第三章 集合4学时
点集拓扑教学大纲
重点：拓扑空间
难点：基与子基、邻域基
第一节：度量空间与连续映射
内容1度量空间的俄概念、n维欧氏空间Rn、Hilbert空间H、离散度量空间；
内容2邻域、开集；
内容3度量空间映射的连续性。
第二节：拓扑空间与连续映射
内容1拓扑空间定义
内容2平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间；
分
配
教学内容：
第一章：集合论初步４（学时数）
掌握内容：集合的基本运算，映射及其性质。
理解内容：关系；可数集、不可数集、基数。
了解内容：选择公理。
重点：集合的基本运算，映射及其性质；
难点：基数；选择公理。
第一节：集合及其运算
内容1集合、集合之间的关系；
内容2集合的运算
第二节：映射
内容1关系、等价关系；
第二节：（有限）积空间
内容1积拓扑、拓扑积空间的概念；
内容2积空间的基、子基
内容3开映射；积空间到分空间投射的性质、积拓扑的性质。
第三节：商空间
内容1商拓扑及其性质；
内容2商映射及其性质；
内容3商空间。
第四章：连通性６（学时数）
掌握内容：连通空间；
理解内容：局部连通、道路连通；
了解内容：连通空间、局部连通、道路连通的关系；
内容3分离性公理的有限可积性。
第六节：可度量化空间
内容1、Urysohn嵌入定理；
内容2、Hilbert空间的可分性；
。
内容3、可分的度量化空间的等价空间第七章：紧致性 Nhomakorabea（学时数）
掌握内容：紧致空间和紧致空间的等价条件；紧致性与分离性的关系；
了解内容：可数紧致、列紧、序列紧，局部紧致空间，仿紧致空间及其之间的关系
高中数学《集合的概念》微课精讲+知识点+教案课件+习题
▼知识要点：1．集合的有关概念。
1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B （或，且）3）交集：A∩B={x| x∈A且x∈B}4）并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}5）补集：CUA={x| x A但x∈U}注意：①? A，若A≠?，则? A ；②若，，则；③若且，则A=B（等集）知识点汇总1、集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，其中互异性的应用比较广泛，是重点。
互异性，即集合中的元素互不相同。
何时验证互异性：用列举法表示的集合，当集合中的元素含有字母的时候，求出字母的值后，一定要验证互异性。
验证的方法是：把字母的值带入集合，如果集合中有相同的元素，则此值不合题意，应舍去，反之，此值符合题意。
2、常用数集及记法N表示自然数集；N*或N+表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集。
3、元素与集合间的关系对象a与集合M间的关系是：若a在集合M中，则a 属于M，若a不在集合M中，则a不属于M。
4、集合的表示法①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在一个大括号内，就表示一个集合，例如集合：{1,2,3,4}。
②描述法：{代表元素|代表元素满足的条件}，例如集合：{x|x＞0}。
2024年高一数学《集合》完整版课件
2024年高一数学《集合》完整版课件一、教学内容本节课选自人教版高一数学必修1第一章《集合》部分。
教学内容包括：集合的概念、集合的表示方法、集合间的基本关系、集合的运算。
具体章节为1.1集合的概念，1.2集合的表示方法，1.3集合间的基本关系与运算。
二、教学目标1. 理解集合的概念，掌握集合的表示方法，能够正确运用集合的符号表示集合。
2. 理解集合间的基本关系，掌握集合的运算，能够解决相关的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和抽象概括能力。
三、教学难点与重点难点：集合间的基本关系与运算。
重点：集合的概念、表示方法，集合间的基本关系与运算。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
学具：课本、练习本、文具。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如水果摊上的水果种类，引出集合的概念。
2. 新课导入：（1）讲解集合的概念，让学生理解集合是由一些元素组成的整体。
（2）介绍集合的表示方法，如列举法、描述法等。
（3）讲解集合间的基本关系，如子集、真子集、相等集合等。
（4）介绍集合的运算，如并集、交集、补集等。
3. 例题讲解：（1）给出一个具体的集合，让学生用不同的表示方法表示。
（2）判断给定的集合间关系，如A={1,2,3}，B={2,3,4}，判断A 与B的关系。
（3）进行集合的运算，如求A与B的并集、交集、补集。
4. 随堂练习：（1）让学生用自己的语言描述集合的概念。
（2）给出几个集合，让学生判断它们之间的关系。
（3）进行集合运算的练习。
六、板书设计1. 集合的概念2. 集合的表示方法3. 集合间的基本关系4. 集合的运算七、作业设计1. 作业题目：（1）用列举法表示集合：A={x|x是小于10的自然数}。
（2）判断集合A与B的关系：A={1,2,3}，B={x|x是小于4的自然数}。
（3）求集合A与B的并集、交集、补集。
2. 答案：（1）A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}（2）A=B（3）并集：A∪B={1,2,3,4}，交集：A∩B={1,2,3}，补集：A'={4,5,6,7,8,9}八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过生活中的实例引入集合的概念，让学生更容易理解。
集合的概念完整版课件
集合的概念完整版课件一、教学内容本节课我们将探讨集合的概念，该部分内容位于教材第一章“集合与函数”的第一节。
详细内容包括集合的定义、集合的性质、集合的表示方法、集合间的基本运算以及集合论中的一些基本概念，如子集、交集、并集、补集等。
二、教学目标1. 理解集合的基本概念，掌握集合的表示方法。
2. 学会使用集合语言描述数学问题，培养学生的抽象思维能力。
3. 掌握集合间的基本运算，并能运用到实际问题中。
三、教学难点与重点教学难点：集合的性质、集合的表示方法、集合间的基本运算。
教学重点：集合的概念及其应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、集合概念课件。
2. 学具：课堂练习本、集合概念相关资料。
