2020年春湘教版八年级数学下册精品试题1.2 第1课时勾股定理1

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2020—2021年最新湘教版八年级数学下册《直角三角形的性质和判定》同步练习题及答案四.docx

湘教版2017—2018学年八年级数学下学期1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理要点感知直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a、b的平方和等于__________的平方.即a2+b2=c2.预习练习△ABC中,∠C＝90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.(1)若a＝5,b＝12,则c＝__________；(2)若c＝41,a＝40,则b＝__________.知识点勾股定理1.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=10，BC∶AC=3∶4，那么BC=( )A.6B.8C.10D.以上都不对2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的斜边长为( )A.6B.8C.10D.123.已知一个三角形三个内角的比是1∶2∶1,则它的三条边的比是( )A.1∶2∶1B.1∶2∶1C.1∶2∶3D.1∶4∶14.如图,长方形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )A.2.5B.22C.3D.55.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C 重合.若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )A.1B.2C.3D.46.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为__________.7.等腰△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm，则BC边上的高是__________cm.8.一个直角三角形的斜边长比直角长边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________.9.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15，且AD ⊥AC，求BD长.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，CD⊥AB交AB于点D.求：(1)AC的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长.11.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为( )A.5B.6C.7D.2512.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )A.3B.23C.33D.4313.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图,则三角板的最大边的长为( )A.3 cmB.6 cmC.32cmD.62cm14.如图，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为( )A.6B.5C.6D.3615.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A.53B.52C.4D.516.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD的长等于__________.17.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__________.18.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD的长.19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.20.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D 点作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE=4，FC=3，求EF长.参考答案要点感知斜边c预习练习13 91.A2.C3.A4.D5.D6.267.88.109.∵AD⊥AC，AC=20，AD=15，∴CD=222015+=25.∴BD=BC-CD=32-25=7.10.(1)∵∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，∴AC=8 cm；(2)S△ABC=12BC·AC=12×6×8=24(cm2)；(3)∵S△ABC=12BC·AC=12CD·AB，∴CD=·BC ACAB=245cm.11.A 12.D 13.D 14.A 15.C 16.8 17.5或718.设DC=x，则BD=14-x.在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：(14-x)2+AD2=152，x2+AD2=132.两式相减得(14-x)2-x2=56.解得x=5.在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=12.19.∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°.∴AD=DB.又∵Rt△CBD中，CD=5 cm，∴BD=10 cm.∴BC=22BD CD-=22105-=53(cm).∴AB=2BC=103cm.20.连接BD，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC ，BD=CD=AD ，∠ABD=∠C=45°. ∵DE ⊥DF ， ∴∠FDC=∠EDB. 在△EDB 与△FDC 中，,,ABD C FDC EDB BD CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△EDB ≌△FDC. ∴BE=FC=3. ∴AB=7，则BC=7. ∴BF=4.在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2=32+42， ∴EF=5.第2课时勾股定理的实际应用要点感知应用勾股定理解决实际问题时，应先根据题意画出几何图形，分析图形中各线段之间的数量关系，正确运用勾股定理求解.求边长时，一般有两种情况：一是直接运用勾股定理通过计算求解，二是借助勾股定理列方程求解.预习练习(2014·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__________米.知识点1 直接利用勾股定理1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米3.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为( )A.5米B.3米C.(5+1)米D.3米4.假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )A.20千米B.14千米C.11千米D.10千米5.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.知识点2 利用勾股定理列方程求解6.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m7.在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A.13 mB.12 mC.4 mD.10 m8.如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为__________米.9.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？10.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为( )A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米11.如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=210 m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于( )A.1053mB.2103mC.703mD.105 m12.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153cm13.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为__________mm.14.如图,一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边的车速检测仪的正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪的距离为50 m,问这辆小汽车是否超速了？（中华人民共和国交通管理条例规定：小汽车在城市公路上行驶时的速度不得超过70 km/h）15.为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？16.两条公路OM、ON相交成30度角，在公路OM上，距O点80米的A 处有一所小学，当拖拉机沿公路ON方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么拖拉机沿ON方向行驶时，是否会给小学带来噪声影响？若受影响，计算影响的时间.参考答案预习练习101.A2.B3.C4.D5.4806.A7.B8.60039.设BD=x米，则AD=(10+x)米，CD=(30-x)米，根据题意得(30-x)2-(x+10)2=202.解得x=5.即树的高度是10+5=15（米）.10.A 11.A 12.C 13.15014.小汽车超速了.理由：在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,根据勾股定理得：BC=22AB AC=40 m.小汽车的速度是40÷2=20(m/s)=72(km/h).而规定速度为70 km/h,72>70，∴小汽车超速了.15.设AE=x km，则BE=(25-x)km.在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152.同理可得：DE2=(25-x)2+102.若CE=DE，则x2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：图书室E应该建在距A点10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.16.过点A作AD⊥ON于点D，即点A到ON的最短距离为AD，已知在Rt △OAD中，∠O=30°，OA=80，可得AD=40＜50，故学校会受到拖拉机的影响；在D点两侧分别取两点E、F，使得AE=AF=50，在Rt△ADE中，AE=50，AD=40，可得DE=30，又易证Rt△ADE≌Rt△ADF，即DE=DF=30，即EF=60.又拖拉机的速度为18千米/时，×3 600=12（s）.故拖拉机经过EF段所用的时间t=0.0618答：拖拉机会给小学带来噪声影响，影响时间为12秒.第3课时勾股定理的逆定理要点感知直角三角形的判定定理(勾股定理的逆定理)：如果一个三角形的三边长a、b、c有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是__________三角形.预习练习1-1 三角形的三边长满足（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形1-2 以下列数组为三角形的边长：①5,12,13；②10,12,13；③7,24,25；④6,8,10,其中能构成直角三角形的有( )A.4组B.3组C.2组D.1组知识点勾股定理的逆定理1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，2，32.已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知两条线段的长分别为2cm、3cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是( )A.1 cmB.5 cmC.5cmD.1 cm与5cm4.如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对5.若a、b、c表示△ABC的三边，且满足17c +|a-8|+(b-15)2=0，则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.在Rt△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是( )A.∠C=90°B.∠B=90°C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形7.在△ABC中，a=2，b=6，c=22，则最大边上的中线长为( )A.2B.3C.2D.以上都不对8.三角形三边长分别为4、8、43,则该三角形最小角与最大角依次是( )A.30°,60°B.30°,90°C.60°,90°D.45°,90°9.若在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC 的度数是__________度.10.如图,一根电线杆高8 m.为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2 m(不计捆缚部分),则电线杆与地面__________(填“垂直”或“不垂直”).11.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，AC=23，∠C=30°，求∠B的大小.12.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CF、EFD.GH、AB、CD13.已知一个三角形的三边长分别为n+1，n+2，n+3，则当n=__________时，这个三角形是直角三角形.14.如图所示,是一个零件的形状,按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到A到C的距离是10 cm,AD=8 cm,CD=6 cm.问这个零件是否合格？15.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,BC=3,AB=4,AD=12,CD=13.求四边形ABCD的面积.16.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.17.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5.(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数.参考答案要点感知直角预习练习1-1 C1-2 B1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.A8.B9.90 10.不垂直11.∵△ABC中，AB=2，BC=4，AC=23，∴AB2+AC2=4+12=16=BC2.∴∠A=90°.∴∠B+∠C=90°.又∵∠C=30°，∴∠B=60°.12.B 13.214.合格.连接AC.∵AD2+CD2=82+62=102=AC2,根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°,∴零件合格.15.连接AC.∵∠ABC=90°,在Rt△ABC中，BC=3,AB=4,∴AC=22BC AB+=2234+=5.在△ACD中,∵AC2+AD2=52+122=132=CD2, ∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36.16.证明：∵CD是AB边上的高，∴△ADC和△BCD都是直角三角形.∴AC2＝AD2+CD2，BC2＝BD2+CD2.∴AC2+BC2=AD2+CD2+BD2+CD2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=( AD+BD)2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.17.(1)根据旋转的性质，得AD=EC=4，BD=BE=3，AB=BC，∠DBE=∠ABC=60°，∠ADB=∠BEC.∴△ABC和△DBE均为等边三角形.∴DE=BD=3.∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2.故△DEC为直角三角形.(2)∵△DEC为直角三角形，∴∠DEC=90°.又∵△BDE为等边三角形，∴∠BED=60°.故∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°.。

