第11章 多元回归分析 2009
多元回归分析
• ……如此重复进行，直至留下的所有自变量的偏回归都显著，
即得最优多元线性回归方程。
如何确定自变量的相对重要性
• 偏回归系数bi本身并不能反映自变量的相对重要性，其原因 有二： • ①bi是带有具体单位的，单位不同则无从比较； • ②即使单位相同，若Xi的变异度不同，也不能比较。 • 路径系数(path coefficient，记作pi)：即对bi进行标准化，
的估计值不够稳定，而回归系数的计算值也会有很大误差。
LOGO
• 共线性的诊断
–容忍度（ tolerance ）
– Ti＝ 1-Ri2，容忍度的值介于0至1间。
–Ri2是自变量与其它自变量间的多元相关系数的平方，
即模型中其它自变量对这个变项的有效解释能力。 –自变量的Ri2值太大，即容忍度太小，表示此变量与其 它自变量间有共线性问题。
2
(3· 1)
y j b0 b1 x1 j b2 x2 j bm xmj e j
(3· 2)
• 一个m元线性回归方程可假定为：
ˆ b0 b1 x1 b2 x 2 bm x m y
(3· 3)
b0是x1、x2、…、xm 都为0时y 的点估计值；b1是by1· 23…m 的简
r11 2，…，M )组成的相关矩阵： r21 R (rij ) M M r M1 r12 r22 rM 2 r1M r2 M rMM
• 求得其逆矩阵：
c11 c 21 c M1 c12 c 22 c M2 M c1 M c2 c MM
LOGO
• 常态性： – 假说如下所示：
11第十一章多元回归分析
元自变量（ 有m元自变量（xi）时，称m元线性回归 元自变量 元线性回归 以此类推 例如：影响水生生物发病的因素有很多种， 例如：影响水生生物发病的因素有很多种，如致病 营养、环境、消毒、污染、抗病力、 菌、营养、环境、消毒、污染、抗病力、药物等 又如：影响动植物生化指标的因素也很多， 又如：影响动植物生化指标的因素也很多，既有外 部因素， 部因素，也有内部因素 又如：影响渔场经营效益的因素有规模、 又如：影响渔场经营效益的因素有规模、养殖的鱼 饲料、饲养密度、管理水平、药物的使用、 类、饲料、饲养密度、管理水平、药物的使用、 保健成本、 保健成本、防疫等 其中，有些影响因素是数量性质的， 其中，有些影响因素是数量性质的，而有些虽是质 量性质的， 量性质的，但可以进行量化
得解
这一二元线性方程组的生物学意义是： 这一二元线性方程组的生物学意义是： 当卵巢重不变时，怀卵量随不同种类鱼的体重变化 当卵巢重不变时， 而变化；当种类体重不变时， 而变化；当种类体重不变时，怀卵量随卵巢重的 变化而变化 与简单回归方程一样， 与简单回归方程一样，多元线性回归方程也有一定 的预测范围
ˆ Q = ∑ ( y − y ) = ∑ ( y − ( b0 + b1 x1 + b2 x2 + ... + bm xm ) )
2 2
为最小
为了使方程的求解容易一些，先消去 为了使方程的求解容易一些，先消去b0
消去b 消去 0： b0 = y − ( b1 x1 + b2 x2 + ... + bm xm )
1 2 1 2
= 260.545
260.545b1 + 39.95828b2 = 27.09344 { 39.95828b1 + 10.110b2 = 4.165040
管理统计学习题参考答案第十一章
十一章1. 解：回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；在线性回归中，按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且自变量之间存在线性相关，则称为多元线性回归分析。
相关分析，相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
相关分析和回归分析是研究客观现象之间数量联系的重要统计方法。
既可以从描述统计的角度，也可以从推断统计的角度来说明。
所谓相关分析，就是用一个指标来表明现象间相互依存关系的密切程度。
所谓回归分析，就是根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型，来近似地表达变量间的平均变化关系。
它们具有共同的研究对象，在具体应用时，相关分析需要依靠回归分析来表明现象数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表明现象数量变化的相关程度。
