高数8(2)
高数第八章
第25，26讲 第八章 重 积 分上一章把一元函数微分学推广到多元函数情形.现在要把一元函数定积分推广为多元函数的多重积分、曲线积分和曲面积分.定积分（特定构造的和式极限，“高级和”）所讨论的是分布在某区间上的几何量（曲边梯形面积）或物理量（变速直线运动路程）的积累问题.而多重积分，曲线、曲面积分则能求出分布在平面区域，平面曲线，空间曲面上的整体量，以扩大积分学的应用范围.第一节 二重积分的概念和性质一、二重积分的概念 1.两个实例例1 求曲顶柱体的体积.曲顶柱体是指：以平面上的有界闭区域D 为底，以D 上方的曲面S 为顶，周围是母线平行于z 轴的柱面（见P.306图8-1）今设曲顶方程为(,),(,)z f x y x y D =∈，且设(,)f x y 连续，，(,)0f x y ≥，求该曲顶柱体的体积.V 解 第一步 ：“分割”— 化整为零.用一组曲线网将区域D 分成n 个小区域：12,,,n σσσ∆∆∆ ，并用它们记各小区域的面积.，于是大体积相应被分割为n 个曲顶柱体，记体积为：12,,,n v v v ∆∆∆ （见P.306图8-2）.第二步：“近似代替”— 以平代曲.i σ∆上任意取一点（,)i i ξη，(,)f x y 在D 上连续，∴当分割充分细小时，可用小平顶柱体体积,()i i i f ξησ∆近似代替小曲顶柱体的体积(,)(1,2,,).i i i i v f i n ξησ∆≈∆= 第三步：“求和”— 积零为整. 11(,)nni i i i i i V v f ξησ===∆≈∆∑∑.第四步：“取极限”— 由近似到精确.1l i m (,)ni i i i V f λξησ→==∆∑，其中λ是n 个小区域i σ∆的直径最大者，即 1max ()i i nd λσ≤≤=∆.例2 求不均匀平面薄板的质量（薄即厚度可忽略不计）.设有一块质量分布不均匀的薄板，在xoy 平面上占有区域D （见P.307图8-3）， 面密度为ρ（,)x y ，求该薄板 的质量M .解 也分四步完成.“ 分割”: 在xoy 平面上将薄板D 分割为n 小块：12,,,n σσσ∆∆∆ .“近似代替”:在i σ∆上任取一点(,)i i ξη，将此小块近似看作是均匀的，则小块质量为： i M ∆≈ρ（,),(1,2,,)i i i i n ξησ∆= . “求和”: 11nni i i M M ===∆≈∑∑ρ(,)i i i ξησ∆.“取极限”:01lim ni M λ→==∑ρ(,)i i i ξησ∆.以上两例，虽内容不同，但解决问题的方法是一样的，都归结为求一种具有相同结构的“和式的极限”，我们把它抽象出来，得到2.二重积分的定义设二元函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上有定义，用任意的曲线网分D 为n 个小区域 12,,,n σσσ∆∆∆ ， 并用它们记小区域的面积. 又记 i σ∆的直径为()i d σ∆，并令1max ()i i nd λσ≤≤=∆，在i σ∆上任取一点(,)i i ξη，作乘积 (,),(1,2,,)i i i f i n ξησ∆= ， 作和数（称为积分和，或Rimann 和）1(,)nn i i i i S f ξησ==∆∑，令0λ→，若积分和有极限 Ⅰ（它不依赖于区域D 的分法及中间点的取法），则称此极限值为函数(,)z f x y =在区域D 上的二重积分，记作：Ⅰ＝01lim (,)(,)ni i i i Df f x y d λξησσ→=∆=∑⎰⎰ （1）其中D 称为积分区域，(,)f x y 称为被积函数，(,)f x y d σ称为被积表达式，d σ称为面积元素.若二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰存在，则称(,)z f x y =在区域D 上可积.重要结论：二元连续函数是可积的.（不证）由二重积分的定义知：例1中取顶柱体的体积V 是曲顶柱体函数(,)f x y 在底面区域D 上的二重积分，即 (,)DV f x y d σ=⎰⎰.例2中平面薄板的质量M 是面密度函数ρ(,)x y 在所占区域D 上的二重积分， 即 DM =⎰⎰ρ(,)x y d σ.3.二重积分的几何意义 （1）当(,)0f x y ≥时，则(,)Df x y ⎰⎰d σ表示以(,)z f x y =为顶，以D 为底的曲顶柱体的体积.（2）当(,)0f x y ≤时，则(,)Df x y d σ⎰⎰表示曲顶柱体体积前面加了一个负号.（但不能说是负体积）（3）当(,)1f x y ≡时，(,)DDf x y d d σσσ==⎰⎰⎰⎰为D 的面积.二、二重积分的性质 (P.308)性质1 “常数因子提出来” 若(,)f x y 在区域D 上连续，则(,)(,),(DDkf x y d k f x y d k σσ=⎰⎰⎰⎰为常数）性质2 “一项一项分开积” 若(,),(,)f x y g x y 在D 上连续，则[](,)(,)(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质3 设区域D 由1D 与2D 组成，且1D 与2D 除边界上点外无公共点，又(,)f x y 在D 上连续，则12(,)(,)(,).DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质4 若(,),(,)f x y g x y 在D 上连续，且 (,)(,)f x y g x y ≤，则有不等式(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰特殊地，由于(,)(,)(,)f x y f x y f x y -≤≤，又有不等式(,)(,).DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰性质5 设M ，m 分别是(,)f x y 在D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则有 (,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰ （估值不等式）性质6 （二重积分的中值定理）设(,)f x y 在闭区域D 上连续，σ为D 的面积，则在D 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Df x y d f σξησ=⋅⎰⎰习 题 8-14 （1）—（4）5 （1）—（4）4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：(1) 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线1x y +=所围成；(2) 2()d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰，其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成；(3)ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0),(1,1),(2,0)；(4) ln()d Dx y σ+⎰⎰与2[ln()]d Dx y σ+⎰⎰，其中{(,)35,01}D x y x y =≤≤≤≤.解 (1) 在积分区域D 上，01x y ≤+≤，故有32()()x y x y +≤+，根据二重积分的性质４，可得32()d ()d .DDx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰(2) 由于积分区域D 位于半平面{(,)|1}x y x y +≥内，故在D 上有23()()x y x y +≤+．从而23()d ()d .DDx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰(3) 由于积分区域D 位于条形区域{(,)|12}x y x y ≤+≤内，故知D 上的点满足0l n ()1x y ≤+≤，从而有2[ln()]ln()x y x y +≤+．因此2[ln()]d ln()d .DDx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰ (4) 由于积分区域D 位于半平面{(,)|e}x y x y +≥内，故在D 上有ln()1x y +≥，从而有2[ln()]ln()x y x y +≥+．因此2[ln()]d ln()d .DDx y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤；(2) 22sin sin d DI x y σ=⎰⎰其中{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤；(3) (1)d DI x y σ=++⎰⎰其中{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤；(4) 22(49)d DI x y σ=++⎰⎰其中22{(,)4}D x y x y =+≤.解 (1) 在积分区域D 上，01x ≤≤，01y ≤≤，从而0()2xy x y ≤+≤，又D 的面积等于1，因此0()d 2.Dxy x y σ≤+≤⎰⎰(2) 在积分区域D 上，0sin 1x ≤≤，0sin 1y ≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤，又D 的面积等于2π，因此2220sin sin d π.Dx y σ≤≤⎰⎰(3) 在积分区域D 上，014x y ≤++≤，D 的面积等于2，因此2(1)d 8.Dx y σ≤++≤⎰⎰(4) 在积分区域D 上，2204x y ≤+≤，从而22229494()925,x y x y ≤++≤++≤，又D 的面积等于4π，因此2236π(49)d 100π.Dx y σ≤++≤⎰⎰第27，28讲 第二节 二重积分的计算方法— 化为两个定积分，即累次积分. 一、在直角坐标系下计算二重积分当(,)f x y 在区域D 上可积时，其积分值与分割方法无关，因此取特殊的分割法来计算二重积分1.用两组分别平行于x 轴，y 轴的直线分割区域D ，这时面积元素d dxdy σ=， 从而(,)(,)DDf x y d f x y dxdy σ=⎰⎰⎰⎰.2.化二重积分为累次积分 设(,)0f x y ≥，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰表示曲顶柱体的体积V ，用“切片法”求V（1）设区域D 由直线,x a x b == 及曲线12(),()y x y x ϕϕ==围成： 12()()x y x a x bϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩（这称x -型区域）回忆：已知平行截面面积，求立体体积公式 8-4 ()a ()baV A x dx =⎰， ()A x 是平行截面面积.