基于阿波罗尼斯圆的逆向探究
有关阿波罗尼斯圆的探究及应用
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轴 ， 立 坐标 系． ０。 ２ 建 则 （一 ，
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Ｐ ＝ Ｐ Ｍ Ｎ得 ： ＝２ Ｎ ． ｐ Ｐ ２
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上， 根据 轨 迹方 程 的纯 粹性 和完 备性 可 知 ， 氏圆上 阿 的任意 一点 ｃ也必 定 满足 ＝ ａ＞ ， ａ（ ０ Ａ≠１ ． ）
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因为 Ｍ， Ｎ在 阿 氏圆上 ， 由阿 氏 圆的定 义 直接 故
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５ ． ６
＜ 学之友 ） 数
２ １ 年第 ｌ 期 ０１ ６
（） １ 求与圆 ｃ相切 ， 且与直 线Ｚ 垂直 的直 线 方程 ；
（ ） 在 直 线 ２若 上（ ０为 坐标 原 点 ） 存 在 定 点 （ 同 ， 不
解 ： 题 就属 于考 查 与阿 氏 本 圆有关 的轨 迹 问题 ． 当然在 求 切
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如 图 线 长 Ｐ ， Ⅳ 时 ， 应 直 接 用 两 右 Ｐ 不
点问的距离公式来求 ， 而应构造 Ｒ Ａ， 用勾 股定 理来 求． ｔ 利
如 图， ００ 以 的 中 点 为原 点 ， 。 ：所 在 直 线 为 ００
例说阿波罗尼斯网的应用
例说阿波罗尼斯圆的应用ʏ贵州省遵义地区仁怀市周林高中 卢艳华圆是高考考查的热点,几乎在每套高考试卷中都能看到圆的影子,其中以阿波罗尼斯圆为背景的考题层出不穷㊂它既可作为数学文化试题直接考查,也可以逆向考查点的定位或线段之间的数量关系,常以线段比例的形式隐含在平面解析几何或立体几何等相关知识中,成为知识交汇处命题的着眼点,备受命题人的青睐㊂同学们遇到阿波罗尼斯圆问题时,常需挖掘题中隐含条件,根据圆的特殊性质找到特定方法,与平面几何知识相结合,不断地转化求解㊂一㊁阿波罗尼斯圆的定义我们知道,到两定点距离之和(大于两定点间距离)为定值的点的轨迹是椭圆,到两定点距离之差的绝对值(小于两定点间距离)为定值的点的轨迹是双曲线,那么到两定点距离之商(大于零且不等于1)为定值的点的轨迹是什么呢?古希腊数学家阿波罗尼斯(A p o l l o n i u s )在他的著作‘圆锥曲线论“中回答了这个问题,并给出了阿波罗尼斯圆的定义:在平面内,已知两定点A ,B 之间的距离为2a (常数),动点P 到A ,B 的距离之比为常数λ(λ>0,且λʂ1),则点P 的轨迹是半径r =2λa|λ2-1|的圆,且圆心与两定点共线㊂这就是阿波罗尼斯轨迹定理,该圆称为阿波罗尼斯圆,简称为阿氏圆㊂图1证明:如图1,以线段A B 的中点O 为坐标原点㊁直线A B 为x 轴㊁线段A B 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系㊂则A (-a ,0),B (a ,0)㊂设P (x ,y ),由|P A ||P B |=λ,得(x +a )2+y2(x -a )2+y 2=λ,两边同时平方,整理得x 2+y 2-2(λ2+1)a λ2-1㊃x +a 2=0,化为x -λ2+1λ2-1a2+y 2=2λλ2-1a 2㊂所以点P 的轨迹是以λ2+1λ2-1a ,0 为圆心,r =2λ|λ2-1|a 为半径的圆,且圆心与两定点A ,B 共线㊂容易得到阿波罗尼斯圆的如下性质㊂①圆上任意一点满足:|P A ||P B |=λ(常数),当λ>1时,点B 在该圆内,点A 在该圆外;当0<λ<1时,点B 在该圆外,点A 在该圆内㊂②圆的半径r =λ|A B ||λ2-1|,若以线段A B的中点为坐标原点㊁直线A B 为x 轴㊁直线A B 的垂直平分线为y 轴建系,则圆心坐标为λ2+1λ2-1㊃|A B |2,0㊂③设圆与x 轴的交点分别为C ,D (设C 在A ,B 之间),由阿波罗尼斯圆的定义知,|P A ||P B |=|C A ||C B |=|D A ||D B |=λ(常数),根据三角形内㊁外角平分线定理的逆定理,得P C ,P D分别为әA P B 的内角øA P B 及对应外角的角平分线,C ,D 分别为线段A B 的内分点和外分点,我们称C ,D 调和分割线段A B ,显然有P C ʅP D ,线段C D 为圆的直径㊂④平面内到A ,B 两点距离之比分别为λ和1λ(λ>0,且λʂ1)的点的轨迹是两个外离的半径相等的阿氏圆,且半径均为λ|A B ||λ2-1|㊂二㊁阿波罗尼斯圆的教材背景现行高中数学教材在编写时十分注重对数学史题材的引入及应用,如新人教B 版教材(2019年版)‘数学选择性必修第一册“中多次涉及阿波罗尼斯圆,有以下题目㊂1.(第116页习题2-3C 第1题)已知әA B C 中,A B =3,A C =2B C ,求әA B C 的面积的最大值㊂2.(第120页例4)已知动点M 到O (0,0)的距离与到A (3,0)的距离之比为12,求M 的轨迹方程,并说明轨迹曲线的形状㊂3.(第121页习题2-4B 第1题)求到两定点A (-1,2),B (3,2)的距离之比为2的点的轨迹方程㊂4.(第121页习题2-4B 第3题)已知动点M 到点(a ,0)的距离等于到点(b ,0)的距离的2倍(其中a ʂb ),求点M 的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状㊂尽管教材中未提及阿波罗尼斯圆的概念,但平面解析几何中常常会涉及平面内两点间的距离,三角形角平分线的性质等,属于必备知识,所以我们需要适度地拓展学习,以便提高解题的关键能力和学科素养㊂三、阿波罗尼斯圆的应用举例1.对阿波罗尼斯圆的深刻理解图2例1 (多选题)如图2,圆C 与x 轴相切于T (1,0),与y 轴正半轴交于A ,B 两点(B 在A 的上方),且|A B |=2,过点A 任意作一条直线与圆O :x 2+y 2=1相交于M ,N 两点,则以下结论中正确的有( )㊂A.|N A ||N B |=|M A ||M B |B .|N B ||N A |-|M A ||M B |=2C .|N B ||N A |+|M A ||M B |=22D .|N B ||N A |㊃|M A ||M B |=22解析:依题意,设圆心C (1,r )(r 为圆C的半径),由|A B |=2,得r =12+12=2㊂故圆心C 的坐标为(1,2),圆C 的标准方程是(x -1)2+(y -2)2=2㊂令x =0,得A (0,2-1),B (0,2+1)㊂设圆O 与y 轴的正㊁负半轴分别交于点E ㊁F ,则|E A |=2-2,|E B |=2㊂从而|E A ||E B |=2-22=2-1,|F A ||F B |=22+2=2-1,即|E A ||E B |=|F A ||F B |,所以圆O 是以A ,B 为定点,且比值为λ=2-1的阿波罗尼斯圆,故|N A ||N B |=|M A ||M B |,选项A 正确㊂由上可知,|N B ||N A |=|E B ||E A |=2+1,|M A ||M B |=|E A ||E B |=2-1㊂所以|N B ||N A |-|M A ||M B |=(2+1)-(2-1)=2㊂|N B ||N A |+|M A ||M B |=(2+1)+(2-1)=22,|N B ||N A |㊃|M A ||M B |=(2+1)㊃(2-1)=1㊂因此,B ㊁C 正确,D 错误㊂故选A B C ㊂评注:本题通过线段A B 的内㊁外分点E ㊁F 为圆直径的两端点,即内㊁外角平分线与y 轴两交点,回归几何本原,从而得到阿波罗尼斯圆㊂根据阿波罗尼斯圆定义的纯粹性和完备性,我们不难发现,给定平面内的两点A ,B ,若动点M 满足:|M A ||M B |=λ(常数λ>0且λʂ1),则M 必在阿波罗尼斯圆上;反之,阿波罗尼斯圆上的任意一点M 都满足|M A ||M B |=λ(常数λ>0且λʂ1)㊂2.阿波罗尼斯圆的逆用例2 已知圆x 2+y 2=1和点A (-2,0),是否存在异于A 的定点B 和常数k ,满足:对于圆上任意一点P ,都有|P B |=k |P A |(k >0,且k ʂ1)?若有,求出点B 的坐标及常数k 的值;若无,请说明理由㊂解析:设点B (b ,0),P (x ,y ),由|P B |=k |P A |,得(x -b )2+y 2=k ㊃(x +2)2+y 2,化简得(1-k 2)x 2+(1-k 2)㊃y 2-(2b +4k 2)x =4k 2-b 2㊂所以x 2+y 2-2b +4k 21-k 2x =4k 2-b21-k2㊂因为该圆上的任意一点P ,都有|P B |=k |P A |,所以动点P 的轨迹方程是x 2+y 2=1,即-2b +4k21-k 2=0,且4k 2-b21-k 2=1,也即2b +4k 2=0,4k 2-b 2=1-k 2,解得b =-12或b =-2㊂当b =-12时,k =12,符合题意;当b =-2时,k =1,不合题意㊂故点B 坐标是-12,0,常数k =12㊂评注:阿波罗尼斯圆能实现点与圆的相互转化,解决一些由圆求点或由点求圆的问题㊂从本题中我们可以得到一个结论:已知一个定圆和一个定点,即可确定λ和另一个定点,且圆心与两定点共线,这是阿波罗尼斯圆的逆用㊂3.以阿波罗尼斯圆为背景的数学文化的渗透例3 古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作‘圆锥曲线论“中证明了这样一个命题:平面内与两个定点距离之比为常数k (k >0,且k ʂ1)的点的轨迹是圆,后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆㊂已知定点A (-2,0),B (2,0),动点C 满足|A C |=2|B C |,则点C 的轨迹为阿波罗尼斯圆,记此圆为圆P ㊂已知点D 在圆P 上且在第一象限内,直线A D 交圆P 于另一点E ,连接E B 并延长交圆P 于点F ,连接D F ㊂若øD F E =30ʎ,则直线A D 的斜率为( )㊂A.3913 B .2613C .34D .134解析:设C (x ,y ),由|A C |=2|B C |,得(x +2)2+y 2=2(x -2)2+y 2,化为x -1032+y 2=649,得半径r =83㊂|O P |=103,|A P |=|A O |+|O P |=2+103=163㊂图3由øD P E =2øD F E =60ʎ,得|P E |=|P D |=83,则әD P E 为等边三角形,过圆心P 作P G ʅD E 于点G ,如图3所示㊂则|P G |=|P E |s i n 60ʎ=433,所以|A G |=4133,k A D =t a nøP A G =|P G ||A G |=4334133=3913㊂故选A ㊂评注:对于数学文化试题,一般会配有较长的文字描述,首先应读懂题意,然后借助已知中提供的有效信息和结论进行求解,这些信息,往往就是提示,甚至是解题工具,应重视并充分利用㊂另外本题对圆的性质也进行了挖掘,如同弧所对的圆周角与圆心角的关系,所以适当运用平面几何知识,常常可以简化复杂烦琐的计算㊂4.阿波罗尼斯圆在平面解析几何中的应用例4 已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在抛物线C 上,且|A K |=2|A F |,则әA F K 的面积为㊂解析:在y 2=8x 中,有F (2,0),准线l :x =-2,得K (-2,0)㊂由|A K |=2|A F |知,λ=2,点A 的轨迹为阿波罗尼斯圆㊂设该圆的方程为(x -a )2+y 2=r 2(r >0),由阿波罗尼斯圆的性质,得a =λ2+1λ2-1㊃|O F |=2+12-1ˑ2=6,r =2λλ2-1㊃|O F |=2ˑ22-1ˑ2=42㊂圆的方程为(x -6)2+y 2=32,与y 2=8x 联立,得x A =2,y A =ʃ4,故әA F K 的面积为12ˑ|K F |ˑ|y A |=12ˑ4ˑ4=8㊂评注:本题虽然也可以利用抛物线定义和三角函数求解,但本解法独辟蹊径,由两线段长度的倍数关系联想到阿波罗尼斯圆,再转化为两曲线的交点问题得到解决㊂一般地,如果存在这样一个三角形:一边确定,另两边长度成比例(比值不为1),可以考虑用阿波罗尼斯圆的性质来探求点的位置㊂5.转化为两点间距离例5 已知a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c 满足|c -a |=12,则|a +b -c |+2|c -b |的最小值为㊂图4解析:设O A ң=a ,O B ң=b ,O C ң=c ,a +b =O D ң,则|c -a |=|A C ң|=12㊂从而点C 在以点A 为圆心㊁12为半径的圆上,如图4所示㊂由题意知,|a +b -c |+2|c -b |=|C D ң|+2|B C ң|㊂设|C D |=2|C M |,则|C D |+2|C B |=2(|C M |+|C B |),由阿波罗尼斯圆知,点M 在直线D A 上㊂由r =λ|DM ||λ2-1|,得2|DM |22-1=12,解得|DM |=34㊂所以2(|C M |+|C B |)ȡ2|B M |=2|B D |2+|DM |2=21+342=52,当且仅当C ,B ,M 三点共线且C 在B ,M 之间时取等号,即|a +b -c |+2|c -b |的最小值为52㊂评注:本题是一个复杂的平面向量的模的问题㊂设|C D |=2|C M |,对隐含条件深入挖掘,层层转化,揭示了点C 的轨迹为阿波罗尼斯圆,于是问题的背景便豁然开朗㊂这种 无中生有 的手法,巧妙地将所求最小值转化为圆上的点到定点B 的最小距离㊂6.转化为直线与圆的位置关系例6 在平面直角坐标系x O y 中,已知直线l :y =k (x -2)-4,k ɪR ,点A (-2,0),B (1,0)㊂若直线l 上存在点P ,使得|P A |=2|P B |,则实数k 的取值范围是㊂图5解析:由题意知,满足|P A |=2|P B |的点P 的轨迹为阿波罗尼斯圆,其半径r =λ|A B ||λ2-1|=2ˑ322-1=2㊂以线段A B 的中点为坐标原点㊁A B 的垂直平分线为y '轴,建立新的直角坐标系x O 'y',如图5所示㊂则y '轴与y 轴之间的距离为12,在新坐标系下,由公式知圆心的横坐标为x 0=λ2+1λ2-1㊃a =22+122-1ˑ32=52,且圆心在直线A B 上㊂所以在原坐标系中,圆心的横坐标为52-12=2=r ,即圆与y 轴相切,得圆的方程为(x -2)2+y 2=4㊂又点P 在直线l 上,所以直线l 与圆有公共点,圆心(2,0)到直线l :k x -y -2k -4=0的距离d =4k 2+1ɤr=2,解得k ȡ3或k ɤ-3,即实数k 的取值范围是(-ɕ,-3]ɣ[3,+ɕ)㊂评注:本题在求阿波罗尼斯圆的方程时,为了使用公式 x 0=λ2+1λ2-1㊃a,需重新建系,注意新旧坐标之间的转换㊂当然也可以设P (x ,y ),直接由|P A |=2|P B |,得(x +2)2+y 2=2(x -1)2+y 2,化为(x -2)2+y 2=4,即得圆心坐标和半径㊂本题实际上是在直线与阿波罗尼斯圆有公共点的条件下寻找关于k 的不等关系,通过比较圆心到直线距离与圆半径的大小得解㊂(责任编辑 徐利杰)。