只有当变量之间存在着高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。
由于相关分析不能指出变量间相互关系的具体形式，所以回归分析要对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测定，从而为估算和预测提供了一个重要的方法。
在有关管理问题的定量分析中，推断统计加具有更加广泛的应用价值。
需要指出的是，相关分析和回归分析只是定量分析的手段。
通过相关与回归分析，虽然可以从数量上反映现象之间的联系形式及其密切程度，但是现象内在联系的判断和因果关系的确定，必须以有关学科的理论为指导，结合专业知识和实际经验进行分析研究，才能正确解决。
因此，在应用时要把定性分析和定量分析结合起来，在定性分析的基础上开展定量分析。
多元回归分析方法
多元回归分析方法一、简介多元回归分析是一种经济学和统计学中常用的分析方法，它可以用来研究多个自变量对一个因变量的影响关系。
在实际问题中，我们往往需要考虑多个因素对某个现象的影响，多元回归分析可以帮助我们揭示这种复杂关系。
二、回归模型回归分析基于回归模型，常见的多元回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε，其中Y是因变量，Xi是自变量，βi是对应的回归系数，ε是随机误差项。
回归系数反映了自变量对因变量的影响程度，通过对样本数据进行估计，我们可以得到回归系数的估计值。
三、数据收集与准备在进行多元回归分析之前，我们需要收集和准备相关的数据。
这包括确定因变量和自变量的测量指标，选择合适的样本规模，保证数据的有效性和可靠性。
同时，对于因变量和自变量之间可能存在的非线性关系，我们需要进行适当的变量转换或添加高阶项，以确保模型的拟合程度。
四、回归模型的选择在进行多元回归分析时，我们需要选择合适的回归模型。
这可以通过观察数据的分布情况、变量之间的关系以及领域知识来进行判断。
常见的回归模型包括线性回归、多项式回归和逻辑回归等。
选择合适的模型能够提高分析的准确性和可解释性。
五、模型拟合与评估在得到回归模型的估计值后，我们需要评估模型的拟合程度和预测能力。
常见的评估指标包括均方误差(MSE)、决定系数(R-squared)和F统计量等。
通过这些指标，我们可以判断模型的拟合优度和自变量的显著性，进而确定模型是否可靠以及变量是否具有统计显著性。
六、多重共线性检验多元回归分析中存在一个重要的问题，即多重共线性。
当自变量之间存在强相关关系时，容易导致模型估计结果的不稳定和不可靠。
因此，在进行多元回归分析之前，必须对自变量进行多重共线性的检验。
常用的方法包括方差膨胀因子(VIF)和特征值分解等。
七、模型解释与应用通过对多元回归模型的估计和评估，我们可以得到自变量对因变量的影响程度和方向，并进行合理的解释。
多元回归分析原理及例子
多元回归分析原理回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。
回归分析的基本思想是: 虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系, 但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。
回归分析主要解决以下几个方面的问题:(1) 确定几个特定的变量之间是否存在相关关系, 如果存在的话, 找出它们之间合适的数学表达式; (2) 根据一个或几个变量的值, 预测或控制另一个变量的取值, 并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;(3) 进行因素分析。
例如在对于共同影响一个变量的许多变量(因素)之间, 找出哪些是重要因素, 哪些是次要因素, 这些因素之间又有什么关系等等。
回归分析有很广泛的应用, 例如实验数据的一般处理, 经验公式的求得, 因素分析, 产品质量的控制, 气象及地震预报, 自动控制中数学模型的制定等等。
多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法, 按因变量和自变量的数量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“一对多”回归分析)及多个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“多对多”回归分析), 按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。