现用平行于yoz 的平面0x x =去截曲顶柱体，得截面，其面积为A 0()x （图8-5）是一个曲边梯形，曲边方程为：0(,)z f x y =，因此，由定积分的几何意义，2010()00()()(,)x x A x f x y dy ϕϕ=⎰ (1)'让0x 取遍整个[],a b ，得到截面面积 21()()()(,)x x A x f x y dy ϕϕ=⎰ (1)''于是，由“已知平行截面面积求立体体积公式”⇒ 22111()()()()()(,)(,)bbx b x aax a x V A x dxf x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕ''⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰（）代入 （1）这叫累次积分.第一次对y 的积分，是求x 处的截面面积()A x ，将x 看作常数，第二次对x 积分，是沿x 轴加这些薄片的体积()A x dx ，这时x 是积分变量.注 公式（1）成立的条件是“(,)f x y 在D 上连续”，并不要求(,)0.f x y ≥公式（1）是在x -型积分域下，将二重积分化为先对y 后对x 的两次定积分.如何确定两次的积分限呢？先用平行于y 轴的直线在[],a b 内一点x 处穿入D 的下边界，穿出上边界，其交点的坐标12(),()x x ϕϕ为第一次先对y 积的下限与上限，再将D 投影到x 轴上，得交点,a b 为第二次对x 积分的下限与上限.（称“穿口法”，定限口诀是：后积先定限（常数），限内画条线，先交下限写，后交上限见．） 例1 化二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰为累次积分.其中；（1） D 由1,2,0,2x x y y =-===围成； （2）D 由2,y x =及2x y =围成. （3）D 由2,,2y x y x y x ==-=-围成. 解 计算二重积分时，先画好积分区域的草图.（1）积分域是x -型的矩型域，由公式(1)⇒221(,)(,)Df x y d dx f x y dy σ-=⎰⎰⎰⎰.（2）解方程组求交点，画积分域草图2201,01x x y x y y x y ==⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这时x -型积分域，由公式（1）⇒（先对y 积分，将x 看作常数，积分限是x 的函数，第二次对x 积分，积分限为常数）21(,)(,).xDf x y d f x y d yσ=⎰⎰⎰（3）解方程组求交点，画积分区域草图1212y x x y x =-⎧⇒=-⎨=-⎩， 2212y xx y x =⎧⇒=⎨=-⎩如先对y 积分时，用平行y 轴的直线不能一次穿过区域D 时，需将D 分为1D 域2D ，然后由积分的可加性质3及公式（1），得到22122121(,)(,)(,).x x xxDD D f x y d dx f x y dy dx f x y dy σ----=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例2 求ⅠDxyd σ=⎰⎰，其中D 由,y x =与2y x =围成. 解 解方程组求交点，画区域草图 1220,1y xx x y x=⎧⇒==⎨=⎩由公式（1）⇒222111350()211().224x x x xDy xyd xdx ydy x dxx x dx σ===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例3 求Ⅰ(32),D x y d D σ=+⎰⎰由2x y +=及,x y 轴围成.解 由积分区域草图及定理1 Ⅰ2222222020(32)(3)2(2).3xx dx x y dy xy y dx x x dx --=+=+=+-=⎰⎰⎰⎰（2）若积分区域D 是由,y c y d ==及12(),()x y x y ψψ==围成，这称y -型积分域. 二重积分化为累次积分时，应先对x 后对y 积分，这时积分公式为： 21()()(,)(,)dy cy Df x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰⎰⎰（2）对y -型积分域，如何确定两次的积分限呢？ 图8-6 （)a 先用平行于x 轴的直线在[],c d 内一点y 处，穿入D 的左边界，穿出右边界，交点的坐标12(),()y y ψψ为第一次先对x 积分的下限与上限（是y 的函数），然后将D 投影到y 轴上得交点,c d 为第二次对y 积分的下限与上限（是常数）.例4 求Ⅰ22Dx d yσ=⎰⎰，其中D 由2,,1y y x xy ===围成.解 解方程组求交点的坐标，画出积分域的草图11x yy xy =⎧⇒=⎨=⎩ 这是y -型积分域，先选择对x 后对y 积分， 及公式（2）⇒Ⅰ224222235122111111111127().3332464yy yyy y dy x dx x dy y y dy y y --⎡⎤⎡⎤===-=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 注 如若选择先对y 积分时，需把D 分块，则繁. 例5求ⅠDxyd σ=⎰⎰其中D 由抛物线2y x =及直线2y x =-围成. 解 解方程组求交点，画积分域草图214,122x x y xy y y x ⎧===⎧⎧⇒⎨⎨⎨=-==-⎩⎩⎩ 强调 积分次序的选择原则：① 考虑积分域的特点； ② 被积函数（下例说明）本题D 即是x -型域，又是y -型域，这时，根据D 的特点，应选择先对x 积分（因为平行x 轴直线可一次穿过D 的左，右边界，而先对y 积分时，D 应分块）. 故由公式（2）⇒ Ⅰ222222211145().28y y y y ydy xdx y x dy ++--===⎰⎰⎰例6 求Ⅰsin Dy d yσ⎰⎰，其中D 由2y x =及y x =围成.解 解方程组求交点，画出积分区域草图 20,1y xy y y x=⎧⇒==⎨=⎩这时不能选择先对y 积分，因考虑到被积函数，积不出来，故应先对x 积分，由公式（2）⇒ Ⅰ2211sin sin 1y yy yy y dy dx dy dx yy==⋅⎰⎰⎰⎰11120sin ()sin sin y y y dy ydy y ydy y=-=-⎰⎰⎰110cos11cos cos y yydy =-++-⎰cos11cos1sin11sin10.1585.=-++-=⋅≈习 题 8-21 （1）（3） 2（2）（4） 4（1）（3）（5）1. 计算下列二重积分：(1) 22()d D xy σ+⎰⎰，其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤；(2) (32)d Dx y σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域； (3)323(3)d D xx y y σ++⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤；(4) cos()d Dx x y σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域．解 (1) 1311112222221111128()d d ()d d (2)d .333Dy x y x x y y x y x x x σ-----⎡⎤+=+=+=+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2) D 可用不等式表示为03,02y x x ≤≤-≤≤，于是2222200022(32)d d (32)d [3]d 20(422)d .3xxDx y x x y y xy y xx x x σ--+=+=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)11323323(3)d d (3)d Dx x y y y x x y y x σ++=++⎰⎰⎰⎰ 1411333001d ()d 1.44x x y y x y y y y ⎡⎤=++=++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰(4) D 可用不等式表示为0,0πy x x ≤≤≤≤，于是ππ00πcos()d d cos()d [sin()]d 3(sin 2sin )d π.2xxDx x y x x x y y x x y xx x x x σ+=+=+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) Dσ⎰⎰，其中D是由两条抛物线y =，2y x =所围成的闭区域；(2)2d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由圆周224xy +=及y 轴所围成的右半闭区域；(3) e d x y Dσ+⎰⎰，其中{(,)|||||1}D x y x y =+≤； (4)22()d Dxy x σ+-⎰⎰，其中D 是由直线2y =，y x =及2y x =所围成的闭区域．解 (1) D可用不等式表示为201x y x ≤≤≤≤，于是237111424000226d d (-)d .3355Dx x x y x y x x x x σ⎡====⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰(2) D可用不等式表示为022x y ≤≤-≤≤，于是22222222164d d d (4)d .215Dxy y y x y y y σ--==-=⎰⎰⎰⎰(3) 12D D D = ，其中1{(,)|11,10}D x y x y x x =--≤≤+-≤≤，1{(,)|11,01}D x y x y x x =-≤≤-+≤≤，于是121111101012112111e d e d e d e d e d e d e d (e e )d (e e )d e e .x y x y x yD D D x x x y x y x x x x x y x y x x σσσ+++++----+----=+=+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) D 可用不等式表示为,022y x y y ≤≤≤≤，于是22222023222232002()d d ()d 19313d d .322486yy Dyy x y x y x y x xx x y x y y y y σ+-=+-⎡⎤⎛⎫=+-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 改换下列二次积分的积分次序：(1) 1d (,)d yy f x y x ⎰⎰ ； (2)2220d (,)d y y y f x y x ⎰⎰；(3) 10d (,)d y f x y x ⎰；(4)212d (,)d xx f x y y -⎰；(5)eln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰； (6)πsin 0sin2d (,)d xx x f x y y -⎰⎰．