新湘教版八年级数学(下册)121勾股定理

我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度
解：∵ 582 462 5480 742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
课堂小结
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
c
a
b
a2 + b 2 = c 2
注意:运用勾股定理必须满足前提条件是在直角三角形
填表：若小方格的边长为1.
思考：正方形A、B、C的面积有什么关系？
C的面积 8 25
c C
图甲
猜想:a、b、c 之间的关系？
SA+SB=SC
两直角边的平方和等于斜边的平方。
a2 +b2 =c2
思考：边长为任意长度的直角三角形还成立吗？
A
探究
如图，任作一个Rt△ABC，∠C=900，若BC=a,AC=b,AB=c,那么a2 +b2 =c2是
就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理.
毕达哥拉斯
在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为 “埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。
勾股定理的证明方法
∟
B
D
C
练习
1.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°. (1) 已知：a=25，ｂ=15，求c；
(2) 已知：a=5，c=9，求b； (3) 已知：b=5，c=15，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
2.如图，已知∠B＝∠ACD＝90º，BC＝3，AD＝13，
CD＝12.求AB的长。

(完整版)八年级勾股定理典型练习题含答案

八年级勾股定理典型练习题含答案一、选择题1、下列各组数中，能构成直角三角形的是A：4，5，B：1，1：6，8，11 D：5，12，22、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为 A：26B：1 C：20D：213、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则OP 的长为 A：3B：4C：5D：74、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为 A： B：C：5D：、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为A、、、36、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为A、 B、C、8D、9、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为A、3cmC、6cm22B、4cm D、12cm228、若△ABC中，AB?13cm,AC?15cm，高AD=12,则BC 的长为 A、1 B、 C、14或4D、以上都不对二、填空题1、若一个三角形的三边满足c?a?b，则这个三角形是2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面。

3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。

2224、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为。

5、如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。

E6、一只蚂蚁从长为4cm、宽为cm，高是cm的FC长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是____________cm。

7、将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围是________________。

湘教版八年级下册数学第1章直角三角形勾股定理(1)

(2)若设△AEC 三边的长分别为 a，b，c，利用此图证明勾股定理．解：由(1)知△CDB≌△AEC，BC＝AC＝c， ∴BD＝EC＝a，CD＝AE＝b，
∴S 梯形 AEDB＝12(AE＋BD)·ED＝12(a＋b)(a＋b)，又 S 梯形 AEDB＝S△AEC＋S△ABC＋S△BCD＝12ab＋12c2＋12ab， ∴12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12c2＋12ab，整理可得 a2＋b2＝c2，故勾股定理得证．
【答案】B
9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图②的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( ) A．直角三角形的面积 B．最大的正方形的面积 C．较小的两个正方形重叠部分的面积 D．最大的正方形与直角三角形的面积和
6．【易错题】已知直角三角形的三边的长分别为 6，8，x，则 x＝_1_0_或___2___7_.
【点拨】分两种情况讨论：①当两直角边的长分别为 6，8 时，由勾股定理得 x＝ 62＋82＝10；②当一直角边的长为 6，斜边长为 8 时，由勾股定理得 x＝ 82－62＝2 7.本题易因考虑问题不全面而漏解．
16．在 Rt△ABC 中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点 D 为斜边 AB 上的动点．
(1)如图①，过点 D 作 DE⊥AB 交 CB 于点 E，连接 AE，当 AE 平分∠CAB 时，求 CE 的长；
解：∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，∴BC＝20. ∵AE 平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD. ∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠ECA＝∠EDA＝90°. 又∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE(AAS)， ∴CE＝DE，AC＝AD＝15.∴BD＝25－15＝10. 设 CE＝DE＝x，则 BE＝20－x，在 Rt△BED 中，x2＋102＝(20－x)2，∴x＝7.5，∴CE＝7.5.

湘教版八年级数学下册习题1.2习题指导及参考答案

习题1.2
湘教版八年级数学下册第16页
方法对则目标对，细节成则全局成.
学习目标： 1.掌握勾股定理及逆定理； 2.学会用勾股定理及逆定理解决问题.
知识要点：
勾股定理：直角三角形两直角边a，b 的平方和，
等于斜边c的平方，即a²+b²=c².
勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a，b ，
c满足关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.
C 30° B
D
60° A
E
C F 30° B
D G 60° A E
思路：把求灯罩顶端C到桌面的高度CE转化为求 CF+FD+DE. 作 BF⊥CE ， BG⊥AD ，则在 Rt△BCF 中可求出 CF ，在 Rt△BAG 中可求出BG，从而求得FD.问题得解.
C F 30° B
D G 60° A E
解：由题意得：AD⊥CE. 作BF⊥CE，BG⊥AD，在Rt△BCF中， ∵∠CBF=30°，BC=30cm， ∴CF=15cm. 在Rt△ABG中， ∵∠BAG=60°， ∴∠ABG=30°，又AB=40cm， ∴AG=20cm.
解析：∵∠C=90°， ∴c为斜边，a，b为直角边. 因此，第(1)题求b用减：b²=c²－a²；第(2)题求c用加：a²＋b²=c².
2. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形.
（1）a=5， b=7， c=8;
不是
（2）a=5， b =12，c=13;
是
（3）a=20， b =21，c=29;
请你利用“弦图”证明勾股定理.
a bc
弦图
分析：图中小正方形的面积+4个直 a 角三角形的面积=大正方形的面积. b c 据此关系列出等式即可证明.