本“多元回归分析原理”是针对均匀设计3.00软件的使用而编制的, 它不是多元回归分析的全面内容, 欲了解多元回归分析的其他内容请参阅回归分析方面的书籍。
本部分内容分七个部分, §1～§4介绍“一对多”线性回归分析, 包括数学模型、回归系数估计、回归方程及回归系数的显著性检验、逐步回归分析方法。
“一对多”线性回归分析是多元回归分析的基础, “多对多”回归分析的内容与“一对多”的相应内容类似, §5介绍“多对多”线性回归的数学模型,§6介绍“多对多”回归的双重筛选逐步回归法。
§7简要介绍非线性回归分析。
§1 一对多线性回归分析的数学模型§2 回归系数的最小二乘估计§3 回归方程及回归系数的显著性检验§4 逐步回归分析§5 多对多线性回归数学模型§6 双重筛选逐步回归§7 非线性回归模型§1 一对多线性回归分析的数学模型设随机变量与个自变量存在线性关系:, (1.1)(1.1)式称为回归方程, 式中为回归系数,为随机误差。
多元回归分析范文
多元回归分析范文多元回归分析是一种统计分析方法，用于探究多个自变量与一个因变量之间的关系。
它是简单回归分析的扩展，可以更准确地预测因变量的值，并提供对自变量的影响程度的评估。
在本文中，将介绍多元回归分析的原理、步骤和应用，并将其与其他相关的统计分析方法进行比较。
Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+…+βnXn+ε其中，β0为常数项，β1,β2,β3为自变量的系数，ε为误差项。
多元回归分析的目标是通过估计自变量的系数，找到一个最佳的拟合线来预测因变量的值。
1.数据收集：收集包括因变量和自变量在内的相关数据。
2.数据预处理：处理缺失值、异常值等数据，进行变量转换和标准化等操作。
3.模型拟合：使用最小二乘法估计自变量的系数，并通过显著性检验确定哪些自变量对因变量有显著影响。
4.模型评价：通过诸如回归系数、拟合优度等指标评价模型的拟合效果。
5.模型预测：利用拟合好的模型进行因变量的预测。
多元回归分析的应用非常广泛。
在社会科学领域，可以用于预测人们的投票行为、消费行为等。
在经济学中，可以用于分析商品价格与销量之间的关系，以及其他经济因素对市场产生的影响。
在医学领域，可以用于分析多个因素对疾病发生的影响。
在工程领域，可以用于预测产品性能与各个因素之间的关系。
与其他统计分析方法相比，多元回归分析的优点在于可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，提供更全面的预测能力。
它可以揭示多个自变量之间的相互作用效应和各自的独立影响，并通过系数的大小提供对各个自变量的相对重要性的评估。
此外，多元回归分析还可以控制其他变量，剔除掉与因变量无关的影响。
然而，多元回归分析也存在一些局限性，如对线性假设的依赖、需要满足一些基本假设（如线性无关性、同方差性等）等。
总之，多元回归分析是一种重要的统计分析方法，可应用于多个领域。
通过分析多个自变量与一个因变量之间的关系，可以提供更准确的预测和深入的解释。
然而，在应用多元回归分析时，需要注意对数据的收集和预处理，并且验证模型的拟合优度和假设的合理性。
多元回归分析
Multi Regression
22
Adjusted R2
在迴歸分析中，如果自變項的個數很多，有時 候就要用調整後的判定係數代替原先的判定係 數，因為增加新的自變項後，均會使R2變大。
「Adjusted R2」為調整後的判定係數：
SSE 2 2 n k 1 1 n 1 (1 R 2 ) Adjusted R R a 1 SST n k 1 n 1
平均平方和MS SSR MSR k SSE MSE n k 1
F F MSR MSE
ˆ Note: 殘差 ei yi yi ,i 1, 2,, n
K為預測變數個數(不含β0)
Multi Regression 18
模式檢定(1)
迴歸分析之假說檢定包括總檢定與邊際檢定兩種。 總檢定： – 目的在探討迴歸模式中的所有斜率係數是否全部 為0。 – 當斜率係數不全為0時，Y與(X1,X2,…,XK)才具有 某種程度的函數關係 。 – 總檢定之虛無假說與對立假說可列示如下： H0: j=0，對所有j H1: j0，對某些j (j=1,2,…,K) – 檢定統計量: F=MSR/MSE
2 iid
或
Y1 1 X11 X1k 0 1 Y2 1 X21 X2k 1 2 Yn 1 Xn1 Xnk k n
Yn1 Xn(k1)β(k1)1 ε n1
Multi Regression
17
迴歸分析 ―變異數分析表
