多面体与球的内切和外接常见类型归纳
立体几何中球的内切和外接问题(完美版)
2 3 A． 3
B． 3 3
3 3 C． 2
正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ， MN 是它的内切球的一条弦 （我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦） ， P 为正方体表面上 的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM PN 的取值范围是 ．
，∴ ， ，∴
，
， .
∴外接球的半径为
，∴球的表面积等于
解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小 圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利 c 用正弦定理得到小圆半径 sin C 2r ，从而解决问题。
5
A．
正棱锥的外接球的球心是在其高上
,侧棱 PA 与底面 ）
例 5 在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB=PC=
测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心
例 7、.若三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB=2， SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离为（ ）
B.
C.1
D.
S
O
，即 .
C M B
A
7
，
解： 因为 所以 在 且
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
D
1 r S全 3 2 2 3 r 3
E
r
6 2 S球 85 2 6
1 1 V多面体 S 全 r V S全 内切球 多 面 体3
3
r内 切 球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截 面的可能图形是（ ）
考点三 4
组合体的表面积与体积
与球有关的内切、外接问题
(2)三棱锥A－BCD，侧棱长为2 5 ，底面是边长为2 3 的等边三角形， 125
则该三棱锥外接球的体积为___6__π__.
解析 如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面 BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上， O′为外接球球心， 令 O′A＝O′D＝R，OD＝23DE＝23×2 3× 23＝2， AD＝2 5，
(2) 三 棱 锥 A － BCD 的 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ， 且 侧 棱 AB 垂 直 于 底 面
BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝
4 3
，则该三棱锥A－BCD外接
球的体积为__4___3_π__.
解析 因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体， 则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径. 设外接球的半径为R. ∵VA－BCD＝13×12×BC×CD×AB＝16×2×CD×2＝43， ∴CD＝2，∴该长方体为正方体，∴AD＝2 3，∴R＝ 3， 外接球体积为 V＝43πR3＝4 3π.
B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为___3__.
解析 如图，设正四棱锥的底面中心为O1， ∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆， 外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC 中，由 SA＝SC＝ 2，AC＝2，
得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴A2C＝1 是外接圆的半径，也是外接球的半径. 故 V 球＝43π.
∴AO＝ AD2－OD2＝4，∴OO′＝4－R，
又OO′2＋OD2＝O′D2， ∴(4－R)2＋4＝R2，解得 R＝52，∴V 球＝43πR3＝1625π.
反思 感悟
立体几何中球内切和外接问题(完美版)
1
剖析定义
一、由球心的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的 所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简 单多面体的外接球球心。
1 一、定义法 针对讲解
D
AO
C
图4 B
2 求正方体、长方体的外接球的有关问题
2
求正方体、长方体的外接球的有关问题
②出现正四面体外接球时利用构造法(补形法)，联系正方体。
考点一 考点二 考点三
4
举一反三-突破提升
-30-
解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为1 × 3×2 6 = 2,则正棱锥
32
侧面的斜高为 12 + ( 2)2 = 3.
∴S 侧=3×12×2 6 × 3=9 2.
∴S 表=S 侧+S 底=9
2+1×
2
3×(2
2
6)2=9
2+6
3.
考点一 考点二 考点三
球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？
.r
a
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4 R3
3
二、球与多面体的接、切
② S球面 4 R2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 多面体的内切球 。
A. 6 B. 2
C. 3
D．2
一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内．接．于．
半径为 3 的球，则该棱柱体积的最大值为（ ）
数学高考重点内容多面体外接球、内切球常见解题方法总结
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,则这个球的体积为86x=3,f1JQ———解设正六棱柱的底面边长为X,高为则有9后，2'§=6x甘"，]入=右.正六棱柱的底面圆的半径r=~,球心到底面的距离d=—.:.外接球的半径22R=J/+J?=]....v球=—.3小结本题是运用公式R2=r-+d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16^B.20ttC.24>tD.32i解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R,则有4/=16,解得%=2, 2R=a/22+22+42=2^6,:.R=£.这个球的表面积是4*=24^,选C.小结本题是运用''正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为右，则其外接球的表面积是—.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，...把这个三棱锥可以补成一个棱长为73的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有（27?）2=（、厅『+（、行『+（^3）2=9./.R2=|,故其外接球的表面积S=4*=9兀.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为0、/?、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为A,则有2R=7a2+b2+c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S-ABC。
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB 解：由已知建立空间直角坐标系3，，设球心坐BO 知222222)2(z y x z y x ++-=++CD A B S O 1图3A O D B 图4C y解得 1331===z y x 所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。
立体几何中球的内切和外接问题
且
，
，
所以知
，
,P
所以
所以可得图形为：
在
中斜边为 ,在
中斜边为 .
取斜边的中点 ， 在
中
.
在
中
.
所以在几何体中
，
A
即 为该四面体的外接球的球心.
.
所以该外接球的体积为
.
