二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷(2007.9.23,详细答案)
2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答(word版)
2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题（共8题，每题10分，计80分）1、某人在将2009中间的两个数码00分别换成两位数ab 与cd 时，恰好都得到完全平方数：()2229,29,ab m cd n m n ==<，则数组(),m n ab cd ++=(100,100)解：注意到，对于整数k ，若2k 的末位数为9，则k 的末位数必为3或7，易知244200029ab <<，（245205=），25302529cd =>，因此4455m n <<<，于是，若要,m n 满足条件，只可能是，47,53m n ==，由于2472209=，2532809=， 所以20,80,47,53ab cd m n ====，()(),100,100m n ab cd ++=．2、若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线221916y x -=的顶点和焦点，则椭圆的方程为：2211625x y += 解：双曲线的两顶点为()0,3±，两焦点为()0,5±，故由条件，椭圆的两焦点为()0,3±，两顶点为()0,5±，因此，3,5c a ==，22216b a c =-=，则椭圆的方程为2211625x y +=．3、实数,x y 满足22236x y y +=，则x y +的最大值是1+解：令x y t +=，则x t y =-，由()22236t y y y -+=，得()22522320y t y t -++=，因y 为实数，则判别式()224234520t t ∆=+-⨯⨯≥，得2222t ≤≤． 4、四面体ABCD 中，,,,1CD BC AB BC CD AC AB BC ⊥⊥===，平面BCD 与平面ABC 成045的二面角，则点B 到平面ACD 的距离为3．解：DC AC ==DE ⊥平面ABC ，垂足为E ，连,CE AE ，由三垂线逆定理，EC BC ⊥，所以045DCE ∠=，故12CE D E D C===，1136ABCD ABC V DE S =⋅=，又因ABCE 为正方形，1AE =，则AD =，因此正三角形ACD 的面积为B 到平面ACD 的距离为h ，由1136ACD h S ⋅=，得3h =5、从集合{}1,2,3,,2009M = 中，去掉所有3的倍数以及5的倍数后，则剩下的元素个数为1072．解：集合M 中，3的倍数有20096693⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5的倍数有20094015⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，15的倍数有200913315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，则剩下的元素个数为()20096694011331072-+-=个．6、函数322()(1)x x f x x -=+的值域是11[,]44-． 解：2221()11x x f x x x -=⋅++，令tan x α=，则11sin 2cos 2sin 424f ααα=⋅=，由此，1144f -≤≤，当tan ,tan88x ππ=-时两边分别取得等号．7、247coscoscos cos 15151515ππππ--+=12-． 解：原式7244coscoscos cos 2cos cos 2cos cos 15151515155155ππππππππ⎛⎫⎛⎫=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 42coscos cos 4cos sin sin 515155610ππππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭12cos sin 5102ππ=-=-．（注：由0sin 722sin36cos364sin18cos18cos36==，则001sin18cos364=，即1c o ss i n 5104ππ=．） 8、九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,,a a a ，若13579a a a a a ++++为一平方数，2468a a a a +++为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是18000．解：设这九数为 4,3,2,1,,1,2,3,4a a a a a a a a a ----++++，则有，25a m =，34a n =，9S a =，则4532n m a ==，得2345m n = ………① 令112,5n n m m ==，得231110040m n =，所以 231152m n =，再取122m m =，125n n =，化为 2222225m n =，取2210,2m n ==，可使左式成立，这时20,100n m ==，2000a =，918000S a ==． 二、解答题（共3题，合计70分）9、（20分）给定Y 轴上的一点(0,)A a （1a >），对于曲线212x y =-上的动点(,)M x y ，试求,A M两点之间距离AM 的最小值（用a 表示）．解：如图，易求得曲线上诸点的坐标为：(0),0),(0,1)E F D ，当22x <，即x ≤≤212x y =- ………①；而当22x ≥时，曲线方程为212x y =- ………②，对于情形①，即x ≤≤M 位于顶点D 处时，距离AM 取得最小值1a -；………5分对于情形②，即在x ≤x ≥2(,1)2x M x -，由于 2222221(1)(2)2124x AM x a x a a =+--=-++，因1a >，则22a >>于是，当x =AM…………15分再比较AD 与AM ：令222()(1)(21)(4)f a AD AMa a a a =-=--+=-，则当14a <≤时，()0f a ≤，AD AM ≤，即最小值为1AD a =-； 而当4a >时，()0f a >，则最小值AM =…………20分10、（25分）在一个圆中任取三条互不相交的弦，以其中每两条弦为一组对边，各得到一个凸四边形，设这三个四边形的对角线的交点分别为,,M N P ；证明：,,M N P 三点共线．证：如图，设,,AB CD EF 为三条不相交的弦，其中AC BD P = ，AF BE M = ，CE DF N = ，又设BD CE H = ，点,,N P M 截BEH ∆的三边，据梅涅劳斯逆定理，只要证1HP BM ENPB ME NH⋅⋅= …… ①， …………5分 用记号∆表示三角形面积，则由BM BAF BA BFME EA EFEAF ∆⋅==⋅∆ …… ② HP HAC HAC EAC CH EA EC CH EAPB CE BA BC BA BCBAC EAC BAC ∆∆∆⋅⋅==⋅=⋅=⋅⋅∆∆∆ ……③ 由此得HP BM CH BF PB ME BC EF ⋅⋅=⋅，因此只要证，1EN BF CHEF BC NH ⋅=⋅ …… ④， …………15分 注意 EN DNEF DC=， BFD BCD ∠=∠，则 NH NBD FBD FBN CH CBD CBD∆∆-∆==∆∆FB FD FB FN FB ND FB ENCB CD CB CD CB EF ⋅-⋅⋅===⋅⋅⋅，所以1EN BF CHEF BC NH⋅=⋅，即④成立，从而①成立，故结论得证． …………25分11、（25分）n 项正整数列12,,,n x x x 的各项之和为2009，如果这n 个数既可分为和相等的41个组，又可分为和相等的49个组，求n 的最小值．解：设分成的41个组为1241,,,A A A ，每组中的各数和皆为49，称这种组为A 类组；而分成的49个组为1249,,,B B B ，每组中的各数和皆为41，称这种组为B 类组． …………5分显然，每个项k x 恰好属于一个A 类组和一个B 类组，即同类组之间没有公共项，如果两个组,i j A B 中有两个公共项,r t x x ，则可以将这两个数合并为一个项r t x x +，这样可使n 值减少，故不妨设，每对,i j A B 至多有一个公共项．今用点1241,,,u u u 分别表示1241,,,A A A ，而点1249,,,v v v 表示组1249,,,B B B ，如果组,i j A B 有公共项，则在相应的点,i j u v 之间连一条边，于是得二部图G ，它恰有n 条边和90个顶点． …………10分下面证明G 是连通图．如果图G 的最大连通分支为G '，其顶点数少于90，设在分支G '中，有a 个A 类顶点12,,,a k k k u u u 和b 个B 类顶点12,,,b s s s v v v ，其中90a b +<，则在相应的A 类组12,,,a k k k A A A 和B 类组12,,,bs s sB B B 中，A 类组i k A 中的每个数i x 都要在某个B 类组js B 中出现；而B 类组i s B 中的每个数j x 也都要在某个A 类组jr A 中出现，（否则将有边与分支外的顶点连接，发生矛盾），因此a 个A 类组12,,,a k k k A A A 中各数的和应等于b 个B 类组12,,,b s s s B B B 中各数的和，即有4941a b =，由此得41a ，49b ，所以414990a b +≥+=，矛盾！因此G 是连通图．于是图G 至少有90189-=条边，即89n ≥； …………20分另一方面，我们可实际构造一个具有89项的数列1289,,,x x x ，满足本题条件．例如取141427576798083848541,8,7,1,6,x x x x x x x x x x ==============86872x x ==，88895,3x x ==，（该数列有41个取值为41的项；34个取值为8的项；另将其余七个8拆成七对，其中四对{}7,1，两对{}6,2，一对{}5,3，又得到14个项），于是，每个A 类组可由一个41，一个8，或者由一个41，添加一对和为8的项组成；这样共得41个A 类组，每组各数的和皆为49；为了获得和为41的49个B 类组，可使1241,,,x x x 各成一组，其余的数可以拼成八个B 类组：{}8,8,8,8,8,1的组四个，{}8,8,8,8,7,2的组两个，{}8,8,8,8,6,3的组一个，{}8,8,7,7,6,5的组一个．故n 的最小值为89．…25分。
2007年全国初中数学联赛江西省预赛试卷
2007年全国初中数学联赛江西省预赛试卷第一试一、选择题1．2007的末位数字是（）（A）1 （B）3 （C）7 （D）92）（A（B（C（D3．若a，b，c为正数，已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实根，•则方程（a+1）x2+（b+2）x+（c+1）=0的根的情况是（）（A）没有实根（B）有两个相等的实根（C）有两个不等的实根（D）不能确定4．若直角三角形的三个顶点皆取自某个正十二边形的顶点，•则这种直角三角形的个数为（）（A）36 （B）60 （C）96 （D）1205．对于给定的单位正方形，若将其两条对角线以及每两条边的中点连线作出，便得到如图，则图中互为相似的三角形“对子”数有（）（A）44 （B）552（C）946 （D）18926．若将三条高线长度分别为x，y，z的三角形记为（x，y，z），则在以下四个三角形（6，8，10），（8，15，17），（12，15，20），（20，21，29）中，直角三角形的个数为（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个二、填空题（每小题7分，共28分）7的解为________．8．边长为整数，周长为20的三角形个数是______．9．在边长为1的正方形ABCD中，分别以A，B，C，D为圆心，作半径为1的圆弧，将正方形分成图中的九个小块，则中心小块的面积是______．10．用数字1，2，3，4排成一个四位数，使得这个数是11的倍数，则这样的四位数共有_______个．第二试三、解答题11．（20分）试求所有的整数a，使得关于x的一元二次方程x2-（a2-4a+9）=0 ①的两根皆为整数．12．（25分）四边形ABCD的对角线AC，BD交于P，过点P作直线，交AD于E，交BC于F，若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．证明：四边形ABCD为平行四边形．13．（25分）若数a能表示成两个自然数（允许相同）的平方和，则称a为“好数”，•试确定，在前200个正整数1，2，…，200中，有多少个“好数”？参考答案一、1．B 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A二、7．43，53，133 8．8 9．3π10．8个 三、11．设方程的两根为x 1，x 21+x 2=整数，即①为整系数一元二次方程，其根为整数，则其判别式△必为完全平方数． 设（5a 2-26a -8）+4（a 2-4a+9）=b 2，b ∈N ，即（3a -7）2-b 2=21． 故得（3a-7-b ）（3a-7+b ）=21．因21=3·7=1·21=（-7）·（-3）=（-21）·（-1），373377;3713721;377373;372137 1.a b a b a b a b a b a b a b a b --=⎧⎨-+=⎩--=⎧⎨-+=⎩--=-⎧⎨-+=-⎩--=-⎧⎨-+=-⎩故有或或或 分别解得，a=4，6，43，-43． 因为a 为整数，且当a=4故只有a=6，此时方程①成为x 2-4x-21=0，•它有两个整根：7和-3， 因此本题所求的整数a=6．12．在PA ，PC 的延长线上分别取点M 、N ，使AM=AE ，CN=CF ，则PM=PN ，于是EMFN •为平行四边形．得∠AME=∠CNF ，且△AME ，△CNF 皆为等腰三角形，则∠PAE=∠PCF ，所以△PAE •≌△PCF ，得PA=PC ．故AFCE 为平行四边形．AE ∥CF ，所以∠PED=∠PFB ，△ PED ≌△PFB ，因此，PB=PD ，即对角线AC ，BD 互相平分， 从而四边形ABCD 为平行四边形．13．不超过200的平方数是02，12，22， (142)显然，12，22，…142中的每个数k 2可表为k 2+0形式，这种数共有14个；而12，22，…，102中的每一对数（允许相同）的和不大于200， 这种数有1092⨯+10=55（个）， （•其中，x 2+x 2形式的数10个，x 2+y 2（x ≠y ）形式的数1092⨯=45个）． 其次，112+x 2（x=1，2，…8）形式的数8个；122+x 2（x=1，2，…，7）形式的数7个；132+x 2（x=1，2，…，5）形式的数5个；142+x 2（x=1，2）形式的数2个．共得22个．再考虑重复情况，利用如下事实：若x=a 2+b 2，y=c 2+d 2（a ≠b ，c ≠d ），则xy=（ac+bd ）2+（ad-b c ）2=（ac-bd ）2+（ad+bc ）2．不超过40且能表为两个不同正整数的平方和的数有5，10，13，17，20，25，26，29，•34，37，40，该组中的每个数与5的积，以及13都不大于200，•且都可用两种方式表为平方和，故各被计算了两次，累计有12次重复（10，13，17，20与10的积已包含在以上乘积组中）．因此，满足条件的数共有：14+55+22-12=79个．。
