴∠BAF＝∠G.∵∠AEG＝90°，∴∠G＋∠GAE＝90°，∴∠BAF＋∠GAE＝90°，即∠GAF＝90°，∴AG⊥AF.(第25题)25．(6分)如图，已知BE，CF分别是△ABC中AC，AB边上的高线，在BE的延长线上取点P，使PB＝AC，在CF的延长线上取点Q，使CQ＝A B.求证：AQ⊥AP.【解】∵BE，CF分别是△ABC中AC，AB边上的高线，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∴∠ABP ＋∠EAF ＝90°，∠ACQ ＋∠EAF ＝90°， ∴∠ABP ＝∠ACQ . 在△ABP 和△QCA 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧PB ＝AC ，∠ABP ＝∠QCA ，AB ＝QC ，∴△ABP ≌△QCA (SAS )． ∴∠APB ＝∠QA C.∴∠APB ＋∠PAE ＝∠QAC ＋∠PAE ， 即180°－∠AEP ＝∠PAQ . ∴∠PAQ ＝90°，即AQ ⊥AP .26．(10分)旧知新意：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？(1)尝试探究：如图①，∠DBC 与∠ECB 分别为△ABC 的两个外角，试探究∠A 与∠DBC ＋∠ECB 之间的数量关系．(2)初步运用：如图②，在△ABC 纸片中剪去△CED ，得到四边形ABDE .若∠1＝130°，则∠2－∠C ＝50°．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在△ABC 中，BP ，CP 分别平分外角∠DBC ，∠ECB ，则∠P 与∠A 有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P ＝90°－12∠A ．(3)拓展提升：如图④，在四边形ABCD 中，BP ，CP 分别平分外角∠EBC ，∠FCB ，则∠P 与∠A ，∠D 有何数量关系？(第26题)【解】 (1)∠DBC ＋∠ECB ＝(180°－∠ABC )＋(180°－∠ACB )＝360°－(∠ABC ＋∠ACB )＝360°－(180°－∠A )＝180°＋∠A.(2)∵∠1＋∠2＝180°＋∠C ， ∴130°＋∠2＝180°＋∠C ， ∴∠2－∠C ＝50°.∵∠DBC ＋∠ECB ＝180°＋∠A ，BP ，CP 分别平分外角∠DBC ，∠ECB ， ∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠DBC ＋∠ECB )＝12(180°＋∠A )，∴∠P ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－12(180°＋∠A )＝90°－12∠A ，即∠P ＝90°－12∠A.(第26题解)(3)如解图，延长BA ，CD 相交于点Q ，则∠P＝90°－12∠Q，∴∠Q＝180°－2∠P，∴∠BAD＋∠CDA＝180°＋∠Q＝180°＋180°－2∠P＝360°－2∠P.。
最新浙教版八年级数学上学期《三角形的初步认识》单元检测题及答案解析.docx
《第1章三角形的初步知识》一、选择题1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm2．下列说法：①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角与一边对应相等的两个三角形全等；④两边与一角对应相等的两个三角形全等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，三角形的外角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠44．若三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定5．关于三角形的内角，下列判断不正确的是（）A．至少有两个锐角B．最多有一个直角C．必有一个角大于60°D．至少有一个角不小于60°6．下列四组中一定是全等三角形的是（）A．两条边对应相等的两个锐角三角形B．面积相等的两个钝角三角形C．斜边相等的两个直角三角形D．周长相等的两个等边三角形7．若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是（）A．AD平分∠BAC B．BD=DC C．AD平分BC D．BC=2DC8．如果三角形的一个内角等于其它两个内角的差，这个三角形是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形9．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D，已知AB=3，AC=7，BC=8，则△ABD的周长为（）A．10 B．11 C．15 D．1210．已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形（）A．必定是钝角三角形B．必定是直角三角形C．必定是锐角三角形D．不可能是锐角三角形二、填空题11．在△ABC中，AB=3，BC=7，则AC的长x的取值范围是；等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为．12．如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为100cm2，则△ABD的面积是cm2．13．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是．14．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=70°，则∠BOC= °．15．如图，△ABC中，高BD、CE相交于点H，若∠A：∠ABC：∠ACB=3：2：4，则∠BHC= ．16．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（填SSS，SAS，AAS，ASA中的一种）．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，按要求完成下列画图，并用适当的符号在图中表示（可以不写作法，必须写出结论）：①△ABC的角平分线AD②AC边上的高③AB边上的中线．18．尺规作图：已知线段a，b和∠α．求作：△ABC，使BC=a，AC=b，∠C=∠α（画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论）19．如图：已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，且∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数．20．如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，试说明△ABD与△ACE全等．21．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：OB=OD．22．如图．在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的结沦，并说明理由．①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF．（填写序号即可）已知：；结沦：；理由：23．如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE=∠DBF，AC=BD．说出∠CAD=∠DBC的理由．24．求作一点P，使点P到∠A两边的距离相等，且点P到点D和点E的距离相等．（保留作图痕迹）《第1章三角形的初步知识》参考答案与试题解析一、选择题1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm【考点】三角形三边关系．【分析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差．【解答】解：A、2+2=4，故不选；B、2+3=5＜6，故不选；C、3+6=9＞8＞6﹣3=3，符合条件．D、4+6=10＜11，故不选．综上，故选；C．【点评】利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大小．两个较小边的和＞较大的边，则能组成三角形，否则，不可以．2．下列说法：①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角与一边对应相等的两个三角形全等；④两边与一角对应相等的两个三角形全等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定．【分析】根据三角形全等的判定方法分别对四个命题进行判断．【解答】解：三角对应相等的两个三角形不一定全等，所以①错误；三边对应相等的两个三角形全等，所以②正确；两角与一边对应相等的两个三角形全等，所以③正确；两边与它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以④错误．故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．3．如图，三角形的外角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形外角的定义解答．【解答】解：根据三角形外角的定义可知，∠3是此三角形的外角．故选C．【点评】本题考查三角形外角的定义．分析时要严格按照定义进行，要看清是一条边的延长线与它邻边的夹角才是三角形的外角．4．若三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【考点】三角形的外角性质．【分析】三角形的一个外角＜与它相邻的内角，故内角＞相邻外角；根据三角形外角与相邻的内角互补，故内角＞90°，为钝角三角形．【解答】解：如图，∵∠1＜∠B，∠1=180°﹣∠B，∴∠B＞90°．∴△ABC是钝角三角形．故选：C．【点评】本题考查了三角形外角的性质．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，可见外角与相邻的内角互补．5．关于三角形的内角，下列判断不正确的是（）A．至少有两个锐角B．最多有一个直角C．必有一个角大于60°D．至少有一个角不小于60°【考点】三角形内角和定理．【分析】可以利用反证的方法来判定各个命题是否正确．【解答】解：根据三角形的内角和定理，不正确的是：必有一个角大于60°．因为当三角形是等边三角形时三个角都相等，都是60度．故选C．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的内角和是180度．6．下列四组中一定是全等三角形的是（）A．两条边对应相等的两个锐角三角形B．面积相等的两个钝角三角形C．斜边相等的两个直角三角形D．周长相等的两个等边三角形【考点】全等三角形的判定．【分析】两边相等，面积相等，一边相等的直角三角形或者角相等的三角形都不能证明三角形全等．【解答】A、错误，两边相等，但锐角三角形的角不一定相等；B、错误，面积相等但边长不一定相等；C、错误，直角三角形全等的判别必须满足直角边相等；D、正确，等边三角形的三边一定相等，又周长相等，故两个三角形的边长分别对应相等．故选D．【点评】本题考查的全等三角形的判定；全等三角形的判别要求严格，条件缺一不可．做题时要结合已知与判定方法逐个验证排除．7．若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是（）A．AD平分∠BAC B．BD=DC C．AD平分BC D．BC=2DC【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形的中线的概念：连接三角形的顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线．【解答】解：A、AD平分∠BAC，则AD是△ABC的角平分线，故本选项错误；AD是△ABC的中线，则有BD=DC，AD平分BC，BC=2DC，故B、C、D正确．故选A．【点评】本题主要考查三角形的中线的概念，并能够正确运用几何式子表示是解本题的关键．8．如果三角形的一个内角等于其它两个内角的差，这个三角形是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．斜三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】三角形三个内角之和是180°，三角形的一个角等于其它两个角的差，列出两个方程，即可求出答案．【解答】解：设三角形的三个角分别为：α、β、γ，则由题意得：，解得：α=90°故这个三角形是直角三角形．故选C．【点评】本题考查的是三角形内家和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．9．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D，已知AB=3，AC=7，BC=8，则△ABD的周长为（）A．10 B．11 C．15 D．12【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】要求△ABD的周长，现有AB=3，只要求出AD+BD即可，根据线段垂直平分线的性质得BD=CD，于是AD+BD=AC，答案可得．【解答】解：∵DE垂直且平分BC∴CD=BD．AD+BD=AD+CD=7∴△ABD的周长：AB+BD+AD=10．故选A【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．对线段进行等效转移是正确解答本题的关键．10．已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形（）A．必定是钝角三角形B．必定是直角三角形C．必定是锐角三角形D．不可能是锐角三角形【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点．【解答】解：一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形不可能是锐角三角形．故选D．【点评】通过三角形的形状可以判断三角形高线的位置，反之，通过三条高线交点的位置可以判断三角形的形状．二、填空题11．在△ABC中，AB=3，BC=7，则AC的长x的取值范围是4＜x＜10 ；等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为17 ．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】（1）根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．（2）因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：（1）根据三角形的三边关系，得AC的长x的取值范围是7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10．（2）分两种情况：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，所以等腰三角形的周长为17．故答案为：4＜x＜10；17．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．12．如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为100cm2，则△ABD的面积是50 cm2．【考点】三角形的面积．【分析】根据等底等高的三角形面积相等可知，中线能把一个三角形分成两个面积相等部分．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为100cm2，∴△ABD的面积是S△ABC=50cm2．【点评】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的中线把一个三角形分成两个面积相等部分．13．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是75°．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角板的常数以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1的度数，再根据直角等于90°计算即可得解．【解答】解：如图，∠1=45°﹣30°=15°，∠α=90°﹣∠1=90°﹣15°=75°．故答案为：75°【点评】本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟知三角板的度数是解题的关键．14．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=70°，则∠BOC= 125 °．【考点】三角形内角和定理．【分析】先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°，∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=55°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣55°=125°．故答案为：125．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°．15．如图，△ABC中，高BD、CE相交于点H，若∠A：∠ABC：∠ACB=3：2：4，则∠BHC= 120°．【考点】三角形内角和定理．【分析】先设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∠A，∠ABC，∠ACB，在△ABD中，利用三角形内角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性质，可求出∠BHC．【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：2：4，故设∠A=3x，∠ABC=2x，∠ACB=4x．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴3x+2x+4x=180°，解得x=20°，∴∠A=3x=60°．∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，∴在△ABD中，∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=30°+90°=120°．故答案为：120°【点评】本题考查了了三角形内角和定理、三角形外角的性质．三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．16．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是SSS （填SSS，SAS，AAS，ASA中的一种）．【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．【专题】计算题；三角形．【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可．【解答】解：用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是SSS，故答案为：SSS．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，按要求完成下列画图，并用适当的符号在图中表示（可以不写作法，必须写出结论）：①△ABC的角平分线AD②AC边上的高③AB边上的中线．【考点】作图—基本作图．【分析】①直接利用角平分线的作法得出AD；②直接利用垂线的作法得出BF即可；③首先得出AB的中点，进而得出答案．【解答】解：如图所示：①AD即为所求；②BF即为所求；③CE即为所求．【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握角平分线以及垂线的作法是解题关键．18．尺规作图：已知线段a，b和∠α．求作：△ABC，使BC=a，AC=b，∠C=∠α（画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论）【考点】作图—复杂作图．【分析】先作∠C=∠α，再在角的两边作AC=a，BC=b，连接即可．【解答】解．【点评】本题考查了三角形的一些基本画法．19．如图：已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，且∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【专题】计算题．【分析】首先根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠EAC的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠DAC的度数，进而求∠DAE的度数．【解答】解：∵∠B=35°，∠C=65°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣35°﹣65°=80°．∵AE为∠BAC的平分线，∴∠EAC=∠BAC=×80°=40°．∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，在△ADC中，∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=180°﹣90°﹣65°=25°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣25°=15°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义等知识．20．如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，试说明△ABD与△ACE全等．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】由∠1=∠2，可得∠CAE=∠BAD，进而利用两边夹一角，证明全等．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE．【点评】本题考查了全等三角形的判定；能够熟练掌握三角形的判定方法来证明三角形的全等问题，由∠1=∠2得∠CAE=∠BAD是解决本题的关键．21．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：OB=OD．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据ASA证△ABC≌△ADC，推出AB=AD，根据等腰三角形的性质三线合一定理求出即可．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（ASA），∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，且∠1=∠2，∴OB=OD．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三线合一定理等知识点，注意：等腰三角形顶角的平分线平分底边．22．如图．在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的结沦，并说明理由．①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF．（填写序号即可）已知：①②④；结沦：③；理由：【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；开放型．【分析】本题考查的是全等三角形的判定，要根据全等三角形判定条件中的SAS，AAS，ASA，SSS等条件，来判断选择哪些条件可得出三角形全等，得出全等后又可得到什么等量关系．【解答】解：已知：①②④结论：③证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC．∴BC=EF．△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）．∴∠ABC=∠DEF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．23．如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE=∠DBF，AC=BD．说出∠CAD=∠DBC的理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】本题可通过全等三角形来证得．三角形CAB和DBA中，已知的条件有AC=BD，公共边AB，只要再证得这两组对应边的夹角相等即可得出三角形全等的结论，我们已知了∠CAE=∠DBF，那么他们的补角就应该相等，即∠CAB=∠DBA，这样就构成了两三角形全等的条件（SAS），就能得出两三角形全等了，也就得出∠CAD=∠DBC．【解答】证明：∵∠CAE=∠DBF（已知），∴∠CAB=∠DBA（等角的补角相等）．在△ABC和△DBA中AC=BD（已知），∠CAB=∠DBA，AB=BA（公共边），∴△ABC≌△DBA（SAS）．∴∠ABC=∠BAD（全等三角形的对应角相等）．∴∠CAB﹣∠BAD=∠DBA﹣∠ABC．即：∠CAD=∠DBC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题证明角相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，等角的补角相等．24．求作一点P，使点P到∠A两边的距离相等，且点P到点D和点E的距离相等．（保留作图痕迹）【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】先作出∠BAC的平分线AF，再作出线段DE的垂直平分线GH，则AF与GH 的交点P即为所求．【解答】解：如图所示，点P即为所求．【点评】本题主要考查了尺规作图中的复杂作图，解决问题的关键是掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法．。
最新版2019-2020年浙教版八年级数学上册《第1章三角形的初步认识》单元测试有答案-精编试题
