中点四边形教案
中点四边形教学设计王云松
中点四边形
教学过程
七．课后作业如图，点E、F、G、H分别是线段AB、
BC、CD、AD的中点，则四边形
EFGH
是什么图形？并说明理由.
继续探究
落实特殊
中点四边
形的原四
边形的构
造。
突出体会
运动和转
化的观点
3.板书设计：
探究与应用--中点四边形
一．中点四边形的概念猜想：中点四边形是平行四边形
已知：二．中点四边形的性质求证：1．中点四边形是平行四边形；证明：2．特殊四边形的中点四边形：
矩形的中点四边形是菱形；
菱形的中点四边形是矩形；
正方形的中点四边形是正方形。
四.小结三．中点四边形与原四边形的关系：
只与对角线的位置和长短有关五.作业
Ａ
Ｂ
ＣＤ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ。
沪科版八年级四边形教案
四边形（八年级下）一.多边形有关概念（1）多边形的内角和与外角和：多边形内角和等于0180)2n(-；多边形外角和等于3600（2）过n边形的一个顶点共有(n－3）条对角线，n边形共有2)3(-nn条对角线．过n边形的一个顶点将n边形分成(n－2)个三角形．例1.一个正多边形的每个外角都是36○，则这个多边形是_________边形例2.已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形的边数是_________．例3．六边形共有_______条对角线.例4．一个多边形内角和为540°，则其边数为_______. 例5．一个多边形每一个外角都是30°，则这个多边形是_______边形. 例6．从凸n边形一个顶点出发，有________条对角线. 例7．一个多边形的边数正好等于这个多边形对角线的条数，则边数为（）.二.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点．夹在两平行线间的平行线段长度相等。
三.平行四边形的性质：1.平行四边形两组对边分别平行。
2.平行四边形两组对边分别相等。
3.平行四边形两组对角线分别相等。
4.平行四边形对角线相互平分。
平行四边形的判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形．3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形．5.对角线互相平分的四边形是平行四边形．例1.下面给出四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判别四边形ABCD是平行四边形的是（） A．l：2：3：4 B．2：3：2：3 C．2：3：3：2 D．1：2：2：3能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．（A）AB∥CD，AD=BC; （B）∠A=∠B，∠C=∠D; （C）AB=CD，AD=BC; （D）AB=AD，CB=CD 在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（）A.60°B.80°C.100°D.120°在中，两邻边的差为4cm，周长为32cm，则两邻边长分别为________．例2．如图，在□ABCD中，E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S△ABF=S ABCD．．例3．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F•是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）A．OE=OF B．DE=BF C．∠ADE=∠CBF D．∠ABE=∠CDF例4．如图，中，E为BC上一点，于，求的度数．四、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．五．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．六．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．例1.将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠C E D =60°，则∠AED 的大小是（ ）A ．60°.B ．50°.C ．75°.D ．55°例2如图,在菱形ABCD 中,∠BAD=80°,AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F,E 为垂足,连结DF,则∠CDF 等于( ) A.80° B.70° C.65° D.60°例3.正方形的对角线长为a ，则它的对角线的交点到各边的距离为（ ） A 、22 a B 、24 a C 、a2D 、2 2 a 例4.如图,E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上两点,AE=CF. 求证:(1)△ABE ≌△CDF.(2)BE ∥DF.FEDCAFED CBA例5.如图,矩形ABCD中,O是AC与BD的交点,过O点的直线EF 与AB、CD的延长线分别交于E、F.(1)求证:△BOE≌△DOF.(2)当EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是菱形,并证明你的结论.FE ODCBA例 6.如图,已知正方形ABCD中,E为BC上一点, 将正方形折叠起来,使点A和点E重合,折痕为MN,若ABEB=13,DC+CE=10.(1)求△ANE的面积.(2)求EN的值.KMEND CBA梯形梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形的对角线相等．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相邻的梯形是等腰梯形．例1：如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若AD=5，BC=11，梯形的高是4，求梯形的周长；（2）若AD=a，BC=b，梯形的高是 h，梯形的周长为C，则C=___________（请用含a、b 、c的代数式表示）（3）若AD=3，BC=7，BD=5 5 ，求证：AC⊥BD．例2.已知：在等腰梯形 ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，则梯形的高是_________cm．例3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝ 90○，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿边AD向D 以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形、等腰梯形？向量一、向量的概念既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点，显然表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用| |表示，显然，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小.注意:向量的长度| |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关.二、向量的加法1．向量加法的平行四边形法则：平行四边形ABCD中，向量的和为.记作: .2．向量加法的三角形法则：根据向量相等的定义有: ，既在ΔADC中，，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.规定:零向量与向量的和等于.三、向量的减法向量与向量叫做相反向量.记作: .则，既用加法法则来解决减法问题.[例1]如图1所示，已知向量，试求作和向量．．[例2]化简下列各式： (1) ； (2) ．[例3]用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．已知：如图3，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于O ，且AO=OC ，DO=OB ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．中位线（例1）中位线三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
课题：四边形专题——探索型问题教案
课题：四边形专题——探索型问题一、教学设计思考在数学课程标准中指出：“数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。
”所以数学专题课同样要面向全体学生，要使各层次的学生对数学基础知识、基本技能和基本思想方法的掌握程度均有所提高，还要使尽可能多的学生形成较强的综合能力、创新意识和实践能力。
二、教材分析：本节课是九年制义务教育课程标准新教材八年级第二学期第四章的内容。
四边形和三角形一样，是基本的平面图形，是空间与图形部分的重要组成部分，平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的区别与联系对灵活的掌握及运用四边形的知识起着重要的作用。
特殊平行四边形概念、性质与判定是学好本章的关键，也是为学好整个平面几何打下一个坚实的基础，是本章的教学重点．与基本图形（矩形、菱形、正方形、三角形）的概念、性质及其相互关系随之而来的是几何证明，本节课的目的就是通过一组探索型问题的训练，掌握三角形、矩形、正方形之间的联系，能根据已知条件探索发现与之相应的结论．培养学生归纳、总结的能力，发展学生的合情推理能力，进一步学习有条理的思考与表达，理解推理与论证的基本过程，建构严谨的思维模式，树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风。
三、学情分析：授课对象是八年级的学生，经过两年实验几何的学习、近一年论证几何的探索，学生已基本掌握了平行、垂直、相交、三角形等相关知识，并且有了一定的合情说理能力，经过学习，学生已经基本掌握了平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及它们的判定，但是对一些探索型问题掌握得还不是很好。
教学目标：1．使学生能根据已知条件探索发现与之相应的结论．2．学生根据已知条件进行合情推理得出结论，培养积极思维，勇于创新的精神和能力.3．通过探究过程，使学生体会数学知识间的内在联系，培养学生周密分析，严格论证的意识和能力，培养学生的合作意识和交流能力．教学重点：根据条件探索相应的结论.教学难点：寻求准确探索问题结论的方法.教学方式：学生探究与教师引导相结合．教学手段：多媒体计算机、实物投影仪.教学过程：一、创设情景、激发兴趣．上节课我们学习了“探索型问题”中的探索条件型的有关问题, （课件展示学生课间研究问题时的照片）在课间时我在四班看到有几个学生在研究以下两道习题，并问我它们还都属于“探索条件型”的问题吗？现在我们三班同学思考解答一下这两道题，并回答它们应该属于什么类型呢？活动一：自主学习，组织学生分析回答．（课件演示习题）1．如图1，已知，在△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB ,若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是___________．图1 图2 2．．在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，以AD 、BD 为边做平行四边形ADBF 。
《四边形》教案15篇
《四边形》教案《四边形》教案15篇作为一名无私奉献的老师，常常要写一份优秀的教案，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。
那要怎么写好教案呢？以下是小编收集整理的《四边形》教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
《四边形》教案1教学目标1、知识与技能：理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊位置关系，初步认识平行线与垂线。