2007年高考数学(江西卷) 全卷 加答案及解析
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简224(1)ii ++的结果是（ ）Ａ．2i +Ｂ．2i -+Ｃ．2i -Ｄ．2i --2．321lim 1x x x x →--（ ）Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．24．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）Ａ．4 Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．75．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（ ）Ａ．9 Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 垂直平面11CB D Ｃ．AH 的延长线经过点1C Ｄ．直线AH 和1BB 所成角为458．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >>Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>9．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程111B20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=内 Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．11811．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．512．设2:()e l n 21xp f x x x m x =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学 第II 卷注意事项： 第II 卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为．14．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = ．15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若A B m A M = ，AC nAN =，则m n +的值为．16．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数1(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值； （2）解不等式()18f x >+． 18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(0)y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠= ，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使OM ON =0，其中点O 为坐标原点． 22．（本小题满分14分）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+．11y（1）求1a ，3a ；（3）求数列{}n a 的通项n a ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题 1．C 2．B3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．B11．B 12．B 二、填空题 13．[5)+，∞ 14．4 15．2 16．B D ，三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．18．解：（1）将0x =，y =代入函数2cos()y x ωθ=+得cos θ= 因为02θπ≤≤，所以6θπ=． 又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．（2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，02y =，所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝．又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =， 所以~(30.3)B ξ，， 故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=． 20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1AC ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC ==+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH = ∠， 即：所求二面角的大小为30．（3）因为BH =，所以 22221111(12)33222B AAC C AA C C V S BH -==+= ．11A 21112211111212A B C A BC A B C V S BB -=== △．所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=．解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量． 因为0OC n =，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ． （2）(012)AB =-- ，，，(101)BC =，，， 设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则则0AB m = ，0BC m = 得：200y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)m =-，，． 显然，(110)l =，，为平面11AA C C 的一个法向量．则cos 2m l m l m l===，，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角1B AC A --的大小是30． （3）同解法一．21．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =1x方程为：2211x y λλ-=-．（2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即211111012λλλλλ--=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以12λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．23λ<． 解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以12λ-=；②当12x x ≠时，221102202211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩ ． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x x λλ=-=+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，解得：1223λ<<．由①②知1223λ<≤． 22．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ ① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+， 解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭， 解得3810a <<，所以39a =．（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =． 下面用数学归纳法证明．1 当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2 假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++- 因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，． 11k -≥，所以(]1011k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤．故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1 ，2 知，对任意n ∈*N ，2n a n =． （2）方法二：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明．1 当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立；2 假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时 由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数，则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③ 又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k+++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+++≥， 所以4321221(1)11k k k k a k k k k k +++=+--+-+≥． 又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k ++≥ ④ 据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1 ，2 知，对任意n ∈*N ，2n a n =．。
2007年全国高中数学联赛试题及详细解析
2007年全国高中数学联赛 （考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21-5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。
10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。
若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。
11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。
12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。
2007年全国高中数学联赛试题及详细解析
2007年全国高中数学联赛 （考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21-5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。
10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。
若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。
11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。
12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。
2007年高考.江西卷.理科数学试题及解答