且
B O
，
C
正三角形ABC的边长为 2 3 ，将它沿高AD翻折，使点B 与点C间的 距离为 3 ，此时四面体ABCD的外接球的体积为 。
A．8 6π B．4 6π C．2 6π D． 6π
【解答】如图， 由 PA＝PB＝PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，可知三棱锥 P﹣ABC 为正三棱锥，则顶点 P 在底面的射影 O 为底面三角形的中心，连接 BO 并延长，交 AC 于 G，则 AC⊥BG，又 PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得 AC⊥平面 PBG，则 PB⊥AC， ∵E，F 分别是 PA，AB 的中点，∴EF∥PB， 又∠CEF＝90°，即 EF⊥CE，∴PB⊥CE，得 PB⊥平面 PAC， ∴正三棱锥 P﹣ABC 的三条侧棱两两互相垂直， 把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径为 2R= PA2+PB2+PC2= 6．
半径为 26，则球 O 的体积为43π×( 26)3= 6π． 故选：D．
求棱长为1的正四面体外接球的体积．
解：设SO1是正四面体S ABCD的高， 外接球的球心O在SO1上， 设外接球半径为R, AO1 r,
则在ABC中，用解直角三角形知识得，r 3 , 3
O
A B
O
D
C
求正多面体外接球的半径
球的内切和外接问题
目录
• 球的内切问题 • 球的外接问题 • 球的切接问题在几何图形中的应用 • 球的切接问题的求解方法
01
球的内切问题
球与多面体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个多面体时，多面体的每个面都会与球面相切，形成一系列的圆。
详细描述
球与多面体的内切是指球心位于多面体的内部，并且球面与多面体的每个面都相切。这种情况下，多面体的每个 面都会与球面形成相切的圆。这种内切关系在几何学中具有重要意义，是研究球与多面体关系的基础。
详细描述
在几何作图题中，经常需要利用球的切接性质来进行几何作图，例如作一个圆或一个圆 锥的内切于另一个圆或圆锥。通过球的切接性质，可以确定相关的点和线的位置，进而
完成几何作图。
04
球的切接问题的求解方 法
利用球心距和半径关系求解
1 2
球心距
球心到球面任一点的距离等于球的半径。
求解方法
利用球心距和半径的关系，通过代数运算求出相 关量。
斜放的圆锥体的外接球
对于斜放的圆锥体，其外接球的球心位于通过顶点和底面圆 心的直线上，但不一定在轴线上。
03
球的切接问题在几何图 形中的应用
在几何证明题中的应用
总结词
利用球的切接性质，经常需要利用球的切接性 质来证明一些几何图形的性质和关系，例如 证明两个圆或两个圆锥相切于同一个点，或 者证明一个圆或一个圆锥内切于另一个圆或 圆锥等。通过球的切接性质，可以推导出相 关的角度、距离等关系，进而证明题目的结 论。
在几何计算题中的应用
总结词
利用球的切接性质，计算几何图形的相关量 。
详细描述
在几何计算题中，经常需要利用球的切接性 质来计算一些几何图形的相关量，例如计算 两个圆或两个圆锥相切时的半径、高、角度 等。通过球的切接性质，可以建立相关的数
专题12 多面体的外接球和内切球
专题12 多面体的外接球和内切球一、结论1．球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥P ABCD −中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：P ABCD O ABCD O PBC O PCD O PAD O PAB V V V V V V −−−−−−=++++即：1111133333P ABCD ABCD PBC PCD PAD PAB V S r S r S r S r S r −=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，可求出r .类型二 球的外接问题 1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 2、补形法（补长方体或正方体） ①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =） 3、单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P ABC −中，选中底面ABC ∆，确定其外接圆圆心1O （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2sin ar A=）； 图2图3②过外心1O 做（找）底面ABC ∆的垂线，如图中1PO ⊥面ABC ,则球心一定在直线（注意不一定在线段1PO 上）1PO 上；③计算求半径R :在直线1PO 上任取一点O 如图：则OP OA R ==，利用公式22211OA O A OO =+可计算出球半径R .4、双面定球心法（两次单面定球心） 如图：在三棱锥P ABC −中：①选定底面ABC ∆，定ABC ∆外接圆圆心1O ②选定面PAB ∆，定PAB ∆外接圆圆心2O③分别过1O 做面ABC 的垂线，和2O 做面PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球心O .二、典型例题1．（2022·山西吕梁·一模（文））在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，1AB BC CD ===，BC CD ⊥，则鳖臑ABCD 内切球的表面积为（ ） A ．3π B．(3π− C ．12π D．(3π+【答案】B 【解析】解：因为四面体ABCD 四个面都为直角三角形，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，所以AB BD ⊥，AB BC ⊥，BC CD ⊥，AC CD ⊥，设四面体ABCD 内切球的球心为O ，则()13ABCD O ABC O ABD O ACD O BCD ABC ABD ACD BCD V V V V V r S S S S −−−−=+++=+++△△△△内，所以3ABCDVr S =内， 因为四面体ABCD的表面积为1ABCD ABC ABD ACD BCD S S S S S =+++=△△△△又因为四面体ABCD 的体积16ABCD V =，所以312V r S ==内，所以24(3S r ππ==−球， 故选：B【反思】本例中涉及到求内切球问题，典型的等体积法.2．（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．494π B ．56πC D ．14π【答案】D【解析】将三棱锥P －ABC 补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R ，则()222224214R R PA PB PC ==++=，所以球的表面积为2414S R ππ==．故选：D ．【反思】由题意PA ，PB ，PC 两两垂直，可直接用补形法，补成长方体，利用长方体求外接球.3．（2021·全国·高一课时练习）已知三棱锥P ABC −，在底面ABC 中，30A =，1BC =，PA ⊥面ABC ，PA = ）A ．163πB ．C ．323πD ．16π【答案】D 【解析】设ABC 的外接圆半径为R ，因为30A =，1BC =，由正弦定理得：122sin sin 30BC R A ===︒，所以ABC 的外接圆半径为1，设ABC 的外接圆圆心为D ，过点D 做PA 的平行线，则球心一定在该直线上，设为O ，因为PA ⊥面ABC ，PA =由于OP OA R ==，故12OD PA =2OA =，即此三棱锥的外接球的半径为2，故外接球表面积为24π216π⨯=.故选：D【反思】此题典型的单面定球心求外接球的问题，先确定ABC 的外接圆圆心D ，再过D 做PA 的平行线，则可确定球心O 在该直线上，进而通过计算求出外接球半径R . 4.三棱锥ABC P −中，平面PAB ⊥平面ABC ，PAB ∆和ABC ∆均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P −外接球的半径为 .【解析】:由于ABC ∆是正三角形，并且边长为2，所以ABC ∆的外接圆圆心为1O ,则1HO =,1O C =同理可得PAB ∆的外接圆圆心为2O，可得到23HO =，23O P =,分别过1O 做面ABC 的垂线，过2O 做面PAB 的垂线交于O ，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以四边形12HO OO 为正方形，且OC R =,利用勾股定理：2222221153OC OO OC R =+⇒=+=，所以R =【反思】此题典型的双面定球心，由于选定的面ABC ∆，PAB ∆都是正三角形，故其外心都是中心，如果是普通三角形，可以采用正弦定理定外心.