数值分析第四章课件
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数值分析课件 第4章 数值积分与数值微分
第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算以数据表形式给出时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2）许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-=等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分24111ln11arc 1)arc 1)xdxxtg tg C++=+⎡⎤+++-+⎣⎦⎰对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法—数值积分法。
1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。
由积分中值定理：对()[,]f x C a b∈，存在[,]a bξ∈，有()()()baf x dx b a fξ=-⎰表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a-而高为()fξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()fξ。
我们将()fξ称为区间[,]a b上的平均高度。
这样，只要对平均高度()fξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。
如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b a T f a f b -=+ (1.1)便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
清华第五版数值分析第4章课件
3! 0
3
3
6
72
R[ f ] 1 f ''' ()
72
收敛性定义
在 b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
中，若
n
b
limn,h0 Ak f (xk ) a f (x)dx
k 0
则称求积公式是收敛的。
稳定性定义
• 设 f (xk ) %fk k
a (x xk ) dx k0
xk
x0 jh,
x x0 th R[ f ] hn2
n 0
n
(t k)dt
k0
n even, n/2 integer, let t u n / 2, we have
R[ f ] hn2 n/2 n (u n / 2 k) du 0 n/2 k0
第四章 数值积分和数值微分
为什么要数值积分？
Newton-Leibniz 公式：
b a
f
(x)dx
F ( x)
b a
F (b)
F (a)
其中， F (x)是被积函数 f (x)的原函数。
要求被积函数f(x) ☞ 有解析表达式；
☞ f(x)的原函数F(x)为初等函数．
问题
1) f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. x 1 2 3 4 5
若求积公式代数精度为 m ，则可设
R( f )
b
f (x)dx
a
n
Ak f (xk ) Kf (m1) ()
k 0
求出K即可。K不依赖于函数f。令 f (x) xm1
数值分析第四章4-1
2011-10-31
2
引例与问题综述(续)
表4.1.1 函数表
x f(x)
x0 f(x0)
x1 f(x1)
… …
xn f(xn)
2011-10-31
3
引例与问题综述(续)
• • •
需要通过这组实验观测数据 (xi , yi ) (i =0, 1,2,…, n) 揭示自变量x与因变量y之间的关系。 一般地，可以用一个近似的函数关系式y = f(x)来表示 自变量x与因变量y之间的关系。 函数 f(x) 的产生办法因观测数据与要求的不同而异， 通常可采用两种方法：插值与数据拟合。
2011-10-31
20
2．如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是 必须严格遵守的，而是起定性地控制作用的，那么宜选用数据 拟合的方法。这是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有 测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完全吻合，就会使 所求函数保留着原有的测量误差；另一方面，测试或统计数据 通常很多，如果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效果 往往较差。
2011-10-31
4
一、引例 引例1 海水温度问题 已经测得在北纬 32.3° 海洋不同深度处的温度如下表：
表4.1.2 海水温度表
深度x (m) 水温y (C°)
466 7.04
714 4.28
950 3.40
1422 2.54
1634 2.13
根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如 500米、 600米、1000米…）处的水温。 解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来 解决，这是一个被称为插值的问题。
2011-10-31
21
问题综述（续）
数值分析第四章数值积分与数值微分-PPT课件
Cotes系数只与 j 和 n 有关, 与 f x 和积分区间 a , b
无关， 且满足:
1 C k
n
n
C n k
n
(n) 2 C j 1 j0
2、截断误差
Newton-Cotes公式的误差为:
1 ) f (n ( ) R (f) w (x ) dx n 1 a ( n 1 )! b n 2 n n h (n 1 ) f ( ) ( tj) dt , ( a ,b ) ( n 1 )!0 0 j
n ( u j ) du 2
据此可断定 R f 0 ,因为上述被积函数是个奇函数.
