最优化算法习题
最优化方法(试题+答案)
一、 填空题1.若()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121312112)(x x x x x x x f ，则=∇)(x f ，=∇)(2x f .2.设f 连续可微且0)(≠∇x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。
3.向量T)3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .6.以下约束优化问题：)(01)(..)(min 212121≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f的K-K-T 条件为：. 7.以下约束优化问题：1..)(min 212221=++=x x t s x x x f的外点罚函数为（取罚参数为μ） .二、证明题（7分+8分）1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h ni ,1,:1+=→都是线性函数，证明下面的约束问题：},,1{,0)(},1{,0)(..)(min 1112m m E j x h m I i x g t s x x f j i nk k+=∈==∈≥=∑=是凸规划问题。
2.设R R f →2:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题：},1{,0}2,1{,0..)(min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i Ti +=∈=-=∈≥-设d 是问题1||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥∇d E i d a Ii d a t s d x f Ti Ti T的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。
三、计算题（每小题12分）1.取初始点T x )1,1()0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代2步）：22212)(m in x x x f +=2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题：21222121)(min x x x x x f -+=3.用有效集法求解下面的二次规划问题：.0,001..42)(min 2121212221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0()0(=x,计算到)2(x 即可)：.0,033..221)(min 21211222121≥≥≤+-+-=x x x x t s x x x x x x f参考答案一、填空题 1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++3421242121x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4224 2. 0)(<∇d x f T3. T)0,1,2(-，T)1,0,3(-（答案不唯一）。
最优化方法(试题+答案)
1.若 ，则 ， .
2.设 连续可微且 ，若向量 满足，则它是 在 处的一个下降方向。
3.向量 关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有.
4.设 二次可微，则 在 处的牛顿方向为.
5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法：.
6.以下约束优化问题：
的K-K-T条件为：
.
7.以下约束优化.证明：要证凸规划，即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。
一方面，由于 二次连续可微， 正定，根据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数。
另一方面，约束条件均为线性函数，若任意 可行域，则
故 ，从而可行域是凸集。
2.证明：要证 是 在 处的一个可行方向，即证当 ， 时， ，使得 ，
解此线性规划（作图法）得 ，于是 .由线性搜索
得 .因此， .重复以上计算过程得下表：
0
1
1
2
（注：范文素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注。）
2.采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题：
3.用有效集法求解下面的二次规划问题：
4.用可行方向算法（Zoutendijk算法或Frank Wolfe算法）求解下面的问题（初值设为 ,计算到 即可)：
参考答案
一、填空题
1. 2. 3. ， （答案不唯一）。4.
5. 牛顿法、修正牛顿法等（写出一个即可）
0
1/2
1
2
2
3.解：取初始可行点 求解等式约束子问题
得解和相应的Lagrange乘子
转入第二次迭代。求解等式约束子问题
得解
令
转入第三次迭代。求解等式约束子问题
得解和相应的Lagrange乘子
最优化方法试题及答案
最优化方法试题及答案一、选择题1. 下列哪项不是最优化方法的特点？A. 目标性B. 可行性C. 多样性D. 随机性答案：D2. 在最优化问题中，约束条件的作用是什么？A. 限制解的可行性B. 增加问题的复杂性C. 提供额外的信息D. 以上都是答案：A3. 线性规划问题中，目标函数与约束条件之间的关系是什么？A. 无关B. 相等C. 线性D. 非线性答案：C二、简答题1. 简述最优化问题的基本构成要素。