《第1章三角形的初步认识》一、选择题1．下列各组线段中，能组成三角形的是（）A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，12 D．2，3，62．在△ABC中，∠A﹣∠C=∠B，那么△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形3．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA4．如图AB⊥AD，AB⊥BC，则以AB为一条高线的三角形共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．45．如图所示，△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（）对．A．2 B．3 C．4 D．56．下列是命题的是（）A．作两条相交直线B．∠α和∠β相等吗？C．全等三角形对应边相等 D．若a2=4，求a的值7．下列命题中，真命题是（）A．垂直于同一直线的两条直线平行B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C．三角形三个内角中，至少有2个锐角D．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等8．如图，对任意的五角星，结论正确的是（）A．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=90°B．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°C．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=270°D．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=360°9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．若AB=6cm，则△DEB的周长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm10．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC=130°，∠BGC=100°，则∠A的度数为（）A．60° B．70° C．80°D．90°二、填空题11．工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做的依据是______．12．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______．13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，且∠DAE=15°，∠B=35°，则∠C=______°．14．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是______（添加一个条件即可）．15．命题“若x（1﹣x）=0，则x=0”是______命题（填“真”、假），证明时可举出的反例是______．16．已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|=______．17．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，如果BC=10，△DBC 的周长为22，那么AB=______．18．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是______．（将你认为正确的结论的序号都填上）19．已知，∠α=50°，且∠α的两边与∠β的两边互相垂直，则∠β=______．20．若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有______种．三、解答题21．如图，已知△ABC，请按下列要求作图：（1）用直尺和圆规作△ABC的角平分线CG．（2）作BC边上的高线（本小题作图工具不限）．（3）用直尺和圆规作△DEF，使△DEF≌△ABC．22．阅读填空：如图，已知∠AOB．要画出∠AOB的平分线，可分别在OA，OB上截取OC=OD，OE=OF，连结CF，DE，交于P点，那么射线OP就是∠AOB的平分线．要证明这个作法是正确的，可先证明△EOD≌△______，判定依据是______，由此得到∠OED=∠______；再证明△PEC≌△______，判定依据是______，由此又得到PE=______；最后证明△EOP≌△______，判定依据是______，从而便可证明出∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB．23．证明命题“全等三角形对应边上的高相等”．24．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为D、E．（1）求证：①∠BAD=∠ACE；②BD=AE；（2）请写出BD，DE，CE三者间的数量关系式，并证明．《第1章三角形的初步认识》参考答案与试题解析一、选择题1．下列各组线段中，能组成三角形的是（）A．4，6，10 B．3，6，7 C．5，6，12 D．2，3，6【解答】解：A、∵4+6=10，不符合三角形三边关系定理，∴以4、6、10为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误；B、∵3+6＞7，6+7＜3，3+7＞6，符合三角形三边关系定理，∴以3、6、7为三角形的三边，能组成三角形，故本选项正确；C、∵5+6＜12，不符合三角形三边关系定理，∴以5、6、12为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误；D、∵2+3＜6，不符合三角形三边关系定理，∴以2、3、6为三角形的三边，不能组成三角形，故本选项错误；故选B．2．在△ABC中，∠A﹣∠C=∠B，那么△ABC是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠B=180°﹣∠A，而∠A﹣∠C=∠B，∴∠C+∠B=∠A，∴180°﹣∠A=∠A，解得∠A=90°，∴△ABC为直角三角形．故选D．3．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA【解答】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，故选：B．4．如图AB⊥AD，AB⊥BC，则以AB为一条高线的三角形共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵AB⊥AD，AB⊥BC，∴以AB为一条高线的三角形有△ABD，△ABE，△ABC，△ACE，一共4个．故选D．5．如图所示，△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（）对．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的，∴C′D=CD，BC′=BC，∵BD=BD，∴△CDB≌△C′DB（SSS），同理可证明：△ABE≌△C′DE，△ABD≌△C′DB，△ABD≌△CDB三对全等．所以，共有4对全等三角形．故选C．6．下列是命题的是（）A．作两条相交直线B．∠α和∠β相等吗？C．全等三角形对应边相等 D．若a2=4，求a的值【解答】解：A、“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A选项错误；B、“∠α和∠β相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以A选项错误；C、全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确；D、“若a2=4，求a的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D选项错误．故选C．7．下列命题中，真命题是（）A．垂直于同一直线的两条直线平行B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C．三角形三个内角中，至少有2个锐角D．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等【解答】解：A、同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，故错误，为假命题；B、有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，故错误，为假命题；C、三角形的三个角中，至少有两个锐角，故正确，为真命题；D、有两边和其中一个角对应相等的两个三角形全等，错误，为假命题，故选C．8．如图，对任意的五角星，结论正确的是（）A．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=90°B．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°C．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=270°D．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=360°【解答】解：∵∠1=∠2+∠D，∠2=∠A+∠C，∴∠1=∠A+∠C+∠D，∵∠1+∠B+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故选：B．9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．若AB=6cm，则△DEB的周长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△DEB的周长=BD+DE+BE，=BD+CD+BE，=BC+BE，=AC+BE，=AE+BE，=AB，∵AB=6cm，∴△DEB的周长=6cm．故选B．10．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC=130°，∠BGC=100°，则∠A的度数为（）A．60° B．70° C．80°D．90°【解答】解：连接BC．∵∠BDC=130°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣130°=50°，∵∠BGC=100°，∴∠GBC+∠GCB=180°﹣100°=80°，∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，∴∠GBD+∠GCD=∠ABD+∠ACD=30°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∴∠A=180°﹣110°=70°．故选B．二、填空题11．工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做的依据是三角形的稳定性．【解答】解：这样做的依据是三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．12．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果两个角是对顶角，那么它们相等．【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．13．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，且∠DAE=15°，∠B=35°，则∠C= 65 °．【解答】解：如图，∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°．又∵∠DAE=15°，∴∠AED=75°．∵∠B=35°，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=40°．又∵AE为∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠BAE=80°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=65°．故答案是：65．14．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是∠B=∠C或AE=AD （添加一个条件即可）．【解答】解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．故答案为：∠B=∠C或AE=AD．15．命题“若x（1﹣x）=0，则x=0”是假命题（填“真”、假），证明时可举出的反例是x=1 ．【解答】解：当x=1时，x（1﹣x）=0也成立，所以证明命题“若x（1﹣x）=0，则x=0”是假命题的反例是：x=1，故答案为：假，x=1．16．已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|= 8 ．【解答】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9，∴6＜x＜12，∴x﹣5＞0，x﹣13＜0，∴|x﹣5|+|x﹣13|=x﹣5+13﹣x=8，故答案为：8．17．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，如果BC=10，△DBC 的周长为22，那么AB= 12 ．【解答】解：∵AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，∴AD=BD，∵△DBC的周长为22，∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=22，∵BC=10，∴AC=12．∵AB=AC，∴AB=12．故答案为：12．18．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是①②③．（将你认为正确的结论的序号都填上）【解答】解：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，∴△ABE≌△ACF，∴AC=AB，BE=CF，即结论②正确；∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM，∴ACN≌△ABM，即结论③正确；∵∠BAE=∠CAF，∵∠1=∠BAE﹣∠BAC，∠2=∠CAF﹣∠BAC，∴∠1=∠2，即结论①正确；∴△AEM≌△AFN，∴AM=AN，∴CM=BN，∴△CDM≌△BDN，∴CD=BD，∴题中正确的结论应该是①②③．故答案为：①②③．19．已知，∠α=50°，且∠α的两边与∠β的两边互相垂直，则∠β=130°或50°．【解答】解：①如图1，∵∠a+∠β=180°﹣90°﹣90°=180°，∠α=50°，∴∠β=130°，②如图2，若∠a的两边分别与∠β的两边在同一条直线上，∴∠a=∠β=50°，综上所述，∠β=130°或50°．故答案是：130°或50°．20．若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有 4 种．【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13﹣c＞c≥，∴≤c＜，故c=5，或6；分类讨论如下：①当c=5时，b=4，a=4或b=3，a=5；②当c=6时，b=5，a=2或b=4，a=3；∴满足条件的三角形的个数为4，故答案为：4．三、解答题21．如图，已知△ABC，请按下列要求作图：（1）用直尺和圆规作△ABC的角平分线CG．（2）作BC边上的高线（本小题作图工具不限）．（3）用直尺和圆规作△DEF，使△DEF≌△ABC．【解答】解：（1）如图1，CG为所作；（2）如图1，AH为所作；（3）如图2，△DEF为所作．22．阅读填空：如图，已知∠AOB．要画出∠AOB的平分线，可分别在OA，OB上截取OC=OD，OE=OF，连结CF，DE，交于P点，那么射线OP就是∠AOB的平分线．要证明这个作法是正确的，可先证明△EOD≌△FOC ，判定依据是SAS ，由此得到∠OED=∠OFC ；再证明△PEC≌△PFD ，判定依据是AAS ，由此又得到PE= PF ；最后证明△EOP≌△FOP ，判定依据是SSS ，从而便可证明出∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB．【解答】解：作法：（1）分别在OA，OB上截取OC=OD，OE=OF，连接CF，DE，交于P点，（2）连接OP即可，在△EOD与△FOC中，，∴△EOD≌△FOC（SAS），∴∠OED=∠OFC，在△PEC与△PFD中，，∴△PEC≌△PFD（AAS），∴PE=PF．在△EOP与△FOP中，，∴△EOP≌△FOP（SSS），∴∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB．故答案为：FOC，SAS，OFC；PFD，AAS，PF；△FOP，SSS，23．证明命题“全等三角形对应边上的高相等”．【解答】解：已知：如图，△ABC≌△EFC，AD、EH分别是△ABC和△EFC的对应边BC、FG上的高．求证：AD=EH．证明：∵△ABC≌△EFC，∴AB=EF，∠B=∠F，∵AD、EH分别是△ABC和△EFC的对应边BC、FG上的高，∴∠ADB=∠EHF=90°，在△ABD和△EFH中，∴△ABD≌△EFH（AAS），∴AD=EH．24．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为D、E．（1）求证：①∠BAD=∠ACE；②BD=AE；（2）请写出BD，DE，CE三者间的数量关系式，并证明．【解答】解：（1）①∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵CE⊥MN，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠ACE；②∵BD⊥MN，∴∠BDA=∠AEC=90°，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴BD=AE；（2）∵△ABD≌△CAE，∴BD=AE，AD=CE，∵AE=AD+DE，∴BD=CE+DE．。
浙教版八年级数学上册第一章三角形的初步认识单元测试(解析版)
浙教版八年级数学上册单元通关训练卷【检测范围：第一章三角形的初步认识满分：100分】一、选择题(每小题3分，共30分)1.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm【解析】解：A、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．故选：D．2.下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定全等B．腰对应相等的两个等腰三角形全等C．形状相同的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等【解析】解：两个等边三角形边长不一定相等，所以不一定全等，A错误；腰对应相等的两个等腰三角形对应角不一定相等，所以不一定全等，B错误；形状相同的两个三角形对应边不一定相等，所以不一定全等，C错误；全等三角形的面积一定相等，所以D正确，故选：D．3.如图，点C，D在AB同侧，∠CAB=∠DBA，下列条件中不能判定△ABD≌△BAC的是（）A．∠D=∠C B．BD=AC C．∠CAD=∠DBC D．AD=BC【解析】解：A、添加条件∠D=∠C，还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；B、添加条件BD=AC，还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；C、∵∠CAB=∠DBA，∠CAD=∠DBC，∴∠DAB=∠CBA，还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；D、添加条件AD=BC，还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△BAC，故本选项正确；故选D．4.a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【解析】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝（a+b+c）﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）＝a+b+c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c＝0故选：A．5.给出下列5个命题：①相等的角是对顶角；②无理数都是无限小数；③在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④同旁内角互补；⑤若一个数的立方根是这个数本身，则这个数是0或1，其中是真命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】解：①相等的角不一定是对顶角，是假命题；②无理数都是无限小数，是真命题；③在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b，是真命题；④两直线平行，同旁内角互补，是假命题；⑤若一个数的立方根是这个数本身，则这个数是0或1或﹣1，是假命题；故选：B．6.如图，△ABC≌△A′B′C，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点B′在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【解析】解：∵△ABC≌△A′B′C，∴∠CB′A′＝∠B＝50°，CB＝CB′，∴∠BB′C＝∠B＝50°，∴∠BCB′＝80°，∴∠ACB′＝10°，∴∠COA′＝∠CB′A′+∠ACB′＝60°，故选：B．7.在△ABC与△DEF中，给出下列四组条件：（1）AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF（2）AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF（3）∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F（4）AB＝DE，∠B＝∠E，AC＝DF，其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【解析】解：（1）由AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，依据“SSS”可判定△ABC≌△DEF；（2）由AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，依据“SAS”可判定△ABC≌△DEF；（3）由∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F，依据“ASA”可判定△ABC≌△DEF；（4）由AB＝DE，∠B＝∠E，AC＝DF不能判定△ABC≌△DEF；故选：C．8.如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC=AF，故①正确；∠EAF=∠BAC，∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF=BC，故③正确；∠EAB=∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选C．9.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【解析】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；②选5+4、7、3作为三角形，则三边长为9、7、3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；③选5+7、3、4作为三角形，则三边长为12、4、3；4+3＜12，不能构成三角形，此种情况不成立；④选7+3、5、4作为三角形，则三边长为10、5、4；而5+4＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9．故选：D．10.如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD=∠C=60°，AB=BC，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∴∠BPD=∠ABE+∠BAD=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°．故选C．二、填空题(每小题3分，共24分)11.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=．【解析】解：∵这两个三角形全等，两个三角形中都有2∴长度为2的是对应边，x应是另一个三角形中的边6．同理可得y=5∴x+y=11．故填11．12.对顶角相等的逆命题是命题（填写“真”或“假”）．【解析】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题．故答案为：假．13.如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是________________．（只填一个即可）【解析】在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC=∠EDF，∵BC∥EF，∴∠B=∠E，∵BD=AE，∴BD﹣AD=AE﹣AD，即BA=ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：BC=EF或∠BAC=∠EDF14.如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=．【解析】解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，∴有∠CBD=∠ABD=∠ABC，∠BCD=∠ACD=∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140，∴∠OBC+∠OCB=70，∴∠BOC=180﹣70=110°，故答案为：110°．15.如图，在△ABC中，AD与BE相交于点G，若点G是△ABC的重心，则S△AGE：S△GDE=．【解析】解：∵点G是△ABC的重心，=2S△GDE，∴S△AGE：S△GDE=2：1，故答案为：2：1．∴AG=2GD，∴S△AGE16.如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B 出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE 与△CQP全等时，时间t为s．【解析】当△BPE≌△CQP时，则有BE=PC，即14=16﹣2t，解得t=1，当△BPE≌△CPQ时，则有BP=PC，即2t=16﹣2t，解得t=4，故答案为：1或4．三、解答题(共46分)17.如图，在△ABC中，∠C=90°．（1）用尺规作图法作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）连结BD，若BD平分∠CBA，求∠A的度数．【解析】解：（1）如图所示，DE为所求作的垂直平分线；（2）∵DE是AB边上的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠ABD=∠A，∵∠C=90°，∴∠CBD+∠ABD+∠A=90°，∴∠A=30°．18.在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度数．【解析】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠B=60°，∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°；∵∠A=20°，∠B=60°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴∠ACB=100°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=∠ACB=50°，∴∠CEB=∠A+∠ACE=20°+50°=70°，∠ECD=90°﹣70°=20°19.如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．求证：BC=AD．【解析】解：∵∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC，∴∠DAB=∠CBA．在△ADB与△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（ASA），∴BC=AD．20.小明同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【解析】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．21.已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．【解析】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB=∠E．∵∠DAE=90°，∴∠E+∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．22.如图，在△ABC中，AD＝AE，BE＝CD，AB＝AC．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：∠BAE＝∠CAD．【解析】证明：（1）∵BE＝CD，∴BE﹣DE＝CD﹣DE，∴BD＝CE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠BAE+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD．23.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD，BD＝14，点E从D点出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速度沿C→B→C，作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒．（1）试证明：AD∥BC；（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出此时的移动时间t和G点的移动距离．【解析】（1）证明：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：设G点的移动距离为x，当△DEG与△BFG全等时，∵∠EDG＝∠FBG，∴DE＝BF、DG＝BG或DE＝BG、DG＝BF，①∵BC＝10，＝2，∴当点F由点C到点B，即0＜t≤2时，则：，解得：，或，解得：（不合题意舍去）；②当点F由点B到点C，即2＜t≤4时，则，解得：，或，解得：，∴综上所述：△DEG与△BFG全等的情况会出现3次，此时的移动时间分别是秒、秒、秒，G 点的移动距离分别是7、7、．。