2、过程与方法：在观察、操作、比较、概括中，经历探究平行线和垂线特征的过程，建立平行与垂直的概念。
3、情感态度与价值观：在活动中丰富学生活动经验，培养学生的空间观念及空间想象能力。
教学重难点1、教学重点：正确理解“相交”“互相平行”“互相垂直”等概念。
2、教学难点：理解平行与垂直概念的本质特征。
教学工具多媒体设备教学过程一、情境导入，画图感知1.学生想象在无限大的平面上两条直线的位置关系。
教师：摸一摸平放在桌面上的白纸，你有什么感觉?(1)学生交流汇报。
(2)像这样很平的面，我们就称它为平面。
(板书：平面)我们可以把白纸的这个面作为平面的一部分，请大家在这个平面上任意画一条直线，说一说，你画的这条直线有什么特点?(3)闭上眼睛想一想：白纸所在的平面慢慢变大，变得无限大，在这个无限大的平面上，直线也跟着不断延长。
这时平面上又出现了另一条直线，这两条直线的位置关系是怎样的呢?会有哪几种不同的情况?2.学生画出同一平面内两条直线的各种位置关系。
把你想象的情况画在白纸上。
注意一张纸上只画一种情况，想到几种就画几种，相同类型的不画。
二、观察分类，感受特征1.展示作品。
教师：同学们想象力真丰富!相互看一看，你们的想法一样吗?老师选择了几幅有代表性的作品，我们一起来欣赏一下。
如果你画的和这几种情况不一样，可以补充到黑板上。
不管哪种情况，我们所画的两条直线都在同一张白纸上。
因为我们把白纸的面看作了一个平面，所以可以这样说，我们所画的两条直线都在同一平面。
(板书：同一平面)2.分类讨论。
教师：同学们的想象力可真丰富，画出来这么多种情况。
北师大版初中数学九年级上册《特殊平行四边形》教案
课时课题：第三章 第二节 特殊平行四边形第三课时课型：新授课 教学目标：1.通过正方形、矩形、菱形等特殊四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳思想方法、类比的思想方法、转化的思想方法等.（重点）2.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步发展学生推理论证的能力,体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.（难点）教法与学法指导：这节课主要采用“自主探究--合作竞学”型教学模式，配以导练循环教学案.引导学生经历画图--探索—发现—猜想—证明的过程，在自主探究的基础上合作交流，从而形成对知识的建构.另外利用几何画板多媒体辅助教学，一方面生动直观，另一方面突出重点，分散难点.课前准备：制作课件，编写导学案，学生预习课本相关内容. 教学过程： 一、 感悟导入[师]通过前几节内容的学习，我们进一步理解了三角形中位线性质定理、平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理，下面我们来进行简单的训练．1.如图1，在ΔABC 中，EF 为ΔABC 的中位线, 若∠A =30°,则∠BEF =;若EF = 8cm,则AC =.2.如图2,添加一个条件使得□ABCD 成为（1）矩形？（2）菱形？[生]各抒己见,从定义和对角线方面积极回答平行四边形变为矩形、菱形的条件.[设计意图]本环节出示2个小题的目的是为了强化学生对三角形中位线性质定理、平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理的掌握情况,针对出现的问题及时纠正弥补,为本节课的学习作好铺垫.图2图1BA二、自主探究[师]下面大家来猜一猜，想一想(出示课件)依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜，再证明．[生1]依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．[师]这位同学回答的很准确，同学们，你能证明这个结论吗？[生]积极独立思考，并进一步在小组内交流讨论.[师]下面我请一位同学到黑板上板书他的证明过程,其余同学将你的思路书写在练习本上. [生2板书]证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°AB＝BC＝CD＝DA又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．∵∠A＝∠B＝90°，AA1＝AD1，A1B=BB1，∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．∴∠D1A1B1＝90°．∴四边形A1B1C1D1是正方形．[师]很好，哪位勇敢的同学能帮助我们大家梳理一下这位同学的思路呢?[生3]这个题同学们是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．[师]还有其他的方法吗?[生4]因为A1、B1是边AB、DC的中点，所以，若连结对角线AC，则A1B1是△ABC的中位线，同理可知C1D1是△ADC的中位线，同样，连结对角线BD，也可知A1D1是△ABD的中位线，B1C1是△BDC的中位线，这样由中位线的性质定理和正方形的对角线相等可得知A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，是相等的，然后再证，有一个角是90°，这样也可以证明四边形A 1B 1C 1D 1是正方形．老师，我这种思路方法可以吗? [师]同学们的意见呢? [生齐声]可以．[设计意图]:让学生亲身经历独立思考、合作交流获得问题解决方法的过程，既巩固加深了学生对矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形的性质及判别的理解，同时使学生获得了把新知识转化为旧知识的这种解决数学问题的转化方法，提高了解决问题的能力,学生在探究的过程中，享受到成功的喜悦，增强了学习的信心，为下面的学习打下基础.三、合作竞学[师]证明四边形A 1B 1C 1D 1的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用三角形中位线定理和正方形的性质来证明．大家要灵活应用这些性质，接下来期待同学们有更好的表现,请看下面的问题. 教师(出示课件)(1)依次连结菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形?先猜一猜，再证明． (2)依次连接平行四边形四边的中点呢?(3)依次连结四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系． 操作方式:本环节采取分组探究的形式展开,全班分为3个小组,每一小组选择一个不同的任务，对矩形、菱形、平行四边形三种情况的中点四边形进行合作探究验证. [生]在获取小组任务后,在各小组组长的带领下,积极进行合作探究.[师]观察每个小组的学习情况，对有困难的给予引导，然后用投影分组展示各组的如下探究结果.[第一小组学生]依次连接菱形四边的中点得到的四边形是矩形，如图． 已知:在菱形ABCD 中，点A 1、B 1、C 1、D 1分别是菱形四条边的中点，求证：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形． 证明：连接AC 、BD ．∵点A 1、B 1、C 1、D 1分别是菱形ABCD 的各边的中点， ∴A 1B 1//21AC ，C 1D 1//21AC.∴A 1B 1//C 1D 1．∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形．∵AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线， ∴AC ⊥BD ． ∴∠A 1B 1C 1＝90°．∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形．[第一小组同组同学]这个题还可以证明：∠A 1B 1C 1＝∠B 1C 1D 1＝∠C 1D 1A 1＝90°．因为A 1B 1//21AC ，C 1D 1//21AC ， A 1D //21BD ，B 1C 1//21BD ．而菱形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直． 所以，即可得证四边形A 1B 1C 1D 1是矩形[第二小组学生]依次连结矩形四边的中点能得到菱形．如图，点A 1、B 1、C 1、D 1分别是矩形ABCD 各边的中点，所以连结AC 、BD ． 则A 1B 1//21AC ，C 1D 1//21AC ，A 1D 1//21BD ，B 1C 1//21BD ． ∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形． ∵AC ＝BD ． ∴A 1B 1＝B 1C 1.∴平行四边形A 1B 1C 1D 1是菱形． (学生也提出不同的证明方法，也应鼓励)[第三小组同学]依次连结平行四边形四边的中点得到的四边形是平行四边形． 如图，连接AC 或BD ．因为点A 1、B 1、C 1、D 1分别是平行四边形ABCD 各边的中点， 所以A 1B 1//21AC ，C 1D 1//21AC ． 所以A 1B 1//C 1D 1．因此，四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形．[师]很好，同学们能用类比的方法，证明了连结平行四边形及特殊平行四边形各边中点得到的图形，那么大家能否得出一个一般性的结沦，即依次连结四边形各边小点所得的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系?请同学们在小组内展开讨论. 学生:全班同学展开热烈的讨论,气氛很好,学生的探究欲望教强烈.[第一小组代表]由前面的讨论可知：所得的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关．[第二小组代表]我们完全赞同第一小组的说法. [第三小组代表]我们也完全赞同第一小组的说法. [师]很好，那大家来想一想：到底有怎样的关系呢?[第一小组代表]只要四边形的对角线相等，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是菱形．[第二小组代表]只要四边形的对角线互相垂直，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是矩形． [师]还有补充吗?[第三小组代表]只要四边形的对角线既相等又互相垂直，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是正方形. [师]对角线既不相等也不垂直呢? [生齐声回答]平行四边形.[师]同学们回答的都很好!我们把结果展示出来,并用几何画板演示验证结论的正确性(出示课件)[设计意图]:使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用，使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展．分小组对问题展开探究，既培养了学生的集体荣誉感，提高了学生的竞争意识，同时也提高了学习效率，几何画板的使用更充分发挥其直观、形象和快捷的作用，最大限度的使学生掌握和理解知m ∠EFG = 90°m ∠FGH = 90°m ∠HEF = 90°m ∠BOC = 90°FG = 4厘米厘米 = 4厘米HE = 4厘米BD = 8厘米AC = 8厘米识.四、拓展应用（本环节是对教材“做一做”的再创造）1.下图中，ABCDXA 是我市的一条环形公路，X表示一座水库，B,C表示两个村庄.已知ABCD 是一个正方形,XAD 是一个等边三角形.现在枣庄市政府要铺设输水管XB 和XC, 从水库向B,C 两个村庄供水, 请你告诉工人师傅两条水管的夹角∠BXC 的度数为.变式训练:如图，四边形ABCD 是正方形，⊿ADX 是等边三角形，则∠BXC的度数为.学生:认真读题，先独立思考，然后在小组内交流．教师：点拨指导，引导学生分析思路，方法，归纳一般的思路.[设计意图]:通过练习和变式训练及时引导学生加深对所学知识的理解,并能做到触类旁通,不仅提高了解决问题的能力而且发展了学生的发散思维的能力，让学生体会到数学在生活中的广泛应用，进一步感受生活的数学化.五、课堂小结[师]同学生掌握的很好,那么这节课你有哪些收获呢?还有那些困惑?[生]各抒己见,认真总结反思本节课自己的收获．[设计意图]:培养学生语言表达归纳总结的能力和反思意识，总结研究数学问题的一般方法,形成完整的知识体系，六、达标测试1.如图1,矩形ABCD 的长为3，宽为1，取各边中点后得到的四边形是,它的的面积为.2.如图2,在1题中第二次取各边中点后得到的四边形是,它的面积为.3.如图3,这样继续下去第n次取各边中点后得到的四边形的面积为4.已知:四边形ABCD 的面积为s，第一次取各边中点后得到的四边形的面积为;第二次取各边中点后得到的四边形的面积为;这样继续下去第n次取各边中点后四边形的面积为.[设计意图]:通过达标检测及时反馈学生对本节课知识点的掌握程度, 以便有的放矢进行后续教学.七、作业布置A.课本P104知识技能1B. 在证明1,2,3这三章中，我们从若干条公理及有关定义出发，证明了关于平行线、三角形及四边形等图形的一些命题，请你用一副图表示这一过程.板书设计第三章平行四边形3.2特殊平行四边形(3)一、依次连结正方形各边的中点二、中点四边形形状教学反思:本节紧紧围绕中点四边形的形状这个问题，引导学生利用已有的知识、经验在自主探究的基础上合作交流，形成对知识的建构，由一般到特殊再到一般，符合学生的认知基础和认知规律，体现了新课标的观念.本节课容量较大，但由于采用了几何画板辅助教学手段，为学生创建了一个学习情境，通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决问题的方法.不要怕浪费时间,在小组讨论之前，还是应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．要相信学生,不能抢了学生的主体地位,替学生包办太多.。
