江苏省前黄高级中学2012届高三第一学期期中考试数学试卷
江苏省常州一中2012届高三上学期期中考试数学(理)试卷
2011-2012学年度第一学期高三数学试卷（理科）2011．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π0, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ . 6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ .8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩， 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n=+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n=++-，6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}m a x ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．（第11题图）16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n nf x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b Bc 的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[]a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．1l2l D A BC 1l 2lD A B C（图甲） （图乙）（1）已知1()f x x=是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间； （2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立． （1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．附加题部分 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲） 如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B ,， AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，MPA BOC D（第21—A 题）求证：O C P D 、、 、 四点共圆．B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．C ．（极坐标与参数方程） 在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π，求以OP 为直径的圆的极坐标方程．D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>， 若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．2012届高三年级期中考试PAB CD 1A 1B1C 1D（第22题图）数学Ⅰ（选修物理） 2011．11参考答案及评分建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则t a n α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ . 6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ .8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩， 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ （在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、中选填一种）10．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+,当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n=+，322111S n n n =++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n=++-，6542515S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )k a k a ,处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是▲ .【填空题答案】1.{}1 9，； 2. ； 3. 0 sin x x x ∀>>，； 4. ； 5. (01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 1；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡⎣ ； 14. 1 .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积． 【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,()BC x y =, , ………………………2分因为//AD BC ，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分 （2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++，，(2 3)BD BC CD x y =+=--，， ………………6分 因为AC BD ⊥， 所以(6)(2)x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =，，(0 4)BD =-，，则1=162A B C D S A C B D =四边形 (12)分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162ABCD S AC BD =四边形 …………………14分所以，四边形ABCD 的面积为16．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N , 的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>，化简得()sin ωπ+=， ………………………………………………………………………2分因为0ω>，所以()min ωπ3π+=44，即min ωπ=， 所以，T 的最大值为8．…………………………………………………………………………6分（2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+ ()22222s i n c o s 2s i nc o sx x x x ωωωω=+-()212s i n c o sx x ωω=-211s i n 22xω=-()11c o s 4122x ω-=-13cos 4x ω=+(0)ω>， (10)分 因为244T ωπ==，所以8ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos 424x f x π==+，所以3(1)4f =．……………………………………………………14分17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b Bc 的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．【解】（1）由222b ac bc =-+得2221cos b c a A +-==， 在△ABC 中，A π=3， ……………………………………………………………………………3分由2b ac =得sin sin b B a Bcc =， 由正弦定理得sin sin a B Ac =，所以，s i n b B =； ………………………………………………………………………………7分 （2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分由222b ac a c bc ==-+知不失一般性，可设1c =，则221b a a b ==+-，消去a 得241b b b =+-，即32(1)(1)0b b b -++=， 所以1b =，1a =，即证．…………………………………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-， 对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-，………………………………………2分解得tan α=，……………………………………………………………………………………4分所以，养殖区的面积()()22231sin6091sin6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=； ………………1l2l D A BC 1l 2lD A B C（图甲）（图乙）6分（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈，，则AB 与2l所成夹角为()180θα-+，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+，……………………………………8分 解得sin tan 2cos θαθ=+，……………………………………………………………………………10分 所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=，………………12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． ………………………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D⊆，（其中a b <），使得当[]x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[]a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．（1）已知1()f x x=是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为()f x 是[)0 +∞，上的正函数，且()f x 在[)0 +∞，上单调递增，所以当[] x a b ∈，时，()() f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即 a b =，， …………………………………………………3分解得0 1a b ==，， 故函数()f x 的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分（2）因为函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的减函数，所以当[] x a b ∈，时，()() g a b g b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22a mb b m a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，， (7)分 两式相减得22a b b a-=-，即()1b a =-+， ……………………………………………………9分代入2a m b +=得210a a m +++=，由a b <<，且()1b a =-+得112a -<<-， ……………………………………………………11分故关于a 的方程210a a m +++=在区间()11 2--，内有实数解，………………………………13分 记()21h a a a m =+++，则()()10 10 2h h ->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()31 4m ∈--，． ……………………………………………………………16分20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥． 若an=0，则1=0n a -，…，a1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{an}是首项为1，公比为12的等比数列． (4)分 【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k=1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1()*n ∈N ， 故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+． (9)分(iii) 若k=2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d=2a ，考虑到a1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{an}能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列． ……………………………………16分数学Ⅱ（选修物理） 附加题部分参考答案及评分细则21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲） 如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B ,， AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、、 、 四点共圆． 【证明】因为PA ，PB 为圆O 的两条切线，所以OP 垂直平分弦AB ，在Rt OAP ∆中，2OM MP AM ⋅=， …………………………4分在圆O 中，AM BM CM DM ⋅=⋅，所以，OM MP CM DM ⋅=⋅， …………………………MPA BOC D（第21—A 题）8分又弦CD 不过圆心O ，所以O C P D , , , 四点共圆． (10)分B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值． 【解】由题意得01110000002011mn m n ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, , …………………………6分化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩, , ,, 所以12m n =⎧⎨=⎩, .…………………………10分 C ．（极坐标与参数方程） 在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π，求以OP 为直径的圆的极坐标方程． 【解】设点()Q ρθ, 为以OP 为直径的圆上任意一点，在Rt OQP ∆中，()4ρθπ=-，故所求圆的极坐标方程为()4ρθπ=-． …………………………10分 D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【证明】由2123a ab b --++=得()2113ab a b --=+-， (3)分又正实数a ，b满足1a b -+≥PABCD 1A 1B 1C1D （第22题图）（第22题图）y即1ab -≤()214a b -+，（当且仅当a b =时取“=”） (6)分所以()213a b -+-≤()214a b -+，即证1a b -+≤2． …………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>， 若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围． 【解】如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD ,, 分别为x y z , , 轴建立 空间直角坐标系O xyz -，则()000D , , ，()110B , , ，()110A λ, , ，设()01P x , , ，其中[]0x λ∈, ， …………………………3分因为1A P ⊥平面PBD ， 所以10A P BP ⋅=， 即()()11100x x λ--⋅-=, , , , ， …………………………6分化简得210x x λ-+=，[]0x λ∈, ， …………………………8分故判别式24λ∆=-≥0，且0λ>，解得λ≥2． …………………………10分23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=，所以，22222nn n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个相乘； …………………………4分（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-， 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤,, ， 不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）；同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， …………………………6分又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，所以，11222C 22C 22C n n nn n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ …………………………8分11222(2+C 2C 2C )22n n n n nn n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯2(12)22n n =+-⨯2(32)n n =-． …………………………10分。
数学-前黄高级中学2012～2013学年第一学期期中统考1
江苏省前黄高级中学2012～2013学年第一学期期中统考高三数学模拟试题一（理科）一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1. 已知集合{}{}12,1A x x B x x =-=<≤≤,则)(B C A R =2. 若“2230x x -->”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值为3. 已知2)4tan(=+πx ，则x x2tan tan 的值为4. 若 △ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且 3450OA OB OC ++=，则 OC AB ⋅的值为5. 已知实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，目标函数)(R a ax y z ∈-=，若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是 ．6. 已知二次函数2()41f x ax x c =-++的值域是[1,＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是 ．7. 已知奇函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，则(9)f -＝ ； 8．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则S 4a 4＝ ．9． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，A ＝60°，c ＝33，则△ABC 的面积为 ． 10．已知函数,0()(2),0xe xf x k x k x ⎧≤=⎨-+>⎩是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是 ．11. 在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，若1512mS S nn ≤-+对+∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为12. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若存在正整数m ，n (m <n )，使得S m ＝S n ，则S m ＋n ＝0.类比上述结论，设正项等比数列{b n }的前n 项积为T n ，若存在正整数m ，n (m <n )，使得T m ＝T n ，则T m ＋n ＝________.13．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上两点，且∠AOB ＝π3，若点C 是圆O 上任意一点，则→OA ▪→BC 的取值范围为 ．14. 设m N ∈，若函数()21010f x x m x m =---+存在整数零点，则m 的取值集合为 ．二.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）在ABC ∆中，A,B,C 的对边分别为a,b,c,且acosC,bcos B,ccos A 成等差数列。
2012届高三数学上册期中考试试题带答案
适用精选文件资料分享2012 届高三数学上册期中考试一试题（带答案）金山中学2012 届高三上学期期中考试一试题高三数学（理）本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．一、选择题：（本大题共 8 个小题；每题 5 分，共 40 分）1 、若会集，，则（）A．B．C．D．2 、以下有关命题的说法正确的选项是（） A ．命题“若 =1, 则 x=1”的否命题为若“ =1, 则 x 1 ” B ．“ x=- 1”是“ -5x- 6=0”的必需不充分条件 C．命题“使得 +x+1 ”的否定是：“均有 +x+1 ” D．命题“若x=y, 则 sinx=siny ”的逆否命题为真命题 3 、已知函数的图像关于对称，且在（ 1，+∞）上单调递加，设，，，则，，，的大小关系为（） A. B. C. D. 4 、为了获得函数的图像，只需把函数的图像（） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5 、若，，则的值为（） A.B. C. D. 6、已知，则的解集是 ( ) A. B. C. D. 7、若，设函数的零点为，的零点为， 12 、规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即 = , 是正实数，已知 1 =3, 则函数的值域是 13 、设曲线在点（1，1）处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 , 令，则的值为 14 、已知函数的定义域是 [ ] （为整数），值域是[0,1] ，则满足条件的整数对 ( ) 共有 ___________个.三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 80 分） 15 、（本小题满分 12 分）已知，(1) 若 //，求与之间的关系式；(2) 在(1) 的前提下，若，求向量的模的大小。
16、（本小题满分 12 分）已知向量，函数?，19、（本小题满分14 分）某市环保研究所对市中心每日环境污染状况进行检查研究后，发现一天中环境综合污介入数与时间 x( 小时 ) 的关系为，此中是与气象有关的参数，且，若用每日的最大值为当日的综合污介入数，并记作 . (1) 令，求 t 的取值范围； (2) 求函数；(3) 市政府规定，每日的综合污介入数不得超出 2，试问目前市中心的综合污染能否超标？请说明原由。
数学-前黄高级中学2012～2013学年第一学期期中统考2
OBxyC A江苏省前黄高级中学2012～2013学年第一学期期中统考高三数学模拟试题二（理科）一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1、若2{|228},{|log 1}xA xB x x =≤≤=>，则A B = ___ ___.2、存在实数x ，使得0342<+-b bx x 成立，则b 的取值范围是___ __.3、已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a += ___ ___.4、已知向量(1)(1)a n b n ==-，，，，若2a b - 与b 垂直，则a = ___ ___. 5、△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知60B =︒，不等式2680x x -+->的解集为{|}x a x c <<，则b =___ ___. 6、已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是___ ___.7、数列{}n a 的前n 项和是n S ，若数列{}n a 的各项按如下规则排列：11212312341, , , , , , , , , , , 23344455556，若10k S <，110k S +≥，则k a = 8、若函数()4ln f x x =，点(,)P x y 在曲线'()y f x =上运动，作PM x ⊥轴，垂足为M ，则△POM （O 为坐标原点）的周长的最小值为___ ___.9、已知函数()sin (0)f x x ωω=>在[0,1]内至少有5个最小值点,则正整数ω的最小值为__ ____. 10、如果实数⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0012,y x y x y x 满足，则31624--+x y x 的最大值为___ __.11、已知||2||0a b =≠ ，且关于x 的函数3211()||32f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为____ __. 12、如果关于x 的方程213ax x +=在区间(0,)+∞上有且仅有一个解，那么实数a 的取值范围为_____ _． 13、当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅,设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)nnn S N N N N N N =+++++-+,则n S = ． 14. 若已知0,,>c b a ，则bcab cb a 2222+++的最小值为 .二.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本题满分14分）已知向量p ＝(sin x ，3cos x )，q ＝(cos x ，cos x )，定义函数()f x ＝p q ⋅(1)求()f x 的最小正周期T ；(2)若△ABC 的三边长,,a b c 成等比数列，且22c ac a bc +-=，求边a 所对角A 以及()f A 的大小.16．（本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy 中，锐角ABC ∆内接于圆.122=+y x 已知BC 平行于x 轴，AB 所在直线方程为)0(>+=k m kx y ，记角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .（1）若,23222bc a ac k -+=求B C A 2sin 2cos 2++的值； （2）若,2=k 记),23(),20(πβπβπαα<<=∠<<=∠xOB xOA 求)sin(βα+的值。