准考证号 姓名（在此卷上答题无效）绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A ＋B)＝P (A)＋P (B) S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P (A·B)＝P (A)·P (B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V ＝34πR 3 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P n (k )＝C kn P k (1一P )k n -一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简2)1(42i i++的结果是 A ．2＋i B ．－2＋i C ．2－i D ．－2－i2．1lim 231--→x x x xA ．等于0B ．等于lC ．等于3D ．不存在3．若tan(4π一α)＝3，则cot α等于 A ．－2 B ．－21 C ．21D ．24．已知(x ＋33x)n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于A ．4B ．5C ．6D ．75．若0＜x ＜2π，则下列命题中正确的是 A ．sin x ＜x π3 B ．sin x ＞x π3 C ．sin x ＜224x π D ．sin x ＞224x π6．若集合M ＝{0，l ，2}，N ＝{(x ，y)|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M}，则N 中元素的个数为A ．9B ．6C ．4D ．27．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线， 垂足为点H ．则以下命题中，错误．．的命题是 A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH 垂直平面CB 1D 1 C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是A ．h 2＞h 1＞h 4B ．h 1＞h 2＞h 3C ．h 3＞h 2＞h 4D ．h 2＞h 4＞h 19．设椭圆)0(12222＞＞b a by a x =+的离心率为e ＝21，右焦点为F(c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P(x 1，x 2)A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 A ．91 B ．121 C ．151 D ．18111．设函数f(x)是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x ＝5处的切线的斜率为 A ．－51 B ．0 C ．51D ．512．设p ：f(x)＝e x ＋In x ＋2x 2＋mx ＋l 在(0，＋∞)内单调递增，q ：m ≥－5，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件绝密★启用前2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．设函数y ＝4＋log 2(x －1)(x ≥3)，则其反函数的定义域为 ．14．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p +a q =a p+q ，若a 1=91，则a 36＝ ．15．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ． 16．设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －3k)2＝2k 4 (k ∈N *)．下列四个命题：A ．存在一条定直线与所有的圆均相切B ．存在一条定直线与所有的圆均相交C ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 D ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号)三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤++=-)1(2)0(1)(2＜＜＜x c k c x cx x f c x在区间(0，1)内连续，且89)(2=c f ． （1）求实数k 和c 的值； （2）解不等式182)(+＞x f18．（本小题满分12分）如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ) (x ∈R ，0≤θ≤2π)的图象与y 轴交于点(0，3)，且在该点处切线的斜率为一2． （1）求θ和ω的值；（2）已知点A(2π，0)，点P 是该函数图象上一点， 点Q(x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝23，x ∈[2π，π]时，求x 0的值．19．（本小题满分12分） 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6， 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分12分） 右图是一个直三棱柱（以A 1B 1C 1为底面）被一平面所截得到 的几何体，截面为ABC ．已知A 1B 1＝B 1C 1＝l ，∠A l B l C 1＝90°， AA l ＝4，BB l ＝2，CC l ＝3．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面A 1B 1C 1； （2）求二面角B —AC —A 1的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分） 设动点P 到点A(－l ，0)和B(1，0)的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ，且存在常数λ(0＜λ＜1)，使得d 1d 2 sin 2θ＝λ． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM ·ON ＝0，其中点O 为坐标原点． 22．（本小题满分14分） 设正整数数列{a n }满足：a 2＝4，且对于任何n ∈N *，有n n n n a n n a a a 1211111211++-++++＜＜．（1）求a 1，a 3；（2）求数列{ a n }的通项a n ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．B 11．B 12．B 二、填空题 13．[5)+，∞ 14．4 15．2 16．B D ， 三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <，由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1k =．（2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩ ≤由()18f x >+得，当102x <<12x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 18．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos θ=， 因为02θπ≤≤，所以6θπ=． 又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA的中点，02y =， 所以点P的坐标为022x π⎛-⎝．又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 462x π⎛⎫-=⎪⎝⎭． 因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =， 所以~(30.3)B ξ，，故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则 ()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=．20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点，所以1111()32OD AA BB CC =+==．则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥． 1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1A C ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC =⇒=+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为2BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH =∠， 即：所求二面角的大小为30．（3）因为2BH =，所以11A 2222211121(12)233222B AAC C AA C C V S BH -==+=．1112211111212A B C A BC A B C V S BB -===△．所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=．解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量． 因为0OC n =，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =--，，，(101)BC =，，， 设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则则0AB m =，0BC m =得：200y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)m =-，，． 显然，(110)l =，，为平面11AAC C 的一个法向量．则cos 2m l m l m l===⨯，，结合图形可知所求二面角为锐角． 所以二面角1B AC A --的大小是30． （3）同解法一．21．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上． 即2111101λλλλλ-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，1x所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--．于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．由①②知，1223λ<≤． 解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以12λ=；②当12x x ≠时，22110222211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-；由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 220001(1)21x x x λλ==+---．所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<， 23λ<<23λ<． 22．解：（1）据条件得1111112(1)2n nn n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ ① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =．当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭， 解得3810a <<，所以39a =．（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++-因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，． 11k -≥，所以(]1011k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤．故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．（2）方法二：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a k a k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数， 则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③ 又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k+++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+++≥，所以4321221(1)11k k k ka k k k k k +++=+--+-+≥．又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k ++≥ ④据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅰ卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 一.选择题：本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.化简()2241ii ++的结果是（ ）A.2i +B.2i -+C.2i -D.2i --2.321lim 1x x x x →--（ ） A.等于0B.等于1C.等于3D.不存在3.若tan 34πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） A.2-B.12-C.12D.24.已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） A.4B.5C.6D.75.若02x π<<，则下列命题中正确的是（ ）A.3sin x x π<B.3sin x x π>C.224sin x x π<D.224sin x x π>6.若集合{}0,1,2M =，(){},210210,,N x y x y x y x y M =-+≥--≤∈且，则N 中元素的个数为（ ） A.9B.6C.4D.27.如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H .则以下命题中，错误．．的命题是（ ）A.点H 是1A BD △的垂心B.AH 垂直平面11CB DC.AH 的延长线经过点1CD.直线AH 和1BB 所成角为45°8.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）A.214h h h >>B.123h h h >>C.324h h h >>D.241h h h >>9.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （ ） A.必在圆222x y +=内 B.必在圆222x y +=上 C.必在圆222x y +=外D.以上三种情形都有可能10.将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ）A.19B.112C.115D.11811.设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） A.15-B.0C.15D.512.