解 (1) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|0,01}D x y x y y =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|1,01}x y x y x ≤≤≤≤，于是原式11d (,)d .xx f x y y =⎰⎰(2) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中2{(,)|2,02}D x y y x y y =≤≤≤≤，D可改写为{(,)|04}2x x y y x ≤≤≤≤，于是原式42d (,)d .x x f x y y =⎰⎰(3) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|01}D x y x y =≤≤≤，D可改写为{(,)|011}x y y x ≤≤-≤≤，于是原式110d (,)d .x f x y y -=⎰(4) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|212}D x y x y x =-≤≤≤≤，D可改写为{(,)|2101}x y y x y -≤≤+≤≤，于是原式1102d (,)d .yy f x y x -=⎰⎰(5) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，其中{(,)|0ln ,1e}D x y y x x =≤≤≤≤，D 可改写为{(,)|e e,01}y x y x y ≤≤≤≤，于是原式1ee d (,)d .yy f x y x =⎰⎰(6) 所给二次积分等于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，将D 表示为12D D ，其中1{(,)|arcsin πarcsin ,01}D x y y x y y =≤≤-≤≤，2{(,)|2arcsin π,10}D x y y x y =-≤≤-≤≤，于是原式1πarcsin 0π0arcsin 12arcsin d (,)d d (,)d .yyyy f x y x y f x y x ---=+⎰⎰⎰⎰第29，30讲 二、在极坐标系下计算二重积分复习：直角坐标与极坐标（参见教材P.476附录4）的关系： (,)x y (,)r θcos sin x r y r θθ==tan r y xθ==1 圆心在极点，半径为a 的圆周222x y a += ,02r a θπ=≤≤ 2 圆心在(,0)a ，半径为a 的圆周222()x a y a -+= 22cos r ar θ= 222x y ax += 2cos ,22r a ππθθ=-≤≤3 圆心在(0,)a ，半径为a 的圆周22222()2x y a a x y ay+-=+=22sin 2sin ,0r ar r a θθθπ==≤≤在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数(,)f x y ，积分域D 及面积元素d σ都用极坐标表示 ：(,)f x y 的极坐标形式为 (cos ,sin )f r r θθ，为了得到极坐标系下面积元素d σ， 可用坐标曲线网去分割区域D ， 即用 r =常数（一组同心圆） θ=常数 （一束射线），去分割D 面积元素可近似看作小矩形：两边长分别为dr 和（弧长）＝rd θ（半径⨯圆心角） （见P.315图8-14） 所以 ()d rd dr rdrd σθθ=⋅=， 于是⇒ (,)(cos ,sin )DDf x y d f r r rdrd σθθθ=⎰⎰⎰⎰ （4）（ⅰ）当极点o 在D 的外部： 一般先对r 后对θ积分，定限时，用从极点出发的射线穿入区域， 入口的交线1()r θ，穿出区域出口的交线2()r θ为对r 积分的下限与上限，而θ的变范围则是后对θ积分的下限与上限. 图8-15（a ）21()()(,)(cos ,sin (cos ,sin )DDr r f x y d f r r rdrd d f r r rdrβθαθσθθθθθθ⇒==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（5）（ⅱ）当极点o 在D 的边界上，D 为曲边扇形()(cos ,sin ).r Dd f r r rdr βθαθθθ⇒=⎰⎰⎰⎰（6） 图8-17（ⅲ）当极点o 在D 的内部2()(cos ,sin ).r Dd f r r rdr πθθθθ⇒=⎰⎰⎰⎰（7）例1 化二重积分为累次积 图8-1822:,(0)D x y Rx R +=>解 222()()22RRx y -+= 这是圆心在(,0)2R ，半径为2R的圆，极坐标方程为：cos ,22r R ππθθ=-≤≤，这是极点在D 的边界上.由公式（6）⇒ cos 202(cos ,sin ).R Dd f r r rdr πθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰例2 求Ⅰ＝2Dxy d σ⎰⎰其中D 为 圆 221,x y +=和224x y +=之间在第一象限的部分（圆环） 解 这是极点在域D 外部的情形，由公式（5）⇒ Ⅰ＝2cos (sin )Dr r rdrd θθθ⎰⎰＝24221cos sin d r dr πθθθ⎰⎰＝22421sin cos d r drπθθθ⎰⎰=用凑微分31.15例3 求Ⅰ＝22x y De d σ--⎰⎰，其中D 是222,(0)x y a a +≤>在第一象限的部分. 解 因为 22,x y ee --的原函数不是初等函数，故在直角坐标系下积不出来.但D 是圆域，故可采用极坐标系.由于极点在边界上，由公式（6），得到 Ⅰ＝2222(1).4ar r a oDe rdrd d e rdr e ππθθ--==-⎰⎰⎰⎰（这里用凑微分积） 利用此结果，可计算无穷积分（广义积分）：2x e dx +∞-⎰（概率积分）.例4利用二重积分证明概率积分22x e dx +∞-=⎰.（求正态分布的方差时用）证明22limax x a edx e dx +∞--→+∞=⎰⎰‘考虑正方形区域D ，在D 上计算二重积分 2222a axy x y De dxdy e dx e dy ----=⎰⎰⎰⎰＝220a x e dx -⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 图8-19为了求出左端的二重积分，可以a （正方形对角线）为半径画圆，得到图中的区域12D D D ⊂⊂, 220xy e --> 22222212xy xy xy D DD e d e d e d σσσ------∴≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰由例3知：22222(1)(1)44a xy a De e dxdy e ππ-----≤≤-⎰⎰（＝22ax edx -⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰）令a →+∞，有 220lim 44a x a e dx ππ-→+∞⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦⎰，即22044x e dx ππ+∞-⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦⎰ 由极限的夹逼准则，所以 2204x e dx π+∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ ，202x e dx +∞-==⎰例5 求球体22224x y z a ++≤被圆柱面222,(0)x y ax a +=>所截得部分的体积. 解 将圆柱面的方程化为：2222()x a y a -+= 被球面22224x y z a ++=所截，有对称性，只须求出图中第一卦限的体积1V ，再4倍，1V 的曲顶为z =11D V ⇒=其中 1D 如右图所示 采用极坐标系111D D V θ⇒==⎰⎰⎰⎰ 图8-20（a ）（b ）2cos 202cos 122222200322222cos 3320233301(4)(4)2128(4)((1sin )233882(sin )().32323a a a d d a r d a r a r d a d a d a πθπθππθπθθθθθππθθ==---=--⋅=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以 13224().323V V π==- 递推公式：3n =为奇数 Ⅰ212!!,1(21)!!m m m m +==+小结：何时用极坐标系计算二重积分？ ① 积分区域是圆形或环形； ② 被积函数含22x y +.习 题 8-28（1）（3） 9（1）（4） 10（1）8. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1) 11d (,)d x f x y y ⎰⎰ ；(2)2d (,)d xx f x y y ⎰；(3)11d (,)d xx f x y y -⎰ ； (4)21d (,)d x x f x y y ⎰⎰．解 (1) 用直线y x =将积分区域D 分成1D 、2D 两部分：1π{(,)|0sec ,0}4D ρθρθθ=≤≤≤≤，2ππ{(,)|0c ,}.42D cs ρθρθθ=≤≤≤≤， 于是原式sec csc 4204d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d .f f ππθθπθρθρθρρθρθρθρρ=+⎰⎰⎰⎰(2) 在极坐标中，直线2,x y x ==和y =的方程分别是π2sec ,4ρθθ==和3πθ=。
药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片
3
例2-29 求 lim sin x
解
x0 x
(0) 0
lim
x0
sin x
x
lim
x0
(sin x) ( x)
lim
x0
cos 1
x
cos 0
1
注意：在求极限过程中，洛必达法则可多次使用， 但每次使用必须验证是否满足洛必达法则中的条件。
1 cos x
例2-30 求 lim x0
0
例2-31 求 lim x ln x (0)
解
x0
1
lim x ln x lim ln x lim x lim(x) 0
x0
1 x0
1 x0
x0
x
x2
注意：此题若变形为
x 1
，则转化成 0 型 0
ln x
但
x ( 1 ) ln x
1 1 x(ln
解
3x2
lim1 cos x x0 3x2
lim sin x x0 6x
lim cos x x0 6
1 6
0 , , 00,1 , 0 型未定式解法
方法：把它们转化成 0 或 型后，再用洛必达法
则求极限。
0
0 型
方法 0 1 , 或 0 0 1 .