五、教学过程1. 实践情景引入通过生活中的实例，如水果篮、文具盒等，引导学生理解集合的概念。
2. 例题讲解（1）讲解集合的定义、性质及表示方法。
（2）通过具体例子，讲解集合间的基本运算。
3. 随堂练习（1）让学生列举生活中的集合实例，并用自己的语言描述。
（2）给出集合A、B，让学生进行交集、并集、补集的运算。
4. 讲解集合论中的一些基本概念如子集、真子集、幂集等。
6. 教师点评、解答学生疑问。
六、板书设计1. 集合的定义、性质、表示方法。
2. 集合间的基本运算：交集、并集、补集。
3. 集合论基本概念：子集、真子集、幂集。
七、作业设计1. 作业题目：（1）列举生活中的集合实例，并用集合语言描述。
（2）给定集合A、B，求A∩B、A∪B、A'、B'。
2. 答案：（1）例如：自然数集合、整数集合、有理数集合等。
（2）根据集合A、B的定义进行运算。
（3）正确。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对集合的概念及其运算掌握程度，以及教学中可能存在的问题。
2. 拓展延伸：（1）研究集合的更多性质，如集合的势、集合的包含关系等。
（2）探讨集合在计算机科学、离散数学等领域的应用。
（3）引导学生了解集合论的发展历程，激发学生的学习兴趣。
深圳大学数学与计算科学学院
主要内容
1. 内积空间 2. 泛函延拓定理 3. Hilbert 空间的规范正交系 4. 共轭算子
教学要求
(1) 掌握 Banach 空间的定义与基本例子（n 维欧氏空间 Rn、连续函数空间 C(A)、有 界数列空间 l∞ 、 p 次 收敛数列空间 lp、 p 方可积函数空间 Lp 等都是 Banach 空间） ；知道非 Banach 空间是存在的：C[a,b]在 Lp 范数下不是 Banach 空间； (2) 掌握内积与内积空间的定义与基本例子；熟练掌握内积的正定性、首元线性性与 共轭对称性；掌握内积诱导范数的思想；熟练掌握内积诱导范数的基本性质、和 的范数恒等式；掌握内积满足 Schwarz 不等式并且是二元连续函数的事实；掌握 内积空间的特征：范数满足平行四边形法则； (3) 掌握 Hilbert 空间的定义与基本例子；知道在同构的意义下，可分的 Hilbert 空间 只有 Rn 与 l2； (4) 掌握正交向量的定义；知道正交向量满足勾股定理，而且在实内积空间中，勾股 定理是两个向量正交的充分必要条件；了解极小化向量定理与正交分解定理（投 影定理） ； (5) 了解正交系、规范（标准）正交系、完全规范正交系或规范（标准）正交基的概 念与基本例子；掌握 Gram-Schmidt 正交化过程；知道每个非零的可分 Hilbert 空 间 X 必存在规范（标准）正交基； (6) 了解 Fourier 系数、Fourier 级数的定义； 了解最佳逼近定理； 知道 Bessel 不等式、 Parseval 恒等式；知道向量可以展成 Fourier 级数的条件； (7) 掌握 Banach 空间基本定理之 Hahn-Banach 定理；掌握 Hilbert 空间之 Riesz 表示 定理。 注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、教学要求、主要内容。
2024年高一数学《集合》标准课件
2024年高一数学《集合》标准课件一、教学内容本节课选自人教版高一数学教材第一章《集合与函数的概念》第一节《集合的概念及其表示方法》。
具体内容包括集合的定义、集合的性质、集合的表示方法以及集合的运算。
二、教学目标1. 理解集合的定义，掌握集合的性质，能够运用集合的表示方法表示实际问题中的集合。
2. 学会使用集合的运算，解决实际问题，提高数学抽象能力。
3. 能够运用集合的知识，进行逻辑推理，培养严谨的数学思维。
三、教学难点与重点教学难点：集合的运算、集合的性质。
教学重点：集合的定义、集合的表示方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、练习本、圆规、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入通过举例生活中的集合现象，如水果店的水果种类、学生班级的成员等，让学生对集合有直观的认识。
2. 教学内容讲解（1）集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体。
（2）集合的性质：无序性、互异性、确定性。
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。
（4）集合的运算：交集、并集、补集、差集。
3. 例题讲解（1）求两个集合的交集、并集、补集、差集。
（2）用集合表示方法解决实际问题。
4. 随堂练习（1）判断下列各组对象是否构成集合，若构成，说明理由。
① 某班全体学生中喜欢数学的学生；② 某商店所有商品中价格低于100元的商品。
六、板书设计1. 集合的定义、性质、表示方法。
2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集。
3. 例题解答过程。
七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）略。
（2）略。
（3）略。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对集合的定义、表示方法和运算掌握程度，调整教学策略。
2. 拓展延伸：研究集合的更多性质，如集合的势、集合的包含关系等。
结合实际生活，让学生发现更多集合的应用场景。
重点和难点解析1. 集合的定义及其性质2. 集合的表示方法3. 集合的运算4. 例题讲解与随堂练习5. 作业设计6. 课后反思与拓展延伸一、集合的定义及其性质集合的定义是集合论的基础，性质则揭示了集合的本质特点。
表3.控制系学院(系、所)硕士研究生课程简介
[5]B.Kosko,模糊控制 (黄崇福译), 西交大出版社, 1999
[6]Kevin M. Passino, Stephen yurkovich, Fuzzy Control,清华大学出版社, 2001
[7]C. C. Lee, “ Fuzzy Logic in Control Systems: Fuzzy Logic Controller Parts I, II ”, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics , Vol.20, pp.404~435, Mar./Apr., 1990
[8]B. K. Bose, Modern Power Electronics andAC Drive, Prentice Hall, Upper Saddle River 2002.