八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)《勾股定理》例题与讲解素材 (新版)湘教版

勾股定理1．勾股定理的探索如图，在单位长度为1的方格纸中画一等腰直角三角形，然后向外作三个外正方形：观察图形可知：(1)各正方形的面积：正方形①的面积S1为1，正方形②的面积S2为1，正方形③的面积S3为2；(2)各正方形面积之间的关系：S1＋S2＝S3；(3)由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是：两直角边的平方和等于斜边的平方．【例1】如图，Rt△ABC在单位长度为1的正方形网格中，它的外围是以它的三条边为边长的正方形．回答下列问题：(1)a2＝__________，b2＝__________， c2＝__________；(2)a，b，c之间有什么关系？(用关系式表示)分析：a2等于以BC为边长的正方形的面积16，b2等于以AC为边长的正方形的面积9，c2等于以AB为边长的正方形的面积25.解：(1)16 9 25 (2)a2＋b2＝c2.释疑点网格中求正方形的面积求以AB为边长的正方形的面积时，可把它放到以正方形格点为顶点的正方形CDEF(如图)中去，它的面积等于正方形CDEF的面积减去它外围的4个小直角三角形的面积．2．勾股定理(1)勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边．(2)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．即：勾2＋股2＝弦2.(3)勾股定理的表示方法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a2＋b2＝c2.辨误区应用勾股定理的几个误区(1)勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．(2)利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边．尤其在记忆a2＋b2＝c2时，此关系式只有当c是斜边时才成立．若b是斜边，则关系式是a2＋c2＝b2；若a是斜边，则关系式是b2＋c2＝a2.(3)勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由a2＋b2＝c2，得a2＝c2－b2，b2＝c2－a2等．熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助．【例2－1】在△ABC中，∠C＝90°，(1)若a＝3，b＝4，则c＝__________；(2)若a＝6，c＝10，则b＝__________；(3)若a∶b＝3∶4，c＝5，则a＝__________，b＝__________.解析：因为在△ABC中，∠C＝90°，所以有关系式a2＋b2＝c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”．(1)c2＝a2＋b2＝32＋42＝52，则c＝5；(2)b2＝c2－a2＝102－62＝82，则b＝8；(3)若a∶b＝3∶4，可设a＝3x，b＝4x，于是(3x )2＋(4x )2＝52. 化简，得9x 2＋16x 2＝25，即25x 2＝25，x 2＝1，x ＝1(x ＞0)．因此a ＝3x ＝3，b ＝4x ＝4. 答案：(1)5 (2)8 (3)3 4 谈重点用勾股定理求边长这是一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知两边长，就可以求出直角三角形第三边的长．【例2－2】有一飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000 m 处，过了20 s ，飞机距离这个男孩头顶5 000 m ，那么飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出图形．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 000 m ，AB ＝5 000 m.欲求飞机每时飞行多少千米，就须知道其20 s 时间里飞行的路程，即图中CB 的长．由于△ABC 的斜边AB ＝5 000 m ，AC ＝4 000 m ，这样BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算．解：如图，AB ＝5 000 m ＝5 km ，AC ＝4 000 m ＝4 km ，故由勾股定理得BC 2＝AB 2－AC 2＝52－42＝9，即BC ＝3 km.因为飞机20 s 飞行3 km ，所以它每小时飞行的距离为3 60020×3＝540(km)．3．勾股定理的验证方法1：用四个相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的正方形．由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得 (a ＋b )2＝c 2＋4×12ab .化简可得：a 2＋b 2＝c 2.方法2：用四个相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的正方形．由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得c 2＝(b －a )2＋4×12ab .化简可得：a 2＋b 2＝c 2.方法3：用两个完全相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的梯形．由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得： 12(a ＋b )(a ＋b )＝2×12ab ＋12c 2. 化简可得：a 2＋b 2＝c 2.说明：勾股定理的验证还有很多方法．我明白了！在一些几何问题中，利用图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变．对啊! 利用拼图来验证勾股定理,就是根据同一种图形(或两个全等的图形)面积的不同表示方法列出等式，从而推导出勾股定理.【例3】在北京召开的第24届国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么(a ＋b )2的值为( )．A ．169B ．144C ．100D ．25解析：根据图形面积的和差关系，4个直角三角形的面积＝大正方形面积－小正方形面积＝13－1＝12，可知4×12ab ＝12，即2ab ＝12，由勾股定理得a 2＋b 2＝13，所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝13＋12＝25. 答案：D4．利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题．常见的方法有：(1)利用高(作垂线)构造直角三角形； (2)利用已知直角构造直角三角形； (3)利用勾股定理构造直角三角形．已知直角三角形的两边，求第三边，关键是弄清已知什么边，求什么边，用平方和还是用平方差．【例4】如图①，校园内有两棵树，相距12 m ，一棵树高13 m ，另一棵树高8 m ，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？图①分析：分别用AB ，CD 表示两棵树，如图②，得到梯形ABCD ，过D 作AB 的垂线，垂足为E ，可构造出Rt△AED ，利用勾股定理解决．解：如图②，作DE ⊥AB 于点E ，图②∵AB ＝13 m ，CD ＝8 m ， ∴AE ＝5 m.由BC ＝12 m ，得DE ＝12 m. ∵在Rt△ADE 中，AD 2＝AE 2＋DE 2，∴AD＝13 m.∴小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞13 m．5.利用勾股定理求面积(1)利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用．把所求的面积转化到已知的数量关系中去．如求图中阴影部分的面积，可转化为中间正方形的面积，而中间正方形的面积等于右侧直角三角形短直角边的平方，借助于右侧的直角三角形，利用勾股定理解答即可．(2)利用勾股定理求面积，还要注意整体思想的应用．【例5】如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．分析：要求阳光透过的最大面积即塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边AB的长是多少，可以借助勾股定理求出．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，即AB＝5(m)．故矩形塑料薄膜的面积是5×20＝100(m2)．点评：勾股定理是以直角三角形存在(或添加辅助线可以构造的)为基础的；表示直角三角形边长的a，b，c并非是一成不变的，c并不一定就是斜边的长．6．勾股定理与方程相结合的应用(1)在进行直角三角形的有关计算时，一般要运用勾股定理，在运用过程中，有时直接运用，有时是通过勾股定理来列方程求解．具体问题如下：①已知直角三角形的两边，求第三边的长；②说明线段的平方关系；③判断三角形的形状或求角的大小；④解决实际问题．(2)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)，利用列方程或方程组来解决．(3)勾股定理与代数中的平方差公式相结合，解决此类问题可以先根据勾股定理列出关于两直角边的数量关系式，再通过恒等变形巧妙求解．【例6】如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5 m，顶端A 在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，求滑杆顶端A下滑了多少米？分析：注意滑杆AB在滑动过程中长度保持不变，同时注意∠ACB为直角这一条件．在Rt△ABC中，应用勾股定理求得AC；在Rt△ECD中，应用勾股定理求得EC，两者之差即为所求．解：设AE的长为x m，由题意，得CE＝(AC－x) m.∵AB＝DE＝2.5 m，BC＝1.5 m，∠C＝90°，∴AC2＝AB2－BC2＝2.52－1.52＝22.∴AC＝2 m.∵BD＝0.5 m，∴CD＝CB＋BD＝1.5＋0.5＝2 m.在Rt△ECD中，CE2＝DE2－CD2＝2.52－(1.5＋0.5)2＝1.52.∴2－x＝1.5 m，x＝0.5 m，即AE＝0.5 m.∴滑杆顶端A下滑了0.5 m．。

2020-2021学年湘教版八年级下册数学习题课件第1章勾股定理解题的十种常见题型

阶段核心题型
4．如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝ 150°，四边形 ABCD 的周长为 32，求 BC 和 CD 的长度．
【点拨】通过作辅助线，构造出 Rt△BDC，利用勾股定理列方程求解即可．
阶段核心题型
解：如图，连接 BD，过点 B 作 BE⊥AD 于点 E. ∵AB＝AD，∠A＝60°，∴∠1＝∠ABD＝180°－ 2 60°＝60°. 易得△BAE≌△BDE.∴BD＝AB＝8. 又∠1＋∠2＝150°，则∠2＝90°. 设 BC＝x，则 CD＝32－8－8－x＝16－x，由勾股定理得 x2＝82＋(16－x)2.解得 x＝10.∴BC＝10，CD＝6.
阶段核心题型
证明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC 是直角三角形．由勾股定理，得 AD2＋CD2＝AC2. ∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.∴AC2＝2AB2. ∵∠ABC＝90°，∴△ABC 是直角三角形．由勾股定理，得 AB2＋BC2＝AC2， ∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2，即 AB＝BC.
阶段核心题型
证明：∵在△ABC 和△BCD 中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E 为 BC 的中点， ∴DE＝AE＝12BC，∴∠EDA＝∠EAD. ∵DC∥AE，∴∠ADC＝∠EAD， ∴∠ADC＝∠EDA. ∵DF＝DE，∴EF⊥DA.
阶段核心题型
(2)若 BC＝4，AD＝2 3，求 EF 的长．解：∵BC＝4.∴DE＝12BC＝2. ∵DE＝AE，EF⊥DA，AD＝2 3，∴DO＝12AD＝ 3. 在 Rt△DEO 中，EO＝ DE2－DO2＝1， ∵DF＝DE，∠ADC＝∠EDA， ∴EF＝2EO＝2.