三、针对训练 举一反三一、单选题1．（2021·湖北黄冈·高一期末）若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（ ） A ．2 B ．4CD．2．（2021·青海·海南藏族自治州高级中学高三开学考试（理））如图正四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面面积为36，11A BC V 的面积为111B A B C −的外接球的表面积为（ ）A ．68πB ．C ．172πD ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，BC 3tan 2ABC ∠=，则四面体P ABC −的外接球的表面积为（ ） A ．15πB ．17πC ．18πD ．20π4．（2021·江苏·金陵中学高一期末）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为23π，面积为3π，则球O 的表面积等于（ ） A ．818πB ．812πC ．1218πD ．1212π5．（2021·云南·弥勒市一中高二阶段练习）设直三棱柱111ABC A B C −的所有顶点都在一1AB AC AA ==，120BAC ∠=︒，则此直三棱柱的高是（ ）A ．1B ．2C ．D ．46．（2021·重庆·西南大学附中高一期末）已知正方形ABCD 中，2AB =，E 是CD 边的中点，现以AE 为折痕将ADE 折起，当三棱锥D ABE −的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．525π48B ．5π4C ．25π4D ．25π7．（2021·广西·柳铁一中高三阶段练习（理））在三棱锥A BCD −中，3AB AD BC ===，5CD =，4BD =，AC =（ ） A ．63π10B ．64π5C ．128π5D ．126π58．（2021·江西省南丰县第二中学高一学业考试）已知四棱锥S ABCD −，SA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，BCD DAB π∠+∠=，2SA =，BC =S BC A −−的大小为3π.若四面体S ACD −的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）A B ．C ．10πD ．323π 二、填空题9．（2022·河南焦作·一模（理））已知三棱锥P ABC −的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且ABC 是底边长为积为___________.10．（2022·河南驻马店·高三期末（文））在三棱锥P ABC −中，底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，4AB =，PA PB PC ==P ABC −外接球的表面积为______．11．（2022·全国·模拟预测（理））已知A 、B 、C 、D 为空间不共面的四个点，且2BC BD AB ===A BCD −体积最大时，其外接球的表面积为______．12．（2022·安徽马鞍山·一模（理））三棱锥-P ABC 中，PAC △是边长为角形，2AB BC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的体积为______13．（2021·湖北荆州·高一期中）如图，在一个底面边长为2锥P ABCD −中，大球1O 内切于该四棱锥，小球2O 与大球1O 及四棱锥的四个侧面相切，则小球2O 的表面积为______．。
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习
高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习高考数学：内切球和外接球问题多面体的顶点都在同一球面上时，称该多面体为球的内接多面体，该球为多面体的外接球。
多面体外接球问题是立体几何的重点，也是高考的热点，考查学生的空间想象能力和化归能力。
解决该问题需要运用多面体和球的知识，并特别注意多面体的几何元素与球的半径之间的关系。
多面体外接球半径的求法在解题中往往起到至关重要的作用。
一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1：若正方体的棱长为3且顶点都在同一球面上，求该球的表面积。
解析：要求球的表面积，只需知道球的半径。
由于正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径。
故表面积为27π。
例2：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为多少？解析：要求球的体积，还需先求出球的半径。
由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线长为3√3.因此，该球的半径为3，故该球的体积为36π。
2、求长方体的外接球的有关问题例1：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1、2、3，则该球的表面积为多少？解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为√14，故球的表面积为14π。
例2：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则该球的表面积为多少？解析：正四棱柱也是长方体。
由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2、2、4.故该球的表面积为24π。
3、求多面体的外接球的有关问题例：一个底面为正六边形的六棱柱，侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为3，则该球的体积为多少？解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h。
由底面周长可得x=3/6=1/2，由体积可得h=4/3.因此，正六棱柱的底面圆的半径为√3/2，外接球的半径为√13/2.故该球的体积为(52/3)π。
外接球内切球公式总结
外接球内切球公式总结外接球和内切球分别是三维空间中一个多面体的外、内接球。
外接球和内切球在计算几何中有着广泛的应用，例如判断多面体的大小、相似性等。
下面对外接球和内切球的公式做出详细总结。
一、外接球外接球是以多面体的所有顶点为球面上的点，且球面必须与多面体紧密相切。
下面给出外接球的计算方法与公式。
1. 普通多面体以正四面体为例，设四面体ABC为正四面体，O为外接球圆心，r为外接球半径，则有以下公式：（1） OA²=3r²;（2） AB²=4r²。
证明：OA²= (0.5AB)²+(AO-BO)²=(0.5AB)²+(3r-0.5AB)²=3r²AB²= (2/3)AH²+(2/3)HB²=(2/3)(AO²-0.25AB²)+(2/3)(BO²-0.25AB²)=4r²2. 不规则多面体以一个三角形棱锥为例，设棱锥ABCDEF的外接球圆心为O，外接球半径为r，则有以下公式：（1）OA²= R² + H²R为三角形ABC的外接圆半径H为三角形ABC到O的距离（2）其他面的公式均可类比。
证明：OA² = OB² + AB²/4= R² + [H + (R²-H²)^(1/2)]²= R² + H² + R² - 2H(R²-H²)^(1/2)= R² + H²二、内切球内切球是以多面体某一面上的所有点为球面上的点，且球面与多面体的这个面及其相邻面紧密相切。
下面给出内切球的计算方法与公式。
1. 普通多面体以立方体为例，设立方体的内切球半径为r，则有以下公式：r = V/4S其中V为立方体的体积，S为立方体的表面积。
球的内切和外接问题
正方体外接球的直径2R 3 2 a, R 6 a
2
4
S表
3 2
a 2
A B
O D
C
求正多面体外接球旳半径
求正方体外接球旳半径
球旳内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面旳距离均相等， 外接球球心到多面体各顶点旳距离均相等。 2、正多面体旳内切球和外接球旳球心重叠。 3、正棱锥旳内切球和外接球球心都在高线上，但不 重叠。
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A )
A. 1:2:3
B. 1: 2: 3 C. 1:3 4:3 9 D. 1: 8: 27
图3
图4
图5
甲球为内切球直径=正方体棱长
设为1
S甲 4 R12 =
D
C
A
B
中截面
O
.
