高中数学第二章平面向量2.平面向量的实际背景及基本概念问题导学案新人教A版
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念教案新人教A版必修
课题: 平面向量的实际背景及基本概念___________；A．质量 B．速度 C．位移 D．力3．设O是正方形ABCD的中心，向量AO OB CO OD、、、是A．平行向量 B．有相同终点的向量 C．相等向量 D．模相等的向量【课外拓展】1. 下列各量中是向量的是( )A.密度B.体积C.重力D.质量2．下列各说法中，其中正确的个数为（）（1）向量AB的模长与向量BA的模长相等;（2）两个非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3.已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1 km”，则向量a b 表示（）2 B. 向东南航行2 kmA. 向东南航行km2 D. 向东北航行2kmC. 向东北航行km4．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.．在下列说法中，正确的是．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同;abc在如图所示的向量a，b c，d e中（小正方形的边长为的模．【当堂训练】写出与=；方向相同且|a b教学反思]精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
高中数学 第二章《平面向量》导学案 新人教A版必修4
第二章《平面向量》导学案（复习课）【学习目标】1.理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念.2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）.4.了解向量形式的三角形不等式：||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2.5.了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）.6.向量的坐标概念和坐标表示法.7.向量的坐标运算（加、减、实数和向量的乘法、数量积）.8.数量积（点乘或内积）的概念，a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2，注意区别“实数与向量的乘法、向量与向量的乘法”.【导入新课】向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支中有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直.新授课阶段例1 已知(3,0),(,5)a b k ==r r ，若a 与b 的夹角为43π，则k 的值为_______.解析：例2 对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+ ｜b ｜. 证明：例3 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c ，i ，j . 解：例4 下面5个命题：①|a ·b |=|a |·|b |②(a ·b )2=a 2·b2③a ⊥(b －c )，则a ·c =b ·c ④a ·b =0，则|a +b |=|a －b |⑤a ·b =0，则a =0或b =0，其中真命题是（ ）A ．①②⑤ B.③④ C.①③ D.②④⑤ 解析：例 5 已知向量(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,(3))OC m m =--+u u u r，（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值． 解：例6 已知在△ABC 中，)3,2(=，),,1(k =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值. 解：课堂小结本章主要内容就是向量的概念、向量的线性运算、向量知识解决平面几何问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何问题的步骤.作业 见同步练习 拓展提升 一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5===（ ）A ．)35(2121e e +B ．)35(2121e e -C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 2．化简)]24()82(21[31--+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -3．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①=；②||||=；③||||+=-； ④222||||4||,AC BD AB +=u u u ru u u ru u u r其中正确的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．=+B ．=-C ．=-D ．=-5．已知向量与反向，下列等式中成立的是（ ） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+D ．||||||+=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为（ ）A ．（1，5）或（5，－5）B ．（1，5）或（－3，－5）C ．（5，－5）或（－3，－5）D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为 （ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(--D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-b a ，5||,4||==b a ，则b a 与的数量积为（ ）A ．103B ．－103C ．102D ．1010．若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ） A ．)223,22(--B ．)223,22(C ．)22,223(-D ．)22,223(-11．已知||22p =u r ，||3q =r ，,p q u r r 的夹角为4π，如图，若52AB p q =+u u u r u r r ，3AC p q =-u u u r u r r ，D 为BC 的中点，则||AD uuu r为（ ）．A ．215B ．215C ．7D ．18二、填空题12．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 13．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .14．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= . 15．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 .三、解答题16．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥.17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.参考答案 例1解析：如图1，设a OA =，43π=∠AOC ，直线l 的方程为5=y ，设l 与OC 的交点为B ，则OB 即为b ， 显然()5,5-=b ，5-=∴k . 例2证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且 ｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜a ｜+｜b ｜；(2)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a .b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞|b |，则|a +b |=|a |-|b |.同理可证另一种情况也成立.例3解：建立平面直角坐标系xoy ，其中i , j 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是=－3, =， =-3.所以-3=33+，即=3－33.例4解析：根据向量的运算可得到，只有①③对，故选择答案 C 例 5解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线，∵(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,(3))OC m m =--+u u u r， ∴(3,1)AB =u u u r ，(1,)BC m m =---u u u r，而AB u u u r 与BC uuur 不平行，xy ABOCab图1即31m m -≠--，得12m ≠， ∴实数12m ≠时满足条件． （2）若ABC ∆为直角三角形，且A ∠为直角，则AB AC ⊥u u u r u u u r，而(3,1)AB =u u u r ，(2,1)AC m m =--u u u r，∴3(2)(1)0m m -+-=，解得74m =． 