阿波罗尼斯圆及其应用 阿波罗尼斯圆的逆用 (解析版)
阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆的逆用阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆的逆用【微点综述】当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆O 与直线OA 相交于M ，N 两点设点E 为OA 上一点，且满足PA PE =λ，由阿氏圆定理AN NE =λ，AMME=λ，则AN =λNE ⇒OA -R =λR -OE ，∴λOE =1+λ R -OA ①同理AM =λME ⇒R +OA =λOE +R ，∴λOE =1-λ R +OA ②由①②消OA 得：2λOE =2R ，即ROE=λ，即R =λOE ，由①②消R 得：OA =λ2OE ，因此，满足条件的点E 在阿氏圆的圆心和定点A 的连线上，且ROE=λ或OAOE=λ2．【典例刨析】1.(2022·湖南·临澧一中高二开学考试)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O ：x 2+y 2=1上的动点M 和定点A -12,0 ，B (1，1)，则2|MA |+|MB |的最小值为( )A.6B.7C.10D.112.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为λ(λ>0,λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆O :x 2+y 2=1、点A -12,0 和点B 0,12 ，M 为圆O 上的动点，则2|MA |-|MB |的最大值为( )A.52B.172C.32D.223.古希腊数学家阿波罗尼斯(约前262-前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k k >0 且k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O 0,0 ，A 3,0 ，圆C :x -2 2+y 2=r 2r >0 上有且仅有一个点P 满足PA =2PO ，则r 的取值为( )A.1B.5C.1或5D.不存在4.已知点P 是圆x -4 2+y -4 2=8上的动点，A 6,-1 ，O 为坐标原点，则PO +2PA 的最小值为______．5.已知圆C ：x -1 2+y -1 2=1，定点P 是圆C 上的动点，B 2,0 ，O 是坐标原点，则2PO +PB 的最小值为______．6.(2022江西·南昌八中高二月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O (0,0)，A (3,0)，圆C :(x -2)2+y 2=r 2(r >1)上有且仅有一个点P 满足|PA |=2|PO |，则r 的取值为_______.【针对训练】7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M 与两定点Q ,P 的距离之比MQMP =λ(λ>0,λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=1，其中，定点Q 为x 轴上一点，定点P 的坐标为-13,0 ,λ=3，若点B 1,1 ，则3MP +MB 的最小值为( )A.10B.11C.15D.178.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ､B 的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O ：x 2+y 2=1和点A -12,0 ，点B (4，2)，M 为圆O 上的动点，则2|MA |+|MB |的最小值为___________9.(2022安徽·合肥六中高二期中)古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (k >0且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知圆O :x 2+y 2=1和A -12,0 ，点B (1,1)，M 为圆O 上动点，则MA +12MB 的最小值为_______.10.(2022上海金山中学高二期末)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足PA |=λPB (其中λ是正常数，且λ≠1)，则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点M (-1,0)、N (2,1)，P 是圆O :x 2+y 2=3上的动点，则3PM +PN 的最小值为____________11.阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k k >0,k ≠1 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P 满足PAPB=2，求PA 2+PB2的最小值．12.(2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A ,B 的距离之比为定值λλ≠1 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A -2,1 ，B -2,4 ，点P 是满足λ=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q 为抛物线E :y 2=4x 上的动点，Q 在y 轴上的射影为H ，则12PB +PQ +QH 的最小值为______.参考答案1.【答案】C【分析】讨论点M 在x 轴上与不在x 轴上两种情况，若点M 不在x 轴上，构造点K (-2，0)，可以根据三角形的相似性得到|MK ||MA |=|OM ||OA |=2，进而得到2|MA |+|MB |=|MB |+|MK |，最后根据三点共线求出答案.【详解】①当点M 在x 轴上时，点M 的坐标为(-1，0)或(1，0)．若点M 的坐标为(-1，0)，则2|MA |+|MB |=2×12+1+1 2+12=1+5；若点M 的坐标为(1，0)，则2|MA |+|MB |=2×32+1-1 2+12=4．②当点M 不在x 轴上时，取点K (-2，0)，如图，连接OM ，MK ，因为|OM |=1，|OA |=12，|OK |=2，所以|OM ||OA |=|OK ||OM |=2．因为∠MOK =∠AOM ，所以△MOK ∽△AOM ，则|MK ||MA |=|OM ||OA |=2，所以|MK |=2|MA |，则2|MA |+|MB |=|MB |+|MK |．易知|MB |+|MK |≥|BK |，所以|MB |+|MK |的最小值为|BK |．因为B (1，1)，K (-2，0)，所以(2|MA |+|MB |)min =|BK |=-2-12+0-1 2=10．又10<1+5<4，所以2|MA |+|MB |的最小值为10．故选：C 2.【答案】B【分析】令2MA =MC ，则MA MC=12，由阿氏圆的定义可知：C (-2,0)，由数形结合可知2|MA |-|MB |=|MC |-|MB |的最大值.【详解】设M x ,y ，令2MA =MC ，则MA MC=12，由题知圆x 2+y 2=1是关于点A 、C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12，设点C m ,n ，则MA MC =x +12 2+y 2x -m 2+y -n2=12，整理得：x 2+y 2+2m +43x +2n 3y =m 2+n 2-13，比较两方程可得：2m +43=0，2n 3=0，m 2+n 2-13=1，即m =-2，n =0，点C -2,0 ，当点M 位于图中M 1的位置时，2|MA |-|MB |=|MC |-|MB |的值最大，最大为BC =172.故选：B .【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，解题的关键是通过数形结合知两线段距离差的最值是在两端点为起点的的射线上，属于一般题.3.【答案】C【分析】直接设点P x ,y ，根据PA =2PO 可以求得点P 的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得CC 1 =r +r 1或CC 1 =r -r 1 ．【详解】设点P x ,y ∵PA =2PO 即x -32+y 2=2x 2+y 2整理得：x +1 2+y 2=4∴点P 的轨迹为以C 1-1,0 为圆心，半径r 1=2的圆，∵圆C :x -2 2+y 2=r 2的C 2,0 为圆心，半径r 的圆由题意可得：3=CC 1 =r +r 1或3=CC 1 =r -r 1 ∴r =1或r =5故选：C ．4.【答案】10【分析】解法1：借助阿波罗尼斯圆的逆用，得到PO +2PA =2PA +PA ，进而根据三点共线即可求出最值；解法2：将PO +2PA =x 2+y 2+2x -6 2+y +1 2转化为=2x -3 2+y -3 2+x -62+y +1 2 ，进而结合进而根据三点共线即可求出最值．【详解】解法1：阿波罗尼斯圆的逆用假设A m ,n ，使得PO =2PA ，则x 2+y 2=2x -m 2+y -n 2，从而可得3x 2-8mx +4m 2+3y 2-8ny +4n 2=0，从而可知圆心坐标为4m 3,4n3，所以4m 3=4，4n 3=4，解得m =n =4，即A 3,3 ．所以PO +2PA =2PA +PA ≥2A A =26-3 2+-1-3 2=10．即PO +2PA 的最小值为10．解法2：代数转逆法由x -4 2+y -4 2=8，得x 2+y 2=8x +8y -24．PO +2PA =x 2+y 2+2x -6 2+y +1 2=2x 2+y 24+x -62+y +1 2=2x2+y 2 -34x 2+y 2 +x -62+y +1 2=2x 2+y 2-6x +6y -18 +x -62+y +1 2=2x -3 2+y -3 2+x -62+y +1 2x -32+y -3 2+x -6 2+y +1 2表示的是动点x ,y 与3,3 和6,-1 之间的距离之和，当且仅当三点共线时，和最小，故PO +2PA ≥26-3 2+3+1 2=2×5=10．5.【答案】5【分析】解法1：阿波罗尼斯圆的逆用，设B m ,n ，使得PB =2PB ，利用两点间的距离公式化简可求得B 32,12 ，得直线BB 与圆C 相交，则2PO +PB =2PO +PB ≥2OB ，从而可求得其最小值，解法2：代数转逆法，2PO +PB =2x 2+y 2+x -2 2+y 2=2x 2+y 2+x -32 2+y -12 2 ，可得当点O ,P ,B 32,12 共线，且P 在OB 之间时取得最小值.【详解】解：解法1：阿波罗尼斯圆的逆用设B m ,n ，使得PB =2PB ，则x -2 2+y 2=2x -m 2+y -n 2 ，整理，得x 2-4m -1 x +y 2-4ny +2m 2+n 2-2 =0，即[x -2(m -1)]2+(y -2n )2=2m 2+2n 2-8m +8=2(m -2)2+2n 2所以2m -1 =1，2n =1，从而B 32,12．经验证，知直线BB 与圆C 相交．从而2PO +PB =2PO +PB ≥2OB =2⋅94+14=2⋅52=5．所以2PO +PB 的最小值为5．解法2：代数转逆法2PO +PB =2x 2+y 2+x -22+y 2=2x 2+y 2+12x 2+y 2-2x +2=2x 2+y 2+x2+y 2 -12x 2+y 2 -2x +2 =2x 2+y 2+x 2+y 2-122x +2y -1 -2x +2 =2x 2+y 2+x 2+y 2-3x -y +52=2x 2+y 2+x -322+y -122≥2⋅94+14=2⋅52=5．所以2PO +PB 的最小值为5．故答案为：5【点睛】关键点点睛：此题考查点与圆的位置关系，考查阿波罗尼斯圆的逆用，解题的关键是根据阿波罗尼斯圆，设B m ,n ，使得PB =2PB ，化简后将问题转化为2PO +PB =2PO +PB ≥2OB ，考查数学转化思想，属于较难题.6.【答案】5【分析】设动点P x ,y ，根据题意求出点P 的轨迹方程可知轨迹为圆，由题意可知两圆相外切，再讨论内切和外切列方程即可得求解.