第19章 《四边形》全章教案
第十九章四边形19.1.1 平行四边形及其性质(一)一、教学目标：1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、例题的意图分析例1是教材P84的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．四、课堂引入1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC（性质）．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（ASA）．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．五、例习题分析例1（教材P84例1）例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．证明略六、随堂练习1．填空：（1）在ABCD中，∠A=50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．七、课后练习1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是3602．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．19.1.1 平行四边形的性质(二)一、教学目标：1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．2．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的．例2是教材P85的例2，这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算．这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法．四、课堂引入1．复习提问：（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：（2）平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质（内角和是︒360）．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．【探究】：请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转180，观察它还︒和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；（2）平行四边形的对角线互相平分．五、例习题分析例1（补充）已知：如图4－21，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．证明：在ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．又OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．∵ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）．∴AB—AE=CD—CF．即BE=FD．※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF 向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．解略例2（教材P85的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算解略（参看教材P85）．六、随堂练习1．在平行四边形中，周长等于48，①已知一边长12，求各边的长②已知AB=2BC，求各边的长③已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm．3．ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm7的两条线段，则ABCD的周长是__5，cm___cm．七、课后练习1．判断对错（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．（）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）（4）平行四边形是轴对称图形．（）2．在ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是．4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．19.1.2 平行四边形的判定（一）一、教学目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．二、重点、难点3．重点：平行四边形的判定方法及应用．4．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．三、例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是教材P87的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．四、课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
四边形整章导学案教案(新湘教版)(前8课时)
长乐中学八年级数学导学训练案教案都相等的多边形叫做正多边形。
________个内角。
___________________，顶点是若图中多边形是正多边形，_______________________________________。
∠的度数.90=，BC=2,AB=4，求A3、过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是_______。
4、一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的边数。
探究：画出下列多边形的对角线．回答问题：长乐中学八年级数学导学训练案教案这些外角的和叫做六边成自主学习；的整数），结果还相同.；十二边形的外角和是____________；长乐中学八年级数学导学案教案节课我们主要利用前面学过的公理和定理来证明了平行四边形的6题图中，DB＝DC、∠A＝65°，CE7题图长乐中学八年级数学导学案教案如上图；（1）若四边形ABCD是平行四边形，（2）若四边形ABCD是平行四边形，则．证明：夹在两条平行线间的平行线段相等．已知l1//l2，AB、CD1、l2之间的任意平行线段．60cm，其对角线交于O点，若△AB＝______，BC＝______长乐中学八年级数学导学案教案例、已知：如图所示，在ABCD、如图所示，在平行四边形的性质练习长乐中学八年级数学导学案教案已知：如图，已知：如图，交于点O，将△AOD平移至△相等的其他线段有( )．题长乐中学八年级数学导学案教案长乐中学八年级数学导学案教案ABCD，则。
数学八年级下湘教版第三章四边形复习教案
第三章四边形小结与复习一、教学目标1．使学生能把本章的知识条理化、系统化．能加深理解，提高综合运用和灵活运用知识的能力．2．使学生对本章所学过的一些数学思想方法进行归纳总结，提高学生分析问题和解决问题的能力．3．使学生在搞清四边形与特殊四边形的从属关系的过程中，增强辩证唯物主义观念．二、教学重点四边形与特殊四边形的从属关系及几种特殊四边形的性质和判定．三、教学方法训练综合法．四、教学过程(一)复习本章知识要点1．四边形和几种特殊四边形之间的关系2．几种特殊四边形的性质3．几种特殊四边形的常用判定方法4．中位线性质(1)三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．(2)梯形中位线平行于两底，且等于两底和的一半．5．其他重要定理(1)四边形内角和等于360°；n边形内角和等于(n-2)·180°；任意多边形外角和等于360°．(2)关于中心对称的两个图形的性质：是全等形；对称点连线都经过对称中心并且被对称中心平分．(3)平行线等分线段定理．(二)灵活运用知识例1已知：如图4－94，△ABC中，∠A=90°，D、F、E分别是BC、CA、AB边的中点，求证：AD= EF．证明：∵E、F分别为AB、AC中点，又∵∠BAC＝90°，AD为BC边上的中线，∴ AD=EF．例2 已知：如图4－95，ABCD，直线MN，AA′⊥MN于A′，BB′⊥MN于B′，CC′⊥MN于C′，DD′⊥MN于D′．求证：AA′＋CC′＝BB′＋DD′．分析：因为AA′、BB′、CC′、DD′都垂直MN，所以AA′∥CC′， BB′∥DD′，要证AA′＋CC′=BB′＋DD′，可把它们分别看成梯形的两底和，则连结AC、BD，再过点O 作OO′⊥MN于O′，就可利用梯形中位线性质证出．证明：在ABCD中，连结AC、BD交于点O，过点O作OO′⊥MN于O′．∴AO=OC，BO＝DO(平行四边形对角线互相平分)．∵AA′⊥MN，CC′⊥MN，OO′⊥MN，∵AA′∥OO′∥CC′．∴A′O′＝O′C′(经过梯形一腰中点与底平行的直线，必平分另一腰)．∴200′＝AA′＋CC′(梯形中位线定理)．同理200′＝BB′＋DD′，∴AA′+CC′=BB′+DD′．例3如图11，已知梯形ABCD，AD∥BC，AE=EG=GB，且EF∥GH∥BC，AD=20cm，BC=29cm，求EF、GH的长．例4如图，过△ABC的顶点A，作∠B和∠C的外角平分线的垂线AE、AF，垂足分别为E、F，连结EF．求证：(1)EF∥BC；小结：平行四边形和几种特殊的四边形的概念、性质及判定是复习的重点，同学们要熟练掌握，并会灵活运用．(五)作业教材中7、8、10、11、17、18．(六)板书设计。
中点四边形教案
《探究中点四边形形状》教案教学目标：１.知识与技能：(1)了解中点四边形的概念；(2)利用三角形中位线定理证明中点四边形是平行四边形,理解特殊的平行四边形的中点四边形的特征；(3)理解中点四边形的形状与原四边形的对角线的关系。
２. 过程与方法：(1)经历观察、猜想、证明中点四边形是平行四边形的过程熟练运用三角形中位线定理；(2)经历由一般到特殊的思维进程，发现并证明特殊的平行四边形的中点四边形的特征；３.情感态度与价值观：(1)通过数学活动培养学生观察、猜想、证明的探索精神；(2)通过小组讨论活动，培养学生合作的意识。
教学重点：１、任意四边形的中点四边形形状的判定和证明；２、特殊平行四边形的中点四边形形状的判定和证明。
教学难点：影响中点四边形形状的主要因素的分析和概括。
教学过程：一、复习旧知，情境引入１、回顾三角形中位线性质定理。