例6解：(1,)(2,3)(1,3),BC AC AB k k =-=-=--u u u ru u u ru u u rQ0(1,)(1,3)0C RT AC BC AC BC k k ∠∠⇒⊥⇒⋅=⇒⋅--=u u u r u u u r u u u r u u u rQ 为2313130.k k k ±⇒-+-=⇒=拓展提升 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 ABCBCDACABA11．提示：A 11()(6)22AD AC AB p q =+=-u u u r u u u r u u u r ur r ，∴222211||||(6)361222AD AD p q p p q q ==-=-+u u u r u u u r u r r u r u r r r g2211536(22)12223cos 3242π=⨯-⨯⨯⨯+=． 二、填空题：12． 120° 13． 矩形 14、 1± 15． 2- 三、解答题： 16．证：()()22b a b a b a b a -=+⇒+=+⇒-=+Θ2222220.a ab b a ab b ab ⇒++=-+⇒=r r r r r r r r r r,a b r rQ 又为非零向量,.a b ∴⊥r r17．()121212234,BD CD CB e e e e e e =-=--+=-u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u rQ若A ，B ，D 三点共线，则与共线，,AB BD λ∴=u u u r u u u r设即121224.e ke e e λλ+=-u r u u r u r u u r 由于12e e u r u u r 与不共线,可得： 11222,4.e e ke e λλ==-u r u ru u r u u r故2,8.k λ==-。
2020年高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念学案 新人教A版必修.doc
2020年高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念学案新人教A版必修【学习目标】1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2、掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；3、会区分平行向量、相等向量和共线向量。
【重点难点】重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等。
难点：向量的概念和共线向量的概念。
【学习内容】一、向量的概念1、请同学们回忆在物理学中学过哪些矢量: ，它们都是既有又有的量。
2、在数学中，我们把叫做向量。
而以前学过的数量是的量。
①数量可以比较大小，但向量不可以比较大小。
②数量可以用来表示。
二、向量的表示方法1、有向线段：带有方向的线段叫做有向线段，记做AB。
有向线段包含三个要素。
有向线段的方向就是向量的方向，有向线段的长度就是向量的长度（或称模），记作AB。
2、字母表示：①用a,b,c……表示。
②用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如:AB。
三、概念1、向量的模：，记作。
向量的模是可以比较大小的。
2、零向量：，记作。
3、单位向量：。
4、平行向量：，平行向量又叫共线向量，记作。
规定：零向量与任一向量平行。
5、相等向量：。
记作：。
6、相反向量：。
例1、下列说法中错误的是: （）A.零向量的模为0B.零向量与任一向量平行C.零向量是没有方向的D.零向量的方向是任意的例2、把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是： ( )A.一个圆B.圆上一群孤立的点C.一条线段D.一个点例3、判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.⑦若a//b,b//c,则a//c⑧两个向量不能比较大小，但它们的模可以比较大小。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念教案 新人教A版必修4(1)
2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.知识与技能(1)了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示.(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.过程与方法通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.难点:向量的概念,平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.(1)重点的突破:从向量的物理背景、几何背景等入手,从学生熟悉的矢量概念引出向量概念;还要注意与数量概念的比较,使学生在区分相似概念的过程中把握向量的概念.(2)难点的突破:借助信息技术,通过向量平移来说明向量的相等与起点无关.让学生体会,只要表示两个向量的有向线段所在直线平行或重合,这两个向量就是共线向量.向量及向量符号的由来向量最初应用于物理学,被称为矢量,很多物理量,如力、速度、位移、电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle,公元前384—前322)就知道力可以表示成向量.向量一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿(Newton,1642—1727).向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向,线段长表示大小的有向线段来表示它.1806年,瑞士人阿尔冈(R.Argand,1768—1822)以AB表示一个有向线段或向量.1827年,莫比乌斯(Mobius,1790—1868)以AB表示起点为A,终点为B的向量,这种用法被数学家广泛接受.另外,哈密尔顿(W.R.Hamilton,1805—1865)、吉布斯(J.W.Gibbs,1839—1903)等人则以小写希腊字母表示向量.1912年,兰格文用表示向量,以后,字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行,尤其在手写稿中.为了方便印刷,用粗黑小写字母a,b等表示向量,这两种符号一直沿用至今.向量进入数学并得到发展,是从复数的几何表示开始的.1797年,丹麦数学家威塞尔(C.Wessel,1745—1818)利用坐标平面上的点(a,b)来表示复数a+b i,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数表示、研究平面中的向量.。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念说课稿 新人教A版必修4
平面向量的实际背景及基本概念各位同仁，大家好！我说课的内容是《平面向量的实际背景及基本概念》，选自人教A版数学《必修4》第二章第一节.下面我将从课标要求、教材分析、学情分析、教学目标、教学理念、教学方法和教学过程这七个方面来进行说课。
一、课标要求通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
二、教材分析（一）本节的地位和作用向量是近代数学最重要的和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的桥梁，是解决几何问题的有力工具，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。
向量有着丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。
向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念。
向量集数与形于一身，是数形结合的重要体现。
向量作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活的问题，因此它在整个高中数学学习过程中占有特别重要的地位。
本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。
本节课重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。
（二）本节的主要内容向量就是从物理背景中抽象概括出来的数学概念，因此把本节课的主要内容确定为向量的概念和向量的表示方法。
（三）教学重点、难点分析掌握向量的概念，要抓住向量的本质——大小和方向.尽管学生有着相对比较丰富的物理素材，但对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以平面向量的概念是本节课的重点也是难点，同时，向量的几何表示也是本节课的重点。
教学重点：向量的概念及向量的表示方法.教学难点：向量的概念和向量与有向线段的区别.三、学情分析从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性。
还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备。
高中数学《平面向量的实际背景及基本概念》导学案新人教A版必修