则中条件（1）、（2），且 f (x)=2e2x, g (x)=3 。
由于 lim f (x) lim 2e2x 2 x0 g(x) x0 3 3
所以，根据洛必达法则，
lim e2x 1 lim f (x) lim 2e2x 2
x0 3x
(完整版)高数知识点总结
高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。
例如：||x y =连续但不可导。
6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df •= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f •∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），xy 1=（x=0是函数的无穷间断点） 12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。
高数二版习题答案下
下册各章习题答案 第七章第八章习题8.11. (1) 1; (2) 0; (3) 41－; (4) e ; (5) 2; (6) 0. 2.)(2122y x xy +≤习题8.2 1. (1)323y y x x z -=∂∂,233xy x y z -=∂∂; (2) )ln(21xy x x z =∂∂,)ln(21xy y y z =∂∂;(3)y x y x y x z csc sec 1=∂∂,y x y x yx y z csc sec 12-=∂∂; (4)1-=∂∂z y z x y x u ,z y zx y u z y z ln 1-=∂∂,y x x y zu z y z ln ln =∂∂; (5)z z y x y x z x u 21)(1)(-+-=∂∂-,zz y x y x z y u 21)(1)(-+--=∂∂-,zz y x y x y x z u 2)(1)ln()(-+--=∂∂;(6))]2sin()[cos(xy xy y xu-=∂∂,)]2sin()[cos(xy xy x y u -=∂∂, .3. 4π=α.4. (1)2222812y x x z -=∂∂,2222812x y yz -=∂∂,xy y x z 162-=∂∂∂; (2)22222)(2y x xy x z +=∂∂,22222)(2y x xy y z +-=∂∂,222222)(y x x y y x z +-=∂∂∂;(3)y y x z x 222l n =∂∂，222)1(--=∂∂x y x x yz ，)ln 1(12y x y y x z x +=∂∂∂-； (4)[]22222sin cos 22x x x y x z +-=∂∂,2322cos 2x yy z =∂∂,222sin 2x x y y x z =∂∂∂.5.223231,0y y x z y x z -=∂∂∂=∂∂∂.6. ⎪⎩⎪⎨⎧+≠++=∂∂000)(222222323＝当当y x y x y x y x f ；⎪⎩⎪⎨⎧+≠++=∂∂000)(222222323＝当当y x y x y x x y f .习题8。
2024级经管类高数(二)期末试题与解答A
2024级本科高等数学（二）期末试题与解答A（本科、经管类）一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.到两点4L-1,0）和8（2,0,-2）距离相等的点的轨迹为（C ）.C. x+y-2z-3=0；D.x+y+2z-3=0.2 .微分方程y 〃-2y+y=e'+x 的非齐次特解形式可令为（八）.A. Ax:2^+Bx+C ；B. Ae x Λ-Bx+C ；C.Ae x +x 2(Bx+C)↑D.Axe x +Bx+C.3 .函数/®y)=(4y -y2)(6x_“2)的驻点个数为(b ).Λ.9;B.5；C.3； D.1.4.设。
是My 面上以(1,1),(-1,1),为顶点的三角形区域，R 是。
中在第一象限的部分，则积分JJ(XU+COS^xsiny)db=(D).A.2∫∫cos 3xsin ydσ； C.4∫∫(x 3j+cos 3xsin y)dσ；q5 .下列级数中，绝对收敛的级数为(A∑<-ιr ,√b∙T严舄；C∙S（7）i∕;D.∑（-1）H -,-J=.n=l3n=l√11二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6 .函数/（羽丁）=@心也*2+产）_]11/2\^2^的连续域为,（工,'）（<12+'2«].7 .设级数为(。
〃一万)收敛,则Iim(〃“+∫∫2dσ)=3π.”=1 ° χ2+y 2≤∣8 .设Z=In （X+lny ）,则,包-包=0.y∂x∂y9 .交换，由，心/（无,丁）①;积分次序得，为:J ；f （x,y ）dy.A. x-y-2z-3 = 0;B. x+y-2z + 3 = 0; B. 2∫∫x 3 yJσ ；D ∖D. 0.C ).10 .投资某产品的固定成本为36（万元），且成本对产量X 的改变率（即边际成本）为C ,（x ）=2x+40（万元/百台），则产量由4（百台）增至6（百台）时总成本的增值为幽万元.三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11 .求解微分方程孙'-y=/满意初始条件MT=1的特解.解：分别变量得一^二四（2分）y （y+i ）X两端积分得In 上=lnx+InC,即上=CX （5分）y+1y+1由HT=1，得C=；故所求通解为X =工匕或），=—匚（8分）>,+l -2-x13 .z=∕(ei,2),即可微,求自乎.X oxoy解：寺=*/一与月(4分) ∂x X ^=-e x -y f^-f; (8分)∂yX14 .设/(x,y)=xsin(x+y),求九弓弓)，&（三）•解：∕r =sin(x+j)+Xcos(x+y),f y =xcos(x+1y)(2分) f xx =2CoS(X +y)-X Sin(X+y) f yy =-xsin(x+y)几弓弓）二一2,启（多9=0（8分）12.设Z = z （x, y ）由方程/ +孙- z = 3所确定,求包∂x x=2÷√ry=2->∕e Z=Ix≈2-^y∕e y≈2-∙Je（4分）（8分）（4分） （6分） 解：令尸(x,y,z) = "+Λy -z-3,则15.求嘉级数£心"的收敛区间与和函数.w=l解：收敛半径为R=I,收敛区间为（-覃）（2分）2.=XZnX"T,令S（X）=SnyI,则（4分）/1=1 /1=1 n=l£S（X）必:=£（J。
高数教学设计(共8篇)
高数教学设计〔共8篇〕第1篇：高数教案设计教案设计教材：《高等数学》〔第三版〕上册，第一章函数与极限，第三节函数的极限。
一、方案学时本小节分为两个局部，对于初学者来说有一定的难度，所以也就分为两个学时进展教学。
第一学时：自变量趋于有限值时函数的极限。
第二学时：自变量趋于无穷大时函数的极限。
〔本次教案主要说明第一学时的内容。
〕二、教材处理通过第一节关于函数根本知识的学习，以及高中时已经对函数极限有过一定的学习理解与铺垫，所以就要通过一些根本的例如，来一步步引导学生接触本节的内容，并进一步学习与研究。
来扩展同学们的知识面，并易于承受新内容。
三、教学目的知识和才能目的：1、通过教学过程培养学生的思维才能、运算才能、以及数学创新意识。
让你给同学们积极考虑、敢于提出自己的想法。
2、让同学们掌握一些本节教学中所涉及的技能技巧。
3、通过数学知识为载体，增强学生们的逻辑思维才能，进步学习的兴趣和才能。
传达出数学的人文价值。
四、教学难点和重点1、如何让学生较快的承受新的理念与知识，而改掉以前类似的学习中的定势与习惯性思维。
2、让学生们纯熟的运用书中所涉及的公式与理解一些重要的定理，从而更好的做题。
五、教学设计1、总体思路先通过在黑板上写一些以前学过的相关知识的例题，让同学们到黑板上去做。
然后，对题目做一些变形，就成了本小节所学的知识，此时，就要通过一步步的引导，让同学们呢理解步骤的方法技巧。
最后，就是先要学生们自己总结本节的内容与规律技巧，之后，再告诉同学们本节所需要重点掌握的知识。
2、教学过程〔1〕先让同学们大致看一下本小节内容，对本节内容有一定的理解。
〔4分钟〕设计说明：通过让同学们进展自主学习，对本小节内容有大志的理解，以便于学生更易于承受新知识。
〔2〕通过小例子让大家熟悉并初步认识一下极限的概念。
如：问题：当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值。
解析：问题可转化成|f(x)-1|最小取值，因为|f(x)-1|可以无限变小，也就是无限趋近于0，所以当x无限接近于1的时候，函数f(x)=2x-1的取值就是0.〔5分钟〕设计说明：通过引导学生们的思维，带到新的内容，培养学生们的逻辑思维才能以及发撒思维才能。
高数8-2,3
z
z = f ( x, y) y = y0
•
M0
y
z = f ( x, y)
(x0 , y0 ) y x0 • z = f (x , y ) • x y = y0 df ( x, y0 ) ′ ( x0 , y0 ) = 轴的斜率 斜率。 在点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 处的切线对 x 轴的斜率。 f x dx x=x0 类似地, f y ( x0 , y0 ) 在几何上表示空间曲线 类似地
存在， 存在，则称此极限值为函数 f ( x , y )在点( x 0 , y 0 ) 处对 x的偏导数。 的偏导数。
f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) lim ∆x → 0 ∆x
∂z , 记作 = ∂x x= x0 y y
0
∂f ∂x
即
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim ∆x→0 ∆x
∂f ∂x df ( x, y0 ) = x= x0 dx y= y
0
;
x= x0
∂f ∂y
=?
