基于拟蒙特卡罗概率假设密度的卷积实现
基于蒙特卡洛方法的量子海森堡模型的数值计算
基于蒙特卡洛方法的量子海森堡模型的数值计算一、引言量子力学的研究对于现代物理学的发展有着重要的意义，而其中最基础的模型之一便是海森堡模型。
该模型的研究有着广泛的应用，比如可以在电子学和量子计算领域中得到应用，同时也可用于分析量子相变等多个领域。
随着计算机技术的不断发展，数值计算已经成为物理研究不可或缺的工具。
在这篇文章中，我们将介绍一种基于蒙特卡洛方法的量子海森堡模型的数值计算方法，以及它的应用场合和限制。
二、海森堡模型海森堡模型是一种研究自旋力学的模型，在该模型中，自旋可以被描述为一个二元系统。
该模型是由维尔纳·海森堡于1926年提出的，他的研究对于后来的量子力学发展有着深远的影响。
海森堡模型的基本假设是，系统中的自旋之间存在伦敦相互作用，而这种相互作用会导致自旋倾向于互相靠近。
这一假设使得海森堡模型能够描述自旋在一个平面上的运动，同时也为进一步研究宏观物理现象奠定了基础。
三、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种重要的随机仿真方法，这种方法是通过随机抽样来求解数学问题的。
在物理学领域，蒙特卡洛方法被广泛应用于研究各种问题，比如相变、计算体系的能量等。
在海森堡模型的数值计算中，蒙特卡洛方法可以被用于模拟自旋随机翻转的情况，进而得到系统的能量以及磁矩等物理量。
这种方法的优点在于精度高、可靠性好，并且计算过程中不需要进行过多的假设。
四、数值计算与应用在实际计算中，我们可以通过蒙特卡洛法得到海森堡模型在不同温度下的能量和磁矩等物理量。
同时，我们也可以通过改变模型的参数来模拟不同的实验条件。
这种基于蒙特卡洛法的方法可以广泛应用于物理学领域的理论计算中，比如用于研究量子相变、格子系统的结构等。
此外，这种计算方法也可以用于解决其他无法通过传统方法求解的物理问题。
但是需要注意的是，这种计算方法的可靠性和精度并不一定高。
同时，由于该方法需要进行大量的计算，计算时间也会比较长，因此需要精心设计计算流程，避免浪费计算资源。
蒙特卡洛模型方法
二、理论和方法
蒙特卡洛模拟早在四十年前就用于求解核物理方面的问题。当管理问题更为复杂时，传统的数学方法就难以进行了。模拟是将一个真实事物模型化，然后对该模型做各种实验，模拟也是一个通过实验和纠正误差来寻求最佳选择的数值性求解的过程。模拟作为一种有效的数值处理方法，计算量大。以前只是停留在理论探讨上，手工是无法完成的。在管理领域由于规律复杂随机因素多，很多问题难以用线性数学公式分析和解决，用模拟则有效得多。在新式的计算机普及后，用模拟技术来求解管理问题已成为可能。
从表中数据可以看到，一直到公元20世纪初期，尽管实验次数数以千计，利用蒙特卡罗方法所得到的圆周率∏值，还是达不到公元5世纪祖冲之的推算精度。这可能是传统蒙特卡罗方法长期得不到推广的主要原因。
计算机技术的发展，使得蒙特卡罗方法在最近10年得到快速的普及。现代的蒙特卡罗方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用。
设有统计独立的随机变量Xi（i＝1，2，3，…，k），其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z＝g（x1，x2，…，xk）。
基于蒙特卡罗模拟的概率潮流计算
基于蒙特卡罗模拟的概率潮流计算概率潮流计算是电力系统分析中重要的一环，它可以评估电力系统的稳定性和可靠性。
其中，蒙特卡罗模拟是一种常用的概率潮流计算方法。
本文将介绍蒙特卡罗模拟在概率潮流计算中的应用。
蒙特卡罗模拟是一种基于随机数生成的计算方法，它通过多次模拟试验来估计系统的性能指标。
在概率潮流计算中，蒙特卡罗模拟可以用来计算电力系统的概率分布、可靠性和稳定性等指标。
使用蒙特卡罗模拟进行概率潮流计算的方法包括以下步骤：根据电力系统的实际运行情况，建立相应的数学模型。
利用随机数生成器生成各种随机变量，如负荷波动、新能源出力等。
将随机变量输入到电力系统的数学模型中进行模拟计算，得到系统的运行状态，如电压、电流等。
对大量的模拟结果进行统计分析，得到电力系统的概率分布、可靠性和稳定性等指标。
蒙特卡罗模拟在概率潮流计算中有广泛的应用，例如：在电力系统的可靠性评估中，蒙特卡罗模拟可以用来计算系统的平均故障率和故障时的负荷损失。
在电力系统的稳定性评估中，蒙特卡罗模拟可以用来计算系统的稳定性概率，为系统的规划和设计提供依据。
可以处理复杂的系统模型和随机变量，适用范围广泛。
可以给出系统性能指标的概率分布，为决策提供更多信息。
可以进行事后验证和敏感性分析，帮助优化系统的规划和设计。
模拟次数与计算成本成正比，需要权衡精度和成本之间的关系。
容易出现收敛困难和误差累积等问题，需要改进计算方法和增加模拟次数。
对于某些复杂系统和高维随机变量，蒙特卡罗模拟的效果可能不够理想。
蒙特卡罗模拟是一种有效的概率潮流计算方法，它在电力系统的可靠性评估和稳定性评估中有着广泛的应用。
然而，也存在一些不足之处需要改进和完善，以更好地适应复杂系统和更高维度的计算需求。
今后，随着计算机技术和数值计算方法的不断发展，蒙特卡罗模拟在概率潮流计算中的应用前景将更加广阔。
蒙特卡罗模拟技术是一种以概率论和数理统计为基础，通过随机模拟计算来解决复杂问题的数值方法。
蒙特卡洛模拟方法
蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo simulation）是一种基于随机过程的数值计算方法，通过生成大量随机数来模拟实际问题的概率分布和确定性结果。
它的原理是通过随机抽样和统计分析来近似计算复杂问题的解，适用于各种领域的问题求解和决策分析。
蒙特卡洛模拟方法最早于20世纪40年代在核能研究中出现，命名源于摩纳哥的蒙特卡洛赌场，因为其运作原理与赌场的概率计算类似。
它的核心思想是通过大量的重复实验来模拟问题的解空间，并基于统计原理对结果进行分析。
蒙特卡洛模拟方法的应用领域广泛，包括金融、工程、物理、统计学、风险管理等。
在金融领域，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟股票价格的变动，估计期权的价格和价值-at-risk（风险价值），帮助投资者进行风险管理和资产配置。
在工程领域，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟不同参数对产品性能的影响，优化产品设计和工艺流程。
在物理学中，蒙特卡洛模拟方法可以用于模拟粒子运动轨迹，研究核反应和量子系统的行为。
在统计学中，蒙特卡洛模拟方法可以用于估计未知参数的分布和进行概率推断。
1.明确问题：首先需要明确问题的目标和约束条件。
例如，如果要求估计一个金融产品的价值，需要明确产品的特征和市场环境。
2.设定模型：根据问题的特性，建立模型。
模型可以是概率模型、物理模型、统计模型等，用于描述问题的随机性和确定性因素。
3. 生成随机数：根据问题的特点，选择适当的随机数生成方法。
常见的随机数生成方法包括伪随机数生成器、蒙特卡洛（Monte Carlo）方法、拉丁超立方（Latin Hypercube）采样等。
4.进行实验：根据模型和随机数生成方法，进行大量的实验。