【详解】设动点P x ,y ，由PA =2PO ，得x -3 2+y 2=4x 2+4y 2，整理得x +1 2+y 2=4，即点P 的轨迹方程为：x +1 2+y 2=4，又因为圆C :(x -2)2+y 2=r 2(r >1)上有且仅有一个点P 满足x +1 2+y 2=4，所以两圆相切，圆x +1 2+y 2=4的圆心坐标为-1,0 ，半径为2，圆C ：x -2 2+y 2=r 2r >0 的圆心坐标为2,0 ，半径为r ，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r +2=3，得r =1，因为r >1，故r =1舍去，当两圆内切时，r -2 =3，r >1，得r =5．故答案为：5.7.【答案】D【分析】设Q a ,0 ，M x ,y ，根据|MQ ||MP |=λ和x 2+y 2=1求出a 的值，由3|MP |+|MB |=|MQ |+|MB |，两点之间直线最短，可得3|MP |+|MB |的最小值为BQ ，根据坐标求出BQ 即可.【详解】设Q a ,0 ，M x ,y ，所以MQ =x -a 2+y 2，由P -13,0 ，所以PM =x +13 2+y 2，因为|MQ ||MP |=λ且λ=3，所以x -a 2+y 2x +13 2+y2=3，整理可得x 2+y 2+3+a 4x =a 2-18，又动点M 的轨迹是x 2+y 2=1，所以3+a 4=0a 2-18=1，解得a =-3，所以Q -3,0 ，又MQ =3|MP |，所以3|MP |+|MB |=|MQ |+|MB |≥BQ ，因为B (1,1)，所以3|MP |+|MB |的最小值BQ =1+32+1-0 2=17，当M 在位置M 1或M 2时等号成立.故选：8.【答案】210【分析】设M (x ，y )，令2|MA |=|MC |，根据圆x 2+y 2=1是关于点A ､C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12，求得点C 坐标，再连接BC ，由直线段最短求解.整理得：【详解】设M (x ，y )，令2|MA |=|MC |，则|MA ||MC |=12，由题知圆x 2+y 2=1是关于点A ､C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12，设点C (m ，n )，则|MA ||MC |=x +12 2+y 2(x -m )2+(y -n )2=12，整理得：x 2+y 2+2m +43x +2n 3y =m 2+n 2-13，比较两方程可得：2m +43=0，2n 3=0，m 2+n 2-13=1，即m =-2，n =0，所以点C (-2，0)，如图所示：当点M 位于图中M 1､M 2的位置时，2|MA |+|MB |=|MC |+|MB |的值最小，最小为210.故答案为：2109.【答案】102【分析】根据阿波罗尼斯圆的性质，结合两点间线段最短进行求解即可.【详解】令2MA =MC ，则MA MC=12.由题意可得圆x 2+y 2=1是关于点A ，C 的阿波罗尼斯圆，且λ=12设点C 坐标为C m ,n ，则MA MC =x +12 2+y 2x -m 2+y -n2=12整理得x 2+y 2+2m +43x +2n 3y =m 2+n 2-13由题意得该圆的方程为x 2+y 2=1，所以2m +4=02n =0m 2+n 2-13=1 ，解得m =-2n =0 所以点C 的坐标为(-2,0)，所以2MA +MB =MC +MB ，因此当点M 、C 、B 在同一条直线上时，2MA +MB =MC +MB 的值最小，且为(1+2)2+(1-0)2=10，故MA +12MB 最小为102.故答案为：10210.【答案】26【分析】在x 轴上取S -3,0 ，由△MOP ∼△POS 可得PS =3PM ，可得3PM +PN ≥SN ，利用两点间距离公式可求得结果.【详解】如图，在x 轴上取点S -3,0 ，∵OM OP =OP OS =33，∠MOP =∠POS ，∴△MOP ∼△POS ，∴PS =3PM ，∴3PM +PN =PS +PN ≥SN (当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号)，∴3PM +PN min =SN =-3-22+0-1 2=26.故答案为：26.11.【答案】36-242【分析】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P x ,y ，根据已知条件可得出点P 的轨迹方程，利用代数法可得出PA 2+PB 2=2OP 2+2，数形结合可求出OP 的最小值，即可得解.【详解】以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A -1,0 、B 1,0 ，设点P x ,y ，因为PA PB=2，即x +1 2+y 2x -12+y2=2，整理可得x 2+y 2-6x +1=0，即x -3 2+y 2=8，所以点P 的轨迹是以C 3,0 为圆心，22为半径的圆，则PA2+PB 2=x +1 2+y 2+x -1 2+y 2=2x 2+y 2 +2=2OP 2+2，当点P 为线段OC 与圆C 的交点时，OP 取得最小值，所以，PA 2+PB 2 min =2×3-22 2+2=36-24 2.12.【答案】x +2 2+y 2=4； 10-1##-1+10.【分析】设点P 坐标，根据题意写出关于x 与y 的关系式化简即可；由PA =12PB ，QH =QF -1，代入12PB +PQ +QH 中，即可取出最小值.【详解】设点P (x ,y )，∵λ=12，∴PA PB =12⇒(x +2)2+(y -1)2(x +2)2+(y -4)2=12⇒x +2 2+y 2=4.抛物线的焦点为点F ，由题意知F 1,0 ，QH =QF -1，∵PA =12PB ，∴12PB +PQ +QH min =PA +PQ +QF -1 min =AF -1=-2-1 2+12-1=10-1.故答案为：x +2 2+y 2=4；10-1.。
阿波罗尼斯圆定理、性质及应用探究
Creative Education Studies 创新教育研究, 2023, 11(3), 431-438 Published Online March 2023 in Hans. https:///journal/ces https:///10.12677/ces.2023.113071阿波罗尼斯圆定理、性质及应用探究方 澍1，骆晨丹1，胡 凯1，叶雨璇21绍兴文理学院数理信息学院，浙江 绍兴 2绍兴文理学院土木工程学院，浙江 绍兴收稿日期：2023年1月30日；录用日期：2023年3月6日；发布日期：2023年3月14日摘要圆在高中数学题型中广泛且内容应用灵活，而阿波罗尼斯圆作为一种特殊的圆时常伴随着解三角形、平面向量、立体几何及解析几何等内容出现，将原有常规解复杂的问题进行简化。
为避免思维固化、计算繁琐等问题，本文提供了构造阿波罗尼斯圆的两个条件及阿波罗尼斯圆相关性质，提供新型解题思路，使得解题高效化、便捷化、灵巧化。
再从不同的应用层次出发，随着层次的递增，学生对性质掌握的要求也就越高，本文设置相关题目逐级加深对性质的理解，便于学生对应不同的层次进行掌握学习。
关键词阿波罗尼斯圆，性质，动点轨迹，反演点Apollonius Circle Theorem, Properties and ApplicationsShu Fang 1, Chendan Luo 1, Kai Hu 1, Yuxuan Ye 21School of Mathematical Information, Shaoxing University, Shaoxing Zhejiang 2School of Civil Engineering, Shaoxing University, Shaoxing ZhejiangReceived: Jan. 30th , 2023; accepted: Mar. 6th , 2023; published: Mar. 14th , 2023AbstractCircles are widely used in high school mathematics problem types and flexible content, while Apollo-nian circles, as a special circle, often appear with solving triangles, plane vectors, solid geometry and analytic geometry, simplifying the original conventional solution of complex problems. In order to avoid problems such as solidification of thinking and cumbersome calculation, this paper provides two conditions for constructing Apollonius circles and the related properties of Apollonius circles, and provides new problem-solving ideas, which makes problem solving efficient, convenient and dexterous. Starting from different application levels, with the increase of levels, the higher the re-quirements of students for mastering nature, this paper sets up related topics to deepen the under-方澍 等standing of nature step by step, so that students can master and learn according to different levels.KeywordsApollonius Circle, Quality, Moving Point Trajectory, Inversion PointCopyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0)./licenses/by/4.0/1. 引言高中数学在整个高中学习中是重要学科之一，在新课标的持续改革之下，学生不仅要掌握书本的基础理论知识，更重要的还是培养核心素养，强化自身数学思维，学生要敢于思考、勇于创新，发展和进步数学综合能力[1]。
对阿波罗尼斯圆的探究和应用
ｍ （ ｍ ＞０ ） ， 所以Ｊ （ ｘ ＋０ ） ＋ Ｙ ：ｍ・
２ 口 （ １＋ｍ ） ＋（ １一ｍ ） 口 ＝０ ．
圆相伴 而生的． 其 中当线段 Ｃ Ｍ 为直径 时最 为特
１ ＭＣ＝ ， 因
￣ ／ （ 一 ０ ） ＋ Ｙ ， 化简得（ １ 一 ｍ ） ＋（ １ 一 ｍ ） Ｙ ＋ 殊， 此 时两 圆的公 共 弦ＭＮ上 。 ｃ，
２ ０ １ ７ 年 第２期
中学数学研究
・ １ ５・
对 阿 波 罗 尼 斯 圆 的 探 究 和 应 用
湖北省房县二 中 （ ４ ４ ２ １ ０ ０ ） 姚 家成
对典 型 问题 的探 究能 够 更 进 一步 揭 示 问题 的 和 半径 ， 这 两个定 点和 比值是 隐藏 着 的． 从 变化 中寻 找 出不 变 的性质 ， 得 到事 物变 化 的规律 ， 是 我们 思维
・
１ ６・ （ Ｉ ）两定 点和 阿 圆的 圆心 三 点共 线 ；
中学数 学研 究
２ ０ １ ７年 第 ２期
（ ２ ）两定点必为一个在 阿圆内， 另一个在 阿圆
外；
０解析 ： 因ｈ点 Ａ 、 Ｂ 、 ０三点共线， 点Ａ在圆 ０外，
（ ３ ）过 阿 圆内的那 个 定 点 任 意 作一 条 弦 ， 弦的
心在同一直线上 ； 如 图１ ， 设阿圆与这条直线交于Ａ 、 两点， 点Ａ在两定点Ｍ。 Ｍ ２ 之间． 过点Ｍ２ 任作直线
交 阿 圆 于 Ｍ， Ｎ ． 因 为 ＝ ，
到一个结论 ： 平面 内与两个定 点的距 离之 比为不等
于 １的正数 的点 的轨 迹是 一个 圆． 这 样 的 圆被 称 为 阿波 罗尼 斯 圆（ 以下简 称 阿 圆或 定 圆 ） ， 有 很 多高 考
阿波罗尼斯圆逆定理证明
阿波罗尼斯圆逆定理证明引言阿波罗尼斯圆逆定理是几何学中的重要定理之一，它描述了一个圆的逆变换。
本文将详细探讨该定理的证明过程，以及其在几何学中的应用。
定理表述阿波罗尼斯圆逆定理是指，对于一个圆内接于一个锐角三角形的圆，该圆的半径等于三角形的外接圆半径的两倍。
证明过程为了证明阿波罗尼斯圆逆定理，我们需要从几何学的基本概念和定理出发，逐步推导得出结论。
1. 构造外接圆首先，我们考虑一个锐角三角形ABC，假设其外接圆为O，半径为R。
根据几何学的基本定理，我们知道三角形的外接圆是唯一确定的。
2. 构造内切圆接下来，我们在三角形ABC的内部构造一个内切圆，设其圆心为I，半径为r。
根据内切圆的定义，我们知道内切圆与三角形的三条边相切。
3. 连接圆心和切点我们将内切圆的圆心I与三角形ABC的三个切点A’、B’、C’相连，其中A’是BC的切点，B’是AC的切点，C’是AB的切点。
4. 利用相似三角形根据几何学的相似三角形定理，我们可以得到三个相似三角形A’IB’、B’IC’和C’IA。
由于这三个三角形相似，我们可以得到以下比例关系：A’I / IB’ = B’I / IC’ = C’I / IA5. 应用角平分线定理根据角平分线定理，我们知道在一个三角形中，角的平分线将对边分成相等的线段。
因此，我们可以得到以下关系：A’C’ / C’B’ = IA / IB6. 利用内切圆性质根据内切圆的性质，我们知道内切圆的半径与切点到圆心的距离相等。
因此，我们可以得到以下关系：r / IA = r / IB = r / IC7. 综合以上关系根据步骤4、5和6，我们可以得到以下关系：A’I / IB’ = B’I / IC’ = C’I / IA = A’C’ / C’B’ = r / IA = r /IB = r / IC8. 利用共圆定理根据共圆定理，如果一条直线与一个圆相交于两个点，那么这两个点和圆心共线。