答案：最优化问题的基本构成要素包括目标函数、决策变量、约束条件和解的可行性。
目标函数是衡量最优化问题解的质量的函数，决策变量是问题中需要确定的参数，约束条件是对决策变量的限制，解的可行性是指解必须满足所有约束条件。
2. 什么是局部最优解和全局最优解？请举例说明。
答案：局部最优解是指在问题的邻域内没有其他解比当前解更优的解，而全局最优解是指在整个解空间中最优的解。
例如，在山峰攀登问题中，局部最优解可能是到达了一个小山丘的顶部，而全局最优解是到达了最高峰的顶部。
三、计算题1. 假设一个农民有一块矩形土地，长为100米，宽为80米，他想在这块土地上建一个矩形的养鸡场，但只能沿着土地的长边布置。
如果养鸡场的一边必须靠在土地的长边上，另一边与土地的宽边平行，求养鸡场的最大面积。
答案：为了使养鸡场的面积最大，养鸡场的一边应该靠在土地的宽边上，另一边与土地的长边平行。
这样，养鸡场的长将是80米，宽将是100米，所以最大面积为80米 * 100米 = 8000平方米。
2. 一个工厂需要生产三种产品A、B和C，每种产品都需要使用机器X 和机器Y。
生产一个单位的产品A需要机器X工作2小时和机器Y工作1小时；产品B需要机器X工作3小时和机器Y工作2小时；产品C需要机器X工作1小时和机器Y工作3小时。
工厂每天有机器X总共300小时和机器Y总共200小时的使用时间。
如果工厂每天需要生产至少100单位的产品A，50单位的产品B和20单位的产品C，请问工厂应该如何安排生产以最大化产品的总产量？答案：设生产产品A的单位数为x，产品B的单位数为y，产品C的单位数为z。
最优化方法试卷及答案5套.docx
《最优化方法》1一、填空题:1. _______________________________________________________ 最优化问题的数学模型一般为：_____________________________________________ ,其中___________ 称为目标函数，___________ 称为约束函数，可行域D可以表示为_______________________________ ，若 ________________________________ ，称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。
2.设f(x)= 2斤+2“2-兀|+5花，则其梯度为__________ ^x = (l,2)r?6/ = (l,0)r,则f(x)在壬处沿方向d的一阶方向导数为___________ ，几何意义为_____________________________________ ，二阶方向导数为____________________ ,几何意义为_____________________________3.设严格凸二次规划形式为：min /(%) = 2兀］2 + 2x； - 2兀］-x2s.t. 2%! 4- x2 < 1> 0x2 > 0则其对偶规划为_______________________________________________min%（d ） = f （x k +ad k ）的最优步长为务=—叫）F.d kT Gd k2. （10分）证明凸规划min/（x ）,x G D （其中子（兀）为严格凸函数，D 是凸集）的最优解是唯一的3. （13分）考虑不等式约束问题min /（x ）s.t. c i （x ） < 0, Z G / = {1,2,…，加}其中/（x ）,6 （兀）a e /）具有连续的偏导数，设X 是约束问题的可行点，若在元处 d 满足巧（计<0,VC,（元）（可则d 是元处的可行下降方向。
最优化方法试题
《最优化方法》试题一、 填空题1.设()f x 是凸集n S R ⊂上的一阶可微函数，则()f x 是S 上的凸函数的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义是（ ）；2.设()f x 是凸集n R 上的二阶可微函数，则()f x 是n R 上的严格凸函数（ ）（填‘当’或‘当且仅当’）对任意n x R ∈，2()f x ∇是（ ）矩阵；3.已知规划问题22211212121212min 23..255,0z x x x x x x s t x x x x x x ⎧=+---⎪--≥-⎨⎪--≥-≥⎩，则在点55(,)66T x =处的可行方向集为（ ），下降方向集为（ ）。
二、选择题1.给定问题222121212min (2)..00f x x s t x x x x ⎧=-+⎪⎪-+≤⎨⎪-≤⎪⎩，则下列各点属于K-T 点的是（ ）A) (0,0)T B) (1,1)TC) 1(,22T D) 11(,)22T 2.下列函数中属于严格凸函数的是（ ）A) 211212()2105f x x x x x x =+-+ B) 23122()(0)f x x x x =-<C) 2222112313()226f x x x x x x x x =+++- D) 123()346f x x x x =+- 三、求下列问题()22121212121211min 51022..2330420,0f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥取初始点()0,5T。
四、考虑约束优化问题()221212min 4..3413f x x x s t x x =++≥用两种惩罚函数法求解。
五．用牛顿法求解二次函数222123123123()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++- 的极小值。