2.1《平面向量的实际背景及基本概念》导学案【学习目标】1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2．通过对向量的学习，初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3．通过对向量与数量的识别能力的训练，培养认识客观事物的数学本质的能力.【导入新课】情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？新授课阶段（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1．数量与向量有何区别？2．如何表示向量？3．有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4．长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5．满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6．有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7．如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？注意：1．数量与向量的区别：2.向量的表示方法： A B C D A(起点) B （终点）a①用表示；②用（黑体，印刷用）等表示；③；④ .3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4．零向量、单位向量概念：①叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5．平行向量定义：①叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6．相等向量定义：叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点．．．．．．．．无关．．.7．共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段．．．．．的起点无关）．．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.例1 书本86页例1.例2 判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（）（2）不相等的向量是否一定不平行？（）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（）例3 下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解析：例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC 相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量共线的向量有哪些？变式训练：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.课堂小结1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.作业课本88页习题2.1第3、5题拓展提升1．下列各量中不是向量的是（）A.浮力B.风速C.位移D.密度2.下列说法中错误．．的是（）A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆4．已知非零向量b a //,若非零向量a c //，则c 与b 必定 .5．已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定 .6.设在平面上给定了一个四边形ABCD ,点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,则_______,||=________=参考答案1、数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ① 有向线段② 字母ａ、ｂ③有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量的模，记作|AB |.3.起点、方向、长度.4．零向量、单位向量概念：①长度为0的向量②长度为1个单位长度的向量5．平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量6．相等向量定义：长度相等且方向相同的向量例1 书本86页例1.例2（1） （不一定）（2） （不一定）（3） （零向量）（4） （零向量）（5） （平行向量）（6） （长度相等且方向相同）（7） （不一定）例3解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题A(起点) B （终点）a来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4变式一： （11个）变式二： （存在）变式三： （FE DO CB ,,）变式训练解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上. ②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.拓展提升1.D2.A3.D4.平行5.不共线6. ||NM ，NM。
高中数学第二章平面向量2-1平面向量的实际背景及基本概念学案含解析新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量2-1平面向量的实际背景及基本概念学案含解析新人教A版必修4[(1)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班．每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移．(2)汽车向东北方向行驶了60 km，行驶速度的大小为120 km/h，方向是东北．(3)起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．问题1：上述三个实例中涉及哪些物理量？提示：分别涉及位移、速度和力．问题2：这些量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？提示：面积、质量等只有大小没有方向，而位移、速度和力既有大小又有方向．[导入新知]向量和数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．[化解疑难]理解向量的概念应关注三点(1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．(3)向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．[提出问题]问题1：在学习三角函数线时，我们学习了有向线段，试想：有向线段应包含什么要素？提示：起点、方向、长度．问题2：对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？提示：利用有向线段表示．问题3：如何表示向量？提示：有向线段的方向表示向量的方向，长度表示向量的大小．[导入新知]1．有向线段(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作 .AB(2)有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．2．向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c，…表示向。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学课件 新人教A版必修4
(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小，如即使|a|＞ |b|也不能说 a＞b，特殊地，若向量 a，b 是相等向量，记作 a ＝b.
(3)0 与 0 不同，虽然|0|＝0，但 0 是向量，而 0 是数量． 提醒：初学者要特别注意零向量 0 与实数 0 书写的区别， 对向量 0，书写时不能漏掉“→”．
1．想一想
零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相 同吗？
提示：零向量的方向是任意的，两个单位向量 的方向可以不同．
2．判一判(判断下列说法的正误)
(1)向量A→B与向量B→A是相等向量．( ) 提示：× A→B与B→A的模相等，方向相反，因而不是相等向
量．
(2)与实数类似，对于两个向量a，b有：a＝b， a＞b，a＜b三种关系．( )
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面 的实际背景及基本概念教学课件 新 同学们，下课休息十A分版钟必。修现4在是休息时间
休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
向量的有关概念
给出下列命题： (1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； (2)向量的模一定是正数； (3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等 向量；
(5)相等向量：_长__度__相__等___且__方__向__相__同___的向量叫做相等 向量．
(6)平行向量(共线向量)：方向__相__同__或__相__反___的非零向量叫 做平行向量，也叫共线向量．
①记法：向量 a 平行于 b，记作___a_∥_b___. ②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量 a，都 有 0∥a.