D1
C1
A1
B1
球内切于正方体旳棱
正方形旳对角线等于球旳直径= 2a
S乙 4 R22 =2
连 AO 延长交 PD 于 G
6a 3
P
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
3
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
A
a 2
•O G
O1 D
R
6 a R 3
3a
3a
2
6
R 6 a 4
E 3a
6
S表
3 2
a2
求棱长为a的正四面体P ABC的外接球的表面积
解法2：
正方体的棱长为 2 a, 2
球与多面体旳内切、外接
球旳半径r和正方体 旳棱长a有什么关系？
.r
a
一、 球体旳体积与表面积
①
V球
十种题型搞定多面体的外接球,内切球问题
十种题型搞定多面体的外接球，内切球问题题型一 直角四面体的外接球 补成长方体，长方体对角线长为球的直径1．三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．48πB ．12πC ．D ．2.在正三棱锥A BCD -中，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，若BC =A BCD -外接球的表面积为A πB 2πC 3πD 4π3.在正三棱锥S ABC -中，,M N 分别是,SC BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为A 12πB 32πC 36πD 48π 4.（2019全国1理12）．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ． D5.设A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1＋S 2＋S 3的最大值是________．题型二 等腰四面体的外接球 补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．2πB ．4πC ．6πD ．8πA B C D ，，，四点在半径为225的球面上，且5AC BD ==， AD BC ==，AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是____________．3.在三棱锥S ﹣ABC 中，底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，△ABC 的三条边长分别为AB=3，AC=5，BC=6， 则三棱锥ABC S -的体积（ ）A ．22B ． 10C ．232D ．234 题型三 有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处1.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A. π12125B.π9125C.π6125D.π31252.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，且SA AC SB BC ====4SC =，则该球的体积为A2563π B 323π C 16π D 64π3．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-）A. B ．6π C ．24π D4.在平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD -顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A 32πB 3πC 23π D 2π 5．平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD －C ，且4222=+BD AB ，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．π4 D ．2π6已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ．题型四 侧棱垂直于地面或侧面垂直于地面 过底面外心做垂线，球心有垂线上 1.已知四面体P ABC -,其中ABC ∆是边长为6的等边三角形,PA ⊥平面ABC ,4PA =,则四面体P ABC -外接球的表面积为________．2. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）外接球的半径为33B ．表面积为137++C ．体积为3D ．外接球的表面积为π4． 题型五 其中一条侧棱满足某个特殊的条件1.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 B π32 C π324 D π328 答案。
球与多面体的内接与外切类型总结(上课课件)
．
14π 解析：由题意可知长方体的体对角线长为
12＋22＋32＝ 14，∴长方体外接球的半径为 214，
∴球的表面积 S＝4π·
2142＝14π.
【例 2】用与球心的距离为 1 的平面去截球，所得的截面积为 π， 求这个球的体积与表面积．
解：由题意得球心到截面圆的距离为 1， 又 S 截＝πr2＝π，得 r＝1.即截面圆的半径 r＝1. ∴球的半径 R＝ 2， ∴S 球＝4πR2＝8π，V 球＝43πR3＝8 3 2π.
A．1030π cm3
B．2038π cm3
C．5030π cm3
D．416313π cm3
C 解析：根据球的截面性质，有 R＝ r2＋d2＝ 32＋42＝5，所
以 V 球＝34πR3＝5300π(cm3)．
4．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的
三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为
A. 1:2:3
B. 1: 2: 3 C. 1:3 4:3 9 D. 1: 8: 27
类型二：长方体
探究新知
一、长方体的内切球
思考：一般的长方体有内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多可以 和该长方体的5个面相切。
例如，装乒乓球的盒子
如果一个长方体有内切球，那么它一定是 正方体
探究新知
二、 长方体的外接球
A.
B. C.
D.