初始点011,1,22Tx ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
最优化方法试卷及答案5套.docx
最优化⽅法试卷及答案5套.docx《最优化⽅法》1⼀、填空题:1. _______________________________________________________ 最优化问题的数学模型⼀般为：_____________________________________________ ,其中___________ 称为⽬标函数，___________ 称为约束函数，可⾏域D可以表⽰为_______________________________ ，若 ________________________________ ，称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。
2.设f(x)= 2⽄+2“2-兀|+5花，则其梯度为__________ ^x = (l,2)r?6/ = (l,0)r,则f(x)在壬处沿⽅向d的⼀阶⽅向导数为___________ ，⼏何意义为_____________________________________ ，⼆阶⽅向导数为____________________ ,⼏何意义为_____________________________3.设严格凸⼆次规划形式为：min /(%) = 2兀］2 + 2x； - 2兀］-x2s.t. 2%! 4- x2 < 1> 0x2 > 0则其对偶规划为_______________________________________________min%（d ） = f （x k +ad k ）的最优步长为务=—叫）F.d kT Gd k2. （10分）证明凸规划min/（x ）,x G D （其中⼦（兀）为严格凸函数，D 是凸集）的最优解是唯⼀的3. （13分）考虑不等式约束问题min /（x ）s.t. c i （x ） < 0, Z G / = {1,2,…，加}其中/（x ）,6 （兀）a e /）具有连续的偏导数，设X 是约束问题的可⾏点，若在元处 d 满⾜巧（计<0,VC,（元）（可则d 是元处的可⾏下降⽅向。
最优化方法-习题
( x2 x1) f ( x 2) f ( x2) f ( x1)
三 、 设 f(x)=
2 1
“充分性” 由 则
x ，x
1
2
的任意性取
x = x 时，f( x )>f( x )
1
T 1 T T Qx b x c, Q Q 0 试 证 ： 共 轭 梯 度 法 的 线 性 搜 索 中 2x
3
*
T
f ( x)
x
2
1
2 x 2 2 x1 x2 4 x1 , x R
T
1、 给定问题
x
(1)
(1,1)
解：1）DFC 法 取初始对称矩阵
1 0 H1 0 1
第一次迭代：
x x x 2 x 6 x 14 x x x x 2 s.t. x 2 x 3 x 0, x 0, x 0 取初始点 x (1 ,1,0) ，用简约梯度法求其最优解
T
2) 因为 Q=
2 2 2 2 ,所以 |Q|= 2 6 =8>0 即可知 Q 是非奇异的 2 6 2 2 2 6
=8>0 ,所以 Q 是正定的,故 f(x)是正定的
f ( x1) (2,4,5)
3) 因为|2|>0,
2 d f ( x1) =(1,0,-1) 4 = -3<0 5
2 2
2
一、设 f(x)为定义在区间[a,b]上的实值函数，
2) f(x)=ln(
x1 + x x x 2 )
x1 x2 9 x3 , x1 6 x2 x3 2 , 9 x1 x2 )
最优化习题
最优化方法部分课后习题解答习题一1.一直优化问题的数学模型为：22121122123142min ()(3)(4)5()02()50..()0()0f x x xg x x x g x x x s t g x x g x x =−+−⎧=−−≥⎪⎪⎪=−−+≥⎨⎪=≥⎪=≥⎪⎩试用图解法求出：（1）无约束最优点，并求出最优值。
（2）约束最优点，并求出其最优值。
（3）如果加一个等式约束，其约束最优解是什么？12()0h x x x =−=解：（1）在无约束条件下，的可行域在整个平面上，不难看出，当=（3，4）()f x 120x x *x 时，取最小值，即，最优点为=（3，4）：且最优值为：=0()f x *x *()f x （2）在约束条件下，的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是()f x 在约束集合即可行域中找一点，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可12(,)x x 以看出，当时，所在的圆的半径最小。
*155(,)44x =()f x 其中：点为和的交点，令求解得到：1()g x 2()g x 1122125()02()50g x x x g x x x ⎧=−−=⎪⎨⎪=−−+=⎩1215454x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即最优点为：最优值为：=*155(,)44x =*()f x 658（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.解：列出这个优化问题的数学模型为：该优化问题属于三维的优化问题。
123122313123max ()220..00f x x x x x x x x x x S x s t x x =++≤⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎩32123sx y z v⎛⎞=====⎜⎟⎝⎠习题二3.计算一般二次函数的梯度。