设p ：()2e ln 21x f x x x mx =++++在()0,+∞内单调递增，q ：5m ≥-，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学 第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题.请把答案填在答题卡上.13.设函数()()24log 13y x x =+-≥，则其反函数的定义域为______.14.已知数列{}n a 对于任意p ，*q N ∈，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a =______. 15.如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =uu u r uuu r ，AC nAN =uuu r uuu r，则m n +的值为______.16.设有一组圆k C ：()()()224*132x k y k k k N -++-=∈.下列四个命题： A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不．相交 D.所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）三.解答题：本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数()()()21021xc cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩在区间()0,1内连续，且()298f c=. （1）求实数k 和c 的值； （2）解不等式()18f x >+. 18.如图，函数()2cos ,02y x x R πωθθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭剟的图象与y轴交于点(，且在该点处切线的斜率为2-.（1）求θ和ω的值； （2）已知点,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是该函数图象上一点，点()00,Q x y 是PA 的中点，当02y =，0,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求0x 的值.19.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为0.6，0.5，0.75.（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望.20.如图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC .已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=︒，14AA =，12BB =，13CC =.（1）设点O 是AB 的中点，证明：//OC 平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积.21.设动点P 到点()1,0A -和()1,0B 的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数()01λλ<<，使得212sin d d θλ=.（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使0OM ON ⋅=uuu r uuu r，其中点O 为坐标原点.22.设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n N ∈，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+. （1）求1a ，3a ；（2）求数列{}n a 的通项n a .。
2007年全国高中数学联赛试题及解答
2 3 9．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，以顶点 A 为球心， 为半径作一个球，则球面与正方 3 体的表面相交所得到的曲线的长等于 ． 10．已知等差数列{an}的公差 d 不为 0，等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数．若 a1＝d，b1＝d2， 2 2 a2 1＋a2＋a3 且 是正整数，则 q 等于 ． b1＋b2＋b3
2007 年全国高中数学联赛试卷
2007．10．18．
2007 年全国高中数学联赛一试试卷
(考试时间：10 月 14 日上午 8∶00——9∶40)
一、选择题(本题江分 36 分，每小题 6 分)： 1．如图，在正四棱锥 P－ABCD 中，∠APC＝60° ，则二面角 A－PB－C 的平 面角的余弦值为 A． 1 7 B．－ 1 7 C．
2007 年全国高中数学联赛试卷
2007．10．18．
2007 年全国高中数学联赛一试解答
(考试时间：10 月 14 日上午 8∶00——9∶40)
一、选择题(本题江分 36 分，每小题 6 分)： 1．如图，在正四棱锥 P－ABCD 中，∠APC＝60° ，则二面角 A－PB－C 的平面角的余弦值为 A． 1 7 B．－ 1 7 C． 1 2 D．－ 1 2
A．
B．
C．
D．
选 A． 解：设⊙O1、⊙O2 半径分别为 R、r(不妨设 R≥r＞0)，|O1O2|＝d． 若两圆内含，d＜R－r，则⊙P 与两圆都内切或与小圆外切与大圆内切，所求轨迹为两个以两圆圆心为 焦点的椭圆，当两圆圆心重合时，轨迹为圆；故 C 可以是动圆圆心轨迹； 当两圆外离， d＞R＋r， 若 R＞r， 动圆与两圆都外切或都内切， 所求轨迹为以两圆圆心为焦点的双曲线； 与一圆内切与另一圆外切时， 轨迹也为以两圆圆心为焦点的双曲线， 故 D 可以是动圆圆心轨迹； 当 R＝r 时， 与两圆都外切或都内切的动圆圆心轨迹为两圆圆心连线的中垂线，与一圆内切与另一圆外切时，轨迹为以 两圆圆心为焦点的双曲线，故 B 可以是动圆圆心轨迹． A 中的椭圆与双曲线焦点不同，从而没有动圆圆心轨迹为 A 中情形． 事实上，当两圆相交时，若 R＞r，动圆与两圆同时外切或内切，所求轨迹为以两圆圆心为焦点的双曲 线，与一圆内切与另一圆外切，轨迹为椭圆，但双曲线与椭圆的焦点相同；若 R＝r，则轨迹为椭圆及一条 直线．当两圆内切时，所求轨迹为一个以两圆圆心为焦点的椭圆与经过两圆圆心的直线；当两圆外切时， 若 R＞r，动圆与两圆都外切或都内切，所求轨迹为一个以两圆圆心为焦点的双曲线，与一圆外切与另一圆 内切，轨迹为经过两圆圆心的直线；若 R＝r，轨迹为两条直线；即 A 不能成为动圆圆心轨迹． 6．已知 A 与 B 是集合{1，2，3，„，100}的两个子集，满足：A 与 B 的元素个数相同，且 A∩B 为空 集．若 n∈A 时，总有 2n＋2∈B，则集合 A∪B 的元素个数最多为 A．62 B．66 C．68 D．74 选 B． 解：由 2n＋2≤100，知 n≤49．即若 n∈A，则 n≤49． 把不超过 49 的数分组：{2k－1，4k}(k＝1，2，„，12 其中 2(2k－1)＋2＝4k≤50)，(12 组，24 个数) {2k－1}(k＝13，14，„，25 其中 50≤4k≤100)，(13 组，13 个数) {2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38} (余下 4k－2 型数，配对 4 组，8 个数) {26}，{34}，{42}，{46}(4 组，4 个数) 共有 33 组，若 A 在小于 49 的正整数中取出的数超过 34 个，则必有两个数同组，此时 A∩B≠．故 n ≤33．又取 A＝{2k－1|k∈N*，k≤25}∪{2，10，14，18，26，34，42，46}，B＝{2n＋2|n∈A}，满足题意， 此时|A∪B|＝66． 二、填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分) 7．在平面直角坐标系内，有四个定点 A(－3，0)，B(1，－1)，C(0，3)，D(－1， y 3)及一个动点 P，则|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|的最小值为 ． 填 3 2＋2 5． 解：显然，如图可知，|PA|＋|PC|≥|AC|，|PB|＋|PD|≥|BD|，于是|PA|＋|PB|＋|PC| ＋|PD|≥|AC|＋|BD|＝3 2＋2 5． → → 8． 在∆ABC 和∆AEF 中， B 是 EF 中点， AB＝EF＝1， BC＝6， CA＝ 33， 若 AB · AE
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-江西卷
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简224(1)i i ++的结果是（ ） Ａ．2i +Ｂ．2i -+Ｃ．2i -Ｄ．2i --2．321lim1x x x x →--（ ） Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．24．已知n⎛⎝展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ） Ａ．4Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．75．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ ）Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x <Ｄ．224sin πx x >6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（ ） Ａ．9Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A B D 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．A H 垂直平面11C B D Ｃ．A H 的延长线经过点1C Ｄ．直线A H 和1B B 所成角为458．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >>Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>9．设椭圆22221(0)x y a bab+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c，，方程20a x b x c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）11C1B。
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-江西卷
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}01M =，，{}012345I =，，，，，，则I M ð为（ ） Ａ．{}01，Ｂ．{}2345，，，Ｃ．{}02345，，，，Ｄ．{}12345，，，，2．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为（ ） Ａ．π4Ｂ．π2Ｃ．πＤ．2π3．函数1()lg4xf x x -=-的定义域为（ ） Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞，，Ｄ．(1](4)-∞+∞，， 4．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ）Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．135．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（ ）Ａ．2- Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．26．一袋中装有大小相同，编号分别为12345678，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为（ ） Ａ．132Ｂ．164Ｃ．332Ｄ．3647．连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ）Ａ．1-Ｂ．32Ｃ．1+Ｄ．32+8．若π02x <<，则下列命题正确的是（ ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x <Ｄ．3sin πx x >9．四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，AD =在外接球面上两点A B ，间的球面距离是（ ） Ａ．π6Ｂ．π3Ｃ．2π3Ｄ．5π610．设32:()21p f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，4:3q m ≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >> Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>12．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ）Ａ．必在圆222x y +=上 Ｂ．必在圆222x y +=外 Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学 第II 卷注意事项：第II 卷2页，须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=．15．已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(31)，，则函数1()y f x -=的图象必经过点．16．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 垂直平面11CB DＣ．二面角111C B D C --Ｄ．点H 到平面1111A B C D 的距离为34其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）111B已知函数21(0)()21(1)x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤满足29()8f c =．