7.1 线性变换的定义课件
高等代数第7章线性变换[1]PPT课件
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换, 使"aV, 有 (A+B)(a) =A(a)+B(a)．
1、A + B 也是V的一个线性变换．
因为对于所有的a,bV和数k，lP,有
(A+B)(ka+lb) = A(ka+lb ) +B(ka+lb ) = kA(a)+lA(b)+kB(a)+lB(b) = k (A+B)(a)+l (A+B)(b)
精选
2、乘法适合结合律,即 (AB)C = A(BC)
因为映射的合成满足结合律 3、乘法不满足交换律,即一般地
AB BA 如求微分变换D 与求积分变换J , 有
DJ = E ,但一般地 JD E 4、单位变换的作用 AE = EA = A 5、零变换的乘法 OA = AO = O
精选
二、线性变换的加法及其性质
精选
2、(1)交换律 A +B =B +A (2)结合律 (A+B)+C =A+(B+C) (3)零变换 A+O =A (4)负变换 A+(-A) = O
其中 (-A)(a)= -A(a), 从而
(A - B) = (A+ (-B)) 3、分配律 A(B+C) = AB +AC
(A+B)C = AC+BC
D是一个线性变换，称为微分变换.
例7 闭区间[a, b]上所有连续函数全体 组成实数域R上的线性空间C0(a, b). 定义变换
x
则J是一个J(线f (性x))变=换精选.a f (t)dt
二、线性变换的简单性质
第七章线性变换.ppt
令 k ，那么对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) k( (a b)) k(a ( ) b ()) ak ( ) bk () a( ) b().
所以kσ是V的一个线性变换.
2020-12-11
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15
线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对
如果 , V而 ( ) (). 那么 ( ) ( ) () 0, 从而 ker( ) {0}. 所以 , 即σ是单射.
2020-12-11
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11
如果线性映射 :V W 有逆映射 1 ，那么是W
到V 的一个线性映射.
2020-12-11
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12
7.2 线性变换的运算
（4） ( )
2020-12-11
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16
线性变换的数乘满足下列算律：
(5)
k( ) k k ,
(6)
(k l) k l ,
(7)
(kl) k(l ),
(8)
1 ,
这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.
定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域 F上一个向量空间.
在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空 间在σ之下的原象是V 的一个子空间.
2020-12-11
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9
特别，向量空间V 在σ之下的象是W 的一个
子空间，叫做σ的象, 记为 Im( ),
即 Im( ) (V ).
另外，W 的零子空间 { 0 } 在σ之下的原象是 V 的一个子空间，叫做σ的核，
一、内容分布
7.2.1 加法和数乘 7.2.2线性变换的积 7.2. 3线性变换的多项式
高等代数讲义ppt第七章 线性变换
(4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E， 证明：A，B都是可逆变换。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵
定理1 设1, 2 , , n是线性空间V的一组基, 对V中任意n个向量 1,2 , ,n 存在唯一的线性变换 A∈L(V) 使任的何像得元，素只都要可选以取是适基当
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A(0) 0, A( ) A()
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。
例3 设 1,2, ,r 是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线
线性变换的加法满足以下运算规律：
(1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