(完整版)2019浙教版八上数学第1章《三角形的初步知识》单元测试题、答案
浙教版八上数学第1章《三角形的初步知识》单元测试题、答案考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A.7B.8C.9D.102.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定∠ABC∠∠DCB的是（）A.∠A＝∠DB.∠ACB＝∠DBCC.AC＝DBD.AB＝DC（第2题）（第4题）（第5题）（第7题）3.下列命题中，是假命题的是()A.两直线平行，则同位角相等B.同旁内角互补，则两直线平行C.三角形内角和为180°D.三角形一个外角大于任何一个内角4.如图，在∠ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∠BC交AC于点E，若∠A＝54°，∠B＝46°.则∠CDE的大小为（）A.45°B.40°C.39°D.35°5.如图，若∠ABC和∠DEF的面积分别为S1，S2，则()A.S1＝S2B.S1＝S2C.S1＝S2D.S1＝S26.三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( )A.形状相同的三角形B.面积相等的三角形C.直角三角形D.周长相等的三角形7.如图，∠ABC中，∠A＝75°，∠B＝50°，将∠ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到∠A’B’ C，点A的对应点A'落在AB边上，则∠BCA'的度数为（）A.20°B.25°C.30°D.35°8.如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将∠C沿DE对折，使点C落在ΔABC外的点处，若∠1=20°，则∠2的度数为()A.80°B.90°C.100°D.110°（第8题）（第9题）（第10题）（第11题）9.如图∠ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD 的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）A.19.2°B.8°C.6°D.3°10.小冬不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带去，能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块11.如图∠ABC，AC=BC，∠ACB=90°，AD为角平分线，延长AD交BF于E，E为BF中点，下列结论错误的是（）A.AD=BFB.CF=CDC.AC+CD=ABD.BE=CF12.如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①∠AFB∠∠AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A.①②③B.①②④C.①②D.①②③④（第12题） （第13题） （第14题） （第15题）二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.13.如图，一副三角板∠AOC 和∠BCD 如图摆放，则∠AOB=________．14.如图，在∠ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝________.15.如图，∠ABC 是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A 落在直尺的一边上，AB 与直尺的另一边交于点D ，BC 与直尺的两边分别交于点E ，F ．若∠CAF=20°，则∠BED 的度数为________°．16.如图，O 是∠ABC 内一点，∠OBC=31∠ABC ，∠OCB=31∠ACB ，若∠A=66°，则 ∠BOC=________度．（第16题） （第17题） （第18题）17.如图，点O 在直线m 上，在m 的同侧有A ，B 两点，∠AOB=90°，OA=10cm ，OB=8cm ，点P 以2cm/s 的速度从点 A 出发沿A—O—B 路径向终点 B 运动，同时点 Q 以1cm/s 的速度从点B 出发沿 B—O—A 路径向终点A 运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点P ，Q 作PC∠m 于点 C ，QD∠m 于点C ，QD∠m 于点D ．若∠OPC 与∠OQD 全等，则点Q 运动的时间是________秒．18.如图，D 、E 分别是∠ABC 边AB 、BC 上的点，AD=2BD ，BE=CE ，若S ∠ABC =6，设∠ADF 的面积为S1，∠CEF的面积为S2，则S1-S2的值是________。
2020年浙教版八年级数学上册 三角形的初步知识 单元测试卷三(含答案)
2020年浙教版八年级数学上册三角形的初步知识单元测试卷三一、选择题（共10题；共30分）1、下面命题正确的是（）A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。
B、等腰梯形的两个角一定相等。
C、对角线互相垂直的四边形是菱形。
D、三角形三条边上的中线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.2、用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的根据是（）A、SASB、ASAC、AASD、SSS3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°4、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE=CA，连接AE交CD于点F，则∠AFC度数是（）A、150°B、125°C、135°D、112.5°5、如图所示，一位同学书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）.A、SSSB、SASC、AASD、ASA6、以下列各组线段长为边能组成三角形的是（）A、1cm，2cm，4cmB、8cm，6cm，4cmC、12cm，5cm，6cmD、2cm，3cm，6cm7、下列命题中，真命题的是（）A、如果一个四边形两条对角线相等，那么这个四边形是矩形B、如果一个平行四边形两条对角线相互垂直，那么这个四边形是菱形C、如果一个四边形两条对角线平分所在的角，那么这个四边形是菱形D、如果一个四边形两条对角线相互垂直平分，那么这个四边形是矩形8、下列命题中，真命题的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等．A、4B、3C、2D、19、若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为100cm，DE=30cm，DF=25cm，那么BC长（）A、55cmB、45cmC、30cmD、25cm10、在△ABC中，∠B的平分线与∠C的平分线相交于O，且∠BOC=130°，则∠A=（）A、50°B、60°C、80°D、100°二、填空题（共8题；共24分）11、用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明△DOC≌△D'O'C'的依据是________．12、如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，则△ABD与△ACD周长之差为________cm．13、△ABC中，∠BAC：∠ACB：∠ABC=4：3：2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF=________ 度．14、①三角形的三条角平分线交于一点，这点到三条边的距离相等；②三角形的三条中线交于一点；③三角形的三条高线所在的直线交于一点；④三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等．以上说法中正确的是________．15、如图，BF、CF是△ABC的两个外角的平分线，若∠A=50°，则∠BFC=________度．16、如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=________度．17、如图所示，BE⊥AC于点D，且AB=CB，BD=ED，若∠ABC=64°，则∠E=________．18、如图，在△ABC中，将∠C沿DE折叠，使顶点C落在△ABC内C′处，若∠A=75°，∠B=65°，∠1=40°，则∠2的度数为________．三、解答题（共5题；共36分）19、如图，已知E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．求证：OE垂直平分CD．20、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．∠1=∠2，∠3=105°，求∠ACB的度数．21、如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠ACB=50°，求∠EDC和∠BDC的度数．22、如图所示，已知∠ACB和∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点．求证：CP=DP．23、如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA．四、综合题（共1题；共10分）24、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．(1)证明DE∥CB；(2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．答案1、D．2、D．3、D．4、D.5、D.6、B7、B．8、B．9、B．10、C．11、SSS12、答案为：2．13、40．14、答案为：①②③④．15、答案为：6516、45°．17、答案为：32°．18、答案为：40°．19、证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴DE=CE，OE=OE，在Rt△ODE与Rt△OCE中，，∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线20、解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠BCD，又∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC，∴∠ACB=∠3=105°21、解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB=50°，∴∠BCD= ∠ACB=25°，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB=25°，∠BDE+∠B=180°，∵∠B=70°，∴∠BDE=110°，∴∠BDC=∠BDE﹣∠EDC=110°﹣25°=85°．∴∠EDC=25°，∠BDC=85°22、证明：在Rt△ACB和Rt△ADB中，，∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）．∴BC=BD，∠CBA=∠DBA．∵BP=BP，∴△CBP≌△DBP（SAS）．∴CP=DP．23、证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，∴AM=BM，在Rt△AOM和Rt△BOM中，，∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA24、（1）证明：连结CE．∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，∴CE= AB=AE．∵△ACD是等边三角形，∴AD=CD．在△ADE与△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SSS），∴∠ADE=∠CDE=30°．∵∠DCB=150°，∴∠EDC+∠DCB=180°．∴DE∥CB（2）解：当AC= 或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形，理由：∵AC= ，∠ACB=90°，∴∠B=30°，∵∠DCB=150°，∴∠DCB+∠B=180°，∴DC∥BE，又∵DE∥BC，∴四边形DCBE是平行四边形．。
浙教版2019-2020年八年级数学上学期：第1章 三角形的初步认识(A卷)含解析版答案
第1章三角形的初步知识单元测试卷（A卷基础篇）【浙教版】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：120分考试时间：100分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019春•海港区期末）下列长度的三条线段，不能作为三角形的三边的是（）A．5，12，13 B．6，8，10 C．5，5，10 D．3，3，52．（3分）（2019春•海港区期末）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A等于（）A．100°B．90°C．60°D．30°3．（3分）（2019•万州区）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE ＝3cm，CD＝6cm，则BD的长为（）A．9cm B．6cm C．3cm D．不确定4．（3分）（2019春•侯马市期末）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．BF B．CF C．BD D．AE5．（3分）（2019春•东莞市期末）下列命题中是真命题的是（）A．相等的两个角是对顶角B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥cD．在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a∥c6．（3分）（2019春•潍城区期末）如图，已知∠B＝∠D，AB＝ED，点D，C，F，B在同一直线上，要使△ABC ≌△EDF，则下列条件添加错误的是（）A．∠A＝∠E B．BF＝DC C．AC∥EF D．AC＝EF7．（3分）（2019春•兰陵县期中）如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（3分）（2019春•桂林期末）如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（）A．7 B．5 C．3 D．29．（3分）（2019春•沙县期末）一张△ABC纸片，点M、N分别是AB、AC上的点，若沿直线MN折叠后，点A 落在AC边的下面A′的位置，如图所示．则∠1，∠2，∠A之间的数量关系是（）A．∠l＝∠2+∠A B．∠l＝2∠2+∠A C．∠l＝∠2+2∠A D．∠l＝2∠2+2∠A10．（3分）（2018秋•鲤城区校级期中）在△ABC中，高AD和BE所在的直线交于点H，且BH＝AC，则∠ABC 等于（）A．45°B．120°C．45°或135°D．45°或120°第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019春•武胜县期末）把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式．12．（4分）（2019春•日照期末）三角形一边长为4，另一边长为7，且第三边长为奇数，则第三边的长为．13．（4分）（2019•齐齐哈尔）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是（只填一个即可）．14．（4分）（2019春•牡丹区期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABC中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，AE＝6，则点B到ED的距离是．15．（4分）（2019•简阳市模拟）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC 于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，求∠CMA的度数．16．（4分）（2018秋•鄞州区期末）如图，将三角形纸片（△ABC）进行折叠，使得点B与点A重合，点C 与点A重合，压平出现折痕DE，FG，其中D，F分别在边AB，AC上，E，G在边BC上，若∠B＝25°，∠C＝45°，则∠EAG的度数是°．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2019春•皇姑区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝∠DEF，点D、E、F分别在AB、AC上，且BD＝CE．求证：DE＝EF．证明：（请将下面的证明过程补充完整）∵∠B+∠BDE+∠BED＝180°（）∠DEF+∠FEC+∠BED＝180°（）∠B＝∠DEF（已知）∴∠BDE＝∠FEC（）在△BDE和△CEF中∠B＝∠C（已知）BD＝CE（）∠BDE＝∠FEC（）∴△BDE≌△CEF（）（用字母表示）∴DE＝EF（）18．（8分）（2019•惠安县一模）如图，AC⊥BD，DE交AC于E，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：AC＝AE+BC．19. （8分）（2019春•溧水区期末）已知：如图，点B、F、C、D在一条直线上．AB＝DE，AB∥DE，BF＝CD．求证：AC∥EF．20. （10分）（2019•云南模拟）如图，在△ABC和△ADE中，∠B＝∠D，AC＝AE，∠1＝∠2，求证：BC＝DE．21. （10分）（2019春•海州区期末）如图，CD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点，∠ECD＝∠EDC（1）求证：ED∥BC；（2）∠A＝30°，∠BDC＝65°，求∠DEC的度数．22．（12分）（2019春•资阳期末）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝70°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，DF⊥AE于点F．（1）求∠BAE的度数；（2）求∠ADF的度数．23. （12分）（2018秋•瑶海区期末）如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O．（1）在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等的过程．（2）求证：OD＝OC．第1章三角形的初步知识单元测试卷（A卷基础篇）【浙教版】参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019春•海港区期末）下列长度的三条线段，不能作为三角形的三边的是（）A．5，12，13 B．6，8，10 C．5，5，10 D．3，3，5【思路点拨】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进行判定即可．【答案】解：A、∵5+12＞13，∴能构成三角形；B、∵6+8＞10，∴能构成三角形；C、∵5+5＝10，∴不能构成三角形；D、∵3+3＞5，∴能构成三角形．故选：C．【点睛】此题主要考查学生对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．2．（3分）（2019春•海港区期末）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A等于（）A．100°B．90°C．60°D．30°【思路点拨】设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，根据三角形的内角和定理构建方程即可解决问题．【答案】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴可以假设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴6x＝180°，∴x＝30°，∴∠A＝30°，故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．3．（3分）（2019•万州区）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE ＝3cm，CD＝6cm，则BD的长为（）A．9cm B．6cm C．3cm D．不确定【思路点拨】先依据全等三角形的性质可求得BC＝EC＝3cm，然后可求得BD的长．【答案】解：∵如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝3cm，∴BC＝EC＝3cm．又∵CD＝6cm，∴BD＝BC+CD＝9cm．故选：A．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质．性质1：全等三角形的对应边相等．性质2：全等三角形的对应角相等．4．（3分）（2019春•侯马市期末）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．BF B．CF C．BD D．AE【思路点拨】根据三角形的高线的定义解答．【答案】解：根据高的定义，AE为△ABC中BC边上的高．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．5．（3分）（2019春•东莞市期末）下列命题中是真命题的是（）A．相等的两个角是对顶角B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥cD．在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a∥c【思路点拨】根据对顶角的性质、平行线的性质、平行线的判定方法判断即可．【答案】解：A、相等的两个角不一定是对顶角，是假命题；B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题；C、在同一平面内，如a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题；D、在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a∥c，是假命题；故选：C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6．（3分）（2019春•潍城区期末）如图，已知∠B＝∠D，AB＝ED，点D，C，F，B在同一直线上，要使△ABC ≌△EDF，则下列条件添加错误的是（）A．∠A＝∠E B．BF＝DC C．AC∥EF D．AC＝EF【思路点拨】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【答案】A、根据∠A＝∠E，∠B＝∠D，AB＝ED，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△EDF，故本选项错误；B、由BF＝DC得出BC＝DF，根据∠B＝∠D，BF＝DC，AB＝ED，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△EDF，故本选项错误；C、由AC∥EF，得出∠ACB＝∠EFD，根据∠B＝∠D，∠ACB＝∠EFD，AB＝ED，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△EDF，故本选项错误；D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△EDF，故本选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．7．（3分）（2019春•兰陵县期中）如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB＝AC＝CE，给出下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；④AB+BD＝DE．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】①根据等腰三角形三线合一的性质即可作出判断；②由于F在AE上，不一定是AE的中点，故无法作出判断；③无法证明∠1＝∠2；④根据等量关系即可作出判断．【答案】解：①∵D是BC的中点，AB＝AC，∴AD⊥BC，故①正确；②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC＝CE，∴无法证明CF⊥AE，故②错误；③无法证明∠1＝∠2，故③错误；④∵D是BC的中点，∴BD＝DC，∵AB＝CE，∴AB+BD＝CE+DC＝DE，故④正确．