變異來源 迴歸 隨機 總和 平方和SS
ˆ ˆ SSR y 2 (Y Y ) 2
SSE e 2 (Y Y ) 2
多元回归分析
多元回归分析引言多元回归分析是一种统计方法，用于探究自变量对因变量的影响程度。
它通过建立一个数学模型，分析多个自变量与一个因变量之间的关系，以预测因变量的变化。
本文将介绍多元回归分析的基本原理、应用场景和步骤。
基本原理多元回归分析建立了一个包含多个自变量的线性回归方程，如下所示：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y为因变量，X1、X2、…、Xn为自变量，β0、β1、β2、…、βn为回归系数，ε为误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度。
多元回归分析可以通过最小二乘法估计回归系数，即找到使误差项平方和最小的系数值。
在得到回归系数后，可以通过对自变量的设定值，预测因变量的值。
应用场景多元回归分析广泛应用于各个领域，例如经济学、社会科学和工程学等。
以下是一些常见的应用场景：1.经济学：多元回归分析可以用于预测经济指标，如国内生产总值（GDP）和通货膨胀率。
通过分析多个自变量，可以了解各个因素对经济发展的影响程度。
2.社会科学：多元回归分析可以用于研究社会现象，如教育水平和收入水平之间的关系。
通过分析多个自变量，可以找出对收入水平影响最大的因素。
3.工程学：多元回归分析可以用于预测产品质量，如汽车的油耗和引擎功率之间的关系。
通过分析多个自变量，可以找到影响产品质量的关键因素。
分析步骤进行多元回归分析时，以下是一般的步骤：1.收集数据：收集自变量和因变量的数据，并确保数据的可靠性和有效性。
2.数据预处理：对数据进行清洗和转换，以消除异常值和缺失值的影响。
3.变量选择：根据实际问题和领域知识，选择合适的自变量。
可以使用相关性分析、变量逐步回归等方法来确定自变量。
4.拟合模型：使用最小二乘法估计回归系数，建立多元回归模型。
5.模型评估：通过检验残差分布、解释变量的显著性和模型的拟合程度等指标，评估多元回归模型的质量。
6.预测分析：使用已建立的多元回归模型，对新的自变量进行预测，得到因变量的预测值。
多元回归分析
多元回归分析多元回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量对一个因变量的影响。
该方法可以帮助研究人员理解不同自变量对因变量的相对重要性，并建立预测模型。
本文将介绍多元回归分析的基本原理和应用，并通过一个实例来说明其实际应用价值。
多元回归分析的基本原理是基于线性回归模型。
线性回归模型的基本形式是：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1至Xn表示自变量，β0至βn表示回归系数，ε表示误差项。
多元回归分析通过求解最小二乘法来估计回归系数，以找到最佳拟合线。
回归系数的估计结果可以反映不同自变量对因变量的影响。
多元回归分析的应用十分广泛，特别是在社会科学、经济学以及市场营销等领域。
例如，研究人员可以使用多元回归分析来探索广告投资对销售额的影响，或者研究不同因素对消费者购买行为的影响。
为了更好地理解多元回归分析的应用，我们以市场营销领域的一个案例为例。
假设某公司希望了解其产品销售额与广告投资、价格和竞争公司销售额之间的关系。
研究人员首先收集了一段时间内的数据，包括广告投资、产品价格和竞争公司销售额的信息。
在进行多元回归分析之前，研究人员需要对数据进行预处理，包括数据清洗、变量选择和变量转换等。
然后，他们可以根据以上模型构建一个方程，以评估广告投资、价格和竞争公司销售额对销售额的影响。
通过对数据进行多元回归分析，研究人员可以得到各自变量的回归系数。
这些系数可以告诉他们不同自变量对销售额的相对重要性。
例如，如果广告投资的回归系数较大，则说明广告投资对销售额的影响较大；反之，如果竞争公司销售额的回归系数较大，则说明竞争对销售额的影响较大。
通过多元回归分析的结果，研究人员可以得出一些结论，并提出相应的建议。
例如，如果广告投资对销售额的影响较大，公司可以考虑增加广告投资以提高销售额。
如果价格对销售额的影响较大，公司可以考虑调整产品价格以更好地满足消费者需求。
多元回归分析
基本介绍
