固体物理(第15课)近自由电子

6.2 准（近）自由电子近似
近自由电子近似： 近自由电子近似： 能带理论的简单模型， 能带理论的简单模型，认为晶体中价电子的行为 接近于自由电子。 接近于自由电子。 周期性势场的作用可看作是很微弱的周期性起伏 的微扰。 的微扰。 以一维晶格为例进行讨论。 以一维晶格为例进行讨论。
6.2.1 一维非简并情况
0 ˆ 0 ψk *H′ψk′ dx
∫ = ∫
=
0
L
0 L
0 0 ψk *(V(x) −V) ψk′ dx 0 0 ψk *V(x) ψk′ dx −V = 0
二 微 : 级 扰
( Ek2) =
∑E
k′
H′ k′ k
2
0 0 − Ek′ k
H′ k′称 微 矩 元. 为 扰 阵 k H′ k′ = k
2 2 2 2 2π −i nx 1 Vn = V (x)e a dx a a
∫
由此可见，这里零级近似波函数代表驻波。 由此可见，这里零级近似波函数代表驻波。产生驻波的 原因是波矢为k=nπ/a的平面波，其波长为λ=2π/k=2a/n正 的平面波， 原因是波矢为 的平面波 正 好满足布拉格反射条件，入射波遭到全反射而形成驻波。 好满足布拉格反射条件，入射波遭到全反射而形成驻波。 相应电子概率密度分布（示意图） 相应电子概率密度分布（示意图） ψ+k波函数在靠近正离子的区域几率密度小，受到的 波函数在靠近正离子的区域几率密度小， 吸引弱，势能较高，绝对值较小。 吸引弱，势能较高，绝对值较小。 ψ ψ -k波函数在靠近正离子的区域几率较大，受到强的 波函数在靠近正离子的区域几率较大， 吸引，势能是较大的负值。 吸引，势能是较大的负值。 ψ Eg是禁带宽度，中间的能量状态是不允许的。 是禁带宽度，中间的能量状态是不允许的。
∫
受微扰后
2π i nx ˆ H′ = Vne a n≠0
∑
代表势能偏离平均值的部分， 代表势能偏离平均值的部分，随 坐标变化，看作微扰势。 坐标变化，看作微扰势。
电子能量写成 : : 一级修正
( ( 0 Ek = Ek + Ek1) + Ek2) +L (1) Ek = H′ k′ = k
∫
L
0
2π (1) 令 ′ = k − k n且 ′ ≠ k（ n ≠ 0） 则 k 即 ， ： a 2π −i nx * 1 ikx Vn e a e 1+ ∑ 2 2 ψk (x) ≈ 2 n≠0 h k L h2 2π n − k − 2m 2m a
hk h 2π − k − n = 0 2m 2m a nπ 由 式 得 = 上 求 k 或 = 2a/n,这 是 拉 反 条 λ 就 布 格 射 件 a π 2asinθ nλ 正 射 件 (sinθ 1,θ = )的 果 = 在 入 条 下 = 结 . 2 示意图
λ = 2π / k
ψ
0
0 0 = Aψk + Bψk′
=
A L
e
ikx
+
B L
eik′x
将此波函数代入薛定鄂方程
h2 2 [− ∇ +V (x)] 0 = Eψ 0 ψ 2m 0 0 以 k *和ψ′*分 乘 ψ 别 以方 两 ,并 整个 体 积 , 程 边 在 晶 内 分 k 整理 得 下 后 到 列线 方程 : 性 组 (E − E ) A−Vn B = 0
2 2
1 Vn = a
∫ V(x)e
a
−i
2π nx a dx
示意图2 示意图2
0 h2k2 6.2.3 能带结构及图示 = Ek 2m (1) 能带和禁带 2π k= ⋅l Na
b. ∆ ≠ 0 且∆ << 1 满 Tn∆ << Vn << Tn ， ， 足 ： k=
π
a
n(1+ ∆) =
π
a
n+
π
a
n⋅ ∆ =
π
a
n +δk
k′ = −
π
a
n(1− ∆) = −
π
a
n+
π
a
n⋅ ∆ = −
π
a
n +δk
+ 2Tn h2 2 (δk) 1+ Ek = Tn + Vn + 2m Vn h2 2Tn 2 E− = T − V + (δk) 1− k n n 2m Vn h π Tn = n 2m a
0 当 k = nπ / a及 k′ = −nπ / a时,由 Ek = Ek′ , 于 0
导 ψk 及 k 发 ,根 量 力 ,此 一 能 对 致 E 散 据 子 学 时 个 量 应 两 状 ， 相 于 并 .这 必 用 并 扰 理 个 态 这 当 简 态 时 须 简 微 处 . 1 ikx 1 ik′x 0 0 如 认 ψk = 果 为 e 是 进 平 波 则 k′ = 前 的 面 , ψ e L L 即 布 格 射 ,或 反 时 零 近 波 数 是 为 拉 反 波 相 .这 , 级 似 函 将 ψ和 的 性 合 ψ 线 组 .