（1）求常数c 的值； （2）解不等式()18f x >+． 18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA的中点，当0y =0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值． 19．（本小题满分12分）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求AB 与平面11AAC C 所成的角的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设{}n a 为等比数列，11a =，23a =． （1）求最小的自然数n ，使2007n a ≥； （2）求和：212321232n nn T a a a a =-+--．1122．（本小题满分14分）设动点P 到点1(10)F -，和2(10)F ，的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ=∠，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）如图，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A B ，两点．问：是否存在λ，使1FAB △是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西文）参考答案一、选择题1．Ｂ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ａ 6．Ｄ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｃ 11．Ａ 12．Ｃ 二、填空题13．1 14．7 15．(14)， 16．A ，B ，C 三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <； 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． （2）由（1）得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤由()18f x >+得， 当102x <<时，解得142x <<， 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．18．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+中得cos 2θ=， 因为π02θ≤≤，所以π6θ=．由已知πT =，且0ω>，得2π2π2T πω===． （2）因为点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA的中点，0y =所以点P的坐标为0π22x ⎛-⎝． 又因为点P 在π2cos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上，且0ππ2x ≤≤，所以05πcos 462x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 07π5π19π4666x -≤≤，从而得05π11π466x -=或05π13π466x -=， 即02π3x =或03π4x =．19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件1A ，2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件1B ，2B ，1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =． （1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为1212()1()10.40.50.8P A A P A A +=-=-⨯=；（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件A B ，， 则11()()0.42P A P A B ==，22()()0.45P B P A B ==． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为()0.420.550.580.450.492P AB AB +=⨯+⨯=．解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为11211221221212()0.492P A B A A B A B A A B A A B B +++=．20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ． 则11OD BB CC ∥∥， 因为O 是AB 的中点，2CA所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥，1C D ⊂平面111C B A ，且OC ⊄平面111C B A则OC ∥面111A B C ．（2）解：如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ， 作22BH A C ⊥于H ，因为平面22A BC ⊥平面11AAC C ，则BH ⊥面11AAC C ．连结AH ，则BAH ∠就是AB 与面11AAC C 所成的角．因为2BH =，AB =sin BH BAH AB ==∠ AB 与面11AAC C所成的角为BAH =∠ （3）因为BH =，所以222213B AA C C AA C C V S BH -=．1121(12)23222=+=． 1112211111212A B C A BC A B C V S BB -===△． 所求几何体的体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=． 解法二：（1）证明：如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量．由0OC n =且OC ⊄平面111A B C 知OC ∥平面111A B C ．1x（2）设AB 与面11AAC C 所成的角为θ． 求得1(004)A A =，，，11(110)AC =-，，． 设()m x y z =，，是平面11AAC C 的一个法向量，则由11100A A m A C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩得00z x y =⎧⎨-=⎩， 取1x y ==得：(110)m =，，． 又因为(012)AB =--，， 所以，cos m <，m AB AB m AB>==-sin θ= 所以AB 与面11AAC C 所成的角为． （3）同解法一21．解：（1）由已知条件得112113n n n a a a --⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为67320073<<，所以，使2007n a ≥成立的最小自然数8n =． （2）因为223211234213333n n nT -=-+-+-，…………① 2234212112342123333333n n n n nT --=-+-++-，…………② +①②得：2232124111121333333n n n nT -=-+-+--211231313n n -=-+ 22333843n nn --=所以22223924163n n nnT +--=．22．解：（1）在12PF F △中，122FF =22221212121242cos2()4sin d d d d d d d d θθ=+-=-+212()44d d λ-=-12d d -=2的常数）故动点P 的轨迹C 是以1F ，2F为焦点，实轴长2a =的双曲线．方程为2211x y λλ-=-． （2）方法一：在1AF B △中，设11AF d =，22AF d =，13BF d =，24BF d =． 假设1AF B △为等腰直角三角形，则12343421323422πsin 4d d a d d a d d d d d d λ⎧⎪-=⎪-=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩①②③④⑤ 由②与③得22d a =，则1343421)d a d d d a a=⎧⎪=⎨⎪=-=⎩ 由⑤得342d d λ=，21)2a λ=(8)2λλ--=，(01)λ=，故存在1217λ-=方法二：（1）设1AF B △为等腰直角三角形，依题设可得21212212122πsin π81cos 4πsin 24AF AF AF AF BF BF BF BF λλλλ⎧⎧===⎪⎪⎪⎪-⇒⎨⎨⎪⎪=⎪=⎪⎩⎩所以12121πsin 1)24AFF S AF AF λ==△，121212BF F S BF BF λ==△．则1(2AF B S λ=△．①由1212221AF F BF F S AF S BF ==△△，可设2BF d =，则21)AF d =，1(2BF AB d ==．则122211(222AF B S AB d ==△．②由①②得2(22d λ=．③根据双曲线定义122BF BF a -==可得，1)d =． 平方得：221)4(1)d λ=-．④ 由③④消去d 可解得，(01)λ=， 故存在1217λ-=。
2007年高考数学(理科)试卷及答案(江西卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ） S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V ＝34πR 3 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 P n （k ）＝C k n P k（1一P ）kn -一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．化简2)1(42i i++的结果是 A ．2＋i B ．－2＋iC ．2－iD ．－2－i2．1lim 231--→x x x xA ．等于0B ．等于lC ．等于3D ．不存在 3．若tan （4π一α）＝3，则cot α等于 A ．－2 B ．－21C ．21D ．2 4．已知（x ＋33x）n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于A ．4B ．5C ．6D ．7 5．若0＜x ＜2π，则下列命题中正确的是 A ．sin x ＜x π3B ．sin x ＞x π3C ．sin x ＜224x πD ．sin x ＞224x6．若集合M ＝{0，l ，2}，N ＝{（x ，y ）|x －2y ＋1≥0且x －2y －1≤0，x ，y ∈M}，则N 中元素的个数为A ．9B ．6C ．4D ．27．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题中，错误．．的命题是A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是A ．h 2＞h 1＞h 4B ．h 1＞h 2＞h 3C ．h 3＞h 2＞h 4D ．h 2＞h 4＞h 19．设椭圆)0(12222＞＞b a by a x =+的离心率为e ＝21，右焦点为F （c ，0），方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P （x 1，x 2） A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为A ．91B ．121C ．151D ．181 11．设函数f （x ）是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f （x ）在x ＝5处的切线的斜率为A ．－51B ．0C ．51D ．512．设p ：f （x ）＝e x ＋ln x ＋2x 2＋mx ＋l 在（0，＋∞）内单调递增，q ：m ≥－5，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷注意事项：二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上。