每次实验都是一次独立的抽样过程，生成一个样本，用于计算问题的目标函数或约束条件。
5.统计分析：对实验结果进行统计分析，得到问题的解或概率分布。
常用的统计分析方法包括均值、方差、最大值、最小值、分位数等。
还可以进行敏感性分析，评估输入参数对结果的影响程度。
关于蒙特卡罗及拟蒙特卡罗方法的若干研究
关于蒙特卡罗及拟蒙特卡罗方法的若干研究一、本文概述蒙特卡罗（Monte Carlo）及拟蒙特卡罗（Quasi-Monte Carlo）方法，作为现代计算数学与统计学的重要分支，已经在金融、物理、工程、生物信息学等众多领域展现出其独特的价值和广泛的应用前景。
本文旨在深入探讨这两种方法的理论基础、发展历程、应用实例以及未来可能的研究方向，以期为相关领域的研究者和实践者提供有价值的参考和启示。
我们将回顾蒙特卡罗方法的起源和基本思想，阐述其在随机模拟和概率计算中的核心地位。
随后，我们将介绍拟蒙特卡罗方法的基本概念、与蒙特卡罗方法的区别与联系，以及其在高维积分和复杂函数逼近等领域的应用优势。
接着，我们将对蒙特卡罗及拟蒙特卡罗方法在不同领域的应用进行详细的案例分析，包括金融衍生品定价、量子力学模拟、复杂系统优化等。
通过这些案例，我们将展示这两种方法在实际问题求解中的有效性和灵活性。
我们将展望蒙特卡罗及拟蒙特卡罗方法的未来研究方向，包括算法优化、并行计算、误差分析等。
我们相信，随着计算能力的提升和理论研究的深入，这两种方法将在更多领域发挥更大的作用，为科学研究和工程实践提供强有力的支持。
二、蒙特卡罗方法的基本原理和应用蒙特卡罗方法，又称统计模拟方法或随机抽样技术，是一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。
其基本思想是通过随机抽样来模拟和求解数学问题，即通过对随机过程的观察或抽样实验来计算某一事件的概率，或者求得某一随机变量的期望值，并用其作为问题的解。
蒙特卡罗方法的基本原理包括大数定律和中心极限定理。
大数定律指出，当试验次数足够多时，相对频率将趋近于概率。
而中心极限定理则表明，不论随机变量服从何种分布，当独立随机变量的个数足够多时，其和的分布将趋近于正态分布。
这两个定理为蒙特卡罗方法的准确性和有效性提供了理论支撑。
蒙特卡罗方法在实际应用中有广泛的应用领域。
在物理学中，蒙特卡罗方法可用于模拟粒子在介质中的输运过程，如中子输运、电子输运等。
资产定价与数据科学中的拟蒙特卡洛方法
拟蒙特卡洛方法需要确定目标概率分布，这可能是一个挑战，尤其是当缺乏历 史数据或专家意见时。此外，对于大规模和高维度的随机过程，生成符合分布 的样本点可能需要大量的计算资源和时间。
05
数据科学在资产定价中的应用
大数据处理技术
数据清洗
去除重复、错误或不完整的数据，确 保数据质量。数据存储采用分布存储系统，高效地存储大 规模数据。
随机折现因子模型（SDF）
总结词
随机折现因子模型是一种用于评估资产 价格的动态模型，它以折现现金流为基 础，考虑了不确定性和风险因素对资产 价格的影响。
VS
详细描述
SDF模型假设资产的内在价值由一系列未 来的现金流决定，这些现金流的折现值即 为资产的当前价格。SDF模型还考虑了风 险因素对折现率的影响，使得不同风险水 平的资产具有不同的折现率。SDF模型提 供了一种动态的框架来评估资产价格，并 可以用于预测资产价格的变动。
资产定价与数据科学中的拟 蒙特卡洛方法
汇报人： 2023-12-24
目录
• 引言 • 资产定价理论 • 蒙特卡洛模拟方法 • 拟蒙特卡洛方法 • 数据科学在资产定价中的应用 • 案例分析
01
引言
研究背景与意义
背景
随着金融市场的发展和数据科学技术的进步，资产定 价和风险管理成为金融领域的核心问题。蒙特卡洛方 法作为一种重要的统计模拟方法，在资产定价和风险 管理中得到了广泛应用。然而，传统的蒙特卡洛方法 存在一些局限性，如样本数量大、计算成本高等。为 了解决这些问题，拟蒙特卡洛方法被提出并应用于资 产定价和数据科学领域。
数据科学在资产定价中的应用案例
大数据与机器学习
利用大数据和机器学习技术，可以对 大量的历史数据进行分析和预测，为 资产定价提供更准确和全面的信息。
蒙特卡洛模拟原理及步骤
蒙特卡洛模拟原理及步骤一、蒙特卡洛模拟的原理1.问题建模：将实际问题抽象为各种随机变量，确定问题的输入和输出。
2.参数估计：根据已知的数据或者专家经验，估计各种随机变量的概率分布函数。
3.生成随机数：根据估计的概率分布函数生成模拟实验所需的随机数。
4.模拟实验：利用生成的随机数进行模拟实验，模拟可能发生的各种情况。
5.统计分析：根据模拟实验的结果，进行统计分析，得出问题的统计结果。
6.结果评估：评估模拟实验的可靠性和有效性，如果结果不理想，可以进行参数调整或者重新建模。
二、蒙特卡洛模拟的步骤1.定义问题：明确问题的目标和需要考虑的因素，确定所需的输入和输出。
2.参数估计：根据已知的数据或者专家经验，对问题中的各个随机变量进行参数估计，包括概率分布的形式和参数的估计。
3.随机数生成：根据已经估计的概率分布函数，生成所需的随机数。
常见的随机数生成方法包括逆变换法、抽样法和拟合法等。
4.模拟实验：根据生成的随机数进行模拟实验，模拟可能发生的各种情况。
实际操作中，可以根据需要进行多次模拟实验，以获得更稳定的结果。
5.统计分析：对模拟实验的结果进行统计分析，包括求均值、方差、置信区间等。
常见的统计分析方法包括频率分析、概率密度估计和分布拟合等。
6.结果评估：对模拟实验的结果进行评估，判断其可靠性和有效性。
可以通过比较模拟结果与实际观测数据的一致性来进行评估，也可以通过敏感性分析来评估模拟结果对输入参数的敏感性。
7.参数调整：如果模拟结果不理想，可以对参数进行调整，重新进行模拟实验；如果问题的建模存在问题，可以重新建模，重新进行模拟实验。
蒙特卡洛模拟的关键是合理地选择模型和概率分布，并根据具体问题进行适当的参数估计和调整。
同时，模拟实验的结果也需要进行统计分析和评估，以保证模拟结果的准确性和可靠性。
蒙特卡洛模拟在金融、工程、物理、生物和环境等领域都有广泛的应用，可以用于风险评估、预测模型、优化设计等方面。
蒙特卡罗方法详解与MATLAB实现
1 N
g N N i1 g(ri )
作为积分的估计值（近似值）。
0.2 命中8环
用计算机作随机试验（射击） 0.5 命中9环
的方法为, 选取一个随机数ξ, 按右 边所列方法判断得到成绩。
命中10环
这样, 就进行了一次随机试验 （射击）, 得到了一次成绩 ｇ(r), 作Ｎ次试验后, 得到该运动员射击 成绩的近似值
g N
1 N
N
g(ri )
i 1
2. 蒙特卡罗方法的收敛性, 误差
显然, 当给定置信度α后, 误差ε由σ和N决定。要减 小ε, 或者是增大N, 或者是减小方差σ2。在σ固定的情况 下, 要把精度提高一个数量级, 试验次数N需增加两个数 量级。因此, 单纯增大N不是一个有效的办法。
另一方面, 如能减小估计的均方差σ, 比如降低一半, 那误差就减小一半, 这相当于N增大四倍的效果。因此 降低方差的各种技巧, 引起了人们的普遍注意。后面课 程将会介绍一些降低方差的技巧。
4) 具有同时计算多个方案与多个未知 量的能力
