第二章 (3)

uk = x k 1 uS1 + x k 2 uS 2 + + y k 1 i S1 + y k 2 i S 2 + ( k = 1, 2, , b)
+ x km uSm + y kn iSn
小结 : 1. 叠加定理只适用于线性电路。 2. 在各分电路中只有一个电源作用，其余电源置零。 电压源为零 电流源为零 —短路。 —开路。
+ 10V –
6Ω
+
10 I1
– + + 4A 10V –
I1 '
6Ω
+
10 I1' – +
4Ω
Us –
4Ω
Us'= -6V –
(2) 4A电流源单独作用的分电路为：
I1''
6Ω + I1'' – + Us'' – 4A
′ I 1′ = −4 ×
4 = −1.6 A 6+4
4Ω
′ ′ U ′′ = −10 I 1′ + ( −6 I 1′) = 25.6V S
1 1 1 1 1 −( + )un1 + ( + + ) un 2 = − i S3 R 3 R4 R 3 R4 R5
G11=G1+G2+G3+G4 G22=G3+G4+G5
节点1的自电导，等于接在节点1上 所有支路的电导之和 节点2的自电导，等于接在节点2上 所有支路的电导之和
例
iS3 un1 i1 R1
没有计入与Is5 电流源相串联 的电导G6
UN2－UN1= Us1 Is2= G2Us2
四、含受控电源支路时的分析方法
例2 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。 gu ① R2
iS1 R1
解
+ u R3
②
(1) 把受控源当作独立源看 , 列方程
1 1 1 ( + )un1 − un 2 = iS1 R1 R 2 R1
例3. 求电压Us。
+ 10V –
I1
6Ω
+
10 I1
– + 4A
4Ω
Us –
解: (1) 10V电压源单独作用的分电路为：
I1 '
+ 10V – 4Ω 6Ω + 10 I1' – + Us' –
受控源要保留
I1'= 10/（6+4）= 1A Us'= -10 I1'+4 I1' = -6V
I1
un1 − un2 un1 − un2 un2 − − + = − iS3 R3 R4 R5
0 = − iS2 + iS3
整理，并记Gk=1/Rk，得 (G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1 -iS2+iS3 -(G3+G4) un1 + (G3+G4+G5)un2= -iS3
令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5
上式简记为
G11un1+G12un2 = isn1 G21un1+G22un2 = isn2
标准形式的节点电压方程
例
iS3 un1 i1 R1
1
i3 i4
iS1
iS2
0
R2 i2
un2 R3 2 i5 R4 R5
1 1 1 1 1 1 ( + + + ) un1 − ( + )un2 = i S1 − i S2 + i S3 R1 R2 R3 R4 R 3 R4
1 1 1 1 1 −( + )un1 + ( + + ) un 2 = − i S3 R 3 R4 R 3 R4 R5
iSn1=iS1-iS2+iS3 流入节点1的电流源电流的代数和。 iSn2=-iS3 流入节点2的电流源电流的代数和。
例2-4-1 试用节点电压法求下图电路中的各支电路电流。 解 取节点0为参考节点，节 点电压uN1，uN2为求解变量， 列出节点方程为
R2 R1 R1 + R2 ' '' ''' i 3 = ib = us1 + us2 − us3 = i 3 + i 3 + i 3 Δ Δ Δ
由上式可见，各支路电流均为各电压源的一次 函数，所以各支路电流（如i1）均可看成各电压源单 独作用时，产生的电流（如i1'，i1"，i1"'）之叠加。
当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着其 余电源取零值， 即将电压源短路，将电流源开路。
根据叠加定理，可得I和U分别为 I=I'+I''=2A+1A=3A U=U'+ U''=8V－2V=6V
n-1
(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点 较容易。 (3) 网孔法、节点法易于编程。目前用计算机分析网络 (电网，集成电路设计等)采用节点法较多。
§2-5
一、叠加定理
叠加定理
(Superposition Theorem)
在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电 路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的 电流(或电压)的代数和。
例2-4-2 试用节点电压法，求下图所示电路的节点电压。
等效变换
（a）
解 左图中含有三个有伴电压源，分别等效为有伴电流源如右 图所示，选取节点0为参考节点，1为独立节点。对节点1列出 节点方程
(弥尔曼定理 )
例2-4-3 试列出下图电路的节点方程。
等效变换
解 将图中有伴电压源等效为有伴电流源，设无伴电压源电流 为I。选取节点0为参考节点，则1、2、3为独立节点，有 (G1+G2)UN1=Is2－I (G3+G4)UN2－G4UN3=I －G4UN2+(G4+G5 )UN3=Is5 辅助方程
解上述方程得 所以 i1 =6A
uN1 =6V i2=-3A
uN2=12V i3=4A
三、含电压源支路时的分析方法
iS3
un2 i1 un1 若电路中含有伴电压源（即电压源 R3 2 1 i3 与电阻串联）的支路： i2 i5 + R1 uS1 iS2 i4 R4 R5 R2 un1 − uS1 un1 un1 − un2 un1 − un2 S1 + + + R1 R2 R3 R4
un2 i5 = R5
un1 un2 un1 − un2 un1 − un2 + + + = i S1 − i S2 + i S3 R1 R2 R3 R4
un1 − un2 un1 − un2 un2 − − + = − iS3 R3 R4 R5
例
iS3 un1 i1 R1
1
i3 i4
iS1
iS2
同学们： 以下习题，请尽可能独立完成，可以讨论，但杜 绝抄袭，我会在大家完成作业后，给出参考答案。
第二章作业（ P104 ） 2-2, 2-4, 2-6, 2-9, 2-10, 2-11, 2-14, 2-15, 2-17, 2-18, 2-20, 2- 21, 2-22, 2-25, 2-28, 2-33, 2-34, 2-36
1
i3 i4
iS1
iS2
0
R2 i2
un2 R3 2 i5 R4 R5
1 1 1 1 1 1 ( + + + ) un1 − ( + )un2 = i S1 − i S2 + i S3 R1 R2 R3 R4 R 3 R4
1 1 1 1 1 −( + )un1 + ( + + ) un 2 = − i S3 R 3 R4 R 3 R4 R5
1 1 1 − u n1 + ( + )un 2 = − gu − i s1 R1 R1 R 3 (2) 用节点电压表示控制量。
u= un1
支路法、网孔法和节点法的比较：
(1) 方程数的比较 KCL方程 支路法 网孔法 节点法 KVL方程 方程总数
n-1
0
b -（n-1） b-（n-1）
0
b b-（n-1） n-1
+
+
us2单独作用
+
us3单独作用
因此
i1=i1'+i1"+i1"' i2=i2'+i2"+i2"' i3=i3'+i3"+i3"'
上述以一个具体例子来说明叠加的概念，这 个方法也可推广到多个电源的电路中去。 对于有b条支路、m个电压源和n个电流源组成 的线性电阻电路，各支路的电压和电流解答式为：
6Ω + 10V – + 4Ω u' – 6Ω + 4Ω u'' – 4A
例2 . 试用叠加定理计算图中的电压源电流I和电流源端电 压U。
+
解 电压源单独作用时，电流源置零（a，b端开路），有
=-0.5V
+
电流源单独作用时，电压源置零（c，d端短路），有
根据叠加定理，当电压源和电流源共同作用时，则电压源 中的电流I和电流源的端电压U分别为
例 iS1 i1 R1