因此，我们可以得到以下关系：A’I / IB’ = A’O / OB’ = A’C’ / C’B’ = r / IA = r / IB = R / IC9. 结论根据步骤7和8，我们可以得到以下结论：r / R = IA / IC = IB / IC由于IA、IB和IC是锐角三角形ABC的三条角平分线，它们交于一个点I，因此IA、IB和IC也是三角形ABC的三条高。
关于“阿氏圆”模型的探究与思考
***************.com投稿邮箱:***************.com数学教学通讯2020年8月（中旬）<图2(定点)OC PA B(系点)系线(动点)(定点)作者简介:施德仪（1980—），本科学历，中学高级教师，从事初中数学教学工作.关于“阿氏圆”模型的探究与思考施德仪浙江省杭州经济技术开发区景苑中学310000模型背景“PA+k ·PB ”型是初中数学常见的最值类型之一,当k=1时,即可转化为常见的“饮马问题”模型来求解;而当k 为不等于1的正数时,则需要变化思路来加以研究,一般有两种情形:一是点P 在直线上运动,则为经典的“胡不归”问题;二是点P 在圆周上运动,则为“阿氏圆”问题,即已知平面上有A ,B 两点,则所有满足PA +k ·PB (k ≠1)的点P 的轨迹为一个圆.由于其最早是由阿波罗尼斯发现的,故又称为“阿波罗尼斯圆”.利用“阿氏圆”模型的结论及策略,有助于问题思路的构建,适度拓展模型,有利于解析综合性问题.构建解读如图1,☉O 的半径为r ,点A 和点B 都在圆外,点P 为☉O 上一个动点,已知r=k ·OB ,连接PA 和PB ,试分析“PA +k ·PB ”取得最小值时,点P 的位置.上题突破的关键是处理“k ·PB ”的大小.若在线段OB 上截取OC ,使得OC=k ·r ,则可以确定△BPO 与△PCO 相似,从而有k ·PB=PC.后续则可转化为研究“PA +PC ”的最小值,其中点A 和点C 为定点,点P 为动点,显然可以直接利用共线原理来求最值.深入探究其图像,由逆向思维可将“阿氏圆”模型视为“母子型相似+两点间线段最短”.点P 在☉O 上运动时,A ,B 为定点,PA 和PB 不断变化,解决该问题时首先需要合理构造母子型相似三角形,利用其性质来转化问题,即在OB 上找到一点C ,使得OC OP =OPOB=k ,此时便有△BPO ∽△PCO.而在实际解析时需要明晰问题模型,因此把握模型的结构尤为重要.以图2“阿氏圆”模型图像为例,其中点A 和点B为定点,点P 为动点,变直线BP 为系线,突破的关键是确定系点C ,从而确保其中的“母子”三角形相似,即△BPO ∽△PCO.解题策略从突破过程来看,共分为两个阶段:一是确定系点,构建相似三角形;二是利用“两点之间,线段最短”原理,分析三点共线情形,完成动点位置确定.具体解题时可以按照如下策略及步骤进行:第一步,连接动点与圆心、定点与圆心,如上述所构建的模型,连接OB 和OP ;第二步,计算OPOB,确定线段比为k 的情形,如上述模型中的OP OB=k ;第三步,在线段OB 上确定系点C ,构造相似三角形,由相似性质提取线段比例关系,如上述模型中的OC OP =OPOB.［摘要］“挖掘教材价值，总结模型”是当下数学教学所倡导的一种模式.在教学中需要有意识地引入一些常用的数学模型，利用模型探究来深化知识理解，发展数学思维.文章主要探究初中数学重要的几何模型———“阿氏圆”模型.［关键词］“阿氏圆”；模型；解读；应用；抛物线；思考图1BOC P A 83***************.com投稿邮箱:***************.com数学教学通讯>2020年8月（中旬）典例讲评上述对“阿氏圆”模型进行了详细解读及解析策略探究,但针对不同的问题情形需要具体分析,要学会准确识别模型,添加辅助线.下面结合例题探究解析过程.例题 如图3,在扇形COD 中,∠COD=90°,OC=6,点A 在OC 上,OA =3,点B 在OD 上,OB=5,点P 是CD ⌢上的一个动点,试求2PA+PB 的最小值.图3BD C PA O分析 要求2PA+PB 的最小值,其中k ≠1,且点P 为圆弧上的一个动点,显然属于“阿氏圆”问题模型.因此解析的关键是寻找线段比与k 相关的情形,确定系点的位置.解答 连接OP ,其中k=2,因为OC=6,OA=3,OB=5,所以AO OP =12,OB OP =56.可将AO OP =12视为AO OP =1k,因此可在OA 延长线上取一点H ,使得OH=2OP=12(如图4).此时就有AO OP =OP OH =12,又∠AOP=∠POH ,所以无论点P 如何移动,始终有△PAO ∽△HPO.由相似性质可得PH=2PA ,所以2PA +PB=PH+PB ,其中点H 和点B 为定点,显然当H ,P ,B 三点共线时,PH+PB 取得最小值,且最小值为BH=OH 2+OB 2√=13,即2PA+PB的最小值为13.图4BDC PA OH评析 上述解析过程把握图像结构及k 值大小,从而确定了“阿氏圆”模型,在此基础上分析线段比值,确定系点位置.对于“阿氏圆”模型,剖析的关键是深刻理解探究系点实则是通过构建相似三角形将其转化为常规的线段和问题,而在实际转化时需要把握图像特点,合理利用圆的性质条件.拓展探究“阿氏圆”模型可视为常规的平面几何问题,而函数与几何的融合是近几年中考的命题趋势,对于“阿氏圆”模型同样也不例外.近几年中考及模拟考试题中出现了一些以抛物线为背景融“阿氏圆”模型的考题.对于该类试题,除了需要合理按照模型突破的方法和步骤解析外,还需要充分利用平面直角坐标系中点的坐标与线段长的关联,以及抛物线的性质,才能顺利解题.下面以一道考题为例,详细探究解题细节.考题 如图5,已知抛物线的解析式为y=-x 2+bx+c ,抛物线与直线AB 交于点A (-4,-4)和B (0,4),直线AC 的解析式为y=-12x -6,直线AC 与y 轴交于点C.点E 是直线AB 上的一个动点,过点E 作x 轴的垂线,延长垂线与AC 交于点F ,与抛物线交于点G.图5xy E O G B AFC(1)求抛物线的解析式.(2)连接GB ,EO ,若四边形GEOB 为平行四边形,试求点G 的坐标.(3)①y 轴上有一点H ,连接EH 和HF ,试分析点E 运动到何位置时,四边形AEFH 为矩形,并求出点E 和点H 的坐标;②在①成立的前提下,以点E 为圆心、EH 的长为半径作圆,点M 为圆上的一个动点,试求12AM+CM 的最小值.解析 容易求得抛物线的解析式为y=-x 2-2x+4.在此主要分析(3)问的第②小问,由(3)①问可知以下点的坐标:E (-2,0),H (0,-1).又A (-4,-4),所以EH=5√,AE=25√.如图6,设AE 与☉E 交于点N ,取EN 的中点P ,则点N 的坐标为(-3,-2),点P 的坐标为-52,-1(),PE=5√2.连接PC 与☉E 的交点即为12AM+CM 取得最小值时点M 的位置,点P 为“阿氏圆”模型的系点,具体原因如下.因为EM=EH=5√,显然PE ME =12,ME AE =12,所以△PEM ∽△MEA.根据相似性质可得PM=12AM ,从而有12AM+CM=PM+CM.因为点P 和点C 为定点,点M 为动点,由“两点之间,线段最短”可知,当P ,M ,C 三点共线时,PM+CM 取得最小值,此时PM+CM=PC.由上述信息可求得PC=55√2,所以12AM+CM 的最小值为55√2.图6xy E O B AN CMH P 评析 上述第(3)②问的问题模型实则就是初中常见的“阿氏圆”模型,显然突破的关键就是确定模型中的“系点”.可利用相似比将其转化为常规的线段和问题,即“12AM+CM →PM+CM ”,然后利用三点共线确定线段和的最小值.与纯几何模型问题相比,融合抛物线的“阿氏圆”模型更注重对点坐标桥梁作用的利用,即可用点的坐标推导线段长、推理线段比,这些内容是后续挖掘三角形相似的关键.教学思考“阿氏圆”模型的解析思路可为求解含参线段和最值问题提供参考,有利于学生认识图形结构,打开解题突破口.下面提出几点教学建议.1.深度挖掘模型,理解突破本质“阿氏圆”模型是隐含在数学教材中的经典模型,深入探究模型结构、总结84***************.com投稿邮箱:***************.com数学教学通讯2020年8月（中旬）<（上接第72页）⑤请问你们能用3120+112()+x 12=1这个式子编拟一道题吗?此题仅围绕一个题干就由浅入深地提出5个问题,特别是最后一个开放式的问题,让学生根据固定的式子来编拟新题,这种举一反三的提问方式,既燃起了学生的求知欲又拓展了学生的思维能力.根据不同问题的各种解法培养思维能力案例3“不等式”的教学.问题:若关于x 的不等式组x -3(x-2) >2①,a+2x4>16②⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐的解集是-1<x<2,求实数a 的取值.解:由①得x<2,由②得x>32-a2.因为不等式的解集是-1<x<2,所以32-a2=-1,a=66.变式1:若关于x 的不等式组x -3(x-2) >2①,a+2x4>1②⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐有解,求实数a 的取值范围.解:同上,由①得x<2,由②得x>32-a 2.因为不等式组有解,所以32-a 2<2,a>60（如图1）.图132-a22变式2:若关于x 的不等式组x -3(x-2) >2①,a+2x4>16②⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐无解,求实数a 的取值范围.解:从变式1来看,可画出图2.图232-a 22变式3:若关于x 的不等式组x -3(x-2) >2①,a+2x4>16②⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐只有两个整数解,求实数a 的取值范围.解:同上可知,两个整数解为1和0,能画出图3,得-1≤32-a2<0,64<a ≤66.图321-1本题主干里的不等式组并没有发生变化,学生可从变化的方面比较变式之间的差异,根据变式之间的差异和求解过程提炼出解题方法,提升数学思维.从知识间的内部关系中提升思维能力方程、函数和不等式之间一直有着千丝万缕的联系,是初中数学教学的重点与难点之一.教师可根据学生的特点因地制宜地设计各种经典的练习,让学生理清知识内部之间的关系,从而有效地解决这个难题,提升学生的思维能力.案例4“二次函数”的教学.二次函数y=ax 2+bx+c a ≠0()的图像如图4所示,请根据题意解决以下问题:图4xyO 22-64(1)写出方程ax 2+bx+c=0的两个根;(2)求出不等式ax 2+bx+c>0的解集;(3)求出y 随x 的增大而减小的x 的取值范围;(4)求出方程ax 2+bx+c=-6的实数根;(5)如果方程ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根,请求出k 的取值范围.此题涉及一元二次方程、二次函数和不等式之间的内部联系,通过本题的求解能增强学生对二次函数图像的进一步理解,充分体会数形结合与转化之间的奥妙.总而言之,在数学课堂教学过程中合理地使用变式教学,能有效地培养学生的数学思维能力,帮助学生养成勤于思考、乐于探索的良好学习习惯.学生通过知识内部之间的联系,逐渐提炼解决问题的思路和办法,从而更好地强化学习内容,提升数学思维.破解方法有助于整合教材资源,强化学生对教材定理、模型的理解.“阿氏圆”模型是基于圆的性质、母子型相似模型和两点之间线段最短定理所构建的一种特殊的动点最值模型,教学时需要引导学生关注模型特点,挖掘模型结构,把握模型条件,归纳模型结论,同时引导学生体验模型解析的构建过程,把握模型相似变换的数学本质,形成对模型的深刻认识.2.适度延伸拓展,强化数学思维数学的思维方式是数学教学的重点,在“阿氏圆”模型的探究及应用过程中,学生对相似变换和共线定理有了更为深刻的领悟,能够准确地辨析模型,理解模型,用模型的特征规律来探究问题.实际上,“阿氏圆”模型并不是一个单纯的几何模型,而是众多数学定理、定义、规律、方法的融合,对其适度拓展可形成新的问题模型.例如,上述基于平面直角坐标系将其与抛物线相关联,形成了函数与几何背景下的“阿氏圆”模型,这也是中考命题的新趋势.因此,探究模型时,需要基于知识关联拓展延伸,引导学生联系抛物线的性质特征来挖掘“阿氏圆”,形成新问题的解析策略,拓展学生的思维方式.3.渗透思想方法,提升核心素养“阿氏圆”模型的突破,实则是相似转化的过程.在该过程中,通过截取线段、构建相似模型,能将含参线段和问题转化为一般的线段和问题,其中运用了数学的转化思想和模型思想.开展“阿氏圆”模型探究,不仅应关注模型的解析思路,还应立足模型的突破思想,从思想层面理解模型的本质及意义,这也是初中数学模型探究教学的重要任务.因此,在模型探究时,应合理渗透数学的转化思想和模型思想,引导学生理解数学思想的内涵,深刻体会思想方法解析问题的过程,领悟思想与知识之间密不可分的关系,逐步提升学生的核心素养.85。
基于阿波罗尼斯圆的应用