前黄中学高三数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的对称中心是（）。
A. (0, 0)B. (1, 0)C. (-1, 0)D. (3, 0)2. 下列各数中，不是无理数的是（）。
A. √2B. πC. √(π^2)D. √33. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a1，则Sn = （）。
A. n(a1 + an)/2B. n(a1 + an)/3C. (n^2 - 1)d/2D. (n^2 - 1)d/44. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC = （）。
A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. √3/45. 若等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则第n项bn = （）。
A. b1 q^(n-1)B. b1 q^nC. b1 / q^(n-1)D. b1 / q^n6. 若复数z = a + bi（a，b∈R），则|z| = （）。
A. a^2 + b^2B. a^2 - b^2C. a^2 - 2ab + b^2D. a^2 + 2ab + b^27. 下列函数中，是奇函数的是（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^58. 若函数f(x) = x^2 + kx + 1在区间[-1, 2]上单调递增，则k的取值范围是（）。
A. k ≤ -2B. k ≥ 2C. k ≤ 2D. k ≥ -29. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，则f'(x) = （）。
A. 3x^2 - 12x + 9B. 3x^2 - 12x + 6C. 3x^2 - 12x + 3D. 3x^2 - 12x10. 在直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(-1, -4)，则线段AB的中点坐标是（）。
A. (1, -1)B. (1, 2)C. (3, 1)D. (3, 2)二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a1，则an = _______。
江苏省前黄高级中学联考试卷
江苏省前黄高级中学联考试卷2007/9命题人：汪静珍杨晓霞张一玮第一部分：听力（每小题1分，共20分）第一节：听下面5段对话，选择正确答案。
每段对话只听一遍。
1. What will the man give the woman?A. some moneyB. some thingsC. some help2. How long is the man‟s trip?A. one dayB. two daysC. three days3. What is the possible relationship between the two?A. a doctor and a patientB. a drug-store assistant and a customerC. aircrew and a passenger4. What is the woman‟s point to violence?A. She is for it.B. She is against it.C. She has nothing to say.5. Is the woman as confident in raising payment as the man?A. Yes.B. No.C. It is hard to see.第二节：听下面4段对话或独白，选择正确答案。
每段材料听两遍。
听第6段材料，回答第6至7题。
6. How much is a nickel?A. 5 centsB. 10 centsC. 15 cents7. How many dimes are there in a dollar?A. 20B. 10C. 5听第7段材料，回答第8至10题。
8. Where is the “Rumble in Bronx” on?A. At the Hospital CinemaB. At the Capital CinemaC. At the Riddle Cinema9. When is the fixed time to go?A. Wednesday eveningB. Thursday eveningC. Tuesday evening10. Where will they meet?A. At the number 223 bus stopB. At the number 332 bus stopC. At the number 323 bus stop听第8段材料，回答第11至13题。
(参考答案)常州市前黄高级中学2023-2024学年高三上学期第一次阶段考试数学试题
省前中2024届高三第一学期第一次阶段考试数学试卷2023.10.7一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}260A x x x =--<，{}230B x x =+>，则A B = （）A.32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B.3,32⎛⎫⎪⎝⎭ C.3,32⎛⎫-⎪⎝⎭ D.3,22⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】解出集合,A B ，根据交集含义即可得到答案.【详解】由题意得()2,3A =-，3,2B ⎛⎫=-+∞ ⎪⎝⎭，则3,32A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：C ．2.若复数3i2ia ++是纯虚数，则实数=a （）A.32-B.32C.23-D.23【答案】A 【解析】【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断.【详解】3i (3i)(2i)23(6)i 2i 55a a a a ++-++-==+，则230a +=，有32a =-.故选：A3.已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m ；乙组：24,,33,44,48,52n ，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则mn等于（）A.43B.107C.127D.74【答案】A【分析】根据百分位数的定义，求出,m n 的值即可得答案.【详解】因为30%6 1.8,50%63⨯=⨯=，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为372+m，乙组：第30百分位数为n ，第50百分位数为33447722+=，由已知得：30n =，377722+=m ，解得40m =，所以404303m n ==故选：A4.设函数()e e2sin xxf x x -=--，则关于t 的不等式()()210f t f t ++≥的解集为（）A.(],1-∞- B.1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.[)1,-+∞ D.1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】先判断出()f x 利用奇偶性，再利用导数求得()f x 的单调性，从而利用奇偶性、单调性解不等式即可得解.【详解】因为()e e2sin xxf x x -=--，其定义域为R ，所以()()()()ee 2sin e e 2sin xx x x f x x x f x ---=---=---=-，故()f x 为奇函数，又()e e 2cos 2cos 0x x f x x x -=+-≥≥'，当且仅当e e ,cos 1x x x -==，即0x =时等号成立，所以()h x 在R 上单调递增，故由()()210f t f t ++≥得()()21f t f t ≥-+，即()()12f t f t ≥--，所以12t t ≥--，解得13t ≥-.故选：D.5.为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（）A.9种B.11种C.15种D.30种【解析】【分析】利用分类加法计数原理进行分析，考虑丙是否是美工，由此展开分析并计算出不同的分工方法种数.【详解】解：若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有1334C C 12=种分工方法；若丙不是美工，则丙一定是总负责人，此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有23C 种分工方法；综上，共有12315+=种分工方法，故选：C ．6.设实数x 、y 满足1x y +=，0y >，0x >，则2xx +的最小值为（）A.2B.2+C.1D.1+【答案】B 【解析】【分析】由已知等式变形可得222x y x x x y y +=++，利用基本不等式可求得2xx y+的最小值.【详解】因为1x y +=，0y >，0x >，则2222222x x x y x y x y x y x y ++=+=++≥=，当且仅当210,0y xx y x y x y ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎪⎩时，即当21x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，等号成立，因此，2xx y+的最小值为2.故选：B.7.如图，将一个圆柱()*2n n ∈N等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n 越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为（）A.10πB.20πC.10πnD.18π【答案】A 【解析】【分析】新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，列出方程求解即可.【详解】显然新几何体的表面积比原几何体的表面积多了原几何体的轴截面面积，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则210rh =，所以圆柱的侧面积为2π10πrh =．故选：A .8.对于两个函数()11e2t h t t -⎛⎫=> ⎪⎝⎭与()()1ln 2122g t t t ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为1t ，2t ，则21t t -的最小值为（）A.1-B.ln2- C.1ln3- D.12ln2-【答案】B 【解析】【分析】化简21t t -，构造函数()211e ln 22x f x x -=--，应用导数求函数单调性求出最小值即可.【详解】设()()12h t g t m ==，则11ln t m =+，()221e 12m t -=+，由12t >，得12e m ->，则()()2221111e 11ln e ln 222m m t t m m ---=+-+=--，12e m ->，设函数()211e ln 22x f x x -=--，12e x ->，则()211e 2xf x x -=-'，()f x '在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，且()20f '=，所以当12ex -<2<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.故()()min 2ln2f x f ==-.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.()2,X Nμσ ，当μ不变时，σ越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平B.运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过点()x yC.相关系数r 越大，y 与x 相关的程度就越强D.利用2χ进行独立性检验时，2χ的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系【答案】BD 【解析】【分析】根据正态曲线的几何特征，判断选项A ；由回归直线方程的性质，判断选项B 和C ；【详解】对于A ，根据正态曲线的几何特征，可知当μ不变时，即σ越小，该正态分布对应的正态密度曲线越瘦高，故A 错误；对于B ，运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心(),x y ，故B 正确；对于C ，线性相关系数r 绝对值越接近1，表明2个随机变量相关性越强，故C 错误；对于D ，因为随机变量2χ的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故D 正确.故选：BD.10.已知函数()πsin 4f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法正确的有（）A.若()()122f x f x -=，则12minπx x -=B.将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到的图象关于y 轴对称C.函数2πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为2πD.若()(0)fx ωω>在[]0,π上有且仅有3个零点，则ω的取值范围为1115,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ABD 【解析】【分析】对A ：()()12,f x f x 必有一个最大值和一个最小值可求12minx x -；对B ：求出平移后函数解析式判断是否为偶函数；对C ：化简2πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭后求周期；对D ：求出π4x ω+的范围，数据正弦曲线的图象列出满足的不等式并求解.【详解】由()()122f x f x -=，故()()12,f x f x 必有一个最大值和一个最小值，则12minx x -为半个周期长度，故π,A 2T=正确；由题意ππsin cos 42f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于y 轴对称，B 正确；2π1cos 2π1sin22sin 422x x y x ⎛⎫-+ ⎪+⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭的最小正周期为π,C 错误.()πsin 4f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在[]0,πx ∈上ππππ444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦,有且仅在3个零点，结合正弦函数的性质知：π3ππ4π4ω≤+<，则111544ω≤<，D 正确；故选：ABD11.为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球（小球除颜色外，完全相同）的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖.若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖.下列随机事件的概率正确的是（）A.某顾客抽奖一次中奖的概率是25B.某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是98125C.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是310D.在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是12【答案】ABD 【解析】【分析】先求得顾客抽奖一次中奖的概率；然后求得顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率；直接法判断CD 选项的正确性.【详解】顾客抽奖一次中奖的概率为222325132105C C C ++==，故A 选项正确.顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是33232798111155125125⎛⎫⎛⎫--=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项正确.对于CD 选项，由于第一次抽出了红球，故剩余2个白球和2个红球，再抽一个，抽到红球的概率是21222=+，故C 选项错误，D 选项正确.故选：ABD【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查独立重复试验概率计算，考查条件概型概率计算，属于中档题.12.正四棱锥M ABCD -中，高为3，底面ABCD 是边长为2的正方形，则下列说法正确的有（）A.CD 到平面ABM 的距离为105B.向量AM 在向量AC 上的投影向量为12ACC.侧面ABM 所在平面与侧面CDM 所成锐二面角的余弦值为45D.棱锥M ABCD -的内切球的半径为103【答案】BC 【解析】【分析】补四棱锥为长方体，利用等面积法可计算点面距离判定A ，由投影向量的定义可判定B ，由余弦定理可判定C ，由等体积法可判定D .【详解】如图所示，补四棱锥为长方体ABCD A B C D -''''，P Q 、分别为对应棱中点，CW BQ ⊥于W ，由题意可知长方体的高为3，对于A 项，平面ABM 即平面ABQP ，由长方体性质可知AB ⊥面BC '，又CW ⊂面BC '，所以AB CW ⊥，又,AB BQ B AB BQ ⋂=⊂、面ABQP ，所以CW ⊥面ABQP ，即CW 为CD 到平面ABM 距离，利用等面积法可知：25BCQBC CCS BC CC BQ CW CWBQ⨯=⨯=⨯⇒==''，故A错误；根据投影向量概念知：向量AM在向量AC上的投影向量为向量AO，即为12AC，所以B正确；连接CQ，易知////PQ AB CD PQ⇒⊥面BC'，平面CDM即平面DCQP，且BQ CQ⊂、面BC'，所以BQC∠是所求二面角的平面角，在BQC中，由余弦定理：()2222+24cos52BQC-∠==，故C正确.设四棱锥的内切球半径为R，由等体积法可得：1133M ABCD ABCD M ABCDV S OM S R--=⋅=⋅，所以1013ABCDM ABCDS OMRS-⋅==⎪⎪⎝⎭，所以D错误；故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若262()()x m xx+-的展开式中4x的系数为30，则m的值为__________．【答案】52【解析】【分析】利用二项式定理把62xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开，求得展开式中4x的系数，再列方程求出m的值．【详解】()()()6226142266224x m x x m x C x C xx⎛⎫+-=+-+-⎪⎝⎭，其展开式中4x的系数为：()126624m C C⨯-+.由题意()126652430,2m C C m⨯-+=∴=.故答案为：52.【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.14.在空间直角坐标系中，点()1,2,3A 关于y 轴的对称点为点B ，则点()3,0,1C 到直线AB 的距离为_____.【答案】5【解析】【分析】利用向量的模、单位方向向量、数量积运算、距离公式运算即可得解.【详解】解：由题意，()1,2,3B --，()2,0,6AB =--，则()2,0,6AB =--==∴AB的单位方向向量AB AB u ⎛==- ⎝，又∵(2,2,2)AC =--，∴22AC u ⋅=+= ∴点C 到直线AB 的距离为5d ==.故答案为：2655.15.设,A B 是圆C 上不同的两点.且AB =则⋅=AB AC ______.【答案】6【解析】【分析】设D 点为AB 的中点，则CD AB ⊥，再根据数量积的定义计算即可.【详解】如图，设D 点为AB 的中点，则CD AB ⊥，则21cos 62AB AC AB AC BAC AB AD AB ⋅=∠===.故答案为：6.16.已知函数()()ln 11f x x x =+-+，函数()e ln xg x a x a =-+，若函数()()()F x f x g x =-有两个零点，则实数a 的取值范围________【答案】()0,1．【解析】【分析】变形为()()f x g x =有两个实根，变形得到ln ln(1)ln ln(1e e )x a x x a x ++++=++，设()e xh x x =+，则()()()ln ln 1h x a h x +=+，求导得到单调性，进而求出()ln ln 1x a x +=+，只需使()ln ln 1a x x=+-有两个根，设()()ln 1M x x x =+-，求导得到()M x 在0x =处取得极大值，()()max 00M x M ==，结合函数的走势，得到ln 0a <，求出a 的取值范围.【详解】要使函数()()()F x f x g x =-有两个零点，即()()f x g x =有两个实根，即ln(1)1e ln x x x a x a +-+=-+有两个实根．即ln ln e ln(1)1x a x a x x +++=+++．整理为ln ln(1)ln ln(1e e )x a x x a x ++++=++，设函数()e xh x x =+，则上式为()()()ln ln 1h x a h x +=+，因为()e 10xh x =+>'恒成立，所以()e xh x x =+单调递增，所以()ln ln 1x a x +=+．所以只需使()ln ln 1a x x =+-有两个根，设()()ln 1M x x x =+-．易知，函数()M x 的单调递增区间为()–1,0，单调递减区间为()0,∞+，故函数()M x 在0x =处取得极大值，()()max 00M x M ==．当1x →-时，()M x →-∞；当x →+∞时，()–M x →∞，要想()ln ln 1a x x =+-有两个根，只需ln 0a <，解得：01a <<．所以a 的取值范围是()0,1．故答案为：()0,1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知02πα<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求sin α的值；（2）若02πβ-<<，3cos 243βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求αβ-的值．【答案】（1）426（2）4αβ-=π【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得sin α的值；（2）利用二倍角的余弦公式可求得sin β的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出()cos αβ-的值，结合角αβ-的取值范围可求得结果.【小问1详解】解：因为02πα<<，3444πππα∴<+<，又1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22sin 43πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以14sin sin sin cos cos cos 4444442336ππππππαααα⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭.【小问2详解】解：因为3cos 243βπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，211sin cos cos 22cos 1212242433πβπβπββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为02πβ-<<，所以22cos 3β==，由（1）知，4cos cos cos cos sin sin 4444446ππππππαααα⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()42224212cos cos cos sin sin 63632αβαβαβ+-⎛⎫-=+=⨯+⨯-=⎪⎝⎭．因为02πα<<，02πβ-<<，则0αβπ<-<，所以4αβ-=π．18.已知指数函数()y g x =满足(2)4g =，定义域为R 的函数()()()2g x n f x g x m-+=+是奇函数．（1）求m ，n 的值；（2）若对任意的实数t ，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）,21m n ==；（2）1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据指数函数的概念及奇偶性的定义计算即可；（2）由（1）求得函数解析式，判定其单调性解不等式即可.【小问1详解】由题意可设()()0,1xy g x a a a ==>≠，由2(2)44g a =⇒=，解得2a =，所以()2xg x =，则()122x x nf x m+-+=+．又因为()f x 在R 上是奇函数，所以()1002n f m -==+，()()12211041n n f f m m --+-=+=++，所以1,2n m ==，即()12122x x f x +-+=+，验证()()1121212222x x x x f x f x --++-+--===-++成立，综上所述：,21m n ==；【小问2详解】由（1）知()1211122221x x xf x +-+=-+++=，易知()f x 在R 上为减函数，又()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-<等价于()()()222222f t t f t k f k t-<--=-，∴2222232t t k t t t k ->-⇒->对任意的R t ∈恒成立，由二次函数的性质可知22111323333⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭y t t t ，所以1,3k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.19.