对于那些需要计算多个方案的问题, 使用蒙特卡 罗方法有时不需要像常规方法那样逐个计算, 而可以 同时计算所有的方案, 其全部计算量几乎与计算一个 方案的计算量相当。例如, 对于屏蔽层为均匀介质的 平板几何, 要计算若干种厚度的穿透概率时, 只需计算 最厚的一种情况, 其他厚度的穿透概率在计算最厚一 种情况时稍加处理便可同时得到。
➢ 计算机模拟试验过程
《蒙特卡罗模拟》课件
蒙特卡罗模拟的基本原理
重复实验：多次重复抽样实 验，得到大量样本
统计分析：对样本进行统计 分析，得到估计值
随机抽样：从概率分布中随 机抽取样本
误差估计：计算估计值的误 差，评估模拟结果的准确性
蒙特卡罗模拟的应用领域
金融领域：风 险评估、投资 决策、期权定
价等
工程领域：可 靠性分析、优 化设计、系统
建立模型：根据问 题建立数学模型
设定参数：设定模 型中的参数
模拟实验：进行模 拟实验，验证模型 的准确性
实现随机抽样
确定抽样范围：确定需要抽样的总体范围
生成随机数：使用随机数生成器生成随机数
确定抽样方法：选择合适的抽样方法，如简单随机抽样、 分层抽样等
实施抽样：根据抽样方法，从总体中抽取样本
Part Four
蒙特卡罗模拟的案 例分析
金融衍生品定价
蒙特卡罗模拟在金融 衍生品定价中的应用
案例分析：期权定价 模型
蒙特卡罗模拟在期权 定价中的应用
案例分析：利率衍生 品定价模型
蒙特卡罗模拟在利率 衍生品定价中的应用
风险评估
蒙特卡罗模拟是一种风险评估方法，通过模拟随机事件来预测可能的结果 案例分析可以帮助我们更好地理解蒙特卡罗模拟的应用场景和效果 风险评估可以帮助我们更好地理解风险，并采取相应的措施来降低风险 蒙特卡罗模拟在金融、工程、医学等领域都有广泛的应用
统计分析：对计算得到的统计量进行统计分析，得出结论
分析和解读结果
蒙特卡罗模拟是一种随机模拟方法，通过模拟随机事件来估计概率分布
实现步骤包括：设定随机变量、设定随机数生成器、设定模拟次数、模拟随机事件、计算结 果
结果分析：通过模拟结果可以估计出概率分布，从而进行决策
拟贝叶斯蒙特卡洛方法
拟贝叶斯蒙特卡洛方法贝叶斯蒙特卡洛（Bayesian Monte Carlo）方法是一种基于贝叶斯推断和随机抽样的统计建模方法。
它结合了蒙特卡洛模拟和贝叶斯统计的优势，能够处理复杂的数学模型和数据，从而对未知量进行推断。
贝叶斯蒙特卡洛方法的核心思想是基于贝叶斯定理，将先验知识和新观测的数据结合起来，确定后验分布。
通过对后验分布进行抽样，可以获取对未知量的概率分布。
具体而言，贝叶斯蒙特卡洛方法包括以下步骤：1. 建立模型：根据问题的特点，选择合适的概率模型和参数分布。
例如，可以使用高斯分布、泊松分布或多项式分布等。
2. 设定先验分布：根据先验知识或经验，对模型的参数进行先验设定。
先验分布可以是均匀分布、指数分布、正态分布等。
3. 数据观测：收集实际观测数据，并根据数据更新参数的先验分布，得到后验分布。
更新后的后验分布将会更接近真实情况。
4. 蒙特卡洛模拟：通过蒙特卡洛抽样方法，从后验分布中抽取样本。
这些样本可以用来估计未知量的分布、期望或其他统计量。
5. 分析结果：利用蒙特卡洛模拟得到的样本，对未知量进行推断。
可以计算概率分布、求取置信区间或进行模型比较。
贝叶斯蒙特卡洛方法具有许多优点。
首先，它可以灵活处理不确定性，并充分利用先验知识。
其次，它能够处理高维问题和复杂模型，为决策提供更全面的信息。
此外，由于采样过程是随机的，该方法能够生成更逼近真实情况的结果。
然而，贝叶斯蒙特卡洛方法也存在一些挑战。
首先，样本抽取过程可能需要大量的计算资源和时间。
其次，对模型和先验分布的选择需要一定的专业知识和经验。
此外，在模型复杂度增加时，蒙特卡洛模拟的效率可能会下降。
总之，贝叶斯蒙特卡洛方法是一种强大的统计建模和推断技术，可以用于解决各种复杂问题。
它通过蒙特卡洛模拟和贝叶斯统计的结合，能够提供对未知量的概率分布估计，为决策提供重要参考。
在实践中，合理选择模型和先验分布，并注意蒙特卡洛模拟的效率，可以进一步提升方法的应用效果。
蒙特卡罗方法计算三重积分
Science &Technology Vision 科技视界1蒙特卡罗法的基本原理蒙特卡罗方法以随机模拟和统计试验为手段,从随机变量的概率分布中,通过选择随机数的方法产生一种符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列,作为输入变量序列进行特定的模拟试验、求解的方法[1]。
在应用蒙特卡罗方法时,必须要产生非均匀的随机数,而产生特定的、非均匀的随机数序列,可行的方法是先产生一种均匀分布的随机数序列,然后设法转换成我们需要的随机数序列并以此作为数字模拟试验的输入变量序列进行模拟求解[2-6]。
根据三重积分的数学定义,三重积分相当于密度函数为f (x ,y ,z )的空间物体Ω的质量,可将质量假设为四维空间区域的体积。
因为随机投点法需要构造一个能包含积分区域的四维空间区域,我们需要根据该空间区域的体积来计算,因此该方法又叫取体积法。
2蒙特卡罗法计算三重积分的原理及数值算法2.1原理定理[2,6-13]设f (x ,y ,z )为区域Ω上的有界函数,对于三重积分I=f (x ,y ,z )dv ,其中Ω∶a 1≤x ≤b 1,a 2(x )≤y ≤b 2(x ),a 3(x ,y )≤z ≤b 3(x ,y ),满足1)a 2(x ),b 2(x )在区间[a 1,b 1]上连续,a 3(x ,y ),b 3(x ,y )在区域D ∶a 1≤x ≤b 1,a 2(x )≤y ≤b 2(x )上连续,且满足不等式a 2(x )≥c ,b 2(x )≤d,a 3(x ,y )≥e,b 3(x ,y )≤h 2)设M ≥max f (x ,y ,z );3)设四维超长方体Ψ由a 1≤x ≤b 1,c ≤y ≤d,p ≤z ≤q,0≤g ≤M 所围成,体积为V Ψ;4)区域Γ由a 1≤x ≤b 1,a 2(x )≤y ≤b 2(x ),a 3(x ,y )≤z ≤b 3(x ,y ),0≤g≤f (x,y,z )所围;5)在四维超长方体Ψ内产生N 个均匀随机点(x i ,y i ,z i ,g i ),i =1,2,…,N ,设(x i ,y i ,z i ,g i ),i =1,2,…,n 为落在Γ中的n 个随机数,则当N 充分大时,有2.2数值算法1)赋初值:令落在区域Γ中的点的个数n =0;规定投点试验的总次数N ;2)产生四组相互独立的均匀随机数列ξ,η,ω,ψ~U (0,1)由x =a 1+(b 1-a 1)ξ,y =c +(d-c )η,z =p +(q-p )ω,g =Mψ求x i ,y i ,z i ,g i (i =1,2,…,N );3)选出满足a 2(x i )≤y i ≤b 2(x i )的y i (i =1,2,…,N ),设它们是y ki (i =1,2,…,m );4)选出满足a 3(x i ,y i )≤z ki ≤b 3(x i ,y i )且与y ki (i =1,2,…,m )相对应的z ki (i =1,2,…,m ),设它们是z ki (i =1,2,…,l );5)选出满足g ki ≤f (x i ,y i ,z i )且与z ki (i =1,2,…,l )相对应的g ki (i =1,2,…,l ),设它们是g ki (i =1,2,…,n ),则选出的值的个数n 即为所求的落在区域Γ内点的个数。
巨正则蒙特卡罗方法