普通高等学校招生全国统一考试数学卷江西理含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共150分．第I 卷考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C P P -=-其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．化简224(1)ii ++的结果是（ ）Ａ．2i +Ｂ．2i -+Ｃ．2i -Ｄ．2i --2．321lim 1x x x x →--（ ）Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（ ） Ａ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．24．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．75．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（ ）Ａ．9 Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．27．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 垂直平面11CB DＣ．AH 的延长线经过点1C Ｄ．直线AH 和1BB 所成角为45111B8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是（ ）Ａ．214h h h >> Ｂ．123h h h >>Ｃ．324h h h >>Ｄ．241h h h >>9．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） Ａ．必在圆222x y +=内 Ｂ．必在圆222x y +=上 Ｃ．必在圆222x y +=外Ｄ．以上三种情形都有可能10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．11811．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．512．设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学 第II 卷注意事项： 第II 卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为．14．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a =．15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若A B m A M =，AC nAN =，则m n +的值为．16．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数21(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值；（2）解不等式()18f x >+． 18．（本小题满分12分）如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA的中点，当0y =0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值． 19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望． 20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （2）求二面角1B AC A --的大小； （3）求此几何体的体积． 21．（本小题满分12分）设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使OM ON =0，其中点O 为坐标原点．22．（本小题满分14分）设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+． （1）求1a ，3a ；（3）求数列{}n a 的通项n a ．2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一、选择题 1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D8．A9．A10．B11．B 12．B 二、填空题13．[5)+，∞ 14．4 15．2 16．B D ，三、解答题17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =．C11y又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()1f x >得，当102x <<12x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 18．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos 2θ=， 因为02θπ≤≤，所以6θπ=． 又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （2）因为点02A π⎛⎫⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA的中点，0y =所以点P的坐标为022x π⎛-⎝． 又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 46x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++ 0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =， 所以~(30.3)B ξ，，故30.30.9E np ξ==⨯=．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=， 2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=， 3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯=． 20．解法一：（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥． 因为O 是AB 的中点， 所以1111()32OD AA BB CC =+==． 则1ODC C 是平行四边形，因此有1OC C D ∥．1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ，则OC ∥面111A B C ．（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ． 作22BH A C ⊥于H ，连CH ．因为1CC ⊥面22BA C ，所以1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1A C ．又因为AB =BC =222AC AB BC AC ==+．所以BC AC ⊥，根据三垂线定理知CH AC ⊥，所以BCH ∠就是所求二面角的平面角．因为2BH =，所以1sin 2BH BCH BC ==∠，故30BCH =∠，即：所求二面角的大小为30．（3）因为2BH =，所以 222211121(12)233222B AAC C AA C C V S BH -==+=． 1112211111212A B C A BC A B C V S BB -===△． 所求几何体体积为221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+=．解法二：（1）如图，以1B 为原点建立空间直角坐标系，则(014)A ，，，(002)B ，，，(103)C ，，，因为O 是AB 的中点，所以1032O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．易知，(001)n =，，是平面111A B C 的一个法向量． 因为0OC n =，OC ⊄平面111A B C ，所以OC ∥平面111A B C ．（2）(012)AB =--，，，(101)BC =，，， 设()m x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，则 则0AB m =，0BC m =得：20y z x z --=⎧⎨+=⎩取1x z =-=，(121)m =-，，． 显然，(110)l =，，为平面11AAC C 的一个法向量．则cos 2m l m l m l===⨯，，结合图形可知所求二面角为锐角．11A 21x所以二面角1B AC A --的大小是30． （3）同解法一．21．解法一：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-， 2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==<（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =方程为：2211x y λλ-=-． （2）设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．即211111012λλλλλ--=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以12λ-=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．23λ<． 解法二：（1）同解法一（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以λ=； ②当12x x ≠时，221102202211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩． 又001MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-； 由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 220001(1)21x x x λλ==+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=-因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，23λ<<23λ<． 22．解：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，解得3810a <<，所以39a =．（2）方法一：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++-因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，． 11k -≥，所以(]1011k ∈-，． 又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤．故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．（2）方法二：由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭ 即21111(1)122k k k k k a k a k+++++<+<+ ② 由②左式，得2111k k k k k a +-+-<，即321(1)k k a k k k +-<+-，因为两端为整数， 则3221(1)1(1)(1)k k a k k k k k +-+--=+-≤．于是21(1)k a k ++≤ ③又由②右式，22221(1)21(1)1k k k k k k k k a k k +++-+-+<=． 则231(1)(1)k k k a k k +-+>+．因为两端为正整数，则2431(1)1k k k a k k +-+++≥，所以4321221(1)11k k k ka k k k k k +++=+--+-+≥．又因2k ≥时，1k a +为正整数，则21(1)k a k ++≥ ④据③④21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立． 由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．。
高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案
2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案一、填空题1、化简++++++344312332112211…=++20162017201720161.201711-解：由111)1(1)1).(1(1)1(11+-=+-+=+++=+++k kk k k k k k k k kk k k 可得.2、若sinx+cosx=22,825cos sin 33=+x x . 解:4121)cos (sin cos sin 2-=-+=x x x x ,82582342)cos (sin cos sin 3)cos (sin cos sin 333=+=+-+=+x x x x x x x x 3、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是 3 ．解：反向考虑，边长为a 的正方体（体积为a 3）,其最大内接正四面体顶点，由互不共棱的正方体顶点组成，其体积为.3a 13,3333==，则令a a 4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率=e 2221或． 解：建立坐标系，设椭圆的方程为),0,(),0,(),0(12,12,12222b B a A b a b y a x ±=±=>>=+则顶点焦点)0,(2,1c F ±=，准线方程为,,2222,1b a c ca l -=±=其中据对称性，只要考虑两种情况：（1）、上，的对称点在右准线关于c a x c F a A 221)0,()0,(=-由21,22===+-a c e c c a a 得；（2）、 上，的对称点在右准线关于ca x c F B 221)0,()b ,0(=由横坐标.22,202===+a c e c c a 得 5、函数14342++-=x x y 的最小值是5．解：首先，.06414342≥+-=++->x x x x y 又由),14(9)4(22+=+x x y 即0)9(8064,0)9(8202222≥--=∆=-+-y y y xy x 据判别式，即,52≥y 因y>0,则,5≥y 此值在求解）（也可以令时取得θtan 21.51==x x . 6、设+++=++22102)1(x a x a a x x n…nn x a 22+，则+++642a a a …=+na 2213-n ．解：令x=0，得a 0=1,再令x=1，得a 0+ a 1+ a 2+…+ a 2n =n3,又令x=-1，得a 0- a 1+ a 2+…+ a 2n =1，所以2132642-=++++n na a a a Λ.7、将全体真分数排成这样的一个数列}{n a ：,43,42,41,32,31,21…，排序方法是：自左至右，先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017项=2017a 651． 解：按分母分段，分母为k+1的分数有k 个，因208026564,201626463=⨯=⨯，因2017属于第64段，则2017a 应是分母为65的第一数，即651. 8、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列}{n a ，若2017=n a ，则n=120.解：数字和为10的两位数ab 有9个；数字和为10的三位数abc ：首位数字a 可取1，2，…，9中任意一个值，当a 取定后，b 可取0，1，…，10-a 这11-a 个数字的任意一个值，而在a,b 确定后，c 的值就唯一确定，因此三位数的个数是54)11(91=-∑=a a ；数字和为10的四位数abc 1：a+b+c=9的非负整数解（a,b,c ）的个数是55211=C ，数字和为10的四位数abc 2共有2个即2008和2017，故在1，2，…，2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个. 