基于阿波罗尼斯圆的应用詹建峰(深圳市华侨城高级中学ꎬ广东深圳５１８０５３)摘㊀要:阿波罗尼斯圆在高中数学中的应用十分广泛ꎬ它不仅能帮助学生深入理解数学和几何的基本概念ꎬ还能大大简化解题时的计算.掌握阿波罗尼斯圆的基本应用ꎬ对学生数形结合的解题能力的培养有重要作用.关键词:阿波罗尼斯圆ꎻ性质ꎻ题型分类中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００４７－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:詹建峰(１９８２－)ꎬ男ꎬ河南省信阳人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀古希腊数学家阿波罗尼斯ꎬ他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆ꎬ简称阿氏圆.近几年ꎬ以阿氏圆为背景的考题不仅在高考中屡次出现ꎬ各地模拟试题中也频繁出现ꎬ文章将对此作详细分析.１阿氏圆定义的证明及性质阿波罗尼斯圆定义:在平面上给定相异两点ＡꎬＢꎬ设点Ｍ在同一平面上且满足ＭＡＭＢ＝λ(λ>０ꎬλʂ１)时ꎬ点Ｍ的轨迹是个圆ꎬ这个圆称之为阿波罗尼斯圆ꎬ简称为阿氏圆.解析㊀设定线段ＡＢ的长为２ａꎬ以线段ＡＢ所在直线为ｘ轴ꎬ线段ＡＢ的中垂线为ｙ轴ꎬ建立直角坐标系ꎬ则Ａ(－ａꎬ０)ꎬＢ(ａꎬ０)ꎬＭ(ｘꎬｙ).由ＭＡＭＢ＝λ(λʂ１)ꎬ得到(ｘ＋ａ)２＋ｙ２(ｘ－ａ)２＋ｙ２＝λ.化简得(１－λ２)ｘ２＋(１－λ２)ｙ２＋２ａ(１＋λ２)ｘ＋ａ２(１－λ２)＝０.即(ｘ－λ２＋１λ２－１ａ)２＋ｙ２＝(λλ２－１２ａ)２ꎬ表示的是以(λ２＋１λ２－１ ａꎬ０)为圆心ꎬ半径为｜λλ２－１ ２ａ｜的圆.㊀由上面的推导可以发现下列性质:(１)阿波罗尼斯圆上的任意点Ｍ满足ＭＡＭＢ＝λ(λ>０ꎬλʂ１)ꎻ(２)阿波罗尼斯圆的圆心Ｃ在直线ＡＢ上ꎬ半径为｜λλ２－１｜ＡＢꎻ(３)阿波罗尼斯圆的圆心Ｃ一定不在ＡꎬＢ之间ꎬ且ＣＡ ＣＢ＝ｒ２.２基于阿氏圆的题型分类阿氏圆问题可以拆解成:(１)定点Ａ㊁定点Ｂꎻ(２)定比λꎻ(３)定圆Ｃ.因此可以将阿氏圆有关的题型分解成以下几种类型类型１㊀已知定点Ａ㊁定点Ｂ和定比λꎬ求定圆Ｃ.例１㊀已知动点Ｍ与两个定点Ｏ(０ꎬ０)ꎬＡ(３ꎬ０)的距离之比为１２ꎬ求动点Ｍ的轨迹方程.解析㊀设点Ｍ(ｘꎬｙ)ꎬ则ｘ２＋ｙ２(ｘ－３)２＋ｙ２＝１２.整理得到ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－３＝０.７４即(ｘ＋１)２＋ｙ２＝４ꎬ是以(－１ꎬ０)为圆心ꎬ半径为２的圆.类型２㊀已知定点Ａ㊁定点Ｂ和定圆Ｃꎬ求定比λ.例２㊀已知两定点Ａ(２ꎬ０)ꎬＢ(１２ꎬ０)ꎬ点Ｍ为圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝１上任意一点ꎬ试探究｜ＭＡ｜｜ＭＢ｜是否为定值.解析㊀由题意设Ｍ(ｘꎬｙ)ꎬ｜ＭＡ｜｜ＭＢ｜＝(ｘ－２)２＋ｙ２(ｘ－１/２)２＋ｙ２＝５－４ｘ５/４－ｘ＝２ꎬ为定值.此类题对定点要求比较严格ꎬ具有一定的局限性ꎬ所以一般很少见.类型３㊀已知一定点Ａ㊁定比λ和定圆Ｃꎬ求另一定点Ｂ.例３㊀已知点Ｏ(０ꎬ０)ꎬ点Ｍ是圆(ｘ＋１)２＋ｙ２＝４上任意一点ꎬ问:在平面上是否存在点Ａꎬ使得｜ＭＯ｜｜ＭＡ｜＝１２?若存在ꎬ求出点Ａ的坐标ꎬ若不存在ꎬ说明理由.解析㊀假设存在点Ａ(ａꎬｂ)使｜ＭＯ｜｜ＭＡ｜＝１２ꎬ由题意设Ｍ(ｘꎬｙ)ꎬ则ｘ２＋ｙ２(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝１２.化简ꎬ得ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２３－２ａ３ｘ－２ｂ３ｙ.①又点Ｍ在圆(ｘ＋１)２＋ｙ２＝４上ꎬ所以ｘ２＋ｙ２＝３－２ｘ.②对比①②解得ａ＝３ꎬｂ＝０.所以存在点Ａ(３ꎬ０)使｜ＭＯ｜｜ＭＡ｜＝１２.类型４㊀已知一定点Ａ和定圆Ｃꎬ求另一定点Ｂ和定比λ.例４㊀已知Ｍ为圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝１上任意一点ꎬ若存在不同于点Ｅ(２ꎬ０)的点Ｆ(ｍꎬｎ)ꎬ使｜ＭＥ｜｜ＭＦ｜为不等于１的常数ꎬ则点Ｆ的坐标为.解析㊀由题意设Ｍ(ｘꎬｙ)ꎬ且｜ＭＥ｜｜ＭＦ｜＝ｔ(ｔ>０且ｔʂ１)ꎬ则ＭＥ＝ｔＭＦꎬＭＥ２＝ｔ２ＭＦ２.即(ｘ－２)２＋ｙ２＝ｔ２[(ｘ－ｍ)２＋(ｙ－ｎ)２].所以ｘ２＋ｙ２－２ｍｔ２－４ｔ２－１ｘ－２ｎｔ２ｔ２－１ｙ＝４－ｍ２ｔ２－ｎ２ｔ２ｔ２－１.因为Ｍ在圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝１上ꎬ所以２ｍｔ２－４＝０ꎬ２ｎｔ２＝０ꎬ４－ｍ２ｔ２－ｎ２ｔ２ｔ２－１＝０.ìîíïïïïï解得ｔ＝２ꎬｍ＝１２ꎬｎ＝０.所以Ｆ(１２ꎬ０).另解㊀由性质(３)知ＯＥ ＯＦ＝ｒ２ꎬ解得Ｆ(１２ꎬ０).对比两种解法可以发现ꎬ解题时巧妙运用阿氏圆的性质可以大大减少计算量[１].结论㊀已知圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上任意一点Ｍ和定点Ａ(ｘ０ꎬ０)(ｘ０ʂ０ꎬｘ０ʂʃｒ)ꎬ则ｘ轴上存在唯一点Ｂ(ｒ２ｘ０ꎬ０)ꎬ使得ＭＢＭＡ＝λ(λʂ１)ꎬ其中λ＝ｒｘ０为定值.㊀类型５㊀已知定比λ和定圆Ｃꎬ求定点Ａ和定点Ｂ.例５㊀已知Ｍ是圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２＝４上的任意一点ꎬ求ｘ轴上两定点ＡꎬＢꎬ使得｜ＭＡ｜｜ＭＢ｜＝１２恒成立.解析㊀设Ａ(ｍꎬ０)ꎬＢ(ａꎬ０)ꎬＭ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ由｜ＭＡ｜｜ＭＢ｜＝１２ꎬ得(ｘ０－ａ)２＋ｙ２０＝４[(ｘ０－ｍ)２＋ｙ２０].化简ꎬ得３(ｘ２０＋ｙ２０)＝(８ｍ－２ａ)ｘ０＋ａ２－４ｍ２.又ｘ２０＋ｙ２０＝４ꎬ可得８ｍ－２ａ＝０ꎬａ２－４ｍ２＝１２ꎬ{解得ｍ＝１ꎬａ＝４{或ｍ＝－１ꎬａ＝－４.{所以两定点分别为(１ꎬ０)ꎬ(４ꎬ０)或(－１ꎬ０)ꎬ(－４ꎬ０).结论㊀对于圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上任意一点Ｍꎬ在ｘ轴上存在不同两点Ａ(ａꎬ０)ꎬＢ(ｂꎬ０)(ａʂ０ꎬｂʂ０)ꎬ使得８４ＭＢＭＡ＝λ(λʂ１)ꎬ且ａｂ＝ｒ２ꎬａ＝ʃｒλꎬｂ＝λ２ａ.类型６㊀已知定点Ａ和定圆Ｃꎬ求最值或范围.阿氏圆常用于解决形如:ＭＡ＋ｋ ＭＢ(ｋʂ１)类线段的最值问题:其中Ｍ是动点ꎬＡꎬＢ是定点ꎬ且动点Ｍ在阿氏圆上运动.例６㊀已知圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝１和Ａ(－１２ꎬ０)ꎬ点Ｂ(１ꎬ１)ꎬＭ为圆Ｏ上动点ꎬ则２ＭＡ＋ＭＢ的最小值为.解析㊀令２ＭＡ＝ＭＣꎬ则ＭＡＭＣ＝１２.由题意可得圆ｘ２＋ｙ２＝１是关于点ＡꎬＣ的阿波罗尼斯圆ꎬ且λ＝１２.设点Ｃ坐标为Ｃｍꎬｎ()ꎬ则ＭＡＭＣ＝ｘ＋１/２()２＋ｙ２ｘ－ｍ()２＋ｙ－ｎ()２＝１２.整理ꎬ得ｘ２＋ｙ２＋２ｍ＋４３ｘ＋２ｎ３ｙ＝ｍ２＋ｎ２－１３.由题意得该圆的方程为ｘ２＋ｙ２＝１ꎬ所以２ｍ＋４＝０ꎬ２ｎ＝０ꎬｍ２＋ｎ２－１３＝１ꎬìîíïïïï解得ｍ＝－２ꎬｎ＝０.{所以点Ｃ的坐标为(－２ꎬ０).所以２ＭＡ＋ＭＢ＝ＭＣ＋ＭＢ.因此当点ＭꎬＣꎬＢ在同一条直线上时ꎬ２ＭＡ＋ＭＢ＝ＭＣ＋ＭＢ的值最小ꎬ且为(１＋２)２＋(１－０)２＝１０.故２ＭＡ＋ＭＢ的最小值为１０.从上面例题中我们可以得到ＭＡ＋ｋ ＭＢ(ｋʂ１)类问题更加一般性的解题步骤:运用:动点在圆上运动ꎬ两线段(带系数)相加求最小值.形如:ＭＡ＋ｋ ＭＢ(ｋʂ１)的最小值(ｋ为系数)ꎻ原理:构造共边共角相似ꎬ转移带系数的边ꎬ利用两点间线段最短求最小值.变式㊀在平面直角坐标系中ꎬ已知点Ａ(０ꎬ３)ꎬ圆Ｃ:(ｘ－ａ)２＋(ｙ－２ａ＋４)２＝１.若圆Ｃ上存在点Ｍꎬ使｜ＭＡ｜＝２｜ＭＯ｜ꎬ则实数ａ的取值范围是.解析㊀由题意设Ｍ(ｘꎬｙ)ꎬ且｜ＭＡ｜＝２｜ＭＯ｜ꎬＡ(０ꎬ３)ꎬ所以ｘ２＋(ｙ－３)２＝２ｘ２＋ｙ２.化简ꎬ得ｘ２＋(ｙ＋１)２＝４.所以Ｍ既在圆Ｃ:(ｘ－ａ)２＋(ｙ－２ａ＋４)２＝１上ꎬ又在圆Ｄ:ｘ２＋(ｙ＋１)２＝４上.所以圆Ｃ与圆Ｄ有公共交点ꎬ由圆与圆的位置关系知:２－１ɤＣＤɤ２＋１.所以１ɤａ２＋(２ａ－３)２ɤ３.解得０ɤａɤ１２５[２].类型７㊀阿氏圆在复数ꎬ三角等问题中的应用.例７㊀设复数ｚ＝ｘ＋ｙｉ(ｘꎬｙɪＲ)ꎬ且ｚ－１＝２ｚ＋１ꎬ则复数ｚ所对应的点的轨迹形状是.解析㊀因为ｚ－１ｚ＋１＝２ꎬ显然复数ｚ所对应的点到(１ꎬ０)和(－１ꎬ０)的距离之比为定值２ꎬ所求轨迹形状是阿氏圆.例８㊀(２００８年江苏高考题)在әＡＢＣ中ꎬ若ＡＢ＝２ꎬＡＣ＝２ＢＣꎬ求әＡＢＣ面积的最大值.解析㊀以ＡＢ中点为坐标原点ꎬ以ＡＢ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系ꎬ则Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(１ꎬ０).由ＡＣＢＣ＝２ꎬ易知Ｃ的轨迹为阿氏圆(ｘ－３)２＋ｙ２＝８(ｙʂ０)ꎬ记圆心坐标为Ｍꎬ显然ＣＭʅｘ轴时ꎬәＡＢＣ面积最大ꎬ为２２.阿氏圆的应用十分广泛ꎬ高中阶段充分掌握阿氏圆的概念及其性质是必要的ꎬ在实际解题中灵活运用会给我们带来意想不到的效果.参考文献:[１]李旭员.基于阿波罗尼斯圆的逆向探究[Ｊ].河北理科教学教研ꎬ２０１４(０１):４５－４７.[２]李宽珍.善辟蹊径㊀深化复习:以阿波罗尼斯圆教学设计为例谈微专题教学[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０１５(１２):２８－３０.[责任编辑:李㊀璟]９４。
阿波罗尼斯圆逆定理证明
阿波罗尼斯圆逆定理证明阿波罗尼斯圆逆定理证明：阿波罗尼斯圆，又称阿波罗尼斯圆盘，是一个古老的数学概念。
它是由古希腊数学家阿波罗尼斯提出的，其相关定理在几何学领域具有重要的地位。
阿波罗尼斯圆逆定理是指，若一个圆内接四边形的对角线相等，则该圆为正方形。
本文将详细阐述阿波罗尼斯圆逆定理的证明过程及其应用。
首先，让我们简要了解一下阿波罗尼斯圆。
给定一个圆，圆内接四边形的对角线相等，那么这个圆就称为阿波罗尼斯圆。
阿波罗尼斯圆的性质丰富，包括对角线互相平分、直径等于对角线的一半等。
这些性质在几何学中具有广泛的应用。
接下来，我们来看阿波罗尼斯圆逆定理的证明。
假设四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC=BD。
我们需要证明：若AC=BD，则四边形ABCD为正方形。
证明过程如下：1.由于ABCD为圆内接四边形，根据阿波罗尼斯圆的性质，我们有∠A=∠C，∠B=∠D。
2.又因为AC=BD，所以∠A=∠C，∠B=∠D。
3.由此可知，四边形ABCD的两对相对角相等，即ABCD为平行四边形。
4.由于ABCD为平行四边形，且AC=BD，我们可以得出结论：四边形ABCD为矩形。
5.最后，由于矩形的对角线相等且垂直，我们有∠A=90°，同理∠B、∠C、∠D均为90°。
因此，四边形ABCD为正方形。
阿波罗尼斯圆逆定理的证明完毕。
这一定理在几何学中具有重要意义，它将圆内接四边形的性质与正方形的性质紧密联系在一起，为后续研究提供了丰富的理论基础。
在实际应用中，阿波罗尼斯圆逆定理可以用于解决一些涉及圆和正方形的问题。
例如，在给定一个圆内接四边形，可以利用阿波罗尼斯圆逆定理判断该四边形是否为正方形，从而简化问题。
此外，该定理还为其他几何问题的证明和求解提供了有力的工具。
总之，阿波罗尼斯圆逆定理是一个具有重要意义的几何定理。
阿波罗尼斯圆逆定理证明
阿波罗尼斯圆逆定理证明阿波罗尼斯圆逆定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个在两个圆相交的情况下的关系。
本文将为您详细介绍阿波罗尼斯圆逆定理的证明过程。
首先，我们来研究两个相交的圆。
设圆A的半径为r，圆心为O1，而圆B的半径为R，圆心为O2。
此时，我们可以通过连接两个圆心形成的直线来研究它们的关系。
根据几何关系，如果两个圆相交于两个点，那么它们与圆心连线的垂直平分线将交于一点，此点我们称之为A点。
同样，我们可以得到另外一个点，我们称之为B点。
此时，将圆A和圆B的圆心连线延长到A点和B点，分别交于E和F。
由于A点和B点分别是两个圆的相交点，所以AE和BF是两个圆的切线。
接下来，我们来证明AE和BF的长度相等。
首先，我们可以通过AO1和OO2的长度关系求得AO1的长度是r/(R-r)倍的OO2，而AO2的长度则是R/(R-r)倍的OO1。
我们可以根据勾股定理得出OO1²=OO2²+r²和OO1²=R²+OO2²。
将这两个等式合并起来，我们可以得到OO1²=OO2²+r²=R²+OO2²。
由于OO1和OO2是两个圆心之间的距离，所以它们是常数，我们可以将其记为d。
现在，我们来求AE的长度。
我们可以使用勾股定理，假设AE=x，那么AO1²=x²+(r-d)²。
同样，我们可以求得BF的长度，假设BF=y，那么AO2²=y²+(R-d)²。
接下来，我们再次利用前面的等式OO1²=OO2²+r²=R²+OO2²，将它们合并起来，得到x²+(r-d)²=y²+(R-d)²。
由于OO1²=OO2²+r²=R²+OO2²是常数，所以我们可以将其记为c，我们可以进一步化简得到x²-y²=c-2dr+R²-r²。
关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究