故其中正确的结论有①④，共两个．故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，以及三角形的中线的概念．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．8．（3分）（2019春•桂林期末）如图，AC＝BC，AE＝CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝7，BD＝2，则DE的长是（）A．7 B．5 C．3 D．2【思路点拨】根据垂直的定义得到∠AEC＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【答案】解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，∴∠AEC＝∠D＝90°，在Rt△AEC与Rt△CDB中，∴Rt△AEC≌Rt△CDB（HL），∴CE＝BD＝2，CD＝AE＝7，∴DE＝CD﹣CE＝7﹣2＝5，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．9．（3分）（2019春•沙县期末）一张△ABC纸片，点M、N分别是AB、AC上的点，若沿直线MN折叠后，点A落在AC边的下面A′的位置，如图所示．则∠1，∠2，∠A之间的数量关系是（）A．∠l＝∠2+∠A B．∠l＝2∠2+∠A C．∠l＝∠2+2∠A D．∠l＝2∠2+2∠A【思路点拨】两次利用三角形内角和定理的推论，即三角形的一个外角等于与它不相邻的开个内角的和，可以得到∠1、∠2、∠A之间的关系；【答案】解：如图：由折叠得：∠A＝∠A′，∵∠1是△MDA的外角，∴∠1＝∠A+∠MDA，同理：∠MDA＝∠2+∠A′，∴∠1＝∠A+∠2+∠A′，即：∠1＝2∠A+∠2，故选：C．【点睛】考查三角形内角和定理及推论的应用，善于从复杂的图形中，发现三角形的外角；识图能力的提高则显得尤为重要，同时也考查折叠，即轴对称的性质的理解和掌握．10．（3分）（2018秋•鲤城区校级期中）在△ABC中，高AD和BE所在的直线交于点H，且BH＝AC，则∠ABC 等于（）A．45°B．120°C．45°或135°D．45°或120°【思路点拨】根据题意画出两个图形，证△HBD≌△CAD，推出AD＝DB，推出∠DAB＝∠DBA，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠ABD，即可求出答案．【答案】解：分为两种情况：①如图1，∵AD、BE是△ABC的高，∴∠ADC＝∠BDH＝90°，∠BEC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，∠C+∠HBD＝90°，∴∠CAD＝∠HBD，在△HBD和△CAD中，∴△HBD≌△CAD（AAS），∴BD＝AD，∵∠ADB＝90°，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，②如图2，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠HDB＝∠AEH＝90°，∴∠H+∠HAE＝∠C+∠HAE＝90°，∴∠H＝∠C，∵在△HBD和△CAD中，，∴△HBD≌△CAD（AAS），∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA，∵∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019春•武胜县期末）把命题“同角的补角相等”改写成“如果…，那么…”的形式如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【思路点拨】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．【答案】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．故答案是：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键．12．（4分）（2019春•日照期末）三角形一边长为4，另一边长为7，且第三边长为奇数，则第三边的长为5，7，9 ．【思路点拨】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解．【答案】解：第三边的取值范围是大于3而小于11，又第三边长为奇数，故第三边的长为5，7，9．故答案为：5，7，9．【点睛】考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．还要注意第三边长为奇数这一条件．13．（4分）（2019•齐齐哈尔）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是AB＝DE（只填一个即可）．【思路点拨】添加AB＝DE，由BF＝CE推出BC＝EF，由SAS可证△ABC≌△DEF．【答案】解：添加AB＝DE；∵BF＝CE，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；故答案为：AB＝DE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，关键是注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．14．（4分）（2019春•牡丹区期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABC中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，AE＝6，则点B到ED的距离是 4 ．【思路点拨】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积，即可解答．【答案】解：∵AD是BC上的中线，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴S△ABE＝S△BED＝S△ABD，∴S△ABE＝S△ABC，∵△ABC的面积是24，∴S△ABE＝×24＝6．∵AE＝3，∴点B到ED的距离＝4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．15．（4分）（2019•简阳市模拟）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC 于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD 于点M，若∠ACD＝110°，求∠CMA的度数35°．【思路点拨】先根据平行线的性质得到∠BAC＝70°，再根据基本作图得到AM平分∠BAC，则∠BAM＝∠CAM＝35°，然后根据平行线的性质得∠CMA的度数．【答案】解：由作法得AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∵AB∥CD，∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣110°＝70°，∴∠BAM＝∠BAC＝35°，∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠BAM＝35°．故答案为35°．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的性质．16.（4分）（2018秋•鄞州区期末）如图，将三角形纸片（△ABC）进行折叠，使得点B与点A重合，点C与点A重合，压平出现折痕DE，FG，其中D，F分别在边AB，AC上，E，G在边BC上，若∠B＝25°，∠C＝45°，则∠EAG的度数是40 °．【思路点拨】依据三角形内角和定理，即可得到∠BAC的度数，再根据折叠的性质，即可得到∠BAE＝∠B＝25°，∠CAG＝∠C＝45°，进而得出∠EAG的度数．【答案】解：∵∠B＝25°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣25°﹣45°＝110°，由折叠可得，∠BAE＝∠B＝25°，∠CAG＝∠C＝45°，∴∠EAG＝110°﹣（25°+45°）＝40°，故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是180°．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2019春•皇姑区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝∠DEF，点D、E、F分别在AB、AC上，且BD＝CE．求证：DE＝EF．证明：（请将下面的证明过程补充完整）∵∠B+∠BDE+∠BED＝180°（三角形内角和定理）∠DEF+∠FEC+∠BED＝180°（平角的定义）∠B＝∠DEF（已知）∴∠BDE＝∠FEC（等量代换）在△BDE和△CEF中∠B＝∠C（已知）BD＝CE（已知）∠BDE＝∠FEC（已证）∴△BDE≌△CEF（ASA）（用字母表示）∴DE＝EF（全等三角形对应边相等）【思路点拨】由三角形内角和定理得出∠B+∠BDE+∠BED＝180°，由平角的定义得出∠DEF+∠FEC+∠BED ＝180°，由等量代换得出∠BDE＝∠FEC，由已知BD＝CE，由已证∠BDE＝∠FEC，由ASA证得△BDE≌△CEF，由全等三角形对应边相等得出DE＝EF．【答案】证明：∵∠B+∠BDE+∠BED＝180°（三角形内角和定理）∠DEF+∠FEC+∠BED＝180°（平角的定义）∠B＝∠DEF（已知）∴∠BDE＝∠FEC（等量代换）在△BDE和△CEF中∠B＝∠C（已知）BD＝CE（已知）∠BDE＝∠FEC（已证）∴△BDE≌△CEF（ASA）（用字母表示）∴DE＝EF（全等三角形对应边相等）故答案为：三角形内角和定理，平角的定义，等量代换，已知，已证，ASA，全等三角形对应边相等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、平角的定义、等量代换等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．18．（8分）（2019•惠安县一模）如图，AC⊥BD，DE交AC于E，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：AC＝AE+BC．【思路点拨】由“SAS”可证△ABC≌△DEC，可得BC＝CE，即可得结论．【答案】证明：∵AB＝DE，∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCE＝90°∴△ABC≌△DEC（AAS）∴BC＝CE，∵AC＝AE+CE∴AC＝AE+BC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．19. （8分）（2019春•溧水区期末）已知：如图，点B、F、C、D在一条直线上．AB＝DE，AB∥DE，BF＝CD．求证：AC∥EF．【思路点拨】先通过已知条件证明△ABC≌△EDF（SAS），然后通过全等条件判断角相等，进一步判断平行．【答案】解：∵BF＝CD．∴BF+CF＝CD+CF，即BC＝DF∵AB∥DE，∴∠B＝∠D．在△ABC和△EDF中，∵，∴△ABC≌△EDF（SAS），∴∠ACB＝∠DEF∴AC∥DF【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定，熟悉断定的方法是解答此题的关键．20. （10分）（2019•云南模拟）如图，在△ABC和△ADE中，∠B＝∠D，AC＝AE，∠1＝∠2，求证：BC＝DE．【思路点拨】先证出∠BAC＝∠DAE，根据AAS证明△ABC≌△ADE，即可得出结论．【答案】证明：∵∠1＝∠2，∵∠DAC+∠1＝∠2+∠DAC∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）∴BC＝DE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．21. （10分）（2019春•海州区期末）如图，CD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点，∠ECD＝∠EDC（1）求证：ED∥BC；（2）∠A＝30°，∠BDC＝65°，求∠DEC的度数．【思路点拨】（1）只要证明∠EDC＝∠BCD即可．（2）利用三角形内角和定理求出∠ECD即可解决问题．【答案】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠ECD＝∠EDC，∴∠EDC＝∠BCD，∴DE∥BC．（2）解：∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠A＝36°，∠BDC＝65°，∴∠ACD＝35°，∴∠EDC＝∠ECD＝35°，∴∠DEC＝180°﹣35°﹣35°＝110°．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（12分）（2019春•资阳期末）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝70°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，DF⊥AE于点F．（1）求∠BAE的度数；（2）求∠ADF的度数．【思路点拨】（1）由在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝70°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠BAE的度数；（2）由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠CAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF 的度数．【答案】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝78°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝39°；（2）∵AD⊥BC，∴∠CAD＝20°∴∠DAE＝39°﹣20°＝19°∵DF⊥AE，∴∠ADF＝90°﹣∠DAE＝71°【点睛】此题考查了三角形内角和定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用23. （12分）（2018秋•瑶海区期末）如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O．（1）在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并写出证明它们全等的过程．（2）求证：OD＝OC．【思路点拨】（1）由“SAS”可证△ABC≌△AED；（2）由全等三角形的性质可得∠ABC＝∠AED，BC＝DE，由等腰三角形的性质可得∠ABE＝∠AEB，可证OB＝OE，即可得OD＝OC．【答案】解：（1）全等三角形为：△ABC≌△AED理由如下：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC即∠BAC＝∠EAD，且AB＝AE，AC＝AD∴△ABC≌△AED（SAS）（2）由（1）知△ABC≌△AED∴∠ABC＝∠AED，BC＝DE∵AB＝AE∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE﹣∠ABC＝∠AEB﹣∠AED∴∠OBE＝∠0EB∴OB＝OE∴BC﹣OB＝DE﹣OE∴OD＝OC【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明OB＝OE是本题的关键．21 / 21。
2019年浙教新版八年级上册数学《第1章三角形的初步认识》单元测试卷(解析版)
2019年浙教新版八年级上册数学《第1章三角形的初步认识》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm2．画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（）A．B．C．D．3．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A．B．C．D．4．如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间，线段最短B．三角形的稳定性C．长方形的四个角都是直角D．四边形的稳定性5．下列作图语句正确的是（）A．延长线段AB到C，使AB＝BCB．延长射线ABC．过点A作AB∥CD∥EFD．作∠AOB的平分线OC6．如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS7．已知△ABC（AB＜AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上取一点P，使PA+PC＝BC，下列选项正确的是（）A．B．C．D．8．如图：有一块三角形状的土地平均分给四户人家，现有四种不同的分法，（如图中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是BF、AF的中点），其中正确的分法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种9．下列命题是真命题的是（）A．同旁内角互补B．三角形的一个外角等于两个内角的和C．若a2＝b2，则a＝bD．同角的余角相等10．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（）A．14分钟B．13分钟C．12分钟D．11分钟二．填空题（共8小题）11．如图，∠ADB是△和△的外角；以AC为一边长的三角形有个．12．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有个．13．若a、b、c是△ABC的三边，且a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，则△ABC最大边上的高是cm．14．如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是．15．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是．16．如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP＝，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）17．把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是．18．A、B、C、D、E、F六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B队比赛的球队是．三．解答题（共8小题）19．观察以下图形，回答问题：（1）图②有个三角形；图③有个三角形；图④有个三角形；…猜测第七个图形中共有个三角形．（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有个三角形（用n的代数式表示结论）．20．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．21．认真阅读，并回答下面问题：如图，AD 为△ABC 的中线，S △ABD 与S △ADC 相等吗？（友情提示：S △表示三角形面积）解：过A 点作BC 边上的高h ，∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝DC∵S △ABD ＝S △ADC ＝ ∴S △ABD ＝S △ADC（1）用一句简洁的文字表示上面这段内容的结论：（2）利用上面所得的结论，用不同的割法分别把下面两个三角形面积4等分，（只要割线不同就算一种）（3）已知：AD 为△ABC 的中线，点E 为AD 边上的中点，若△ABC 的面积为20，BD＝4，求点E 到BC 边的距离为多少？22．如图，利用尺规，在△ABC 的边AC 上方作∠CAE ＝∠ACB ，在射线AE 上截取AD ＝BC ，连接CD ，并证明：CD ∥AB （尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）．23．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图（1）中，在AB边上求作一点N，连接CN，使CN＝AM；（2）在图（2）中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ∥AM．24．某地拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉P到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请利用尺规作图作出音乐喷泉P的位置．（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，必须用铅笔作图）．25．如图所示，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D，E，F，C在同一条直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF；（1）请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题；（用序号写出命题的书写形式，如：如果⊗⊗，那么⊗）（2）说明你写的一个命题的正确性．26．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请你说明理由．2019年浙教新版八年级上册数学《第1章三角形的初步认识》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12cm，则它的最短边长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【分析】设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x﹣1）cm，根据三角形的周长即可求得x，进而求解．【解答】解：设大小处于中间的边长是xcm，则最大的边是（x+1）cm，最小的边长是（x ﹣1）cm．则（x+1）+x+（x﹣1）＝12，解得：x＝4，则最短的边长是：4﹣1＝3cm．故选：B．【点评】本题考查了三角形的周长，理解三边长的设法是关键．2．画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的高线的定义：过三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点与垂足之间的距离叫做三角形的高对各选项图形判断即可．【解答】解：由三角形的高线的定义，C选项图形表示△ABC中AC边上的高．故选：C．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记定义并准确识图是解题的关键．3．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A．B．C．D．【分析】连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC＝2：1，E 为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x＝2y+x+y，解得y＝x，再根据△ABC 的面积是1即可求得x、y的值，从而求解．【解答】解：连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC＝2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，∵BD：DC＝2：1，CE：AC＝1：2，∴△ABP的面积是4x．∴4x+x＝2y+x+y，解得y＝x．又∵4x+x＝，x＝．则四边形PDCE的面积为x+y＝．故选：B．【点评】此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．4．如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间，线段最短B．三角形的稳定性C．长方形的四个角都是直角D．四边形的稳定性【分析】在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断．【解答】解：在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性．故选：B．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．5．下列作图语句正确的是（）A．延长线段AB到C，使AB＝BCB．延长射线ABC．过点A作AB∥CD∥EFD．作∠AOB的平分线OC【分析】根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确的结论．【解答】解：A、应为：延长线段AB到C，BC＝AB，故本选项错误；B、射线本身是无限延伸的，不能延长，故本选项错误；C、过点A作只能作CD或EF的平行线，CD不一定平行于EF，故本选项错误；D、作∠AOB的平分线OC，正确．故选：D．【点评】此题主要考查图形中延长线、平行线、角平分线的画法，是基本题型，特别是A选项，应该是作出的等于原来的，顺序不能颠倒．6．如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．【解答】解：用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质．由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是：由OB＝OB得出△OBC≌△OAC（SSS）．故选：A．【点评】此题主要考查了基本作图，解题关键是掌握作角平分线的依据．7．已知△ABC（AB＜AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上取一点P，使PA+PC＝BC，下列选项正确的是（）A．B．C．D．【分析】由PB+PC＝BC和PA+PC＝BC易得PA＝PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断BN选项正确．【解答】解：∵PB+PC＝BC，而PA+PC＝BC，∴PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选：B．【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．8．如图：有一块三角形状的土地平均分给四户人家，现有四种不同的分法，（如图中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，G、H分别是BF、AF的中点），其中正确的分法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【分析】根据D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别是线段BD和AD的中点，利用三角形中位线定理，求证△ADF，△BDE，△DEF，△EFC是同底同高，然后即可证明其面积相等，其他3种情况，同理可得．【解答】解：∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴在图①中，DE＝AC，EF＝AB，DF＝BC，∴△ADF，△BDE，△DEF，△EFC是同底同高，∴根据三角形面积公式可得△ADF，△BDE，△DEF，△EFC面积相等．