x= x0 y= y0
4
z = x 2 + 3 xy + y 2 在点 (1,2 ) 处的偏导数 处的偏导数. 例1 求
∂z ∂z = 3x + 2 y. 解 法一： = 2 x + 3 y; 法一： ∂x ∂y ∂z ∂z = 8; = 7. ∂y x =1 ∂ x x =1
3
∂ 3z ∂ ∂2z = 2 = −18 x , 3 ∂y ∂y ∂y
∂ ∂2z ∂3z 2 = 12 xy , = 2 ∂ x ∂ y ∂y ∂ x
高数中物理应用常见公式
高数中物理应用常见公式高等数学中物理应用的常见公式非常多，下面列举了一些常见的公式及其应用：1. 牛顿第二定律：F = ma这是质点运动学的基本定律，描述了一个质点受到的力与它的加速度和质量的关系。
2.圆周运动的速度和加速度：速度公式：v=ωr加速度公式：a=ω²r这些公式用于描述物体在圆周运动中的速度和加速度与角速度、半径的关系。
3.牛顿万有引力定律：F=Gm₁m₂/r²这个公式描述了两个物体之间的引力与它们的质量和距离的关系，是解释行星运动、万有重力等现象的基础。
4.动能定理：ΔK=W这个公式描述了物体动能变化与外力所做的功之间的关系。
5. 阻力公式：F = kv这个公式描述了一个物体受到的空气阻力与它的速度的关系，其中k 为阻力系数。
6.万有引力势能：U=-Gm₁m₂/r这个公式描述了两个物体之间的引力势能与它们的质量和距离的关系。
7.能量守恒定律：E=K+U这个公式描述了一个系统的总能量，其中E为系统的总能量，K为动能，U为势能。
8.简谐振动的周期和频率：周期公式：T=2π√(m/k)频率公式：f=1/T这些公式用于描述质点在简谐振动中的周期和频率与质量和弹性系数的关系。
9.热传导定律：q=kAΔt/Δx这个公式描述了传热过程中热量的传导与温度差、传导系数、传导路径的关系。
10.雷诺数：Re=ρvL/η这个公式描述了流体流动中惯性力与黏性力的关系，其中ρ为流体密度，v为流速，L为特征长度，η为动力黏度。
这只是部分高等数学中物理应用的常见公式，还有很多其他的公式和应用。
在物理学中，公式只是数学描述实际规律的工具，更重要的是理解其背后的物理原理和概念。
2012专转本高数试卷解析
2012专转本高数试卷解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y = (ln(x + 1))/(√(x - 1))的定义域为（）A. (-1,+∞)B. (1,+∞)C. [-1,+∞)D. [1,+∞)2. 当x→0时，f(x)=x - sin x是x的（）A. 高阶无穷小。
B. 低阶无穷小。
C. 同阶但非等价无穷小。
D. 等价无穷小。
3. 设y = f(x)在点x = x_0处可导，则limlimits_Δ x→0frac{f(x_0-Δ x)-f(x_0)}{Δ x}=（）A. f^′(x_0)B. -f^′(x_0)C. 0D. 不存在。
4. 曲线y = x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程为（）A. y = -3x + 2B. y = 3x - 4C. y=-xD. y = x - 25. 设y=ln(cos x)，则y^′=（）A. tan xB. -tan xC. cot xD. -cot x6. 若∫ f(x)dx = F(x)+C，则∫ f(ax + b)dx=（a≠0）（）A. F(ax + b)+CB. (1)/(a)F(ax + b)+CC. aF(ax + b)+CD. (1)/(a)F(x)+C7. ∫_0^1(1)/(1 + x^2)dx=（）A. (π)/(4)B. (π)/(2)C. πD. 2π8. 下列广义积分收敛的是（）A. ∫_1^+∞(1)/(x)dxB. ∫_1^+∞(1)/(x^2)dxC. ∫_1^+∞√(x)dxD. ∫_1^+∞(1)/(√(x))dx9. 已知向量→a=(1, - 1,0)，→b=(1,0, - 1)，则→a×→b=（）A. (1,1,1)B. (-1, - 1, - 1)C. (1, - 1,1)D. (-1,1, - 1)10. 二次曲面x^2+y^2-z^2=1的类型是（）A. 椭球面。
B. 抛物面。
高数：函数的连续性与间断点
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
第八节
函数的连续性与间断点
第一章
可见 , 函数
在点
一、 函数连续性的定义
定义:
在
的某邻域内有定义 ,
则称函数
(1)
在点
即
(2) 极限
(3)
设函数
连续必须具备下列条件:
存在 ;
且
有定义 ,
存在 ;
continue
若
在某区间上每一点都连续 ,
同样可证: 函数
在
内连续 .
在
在
二、 函数的间断点
(1) 函数
(2) 函数
不存在;
(3) 函数
存在 ,
但
不பைடு நூலகம்续 :
设
在点
的某去心邻域内有定义 ,
则下列情形
这样的点
之一函数 f (x) 在点
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
称为间断点 .
在
无定义 ;
间断点分类:
第一类间断点:
及
均存在 ,
若
称
若
称
第二类间断点:
及
中至少一个不存在 ,
称
若其中有一个为振荡 ,
称
若其中有一个为
为可去间断点 .
为跳跃间断点 .
为无穷间断点 .
为振荡间断点 .
为其无穷间断点 .
为其振荡间断点 .
为可去间断点 .
例如:
显然
为其可去间断点 .
(4)
(5)
为其跳跃间断点 .