(2) A + B = B + A
线性变换
§2 线性变换的运算
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
(kA) k A, V
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。
Amn AmAn , (Am )n Amn, m, n N
第七章线性变换.(20201011015825)
第七章 线性变换计划课时： 24 学时 .( P 307—334)§7.1 线性变换的定义及性质( 2 学时)教学目的及要求 ：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质教学重点、难点 ：线性变换的定义及线性变换的性质本节内容可分为下面的两个问题讲授 .一 . 线性变换的定义( P 307 )注意：向量空间V 到自身的同构映射一定是 V 上的线性变换，反之不然。
二. 线性变换的性质定理 7.1.1定理 7.1.2推论 7.1.3 注意：1.定理 7.1.2 给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基 向量的作用所决定。
2. 两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论 我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。
P 309) P 309) ( P 3107.1.3 (P 310)告诉作业：习题七 P 330 1 ，2，3.§ 7.2 线性变换的运算(4 学时)教学目的及要求 教学重点、难点 ：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件：线性变换的运算及线性变换可逆的条件本节内容分为下面四个问题讲授：一. 加法运算定义 1 ( P 310)注意：+ 是V 的线性变换.二 . 数乘运算定义 2 ( P 311) 显然k 也是V 的一个线性变换.定理 7.2.1L (V ) 对于线性变换的加法与数乘运算构成数域 三 . 乘法运算(1). 乘法运算定义 3( P 311-312 ) 注意 ：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律 F 上的一个向量空间 . 两个非零线性变换的乘积可能是零变换 .(2). 线性变换 的方幂四 . 可逆线性变换定义 4 ( P 313)线性变换可逆的充要条件 例 2 ( P 314)线性变换的多项式的概念 ( 阅读内容 ).作业： P 330 习题七 4， 5.§7.3 线性变换的矩阵( 6 学时)教学目的及要求 ：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握 与 ( )关于同一个基的坐标之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M (F )的同构理论。
§7.1线性变换的定义和性质
§7.1 线性变换的定义和性质教学目的本节要求掌握线性变换的定义及线性变换的性质教学难点线性变换的性质教学重点线性变换的定义及线性变换的性质教学过程备注教学引入例1在向量空间F[x]中，D (f (x))＝f'(x)表示求多项式f (x)的导数. 显然D是F [x]的一个变换，并且对任意f (x), g(x) ∈F [x], k∈F. 我们还有D [f (x)＋g (x)]＝(f (x)＋g (x))'＝f'(x)＋g'(x)＝D (f (x))＋D (g (x));D(k f (x))＝k(D(f(x))).例2在向量空间V2中，对任意α∈V2，令σ(α)表示将α按逆时针方向旋转θ角度后所得的向量. 那么σ是V2到V2的一个映射. 并且，对任意α, β∈V2，k∈R将α与β的和α＋β按逆时针方向旋转θ角度所得的向量就是将α, β分别按逆时针方向旋转θ角度所得的向量的和，将α的k倍kα按逆时针方向旋转θ角度所得的向量就是将α按逆时针方向旋转θ角度所得向量的k倍，亦即σ(α＋β)＝σ(α)＋σ(β);σ(kα)＝kσ(α).例1、例2虽然是不同的向量空间中的两个变换，但它们有共同的性质，那就是它们都满足：空间中任意两个向量的和的象等于这两个向量在变换下的象的和；一个向量的数量倍的象等于这个向量的象的数量倍. 具有这种性质的变换就是线性变换.教学内容一、线性变换的概念1．线性变换的定义定义1设σ是F上向量空间V的一个变换. 若对于V中任意向量α, β及F中任意数k，都有σ(α＋β)＝σ (α) ＋σ (β);σ (kα)＝kσ (α).则称σ是V的一个线性变换.2．线性变换定义的理解例3设V是数域F上的一个向量空间，k是F中的一个数，定义V的变换σ为σ：α kα (∀α∈V).用定义可以验证，σ是V的一个线性变换，σ叫做数量变换(或位似). 当k＝1时，称σ为恒等变换；当k＝0时，称σ为零变换，向量空间V的恒等变换、零变换分别记作ιV，θV. 