!关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究"江苏省通州高级中学!李欣荣阿波罗尼斯圆在高中数学中十分常见!其是古希腊著名数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线深入研究而总结的数学性质规律!探究阿波罗尼斯圆的性质特征有助于深入认识圆的定义!可有效解决相关圆类问题!下面对其加以探究!供读者参考!!问题引出!.!习题回顾在苏教版必修!的教材中有如下一道习题%已知点D)&!%*与两个定点0)"!"*!(),!"*的距离之比为#!!那么点D的坐标应满足什么关系+画出满足条件的点D形成的曲线!解析 对于上述问题!可由题意得&!*%槡!)&",*!*%槡!$#!!化简整理得)&*#*!*%!$&!显然满足条件的点D所形成的曲线是以点)"#!"*为圆心$!为半径的圆!)图略*!."问题一般化将本题进行一般化!思考如下问题%动点D到两定点(和'的距离的比值为一定值!即D($"D'!那么点D的轨迹曲线还是圆吗+基于对上述实例的猜想!显然可知点D的轨迹还是圆!具体证明可采用如下代数几何方法%设('$!B)B&"*!D($"D'!以('的中点为坐标原点!('所在直线为&轴建立平面直角坐标系!则可推知点()"B!"*!')B!"*!再设点D)&!%*!由D($"D'!可得)&*B*!*%槡!$")&"B*!*%槡!!整理可得)"!"#*&!"!B)"!*#*&*)"!"#*%!$B!)#""!*!当"$#时!&$"!此时点D的轨迹为线段('的垂直平分线&当"$#时!有&""!*#"!"#B)*!*%!$&"!B!)"!"#*!!则其轨迹可视为是以点"!*#"!"#B!")*为圆心!以!"B"!"#长为半径的圆!"深入探索".!定义认识实际上!在高中数学中我们将上述所探究的轨迹称之为阿波罗尼斯圆!也称阿氏圆!其是古希腊数学家阿波罗尼斯在著作"圆锥曲线论#中提出的一个著名问题%在平面内给定两点(和'!设点+在同一平面内且满足+(+'$")"&"!"$#*!则点+的轨迹是一个圆!对于上述定义!需要关注阿波罗尼斯圆条件与结论的三个要素%一是两定点&二是线段长之间的定比&三是轨迹为圆的条件!"&"!"$#!对上述证明过程进一步推导!我们可以发现以下几点%)#*阿波罗尼斯圆上的任意一点均满足+(+'$"!)"&"!"$#*&)!*设点)为阿波罗尼斯圆的圆心!则点)始终在直线('上!且半径长为!"B"!"#$""!"#('&),*圆心)虽然在('所在直线上!但不一定位于两点之间!且)(0)'等于半径的平方!"."性质总结阿波罗尼斯圆是一种特殊的几何模型!该圆的一些性质在高中数学解题中十分常用!合理利用可提高解题效率!下面总结三条常用的性质!性质! 设('$7!(+#+#'$(+!+!'$"!则(+#$"7#*"!+#'$7#*"!(+!$"7""#!'+!$7""#!则所作得的阿波罗尼斯圆的直径为+#+!$!7""!"#$!7""#"!圆的面积可表示为'!7""!"#)*!!性质" 当"&#时!点'位于圆0内!点(位于&$备习备考解法探究!"!!年!月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.!圆0外&当"%"%#时!点(位于圆0内!点'位于圆0外!性质# "$0(N $N 0'!"!$0(00'!"越大!则圆越小!上述总结了阿波罗尼斯圆的三条重要性质!其中性质#是关于圆常规属性的描述!可结合问题条件直接构建圆的方程&性质!则是对定义中定点(和'与圆位置关系的描述!显然与线段比值"密切相关!利用该性质可直接确定点(!'与圆轨迹的位置!利于图形绘制&性质,则直接构建了圆半径与线段0(和0'的关系!并基于圆半径7""#"分析了圆大小与"的关系!有利于解析动态圆的大小变化!在实际解题时要充分理解阿波罗尼斯圆的三条性质要点!合理利用性质转化问题条件!构建解题思路!#应用探究阿波罗尼斯圆的性质条件在高中圆锥曲线考题中应用十分广泛!可正向引用圆的性质!也可逆向使用阿波罗尼斯圆的定义!下面结合不同类型考题开展应用探索!例题!如图#所示!在2(')中!已知')$&!@56)$!@56'!则当2(')的面积取得最大值时!')边上的高为!图#图!解析 以')中点为坐标原点0!线段')所在直线为&轴建立平面直角坐标系!如图!所示!由题意可推知点')"!!"*!))!!"*!已知@56)$!@56'!则('$!()!可设点()&!%*!则)&*!*!*%槡!$!)&"!*!*%槡!!整理可得&"#",)*!*%!$+&%!则点(的轨迹是以点>#",!")*为圆心!-,为半径的圆!分析可知!当2(')的面积取得最大值时!高最大!则点(到&轴的距离最远!故点(的坐标为#",!L -,)*!则')边上的高为-,!评析#上述探究三角形取得最大值时')上的高!解析过程分两步进行!第一步!构建坐标系求点(的轨迹方程$第二步!探究2(')面积最大值时点(的坐标!若能把握其中的阿波罗尼斯圆!则可以结合对应公式直接确定圆的方程!本题目中7$&!"$!!则圆的半径为N $7""#"$!!"#!$-,!圆心为"!*#"!"#B !")*!则圆心>的坐标为#",!")*!则圆的方程为&"#",)*!*%!$+&%!$反思总结阿波罗尼斯圆的性质特点在高中数学中十分重要!也是高考的考查重点!掌握阿氏圆的性质特点!对于动点问题的转化求解极为有利!教学中要强化定义!整理性质!引导学生探索问题求解的方向!及阿氏圆知识的利用思路!下面提出两点建议!$.!关注模型题源拓展衍生应用课本并没有将阿波罗尼斯圆作为核心内容进行讲解!但其隐含在教材的习题中!其解析方法和知识背景也是高考模型问题的根本!具有极高的研究价值!教学中要引导学生关注模型题源!深刻理解模型定义!挖掘模型性质!阿氏圆的定义及性质有正向和逆向两种使用思路!教学中笔者建议采用知识拓展的模式!引导学生全面了解其应用思路!提升学生解题的灵活性!$."合理多解探究强化模型认识从上述例题的探究中可发现!对于与阿氏圆相关的圆锥曲线问题!一般有常规和模型两种突破思路!其中常规法的推理过程较为繁复!在推导动点轨迹时计算量大!而利用阿氏圆的定义及性质则可直接求解轨迹方程!有效降低了思维难度!教学中笔者建议对阿波罗尼斯圆相关问题开展一题多解!引导学生采用多种方法解析问题!帮助学生积累简算经验!提升解题能力!同时在多解探究中!可强化学生对模型的认识!培养学生的模型意识!参考文献%#&施德仪!关于+阿氏圆,模型的探究与思考%B &!数学教学通讯!!"!"(!,)!%!&顾旭东!王金忠!探+源,觅+圆,!才能+方圆,***对一道课本习题的再认识%B &!中学数学(上)!!"!"(##)!%,&李慧华!张艳宗!巧用阿氏圆解距离和差的最值问题%B &!高学数学教与学!!"!"(#+)!-'$!"!!年!月上半月解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
阿波罗尼斯圆的数学推导与证明
阿波罗尼斯圆的数学推导与证明哎呀，说起阿波罗尼斯圆的数学推导与证明，那可真是让我这个老数学教师想起了不少往事。
记得我年轻时，那可是热血沸腾啊，满脑子都是数学公式，满手都是粉笔灰。
现在呢，虽然头发已经花白，但一提到阿波罗尼斯圆，那股热情劲儿还是忍不住涌上心头。
阿波罗尼斯圆，这名字听起来就挺有学问的，它其实是一个几何问题。
咱们先来说说这个问题是怎么来的。
话说当年，古希腊的数学家们研究一个挺有趣的问题：给定三个点，能不能找到一个圆，让这三个点都在这个圆上呢？这个问题看似简单，其实蕴含着大智慧。
那咱们就开始推导吧。
首先，咱们假设这三个点分别是A、B、C，它们分别在圆上的位置分别是X、Y、Z。
那么，根据圆的定义，我们知道圆上的每个点到圆心的距离都是相等的。
这样一来，我们就得到了三个方程：X² + Y² = R² （X、Y在圆上）X² + Z² = R² （X、Z在圆上）Y² + Z² = R² （Y、Z在圆上）这三大公式，咱们得好好研究研究。
其实，这三个公式都可以写成R²的形式，看起来挺像那么一回事儿。
但是，咱们得找到一个规律，把这三个公式联系起来。
于是，我就开始冥思苦想。
突然，我眼前一亮，心想：这三个公式其实都在说一个事情，那就是圆上任意两点到圆心的距离之和是一个常数。
于是，我就把三个方程分别相减，得到了一个很有趣的结果：XY = XZ - YZ这个结果，咱们得好好琢磨琢磨。
你看，它把三个点之间的关系揭示得一清二楚。
有了这个结果，咱们就可以开始证明阿波罗尼斯圆了。
咱们先假设A、B、C三个点不共线，那么它们就可以组成一个三角形。
根据上面的公式，我们知道X、Y、Z这三个点都在圆上，那么这个圆就是阿波罗尼斯圆。
如果A、B、C三个点共线，那么这个圆就变成了一个点，但这并不影响我们的证明。
所以，经过一番努力，我终于找到了阿波罗尼斯圆的证明方法。
阿波罗尼斯圆的逆向探究及其应用
40中学数学研究2020年第11期(上)阿波罗尼斯圆的逆向探究及其应用佛山市南海区黄岐高级中学(528248)熊向前我们知道，到两个定点的距离之和、之差为定值的点的轨迹分别为椭圆、双曲线，那么到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是什么呢？很多文章对此进行了研究,并得岀了阿波罗尼斯圆的相关结论.本文在阿波罗尼斯圆的基础上进行逆向探究，得岀了几个结论，并结合各地的高考题及模拟题给岀相关应用.现整理成文，不当之处敬请批评指正.―、问题的提出题目(人教A版必修二第124页B组第2题)已知点M与两个定点0(0,0),A(3,0)的距离之比为—,求M的轨迹方程.(答案是(x+1)2+y2=4.)线上，且一个定点在圆内，一个定点在圆外.当入〉1时,圆心在线段AB的延长线上,A点在圆外,B点在圆内；当0<A<1时，圆心在线段AB的反向延长线上,B点在圆夕卜,A点在圆内.由阿波罗尼斯圆的定义可知，由两个定点及常数A可确定一个圆，那么，对上述问题进行逆向思考，是否又有相关的结论呢？笔者对此进行了探究.二、阿波罗尼斯圆的逆向探究该题反映了到两个定点的距离之比等于定值的点的轨迹问题，联想到椭圆、双曲线的定义，我们不禁会问：平面内到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹是否都是圆呢？古希腊数学家阿波罗尼斯(公元前约262-190年)对这个问题进行了研究,并得岀了阿波罗尼斯圆的相关结论.阿波罗尼斯圆的定义：设A、B是平面内两个定点,平面内动点P到A点与到B点的距离之比为常数入(入〉0且入=1),则点P的轨迹为圆,这个圆被称为阿波罗尼斯圆,图1探究一已知一个半径为r的圆O及常数A(A>0且A=1),是否存在两点A、B,使得对圆上任意一点P都有PA舘=A呢？A、B两点有何位置关系？分析假设存在满足条件的两点A、B,以圆心O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则圆O的方程为x2+y2=r2,设A(m,0),B(n,s),设P(x°,y o)是圆O上任意一点,则有显一m)”+色=A(*)(x o一n)2+(y o一s)2结合x”+y”=r2可将上式化为(A2-1)r2+(2m-2nA”)x o—2sA”y o+A2n2+A”s2—m2=0,由于(*)式对任意的P(x o,y o)都成立，故此式对任意的x o,y o也恒成立,所以2m—2nA”=0PAPB简称阿氏圆，这两个定点我们称之为阿波罗尼斯圆对应的定点.—2sA”=0(1)(2)证明如图1所示，以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=2a(a>0),则(A2-1)r2+A”n2+A”s2-m2=0由(1)(2)得(3)A(—a,0),B(a,0),设点P(x,y),则由定义得(x+a)2+y2J(x—a)2+y2入即(x-址I a)+y22a入2所以P点的轨迹为以(器|a,0)为圆心，以需叫为半入2—1入2—1径的圆.通过上述证明可以发现阿波罗尼斯圆有以下几个性质:(1)阿波罗尼斯圆上任意一点到两个定点的距离之比为常数；(2)阿波罗尼斯圆的半径为AB;入2—1(3)阿波罗尼斯圆对应的两个定点与圆心在同一条直s=0,A”=mnr2代入(3)并整理得(J-m)(m-n)=0,因为m=n,所以r2n2—m=0即mn=r2(5) n r联立(4)(5)得m=Ar,n=所以存在两个定点Ar PAA(Ar,0),B(0)使得对圆上任意一点P都有=A,由这两点的坐标可知，它们都在过圆心O的一条射线上，且一个在圆内,一个在圆外.忽略坐标系，我们可以得到以下结论：定理1已知半径为r的圆O及常数A(A>0且A=1),在过圆心O的任意一条射线上必存在唯一两定点A、B,使⑷2020年第11期（上）中学数学研究41PA得对圆上任意一点P都有PPA=A,其中A、B两点满足rOA=Ar,OB=-.A探究二已知一个半径为r的圆O及圆内(或圆外)任PA意一定点A,在圆外(或圆内)是否存在一点B,使得続等于常数呢此常数为多少？点在圆外，则过A点作圆的切线得到两个切点，两切点的连线与直线OA的交点即为B点.通过探究二的分析容易得到以下判定定理:由阿波罗尼斯圆的性质知，两定点与圆心三点共线，而由探究一的分析知,在阿波罗尼斯圆中,两定点A、B到圆心的距离满足OA•OB=r2,定理3对于半径为r的圆O及两定点A、B,若A、B 两点在以圆心O为端点的射线上,且满足OA•OB=r2,则圆O为以A、B为定点的阿波罗尼斯圆，即：对圆上任意一点P都有为常数，且此常数等于(或岛).(证明PB r OB过程同定理2的证明基本一样，此处不再赘述)三、阿波罗尼斯圆的应用举例所以若存在满足条件的点B,则B必r2在射线OA上且OB=£,下面证明当A点在圆内时这样OA例1(2008年高考江苏卷)若AB=2,AC=BC,则S a abc的最大值是的点B满足条件.r2证明因为OB=乙,所以当A点在圆内时,B点在OA圆外.如图2所示，设P为圆O上任意一点，当P点不在直r2线OA上时，连接PO、PA、PB,因为OB=—,所以OA简析因为ACAC72bc,所以BC72,从而C点的轨迹是以A、B为定点且比值A=V2的阿波OP2OB=OPOA*OP=OA,又由ZPOA=ZBOP得APOA-ABOP,所以PA=OA=OAPB OP r当P点在线段AB上时,PA=r-OA PB OB—r r OAr2OA一rOAr当P点在AB的反向延长线上时,PA=OA+r PB OB+r OA+rr2OA+rOArPA所以，对圆O上任意一点P都有笔等于常数，此常数为OA PBr同理可证，当A点在圆外时，线段OA上必存在一定点r2PAB且OB=—,使得对圆O上任意一点P都有—为常OA OA PB数,且此常数等于.由此我们可以得岀以下结论：r定理2已知半径为r的圆O及圆O内(圆O夕卜)一定点A,在OA的延长线(线段OA)上必存在一定点B且r2PAOB=£,使得对圆O上任意一点P都有篇为常数，此OA OA PB常数等于空.r联想到圆中极点与极线理论的知识，容易发现B点可看罗尼斯圆，此圆圆心在AB的延长线上，设其半径为r,则r=—孚一x2=2V2,所以S a abc的最大值是(血)”-11x2x2^2=—P—评析此题常规方法是以BC为变量，结合余弦定理及同角三角函数的平方关系或直接利用海伦公式S=Jp(p—a)(p—b)(p—c)将S a abc表示成变量BC 的函数，再转化成函数的最值问题，但运算量大，不易得岀正确的答案,而结合阿波罗尼斯圆的概念，数形结合地去解决则大大减小了计算量，省时高效，形象直观，凸显问题的本质.例2(2012年全国高中联赛福建预赛)已知圆C: (x-2)2+(y-2)2=m,点A(4,6),B(s,t);(1)略;(2)若s、t为正整数，且圆C上任意一点到A的距离与到B的距离之比为定值A(A>1),求m的值.