２、问题１：出示问题：一块白铁皮零料形状如图，工人师傅要从中裁出一块平行四边形白铁皮，并使四个顶点分别落在原白铁皮的四条边上，可以如何裁？（学生思考、讨论、分析，想出解决办法）师：你能证明吗？生：已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点。
求证：四边形EFGH为平行四边形。
（学生可连接AC,也可连接AC、BD）二、探索活动１、中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。
２、结合引例得出结论：任意一个四边形的中点四边形，都为平行四边形。
问题2：观察这个图形，平行四边形EFGH各边与什么有关？各个内角又与什么有关？在问题2的基础上，完成下列三个探究。
探究1：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是矩形？探究2：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是菱形形？探究3：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是正方形形？学生四人小组合作探究并得出结论：（1）中点四边形的形状与原四边形的有密切关系；（2）只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是菱形；（3）只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是矩形；（４）要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是。
1.5 中位线(2)
九年级数学教学案——1. 5 中位线主备：董兰 审核：任涛 班级 姓名 ____【学习目标】1、探索中点四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系，从中体会图形的位置关系、数量关系从“一般”到“特殊”的变化常常伴随着图形从“一般”到“特殊”的变化。
2、进一步运用和巩固三角形、梯形的中位线的性质。
3、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力。
【学习重点】运用三角形中位线的性质探索中点四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系 【学习难点】理角和运用中位线的性质，理解中点四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系。
【学习过程】 一、知识回顾：1、三角形的中位线：（1）定义：___________________________是三角形的中位线． （2）三角形中位线定理：如图，∵______________________________∴______________________________ 2、梯形的中位线：（1）定义：_____________________________________是梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：________________________________________________．如图，∵______________________________ ∴______________________________3、练：（1）已知△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，且DE=3cm ，则BC= cm （2）已知梯形的上底长为3cm ，中位线长为6cm ，则下底长为 cm 。
（3）等腰三角形两条中位线的长分别为1和2，该等腰三角形的周长是 。
（4）等腰梯形ABCD 的中位线EF 的长为6，腰长为5，则该等腰梯形的周长为 。
（5）已知： AD 是△ABC 的中线，EF 是其中位线。
求证：AD 与EF 互相平分。
平行四边形的重心教案
平行四边形的重心教案平行四边形是指有两组对边平行的四边形，它具有许多特殊的性质和应用，是初中数学中的重要内容之一。
而平行四边形的重心又是平行四边形的一个重要概念之一，该概念在物理、计算机图形学等领域也有广泛的应用。
本篇文章将从理论知识、教学流程和教学案例三个方面，探讨中学数学教学中平行四边形的重心的教学内容及方法。
一、理论知识部分一、定义：平行四边形的重心是连接它的对角线的交点，同时也是它两条对角线的交点的中点。
二、性质1、重心到每条边的距离相等。
2、三角形重心定理：平行四边形的重心把它分成两个面积相等的三角形。
3、平衡点定理：平行四边形的重心在形心（平行四边形的中心点）与它任意顶点中点的连线上，这条数学定理也叫平行四边形平衡点定理。
二、教学流程部分一、教学目标1、了解平行四边形的基本定义和性质。
2、掌握求平行四边形重心的方法。
3、应用平行四边形重心定理解决实际问题。
二、教学过程1、引入介绍平行四边形的定义和性质，引导学生思考如何求解平行四边形的重心，以及平行四边形重心对实际生活的作用。
2、讲解向学生详细介绍平行四边形重心的定义和性质；在此基础上，讲解如何通过球面三角形和向量法求平行四边形重心。
对于三角形重心定理和平衡点定理，做出疏通的解释，帮助学生理解这些含义，并能灵活运用它们解决实际问题。
3、实践操作在课堂上，教师可以邀请学生分组合作，选择一些能够反映生活中平行四边形重心作用的问题，通过创造性思考，尝试运用课上所学的知识以及方法来解决问题，从而培养学生的问题解决能力和动手能力。
三、教学案例部分以下是一些关于平行四边形重心的教学案例，供参考。
1、样例一已知平行四边形ABCD，AD、BC的中点分别为E、F，求平行四边形的重心G所在的直线的方程。
【解】根据平行四边形的平衡点定理，G在点AE上。
连接线段AC。
那么：AG=2/3×AE，FC=1/2×AD故：GC=2/3×FC=1/3×AD又因为AE∥DC，所以：AD/AG=DC/AC带入已知条件，得：（AD+DC）/AG=2AD+DC=2AGAG=1/2×AD将AG代入AE=2/3×AG，得：AE=1/3×AD所以点A（1/3AD,0,0)，向量EA（-1/3AD,AD,0），向量AC（AD,0,0）。
(名师整理)最新中考数学专题复习《四边形及相似形》精品教案
中考数学人教版专题复习：四边形及相似形一、教学内容四边形及相似形二、重点、难点（一）四边形1.多边形在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的性质：（1）n边形的内角和等于；（2）任意多边形的外角和等于360°；※（3）n边形的对角线的条数等于.2.四边形的分类3.平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质：1（1）两组对边分别平行且相等；（2）两组对角分别相等；（3）两条对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.平行四边形的判定：（1）根据平行四边形的定义判定；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.4.矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）两条对角线相等；（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，它有两条对称轴，即过每组对边中点的直线.矩形的判定：（1）根据矩形的定义判定；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）两条对角线相等的平行四边形是矩形.5.菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2菱形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四条边都相等；（3）两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是两条对角线所在的直线.菱形的判定：（1）根据菱形的定义判定；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.6.正方形有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.正方形的性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四条对称轴.正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形.7.梯形及等腰梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底、较长的底叫做下底），不平行的两边叫做梯形的腰，两底的距离叫做梯形的高.连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形的性质：3（1）同一底上的两角相等；（2）两条对角线相等.等腰梯形的判定：（1）依据等腰梯形的定义判定；（2）同一底上两角相等的梯形是等腰梯形.※（3）对角线相等的梯形是等腰梯形.8.中心对称与中心对称图形把一个图形绕着一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称.这个点叫做对称中心.两个图形关于点对称也称中心对称.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.把一个图形绕它的某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；由中心对称的性质可以认识中心对称图形的性质.9.平行线等分线段定理及其推论.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰.推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.10.简单平面图形的面积（1）三角形的面积公式三角形的面积等于它的底与高的积的一半.等底等高的两个三角形等积；等高的两个三角形的面积比等于相应底边的比；等底的两4个三角形的面积比等于相应高的比.（2）平行四边形的面积等于一边与这边上的高的积.（3）矩形的面积等于两条邻边的乘积.（4）菱形的面积等于一边与这边上的高的积，也等于两条对角线乘积的一半.（5）正方形的面积等于边长的平方，也等于对角线平方的一半.（6）梯形的面积等于两底之和与高的乘积的一半；或等于梯形中位线与高的积.（7）多边形的面积等于它被分割的若干个三角形面积的和.11.几何作图（1）作一图形关于某一点的对称图形；（2）任意等分已知线段；（3）依据已知条件，求作平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形.（二）相似形比例线段：1.成比例线段用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比.如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a、b、c、d叫做成比例线段，记作，其中叫做比的前项，b、d叫做比的后项，b、c叫做比例内项，a、d叫做比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项.若，则称b是a、c的比例中项.2.比例的性质成比例的数具有下面的性质：5（1）基本性质：；（2）反比性质：；（3）更比性质：；（4）合比性质：；（5）等比性质：，k为正整数，且，.3.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.4.平行线分线段成比例定理推论的逆定理：如果一条直线截三角线两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角线的第三边.5.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.相似三角形：1.相似三角形对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.2.三角形相似的判定（除相似三角形的定义外）（1）平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.