(1)试以 B 为起点画一个向量 b，使 b ＝a；
(2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c， 使|c|＝ 5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什 么．
2020版高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4_112.doc
2.1 平面向量的实际背景及基本概念学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.知识点一 向量的概念思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 答案 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向. 思考2 两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？ 答案 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小. 梳理 向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量. 知识点二 向量的表示方法思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 答案 可以用一条有向线段表示. 思考2 0的模长是多少？0有方向吗？ 答案 0的模长为0，方向任意. 思考3 单位向量的模长是多少？ 答案 单位向量的模长为1个单位长度.梳理 (1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a ， b ， c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a →， b →， c →).(3)向量AB →的大小，也就是向量AB →的长度(或称模)，即有向线段AB →的长度，记作|AB →|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量. 知识点三 相等向量与共线向量思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →相等吗？它们共线吗？ 答案 因为向量AB →和向量BA →方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.思考3 若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？ 答案 不一定.因为当b ＝0时，a ，c 可以是任意向量.梳理 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. ①记法：向量a 平行于b ，记作a∥b . ②规定：零向量与任一向量平行.(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.类型一 向量的概念例1 下列说法正确的是( ) A.向量AB →与向量BA →的长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量没有方向D.任意两个单位向量都相等 答案 A解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B ，C ，D 都错误，A 正确.故选A.反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练1 下列说法正确的有 . (1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；(2)向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上；(3)向量AB →与BA →是平行向量. 答案 (3)解析 (1)错误.|a |＝|b |仅说明a 与b 的模相等，不能说明它们方向的关系.(2)错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上，因此点A 、B 、C 、D 不一定在同一条直线上. (3)正确.向量AB →和BA →是长度相等，方向相反的两个向量. 类型二 共线向量与相等向量例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点.(1)写出与EF →共线的向量； (2)写出与EF →的模大小相等的向量； (3)写出与EF →相等的向量.解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点， 所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →与CD →.反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.跟踪训练2 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心.(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与OA →长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →共线的向量有哪些？解 (1)与OA →的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.(2)存在.由正六边形的性质可知，BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →的长度相等、方向相反的向量有AO →，OD →，FE →，BC →，共4个.(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，线段OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，共9个. 类型三 向量的表示及应用例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点. (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示.(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线， ∵|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略).(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略).1.下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数；③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④若|a |>|b |，则a >b . A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 ①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a ，b 中有一个为零向量，则a 与b 必共线，故a 与b 不共线，则应均为非零向量，故③对. 2.下列说法错误的是( ) A.若a ＝0，则|a |＝0 B.零向量是没有方向的 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 答案 B解析 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B 是错误的. 3.如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )A.AB →＝DC →B.|AB →|＝|DC →|C.AB →>DC →D.AB →<DC →答案 B解析 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等.4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.(1)写出与AF →、AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量.解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →.(2)DA →，CF →，FC →.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.课时作业一、选择题1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程.其中是向量的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案 C解析 ②③④⑤是向量.2.下列说法中正确的个数是( )①任一向量与它的相反向量不相等；②一个向量方向不确定当且仅当模为0；③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；④单位向量的模都相等. A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C3.下列说法正确的是( )A.若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反B.若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D.若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案 D4.如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →. 5.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则以下说法错误的是( )A.与AB →相等的向量只有一个(不含AB →)B.与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C.BD →的模恰为DA →的模的3倍 D.CB →与DA →不共线 答案 D解析 由于AB →＝DC →，因此与AB →相等的向量只有DC →，而与AB →的模相等的向量有DA →，DC →，AC →，CB →，AD →，CD →，CA →，BC →，BA →，因此选项B 正确.而Rt△AOD 中，∵∠ADO ＝30°，∴|DO →|＝32|DA →|，故|DB →|＝3|DA →|，因此选项C 正确.由于CB →＝DA →，因此CB →与DA →是共线的，故选D.6.如图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是( )A.|AB →|＝|EF →|B.AB →与FH →共线 C.BD →与EH →共线 D.CD →＝FG → 答案 C7.以下命题：①|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量.其中，正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 C 解析 ②④错误. 