简析(2)由题意可知圆C可以看成是以A、B为定点以A为比值对应的阿波罗尼斯圆，由阿波罗尼斯圆的性质可知，A、B两点及圆心C⑵2)三点共线，由于A>1,故A 在圆外,B在圆内，圆心C在线段AB的延长线上,所以有{t-6=6-2口=4—2,又因为s、t为正整数，解得s=3,t=4, 2<s<4,从而得m=r2=CA•CB=10.例3(2014年高考湖北文科卷)已知圆O:x2+y2=1和点A(—2,0),若点B(b,0)(b=—2)和常数A满足：对圆O上任意一点M,都有|MB|=A|MA|,则(1)b=____;(2) A成是A点关于圆O对应的极线与直线OA的交点，因此B 点也可以由以下几何方法作图得到：若A点在圆内，则连接简析由题意可得圆O是以A、B为定点，以A为比值对应的阿波罗尼斯圆，由阿波罗尼斯圆的性质可OA,过A点作OA的垂线交圆O于M、N两点，再过分别过M、N两点作圆O的切线，两切线的交点即为B点;若A 知：OA•OB=r2,所以OBr2A=OA1—.OA1,则b1—,42中学数学研究2020年第11期(上)评析例2、例3用常规的解析方法不易得岀正确答案,而利用阿波罗尼斯圆的相关性质去思考则可以将问题迅速“秒杀”.例4已知点P在边长为2的等边AABC的内切圆上运动，则AP+2PB的最小值是分析该题最容易想到的方法是解析法，即建立平面直角坐标系，求岀内切圆的方程,通过圆的参数方程形式将所求目标式表示成角度的函数,再通过导数知识求岀最小值.这样做思路简单,c 图3但计算非常繁琐.如图3所示，由于P点是圆上一动点,A、B为圆外的两定点,故可考虑将圆O看成是点A或点B对应的阿波罗尼斯圆，因此可将AP或PB进行转化，结合目标式AP+2PB 中的系数2可知,应将圆O看成是点A对应的阿波罗尼斯圆.由阿波罗尼斯圆的性质可知，在OA上存在一点D使得PA r23PA OA为定值，此时,OD==怜,=—=2,所以PD OA6PD rPA=2PD,则AP+2PB=2PD+2PB=2(PD+PB),由图像可知，当P、B、D三点共线时,PD+PB最小，故常数.解决此类题目的方法是利用阿波罗尼斯圆的性质将a+Ab转化成圆上动点与圆内外两定点的距离之和,再利用两点之间线段最短的几何性质来解决.图5例6(2015年高考湖北理科卷)如图5,圆C与x轴相切与点T(1,0),与y轴正半轴交于点A,B(B在A的上方)，且|AB|=2.(1)求圆C的标准方程；⑵过A作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点，下列三个结论：aJNAi=IMAi.⑤|N B||MA|=2；列三I结论：①|n B|=|MB|；①|NA||MB|=；①跆+陽=—7—.其中正确的序号的—.(写岀所有正确结论的序号)解析(1)圆C的标准方程为(x-1)2+(y-J—)2=2;(2)易求A(0,7—-1),B(0,7—+1),因为圆C与x轴相切，由切割定理可得OT2=OA•OB,即OA•OB=r2(r 为圆O的半径),故由本文定理3可知，圆O为A、B两定点对应的阿波罗尼斯圆，由阿波罗尼斯圆的性质可得(AP+2PB)min=2BD=27AD2+AB2-2AD•AB cos ZDAB=77.|NA|==OA=応|NB||MB|r例5(2019年苏北七市三模)在平面四边形ABCD中, ZBAD=900,AB=2,AD=1.若A b B•+一！•—= 3一！•CB,则CB+*CD的最小值是.解析以A为原点建立如图4所示的坐标系，则A(0,0),B(2,0),D(0,1),设C(x,y),则由一^•立+一！•BE=4—A・CB可得C点的轨迹方程为(x—1)2+y2=4,故C点在以E(1,0)为圆心，2为半径的圆上运动，根据则騁=72+1，故|NB||MA|NA|一|MB|NB||MA||NA|+|MB|所以①1①2①3均正确.(a/—+1)—(a/——1)=2,(7—+1)+(7—-1)2“—,评注本题的命题背景实质上是阿波罗尼斯圆的相关性质，它将阿波罗尼斯圆藏得比较深，需利用圆中的切割定理所求目标式，考虑将圆E看成是点B对应的阿氏圆，则在EB的延长线上存在一点F,使得为定值，此时,C Fef=EB=4,CF=竽=—，所以CB=—cf，则CB+1CD=—CF+—CD=1(CF+CD)2-DF=字,故所求最小值为字.评注例4、例5可以归结为：已知圆外或圆内的两个定点及圆上一动点，求a+Ab的最小值问题，根据以上结论，实质上是已知阿波罗尼斯圆及对应的一个定点,要确定另外一个定点的问题,A的值实际上是阿波罗尼斯圆中对应的比例来找到OA、OB与圆O半径的关系，进而发现圆O实际上是A、B两定点对应的阿波罗尼斯圆.相对于官方提供的解析法，本文的方法起到了四两拨千斤的效果.四、结束语许多高考试题都是课本例题、习题的变形、深化或拓展,体现了“高考题源于课本而又高于课本”的特点，因此，我们要重视引导学生对课本例题、习题的探究与推广，鼓励他们深入挖掘其内涵,这样不仅能理解问题的本质，还能帮助他们找到解决问题的通性通法，形成自己的“秒杀技巧”,提高探究问题的能力.。
阿波罗尼斯圆逆定理证明
阿波罗尼斯圆逆定理证明【原创实用版】目录1.阿波罗尼斯圆的定义与性质2.阿波罗尼斯圆逆定理的概念3.阿波罗尼斯圆逆定理的证明方法4.阿波罗尼斯圆逆定理的应用正文一、阿波罗尼斯圆的定义与性质阿波罗尼斯圆，又称为圆的阿波罗尼斯，是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的一个关于圆的定理。
阿波罗尼斯圆是一个与圆相关的特殊图形，其定义为：以任意三角形的三个顶点为圆心，分别以三角形三边的长度为半径作圆，这三个圆相交于四个点，这四个点构成的图形称为阿波罗尼斯圆。
阿波罗尼斯圆具有很多有趣的性质，如四个顶点共圆等。
二、阿波罗尼斯圆逆定理的概念阿波罗尼斯圆逆定理是阿波罗尼斯圆的一个推广，其概念为：若一个四边形的四个顶点在一个圆上，则这个四边形的任意一对相对角线中点也在这个圆上。
这个定理是基于阿波罗尼斯圆的性质推导出来的，具有一定的几何意义。
三、阿波罗尼斯圆逆定理的证明方法为了证明阿波罗尼斯圆逆定理，我们可以采用向量法、几何法等多种方法。
以下是一种简单的向量法证明：设四边形 ABCD 的顶点 A、B、C、D 在一个圆上，E、F 分别为线段AB、CD 的中点。
我们需要证明 AE、BF 也在这个圆上。
以圆心 O 为原点，建立平面直角坐标系。
设圆的半径为 r，则 A、B、C、D 的坐标分别为（r, 0）、（-r, 0）、（0, r）和（0, -r）。
根据中点坐标公式，可得 E、F 的坐标分别为（0, 0）和（0, 0）。
设 AE 的向量为 a，BF 的向量为 b，则有：a = (r, 0) - (0, 0) = (r, 0)b = (0, r) - (0, 0) = (0, r)根据向量的数量积公式，有：a·a = ||a|| = rb·b = ||b|| = r又因为四边形 ABCD 的内角和为 360°，所以∠BAE + ∠CAF = 180°。
根据向量的数量积公式，有：a·b = ||a||·||b||·cos(∠BAE + ∠CAF) = -r由于 a·a = b·b，且 a·b < 0，所以向量 a 与向量 b 垂直。
从课本中的阿波罗尼斯圆问题
从课本中的阿波罗尼斯圆问题探讨数学文化在教学中的渗透靖江市第一高级中学 数学组 印栋E-mail: yde2003@ 邮编：214500克莱因在其名著《西方文化中的数学》中指出：数学是一种精神，一种理性的精神．正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵．因此，美国数学学会主席魏尔德说：“数学是一种会不断进化的文化”．正是数学与文化以及数学文化的不断交融及相互促进，才使数学在人类文明的发展中起到了举足轻重的作用并获得了如此多的赞誉．在新课程改革中，数学文化不再是被孤立的装饰品，而是渗透在相关模块和专题中．新课标《苏教版·必修2》在第2章平面解析几何初步第2.2节圆与方程介绍了圆的标准方程和一般方程后编排了这样一道习题：习题2.2（1）10.已知点)(y x M ，与两个定点)03()00(，，，A O 的距离之比为2/1，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线．分析：由于有了课上推导圆标准方程的过程可作为参照，大部分学生不需费太多的气力就可以解出上述的问题，解法如下．解析：由题知2/1/=MA MO ，将距离公式代入可得12=， 化简整理即得到该曲线的方程为： 4)1(22=++y x .因此，所求点M 所形成的曲线是以（－1，0）为圆心，2为半径的圆（图略）．这道题实际上源自约公元前262～前190的古希腊人阿波罗尼斯（Apollonius of Perga ，也有文献上将其名字翻译为“阿波罗尼奥斯”）在其巨著《圆锥曲线论》给出的一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A 、B ，设P 点在同一平面上且满足λ=PB PA /，当λ大于0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆”，这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹”．同上题一样，我们用解析法完全可以证明：与A 、B 距离之比等于λ的动点轨迹为圆．但如果每题都先用解析法求出圆的方程，再根据圆心及半径作出圆，显然很费事，特别是对一些选择题或填空题如此解法实在小题大做，能否找出阿波罗尼斯圆的简捷作法？下述定理可给出明确答案． 定理：A 、B 为两已知点，P 、Q 分别为线段A B 的定比为λ(λ≠1)的内、外分点，则以P 、Q 为直径的⊙O 上任意点到A 、B 两点的距离之比等于常数λ．证明：不妨以λ>1为例．设a AB =，过B 作⊙O 的与直径PQ 垂直的弦CD ，则1+=λλa AP ，1+=λa PB ，1-=λλa AQ ，1-=λa BQ ． 由相交弦定理及勾股定理有，，1111·1·222222222222-=-+=+=-=-+==λλλλλλa a a BC AB AC a a a BQ PB BC 于是，，1122-=-=λλλa AC a BC 且λ=BC AC ． 从而，C Q P 、、同时在到A 、B 两点距离之比等于λ的曲线（即圆）上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，⊙O 上任意点到B A 、两点的距离之比等于常数．根据以上过程，关于阿波罗尼斯圆我们还有如下一些显然的性质（证明略）．①因AQ AP AC ⋅=2，故AC 为⊙O 的一条切线；②点C 为⊙O 的切线AC 的切点，CP 、CQ 分别为ACB ∠的内、外角平分线；③当λ>1时，点B 在⊙O 内，点A 在⊙O 外；当0<λ<1时，点A 在⊙O 内，点B 在⊙O 外； ④所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122-=λλa PQ ，圆的面积为221⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλπa ； ⑤过点B 作⊙O 的不与CD 重合的弦EF ，则AB 平分EAF ∠．因为BO AB BF BE BC ··2==，所以E O F A 、、、四点共圆，AB 平分EAF ∠．结合其中的部分性质，我们可以尝试一些应用：应用1 在x 轴正半轴上是否存在两个定点A 、B ，使得圆422=+y x 上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数2/1？如果存在，求出点A 、B 坐标；如果不存在，请说明理由．解：假设在x 轴正半轴上存在两个定点A 、B ，使得圆422=+y x 上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数2/1，设)(y x P ，、)0(1，x A 、)0(2，x B ，其中210x x >>． 由题12=对满足422=+y x 的任何实数对)(y x ，恒成立，整理得222212212(4)43()x x x x x x y -+-=+，将422=+y x 代入得：2212212(4)412x x x x x -+-=， 这个式子对任意[]22，-∈x 恒成立，所以一定有：12222140412x x x x -=⎧⎨-=⎩，因为012>>x x ，所以解得11=x 、42=x ．所以，在x 轴正半轴上是否存在两个定点)01(，A 、)04(，B ，使得圆422=+y x 上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数2/1．应用2 铁路线上线段100=AB km ，工厂C 到铁路的距离20=CA km ．现要在A 、B 之间某一点D 处，向C 修一条公路．已知每吨货物运输1km 的铁路费用与公路费用之比为5:3，为了使原料从供应站B 运到工厂C 的费用最少，点D 应选在何处？解：以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，过点C 垂直AB 的直线为y 轴建立直角坐标系，则），（00A ，），（200C ．先求到定点A 、C 的距离之比为53的动点)(y x P ，的轨迹方程，即35=，整理即得动点)(y x P ，的轨迹方程：2244909000x y y ++-=，令0=y ，得15±=x （舍去正值）即得点)015(，-D ，15=DA ，25=DC ．下面证明此点D 即为所求点：自点B 作CD 延长线的垂线，垂足为E ，在线段BA 上任取点1D ，连接1CD ，再作BE E D ⊥11于1E ．设每吨货物运输1km 的铁路费用为)0(3>k k ，则每吨货物运输1km 的公路费用为k 5，如果选址在1D 处，那么总运输费用为111135(35)y kBD kDC BD DC k =+=+，而11D BE ∆∽BED ∆∽CAD ∆，∴351525111===AD CD D E BD ，∴11153D E BD =， 那么总费用 11111(35)()5()55y BD DC k E D DC k CD DE k kCE =+=+≥+=，当且仅当点C 、1D 、1E 共线时取等号．综上所述，点D 即为所求点．此外，阿波罗尼斯圆也在历年高考中频频出现：(1)(2003年北京春季高考卷)设A (c -，0)，B (c ，0)(c >0)为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为定值a (a >0)，求点P 的轨迹．(2)(2005年高考数学江苏卷)⊙1O 与⊙2O 的半径都是1，⊙1O 与⊙2O 切线PN PM 、(N M 、 分别是切点)，使得PM =2PN ，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．(3)(2008年高考数学江苏卷)满足条件2=AB ，BC AC 2=的ABC ∆的面积的最大值． 以上试题体现了新课标的要求：了解概念、结论等产生的背景、应用，获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，体会其中所蕴涵的数学思想和方法．通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程．此外，对像阿波罗尼斯圆这样经典的数学文化课题的研究，还有利于学生进一步丰富自己的探索体验，进一步完善自己的知识体系，为后续的学习留下发展的空间．比如，阿波罗尼斯圆上的任意一点到两个定点的距离之商为定值，什么图上任意一点到两个定点距离之和为定值呢？到两个定点距离之差为定值的动点的轨迹是什么呢？能否判断到两个定点距离之积为定值的动点轨迹是什么图像呢？教育是文化的一部分，是文化赖以延续和发展的基础，也是文化不断创新的发展的动力．新课改教材在相关章节中都附有以数学文化内容渗透为目的的阅读素材，这正是数学文化教育发展趋势的体现．如何处理好这些内容，不断发掘数学文化的教学价值，是每个数学教师的光荣使命，也是我们青年教师成长的努力方向．。