∫
L
0
0 ˆ 0 ψk *H′ψk′ dx L
1 = L
∫ ∑
0 n
′ i(k′−k+ a Vne
2π
n)
dx
Vn = 0
2π 当k′ = k n a 2π 当k′ ≠ k n a
波函数
* Vn为Vn的共厄复数
电子能量
示意图
(x) =ψ 0( x) +ψ (1) ( x) ψk k k 2π −i nx * a Vn e 1 ikx e 1+ = 2 2 2 2 L n≠0 h k − h k − 2π n 2m 2m a 0 Ek = Ek + E(2) k 2 Vn h2k2 = + 2 2m 2π h2k2 h2 n≠0 n − k − 2m 2m a 2π k= ⋅l l ∈Z Na 散射波，因子代表其振幅， 散射波，因子代表其振幅， 前进波 位相之间无关，相互削弱，电子与自由电 位相之间无关，相互削弱， 子相似
V( x) =V0 + ∑Vne
n≠0
i
2π nx a
=V0 + ∆V
ˆ ˆ ˆ ψ Hψk ( x) = Ekψk ( x) ⇒(H0 + H′) k ( x) = Ekψk ( x) ˆ = − h d +V( x) = − h d +V + ∆V H 0 2 2 2m dx 2m dx 2 2 ˆ = − h d +V ，ˆ ′ = ∆V 令H0 0 H 2 2m dx
a 此 散 波 强 需 简 微 法 算 时 射 加 ， 用 并 扰 计 。
若 ′ = −k即 = k k
π
n， ψk (x) →∞， 意 则 无 义
示意图
(2) 简并微扰计算
′ k′的 它 级 函 ψ0′, 与 有 扰 阵 Hk 其 零 波 数 k 它 微 矩 元
示意图
根 微 理 ,在 来 级 函 ψ0中 掺 据 扰 论 原 零 波 数 κ 将 入 而 它 的 量 E0 − E0′越 ,掺 的 分 越 . 且 们 能 差 k 小 入 成 就 大 k
2 2 n 2 2 n
h2 nπ 2 nπ Tn = ( ) 代表自由电子在k = 状态的动能 . 2m a a
下面分两种情况讨论： 下面分两种情况讨论：
nπ nπ 0k a. ∆ = （ = 及 ′ = − ）时：变成两个不同能 k 量的状态 a a + 2A nπ sin ⋅ x ψk = −i E+ = T + V k n n L a ←驻波 − − Ek = Tn − Vn ψk = 2A cos nπ ⋅ x 示意图1 示意图1 L a Eg = 2Vn 禁带宽度它等于周期性势能展开 , , 式中 2π 波矢为 n = k n的傅立叶分量 n的绝对值的两倍 V . a hk h π Tn = = n 2m 2m a
0 k 0 k′
布拉格反射
如果由 邻原子 产生 散射波 相 所 的 成分 有相 同相 的话 如果 位 , 前 进平 面波的 长λ= 2π 波 /k正 好满足 = nλ 相 2a , 邻原 子的 反 射波就 会有 相同 的位 ,它们将 相加强 使 相 互 , 前进 波受到 很 大的干 . 涉
2 2 2 2
∑
∑
布洛赫波
2π nx −i * a Vn e 1 ikx (1) ψk ( x) ≈ e 1+ ∑ 2 2 2 n≠0 h k L h2 2π n − k − 2m 2m a 2π nx −i * a 1 Vn e ，则 ( x) eikxu ( x) u 1+ ∑ ψk ＝ 令 k ( x) = k 2 n≠0 h2k2 h2 L 2π k− n − 2m 2m a 2π −i n( x+m ) a * a Ve 1 = u ( x) m u m 1+ ∑ 2 2 n 2 Q设 ∈ Z， k ( x＋ a) = k 2 L n≠0 h k 2π h n − k − 2m 2m a ∴ k ( x)为布洛赫波函数 ψ
6.2.2 一维简并微扰的情况
前进的平面波
散射波
1 ikx Vn* 1 ik′x 1 ikx 1 ik′x = e + ∑ 2 2 ⋅ e = e + ∑αk′ ⋅ e 2 2 h k′ L L L L n≠0 h k k′≠k − 2m 2m