4、数值稳定性
现在讨论舍入误差对计算结果产生的影响. 设用公式 近似计算积分
( n ) I ( f ) ( b a ) C j f(xj) n j 0 n
I ( f ) f ( x)dx
a
b
0 , 1 ,2 , . . . n 时, 其中计算函数值 f x j 有误差 ，而 j j
计算 C
n
j
没有误差, 中间计算过程中的舍入误差也不考虑,
j
则在 I n ( f ) 的计算中,由
引起的误差为
( n ) e ( b a ) C f ( x ) ( b a ) C j) j (f(xj) n j j 0 ( n ) j j 0 ( n ) ( b a ) C j j n
x
f x
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
呵呵…这就需要积 原来通过原函数来计 分的数值方法来帮 算积分有它的局限性。 忙啦。 那…… 怎么办呢？
《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
数值分析第五版李庆扬王能超课件第4章(1)
1.483240 1.549193 1.612452 1.673320 1.732051
y1
yi 1 yi h f ( xi , yi ) ( i 0, ... , n 1)
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
2.1
欧拉方法
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local
1.264911 1.341641
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.435133
1.508966 1.580338 1.649783 1.717779 1.784770
1.416402
1.485956 1.552514 1.616475 1.678166 1.737867
1.414214
隐式欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
2.1
欧拉方法
注：
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得
到，故称为隐式（后退） /* implicit */ 欧拉公式，而前 者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
truncation error */。
定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该算法有 pding term */
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O( h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
y1
yi 1 yi h f ( xi , yi ) ( i 0, ... , n 1)
亦称为欧拉折线法
/* Euler’s polygonal arc method*/
2.1
欧拉方法
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考 虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local
1.264911 1.341641
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
1.435133
1.508966 1.580338 1.649783 1.717779 1.784770
1.416402
1.485956 1.552514 1.616475 1.678166 1.737867
1.414214
隐式欧拉公式
y i 1 y i h f ( x i 1 , yi 1 ) ( i 0, ... , n 1)
2.1
欧拉方法
注：
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得
到，故称为隐式（后退） /* implicit */ 欧拉公式，而前 者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
truncation error */。
定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1)，则称该算法有 pding term */
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi 1 ) yi 1 [ y( xi ) hy( xi ) h2 y( xi ) O( h3 )] [ yi hf ( xi , yi )]
数值分析课件第4章
数值分析课件第4章
数值分析课件第4章：插值与拟合。从插值与拟合的概念和区别开始，详细介 绍线性插值、非线性插值、最小二乘法、数据拟合、插值误差和拟合误差等 内容，以及在图像处理和实际问题中的应用。
插值与拟合的概念及区别
插值与拟合是数值分析中常用的数据处理方法。插值通过已知数据点之间的 函数曲线拟合，以在未知点上估计函数值。拟合则是找到最适合数据的函数 曲线，可能不通过已知数据点。
最小二乘法：原理与应用
最小二乘法是一种通过最小化数据与拟合函数之间的误差来拟合数据的方法。它可以应用于线性和非线 性拟合问题，适用于存在噪音和不完美数据的情况。
数据拟合：多项式拟合、指数拟合、对 数拟合等
数据拟合是根据数据的特点选择合适的函数形式进行拟合。多项式拟合在一定范围内适用于大多数问题， 而指数拟合和对数拟合则适合呈指数或对数关系的数据。
插值误差与拟合误差
插值误差是指插值函数与真实函数之间的差距，取决于插值方法和数据分布。 拟合误差则是指拟合函数与真实数据之间的偏差，受拟合口卷积法等
数据平滑是通过降低噪音和突变来减少数据中的波动。移动平均法和窗口卷积法是常用的数据平滑方法， 可以平滑曲线并减少噪音的影响。
线性插值：拉格朗日与牛顿法
线性插值可以用拉格朗日或牛顿法实现。拉格朗日插值使用多个已知数据点 构建一个多项式函数，适用于等间距的数据。牛顿插值则通过分段差商构造 一个插值多项式。
非线性插值：样条插值
非线性插值中，样条插值是常用的方法。它使用分段多项式函数拟合数据， 每个区间内都有一个多项式来逼近数据的行为，从而实现更加平滑的插值效 果。
数值分析第五版李庆扬王能超课件第4章(2)
30 x
1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101
1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104
1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101
稳定性 /* Stability */
例：考察初值问题
2.2 单步法的稳定性
y( x ) 30 y( x ) 在区间[0, 0.5]上的解。 y ( 0) 1
分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。
节点 xi 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 欧拉显式 欧拉隐式 改进欧拉法 精确解 小扰动引起了质的改变 ! ye
其中2阶方法
yi 1 yi hK 1 K f (x h , y h K ) 1 i i 1 2 2
Img
的绝对稳定区域为
而显式 1~ 4 阶方法的绝对稳定 Img 区域为
k=4 - 3
0
Re
k=1
k=3 k=2
-2 -1
-3
-2
-1
Re
无条件阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：
y i 1 K1 K2 K3 K4
yi h ( K1 2K 2 2K 3 K 4 ) 6 f ( xi , yi )
h f ( xi h , y K1 ) i 2 2 h f ( xi h , y K2 ) i 2 2
1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107
1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101
1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104
1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101
稳定性 /* Stability */
例：考察初值问题
2.2 单步法的稳定性
y( x ) 30 y( x ) 在区间[0, 0.5]上的解。 y ( 0) 1
分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。
节点 xi 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 欧拉显式 欧拉隐式 改进欧拉法 精确解 小扰动引起了质的改变 ! ye
其中2阶方法
yi 1 yi hK 1 K f (x h , y h K ) 1 i i 1 2 2
Img
的绝对稳定区域为
而显式 1~ 4 阶方法的绝对稳定 Img 区域为
k=4 - 3
0
Re
k=1
k=3 k=2
-2 -1
-3
-2
-1
Re
无条件阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：
y i 1 K1 K2 K3 K4
yi h ( K1 2K 2 2K 3 K 4 ) 6 f ( xi , yi )
h f ( xi h , y K1 ) i 2 2 h f ( xi h , y K2 ) i 2 2
1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107
数值分析课件第4章 数值积分与数值微分
故求积公式具有3次代数精度.