同理可得图②，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，G、H分别是线段BD和AD的中点．同理可得图③，图④中4个三角形面积相等，所以四种分法都正确．故选：D．【点评】此题主要考查三角形中位线定理和三角形面积的计算，难度不是很大，只是步骤繁琐，属于中档题．9．下列命题是真命题的是（）A．同旁内角互补B．三角形的一个外角等于两个内角的和C．若a2＝b2，则a＝bD．同角的余角相等【分析】根据平行线的性质对A进行判断；根据三角形外角性质对B进行判断；根据平方根的定义对C进行判断；根据余角的定义对D进行判断．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，所以A选项错误；B、三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和，所以B选项错误；C、若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，所以C选项错误；D、同角的余角相等，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．10．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜3分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开7分钟；（5）用烧开的水煮面条和菜要3分钟．以上各工序除（4）外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少用（）A．14分钟B．13分钟C．12分钟D．11分钟【分析】根据统筹方法，烧开水时可洗菜和准备面条及佐料，这样可以节省时间，所以小明所用时间最少为（1）、（4）、（5）步时间之和．【解答】解：第一步，洗锅盛水花2分钟；第二步，用锅把水烧开7分钟，同时洗菜3分钟，准备面条及佐料2分钟，总计7分钟；第三步，用烧开的水煮面条和菜要3分钟．总计共用2+7+3＝12分钟．故选：C．【点评】解决问题的关键是读懂题意，采用统筹方法是生活中常用的有效节省时间的方法，本题将数学知识与生活相结合，是一道好题．二．填空题（共8小题）11．如图，∠ADB是△ADC和△DFC的外角；以AC为一边长的三角形有4个．【分析】根据三角形和外角的定义在图形中找出相应的外角和三角形即可．【解答】解：根据图形可得：∠ADB是△ADC和△DFC的外角；以AC为一边长的三角形有：△ACF，△ADC，△ACB，△ACE，共4个；故答案为：ADC，DFC，4．【点评】此题考查了三角形，根据三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，在图形中找出以AC为一边长的三角形，要找出全部的三角形．12．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有6个．【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．【解答】解：∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．故答案为：6【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．13．若a、b、c是△ABC的三边，且a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，则△ABC最大边上的高是2.4cm．【分析】根据勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形，根据三角形的面积公式，求得斜边上的高即可．【解答】解：∵a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，∴△ABC是直角三角形，∵S△ABC ＝3×4÷2＝6cm2，∴S△ABC＝5×最大边上的高＝12，∴△ABC最大边上的高是2.4cm．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形面积的计算．14．如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是全等三角形，对应角相等．【分析】首先连接CE、DE，然后证明△OCE≌△ODE，根据全等三角形的性质可得∠AOE＝∠BOE．【解答】解：连接CE、DE，在△OCE和△ODE中，，∴△OCE≌△ODE（SSS），∴∠AOE＝∠BOE．因此画∠AOB的平分线OE，其理论依据是：全等三角形，对应角相等．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的方法．15．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．【分析】利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与原直线平行．【解答】解：给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．故答案为同位角相等，两直线平行．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了平行线的判定．16．如图，将线段AB放在边长为1的小正方形网格，点A点B均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB上画出点P，使AP＝，并保留作图痕迹．（备注：本题只是找点不是证明，∴只需连接一对角线就行）【分析】利用勾股定理列式求出AB＝，然后作一小正方形对角线，使对角线与AB 的交点满足AP：BP＝2：1即可．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝，所以，AP＝时AP：BP＝2：1．点P如图所示．【点评】本题考查了应用与设计作图，考虑利用相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键．17．把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果有两个角是等腰三角形的两个底角，那么这两个角相等．【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是等腰三角形的两个底角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果有两个角是等腰三角形的两个底角，那么这两个角相等，故答案为：如果有两个角是等腰三角形的两个底角，那么这两个角相等．【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．18．A、B、C、D、E、F六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E、五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没与B队比赛的球队是E．【分析】由已知，通过A比了5场，E比了1场运用排除法得到没与B队比赛的球队．【解答】解：A比了5场，所以A与E比过，又E只比了1场，而B比了4场，所以B与E没比过．故答案为：E．【点评】此题考查的知识点是推理与论证．此题解答的关键是由A比了5场一定与E比过，而E只比了1场得到答案．三．解答题（共8小题）19．观察以下图形，回答问题：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有（2n﹣1）个三角形（用n的代数式表示结论）．【分析】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形（2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数．【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形．（2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1；图③有5个三角形，5＝2×3﹣1；图④有7个三角形，7＝2×4﹣1；∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形．故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）．【点评】本题考查了图形的变化类﹣规律型，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．20．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；（3）由于AE是中线，那么BE＝CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE ﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB，易求其值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴AB•AC＝BC•AD，∴AD＝＝＝4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴S＝AB•AC＝×6×8＝24（cm2）．△ABC又∵AE是边BC的中线，∴BE ＝EC ，∴BE •AD ＝EC •AD ，即S △ABE ＝S △AEC ，∴S △ABE ＝S △ABC ＝12（cm 2）．∴△ABE 的面积是12cm 2．（3）∵AE 为BC 边上的中线，∴BE ＝CE ，∴△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC +AE +CE ﹣（AB +BE +AE ）＝AC ﹣AB ＝8﹣6＝2（cm ），即△ACE 和△ABE 的周长的差是2cm ．【点评】本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD ．21．认真阅读，并回答下面问题：如图，AD 为△ABC 的中线，S △ABD 与S △ADC 相等吗？（友情提示：S △表示三角形面积）解：过A 点作BC 边上的高h ，∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝DC∵S △ABD ＝S △ADC ＝ ∴S △ABD ＝S △ADC（1）用一句简洁的文字表示上面这段内容的结论： 三角形中线平分三角形的面积 （2）利用上面所得的结论，用不同的割法分别把下面两个三角形面积4等分，（只要割线不同就算一种）（3）已知：AD 为△ABC 的中线，点E 为AD 边上的中点，若△ABC 的面积为20，BD＝4，求点E 到BC 边的距离为多少？【分析】（1）根据推导过程，知三角形中线平分三角形的面积；（2）根据（1）的结论，知借助三角形的直线就可四等分三角形的面积；（3）根据（1）的结论求得△BED的面积，进一步根据三角形的面积公式求解．【解答】解：（1）三角形中线平分三角形的面积；（2）第一种方法：BE＝DE＝DF＝CF；第二种方法：BD＝CD，AE＝BE，AF＝CF．（3）∵AD为△ABC的中线，点E为AD边上的中点，若△ABC的面积为20，∴△BDE的面积＝×△ABC的面积＝5．又BD＝4，则点E到BC边的距离是2.5．【点评】此题要掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分的结论，并能灵活运用．22．如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）．【分析】利用基本作图（作一个角等于已知角）作∠CAE＝∠ACB，再截取AD＝BC，然后证明四边形ABCD为平行四边形，从而得到CD∥AB．【解答】解：如图，CD为所作；证明：∵∠EAC＝∠ACB，∴AD∥CB，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的判定与性质．23．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图（1）中，在AB边上求作一点N，连接CN，使CN＝AM；（2）在图（2）中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ∥AM．【分析】（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB＝MB；（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及对顶角相等可证△BMO≌DQO，所以QO＝MO，由于∠QOC＝∠MOA，CO＝AO，所以△COQ≌AOM，则∠QCO＝∠MAO，从而可得CQ∥AM．【解答】解：（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，如图1，（2）延长MO交ADE于Q，连结CQ，则CQ为所作，如图2．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．24．某地拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉P到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示．请利用尺规作图作出音乐喷泉P的位置．（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，必须用铅笔作图）．【分析】由题意可知，P在AB的垂直平分线上，且到C的距离等于AB的一半．【解答】解：如图，【点评】本题主要考查了设计与设计作图，得到点P是AB的垂直平分线与以点C为圆心，以AB的一半为半径的弧的交点是解决本题的关键．25．如图所示，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D，E，F，C在同一条直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF；（1）请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题；（用序号写出命题的书写形式，如：如果⊗⊗，那么⊗）（2）说明你写的一个命题的正确性．【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定，能不能成立，就看作为条件的关系式能不能证明△ADF≌△BCE，从而得到结论．（2）对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到∠AFD＝∠BEC，因为AD＝BC，∠A＝∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF＝CE，即得到DE ＝CF．【解答】解：（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①．（2）对于“如果①，③，那么②”证明如下：∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC．∵AD＝BC，∠A＝∠B，∴△ADF≌△BCE．∴DF＝CE．∴DF﹣EF＝CE﹣EF．即DE＝CF．对于“如果②，③，那么①”证明如下：∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC．∵DE＝CF，∴DE+EF＝CF+EF．即DF＝CE．∵∠A＝∠B，∴△ADF≌△BCE．∴AD＝BC．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS，SAS，ASA，AAS、HL等．编题然后选择，最后进行证明是现在比较多的一种考题，要注意掌握．26．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请你说明理由．【分析】由已知，1～19号运动员随意地站成一个圆圈，求出6组有顺次相邻的某3名运动员的号码的和，从每组都小于等于31，得6组的和与计算出6组的和矛盾确定一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．【解答】解：设在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a1，a2，a3，…，a18，a19，显然a1＝1，而a2，a3，…，a18，a19就是2，3，4，5，6，…，18，19的一个排列．令A1＝a2+a3+a4；A2＝a5+a6+a7；A3＝a8+a9+a10；A4＝a11+a12+a13；A5＝a14+a15+a16；A6＝a17+a18+a19；则A1+A2+A3+A4+A5+A6；＝a2+a3+a4+…+a17+a18+a19；＝2+3+4+…+17+18+19；＝189（*）．如果A1，A2，A3，A4，A5，A6中每一个都≤31，则有A1+A2+A3+A4+A5+A6≤6×31＝186，与（*）式矛盾．所以A1，A2，A3，A4，A5，A6中至少有一个大于31．为确定起见，不妨就是A1＞31，即a2+a3+a4＞31，但a2+a3+a4是整数，所以必有a2+a3+a4≥32成立．所以，一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．【点评】此题考查的知识点是推理与论证，同时也考查了学生对问题灵活处理的综合能力．解题的关键是求出6组有顺次相邻的某3名运动员的号码的和，从每组都小于等于31，得6组的和与计算出6组的和矛盾确定一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．。
三角形的初步认识 浙教版八年级数学上册单元检测试题(含答案)
第1章三角形的初步认识单元检测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 下列说法错误的是（）A.在同一个三角形中大边所对的角为大角B.角内部一点到角两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上C.在同一个三角形中等边所对的角为等角D.在直角三角形中，直角所对的边为直角边2. 三角形的三条高所在的直线相交于一点，这个交点的位置在（）A.三角形内B.三角形外C.三角形边上D.要根据三角形的形状才能定3. 如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A.ASAB.SSSC.SASD.AAS4. 能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是( )A.三角形的一条中线B.角平分线C.高线D.三角形的角平分线5. 如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为( )厘米．A.16B.18C.26D.286. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=10，DE=3，则△BCE的面积等于（）A.9B.13C.15D.307. 长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A.1种B.2种C.3种D.4种8. 下列作图语句正确的是（）A.过点P作线段AB的中垂线B.在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BCC.过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN // a // bD.过点P作直线AB的垂线9. 已知：如图△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≅△EBC；②∠BCE+∠BCD= 180∘；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF．其中正确的是( )A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④AC的长为半径作弧，两弧相交10. 如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，以大于12于M、N两点；作直线MN分别交BC、AC于点D、E．若AE＝6cm，△ABD的周长为26m，则△ABC的周长为（）A.32cmB.38cmC.44cmD.50cm二、填空题（本题共计7 小题，每题3 分，共计21分，）11. 命题“全等三角形的对应角相等“的逆命题是一个________命题（填“真“或“假“）．>1，则a>b.”是错误的，这组值可以是a=________，12. 用一组a，b的值说明命题"若abb=________．13. 如图是3×3网格图，每个小正方形的边长为1，请在网格图上找出一点C，补全格点三角形ABC（即三角形的三个顶点A、B、C均在小正方形的顶点上），使△ABC的每边长都是无理数（只要画出一个符合条件的三角形），并直接写出各边的长度和面积．AB=________；BC=________；CA=________；S△ABC=________．14. 如图，笔直的公路旁有A、B两车站，相距15km，C、D为同旁的两个村庄，DA⊥AB 于A，CB⊥AB于B，AD=10cm，CB=5cm，要在这段公路AB旁建一个公路管理站E，使C、D两村到公路管理站的距离相等，那么公路管理站E应建在距A站________km处．15. 三角形的高、中线和角的平分线不一定在三角形内部的线段是________．16. 现有一只鸡、一条狗、一筐菜和一条小船，一个人自已划船把鸡、狗、菜送到河对岸，要求一次只能带鸡、狗、菜中的一样，但是人不在时，鸡会吃菜，狗会吃鸡，若要完好地把鸡、狗、菜都送到对岸，至少需要划船往返________趟．17. 如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，=________cm2．则S阴影三、解答题（本题共计7 小题，共计69分，）18. 把下列各图分成若干个全等图形，请在原图上用虚线标出来．19. 已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C．求证：AF=DE．20. 如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=30∘，∠B=70∘，求∠DCE的度数．21. 如图，在△BCD中，BC=4，CD=2，线段BC绕点C沿顺时针方向旋转60∘到AC的位置，线段CD绕点C沿顺时针方向旋转60∘到CE的位置，连结AB，DE，AE，AE与BD交于点M．（1）求证：∠AMB=60∘；（2）若∠CDB=30∘，求BD的长．22. 如图所示，△ADF和△BCE中，∠A=∠B，点D，E，F，C在同一条直线上，有如下三个关系式：①AD=BC；②DE=CF；③BE // AF.(1)请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题；（用序号写出命题的书写形式，如：如果⊗⊗，那么⊗）(2)说明你写的一个命题的正确性．23. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，BE是△ABC的角平分线，ED⊥AB，垂足为D．(1)已知∠A=30∘，求∠BEC的度数.(2)已知CE=2，AB=4√3，求△ABE的面积.24. 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有________；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：在同一个三角形中，等边对等角，则大边对大角，所以A、C正确；由角平分线的判定可知到角两边距离相等的点，在角的平分线上，所以B正确；在直角三角形中，直角所对的边是斜边，所以D不正确；故选D．2.【答案】D【解答】解：A、直角三角形的高的交点即直角顶点，不在三角形内，错误；B、直角三角形的高的交点即直角顶点，不在三角形外，错误；C、锐角三角形的高的交点在三角形的内部，不在三角形边上，错误；D、锐角三角形的高的交点在三角形的内部，直角三角形的高的交点即直角顶点，钝角三角形的高所在的直线的交点在三角形的外部．即三角形的三条高所在的直线相交于一点，这个交点的位置要根据三角形的形状才能定，正确．故选D．3.【答案】B【解答】解：在△OCE和△ODE中，{CO=DO EO=EO CE=DE，∴△OCE≅△ODE(SSS)．故选：B．4.【答案】A【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成的两个三角形，底边相等，高是同一条高，∴分成的两三角形的面积相等．故选A.5.【答案】B【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE=CE，∴AE+BE=CE+BE=10，∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10厘米+8厘米=18厘米.故选B．6.【答案】C【解答】解：过E作EF⊥BC于F，∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，∴EF=DE=3，∵BC=10，×BC×EF=15，∴△BCE的面积为12故选C．7.【答案】C【解答】解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．故选C．8.【答案】D【解答】解：A、只有过线段中点的垂线才叫中垂线，P是任意一点，错误；B、应为在线段AB的延长线上取一点C，使BC=AB，错误；C、a和b的位置不一定是平行，错误．D、正确．故选D．9.【答案】D【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，{BD=BC，∠ABD=∠EBC，BA=BE，∴△ABD≅△EBC(SAS)，①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA.∵△ABD≅△EBC，∴∠BCE=∠BDA，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180∘，②正确；③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∴∠DCE=∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE=EC.∵△ABD≅△EBC，∴AD=EC，∴AD=AE=EC，③正确；④过E作EG⊥BC于G点，∵ E 是BD 上的点，∴ EF =EG .∵ 在Rt △BEG 和Rt △BEF 中，{BE =BE ，EF =EG ，∴ Rt △BEG ≅Rt △BEF(HL)，∴ BG =BF .∵ 在Rt △CEG 和Rt △AEF 中，{EF =EG ，AE =CE ，∴ Rt △CEG ≅Rt △AEF(HL)，∴ AF =CG ，∴ BA +BC =BF +FA +BG −CG =BF +BG =2BF ，④正确．综上，正确的是①②③④.故选D ．10.【答案】B【解答】∵ DE 垂直平分线段AC ，∴ DA ＝DC ，AE +EC ＝12(cm)，∵ AB +AD +BD ＝26(cm)，∴ AB +BD +DC ＝26(cm ，∴ △ABC 的周长＝AB +BD +BC +AC ＝26+12＝38(cm)，二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）11.【答案】假【解答】解：命题“全等三角形的对应角相等“的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，此逆命题为假命题．