最优化方法试卷
华东理工大学研究生《最优化方法》考试卷专业 ________ 班级 ________ 学号 ________ 姓名 ________ 成绩 ________2014年12月11日 一、简答题（40分，每小题4分）1．请写出最优化问题的一般模型形式。
2．试叙述局部最优解和全局最优解的定义。
3．请给出优化算法收敛速度的定义。
4．请给出优化算法的终止准则。
5．给出下降方向的定义和判别方法？ 6．简述下降迭代法的基本步骤。
7．何谓共轭方向？你知道由线性无关向量组构造共轭向量组的方法吗？ 8．最速下降法是最好的优化算法吗？为什么？ 9．何谓可行方向及如何判别？10．优化问题的最优解与可行下降方向有什么关系？二、（10分）试用最速下降法（梯度法）求解如下问题，初始点⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110x ，只迭代一次，并判断迭代结果是否为最优解。
21222122)(min 2x x x x x f Rx -+=∈三、（10分）试叙述Powell 基本算法步骤或单纯形替换法的步骤，并简述其特点。
四、（10分）试用惩罚函数求解如下的优化问题8 ..)3()(min 2≥--=x t s x x f五、（10分）考虑下述线性规划问题1223 1832 ..233)(max 321321321321≥=++=+++-=x x x x x x x x x t s x x x x f ，，1．求出该问题的所有基本解，并指出哪些是基本可行解； 2．该问题是否有最优解？若有，请求出其最优解。
六、（10分）考虑问题010)3( 010)3( ..)(max 211323212≥≤---≤+-+=x x x x x x t s x x f ，1．写出上述问题的Kuhn —Tucker 条件。
2．这个问题的最优解满足Kuhn —Tucker 条件吗？为什么？七、（10分）已知某化工反应y 与因数x 和时间t 之间的依赖关系为xa t a ta x a y 43211+++=其中4321,,,a a a a 是待定参数，为确定这三个参数，实验测得有关y x t ,,的五组数据如下：1．试用最小二乘法建立确定参数4321,,,a a a a 的数学模型；2．对于列出的非线性最小二乘问题，你知道有哪些优化算法可求解该问题，并请给出求解该问题的修正Gauss-Newton 算法的迭代公式。
最优化方法考试试题
最优化方法考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1、下列哪个选项不是最优化方法的常见应用场景？A.生产计划优化B.金融投资组合优化C.图像处理优化D.自然语言处理优化正确答案：D.自然语言处理优化。
2、下列哪个算法不是求解线性规划问题的常用算法？A.单纯形法B.内点法C.外点法D.牛顿法正确答案：D.牛顿法。
3、下列哪个选项不是整数规划问题的特点？A.变量取值必须是整数B.问题复杂度较高，通常需要特殊算法求解C.在实际应用中比线性规划更为广泛D.可以使用与线性规划相同的方法求解正确答案：D.可以使用与线性规划相同的方法求解。
4、下列哪个选项不是梯度下降法的优点？A.简单易行，易于实现B.能较快地收敛到局部最优解C.对初值不敏感，易于找到全局最优解D.对于大规模数据处理效率较高正确答案：C.对初值不敏感，易于找到全局最优解。
5、下列哪个选项不是模拟退火算法的特点？A.基于概率的搜索方法，有一定的随机性B.在解空间内随机搜索，可以跳出局部最优解的陷阱C.可以找到全局最优解，但需要设置退火温度等参数D.对于组合优化问题通常比暴力搜索算法更快找到最优解正确答案：D.对于组合优化问题通常比暴力搜索算法更快找到最优解。
二、填空题（每空2分，共20分）6.最优化方法中，通常使用__________来衡量一个解的好坏。
正确答案：目标函数。
7.在使用单纯形法求解线性规划问题时，__________是算法终止的条件。
正确答案：迭代次数达到预设的上限。
8.整数规划问题中，如果所有变量都有上限和下限的约束，则称为__________规划问题。
正确答案：背包。
9.在使用模拟退火算法求解组合优化问题时，__________是算法终止的条件。
正确答案：达到预定的迭代次数或者解的变化小于某个给定的阈值。
10.最优化方法中，__________是一种启发式搜索方法，通常用于解决组合优化问题。
正确答案：遗传算法。
最优化问题在现实世界中随处可见，从解决日常生活中的最佳路线问题，到企业寻求最大化利润和最小化成本，最优化方法都发挥着至关重要的作用。
最优化习题
min 2 x1 + 2 x 2 ⎧ x1 − x 2 ≥ 1 ⎪ s.t.⎨− x1 + 2 x 2 ≤ 0 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 min x1 + x 2 ⎧− 2 x1 + x 2 ≤ 1 ⎪ （4） ⎪− x1 + 2 x 2 ≥ 2 s.t.⎨ ⎪ x1 + x 2 ≥ 2 ⎪ ⎩ x1 , x 2 ≥ 0 min x1 + βx 2 ⎧− x1 + x 2 ≤ 1 ⎪ s.t.⎨− x1 + 2 x 2 ≤ 4 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2
9． 用两阶段法解下列问题：
max 2 x1 + 3x 2 + 4 x3 + 7 x 4
（1）
min 4 x1 + x 2 + x3
（2）
⎧2 x1 + 3x 2 − x3 − 4 x 4 = 8 ⎪ s.t.⎨ x1 − 2 x 2 + 6 x3 − 7 x 4 = −3 ⎪x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 min − 3x1 + x 2 + x3