类型三：圆柱、直棱柱
反馈练习
例1 设三棱柱的侧棱垂直于底面，顶点都在 同一个球面上，且CA CB CC1 a, ACB 60，求该球的表面积。
O1
O O2
小结：直棱柱外接球半径求法
o1 r
R
o●
多面体与球的内切和外接常见类型归纳
多里体与球的内切战中接罕睹典型归纳之阳早格格创做正在寻常教教中，坐体几许的多里体与球的位子闭系，是培植教死的坐体感，空间设念本领的佳课本.但是教死正在二个几许体的拉拢后，往往感触无从下脚.针对于那种情况，笔者把凡是教教中有闭那圆里的习题加以归纳战归类如下：一．正四周体与球如图所示，设正四周体的棱少为a，r为内切球的半径，R为中接球的半径.则下斜下，OE=r=SE-SO，又SD=BD,BD=SE-OE,则正在特性分解：1．由于正四周体是一个核心对于成图形，所以它的内切球与中接球的球心为共一个.2．此论断不妨影象.例题一.1一球里上，则此球的表面积为（）分解：借帮论断，所以2、球的内接正四周体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（ ）分解：借帮R=3r ，问案为9：1.二、特殊三棱锥与球 四个里皆是曲角三角形的三棱锥.果为，，球心降正在SC 的中面处.所以三．正圆体与球. 1．正圆体的中接球即正圆体的8个定面皆正在球里上.闭键找出截里图:ABCD 为正圆体的体对于角里.设正圆体的边少为a ，则，BD=2R ，AD=a ， C2．正圆体的内切球.（1）与正圆体的各里相 切.如图：ABCD 为正圆CD BACC D体的仄止正里的正圆形.（2）与正圆体的各棱相切.如图：大圆是正圆形ABCD的中接圆.AB=CD=a，3．正在正圆体以一个顶面为接面的三条棱组成的三棱锥，特性是：三棱锥的三条侧棱互相笔曲且相等，它的中接球可把三棱锥补产死正圆体的中接球，再供解.例题：1.正圆体的周到积是24，它的顶面皆正在共一球里上，那个球的表面积是剖析：隐然，球是正圆体的中接球，a=2，则2．一个球与棱少为1 的正圆体的12条棱皆相切，则球的体积剖析：如果精确了上头的论断，问题很简单办理3．将棱少为1 的正圆体削成体积最大的球，则球的体积为剖析：削成体积最大，即央供球是正圆体的内切球，与正圆体的俄各里皆相切4．P 、A 、B 、C 、是球O 里上的四个面，PA 、PB 、PC 二二笔曲，且PA=PB=PC=1，则球的体积是剖析：共过条件分解，可采与把三棱锥补产死正圆体，则球是正圆体的中接球，所以四、正棱柱与球 1．正三棱柱中接球.如图所示：过A 面做AD 笔曲BC,D 为三角形ABC 的核心，D 1共样得到.则球心O 必降正在DD 1的中面上.利用三角形OAD 为曲角三角形，OA=R,可供出R. 2.正四棱柱中接球.讲理与上头相似.主假如找截里，构制曲角三角形，利用勾股定理供得.例题：1.的内接正三棱柱，则那一正三棱柱的体积是 剖析：如上图，OA=,OD=，a ＝6，2. 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶面皆正在半径为R的球里上，则正四棱柱B的正里积有最值，为剖析：截里如图：ABCD 为正四棱柱的体对于角里OD=R ，设AD=a ，底里正圆形的边少为b ，则有，则R 2=（a/2）2+）2，五、少圆体与球 1．少圆体的中接球.截里图如左图：真量构制曲角三角形，通联半径与少圆体的少宽下.半径为体对于角线的一半.2．正在少圆体以一个顶面为接面的三条棱组成的三棱锥，特性是：三棱锥的三条侧棱互相笔曲没有相等，它的中接球可把三棱锥补产死少圆体的中接球，再供解.例题：一个三棱锥三条棱二二笔曲，其少分别是3，4，5，则它的中接球的表面积是剖析：共过条件分解，可采与把三棱锥补产死少圆体，则球是少圆体的中接球，所以。
多面体的外接球及内切球
多面体的外接球及内切球一、长方体、正方体（1）球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2a R =； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
（4）长方体的外接球：R =12√a 2+b 2+c 2例1、在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.练习1、已知三棱锥D －ABC 中，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝2，BC ⊥AD ，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A ．6πB ．6πC ．5πD ．8π答案 B解析 ∵由勾股定理易知AB ⊥BC ，DA ⊥BC ，∴BC ⊥平面DAB ．∴CD ＝BD 2＋BC 2＝6．∴AC 2＋AD 2＝CD 2．∴DA ⊥AC ．取CD 的中点O ，由直角三角形的性质知O 到点A ，B ，C ，D 的距离均为62，其即为三棱锥的外接球球心．故三棱锥的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫622＝6π． 练习2、如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，将△AED ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使A ，B ，C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )A. 2 B ．62 C.112D ．52【解析】易知四面体A ′EFD 的三条侧棱A ′E ，A ′F ，A ′D 两两垂直，且A ′E ＝1，A ′F ＝1，A ′D ＝2，把四面体A ′EFD 补成从顶点A ′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A ′EFD 的外接球，球的半径为r ＝1212＋12＋22＝62.故选B. 【答案】 B二、根据性质确定球心1、正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)． 外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝64a (a 为正四面体的棱长)． 内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝612a (a 为正四面体的棱长)． 例2、正四面体的外接球和内切球的半径是多少？2、其它多面体例3、正三棱锥A BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________． 【解析】如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π. 【答案】163π 练习3、已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【解析】设球O 的半径为R ，因为SC 为球O 的直径，所以点O 为SC 的中点，连接AO ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，因为平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，所以AO ⊥平面SCB ，所以V S ABC ＝V A SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×(12×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(12×2R ×R )×R ，解得R ＝3，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.