故答案为：假．12.【答案】−2（答案不唯一）,−1（答案不唯一）【解答】解：当a=−2，b=−1时，ab =−2−1=2>1，但此时a<b，故“若ab>1，则a>b.”是错误的.故答案为：−2；−1(答案不唯一).13.【答案】2√2,√2,√10,2【解答】解：AB=√8；BC1=√2；C1A=√10；S△ABC1=2．14.【答案】5【解答】解：设AE=xkm，由勾股定理，得102+x2=52+(15−x)2，x=5．故：E点应建在距A站5千米处．15.【答案】三角形的高【解答】解：因为在三角形中，它的中线、角平分线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高在三角形的外部．故答案为：三角形的高16.【答案】4【解答】解：第一次带鸡过河，剩下狗和菜；第二次带白菜过河，剩下狗，但回来的时候要把鸡再带回来；第三次带狗过河，剩下鸡；最后带狗过河．一共要带四次才可以完成．故答案为：4．17.【答案】1【解答】解：∵点D时BC的中点，∴△ABD的面积是△ABC的面积的一半，△ADC的面积是△ABC的面积的一半. ∵点E是AD的中点，∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD的面积的一半．则△BCE的面积是△ABC的面积的一半，即为2cm2．∵点F是CE的中点，∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm2．故答案为：1.三、解答题（本题共计7 小题，每题10 分，共计70分）18.【答案】【解答】19.【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中{AB=DC∠B=∠CBF=CE ∴△ABF≅△DCE(SAS)，∴AF=DE．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE，在△ABF和△DCE中{AB=DC∠B=∠CBF=CE ∴△ABF≅△DCE(SAS)，∴AF=DE．20.【答案】解：∵∠A=30∘，∠B=70∘，∴∠ACB=80∘∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=12∠ACB=40∘∵CE是AB边上的高∴∠ECB=90∘−∠B=90∘−70∘=20∘∴∠DCE=40∘−20∘=20∘．【解答】解：∵∠A=30∘，∠B=70∘，∴∠ACB=80∘∵CD平分∠ACB，∠ACB=40∘∴∠DCB=12∵CE是AB边上的高∴∠ECB=90∘−∠B=90∘−70∘=20∘∴∠DCE=40∘−20∘=20∘．21.【答案】【解答】此题暂无解答22.【答案】解：(1)如果①，③，那么②；如果②，③，那么①；(2)对于命题“如果①，③，那么②”证明如下：∵BE // AF，∴∠AFD=∠BEC．∵AD=BC，∠A=∠B，∴△ADF≅△BCE，∴DF=CE．∴DF−EF=CE−EF，即DE=CF；对于命题“如果②，③，那么①”证明如下：∵BE // AF，∴∠AFD=∠BEC．∵DE=CF，∴DE+EF=CF+EF，即DF=CE．∵∠A=∠B，∴△ADF≅△BCE，∴AD=BC．【解答】解：(1)如果①，③，那么②；如果②，③，那么①；(2)对于命题“如果①，③，那么②”证明如下：∵BE // AF，∴∠AFD=∠BEC．∵AD=BC，∠A=∠B，∴△ADF≅△BCE，∴DF=CE．∴DF−EF=CE−EF，即DE=CF；对于命题“如果②，③，那么①”证明如下：∵BE // AF，∴∠AFD=∠BEC．∵DE=CF，∴DE+EF=CF+EF，即DF=CE．∵∠A=∠B，∴△ADF≅△BCE，∴AD=BC．23.【答案】解：(1)由题可得，∠CBA=90∘−∠A=60∘.∵ BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE=30∘，∴∠BEC=90∘−∠CBE=60∘.(2)∵ BE平分∠CBA，∠C=90∘，ED⊥AB，∴ DE=CE=2，∴S△ABE=12⋅AB⋅DE=12×4√3×2=4√3.【解答】解：(1)由题可得，∠CBA=90∘−∠A=60∘.∵ BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE=30∘，∴∠BEC=90∘−∠CBE=60∘.(2)∵ BE平分∠CBA，∠C=90∘，ED⊥AB，∴ DE=CE=2，∴S△ABE=12⋅AB⋅DE=12×4√3×2=4√3.24.【答案】解：（1）甲、乙、丙；（2）答案不唯一．选甲：在△ABC 和△DEC 中{AC =DC∠ACB =∠ECD EC =BC，∴ △ABC ≅△DEC(SAS)， ∴ AB =ED ；选乙：∵ AB ⊥BD ，DE ⊥BD ， ∴ ∠B =∠CDE =90∘，在△ABC 和△EDC 中{∠ABC =∠EDCCB =CD ∠ACB =∠ECD，∴ △ABC ≅△EDC(ASA)， ∴ AB =ED ；选丙：在△ABD 和△CBD 中{∠ABD =∠CBDBD =BD ∠ADB =∠CDB，∴ △ABD ≅△CBD(ASA)， ∴ AB =BC ．【解答】解：（1）甲、乙、丙；（2）答案不唯一．选甲：在△ABC 和△DEC 中{AC =DC∠ACB =∠ECD EC =BC，∴ △ABC ≅△DEC(SAS)， ∴ AB =ED ；选乙：∵ AB ⊥BD ，DE ⊥BD ， ∴ ∠B =∠CDE =90∘，在△ABC 和△EDC 中{∠ABC =∠EDCCB =CD ∠ACB =∠ECD，∴ △ABC ≅△EDC(ASA)， ∴ AB =ED ；选丙：在△ABD 和△CBD 中{∠ABD =∠CBDBD =BD ∠ADB =∠CDB，∴△ABD≅△CBD(ASA)，∴AB=BC．。
最新2019-2020年度浙教版八年级数学上册《三角形的初步认识》单元检测题及答案解析-精品试题
《第1章三角形的初步知识》一、选择题1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm2．下列说法：①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角与一边对应相等的两个三角形全等；④两边与一角对应相等的两个三角形全等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，三角形的外角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠44．若三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形为（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定5．关于三角形的内角，下列判断不正确的是（）A．至少有两个锐角B．最多有一个直角C．必有一个角大于60°D．至少有一个角不小于60°6．下列四组中一定是全等三角形的是（）A．两条边对应相等的两个锐角三角形B．面积相等的两个钝角三角形C．斜边相等的两个直角三角形D．周长相等的两个等边三角形7．若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是（）A．AD平分∠BAC B．BD=DC C．AD平分BC D．BC=2DC8．如果三角形的一个内角等于其它两个内角的差，这个三角形是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．斜三角形9．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D，已知AB=3，AC=7，BC=8，则△ABD的周长为（）A．10 B．11 C．15 D．1210．已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形（）A．必定是钝角三角形B．必定是直角三角形C．必定是锐角三角形D．不可能是锐角三角形二、填空题11．在△ABC中，AB=3，BC=7，则AC的长x的取值范围是；等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为．12．如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为100cm2，则△ABD的面积是cm2．13．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是．14．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=70°，则∠BOC= °．15．如图，△ABC中，高BD、CE相交于点H，若∠A：∠ABC：∠ACB=3：2：4，则∠BHC= ．16．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（填SSS，SAS，AAS，ASA中的一种）．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，按要求完成下列画图，并用适当的符号在图中表示（可以不写作法，必须写出结论）：①△ABC的角平分线AD②AC边上的高③AB边上的中线．18．尺规作图：已知线段a，b和∠α．求作：△ABC，使BC=a，AC=b，∠C=∠α（画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论）19．如图：已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，且∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数．20．如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，试说明△ABD与△ACE全等．21．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：OB=OD．22．如图．在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的结沦，并说明理由．①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF．（填写序号即可）已知：；结沦：；理由：23．如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE=∠DBF，AC=BD．说出∠CAD=∠DBC的理由．24．求作一点P，使点P到∠A两边的距离相等，且点P到点D和点E的距离相等．（保留作图痕迹）《第1章三角形的初步知识》参考答案与试题解析一、选择题1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm【考点】三角形三边关系．【分析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差．【解答】解：A、2+2=4，故不选；B、2+3=5＜6，故不选；C、3+6=9＞8＞6﹣3=3，符合条件．D、4+6=10＜11，故不选．综上，故选；C．【点评】利用三边关系判断时，常用两个较小边的和与较大的边比较大小．两个较小边的和＞较大的边，则能组成三角形，否则，不可以．2．下列说法：①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角与一边对应相等的两个三角形全等；④两边与一角对应相等的两个三角形全等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定．【分析】根据三角形全等的判定方法分别对四个命题进行判断．【解答】解：三角对应相等的两个三角形不一定全等，所以①错误；三边对应相等的两个三角形全等，所以②正确；两角与一边对应相等的两个三角形全等，所以③正确；两边与它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以④错误．故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．3．如图，三角形的外角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形外角的定义解答．【解答】解：根据三角形外角的定义可知，∠3是此三角形的外角．故选C．【点评】本题考查三角形外角的定义．分析时要严格按照定义进行，要看清是一条边的延长线与它邻边的夹角才是三角形的外角．4．若三角形的一个外角小于和它相邻的内角，则这个三角形为（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．无法确定【考点】三角形的外角性质．【分析】三角形的一个外角＜与它相邻的内角，故内角＞相邻外角；根据三角形外角与相邻的内角互补，故内角＞90°，为钝角三角形．【解答】解：如图，∵∠1＜∠B，∠1=180°﹣∠B，∴∠B＞90°．∴△ABC是钝角三角形．故选：C．【点评】本题考查了三角形外角的性质．三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，可见外角与相邻的内角互补．5．关于三角形的内角，下列判断不正确的是（）A．至少有两个锐角B．最多有一个直角C．必有一个角大于60°D．至少有一个角不小于60°【考点】三角形内角和定理．【分析】可以利用反证的方法来判定各个命题是否正确．【解答】解：根据三角形的内角和定理，不正确的是：必有一个角大于60°．因为当三角形是等边三角形时三个角都相等，都是60度．故选C．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的内角和是180度．6．下列四组中一定是全等三角形的是（）A．两条边对应相等的两个锐角三角形B．面积相等的两个钝角三角形C．斜边相等的两个直角三角形D．周长相等的两个等边三角形【考点】全等三角形的判定．【分析】两边相等，面积相等，一边相等的直角三角形或者角相等的三角形都不能证明三角形全等．【解答】A、错误，两边相等，但锐角三角形的角不一定相等；B、错误，面积相等但边长不一定相等；C、错误，直角三角形全等的判别必须满足直角边相等；D、正确，等边三角形的三边一定相等，又周长相等，故两个三角形的边长分别对应相等．故选D．【点评】本题考查的全等三角形的判定；全等三角形的判别要求严格，条件缺一不可．做题时要结合已知与判定方法逐个验证排除．7．若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是（）A．AD平分∠BAC B．BD=DC C．AD平分BC D．BC=2DC【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形的中线的概念：连接三角形的顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线．【解答】解：A、AD平分∠BAC，则AD是△ABC的角平分线，故本选项错误；AD是△ABC的中线，则有BD=DC，AD平分BC，BC=2DC，故B、C、D正确．故选A．【点评】本题主要考查三角形的中线的概念，并能够正确运用几何式子表示是解本题的关键．8．如果三角形的一个内角等于其它两个内角的差，这个三角形是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．斜三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】三角形三个内角之和是180°，三角形的一个角等于其它两个角的差，列出两个方程，即可求出答案．【解答】解：设三角形的三个角分别为：α、β、γ，则由题意得：，解得：α=90°故这个三角形是直角三角形．故选C．【点评】本题考查的是三角形内家和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．9．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线交AC于点D，已知AB=3，AC=7，BC=8，则△ABD的周长为（）A．10 B．11 C．15 D．12【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】要求△ABD的周长，现有AB=3，只要求出AD+BD即可，根据线段垂直平分线的性质得BD=CD，于是AD+BD=AC，答案可得．【解答】解：∵DE垂直且平分BC∴CD=BD．AD+BD=AD+CD=7∴△ABD的周长：AB+BD+AD=10．故选A【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．对线段进行等效转移是正确解答本题的关键．10．已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形（）A．必定是钝角三角形B．必定是直角三角形C．必定是锐角三角形D．不可能是锐角三角形【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点．【解答】解：一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形不可能是锐角三角形．故选D．【点评】通过三角形的形状可以判断三角形高线的位置，反之，通过三条高线交点的位置可以判断三角形的形状．二、填空题11．在△ABC中，AB=3，BC=7，则AC的长x的取值范围是4＜x＜10 ；等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为17 ．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】（1）根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．（2）因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：（1）根据三角形的三边关系，得AC的长x的取值范围是7﹣3＜x＜7+3，即4＜x＜10．（2）分两种情况：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，所以等腰三角形的周长为17．故答案为：4＜x＜10；17．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．12．如图，AD是△ABC的中线，△ABC的面积为100cm2，则△ABD的面积是50 cm2．【考点】三角形的面积．【分析】根据等底等高的三角形面积相等可知，中线能把一个三角形分成两个面积相等部分．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为100cm2，∴△ABD的面积是S=50cm2．△ABC【点评】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的中线把一个三角形分成两个面积相等部分．13．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是75°．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角板的常数以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1的度数，再根据直角等于90°计算即可得解．【解答】解：如图，∠1=45°﹣30°=15°，∠α=90°﹣∠1=90°﹣15°=75°．故答案为：75°【点评】本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟知三角板的度数是解题的关键．14．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点O，若∠A=70°，则∠BOC= 125 °．【考点】三角形内角和定理．【分析】先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°，∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=55°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣55°=125°．故答案为：125．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180°．15．如图，△ABC中，高BD、CE相交于点H，若∠A：∠ABC：∠ACB=3：2：4，则∠BHC= 120°．【考点】三角形内角和定理．【分析】先设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∠A，∠ABC，∠ACB，在△ABD 中，利用三角形内角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性质，可求出∠BHC．【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：2：4，故设∠A=3x，∠ABC=2x，∠ACB=4x．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴3x+2x+4x=180°，解得x=20°，∴∠A=3x=60°．∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，∴在△ABD中，∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=30°+90°=120°．故答案为：120°【点评】本题考查了了三角形内角和定理、三角形外角的性质．三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．16．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是SSS （填SSS，SAS，AAS，ASA中的一种）．【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．【专题】计算题；三角形．【分析】利用全等三角形的判定方法判断即可．【解答】解：用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是SSS，故答案为：SSS．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角，按要求完成下列画图，并用适当的符号在图中表示（可以不写作法，必须写出结论）：①△ABC的角平分线AD②AC边上的高③AB边上的中线．【考点】作图—基本作图．【分析】①直接利用角平分线的作法得出AD；②直接利用垂线的作法得出BF即可；③首先得出AB的中点，进而得出答案．【解答】解：如图所示：①AD即为所求；②BF即为所求；③CE即为所求．【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握角平分线以及垂线的作法是解题关键．18．尺规作图：已知线段a，b和∠α．求作：△ABC，使BC=a，AC=b，∠C=∠α（画出图形，保留作图痕迹，不写作法，写出结论）【考点】作图—复杂作图．【分析】先作∠C=∠α，再在角的两边作AC=a，BC=b，连接即可．【解答】解．【点评】本题考查了三角形的一些基本画法．19．如图：已知△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，且∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．【专题】计算题．【分析】首先根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠EAC的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠DAC的度数，进而求∠DAE的度数．【解答】解：∵∠B=35°，∠C=65°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣35°﹣65°=80°．∵AE为∠BAC的平分线，∴∠EAC=∠BAC=×80°=40°．∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，在△ADC中，∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=180°﹣90°﹣65°=25°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣25°=15°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、垂直的定义等知识．20．如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，试说明△ABD与△ACE全等．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】由∠1=∠2，可得∠CAE=∠BAD，进而利用两边夹一角，证明全等．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE．【点评】本题考查了全等三角形的判定；能够熟练掌握三角形的判定方法来证明三角形的全等问题，由∠1=∠2得∠CAE=∠BAD是解决本题的关键．21．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：OB=OD．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据ASA证△ABC≌△ADC，推出AB=AD，根据等腰三角形的性质三线合一定理求出即可．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（ASA），∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，且∠1=∠2，∴OB=OD．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三线合一定理等知识点，注意：等腰三角形顶角的平分线平分底边．22．如图．在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的结沦，并说明理由．①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF．（填写序号即可）已知：①②④；结沦：③；理由：【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；开放型．【分析】本题考查的是全等三角形的判定，要根据全等三角形判定条件中的SAS，AAS，ASA，SSS等条件，来判断选择哪些条件可得出三角形全等，得出全等后又可得到什么等量关系．【解答】解：已知：①②④结论：③证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC．∴BC=EF．△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）．∴∠ABC=∠DEF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．23．如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE=∠DBF，AC=BD．说出∠CAD=∠DBC的理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】本题可通过全等三角形来证得．三角形CAB和DBA中，已知的条件有AC=BD，公共边AB，只要再证得这两组对应边的夹角相等即可得出三角形全等的结论，我们已知了∠CAE=∠DBF，那么他们的补角就应该相等，即∠CAB=∠DBA，这样就构成了两三角形全等的条件（SAS），就能得出两三角形全等了，也就得出∠CAD=∠DBC．【解答】证明：∵∠CAE=∠DBF（已知），∴∠CAB=∠DBA（等角的补角相等）．在△ABC和△DBA中AC=BD（已知），∠CAB=∠DBA，AB=BA（公共边），∴△ABC≌△DBA（SAS）．∴∠ABC=∠BAD（全等三角形的对应角相等）．∴∠CAB﹣∠BAD=∠DBA﹣∠ABC．即：∠CAD=∠DBC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题证明角相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，等角的补角相等．24．求作一点P，使点P到∠A两边的距离相等，且点P到点D和点E的距离相等．（保留作图痕迹）【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】先作出∠BAC的平分线AF，再作出线段DE的垂直平分线GH，则AF与GH 的交点P即为所求．【解答】解：如图所示，点P即为所求．【点评】本题主要考查了尺规作图中的复杂作图，解决问题的关键是掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法．。
