有限元第一讲 绪论、弹簧单元

从涉及的领域来看，包括：机械、电子、通信、航空航天、汽车、 土木等几乎所有常规工程部门，以及地质力学、医学、家电、农 业、食品工业……

源于有限元技术的CAE行业，已经成为富有生命力的高新技术产 业，涉及到工程软件、工程咨询、培训等领域。


二、弹性力学有限元法的基本思想

1、物理上的理解
将连续体分割（离散）为有限个、且按一定方式相互联结在一起的
小单元的组合体（单元之间在节点处铰接）。用该离散结构（单元组 合体）近似代替原来的连续体。如果合理地求出各小单元的力学特性， 就可以求出单元组合体（离散结构）的力学特性，从而在给定的载荷 和约束条件下求出各节点的位移，进而求出各单元的应力。
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 (k1 k 2 )u2 k 2u3 F3 k 2u2 k 2u3
单元特性
KD F
系统平衡方程
2）单元方程扩大相加法 单元特性
F1 f11
相加
源自文库
F2 f f
1 2
2 1
系统节点 平衡条件
F3 f 22
KD F
四、有限元法当前应用概况

从学科领域看，当前，有限元法的应用已由弹性力学平面问题扩 展到空间问题、板壳问题；由静力平衡问题扩展到稳定问题、动 力学和波动问题；分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、 粘塑性和复合材料等；从固体力学扩展到流体力学、传热学、电 磁场等连续介质力学和物理领域；从线性分析发展到非线性、强 非线性、多重非线性；从单一场分析发展到多物理场偶合分析， 如流-固偶合分析、热-机偶合、电磁-机偶合等。 从起的作用看，已从问题求解、分析和校核扩展到产品优化设计、 系统识别等综合性应用；从用于产品的设计到模拟工艺过程；有 限元软件（CAE)与CAD/CAM软件紧密集成。

现代有限单元法第一个成功的尝试，是将刚架位移法推广应用于
弹性力学平面问题，这是Turner，clough等人在分析飞机结构时 于1956年得到的成果。他们第一次给出了用三角形单元求得平面 应力问题的正确解答。三角形单元的单元特性是由弹性理论方程 来确定的，采用的是直接刚度法。他们的研究工作打开了利用电 子计算机求解复杂平面弹性问题的新局面。
写成矩阵形式：
fi k f j k
矩阵符号形式：
k ui k u j
f kd
——弹簧单元刚度方程
上式中：
k 弹簧单元的刚度矩阵 d 单元节点位移向量 f 单元节点力向量
刚度方程讨论： 1）
k 2） k
有什么特点？ 中元素代表什么含义？

总之，有限元法最根本的思想是用简单的元件构筑
复杂的对象，或者把复杂的对象分解为细小简单的
元件——离散化或分片。
三、有限元法的发展历史
从应用数学角度来看,有限单元法基本思想的提出，可以追溯到柯 朗（Courant）在1943年的工作，他第一次尝试应用定义在三角形 区域上的分片连续函数和最小位能原理相结合，来求解St.Venant 扭转问题。他把这种方法称为变分问题的瑞利 -里兹（RayleighRitz）法。后来，Courant的工作被遗忘了，直到工程师们独立发 展了这一方法。 一些应用数学家、物理学家和工程师由于各种原因都涉足过有限 单元的概念。但只是到1960年以后，随着电子数字计算机的广泛 应用和发展，有限单元法的发展速度才显著加快。
(d)：弹簧2内力
200 3 2 200( N )
F k2 k2 (u3 u2 )
2 2
（拉力）
4、练习题
对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵
解
七、第一章要点回顾
1、弹簧单元刚度方程的建立 弹簧变形平衡
f i F k (u j ui ) kui ku j f j F k (u j ui ) kui ku j
部分著名商业有限元软件

有限元法是一项极具生命力和应用前景的技术，除了计算机技 术的发展外，其根本原因是该方法的固有优点：
1) 有限元法的离散化思想和高度的灵活性提供了对于复杂连续介 质问题求解的可能性；
2)有限元位移法的基本原理及其对于边界条件处理的简单化和程 式化、不同单元类型的配合使用给大型通用有限元软件的发展 提供了可能性。
3、有限元法求解的步骤