练习4、如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，表面积为S 1，球O 的体积为V 2，表面积为S 2，则V 1V 2的值是__________，S 1S 2＝________.【解析】 (1)设圆柱内切球的半径为R ，则由题设可得圆柱O 1O 2的底面圆的半径为R ，高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.S 1S 2＝2πR ·2R ＋2πR 24πR 2＝32. 【答案】 (1)32 32例4、在边长为32的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为120︒的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为．【解析】取BD 的中点M ，ABD △和CBD △的外接圆半径为221==r r ，ABD △和CBD △的外心21,O O 到弦BD 的距离（弦心距）为121==d d ，四边形21MO OO 的外接圆直径2=OM ，7=R ，28πS =．三、空间向量法在外接球中的应用例5、在四面体ABCD 中BC =CD =BD =AB ，90ABC ∠=，二面角A BC D 的平面角为150，则求四面体ABCD 外接球的表面积。
多面体的外接球内切球解析版
多面体的外接球内切球1.直棱柱：直棱柱的外接球球心为直棱柱的中位面与过底面外接圆圆心与底面垂直的直线的交点处①如题1：设长方体的相邻三边的边长分别为c b a ,,，则其外接球半径2222c b a R ++=②如图2：设直棱柱的底面外接圆半径为r ，高为h ，则其外接球半径22)2(r hR +=注：常见的外接圆半径①等腰三角形外接圆半径R 满足222)(BD R AD R +-=②直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半，即半径2AC R =③设等边三角形边长为a ，则其外接圆半径a R 33=，内切圆半径a r 63=满足222)2(ar R +=，ah r R 23==+2.对棱相等的三棱锥：我们可以将其放入某个长方体中去，其外接球即该长方体的外接球设四面体ABCD 满足a CD AB ==，b BD AC ==，c BC AD ==，则其外接球的半径8222c b a R ++=证明：如图，四面体ABCD 的外接球即长方体的外接球，设长方体相邻的三边长分别为z y x ,,，则2222222222222222c b a z y x cx z b z y a y x ++=++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+外接球的半径82222222c b a z y x R ++=++=3.正棱锥：设正棱锥的底面的外接圆半径为r ，高为h ，侧棱长为a ，则其外接球半径ha h h r R 22222=+=证明：在OBD Rt ∆中，R h OD -=，由勾股定理得ha h h r R R h r R 22)(222222=+=⇒-+=4.非正棱锥：设非正棱锥外接球半径为R ，底面外接圆半径为r ，高为h ，顶点在底面的射影到底面外心的距离为d ，则有h d R r R =-+-2222证明：在AOH Rt ∆中，22r R OH -=在H PO Rt 1∆中，22d R OH -=又H O OH h 1+=，所以hd R r R =-+-22225.有两个面垂直的多面体：如图设四棱锥ABCD P -中，面⊥P AB 面ABCD ABCD ，面P AB 和面ABCD 的外接圆半径分别为21,r r ，则四棱锥的外接球半径为R 满足4222212AB r r R -+=证明：取AB 的中点E ，因为B O A O 11=，所以AB E O ⊥1同理AB E O ⊥2，所以⊥AB 面21EO OO ，所以OE AB ⊥在矩形21EO OO 中，22122121)2(AB r AE A O E O -=-=22222222)2(AB r AE A O E O -=-=所以22222122212AB r r E O E O OE -+=+=在AEO Rt ∆中，由勾股定理有4)2(2222212222212222AB r r AB AB r r AE OE OA R -+=+-+=+==注：该公式叫双半径单交线公式6.两个面不垂直：设二面角B CD A --的平面角为θ，面ACD 的外心到边CD 的距离为1d ，面BCD 的外心到边CD 的距离为2d ，则四面体ABCD 的外接球半径R 满足222122212)2(sin cos 2CD d d d d R +-+=θθ证明：设CD E O ⊥1于点E ，连E O 2，则θ=∠21EO O ，2211,d E O d E O ==，E 为CD 的中点，⊥CD 面21EO OO ，所以OECD ⊥在21O EO ∆中由余弦定理得θcos 2212221221d d d d O O -+=在四边形21EO OO 中，02190=∠=∠E OO E OO ，所以OE 为四边形21EO OO 外接圆的直径，所以由正弦定理得θθθ22122212212sin cos 2)sin (d d d d O O OE -+==所以在OEC Rt ∆中由勾股定理得22212221222)2(sin cos 2CD d d d d EC OE R +-+=+=θθ注：该公式叫双距离单交线公式典型例题例1.（2020湛江月考）如图，三棱锥ABC P -的四个顶点恰是长、宽、高分别为n m ,2,的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥的外接球体积的最小值为（）A.3256π B.328π C.332πD.π36解析：6222131=⇒=⨯⨯⨯⨯=-mn n m V ABCP 22422422=+≥++=mn n m R ，当且仅当6==n m 时等号成立所以该三棱锥的外接球体积的最小值为3322343ππ=⨯，故选C 例2.（2020咸阳二模）正四棱锥ABCD P -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，高为3，则它的外接球的表面积为（）A.π4 B.π8 C.π16 D.π20解析：如图，设外接球半径为R ，则在OMC Rt ∆中由勾股定理得2)3()3()3()(222222=⇒=+-⇒=+-R R R R R h 所以外接球的表面积为ππ16242=⨯，故选C例3.（2020长治一模）已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若3=AB ，3=AC ，0120=∠BAC ，81=AA ，则球O 的表面积为（）A.π25 B.3625πC.π100 D.32500π解析：ABC ∆中，3=AB ，3=AC ，0120=∠BAC ，所以ABC ∆外接圆半径为3=r 球O 的半径543)2(2222=+=+=hr R 所以球O 的表面积为πππ10054422=⨯==R S ，故选C 注：顶角为0120的等腰三角形的外接圆半径等于腰长例4.(2019全国卷1)已知三棱锥ABC P -的四个顶点在球O 的球面上，其中PC PB P A ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，F E ,分别是AB P A ,的中点，090=∠CEF ，则球O 的体积为（）A.π68 B.π64 C.π62 D.