9.1模糊控制器实现的几种方法
9.2模糊控制芯片
教材：
王立新 著、王迎军 译,模糊系统与模糊控制，清华大学出版 社,2003
主要参考书：
[1]L.A.扎德, 模糊集合、语言变量及模糊逻辑,科学出版社,1982
[2]章卫国 等, 模糊控制理论与应用, 西北工业大学出版社, 1999
[3]张乃尧 等, 神经网络与模糊控制, 清华大学出版社, 1998
第七章模糊控制基础（4学时）
7.1常规控制系统的特点
7.2为什么用模糊控制?
7.3模糊控制系统的结构与工作原理
7.4模糊控制器设计
7.5应用实例
第八章优化模糊控制技术（3学时）
8.1 . 自调节因子的模糊控制
8.2.模糊模型参考学习控制
8.3.自结构模糊神经网络控制
1-1-1集合的概念练习公开课教案教学设计课件资料
1-1-1集合的概念练习公开课教案教学设计课件资料第一章：集合的概念与表示方法一、教学目标：1. 了解集合的概念，掌握集合的表示方法。
2. 能够运用集合的语言描述实际问题中的事物。
3. 培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
二、教学内容：1. 集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。
三、教学重点与难点：1. 重点：集合的概念、集合的表示方法。
2. 难点：集合的表示方法的运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究集合的概念和表示方法。
2. 利用实物、图片等直观教具，帮助学生形象地理解集合的概念。
3. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过举例，引导学生思考集合的概念。
2. 讲解集合的概念：讲解集合的定义和特点。
3. 讲解集合的表示方法：讲解列举法、描述法、图示法的含义和运用。
4. 练习：让学生运用集合的语言描述实际问题中的事物。
第二章：集合的运算1. 掌握集合的运算方法，包括并集、交集、补集。
2. 能够运用集合的运算解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 集合的并集：包含两个或多个集合中所有元素的集合。
2. 集合的交集：属于两个或多个集合的元素组成的集合。
3. 集合的补集：在全集范围内，不属于某个集合的元素组成的集合。
三、教学重点与难点：1. 重点：集合的并集、交集、补集的定义和运算方法。
2. 难点：集合的运算在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用案例分析法，引导学生通过实际问题学习集合的运算。
2. 利用集合图示，帮助学生直观地理解集合的运算。
3. 开展小组合作探究，培养学生解决问题的能力。
五、教学步骤：1. 导入新课：通过举例，引导学生思考集合的运算。
2. 讲解集合的并集：讲解并集的定义和运算方法。
3. 讲解集合的交集：讲解交集的定义和运算方法。
(完整版)职高数学各章节知识点汇总
p q ， p 是 q 的充要条件， q 是 p 的充要条件。
第二章 不等式
一、不等式的基本性质： 1、加法法则： 2、乘法法则： 3、传递性： 4、移项： 二、一元二次不等式的解法
b2 4ac
二次函数
y ax2 bx c (a 0)的图象
0
y
x1 o x2 x
0
y
0
y
o x1=x2 x
2
2
2
九、三角函数性质： 函数
定义域
值域 周期 奇偶性
ｙ＝sinx
Ｒ
【－１,１】
2
奇函数
y=cosx
Ｒ
【－１,１】
2
偶函数
y=tanx
( k , k )
2
2
Ｒ
奇函数
6
单调性 最值
[ 2k , 2k ],增函数
2
2
[ 2k , 3 2k ],减函数
2
2
当 x 2k 时取最大值１ 2
o
x
1
一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0)的根
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
有两个不等的实根
x1, x2 (x1 x2 )
x | x x1或x x2
有两个相等的实根
x1
x2
b 2a
x |xb ax | x1 x x2
当 x 2k 时取最小值-１ 2
[ 2k ,2k ], 增函数
[2k , 2k ], 减函数
当 x 2k 时取最大值１ 当 x 2k 时取最小值-
１
( k , k )
2
2
上是增函数
CH3 集合的基本概念和运算
练习
