微光学第8章b

时域有限差分法,直接在时域空间中求解Maxwell方程，具 有广泛的适应性。可模拟波的传播及与物体的相互作用。占 CPU时间∝N。占用物理空间小，速度快。
瞬态过程 光脉冲响应－－频谱特性 稳态问题 偏振效应 边缘场增强现象 各种谐振现象 结构共振现象等 色散、吸收
Yee网格（Yee Cell）
这种网格划分符合电磁场的基本规律 1. Faraday电磁感应定律 2. Ampere环路定律。 3. 在突变的边界条件 下，场分量的连续性 自然得到满足。位于 介质界面上的电场分 量总是切向的，而磁 场分量总是法向的。 4. 易于计算复杂的结构。
吸收边界条件
时域有限差分法的一个重要特点是在计算电磁场的全部区域 建立Yee氏网格计算空间。而对于像辐射、散射等这类开放系统 所需的网格空间将成为无限大，但用计算机来模拟电磁场的传播 时，不可能取为无穷大，总是在某处把网格空间截断，使网格空 间变成有限，这样在网格截断处就会产生非物理的电磁波反射， 将严重影响计算精度。另外，FDTD差分方程是中心差商的，所 以也需要特别的适合于截断边界网格点计算的计算公式，这就需 要计算空间的截断边界处的电磁场进行特殊的处理，这种处理方 法就是吸收边界条件。
在各向同性线性介质中的本构关系为
D = ε E , B = μ H , J = σ E , Jm = σ m H
式中ε表示介质介电常数，单位为(F/m)； μ表示磁导系数（磁导率），单位为(H/m)； σ表示电导率，单位为(S/m)； σm表示等效磁阻率，单位为(Ω/m）。 σ和σm分别为介质的电损耗和磁损耗。
⎡ ⎢ ⎢1 − ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢1 + ⎢ ⎣
n +1
n+
1 2
1 1 ⎡ n 1 1 ⎤ n +1 (i + , j , k ) = ⋅ ⎢ Ex (i + , j , k ) + Ex (i + , j , k ) ⎥ 2 2 ⎣ 2 2 ⎦
1 (i + , j , k ) = 2
1 2 1 2 ⎤ ⎡ , j, k ) Δ t ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎢ , j, k ) ⎥ 1 Δt n 2 ⎥ ⋅ E x (i + , j , k ) + ⎢ ⋅ 1 ⎥ ⎢ 2 , j, k ) Δ t ⎥ σ (i + ⎢ ε ( i + 2 , j, k ) 1+ ⎥ ⎢ 1 , j, k ) ⎥ 2ε (i ⎢ 2 ⎦ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥× ⎥ , j, k )Δ t ⎥ ⎥ 1 , j, k ) ⎥ 2 ⎦
∂f ( x, y, z, t ) f n (i, j + 1/ 2, k ) − f n (i, j − 1/ 2, k ) ≈ ∂y Δy
∂f ( x, y, z , t ) f n (i, j , k + 1/ 2) − f n (i, j , k − 1/ 2) ≈ ∂z Δz
∂f ( x, y, z , t ) f n +1/ 2 (i, j , k ) − f n −1/ 2 (i, j , k ) ≈ ∂t Δt
1 1 1 1 ⎡ n ⎤ Ez (i, j + 1, k + ) − Ez n (i, j , k + ) E y n (i, j + , k + 1) − E y n (i, j − , k ) ⎥ ⎢ 2 2 − 2 2 ⎢ ⎥ Δy Δz ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
同理可分别得到 H y , H z 的差分方程的解
1 1 n (i + , j , k ) − Ex (i + , j , k ) 2 2 = Δt
∂H z ∂H y ∂E − = ε x + σ Ex ∂y ∂z ∂t
1 n+ ⎡ n+ 1 1 1 1 1 H z 2 (i + , j + , k ) − H z 2 (i + , j − , k ) ⎢ 1 2 2 2 2 •⎢ 1 Δy ε ( i + , j, k) ⎢ ⎢ 2 ⎣
场区划分
1) 总场区 ∶位于网格内部，散射体包括在其中。其中既存在 入射波也存在散射波。用Maxwell方程计算出总场。 2)散射场区∶ 包围总场区，在其中只容许散射场存在，没有入 射波。 3)连接边界∶ 总场区和散射场区的边界，平面波源由该边界导 入。
总场方法
将整个模型空间分为总场区和散射场区，在散射体附近为总 场区，散射场区与外层吸收边界相连，这种方法称为总场方法。 总场方法中，为了 将散射场区域总场区联 系起来，需要设置一个 连接边界，入射场由连 接边界引入。在计算中 用到连接边界处的总场 值时，需要用该处的散 射场值来加上该处的入 射场值；
−
Hy
n+
1 2