（2）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，即“两角对应相等，两三角形相似”.6（3）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”.（4）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.即“三边对应成比例，两三角形相似”.对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（5）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.3.相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形的周长比等于相似比；※（5）相似三角形的面积的比等于相似比的平方.（注：新教材删去）4.直角三角形中的成比例线段在则（1）；（2）；（注：用时要证明.）（3）；（注：用时要证明.）（4）※5.相似多边形（注：“人教社”新教材删去.）如果两个边数相同的多边形的对应角相等、对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫做相似比.相似多边形的性质：7（1）相似多边形的对应角相等；（2）相似多边形的对应边成比例；（3）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；（4）相似多边形周长的比等于相似比；（5）相似多边形面积的比等于相似比的平方（6）相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比.【典型例题】例1.如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD边上的点，且BE=DF，EF 交AC于点O.求证：AC、EF互相平分于O点.分析：若连结AE、CF，只要证四边形AECF是平行四边形即证：.而它可由推出.例2.如图所示，在△ABC中，，D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC 的延长线上，.（1）求证：四边形DECF是平行四边形；8（2）若，四边形EBFD的周长为22，求DE的长.分析：（1）由已知，不难得出，因此，关键是证，只要证出ED垂直平分AC于D，便可推出，从而有.就可根据平行四边形的定义证四边形ECFD是平行四边形.（2）可推出四边形EBFD为等腰梯形.因为所以可设可推出有解得：例3.如图所示，矩形ABCD中，，P是AD上的动点，，，试问的值是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.解：的值为定值9例4.如图所示，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD=BF，以AD为边作等边三角形ADE.求证：（1）；（2）四边形CDEF为平行四边形.证明：（1）∵△ABC为等边三角形（2）∵△AED为等边三角形10∴四边形CDEF为平行四边形.例5.如图所示，已知菱形ABCD中，对角线，边长，BC边上的高，菱形面积=S，若，求a，h及.略解：在Rt△AOB中，AO=5，BO=12由勾股定理可得：AB=13，即a=13说明：此例强调了菱形的两个面积公式的互相转化，强调了菱形中的线段与角之间的内在11联系.例6.如图所示，在矩形纸片ABCD的AB边上取一点E，使BE：EA=5：3，，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD上，设这个点为F，求AB、BC的长.解：由已知，，可得设在例7.如图所示，在梯形ABCD中，AB//CD，中位线EF=7cm，对角线，，求梯形的面积.12分析：欲求此梯形的面积，只要求它的高.作交CD延长线于K.由已知可得，则，而说明：在解决有关梯形的问题时，要注意常用辅助线的作法.已知梯形对角线垂直时，常过梯形一顶点平移一条对角线.例8.如图1所示，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O图113（1）在AC上取一点E，作于G，交BD于F，求证：；（2）若在AC的延长线上取一点E，作直线BE于G，交DB延长线于F（如图2所示），这时结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请作图并给出证明，如果不成立，请说明理由.图2分析：（1）欲证OE=OF，只要证.因为四边形ABCD为正方形所以∠=∠==∠=-∠=∠9090°，，°AOB BOE AO BO AFO FAO BEO由此可证出可得.（2）若E点在AC的延长线上，这个结论仍能成立.也可由证出.例9.已知：，求.解：由已知再由等比性质得即例10.已知：的值.14解：设，则解得：例11.如图所示，BD、CE是△ABC的中线，G、H分别是BE、CD的中点，BC=8，求GH的长.解：∵BD、CE分别是△ABC的中线，G、H分别是BE、CD的中点想一想：如图所示，若连结ED，如何求GH？15例12.如图所示，△ABC中，AD是角平分线，求证：.分析：为了构造平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，可视C点为△ABD 的BD边延长线上一点.作CE//AB，交AD延长线于E，则，.又，得，推出.说明：此题介绍了三角形内角平分线的一个性质，即“三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.例13.如图所示，△ABC中，BD是角平分线，DE//AB，AB=5，BE=3，求BC的值.解：16例14.如图所示，在△ABC中，，E为AC边中点，ED、AB 的延长线交于点F.求证：（1）AB：AC=BD：AD；（2）；（3）.分析：（1）由（2）因是△FAD和△FDB的公共角，欲证，只要证.这可由中，、E是AC的中点推出，即（3）由（2）中的，得17由（1）中的，可推出.说明：对于待证的四条成比例线段，首先要看它们所在的两个三角形能否相似，如果不能相似，需通过“中间比”进行等量代换.利用两组角对应相等，是证明两个三角形相似首选的基本方法.例15.如图所示，已知中，AB=AC，AD是BC边上的中线，，BF交AD 于P，交AC于E点求证：.分析：为了把共线的三条线段BP、PE、PF转化为不共线的，可利用等腰三角形是轴对称图形这一性质.连结PC，因为AD是等腰△ABC底边上的中线，所以它也垂直平分BC，可推出PC=PB、.由CF//BA，又可得到所以，而立即推出从而，即18例16.如图所示，△ABC中，，求证：.分析：欲证，只要证.而是这两个三角形的公共角，只需证.在中，则.同理可证：可得即，从而问题解决.例17.如图所示，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在19直线交于点E.探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并证明你的结论；②当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少？解：可分成三种情形分别作答：（1）如图1所示，若另一条直角边与AD交于点E，则.图1证明：当点P位于CD的中点时，如图2所示，则.图220又∴△PDE与△BCP的周长比是1：2.（2）如图3所示，若另一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证或.图3当点P位于CD的中点时，如图4所示，△PCE与△BCP的周长比是1：2；图4由于，因此△BPE与△BCP的周长比是.（3）如图5所示，若另一条直角边与BA的延长线交于E点，同理可证：.图521当点P位于CD的中点时，如图6所示，由于，因此△EPB与△BCP的周长比为.图6说明：根据需要对研究对象进行分类，然后对划分的每一类分别求解，综合后即得问题的答案.在复习中要充分重视“分类讨论”这一数学思想方法的运用.解答问题时，要考虑到可能出现的各种情况.为此，请想一想下面这个问题应怎么解？已知：矩形ABCD中，M是BC的三等分点，若，求D点到AM 的距离.【模拟试题】（答题时间：80分钟）【自我检测1】一、填空题1.两条对角线互相平分的四边形是____________________；2.两条对角线_________________的四边形是菱形；3.两条对角线_________________的四边形是矩形；4.两条对角线_________________的四边形是正方形；5.顺次连结四边形各边的中点，所得的四边形是_________________；6.顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是_____________；227.顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是_________________；8.四边形四个内角的比是1：2：3：4，那么这四个角的度数分别是___________；9.一个多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形是______________；10.平行四边形两邻边长分别为6cm和8cm，夹角为60°，它的面积为_________；11.一个平行四边形被分成面积为的四个小平行四边形（如图所示），当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，与的大小关系为_____；12.如图所示，△ABC中有菱形AMPN，如果，则____________.13.矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所交锐角的度数为_________；【自我检测2】一、判断题（1）有一个锐角相等的两个Rt△相似.（）（2）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（）（3）顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似.（）（4）一个等腰三角形的两边和另一个等腰三角形的两边成比例，则这两个三角形相似.（）23（5）两边长分别是3、4的Rt△ABC与两边长分别是6、8的Rt△DEF相似.（）（6）斜边和一条直角边分别是2和的与斜边和一条直角边长分别是和的相似.（）二、填空题（1）如图所示，已知，若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立，则这个条件可以是_____________________.※（2）在方格纸中，每个小方格的顶点称为格点.以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图所示的5×5的方格纸中，作以A、B、C为顶点的格点三角形和△OAB相似（相似比不能为1），则C点的坐标是________________.※（3）如图所示，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，若在此网格内画出一个与△ABC相似且面积最大的三角形，则的面积是___________.24（4）如图所示，△ABC中，若AB=AC，BD平分，则AD=______=_______，__________，___________.当AC=10时，BC=__________.（5）如图所示，△ABC中，则∽_______∽______，AD：_______=________：BC，_________，AD·DC=________，____________，AC·BD=___________.若AD=5，BC=6，则CD=_______.（6）已知：如图所示，△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1=∠2=∠3，则图中有_________对相似三角形.三、解答题1.如图所示，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于F.求证：BC·CD=CF·AE.252.如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，DEFG是△ABC的内接正方形.求证：EF2=AE·FB.3.如图所示，△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB于F.