上页
下页
如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间 [a, b]的等距分点作为节点，这时取m=n求解方程组 即可确定求积系数Ak，而使求积公式至少具有 n次 代数精度. 本章第2节介绍这样一类求积公式，梯形 公式是其中的一个特例.
如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个
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得求积公式为
I
2h
2h
8 4 8 f ( x ) d x hf ( h) hf (0) hf ( h) 3 3 3
2h 3
令 f (x)=x3，得
8 3 3 0 x d x h[( h) h ] 0 2h 3
令 f (x)=x4，得
64 5 2 h 4 8 16 5 4 4 h x d x h[( h) h ] h 2h 5 3 3
~ In ( f ) In ( f )
~ Ak [ f ( xk ) f k ] ,
k 0
n
成立，则称求积公式ΣAkf(xk)是稳定的，
上页
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定理2 若求积公式ΣAkf(xk)中所有系数Ak>0， 则此求积公式是稳定的.
证明 对任给ε>0，若取δ=ε/(b-a), 对所有k都有 ~ f ( xk ) f k ( k 0,1,, n) n 则有 ~ ~ I n ( f ) I n ( f ) Ak [ f ( x k ) f k ]
k 0 n
k 0 n
~ Ak f ( x k ) f k
Ak (b a ) .
k 0
故求积公式是稳定的.
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6.2 牛顿—柯特斯公式
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如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间 [a, b]的等距分点作为节点，这时取m=n求解方程组 即可确定求积系数Ak，而使求积公式至少具有 n次 代数精度. 本章第2节介绍这样一类求积公式，梯形 公式是其中的一个特例.
如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个
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得求积公式为
I
2h
2h
8 4 8 f ( x ) d x hf ( h) hf (0) hf ( h) 3 3 3
2h 3
令 f (x)=x3，得
8 3 3 0 x d x h[( h) h ] 0 2h 3
令 f (x)=x4，得
64 5 2 h 4 8 16 5 4 4 h x d x h[( h) h ] h 2h 5 3 3
~ In ( f ) In ( f )
~ Ak [ f ( xk ) f k ] ,
k 0
n
成立，则称求积公式ΣAkf(xk)是稳定的，
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定理2 若求积公式ΣAkf(xk)中所有系数Ak>0， 则此求积公式是稳定的.
证明 对任给ε>0，若取δ=ε/(b-a), 对所有k都有 ~ f ( xk ) f k ( k 0,1,, n) n 则有 ~ ~ I n ( f ) I n ( f ) Ak [ f ( x k ) f k ]
k 0 n
k 0 n
~ Ak f ( x k ) f k
Ak (b a ) .
k 0
故求积公式是稳定的.