如果不产生混淆的话，那么二者分别简记作ι，θ.例4 设{ε1,ε2,ε3}是V3的标准基，对V3的任一向量α＝a1ε1＋a2ε2＋a3ε3，规定σ (α)＝a 1ε1＋a 2ε2＋0ε2. 那么,容易验证映射σ是V 3的线性变换，σ的几何意义是把V 3的向量α投影到由ε1, ε2所决定的OXY 平面上去.例5 在向量空间C [a , b ]中. 定义σ (f (x ))＝⎰xa dt t f )(，∀f (x ) ∈C [a ,b ].可以验证，σ是C [a,b ]的线性变换.例6 在M n (F )中. 取定一个矩阵A . 定义M n (F )的变换σ为σ (X )＝AX , ∀X ∈ M n (F ). 易证σ是M n (F )的一个线性变换. 若定义τ为τ (X )＝X ＋A ，∀X ∈ M n (F ).τ是M n (F )的变换，但是对任意的X , Y ∈ M n (F ),τ (X ＋Y )＝(X ＋Y )＋A . 而τ (X ) ＋τ (Y )＝(X ＋A )＋(Y ＋A )＝X ＋Y ＋2A .当A ≠0时，τ (X ＋Y ) ≠τ (X )＋τ (Y ). 因而τ不是线性变换. 当A ＝0时，τ是线性变换.二、 线性变换的性质定理7.1.1 设V 是F 上的一个向量空间，σ是V 的一个线性变换. (i) σ (0)＝0. 其中0是V 的零向量. (ii) 设α , α1，… ，αs 是V 的向量，则σ (α1＋α2＋…＋αs )＝σ (α1) ＋σ (α2) ＋… ＋σ (αs )； (iii) α , α1，… ，αs 是V 的向量. 若α＝k 1α1＋k 2α2＋…＋k s αs ，则σ (α)＝k 1σ (α1) ＋k 2σ (α2) ＋… ＋k s σ (αs ).(iv) 若{α1,α2,…, αs }是V 的线性相关的向量组，则{σ(α1), σ (α2), …, σ (αs ) }也是V 的线性相关的向量组.证 (i) 因为σ (0)＝σ (0⋅α)＝0σ (α)＝0. (ii) 用数学归纳法易证. (iii) 由定义σ (α)＝σ (k 1α1＋k 2α2＋…＋k s αs )＝σ (k 1α1)＋σ (k 2α2)＋…＋σ (k s αs )ZXOα σ(α)＝k 1σ (α1)＋k 2 σ (α2)＋…＋k s σ (αs ).(iv) 由假设，存在不全为零的数k 1, k 2, …, k s 使k 1α1＋k 2α2＋…＋k s αs ＝0.于是，由(iii)得k 1 σ (α1)＋k 2 σ (α2)＋…＋k s σ (αs )＝σ (0)＝0.因此，σ (α1), σ (α2), …, σ (αs )线性相关.定理7.1.2 设{α1, α2, …, αn }是F 上的向量空间V 的一个基，β1, β2, …,βn 是V 的任意n 个向量，则存在V 的唯一的一个线性变换σ，使σ (αi )＝βi ，i ＝1, 2, …, n .证 先证存在性. 定义V 的变换σ 如下σ (γ)＝l 1β1＋l 2β2+…＋l n βn ，其中γ＝l 1α1＋l 2α2+…＋l n αn 是V 中任一向量.现证σ是一个线性变换.∀ ξ , η ∈ V , k ∈ F . 设ξ＝a 1α1＋a 2 α2＋…＋a n αn ， η＝b 1α1＋b 2α2＋…＋b n αn .则ξ＋η＝(a 1＋b 1) α1＋(a 2＋b 2) α2＋…＋(a n ＋b n ) αn k ξ＝k a 1α1＋k a 2α2＋…＋k a n αn .于是σ (ξ＋η)＝(a 1＋b 1) β1 ＋(a 2＋b 2) β2＋…＋(a n ＋b n ) βn＝(a 1β1＋a 2β2＋…＋a n βn )＋(b 1β1＋b 2β2＋…＋b n βn ) ＝σ (ξ)＋σ (η).σ (k ξ)＝ka 1 β1＋ka 2 β2＋…＋ka n βn＝k (a 1β1＋a 2β2＋…＋a n βn )＝k σ (ξ).所以σ是一个线性变换，且σ (αi )＝σ (0α1＋…＋0αi -1＋1αi ＋0α i ＋1＋…＋0αn ) ＝0β1＋…＋0βi -1＋1βi ＋0 βi ＋1＋…＋0βn ＝βi , i ＝1, 2, …, n .再证唯一性. 设还存在V 的一个线性变换τ，使得τ(αi)＝βi, i＝1, 2,…, n.那么对于V的任一个向量ξ，ξ＝k1α1＋k2α2＋…＋k nαn .有τ (ξ)＝τ (k1α1＋k2α2＋…＋k nαn)＝k1τ (α1)＋k2τ (α2)＋…＋k nτ (αn) ,＝k1β1＋k2β2＋…＋k nβn＝σ (ξ) .由ξ的任意性，必有σ＝τ.推论7.1.3 设{α1,α2,…，αn}是向量空间V的一个基，若V的线性变换σ, τ满足σ(αi)＝τ(αi), i＝1, 2,…, n,则必有σ＝τ.教学小结本节内容可分为下面的两个问题讲.1. 线性变换的定义（P307）2. 线性变换的性质作业本课教育评注。
高等代数课件 第七章
易证上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0 ，对③进行数学归纳，可以得到：
（1） (0) 0
x1
A
x2
.