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点
高数字母符号读法
高数字母符号读法0 - 零1 - 一2 - 二3 - 三4 - 四5 - 五6 - 六7 - 七8 - 八9 - 九10 - 十11 - 十一（1和1，即十一）12 - 十二（1和2，即十二）13 - 十三（1和3，即十三）14 - 十四（1和4，即十四）15 - 十五（1和5，即十五）16 - 十六（1和6，即十六）17 - 十七（1和7，即十七）18 - 十八（1和8，即十八）19 - 十九（1和9，即十九）20 - 二十（2和0，即二十）22 - 二十二（2和2，即二十二）23 - 二十三（2和3，即二十三）24 - 二十四（2和4，即二十四）25 - 二十五（2和5，即二十五）26 - 二十六（2和6，即二十六）27 - 二十七（2和7，即二十七）28 - 二十八（2和8，即二十八）29 - 二十九（2和9，即二十九）30 - 三十（3和0，即三十）31 - 三十一（3和1，即三十一）32 - 三十二（3和2，即三十二）33 - 三十三（3和3，即三十三）34 - 三十四（3和4，即三十四）35 - 三十五（3和5，即三十五）36 - 三十六（3和6，即三十六）37 - 三十七（3和7，即三十七）38 - 三十八（3和8，即三十八）39 - 三十九（3和9，即三十九）40 - 四十（4和0，即四十）41 - 四十一（4和1，即四十一）42 - 四十二（4和2，即四十二）44 - 四十四（4和4，即四十四）45 - 四十五（4和5，即四十五）46 - 四十六（4和6，即四十六）47 - 四十七（4和7，即四十七）48 - 四十八（4和8，即四十八）49 - 四十九（4和9，即四十九）50 - 五十（5和0，即五十）。
高数同济第六版下高等数学2第八章解答
习题8-1向量及其线性运算1.在yOz 平面上，求与三点(3,1,2)A 、(4,2,2)B --和(0,5,1)C 等距离的点。
2.设已知两点1M 和2(3,0,2)M ，计算向量12M M的模、方向余弦和方向角。
3. 设向量r的模是4，它与u 轴的夹角是3π，求r在u 轴上的投影。
4. 设358m i j k =++，247n i j k =-- 和54p i j k =+- ，求向量43a m n p =+- 在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量。
5. 从点()2,1,7A -沿向量8912a i j k =+-方向取长为34的线段AB ，求点B 的坐标。
解 设点B 的坐标为(),,x y z ，则()2,1,7AB x y z =-+-，且AB a λ= ，即28,19,712x y z λλλ-=+=-=-，34AB ==从而2λ=，所以点B 的坐标为()18,17,17-习题8-2数量积 向量积1. 设32a i j k =--，2b i j k =+- ，求（1）a b 及a b ⨯ ；（2）(2)3a b - 及2a b ⨯；（3）a 、b 的夹角的余弦。
2．已知1(1,1,2)M -、2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求与12M M 、23M M同时垂直的单位向量。
3.求向量(4,3,4)a =-在向量(2,2,1)b = 上的投影。
4. 已知3OA i k =+ 、3OB j k =+ ，求OAB ∆的面积。
5. 设()()3,5,2,2,1,4a b =-= ，问λ与μ有怎样的关系能使a b λμ+与z 轴垂直？解 ()32,5,24a b λμλμλμλμ+=++-+ ，在z 轴上取单位向量()0,0,1e =， 要使它与a b λμ+互相垂直，只须()0a b e λμ+⋅=，即()()()320502410,240,2λμλμλμλμλμ+⨯++⨯+-+⨯=∴-+==，即为所求λ与μ的关系习题8-3曲面及其方程1.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程。
川大版高数第三册答案
第一章 行列式1.()()[][][]23154110103631254=520010=8(1)3(1)321(1)(2)(3)2441(1)3214243(1)321012)4n n n n n n n n m n m n n n m n m n n m 1τ=++++=2τ+++++-τ-⋯=-+-+-+⋯+2+1+0===+τ-⋯=+=+τ-⋯=⋯（）该数列为奇排列（）该排列为偶排列（） 当或时，为偶数，排列为偶排列当或时，为奇数，排列为奇排列（其中，，（）[][][]12(1)13521)246(2)0123(1)244113521)246(2)424313521)246(2)012)2.(1)(2)(n n n n n n n m n m n n n m n m n n m i i i k n n n -τ⋯-⋯=++++⋯+-===+τ⋯-⋯=+=+τ⋯-⋯=⋯⋯-+-+（ 当或时，（为偶数，排列为偶排列当或时，（为奇数，排列为奇排列（其中，，解：已知排列的逆序数为，这个数按从大到小排列时逆序数为()()111112(1)3)2(1)2x x x n x n x n n n n n n x i r i i i n x r i n x n n i i i i i i -+-+---+⋯+2+1+0=----τ⋯=-τ⋯个.设第数之后有个数比小，则倒排后的位置变为，其后个数比小，两者相加为故3 证明：.因为：对换改变排列的奇偶性，即一次变换后，奇排列改变为偶排列，偶排列改变为奇排列∴当n ≥2时，将所有偶排列变为奇排列，将所有奇排列变为偶排列 因为两个数列依然相等，即所有的情况不变。
∴偶排列与奇排列各占一半。
4 （1）13243341a a a a 不是行列式的项 14233142a a a a 是行列式的项 因为它的列排排列逆序列τ=(4321)=3+2+0+0=5为奇数，∴应带负号（2）5142332451a a a a a 不是行列式的项 1352413524a a a a a =1324354152a a a a a 因为它的列排排列逆序列τ(34512)=2+2+2+0+0=6 为偶数∴应带正号。
高数第八章答案
(2) (3)10 兰(x + y)sin —siny x222x y 2sin -原式二 lim 2 -------y ：0 (x 2y 2)e xyy ，所以，原式=02 22(/2 lim xyx：0(x 2 y 2)e xy第一节多元函数的概念11.( 1)( x, y )- <e2.( 1)原式二 1叫(\ x 2 y 2 1 1) = 2y >0(2) { ( x, y)2k w x 寸二 2k 1，k= 0,1,2,|||(3)(( x, y )1 £ x 2+y 2 z 2 乞 9(4) 原式二limXT2 y >0xsin(xy)cos(xy) o2xy3.（ 1）当沿 y 二kx ，(2)当沿 x = ky 2， 1 - k 20时，原式二 2，极限不存在。
1十k 210时，原式二1，极限不存在。
kx + y 1 < —1 1 —+ — x2 + y 22 y x 1p 0，原式=0 x 4.（ 1）考虑当沿y二0时, lim —4 2 = lim — x 0 x y x >0 x y r 0 y —；0k4*x 4 1下极限不存在’不连续。
kx 4（2）不连续，当不沿坐标轴趋近（0，0）时，极限值不等于函数值。
x >(3) 0 乞 kx 2，1 ,lim.(- y y )第二节偏导数1. (1) —-y2(1 xy)y1;二=(1 xy)y[ln(1 xy)1 + xy(2)ycUyzcos(xyz) 2xy; xzcos(xyz)■zxycos(xyz) 6z(3)z(x-y)z1 u_________________ ■ ___ -2z ；1 (x - y) y(x- y)z ln(x- y)z(x- y)z，________________ ■2 z;1 (x- y)2z1 (x- y)2z：：z 2.—y (1,1, 3)= y1 x2y2zx x2 3.- 2:z(1,1, 3)_2 2 2x z x - y ■ ____ —_2;一 2 2y x (x2xy 3z_____ ■ ___—2 2 2，2x y (x y ) x y2、2、y )2x(x4 - 2x2y2 - 3y4)2 2(x y )4. f (x,1) = x, f x(x,1p 1 5•由上节知，不连续。
高数课后习题答案及其解析
第一章习题 习题1.11.判断下列函数是否相同: ①定义域不同;②定义域对应法则相同同;2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f5.解 ① 10,1,1222≤≤-±=-=y y x y x② +∞<<-∞+=+=-=-=y be b c x e c bx c bx e c bx e ay ay a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3+==x u u y 习题1.24.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小5.求极限：⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 13131=+-=+-→→→x x x x x x x⑵ 51)12(lim )3(lim 123lim 22222=+-=+-→→→x x x x x x x⑶ 0tan lim=∞→xxa x⑷-∞=∞--=------=----=+--→→→→32)1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x⑸ 4123lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ )11)(11()11(lim 11lim22220220x x x x x x x x +++-++=+-→→2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x xx x x x ⑺ 311311lim 131lim 22=++=+++∞→+∞→xx x x x x⑻2132543232lim 25342332lim =⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x xx x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011lim )1()1)(1(lim)1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n⑾ 1lim 1231lim 22222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→n n n n n n x x ⑿221121211lim2121211lim 2=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→n n n n 6.求极限 ⑴ 414tan lim0=→x x x⑵ 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x⑶ 2sin 2lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200===-→→→xxx x x x x x x x x ⑷ x x n nn =⋅∞→2sin 2lim⑸ 21sin lim 212arcsin lim00==→→y y x x y x ⑹111sinlim1sin lim 1sinlim 22222-=-=-=-∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x ⑺ k k xx k xx xkx e x x x x ----→---→-→=--=-=-])1()1[(lim )1(lim )1(lim2)(12)(120⑻ 22211lim 1lim e x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅∞→∞→⑼ 313tan 311cot 0])tan 31()tan 31[(lim )tan 31(lim e x x x xx x x =++=+→+→⑽ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→32321lim x x x 343)34(23])321()321[(lim ---∞→=-⋅-e xx xx ⑾ []1)31(lim )31(lim )31(lim 03133311==+=+=+⋅-+∞→⋅⋅-+∞→-+∞→--e xx x x x x x x x x xxx⑿ 1333111lim 1111lim 1lim -+∞→+∞→+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e ex x x x x x x x x x习题1.31、⑴ 因为函数在x=1点处无定义，)2)(1()1)(1()(--+-=x x x x x f ，但是2)(lim 1-=→x f x ，x=1点是函数的第一类间断点（可去）。
人教版高数必修二第8讲：直线方程(学生版)