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6.2 牛顿—柯特斯公式
数值分析4牛顿迭代法课件
x1
x0
f ( x0 ) f ( x0 )
x*
x0 x1
x1比x0更接近于x*
02:12
4/25
应用——求正数平方根算法
设C > 0, x C
x2 – C = 0
令 f(x) = x2 – C , 则
xn1
xn
xn2 C 2 xn
f ( x) 2x
xn1
1 2 [xn
C ]
xn
02:12
5/25
1.414213562373095 2.22e-016
1.414213562373095 2.22e-016
02:12
6/25
收敛性: (1) 符合不动点框架
(2) 从序列收敛的角度(单调有界序列)
xn1
2
1 2 [xn
2 xn
]
2
1
[ 2
xn
2 xn
]2
1 2 xn
( xn
2 )2
只要x0 0, xn 2 (n 1) (有界)
x0, x1, x2,···, xn, ···
02:12
3/25
设 x*是方程 f(x)=0 的根, x0是x*的近似值。
在 x0 附近对函数做局部线性化
化难为易
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )化繁为简
f(x) = 0
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 0
代入牛顿迭代格式
xn1
xn
f (xn ) f ( xn )
x1 x0
xn1
xn
f
( xn
f (xn ) ) f ( xn1 )
数值分析4-1 ppt
= a 0 x n + a 1 x n −1 + … + a n
且 ϕ ( x i ) = f ( x i ) = y i (i=0,1,2,…，n) 如何构造 ϕ ( x ) ？
兰州交通大学数理与软件工程学院
构造插值基函数
n 引理1 设在区间[a,b]上有n+1个互异节点{ xi }0，如果
n次多项式 l j (x)满足
……..
Ln ( xn ) = l0 ( x n ) y 0 + l1 ( xn ) y1 + ⋅ ⋅ ⋅ + ln ( x n ) y n = y n
兰州交通大学数理与软件工程学院
因此所求
y = ϕ ( x ) = Ln ( x ) =
n
∑l
j =0
n
j
( x) y j
n ( x − xi ) =∑ ∏ yj i = 0 ( x j − xi ) j=0 i≠ j
∴C = 1 ④ ( x j − x0 )( x j − x0 ) ⋅⋅ ⋅(x j − x j −1 )(x j − x j +1 )⋅ ⋅⋅(x j − xn )
兰州交通大学数理与软件工程学院
④代入③得
l j ( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ⋅⋅ ⋅ ( x − x j −1 )( x − x j +1 ) ⋅⋅⋅(x − xn ) ( x j − x0 )( x j − x0 ) ⋅⋅ ⋅(x j − x j −1 )(x j − x j +1 )⋅⋅⋅(x j − xn )
( x − xi ) =∏ i =1 ( x0 − xi )
n
兰州交通大学数理与软件工程学院
数值分析课件第4章
二、复合梯形公式
将 区 间 [a, b] 等 分 为 n 个 小 区 间 [ xk , xk1], 其 中
xk a kh,
(h b a ,k 0,1, n
, n 1),
并在每个小区间上应用梯形公式, 则得复合梯形公式
I
b
n 1
f ( x )d x
a k0
xk 1 xk
f ( x )d x
第四章 数值积分和数值微分
内容提要 4.1 引言 4.2 牛顿-柯特斯公式 4.3 复化求积公式 4.4 龙贝格求积公式 4.5 高斯求积公式 4.6 数值微分
工科研究生公共课程数学系列
机动 上页 下页 首页 结束
4.1 引言
一、数值求积的基本思想
对定义在区间［a,b］上的定积分
b
Iaf(x)dxF(b)F(a)
b f ( x )d x S b a [ f (a ) 4 f ( a b ) f (b )]
a
6
2
当 n 4时 , 得到 柯特斯(cotes) 公式
C
b a [7 90
f
(x0 )
32
f
( x1 ) 12
f
(x2 )
32
f
(x3 )
7
f
( x 4 )],
其中 xk
a kh, h
机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列将区间等分为个小区间其中并在每个小区间上应用梯形公式则得复合梯形公式称为复合梯形公式余项为二复合梯形公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列的中点为在每个小区间上应用辛普森公式则得复合辛普森公式称为复合辛普森公式三复合辛普森公式机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列对于函数给出时的函数表试用复合梯形公式及复合辛普森公式计算积分181438120997397809896158097672670958851058347809361556090885160841470908414709机动上页下页首页结束工科研究生公共课程数学系列3sin计算积分若用复合梯形公式问区间应分多少等份才能使误差不超过若取同样的求积节点改用复合辛普森公式截断误差是多少
数值分析第4章(2)
~ 4.3 ^ SOR S “ { § S 4.3 (msor.m) ) ‚ 5 • § |
12/14
0.76 −0.01 −0.14 −0.16 x1 −0.01 0.88 −0.03 0.05 x 2 −0.14 −0.03 1.01 −0.12 x3 −0.16 0.05 −0.12 0.72
Back Close
“g ê N , ˜ k := 0.
(2) d ª (4.16) ½ ª (4.18) O Ž x(k+1). (3) e b − Ax(k+1) / b
C q ).