已知函数()2π5ππ2cos sin 666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）若()2f x =，求x 的取值集合；（2）若()π64af x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）}{|ππ,4x x k k =∈+Z（2）(,-∞【解析】【分析】（1）结合降幂公式以及辅助角公式化简整理后，解方程即可求出结果；（2）()π64af x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立等价于3cos 2sin 2x a x +≤对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，进而利用二倍角和同角的平方关系化简整理，再结合均值不等式即可求出结果.【小问1详解】因为()2π5ππ2cos sin 666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2πππππ2cos sin sin 2266633x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1ππππππ2sin 2cos 22cos sin 2sin cos 223233333x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 2x =，若()2f x =，则π22π2x k =+，k ∈Z ，所以x 的取值集合为}{|ππ,4x x k k =∈+Z 【小问2详解】因为()π64af x f x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以sin 2cos 23a x x -≤对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.由ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得sin 20x ≠，因此3cos 2sin 2x a x +≤对任意的ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立.2222223cos 23sin 3cos cos sin sin 2cos sin 22sin cos sin cos x x x x x x xx x x x x +++-+==2tan 22tan tan tan x x x x+==+.因为ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以tan x ⎡∈⎣，由基本不等式得2tan tan x x +≥，当且仅当tan x =.所以a 的取值范围为(,-∞.20.如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别为边AB ，AC 的中点．将AEF △沿EF 翻折至1A EF ，得到四棱锥1A EFCB -，P 为1AC 的中点．（1）证明：FP ∥平面1A BE ；（2）若平面1A EF ⊥平面EFCB ，求直线1A F 与平面BFP 所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）取1A B 的中点Q ，可得四边形EFPQ 为平行四边形，则FP EQ ∥，由直线与平面平行的判定定理证明即可；（2）取EF 中点O ，BC 中点G ，可得1A O ⊥平面EFCB ，1,,OA OE OG 两两垂直，以O 为原点，1,,OE OG OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求出1A F 与平面BFP 的法向量n的坐标，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】取1A B 的中点Q ，连接,PQ EQ ,则有PQ BC ∥，且12PQ BC =，又EF BC ∥，且12EF BC =，故PQ EF ∥，且PQ EF =，则四边形EFPQ 为平行四边形，则FP EQ ∥，又FP ⊄平面1A BE ，EQ ⊂平面1A BE ，故FP ∥平面1A BE．【小问2详解】取EF 中点O ，BC 中点G ，由平面1A ⊥平面EFCB ，且交线为EF ，故1A O ⊥平面EFCB ，此时，1,,OA OE OG 两两垂直，以O 为原点，1,,OE OG OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则可得(1A ，()1,0,0F -，()B，()C -，由P 为1AC中点，故1,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则1(1,0,A F =-，FB =，0,22FP ⎛= ⎝⎭，设平面BFP 的法向量(),,n x y z =，则00n FP n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3302230y z x +=⎪⎨⎪+=⎩，故取(1,n = ，故所求角的正弦值为111||cos ,7||||n A F A F n n A F ⋅== ，所以直线1A F 与平面BFP 所成的角的正弦值为277．21.已知实数0a >，函数()()2ln ln e f x x a a x x =-+-，e 是自然对数的底数.（1）当e a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）求证：()f x 存在极值点0x ，并求0x 的最小值.【答案】（1）单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e)（2）证明见解析，0x 的最小值是e ．【解析】【分析】（1）()f x 求导，根据()f x '的正负判定函数的增减即可；（2）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.【小问1详解】（1）当e a =时，2()eln (e)f x x x x =-+-，则2e 2(12e)e (21)(e)()12(e),(0)x x x x f x x x x x x--+-+-='=-=>令()0f x '>，得e x >；令()0f x '<，得e x <；所以，函数()y g x =的单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e)．【小问2详解】（2）22(ln 2e)()ln 2(e)a x a x af x a x x x+--=-+'-=令2()2(ln 2e)0t x x a x a =+--=，因为2(ln 2e)80a a ∆=-+>，所以方程22(ln 2e)0x a x a +--=，有两个不相等的实根()1212,x x x x <，又因为1202ax x =-<，所以120x x <<，令02x x =，列表如下:x()00,x 0x ()0,x +∞()f x '-+()f x 减极小值增所以()f x 存在极值点0x .所以存在0x 使得2002(ln 2e)0x a x a +--=成立，所以存在0x 使得200022e ln x xx a x a -=-，所以存在0x 使得2000ln 22e a x a x xx -=-对任意的0a >有解，因此需要讨论等式左边的关于a 的函数，记0()ln u t t x t =-，所以0()1x u t t=-'，当00t x <<时，()0,()u t u t <'单调递减；当0t x >时，()0,()u t u t >'单调递增．所以当0t x =时，0()ln u t t x t =-的最小值为()0000ln u x x x x =-．所以需要200000022e ln ln x x a x a x x x -=-≥-，即需要200002(2e 1)ln 0x x x x -++≥，即需要002(2e 1)ln 0x x -++≥，即需要002ln (2e 1)0x x -+≥+因为()2ln (2e 1)v t t t =+-+在(0,)+∞上单调递增，且()0()0v x v e ≥=，所以需要0e x ≥，故0x 的最小值是e ．22.在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值12,,,n x x x 的随机变量，分别记作X 和Y .条件概率(),,1,2,,j i P Y x X x i j n === ∣，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量X 的平均信息量定义为：()()21()log niii H X p X x p X x ==-==∑.当2n =时，信道疑义度定义为()()22211(),log i j j i i j H Y X p X x Y x p Y x X x ===-====∑∑∣∣()()11211,log P X x Y x p Y x X x ⎡=-====⎣∣()()21212,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()12221,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()22222,log P X x Y x p Y x X x ⎤+====⎦∣（1）设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数X 的平均信息量()222log 3 1.59,log 5 2.32,log 7 2.81≈≈≈；（2）设某信道的输入变量X 与输出变量Y 均取值0，1.满足：()()()0,1001(01,01)P X p Y X p Y X p p ωω========<<<<∣∣.试回答以下问题：①求()0P Y =的值；②求该信道的信道疑义度()H YX ∣的最大值.【答案】（1）2.40（2）①()0P Y =()()11p p ωω=-+-；②1【解析】【分析】（1）充分理解题意，利用随机变量X 的平均信息量定义解决本小题；（2）由全概率和条件概率公式解决本小题.【小问1详解】设X 表示扔一非均匀股子点数，则X123456P121221321421521621扔一次平均得到的信息量为()()621()log i i i H X p X x p X x ==-==∑62121log 21i i i==∑62211log 21log 21i i i==-∑2224516log 7log 3log 572121=+--2.40≈.【小问2详解】①由全概率公式，得()()()()()0000101p Y p X P Y X p X P Y X =====+===∣∣()()11p pωω=-+-②由题意，())0111p Y X p Y X p ======-∣∣.所以，()H Y X ∣()()11211,log P X x Y x p Y x X x ⎡=-====⎣∣()()21212,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()12221,log P X x Y x p Y x X x +====∣()()22222,log P X x Y x p Y x X x ⎤+====⎦∣()()()111211log P X x p Y x X x p Y x X x ⎡=-=====⎣∣∣()()()121221log p X x p Y x X x p Y x X x +=====∣∣()()()212212log p X x p Y x X x p Y x X x +=====∣∣()()()222222log p X x p Y x X x p Y x X x +=====∣∣()()()()()()22221log 1log 1log 11log 1p p p p p p p p ωωωω⎡⎤=---++-+---⎣⎦()()22log 1log 1p p p p =----;其中120,1x x ==.令()()()22log 1log 1f p p p p p =----()()()()2211log log 11ln21ln2f p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤-=-+---+-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦'()2221log log 1log pp p p-=-+-=.()110,,0,22f p p x ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭'时1()0,,12f p x '⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<,max 1()12f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.。
江苏省前黄高级中学学年第一学期高三期中试卷
本文档为word 文档 下载后可编辑打印江苏省前黄高级中学2008-2009学年第一学期高三期中试卷化 学 2008-11-10(满分:120分 考试时间:100分钟)可能用到的相对原子质量：H:1 C:12 N:14 O:16 Na:23 Mg:24 Al:27 Si:28 S:32 Cl:35.5 Fe:56 Cu:64第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、单项选择题（本题包括8小题，每小题3分，共24分。
每小题只有一个．．．．选项符合题意） 1．2007年诺贝尔化学奖授予德国科学家格哈德·埃特尔，以表彰他在表面化学研究领域作出的贡献。
物质接触表面发生的化学反应对工业生产运作至关重要。
同时，表面化学研究有助于我们理解各种不同的过程。
以下事实或现象与表面化学无密切关系的是A ．熔化的铝不易滴落下来B ．利用铁的表面作为催化剂用氮气和氢气合成氨C ．常温下，可以用铁、铝的容器来盛装冷的浓硫酸D ．CuSO 4溶液中加入BaCl 2溶液时产生白色沉淀 2．下列各项中表达正确的是A ．NaCl 的电子式：B ．CO 2的分子模型示意图：C ．CrO 5的结构式为 ，该氧化物中Cr 为＋6价D ．次氯酸的结构式：H －Cl －O3．下列有关物质类别判别的依据中，正确的是A ．原子晶体：晶体的熔点是否很高B ．电解质：水溶液是否导电C ．离子化合物：是否含有离子键D ．酸性氧化物：能否与碱反应 4．如图装置可以用来发生、洗涤、干燥、收集（不考虑尾气处理）气体。
该装置可用于A ．浓硝酸和铜反应制备NO2 B ．浓氨水和生石灰反应制备氨气 C ．锌和盐酸反应制备氢气D ．碳酸钙和盐酸反应制备二氧化碳5．某溶液中加入铝粉能产生氢气，在该溶液中一定能大量共存的离子组是A ．Na ＋、Ca 2＋、Cl －、ClO －B ．Cu 2＋、Fe 2＋、NO 3－、SO 42－C ．K ＋、NH 4＋、Cl －、SO 42－D ． Na ＋、K ＋、Cl －、SO 42－6．在a LAl 2(SO 4)3和(NH 4)2SO 4的混合溶液中加入bmol 的BaCl 2，恰好使溶液中的SO 42－完全沉淀；如加入足量强碱并加热可得到cmolNH 3，则原溶液中的Al 3＋的浓度(mol/L)为A ．2b －c 2aB ．2b －c 3aC ．2b －c aD ．2b －c 6a7．在相同状况下，将下列四种混合气体：①体积比为3 : 1的NH 3和N 2 ②体积比为 1 : 1的NO 2和N 2 ③体积比为1 : 1的NO 2和O 2 ④体积比为4 : 1的NO 2和O 2，分别置于相同的四支试管中并倒置于水槽中，充分反应后液面上升高度分别为h 1、h 2、h 3、h 4，下列关系正确的是A 、h 1＞h 2＞h 3＞h 4B 、h 4＞h 3＞h 2＞h 1C 、h 4＞h 1＞h 3＞h 2D 、h 2＞h 3＞h 1＞h 48．MnO 2和Zn 是制造干电池的重要原料，工业上用软锰矿和闪锌矿联合生产MnO 2和Zn 的基本步骤为：⑴ 软锰矿、闪锌矿与硫酸共热： MnO 2＋ZnS ＋2H 2SO 4＝MnSO 4＋ZnSO 4＋S ＋2H 2O 。
2012学级第一学期期中考试高三(理)数学试题.doc
2012学年第一学期期中考试高三（理）数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.第 Ⅰ 卷 （选择题 共50分）注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. =︒330tan (A) 3 (B)3- (C)33 (D) 33-2.函数f (x lg(1)x -的定义域是(A ) [-1,4] (B ) [1,4] （C ） (1, 4] （D ）（-1, 4]3. 若b a ,为实数，则“1≤+b a ”是“21≤a 且21≤b ”的 (A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4. 函数)1ln()(xx x f -=的图象是5．已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则=α2sin (A) 2524- (B)2524(C) 257-(D) 2576. 在△ABC 中，点M 满足=++，若 =++AM m ，则实数m 的值是(B)(C) (D)(A)(A) 3 (B) 23 (C) 23- (D)3-7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且224,6a S ==，则64n nS a +的最小值是 (A) 7 (B)152(C) 8(D)1728. 若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+0033022m y x y x y x ，http://www. .com/且x y +http://www. .com/的最小值为1-，则实数m 的值是（A ）0http://www. .com/ （B ）1-http://www. .com/ （C ）1 （D ）29．函数()M f x 的定义域为R ，且定义如下：1(),()0(),M x M f x x M ∈⎧=⎨∉⎩（其中M 为非空数集且R M ⊆），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足A B=∅，则函数()1()()()1A BA Bf xF xf x f x+=++的值域为(A) ∅(B) {12} (C) {1} (D) {12,1}10．将函数1y=[])20(，∈x图像绕原点逆时针方向旋转角θ)0(αθ≤≤，得到曲线C.若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图像，则α的最大值是(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：将卷Ⅱ的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效. 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11.公差为1的等差数列{}n a 满足2469a a a ++=，则579a a a ++的值等于 ▲ ．12.已知a 与b 为两个不共线的单位向量，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则实数k = ▲ .13．在直角三角形ABC 中，，1,==⊥AC AB AC AB21=，则⋅的值等于 ▲ ． 14．函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如右图所示，则(0)f 的值是 ▲ .15.圆014222=+-++y x y x 关于直线 ),(022R b a by ax ∈=+-对称，则b a ⋅的取值范围 是_ __ ▲ ____ .16.等比数列{}n a 中，120121,9a a ==，函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+，则曲线()y f x = 在点(0,(0))f 处的切线方程为 ___ ▲ _____ .17.函数y ＝11－x 的图象与函数2sin y x π= (24x -≤≤)的图象所有交点的横坐标之和等于 ▲ .三、解答题：本大题共5小题．共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,且满足sin cos b A B =． (Ⅰ)求角B 的值；(Ⅱ)若cos 25A =sin C 的值．19.（本题满分14分） 函数22x y -=和213y x =的图象如图所示，其 中o有且只有1x x =、2x 、3x 时，两函数数值相等，且1230x x x <<<，为坐标原点．(Ⅰ)请指出图中曲线1C 、2C 分别对应的函数； (Ⅱ)现给下列三个结论： ①当(,1)x ∈-∞-时，22x -<213x ；②2(1,2)x ∈；③3(4,5)x ∉， 请你选择两个结论判定其是否 成立，并说明理由．20. (本题满分14分)已知数列}{n a ，}{n b 满足：291=a ，n n n a a 2621⋅=-+, 12+-=n n n ab (∈n N *)． (Ⅰ)证明数列}{n b 为等比数列．并求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； (Ⅱ)记数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若对任意的∈n N*都有nn n b mT S ≤，求实数m 的最小值．21．(本题满分15分) 已知二次函数)0,,,()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为1-．(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)设()()()1g x f x m f x =--+，若)(x g 在]1,1[-上是减函数，求实数m 的取值范围；22．(本题满分15分)已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小值为1，当[0,)x ∈+∞时，()xf x ae =． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；第19题图（Ⅱ）求最大的整数(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t ex +≤．(注:e 为自然对数的底数)高三数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,且满足sin cos b A B ． (Ⅰ)求角B 的值；(Ⅱ)若cos25A =sin C 的值．解：(Ⅰ)由正弦定理BbA a sin sin =及已知条件sin cos b A B =得…………………2分 B A A B cos sin 3sin sin =,……………………………… ………………4分 又因为0sin ≠A ,所以B B cos 3sin =，即3tan =B ，……………………6分又),0(π∈B ,所以3π=B ;……………………………… …………………7分(Ⅱ)因为cos2A 5312cos 2cos 2=-=A A ,………………………9分 又),0(π∈A ,所以54sin =A ，由(Ⅰ)知32π=+C A ，………………………11分 所以10334sin 32cos cos 32sin )32sin(sin +=-=-=A A A C πππ.…………14分 19．函数22x y -=和213y x =的图象如图所示，其 中有且只有1x x =、2x 、3x 时，两函数数值相等，且1230x x x <<<，o 为坐标原点．(Ⅰ)请指出图中曲线1C 、2C 分别对应的函数； (Ⅱ)现给下列三个结论： ①当(,1)x ∈-∞-时，22x -<213x ； ②2(1,2)x ∈；③3(4,5)x ∉， 请你选择两个结论判定其是否 成立，并说明理由．解：（Ⅰ）1C 为213y x =，2C 为22x y -=； ………………………………………5分 （Ⅱ）结论①成立，理由如下： 函数22x y -=在(,1]-∞-上是增函数，∴(,1)x ∈-∞-时，2121228x ---<=. 又函数213y x =在(,1]-∞-上是减函数， ∴(,1)x ∈-∞-时，22111(1)333x >⨯-=而1183<，所以当(,1)x ∈-∞-时，22123x x -<；结论②成立，理由如下： 构造函数221()23x f x x -=-， 则11(1)0,(2)063f f =>=-< ∴()f x 在区间(1,2)内有零点.同理()f x 在区间（5，6）内有零点，由题意∴2(1,2)x ∈ ；3(5,6)x ∈. 结论③成立，理由同② …………………………………14分 20．已知数列}{n a ，}{n b 满足：291=a ，n n n a a 2621⋅=-+, 12+-=n n n ab (∈n N *)． (Ⅰ)证明数列}{n b 为等比数列．并求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；(Ⅱ)记数列}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若对任意的∈n N*都有nn n b mT S ≤，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）由已知得 1212)2(2+++-=-n n n n a a ，……………… ……………2分所以n n b b 211=+， 因为211=b ，所以}{n b 为等比数列. ………………………………………4分所以n n b )21(=， ……………………………………………6分进而n n n a )21(21+=+. ……………………………………………7分（Ⅱ）1211422121)2121()222(2132+--=++++++++=++n n n n n nn T S 124+⋅=n ……………………………10分则nn n m 21421)124(+=+⋅≥对任意的∈n N *成立． ……………………12分所以数列}214{n +是递减数列，所以29)214(max=+n 所以m 的最小值为29． ……………………………………………………14分21. 已知二次函数)0,,,()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，0)0()2(==-f f ，)(x f 的最小值为1-． (Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；(Ⅱ)设()()()1g x f x m f x =--+，若)(x g 在]1,1[-上是减函数，求实数m 的取值范围； 解: （Ⅰ） 由题意设)2()(+=x ax x f ，…………………………………………3分 ∵ )(x f 的最小值为1-，∴ 0>a ，且1)1(-=-f ，∴ 1=a ，∴ x x x f 2)(2+= . ………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵ 1)1(2)1()(2++--=x m x m x g ， ………………………………8分 ① 当1=m 时，14)(+-=x x g 在[-1, 1]上是减函数，∴ 1=m 符合题意. ……………………………………………………10分② 当1≠m 时，对称轴方程为：mmx -+=11， ⅰ）当01>-m ，即 1<m 时，抛物线开口向上，由111≥-+mm ， 得 m m -≥+11 ， ∴ 10<≤m ；……12分ⅱ）当01<-m ， 即 1>m 时，抛物线开口向下，由111-≤-+mm，得 m m +-≥+11， ∴1>m . ……14分 综上知，实数m 的取值范围为[)∞+,0．………………………………15分22. 已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小值为1，当[0,)x ∈+∞时，()xf x ae =． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求最大的整数(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t ex +≤．(注:e 为自然对数的底数)解：（Ⅰ）因为()xf x ae =为单调函数，故(0)1f =，得1a =, ………………2分 当0x <时，0x ->，则()()3xf x f x e -=-=综上：,0(),0xx e x f x e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ; …………………… ……………5分（Ⅱ）因为任意[1,]x m ∈，都有()f x t ex +≤故(1)f t e +≤且()f m t em +≤ 当10t +≥时，1tee +≤，从而11t +≤，10t ∴-≤≤ 当10t +<时，(1)t ee -+≤，从而(1)1t -+≤，21t ∴-≤<-综上20t -≤≤2m ≥，故0m t +> 故()f m t em +≤得：m teem +≤即存在[2,0]t ∈-，满足tm em e e≤2min {}t m eme e e-∴≥=，即30m e e m -≤ 令3()xg x e e x =-，[2,)x ∈+∞，则3'()x g x e e =-当(2,3)x ∈时，'()0g x <，()g x 单调递减 当(3,)x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 单调递增又3(3)20g e =-<，3(2)0g e =-<，3(4)(4)0g e e =-<，32(5)(4)0g e e =->由此可见，方程()0g x =在区间[2,)+∞上有唯一解0(4,5)m ∈， 且当0[2,]x m ∈时()0g x ≤，当0[,)x m ∈+∞时()0g x ≥m Z ∈，故max 4m =，此时2t =-. ……………………… ………12分下面证明：|2|(2)x f x e ex --=≤对任意[1,4]x ∈恒成立①当[1,2]x ∈时，即2xeex -≤，等价于x e xe ≤[1,2]x ∈，,1x e e x ∴≥≥，x xe e ≥②当[2,4]x ∈时，即2x e ex -≤，等价于3max {}0x e x --≤令3()x h x ex -=-，则3'()1x h x e -=-()h x ∴在(2,3)上递减，在(3,4)上递增 max max{(2),(4)}h h h ∴=而1(2)20,(4)40h h e e=-<=-<综上所述，(2)f x ex -≤对任意[1,4]x ∈恒成立. …… ……………15分。