巨正则蒙特卡罗方法一、前言巨正则蒙特卡罗方法（Grand Canonical Monte Carlo，简称GCMC）是一种重要的计算化学方法，广泛应用于气体吸附、离子吸附、溶剂扩散等领域。
本文将从基本原理、模拟流程和结果分析三个方面详细介绍巨正则蒙特卡罗方法的实现过程。
二、基本原理1.巨正则系综巨正则系综是指在恒定温度、压力和化学势下，系统与外界交换粒子数的系综。
在巨正则系综中，系统中的粒子数不是固定不变的，而是可以随时增加或减少。
系统与外界之间通过化学势μ来交换粒子数。
2.蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟是一种基于概率统计方法的计算机模拟技术，用于研究复杂系统的性质。
在蒙特卡罗模拟中，通过随机抽样和概率分布函数来模拟系统中各个粒子之间相互作用以及与外界之间的作用，并通过统计平均值来得到系统性质。
3.巨正则蒙特卡罗方法巨正则蒙特卡罗方法是将巨正则系综和蒙特卡罗模拟相结合的一种计算化学方法。
在巨正则蒙特卡罗方法中，通过随机抽样和概率分布函数来模拟系统中各个粒子之间相互作用以及与外界之间的作用，并通过统计平均值来得到系统性质。
三、模拟流程1.确定模拟系统首先，需要确定要模拟的系统。
例如，可以考虑气体吸附过程中的吸附剂表面、溶液中的分子等。
2.设定初始状态在进行模拟前，需要设定初始状态。
对于巨正则蒙特卡罗方法，需要设定温度、压力和化学势等参数，并随机生成一组初始粒子数和位置。
3.选择移动方式在进行模拟时，需要选择不同的移动方式。
常见的移动方式包括平移、旋转、插入和删除等。
4.计算能量变化在进行粒子移动时，需要计算能量变化。
对于气体吸附过程来说，可以采用Lennard-Jones势函数或Mie势函数等来计算相互作用能。
5.接受或拒绝移动在计算能量变化后，需要根据Metropolis准则来决定是否接受粒子移动。
如果能量降低，则接受移动；否则，根据概率分布函数决定是否接受。
6.更新状态如果粒子移动被接受，则需要更新系统状态。
蒙特卡罗(Monte Carlo算法)算法
随机数的取得
• 如果你对随机数有更高的要求，需要自己 编辑“随机数生成器”
• 最简单、最基本、最重要的一个概率分布 是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）
• 例如在Matlab中，命令“rand()”将产生 一个(0,1)中均匀分布的随机数
• 你可以根据需要给随机数一个“种子”， 以求不同的数
Matlab 的随机数函数
• 大大改善了结果！
随机数的产生
• 随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 • 随机数的产生就是抽样问题。可以用物理方法
产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不 便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样 产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以 称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过 多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随 机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真 正的随机数来使用。
用Monte Carlo 计算定积分
• 考虑积分 • 假定随机变量具有密度函数 •则
用Monte Carlo 计算定积分-
• 抽取密度为e^{-x}的随机数X_1,…X_n • 构造统计数
•则
用Monte Carlo 计算定积分--
•且
•即
用Monte Carlo 计算定积分---
• 例如 α=1.9
Monte Carlo Simulation 简介
概述
• 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算 机随机模拟方法或随机抽样方法或统计 试验方法 ，属于计算数学的一个分支。 是一种基于“随机数”的rlo方法的基本思想很 以前就 被人们所发现和利用。 在17世纪，人 们就知道用事件发生的“频率”来决定 事件的“概率”。19世纪人们用投针试
• 它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所 描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题 的近似解。。
蒙特卡罗方法的原理介绍
蒙特卡罗方法的原理介绍蒙特卡罗方法是一种基于随机数的计算方法，用于解决复杂问题。
它的原理是通过随机抽样和统计分析来获得问题的近似解。
蒙特卡罗方法在各个领域都有广泛的应用，包括物理学、金融学、计算机科学等。
蒙特卡罗方法的核心思想是通过随机抽样来模拟问题的概率分布，然后利用统计分析方法对抽样结果进行处理，从而得到问题的近似解。
具体而言，蒙特卡罗方法包括以下几个步骤：1. 定义问题：首先需要明确问题的数学模型和目标函数。
例如，如果要计算一个复杂函数的积分，可以将其表示为一个概率分布函数。
2. 生成随机数：根据问题的特点和要求，选择合适的随机数生成方法。
常见的随机数生成方法包括线性同余法、拉格朗日插值法等。
3. 抽样：根据生成的随机数，进行抽样。
抽样的方法有很多种，包括简单随机抽样、重要性抽样、马尔可夫链蒙特卡罗等。
4. 计算目标函数：根据抽样结果，计算目标函数的值。
这一步需要根据问题的具体要求进行计算，可以是简单的加减乘除运算，也可以是复杂的数值计算。
5. 统计分析：对抽样结果进行统计分析，得到问题的近似解。
常见的统计分析方法包括均值估计、方差估计、置信区间估计等。
6. 收敛性检验：根据统计分析的结果，判断蒙特卡罗方法是否收敛。
如果结果不满足要求，可以增加抽样次数或改变抽样方法，重新进行计算。
蒙特卡罗方法的优点是可以处理复杂的问题，不受问题的维度和形式限制。
它可以通过增加抽样次数来提高计算精度，同时可以通过并行计算来加速计算过程。
然而，蒙特卡罗方法也存在一些缺点，例如计算速度较慢、收敛性检验困难等。
蒙特卡罗方法的应用非常广泛。
在物理学中，蒙特卡罗方法可以用于模拟粒子的运动轨迹、计算物理量的期望值等。
在金融学中，蒙特卡罗方法可以用于计算期权的价格、风险价值等。
在计算机科学中，蒙特卡罗方法可以用于图像处理、模式识别等。
总之，蒙特卡罗方法是一种基于随机数的计算方法，通过随机抽样和统计分析来获得问题的近似解。
概率密度函数与蒙特卡洛值的关系
概率密度函数与蒙特卡洛值的关系
概率密度函数和蒙特卡洛值是两个与概率统计相关的重要概念。
在统计学中，概率密度函数是描述一个随机变量的概率分布的函数，而蒙特卡洛方法是一种基于随机数的数值计算方法，常用于模拟复杂的随机过程和计算概率。
在实际应用中，概率密度函数和蒙特卡洛值有着密切的关系。
具体而言，蒙特卡洛方法可以通过生成随机数并将其代入概率密度函数来计算某个事件的概率值。
例如，假设需要计算投掷一枚硬币正面朝上的概率，可以使用蒙特卡洛方法模拟大量的随机投掷，并将正面朝上的次数除以总次数得到概率值。