求证：AE：ED=2AF：FB.4.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，过D作AB的垂线交CB于E，交AC的延长线于F.求证：CD2=DE·DF.5.如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE.F为AE 上一点，且∠BFE=∠C.（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；26（3）在（1）、（2）的条件下，若AD=3，求BF的长.（计算结果可含根号）6.如图所示，延长正方形ABCD的AB边至E，连结EC、DE，DE交BC于F，FM//BE交EC于M，求证：FB=FM.7.正方形ABCD中，边长AB=2，E是BC的中点，DF⊥AE，F是垂足.（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）求△DFA的面积S1和四边形CDFE的面积S2.8.如图所示，菱形ABCD中，E、M分别是AB、CD边的中点，F是BC上一点，且BF：FC=1：3.（1）求EF：AM；（2）若菱形ABCD的面积为S，求△EBF的面积.27【试题答案】【自我检测1】一、填空题1.平行四边形2.互相垂直平分3.互相平分且相等4.互相垂直平分且相等5.平行四边形6.矩形7.菱形8. 36°、72°、108°、144°9.十10.11.12.13. 80°【自我检测2】一、判断题（1）√（2）× （3）√（4）× （5）× （6）√二、填空题（1）或或；28（2）（4，4）或（5，2）（3）的面积是5（平方单位）；（4）BD、BC，△BCD，DC·AC，；（5）△BDC、△ABC，AB、DB，AD·AC，BD2，BC2，AB·BC，4；（6）4对.三、解答题1.提示：由得，而可推出2.提示：由得，即而，可得.3.提示：过D点作DK//BA，交EC于K4.提示：证5.（1）略；（2）；（3）6.提示：由已知可得，推出7.（1）略；（2）（平方单位），（平方单位）298.提示：（1）先证得；（2）.30。
九年级数学上册 1.3.2 正方形的性质与判定教案 北师大版(2021-2022学年)
1。
3.２正方形的性质与判定教学目标：1.掌握正方形的判定定理,并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.2。
发现决定中点四边形形状的因素,熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断,并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力.3．经历“探索—发现—猜想—证明"的过程,掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素,并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．4。
通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力,并使学生发现数学中蕴涵的美,激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣.教学重点与难点:重点:形成判定正方形的基本思路难点：综合应用菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理探索中点四边形形状课前准备:多媒体课件.教学过程：一、创设情境导入新课活动内容:回答下列问题。
问题1:我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么请思考一下，它们之间有什么关系?你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流.问题2:如图,将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角,打开．怎样剪才能剪出一个正方形?问题3:议一议：满足什么条件的矩形是正方形?满足什么条件的菱形是正方形?与同伴交流一下。
处理方式:问题1由学生尝试画出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系图，目的是让学生理清它们之间的联系和区别.对于问题２先让学生折纸,然后用剪刀剪出一个正方形,并引导学生思考怎样判定一个图形是正方形。
这也为新课的学习做好铺垫．ﻬ设计意图:（1)以问题串的形式引入新课,让学生明确本节课所要解决的问题。
(2）让学生回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,正方形性质和判定的探索过程及其得出的结论，目的是启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系,即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辨证关系。
二、探究学习,感悟新知探索正方形的判定条件:学生活动:四人一组进行讨论研究，老师巡回其间,进行引导、质疑、解惑,通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法。
中考数学专题第二讲《四边形》导学案教案教学设计
第二讲：（三角形、四边形及多边形）2一：知识点回顾1四边形性质2特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形）的性质及差异3特殊四边形的判定方法4四边形中常见的辅助线二：例题分析例1：如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2C D．（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；（2）求证：BD=MN．例2：如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．（1）证明：FD=AB；（2）当平行四边形ABCD的面积为8时，求△FED的面积．例3：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．例4：如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）求证：=．例5：如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M 顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．例6：如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【课堂练习】1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（）A．12B．15C．12D．152.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）3.下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长长度及角度，判断哪一个为平行四边形？()A．B．C．D．4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，∠A=120°，AD=2，BD平分∠ABC，则梯形ABCD的周长是．5.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是．6.①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．6：如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求C=．7：△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m 为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．（第1题图）AB【课后作业】已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =；（2）求证：12CE BF =；（3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论．B 卷一、填空题：将答案直接写在该题目中的横线上．21．如图，如果要使ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．22．某校九年级一班对全班50名学生进行了“一周（按7天计算）做家务劳动所用时间（单位：小时）”的统计，其频率分布如下表：一周做家务劳动所用时间（单位：小时）1.522.534频率0.16 0.26 0.32 0.14 0.12那么该班学生一周做家务劳动所用时间的平均数为 小时，中位数为 小时．23．已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，那么代数式2352362x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值为 ．24．如图，将一块斜边长为12cm ，60B ∠=°的直角三角板ABC ，绕点C 沿逆时针方向旋转90°至A B C '''△的位置，再沿CB 向右平移，使点B '刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是 cm ．25．在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过点(11)P ，，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且tan 3ABO ∠=，那么点A 的坐标是 ．二、26．某校九年级三班为开展“迎北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．ADCB D AE FCH GByx 1 1 O（1）如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？ （2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红梅牌钢笔的数量的12，但又不少于红梅牌钢笔的数量的14．如果他们买了锦江牌钢笔x 支，买这两种笔共花了y 元．①请写出y （元）关于x （支）的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；②请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？27．如图，A 是以BC 为直径的O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作O 的切线，与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点，连结CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF EF =；（2）求证：PA 是O 的切线；（3）若FG BF =，且O 的半径长为32，求BD 和FG 的长度．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，．（1）求此二次函数的表达式； （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．OD G CAEFBP。
湘教版八年级数学下册第2章《四边形》教案
如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋ ∠D＋∠E＋∠F＋∠G 的度数．
1080°，且这两个多边形的边数之比为 2∶3， 求这两个多边形的边数．
解析：利用内角和公式，根据已知条件
解析：已知图形为不规则的图形，我们
建立等量关系即可求解． 解：设这两个多边形的边数分别为 2x 和
3x.由题意，得(2x－2)·180°＋(3x－2)·180° ＝1080°.解得 x＝2.故这两个多边形的边数 分别是 4 和 6.