Hale Waihona Puke 通常影响因变量的因素有多个，这种多个自变量影响一个因变量的问题可以通过多元回归分析来解决。例如， 经济学知识告诉我们，商品需求量Q除了与商品价格P有关外，还受到替代品的价格、互补品的价格，和消费者收 入等因素，甚至还包括商品品牌Brand这一品质变量（品质变量不能用数字来衡量，需要在模型中引入虚拟变量） 的影响。多元回归分析应用的范围更加广泛。由于线性回归分析比较简单和普遍，下面首先介绍多元线性回归， 在线性分析基础上，逐步引入虚拟变量回归和一类能够变换成线性回归的曲线回归模型 。
多元回归分析
数理统计方法
目录
01 基本介绍
03 引进虚拟变量
02 多元回归模型 04 曲线回归
多元回归分析（Multiple Regression Analysis）是指在相关变量中将一个变量视为因变量，其他一个或 多个变量视为自变量，建立多个变量之间线性或非线性数学模型数量关系式并利用样本数据进行分析的统计分析 方法。另外也有讨论多个自变量与多个因变量的线性依赖关系的多元回归分析，称为多元多重回归分析模型（或 简称多对多回归）。
感谢观看
当虚拟变量的引入形式只影响回归方程的截距，我们称为加法模型。引入虚拟变量的另外一种形式是乘法模 型，这时引入虚拟变量后并不影响模型的截距，而是影响了斜率。当然，在模型设定时也可能同时引入加法和乘 法，同时改变模型的截距和斜率。
曲线回归
前面我们在模型中都假定Y和之间是线性关系，从广义的线性角度来讲，下面所讲的曲线模型是通过变量替换 而转化成线性的模型。表1列出了常用的可以通过变量替换而转化成线性的曲线模型 。
多元回归模型
多元回归模型的数学形式 设因变量为Y，影响因变量的k个自变量分别为，假设每一个自变量对因变量Y的影响都是线性的，也就是说， 在其他自变量不变的情况下，Y的均值随着自变量的变化均匀变化，这时我们把 称为总体回归模型，把称为回归参数。回归分析的基本任务是： 任务1：利用样本数据对模型参数作出估计。 任务2：对模型参数进行假设检验。 任务3：应用回归模型对因变量（被解释变量）作出预测。 模型的基本假定 为了保证多元回归分析的参数估计、统计检验以及置信区间估计的有效性，与一元线性回归分析类似，我们 需要对总体回归模型及数据作一些基本假定。 假定1：随机误差项的概率分布具有零均值，即。 假定2：随机误差项的概率分布对于不同的自变量表现值而言，具有同方差。
第11章 多元线性回归
E( y ) = b0+ b1 x1 + b2 x2 +…+ bk xk
b1，b2，，bk称为偏回归系数 bi 表示假定其他变量不变，当 xi 每变动一
个单位时，y 的平均变动值
11 - 10
统计学
STATISTICS (第二版)
二元回归方程的直观解释
二元线性回归模型
(multiple regression model)
1. 一个因变量与两个及两个以上自变量的回归
2. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x1 ， x2 ，…， xk 和误差项 的方程，称为多元回归模型
3. 涉及 k 个自变量的多元回归模型可表示为
bb b b y 0 1 x 1 2 x 2 k x k
11 - 30
统计学
STATISTICS (第二版)
多重共线性及其产生的问题
11 - 31
统计学
STATISTICS (第二版)
多重共线性
(multicollinearity)
1. 回归模型中两个或两个以上的自变量彼此 相关
2. 多重共线性带来的问题有
可能会使回归的结果造成混乱，甚至会把分 析引入歧途
统计学
STATISTICS (第二版)
多重共线性
(例题分析)
1. t2(25-2)=2.069，所有统计量t >t2(25-2)=2.069，所 以均拒绝原假设，说明这4个自变量两两之间都有显著 的相关关系
2. 由表Excel输出的结果可知，回归模型的线性关系显著
(Significance-F＝1.03539E-06<=0.05)。而回归系数
11第十一章多元回归分析-PPT课件
整理之，得正规方程组：
b X b XX ...b XX XY 1 2 1 2 m 1 m 1 1
2 2 b XX b X ...b X XY 1 1 2 2 2 m 2X m 2
...
2 b XX b X X ... b X X Y 1 1 m 2 2 m m m m
第十一章
多元回归
本章介绍多元回归的最基本知识，运用多元 回归进行多项式回归分析的一般步骤，回 归方程的显著性检验
矩阵的复习：
什么叫矩阵
方阵
对称阵 单位阵 行列式 矩阵的运算 矩阵的求逆
在许多情况下，影响一个变量的因素往往有许多个， 因此，仅用简单回归进行预测其结果不够理想， 因此应当研究一个依变量和多个自变量的关系
XX X XX
2
. . . . . . . . .