直线方程__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________理解直线方程的定义与直线的斜率；掌握并能灵活利用直线方程的各种形式解决相关问题．一、直线方程定义与斜率1．一般地，如果以__________为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是________，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线．．．．．．．2．直线方程y ＝kx ＋b 中，k 叫做这条直线的____，b 叫做这条直线在y 轴上的_____，方程y ＝kx ＋b 的图象是过点______，_____为k 的直线．_______的直线没有斜率．3．经过两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)的直线，当x 1≠x 2时，斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1；当x 1＝x 2时无斜率，此时直线方程为x=x 1．4.x 轴____与直线____的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，垂直于x 轴的直线倾斜角为______．我们规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°，倾斜角的范围是[0°，180°)．5．直线的斜率和倾斜角反映了直线相对于x 轴的倾斜程度，___越大，直线的倾斜程度越大． α＝0°时，____；0°<α<90°时，____；α＝90°时，_____；90°<α<180°时，_____.二、直线方程的几种形式1．点斜式：过点P (x 0，y 0)，斜率为k 的直线方程为__________，它不能表示过P (x 0，y 0)斜率不存在的直线________．2．斜截式：过点P (0，b )，斜率为k 的直线方程________，它也不能表示垂直于x 轴的直线，b 叫做直线在y 轴上的截距，简称截距．3．两点式：经过两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)的直线AB 的方程当⎩⎪⎨⎪⎧ x 1≠x 2y 1≠y 2时，为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1； 当x 1＝x 2时，为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，为y ＝y 1．两点式不能表示垂直于坐标轴的直线．4. 截距式在直线的两点式方程中，若,P Q 是直线与两坐标轴的交点，即()(),0,0,P a Q b ，此时方程___________叫做直线的截距式方程，其中a 是横截距，b 是纵截距．说明：(1)截距式的适用范围是直线在两坐标轴的截距存在且不为零的情况．(2)截距相等包括两轴上的截距同时为零和都不为零的情况．5.一般式方程0Ax By C ++=（,A B 不全为0）叫做直线的一般方程(1)直线的其他形式都可以化成一般形式(2)无论用哪种形式求出的直线方程一般情况下最后都要化成一般式．(3)当0,0A B =≠时，表示斜率为0（即与x 轴平行或重合）的直线；当0,0A B ≠=时，表示斜率不存在（即与x 轴垂直）的直线；当0,0A B ≠≠时，表示斜率A k B=-的直线．类型一 直线方程与斜率例1：(2014·河南郑州高一期末测试)经过点M (－2，m )、N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4练习1：给出下列命题：①任何一条直线都有惟一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴；④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一映射关系． 正确命题的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个练习2：经过点M (－2,1)、N (1，－2)的直线的斜率是( )A ．1B ．－1C. 5 D ．－2例2：若直线l 的向上的方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( )A ．30° B．60°C ．30°或150°D ．60°或120°练习1：直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．0°≤α<90°B ．90°≤α<180°C ．90°<α<180°D ．0°≤α<180°练习2：求经过下列两点的直线斜率，并判断其倾斜角α是锐角还是钝角．（1）()()0,1,3,4A B ；（2）()()5,6,10,6A B -；（3）()()5,6,3,7P Q ；（4）()()3,1,3,10P Q -- 类型二点斜式直线方程例3：若直线l 满足下列条件，求其直线方程．(1)过点(－1,2)且斜率为3；(2)过点(－1,2)且与x 轴平行；(3)过点(－1,2)且与x 轴垂直．练习1：求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；练习2：(1)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(2)经过点D(1,1)，与x轴垂直．练习3：(2014·云南个旧一中高一期末测试)经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是( )A．y＋2＝3(x－3) B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3) D．y＋2＝33(x－3)类型三斜截式直线方程例4：已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为m.(1)求直线l的方程；(2)当m为何值时，直线通过(1,1)点．练习1：写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；练习2：求过点A(－1，－2)、B(－2,3)的直线方程．练习3：(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0类型四 两点式直线方程例5：三角形的顶点是A (－5,0)、B (3，－3)、C (0,2)．求这个三角形三边所在直线的方程．练习1：已知三角形的三个顶点A (－4,0)、B (0，－3)、C (－2,1)，求BC 边上中线所在直线的方程．练习2：求经过点M (－1，－2)和N (－1,3)的直线方程．类型五 截距式直线方程例6：直线l 经过A (a,0)、B (0，b )两点(a ·b ≠0)，求直线l 的方程．练习1：一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程．练习2：直线l 经过点P (2,3)且在x ，y 轴上的截距相等，求该直线的方程．例7：直线l 过点P (－2,3)且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程．练习1：若直线l 的方程是315x y -=-，则它的截距式方程为_____；直线l 与x 轴交点为______；与y 轴的交点为______．练习2：下列四个命题中的真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)·(y 2－y 1)来表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b ＝1来表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示1．有下列命题：①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；③坐标平面上所有的直线都有倾斜角；④坐标平面上所有的直线都有斜率．其中错误的是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④2．(2014·山东泰安肥城高一期末测试)若直线经过点(1,2)、(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°3．(2014·山东济宁梁山一中高一期末测试)若A (－2,3)、B (3，－2)、C (12，m )三点共线，则m 的值为( )A.12 B ．－12C ．－2D ．24．在x 轴上截距为2，在y 轴上截距为－2的直线方程为( )A ．x －y ＝2B ．x －y ＝－2C ．x ＋y ＝2D ．x ＋y ＝－25．若过原点的直线l 的斜率为－3，则直线l 的方程是( )A ．x －3y ＝0B ．x ＋3y ＝0C.3x ＋y ＝0D.3x －y ＝06.与直线3x －2y ＝0的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( )A ．y －3＝32(x ＋4)B ．y ＋3＝32(x －4) C ．y －3＝－32(x ＋4) D ．y ＋3＝－32(x －4) 7.已知三点A (a,2)、B (5,1)、C (－4,2a )在同一直线上，则a 的值为________．8.直线y ＝32x －2的截距式方程是________．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．(2014·甘肃天水一中高一期末测试)已知直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，如右图所示，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 22．已知M (1,2)、N (4,3)，直线l 过点P (2，－1)且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．[－3,2]B ．[－13，12] C ．(－∞，－3]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－13]∪[12，＋∞) 3．直线y ＝－2x －7在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是( )A ．a ＝－7，b ＝－7B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7 4．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 为( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－125．直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，点(1007，b )在直线l 上，则b 的值为________．能力提升6．斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(－1，b )三点，则a ＋b 等于( )A ．4B ．－7C ．1D ．－17.方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是( )8.已知点P 在y 轴上，点N 是点M 关于y 轴的对称点，直线PM 的斜率为k (k ≠0)，则直线PN 的斜率为____________．9.(2014·江西南昌高一检测)已知直线l 方程为y ＋1＝25(x －52)，且l 的斜率为a ，在y 轴上的截距为b ，则|a ＋b |等于________．10.求斜率为34且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程．。
高数期末考试题型及答案
高数期末考试题型及答案题型一：选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 5在x = 1处的导数是：A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B2. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x - 1在x = 2处的切线斜率是：A. 5B. 3C. 1D. -1答案：A3. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/6D. 1/12答案：B4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数F(x)是：A. -cos(x) + sin(x) + CB. cos(x) - sin(x) + CC. sin(x) + cos(x) + CD. -sin(x) - cos(x) + C答案：C5. 级数∑(1/n^2)从n=1到无穷的和是：A. π^2/6B. eC. 1D. 2答案：A题型二：填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是________。
答案：2，37. 根据泰勒公式，函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式为________。
答案：1 + x + x^2/2! + x^3/6! + ...8. 函数y = ln(x)的不定积分是________。
答案：xln(x) - x + C9. 曲线y^2 = 4x的渐近线方程是________。
答案：y = ±2x10. 若∫f(x)dx = 3x^2 + C，则f(x) =________。
答案：6x题型三：简答题（每题5分，共10分）11. 证明：对于任意实数x，有e^x ≥ x + 1。
答案：证明略。
12. 解释什么是拉格朗日中值定理，并给出一个应用场景。
答案：拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它指出如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
高数考试内容
高数考试内容一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数$f(x)=\sin x + \cos x$，则$f'(x)$等于（）A. $\cos x-\sin x$B. $\cos x+\sin x$C. $-\cos x-\sin x$D. $-\cos x+\sin x$答案：A。
解析：根据求导公式$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)' =-\sin x$，所以$f(x)=\sin x+\cos x$的导数$f'(x)=\cos x-\sin x$。
2. 定积分$\int_{0}^{\pi}\sin xdx$的值为（）A. 0B. 1D. - 2答案：C。
解析：$\int_{0}^{\pi}\sin xdx=-\cos x\big _{0}^{\pi}= - (\cos\pi-\cos0)=-(-1 - 1)=2$。
3. 函数$y = \ln x$在点$(1,0)$处的切线方程为（）A. $y = x - 1$B. $y=-x + 1$C. $y = 0$D. $x = 1$答案：A。
解析：$y=\ln x$的导数$y'=\frac{1}{x}$，在点$(1,0)$处的切线斜率$k = y'\big _{x = 1}=1$，根据点斜式方程可得切线方程为$y - 0 = 1\times(x - 1)$，即$y=x - 1$。
4. 若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,4)$，且$\vec{a}\parallel\vec{b}$，则$x$的值为（）B. - 2C. 1D. -1答案：A。
解析：两向量平行，对应坐标成比例，即$\frac{1}{x}=\frac{2}{4}$，解得$x = 2$。
5. 极限$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}$的值为（）A. 0B. 1C. 不存在D. $\infty$答案：B。
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y
x
10
偏导数
可知:
偏导数 f x ( x0 , y0 )在几何上表示 z f ( x, y) 在点 曲线 y y0
z
z f ( x, y)
M 0 z f ( x , y0 )
Tx
Ty z f ( x0 , y )
y0
M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线对
V
2
p R
pV
1.