二、解答题（共70分）9、（本题满分15分）数列}{n a ，}{n b 满足：111==b a ，n n n b a a 21+=+，)1(1≥+=+n b a b n n n ．证明：（1）、21212<--n n b a ，222>n n b a ；（2）、2211-<-++nn n n b ab a ． 证明：)2()(2)2(222222121n n n n n n n n b a b a b a b a --=+-+=-++…①由此递推得n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a )1()2()1()2()(2)2(221211212121121122-=--==--=+-+=--------Λ…②因此02,022122122222<->---n n n n b a b a 即有,2,2221212><--nn n n b ab a 据①得22212122n n n n b a b a -=-++…③，由条件知，{}{},,n n b a 皆为严格递增的正整数数列，,0,011>>>>++n n n n b b a a 所以nn n n b a b a 212111+<+++…④nn b b 111<+…⑤ 将③④⑤相乘得2211-<-++nn n n b ab a 10、（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数a ，b ，c 使得33b a -，33c b -，33a c -均是2017的倍数；证明：222c b a ++必是c b a ++的倍数． 证：因）（即2233a )(2017,)(2017b ab b a b a++--；又由,20170<-<b a 注意2017为质数，则a-b 与2017互质，因此）（ab b ++22a2017…①同理有）（bc c ++22b 2017…②）（ac c ++22a 2017…③，根据②③，]b a [20172222）（）（bc c ac c ++-++，即）（c b b a ++-a )(2017，从而）（c b ++a 2017，因正整数a,b,c 皆小于2017，得a+b+c<3*2017,因此a+b+c=2017或2*2017.又注意222a a cbc b ++++与同奇偶，故只要证）（222a 2017cb ++，将①改写为）（则知））（ac ac c b --+++22b 2017],ba a [2017…④，同理有）（bc -2a 2017，）（ab -2c 2017…⑤，将①②③④⑤式相加，得）（222a 32017c b ++于是）（222a 2017c b ++，从而）（222a)(c b c b a ++++. 11、（本题满分20分）设P =｛21，22，23，…｝是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数n 能够表示为集合P 中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数n 具有P 结构．证明：每个自然数n 都具有P 结构．证明：首先，我们可以将前十个自然数分别表示为： 再考虑区间(]224,3中的数，其中除了16=42之外，其余的数皆可表示为)61(42≤≤-=k k n 形式；并且注意到，在1，2，3，4，5，6中每个数的ｐ结构表示中，凡是表示式中42参与时，42皆以正项形式出现，于是由)61(42≤≤-=k k n 可知，此时42项便抵消（不会出现242⨯的项）；因此，区间(]224,3中的数皆具有P 结构表示，也就是24≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为42，而凡是含有42的表示中，42皆以正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得2m ≤的每个数都具有P结构表示，且其中最大项至多为2m ，而凡是含有2m 表示中，2m 皆以正项形式出现（其中4≥m ），对于区间(]22)1(,+m m 中的数，除了最大数可以直接表示为2)1(+m 之外，其余元素n 皆可表示为：)21()1(2m k k m n ≤≤-+=，由归纳假设，22,4m m m <≥且，并且此k 具有P 结构表示，其中每项皆2m ≤，因此数n 具有P 结构表示，故由归纳法，即知所证的结论成立.12、（本题满分20分）如图，⊙1O ，⊙2O 相交于A ，B 两点，CD 是经过点A 的一条线段，其中，点C ，D 分别在⊙1O 、⊙2O 上，过线段CD 上的任意一点K ，作BD KM//，BC KN //，点M ，N 分别在BC ，BD 上，又向BCD ∆形外方向，作BC ME ⊥，BD BF ⊥，其中E 在⊙1O 上，F在⊙2O 上；证明：KF KE⊥．证明：设⊙1O 、⊙2O 的半径分别为21,r r ，由于ABEC 共圆，ABFD 共圆，得,sin 2,221BAD r BD BAC sim r BC ∠=∠=而,r ,18021r BD BC BAD BAC==∠+∠︒所以于是 C BO 1∆∽D BO 2∆，根据平行关系得CMK ∆∽KND ∆∽CBD ∆,所以KMBN r BD BC ND NK MK MC 且四边形,r 21===为平行四边形，BN=MK,延长垂线FN 交⊙2O 于1F ,因,r 21r BD BC =则⊙1O 上优弧BEC 与⊙2O 上BD 所对的优弧B DF 1的度数相等，又因M,N 分别是两圆对应弦CB 、BD 上的点，且所以,r 21r BD BC MK CM BN CM ===⊿CME ∽⊿N 1F B, ⊿BME ∽⊿N 1F D,从而⊿BEC ∽⊿D 1F B,由⊿BEM ∽⊿N 1F D ∽FBN ∆,得FN BN BM EM =,注意BM=KN,BN=KM,上式成为FNKMKN EM =,根据⊿CMK ∽⊿KND,得EMK KNF CMK FND EMC KND CMK ∆∴∠=∠︒=∠=∠∠=∠,,90,所以而∽FNK ∆,而,,BD FN BC EM⊥⊥又据条件.,,,//,//KF KE KM FN KN EM BC KN BD KM ⊥⊥◊由此所以。
2007年高考江西卷(文科数学)
2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（江西卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{0,1}M =，{012345}I =,,,,,，则I C M 为A ．{01},B ．{2345},,,C ．{02345},,,,D ．{12345},,,, 2．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 3．函数1()lg 4xf x x -=-的定义域为A ．(1,4)B ．[1,4)C ．(,1)(4,)-∞+∞D ．(,1](4,)-∞+∞4．若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于 A ．3- B ．13- C ．3 D ．135．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．26．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于．．．15的概率为 A ．132 B ．164 C ．332 D ．3647．连接抛物线24x y =的焦点F 与点(1,0)M 所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为A ．1-+．32-．1．32+8．若π02x <<，则下列命题中正确的是A ．3sin πx x <B ．3sin πx x >C ．224sin πx x <D ．224sin πx x >9．四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且2CD =，AB =两点A B ，间的球面距离是A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π610．设p ：32()21f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，q ：43m ≥，则p 是q的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 设在内单调递增，，11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1h ，2h ，3h ，4h ，则它们的大小关系正确的是A ．214h h h >>B ．123h h h >>C ．324h h h >>D ．241h h h >>12．设椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12e =，右焦点为(,0)F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(0,0)O ，(1,1)B ，则AB AC ⋅= ．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= ． 15．已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 ．7．如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，则有下列四个命题 A ．点H 是1A BD ∆的垂心 B ．AH 垂直平面11CB DC ．二面角111C BD C --D ．点H 到平面1111A B C D 的距离为34其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数210()21xc cx x cf x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+≤<⎩，在区间(0,1)内连续，且29()8f c =． （Ⅰ）求实数k 和c 的值；（Ⅱ）解不等式()18f x >+． 18．（本小题满分12分）如图，函数2cos()y x ωθ=+（x R ∈，π02θ≤≤）的图象与y轴交于点，且在该点处切线的斜率为2-． （Ⅰ）求θ和ω的值；（Ⅱ）已知点(,0)2A π，点P 是该函数图象上一点，点(Q x 是PA 的中点，当02y =0[,]2x ππ∈时，求0x 的值． 19．（本小题满分12分）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成．苗．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9． （Ⅰ）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率； （Ⅱ）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率． 20．（本小题满分12分）111右图是一个直三棱柱（以111A B C 为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知11111A B B C ==，11190A B C ∠=，14AA =，12BB =，13CC =． （Ⅰ）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面111A B C ； （Ⅱ）求AB 与平面11AAC C 所成的角的大小； （Ⅲ）求此几何体的体积．21．（本小题满分12分）设{}n a 为等比数列，11a =，23a =． （Ⅰ）求最小的自然数n ，使2007n a ≥； （Ⅱ）求和：212321232n nn T a a a a =-+--． 22．（本小题满分14分）设动点P 到点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离分别为1d 和2d ，122F PF θ=∠，且存在常数λ（01λ<<），使得212sin d d θλ=．（Ⅰ）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（Ⅱ）如图，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点．问：是否存在λ，使1F AB ∆是以点B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．ACOBA 1B 1C 1。