二、填空题8.在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为 . 答案 菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形. 9.给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量.其中能使a ∥b 成立的是 .(填序号) 答案 ①③④解析 相等向量一定是共线向量，故①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，故④成立.10.如图，若四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，则：(1)图中与AB →共线的向量有 ； (2)图中与AB →相等的向量有 ； (3)图中与AB →的模相等的向量有 ； (4)图中与EC →相等的向量有 . 答案 (1)DC →，BE →，BA →，CD →，EB →，AE →，EA →(2)DC →，BE →(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB → (4)BD → 三、解答题11.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地.(1)画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位置向量. 解 (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示.(2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，长度为6千米”. 12.如图，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′———→，AC →＝A ′C ′———→. 证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→. 又∵点A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′， ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′———→|，|BC →|＝|B ′C ′———→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴AB →∥A ′B ′———→，且|AB →|＝|A ′B ′———→|， ∴AB →＝A ′B ′———→.同理可证AC →＝A ′C ′———→.13.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B .点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →； (2)求|BC →|的最大值与最小值. 解 (1)画出所有的向量AC →，如图所示.(2)由(1)所画的图知， ①当点C 位于点C 1或C 2时， |BC →|取得最小值12＋22＝5； ②当点C 位于点C 5或C 6时， |BC →|取得最大值42＋52＝41. 所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5. 四、探究与拓展14.设a 0，b 0是两个单位向量，则下列结论中正确的是 .(填序号) ①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0. 答案 ③15.如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点.(1)写出图中所示向量与向量DE →长度相等的向量； (2)写出图中所示向量与向量FD →相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量DE →，FD →共线的向量.解 (1)与DE →长度相等的向量是EF →，FD →，AF →，FC →，BD →，DA →，CE →，EB →.(2)与FD →相等的向量是CE →，EB →.(3)与DE →共线的向量是AC →，AF →，FC →；与FD →共线的向量是CE →，EB →，CB →.。
高中数学第二章平面向量的实际背景及基本概念教案新人教A版
2．1向量的概念及表示【教学目标】1.知识目标：○1能理解向量的概念，并能用两种方法表示向量；○2明确向量的长度（模）、零向量、单位向量的概念；○3掌握平行向量、共线向量和相等向量的概念，能根据图形判定向量是否平行（共线）、相等．2.能力目标：培养学生数形结合的能力，学会用类比和分类讨论的方法解决问题的能力．3.情感目标：培养学生学以致用的科学探索精神和爱国主义情操．【教学重点】1．向量概念的引入，会表示向量．2．理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念．【教学难点】1. “数”与“形”的结合思想2. 平行（共线）向量和相等向量区别和联系．【教学过程】一创设情境二自主学习概念：向量的定义：我们把既有又有的量叫做向量．向量的表示：常用：表示，记作：，也可以用小写字母表示．向量AB的大小称为“”，记作：．相等向量,a b ,a c三 概念辨析判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． 题组一：① 温度含有零上和零下温度，所以温度是向量；② 若|a |>|b |则a >b ；向量的定义的注意点： 题组二：③ 起点相同的两个非零向量不平行；④ 若a //b ，b //c ，则a //c ；⑤ a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；向量平行与直线平行的区别： 题组三：⑥ 若四边形ABCD 是平行四边形则AB CD =；⑦ 若四边形ABCD 中，AB DC =，则ABCD 是平行四边形； ⑧ 若|a |=|b |且a //b 则a =b ；相等向量的注意点： 题组四：⑨ 单位向量都相等；⑩ 共线的单位向量都相等；单位向量的注意点： 题组五：○11 ||||0a a -=； ○12 向量的模为正实数． 零向量的注意点：四 数学应用例1．已知O 点是的正六边形ABCDEF 的中心， 在图中所标出的向量中：（1）与FE 共线的向量有 ； （2）与FE 相等的向量有 ； （3）OA 与BC 是互为 向量．例2．如图，45 的方格纸中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中（１）与AB 相等的向量有多少个？ （２）与AB 相反的向量有多少个？（３）与AB 长度相等的共线向量有多少个？（AB 除外）五．课时小结六．课后作业 课本p57 习题2.1：1，2，3．七．任务延伸 根据地图，求以南通为起点，黑瞎子岛为终点的向量的模是多少?方向是什么?八．课后拓展 课本p57 习题第５题.CFAB。
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4
2．1 平面向量的实际背景及基本概念1．了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出向量． 2．理解向量的概念，掌握向量的表示法，了解生活中的向量． 3．掌握并能判断相等向量和平行向量．1．概念(1)向量：既有____，又有____的量叫做向量，如力，位移等．(2)数量：只有大小，没有____的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等．向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．(3)有向线段：带有____的线段叫做有向线段．其方向是由____指向____，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作__(如图所示)，线段__的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：____、____、____.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的____就唯一确定．【做一做1】 下列量中是向量的是( )A ．长度B ．身高C ．速度D ．面积 2．向量的表示法(1)几何表示：用________表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就是向量的____(或称模)，如向量AB →的长度记作__．(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c ，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母a →，b →，c →，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A 为起点，以B 为终点的向量记为AB →.【做一做2】 已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示 B ．方向是由M 指向N C ．起点是MD ．终点是M3．有关概念①共线向量所在直线平行或重合．如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量．②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．相等向量是共线向量，而共线向量不一定是相等向量．【做一做3－1】 单位向量的长度等于( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定【做一做3－2】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，与AB →共线的向量有__________．答案：1．(1)大小 方向 (2)方向 (3)方向 起点 终点 AB →AB (4)起点 方向 长度 终点【做一做1】 C2．(1)有向线段 长度 |AB →|【做一做2】 D3．0 1 长度 a ＝b 有向线段 相同 相反 a ∥b 平行 直线 共线 【做一做3－1】 B【做一做3－2】 BA →，DC →，CD →1．向量和有向线段的区别与联系剖析：向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．它们的联系是：向量可以用有向线段来表示，这条有向线段的长度就是向量的长度，有向线段的方向就是向量的方向．它们的区别是：向量是可以自由移动的，故当用有向线段来表示向量时，有向线段的起点是任意的．而有向线段是不能自由移动的，有向线段平移后就不是原来的有向线段了．有向线段仅仅是向量的直观体现，是向量的一种表现形式，不能等同于向量；有向线段有平行和共线之分，而向量的平行和共线是相同的，是同一个概念．2．数学中的向量是自由向量剖析：根据相等向量的定义来分析．两个非零向量只有当它们的模相等，同时方向相同时，才能称它们相等．任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关，所以向量只有大小和方向两个要素，是自由向量．例如：五个人站成一排，同时向前走一步(假设每个人的步子都一样大)，则每个人都有一个位移，这五个位移都相等，是相等向量．