江苏省前黄中学第一学期高三数学期中考试试卷
江苏省前黄中学～第一学期期中考试高 三 数 学 试 卷 . 11.6说明：1．本试卷分第І卷（选择题）和第П卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间1。
2．请将选择题的答案填涂在答题卡上。
第І卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设全集U=R ，M={1，2，3，4}，{|1}N x x x R =≤+∈，则M∩C U N= A ．{4} B ．{3，4} C ．{2，3，4} D ．{1，2，3，4} 2．已知)1,(),2,1(x ==，且b a 2+与b a -2平行，则x 等于A ．1B ．2C ．21D ．41 3．若0a b <<，则下列不等式不能成立．．．．的是A ．ba 11>B ．b a )21()21(>C ．||||0a b >>D ． 22ab>4．已知函数()f x 的定义域是[0,2]，则函数)21()21()(--+=x f x f x g 的定义域是A ．[0,2]B ．]23,21[-C ．]25,21[D ．]23,21[5．设c OC b OB a OA ===,,，当b a c μλ+=，且1=+μλ时，点C 在A ． 直线AB 上 B ．线段AB 上C ．直线AB 上，但除去点AD ．直线AB 上，但除去点B 6．已知等差数列{a n }的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =A ．－4B ．－6C ．－8D ．－107．若不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是2131<<x ，则实数m 的取值范围是 A ．]21,34[- B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21, C ．]34,21[- D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,348．在△ABC 中，面积22()S a b c =--，则sin A =A ．1715B ．178C ．1513D ．17139．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数cos 2y x =的图象A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度10．已知等差数列{a n }的公差0d <，若4624a a ⋅=，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为A ．50B ．45C ．40D ．3511．实系数方程220x ax b ++=的一根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则12--a b 的取值范围是A ．)1,41(B ．)1,21(C ．)41,21(-D ．)21,21(-12．正实数12,x x 及函数()f x 满足)(1)(14x f x f x-+=，且12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为 A ．4B ．2C ．54 D ．41第П卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
江苏省前黄高级中学高三数学数列的概念测试题
一、数列的概念选择题1．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，则2019a =（ ） A ．3-B ．12-C ．13D ．22．已知数列{}n a 满足11a =),2n N n *=∈≥，且()2cos3n n n a b n N π*=∈，则数列{}n b 的前18项和为（ ） A ．120B ．174C ．204-D ．37323．在数列{}n a 中，11a =，对于任意自然数n ，都有12nn n a a n +=+⋅，则15a =（ ）A ．151422⋅+B ．141322⋅+C ．151423⋅+D ．151323⋅+4．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+ B ．21n +C ．2(1)1n -+D ．2n5．已知数列,21,n -21是这个数列的（ ）A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项6．在数列{}n a 中，()1111,1(2)nn n a a n a --==+≥，则5a 等于A ．32B ．53 C ．85D ．237．在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对8．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()*11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =，22017a =，则100S =（ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．20199．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（ ） A ．8972a a a +< B ．91082a a a +> C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+10．设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和383969a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．180B ．160C ．150D ．14011．在数列{}n a 中，已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则2020a =( ) A ．-6 B ．6 C ．-3D ．312．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*1n S n N n=∈，，则2a =（ ） A ．12-B ．16-C ．16D ．1213．已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a n n+=++，则10a =（ ） A ．259B ．145 C ．3111D ．17614．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则4a 的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．1015．已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，则{}n a 的前2021项之积为（ ） A ．23B ．13C ．2-D ．3-16．已知数列{}n a满足112n a +=+112a =，则该数列前2016项的和为（ ） A ．2015B ．2016C ．1512D ．3025217．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ） A ．0B ．53C ．73D ．318．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n S +=，则34a a +=（ ）A ．81B ．243C ．324D ．21619．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则na n的最小值为（ ） A ．21B ．10C ．212 D ．17220．函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（ ） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π二、多选题21．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列 22．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值23．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为824．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．825．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值26．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（ ） A ．59823a a S +=B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =27．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥28．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d >B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值29．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列B ．(){}1n-是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列30．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．170S <31．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >32．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-33．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列34．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+35．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ）A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】由递推关系，可求出{}n a 的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a 即可. 【详解】 由1111n n n a a a ++-=+，可得111nn n a a a ++=-，由12a =，可得23a =-，312a =-，413a =，52a =，由15a a =，可知数列{}n a 是周期数列，周期为4， 所以2019312a a ==-. 故选：B.2．B解析：B 【分析】将题干中的等式化简变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式，由此计算出()32313k k k b b b k N *--++∈，进而可得出数列{}nb 的前18项和.【详解】)1,2n a n N n *--=∈≥，将此等式变形得211n n a n a n --⎛⎫= ⎪⎝⎭，由累乘法得22232121211211123n n n aa a n a a a a a n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2cos3n n n a b n N π*=∈，22cos 3n n b n π∴=， ()()222323134232cos 231cos 29cos 233k k k b b b k k k k k k πππππ--⎛⎫⎛⎫∴++=--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭592k =-， 因此，数列{}n b 的前18项和为()591234566921151742⨯+++++-⨯=⨯-=. 故选：B. 【点睛】本题考查并项求和法，同时也涉及了利用累乘法求数列的通项，求出32313k k k b b b --++是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3．D解析：D 【分析】在数列的递推公式中依次取1,2,3,1n n =- ，得1n -个等式，累加后再利用错位相减法求15a . 【详解】12n n n a a n +=+⋅， 12n n n a a n +-=⋅，12112a a ∴-=⋅， 23222a a -=⋅，34332a a -=⋅11(1)2n n n a a n ---=-⋅，以上1n -个等式，累加得12311122232(1)2n n a a n --=⋅+⋅+⋅++-⋅①又2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②①- ②得23112222(1)2n n n a a n --=++++--⋅12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--⋅=-⋅--，(2)23n n a n ∴=-⋅+ ，151515(152)231323a ∴=-⋅+=⋅+，故选：D 【点睛】本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.4．A解析：A 【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 以上各式相加得：()()()21246.1221..212n n n a a n n n ⎡⎤-+-⎣⎦-=+++==+--，又11a =，所以21n a n n =-+.故选：A. 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型.5．B解析：B 【分析】根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】令2121n -=，解得n =11是这个数列的第11项. 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.6．D解析：D 【解析】分析：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，． 详解：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，．故选D 点睛：对于含有()1n-的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律．7．A解析：A 【分析】根据递推式可得{}n a 为一个周期为3的数列，求{}n a 中一个周期内的项，利用周期性即可求2019a 的值 【详解】由114a =-，111(1)n n a n a -=->知21115a a =-= 321415a a =-= 4131114a a a =-=-= 故数列{}n a 是周期为3的数列，而2019可被3整除 ∴2019345a a == 故选：A 【点睛】本题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题8．A解析：A 【分析】根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列{}n a 是周期为6的数列，且1234560a a a a a a +++++=，进而可得1001234S a a a a =+++，计算即可得答案． 【详解】解：因为12018a =，22017a =，()*11N ,2n n n a a a n n +-=-∈≥，则321201720181a a a =-=-=-， 432(1)20172018a a a =-=--=-， 543(2018)(1)2017a a a =-=---=-， 654(2017)(2018)1a a a =-=---=， 76511(2017)2018a a a a =-=--==，8762201812017a a a a =-=-==，…，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6， 因为12560a a a a ++⋅⋅⋅++=，所以()100125697989910016S a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++12342016a a a a =+++=．故选：A ． 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题．9．C解析：C 【分析】由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭， ()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++，且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-∈+， 如此继续可得知()()210,1n a n N *-∈∈，则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21na n N *>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.10．B解析：B 【分析】根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，即可求和. 【详解】由n a 为421167n n +的个位数， 可得n a 为27n n +的个位数， 而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 第38项至第69项共32项，共8个周期， 所以383969a a a ++⋅⋅⋅+=8(9317)160⨯+++=. 故选：B11．C解析：C 【分析】根据题设条件，得到数列{}n a 是以6项为周期的数列，其中1234560a a a a a a +++++=，再由2020336644a a a ⨯+==，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 中，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-， 可得3214325436547653,3,6,3,3,a a a a a a a a a a a a a a a =-==-=-=-=-=-=-=-=，可得数列{}n a 是以6项为周期的数列，其中1234560a a a a a a +++++=， 所以20203366443a a a ⨯+===-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，以及数列的周期性的应用，其中解答中得出数列的周期性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．A解析：A 【分析】令1n =得11a =，令2n =得21212S a a =+=可解得2a . 【详解】 因为1n S n =，所以11111a S ===， 因为21212S a a =+=，所以211122a =-=-. 故选：A13．B解析：B 【分析】 由122n n a a n n +=++转化为11121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，利用叠加法，求得23na n =-，即可求解. 【详解】 由122n n a a n n +=++，可得12112(1)1n n a a n n n n +⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭，所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+11111111222*********n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122113n n ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以102143105a =-=. 故选：B. 【点睛】数列的通项公式的常见求法：1、对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；2、对于递推关系式可转化为1()n na f n a +=的数列，并且容易求数列{()}f n 前n 项积时，通常采用累乘法求其通项公式； 3、对于递推关系式形如1n n a pa q +=+的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.14．C解析：C 【分析】利用443a S S =-计算． 【详解】由已知22443(44)(33)8a S S =-=+-+=．故选：C ．15．B解析：B 【分析】由111n n n n a a a a ++-=+，且113a =，可得：111n n na a a ++=-，可得其周期性，进而得出结论.【详解】因为111n n n n a a a a ++-=+，且113a =， 所以111nn na a a ++=-， 21132113a +∴==-，33a =-，412a =-，513a =，⋯⋯， 4n n a a +∴=.123411···2(3)()132a a a a ∴=⨯⨯--⋅⨯=.则{}n a 的前2021项之积50511133=⨯=.故选：B 【点睛】方法点睛：已知递推关系式求通项：（1）用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．（2）通过具体的前几项找到其规律，如周期性等求解.16．C解析：C 【分析】通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论． 【详解】 依题意，112a =，211122a =，3111222a =+=， ⋯从而数列{}n a 是以2为周期的周期数列， 于是所求值为20161(1)151222⨯+=， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.17．B解析：B 【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+= 故选：B18．D解析：D 【分析】利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，34216a a ∴+=故选：D 【点睛】本题考查了数列的项和关系，考查了学生转化与划归，数学运算能力，属于基础题.19．C解析：C 【分析】由累加法求出233n a n n =+-，所以331n a n n n，设33()1f n n n=+-，由此能导出5n =或6时()f n 有最小值，借此能得到na n的最小值. 