π6解析：由题意知三棱维ABC P -为正三棱锥，所以AC PB ⊥F E ,分别是AB P A ,的中点EF ⇒∥PB 又090=∠CEF EC EF ⊥⇒所以CE PB ⊥，所以⊥PB 面P AC 所以PC PB P A ,,两两互相垂直所以2===PC PB P A 262222=++=R ，所以πππ6)26(343433=⨯==R V例5.(2020山东模拟)已知三棱维BCD A -中，底面BCD 是边长为32的正三角形，侧面ABD ⊥底面BCD ，且2==AD AB ，则该几何体的外接球的表面积为（）A.π12B.π16C.π20D.π24解析：ABD ∆中，2==AD AB ，32=BD ，所以ABD ∆的外接圆半径21=r BCD ∆是边长为32的正三角形，所以BCD ∆的外接圆半径232332=⨯=r 由双半径单交线公式可得5344)2(222212=-+=-+=BD r r R 所以该几何体的外接球的表面积为πππ205442=⨯==R S ，故选C注：（1）设正ABC ∆的边长为a ，则其外接圆半径a a r 333223=⨯=（2）有两个面垂直的多面体：如图设四棱锥ABCD P -中，面⊥P AB 面ABCD ABCD ，面P AB 和面ABCD 的外接圆半径分别为21,r r ，则四棱锥的外接球半径为R 满足4222212AB r r R -+=例6.(2012安徽卷)若四面体ABCD 三组对棱分别相等，即CD AB =，BD AC =，BC AD =，则(写出所有正确结论编号)①四面体ABCD 每组对棱互相垂直②四面体ABCD 每个面的面积相等③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于090而小于0180④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互相垂直平分⑤从四而体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的边长解析：由四面体ABCD 三组对棱分别相等知四面体ABCD 可放入一个长方体中，如图①当且仅当该长方体为正方体时四面体ABCD 每组对棱互相垂直，而该长方体不一定是正方体，故①错②四面体ABCD 四个面都全等，所以面积相等，故②正确③由②知四面体ABCD 四个面都全等，从每个顶点出发的三条棱两两夹角可以转化为其中一个面的三个内角，所以它们的和为0180，故③错④连接四面体ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互相垂直平分，故④正确⑤设所在长方体的长宽高分别为c b a ,,，则每个顶点出发的三条棱的长分别为22b a +，22c b +，22a c +，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，故⑤正确故答案为②④⑤例7.在三棱锥BCD A -中，6==CD AB ，5====BC AD BD AC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.244343π B.64343π C.24343πD.π43解析：由题知三棱锥BCD A -的对棱相等，所以三棱锥BCD A -为长方体的一部分，则4342556)2(22222=⇒++=R R ，所以该三棱锥的外接球的表面积为ππ4342=R ，故选D注：若三棱锥BCD A -的对棱a CD AB ==，b BD AC ==，c BC AD ==，则三棱锥BCD A -的外接球半径R 满足2)2(2222c b a R ++=例8.(2020许昌一模)在内接于球O 的四面体ABCD 中，有t CD AB ==，6==BC AD ，7==BD AC ，若球O 的最大截面的面积是455π，则t 的值为（）A.5 B.6 C.7 D.8解析：球O 的最大截面是过球心的截面，其面积为2554552=⇒=R R ππ所以527655276)2(2222222=⇒++=⇒++=t t t R ，故选A例9.（2020天河区一模）在三棱锥ABC S -中，2=====AC BC AB SC SB ，侧面SBC 与底面ABC 垂直，则三棱锥ABC S -外接球的面积为解析：SBC ∆和ABC ∆的外接圆半径33221==r r 由双半径单交线公式得222212)2(BC r r R -+=3513434=-+=所以三棱锥ABC S -外接球的面积为32035442πππ=⨯=R 注：有两个面垂直的多面体：如图设四棱锥ABCD P -中，面⊥P AB 面ABCD ABCD ，面P AB 和面ABCD 的外接圆半径分别为21,r r ，则四棱锥的外接球半径为R 满足4222212AB r r R -+=例10.（2020年3月全国模拟）在三棱锥ABC P -中，平面⊥PBC 平面ABC ，090=∠ABC ，2=AB ，1=BC ，22=PB ，045=∠PBC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为（）A.π16 B.π14 C.π20 D.π22解析：PBC∆中，由余弦定理得545cos 2212810=⨯⨯-+=PC ，由正弦定理得PBC ∆的外接圆半径21045sin 2501==rABC Rt ∆中，由勾股定理得52122=+=AC ，所以ABC ∆的外接圆半径为2522==AC r 由双半径单交线公式得2721(45252(2222212=-+=-+=BC r r R 所以三棱锥ABC P -的外接球的表面积为πππ1427442=⨯=R ，故选B例11.（2020西安一模）已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，P 为平面ABC 外一点，且平面⊥PBC 平面ABC ，3=BC ，22=PB ，5=PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为解析：PBC ∆中，由余弦定理得101052229582cos 222=⨯⨯-+=⋅-+=∠PC PB BC PC PB BPC 所以10103sin =∠BPC ，设PBC ∆外接圆半径为1r ，则由正弦定理得21010103232sin 11=⨯=⇒=∠r r BPCBCABC Rt ∆的外接圆半径2322==BC r 由双半径单交线公式有25)23(464102(2222212=-+=-+=BC r r R 所以三棱锥ABC P -的外接球的表面积为πππ1025442=⨯==R S 例12.（2018沙坪坝期末）已知球O 为三棱锥ABC S -的外接球，2====AC AB SC SA ，2==BC BS ，则球O 的表面积为（）A.314π B.316π C.π7 D.π8解析：易知AB SA ⊥，AB AC ⊥，所以SAC ∠为二面角C AB S --的平面角，且060=∠SAC SAB ∆的外心为SB 的中点，其到棱AB 的距离22=m ABC ∆的外心为BC 的中点，其到棱AB 的距离22=n 由双距离单交线公式得67)22(43212222221212(60sin 60cos 222020222=+⨯⨯⨯-+=+-+=AB mn n m R 所以球O 的表面积为πππ31467442=⨯=R ，故选A例13.（2020雅礼月考12题）在三棱锥ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，22==SC SA ，二面角B AC S --的余弦值为33-，若C B AS,,,都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.π6B.π8 C.π12 D.