X Y XX XY XX
1 m 2
m
2 X m
m
. . . XY m
2
这一形式可以简写为： b A1Y 由于系数矩阵是一个对称的方阵，且一般满秩，因 此可求逆，有解，且是唯一解
i i i i
SP xi x j
SP xi y
Y 2 y y y2
2
y
n
2
SSy
用矩阵形式表示之：
2 X 1 XX 1 2 . . . XX 1 m
XX X XX
2 1
1 2 2 2
. . . . . . . . .
2
代入Q式：
2
ˆ Qy y y y b x b x . . . b x b x b x . . . b x 1 1 2 2 m m 1 1 2 2 m m
multivariate regression analysis
multivariate regression analysis多元回归分析是一种常用的统计分析方法，它可以用于研究因变量与多个自变量之间的关系。
在现实生活中，很多问题都涉及到多个因素的影响，如经济学、医学、心理学等领域，多元回归分析可以帮助我们理解这些因素之间的相互作用。
在多元回归分析中，我们通常需要先建立一个数学模型，然后利用已知数据对模型进行拟合和检验。
最常用的多元回归模型是线性回归模型，其基本形式可以表示为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βpxp + ε其中，y是因变量，x1，x2，…，xp是自变量，β0，β1，β2，…，βp是回归系数，ε是误差项。
回归系数是用来描述自变量对因变量的影响程度的，而误差项则表示模型无法完全解释的因素。
通过对数据的分析，我们可以利用最小二乘法求解回归系数，从而得到一个可靠的模型。
多元回归分析可以帮助我们进行预测和推断。
对于预测问题，我们可以利用已知的自变量预测因变量的值。
比如，在经济学中，我们可以利用多元回归分析预测某个国家的经济增长率。
对于推断问题，我们可以分析自变量与因变量之间的关系，从而得到一些结论。
比如，在医学研究中，我们可以利用多元回归分析研究某种药物对患者的治疗效果，从而得到一些治疗建议。
当然，多元回归分析也存在一些问题和限制。
首先，我们需要确定自变量与因变量之间的关系是真实存在的，否则得到的结果可能是无意义的。
其次，我们需要注意自变量之间的相关性，如果自变量之间存在高度相关性，可能会导致结果不稳定。
此外，多元回归分析也需要注意模型的解释性，我们需要确保模型的解释性良好，才能得到有意义的结论。
总之，多元回归分析是一种强大的统计工具，可以帮助我们理解自变量与因变量之间的关系，并进行预测和推断。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的自变量和合适的模型，同时注意解释性和稳定性等问题，才能得到可靠的结果。
多元回归分析法
White 检验
Breusch-Pagan检验能检验出任何线性形式 的异方差 而White检验则能够通过加入所有解释变 量的平方项和交叉项来检验非线性形式的 异方差 检验的方法仍然是利用F统计量和LM统计 量来检验xj, xj2和xjxh的联合显著性
CCER, Fall 2004
OLS 也可以用来估计x 和y 的非线性的方 程， 但对于要估计的系数来说仍然是线 性的 可以取x 或 y 的对数形式，或两者的对数 形式 可以用 x 的平方项 可以用 x 变量之间的交叉项
CCER, Fall 2004 10
对于对数方程的解释
假设方程为 ln(y) = b0 + b1ln(x) + u b1 则是 x 对y 的弹性 若为 ln(y) = b0 + b1x + u b1 则近似的反映一单位x 的变化导致的y 的百分比变化量 若为 y = b0 + b1ln(x) + u b1 则近似的反映x百分之百的变化量导 致的y的变化
CCER, Fall 2004 11
含平方项的模型
假设模型为 y = b0 + b1x + b2x2 + u ，此时我们 不能把 b1 解释为每单位x的变化导致的 y 的变 化, 我们需要把 b2 也考虑进来, 因为
ˆ 2b ˆ x x, so ˆ b y 1 2 ˆ ˆ y ˆ x b1 2 b 2 x
y b1 b 3 x2 , 因此加总 x1 对 y x1 的影响时， 我们通常估计其在 x2 处的影响
CCER, Fall 2004
14
调整后的 R-Squared
前面分析了 R2 总会随着解释变量的增大而增大 但调整后的 R2把模型中解释变量的数量考虑了进 来, 因此可能会反而变小
多元回归分析法的介绍及具体应用