1 n+ ⎤ 1 1 1 1 (i + , j , k + ) − H y 2 (i + , j , k − ) 1 ⎥ 2 2 2 2 − σ ( i + 1 , j, k) E n + 2 (i + 1 , j , k ) ⎥ x Δz 2 2 ⎥ ⎥ ⎦
采用插值近似：Ex
Ex
其中
k + k = k = k2 =
2 x 2 y 2
ω2
c2
假设x=0的平面为截断边界，如图 在x>0的右侧区域同时存有 入射波和反射波，因此在此区 域中有：
2 f ( x, y, t ) = A− exp{ j (ωt + k 2 − k y ⋅ x + k y y )} 2 + A+ exp{ j (ωt − k 2 − k y ⋅ x + k y y )}
σ( i +
2ε ( i +
σ( i +
1 1 2 +
2ε ( i +
1 1 1 n+ n+ n+ ⎡ n+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎤ H z 2 (i + , j + , k ) − H z 2 (i + , j − , k ) H y 2 (i + , j, k + ) − H y 2 (i + , j, k − ) ⎥ ⎢ 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎥ − ⎢ Δy Δz ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
x y
(i-1,j,k+1) Ex z (i,j,k+1) Ex Ez Hx (i,j,k) Ey Ex (i,j+1,k) Ey (i,j+1,k+1) Ez Hy (i-1,j+1,k) Ez Hz Ey (i-1,j+1,k+1)
电场和磁场在时间顺序上交替抽样， 抽样时间间隔彼此相差半个时间步，使 Maxwell方程离散以后构成显式差分方 程，从而可以在时间上迭代求解。因而， 只要给定相应电磁场的初始值，FDTD方 法就可以逐步推进地求得以后各时刻空间 电磁场的分布。
由式8-3b
Hx
n+
1 2
1 1 (i, j + , k + ) = 2 2
∂E ∂H x ∂H z − = ε y + σ Ey ∂z ∂x ∂t
1 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ σ m ( i, j+ , k+ )Δt ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 2 2 1− ⎢ ⎢ ⎥ 1 1 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ 2μ ( i, j+ , k+ ) ⎥ 1 n− Δt 1 1 ⎢ 1 2 2 ⎥ ⋅ H 2 (i, j + , k + ) − ⎢ ⎥× ⋅ x 1 1 1 1 ⎢ 2 2 ⎢ μ ( i, j+ 1 , k+ 1 ) σ m ( i, j+ , k+ )Δt ⎥ σ m (i, j + , k + )Δt ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 2 2 2 1+ 2 2 1+ ⎢ ⎢ 1 1 ⎥ 1 1 ⎥ 2μ ( i, j+ , k+ ) ⎥ 2 μ (i, j + , k + ) ⎥ ⎢ ⎢ 2 2 ⎦ 2 2 ⎦ ⎣ ⎣
将Maxwell方程的两个旋度方程写为分量的形式
H = H xi + H y j + H zk
E = Ex i + E y j + Ez k
矢量方程转变为直角坐标系下的电磁分量方程得：
⎧∂H z ∂H y ∂E − = ε x + σ Ex ⎪ ∂y ∂z ∂t ⎪ ∂E ⎪ ∂H x ∂H z − = ε y + σ Ey ⎨ ∂x ∂t ⎪ ∂z ⎪ ∂H y ∂H x ∂E − = ε z + σ Ez ⎪ ∂x ∂y ∂t ⎩ (8 − 3a ) (8 − 3b) (8 − 3c)
取空间节点为磁场分量Hx对应的节点值： 时间取样点取为：n。且采用插值近似：
1 1 (i, j + , k + ) 2 2
1 n− 1 1 1 ⎡ n+ 1 1 1 1 1 ⎤ 2 H x (i, j + , k + ) = ⋅ ⎢ H x (i, j + , k + ) + H x 2 (i, j + , k + ) ⎥ 2 2 2 ⎣ 2 2 2 2 ⎦ n
时域有限差分法(FDTD)
吸收边界条件的应用和完善才进入成熟。目前在微波领 域已获得广泛应用，并逐渐向其它领域扩展。FDTD算法 中，采用了独特的Yee网格，保持Maxwell旋度方程中的时 间变量，直接在时域-空域中求解电磁场问题。可提供问题 的瞬时和稳态的解答。适合模拟电磁波与物体的相互作用 的过程。受计算机存储量的限制，FDTD法只适用计算电小 结构(λ<100)。而这个区域恰恰是近场光学的研究范围。