定义（全集）在一个具体问题中，如果所涉 及的集合都是某个集合的子集。则称这个集 合为全集，记作E（或U） 全集是个相对性的概念。由于所研究的问题 不同，所取的全集也不同 例如，研究平面解析几何的问题时把整个坐 标平面取作全集，研究整数的问题时，把整 数集取作全集
3.2集合的基本运算
给定集合A和B，可以通过集合的并∪，交∩ ，相对补—，绝对补~，以及对称差⊕等运算 产生新的集合
集合的特点
一个集合的元素有如下特点： (1) 互异性； (2) 无序性； (3) 确定性
在集合论中，规定元素之间是彼此相异的 ，并且是没有次序关系的 例如: 集合{3，4，5}， {3，4，4，4，5} {5，4，3} 都是同一个集合
集合的表示方法
列举法（穷举法）：把一个集合中的所有或者 部分元素列举在花括号当中，元素之间用逗号 隔开。
判断下列表达式是否成立： x{x}, {x}{x}, {x}{x}, x{{x}}, {x}{{x}}, {x}{{x}}, Ø{x}, Ø{x}, 是否存在集合A, B满足AB且AB 下列集合是否为某集合的幂集？ (1) Ø; (2) {a, Ø}; (3) {Ø, {a}}; (4) {Ø, {a}, {Ø,a}}
例:用文氏图表示下面集合 (1) ~ A∪(B∩C) (2) (A ⊕ B)-C
集合中元素的计数
定义（包含关系）设A，B为集合，如果B中 的每个元素都是A中的元素，则称B为A的子 集合，简称子集合，或简称子集。这时也称B 被A包含，或A包含B。记作： B A。 包含的符号化表示为： B A x(x∈ Bx∈ A) 例：令A={0，1，2}，B={0，1} ,C={1，2} 则有B A，C A，A A 对任何集合S都有S S
第4课时 集合复习课
第4课时 集合复习课一、本节回顾● 知识结构 ● 知识要点⑴集合的基本性质、元素与集合的关系、集合的表示方法；⑵子集、真子集、空集的概念；⑶集合的交、并、补运算；⑷集合问题的解答方法：Venn 图示法、数轴分析法.二、数学运用1、已知集合{},22≤≤-∈=x N x A 则必有 ( )Ａ．1A -∈ Ｂ．0A ∈ Ｃ．2A ∈ Ｄ．2A ∈2、设A = {(x ，y) | 2x + y = 1}，B = {(x ，y) |x – 2y = 3}，则A ∩B = _____________.3、设集合{|21,},P x x m m Z ==+∈{|2,},Q y y n n Z ==∈0,x P ∈若0,y Q ∈00,a x y =+00,b x y =则（ ）A ．Q b P a ∈∈,B ．P b P a ∈∈,C ． P b Q a ∈∈,D ．,a Q b Q ∈∈4、下列命题中正确命题的个数是（ ）①A ∪B = B ∪C ⇒A = C ；②A ∪B = B ⇒A ∩B= A ；③α∈B ⇒α∈B ∩A ；④A ⊆B ⇒A ∪B = B ；⑤α∈A ⇒α∈A ∪B.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5、已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z m m x x M ,61，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==Z n n x x N ,312，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z q q x x P ,612，则M ，N ，P 满足的关系是（ ）A. M=N ⊂PB.M ⊂N=PC.M ⊂N ⊂PD.N ⊂P ⊂M6、已知集合{}4,1P x x x =≥≤或，{}14Q x N x =∈≤≤，则满足{}1,4S P = ，S Q S = 的集合S 有（ ） Ａ．４个 Ｂ．７个 Ｃ．８个 Ｄ．１６个集合的表示集合集合的应用集合间的关系集合的运算问题情景7、某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：(1)只乘电车的人数； (2)不乘电车的人数； (3)乘车的人数； (4)不乘车的人数； (5)只乘一种车的人数．8、已知M = {1，2，3，4，5}，集合A ⊆M ，集合A 中的任一元素a 满足条件：若a ∈A ，则6 – a ∈A ，试写出所有满足条件的集合A.9、已知集合A={x|ax 2－3x+2=0,a ∈R}（1）若A 为空集，求a 的取值范围； （2）若A 中只有一个元素，求实数a 的值；并写出这个元素；（3）若A 中至多一个元素，求实数a 的取值范围。
第三章(一)容斥原理【4学时】
i 1 n
n
A i
i 1 j i k>j
n
A Aj i ...