对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以自由平行移动的．因此，在用有向线段表示向量时，可以自由选择起点，所以任何一组平行向量都可以移到同一直线上．题型一 向量的有关概念【例1】 下列说法正确的是( ) A. AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 B ．长度相等的向量叫相等向量 C ．零向量的长度等于0D ．共线向量是在同一条直线上的向量反思：(1)对向量有关概念的理解要全面、准确，要注意相等向量、共线向量之间的区别和联系．(2)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．题型二 在图形中找出相等或共线向量【例2】 如图，四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形．(1)写出与向量AB →共线的向量；(2)写出与向量AB →相等的向量．分析：寻找相等向量时，需要考虑线段的长度和方向；寻找共线向量时，只需要考虑线段的方向，不需要考虑线段的长度．反思：在图形中找出与AB →共线的向量时，首先是BA →，再就是判断其他向量m 是否与AB →共线，若m 所在直线与直线AB 平行或重合，则m ∥AB →，否则它们不共线．在所有与AB →共线的向量中，与AB →方向相同且长度相等的向量与AB →相等．题型三 画出实际问题中的向量 【例3】 一辆汽车从点A 出发向西行驶了100千米到达点B ，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D .(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.分析：根据行驶方向和距离作出向量，进而求解．反思：在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．题型四 易错辨析易错点 混淆向量的有关概念而致错 【例4】 判断下列各命题的真假：(1)向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (2)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (3)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；(4)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； (5)有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 错解：A 或B 或D错因分析：本题易发生的错误是忽略零向量而判断(1)为正确；不理解共线向量而判断(3)为正确；混淆向量共线与平面几何里两直线平行而判断(4)正确；混淆向量与有向线段概念而判断(5)正确．反思：对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小又有方向，方向不能比较大小．因此“大于”“小于”对向量来说没有意义，而向量的模可以比较大小．零向量是比较特殊的向量，解题时一定要看清是“零向量”还是“非零向量”．答案：【例1】 C AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故A 项错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 项错；按定义，零向量的长度等于0，故C 项正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 项错．【例2】 解：(1)与向量AB →共线的向量是BA →，DE →，ED →，DC →，CD →，CE →，EC →； (2)与向量AB →相等的向量是CE →和DC →. 【例3】 解：(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线． 又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴|AD →|＝|BC →|＝200千米．【例4】 C 正解：(1)假命题．若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的．(2)真命题．(3)假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反． (4)假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行． (5)假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段．1．已知非零向量a ，b 满足a ∥b ，则下列说法错误的是( ) A ．a ＝b B ．它们方向相同或相反 C ．所在直线平行或重合 D ．都与零向量共线 2．下列说法正确的个数为( )①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量； ②零向量没有方向； ③向量的模一定是正数；④非零向量的单位向量是唯一的．A ．0B ．1C ．2D ．33．如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则图中与OA相等的向量是( )A.OCB.ODC.OBD.CO4．如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)写出与AE共线的向量；(2)写出与AE相等的向量．5．一个人从点A 出发沿东北方向走了100 m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达点C .(1)画出AB ，BC，CA .(2)求|CA |.答案：1．A2．A ①错误．只有速度、位移是向量； ②错误．零向量有方向，它的方向是任意的； ③错误．|0|＝0；④错误．非零向量a 的单位向量有两个：一个与a 同向，一个与a 反向．3．D OA 与CO 方向相同且长度相等，则OA ＝CO .4．解：(1)与AE 共线的向量有EA 、BD 和DB.(2)与AE 相等的向量是BD .5．解：(1)如图所示．(2)||AB ＝100 m ，||BC＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴||CA＝100 m.。
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课堂探究学案新人教A版必修4(2021学年)
高中数学第二章平面向量２.1 平面向量的实际背景及基本概念课堂探究学案新人教A版必修４编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2．１平面向量的实际背景及基本概念课堂探究学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念课堂探究探究一向量的表示1．准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.2.注意事项：书写有向线段时,要注意起点和终点的不同;在书写字母表示时不要忘了字母上的箭头．【典型例题1】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为１），用直尺和圆规画出下列向量:（1) OA,使|OA|＝4A在点O北偏东45°方向；(2) AB,使｜AB|＝4,点B在点Ａ正东方向;(3) BC,使|BC|=6，点C在点B北偏东3０°方向．解：如图中的OA，AB和BC。
探究二相等向量与共线向量1.寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.2．寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再找同向与反向的向量.注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．【典型例题2】给出下列说法:①|AB｜=|BA|;②若a与b方向相反,则a∥b;③若AB，CD是共线向量，则A,B,C，D四点共线；④有向线段是向量,向量就是有向线段.其中所有正确的序号是____＿___．思路分析:利用共线(平行）向量的概念判断．解析：①中AB与BA的起点终点相反，但长度相等,故①正确;②正确；③AB与CD共线时，有AB∥ＣD或A，B，Ｃ，D四点共线，故③错误；④向量是一个量,有向线段是一种几何图形，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段.答案:①②【典型例题3】如图，O是正方形ABＣD对角线的交点,四边形OAED，OＣFB都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：(１）与DO，CO相等的向量.（2）与DO共线的向量．解:（1) DO=CF，CO=DE．(2)与DO共线的向量为:CF,BO,AE.规律小结对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况.探究三易错辨析易错点:混淆向量的有关概念而致错【典型例题4】已知下列命题:①若|a｜=０,则a为零向量；②若|a|=｜b|,则a＝b或a=-b；③若a∥b，则｜a|＝｜b|;④所有单位向量都是相等向量；⑤两个有共同起点,而且相等的向量,其终点必相同.其中正确的有（）A．2个ﻩﻩB．3个ﻩ C.４个ﻩﻩD．5个错解:C错因分析:①正确;②正确;③错误;没有正确理解单位向量和相等向量而判断④正确;⑤正确．正解：①正确;②由|a|＝|b｜得a与b的模相等，但不确定方向，故②错误;③错误；④所有单位向量的模都相等,都为1，但方向不确定,故④不正确;⑤正确.答案：A方法技巧明确向量及其相关概念的联系与区别:(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关.（２)明确向量与有向线段的区别:有向线段有三要素:起点、方向、长度，只要起点不同，另外两个要素相同也不是同一条有向线段,但决定向量的要素只有两个：大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关．(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的.零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时,两向量为相等向量.以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念目标导引 新人教A版必修4
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一览众山小
诱学导入
材料：如图2-1-1所示，一个质点从点A运动到点A′，这时点A′相对于点A的位置是“北偏东30°，3个单位”.如果不考虑质点运动的路线，只考虑点A′相对于点A的“方向”和“两点之间的距离”，这时，我们就说质点在平面上作了一次位移，“两点之间的距离”叫做位移的距离.这就是说，位移被“方向”和“距离”唯一确定，位移只表示质点位置的变化，起、终点间位置关系，而与质点实际运动的路线无关.