xn
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 {1, 2 ,, n} 的矩阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2 ,, xn，) 而σ(ξ)的坐标是 ( y1, y2 ,, yn，)
例6 取定F的一个n元数列 a1, a2,, an , 对于 F n
的每一向量 x1, x2,, xn , 规定
a1x1 a2 x2 an xn F
则，σ是 F n到F的一个线性映射(这个线性映射也叫做 F上一个n元线性函数或 上F n一个线性型).
例7 对于F[x] 的每一多项式 f(x)，令它的导数
因而（9）成立。
三、线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 , , L(v), 都有
( ) ( ).
因此, 我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次
幂
n
n
这里n是正整数。
我们再定义
0
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样 一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
加法: : ( ) ( ) 数乘: k : k ( ) ,
7.1 线性变换的定义
2. A (0) = A (0α) = 0 A (α) = 0. A (－α) = A ((－1)α) = (－1) A (α) =－A (α). ((－ (－ =－ 3. 4. 据1，易证该等式成立. ，易证该等式成立. 据题设，存在不全为0的数k 据题设，存在不全为0的数k1, ···, kr∈P, 使得 k1α1 + ··· + krαr= 0 → 据3. , 2.可知 2.可知 A ( k1α1 + ··· + krαr ) = k1 A (α1) + ··· + kr A (αr) = A (0) = 0，即A α1, ···, A αr线性相关. 线性相关. 性质3说明：设β 性质3说明：设β= k1α1 + ··· + krαr → A (β) = A ( k1α1 + ··· + krαr ) = k1 A (α1) + ··· + kr A (αr) , 即β与 A (β) 具有相同的线性关系. 具有相同的线性关系.
例5 C(a, b) = { f ( x ) | f ( x)为闭区间 [a , b] 上的连续函数 } 组成实数域 R
上的线性空间. 积分
z ( f ( x)) = ∫
x
x
a
f (t )dt 是 C(a, b)上的线性变换.
证明： ∀f ( x), g ( x ) ∈ C(a, b), ∀k ∈ R ， 证明
/
可以证明， S θ 是二维平面V2 上的一个线性变换。 是二维平面V
证明： 对任意的α,β∈ 证明： 对任意的α,β∈V2 , 设α+β=γ（如图） α+β=γ（如图）
S θ (α+β) = S θ (γ) =γ/=α/ +β/= S θ (α) + S θ (β) ， α+β) S θ (kβ) = kβ/= k S θ (β) . 故S θ 是V2 上的线性变换. (kβ kβ 上的线性变换.
7线性变换
因为
(A + B ) ( + ) = A ( + ) + B ( + ) = (A ( ) + A ( ) ) + (B () + B ( )) = (A ( ) + B ( ) ) + (A () + B ( )) = (A + B ) ( ) + ( A + B ) ( ) , (A + B ) ( k ) = A ( k ) + B ( k ) = k A ( ) + k B ( )
可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量
组. 例如零变换就是这样.
17
§2 线性变换的运算
线性变换的乘积
线性变换的加法
线性变换的数量乘法 线性变换的逆变换
线性变换的多项式
举例
18
一、线性变换的乘积
1. 定义 线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然 可以定义乘法.