浙教版八年级上册数学第一章认识三角形同步训练卷及答案
浙教版八年级上册数学第一章认识三角形同步训练卷姓名：_______________ 分数：_______________一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 下列各组数不可能是一个三角形的边长的是( )A．5，5，5 B．5，7，7 C．5，12，13 D．5，7，122.一个三角形的两个内角分别为60°和20°，则这个三角形是( )A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定3. 已知一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长不可能的是( )A．2 B．3 C．4 D．14. 已知等腰三角形(有两条边相等)的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是( ) A．13 B．17 C．22 D．17或225.下列各图中，正确画出AC边上的高的是( )6.如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有( )①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）7. 如图，一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E ＝30°.则∠BFD的度数是____．8. 如图，已知BE和CF是△ABC的两条高，∠ABC＝48°，∠ACB＝76°，则∠FDE＝____．9. △ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝____．10. 如图，∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA，BE⊥CE，∠ABE＝15°，则∠ACE＝____．11.如图，∠1＝2∠2，∠3＝2∠4，∠5＝2∠6，E，C，F在同一条直线上，若∠A＝63°，则∠E＝____，∠F＝____.12.如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是16 cm2，则阴影部分的面积等于____cm2.三、解答题（共40分）13. 已知a，b，c分别是△ABC的三边，化简：|a＋b＋c|＋|a＋c－b|－|c－a－b|.14. 如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度数．15.平面上有n个点(n≥3)，任意三点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作多少个不同的三角形？(1)分析：当有3个点时，可作____个三角形；当有4个点时，可作____个三角形；当有5个点时，可作____个三角形…(2)请归纳点的个数n和可以作出三角形的个数S n的关系．16.“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形．记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于0且小于4的整数个单位长度，用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形．参考答案7. 15°8. 124°9. 40°10. 60°11. 21° 99°12. 413. 根据三角形的三边关系得a ＋b ＋c ＞0，a ＋c －b ＞0，c －a －b ＜0. ∴原式＝a ＋b ＋c ＋a ＋c －b －a －b ＋c ＝a －b ＋3c .14. ∵AD 是BC 边上的高，∠EAD ＝5°， ∴∠AED ＝85°， ∵∠B ＝50°， ∴∠BAD ＝40°， ∴∠BAE ＝35°，∵AE 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAC ＝2∠BAE ＝70°，∴∠C ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－50°－70°＝60°.15. (1)当n ＝3时，可作出的三角形的个数S 3＝3×2×16＝1；当n ＝4时，可作出的三角形的个数S 4＝4×3×26＝4；当n ＝5时，可作出的三角形的个数S 5＝5×4×36＝10；(2)当点的个数是n 时，可作出的三角形的个数S n ＝n （n －1）（n －2）6.16. 先对a ，b 两条边进行取值，再根据a ，b 的长度结合三角形三条边之间的关系对c 进行取值，列举出所有的可能性即可．当a ＝1，b ＝1时，c ＝1； 当a ＝1，b ＝2时，c ＝2；当a＝1，b＝3时，c＝3；当a＝2，b＝2时，c＝2或3；当a＝2，b＝3时，c＝3，当a＝3，b＝3时，c＝3.所以满足条件的三角形为(1，1，1)，(1，2，2)，(1，3，3)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)，(3，3，3).。
2019-2020年浙教版数学八年级上册第一章：三角形的初步知识 试题
浙教版数学八上第一章：三角形的初步知识 试题、答案一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．在一个三角形的三个外角中，钝角的个数最多有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个2．如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B =∠C ，则再添加下列条件，仍无法判定△ABE ≌△ACD的是（ ）A ．AD =AE B.AB =AC C.BE =CD D.∠AEB =∠ADC3.已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 104.尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧分别交OA ，OB 于点C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ∆≅∆的根据是（ ）A. SASB. ASAC. AASD. SSS5.如图，AD 是ABC ∆的中线，点E ，F 分别在AB ，AC 上（点E ，F 不与端点重合），且DE DF ⊥.则线段BE ，CF ，EF 的关系是（ ）A.EF CF BE >+B. EF CF BE <+C. EF CF BE =+D. CF BE +与EF 的大小关系不确定6.如图△ABC ，AC=BC ，∠ACB=90°，AD 为角平分线，延长AD 交BF 于E ，E 为BF 中点，下列结论错误的是（ ）A. AD=BFB. CF=CDC. AC+CD=ABD. BE=CF7．如图, AD是ABC△的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE DF=，连结BF，CE．下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③B F∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8.如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2 ,依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）A. 19.2°B. 8°C. 6°D. 3°9.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 610．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！x-，11.一个三角形的三条边的长分别是5,7,10，另一个三角形的三条边的长分别是5，21+的值是________________ 1y+，若这两个三角形全等，则x y12.如图，AD 平分BAC ∠，AB AC =，BF 与CE 交于点D ，则图中有 对全等三角形.13．如图,ΔABC 中,DE 是AC 的中垂线,AE =5cm,ΔABC 的周长为30 cm,则ΔABD 的周长是___________14.如图(a )，已知AB ＝AC ，D 为∠BAC 的平分线上一点，连结BD ，CD ；如图(b )，已知AB ＝AC ，D ，E 为∠BAC 的平分线上两点，连结BD ，CD ，BE ，CE ；如图(c )，已知AB ＝AC ，D ，E ，F 为∠BAC 的平分线上三点，连结BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ，…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形________对15.如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、BC 上的点，AD=2BD ，BE=CE ，若S △ABC =6，设△ADF 的面积为S 1 ， △CEF 的面积为S 2， 则S 1-S 2的值是_______16.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF(E 在BC 上，F 在AC 上)折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC ＝________三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17（本题6分）.尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置点P，到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．18（本题8分）．如图，AD是△ABC的高线，AE是角平分线，若∠BAC︰∠B︰∠C＝6︰3︰1，求∠DAE的度数．19（本题8分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB边上的一点，DE⊥AB于点D，交AC于点M，且ED＝AC，过点E作EF∥BC分别交AB，AC于点F，N．（1）试说明：△ABC≌△EFD．（2）若∠A＝25°，求∠EMN的度数．20（本题10分）如图，把一个直角三角形ACB (∠ACB ＝90°)绕着顶点B 顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB 边上的一点D ，点A 旋转到点E 的位置.F ，G 分别是BD ，BE 上的点，BF ＝BG ，延长CF 与DG 交于点H . (1)求证：CF ＝DG ； (2)求出∠FHG 的度数.21（本题19分）已知，如图，点A 、D 、B 、E 在同一直线上，AC=EF ，AD=BE ，∠A=∠E ，（1）求证：△ABC ≌△EDF ；（2）当∠CHD=120°，猜想△HDB 的形状，并说明理由．22（本题12分）.如图，在ABC ∆中，如果BD ，CE 分别是ABC ∠，ACB ∠的平分线且他们相交于点P ，设A n ∠=︒.（1）当50n =时，求CPD ∠的度数.（2）求BPC ∠的度数，（用含n 的代数式表示）.（3）当60n =时，求证：BC CD BE =+.23.（本题12分）如图，在⊿ABC中，∠B=∠C，已知AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？答案三．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.答案：A解析：当一个三角形的三个内角均为锐角时，三个外角都为钝角，故最多3个，故选择A2.答案：D解析：两三角形全等必须有边对应相等，现在已知的是C B ∠=∠，DAC BAE ∠=∠ 故选项A ，B ，C 均提供了边相等，故选择D3.答案：C解析：设第三条边长为x ，∴53<<x ，∵x 长为整数，∴4=x ，∴周长为9441=++，故选择C4.答案：D解析：在画图过程中得到：OP OP DP CP OC OD ===,,，∴两三角形全等的理由为（SAS ），故选择D5.答案：A解析：过C 作AB CH //交ED 的延长线于H ，连接FH ，∴,HCD EBD ∠=∠∵HDC EDB DC BD ∠=∠=,∴△EDB ≌△HCD ，∴CH BE =，DH DE =，∵DF DE ⊥，∴DF 是线段EH 的垂直平分线，∴FH EF =，∵在△FCH 中，FH HC FC >+∴EF BE FC >+，故选择A6.答案：D解析：过点E 作EH ⊥AB 于H ，作EG ⊥AF 于G ，则∠EHB=∠EGF=90°，∵AD 为角平分线，∴EH=EG ，又∵E 为BF 中点，∴EB=EF ，∴Rt △EHB ≌Rt △EGF （HL ），∴∠BEH=∠FEG ，∵∠EAH=∠EAG ，∠EHA=∠EGA ，∴∠AEH=∠AEG ，∴∠AEB=∠AEF=90°，即AE ⊥BF ，又∵∠ACB=90°，∠ADC=∠BDE ，∴∠CAD=∠CBF ，在△ACD 和△BCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BCFACD BC AC CBFCAD ，∴△ACD ≌△BCF （ASA ），∴AD=BF ，CD=CF ，故A 、B 选项正确；∴AC+CD=AC+CF=AF ，又∵AE 垂直平分BF ，∴AF=AB ，∴AC+CD=AB ，故C 正确；∵EF ＞CD ，∴BE ＞CF ，故D 错误．故选：D ．7.答案：D解析：∵AD 是中线，∴CD BD =，∵DF DE =，BDF CDE ∠=∠，∴△BDF ≌△CDE （SAS ）∴BF CE =，故①④正确； ∵CD BD =，∴△ABD 和△ACD 面积相等，故②正确；∵△BDF ≌△CDE ，∴DCE DBF ∠=∠，∴BF CE //，故③正确；故正确答案①②③④，故选择D8.答案：D解析：∵∠BA 1C+∠A 1BC=∠A 1CD ，2∠A 1CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC ，∴2（∠BA 1C+∠A 1BC ）=∠BAC+∠ABC ，2∠BA 1C+2∠A 1BC=∠BAC+∠ABC ．∵2∠A 1BC=∠ABC ，∴2∠BA 1C=∠BAC ．同理，可得2∠BA 2C=∠BA 1C ，2∠BA 3C=∠BA 2C ，2∠BA 4C=∠BA 3C ，2∠BA 5C=∠BA 4C ， ∴∠BA 5C=21∠BA 4C=41∠BA 3C=81∠BA 2C=161∠BA 1C=321∠BAC=96°÷32=3°． 故答案为：D ．9.答案：B解析：∵BC AD ⊥，045=∠ABD ，∴AD BD =，∴090=∠=∠ADC BDF ，0090,90=∠+∠=∠+∠FBD C FBD BFD ， ∴C BFD ∠=∠，∴△BDF ≌△ADC ，∴4==DC FD ，故选择B10.答案：A解析：∵△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2的周长相等，A 1B 1＝A 2B 2，A 1C 1＝A 2C 2∴2211C B C B =，∴△111C B A ≌△222C B A （SAS ）故①正确；∵若∠A 1＝∠A 2，∠B 1＝∠B 2，只能得到21C C ∠=∠，周长相等不能得到位对应边相等，故无法判断两三角形全等，故②错误，故选择A四．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.答案：5.11或13解析：∵一个三角形的三条边的长分别是5,7,10，另一个三角形的三条边的长分别是5，21x -，1y +，若这两个三角形全等，∴⎩⎨⎧=+=-101712y x 或⎩⎨⎧=+=-711012y x解得：⎩⎨⎧==94y x 或⎪⎩⎪⎨⎧==6211y x ，∴13=+y x 或5.11=+y x12.答案：4对解析：△AED ≌△AFD ，△ADB ≌△ADC ，△EDB ≌△FDC ，△AEC ≌△AFB 共四对13.答案：20解析：∵DE 是AC 的中垂线，∴5==EC AE ，DA DC =，∵3010=++BC AB ，∴20=++=++AD BD AB DC BD AB14.答案：()21+n n解析：第一个图有全等三角形1对，第二个图有全等三角形3对，即213+=， 第三个图有全等三角形6对，即3216++=，......第n 个图有全等三角形()21...321+=++++n n n 对，15.答案：1解析：∵AD=2BD,6=∆ABC S ,∴42==∆∆BCD ACD S S ,∵EC EB =,∴3==∆∆ACE ABE S S ,∴3,421=+=+∆∆AFC AFC S S S S ,∴13421=-=-S S16.答案：0108解析：如图，连接OB 、OC ，∵ ，AO 为∠BAC 的平分线，又∵AB=AC ，∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ，∵AO 为∠BAC 的平分线，AB=AC ，∴△AOB ≌△AOC(SAS)，∴OB=OC ，∵将∠C 沿EF(E 在BC 上,F 在AC 上)折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE=CE ，在△OCE 中,故答案为：108°三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.解析：（1）①分别以A 、D 为圆心，以大于 21AD 为半径画圆，两圆相交于E 、F 两点； ②连接EF ，则EF 即为线段AD 的垂直平分线．（ 2 ）①以B 为圆心，以大于任意长为半径画圆，分别交AB 、BC 为G 、H ；②分别以G 、H 为圆心，以大于 21GH 为半径画圆，两圆相交于点I ，连接BI ，则BI 即为∠ABC 的平分线．③BI 与EF 相交于点P ，则点P 即为所求点．18.解析：∵ ∠C ＝180°×1361++＝18°，∴ ∠B ＝3×18°＝54°，∠BAC ＝6×18°＝108°．∵ AD 是高线，∴ ∠ADB ＝90°，∴ ∠BAD ＝180°－90°－54°＝36°．∵ AE 是角平分线，∴ ∠BAE ＝21∠BAC ＝21×108°＝54°，∴ ∠DAE ＝∠BAE －∠DAE ＝54°－36°＝18°．19.解析：（1）∵DE ⊥AB 于点D ，∴∠EDF ＝90°．∵∠C ＝90°，∴∠C ＝∠EDF ．∵EF ∥BC ，∴∠B ＝∠EFD ．在△ABC 和△EFD 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠ED AC EFD B EDF C∴△ABC ≌△EFD (AAS )．（2）∵∠EDF ＝90°，∴∠ADM ＝180°－∠EDF ＝90°．在△ADM 中，∠A ＋∠AMD ＋∠ADM ＝180°，且∠A ＝25°， ∴∠AMD ＝180°－∠A －∠ADM ＝65°．∴∠EMN ＝∠AMD ＝65°．20.解析：(1)∵在△CBF 和△DBG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BGBF DBG CBF BDBC ，∴△CBF ≌△DBG (SAS)，∴CF ＝DG ；（2）∵△CBF ≌△DBG ，∴∠BCF ＝∠BDG ，又∵∠CFB ＝∠DFH ，又∵△BCF 中，∠CBF ＝180°－∠BCF －∠CFB ，△DHF 中，∠DHF ＝180°－∠BDG －∠DFH ，∴∠DHF ＝∠CBF ＝60°，∴∠FHG ＝180°－∠DHF ＝180°－60°＝120°.21解析：（1）∵AD=BE ，∴AB=ED ，在△ABC 和△EDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=ED AB E A EF AC ，∴△ABC ≌△EDF （SAS ）；（2）∵△ABC ≌△EDF ，∴∠HDB=∠HBD ，∵∠CHD=∠HDB+∠HBD=120°，∴∠HBD=∠HDB=60°，∴△DHB 是等边三角形．22.解析：（1）∵BD 是ABC ∠的平分线∴112ABC ∠=∠ 同理122ACB ∠=∠ ∴112()2ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ∴112(180)2CPD A ∠=∠+∠=︒-∠ 当50n =时， 11(180)=(18050)6522CPD A ∠=︒-∠︒-︒=︒ 即65CPD ∠=︒（2）∵112()2ABC ACB ∠+∠=∠+∠， ∴1180(180)2BPC n ︒-∠=︒-︒ ∴1902BPC n ∠=︒+︒ （3）在线段BC 上截取CG ，使得CG CD =当60n =时， 11(180)=(18060)6022CPD A ∠=︒-∠︒-︒=︒ 190=1202BPC n ∠=︒+︒︒ 在CPD ∆与CPG ∆中CD CG PCD GCP PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CPD CPG ∆≅∆ （SAS ）∴ 60CPG CPD ∠=∠=︒60BPG BPC CPG ∠=∠-∠=︒又∵60BPE CPD ∠=∠=︒∴BPE BPG ∠=∠在BEP ∆与BGP ∆中BPE BPG BP BPEBP GBP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEP BGP ∆≅∆ （ASA ）∴BE BG =∴BC BG GC BE CD =+=+，即BC BE CD =+。
2019秋浙教版八年级上册数学同步测试题：第一章三角形的初步认识复习课含答案
2019秋浙教版八年级上册数学同步测试题：第一章三角形的初步认识复习课类型之一三角形的有关概念1．如图1，△ABC的角平分线BD与中线CE相交于点O.有下列两个结论：①BO是△CBE的角平分线；②CO是△CBD的中线．其中(A)图1A．只有①正确B．只有②正确C．①和②都正确D．①和②都不正确类型之二三角形的三边关系2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是(D)A．3 cm，4 cm，8 cmB．8 cm，7 cm，15 cmC．5 cm，5 cm，11 cmD．13 cm，12 cm，20 cm3．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是(C)A．5 B．6 C．12 D．16类型之三三角形的内角和与外角4．[永定区期中]如图2，在△ABC中，∠A＝56°，∠ABD＝30°，∠ACB＝70°，且CE平分∠ACB，求∠DEC的度数．图2解：在△ABC中，∵∠A＝56°，∠ACB＝70°，∴∠ABC＝54°，∵∠ABD＝30°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝24°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝12∠ACB＝35°，∴在△BCE中，∠DEC＝∠CBD＋∠BCE＝59°.类型之四全等三角形的概念与性质5．如图3，△ABC≌△DEC，∠A＝70°，∠ACB＝60°，则∠E的度数为(B)图3A ．70°B ．50°C ．60°D ．30°类型之五 全等三角形的判定6．如图4，已知AB ＝BC ，要使△ABD ≌△CBD ，还需要加一个条件，你添加的条件是__AD ＝CD 或∠ABD ＝∠CBD __．(只需写一个，不添加辅助线)图47．如图5，在△ABC 和△CED 中，AB ∥CD ，AB ＝CE ，AC ＝CD .求证：∠B ＝∠E .图5证明：∵AB ∥CD ， ∴∠DCE ＝∠CAB . 在△ABC 和△CED 中，⎩⎨⎧AB ＝CE ，∠CAB ＝∠DCE ，AC ＝CD ，∴△ABC ≌△CED ，∴∠B ＝∠E .8．如图6，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC ＝BD ，∠A ＝∠B ，∠ADE ＝∠BCF ，求证：DE ＝CF .图6证明：∵AC ＝BD ，∴AC ＋CD ＝BD ＋CD ，∴AD ＝BC ， 在△AED 和△BFC 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，AD ＝BC ，∠ADE ＝∠BCF ，∴△AED ≌△BFC (ASA )，∴DE ＝CF . 类型之六 角平分线的性质9．如图7，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上，添加下列条件，不能判定△POC ≌△POD 的选项是( D )图7A ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB B ．OC ＝OD C ．∠OPC ＝∠OPD D ．PC ＝PD【解析】A．PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO＝∠PDO＝90°，根据AAS判定△POC≌△POD；B．OC＝OD，根据SAS判定△POC≌△POD；C．∠OPC＝∠OPD，根据ASA判定△POC≌△POD；D．PC＝PD，根据SSA不能判定△POC≌△POD，故选D.10．如图8，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)图8A．8 B．6 C．4 D．2类型之七线段的垂直平分线11．如图9，△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，BC＝12 cm.求△ADE的周长．图9解：∵DF是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，同理AE＝EC，∴△ADE的周长是AD＋AE＋ED＝BD＋CE＋DE＝BC＝12 cm。