9
偏导数
二、偏导数的几何意义
设二元函数 z f ( x , y )在点 M 0 ( x0 , y0 ) 有 偏导数. 如图, z z f ( x, y) M 0 z f ( x , y0 ) 设M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x , y ) 上的一点,
第二节
偏 导 数
partial derivative
偏导数的定义及其计算法
偏导数的几何意义
高阶偏导数
higher-order partial derivative
小结
思考题
1
第八章 多元函数微分法及其应用
偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域
0
df ( x , y0 ) 注： f x ( x0 , y0 ) dx
x x0
3
偏导数
如果函数 z f ( x , y ) 在区域D内任一点
(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数
仍是 x、y 的二元函数, 它就称为函数 z f ( x , y )对自变量x的偏导函数 (简称偏导数), 记作 z , f , z x 或 f x ( x , y ). x x 同理, 可定义函数 z f ( x , y ) 对自变量y的
2
2 cosln x 2 x
2
x 1
f y (1,0,2) 0 y 0 0,
f z (1,0,2) 0 z 2 0
求某一点的偏导数时, 可将其它变量的值 代入, 变为一元函数, 再求导, 常常较简单.
8
偏导数
例 已知理想气体的状态方 程pV RT , 其中 p为压强V为体积T为温度 R为常数 , , , , p V T 求 证: 1 V T p
yz f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim lim y 0 y y 0 y z f 记为 , , z y x x0 , 或 f y ( x0 , y0 ). y y0 y x x 0 y x x 0
y y0 y y0
与x轴正向所成的倾角是多少? 1 解 f x ( x , y ) x , f x (2,4) 1 tan 2 4
x2 y2 z 曲线 4 , 在点(2,4,5)处的切线 x2 与y轴正向所成的倾角是多少?
12
偏导数
xy 当( x , y ) (0,0), 2 2 例 f ( x, y) x y 0 当( x , y ) (0,0).
( D
).
A. 充分条件而非必要条件 B. 必要条件而非充分条件 C. 充分必要条件
D. 既非充分条件又非必要条件
17
偏导数
三、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
2z z 2 f xx ( x , y ), x x x
过点 M 0 作平面 y y0 , 此平面
y0 与曲面相交得一曲线, 曲线的 O z f ( x , y ), x0 方程为 y y0 . 由于偏导数 f x ( x0 , y0 ) 等于一元函数 f ( x , y0 )的 导数 f ( x , y0 ) x x , 故由一元函数导数的几何意义
注 由以上计算可知, f ( x , y ) 在点(0,0)处偏导数存在, 但前面已证,此函数在点(0,0)是不连续的.
14
偏导数
偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续 连续
多元函数中在某点偏导数存在
偏导数都存在, 函数未必有极限, 更保证 不了连续性.
15
偏导数
说明
因偏导数fx (x0, y0)仅与函数 f (x, y)在y = y0
f ( x , y , z z ) f ( x , y , z ) . f z ( x, y, z ) lim z 0 z
6
偏导数
求多元函数的偏导数 并不需要新的方法, 如求f x ( x , y ), 只需将y 看作常量, 利用一元函数 的求导法对x求导即可. 例 求 z x 2 y sin y 在点(1,0)处的两个偏导数. z 2 解 z 2 xy, x cos y , x y z z 0, 2. x (1,0 ) y ( 1 , 0 )
内有定义， y固定为y0 , 而x在x0处有增量x时, 将 函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量).
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
如果极限 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) xz lim lim x 0 x x 0 x 存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为
当( x , y ) (0,0)时, 按定义得
13
偏导数
求f ( x, y )的偏导数. 当( x , y ) (0,0)时, 按定义得
xy 当( x , y ) (0,0), 2 2 f ( x, y) x y 0 当( x , y ) (0,0).
f (0 x ,0) f (0,0) lim 0 0 lim x 0 f x (0,0) x 0 x x f (0,0 y ) f (0,0) 0 lim lim 0 f y (0,0) y0 y 0 y y
例 求 z x ( x 0) 的偏导数. z z y 1 解 yx , x y ln x x y
y
7
偏导数
例 求f ( x, y, z ) ( z a xy ) sinln x 2 在点(1,0,2)处的
三个偏导数.
解 f x (1,0,2) [sin ln x ] x 1
求f ( x, y )的偏导数.
解 当( x , y ) (0,0)时, y ( x 2 y 2 ) xy 2 x y( y 2 x 2 ) 2 f x ( x, y) 2 2 , 2 2 2 (x y ) (x y ) 2 2 x( y 2 x 2 ) xy 2 y 2 f y ( x, y ) x ( x 2 y ) 2 2 2 2 . (x y ) (x y )
x3 2 x3 y2 f y ( x, y ) 2 2 2 2 2. x y (x y )
20
偏导数
x3 y 2 当( x , y ) (0,0), 2 设 f ( x, y) x y 求f xy (0,0)和f xy (0,0). 0 当( x , y ) (0,0).
混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
18
偏导数
求z x 3 y 2 xy 的四个二阶偏导数. 例 2 z z 解 3 x 2 y 2 y, 6 xy2 , x x 2 2z 6 x 2 y 1; xy 2 z z 2 x 3 y x, 2 x3 , y y 2 2z 6 x 2 y 1. yx
19
偏导数
x3 y 例 设 f ( x , y ) x 2 y 2 当( x , y ) (0,0), 0 当( x , y ) (0,0). 求fxy ( 0,0) 和f yx ( 0,0).
解 当( x , y ) (0,0)时, 有 3 x 2 y( x 2 y 2 ) x 3 y 2 x f x ( x, y) ( x 2 y 2 )2 3 x2 y 2 x4 y 2 2 2 2 2, x y (x y )
z 2 z 2 f yy ( x, y ) y y y
纯偏导
z 2 z z 2 z f yx ( x, y ) f xy ( x, y ), x y yx y x xy
5
偏导数
偏导数的概念可以 推广到二元以上函数
如, u f ( x , y , z ) 在( x , y, z )处
f x ( x , y, z ) lim f ( x x , y , z ) f ( x , y , z ) , x 0 x
f ( x , y y , z ) f ( x , y , z ) f y ( x, y, z ) lim , y 0 y
当( x , y ) (0,0)时, 按定义得 f (0 x ,0) f (0,0) 0 lim lim 0 f x (0,0) x 0 x 0 x x f (0,0 y ) f (0,0) 0 lim lim 0 f y (0,0) y0 y 0 y y f x (0,0 y ) f x (0,0) f x y 0,0) lim ( 0, y 0 y f y (0 x ,0) f y (0,0) 1. f y x 0,0) lim ( x 0 x
RT p RT 2 ; 证 p V V V RT V R T V pV V 偏导数的记号只是一个整体记号,不能像; ; T p T p p R R