定义2
设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
15
= -A ( ).
性质 2
线性变换保持线性组合与线性关系式不变.
换句话说，如果 是 1 , 2 , … , r 的线性组合：
= k11 + k22 + … + krr ,
那么经过线性变换 A 之后， A ( ) 是 A ( 1 ), A ( 2 ) , …, A ( r ) 同样的线性组合： A ( ) = k1A ( 1 ) + k2A ( 2 ) + …+ krA ( r ) . 又如果 1 , 2 , … , r 之间有关系式
T( + ) = - ( + )+ 2( + , ) = [- + 2 ( , ) ] + [- + 2 ( , ) ] = T( ) + T ( )
线性代数课件PPT第五章 线性变换 S1 线性变换的定义
由于T1(p+q)=1, 但T1(p)+T1(q)=1+1=2,
所以
T1(p+q)T1(p)+T1(q).
18
5
T(kp1)=A(kp1)=kAp1=kT(p1).
所以, 变换T是线性变换.
y P'
记
x y
r cos r sin
, 于是
T
x y
x cos x sin
y sin y cos
p
o
x
r r
cos cos
cos sin
r sin sin r sin cos
r r
cos( sin(
)),
例5 设V是数域F上的线性空间，k是F中的某个数 ， 定义V的变换如下：
k
这是一个线性变换，称为由数k决定的数乘变换.
当k=1时，便得恒等变换，当k=0时，便得零变换 .
8
例6: 在R3中定义变换: T(x1, x2, x3)= (x12, x2+x3, 0),
则T不是R3的一个线性变换.
证明: 对任意的=(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3)R3, T( + )=T(a1+b1, a2+b2, a3+b3)
上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋转角.
一般地, 在线性空间Rn中, 设A为n阶方阵, xRn, 变换 T(x)=Ax是本节所定义的线性变换.
事实上, 对任意的x, xRn,
T(x+x) =A(x+x) =Ax+Ax =T(x)+T(x),
T(kx) =A(kx)=kAx =kT(x).
6
大学精品课件：线性变换
所以
T 1( p q) T 1( p) T 1(q).
例2 由关系式
T x cos sin x y sin cos y
确定xOy平面上的一个变换T ,说明T的几何意义.
解
记
x y
r r
cos sin
, ,
于是
T x x cos y sin y x sin y cos
r cos cos r sin sin r cos( ), r cos sin r sin cos r sin( )
上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋
转角.
y
p1
o
p x
例３ 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数
域上的一个线性空间 V ，在这个空间中变换
T
f
是线性变换．
证明 设 , V
则有 E E E Ek k kE .
所以恒等变换 E 是线性变换．
例５ 线性空间 V 中的零变换 O：0 0是线性
变换．
证明 设 , V , 则有
0 0 0 0 0 0 0k 0 k0 k0 .
所以零变换是线性变换．
a12,a2 a3,0 b12,b2 b3,0
T T .
证毕.
二、线性变换的性质
1. T 0 0, T T ;
2.若 k11 k22 kmm ,则 T k1T1 k2T2 kmTm;
3. 若1,2 ,,m线性相关,则T1,T2 ,, T m亦线性相关. 注意 若1,2 ,,m线性无关,则T1,T2 ,,Tm
(2) 如果T ( p) a0 , 那么T也是一个线性变换.
T( p q) a0 b0 T( p) T(q); T(kp) k a0 kT( p).