1）将结构划分成单元结合体——离散化； 2）建立单元上各种量之间的关系——单元特性分析； 3）将单元特性进行集成，获得结构的整体特性和平衡方
程——整体分析；

4）解代数方程组求节点位移，求解单元应力应变；
对于解决实际问题，第1）步之前需要建立合理的力学模型，第4）
步之后需要对计算结果进行分析评估。



R

X
Z


Fig. 3.2 The femoral head local coordinate system,1 (longitude) and 2 (latitude) R Locate the resultant force,
3）给定载荷和约束条件下的求解
设边界条件为：
u1 0 F2 F3 P
则节点平衡方程为：
该方程展开后分为2个部分：
未知量为2个节点位移： u2 , u3
一个支反力： F1 解上面方程得：
3、举例：弹簧系统
已知条件：
求：（a） 系统总刚度矩阵
（b） 节点2，3的位移 （c） 节点1、4的反力 （d） 弹簧2中的力
有限元法基础及应用
1 绪论
一、有限元是什么？

一般意义上，有限元法是一种求解连续介质、连续 场力学和物理问题的数值方法。是工程分析和科学
研究的重要工具。

该方法诞生于结构应力分析，目前广泛应用于固体 力学、流体力学、传热学、电磁场等连续域问题的 领域以及计算数学。

该方法的发展和推广应用与计算机密切相关。
的有限自由度问题。通过变分原理和定解条件（载荷、约束）求出
这些未知节点位移，进而近似地求出每个单元区域上的位移、应力、 应变。
显然随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元
自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进。 如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。

3）上面方程可以求解吗？为什么？
2、弹簧系统
各单元的特性分别为：
单元1：
单元2：
按两种方法装配系统特性： 方法1： 分别考虑节点1，2，3的力平衡条件（节点力与节点外 载荷的平衡）：
F1 f11 F2 f f
1 2 2 1
F3 f 22
把单元特性代入，得到：
F1 k1u1 k1u2 F2 k1u1 (k1 k 2 )u2 k 2u3 F3 k 2u2 k 2u3

1960年Clough进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了“有 限单元法”的名称，使人们开始认识了有限单元法的功效。

70年代开始有限元软件在大型计算机上应用。 80年代以后在工作站、微型计算机上应用，开始有前、后处理系 统。

90年代以后能够分析大型结构系统、解决复杂问题，在各行业普
及。
系统平衡方程
由于单元可以有不同的大小，形状和类型，因此可以求解复杂的工
程和科学问题。

2、数学上的理解
通过把求解区域剖分成数目有限的子区域（单元），设置节点上
的待求函数值（位移）为问题的基本未知量。在每个单元内用插值
的方法，根据待定节点位移假设出单元上简单位移分布，从而把一 个求解连续位移场的无限自由度问题转变成求解离散节点上位移值
解：
（a） 各单元的刚度矩阵为：
应用前面的叠加方法，直接得到弹簧系统的总刚度矩阵：
或
总刚度矩阵特征：对称，奇异、带状、稀疏
由前面的做法，可得到弹簧系统的节点平衡方程：
（b）：先施加位移边界条件 将
u1 u4 0 带入平衡方程后，第2，3方程为：
求解得：
（c)：由第1，4个方程求得支反力
合才能形成系统的分析方法和应用手段，有效地解决问题。
五、本课程目标

本课程主要涉及弹性力学有限元法的基本原理。

通过本课程学习，为应用大型通用有限元软件解决工 程中的力学问题和产品设计问题提供一个初步基础， 以及作为进一步学习的入门。
六、引例——弹簧单元
弹簧是宏观上最简单的弹性元件。
1、一个弹簧单元的分析
上面方程写成矩阵形式：
或
KD F
（弹簧系统的平衡方程）
K
—— 弹簧系统的结构总刚度矩阵 —— 系统节点位移列阵 —— 系统节点载荷列阵
D
F
讨论：（1） K 有那些特点和性质？ （2）上述方程能求解吗？
方法2：
将单元刚度方程扩大到整体规模：
将上面的矩阵方程叠加，得到：
代入前面节点平衡条件，得系统节点平衡方程：

可以预计，随着现代力学、计算数学和计算机技术等学科的不 断发展，有限单元法作为一个具有巩固理论基础和广泛应用效 力的数值分析工具，必将在国民经济建设和科学技术发展中发 挥更大的作用，其自身亦将得到进一步的发展和完善。

用有限元法解决问题涉及到力学、数学和数值分析方法、计算
机软件、计算机硬件、关于应用对象的知识。上述方面相互结
2个节点：
i, j
ui , u j
fi , f j
已知弹簧力——位移关系：
节点位移：
节点力： 弹簧刚度：
F k
F 弹簧力，拉伸为正
u j ui — 弹簧伸长
k
考虑弹簧的特性和平衡关系有：
f i F k (u j ui ) kui ku j
f j F k (u j ui ) kui ku j
fi k f j k
k ui k u j
f kd
2、弹簧系统的集成 1）列节点平衡方程法
F1 f11 F2 f 21 f12 F3 f 22
系统节点 平衡条件
f i F k (u j ui ) kui ku j f j F k (u j ui ) kui ku j