+ Ai A j Ak
i=1 j>i
( 1) n 1 A A2 ... An 1
(4)
证明过程参见P122，采用数学归纳法
§3.2 容斥原理
例3.2
§3.1 容斥原理
令：M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
M 170, P 130, C 120, M P 45 M C 20, P C 22, M P C 3
§3.1 容斥原理
M PC M P C M P M M C P C M P C 170 130 120 45 20 22 3 336
§3.4 棋盘多项式和有限制排列
r1( )=1， r1( )=0， r2(
§3.1 容斥原理
容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U，补集 A
A {x | x U 且x A} ,有
(a) A B A B
(b) A B A B
§3.1 容斥原理
DeMogan定理的推广：设 A1, A2 ,..., An是U的子集
§3.4 棋盘多项式和有限制排列
棋盘多项式和有限制排列
1. 有限制排列
例 4个x ，3个y，2个z的全排列中，求 不出现xxxx，yyy，zz图象的排列。 解 设出现xxxx的排列的集合记为A1， |A1|= 6! =60;
设出现yyy的排列的集合记为A2，
2024年高一数学集合标准课件
2024年高一数学集合标准课件一、教学内容本节课选自《普通高中数学课程标准》一年级下册第二章“集合与函数”的第一节“集合的概念与表示”。
具体内容包括：1. 集合的定义与性质；2. 集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图；3. 集合的运算：交集、并集、补集。
二、教学目标1. 理解集合的概念，掌握集合的性质；2. 学会使用列举法、描述法、Venn图表示集合；3. 能够进行集合的交集、并集、补集运算。
三、教学难点与重点重点：集合的定义、表示方法、集合的运算。
难点：集合的性质、描述法的表示、集合运算的运用。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔；2. 学具：练习本、草稿纸、笔。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如学校各类社团成员的集合，引出集合的概念；2. 新课导入：讲解集合的定义、性质，让学生了解集合的基本概念；3. 实践操作：让学生列举自己熟悉的集合，学会使用列举法、描述法、Venn图表示集合；4. 例题讲解：讲解集合运算的法则，通过例题演示如何进行集合的交集、并集、补集运算；5. 随堂练习：让学生进行集合运算的练习，巩固所学知识；7. 课堂拓展：介绍集合论在数学及其他领域中的应用。
六、板书设计1. 集合的定义与性质；2. 集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图；3. 集合的运算：交集、并集、补集；4. 例题及解答；七、作业设计1. 作业题目：（1）列举出你所熟悉的5个集合，用列举法、描述法、Venn图表示；（2）已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={3, 4, 5, 6, 7}，求A∩B、A∪B、C(A)、C(B)；（3）课堂拓展：了解集合论在生活中的应用，举例说明。
作业答案：（1）答案略；（2）A∩B={3, 4, 5}，A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，C(A)={6, 7, 8, 9, 10}，C(B)={1, 2, 8, 9, 10}；（3）答案略。
2024年大班数学公开课教案《集合》(精选
2024年大班数学公开课教案《集合》(精选一、教学内容本节课选自数学大班教材第四章《集合》的13节，主要内容包括集合的定义与表示方法、集合的运算、集合与数的关系等。
详细内容如下：1. 集合的定义与表示方法：让学生了解集合是由一些具有共同属性的对象组成的整体，学习使用列举法和描述法表示集合。
2. 集合的运算：掌握交集、并集、差集的概念及运算方法。
3. 集合与数的关系：理解集合的基数和序数，掌握集合的包含关系。
二、教学目标1. 让学生掌握集合的基本概念和表示方法，能够运用集合知识解决实际问题。
2. 培养学生运用集合运算解决问题的能力，提高逻辑思维和抽象思维能力。
3. 培养学生的团队协作能力，激发学习兴趣，提高学习积极性。
三、教学难点与重点1. 教学难点：集合的运算、集合与数的关系。
2. 教学重点：集合的定义与表示方法、集合运算的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、集合图示卡片。
2. 学具：学生用书、练习本、铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示日常生活中常见的集合现象，如文具盒、水果店等，引导学生观察并提问：“这些物品有什么共同特点？”从而引出集合的概念。
2. 知识讲解（15分钟）（1）讲解集合的定义，让学生了解集合是由一些具有共同属性的对象组成的整体。
（2）介绍集合的表示方法，如列举法和描述法。
（3）讲解集合的运算，包括交集、并集、差集的概念及运算方法。
（4）讲解集合与数的关系，包括集合的基数和序数，以及集合的包含关系。
3. 例题讲解（15分钟）结合教材中的例题，讲解集合运算和集合与数的关系的解题方法。
4. 随堂练习（10分钟）设计23道练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 小组讨论（5分钟）将学生分成小组，讨论集合在实际生活中的应用，分享学习心得。
六、板书设计1. 集合的定义与表示方法2. 集合的运算交集并集差集3. 集合与数的关系基数序数包含关系七、作业设计1. 作业题目：（1）列举生活中的三个集合，并用列举法和描述法表示。
集合第四课时教师版