2020-2021学年湘教版八年级下册数学习题课件 1.2.1勾股定理

探究培优
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3， DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P. (1)求PD的长； (2)连接 PC，求 PC 的长．
【点拨】求线段的长时，若没有直角三角形，常作三角形一边上的高，构造直角三角形，利用勾股定理求解．
夯实基础
2．已知一个直角三角形的两条边长分别为 8 和 15，则第三条边
长为( C )
A．17
B． 161
C． 161或 17 D ．不确定
夯实基础
3．【中考·毕节】如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，若 EB ＝1，EC＝2，那么正方形 ABCD 的面积为( B ) A． 3 B．3 C ． 5 D．5
XJ版八年级下
第1章直角三角形
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 第1课时勾股定理
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1A 2C
3B 4D
5＝ 6 20 7D 8A
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9A 10 C 11 见习题 12 见习题
13 见习题 14 见习题
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夯实基础
1．【中考·滨州】在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为( A ) A．5 B．6 C．7 D．8
夯实基础
6．【中考·雅安】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，对角线 AC，BD 交于点 O，若 AD＝2，BC＝4，则 AB2＋CD2＝___2_0____．
夯实基础
7．如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 3 和 4，则 b 的面积为( D ) A．3 B ．4 C．5 DFra bibliotek7整合方法

2020-2021学年湘教版八年级下册数学习题课件 1.2.2勾股定理的应用

XJ版八年级下
第1章直角三角形
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ) 第2课时勾股定理的应用
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1Байду номын сангаас 2C
3C 4C
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5 PB2＋PA2＝2PC2 6 20 7B 8B
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9 见习题 10 见习题 11 见习题 12 见习题
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夯实基础
整合方法
证明：如图，延长 ED 至点 G，使 DG＝ED，连接 BG，FG. 在△ADE 和△BDG 中，AD＝BD，∠1＝∠2，ED＝GD， ∴△ADE≌△BDG(SAS)．∴AE＝BG，∠3＝∠4. ∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°，∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°. ∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF. 在 Rt△FBG 中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
夯实基础
6．【中考·黄冈】如图，圆柱形玻璃杯高为 14 cm，底面周长为 32 cm，在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为__2_0_____cm(杯壁厚度不计)．
夯实基础
*7.【中考·营口】如图，在△ ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC＋PD 的最小值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7
夯实基础
【点拨】如图，过点 C 作 CO⊥AB 于 O，延长 CO 到 C′，使 OC′＝OC，连接 DC′，交 AB 于 P′，连接 CP′，此时 DP′＋CP′＝DP′＋P′C′＝DC′ 的值最小．连接 BC′，由对称性可知∠C′BP′＝∠CBP′＝45°，

2020年春湘教版八年级数学下册精品试题1.2 第3课时勾股定理的逆定理2

1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第3课时勾股定理的逆定理一、选择——基础知识运用1．在△ABC 中，AB=，BC=，AC=，则（）253A ．∠A=90°B ．∠B=90°C ．∠C=90°D ．∠A=∠B2．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（）A ．如果∠A-∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果a 2=b 2-c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠C=90°C ．如果∠A ：∠B ：∠C=1：3：2，那么△ABC 是直角三角形D ．如果a 2：b 2：c 2=9：16：25，那么△ABC 是直角三角形3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A ．a=1，b=2，c=3B ．a=4，b=2，c=3C ．a=4，b=2，c=5D ．a=4，b=5，c=34．已知四个三角形分别满足下列条件：①三角形的三边之比为1：1：；②三角形2的三边分别是9、40、41；③三角形三内角之比为1：2：3；④三角形一边上的中线等于这边的一半。

其中直角三角形有（）个。

A ．4B ．3C ．2D ．15．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（）A ．∠A+∠C=∠B B ．a=，b=，c=131415C ．（b+a ）（b-a ）=c 2D ．∠A ：∠B ：∠C=5：3：2二、解答——知识提高运用6．一个三角形三条边的比为5：12：13，且周长为60cm ，求它的面积。

7．已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，其中a=3，c=5，且关于x 的一元二次方程x 2-4x+b=0有两个相等的实数根，判断△ABC 的形状。

8．如图所示，在四边形ABCD 中，AB=2，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，5求四边形ABCD 的面积。

9．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角。

2020湘教版数学八年级下册1.2直角三角形的性质与判定3

第2课时勾股定理的实际应用1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2．勾股定理的正确使用．(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理在实际生活中的应用【类型一】勾股定理在实际问题中的简单应用如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保留根号)?解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC、AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，则AB＝BC2－AC2＝12米，6秒后，BC ＝13－0.5×6＝10米，则AB＝BC2－AC2＝53米，则船向岸边移动距离为(12－53)米．方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】含30°或45°等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日A市测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，以107km/h的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km 的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A 市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A 市受沙尘暴影响的时间．解析：过点A 作AC ⊥BF 于C ，然后求出∠ABC ＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC ＝12AB ，从而判断出A 市受沙尘暴影响，设从D 点开始受影响，此时AD ＝200km ，利用勾股定理列式求出CD 的长，再求出受影响的距离，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解．解：如图，过点A 作AC ⊥BF 于C ，由题意得，∠ABC ＝90°－60°＝30°，∴AC ＝12AB ＝12×300＝150(km)，∵150＜200，∴A 市受沙尘暴影响，设从D 点开始受影响，则AD ＝200km.由勾股定理得，CD ＝AD 2－AC 2＝2002－1502＝507(km)，∴受影响的距离为2CD ＝1007km ，受影响的时间位1007÷107＝10(h)．方法总结：熟记“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题探究点二：勾股定理在几何图形中的应用【类型一】利用勾股定理解决最短距离问题如图，长方体的长BE ＝15cm ，宽AB ＝10cm ，高AD ＝20cm ，点M 在CH 上，且CM ＝5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M ，需要爬行的最短距离是多少？解：分三种情况比较最短距离：如图①(将正面与上面展开)所示，AM ＝102＋（20＋5）2＝529，如图②(将正面与右侧面展开)所示，AM ＝202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm ；如图③(将正面与左侧面展开)所示，AM ＝（20＋10）2＋52＝537(cm).537＞25，∴最短距离为25cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型二】运用勾股定理与方程解决有关计算问题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是()A．1.5 B．2C．2.25 D．2.5解析：设AM＝x，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2，∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型三】勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.5＋1 B．－5＋1C.5－1D. 5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是5，那么点A所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．三、板书设计1．勾股定理在实际生活中的应用2．勾股定理在几何图形中的应用就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了“a2＋b2＝c2”，没有分析问题的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高7C学科网，最大最全的中小学教育资源网站，教学资料详细分类下载！。