如图，平行四边形 ABCD 中，CE⊥AB 于 E，若∠A＝125°，则∠BCE 的度数为 ()
A．35° B．55° C．25° D．30° 解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∠A＝∠BCD＝125°.又∵CE⊥AB，∴
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∠BEC＝∠ECD＝90°，∴∠BCE＝125°－90°＝35°.故选 A. 方法总结：平行四边形对角相等，对边平行，所以利用该性质可以解决和角度有关的问
解析：∵四边形 ADEF 为平行四边形，∴AD＝EF，AD∥EF，DE＝AF＝2，∴∠ACB＝ ∠FEB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF，∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF ＝5＋2＝7，∴AD＝7.故答案为 7.
方法总结：平行四边形对边平行且相等，根据该性质可解决和边有关的问题． 【类型二】 利用平行四边形的性质求角度
一、情境导入
清晨，小明沿一个五边形广场的周围小跑，按逆时针方向跑步． (1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们． (2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ 二、合作探究 探究点一：多边形的外角和定理 【类型一】 利用多边形的外角和定理求不规则图形的角度
四边形和平行四边形-冀教版二年级数学下册教案
四边形和平行四边形-冀教版二年级数学下册教案一、学习目标1.了解四边形的定义及几种常见的四边形。
2.能够识别、描述和绘制平行四边形。
3.理解平行四边形的性质及应用。
二、学习内容概念解释1. 四边形四边形是由四条线段围成的一个图形，其中相邻两边共享一个端点。
常见的四边形有正方形、长方形、菱形和梯形等。
2. 平行四边形平行四边形是有两对平行边的四边形。
其特点是相对的边段相等，对角线相交于中点，且对角线互为平分线，面积等于底边与高之积。
方法讲解1. 判断四边形判断一个图形是否为四边形，需要检查其是否符合“由四条线段围成且相邻两边共享一个端点”的定义。
2. 判断平行四边形判断一个图形是否为平行四边形，需要检查其是否符合“有两对平行边”的特点。
3. 识别、描述和绘制平行四边形识别平行四边形时需要首先确定其两对平行边，然后再将其余两条边连接，得到一个四边形。
绘制平行四边形需要注意确定两条平行边的方向和长度，再按照相应的比例绘制出其它边。
学习任务任务1看图填表，判断图形是否为四边形：图形是否为四边形是是否否任务2观察下图，填写相应的信息：平行四边形1图形是否是四边形是否是平行四边形底边高△ABC 是否AB AC △ABD 是否AB BD △ACD 是否AD CD △BCD 是否BC BD ABCD 是是AB DE 任务3绘制下列给定平行四边形：平行四边形2任务4观察下列图片，回答问题：平行六边形11.图中的图形是否为平行四边形？2.请说明你是如何判断这个图形是平行四边形的。
平行六边形23.图中的图形是否为平行四边形？4.请说明你是如何判断这个图形是平行四边形的。
三、教学方式本课程采用讲授、讨论和练习结合的方式进行教学。
具体包括：1.讲授四边形和平行四边形相关知识。
2.案例分析和讨论，通过实例了解四边形和平行四边形的性质和应用。
3.练习，让学生掌握如何识别四边形和平行四边形，并能够绘制和描述平行四边形。
四、课后作业1.完成教学内容中的各项练习题。
乐高闸道门教案
课
题
闸道门对
象
7+
教学目标1、了解四边形的不稳定性
2、了解费力杠杆
3、词汇：四边形
器
材
乐高 9686
参考
由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形，由凸四边形和凹四边形组成。
顺次连接任意四边形上的中点所得四边形叫中点四边形，中点四边形都是平行四边形。
菱形的中点四边形是矩形，矩形中点四边形是菱形，等腰梯形的中点四边形是菱形，正方形中点四边形就是正方形。
教学过程联
系
1.同学们，你们见过地下停车场么？
2.为了控制车辆的进出，在停车场的出口和入口要做一个什么呢？
3.设计一个什么样的闸道门。
构
建
搭建参考：
1.用四边形的结构设计一个抬杆。
2.给抬杆设计一个支点。
3.在抬杆的另一边放上重力块，使得闸道门抬放更加的方便。
反思1.闸道门为什么做成活动的呢？
2.闸道门是费力杠杆还是省力杠杆？
3.为什么停车场会做在地下呢？
延
续
设计和搭建地下停车场的车位布局
评价1.今天完成的作品是什么呢？
2.杠杆分为省力杠杆和什么杠杆？今天用的是什么杠杆？
3.停车场为什么要做在地下？
实
践
找到两个概念停车场，分享它的设计理念。
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《探究中点四边形形状》教案教学目标：１.知识与技能：(1)了解中点四边形的概念；(2)利用三角形中位线定理证明中点四边形是平行四边形,理解特殊的平行四边形的中点四边形的特征；(3)理解中点四边形的形状与原四边形的对角线的关系。
２. 过程与方法：(1)经历观察、猜想、证明中点四边形是平行四边形的过程熟练运用三角形中位线定理；(2)经历由一般到特殊的思维进程，发现并证明特殊的平行四边形的中点四边形的特征；３.情感态度与价值观：(1)通过数学活动培养学生观察、猜想、证明的探索精神；(2)通过小组讨论活动，培养学生合作的意识。
教学重点：１、任意四边形的中点四边形形状的判定和证明；２、特殊平行四边形的中点四边形形状的判定和证明。
教学难点：影响中点四边形形状的主要因素的分析和概括。
教学过程：一、复习旧知，情境引入１、回顾三角形中位线性质定理。
２、问题１：出示问题：一块白铁皮零料形状如图，工人师傅要从中裁出一块平行四边形白铁皮，并使四个顶点分别落在原白铁皮的四条边上，可以如何裁？（学生思考、讨论、分析，想出解决办法）师：你能证明吗？生：已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点。
求证：四边形EFGH为平行四边形。
（学生可连接AC,也可连接AC、BD）二、探索活动１、中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。
２、结合引例得出结论：任意一个四边形的中点四边形，都为平行四边形。
问题2：观察这个图形，平行四边形EFGH各边与什么有关？各个内角又与什么有关？在问题2的基础上，完成下列三个探究。
探究1：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是矩形？探究2：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是菱形形？探究3：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是正方形形？学生四人小组合作探究并得出结论：（1）中点四边形的形状与原四边形的有密切关系；（2）只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是菱形；（3）只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是矩形；（４）要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是。
三、学以致用、巩固提升1.理一理平行四边形的中点四边形是矩形的中点四边形是菱形的中点四边形是正方形的中点四边形是2.请你设计一个中点四边形为正方形，但原四边形又不是正方形的四边形，并说出方法。
例：如下图1图1 图22、如图2：点E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则四边形EFGH 是什么图形？并说明理由。