最优化理论与算法复习题
1． 求以下函数的梯度和 Hesse 矩阵： （1） f ( x) = 3 cos( x1 + x 2 ) + 4 x1 x 2 （2） f ( x ) = x1 + x1 x 2 + (1 + x 2 ) 2 2． 已知 f ( x ) = 3． 设 f ( x ) =
4
α
4
⎧2 x1 + x 2 + 2 x3 = 4 ⎪ s.t.⎨3 x1 + 3 x 2 + x3 = 3 ⎪x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 min 2 x1 + 3x 2 + 4 x3
《最优化方法》试题.doc
《最优化方法》试题一、 填空题1.设Q 为n 阶对称正定矩阵，m n A ⨯为行满秩矩阵，则问题1min ()2..T f x x Qx s t Ax b ⎧=⎪⎨⎪=⎩的K-T 点为（ ）；2.42112min ()(2)(2)f x x x x =-+-的平稳点为（ ），该平稳点（ ）（填‘是’或‘不是’）局部最优解；3.设ˆx 是问题min ()..,,m n n m f x s t Ax b A R x R b R ⨯⎧⎪≥⎨⎪∈∈∈⎩的可行解，则在ˆx处有1122ˆˆ,,A x b A x b =>其中1212(,),(,)T T T T T T A A A b b b ==，则0d ≠是ˆx 的下降方向的充要条件为（ ），0d ≠是ˆx 的可行方向的充要条件为（ ）。
二． 运用0.618法求()2min 2+-=x x x f在区间]3,1[-上的极小点。
要求最终区间长度不大于原区间长度的0.08倍。
（计算结果精确到0.001）三、用最速下降法求解无约束问题 ()()()22213423min -+-=x x x f ，取初始点()()Tx 3,41=。
四、证明题1.用牛顿法求函数1()2T T f x x Ax b x c =++（A 为对称正定矩阵）的极小值只需一次迭代；2.罚函数内点法定义惩罚函数(,)()()G x r f x r B x =+，（其中()0B x >）。
设1(1,)k k r r k +>= 产生序列{}()k x ，证明：（1）(1)()1(,)(,)k k k k G x r G x r ++≤；（2）(1)()()()k k B x B x +≥；（3）(1)()()()k k f x f x +≤.五、求约束问题⎩⎨⎧=-+=-++=0109..min 212221221x x x x t s x x f 的Kuhn —Tucker 点。
最优化方法试卷及答案5套
《最优化方法》1一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中 ___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示 为_____________________________，若______________________________， 称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。
2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶 方向导数为___________________，几何意义为_________________________ ___________________________________。
3．设严格凸二次规划形式为：则其对偶规划为___________________________________________。
4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =___________________________________________________________________________。
二．（10分）简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算法。
三．（25分）计算题1． （10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：)1(632)(m in 21212131----=x x x x x x x f .2． （15分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求约束问题： 的最优解和相应的乘子。
最优化算法期末试题及答案
最优化算法期末试题及答案一、单项选择题1. 最优化问题是指A. 求解最大或最小值的问题B. 求解平均值的问题C. 求解所有可能解的问题D. 求解线性方程组的问题答案：A2. 线性规划是一种A. 非线性优化方法B. 动态规划方法C. 整数规划方法D. 数值优化方法答案：A3. 如果一个函数在某个点的某个方向的导数存在且小于零，那么该点是一个局部最小值点。
A. 正确B. 错误答案：A4. 梯度下降法是一种常用的最优化算法，其思想是A. 沿函数的梯度方向进行搜索求解最优点B. 随机选择点进行搜索求解最优点C. 寻找函数的驻点作为最优点D. 对目标函数进行二分法搜索找到最优点答案：A5. 遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，其基本操作包括A. 选择、交叉、变异B. 排序、选择、交叉C. 选择、突变、淘汰D. 选择、交叉、淘汰答案：D二、填空题1. __________ 是一种求解最优化问题的常用方法。