7.1 线性变换的定义
第七章 线性变换学习单元1： 线性变换的定义_________________________________________________________● 导学学习目标：理解线性空间的线性变换的概念；会判断线性空间的一个变换是否为线性变换；掌握线性变换的基本性质。
学习建议：本学习单元主要是线性变换的概念，大家可以多看书、多看例题，掌握判断一个变换是否是线性变换的技巧。
重点难点：重点：深刻理解线性变换的概念。
难点：理解线性变换的基本性质。
_________________________________________________________● 学习内容一、线性变换的概念及例定义 设V 为P 上线性空间，A 为V 的变换，满足（1）对任何,V αβ∈，有A ()αβ+= A (α) +A (β)；（2）对任何,k P V α∈∈，有A ()k α= kA (α)。
则称A 为V 的线性变换。
例1 θℜ为把2V 中向量绕坐标原点反时针旋转θ角的变换。
θℜ为2V 的线性变换。
例2 α为2V 中一个固定向量，α∏表示把2V 中的向量ξ投影到α上，即()αξ∏为ξ在α上的内射影，也即(,)()(,)a ααξξαα∏=， α∏为2V 的线性变换，这里(,)αξ表示内积。
例3 V 的恒等变换E 和零变换O 均为V 的线性变换。
例4 V 的数乘变换ℜ：,,k k P V ααα→∈∈是V 的线性变换。
例5、例6见书，自学。
二、线性变换的基本性质设A 为V 的线性变换。
性质1 (0)0,()()A A A αα=-=-。
性质2 若11r r k k βαα=++L ，则11()()()r r A k A k A βαα=++L 。
性质3 若1,,r ααL 线性相关，则1(),,()r A A ααL 线性相关。
注：性质3的逆不成立，如V 的零变换，把线性无关向量组变成线性相关向量组。
当A 为双射时，A 为V 到V 的同构映射，称A 为V 的自同构。
高等代数第7章线性变换PPT课件
特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向 量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如，两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和；线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线 性变换，则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂， 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得， 从而简化相关计算。
《线性变换的定义》PPT课件
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第一节 线性变换的定义
主要内容
引入 定义 举例 性质
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一、引入
上二一、章定我义们 看 到 ， 数 域 P 上 任 意 一 个 n 维 线
空 间定都义与 1P n线同性构空，间因V之的，一个有 变限换维 A线 称性 为空线间性的 结 可变以换认，为如果是对完于全V清中楚任了意.的线元性素空 ,间 是和数某域类 P事中物 从 的任方意数面 的k ，一都个有抽 象 . 我 们 认 识 客 观 事 物 ， 固 然 要 清 它 们 单 个A的(和+ 总 )体= 的A(性 )质+ ，A(但 )是, 更 重 要 的 是 研 究 它 们 之 间A的( k各 种) =各k A样(的)联. 系 . 在 线 性 空 间 中 ， 物之间的联系就反映为线性空间的映射. 线性空
A( - ) = - A( ) .
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性质 2 线性变换保持线性组合与线性关系式
不变. 换句话说，如果 是 1 , 2 , … , r 的线性
组合：
= k11 + k22 + … + krr ,
那么经过线性变换 A 之后， A ( ) 是 A ( 1 ),
A ( 2 ) , …, A ( r ) 同样的线性组合：
xycsions csoinsxy
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来计算的. 同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线 性变换. 如图 7 - 1 所示.
y
y
= ( x , y )
y
O x
=(x,y)
x
x
图7-1
线性变换的定义课件
σ(α)+σ(-α)＝σ(α-α)＝σ(0)＝0， 所以σ(-α)＝-σ(α)
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2) 定义1中的条件(1), (2)与以下条件等价：
(3) 对任意的a, b∈F, α, β∈V，有 σ(aα+bβ)＝aσ(α)+bσ(β). 3）线性变换σ保持线性关系式，即对于β∈V，
一个线性变换. x 1 b 1
线性方程组
A
x
2
b
2
用线性变换的话来说，就是
求向量 (b1,b2, ,bn)的原象的问题.
而解齐次线性方程组就相当于求线性变换 的核.