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二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试卷2007年9月23日上午（8∶30-11∶00）考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分．2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答．3、解题书写不要超出装订线．4、不能使用计算器．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1、,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ）．A 、a b c >>；B 、 b c a >>；C 、b a c >>；D 、a c b >>；2、设 ()11xf x x+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +=== 则()2007f x =（ ）．A 、11x x +-； B 、 11x x -+； C 、x ； D 、1x-； 3、设α为锐角，x =y 2sin cos sin cos z αααα=+，则,,x y z 的大小顺序为（ ）．A 、x y z ≥≥；B 、 x z y ≥≥；C 、z x y ≥≥；D 、z y x ≥≥；4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）.A 、24；B 、36；C 、72；D 、84.52，则其侧面与底面的夹角为( ).A 、3π； B 、4π； C 、6π； D 、12π.6、正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为A B CDk 的等差数列，则并集1759A A 中的元素个数为（ ）．A 、119B 、120；C 、151；D 、154.二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7、若实数,x y 满足：1031031031031,125263536x y x y+=+=++++，则x y += .8、抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为 ．9、计算01sin10= . 10、过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为 .11、把一个长方体切割成k 个四面体，则k 的最小值是 .12、将各位数码不大于3的全体正整数m 按自小到大的顺序排成一个数列{}n a ， 则2007a = ．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、数列{}n a 满足：()()111,211n n n na a a n na +==++；令12,k k x a a a =+++ 12111,1,2,k k y k a a a =+++= ；求 1nk k k x y =∑．14、 如图，ABC ∆的外心为O ，E 是AC 的中点，直线OE 交AB 于D ，点,M N 分别是BCD ∆的外心与内心，若2AB BC =，证明：DMN ∆为直角三角形．15、若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．二○○七年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答2007年9月23日上午（8∶30-11∶00）考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分．2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答．3、解题书写不要超出装订线．4、不能使用计算器．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1、,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ）A 、a b c >>；B 、 b c a >>；C 、b a c >>；D 、a c b >>；答案：C ；解：若a b >，则22222a c b c bc +>+≥，不合条件，排除,A D ，又由()222a c c b c -=-，故a c -与b c -同号，排除B ；且当b a c >>时，222a c bc +=有可能成立，例如取()(),,3,5,1a b c =，故选C ． 2、设 ()11xf x x+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +=== 则()2007f x =（ ）A 、11x x +-； B 、 11x x -+； C 、x ； D 、1x-； 答案：B ；解：()()1121111,11f x f x f x x f x++===---， ()()323423111,111f f x f x f x x f x f ++-====-+-，据此，()()414211,1n n x f x f x x x+++==--，()()4341,1n n x f x f x x x +-==+，因2007为43n +型，故选B . 3、设α为锐角，x =y =2sin cos sin cos z αααα=+，则,,x y z 的大小顺序为（ ）A 、x y z ≥≥；B 、 x z y ≥≥；C 、z x y ≥≥；D 、z y x ≥≥；答案：A；解：sin cos 1sin cos x y αααα+=≥=+，2sin cos sin cos z y αααα=≤==+，故x y z ≥≥.4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（ ）.A 、24；B 、36；C 、72；D 、84.答案：D ；解：选两色有24C 种，一色选择对角有2种选法，共计24212C =种；选三色有34C 种，其中一色重复有13C 种选法，该色选择对角有2种选法，另两色选位有2种，共计432248⨯⨯⨯=种；四色全用有4!24=种（因,,,A B C D 为固定位置），合计84种.52，则其侧面与底面的夹角为( ).A 、3π； B 、4π； C 、6π； D 、12π.答案：A ；解：设底面正方形边长为1，棱锥的高为h ，侧面三角形的高为l ，则AC2l =，则sin 2h PMH l ∠==，3PMH π∠=.6、正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中的元素个数为（ ）．A 、119B 、120；C 、151；D 、154.答案：C ；解：用k A 表示集k A 的元素个数，设1k A n =+，由20071nk =+，得2006n k=，于是172006111917A =+=，59200613559A =+=，175910032006131759A A A ==+=⨯ ；从而 AB CD175917591003119353151A A A A A =+-=+-= ．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7、若实数,x y 满足：1031031031031,125263536x y x y+=+=++++，则x y += .答案：1010332356+++； 解：据条件，10102,3是关于t 的方程33156x y t t +=++的两个根，即()233560t x y t -+--+= 的两个根，所以1010332356x y +=+--；1010332356x y +=+++．8、抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为 ．22y px =，则顶点及焦点坐标为()0,0,,02p O F ⎛⎫⎪⎝⎭，若设点M 坐标为(),M x y ，则22222222242MO x y x px p MF p x px x y ++⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭()222222224313234444x px x px px x px x p x px ++=≤=+++++，故MO MF ≤（当()(),,M x y p p =或()(),,M x y p p =时取等号）9、计算01sin10= . 答案：4.解：001sin10cos10-=()000000012cos102sin 3010241sin10cos10sin 202⎛⎫ ⎪-⎝⎭==． 10、过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为 .答案：2214536x y +=；解：设直线l 上的点为(),9P t t +，取()13,0F -关于直线l 的对称点()9,6Q -，据椭圆定义，12222a PF PF PQ PF QF =+=+≥== ，当且仅当2,,Q P F 共线，即22PF QF K K =，也即96312t t +=--时，上述不等式取等号，此时5t =-， 点P 坐标为()5,4P -，据3,c a ==得，2245,36a b ==，椭圆的方程为2214536x y +=. 11、把一个长方体切割成k 个四面体，则k 的最小值是 .答案：5；解：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明4个不够，若为4个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积12≤，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高1≤，故四个不同的四面体的体积之和112411323⎛⎫≤⨯⨯⨯=< ⎪⎝⎭，不合；所以5k ≥，另一方面，可将单位正方体切割成5个四面体； 例如从正方体1111ABCD A BC D -中间挖出一个四面体11A BC D ，剩下四个角上的四面体，合计5个四面体.12、将各位数码不大于3的全体正整数m 按自小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则2007a = ．答案：133113； 解：简称这种数为“好数”，则一位好数有3个；两位好数有3412⨯=个；三位好数有23448⨯=个；…，k 位好数有134k -⨯个；1,2,k = ，记1134nk n k S -==∑，因562007S S <<，52007984S -=，即第2007个好数为第984个六位好数；而六位好数中，首位为1的共有541024=个，前两位为10,11,12,13的各有44256=个，因此第2007个好数的前两位数为13，且是前两位数为13的第9843256216-⨯=个数；而前三位为130,131,132,133的各64个，则2007a 的前三位为133，且是前三位数为133的第21636424-⨯=个数；1A而前四位为1330,1331,1332,1333的各16个，则2007a 的前四位为1331，且是前四位数为1331的第24168-=个数；则2007a 的前五位为13311，且是前五位数为13311的第844-=个数，则2007133113a =．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、数列{}n a 满足：()()111,211n n n na a a n na +==++；令12,k k x a a a =+++ 12111,1,2,k k y k a a a =+++= ；求 1nk k k x y =∑解：改写条件式为()11111n nn a na +-=+，则()()()112211111111111122n n n n n na na n a n a n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()121n n =-+=+，所以()11n a n n =+，111111111k kk i i i k x a i i k k ==⎛⎫==-=-= ⎪+++⎝⎭∑∑； ()2111111kk k kk i i i i i y i i i i a ======+=+=∑∑∑∑()()()()()121112623k k k k k k k k ++++++=； ()()()()22111121112233236nnk kk k n n n n n x y k k ==+++⎛⎫=+=+⋅ ⎪⎝⎭∑∑()()21311436n n n n +++=．14、 如图，ABC ∆的外心为O ，E 是AC 的中点，直线OE 交AB 于D ，点,M N 分别是B C D ∆的外心与内心，若2AB BC =，证明：DMN ∆为直角三角形.证：由于点,O M 皆在BC 的中垂线上，设直线OM 交BC 于P ，交M 于F ，则P 是BC 的中点，F 是 BC的中点; 因N 是BCD ∆的内心，故,,D N F 共线，且FP BC ⊥. 又 OE 是AC 的中垂线，则DC DA =，而, DF OE 为BDC ∠的内、外角平分线，故有OD DF ⊥，则OF 为M 的直径，所以，OM MF =，又因1122BNF BDC DBC ∠=∠+∠NBF =∠，则NF BF =. 作NH BD ⊥于H ，则有，()12DH BD DC BC =+- ()12BD DA BC =+-()1122AB BC BC BP =-==，且12N D H B D C F B P ∠=∠=∠，所以，Rt NDH Rt FBP ∆≅∆，故得 DN BF NF ==，因此，MN 是FOD ∆的中位线，从而MN ∥OD ，而OD DN ⊥，则MN DN ⊥.故DMN ∆为直角三角形．证二：记,,BC a CD b BD c ===，因DE 是AC 的中垂线，则A D C D b ==，由条件2b c a += ○1延长DN 交M 于F ，并记,FN e DN x ==，则FB FC F N e ===，对圆内接四边形BDCF 用托勒密定理得FC BD FB CD BC DF ⋅+⋅=⋅，即()e c e b a x e +=+○2，由○1、○2得()2ae a x e =+，所以x e =，即N 是弦DF 的中点，而M 为外心，所以MN DF ⊥，故DMN ∆为直角三角形．15、若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．解：称(),,,a b c d 为n 的数码组，则{},,,1,2,,9a b c d M ∈= ； 一、当数码组只含一个值，为(),,,,1,2,,9a a a a a = ，共得9个n 值； 二、当数码组恰含二个值,a b ，()a b >．()1、数码组为(),,,a a a b 型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个{}2,,9a ∈ ，b 可取1a -个值，则数码组个数为()92136a a =-=∑，对于每组(),,,a a a b ，b 有4种占位方式，于是这种n 有364144⨯=个．()2、数码组为(),,,a b b b 型，()a b >，据构成三角形条件，有2b a b <<，共得16个数码组，对于每组(),,,a b b b ，a 有4种占位方式，于是这种n 有16464⨯=个．()3、数码组为(),,,a a b b 型，()a b >，据构成三角形条件，有2b a b <<，同上得16个数码组，对于每组(),,,a a b b ，两个a 有246C =种占位方式，于是这种n 有16696⨯=个．以上共计1446496304++=个．三、当数码组恰含三个值,,a b c ，()a b c >>．()1、数码组为(),,,a b c c 型，据构成三角形条件，则有2c b a c <<<，这种(),,,a b c c 有14组，每组中,a b 有2412A =种占位方式，于是这种n 有1412168⨯=个．()2、数码组为(),,,a b b c 型，c b a b c <<<+，此条件等价于{}1,2,,9M = 中取三个不同的数构成三角形的方法数，有34组，每组中,a b 有2412A =种占位方式，于是这种n 有3412408⨯=个．()3、数码组为(),,,a a b c 型，c b a b c <<<+，同情况()2，有2434408A =个n 值．以上共计168408408984++=个n 值．四、,,,a b c d 互不相同，则有d c b a c d <<<<+，这种,,,a b c d 有16组，每组有4!个排法，共得164!384⨯=个n 值．综上，全部四位三角形数n 的个数为93049843841681+++=个．。