π18解析：由题知SAC ∆为正三角形，其外心1O 到棱AC 的距离366322=⨯=m ABC Rt ∆的外心为AC 的中点2O ，其到棱AC 的距离0=n 由双距离单交线公式得3)222(960096)2(60sin 60cos 222020222=+-+=+-+=AC mn n m R 所以该球的表面积为πππ123442=⨯=R ，故选C例14.（2020武汉3月调考16题）在三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，3=SA ，32=SB ，若此三棱锥外接球的表面积为π21，则二面角C AB S --的余弦值为解析：易知090=∠SAB ，所以SAB ∆的外心为SB 的中点1O ，其到棱AB 的距离为23=m 等边ABC ∆的外心2O 到棱AB 的距离2331233=⨯⨯=n 三棱锥外接球的表面积为2212142=⇒=R R ππ由双距离单交线公式得21cos )23(sin cos 232324343421)2(sin cos 22222222-=⇒+⨯⨯-+=⇒+-+=θθθθθAB mn n m R 所以二面角C AB S --的余弦值为21-15.（2019武昌区调研）已知正四棱锥ABCD P -的所有顶点都在球O 的球面上，2==AB P A ，则球O 的表面积为（）A.π2 B.π4 C.π8 D.π16解析：2222222=⨯==PO PC R 所以球O 的表面积为ππ824=⨯，故选C16.（2020网络模考）将一个实心球削成一个正三棱锥，若该三棱锥的底面边长为6，侧棱长为21，则此球表面积的最小值为（）A.π47B.π48 C.π49 D.π50解析：（1）若削成的正三棱锥四个顶点都在球面上，如图2，则底面ABC 的外接圆半径32336=⨯=r ，由勾股定理知高3122122=-=-=r PC h ，所以27322122=⨯==h PC R 此时，球表面积为πππ49449442=⨯=R （2）若削成的正三棱锥有三个顶点在球面上，则当底面ABC 为球的大圆面时球最小，此时球的半径为32=R ，此时球表面积为πππ4812442=⨯=R （3）如果削成的正三棱锥只有2个或1个或0个顶点在球面上时，这些球都比（1）（2）中的球大故此球表面积的最小值为π48，故选B。
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多面体与球的内切和外接常见类型归纳
在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体
感，空间想象能力的好教材。
可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。
针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下：
一．正四面体与球
如图所示，设正四面体的棱长为a ，r 为内切球的半径，R 为外接球的半径。
则高SE=3
2a,
斜高
SD=
4
3a ，OE=r=SE-SO ，又
SD=BD,BD=SE-OE,则在 r=
a 126。
R=SO=OB=a 4
6 特征分析：
1． 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为
同一个。
2． R=3r. r=
a 126 R=a 4
6。
此结论可以记忆。
例题一。
1、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球
的表面积为（ ） 分析：借助结论，R=
a 46=4
6
2=
2
3
,所以S=42R π=3π。
2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（ ） 分析：借助R=3r ，答案为9：1。
二、特殊三棱锥与球
C
B
四个面都是直角三角形的三棱锥。
SA AB BC ABC ABC ⊥⊥为直角三角形，面, 因为SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，球心落在SC 的中点处。
所以R=2
SC 。
三．正方体与球。
1．正方体的外接球
即正方体的8个定点都在球面上。
关键找出截面图:ABCD 为正方体的体对角面。
设
正方体的边长为a ，则AB=2a ，BD=2R ，AD=a ，
R=
2
3a 。
C
2． 正方体的内切球。
（1）与正方体的各面相
切。
如图：ABCD 为正方 体的平行侧面的正方形。
R=2
a
（2）与正方体的各棱相切。
如图：大圆是正方形ABCD 的外接圆。
AB=CD=a ，
R=
2
2a 。
3． 在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成
的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。
例题：1。
正方体的全面积是24
，它的顶点都在同一球面上，这个球的表面积
C
B
D
A
是
解析：显然，球是正方体的外接球，a=2，则R=
322
3
=，S=12π。
2．一个球与棱长为1 的正方体的12条棱都相切，则球的体积 解析：如果明确了上面的结论，问题很容易解决。
R==2
21==
2
2
V=
π3
2
3．将棱长为1 的正方体削成体积最大的球，则球的体积为
解析：削成体积最大，即要求球是正方体的内切球，与正方体的俄各面都相切。
R=21
，V=π3
4。
4．P 、A 、B 、C 、是球O 面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球的体积是
解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成正方体，则球是正方体的外接球，所以R=
23，V=2
3π。
四、正棱柱与球
1．正三棱柱外接球。
如图所示：过A 点作AD 垂直BC,D 为三角形ABC 的中心，D 1同样得到。
则球心O 必
落在DD 1的中点上。
利用三角形OAD 为直角三角形，OA=R,可
求出R.
2.正四棱柱外接球。
道理与上面相似。
主要是找截面，构造直角三角形，利用勾股定理求得。
例题：1。
已知一个半径为
21
的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱
柱，则这一正三棱柱的体积是
B
解析：如上图，OA=21,OD=
2
a ，AD=
a 3
3
，可求
a ＝6，V=54
3.
2. 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在
半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最
值，
为
解析：截面如图：ABCD 为正四棱柱的体对角面OD=R ，设AD=a
，底面正方形的边长为b ，则有
DC=
2b ，则
R 2=（a/2）2
+（
2b/2）
2
，S=4ba ()2
222b a +≤
=224
R 。
五、长方体与球
1．长方体的外接球。
截面图如右图：实质构造直角三角形，联系
半径与长方体的长宽高。
半径为体对角线的一
半。
2．在长方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧
棱互相垂
直不相等，它的外接球可把三棱锥补形成长方体的外接球，再求解。
例题：一个三棱锥三条棱两两垂直，其长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是
解析：同过条件分析，可采用把三棱锥补形成长方体，则球是长方体的外接球，所以R=
2
25，S=50π。