【详解】解：()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+22[12(1)]3333n n n =++⋯+-+=+-所以331n a n nn设33()1f n n n=+-，由对勾函数的性质可知， ()f n 在(上单调递减，在)+∞上单调递减，又因为n ∈+N ，所以当5n =或6时()f n 可能取到最小值. 又因为56536321,55662a a ===， 所以n a n的最小值为62162a =.故选：C. 【点睛】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.20．B解析：B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.二、多选题 21．ABC 【分析】数列的前项和为，且满足，，可得：，化为：，利用等差数列的通项公式可得，，时，，进而求出． 【详解】数列的前项和为，且满足，， ∴，化为：，∴数列是等差数列，公差为4， ∴，可得解析：ABC 【分析】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1nS ，n S ，2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---，进而求出n a ． 【详解】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=， ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为4，∴()14414n n n S =+-=，可得14n S n=， ∴2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---， ∴()1(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为1114n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题22．AC 【分析】先根据题意得等差数列的公差，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列的公差为， 则，解得. 所以，，，所以当且仅当或时，取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的解析：AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；23．BD 【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误解析：BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.24．BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+=整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.25．ABD 【分析】由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确； 由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正解析：ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.26．BD 【分析】设等差数列的公差为，根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系，可得出、的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 因为、、成等差数列，则，即， 解得，，解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+， 因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误； 对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误； 对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD.在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.27．BC 【分析】设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】 设公差d 不为零, 因为， 所以， 即， 解得， ，故A 错误； ，故B 正确；若，解得，，故C 正确；D 错误； 故选：BC解析：BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断.【详解】 设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--， 解得192a d =-，11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n dd na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误；28．BD 【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项： 是等差数列，若，则，故B 正确； 又由得，则有，故A 错误； 而C 选项，，即，可得，解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.29．BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A 选项中的结论错误； 对于B 选项，为常数，则是等方差数列，B 选项中的结论正解析：BCD 【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n -是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2n a 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++， 由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==， 此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD.【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.30．ABD【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由，可得，故B 正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A 正确；又，所以，故C 不正确解析：ABD【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确；由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确；又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <，所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 31．ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A 选项正确；对于B 选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B 选项正确；C. 若解析：ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．32．AC【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与．等差数列的前项和为．，，，解得，，．故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公解析：AC【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =， ∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-== 故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．33．AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】， ，所以是递增数列，故①正确，，当时，数列不是递增数列，故②不正确，，当时，不是递增数列，故③不正确，，因解析：AD根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确， 故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.34．ABD【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】得，∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列，∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】 )211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD.本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.35．BD【分析】由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确.【详解】因为，所以，所以，因为公差，所以，故不正确；，故正确；，故不正确；，故正确.故选：BD.解析：BD【分析】由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确.【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；135********()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.。
2023-2024学年江苏省常州市前黄高级中学高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省常州市前黄高级中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求. 1．已知集合P ＝{y |y ＝x +1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝1﹣x ，x ∈R }，则P ∩Q ＝（ ） A ．∅B ．{1}C ．{（0，1）}D ．R2．已知i 是虚数单位，设复数z 满足（i ﹣1）z ＝|1+√3i |+3i ，则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin （π3−α）=14，则sin （π6−2α）＝（ ） A ．78B ．−78C ．±78D ．−184．设a →，b →是两个单位向量，若a →+b →在b →上的投影向量为23b →，则cos〈a →，b →〉=（ ） A ．−13B ．13C ．−2√23D ．2√235．为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛．已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（ ）种分配方式 A ．540B ．660C ．980D ．12006．在△ABC 中，“tan B tan C ＞1”是“△ABC 为锐角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设实数t ＞0，若不等式e 2tx −ln2+lnxt≥0对x ＞0恒成立，则t 的取值范围为（ ） A ．[12e，+∞) B ．[1e，+∞) C ．(0，1e]D ．(0，12e] 8．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ） A ．4B ．2√2+2C ．2√3+2D ．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知事件A ，B 满足P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.2，则（ ） A ．若B ⊆A ，则P （AB ）＝0.5B ．若A 与B 互斥，则P （A +B ）＝0.7C．若A与B相互独立，则P(AB)=0.9D．若P（B|A）＝0.2，则A与B相互独立10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点，则（）A．A1C⊥AB1B．A1B与AD1所成角为60°C．D1D⊥AF D．A1G∥平面AEF11．已知函数f（x）＝sin（cos x）+cos（sin x），则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）的最大值大于√2C．∀x∈R，f（x﹣2π）＝f（x）D．∀x∈[0，π]，f（x+π）＞012．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（x）满足f（2x）＝f （2﹣2x），g（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，且g（0）＝1，则（）A．g（1）＝0B．f（x）为奇函数C．g（x）＝g（x+4）D．∑2023k=1g(k2)=−1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若两个正实数x，y满足4x+y﹣xy＝0，且不等式xy≥m2﹣6m恒成立，则实数m的取值范围是．14．在锐角三角形ABC，AB＝2，且1tanA +1tanB=4tanC，则AB边上的中线长为．15．已知函数f(x)=xe x，过点（0，a）可作曲线f（x）的3条切线，则实数a的取值范围为．16．已知x0是函数f(x)=2a√x+b−e x2的一个零点，且x0∈[14，e]，则a2+b2的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f(x)=2√3cos2(π2+x)−2sin(π+x)cosx−√3．（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）若f(x0−π6)=1425，x0∈[3π4，π]，求sin2x0的值．18．（12分）已知函数f（x）＝x+1x−2．（1）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（2）若关于x的方程f（|2x﹣1|）+k•2|2x−1|−3k＝0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．19．（12分）如图，平面五边形ABCDE中，△ADE是边长为2的等边三角形，CD∥AE，CD＝AE，∠BAD=∠ABC=π2，将△ADE沿AD翻折，使点E翻折到点P．（Ⅰ）证明：PC⊥BC；（Ⅱ）若PC＝3，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且√3bsin B+C2=asinB，边BC上有一动点D．（1）当D为边BC中点时，若AD=√3，b=2，求c的长度；（2）当AD为∠BAC的平分线时，若a＝4，求AD的最大值．21．（12分）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值；（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在（14，16]内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在（8，14]内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在（10，12]内的学生最可能有多少名？22．（12分）设a∈R，函数f（x）＝ax﹣1+e x的图象与直线2x﹣y＝0相切，其中e是自然对数的底数．（1）求实数a的值；（2）当x∈[0，π2)时，f（x）≥m sin2x恒成立，求实数m的取值范围．2023-2024学年江苏省常州市前黄高级中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求. 1．已知集合P ＝{y |y ＝x +1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝1﹣x ，x ∈R }，则P ∩Q ＝（ ） A ．∅B ．{1}C ．{（0，1）}D ．R解：x ∈R 时y ＝x +1∈R ，所以集合P ＝{y |y ∈R }，同理可得Q ＝{y |y ∈R }，故P ∩Q ＝R ． 故选：D ．2．已知i 是虚数单位，设复数z 满足（i ﹣1）z ＝|1+√3i |+3i ，则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：（i ﹣1）z ＝|1+√3i |+3i ＝2+3i ，则z =2+3i−1+i =(2+3i)(−1−i)(−1−i)(−1+i)=12−52i ，z =12+52i ， 故z 的共轭复数对应的点（12，52）位于第一象限．故选：A ．3．已知sin （π3−α）=14，则sin （π6−2α）＝（ ）A ．78B ．−78C ．±78D ．−18解：因为sin （π3−α）＝cos[π2−（π3−α）]＝cos （π6+α）=14，所以sin （π6−2α）＝cos[π2−（π6−2α）]＝cos2（π6+α）＝2cos 2（π6+α）﹣1＝2×（14）2﹣1=−78．故选：B ．4．设a →，b →是两个单位向量，若a →+b →在b →上的投影向量为23b →，则cos〈a →，b →〉=（ ）A ．−13B ．13C ．−2√23D ．2√23解：∵a →+b →在b →上的投影向量为23b →，∴(a →+b →)⋅b →|b →|⋅b→|b →|=23b →，∴a →⋅b →=−13， ∵|a →|=|b →|=1，∴由向量的夹角公式可知，cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →||b →|=−13．故选：A ．5．为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛．已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（ ）种分配方式 A ．540B ．660C ．980D ．1200解：根据题意，最后一个服务区有2名志愿者或3名志愿者， 分2种情况讨论：①最后一个服务区有2名志愿者，先为最后一个服务区选择2名志愿者，再将剩下4人分为3组，安排到前3个服务区即可，有C 62⋅C 42C 21C 11A 22A 33=540种安排方法；②最后一个服务区有3名志愿者，先为最后一个服务区选择3名志愿者，剩下3人全排列，安排到前3个服务器即可，有C 63C 31C 21C 11=120种安排方法，共有540+120＝660种安排方法． 故选：B ．6．在△ABC 中，“tan B tan C ＞1”是“△ABC 为锐角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵tan B tan C ＞1＞0，∴B 、C 为锐角，∴tan B ＞0，tan C ＞0， ∴tan （π﹣A ）＝tan （B +C ）=tanB+tanC1−tanBtanC ＜0 ∴tan A ＞0，∴A 为锐角，∴△ABC 为锐角三角形； ∵△ABC 为锐角三角形，∴A 、B 、C 为锐角， ∴B +C 为钝角，tan （B +C ）＜0，∴tanB+tanC 1−tanBtanC ＜0，∵tan B ＞0，tan C ＞0，∴1﹣tan B tan C ＜0， ∴tan B tan C ＞1．∴“tan B tan C ＞1”是“△ABC 为锐角三角形”的充要条件． 故选：C ．7．设实数t ＞0，若不等式e 2tx −ln2+lnxt≥0对x ＞0恒成立，则t 的取值范围为（ ） A ．[12e，+∞) B ．[1e，+∞) C ．(0，1e]D ．(0，12e] 解：e 2tx −ln2+lnx t≥0对x ＞0恒成立，即te 2tx ≥ln 2x ，即2txe 2tx ≥2xln 2x ＝ln 2x •e ln 2x， 令F （x ）＝xe x （x ＞0），则F '（x ）＝（x +1）e x ＞0， 故F （x ）在（0，+∞）单调递增，故2tx ＞ln 2x ，故t ≥ln2x 2x ，问题转化为t ≥(ln2x2x )max， 令H(m)=lnmm ，H ′(m)=1−lnmm 2，令H '（m ）＞0，解得0＜m ＜e ，令H '（m ）＜0，解得m ＞e ， 故H （m ）在（0，e ）单调递增，在（e ，+∞）单调递减， 故H （m ）max ＝H （e ）=1e ，故t ≥1e ． 故选：B ．8．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（ ） A ．4B ．2√2+2C ．2√3+2D ．6解：要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与18球各面（含球面部分）都相切，此时，如上图示，O 为半球的球心，A 为其中一个小球球心，则OA 是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与O ，A 共线，所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与OA 长度之和，即2√3+2， 故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知事件A ，B 满足P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.2，则（ ） A ．若B ⊆A ，则P （AB ）＝0.5B ．若A 与B 互斥，则P （A +B ）＝0.7C ．若A 与B 相互独立，则P(AB)=0.9D ．若P （B |A ）＝0.2，则A 与B 相互独立解：对于A ，因为P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.2，B ⊆A ，所以P （AB ）＝P （B ）＝0.2，故A 错误； 对于B ，因为A 与B 互斥，所以P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.5+0.2＝0.7，故B 正确；对于C ，因为P （B ）＝0.2，所以P(B)=1−0.2=0.8，所以P(AB)=0.5×0.8=0.4，故C 错误； 对于D ，因为P （B |A ）＝0.2，即P(AB)P(A)=0.2，所以P(AB)=0.2×P(A)=0.1，又因为P(A)×P(B)=0.5×0.2=0.1， 所以P(AB)=P(A)⋅P(B)， 所以A 与B 相互独立，故D 正确． 故选：BD ．10．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC 1、BB 1的中点，则（ ）A ．A 1C ⊥AB 1 B ．A 1B 与AD 1所成角为60°C ．D 1D ⊥AFD ．A 1G ∥平面AEF解：以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则A （2，0，0）、B （2，2，0）、C （0，2，0）、D （0，0，0）、E （1，2，0）、F （0，2，1）、G （2，2，1）、A 1（2，0，2）、B 1（2，2，2）、C 1（0，2，2）、D 1（0，0，2）．对于A ，AB 1→=(0，2，2)，A 1C →=(−2，2，−2)，AB 1→⋅A 1C →=4−4=0，所以A 1C ⊥AB 1，故A 正确；对于B ，A 1B →=(0，2，−2)，AD 1→=(−2，0，2)，cos〈A 1B →，AD 1→〉=A 1B →⋅AD 1→|A 1B →|⋅|AD 1→|=−422×22=−12，所以A 1B 与AD 1所成角为60°，故B 正确；对于C ，DD 1→=(0，0，2)，AF →=(−2，2，1)，则DD 1→⋅AF →=2≠0，故C 错误； 对于D ，设平面AEF 的法向量为m →=(x ，y ，z)，AE →=(−1，2，0)，EF →=(−1，0，1)， 则{m →⋅AE →=−x +2y =0m →⋅EF →=−x +z =0，取x ＝2，可得m →=(2，1，2)， 又A 1G →=(0，2，−1)，∵m →⋅A 1G →=2−2=0，∴m →⊥A 1G →，∵A 1G ⊄平面AEF ，∴A 1G ∥平面AEF ，故D 正确． 故选：ABD ．11．已知函数f （x ）＝sin （cos x ）+cos （sin x ），则（ ） A ．f （x ）是奇函数B ．f （x ）的最大值大于√2C ．∀x ∈R ，f （x ﹣2π）＝f （x ）D ．∀x ∈[0，π]，f （x +π）＞0解：f （x ）的定义域为R ，f （0）＝sin1+cos0＝sin1+1≠0，故选项A 错误；f （x ﹣2π）＝sin （cos （x ﹣2π））+cos （sin （x ﹣2π））＝sin （cos x ）+cos （sin x ）＝f （x ），故选项C 正确； f(0)=sin(cos0)+cos(sin0)=sin1+cos0=sin1+1＞√22+1＞√2，故选项B 正确；f （x +π）＝sin （cos （x +π））+cos （sin （x +π））＝sin （﹣cos x ）+cos （﹣sin x ）＝﹣sin （cos x ）+cos （sin x ）， ∵cosx +|sinx|≤√2＜π2，∴cosx ＜π2−|sinx|，当x ∈[0，π]时，cos x ∈[﹣1，1]，π2−|sinx|∈[π2−1，π2]，而y ＝sin x 在[−π2，π2]上单调递增， ∴sin(cosx)＜sin(π2−|sinx|)=cos(sinx)， ∴当x ∈[0，π]时，f （x +π）＞0，故选项D 正确， 故选：BCD ．12．已知函数f （x ）及其导函数f ′（x ）的定义域均为R ，记g （x ）＝f ′（x ）．若f （x ）满足f （2x ）＝f （2﹣2x ），g （x +1）的图象关于直线x ＝﹣1对称，且g （0）＝1，则（ ） A ．g （1）＝0B ．f （x ）为奇函数C ．g （x ）＝g （x +4）D ．