ε, K Ê Ž, Ñ Ñ x(k+1) Š • • § |
(4) ˜ x(k) := x(k+1), k := k + 1, = Ú ½ (2).
(I − ω D −1L)x(k+1) = [(1 − ω )I + ω D −1U ]x(k) + ω D −1b,
=
9/14
(D − ω L)x SOR S “
(k +1)
= [(1 − ω )D + ω U ]x
(k )
+ ω b.
OŽ‚ª•
x(k+1) = (D − ω L)−1 [(1 − ω )D + ω U ]x(k) + ω b ,
Š â Ž { 4.3, ? › MATLAB § S X e.
11/14
• SOR S “ { MATLAB § S %§ S4.3--msor.m function [x,iter]=msor(A,b,omega,x,ep,N) if nargin<6, N=500; end if nargin<5, ep=1e-6; end if nargin<4, x=zeros(size(b)); end if nargin<3, omega=1.2; end
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0.76 −0.01 −0.14 −0.16 x1 −0.01 0.88 −0.03 0.05 x 2 −0.14 −0.03 1.01 −0.12 x3 −0.16 0.05 −0.12 0.72
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“g ê N , ˜ k := 0.
(2) d ª (4.16) ½ ª (4.18) O Ž x(k+1). (3) e b − Ax(k+1) / b
C q ).
ε, K Ê Ž, Ñ Ñ x(k+1) Š • • § |
(4) ˜ x(k) := x(k+1), k := k + 1, = Ú ½ (2).
(I − ω D −1L)x(k+1) = [(1 − ω )I + ω D −1U ]x(k) + ω D −1b,
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(k +1)
= [(1 − ω )D + ω U ]x
(k )
+ ω b.
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x(k+1) = (D − ω L)−1 [(1 − ω )D + ω U ]x(k) + ω b ,
Š â Ž { 4.3, ? › MATLAB § S X e.
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上海交大数值分析课件数值分析4-4
事实上，当n=1时
T
4 3
T2
1 3
T1
4{b a [ f (a) 2 f (a b) f (b)]}
34
2
1{b a [ f (a) f (b)]} 32
T
ba 6
f
(a) 4 f (a b) 2
f (b)
这就是说用梯形法二分前后的两个积分值Tn与
T2n组合成 T 就是辛甫生公式Sn。即
可知T(h)≈I 是二阶收敛的
减
那么
T
(h) 2
I
a1 4
h2
a2 16
h4
6a这 均43 h里与6 h的无...关1,
2 ,... ×4
则得
4T (h) T (h)
T1(h)
2 3
I 1h4 2h6 ...
这样构造的T1(h) ≈I 是四阶收敛的
与龙贝格公式的构造相比，这里的
T1
(h),
xk
1 2
1
xk
1 2
2 ( xk
xk1 )
用复化梯形公式求得该区间上的积分值为
h/ 2 2
f
(
xk
)
2
f
(
xk
1 2
)
f ( xk1 )
故在整这个里区的间h上是的二积分值为 只需计算新增
分前的步长
分点的函数值
T2n
h n1 4 k0
f (xk )
f ( xk1 )
h n1 2 k0
f
(
一、梯形法的递推化
前面介绍的复化求积公式对提高精度 是行之有效的，但使用前必须给出合适的 步长h，如何给出？
h太小则计算量增加
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xk
1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
f (xk)的符号
+ + + -
14
f ( x0 ) f ( x0 h ) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h作为根 的初始近似。
4
例1：考察方程 f ( x) x3 x 1 0 注意到f (0)< 0, f (+)>0，知f (x)至少有一个 正的实根。 设从x = 0出发，取h = 0.5为步长向右进行 根的扫描，下表记录各个结点上函数值的符号， 我们发现，在区间（1, 1.5）内必有实根，因此可 取x0 = 1或x0 = 1.5作为根的初始近似值。
第四章 方程求根
§4.1 二分法 §4.2 迭代法 §4.3牛顿法 §4.4弦截法
1
我们很熟悉一次、二次代数方程以及某些特殊的高 次方程或超越方程的解法。这些方法都是代数解法， 也是精确法。但在实际中，有许多方程问题无法求出 公式解。例如超越方程
tgx x 0 0.25 tgx 4.8889 sin x 0
9
由于
1 xk x (bk a k ) bk 1 a k 1 2