2020年春湘教版八年级数学下册精品试题1.1 第1课时直角三角形的性质和判定

第1章直角三角形1.1 直角三角形的性质和判定（Ι）第1课时直角三角形的性质和判定要点感知1直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角__________.(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________.预习练习1-1在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( ) A.120° B.90° C.60° D.30°1-2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，点D为AB的中点，则CD=__________cm.要点感知2直角三角形的判定：有两个角__________的三角形是直角三角形.预习练习2-1在△ABC中，∠A=70°，∠B=20°，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定知识点1 直角三角形的两个锐角互余1.若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是( )A.24°B.34°C.44°D.46°2.如图，某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上，则∠1+∠2等于( )A.60°B.75°C.90°D.105°3.如图，在△ABC中，CE、BF是两条高，若∠A=65°，∠BCE=35°，则∠ABF的度数是__________，∠FBC的度数是__________.4.过△ABC的顶点C作边AB的垂线，如果这垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角，那么∠A、∠B中较小的角的度数是__________.知识点2 有两个角互余的三角形是直角三角形5.若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形6.下列条件：(1)∠A=25°，∠B=65°；(2)3∠A=2∠B=∠C；(3)∠A=5∠B；(4)2∠A=3∠B=4∠C中，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个知识点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半7.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC=( )A.30°B.40°C.45°D.60°8.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形为__________三角形.9.如图，Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB.若∠BCF=35°，求∠ACD的度数.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有( )A.0个B.1个C.2个D.3个11.如图，AB∥DF，AC⊥BC于点C，BC与DF交于点E，若∠A=20°，则∠CEF等于( )A.110°B.100°C.80°D.70°12.如果一个三角形的一个内角等于其他两个内角的差，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为( )A.3B.3.5C.4D.4.514.如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是__________.15.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=8，求DE的长.16.如图,在△ACD与△ABC中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点.(1)试说明DE=BE；(2)图中有哪些等腰三角形,请写出来.(不需要证明)17.如图，AD∥BC，∠DAB和∠ABC的平分线相交于CD边上的一点E，F为AB边的中点.求证：EF=12 AB.18.如图，已知M是Rt△ABC斜边AB的中点，CD=BM，DM与CB的延长线交于点E.求证：∠E=12∠A.参考答案要点感知1互余一半预习练习1-1 D1-2 5要点感知2互余预习练习2-1 B1.B2.C3.25°30°4.50°5.B6.A7.B8.直角9.∵EF∥AB，∴∠BCF=∠B.∵∠BCF=35°，∴∠B=35°.∵△ABC为直角三角形，∴∠CAB=90°-35°=55°.∵DC是斜边AB上的中线，∴AD=BD=CD，∴∠ACD=∠A=55°.10.C 11.A 12.B 13.A 14.1315.∵∠B=∠C，∴AB=AC.又D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.又E是AC的中点，∴DE=12 AC.∵AB=AC，AB=8，∴DE=12AB=12×8=4.16.(1)∵∠ABC=∠ADC=90°,E为AC的中点,∴DE=12AC,BE=12AC.∴DE=BE.(2)图中的等腰三角形有△CDE、△DAE、△AEB、△BEC、△DEB.17.证明：∵AE、BE分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠DAB=2∠EAB，∠ABC=2∠ABE.∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°.∴2∠EAB+2∠ABE=180°.∴∠EAB+∠ABE=90°.∴∠AEB=90°.∴△AEB是直角三角形.∵F为AB边的中点，∴EF=12 AB.18.证明：∵CM是△ABC的中线，CD=BM，∴CD=CM=BM=AM.∴△CDM是等腰三角形，∠MCB=∠MBC，∠CDM=∠CMD.∵∠CDM=∠A+∠AMD，∠CMD=∠MCB+∠E=∠BME+∠E+∠E，即∠A+∠AMD=∠BME+∠E+∠E，∴∠A=2∠E,即∠E=12∠A.。

湘教版八年级数学下册1.2.1 勾股定理练习题

1.2.1 勾股定理知识点 1 勾股定理的认识1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )A．5 B．6 C．7 D．82．下列说法正确的是( )A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，且∠A＝90°，则a2＋b2＝c2D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，且∠C＝90°，则a2＋b2＝c23．如图1－2－1，由直角三角形的三边向外作正方形A，B，C，若正方形A，B的面积分别为5和11，则正方形C的面积为( )图1－2－1A．4 B．6 C．16 D．55知识点 2 利用勾股定理进行计算4．如图1－2－2，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴AC2＋(________)2＝(________)2.(________)∵AB＝20，BC＝16，∴AC________．图1－2－25．如图1－2－3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，D为BC的中点，则线段AD的长为( )图1－2－3A．1.5 B．2 C．2.5 D．36．如图1－2－4，在由边长为1的小正方形组成的网格中，A，B都是格点，则线段AB的长度为________．图1－2－47．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则BC边上的高是________cm.8．如图1－2－5，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，BD＝12，则AD的长等于________．图1－2－59．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.(1)若c＝61，a＝60，求b；(2)若c＝10，a∶b＝3∶4，求a，b.10．如图1－2－6，△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上一点，AD＝15，且AD⊥AC，求BD的长．图1－2－6提升能力11．在如图1－2－7所示的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是( )图1－2－7A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c12．如图1－2－8，在正方形ODBC中，OC＝1，OA＝OB，则数轴上点A表示的数是________．图1－2－813．如图1－2－9，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于________．图1－2－914．如图1－2－10，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为________．图1－2－1015．为了向建校70周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤如下：①先裁下一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．请你根据①②步骤计算EC，FC的长．图1－2－1116．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1－2－12①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示的方式摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a 2＋b 2＝c 2.图1－2－12证明：连接DB ，DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF ＝EC ＝b －a. ∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋12ab ，S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝12c 2＋12a(b －a)，∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a(b －a)， ∴a 2＋b 2＝c 2.请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图②所示的方式摆放，其中∠DAB ＝90°. 求证：a 2＋b 2＝c 2.1．A 2．D3．C 4．BC AB勾股定理20 16 125．C 6．5 7.88．13 9．(1)b＝11 (2)a＝6，b＝810．解：∵AD⊥AC，AC＝20，AD＝15，∴CD＝AC2＋AD2＝202＋152＝25，∴BD＝BC－CD＝32－25＝7.11．D12．－ 213．814．615．解：由题意可知△ADE≌△AFE，∴DE＝FE，AD＝AF.∵BC＝20 cm，AB＝16 cm，∴CD＝16 cm，AD＝AF＝20 cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝AF2－AB2＝12 cm.∴FC＝20－12＝8(cm)．∵四边形ABCD是长方形，∴∠C＝90°.设CE＝x cm，则DE＝EF＝(16－x)cm.在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16－x)2＝64＋x2，解得x＝6.∴EC＝6 cm.即EC＝6 cm，FC＝8 cm.16．证明：连接DB，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a.∵S 五边形ACBED ＝S 梯形ACBE ＋S △AED ＝12(a ＋b )b ＋12ab .又∵S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ADB ＋S △BED ＝12ab ＋12c 2＋12a (b －a )，∴12(a ＋b )b ＋12ab ＝12ab ＋12c 2＋12a (b －a )， ∴a 2＋b 2＝c 2.。