另一方面，概率密度函数也可以通过蒙特卡洛方法来估计。
在实际应用中，常常需要估计某个随机变量的概率密度函数的形状和参数。
蒙特卡洛方法可以通过生成随机数并将其代入概率密度函数，然后统计出随机数落在不同区间内的频率，从而估计出概率密度函数的形状和参数。
总之，概率密度函数和蒙特卡洛值在概率统计中具有重要的应用价值，相辅相成。
了解它们之间的关系可以帮助我们更好地理解和应用概率统计的理论和方法。
- 1 -。
蒙特卡罗模拟
@qfdist(p, v1, v2)
Gamma 分布 @rgamma(b, r)
@cgamma(x, b, r) @dgamma(x, b, r)
@qgamma(p, b, r )
logistic 分布 @rlogistic
@clogistic(x)
@dlogistic(x)
@qlogistic(p)
“蒙特卡罗模拟”这个术语是美国物理学家 Metropolis 在第 2 次世界大战时期执 行曼哈顿计划(Manhattan Project)过程中提出的。
作为地名，蒙特卡罗在欧洲的摩那哥（Monaco），以著名赌城而得名。若再晚些 时候，蒙特卡罗模拟也许就称作 Las Vegas（在美国的 Nevada 州，著名赌城）模拟方 法了。
@cnorm(x)
@dnorm(x)
@qnorm(p)
泊松分布
@rpoisson(m)
@cpoisson(x, m) @dpoisson(x, m)
@qpoisson(p, m)
t 分布
@rtdist(v)
@ctdist(x, v)
@dtdist(x, v)
@qtdist(p, v)
均匀分布
@runif(a, b)
@cunif(x, a, b)
@dunif(x, a, b)
@qunif(p, a, b)
8
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第7章 蒙特卡罗模拟
（1）生成服从某种分布的随机数序列 【例】生成标准正态分布、指数分布、poisson分布、t分布的随机数序列 EViews 程序如下：（file：gener2-text01）
series Z=nrnd series X=Z*2+50
蒙特卡罗方法的基本思想与解题步骤
1 蒙特卡罗方法的基本思想与解题步骤蒙特卡罗方法也称随机模拟法、随机抽样技术或统计试验法，其基本思想是：为了求解数学、物理、工程技术或生产管理等方面的问题，首先建立一个与求解有关的概率模型或随机过程，使它的参数等于所求问题的解，然后通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。
概率统计是蒙特卡罗方法的理论基础，其基本手段是随机抽样或随机变量抽样，对于那些难以进行的或条件不满足的试验而言，是一种极好的替代方法。
蒙特卡罗方法可以解决随机性问题和确定性问题，求解确定性问题的基本步骤如下：（1）建立一个与求解有关的概率模型，使求解为所构建模型的概率分布或数学期望；（2）对模型进行随机抽样观察，即产生随机变量；（3）用算术平均数作为所求解的近似平均值，给出所求解的统计估计值的方差或标准差，即解的精度。
2 伪随机数的产生利用蒙特卡罗方法以模拟一个实际问题，需要用到各种随机变量，因此随机数的产生非常重要。
在计算机上的产生随机数的方法有三类：（1）把已有的随机数表输入机器；（2）用物理方法产生真正的随机数；（3）用数学方法产生伪随机数。
利用数学方法产生随机数具有占有内存小，产生速度快，便于重复，不受计算机条件限制等优点，因而被大量使用。
因利用数学方法产生的随机数是根据确定的递推公式计算的，存在周期现象，不满足真正随机数的要求，这种随机数称为伪随机数。
在实际应用中，只要伪随机数能通过一系列统计检验，我们还是可以把它当做“真正”的随机数来应用。
产生随机数的数学方法，最常应用的有：同余法。
其中，剩同余法和混合同余法能够产生周期长且统计性质优的数值序列，因而应用也最广。
平方取中法。
当位数较少时，产生的伪随机数领导于零的较多，位数越来越多时，偏于零的就会越来越少。
易位指令加法。
方法简便，速度较快，其所产生的随机数随机性一般较好，但周期不定，且通常很短；随着初选值的不同，所产生的随机数序列长度也有很大差异。
基于拟蒙特卡罗和半不变量法的概率潮流计算
基于拟蒙特卡罗和半不变量法的概率潮流计算万常韶;朱自伟;胡洪权;黄俭平;龙鑫【摘要】为实现含风电出力电网概率潮流计算精度的提高,提出一种结合拟蒙特卡罗和半不变量的方法.建立风电出力模型,采用拟蒙特卡罗模拟法(QMCS)抽取Sobol确定性低偏差点列,结合半不变量法,算出节点状态变量以及各支路潮流的半不变量,引入Gram-Charlier级数,以概率潮流计算为工具,对相关节点电压进行模拟,并与传统蒙特卡罗模拟(MCS)方法和MCS结合半不变量法对比.算例表明,相同抽样次数下QMCS结合半不变量法的计算结果更接近真解,并且计算速度相对更快.【期刊名称】《电测与仪表》【年(卷),期】2019(056)006【总页数】6页(P32-37)【关键词】拟蒙特卡罗;风电系统;概率潮流;半不变量法【作者】万常韶;朱自伟;胡洪权;黄俭平;龙鑫【作者单位】南昌大学信息工程学院,南昌330031;南昌大学信息工程学院,南昌330031;南昌大学信息工程学院,南昌330031;南昌大学信息工程学院,南昌330031;南昌大学信息工程学院,南昌330031【正文语种】中文【中图分类】TM7440 引言因风能的特殊性，波动性，风电机组就有较大不确定性。
风电出力存在的随机性会对电网的运行分析带来影响[1]。
风力发电在电力系统中比重愈大，其给系统带来的影响愈大，故对风电接入电网和风电出力的输出功率和输出电压的探究意义重大。
研究概率潮流的方法一般为三种：解析法、近似法和模拟法[2]。
解析法求解步骤一般是把交流潮流转化成直流，也可以在平衡点对非线性潮流方程转化成线性关系的各方随机变量，然后采用卷积技术进行计算[3-4]。
解析法确实可以较快地得到输出变量的相关数据，但这要假设初始的输入及输出随机变量是线性关系，不符合电力系统中相关实况。
近似法中最常用的是点估计法[5]，其属于逼近技术，使用输入随机变量的数据获得输出随机变量的相关特征，两点估计法[6]虽然计算简捷、易于实现，也仅仅采用了前三阶矩的数据，使得计算精度较低；三点估计法的估计值能够获得较高的精度，而且维持了简单性，在点估计法中采用率较高。
蒙特卡罗模拟方法
一个简单的例子(续)
上面的例子中，第一个随机数生成器的周期 长度是 10，而后两个生成器的周期长度只有 它的一半。我们自然希望生成器的周期越长 越好，这样我们得到的分布就更接近于真实 的均匀分布。
在给定 m 的情况下，生成器的周期与 a 和 初值 x0 (种子)选择有关。
11
线性同余生成器 (Linear Congruential Generator )
16
由rand()函数生成的U[0,1]随机数
17
由rand函数生成的2维随机点
18
从U(0,1)到其它概率分布的随机数
U(0,1)的均匀分布的随机数，是生成其他概率 分布随机数的基础，下面我们主要介绍两种将 U(0,1)随机数转换为其他分布的随机数的方法。
1.逆变换方法 (Inverse Transform Method)
12