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容易看出
Im(φ)=L(Aε1, Aε2,…, Aεn) =L(α1, α2, …, αn)
1）对于F 3 的任意两个向量 = (x1,x2,x3)， 与 = (y1,y2,y3)，有
σ(α+β) = σ(x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3)
=( x1+ y1, 3(x1+ y1)-( x2+ y2), ( x2+ y2)+( x3+ y3))
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=( x1, 3 x1- x2, x2+ x3)+( y1, 3 y1- y2, y2+ y3) = σ(α)+ σ(β)
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6）设σ是V的一个线性变换，W′是V的一个 子空间，则W′在σ之下的原象集合 {ξ∈V｜σ（ξ）∈W′} 是V的一个子空间．
特别地，零子空间{0}在σ之下的原象集是 V的一个子空间，称为σ的核，用ker(σ)
高等代数§7.1线性变换的定义
，
当 k 1 时，称它为单位变换或恒 等变换，记为 E ，即 E( ) 。
例4 在线性空间 P [ x ] 或 P [ x ] n 中，求 微商是一个线性变换，记成 D ，即
D ( f ( x )) f ( x )
例5 定义在闭区间[ a , b ] 上的全体连续函 数组成一线性空间，以 C ( a , b ) 代表，变 换 b
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定义1 数域 P 上的线性空间 V 到其自身 的映射称为 V 的一个变换；V 的一个变 换 A 称为线性变换，如果对于 V 中任意 向量 ， 和数域 P 中任意数 k ，都有 （i） A(
) A( ) A( )
k A( )
（ii）A( k )
以后，我们一般用黑体大写拉丁字母代 表线性变换 , 用 A( ) 或 A 代表元素 在 变换 A 下的象 .
x cos y s in s in x cos y
例2 设 是几何空间中一个固定的非 零向量，把每个向量 变成它到 上 的内射影的变换是一个线性变换，记 成 。即
( ) ( , ) ( , )
其中( , ) ,
( , )
表示内积。
例3 设 V 是数域 P 上的线性空间， k 是 P 中某个数，则把 V 中每个向量 变为 k 的变换是线性变换，称为由数 k 决 定的数乘变换，记作 k ，即 k( ) k 。 特别地，当k 称它为零变换；
0 时，即 0( ) 0
上述定义中的 （i）（ii）两条有时也 说成线性变换保持向量的加法与数量 乘法 , 它可以用下面的一条来代替
A( （iii） a b ) a A( ) b A( )
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C a,b 上的变换
J :C a,b C a,b,
J
f
x
x
a
f
t
dt
是一个线性变换.
二、 线性变换的简单性质
1． 为V的线性变换，则 (0) 0, ( ) ( ).
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即
若 k11 k22 krr , 则 ( ) k1 (1) k2 (2 ) kr (r ).
k k
则称 为线性空间V上的线性变换.
注：几个特殊线性变换
单位变换(恒等变换)：E :V V , , V 零变换： 0 :V V , 0, V
由数k决定的数乘变换：K :V V , k , V
用T 表示，即
T : R2 R2,
x y
x y
这里，
x y
cos sin
sin cos
x y
易验证：, R2, k R
T T T T k kT
例2． V R3, V 为一固定非零向量，把V中每 一个向量 变成它在 上的内射影是V上的一个线
性变换. 用 表示，即
: R3 R3,
( , ) , R3 ( , )
这里 ( R
§7.1 线性变换的定义
一、线性变换的定义 二、线性变换的简单性质
引入
在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称 两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性 映射. 本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射
线性变换.
一、 线性变换的定义
设V为数域P上的线性空间，若变换 :V V 满足： , V , k P
3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 的向量组. 即
若 1,2, ,r 线性相关，则 1 , 2 , , r
也线性相关. 事实上，若有不全为零的数 k1, k2 , , kr使
k11 k22 krr 0
则由2即有，k1 1 k2 2 kr r 0. 注意：3的逆不成立，即 1 , 2 , , r
事实上， , V , m P,
K k( ) k k K K , K m km mk mK .
例1. V R2(实数域上二维向量空间)，把V中每
一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换，
k k
( )
例3．V P[ x]或P[ x]n上的求微商是一个 线性变换， 用D表示，即
D :V V , D( f ( x)) f ( x), f ( x) V
例4. 闭区间 [a,b]上的全体连续函数构成的线性空间
线性相关，1,2 , ,r未必线性相关.
事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成
线性相关的向量组. 如零变换.