集合第四课时【学习导航】知识网络学习要求1．理解交集的概念及其交集的性质；2．会求已知两个集合的交集；3．理解区间的表示法；4．提高学生的逻辑思维能力.【课堂互动】自学评价1．交集的定义：一般地，___________________________ ______________________，称为A与B交集(intersection set)，记作____________ 读作“___________”.交集的定义用符号语言表示为：__________________________________ 交集的定义用图形语言表示为：_________________________________ 注意：（1）交集（A∩B）实质上是A与B的公共元素所组成的集合.（2）当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=∅.2．交集的常用性质：（1） A∩A = A；（2） A∩∅=∅；（3） A∩B = B∩A；（4）(A∩B)∩C =A∩(B∩C)；（5） A∩B ⊆A， A∩B⊆B3．集合的交集与子集：思考:A∩B=A，可能成立吗？【答】________________________________________________ 结论：A∩B = A⇔ A⊆B4．区间的表示法：设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：[a， b] = _____________________（a， b）= _____________________[a ，b）= _____________________（a ，b] = ______________________ （a，+∞）=______________________（-∞，b）=______________________（-∞，+∞）=____________________其中 [a， b]，（a， b）分别叫闭区间、开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点.注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言.（2）区间符号内的两个字母或数之间用“，”号隔开.（3）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数.【精典范例】一、求已知两个集合的交集例1．（1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A∩B；（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k ∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；【解】（1）A∩B={0，1}；（2）A∩B={x|0<x≤1}；（3）A∩B= A∩C= C∩B=∅D∩B= D点评:不等式的集合求交集时，运用数轴比较直观，形象.例2：已知数集A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．【解】∵A∩B={-3}∴-3 ∈A -3 ∈B当a-3=-3时，即a= 0时，B={-3，-2，1}，听课随笔A={0，1，-3}满足题意；当a-2=-3时，即a=-1时，B={-4，-3，2}， A={1，0，-3}不满足题意；∴ a = 0 点评:在集合的运算中，求有关字母的值时，要注意分类讨论及验证集合的特性． 例3：（1）设集合A={y|y=x 2-2x+3，x ∈R}，B={y|y=-x 2+2x+10，x ∈R}， 求A ∩B ；（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x ∈R}， B={(x,y)|y=-x 2+2x+34，x ∈R}， 求A ∩B ； 分析：先求出两个集合的元素，或者集合中元素 的范围，再进行交集运算．特别注意（1）、 （2）两题的区别，这是同学们容易忽视的地方． 【解】（1） 两个集合表示的是y 的取值范围， ∵A={y|y=x 2-2x+3，x ∈R}= {y|y ≥2}， B={y|y=-x 2+2x+10，x ∈R}= {y|y ≤11}， ∴ A ∩B={y|2≤y ≤11}；（2）A ∩B= {(x,y)|y=x+1，x ∈R}∩{(x,y)|y=-x 2+2x+34，x ∈R} ={(x,y)| 21324y x y x x =+⎧⎪⎨=-++⎪⎩} ={13(,)22}点评:求集合的交集时，注意集合的实质，是点集还时数集．是数集求元素的公共部分，是点集的求方程组的解所组成的集合．追踪训练一1. 设集合A={小于7的正偶数}，B={-2，0，2，4}，求A ∩B ；2. 设集合A={x|x ≥0}，B={x|x ≤0,x ∈R}，求A ∩B ；3. 设集合A={(x,y)|y=-4x+6，x ∈R}，B={(x,y)|x=y 2-1}求A ∩B ；4. 设集合A={x||x=2k+1，k ∈Z}，B={y|y=2k-1，k ∈Z}，C={x|x=2k ，k ∈Z}，求A ∩B ，B ∩C ．二、运用交集的性质解题例4：已知集合A={2，5}，B={x|x 2+px+q=0，x ∈R} （1）若B={5}，求p ，q 的值．（2）若A ∩B= B ，求实数p ，q 满足的条件． 分析：（1）由B={5}，知：方程x 2+px+q=0有两个 相等，再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p ，q 的值．（2）由A ∩B= B 可知：B ⊆ A ，而A={2，5}从而顺利地求出实数p ，q 满足的条件． 【解】（1）∵ A ∩B={5}∴ 方程x 2+px+q=0有两个相等的实根5 ∴ 5+5=-p 5•5=q ∴ p=-10，q=25（2） ∵ A ∩B= B ∴ B ⊆ A当B=∅时，⊿=p 2-4q<0，即 p 2<4q ； 当B={2}时，可求得p=-4，q=4； 当B={5}时，p=-10，q=25；当B={2，5}时，可求得p=-7，q=10； 综上所述：实数p ，q 满足的条件为p 2<4q ；或44p q =-⎧⎨=⎩ 或1025p q =-⎧⎨=⎩或710p q =-⎧⎨=⎩听课随笔点评:利用性质：A ∩B = A ⇔ A ⊆B 是解题的 关键，提防掉进空集这一陷井之中．追踪训练二1.已知集合A={x|x 2+x-6=0}，B={x|mx+1=0 =0}，若A ∩B =B ，求实数m 所构成的集合M ．2.