∑ 2023k=1g(k2)=−1解：由f （2x ）＝f （2﹣2x ），得f （x ）＝f （2﹣x ），等式两边同时求导，得f ′（x ）＝﹣f ′（2﹣x ）， 即g （x ）+g （2﹣x ）＝0，故g （x ）的图象关于点（1，0）对称，故A 正确； 因为g （x +1）的图象关于直线x ＝﹣1对称，故g （x ）的图象关于直线x ＝0对称，即g （x ）为偶函数，则g （x ）＝g （﹣x ），所以f （x ）应满足f （x ）＝﹣f （﹣x ）+C （C 为常数）， 当C ≠0时，f （x ）不是奇函数，故B 错误；因为g （x ）＝g （﹣x ），g （x ）+g （2﹣x ）＝0，所以g （x ）＝g （x +4），故C 正确；因为g （x ）的图象关于点（1，0）对称，关于y 轴对称，且g （0）＝1，所以g （2）＝﹣1，g （3）＝0，g （4）＝1，在一个周期内，g （4）＝0，所以g （1012）＝﹣g （1012）＝﹣g （0）＝﹣1，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若两个正实数x ，y 满足4x +y ﹣xy ＝0，且不等式xy ≥m 2﹣6m 恒成立，则实数m 的取值范围是 [﹣2，8] ．解：因为两个正实数x ，y 满足4x +y ﹣xy ＝0，所以xy ＝4x +y ≥2√4xy =4√xy ，当且仅当y ＝4x 且4x +y ﹣xy ＝0，即x ＝2，y ＝8时取等号， 所以xy ≥16，因为不等式xy ≥m 2﹣6m 恒成立， 所以m 2﹣6m ≤16，解得﹣2≤m ≤8． 故答案为：[﹣2，8]．14．在锐角三角形ABC ，AB ＝2，且1tanA+1tanB=4tanC，则AB 边上的中线长为 √2 ．解：三角形中，由1tanA+1tanB=4tanC ，可得cosA sinA+cosB sinB=4cosC sinC ，再由正弦定理和余弦定理可得：b 2+c 2−a 22abc +a 2+c 2−b 22abc=4(a 2+b 2−c 2)2abc，整理可得：a 2+b 2=32c 2，由余弦定理可得c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，可得2ab cos C ＝a 2+b 2﹣c 2=12c 2，设AB 边的中线CD ，则CD →=12（CB →+CA →），所以|CD →|2=14（CB →2+CA →2+2CB →•CA →）=14（a 2+b 2+2ab cos C ）=14（32c 2+12c 2）=12c 2，而c ＝AB ＝2，所以|CD |=√12×22=√2．故答案为：√2．15．已知函数f(x)=xe x ，过点（0，a ）可作曲线f （x ）的3条切线，则实数a 的取值范围为 (0，4e 2) ． 解：由f(x)=x e x ，得f ′（x ）=e x −xe x e 2x=1−xe x ，设切点为（t ，tet ），则过切点的切线方程为y −t e t =1−tet (x −t)， 把（0，a ）代入，可得a =t 2e t ，令g （t ）=t 2e t ，则g ′（t ）=t(2−t)e t，则当t ∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，g （t ）单调递减，当t ∈（0，2）时，g （t ）单调递增， 又g （0）＝0，g （2）=4e 2， ∴要使过点（0，a ）可作曲线f （x ）的3条切线，则实数a 的取值范围为(0，4e 2)． 故答案为：(0，4e 2)． 16．已知x 0是函数f(x)=2a √x +b −e x 2的一个零点，且x 0∈[14，e ]，则a 2+b 2的最小值为e 344．解：由已知可得2a √x 0+b −e x 02=0，x 0∈[14，e ]，不妨设直线l ：2√x 0x +y −e x 02=0，则点A （a ，b ）是直线l 上的一点，原点O 到直线l 的距离d =e x 02√0，则|OA |=√a 2+b 2≥d =e x 02√0=√e x 04x 0+1，设g （x ）=e x4x+1，x ∈[14，e ]， g ′（x ）=(4x−3)e x (4x+1)2=0，得x =34，当14≤x ＜34时，g ′（x ）＜0，当34＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0， ∴g （x ）在（14，34）上单调递减，在（34，e ）上单调递增，∴g （x ）min ＝g （34）=e 344，∴a 2+b 2的最小值为e 344．故答案为：e 344．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f(x)=2√3cos 2(π2+x)−2sin(π+x)cosx −√3． （1）求f （x ）的最小正周期和单调增区间；（2）若f(x 0−π6)=1425，x 0∈[3π4，π]，求sin2x 0的值． 解：（1）f(x)=2√3[cos(π2+x)]2−2sin(π+x)⋅cosx −√3 =2√3sin 2x +2sinx ⋅cosx −√3=√3(1−cos2x)+sin2x −√3 =sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)， 故周期为T =2π2=π， 令−π2+2kπ≤2x −π3≤π2+2kπ，k ∈Z ， −π12+kπ≤x ≤5π12+kπ，k ∈Z ， 所以f （x ）的增区间为[−π12+kπ，5π12+kπ]，k ∈Z ． （2）∵f(x 0−π6)=2sin[2(x 0−π6)−π3]=2sin(2x 0−2π3)=1425， ∴sin(2x 0−2π3)=725，∵3π4≤x 0≤π，∴5π6≤2x 0−2π3≤4π3， ∴cos(2x 0−2π3)=−√1−sin 2(2x 0−2π3)=−2425， 故sin2x 0=sin[(2x 0−2π3)+2π3] =sin(2x 0−2π3)cos 2π3+cos(2x 0−2π3)sin 2π3 =725×(−12)−2425×√32=−24√3+750． 18．（12分）已知函数f （x ）＝x +1x −2．（1）若不等式f （2x ）﹣k •2x ≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k 的取值范围； （2）若关于x 的方程f （|2x﹣1|）+k •2|2x −1|−3k ＝0有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．解：（1）令t =2x ∈[12，2]，原不等式即为：t +1t −2−kt ≥0，t ∈[12，2]恒成立． 即k ≤1t 2−2t+1=(1t −1)2，t ∈[12，2]恒成立，易知，当t ＝1时，1t 2−2t+1取得最小值0，故k ≤0即为所求．（2）令t ＝|2x ﹣1|＞0，则原方程可化为：t +1t−2+2kt−3k =0，（t ＞0）， 整理得t 2﹣（2+3k ）t +2k +1＝0……（*），t ＞0，设方程（*）的根为t ，则由t ＝|2x ﹣1|，该方程的根为y ＝t 与y ＝|2x ﹣1|交点的横坐标．同一坐标系做出它们的图象：当y ＝t 在位置①时，有一个交点；当位于位置②时，有两个交点．所以要使原方程有三个根，只需一元二次方程（*）在（0，1）和[1，+∞）各有一个根． 令g （t ）＝t 2﹣（2+3k ）t +2k +1＝0，t ＞0，由题意得{g(0)＞0g(1)＜0，即{2k +1＞01−(2+3k)+2k +1＜0，解得k ＞0；特别的，当g （1）＝0时，k ＝0，此时方程（*）只有一个根1，不符合题意．综上可知，当k ＞0时，原方程有三个不同的实数解．19．（12分）如图，平面五边形ABCDE 中，△ADE 是边长为2的等边三角形，CD ∥AE ，CD ＝AE ，∠BAD =∠ABC =π2，将△ADE 沿AD 翻折，使点E 翻折到点P ．（Ⅰ）证明：PC ⊥BC ；（Ⅱ）若PC ＝3，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：在平面图形中取AD 中点O ，连接OC ，OE ，∵△ADE是边长为2的等边三角形，∴OE⊥AD，OD＝1，故翻折后有OP⊥AD，又∵CD∥AE，∴∠CDO＝∠DAE=π3，∵CD＝AE＝2，∴OC⊥AD，且PO∩OC＝O，∴AD⊥平面POC，∵∠BAD=∠ABC=π2，∴AD∥BC，∴BC⊥平面POC，∵PC⊂平面POC，∴PC⊥BC；（Ⅱ）由（Ⅰ）得OP⊥AD，OC⊥AD，∴二面角P﹣AD﹣B的平面角为∠POC，在△POC中，OC＝OP=√3，PC＝3，由余弦定理得cos∠POC=−12，∴∠POC=2π3，二面角P﹣AD﹣B的大小是2π3，在平面POC内作OM⊥OC，交PC于M，∵AD⊥平面POC，∴以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）得四边形OABC为矩形，∵∠POC=2π3，OP=√3，∴A （1，0，0），D （﹣1，0，0），B （1，√3，0），C （0，√3，0），P （0，−√32，32），∴PB →=（1，3√32，−32），PC →=（0，3√32，−32），DC →=（1，√3，0），设平面PCD 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PC →=3√32y −32z =0n →⋅DC →=x +√3y =0，取y ＝1，得n →=（−√3，1，√3）， 设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，则直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为：sin θ=|PB →⋅n →||PB →|⋅|n →|=√310⋅7=√21070．20．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且√3bsin B+C2=asinB ，边BC 上有一动点D ．（1）当D 为边BC 中点时，若AD =√3，b =2，求c 的长度； （2）当AD 为∠BAC 的平分线时，若a ＝4，求AD 的最大值． 解：（1）因为√3bsinB+C2=asinB ， 所以√3bsin π−A2=asinB ，即√3bcos A2=asinB ．由正弦定理，得√3sinB ⋅cos A2=sinA ⋅sinB ．因为sin B ≠0，所以√3cos A2=sinA =2sin A2cos A 2．因为cos A2≠0， 所以sinA 2=√32． 又因为0＜A 2＜π2， 所以A2=π3，所以A =2π3． 因为D 为边BC 中点，所以2AD →=AB →+AC →，则4|AD →|2=(AB →+AC →)2． 又AD =√3，b =2，A =2π3，所以12=c 2+4+4c ⋅cos2π3， 即c 2﹣2c ﹣8＝0，即（c ﹣4）（c +2）＝0， 所以c ＝4．（2）在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos ∠BAC ． 又a =4，∠BAC =2π3， 所以16＝b 2+c 2+bc ，所以16=(b +c)2−bc ≥(b +c)2−(b+c)24=34(b +c)2，当且仅当b ＝c 时取等号，所以(b +c)2≤643， 所以4＜b +c ≤8√33．因为S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，AD 平分∠BAC ，∠BAC =2π3， 所以12bc ⋅sin2π3=12b ⋅AD ⋅sinπ3+12c ⋅AD ⋅sin π3，所以bc ＝AD •（b +c ），所以AD =bc b+c =(b+c)2−16b+c =b +c −16b+c．令t ＝b +c ，则AD =t −16t ，4＜t ≤8√33． 因为y =t −16t 在(4，8√33]上单调递增， 所以当t =8√33即b =c =4√33时，y 取得最大值为2√33， 所以AD 的最大值为2√33． 21．（12分）为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值；（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在（14，16]内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在（8，14]内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在（10，12]内的学生最可能有多少名？解：（1）由（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01）×2＝1可得a＝0.1．（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组的频率之比为0.05：0.04：0.01＝5：4：1，∴10人中，周平均阅读时间在（12，14]的人数为10×510=5人，在（14，16]的人数为10×410=4人，在（16，18]的人数为10×110=1人，则X所有可能的取值为0，1，2，3，∴P(X=0)=C63C103=20120=16，P(X=1)=C62C41C103=60120=12，P(X=2)=C61C42C103=36120=310，P(X=3)=C43C103=4120=130，∴X的分布列为：∴E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65．（3）用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在（8，14]内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在（10，12]内的概率p=0.20.3+0.2+0.1=13，设周平均阅读时间在（10，12]内的学生有k 名， 则P(k)=C 20k p k (1−p)20−k=C 20k×(13)k ×(23)20−k =C 20k 220−k320，所以P(k+1)P(k)=C 20k+1219−k 320C 20k 220−k 320=12×20!(k+1)!(19−k)!20!k!(20−k)!=12×20−k k+1=12(−1+21k+1)，令P(k+1)P(k)=12(−1+21k+1)≥1，解得k ≤6，所以当k ＝6或k ＝7，P （k ）最大，所以，周平均阅读时间在（10，12]内的学生最可能有6名或7名．22．（12分）设a ∈R ，函数f （x ）＝ax ﹣1+e x 的图象与直线2x ﹣y ＝0相切，其中e 是自然对数的底数． （1）求实数a 的值；（2）当x ∈[0，π2)时，f （x ）≥m sin2x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）由f （x ）＝ax ﹣1+e x ，得f ′（x ）＝a +e x ， 设切点为（x 0，y 0）， 则{a +e x 0=2ax 0−1+e x 0=2x 0， 消去a 得e x 0(x 0−1)+1=0，令g （x ）＝e x （x ﹣1）+1，g ′（x ）＝e x x ， 当x ＜0时，g ′（x ）＝e x x ＜0，g （x ）单调递减， 当x ＞0时，g ′（x ）＝e x x ＞0，g （x ）单调递增，所以g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 且g （0）＝0，当x ≠0时，g （x ）＞0， 所以若g （x 0）＝0，则x 0＝0， 所以a ＝1；（2）由（1）得f （x ）＝x ﹣1+e x ，f （0）＝0， 且f ′（x ）＝1+e x ＞0，所以函数f （x ）在[0，π2)单调递增， 所以f （x ）≥f （0）＝0，对于当x ∈[0，π2)时，f （x ）≥m sin2x 恒成立，当m≤0时，m sin2x≤0，所以f（x）≥m sin2x恒成立；若当x∈[0，π2)时，f（x）≥m sin2x恒成立，则h（x）＝f（x）﹣m sin2x＝x﹣1+e x﹣m sin2x≥0在x∈[0，π2)恒成立，h′（x）＝1+e x﹣2m cos2x，x∈[0，π2)，当0＜m≤1时，x∈[0，π2)，h′（x）＝1+e x﹣2m cos2x≥1+e x﹣2m≥2﹣2m≥0，所以h（x）在x∈[0，π2)上单调递增，所以h（x）≥h（0）＝0，成立；当m＞1时，设F（x）＝1+e x﹣2m cos2x，x∈[0，π2 )，F′（x）＝e x+2m sin2x＞0在x∈[0，π2)上恒成立，所以h′（x）＝F（x）在[0，π2)上单调递增，因为h′（0）＝2﹣2m＜0，ℎ′(π4)=1+eπ4＞0，所以∃x1∈(0，π4)，使h′（x1）＝0，所以x∈（0，x1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈(x1，π2)时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以当x∈（0，x1）时，h（x）＜h（0）＝0，即f（x）≤m sin2x，与题设矛盾，综上所述：m∈（﹣∞，1]．。
江苏省前黄高级中学2024-2025学年高三上学期期初检测数学试题
江苏省前黄高级中学2024-2025学年高三上学期期初检测数学试题一、单选题1．已知集合{(){}N |,lg 1A x x B x y x =∈≤==-，则R A B =I ð（ ） A ．{}0 B ．{}0,1 C ．{}1 D ．{}1,22．已知21iz =+，其中i 为虚数单位，则()1z z ⋅-=（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．已知0a >，且1a ≠，则函数1log a y x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象一定经过（ ）A ．一、二象限B ．一、三象限C ．二、四象限D ．三、四象限4．已知,a b 都是正数，则“4ab ≥”是“ab a b ≥+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知α，β满足()5sin 212αβ+=，()1cos sin 3αββ+=，则sin α值为（ ） A ．112B ．112-C ．14D ．14-6．现将甲､乙､丙､丁､戊､己6名员工平均分成两个志愿者小组，到外面参加两项不同的服务工作，则丙､丁两人恰好参加同一项服务工作的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．457．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的12，得到函数()f x 的图象．若()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．π4B ．5π6C ．5π12D ．3π48．若函数21()ln 2f x x x ax =++有两个极值点12,x x ，且129(())f f x x +≤-，则（ ）A ．4a ≤-B ．4a ≥C ．a ≤-D ．a ≥二、多选题9．关于函数ππ)cos(2)6()(26sin f x x x ++=+，其中正确命题是（ ） A ．()y f x =是以π为最小正周期的周期函数B ．()y f x =C ．将函数2y x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合 D ．()y f x =在区间π13π(,)2424上单调递减 10．已知2()ln f x a x x=+，则以下结论正确的有（ ） A ．0a ∀<，()f x 有零点B ．0a ∃>，()f x 在(0,)+∞上单调递增C ．2a =时，()2f x ≥D ．1a =-时，(21)()0f x f x -->的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭11．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）A ．1,AB 为互斥事件 B ．()1411P B A = C ．()247P A B =D ．7()22=P B三、填空题12．设函数()22x x f x -=-，则使得2()(23)0f x f x +-<成立的x 的解集．．是． 13．设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()sin sin()b c B b A C -=-，则角A =．14．已知存在0a >，使得函数()ln f x a x =与()23g x x x b =--的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b 的最大值为.四、解答题15．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2c b =，2cos a c C =．(1)求ab的值；(2)若ABC V AB 边上的高． 16．已知函数()log 4axf x bx x=+-(01,)a a b >≠∈R 且，其中e 是自然对数的底数． (1)当2b =，证明：()(4)f x f x +-为定值，并求出函数()f x 的对称中心； (2)当e a =时，若()f x 在定义域上单调递增，求实数b 的最小值．17．足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．常州龙城足球队2024年10月将迎来主场与A 队和客场与B 队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与A 队比赛：胜的概率为23，平的概率为16，负的概率为16；客场与B 队比赛：胜的概率为13，平的概率为16，负的概率为12，且两场比赛结果相互独立．(1)求常州龙城队10月主场与A 队比赛获得积分超过客场与B 队比赛获得积分的概率； (2)用X 表示常州龙城队10月与A 队和B 队比赛获得积分之和，求X 的分布列与期望．18．如图，已知菱形ABCD 和菱形ADEF 的边长均为2，,60FAD BAD BF ∠=∠︒=,M N 分别为,AE BD 上的动点，且,(01)AM AE BN BD λλλ==<<u u u u r u u u r u u u r u u u r．(1)证明：//MN 平面CDE ； (2)当MN 的长度最小时，求： ①λ；②点C 到平面MND 的距离．19．已知函数()()e xf x a x a a =--∈R ，其中e 是自然对数的底数．(1)当1a =-时，求2()()cos x f x x ϕ=-在[0,π]上的值域； (2)当01a <≤时，讨论()f x 的零点个数；(3)当1a ≥时，从下面①和②两个结论中任选一个进行证明． ①sin ln ()x x x f x >-；②cos ln ()x x x x f x +>-．。
江苏省常州市前黄高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷
江苏省常州市前黄高级中学2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷一、单选题1．数列15-，17，19-，111，……的通项公式可能是n a =（）A ．(1)32nn -+B ．1(1)23n n --+C ．(1)23nn -+D ．1(1)32n n --+2．已知双曲线2213x y m +=的焦距为4，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．7D ．7-3．已知圆22:230C x y x my ++++=关于直线240x y -+=对称，则圆C 的半径为（）AB ．2C ．D ．44．若直线10ax y a +-+=与直线()230a x y a --+=垂直，则实数a 的值为（）A ．-1或3B ．1或-3C ．-1或-3D ．1或35．已知椭圆22:1204x y C +=的两焦点分别为12,,F F P 为椭圆C 上一点且12PF PF ⊥，则12PF PF -=（）A ．B ．C ．D ．26．若圆()()22235x y r -++=上至少有三个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（）A ．()6,+∞B ．[)6,+∞C ．(]4,6D ．[]4,67．几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族.点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点()0,3P ，则QP QO +的最大值是（）A ．5B ．7C ．9D ．118的直线经过双曲线G 22−22=1>0,>0的左焦点，交双曲线两条渐近线于,A B 两点，2F 为双曲线的右焦点且22AF BF =，则双曲线的离心率为（）AB ．2C D二、多选题9．已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确的是（）A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B ．对任意的k ，直线2l 恒过定点C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点10．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A ，B 距离之比是常数()0,1λλλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点−2,0，()2,0B ，动点M 满足MA =，则下列说法正确的是（）A ．点M 的轨迹围成区域的面积为32πB ．ABM 面积的最大值为C ．点M 到直线40x y -+=距离的最大值为D ．若圆()()222:11C x y r ++-=上存在满足条件的点M ，则半径r 的取值范围为11．已知抛物线()2:20C y px p =>的准线方程为=1x -，过抛物线C 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，则下列说法正确的是（）A ．抛物线C 方程为：24y x=B ．设()3,2Q ，则QAF △周长的最小值为4C ．若2BF FA =，则直线l的斜率为-D ．x 轴上存在一点N ，使AN BN k k +为定值三、填空题12．已知抛物线C 的焦点F 关于其准线的对称点为()0,6-，则抛物线C 的标准方程为.13．已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，1），B （1，－1），点P 为圆（x －4）2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则12S S 的最小值是．四、解答题15．已知ABC V 的顶点()4,2A ，顶点C 在x 轴上，AB 边上的高所在的直线方程为20x y m ++=.(1)求直线AB 的方程；(2)若AC 边上的中线所在的直线方程为40x y --=，求m 的值.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 的圆心在直线2y x =-上，且圆M 与直线10x y +-=相切于点()2,1P -.(1)求圆M 的方程；(2)过坐标原点O 的直线l 被圆M，求直线l 的方程.17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，1F ，2F为椭圆的左右焦点，1,2P ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，且12PF =．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线:2l x =-，过点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，当MAN ∠最小时，求直线AB 的方程．18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点()1,0A ，点A 到双曲线C 一条渐近线的若过双曲线C 上一点P 作直线l 与两条渐近线相交，交点为,M N ，且分别在第一象限和第四象限(1)求双曲线C 的方程；(2)若MP PN =uuu r uuu r，求MON △的面积.19．已知动圆过定点()1,0M ，且与直线=1x -相切.(1)求动圆圆心轨迹C 的方程；(2)设过点M 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，已知点()2,0N ，直线AN ，BN 分别交轨迹C 于另一个点P ，Q .若直线AB 和PQ 的斜率分别为1k ，2k .（ⅰ）证明：122k k =；（ⅱ）设直线QA ，PB 的交点为T ，求线段MT 长度的最小值.。