图2-1-1
从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们都把它们看成相同的位移或相等的位移.在上体育课时，老师下达口令“向前3步走”，全班同学都进行了相同的位移.
民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班，每次飞行都是民航客机的一次位移.由于飞行的距离和方向各不相同，因此它们是不同的位移(如图2-1-2).
图2-1-2
问题：在物理学中，我们还学过速度、加速度和力等物理量，那么位移、速度、加速度、力和哪些因素有关呢？这些物理量都是向量，如何给向量下一定义呢？
导入：从上面的材料可以看出，大小和方向是向量的两个要素.
温故知新
在物理学中，有一个重要的基本量——位移，它的意义及表示方法是怎样的？
答：在物理学中，研究物体在平面内的位置和运动规律时，一般忽略它的大小，只考虑质点的终点相对于起点的方向和两点之间的距离，就说质点在平面上作了一次位移.对位移的理解要注意三点：一是位移被方向和距离唯一确定；二是位移只与质点的起点和终点的位置有关系，而与质点的实际运动路线无关；三是只要方向相同，距离相等，都表示相等的位移. 位移可以用有向线段来表示，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度.。
2018版高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念导学案 新人教A版必修4
2.1 平面向量的实际背景及基本概念学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区别。
2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3。
理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念。
知识点一向量的概念思考1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向.思考2 两个数量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗?答案数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小.梳理向量与数量(1）向量:既有大小，又有方向的量叫做向量.(2）数量：只有大小，没有方向的量称为数量.知识点二向量的表示方法思考1 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案可以用一条有向线段表示。
思考2 0的模长是多少？0有方向吗？答案0的模长为0，方向任意。
思考3 单位向量的模长是多少？答案单位向量的模长为1个单位长度。
梳理（1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示。
带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作错误!.（2）向量的字母表示：向量可以用字母a， b， c，…表示(印刷用黑体a，b,c，书写时用错误!, 错误!，错误!）.(3）向量错误!的大小，也就是向量错误!的长度(或称模)，即有向线段错误!的长度，记作｜错误!｜.长度为0的向量叫做零向量，记作0;长度等于1个单位的向量,叫做单位向量。
知识点三相等向量与共线向量思考1 已知A，B为平面上不同两点，那么向量错误!和向量错误!相等吗？它们共线吗？答案因为向量错误!和向量错误!方向不同,所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线。
思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动。
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念
问题导学
一、向量的有关概念
活动与探究i
给出下列结论：
(1) 若Ial 二| b∣,则a二b 或a二一b；
(2) 向量的模一定是正数；
(3) 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
(4) 向量AB与CD是共线向量，则A, B5CD四点必在同一直线上.
其中正确结论的序号是____________ .
=3迁移与应用
1 .下列说法中正确的是( )
A. 所有单位向量相等
B. 零向量是没有方向的向量
C. 若a与b是平行向量，则a与b的方向相同或相反
D. 向量BA与向量AB的大小相等
2. 判断下列说法是否正确，并说明理由.
(1) 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
(2) 两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
(3) 数轴是向量；
(4) 由于零向量O方向不确定，故O不能与任一向量平行；
(5) 若向量a与b同向，且∣a∣> ∣b∣,贝U a〉b.
....................................................................... :j念师偉《
对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可.
(1) 零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，它们的方向是任意的.因为它们方向的不确定性，所以在解题过程中要注意.
(2) 注意O与O的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一个表示向量.
(3) 平行向量不一定方向相同或相反，因为O与任一向量平行，O的方向是任意的.
二、向量的表示
=3活动与探究2
对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？
(1) 把所有单位向量的起点平移到同一点P;
(2) 把平行于直线丨的所有单位向量的起点平移到直线丨上的点P；
(3) 把平行于直线I的所有向量的起点平移到直线I上的点P.
=3迁移与应用
某次军事演习屮，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回
了IOOkm到达B地，然后又改变方向向北偏西40。
走了200 km到达C地，最后又改变方向，向东突进100 km到达D处，完成了对蓝军的包围.
(1) 作出向量AB, BC, CD ；
⑵求| AD |.
------- ----------------- --------- ----------------------- C5 g师总律《
(1) 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
(2) 要注意能够运用向量观点将实际问题抽象成数学模型.“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在日常学习屮不断积累经验.