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1
=2147483647
2147483399 2147483563
Multiplier a 16807
39373 742938285 950706376 1226874159
40692 40014
Reference Lewis, Goodman, and Miller L’Ecuyer Fishman and Moore Fishman and Moore Fishman and Moore L’Ecuyer L’Ecuyer
X ~ U[0,1] (均匀分布)。于是可以将上式积分看
作是f(X)的数学期望.若{Uk,1 k n}为 ~U[0,1].
则可以取n
1 n
n i 1
f (Ui )作为的估计，
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基于拟蒙特卡罗概率假设密度的卷积实现马 悦1,秦前清2,朱建章3,胡亦钧1(1.武汉大学数学与统计学院,湖北武汉430072;2.武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室,湖北武汉430072;3.解放军信息工程大学信息工程学院,河南郑州450002)摘 要: 本文提出了两种新的算法.第一,拟蒙特卡罗概率假设密度(QMC PHD)滤波,主要思想是利用QMC 方法来实现PHD 滤波.在仿真实验中可以发现:在目标数目和状态估计方面,新算法比序贯蒙特卡罗概率假设密度(S MC PHD)滤波器更精确.第二,卷积核拟蒙特卡罗概率假设密度滤波(CKQMC PHD),主要思想是基于QMC PHD 滤波的基础之上引入卷积核(CK)的估计算法.当观测噪声变小的时候,CKQMC PHD 滤波还能够很好地估计出目标状态和目标数目,其表现要明显的好于QMC PHD 滤波.仿真实验也证明了C KQMC PHD 滤波的估计效果.关键词: 概率假设密度;拟蒙特卡罗;卷积核中图分类号: TN953 文献标识码: A 文章编号: 0372 2112(2011)3A 064 05Con volution Kern el Implementation Based on Qu asi Monte CarloProbability Hypothesis DensityMA Yue 1,QI N Qian qing 2,ZHU Jian zhang 3,HU Yi jun1(1.Sc hool o f Mathematics and Statistics,W uhan Unive rsity ,Wuhan,Hubei 430072,China;2.State K e y Laboratory o f Information Enginee ring in Surve ying ,Mapping and Remote Sensing ,W uhan U nive rsity ,Wuhan,Hubei 430072,China ;3.Institute of In f o rmation Enginee ring ,In f o rmation Engine ering Unive rsity ,Zhengzhou ,Henan 450002,China )Abstract: In this paper,we propose two algorithms.The fi r s t one is the quasi Monte Carlo probability hypothesis densi ty filter (PHD ).Q uasi Monte Carlo is used to implement the PHD filter.In the simulation,we can find that the propo sed algorithm is more accurate than the sequential Monte Carlo PHD filter in the estimation of target state and the number of targets.The second al gorithm is convolution kernel quasi Monte Carlo PHD (CKQMC PHD)filter.T he convolu tion kernel algorithm is used in the QMC PHD filter.When the observation nois e becomes small,CKQMC PHD filter is very efficient to estimate the s tate and the number of targets,the behave of the CKQMC PHD filter is better than that of QM C PHD filter.The si mulation resul ts prove the effect of the CKQMC PHD filter.Key words: probability hypothesis density (PHD );quasi Monte Carlo (QMC);convolution kernel (CK )1 引言在多目标跟踪中,由于目标的消失、新目标的出现和目标的分裂,目标的数目随着时间发生变化.并且由于检测的不确定性和杂波,观测值的数目也是随着时间变化的.近年来,Malher 把随机有限集的理论引入多目标跟踪领域.它的主要思想是分别把目标状态集和观测集作为一个整体.在此基础之上提出了概率假设密度(PHD)[1,2]的概念,并且得到了P HD 滤波迭代算法.PHD 算法是一个传递目标随机有限集一阶矩的迭代.利用PHD 迭代公式,可以计算出目标的数目和状态.PHD 滤波器是基于单目标状态空间的来计算了,它避免了讨论数据关联等问题.PHD 滤波计算过程中需要处理多重积分,因此序贯蒙特卡罗(SMC)[3~5]方法被采用来实现P HD 滤波[6~8].SMC 方法模拟样本时使用伪随机数,而拟蒙特卡罗(Q MC)[9]使用低偏差的一致分布点集,它较伪随机数序列更为均匀.因此QMC 较MC 算法具有一定的优越性.在本文中,我们首先用QMC 方法代替MC 方法来实现P HD 滤波得到Q MC PHD 滤波.然后,基于Q MC P HD 的基础之上引入我们引入卷积核(CK)[10]得到CKQMC P HD 滤波.在仿真实验中,分别对这两种滤波器的性能进行了分析,并且和原有的滤波进行了比较.2 背景介绍2.1 随机有限集假设在k 时刻有M (k )个目标,其状态分别为x k,1,x k,2, ,x k,M (k ),其中x k ,i 表示第i 目标的状态,则目标收稿日期:2010 09 28;修回日期:2011 02 22基金项目:国家自然科学基金(No.10971157,No.40971219)第3A 期2011年3月电 子 学 报ACTA ELECTRONICA SINICA Vol.39 No.3AMar. 2011状态可以表示为Xk={x k,1,x k,2, ,x k,M(k)}.若在k时刻有N(k)个量测zk,1,z k,2, ,z k,N(k),其中z k,i表示单目标量测,这个量测可能源于目标或杂波.