2020年春湘教版八年级数学下册精品试题2.2.2 第1课时平行四边形的判定定理1,2

2.2.2 平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定定理1,2要点感知1一组对边平行且__________的四边形是平行四边形.预习练习1-1如果□ABCD和□ABEF有公共边AB，那么四边形DCEF是__________.要点感知2两组对边分别相等的四边形是__________四边形.预习练习2-1如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠A=110°，则∠C=__________.知识点1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1.如图，在四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F 点，AB=BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是( )A.AD=BCB.CD=BFC.∠A=∠CD.∠F=∠CDE第1题图第2题图第3题图2.如图，□ABCD中，点E、F分别为边AB、DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是( )A.3B.4C.5D.63.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是__________(只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段).4.如图，已知四边形ABCD中，AB=CD，∠BAC=∠DCA，求证：四边形ABCD是平行四边形.5.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO=DO.求证：四边形ABCD是平行四边形.知识点2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形6.四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=50°，则∠A=__________.7.如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、CD.若∠B=65°，则∠ADC的大小为__________.8.已知四边形ABCD的四条边长满足(AB-CD)2+(AD-BC)2=0，求证：AB∥CD.9.点A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的有( )A.3种B.4种C.5种D.6种10.如图，□ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=AB的长是__________.11.如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE.求证：四边形DEBF是平行四边形.12.如图，在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.13.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD.(1)求证：四边形MNCD是平行四边形；(2)求证：BD=3MN.14.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形?参考答案要点感知1相等预习练习1-1平行四边形要点感知2平行预习练习2-1110°1.D2.B3.答案不唯一，如AB＝CD或BC∥AD4.证明：∵∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD.又∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.5.证明：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠DCO.又∵BO=DO，∴△AOB≌△COD（AAS）.∴AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.6.130°7.65°8.证明：∵(AB-CD)2+(AD-BC)2=0，∴AB-CD=0，AD-BC=0.∴AB=CD，AD=BC.∴四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥CD.9.B 10.111.证明：∵BE∥DF，∴∠AFD=∠CEB.又∵∠ADF=∠CBE，AF=CE，∴△ADF≌△CBE(AAS).∴DF=BE.又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形.12.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD.又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF，∠DAE=∠BCF=60°.∴∠BCD-∠BCF=∠DAB-∠DAE，即∠DCF=∠BAE.∴△DCF≌△BAE(SAS).∴DF=BE.∴四边形BEDF是平行四边形.13.证明：(1)∵ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC.∵M、N分别是AD、BC的中点，∴MD=NC，MD∥NC.∴MNCD是平行四边形；(2)连接ND，∵MNCD是平行四边形，∴MN=DC.∵N是BC的中点，∴BN=CN.∵BC=2CD，∠C=60°，∴△NCD是等边三角形.∴ND=NC，∠DNC=60°.∵∠DNC是△BND的外角，∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.∵DN=NC=NB，∴∠DBN=∠BDN=12∠DNC=30°.∴∠BDC=90°.∴BC=2DC，DC.又DC=MN，∴MN.14.由题意可知，AP=t，CQ=2t，CE=12BC=8.∵AD∥BC，∴当PD＝EQ时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形. 当2t＜8即t＜4时，点Q在C、E之间，如图甲.此时，PD＝AD-AP＝6-t，EQ＝CE-CQ＝8-2t，由6-t＝8-2t得t＝2. 当8<2t<16即4<t<8时，点Q在B、E之间，如图乙.此时，PD＝AD-AP＝6-t，EQ＝CQ-CE＝2t-8，由6-t＝2t-8得t＝14 3.∴当运动时间为2或143时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形.。

2020—2021学年湘教版八年级数学下册 1.2.3 勾股定理的逆定理含答案

1.2.3 勾股定理的逆定理1．【中考·南通】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A．3，4，5 B．2，3，4C．4，6，7 D．5，11，122．在三角形中，三边长a，b，c满足(a－b)2＋|b－2|＋(c2－8)2＝0，则此三角形为()A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形3．【中考·益阳】已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A 为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对5．如果一个三角形的三边长的比为2∶3∶13，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都不对6．【中考·绍兴】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为()A．4 B．5C．6 D．77.△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝(b＋c)(b－c)；④a：b：c＝5：12：13.其中能判定△ABC是直角三角形的有()A．1个B．2个C．3个D．4个8.【中考·眉山】如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为()A．90°B．60°C．45°D．30°9．下列结论中，错误的有()①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边分别为AB，BC，AC，若BC2＋AC2＝AB2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形．A．0个B．1个C．2个D．3个10．【中考·河北】如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是()A．1，4，5 B．2，3，5C．3，4，5 D．2，2，411．如果11，a，61是勾股数，则a的值是________．12．【中考·四川】已知a，b，c是△ABC三边的长，且满足关系式c2－a2－b2＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为_ _____________________．13.【教材改编题】如图，在△ABD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，DC＝13，求四边形ABCD的面积．14．如图，已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝13 cm，D是腰AB上一点，且CD＝12 cm，AD＝5 cm.(1)求证：△BDC是直角三角形；(2)求△ABC的周长．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝3.(1)求∠DAB的度数；(2)求四边形ABCD的面积．16．【中考·河北】已知：整式A ＝(n 2－1)2＋(2n )2，整式B >0.尝试：化简整式A ．发现：A ＝B 2，求整式B ．联想：由上可知，B 2＝(n 2－1)2＋(2n )2，当n >1时，n 2－1，2n ，B 为直角三角形的三边长，如图所示，填写下表中B 的值．17．【中考·呼和浩特】如图，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a ＝6，b ＝8，c ＝12，请直接写出∠A 与∠B 的和与∠C 的大小关系；(2)求证：△ABC 的内角和等于180°；3)若a a －b ＋c＝12（a ＋b ＋c ）c ，求证：△ABC 是直角三角形．18．在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝α，点P 为△ABC 内一点，将CP 绕点C 顺时针旋转α得到CD ，连接AD ．(1)如图①，当α＝60°，PA ＝10，PB ＝6，PC ＝ 8时，求∠BPC 的度数；(2)如图②，当α＝90°，PA ＝3，PB ＝1，PC ＝2时，求∠BPC 的度数．1.2.3 勾股定理的逆定理1．【中考·南通】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(A)A．3，4，5 B．2，3，4C．4，6，7 D．5，11，122．在三角形中，三边长a，b，c满足(a－b)2＋|b－2|＋(c2－8)2＝0，则此三角形为(C)A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形3．【中考·益阳】已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A 为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【点拨】如图，依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2＋2＋1＝5，进而得出AC2＋BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．4．如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的△ABC是(A)A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对5．如果一个三角形的三边长的比为2∶3∶13，那么这个三角形是(C) A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上都不对6．【中考·绍兴】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为(B)A．4 B．5C．6 D．77.△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A＝∠B－∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝(b＋c)(b－c)；④a：b：c＝5：12：13.其中能判定△ABC是直角三角形的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个【点拨】①中，因为∠A＝∠B－∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠B＝90°，所以△ABC是直角三角形；②中，由∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5得△ABC中最大角∠C＝180°×512＝75°，则△ABC为锐角三角形；③中，a2＝(b＋c)(b－c)＝b2－c2，即a2＋c2＝b2，所以△ABC是直角三角形；④中，因为a∶b∶c＝5∶12∶13，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．故选C.8.【中考·眉山】如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(C)A．90°B．60°C．45°D．30°【点拨】连接AC，根据勾股定理可以得到AC＝BC＝5，AB＝10.∵(5)2＋(5)2＝(10)2，即AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC＝45°.9．下列结论中，错误的有(C)①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边分别为AB，BC，AC，若BC2＋AC2＝AB2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形．A．0个B．1个C．2个D．3个【点拨】①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或7，错误；②△ABC的三边分别为AB，BC，AC，若BC2＋AC2＝AB2，则∠C＝90°，错误；③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形，正确；④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形，正确．10．【中考·河北】如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是(B)A．1，4，5 B．2，3，5C．3，4，5 D．2，2，411．如果11，a ，61是勾股数，则a 的值是__60______．12．【中考·四川】已知a ，b ，c 是△ABC 三边的长，且满足关系式c 2－a 2－b 2＋|a －b |＝0，则△ABC 的形状为_ ______等腰直角三角形_______________．13.【教材改编题】如图，在△ABD 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝12，DC ＝13，求四边形ABCD 的面积．解：∵在△ABD 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AD ＝4，∴BD ＝AD 2＋AB 2＝42＋32＝5.又∵在△BCD 中，BC ＝12，DC ＝13，∴BC 2＋BD 2＝DC 2，∴△BCD 是直角三角形，∠CBD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC＝12AD ·AB ＋12BD ·BC ＝12×4×3＋12×5×12＝36.14．如图，已知等腰三角形ABC 的腰AB ＝AC ＝13 cm ，D 是腰AB 上一点，且CD ＝12 cm ，AD ＝5 cm.(1)求证：△BDC 是直角三角形；(2)求△ABC 的周长．证明：(1)∵AC＝13 cm，CD＝12 cm，AD＝5 cm，∴AD2＋CD2＝AC2，∴△ADC为直角三角形，且∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°，∴△BDC为直角三角形．(2)∵AB＝13 cm，AD＝5 cm，∴BD＝8 cm，由(1)知△BDC为直角三角形，∴BC＝BD2＋CD2＝82＋122＝413(cm)，∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝13＋13＋413＝26＋413(cm)．15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝3.(1)求∠DAB的度数；(2)求四边形ABCD的面积．解：连接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC ＝2 2，∠BAC ＝45°.∵AD ＝1，CD ＝3，∴AD 2＋AC 2＝12＋(2 2)2＝9，CD 2＝9，∴AD 2＋AC 2＝CD 2，∴△ADC 是直角三角形，且∠DAC ＝90°，∴∠DAB ＝∠DAC ＋∠BAC ＝135°.(2)：在Rt △ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AB ＝12×2×2＝2.在Rt △ADC 中，S △ADC ＝12AD ·AC ＝12×1×2 2＝ 2.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝2＋ 2.16．【中考·河北】已知：整式A ＝(n 2－1)2＋(2n )2，整式B >0.尝试：化简整式A ．发现：A ＝B 2，求整式B ．联想：由上可知，B 2＝(n 2－1)2＋(2n )2，当n >1时，n 2－1，2n ，B 为直角三角形的三边长，如图所示，填写下表中B 的值．解：尝试：A ＝(n 2－1)2＋(2n )2＝n 4－2n 2＋1＋4n 2＝n 4＋2n 2＋1.发现：∵A ＝n 4＋2n 2＋1＝(n 2＋1)2，A ＝B 2，B >0，∴B ＝n 2＋1.联想：17；3717．【中考·呼和浩特】如图，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a ＝6，b ＝8，c ＝12，请直接写出∠A 与∠B 的和与∠C 的大小关系；(2)求证：△ABC 的内角和等于180°；3)若a a －b ＋c＝12（a ＋b ＋c ）c ，求证：△ABC 是直角三角形．(2答题图）解：(1)∠A ＋∠B <∠C .(2)证明：如图，过点B 作MN ∥AC ，则∠MBA ＝∠A ，∠NBC ＝∠C .∵∠MBA ＋∠ABC ＋∠NBC ＝180°，∴∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°，即△ABC 的内角和等于180°.(3)证明：∵a a －b ＋c＝12（a ＋b ＋c ）c ， ∴ac ＝12(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝12[(a 2＋2ac ＋c 2)－b 2]，∴2ac ＝a 2＋2ac ＋c 2－b 2，∴a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 是直角三角形．18．在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝α，点P 为△ABC 内一点，将CP 绕点C 顺时针旋转α得到CD ，连接AD ．(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝8时，求∠BPC的度数；(2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．(1答题图) (2答题图)解：(1)如图①，连接DP，易知△DCP为等边三角形，易得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝60°，AD＝PB＝6，DP＝PC＝8，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝150°，∴∠BPC＝150°.(2)：如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形，△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝45°，AD＝PB＝1，DP＝2 2，∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，∴∠ADC＝135°，∴∠BPC＝135°.。