答案：梯度下降法2. 梯度下降法中的学习率决定了每一次迭代中参数更新的步幅，选择合适的学习率可以使算法收敛更快，但过大或过小的学习率可能导致算法无法收敛或收敛速度过慢。
答案：学习率3. 遗传算法的基本操作中，通过选择操作从种群中选择适应度较高的个体作为下一代的父母。
答案：选择4. 最优化问题可以分为连续型和______________两种类型。
答案：离散型5. 在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性的。
答案：是三、问题解答题1. 简述梯度下降法的原理及步骤。
答案：梯度下降法是一种常用的最优化算法，其原理是通过沿着函数的负梯度方向进行搜索，以找到函数的最小值点。
其步骤如下：1) 初始化参数：选择初始点作为搜索的起点。
2) 计算梯度：计算当前点的梯度，即对目标函数求偏导。
3) 更新参数：根据梯度和学习率更新参数，即进行一次梯度下降操作。
4) 判断停止条件：检查是否满足停止条件，如达到最大迭代次数或函数值的变化小于设定阈值。
最优化理论试题及答案
最优化理论试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 最优化问题中，目标函数的极值点可能是（）。
A. 最小值点B. 最大值点C. 鞍点D. 所有选项答案：D2. 线性规划问题中，目标函数和约束条件都是线性的，以下说法错误的是（）。
A. 线性规划问题有最优解B. 线性规划问题的最优解可能在可行域的边界上C. 线性规划问题的最优解一定在可行域的边界上D. 线性规划问题的最优解可能在可行域的内部答案：D3. 以下哪个算法不是用于解决非线性规划问题的（）。
A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 单纯形法D. 共轭梯度法答案：C4. 在约束优化问题中，拉格朗日乘数法用于（）。
A. 求解无约束问题B. 求解有约束问题C. 求解线性规划问题D. 求解整数规划问题答案：B5. 以下哪个条件不是KKT条件的一部分（）。
A. 梯度为零B. 可行方向C. 对偶可行性D. 互补松弛性答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 一个最优化问题的可行域是指满足所有_________的解的集合。
答案：约束条件2. 目标函数在点x*处取得极小值，当且仅当在该点处的_________为零。
答案：梯度3. 线性规划问题的标准形式通常包括_________和_________两部分。
答案：目标函数；约束条件4. 拉格朗日乘数法中，拉格朗日函数是原目标函数和_________的和。
答案：约束条件的线性组合5. 非线性规划问题中，牛顿法的迭代公式是x_{k+1} = x_{k} -H(x_{k})^{-1}_________。
答案：∇f(x_{k})三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述什么是凸优化问题，并给出一个例子。
答案：凸优化问题是一类特殊的最优化问题，其中目标函数是凸函数，可行域是凸集。
例如，二次规划问题就是凸优化问题的一个例子。
2. 解释什么是局部最优解和全局最优解。
答案：局部最优解是指在目标函数的邻域内比所有其他点都更优的解，但不一定在整个可行域内最优。
最优化习题答案
1.1设经验模型为xxy 2211βββ++=，且已知N 个数据()x x ii21,，),...,2,1(N i y i=.选择β，β1和β2，使按模型计算出的值与实测值偏离的平方和最小，试导出相应的最优化问题。
解：;2,1,0,0..,,,)...,2,1(,221022211022110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>=++=++=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ΛΛΛΛΛi t s N i N i i i i y y y x x x x i i ββββββββββN 1i N1i i y y y i i min min y y 变量为表示。
问题就转化为求实测数据用个数据，所以得到因为有，表示，即用设由经验模型得到的值1.2 (1)43)(221+=x x x f 21x x e21222143)(x x e x x x x f +=∂∂ 21121246)(x x e x x x x x f +=∂∂ 4)(2122212x x e x x x f =∂∂ 21212122124 46)(x x x x e x x e x x x x f ++=∂∂∂ 21212121224 46)(x x x x e x x e x x x x f ++=∂∂∂ 2121122246)(x x e x x x x f +=∂∂ 所以梯度为：)46,43()(2121121222x x x x e x x x ex x x f ++=∇Hesse 矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++21212121212121121********* 464 464x x x x x x x x x x x x e x x e x x e x e x x e x ex（2）)ln()(222121x x x x x f ++=2221212112)(x x x x x x x x f +++=∂∂ 2221211222)(x x x x xx x x f +++=∂∂ ()()()222212121212222212122212122212122221212212221212122244222)2()(2)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++--=++---++=+++-++=∂∂()()2222121222121222212121212221212124-)2)(2()()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++=++++-++=∂∂∂ ()()2222121222121222212121212221211224-)2)(2()()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++=++++-++=∂∂∂ ()()()222212122211222212121212222212122221212122221212222244222)2()(2)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++--=++---++=+++-++=∂∂ 所以梯度为：)2,2()(2221211222212121x x x x x x x x x x x x x f ++++++=∇ Hesse 矩阵为：()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--++++++++++--22221212221122221212221212222121222121222212121212224-4-22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x习题1.3设有向量值函数 12112222112sin cos ()(,),2x x x x f x f x x e x x x ++⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭求()f x 在任一点12(,)x x 的Jacobi 矩阵.解：有定义1.3.3可知，111222123312()()()()'()()()f x f x x x f x f x f x x x f x f x x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂=⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂ ⎪∂∂⎝⎭11()f x x ∂∂=1cos x 12()f x x ∂∂=2sin x - 21()f x x ∂∂=1222x xe + 22()f x x ∂∂=122x x e + 31()f x x ∂∂=124x x + 32()f x x ∂∂=2x所以12121222122cos sin '()24x x x xx x f x e e x x x ++-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭1.9判断下列函数是否为凸函数或凹函数：()()()()21222121212121101052251021x x x x x x x f x x x x x x f -+-+-=+-+=（1）解：Hesse 矩阵：()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂222122212212x x f x x x f x x x f x x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0222 不是凸函数也不是凹函数。
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一．简答题
（1） 用图示方法求解
max {2x1－x2} st
x1＋x2 ≥2 x1－x2≥1 x1≤3 x1，x2≥0
解：本问题为线性规划。
可行域如下图所示，是由顶点ABCD 围成的多边形，为凸集。
则目标函数的最优值一定在ABCD 这些顶点上达到。
ABCD 的坐标分别为（3，2），（3/2，1/2），（2，0），（3，0）。
对应的目标函数值分别为：4，5/2，4，6
由此可知，max{2x1-x2}=6，此时x1=3，x2=0。
（2） 写出有约束的极值问题：
min J(x) ，x ∈E n
st g i (x) ≥0,i=1,…,m
h j (x) =0,j=1,…,l
在局部最优值点处的必要条件（J(x)，g i (x)，h j (x)满足可微条件）
解：如果x 是为可行解，并且线性无关l j I i x h x g j i ,,1,),(),( =∈∇∇，其中
}0)(|{==x g i I i
则x 是局部最优解的必要条件是：
0)(0
)()()(1m
1
≥==∇-∇-∇∑∑==i i i l
j j j i i i w x g w x h v x g w x f
（3） 写出下列问题的对偶问题，并求解
min 2x1＋3x2＋x3 St 3x1-x2+x3≥1 x1+2x2-3x3≥2 xj ≥0,j=1,2,3
解：依据0
..min ≥≥x b Ax t s cx 的对偶问题为0
..max ≥≤w c wA t s wb
原问题的对偶问题为： Max w1+2w2 St 3w1+w2≤2 -w1+2w2≤3 W1-3w2≤1 wi ≥0,i=1,2
利用图解法。
对偶问题的可行域如下图所示。
是由顶点ABOC 围成的多边形，为凸集。
则目标函数的最优值一定在ABOC 这些顶点上达到。
ABOC 的坐标分别为（1/7，11/7），（3/2，0），（0，0），（2/3，0）。
对应的目标函数值分别为：23/7，3/2，0，2/3
由此可知，max{ w1+2w2}=23/7，此时w1=1/7，w2=11/7。