多元回归分析法的介绍及具体应用————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ多元回归分析法的介绍及具体应用在数量分析中，经常会看到变量与变量之间存在着一定的联系。
要了解变量之间如何发生相互影响的,就需要利用相关分析和回归分析。
回归分析的主要类型:一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析以及逻辑回归分析等。
这里主要讲的是多元线性回归分析法。
1. 多元线性回归的定义说到多元线性回归分析前，首先介绍下医院回归线性分析,一元线性回归分析是在排除其他影响因素或假定其他影响因素确定的条件下,分析某一个因素（自变量)是如何影响另一事物(因变量）的过程,所进行的分析是比较理想化的。
其实，在现实社会生活中,任何一个事物(因变量）总是受到其他多种事物（多个自变量)的影响。
一元线性回归分析讨论的回归问题只涉及了一个自变量,但在实际问题中，影响因变量的因素往往有多个。
例如，商品的需求除了受自身价格的影响外，还要受到消费者收入、其他商品的价格、消费者偏好等因素的影响;影响水果产量的外界因素有平均气温、平均日照时数、平均湿度等。
因此,在许多场合,仅仅考虑单个变量是不够的,还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察,才能获得比较满意的结果。
这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。
研究在线性相关条件下,两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式,称为多元线性回归模型。
多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型类似,只是在计算上更为复杂，一般需借助计算机来完成。
２. 多元回归线性分析的运用具体地说,多元线性回归分析主要解决以下几方面的问题。
（1)、确定几个特定的变量之间是否存在相关关系,如果存在的话,找出它们之间合适的数学表达式;(２）、根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;（3)、进行因素分析。
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11.3 品质变量回归分析
由于回归分析工具要求变量区域必须邻接，故需 对各列位置进行调整。 选中D列，点击鼠标右键，在弹出的工具条中选择 “剪切”；再选中H列，点击鼠标右键，在弹出的 工具条中选择“插入剪切单元格” ，则调整后的 工作表如图所示。
11.3 品质变量回归分析
打开“数据分析”对话框。 在“数据分析”对话框中，于“分析工具”列表 中选择 “回归”选项，单击“确定”按钮,进入 “回归”对话框。
11.1 多元回归分析的基本内容
在“Y值输入区域”中输入A1：A21单元格，它代表销 售额的数据范围。 在“X值输入区域”中输入B1：C21单元格，这里包括 “广播”与“电视”两个自变量，回归工具要求自变 量之间必须是相邻的，不能隔开。 选中标志。选择95%的置信度。
11.1 多元回归分析的基本内容
11.2 非线性回归分析
详细过程参照成本产量多项式模型，结果如图：
11.2 非线性回归分析
国内生产总值指数模型拟合
例 11.5 拟合国内生产总值的指数增长模型。 详细过程参照成本产量多项式模型，下图是回归分析 结果：
11.3 品质变量回归分析
两种表现的品质变量回归分析
可以将品质变量指定0值或1值，从而使其在回归模型 中作为自变量。这些0/1变量有时也称为虚拟变量或哑 变量。与在多元回归分析中使用数量变量一样，使用 这些哑变量也可建立模型。 哑变量只有两个值0或1，当哑变量用于表示某单一特 征时，具有此特征的变量等于1，不具有此特征的变量 表示为0。
在“输出区域”中输入D1单元格，表示输出结果的 起点。单击“确定”按钮。得多元回归计算结果如 图所示。
11.1 多元回归分析的基本内容
回归输出结果解释
回归统计表 方差分析表 回归参数表
11.2 非线性回归分析
非线性关系的线性化的基本内容
多项式模型 对数模型 幂函数 指数模型
11.2 非线性回归分析
选中标志。选择95%的置信度。 在“输出区域”中输入D1单元格，表示输出结果的 起点。单击“确定”按钮。得多元回归计算结果如 图所示。
11.2 非线性回归分析
产量收益对数模型拟合