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《第1章三角形的初步认识》一、填空题（本题有10个小题，每小题4分，共40分）1．三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等腰三角形2．已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．93．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°4．如图，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．32.5°C．35°D．37.5°5．如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°6．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线交点7．如图，△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，如果∠1=145°，那么∠B的度数为（）A．35°B．25°C．45°D．55°8．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，AF⊥BC于F，则图中全等三角形的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°10．已知如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE、AF交于点O．现有以下结论：=．①DE∥BC；②OD=BC；③AO=FO；④S△AOD其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、认真填一填（本题有8个小题，每小题4分，共32分）11．若三角形的两边长分别为3、4，且周长为整数，这样的三角形共有个．12．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为．13．在△ABC中，点D是AB边的中点，点E是AC边的中点，连接DE，若BC=4，则DE= ．14．如图，为估计池塘岸边A ，B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点O ，分别取OA ，OB 的中点M ，N ，测得MN=32m ，则A ，B 两点间的距离是 m ．15．如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF= ．16．如图，将△ABC 沿它的中位线MN 折叠后，点A 落在点A′处，若∠A=28°，∠B=130°，则∠A′NC= °．17．如图，△ABC 中，∠1+∠2+∠3= 度，∠4+∠5+∠6= 度．18．如图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2=B 1A 2，连接A 2B 2…按此规律上去，记∠A 2B 1B 2=θ1，∠A 3B 2B 3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn ，则（1）θ1= ；（2）θn = ．三、解答题（本题有8个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．）19．已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．求证：BC=DE．20．三角形内角和等于．（2）请证明以上命题．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．22．如图，在△ABC中，已知∠B=∠C．（1）尺规作图：作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（作图不写作法，但保留作图痕迹）；（2）猜想：“若∠A=36°，则△ABD和△BDC都是等腰三角形”．请你通过计算说明猜想是否成立．23．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．24．在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．25．问题：如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，则∠BEC= ；若∠A=n°，则∠BEC= ．探究：（1）如图2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC= ；（2）如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，则∠BEC= ；（3）如图4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n°，则∠BEC= ．26．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC 和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若，则△ABC ≌△DEF．《第1章三角形的初步认识》参考答案与试题解析一、填空题（本题有10个小题，每小题4分，共40分）1．三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（）A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等腰三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】三角形三个内角之和是180°，三角形的一个角等于其它两个角的差，列出两个方程，即可求出答案．【解答】解：设三角形的三个角分别为：a°、b°、c°，则由题意得：，解得：a=90，故这个三角形是直角三角形．故选：B．【点评】本题主要考查了直角三角形的有关性质，可利用方程进行求解．关键是掌握三角形内角和为180°．2．已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．9【考点】三角形三边关系；解一元一次不等式组．【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值．【解答】解：5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，则x的不可能的值是9，故选D．【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．3．如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°【考点】全等三角形的判定．【分析】本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后则不能．【解答】解：A、添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；B、添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；C、添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；D、添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．如图，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．32.5°C．35°D．37.5°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质求出∠EOB，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：设AB、CE交于点O．∵AB∥CD，∠C=65°，∴∠EOB=∠C=65°，∵∠E=30°，∴∠A=∠EOB﹣∠E=35°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠EOB的度数和得出∠A=∠EOB﹣∠E．5．如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】因为AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC．又因为∠C=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C．【解答】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（内错角相等），又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故选B．【点评】本题比较简单，考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系．6．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线交点【考点】角平分线的性质．【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到△ABC的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择．【解答】解：∵到△ABC的三条边距离相等，∴这点在这个三角形三条角平分线上，即这点是三条角平分线的交点．故选B．【点评】此题主要考查了三角形的角平分线的性质：三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．7．如图，△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，如果∠1=145°，那么∠B的度数为（）A．35°B．25°C．45°D．55°【考点】平行线的性质；直角三角形的性质．【分析】先根据平角的定义求出∠EDC的度数，再由平行线的性质得出∠C的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数．【解答】解：∵∠1=145°，∴∠EDC=180°﹣145°=35°，∵DE∥BC，∴∠C=∠EDC=35°，∵△ABC中，∠A=90°，∠C=35°，∴∠B=180°﹣90°﹣35°=55°．故选：D．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．8．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，AF⊥BC于F，则图中全等三角形的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的判定．【分析】因为AB=AC，AF⊥BC，所以F为BC的中点，BF=F，又因为BD=EC，所以有BE=DC，DF=FE，然后根据SSS或HL可得．【解答】解：因为AB=AC，AF⊥BC，所以F为BC的中点，BF=FC，又因为BD=EC，所以有BE=DC，DF=FE，因为AB=AC，AF⊥BC，AF=AF，根据HL，可得△ABF≌△AFC；AF=AF，DF=EF，AF⊥DE，根据HL，可得△ADF≌△AEF，AD=AE；AD=AE，BD=EC，AB=AC，根据SSS可得△ABD≌△ACE；AF=AF，DF=EF，AF⊥BC，根据HL可得△ADF≌△AEF；AB=AC，AD=AE，BE=CD，根据SSS可得△ABE≌△ACD；所以有4对全等三角形．故选D．【点评】本题考查了全等三角形的判定；要注意的问题是：不要忽视△ABE≌△ACD．做题时要从已知条件开始思考，结合图形，利用全等三角形的判定方法由易到难逐个寻找，做到不重不漏．9．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD．【解答】解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE ∥AB ，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选：C ．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．10．已知如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线，DE 、AF 交于点O ．现有以下结论：①DE∥BC ；②OD=BC ；③AO=FO；④S △AOD =．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【分析】①根据三角形中位线定理进行判断；②由相似三角形△ADO ∽△ABF 的对应边成比例、三角形中线的定义进行判断； ③由相似三角形△ADO ∽△ABF 的对应边成比例进行判断；④由相似三角形△ADO ∽△ABF 的面积之比等于相似比的平方进行判断．【解答】解：①如图，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ．故①正确；②如图，∵由①知，DE ∥BC ，∴△ADO ∽△ABF ，∴==，则OD=BF ．又AF 是BC 边上的中线，∴BF=CF=BC ，∴OD=BC ．故②正确；③∵由②知，△ADO ∽△ABF ，∴==，∴AO=AF ，∴AO=FO ．故③正确；④∵由②知，△ADO ∽△ABF ，∴=（）2=（）2=，∴S △AOD =S △ABF ．又∵AF 是BC 边上的中线，∴S △ABF =S △ABC ，∴S △AOD =S △ABC ．故④错误．综上所述，正确的结论是①②③，共3个．故选：C ．【点评】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质．此题利用了“相似三角形的对应边成比例、相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的性质．二、认真填一填（本题有8个小题，每小题4分，共32分）11．若三角形的两边长分别为3、4，且周长为整数，这样的三角形共有 5 个．【考点】三角形三边关系；一元一次不等式组的整数解．【分析】设第三边的长为x ，根据三角形的三边关系的定理可以确定x 的取值范围，进而得到答案．【解答】解：设第三边的长为x ，则4﹣3＜x ＜4+3，所以1＜x ＜7．∵x 为整数，∴x 可取2，3，4，5，6．故答案为5．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．12．如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为130°．【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠C=∠A，再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．故答案为：130°．【点评】本题考查了全等三角形的性质，四边形的内角和定理，根据对应顶点的字母写在对应位置上确定出∠C=∠A是解题的关键．13．在△ABC中，点D是AB边的中点，点E是AC边的中点，连接DE，若BC=4，则DE= 2 ．【考点】三角形中位线定理．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE=BC．【解答】解：∵点D是AB边的中点，点E是AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=×4=2．故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．14．如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=32m，则A，B两点间的距离是64 m．【考点】三角形中位线定理．【专题】应用题．【分析】根据M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．【解答】解：∵M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，∴MN=AB，∴AB=2MN=2×32=64（m）．故答案为：64．【点评】本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．15．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= 6 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=DF=6．故答案是：6．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．16．如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A=28°，∠B=130°，则∠A′NC=136 °．【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理．【分析】先利用内角和定理求∠C，根据三角形的中位线定理可知MN∥BC，由平行线的性质可求∠A′NM、∠CNM，再利用角的和差关系求∠A′NC．【解答】解：∵∠A=28°，∠B=120°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣28°﹣130°=22°，∵MN是三角形的中位线，∴MN∥BC，∴∠A′NM=∠C=22°，∠CNM=180°﹣∠C=180°﹣22°=158°，∴∠A′NC=∠CNM﹣∠A′NM=158°﹣22°=136°．故答案为：136．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．17．如图，△ABC中，∠1+∠2+∠3= 180 度，∠4+∠5+∠6= 360 度．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】根据三角形的内角和定理和外角和定理解答．【解答】解：∠1+∠2+∠3=180°，∠4+∠5+∠6=360°．故答案为：180，360．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，外角和定理，熟记定理并准确识图是解题的关键．18．如图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2=B 1A 2，连接A 2B 2…按此规律上去，记∠A 2B 1B 2=θ1，∠A 3B 2B 3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn ，则（1）θ1= ；（2）θn = ．【考点】等腰三角形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】设∠A 1B 1O=x ，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x=180°，x=180°﹣θ1，即可求得θ1=；同理求得θ2=；即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案．【解答】解：（1）设∠A 1B 1O=x ，则α+2x=180°，x=180°﹣θ1，∴θ1=；（2）设∠A 2B 2B 1=y ，则θ2+y=180°①，θ1+2y=180°②，①×2﹣②得：2θ2﹣θ1=180°，∴θ2=；…θn =．故答案为：（1）；（2）θn =．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是总结归纳出规律．三、解答题（本题有8个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．）19．已知：如图，点A ，D ，C 在同一直线上，AB ∥EC ，AC=CE ，∠B=∠EDC ． 求证：BC=DE ．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据由两个角和其中一角的对边相等的两个三角形全等证明△ABC≌△CDE，由全等三角形的性质即可得到BC=DE．【解答】证明：∵AB∥EC，∴∠A=∠DCE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．20．（1）三角形内角和等于180°．（2）请证明以上命题．【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】（1）直接根据三角形内角和定理得出结论即可；（2）画出△ABC，过点C作CF∥AB，再根据平行线的性质得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通过等量代换即可得出结论．【解答】解：（1）三角形内角和等于180°．故答案为：180°；（2）已知：如图所示的△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．证明：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB，∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，∵∠1+∠2=∠BCF，∴∠B+∠1+∠2=180°，∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形内角和等于180°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质和角平分的性质进行解答；（2）通过证△ACD≌△ECD来推知DA=DE．【解答】（1）解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠CAB=30°，即∠CAD=30°；（2）证明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，∴∠ECD=90°，∴∠ACD=∠ECD．在△ACD与△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DA=DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．22．（2013秋•云浮期末）如图，在△ABC中，已知∠B=∠C．（1）尺规作图：作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（作图不写作法，但保留作图痕迹）；（2）猜想：“若∠A=36°，则△ABD和△BDC都是等腰三角形”．请你通过计算说明猜想是否成立．【考点】作图—基本作图；等腰三角形的判定．【分析】（1）利用尺规作图平分已知角即可；（2）利用等腰三角形的性质及角平分线的性质分别得到AD=DB，BD=BC即可得到等腰三角形．【解答】解：（1）如图所示：BD即为所求；（2）∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）÷2=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，∴∠CDB=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，∴AD=DB，BD=BC，∴△ABD和△BDC都是等腰三角形．【点评】本题考查了基本作图中的平分已知角及等腰三角形的判定的知识，属于基础题，难度不大．23．（2015•黄冈模拟）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB=∠E．∵∠DAE=90°，∴∠E+∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．24．（2014•杭州）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF 与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】可证明△ABF≌△ACE，则BF=CE，再证明△BEP≌△CFP，则PB=PC，从而可得出PE=PF，BE=CF．【解答】解：在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的对应角相等），∴BF=CE（全等三角形的对应边相等），∵AB=AC，AE=AF，∴BE=CF，在△BEP和△CFP中，，∴△BEP≌△CFP（AAS），∴PB=PC，∵BF=CE，∴PE=PF，∴图中相等的线段为PE=PF，BE=CF，BF=CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，是基础题，难度不大．25．问题：如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，则∠BEC= 130°；若∠A=n°，则∠BEC= 90°+n°．探究：（1）如图2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC= 60°+n°；（2）如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，则∠BEC= n°；（3）如图4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n°，则∠BEC= 90°﹣n°．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】试题分析：问题：根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可．探究：（1）根据三角形内角和定理和三等分角的意义求解即可．（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BEC与∠E的关系．（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：问题：如图1，∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB（角平分线的定义），∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A；若∠A=80°，则∠BEC=130°；若∠A=n°，则∠BEC=90°+n°．探究：（1）如图2，∵线段BD、BE把∠ABC三等分，∴∠EBC=∠ABC；又∵线段CD、CE把∠ACB三等分，∴∠ECB=∠ACB；∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A），∴∠BEC=180°﹣（180°﹣∠A）=60°+∠A，若∠A=n°，则∠BEC=60°+n°；（2）如图3，∵BE和CE分别是∠ABC和∠ACM的角平分线，∴∠EBC=∠ABC，∠ACE=∠ACM，又∵∠ACM是△ABC的一外角，∴∠ACM=∠A+∠ABC，∴∠ACE=（∠A+∠ABC）=∠A+∠EBC，∵∠ACM是△BEC的一外角，∴∠BEC=∠ACE﹣∠EBC=∠A+∠EBC﹣∠EBC=∠A；若∠A=n°，则∠BEC=n°；（3）如图4，∵∠EBC=（∠A+∠ACB ），∠ECB=（∠A+∠ABC ），∴∠BEC=180°﹣∠EBC ﹣∠ECB ，=180°﹣（∠A+∠ACB ）﹣（∠A+∠ABC ）=180°﹣∠A ﹣（∠A+∠ABC+∠ACB ）=90°﹣∠A=90°﹣n°．故答案为问题：130°；90°+n°；探究：（1）；（2）n°；（3）90°﹣n°．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．26．（2014•南京）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC 和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B≥∠A ，则△ABC≌△DEF．【考点】全等三角形的判定与性质；作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；探究型．【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C 重合，得到△DEF与△ABC不全等；（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．【解答】（1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE 的延长线于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．。