利用互补松弛定理，在对偶问题的最优点处，第3个不等式严格成立，所以x3=0；因为w1和w2都大于零，所以原问题的前两个不等式都要成立等式。
所以
3x1-x2+x3=1 x1+2x2-3x3=2
由于x3=0，所以，x1=4/7，x2=5/7。
所以原问题的最优解为（4/7，5/7，0），目标函数最小值为23/7
（4） 自选随机方法演示染色体（自然编码）P1(2 1 3 4 5 6 7)和 P2：（4 3
6 2
7 1 5）的交叉结果和随后再变异的结果，并标明交叉、变异方法及其位置。
解： 一、交叉
方法：随机获得交叉的两个位置，将两个位置中间的染色体进行交叉。
共有7个染色体，所以从[0~7]中获取随机数。
假如获得2和5，则将第2个染色体之后和第5个染色体之前的进行交换。
如下所示。
其他的位置虽然不在交叉的范围内，但也要作相应变换。
⎝
⎛⇒
⎝⎛⨯⨯7154362:025372614:015172634:27654312:1P P 二、变异
方法：每个染色体按一定概率进行变异，需要变异的染色体再随机选取要变成哪个染色体。
这里按0.05的概率进行变异。
假如每个染色体的变异情况如下：
第一组：NNNNNNN 第二组：NNNYNNN
N 表示不变异，Y 表示变异。
这里第二组的4将要变异，假如随机得到要变异成1，则第二组变成 2 6 3 1 5 4 7。
二．某工厂用两种原料生产A 、B 、C 和D 四种产品，每种产品消耗原料定额和利润如下表
所示。
用最优化方法求使总利润最大的生产计划。
并讨论甲资源从36增加到40后最优
解是否改变？
解：设ABCD四种产品产量分别为x1，x2，x3，x4，则问题可以表述为：Max 8x1＋50x2＋19x3 + 9x4
St 6x1+20x2+8x3+4x4≤36
4x2+x3 ≤6
xj≥0，j=1，2，3，4
引入松弛变量，x5，x6，并将目标函数转换为最小值，则问题变为：Min -（8x1＋50x2＋19x3 + 9x4）
St 6x1+20x2+8x3+4x4 + x5 =36
4x2+x3 +x6 =6
xj≥0，j=1，2，3，4，5，6
此时所有判别数zj-cj都小于等于0，所以达到最优解。
最优解为（x1，x2，x3，x4）=（0，3/2，0，3/2）
目标函数最大值为177/2
甲资源从36增加到40后：
b变为[40 6]’，则
2/1952/32/5)509('b c 02/32/56404/10
4/54/1'b B 'b B 1--=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--=≥⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==
所以最优基还是可行基。
此时最优解为（x1，x2，x3，x4）=（0，3/2，0，5/2） 目标函数最大值为195/2
三．用共轭梯度法解 min J （x ）＝x12－2x1x2+4x22+x1－3x2,初始点为x （0）＝（2，2）问
题的第一次迭代的寻优方向和最优步长，以及第二次迭代的共轭方向。
解：[][]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
x2x131x2x18222x2x121
)x (J J （x ）的梯度为
▽J （x ）=[2x1-2x2+1， -2x1+8x2-3]’ 第一次迭代
方向：d （0）=－g0=－▽J （x ）|x （0）=[－1，－9]’ 从x （0）出发沿方向d （0）一维搜索，得步长
λ0=[][]=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡----⎥
⎦⎤⎢⎣⎡----=-918222919191
)
0(Ad )'0(d )0(d g T 041/307
x （1）=x （0）+λ0*d （0）=[573/307，245/307]’
第二次迭代
在x （1）处的梯度 g1=[963/307，-107/307]
则β0= |g1|2 / |g0|2 = 469409 / 3864209
由此得方向：d （1）= －g1+β0d （0）=[-307090/94249，-70192/94249] 从x （1）出发沿方向d （1）一维搜索，得步长
λ1==-)
1(Ad )'1(d )
1(d g T 1288217126 / 461898456
x （2）=x （1）+λ1*d （1）=[-1/6，1/3]’
四． 求约束优化问题的最优解 min f （x ）=2(x1-2)2+(x2-1)2
st 2－x12－2 x22≥0
解：目标函数和约束函数的梯度分别为： ▽f （x ）=[4x1-8， 2x2-2]’ ▽g1（x ）=[-2x1， -4x2]’ 依据
0)(0
)()()(1m
1
≥==∇-∇-∇∑∑==i i i l
j j j i i i w x g w x h v x g w x f
得，
（4x1-8）– w1*（-2x1）=0 （2x2-2）– w1*（-4x2）=0 w1*（2－x12－2 x22）=0 w1≥0
2－x12－2 x22≥0
解这些方程和不等式，得 w1=1，x1=4/3，x2=1/3 （4/3，1/3）为K-T 点
目标函数为凸函数，约束函数为凹函数，因此问题为凸规划，K-T 点为全局最优解，min f （x ）= 4/3
五．节点间距离见下表，请用动态规划计算由起点1到终点10的最短路径：
解：画出线路图如下所示。
再依据表中的数据由终点向起点逐步寻找每一步的最短路径，最后可以得到总的最优路径。
由下面的图解可知最优路径为：1-2-5-8-10。
距离为11。
六．计算min f（x）＝x2－30x，x∈[0，64），假设6比特编码满足计算精度，按照禁忌
解：
从上面这几步求出的最小值为：当x=15，f min =-225。