阿波罗尼斯圆的应用及探究
阿波罗尼斯圆的应用及探究教学目标：(1)回忆求轨迹方程的一般步骤，能根据已知条件，求满足条件动点的轨迹方程及轨迹；(2)能够探索归纳得出阿波罗尼斯轨迹定理、能够运用此定理来解决一些简单问题；(3)在已有经验的基础上，对阿波罗尼斯定理进一步探究得出一些特殊结论，体会探究的经历，渗透数形结合、归纳类比的数学思想.问题 在同一平面内，已知两定点()()2,0,4,0A B -，若动点P 满足12PA PB =,则点P 的轨迹方程是________.其轨迹为_________.变式 如果将题目中“12PA PB =”改为“()01PA PB λλλ=>≠且”呢？练习（2008年江苏高考题）在ABC ∆中，已知2,AB CA =,则ABC ∆面积的最大值是_______例1、已知点()2,0,A P -是圆()22:416C x y ++=上任意一点,问在平面上是否存在B ，使得12PA PB =？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由.变式 已知点P 是圆()22:416C x y ++=上任意一点，问在x 轴上是否存在两定点,A B ，使得12PA PB =？若存在，求出两定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由.例2、已知()()2,0,4,0A B -，P 是圆()22:416C x y ++=上任意一点，问是否存在这样的常数λ，使得PA PBλ=？若存在，求出常数λ的值；若不存在，请说明理由对以上问题的反思：对于圆222r y x =+上任意一点P ，和定点)0,(0x A ，是否在x 轴上存在不同于A 点的点B ，使得||||PA PB 为常数λ？ 变式一 求证： 对于圆222r y x =+上任意一点P 和定点)0,(0x A ),0(00r x x ±≠≠，在x 轴上存在唯一一点B ，使得||||PA PB 为常数λ，且)0,(02x r B ，||0x r =λ变式二 求证： 对于圆222r y x =+上任意一点P ，在x 轴上存在不同的两点)0,(),0,(21x B x A )0,0(21≠≠x x ，使得||||PA PB 为常数λ)1(≠λ，且1221,x x r x λλ=±=变式三 求证： 对于圆222r y x =+上任意一点P 和定点),0(0y A ),0(00r y y ±≠≠，在y 轴上存在唯一一点B ，使得||||PA PB 为常数λ，且),0(02y r B ，||0y r =λ 注 1. 可以由变式二类似地到什么结论，请你把它写下来，并加以证明2. 你还能得到更一般的结论吗？。
挖掘典型试题的探究功能--以一道逆用“阿波罗尼斯圆”性质的试题为例
挖掘典型试题的探究功能--以一道逆用“阿波罗尼斯圆”性质
的试题为例
戈峰
【期刊名称】《中小学课堂教学研究》
【年(卷),期】2022()12
【摘要】为适应国家培养创新型人才的需求,高考考试内容改革从“考知识”到“考能力”转向“考素养”,从“解答题目”转向“解决问题”。
数学课堂倡导探究性活动,不仅有利于学生积累数学探究活动经验,而且有利于学生提升分析问题、解决问题的能力,更重要的是还可以培养学生的创新意识,发展学生数学核心素养,促进学生科学精神的形成。
【总页数】5页(P49-52)
【作者】戈峰
【作者单位】昆山陆家高级中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.以阿波罗尼斯圆为背景的试题探究
2.学会数学思考学会怎样解题——以“阿波罗尼斯圆的几何性质探究”为例
3.重视课本习题潜在功能的研究、挖掘和利用——从利用阿波罗尼斯圆性质解题谈起
4.学会数学思考掌握如何解题--以“阿波罗尼斯圆的几何性质探究”为例
5.以一道课本习题为例谈阿波罗尼斯圆
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“阿波罗尼斯圆的应用及探究”教学实录及点评
“阿波罗尼斯圆的应用及探究”教学实录及点评
董荣
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2013(000)004
【摘要】1基本情况本课是2011年12月27日在无锡市锡山区第二届“呼唤名师”推介会上的一节示范课，授课班级是江苏省天一中学高三（8）班．
【总页数】2页(P35-36)
【作者】董荣
【作者单位】森江苏省怀仁中学 214196
【正文语种】中文
【相关文献】
1.重视高三复习中基本数学模型的性质探究——“阿波罗尼斯圆”教学实录及反思[J], 李春秋;郭佩华
2.让微专题教学更具"主动探究"的味道——以"阿波罗尼斯圆及其应用"为例 [J], 陈益龙
3.聚焦核心素养实施问题导学r——以"阿波罗尼斯圆的探究与应用"教学为例 [J], 张晓飞;邓迎春
4.阿波罗尼斯圆的逆向探究及其应用 [J], 熊向前
5.关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究 [J], 李欣荣
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每日一题20200412：阿波罗尼斯圆的反演
每日一题20200412：阿波罗尼斯圆的反演
每日一题
每日一题，顾名思义，每天一道题目。
我们有些同学学习上非常刻苦认真，刷了大量的数学题，但是，一到考试就考不好。
这里面有各种原因。
但有一点是大部分这类同学的共性，那就是一味地接收，缺乏独立思考和专研，没有深入研究问题的本质，从而不能举一反三。
高效的学习方法必然是举一反三，研究透一题，能够解决一大片。
我们古代圣人孔子早就说过：学而不思则罔，思而不学则殆。
每日一题，强调持久性。
任何事情，都需要我们坚持下去。
什么是不简单，把一件事情始终如一地做下去，就是不简单。
旷日持久的练习，对于我们习惯的养成是极其重要。
习惯一点点养成，但终身受用。
每日一题，需要范围广泛。
无论函数，三角，数列，解析几何，立体几何……各个知识点都要交错进行，全面理解，才能做到稳操胜券。
无论简单题，难题都需要掌握，消化。
无论你是同行，还是学生，做好每日一题，就能把教学收益或者学习收益最大化。
坚持中的你，给你一个大大的赞，你的坚持一定会有好的回报的。
中途放弃的你，也希望重拾旧山河，继续我们的远征。
每日一题解析
阿波罗尼斯圆相关知识
每日一题详细解析
小试牛刀。
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求 圆的方程为（ 一 ） ＋（ ｙ 一 １ ５ ） ＝
．
０ ， 若 点 ｃ（ ３ ， ４ ） 在 圆上 ， 所 以有 ３ ＋１ ２＝０ ， 解法 ２ 由（ Ⅱ） 设 所求 圆的方 程 为 （ ＋ ＋２ ｘ一６ ＋５ ） ＋ ［ （ ＋２ ｙ＋ ＋１—
０ ， 过 Ａ（ ０ ， １ ） ， Ｂ（ ２ ， １ ） 两 点 的直 线方 程 为
所 以有 １ ３ ２＋２ ７＝０ ， 解 得 ＝一 ． 从而 ， 所
Ｙ一１＝０ ， 从 而经 过 Ａ（ ０ ， １ ） ， Ｂ（ ２ ， １ ） 的 圆方 程 可设 为 （ 一２ ）＋（ Ｙ一１ ） ＋ （ Ｙ一１ ）＝
１ ） ｒ ＋
一 ；＝ ０恒 成 立 ． 令２ ：一
～ ；＝０ ，
２ Ａ Ｘ １：０ ， 则（ 一１ ） ｒ ＋
解 得 ＝ ， ：＝ ．
（ １ ） 对于定 点 Ａ（ 。 ， ０ ） ， 是 否 在 轴 上
存 在 不 同 于 Ａ 的 点 Ｂ ， 使 得 ｛ ＿ 为 常 数 ？
＋ Ｆ ＝ ０为 圆 Ｃ在切 点 Ｐ（ 。 ， Ｙ 。 ） 处 的切 线
方程） ．
１
．
故 所求 的 圆方程 为
２＋ｙ ２一 １ ０ ：０
．
Ｄ
Ｊ
例３ （ 数 学必修 ２第 １ ３ ３页 习题 １ １ ） 求
经 过点 Ｍ（ ３ ， 一１ ） ， 且与 圆 Ｃ： ＋ｙ ＋２
２ ０ １ ４年 第 １ 期
河北理科 教 学研 究
短 文 集锦
ｙ ｏ ） ＝０为 以点 Ｐ（ 。 ， Ｙ 。 ） 为 圆心 的“ 点 圆”
方程 ， 方 程 。 ＋ 。 ｙ＋ Ｄ＋ Ｅ
） ， 因为 圆心在 直线 ３ ＋Ｙ一５：ｏ 上，
所 以有 ＋ — 一５：０ ， 解 得 ：
４５ ・
２ ０ １ ４年 第 １ 期
河 北理科教 学研 究
短 文 集锦
两点 ， 使 圆上任 意 一 点 到这 两 点 的距 离 的 比
为常 数 ？ 如果存 在， 这 两 点 的 坐 标 有 何 关
由（ １ ） 知， 点 Ａ， 日都不 是原 点 ， 假 设在
轴 上 存 在 两 点 Ａ（ ， ０ ） ， Ｂ（ ， ０ ）满 足 条
湖北省武穴市实验高级中学435400教研结合相得益彰近日笔者有幸拜读了文1对文1中所给出的两种解法非常认同特别是巧解中利用椭圆的定义求解面积最大值印象深刻正巧我所教授的班级高三一轮复习也正好到三角函数这一块于是有意将此题编拟在周练试卷中以此了解下学生对此题的认识程度和运用三角函数的解题能力结果从答卷中反馈出来的解题情况让人鼓舞除了有文1中所给出的正解与巧解另外还有三种解法也颇为多见现给出为行文方便先将文1中的问题简述为
迹是圆， 称 为 阿波 罗 尼斯 圆 ， 此 时 ， 在该 圆的一 条对 称 轴 上 ．现 在 的 问题 是 ， 对 于一 个 确定 的 圆 ， 在其 对称 轴 上 ， 是 否存 在确定 的
・
解： 设所 求 的 圆方程 为 （ 一３ ）＋ ｖ （ Ｙ ＋１ ）＋ （ 一 一３ ｙ ）：ｏ ， 其 圆 ｂＮ （ ＿ ，
径 的端 点 ， 则 圆方程 为 （ 一２ ）＋（ Ｙ一１ ）
＝
６ ｖ＋５＝０相切 于点 Ｎ（ １ ， ２ ） 的 圆的方 程 ． 解法 １ 由（ 工）可 设 所 求 圆 的方 程 为
（ ＋ｙ ＋２ ｘ一６ ＋５ ）＋ ［ （ 一１ ） ＋（ Ｙ
一
２ ） ］＝０ ， 又 所求 的 圆经过 点 （ ３ ，一１ ） ，
（ ３ ， 一１ ） ， 所 以有 ７ ＋２ ７＝０ ， 解得 ＝一
．
从而 ， 所求 圆的方 程为 （ 一 ） ＋ （ ｙ一
８ ４５ 一 １ ９ ６。
综 上， 直线 与圆、 圆 与 圆 有 公 共 点 的 相
１ ５、 ２ １ ４
关 问题 ， 合 理 的使用 圆系方程 ， 可使 问题 的求
即 ＝一４ ， 故 经 过 Ａ（ ０ ， １ ） ， Ｂ（ ２ ， １ ） ，Ｃ （ ３ ，
４ ） 的圆 的方程 为 ＋ｖ 一２ ｘ一６ ｖ＋５：０ ， 经过 检 验 点 Ｄ（ 一１ ， ２ ）在 此 圆 上 ， 故 四 点
共 圆．
３ ） （ Ｙ＋２ ） ＋５ ］＝０由于 ， 所求的 圆经过点
系？ 比值 与点 的坐 标 有 没有 必 然 联 系 ？ 设 Ｐ（ ， ） 为 圆 ＋ｙ ２＝ ｒ （ 任何 圆都 能通 过 平 移得 到该 种 形 式 ） 上 任意一点 ， 我们 分 两
个层 次来研 究 ．
件 ．根据 方程 ① 可得 （ ２ ｘ 一２ Ａ ｘ ） Ｘ＋（ 一
解 大力 简化 ， 建议 在 教学 中我 们 可 以考 虑 引
导学 生应 用 ．
４ 经 过的 圆 的方 程为 （ — ） （ — ）＋（ Ｙ—Ｙ ） （ Ｙ— Ｙ ２ ）＋ ［ （ Ｙ ２一Ｙ １ ） （ 一 １ ）一（ ２一 １ ） （ Ｙ
一
例５ （ 数学 必修 ５ 第１ ２ ４ 页 习题 ６ ） 平 面 直角 坐 标 系 中有 （ ０ ， １ ） ， Ｂ（ ２ ， １ ） ， ｃ （ ３ ， ４ ） ， Ｄ（ 一１ ， ２ ）四点 ， 这 四点 能否 在 同一个 圆上 ． 解： 取 点 Ａ（ ０ ， １ ） ， Ｂ（ ２ ， １ ） 为 圆 的一条直
—
（ 宁 夏 彭 阳 县 第 三 中 学 王 伯 龙
７ ５ ６ ５ ０ ０ ）
ｙ １ ） ］＝０ ． （ 其 中（ — ） （ — ： ） ＋（ Ｙ—
Ｙ ） （ Ｙ— Ｙ ） ＝ ０是 以 点 Ｐ （ ， Ｙ ）与 Ｐ （ ： ， Ｙ ： ）为 圆 的 一 条 直 径 的 端 点 的 圆 方程） ．
例４ （ 数学 必修 ２ 第１ ４ ４ 页 习题 ２ ） 求 圆 心 在 直线 ３ ＋Ｙ一５＝０ 上， 并且 经过 原点 和
点（ ３ ， 一１ ）的圆 的方程 ．
我们知道 ， 对 于平 面 内不 同 的 两 点 ，
日 ， 满 足 ｝ 为 常 数 （ ≠ １ ） 的 点 Ｐ 的 轨