例 11. 3 建立模型说明产量收益之间的关系。 打开“对数”工作表。 制作产量收益散点图，看出二者呈现出较好的对 数形式。
11.3 品质变量回归分析
选择“标志”和95%的置信度。在“输出区域”中输 入E2，单击“确定”按钮，得计算结果如图所示。
11.3 品质变量回归分析
多种表现的品质变量回归分析
例 11. 7 拟合售价的预测模型。 选择“房地产”工作表。
11.3 品质变量回归分析
在单元格E1、F1和G1中分别输入“高”、“中”和 “低”。 在单元格E2中输入公式：＝IF(D2＝“高”，1，0)。 在单元格F2中输入公式IF(D2＝“中”，1，0)。 在单元格G2中输入公式：IF＝(D2＝“低”，1，0)。 如果三个公式输入正确，单元格E2：G2的内容是0，0， 1。 将单元格E2：G2的内容复制到E3：G16区域中的各单 元格。Biblioteka 11.3 品质变量回归分析
在“工具”菜单中选择“数据分析”选项，打开“数据分 析”对话框。 在“数据分析”对话框中，于“分析工具”列表中选择 “回归”选项，单击“确定”按钮，进入“回归”对话框。 在“Y值输入区域”输入地址为A1：A21。 在“X值输入区域”输入地址为B1：C21。
11.1 多元回归分析的基本内容
销售额与广告媒体的关系
例 11.1 哪种广告渠道更有效。 选择“VCD”工作表。 在“工具”菜单中选择“数据分析”选项，打开“数据分析” 对话框。 在“数据分析”对话框中，于“分析工具”列表中选择 “回归” 选项，单击“确定”按钮进入“回归”对话框。
Õ Ò Ê æ 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 500 1000 1500 2000 2500 ² ú Á ¿ ú Á ² ¿ Ê Õ Ò æ É ¢ µ ã Í ¼
11.2 非线性回归分析
利用回归分析工具得到分析结果如图所示。
11.2 非线性回归分析
生产函数（幂函数）模型拟合
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Excel 统计分析与决策
第11章 多元回归分析
于洪彦
刘金星
张洪利
主要内容
11.1 多元回归分析的基本内容 11.2 非线性回归分析 11.3 品质变量回归分析
11.1 多元回归分析的基本内容
多元回归分析的基本内容
多元回归模型与回归方程 参数估计 回归方程的似合优度 显著性检验
11.3 品质变量回归分析
在“Y 值输入区域”输入地址为A1：A16单元格；在 “X 值输入区域”输入地址为B1：E16单元格。选择 “标志”和95%的置信度。在“输出区域”中输入 A25单元格，单击“确定”按钮。得计算结果如图所 示。
11.2 非线性回归分析
在 “工具”菜单中选择“数据分析”选项，打开“数据分析” 对话框。 在“数据分析”对话框中，于“分析工具”列表中选择 “回归” 选项，单击“确定”按钮,进入“回归”对话框。 在“Y值输入区域”中输入C1：C51，它代表成本的数据范围。 在“X值输入区域”中输入A1：B51，这里包括“产量”与“产量 平方”两个自变量，回归工具要求自变量之间必须是相邻的，不 能隔开。
11.2 非线性回归分析
成本产量多项式模型拟合
例11.2 拟合二项成本函数。 选择“多项式”工作表。 绘制成本产量散点图。
成本 90 80 70 60 50 40 30 20 10 450 950 1450 1950 2450产量
成本产量散点图
11.2 非线性回归分析
在B栏中任选一个单元格，打开“插入”菜单，选择“列”选项， 则在A、B两列之间增加一列，成本数据将被移到C列。新列必须放 在“产量”列旁边，Excel要求自变量是相邻的。 在单元格B1中输入“产量平方”。 在单元格B2中输入公式“=A2^2”以计算A2单元格数值的平方，并 复制到B3：B51区域中的各个单元格中。
11.3 品质变量回归分析
例 11.6 使用计算机学生的统计成绩高于不使用计算 机学生的统计成绩？ 选择“计算机”工作表。 回归分析工具要求所有的自变量数据是邻近的，所以 需移开C列数据，建立哑变量。
11.3 品质变量回归分析
在C栏中任选一个单元格，打开“插入”菜单，选择 “列”选项，则在B、C两列之间增加一列，“是否使 用计算机”数据将被移到D列。C列用于放置哑变量。 在单元格C1中输入“计算机”。 在单元格C2中输入条件函数IF的表达式“=IF(D2=”是 “,1,0)”，式中表示如果真则为1，如果不真则为0。 单元格C2显示值1，将其复制到C3：C21各单元格中。 C列中的数值便是哑变量的值，作为自变量使用。