此时观测可以表示成Z k={z k,1,z k,2, ,z k,N(k)}.Z k={Z1,Z2, , Z k}表示到k时刻为止累积量测集合.在随机有限集的框架下,k时刻目标的状态集表示为X k=x X k-1S k|k-1(x)x X k-1B k|k-1(x) k(1)其中Xk-1是k-1时刻的目标状态集,Sk|k-1(x)是k-1时刻的目标到k时刻仍存活下来的目标状态集, B k|k-1(x)是k时刻状态为x的目标分裂出目标组成的集合, k是k时刻新出现目标组成的集合.k时刻目标量测集可以表示为Z k=x X kk(x) k(2)其中k(x)是由k时刻状态为x的目标产生的量测集合,Kk表示来自于杂波的量测集合.2.2 PHD滤波设 为多目标状态空间,对任一区域S ,随机有限集X的P HD(或强度)v(x)是一个非负函数满足E(X S)= S v(x)d x(3)其中X表示X中元素的数目.在任一区间S上v(x)的积分表示X中的元素在S中的期望数目.PHD滤波公式包含预测和更新两个步骤.在此不考虑目标分裂的情况.令vk|k-1和vk分别表示预测和更新的多目标P HD.其预测公式表示为v k|k-1(x)= p S,k( )f k|k-1(x| )v k-1( )d + k(x)(4)其中f k|k-1(x| )目标状态转移密度,p S,k( )表示目标存活概率,k(x)表示新出现目标的PHD.更新公式表示v k(x)=[1-p D,k(x)]v k|k-1(x)+ z Zkp D,k(x)g k(z|x)v k|k-1(x)k(z)+ p D,k( )g k(z| )v k|k-1( )d(5)其中k( )表示杂波的PHD,g k(z| )表示k时刻单目标观测似然函数,p D,k( )表示k时刻目标的检测概率.3 QMC PHD滤波3.1 QMC采样QMC模拟样本使用较伪随机数更为均匀的低偏差的一致分布点集.由于采用点的均匀程度影响算法的好坏,所以QMC较MC算法具有一定的优越性.本文中使用Halton序列采样方法得到QMC样本点.下面我们介绍如何利用QMC得到拟高斯随机点集.主要包含以下几个步骤:步骤1 b为基长度为N的Halton序列H b(j)Nj=1(a)j=d m d m-1 d0= m k=0d k b k;(b)H b(j)=0,d0, ,d m= m k=0d k b-k-1.步骤2 d维Halton序列u(j)Nj=1(a)前d个素数p1,p2, ,p d为基,分别生成Halton序列H pi(j)Nj=1,i=1, ,d;(b)d维Halton序列表示为u(j)=[H p1(j),H p2(j),,Hpd(j)],j=1, ,N.步骤3 产生以b为基长度为N随机Halton序列H b(j)Nj=1,i=1, ,d.(a)任一u(0)=0,d0, ,d m,表示为H b(n0)形式;(b)H b(j)=H b(n0+j).步骤4 产生d维Halton随机序列u(j)N j=1(a)前d个素数p1,p2, ,p d为基,分别生成随机Halton序列H pi(j)Nj=1,i=1, ,d;(b)d维随机Halton序列表示为u(j)=[H p1(j), H p2(j), ,H pd(j)],j=1, ,N.步骤5 产生服从与均值为 ,方差为 的多维高斯分布的QMC随机点(a) =R T R;(b)x(j)= +R -1(u(j)).3.2 QMC PHD滤波器Q MC PHD迭代过程由预测和更新两步组成.预测:假设k-1时刻vk-1(x)表示为v k-1(x)= L k-1i=1 i k-1 x i k-1(x)(6)利用QMC方法分别从qk( |x i k-1,Z k)和p k( |Z k)中采取样本点 x ik,表示如下x ik~q k( |x i k-1,Z k),i=1, ,L k-1p k( |Z k),i=N k-1+1, ,L k-1+J k并计算相应的权重i k|k-1=p s,k-1(x i k-1)f k|k-1( x i k|x i k-1)q k( |x i k-1,Z k)i k-1,i=1, ,L k-11J kk( x i k)p k( |Z k),i=L k-1+1, ,L k-1+J k则预测的PHD表示v k|k-1(x)= L k-1+J k i=1 i k|k-1 x i k|k-1(x)更新:vk(x)= L k-1+J k i=1 i k x i k(x)其中65第 3A 期马 悦:基于拟蒙特卡罗概率假设密度的卷积实现i k=1-p D,k ( x i k |k -1)+z Zkp D,k ( x i k|k -1)g k (z | x i k |k -1)k (z )+C k (z )i k|k -1C k (z )=N k |k -1i=1p D,k ( x i k |k -1)g k (z | x i k |k -1) i k |k -1重采样:对 i k ,x i k L k -1+J ki =1进行重采样得 i k ,x i k Lk i =1.4 C KQMC PHD 滤波4.1 CK 滤波单目标滤波器的密度函数可以表示为p (x k |z 1:k )=p X Z (x k ,z 1:k )p Z (z 1:k )(7)其中p XZ (x k ,z 1:k )和p Z (z 1:k )分别为(x k ,z 1:k )的联合密度和z 1:k 的边缘密度.假设我们知道如何从f k |k -1( |x k -1)和g k ( |x k )抽样,初始密度为p 0( ).则p XZ 和p Z 的核密度估计p nXZ 和p n Z 表示为p n XZ (x k ,z 1:k )=1nni=1K x hnx k -x (i)k K z h n z 1:k -z (i)1:kp n Z (z 1:k )=1nn i=1Kz h nz 1:k -z (i)1:k其中 K z h n z 1:k -z (i)1:k =kj=1K z hnz j -z (i)j,x (i)k ~f k |k -1|x (i)k -1,z (i)k ~g k |x (i )k.从以上可得到p (x k |z 1:k )的核密度估计p n (x k |z 1:k )p n(x k |z 1:k )=ni=1K x h nx k -x (i)k K z h nz 1:k -z (i )1:kni=1Kzh nz 1:k -z (i )1:k.4.2 CKQMC PHD 滤波器卷积核密度估计的方法能运用于QMC P HD 滤波. 