已知集合M={x|x ≤-1}，N={x|x>a-2}，若M ∩N ≠∅，则a 满足的条件是什么？三、借助Venn 图解决集合的运算问题例5：已知全集U={不大于20的质数}，M,N 是U 的两个子集，且满足M ∩(U C N )={3，5}， ()U C M N = {7，19}，()()U U C M C N = {2，17}，求M ，N 的值．分析：用Venn 图表示集合M ，N ，U ，将符合条件的元素依次填入即可． 【解】点评:Venn 图的形象直观，简化了运算过程，降低 了思维难度，因此我们要善于灵活运用Venn 图来进行集合间的运算，特别是抽象集合（或较为复杂集合）间的运算问题．高考热点：例6：已知集合A={x|x 2-4mx+2m+6=0}，B={x|x<0}， 若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．点拔：本题如果直接求解，情况较多十分麻烦，可 从求解的反面来考虑，就比较简单．【师生互动】听课随笔。
高一数学第三章
第三章集合与简易逻辑第一节：集合教学目标（1）初步理解集合的概念，掌握其记法及表示方法，掌握常用数集的符号，了解空集概念并掌握其符号；（2）了解集合中元素的概念，初步了解“属于”关系的意义；（3）理解集合中元素的确定性、互异性，了解集合中元素的无序性；（4）初步了解有限集、无限集、空集的意义；（5）会用集合、元素等知识表示简单集合的有关问题；一、知识结构本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．二、重点难点分析这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法．1．关于集合的概念分析点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念．初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．”这句话，只是对集合概念的描述性说明．我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界．2．关于自然数集的分析应该注意：新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算仍属于自然数，其中．因此要注意几下几点：（1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0；（2）自然数集内排除0的集，表示成或，其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集，也可类似表示，，；（3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如，，…不再适用．3．关于集合中的元素的三个特性分析集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆。
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3.1.3 集合之间的关系
定义3.1.2 如果两个集合A和B的元素完全相同，则称这两个 集合相等，记作A＝B。
例如：
A＝｛1，2，3，4｝ B＝｛3，1，4，2｝ C＝｛x|x是英文字母且x是元音｝ D＝｛a，e，i，o，u｝ 显然有
3.1 集合的概念与表示
3.1.3
定理3.1.1 定义3.1.3
3.1 集合的概念与表示
3.1.3
定义3.1.5
集合之间的关系
设A是有限集，由A的所有子集作为元素而构成的集
合称为A的幂集，记作ρ(A)，即ρ(A)＝｛X|X⊆A｝。
在A的所有子集中，A和这两个子集又叫平凡子集。
例如：A＝｛1，2，3｝，则 ρ(A)＝｛，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛1，2｝，｛1，3｝， ｛2，3｝，｛1，2，3｝｝
3.2
3.2.4
集合的运算
集合的对称差
集合的对称差的文氏图表示
U A B
3.２
3.２.4
集合的运算
集合的对称差集合的补
由对称差的定义易得下列性质： （1）A♁A＝
（2）A♁＝A
（3）A♁Ｕ＝~Ａ （4）A♁B＝B♁A （5）（A♁B）♁C＝A♁（B♁C） （6）A♁B＝(A-B)∪(B-A)
3.1 集合的概念与表示
3.1.3 集合之间的关系
定义3.1.1 如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素， 则称A是B的子集，也可以说A包含于B，或者B包含A，这种
关系写作
A⊆B 或 B⊇A
如果A不是B的子集，即在A中至少有一个元素不属于B时， 称B不包含A，记作 B⊉A 或 A⊈B
3.1 集合的概念与表示
例3.3.3 某班有学生60人，其中有38人选修Visual C++课 程，有l6人选修Visual Basic课程。有21人选修Java课程； 有3人这三门课程都选修，有2人这三门课程都不选修， 问仅选修两门课程的学生人数是多少？ 解 设选修Visual C++课程的学生为集合A；选修Visual Basic 课程的学生为集合B；选修Java课程的学生为集合C。
c 2
n n
|ρ (A)|= 2 n
3.2
3.2.1
3.2.2 3.2.3 3.2.4
集合的运算
集合的交运算
集合的并运算 集合的补 集合的对称差
3.2
集合的运算
3.2.1
集合的交运算
定义3.2.1 对于任意两个集合A、B，由所有既属于A又属于B的元 素构成的集合，称作A与B的交集，记作A∩B。即 A∩B ＝｛x | x∈A且x∈B｝ 例如，A＝｛a，b，c｝，B＝｛b，c，d，e｝，则
（2）同一律：A∩U＝A
（3）零律：A∩＝ （4）结合律：(A∩B)∩C＝A∩(B∩C) （5）交换律：A∩B＝B∩A
3.2
3.2.2 集合的并运算
定义3.2.2
集合的运算
任意两个集合A、B的并，记作A∪B，它也是一个集
合，由所有属于A或者属于B的元素合并在一起而构成的，即
A∪B＝｛x | x∈A或x∈B｝
例如，A＝｛a，b，c｝，B＝｛a，b，c，d，e｝，则 A∪B＝｛a，b，c，d，e｝ 又如，A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛1，3，5，7，9｝，则 A∪B＝｛1，2，3，4，5，7，9｝