江苏省常州市前黄高级中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题
6．已知 2m
=
9n
=
6 ，则
1 m
+
1 2n
=（
）
A． log618
B． log65
C．1
D．2
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7．已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 (0, +¥ ) 上单调递减， f (-3) = 0 ，则
不等式 xf ( x) > 0 的解集为（ ）
A． (-¥, -3) È (0,3)
a 的不等式即可．
【详解】因为 | x -1| + | x - 2 |³ x -1 - ( x - 2) = 1 ，
当且仅当 x = 1 或 x = 2 时等号成立； 所以要使 x 的不等式| x -1| + | x - 2 |£ a2 + a + 1(a Î R) 的解集为空集， 得a2 + a +1<1，
【详解】解：∵ 2 - 3x
-
4 x
=
2
-
æ çè
3x
+
4 x
ö ÷ø
，
又Q
x
>
0
，\3x
+
4 x
³
4
3
，当且仅当 3x
=
4 x
即
x
=
2 3
3 时等号成立，
\
2
-
æçè 3x
+
4 x
ö ÷ø
£
2
-
4
3
，当且仅当
x
=
2 3
3 时等号成立，
故选：A．
答案第11 页，共22 页
2024届常州市前黄中学高三数学上学期期初考试卷附答案解析
2024届常州市前黄中学高三数学上学期期初考试卷2023.9（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单选题（5分*8）1．已知幂函数()a f x x =的图象经过点（4，2），则f （9）的值为（）A ．-3B ．3C ．-9D ．92．已知平面向量()()4,2,1,3a b == ，则a 在b方向上的投影向量是（）A ．()1,3B ．()2,1-C ．()5,5D ．()4,23．设2iR,ia a z +∈=，则“1a >”是“5z >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数可以表示为()πln xx x≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计510以内的素数的个数为（）（素数即质数，lg e 0.4343≈，计算结果取整数）A ．2172B ．4343C ．869D ．86865．已知()()lg e 1xf x =+，0.32=a ，3log 2b =，21log 4=c ，则()f a 、()f b 、()f c 的大小关系为（）A ．()()()f c f a f b >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f c f b f a >>6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有(|)0.95P A C =，(|)0.95.P A C =现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005P C =，则(|)P C A ≈（）A ．0.087B ．0.950C ．0.050D ．0.4757．设(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5＋…＋(1＋x )50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 50x 50，则a 3的值是（）A ．450C B ．2350C C ．351C D ．451C 8．已知函数()f x 的定义域为R ，图象恒过()0,1点，对任意12,x x R ∈当12x x ≠时，都有()()12121f x f x x x ->-，则不等式()()ln 11ln 1x xf e e ⎡⎤-<+-⎣⎦的解集为（）A ．()ln 2,+∞B ．(),ln 2-∞C ．()ln 2,1D ．()0,ln 2二、多选题（5分*4，漏选得2分）9．下列命题中，真命题有（）A ．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5B ．若随机变量1~(6,)3X B ，则()43D x =C ．若事件A ，B 满足0(),()1P A P B <<且()()[1()]P AB P A P B =⋅-，则A 与B 独立D ．若随机变量2~(2,)X N σ，(1)0.68P X >=，则(23)0.18P x ≤<=10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，13AA =，点M ，N 分别在棱AB 和1BB 上运动（不含端点），若1D M MN ⊥，下列命题正确的是（）A ．1MN A M⊥B ．MN ⊥平面1D MCC ．线段BN 长度的最大值为34D ．三棱锥111C A D M -体积不变11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()1f x +是偶函数，当[]()20,1,x f x x x ∈=+，则下列说法中正确的有（）A ．函数()f x 关于直线1x =对称B ．4是函数()f x 的周期C ．()()202220230f f +=D ．方程()ln f x x =恰有4不同的根12．已知3824a b ==，则,a b 满足的关系是（）A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-<D ．226a b +>三、填空题（5分*4）13．2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF ⋅＝2，则AE BF ⋅的值是．15．已知函数()11max ,f x x x x x ⎧⎫=-+⎨⎬⎩⎭，关于x 的方程()()()240R f x af x a -+=∈恰有2个不同实数解，则a 的取值范围为．16．在三棱锥-P ABC 中，,2,24,23PAC PAB PA PB AC AB BC ∠∠======.若三棱锥-P ABC 的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.四、解答题17．已知R a ∈，全集R U =，集合1|284x aA x -⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，函数()12log 32y x =-的定义域为B .(1)当2a =时，求()U A B ð；(2)若x B ∈是x A ∈成立的充分不必要条件，求a 的取值范围.18．一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线（如图所示）.选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为()e e x xf x a b -=+，其中a ，b 是常数.(1)当0a b =≠时，判断并证明()f x 的奇偶性；(2)当(),0,1a b ∈时，若()f x 的最小值为2，求1211a b+--的最小值.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -，2BA BC ==，120ABC ∠= ，114AA AC ==，160A AB ∠= .(1)证明：1A B ⊥平面ABC ；(2)若123BP BB =，求二面角1P A C A --的正弦值.20．已知函数()()()log 46(0a f x x a x a a ⎡⎤=-->⎣⎦且1)a ≠．(1)当2a =时，求()f x 的单调增区间；(2)是否存在α，()0,4a β∈，使()f x 在区间[],αβ上的值域是[]log ,log a a βα？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，试说明理由．21．某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为1p ，后两天每天出现风雨天气的概率均为2p ，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为14，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为199200.（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；（2）求该社区举行音乐会场数X 的数学期望.22．已知函数1()()21xf x x R =∈+.(1)求证：函数()f x 是R 上的减函数；(2)已知函数()f x 的图像存在对称中心(,)a b 的充要条件是()()g x f x a b =+-的图像关于原点中心对称，判断函数()f x 的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；(3)若对任意1[1,]x n ∈，都存在23[1,]2x ∈及实数m ，使得112(1)()1f mx f x x -+=，求实数n 的最大值.1．B【分析】由条件求出幂函数解析式，利用解析式求函数值即可.【详解】因为幂函数()a f x x =的图象经过点（4，2），所以42α=，解得12α=，所以12(9)93f ==，故选：B 2．A【分析】由向量数量积找到a 在b方向上的投影为||cos ,||a b a a b b ⋅⋅=，再结合投影向量的定义求解.【详解】a 在b方向上的投影为4132||cos ,10||19a b a a b b ⋅⨯+⨯⋅===+，又b 方向上的单位向量为13,||1010b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故a 在b方向上的投影向量是||cos ,||b a a b b ⋅⋅=()1,3，故选：A.3．A【分析】根据复数模的计算公式及充分条件、必要条件的定义判断即可【详解】由题意得22i 2i iaz a -==-，所以222(2)4z a a =+-=+，因为5z >，所以245a +>，解得1a >或1a <-，故“1a >”是“5z >”的充分不必要条件.故选：A 4．D【分析】根据黎曼猜想计算()5π10，从而得出正确答案.【详解】()554551010210π10ln105ln10ln10⨯≈==44210lg e 2100.4343243438686=⨯⨯≈⨯⨯=⨯=.故选：D 5．A【分析】研究函数()()lg e 1xf x =+的奇偶性、单调性，将a b c 、、变形到函数的单调区间上且比较大小，然后运用函数单调性可得结论.【详解】因为()()()()lg e1lg e 1xxf x f x --=+=+=，()f x 是偶函数，且0x ≥时，()()lg e 2xf x =+是增函数，0.3122a <=<，30log 21b <=<，21log 24c ==-，21()(log )(2)(2)4f c f f f ==-=，而0.33log 222<<，所以0.33(log 2)(2)(2)f f f <<，即()()()f c f a f b >>．故选：A ．6．A【分析】根据条件概率的性质及变式可求得(|)P A C ，由已知可求得()0.995P C =，根据贝叶斯公式可求得答案．【详解】解：因为(|)0.95P A C =，所以(|)1(|)0.05P A C P A C =-=，因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，所以由全概率公式可得()()()(|)(|)P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅，因为()()()(|)(|)P AC P C A P A P A C P C ==，所以()()()(|)0.950.00519(|)0.950.0050.050.995218(|)(|)P A C P C P C A P A C P C P A C P C ⨯===⨯+⨯+．所以19(|)0.087218P C A =≈．故选：A 7．D【解析】由题意可得a 3的值是x 3的系数，而x 3的系数为C 33+C 43+C 53+…+C 503＝C 44+C 43+C 53+…+C 503利用二项式系数的性质求得结果．【详解】解：由题意可得a 3的值是x 3的系数，而x 3的系数为C 33+C 43+C 53+…+C 503＝C 44+C 43+C 53+…+C 503＝C 514，故选：D ．【点睛】本题考查二项式系数的性质的应用，求展开式中某项的系数，求出x 3的系数为C 33+C 43+C 53+…+C 503，是解题的关键．8．D 【解析】由()()12121f x f x x x ->-，设12x x >，得到()()1122f x x f x x ->-，令()()g x f x x =-，然后将不等式()()ln 11ln 1xx f e e ⎡⎤-<+-⎣⎦，转化为()()ln 10x g e g ⎡⎤-<⎣⎦，利用()g x 的单调性求解.【详解】因为()()12121f x f x x x ->-，不妨设12x x >，则()()1122f x x f x x ->-，令()()g x f x x =-，在R 上递增，又()01f =，所以不等式()()ln 11ln 1xx f e e ⎡⎤-<+-⎣⎦，即为()()()ln 1ln 1100xx f e e f ⎡⎤---<=-⎣⎦，即()()ln 10xg e g ⎡⎤-<⎣⎦，所以()ln 10xe -<，则011x e <-<，解得0ln 2x <<，故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由()()12121f x f x x x ->-，构造函数()()g x f x x =-，利用其单调性得解.9．BCD【分析】对于A ：根据百分位数运算求解；对于B ：根据二项分布的方差公式运算求解；对于C ：根据对立事件结合独立事件概率公式运算求解；对于D ：根据正态分布的对称性运算求解.【详解】对于选项A ：将这组数据按从小到大排序为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，因为1070%7⨯=，所以该组数据70%分位数是787.52+=，故A 错误；对于选项B ：因为随机变量1~(6,)3X B ，所以()11461333D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于选项C ：因为()()()1P AB P A P B ⎡⎤=-⎣⎦，则()()()()1P A P AB P A P B ⎡⎤-=-⎣⎦，整理得()()()P AB P A P B =，所以A 与B 独立，故C 正确；对于选项D ：若随机变量2~(2,)X N σ，(1)0.68P X >=，可知正态曲线关于2x =对称，所以(23)(12)(1)(2)0.680.50.18P X P X P X P X <=<=><-=-=<>，故D 正确.故选：BCD.10．ACD【分析】以点D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立坐标系，设出动点M ，N 的坐标，利用空间向量运算判断选项A ，B ，C ，利用等体积法的思想判断选项D 即可得解.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：A 1(3,0,3)，D 1(0,0,3)，C (0,3,0)，B (3,3,0)，设M (3,y ,0)，N (3,3,z )，,(0,3)y z ∈，1(3,,3),(0,3,)D M y MN y z =-=-，而1D M MN⊥则11(3)30(3)3D M MN y y z z y y ⋅=--=⇒=- ，对于A 选项：1(0,,3)A M y =- ，则11(3)30A M MN y y z A M MN ⋅=--=⇒⊥，1MN A M ⊥，A 正确；对于B 选项：(3,3,0)CM y =- ，2(3)(3)(3)0CM MN y y y ⋅=--=--<，即CM 与MN 不垂直，从而MN 与平面D 1MC 不垂直，B 不正确；对于C 选项：(0,0,)BN z = ，则线段BN 长度21393||[()]3244BN z y ==--+≤ ，当且仅当32y =时取“=”，C正确；对于D 选项：不论点M 如何移动，点M 到平面A 1D 1C 1的距离均为3，而111111C A D M M A D C V V --=11119332A D C S =⋅⋅= ，三棱锥111C A D M -体积为定值，即D 正确.故选：ACD11．ABD【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A 的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B 的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C 的正误；分别作出()y f x =和ln y x =的图象，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：因为()()1g x f x =+是偶函数，所以()()g x g x -=，即()()11f x f x -=+所以()f x 关于1x =对称，故A 正确.对于B ：因为()()11f x f x -=+，所以()()()()()211f x f x f x f x +=-+=-=-，所以()()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=，即周期4T =，故B 正确对于C ：()()()()()()()2022200,20233112,f f f f f f f ==-===-=-=-所以()()2022202320f f +=-≠，故C 错误；对于D ：因为[]()20,1,x f x x x ∈=+，且()f x 关于直线1x =对称，根据对称性可以作出[]1,2x ∈上的图象，又()()2f x f x +=-，根据对称性，可作出[]2,4x ∈上的图象，又()f x 的周期4T =，作出()y f x =图象与ln y x =图象，如下图所示：所以()f x 与ln y x =有4个交点，故D 正确.故选：ABD 12．ABD【分析】根据指数与对数互化的关系求出,a b ，取倒数相加即可判断A 选项是否正确；将,a b 代入B 、C 、D 选项式子的左端化简,并利用基本不等式即可判断是否正确.【详解】3824a b ==Q ，38log 24,log 24a b ∴==，2424381111log 3,log 8log 24log 24a b ∴====，对于A 选项：24242411log 3log 8log 241a b +=+==，111a b∴+=，a b ab ∴+=，故A 选项正确；对于B 选项：()()383388log 24log 24log 3log 8log 8log 3a b +=+=+++ ，38382log 8log 322log 8log 34a b ∴+=++>+⋅=，故B 选项正确；对于C 选项：38log 24,log 24a b ==Q ，()()()()2222338811log 3log 81log 8log 31a b ∴-+-=+-++-,()()()()()()2222838311log 3log 82log 3log 82a b ∴-+-=+>=，故C 选项错误；对于D 选项：38log 24,log 24a b ==Q ，()()38338883log 24log 24=log 3log 8log 8log 32log 3log 8224ab ∴=⨯++=++>+=，4ab ∴>，2228ab a b >+>∴，故D 选项正确；故选：ABD 13．3【分析】写出2521(2)(1)x x+-的通项公式，分别计算两个式子对应的常数项，再相加即可.【详解】由题意，2521(2)(1)x x+-的通项公式为：()()28210551C 21C ,0,1,2,3,4,5r r r r rr x x r ---⋅⋅+⨯-⋅⋅=，当280r -=，即4r =时，()44051C 5x -⋅⋅=，当2100r -=，即=5r 时，()550521C 2x ⨯-⋅⋅=-所以展开式的常数项是5(2)3+-=．故答案为：314．2【分析】根据矩形的垂直关系和长度关系，先利用平面向量加法的运算律求解1DF = ，21CF =-，再利用运算律转化求AE BF ⋅即可.【详解】∵AF AD DF =+ ，0AB AD ⋅=uu ur uuu r ，∴()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF = ，21CF =-，∴()()AE BF AB BE BC CF AB BC AB CF BE BC BE CF ⋅=++=⋅+⋅+⋅+⋅ ，∵()0,0,221AB BC BE CF AB CF AB CF cos π⋅=⋅=⋅=⋅=-- ,122BE BC BE BC ⋅=⋅=⨯= ,()22122222AE BF AB CF BE BC ∴⋅=⋅+⋅=--+=-++=，故答案为：2.15．4a =或4a <-【分析】先求得()f x 的解析式并画出图象，利用换元法，结合一元二次方程的解列不等式，由此求得a的取值范围.【详解】对于函数()()110,0y x x y x x x x=-≠=+≠，112x x x x x ⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0x >时，11x x x x -<+；当0x <时，11x x x x->+.所以()1,01,0x x xf x x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，令()t f x =，则方程()()()240R f x af x a -+=∈可化为240t at -+=①，作出函数()f x 的图象如下图所示，则方程①有两个相等的实根或者两个小于2的不等实根，即04a ∆=⇒=，2t =（符合），或2Δ022*******a a a a ⎧⎪>⎪-+=->⇒<-⎨⎪⎪<⎩.所以a 的取值范围是4a =或4a <-.故答案为：4a =或4a <-16．22π【分析】根据勾股定理可得PAB 是等腰直角三角形，从而求出PAC ∠，在PAC △中利用余弦定理求出PC ，根据勾股定理可判断PB PC ⊥，从而得知PB ⊥平面PAC ，从而可将三棱锥-P ABC 补为直三棱柱11BA C PAC -，外接球球心为12O O 的中点O ，根据几何关系即可求解.【详解】由题意得222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥，且PAB 45∠=︒，所以45PAC PAB ∠=∠=︒.在PAC △中，由余弦定理得22222cos 162242102PC AC PA AC PA PAC ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以22221012PB PC BC +=+==，所以PB PC ⊥.又PA PC P = ，,PA PC ⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ，故可将三棱锥-P ABC 补为直三棱柱11BA C PAC -，如图所示，则直三棱柱11BA C PAC -的外接球即为三棱锥-P ABC 的外接球.设PAC △外接圆圆心为2O ，11A BC V 的外接圆圆心为1O ，则直三棱柱的外接球球心为12O O 的中点O ，连接OA ，则OA 即为外接球的半径.在PAC △中，根据正弦定理可得210225sin 22PC O A PAC ∠===，所以25O A =，所以222222122222115222O O OA OO O A O A ⎛⎫⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该外接球的表面积为2114π4π22π2OA ⋅=⨯=.故答案为：22π.17．(1)(]20,1,53⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦(2)82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】(1)求得集合A 和集合B ，根据补集和交集的定义即可求解；(2)由x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，可知集合B 是集合A 的真子集.根据真包含关系建立不等式求解即可.【详解】（1）{}{}231|28|222|234---⎧⎫=<≤=<≤=-<≤+⎨⎬⎩⎭x a x a A x x x a x a ，即](2,3=-+A a a .由12log (32)0,-≥x ，得0321x <-≤，解得213x <≤，即]2(,13=B .当2a =时，(]()20,5,,1,3U A B ∞∞⎛⎤==-⋃+ ⎥⎝⎦ð.∴()(]20,1,53U B A ⎛⎤⋂=⋃ ⎥⎝⎦ð.（2）由x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，可知集合B 是集合A 的真子集.所以22,331a a ⎧-≤⎪⎨⎪+≥⎩解得823a -≤≤，经检验符合集合B 是集合A 的真子集，所以a 的取值范围是82,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18．(1)偶函数(2)10【分析】(1)根据偶函数定义直接判断可知；(2)由基本不等式求得()f x 的最小值，得到a 、b 的关系，然后代入目标式，分离常数，然后可得.【详解】（1）当0a b =≠时，()(e e )x x f x a -=+，定义域为R ，因为()(e e )()x x f x a f x --=+=所以()f x 为偶函数.（2）因为(),0,1a b ∈，所以()e 2e x xb f a x a b -=+≥，当且仅当e e x x a b -=，即1ln 2b x a=时，取等号.由题知22ab =，即12b a =，因为(),0,1a b ∈，所以1012a <<，即112a <<所以222121246112111123123112a a a b a a a a a a-++=+==-----+-+-令2231t a a =-+，1(,1)2a ∈，则108t -≤<，所以18t ≤-，所以1210t-≥，当18t =-，即34a =时，取等号.