八年级数学下册 1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)《勾股定理》典型例题素材 (新版)湘教版

勾股定理1、在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？2、下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案1、（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3，AC 2+BC 2=42+32=25∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图） S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+72 2、①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2.③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.。

湘教版2019年度八年级数学下册第1章1.2直角三角形的性质与判定Ⅱ第1课时勾股定理练习含答案

课时作业(三)[1.2 第1课时勾股定理]一、选择题1．2018·滨州在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 ( )A．5 B．6C．7 D．82．如图K－3－1，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )图K－3－1A．5 B．6 C．7 D．253．如图K－3－2，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE.若CE ＝5，AC＝12，则BE的长是( )图K－3－2A．5 B．10 C．12 D．134．如图K－3－3，长方形OABC的边OA的长为3，边AB的长为2，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )图K－3－3A．3.5 B．2 2 C. 5 D.135．2018·泸州“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图K－3－4所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 ( )图K－3－4A．9 B．6C．4 D．36．2017·大连如图K－3－5，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，E是AB的中点，CD＝DE ＝a，则AB的长为( )图K －3－5A ．2aB ．2 2aC ．3a D.4 33a二、填空题7．若直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是__________．8．如图K －3－6，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD ＝________．图K －3－69．直角三角形斜边长是5，一条直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．10．如图K －3－7，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为________.链接听课例3归纳总结图K －3－711．2017·徐州如图K －3－8，已知OB ＝1，以OB 为直角边作等腰直角三角形A 1BO ，再以OA 1为直角边作等腰直角三角形A 2A 1O ……如此下去，则线段OA n 的长度为________．图K －3－812．2017·黑龙江在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是________．13．如图K －3－9，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，则△ABC 的周长是________(结果保留根号)．图K －3－9三、解答题14．如图K －3－10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BC ＝6，AC ＝8，求AB 与CD 的长.链接听课例2归纳总结图K－3－1015．如图K－3－11所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于点E，且E 为AB的中点，DE＝1.(1)求∠A的度数；(2)求AB的长度．图K－3－1116．2017·徐州如图K－3－12，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝3 3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．图K－3－1217. 如图K－3－13，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，一个动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C运动，同时另一个动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．(1)用含t的代数式表示线段AQ和CP的长．(2)当t为何值时，AP＝AQ?(3)是否存在某一个t值，使AP＝BP？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图K－3－13数形结合题在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以三边为边分别向外作正方形，如图K－3－14所示，过点C作CH⊥AB于点H，延长CH交MN于点I.(1)若AC＝3 2，BC＝2 3，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积；(2)请结合图形，证明勾股定理：AC2＋BC2＝AB2.链接听课例3归纳总结图K－3－14详解详析课堂达标1．[解析] A 根据勾股定理直接求得弦长为32＋42＝5.2．[解析] A 如图，AB ＝AC 2＋BC 2＝5.故选A.3．[解析] D 在Rt △CAE 中，CE ＝5，AC ＝12，由勾股定理，得AE ＝CE 2＋AC 2＝52＋122＝13.又∵DE 是AB 的垂直平分线，∴BE ＝AE ＝13.4．[解析] D 由勾股定理可知OB ＝32＋22＝13，∴这个点表示的实数是13.5．[解析] D 设直角三角形斜边长为c ，根据勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.∵大正方形的面积为25，∴c2＝25，即a 2＋b 2＝25.∵ab ＝8，∴(a －b)2＝a 2＋b 2－2ab ＝25－2×8＝9，即a －b ＝3，即小正方形的边长为3. 6．[解析] B 因为CD ⊥AB ，CD ＝DE ＝a ，所以CE ＝CD 2＋DE 2＝a 2＋a 2＝2a.又△ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是AB 的中点，所以AE ＝BE ＝CE ，所以AB ＝2CE ＝2 2a.7．[答案] 5[解析] 已知直角三角形的两直角边长分别为6，8，则斜边长为62＋82＝10，故斜边的中线长为12×10＝5.故答案为5.8．[答案] 8[解析] 因为CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，且DE ＝5，所以AC ＝10.在Rt △ADC 中，CD ＝AC 2－AD 2＝102－62＝8. 9．[答案] 6 [解析] ∵直角三角形的斜边长是5，一条直角边的长是3，∴另一条直角边的长为52－32＝4，∴该直角三角形的面积S ＝12×3×4＝6.10．[答案] 16[解析] ∵a ，b ，c 都是正方形， ∴AC ＝CD ，∠ACD ＝90°.∵∠ACB ＋∠DCE ＝∠ACB ＋∠CAB ＝90°，∴∠CAB ＝∠DCE.又∵∠ABC ＝∠CED ＝90°，AC ＝CD ， ∴△ACB ≌△CDE ， ∴AB ＝CE ，BC ＝ED.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2＝AB 2＋ED 2，即S b ＝S a ＋S c ＝5＋11＝16.11．[答案] 2n[解析] ∵△OBA 1为等腰直角三角形，OB ＝1， ∴A 1B ＝OB ＝1，OA 1＝2OB ＝ 2. ∵△OA 1A 2为等腰直角三角形， ∴A 1A 2＝OA 1＝2，OA 2＝2OA 1＝2. ∵△OA 2A 3为等腰直角三角形， ∴A 2A 3＝OA 2＝2，OA 3＝2OA 2＝2 2； ∵△OA 3A 4为等腰直角三角形，∴A 3A 4＝OA 3＝2 2，OA 4＝2OA 3＝4……∴OA n 的长度为2n. 12．21 3或15 3 13．[答案] 6＋2 3[解析] ∵△ABD 是等边三角形，∴∠B ＝60°.∵∠BAC ＝90°，∴∠C ＝180°－90°－60°＝30°， ∴BC ＝2AB ＝4. 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝BC 2－AB 2＝42－22＝2 3，∴△ABC 的周长是AC ＋BC ＋AB ＝2 3＋4＋2＝6＋2 3.14．解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8.∵AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴AB ＝10. ∵S △ABC ＝12AB·CD＝12BC·AC＝12×6×8，∴CD ＝6×810＝4.8.15．解：(1)由DE 垂直平分AB ，得AD ＝BD ，从而得∠A ＝∠DBE. 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠DBE ＝∠DBC ＝∠A. 又∵∠C ＝90°， ∴∠A ＝30°.(2)∵DE ＝1，DE ⊥AB ，∠A ＝30°， ∴AD ＝2DE ＝2，∴AE ＝AD 2－DE 2＝3， ∴AB ＝2AE ＝2 3. 16．解：(1)4(2)过点D 作DE ⊥BC 于E. ∵AC ＝AD ，∠CAD ＝60°， ∴△CAD 是等边三角形， ∴CD ＝AC ＝4，∠ACD ＝60°. ∵AC ⊥BC ，∠ACD ＝60°， ∴∠BCD ＝30°.在Rt △CDE 中，CD ＝4，∠BCD ＝30°， ∴DE ＝12CD ＝2，CE ＝23，∴BE ＝ 3.在Rt △DEB 中，由勾股定理得DB ＝7.17．解：(1)∵在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB ＝10，∴AQ ＝10－2t ，CP ＝8－t.(2)AP ＝t ，AQ ＝10－2t ，令t ＝10－2t ，解得t ＝103.故当t 为103时，AP ＝AQ.(3)不存在．理由：在Rt △PCB 中，∠PCB ＝90°，∴CP 2＋BC 2＝BP 2.∵CP ＝8－t ，BC ＝6，BP ＝AP ＝t ， ∴(8－t)2＋62＝t 2，解得t ＝254. ∵254>10÷2＝5， ∴不存在使AP ＝BP 成立的t 值．素养提升证明：(1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3 2，BC ＝2 3， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝（3 2）2＋（2 3）2＝30， ∴S △ABC ＝12AC·BC＝12AB·CH，即12×3 2×2 3＝12×30CH ， ∴CH ＝6 55，∴AH ＝AC 2－CH 2＝3 305.∵四边形ABMN 为正方形， ∴AN ＝AB ＝30.∵S 四边形AHIN ＝AH·AN＝3 305×30＝18，S 四边形AEFC ＝AC 2＝(3 2)2＝18，∴四边形AHIN 的面积等于正方形AEFC 的面积． (2)∵四边形AHIN 的面积等于正方形AEFC 的面积，∴AC 2＝AH·AB，同理可得BC 2＝BH ·AB ，∴AC 2＋BC 2＝AH·AB＋BH·AB＝AB 2.。