3.2
3.2.2 集合的并运算
集合的运算
用文氏图表示集合之间的并运算：
U A B
用平面上的矩形表示全集U。用矩形内的圆表示U中的任一集合。 图中表示了集合A和集合B的并集。阴影部分就是A∪B。
这个结论称作包含排斥原理。
定理3.3.2 设A1，A2，…，An为有限集合，|A1|，|A2|，…， |An|为其基数，则
n
|A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An|=∑ |Ai|- ∑ |Ai ∩ Aj|+ … i=1 1≤i<j≤n +(-1)n-1 |A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An|
3.３
包含排斥原理
集合之间的关系
集合A和集合B相等的充分必要条件是A⊆B且B⊇A。 如果集合A是集合B的子集，但A和B不相等，也就 A⊂B 或 B⊃A
是说在B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作
例如：集合A＝｛1，2｝，B＝｛1，2，3｝，那么A是B的真子集 定义3.1.4 若集合U包含我们所讨论的每一个集合，则称U是所讨 论问题的完全集，简称全集。
3.1.2 集合的表示法 1. 枚举法 列举出集合中的所有元素， 用花括号括起 来。 例如： A＝｛a, b, c, d｝ B＝｛3，1，4，2｝ C＝ ｛a，e，i，o，u｝
2. 抽象法 设P(x)表示客体x的某种性质, 用 A={x | P(x)}表示集合 例如: S1={x | x是计算机系学生} D=｛x|x是英文字母且x是元音｝
3.1 集合的概念与表示
3.1.3
定理3.1.2
集合之间的关系
设A是有限集，|A|=n，则A的幂集ρ(A)的基为2 n。
0 n 1 n n1 n
… c 证明：由排列组合知： ( A) c c
c
n
n n
cn 又由二项式定理知：
所以可得：
0
c ... c
1 n
n 1 n
3.2.3 集合的补
集合的运算
集合的补运算，其文氏图表示，阴影部分表示~A。
U A A
3.2
3.2.4
集合的运算
集合的对称差
定义3.2.5 设A、B是两个集合，由属于A而不属于B，或者属于B 不属于A的元素组成的集合，称作A和B的对称差，记作A♁B。即
A♁B＝(A∪B)-(A∩B)
例如，A＝｛1，2，3，4｝， B＝｛1，3，5，7，9｝ 那么 A♁B＝｛2，4，5，7，9｝
例3.3.1 假设某班有20名学生，其中有10人英语成绩为优，有 8人数学成绩为优，又知有6人英语和数学成绩都为优。问两门课
都不为优的学生有几名？
解 设英语成绩是优的学生组成的集合是A，数学成绩是优的学
生组成的集合是B，因此两门课成绩都是优的学生组成的集合是 A∩B。由题意可知 |A|＝10 |B|＝8 |A∩B|＝6 由包含排斥原理可得：|A∪B|＝|A|+|B|-|A∩B| ＝10+8-6 = 12
A∩B＝｛b，c｝
又如，A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛1，3，5，7，9｝，则 A∩B＝｛1，3，5｝
3.2
3.2.1
集合的运算
集合的交运算
集合的交运算的文氏图表示，见图3.2，其中阴影部分就是A∩B。
U A B
3.2
3.2.1
集合的运算
集合的交运算
由集合交运算的定义可知，交运算有以下性质： （1）幂等律：A∩A＝A
3.2
3.2.2 集合的并运算
集合的运算
由集合并运算的定义可知，并运算具有以下性质： （1）幂等律：A∪A＝A （2）同一律：A∪＝A （3）零律：C)
（5）交换律：A∪B＝B∪A
3.2.2
定理3.2.1
集合的并运算
3.2
集合的运算
设A，B，C是三个集合，则下列分配律成立： A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C） A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）
所以，两门课都不是优的学生数为：20-|A∪B|＝8。
3.３
包含排斥原理
例3.3.2 对l00名大学生进行调查的结果是：34人爱好音乐，24 人爱好美术，48人爱好舞蹈，14人既爱好音乐又爱好美术，13人 既爱好美术又爱好舞蹈，15人既爱好音乐又爱好舞蹈，有25人这 三种爱好都没有，问这三种爱好都有的大学生人数是多少? 解 设爱好音乐的大学生组成的集合是A，爱好美术的大学生组成 的集合是B，爱好舞蹈的大学生组成的集合是C， 由题意可知： |A|＝34 |A∩B|＝14 |B|＝24 |B∩C|＝13 |C|＝48 |A∩C|＝15
第3章 集合
本章学习目标
集合是一般数学及离散数学中的基本概念，几乎与现代数 学的各个分支都有密切联系，并且渗透到很多科技领域。本 章主要介绍集合的基本知识， 通过本章学习，读者应该掌握以下内容： （1）集合的概念及表示方法 （2）子集、空集、全集、补集、幂集等概念
（3）集合的基本运算：交、并、补和对称差
3.2
3.2.3 集合的补
集合的运算
定义3.2.4 设U是全集，A是U的一个子集，称U-A为A关于全集 的补集，也叫做A的绝对补集，简称为补集。记作~A。即 U-Ａ＝｛x|xＵ且xＡ｝
例如，U＝｛x | x是计算机学院的全体学生｝，
A＝｛x | x是计算机学院的全体女学生｝， 则 ~A＝｛x | x是计算机学院的全体男学生｝
（4）集合的包含排斥原理
主要内容
3.1集合的概念与表示 3.2集合的运算
3.3包含排斥原理
3.1集合的概念与表示
3.1.1
3.1.2
集合的基本概念
集合的表示
1．列举法 2．描述法 3．文氏图法 3.1.3 集合之间的关系
3.1.1 集合的基本概念 将一些对象汇集起来作为整体考虑， 这个整体 就叫做集合 如果x是集合A中的一个元素， 记为x∈A 如果x不是集合A中的一个元素，记为x A 两个特殊的集合， 全集：所论客体的全部，用E 表示; 空集：不包含任何客体，用 表示 集合A中元素的个数用|A|表示
3.２
3.２.4
集合的运算
集合的对称差集合的补
例3.2.1 已知：A♁B＝A♁C，则B＝C。 证明：A♁B＝A♁C A♁（A♁B）＝A♁（A♁C） （A♁A）♁B ＝（A♁A）♁C ♁B＝♁C B＝C