四、小结：１、这节课你有什么收获？２、你还有什么问题与想法需要与大家交流？五、课后作业如果原白铁皮的面积为100，要求裁出的平行四边形面积等于50，能办到吗？请说明理由.六、当堂检测1、顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A 矩形B 直角梯形 C．菱形 D．正方形2、顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（）①平行四边形②菱形③等腰梯形④对角线互相垂直的四边形A.①③B.②③C.③④D.②④3、在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点M、N、P、Q分别是AB、BC、CD、DA 的中点求证：四边形MNPQ是矩形《中点四边形》教学设计一、教学目标分析1．知识与技能：利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与数量关系；通过图形变换使学生掌握简单的添加辅助线的方法。
2.过程与方法：（1）培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及创造性思维和归纳总结能力；（2）通过图形间既相互变化，又相互联系的内在规律的探究，进一步加深对“一般与特殊”关系的认识。
3.情感态度与价值观（1）在探究过程中培养学生的参与、合作意识，激发学生探索数学的兴趣，体验数学知识获得的过程。
（2）体会中点四边形的图形美，感受数学变化规律的奇妙。
二、教学重点和难点重点：中点四边形性质的探索。
难点：对确定中点四边形形状的主要因素的探究。
三、教学过程互动环节教学内容学生活动创设情境激发兴趣1. 借助多媒体技术，展示两个任意四边形，顺次连接各边中点得一个新的四边形，再依次连接新四边形的各边中点，又得到一个新的四边形，不断继续下去，分别得到两组不同的四边形。
2.这两幅图片漂亮吗？你能说说它的漂亮之处吗？1.利用模板演示提出活动一：如何从一张任学生欣赏图片的变化过程，寻找熟悉的几何图形，去发现变化的规律。
学生认真观察、畅所欲言表达自己的发现。
教师提供充分的时间，让学生以小组合作交流的形式，通过动手画图、观察并得到自己的发现。
教师深入到各小组，倾听学生们的讨论，鼓励学生大胆猜想，畅所欲言，对其中合理的回答给予肯定，自主探索合作交流意四边形卡纸里裁出一个平行四边形，并使四个顶点分别落在原四边形的四条边上？同学们以四人小组为单位展开探究。
教师利用卡纸折叠构造出学生活动得出的裁剪方法。
2.活动二：请学生验证以上发现已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.引导学生观察这个特殊的平行四边形的产生过程，引出课题《中点四边形》。
3.归纳小结不同证明方法的共同之处。
从而引出活动三：观察图片你有什么发现？四人小组合作探究。
（中点四边形的形状与原四边形对角线的关系）安排几何画板动画演示出任意四边形的中点四边形的变化情况，并观察在原四边形变化过程中，其中点四边形的变化。
对有困难的组要及时进行指导。
选出小组代表对本组的发现、以及论证进行展示。
学生总结出所得的结论：顺次连接任意四边形的四边中点得到一个平行四边形。
各活动小组的代表口述证明过程，并展现不同的证明方法。
方法一：连接一条对角线，根据判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
方法二：连接两条对角线;根据判定定理：两组对边分别相等（平行）的四边形是平行四边形。
学生通过观察图形归纳总结出：1、中点四边形定义：顺次连接任意四边形各边中点所形成的四边形是中点四边形。
2、任意四边形的中点四边形是平行四边形。
学生独立思考回答问题。
（都连接了对角线）学生以小组为单位进行思考、讨论、尝试，教师深入到小组活动中去，学生在小组活动中进行交流归纳，然后派代表上台交流自己组的发现：（1）中点四边形的一组邻边分别平行且等于原四边形的对应对角线的一半。
（2）中点四边形的一个内角等于原四边形对角线的夹角。
学生观察后归纳得出：（1）任意四边形的中点四边形始终都是平行四边形。
（2）任意四边形的中点四边形也可以是特殊的平行四边形（矩形、菱自主探索合作交流4.活动四：画一画、证一证矩形菱形的中点四边形是正方形（四人小组合作交流）请学生验证以下发现：（1）菱形的中点四边形是矩形。
（2）对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形。
形、正方形）。
学生以小组合作的形式动手画图并观察证明。
小组代表对本组发现进行展示。
（将各组不同的发现，对应的写在黑板上）矩形：（1）菱形的中点四边形是矩形。
（2）对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形。
菱形：（1）矩形的中点四边形是菱形。
（2）等腰梯形的中点四边形是菱形。
（3）对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。
正方形：（1）正方形的中点四边形是正方形。
（2）对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。
证明成功的小组派代表上台展示自己组的证明过程，并发现不同证明方法。
学生以掌声加以鼓励和祝贺。
对比观察后学生发现：（1）相同处：两个命题的结论相同。
（2）不同处：两个命题的题设不同，但题设具有共同的特征为对角线互相垂直的四边形。
(3)可以将以上两个命题整理为：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形。
类比上两个命题的整理方式容易得出：前两个命题可以看作第三个明天的特殊情况，所以只需要证明第三个命题即可。
小组代表展示证明过程及方法。
从而的出结论：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。
自主探索合作交流观察以上两个命题的想同处和不同之处，并对命题进行整理。
在以上总结的基础上请同学们观察以下三个明天的区别与联系，并整理：（1）矩形的中点四边形是菱形。
（2）等腰梯形的中点四边形是菱形。
（3）对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。
请小组代表对于中点四边形是正方形的两条发现给予整理并证明：（1）正方形的中点四边形是正方形。
（2）对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。
小组代表口述归纳过程并展示证明方法和过程。
从而得出结论：对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。
学生用掌声予以鼓励和祝贺。
并进一步总结出中点四边形的形状与原四边形的对角线密切相关；当对角线不满足以上特殊情况时中点四边形为平行四边形。
分享收获知识梳理1、结合图形你能得出什么结论并用一句话总结：AC⊥BD学生独立思考回答问题。
对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形。
对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。
AC=BD2、本章我们还学过哪些四边形？它们的中点四边形又是什么呢？3、理一理：在学生回答的基础上进行整理，借助中点四边形帮助学生构建完整的知识体系。
对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。
学生独立思考口答问题。
回顾如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，四边形A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形,…如此继续下去得到四边形AnBnCnDn。
你能得到什么结论？学生以小组为单位进行讨论、思考，然后小组代表汇报结果：（1）四边形A1B1C1D1是矩形。
（2）四边形A2B2C2D2是菱形。
（3）当n是奇数时，四边形AnBnCnDn引课中考链接拓展延伸：（1）我们还可以计算什么？要想计算面积和周长，还需要添加什么条件？（2）还可以添加什么条件，又能得到怎样的结论呢？是矩形；当n是偶数时，四边形AnBnCnDn是菱形。
学生独立思考在条件不变的情况下还能得到的结论，积极阐述自己的观点。
学生课后探究完成。
布置作业巩固提高布置作业A组：1.在中考链接中选择一个你认为正确的结论证明。
2.三角形三边中点连接所形成的三角形的面积为原三角形面积的四分之一，四边形的中点四边形的面积为原四边形面积的对少呢？查阅有关资料尝试证明。
B组：在中考链接中选择一个你认为正确的结论证明。
学生课后完成。
四板书设计中点四边形一定义…二性质表格三例题学生板演区：矩形：菱形:正方形：。
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