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1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第1课时勾股定理
一、选择题(本大题共8小题)
1.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．
A．9B．24C．45D．51
第1题图第8题图
2.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）
A．13B．13C．13或15D．15
3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）
A．13B．8C．25D．64
4.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）
A．2n B．n+1C．n2﹣1D．n2+1
5.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A．4，5，6B．3，4，5C．2，3，4D．1，2，3
6.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）
A．25B．7C．5和7D．25或7
7.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（）
A．6cm B．8.5cm C． cm D． cm
8.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）
A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2
二、填空题(本大题共6小题)
9.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．
10.如图，正方形B的面积是　．
第10题图第11题图
11.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积
是．
12.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．
13.如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD的面积．
第13题图第14题图
14.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等
于．
三、计算题(本大题共2小题)
15.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？
16. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1. C
分析：根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．
解：∵ =15厘米，
∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．
2.B
分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解：当12是斜边时，第三边是=
当12是直角边时，第三边是=13．故选B．
3. B
分析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．
解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，
解得：x=8．故选B．
4. D
分析：根据勾股定理直接解答即可．
解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是： =
==n2+1．故选D．
5. B
分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
B、∵32+42=52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；
C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；
D、∵12+22≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选B．
6. D
分析：分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．
解：分两种情况：
①当3和4为直角边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；
②4为斜边长时，
由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；
综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D．
7. D
分析：先根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．解：∵直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm，
∴斜边==13cm，
设斜边上的高为h，则直角三角形的面积=×5×12=×13•h，
∴h=cm．故选D．
8. A
分析：首先根据翻折的性质得到ED=BE，再设出未知数，分别表示出线段AE，ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．
解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，
∴ED=BE，
设AE=xcm，则ED=BE=（9﹣x）cm，
在Rt△ABE中，
AB2+AE2=BE2，
∴32+x2=（9﹣x）2，
解得：x=4，
∴△ABE的面积为：3×4×=6（cm2）．故选：A．
二、填空题(本大题共6小题)
9.分析：由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．
解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，
∴AC2+BC2=AB2，又AB=2，
∴AC2+BC2=AB2=4，
则AB2+BC2+CA2=AB2+（BC2+CA2）=4+4=8．
故答案为：8
10.分析：根据正方形的面积公式求出AC、AD的长，根据勾股定理求出CD的长，根据正方形的面积公式计算即可．
解：由正方形的面积公式可知，
AC=13，AD=5，
由勾股定理得，DC==12，
则CD2=144，
∴正方形B的面积是144，
故答案为：144．
11.分析：在直角三角形ABE中，由AE与BE的长，利用勾股定理求出AB的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出阴影部分面积即可．
解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，
根据勾股定理得：AB==5，
则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣×3×4=25﹣6=19，
故答案为：19．
12.分析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．
解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：
（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，
解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），
即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．
所以，其周长为6+8+10=24cm．
13.
分析：由图可得出四边形ABCD的面积=网格的总面积﹣四个角的四个直角三角形的面积，该网格是5×5类型的且边长都是1的小正方形，面积为5×5；四个角的四个直角三角形
的直角边分别为：1、2；4、3；3、2；3、2；根据直角三角形的面积等于×两直角边的乘积，分别求出四个直角三角形的面积，进而求出四边形ABCD的面积．
解：由题意可得：
四边形ABCD的面积=5×5﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×3﹣×2×3=12，
所以，四边形ABCD的面积为12．
故答案为12．
14.
分析：根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．
解：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，
∴BD=AD=5，
∵BC=8，
∴CD=BC﹣BD=3，
∴AC==4，
故答案是：4．
三、计算题(本大题共2小题)
15.
分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．
故答案为：49cm2．
16.
解：.∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°.
∴AD=DB.
又∵Rt△CBD中，CD=5 cm，
∴BD=10 cm.
∴
∴ cm.。