所以1211a b+--的最小值为10.19．(1)证明见解析(2)31313【分析】（1）利用勾股定理证明1A B AB ⊥，1A B BC ⊥，从而可证1A B ⊥平面ABC ；（2）由题意建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标及向量坐标，求出与平面1A CA 的法向量，利用向量的夹角公式计算二面角1P A C A --的余弦值，从而可得正弦值.【详解】（1）证明：14A A = ，2AB =，160A AB ∠=︒，11164224232A B ∴=+-⨯⨯⨯=，222111A B AB AA A B AB ∴+=⇒⊥，而222111A B BC A C A B BC +=⇒⊥，又AB BC B ⋂=，1A B ∴⊥平面ABC .（2）如图建系，其中BQ AB ⊥，则()10,0,23A ，()1,3,0C -，()2,0,0A ，443,0,33P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴1423,0,33PA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()11,3,23A C =-- ，()12,0,23A A =-.设平面1PA C 与平面1A CA 的一个法向量分别为()1111,,x n y z = ，()2222,,n x y z =，∴()1111111111423003,3,23303230x z n PA n n A C x y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⇒=--⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+-=⎩ ，()2221221222223003,3,103230x z n A A n n A C x y z ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⋅=⎪-+-=⎪⎩⎩设二面角1P A C A --平面角为θ，所以12128213cos 13413n n n n θ⋅===⨯得313sin 13θ=.【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理证明垂直，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．(1)()12,+∞(2)存在，51726a -<<【分析】（1）先求得()f x 的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减求得()f x 的单调增区间.（2）对a 进行分类讨论，根据函数的单调性以及()f x 在区间[],αβ上的值域，利用构造函数法，结合一元二次方程根的个数列不等式组，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）2a =时，()()()2log 812f x x x ⎡⎤=--⎣⎦，由()()8120x x -->解得8x <或12x >，所以()f x 的定义域为()(),812,-∞⋃+∞，函数()()28122096y x x x x =--=-+图象开口向上，对称轴为10x =，2log y x =在()0,∞+上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知：()f x 的增区间为()12,.+∞（2）令()()()46g x x a x a =--，则()g x 在()0,4a 上单调递减，当1a >,且()f x 在区间[],αβ上的值域是[]log ,log a a βα，即()g x 在区间[],αβ上的值域是[],.βα故必须()()g g ααββ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即α,β是()g x x =的在()0,4a 上的两个不等实根.而()y g x =与y x =在()0,4a 上只有一个交点，不符合（舍）.当01a <<，且()f x 在区间[],αβ上的值域是[]log ,log a a βα，即()g x 在区间[],αβ上的值域是[],.αβ故必须()()g g αββα⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()()()4646a a a a ααβββα⎧--=⎪⎨--=⎪⎩①②，-①②得101a αβ+-=-，得101a βα=-+-，代入①得：()22110241010a a a αα+-+-+=，同理()22110241010a a a ββ+-+-+=，令()()2211024101h x x a x a a =+-+-+，则()h x 在()0,4a 有两个零点，即()()()()22202410104610101042Δ1104241010h a a h a a a a a a a ⎧=-+>⎪=-+>⎪⎪-⎨<<⎪⎪=---+>⎪⎩，22241010160010*******a a a a aa a ⎧-+>⎪->⎪⎨<-<⎪⎪+->⎩，()()416101611081527527022a a a a a a a ⎧-->⎪⎪<⎪⎪⎨<<+⎪⎪⎛⎫⎛⎫---+--> ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得51726a -<<.21．（1）11200；（2）1.9.【分析】（1）根据已知条件求得12,p p ，根据相互独立事件概率计算公式计算出所求概率.（2）求得X 的分布列，由此求得X 的数学期望.【详解】（1）依题意()()32211221111994,114222005p p p p ⎛⎫=⇒=-⋅-=⇒= ⎪⎝⎭.所以该社区能举行4场音乐会的概率为:223122313232114144111111225255200C C C C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅⋅⋅-+⋅-⋅⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（2）X 的可能取值为0,1,2,3,4,5，()0302003211442011225525P X C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅⋅⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1202103211441112255P X C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦031101321144711225525C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅⋅⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()212203211442112255P X C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦032002321144112255C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12111132114473112255200C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅⋅⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()32303211443112255P X C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦211121321144112255C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅⋅⋅-⋅⎢⎥⎢⎥⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1221232114443112255200C C ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅⋅⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()114200P X ==，()3214151125200P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：X12345P2257257320043200112001200()277343111012345 1.92525200200200200E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】求解此类题目，要注意分类加法计数原理的应用.22．(1)证明见解析(2)存在，10,2⎛⎫⎪⎝⎭(3)2【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）假设函数()f x 的图像存在对称中心(,)a b ，进而根据题意将问题转化为2(12)(22)22220x a x a ab b b +-+-++--⋅=恒成立，进而得212022220ab b b -=⎧⎨--⋅=⎩，解方程即可得答案；（3）根据题意得11210mx x x -+=，进而结合已知条件得以131,1,,2m m n ⎡⎤⎡⎤--⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以min 131()22m n ≥-=，故2n ≤.【详解】（1）解：设对于任意的实数12,x x ，12x x <，则()()()()()()()()21211212121221211122212121212121x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++，因为1212,,x x R x x ∈<，所以()()21122221210,0x x x x++>>-，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >所以函数()f x 是R 上的减函数（2）解：假设函数()f x 的图像存在对称中心(,)a b ，则()(21)1x a g x f x a b b +=+--+=的图像关于原点中心对称，由于函数的定义域为R ，所以()()1102121x a x a b x b g g x -++-++++-==-恒成立，即2(12)(22)22220x a x a a b b b +-+-++--⋅=恒成立，所以212022220ab b b -=⎧⎨--⋅=⎩，解得10,2a b ==，所以函数()f x 的图像存在对称中心10,2⎛⎫⎪⎝⎭（3）解：因为对任意1[1,]x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及实数m ，使得112(1)()1f mx f x x -+=，所以12111112121m x x x -+=++，即112121mx x x -+=，所以11210mx x x -+=，即111211mx x m x x -==-因为1[1,]x n ∈，所以1111,m m m x n ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦因为231,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以131,1,,2m m n ⎡⎤⎡⎤--⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以11132m m n -≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩，即2132m m n≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩所以min 131()22m n ≥-=，所以2n ≤，即实数n 的最大值为2.。
江苏淮阴中学、姜堰中学、前黄中学高三数学第一次联考苏教版
一、填空题（每题5分，满分70分）1、函数()sin 33xx f x =+的最小正周期= . 2、已知i 为虚数单位，则复数()2421i i ++的实部= .3、写出命题P :[]1,2x ∀∈-，220x -≥的否定： .4、已知函数()x x f x e e ax -=++是R 上的偶函数，则常数a = .5、已知向量a 、b 满足()23a b +=，1a =，2b =，则a 与b 的夹角= . 6、设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有下面四个命题：①αβαγβγ⎧⇒⎨⎩ ；②m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ； ③m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩；④m n m n αα⎧⇒⎨⊂⎩.其中真命题的序号是 .7、设集合(){}2lg lg 815,A x x x x R ==-∈，cos 0,2x B x x R ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂的子集共有 个. 8、在ABC ∆中，223cos cos 222CA a c b +=，且ABC ∆的面积sin S a C =，则a c +的值= .9、设曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则曲线()()2g x f x x =+在点()()1,1g 处的切线方程为 .10、已知2sin sin 3x y +=，2cos cos 3x y +=，则sin cos x x +的值= . 11、已知函数()221log 43x f x x +=-的图像是一个中心对称图形，则()f x 图像的对称中心坐标为 . 12、已知函数()f x=()1,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为 .13、已知四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面的射影恰好是底面菱形ABCD 的两对角线的交点，若3AB =，4PB =，则PA 长度的取值范围为 .14、如图放置的等腰直角三角形ABC 薄片（90ACB ∠=︒，2AC =）沿x 轴滚动，设顶点(),A x y 的轨迹方程是()y f x =，则()f x 在其相邻两个零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 . 二、解答题（满分90分） 15、（14分）设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式112x a-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭的解集为φ，命题q ：函数()()29lg 28f x ax a x ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭的定义域为R ，若命题p 和q 中有且仅有一个正确，求a 的取值范围。
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江苏省前黄高级中学2012届三第一学期期中考试数学试卷（必修 文理通用）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1、设集合{}{}{},2,1,2,1,2,3A a B A B ==⋃=,则a =2、写出命题：“,sin x R x x ∀∈<”的否定：3、已知i 是虚数单位，则1ii-的实部与虚部之积为_____________ 4、已知直线l 过点P （2,1），且与直线350x y ++=垂直，则直线l 的方程为 5、若函数231()4ax af x x +-=-为偶函数，则实数a 的值=6、设函数()3(1)(2)f x x x x =--，则导函数'()f x 共有 个零点7、将函数()3sin(2)6f x x π=+图象向左平移3π个单位后，所得图象对应的解析式为8、设矩形ABCD 在第一象限内，顶点,,A B C 分别在函数22log ,xy x y y =-==⎝⎭的图象上，且//AB x 轴，//AD y 轴,若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为9、在等差数列{}n a 中，465a a +=，前5项和510S =，则其公差d 的值为 10、已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为11、在ABC ∆中，90,1A AB AC ∠===,点P 在边BC 上，则2PB PC +的最大值为12、已知函数()1sin ,([0,2))f x x x π=+∈图象在点P 处的切线与函数()(1)3xg x =+图象在点Q 处的切线平行，则直线PQ 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 13、在ABC ∆中，两中线AD 与BE 相互垂直，则cos()A B +的最大值为 14、已知实数,,x y z 满足32,4xyz x y z =++=，则||||||x y z ++的最小值为二、解答题：本大题共6小题，共90分 15、(本小题满分14分)已知向量1,22a ⎛= ⎝⎭，向量()1,0b =-，向量c 满足0a b c ++= .（1）求证：()a b c -⊥；（2）若a kb - 与2b c + 共线，求实数k 的值。
16、(本小题满分14分)已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=，3234S a -=，且21a a >（1）求}{n a 的通项公式；（2）求和：112341111(1)n na a a a a ---+-++17、（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，且2224)S b c a +-（1）求角A ； （2）求值：00cos(80)[110)]A A --18、 (本小题满分16分)设()y f x =为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两个实数12,x x 都有[]12121(()()22x x f f x f x +≤+成立，则()f x 称为I 上的凹函数。
（1）判断3()(0)f x x x=>是否为凹函数？（2）已知函数2()|3|(0)f x x ax a =-≠为区间[3,6]上的凹函数，请直接写出实数a 的取值范围(不要求写出解题过程)；（3）设定义在R 上的函数3()f x 满足对于任意实数,x y 都有333()()()f x y f x f y +=⋅. 求证：3()f x 为R 上的凹函数.19、(本小题满分16分)在等边ABC ∆中,AB =6cm ，长为1cm 的线段DE 两端点,D E 都在边AB 上，且由点A 向点B 运动（运动前点D 与点A 重合），FD AB ⊥,点F 在边AC 或边BC 上；GE AB ⊥,点G 在边AC 或边BC 上，设AD xcm =。
.（1）若ADF ∆面积为1()S f x =,由,,,DE EG GF FD 围成的平面图形面积为2()S g x =，分别求出函数(),()f x g x 的表达式；（2）若四边形DEGF 为矩形时0x x =，求当0x x ≥时, 设()()()f x F xg x =，求函数()F x 的取值范围。
20、(本小题满分16分) 已知函数21()(1)23ln 2f x m x x x =--++，常数1m ≥ （1）求函数()f x 单调递减区间；（2）当2m =时，设函数()()(2)3g x f x f x =--+的定义域为D ，1,2x x D ∀∈，且121x x +=，求证：12121212()(),()(),(2)(2),(2)(2)g x g x g x g x g x g x g x g x +-+-中必有一个是常数（不含12,x x ）；（3）若曲线C :()y f x =在点(1,1)P 处的切线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求m 的值。
江苏省前黄高级中学2012届第一学期期中考试理科数学附加题21、（选做题，以下A 、B 、C 、D 四㼵中选择两题做答） A （选修4-l ：几何证明选讲）如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为⊙O 上一点，AE =AC ， DE 交AB 于点F ．求证：△PDF ∽△POC ．B 、（选修4—2：矩阵与变换）已知在一个二阶矩阵M 对应变换的作用下，点(1,2)A 变成了点(7,10)A '，点(2,0)B 变成了点(2,4)B '，求矩阵M 的逆矩阵1M -．C （选修4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线:C 3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩，直线:l (cos 2sin )12ρθθ-=．⑴将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；⑵设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 距离的最小值． D ．（选修4－5：不等式选讲）设函数()11f x x x =-++，若不等式2()a b a b a f x +--⋅≤对任意,a b ∈R 且0a ≠恒成立，求实数x 的范围．（第21-A 题） A B P F OE D C·22、（必做题）如图， 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =,4BC =，5=AB ，14AA =．(1)设AD AB λ= ,异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为925，求λ的值；(2)若点D 是AB 的中点，求二面角1D CB B --的余弦值．23、（必做题）在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取3个不同的数字．（1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？（2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数（例如：若取出的三个数字为0,1,2，则相邻的组为0,1和1,2，此时ξ的值是2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．(第22题) B A C A 1 D B 1C 1数学试卷答案一、填空题：1、32、,sin x R x x ∃∈≥3、14- 4、310x y -+= 5、0 6、2 7、53sin(26y x π=+ 8、19(,216 9、14 10、-2 11、 12、3213、45-14、12 二、解答题：15、解：（1）∵22()()()110a b c a b a b b a -⋅=-⋅--=-=-= ∴0)(=⋅-c b a （6分）（2）由条件得0a b c ++= ，（8分）2b c a b ∴+=-+ 。
（10分）∵a kb - 与2b c + 共线，∴a kb - =()a b λ-+10(1)0,2⋅-≠∴ ,a b 不共线，（12分）1,1k k λλ=-⎧∴∴=⎨-=⎩（14分）16、解：（1）由条件得2112110(12)4a a q a q q ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，（3分） 解得1191133a a q q =⎧=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或，（5分） 当19a =，13q =时21a a <，∴舍去，13n n a -∴=（7分） （2）设1(1)n n nb a --=，则113n n b b +=-，{}n b ∴是等比数列（10分）11[1(]313[1()]14313n n n T --∴==--+（14分） 17、解：(1)014sin cos ,tan 0,602bc A bc A A A A π⋅=∴=<<∴=（6分） （2）原式=000cos110cos 20(150)cos 20cos60cos50o=0002cos 20(sin 20)1sin 40-==-（14分）18、解：（1）()f x 是凹函数（2分）。
证明如下：1212121333,(0,),()22x x x x ∀∈+∞+≥≥， 即[]12121()()()22x x f f x f x +≤+，得证。
（5分） （2）(),0[1,)-∞⋃+∞（10分） (3)112212313233,,()()((2222x x x xx x R f x f x f f ∀∈+=+++ 2212121233333()(2()()2(22222x x x x x x f f f f f +=+≥⋅=故3()f x 为R 上的凹函数（16分）19、解：（1）①当03x <≤时，F 在边AC上，0tan60FD x ==，2()f x ∴=；当35x <≤时，F 在边BC 上，0(6)tan60)FD x x =-=-,()(6)f x x ∴=-2,032()(6),35x x f x x x x <≤⎪⎪∴=-<≤（4分） ②当02x <≤时，F 、G都在边AC上，0t a n 63F D x x ==，1)EG x =+()1g x ∴=；当23x <≤时，F 在边AC 上，G 在边BC 上,FD =, )EG x =-()g x ∴=35x <≤时，F 、G 都在边BC 上,)FD x =-, )EG x-()g x ∴=2()235xg x xx+<≤∴=<≤⎪⎪+<≤⎪⎪⎩（10分）（2）52x=（11分）①当532x≤≤时，259(),()545xF x F x=∴≤≤（13分）②当35x≤≤时，()22'26533(),()40211211x x x xF x F xx x--+==>--518(),5,1045F x⎡⎤⎡⎤∴⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的取值范围为（16分）20、解: （1）2'1(2)1()(1)2,0(2mx m xf x m x xx x-++=--+=>分）对于2(2)1mx m x-++而言，22211,(2)440,0 m m m m x x≥∴+-=+>=>=>故当12x x x<<时'()0f x<∴单调减区间（5分）（2）法一：()44ln ln(2)3g x x x x=-+--+关于点A（1，3）对称（6分）证明如下:设00(,)P x y为()y g x=图象上任意一点，P关于点A（1，3）的对称点为'00(2,6)P x y--。