*
（1）
只要有根区间[ak+1, bk+1]的长度小于预先给定的误差， 那么就可以取
xk 1 1 ( ak bk ) 2
作为所求根x*的第k+1次近似值。其误差估计为： 1 * x xk 1 k 1 ( b a ) 2 综上所述，设f (x)在[a, b]上存在一阶导数且不变号， 如果f (a)f (b)＜0，则由（1）所知，当k时， x* - xk0，即xkx*。
f (a)，f (b)。
2．计算f (x)在区间中点处的值f (x1)。 3．判断若f (x1) = 0，则即是根，否则检验： （1）若f (x1)与f (a)异号，则知根位于区间 [a, x1]，以x1代替b； （2）若f (x1)与f (a)同号，则知根位于区间 [x1, b]，x1代替a。
8
x
f ( x )的符号
0.5 1 1.5
0
-
-
-
+
5
在具体运用上述方法时，步长的选择是个关键。 若步长h足够小，就可以求得任意精度的根的近似 值；但 h 过小，在区间长度大时，会使计算量增 大，h过大，又可能出现漏根的现象。因此，这种 根的隔离法，只适用于求根的初始近似。
• 根的逐步精确化的方法，包括二分法、迭代法、 牛顿法和弦截法。我们将在以下几节介绍上述方 法，并着重学习迭代法的思想。
看起来很简单，却不容易求得精确解。至于解三次、 四次代数方程，尽管存在着求解公式，却不实用，而 对一般的五次或五次以上的代数方程，根本没有求根 公式。另一方面，在实际应用中，只要能获得具有预 先给定的误差限内的近似值就可以了。因此，需要引 进能够达到一定精度要求的求方程近似值的方法。
2
它包括以下三方面内容： 1．根的存在性。方程有没有根？如果有根， 有几个根？ 2．这些根大致在哪里？如何把根隔离开来？ 3．根的精确化 具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存 在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步， 将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。 求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b），使 （a, b）内恰有方程的一个实根。这个步骤，叫做 根的隔离，这样的区间，叫做隔离区间。
6
§4.1
的实根x*。
二分法
首先，假定方程f (x) = 0在区间[a, b]内有唯一
二分法的基本思想，就是将方程根所在的区 间 平分 为两个小区间 ，再判断根属于哪个小区 间；把有根的小区间再平分为二，再判断根所在 的更小的区间；重复这一过程，最后求出所要的 近似值。
7
执行步骤 1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的值，
x xk bk 1 ak 1
*
1 2
k 1
(b a )
解得 k = 6，即只要二分6次，即达所求精度。计 算结果如下表：
13
k
0 1 2 3 4 5 6
ak
1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3203
bk
1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 1.3281 1.3281
分，由于f (x0)< 0，即f (x0)与f (a)同号，故所求的 根必在x0的右侧，这里应令a1 = x0 = 1.25，b1 = b = 1.5，而得到新的有根区间[a1, b1]。
12
对区间[a1, b1 ]再用中点x1 = 1.375二分，并进行 根的隔离，重复步骤2、3； 如此反复二分下去，我们预先估计一下二分的次 数：按误差估计式
是
打印a, k
否 b=m
k=k+1
11
例2： 求方程
在区间[1, 1.5]内的实根。要求准确到小数点后第2位。 用二分法，这里a = 1, b = 1.5， 且f (a) < 0，
f ( x) x3 x 1 0
f (b) > 0。取区间[a, b]的中点x0 = 1.25将区间二等
10
二分法求f (x) = 0在[a, b]上的实根的框图。
输入 a, b, 定义f (x) 是 f (a) f (b)>0 否 k=0 否 f (a) f (b)=0 m=(a+b)/2 f (a) =0 是 |a-b|< 否 打印m, k f(a)f(m)>0 是 a=m 结束 结束 否 打印b, k 是
反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间： [a, b], [a1, b1], …, [ak, bk], … 其中每个区间都是前一个区间的一半，因此区间长度为
1 bk ak k (b a ) 2
显然，二分过程如果能够无限地继续下去，这些区 间最终必收敛于一点x*，该点就是所求的根。
3
隔离根的方法，主要依据以下根的存在定理： 定理1：设函数f (x)在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0， 则方程f (x) = 0在[a, b]内至少有一实根x*。 具体做法通常有两种： 1．画出略图，从而看出曲线与x轴交点的位置。 2．从左端点 x = a出发，按某个预先选定的步长 h一步一步地向 右跨，每跨一步都检验每步起点x0和终点x0 + h的函数值，若