预测:假设k -1时刻v k -1(x )表示为v k -1(x )=L k -1i=1i k -1K x h (x -x (i)k -1)利用QMC 方法从q k ( |x i k -1,Z k )和p k ( |Z k )中采取样本点 x i k ,表示如下x i k ~q k ( |x ik -1,Z k ),i =1, ,L k -1p k ( |Z k ),i =L k -1+1, ,L k -1+J k并计算相应的权重i k |k -1=p s,k -1(x i k -1)f k |k -1( x i k |x i k -1)q k ( |x i k -1,Z k )ik -1,i =1, ,L k -11J k k ( xi k )p k ( |Z k ),i =L k -1+1, ,L k -1+J k则预测的P HD 表示为v k |k -1(x )=L k -1+J ki=1 i k |k -1K x n (x - x (i)k |k -1)更新:vk (x )=L k -1+J ki=1i k K x h (x - x(i)k )其中 i k=1-p D,k ( x i k|k -1)+ z Z kp D,k ( x i k |k -1)K z h (z-z (i )k ) k (z )+C k(z ) i k|k -1C k (z )= L k -1+J ki=1p D,k ( xi k |k -1)K z h (z -z (i )k )i k |k -1z (i)k 为利用QMC 方法从g k ( |x (i)k )抽取的随机样本点.重采样:用QMC 方发从v k ( )中抽取样本点x (i)k ,并分配权重 (i )k =N ^k /L k ,i =1, ,L k .其中N ^k=L k -1+J ki=1i k .5 仿真结果5.1 跟踪模型在本文中我们考虑二维区域,每个目标在[-100,100] [-100,100]中移动,并且在任一时间可以出现或消失,目标数目未知并且随时间变化.目标的状态包括位置和速度,目标的状态转移方程可以表示x k =1T 000100001T 01x k -1+v 1,k v 2,k v 3,k v 4,k(8)其中x k =x , x ,y , y T ,x, x T 和y , y T 分布表示k时刻目标的位置和速度,v 1,k ,v 3,k ~N (0,0 32),v 2,k ,v 4,k ~N (0,0 052),采样区间T =1.目标存活概率p S,k =0 95.观测方程为z k =arc tan x k y kx k 2+y k2+1,k 2,k(9)其中 1,k ~N (0, 21,k ), 2,k ~N (0, 22,k ).检测概率p D =1.本文不考虑目标分裂的情况,新目标出现服从泊松模型,其强度函数为 k (x )=0 2N (x ;x 0,Q b ),其中x 0=30-3,Q b =1000001000010001(10)杂波的强度函数为 k (z )= u k (z ),其中u k (z )是[-2,2] [0,300]均匀分布密度函数.5.2 QMC-PHD 滤波的跟踪性能分析在QMC-P HD 滤波算法中,每个可能的目标分配200个粒子,重要性采样函数分别为q k =f k |k -1( |x i k -1)和p k =N ( ,x 0,Q b ).观测噪声为 1,k =0 05, 2,k =1.OSP A 距离[11]能够综合从目标数目误差和状态误差两个方面对算法进行性能评价.在本文中,我们使用OSP A 距离对算法进行评估.图1给出了随着杂波数目变大,SMC-P HD 和QMC-PHD 滤波的OSPA 距离的变化情66 电 子 学 报2011年况.从图中可以看到,QMC P HD 滤波的平均OSPA 距离小于SMC-P HD 滤波的距离.在杂波数目固定时,每个目标分配的粒子数目由50增加到1000,分别进行100次模拟,两种滤波的平均OSPA 距离对比如表1所示.我们可以看出在选取粒子数目比较少的时候,QMC-PHD 滤波要优于SMC-PHD 滤波.5.3 CKQMC PHD 滤波的跟踪性能分析在CKQMC PHD 滤波中,每个可能目标分配200个粒子,核函数为高斯分布.通过不断地降低观测噪声方法,对QMC PHD 滤波和CKQMC PHD 滤波的跟踪性能进行了比较.图2和图3分别给出了两种滤波在观测噪声为表1 不同粒子数目下平均OSPA 距离粒子数501002005001000QMC PHD 4.7717 4.1408 3.4863 2.8320 2.7639SMC PHD5.19364.28153.62422.87632.75271,k =0 05, 2,k =1时的状态估计,从中我们可以发现这两种滤波的性能是差不多的.首先,在减少 1,k =0 05/2, 2,k 不变的情况下使用这两种滤波,其跟踪效果如图4和图5.其次,我们减少 2,k =1/25, 1,k 不变,两种滤波的跟踪效果如图6和图7.对四个图形进行比较和分析,可以发现QMC P HD 的跟踪效果明显不如CKQMC PHD 滤波.最后我们同时减小 1,k , 2,k ,使 1,k =0 05/2, 2,k =1/25,如图8和图9,这个时候我们发现Q MC P HD 滤波在很多时刻点出无法跟踪到目标,其跟踪效果明显不如观测噪声未改变时的效果,而CP QMC P HD 滤波的效果没有明显的改变.表2给出了不同观测噪声下,由两种算法所得到的平均OSP A 距离.从中67第 3A 期马 悦:基于拟蒙特卡罗概率假设密度的卷积实现可以发现,在观测噪声减小时,CKQMC P HD 滤波的效果明显比QMC P HD 滤波好.表2 不同观测噪声下的平均OSPA 距离观测噪声Q MC P HD CKQMC PHD 1,k =0.05, 2,k =13.75863.3829 1,k =0.05, 2,k =1/2510.51082.7868 1,k =0.05/2, 2,k =14.91492.0630 1,k =0.05/2, 2,k =1/2511.73862.08716 结束语本文首先提出了针对P HD 滤波QMC 实现形式,得到了QMC P HD 滤波.在仿真实验中把QMC P HD 滤波和SMC P HD 的跟踪效果进行比较,可以发现QMC PHD 的跟踪效果比SMC PHD 好.然后在Q MC P HD 滤波的基础上引入CK 估计方法,得到QMC PHD 的CK 实现形式.在仿真实验可以看到,观测噪声比较小的时候,CKQ MC PHD 滤波的跟踪效果要明显的比QMC P HD 滤波好.参考文献[1]Mahler R,Zajic T.M ulti object tracking using a generalizedmulti object first order moment filter[A ].Proceeding s of Conference on Computer Vision and Pattern Recognition Workshop(CVPRW)[C].U SA:IEEE Press,2003.184-195.[2]Mahler R.Multitarget bayes filtering via first order multitargetmoments[J].IEEE Trans actions on Aero s pace and Electronic Sy s tems,2003,39(4):1152-1178.[3]侯代文,殷福亮.基于粒子滤波的交互式多模型说话人跟踪方法[J].电子学报,2010,38(4):835-841.Hou Dai wen,Yin Fu liang.An IM M particle filtering method for speaker tracking[J].A cta Electronica Sinica,2010,38(4):835-841.(in 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