三、相等向量与向量共线
活动与探究3
如图所示，O是正六边形ABCDE的中心，且OA二a, OB二b, OC二c.
A
B
（1）与a 的模相等的向量有多少个？
（2） 与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ （3） 与a 共线的向量有哪些？ （4） 请一一列出与a, b, C 相等的向量.
=3迁移与应用 给出下列命题：
① 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等；
② 若AB 二DC,则A 、BCD 四点是平行四边形的四个顶点; ③ 若 a /∕b, b∕∕c,贝 U a// c ； ④ 若 a 二 b, b= c,贝 U a 二 c ； ⑤ 相等向量一定是平行向量. 其中不正确命题的个数为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线不 一定平行，也可能重合.若直线 m n, I 满足m∕∕n, n∕/ I,则m 〃 I ；若向量a, b, C 满足a// b, b∕/ c,而a, C 不一定平行.
当堂检测 下列各量中，是向量的是（）
A. 功B .温度 C.距离
D •重力
2∙如图，在+0中，向量O B, OC, A O 是（
A. 有相同起点的向量
B. 共线向量
1.
C. 模相等的向量
D. 相等的向量 3.
A •若 ∣a ∣> ∣b ∣,则 a> b B. 若 Ial 二 I b ∣,则 a 二 b C. 若 a 二 b,则 a// b
D. 若Ab,则a 与b 不是共线向量
4•设O 是正方形ABCD 勺中心，则OA BO, AC, BD 中，模相等的向量是 ___________________ 5.如图所示，四边形ABC ［和ABD 都是平行四边形.
(1) 与向量ED 相等的向量为 (2) 若IABl 二3,则向量EC 的模等于
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领 部分写
下来并进行识记.
答案： 课前预习导学 【预习导引】
1. ⑴大小方向(2)大小方向
2. (1)有向线段起点方向长度(2)有向线段长度IAB |
(3)0
0 1个单
位⑷相同或相反a// b
预习交流1 (1)提示：不能.因为向量既有大小，又有方向. (2) 提示：不对.零向量的方向是任意的. 3. (1)长度相等方向相同(2)平行共线向量 预习交流2(1)提示：不一定，也可以平行，或在一条直线上.
(2) 提示：相等的向量一定共线，而共线的向量不一定相等.
(3) 提示：规定零向量与任一向量是共线向量• 课堂合作探究 【问题导学】
活动与探究1思路分析：解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入 手，逐一判断真假.
(3)
解析：(1)错误.由Ial 二Ibl 仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系. (2) 错误.0的模
|0| = 0.
下列说法中正确的是（）
(3) 正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.
(4) 错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB,
CD必须在同一直线上.
>■一—二迁移与应用1. D解析：在D中向量BA与向量AB是相反向量，故IBAl= | AB |,故D正
确.
2.解：(1)不正确.两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量必相等，反之，两个向量相等，却不一定有相同的起止点.
(2) 不正确.两向量虽然有公共终点，但方向不一定相同或相反，
(3) 不正确.数轴是一条具有方向的直线，而没有大小.
(4) 不正确.规定零向量与任一向量平行.
(5) 不正确.因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定,
故不一定是共线向量. 即大小与方向，
所以两个向量不能比较大小，故(5)不正确.
活动与探究2思路分析：本题可借助于图形帮助解决问题.解：(1)是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆.
(2) 是直线I上与点P的距离为1个单位长的两个点.
(3) 是直线I .
迁移与应用解：(1)向量AB, BC, CD,如图所示.
北100 km
(2)由题意，易知AB与CD方向相反，
故AB与CD共线.
又IABl二ICDl ,•••在四边形ABC ［屮，A匪CD
•••四边形ABCDΛ平行四边形.
• AD 二BC , | AD | 二| BC | 二200 km.
活动与探究3思路分析：抓住向量的两个要素：长度和方向，对图中向量进行一一判断. 解：(1)与a的模相等的向量有23个.
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD , BC , AO , FE .
(3)与a共线的向量有EF,BC, 0D,FE, CB, D0,A0,DA,AD.
(4)与a相等的向量有相等
DO, CB；与b相等的向量有DC,EO,FA ；与C 的向量有FO, ED,EF, AB
迁移与应用B解析：①若两个单位向量平行但方向不一定相同，故①不正确；②中AB、CD 可能落在同一条直线上，故②不正确；③当b二0时，a与C的方向不确定，故③不正确；④⑤显然正确，故选B.
【当堂检测】
1. D解析：由向量的定义知，重力既有大小又有方向是向量，其他均为数量.
2. C解析：由题知OB, OC, AO对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等.
3. C解析：向量不能比较大小，
所以A不正确；a二b需满足两个条件：a, b同向与Ial二∣ b∣,所以B不正确，C正确；a与b 是共线向量只需方向相同或相反，所以D不正确.
4. OA与BO, AC与BD解析：•••四边形ABCDΛ正方形，O为正方形的中心，
-OA= BQ 即| OAI=IBO |, IACl=I BD |.
5. (1) AB. DC (2)6解析：(1)在平行四边形ABC ［和ABDEh
∙/ AB 二ED , AB= DC ,
• ED = DC .
(2)由(1)知ED 二DC , ∙ E、DC 三点共线，| EC | 二∣ EDI + ∣ DC | 二2∣ AB | 二6.。