最新高三教案-第三讲函数与不等式问题的解题技巧 精品
数学解题技巧：函数不等式问题
第三讲 函数与不等式问题【考点透视】1．了解映射的概念，理解函数的概念．2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程．3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数． 4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质．5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质． 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 7．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力．8．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式．9．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题．10．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力． 11．能较灵活的使用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．12．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、分析几何等各部分知识中的使用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在使用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．【例题分析】 1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会使用用函数的定义域解决有关问题. 例1．已知函数()f x 的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅ 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.解：函数()f x =的定义域M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域N={}1,x x >-∴M ∩N={|11}x x -<<． 故选C例2.函数y ( )（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解：由20 4.log 20x x x >⎧⇒>⎨->⎩，故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3．函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是（ ） （A）,020xx y x ⎧≥⎪=< （B）2,00x x y x ≥⎧=< （C）,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（D）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.()121:2,.(),(0);22,0,()0.,020.yxy x x f x x y x y f x x xx y x --=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪∴=⎨⎪<⎩解又故选C.例4．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.解：()()11112,,.2222y x a x y a y x a x a =-∴=+∴=+=+与3y bx =+比较得a =6，1.2b =故填162；3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数分析式的求法来求复合函数的值.二是使用已知函数定义域求复合函数的定义域.例5．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解：22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数，又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-．故选Ｃ例6．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力. 解：由()()12f x f x +=,得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例7．已知函数()1,1xf x a z =-+，若()f x 为奇函数，则a =________.命题意图: 本题主要考查函数的分析式的求解以及函数的奇偶性使用. 常规解法：由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,0121121=+-++--x xa a .2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-x x x x a 应填21.巧妙解法：因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即.21,01210=∴=+-a a 应填21.点评：巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.例8． ()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.解 先证充分性：因为()f x ，()g x 均为偶函数， 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=，有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，所以 ()h x 为偶函数．反过来，若()h x 为偶函数，()f x ()g x 不一定是偶函数．如2()h x x =，(),f x x =2()g x x x =-，故选B.方法二：可以选取两个特殊函数进行验证． 故选B点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证． 5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例9．函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 ( )（A ） （B ） （C ） （D ）命题意图: 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.解：∵y=1+a x (0<a <1),∴()()1log (1),01a f x x a -=-<<.此函数图象是由函数()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的.故选A. 6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力. 例10．已知.|1|)(22kx x x x f ++-= （Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明.41121<+x x命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。
数学不等式与函数题解题技巧和思路分享
数学不等式与函数题解题技巧和思路分享数学是一门既抽象又具体的学科，其中不等式与函数是数学中的重要内容。
解题技巧和思路在数学学习中起到至关重要的作用。
本文将分享一些解决数学不等式与函数题的技巧和思路，帮助读者更好地应对这类题目。
一、不等式题解题技巧不等式题是数学中常见的题型，解题时需要注意以下几个技巧：1. 观察不等式的形式：不等式可以分为一元不等式和多元不等式。
对于一元不等式，我们可以通过图像、区间、符号等方式进行分析；对于多元不等式，需要考虑各个变量之间的关系。
2. 利用性质进行转化：有时候，我们可以通过一些性质将不等式转化为更简单的形式。
例如，对于二次不等式，可以利用平方差公式将其转化为完全平方差形式，从而更方便进行求解。
3. 运用数学方法：在解决不等式问题时，可以借助数学方法进行推导和证明。
例如，可以利用数列的性质、平均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等进行推导，从而得到更加准确的结果。
4. 注意特殊情况：在解决不等式问题时，需要注意特殊情况的存在。
例如，当不等式中的变量为负数或零时，不等式的符号可能会发生变化，需要进行特殊处理。
二、函数题解题技巧函数题是数学中的重要内容，解题时需要注意以下几个技巧：1. 理解函数的定义与性质：在解决函数题时，首先需要理解函数的定义与性质。
例如，对于一元函数，需要了解其定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，从而更好地进行分析和推导。
2. 利用函数的图像进行分析：函数的图像可以直观地反映函数的性质。
通过观察函数的图像，可以获得一些关于函数的信息，从而更好地解决函数题。
3. 运用函数的性质进行推导：在解决函数题时，可以利用函数的性质进行推导和证明。
例如，可以利用导数的定义和性质进行函数的最值求解，利用函数的连续性进行函数的极限计算等。
4. 注意函数的特殊情况：在解决函数题时，需要注意函数的特殊情况。
例如，当函数的定义域存在间断点时，需要进行特殊处理；当函数存在极值点时，需要进行极值点的求解。
高考数学中如何处理不等式和函数不等式
高考数学中如何处理不等式和函数不等式高中生的一大考验就是高考。
而在高考数学中，不等式和函数不等式是必考的考点。
然而，相较于直观的解题方法，不等式和函数不等式常常需要一定的技巧和灵活的思维方式。
本文将从解不等式和函数不等式的基本方法、案例分析和解题技巧等几个方面来探讨高考数学中如何处理不等式和函数不等式。
一、解不等式和函数不等式的基本方法1、将不等式化为一般形式。
处理不等式的第一步是把它化为一般形式，并且尽量把不等式的系数整理规范化。
然后，要对系数进行讨论来确定解不等式的范围。
举个例子：解不等式 $x-1\ge2x+3$。
我们可以移项化简得到$x\le-4$。
这样，我们就得出了不等式的解，也就是 $(-\infty，-4]$。
2、降低不等关系的阶数。
减少不等式中的绝对值、分式、开方等带有异于一次的函数形式，能促进求根工作。
有时还可以利用平方、移项等方法，将含有不等关系的式子处理为左式和右式的关系，即分成两个简单的不等式。
举个例子：解不等式 $|x+2|+|x+3|\ge5$。
我们可以使用等效方法将不等式处理为两个不等式的和，即 $|x+2|\ge1$ 或$|x+3|\ge4$。
最后的解集为 $x\le-3$ 或 $x\le-2$ 或 $x\ge2$。
3、分类讨论解不等式。
不同的不等式形式需要采用不同的解题方法。
没有一个万能的方法。
因此，我们需要根据特点和个别情况，考虑选择合适的解题方法。
举个例子：解不等式 $\frac{3}{1-x}+\frac{x+1}{x-3}\le0$。
我们可以把不等式的解划分为 $x\le-2$，$-2\lt x\lt1$ 和$x\ge1$ 三个区间来分别进行讨论。
二、案例分析1、绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念。
例如： $|x-2|<5$ 。
这里，我们可以先把不等式转化成两种不等式：$x-2<5$ 和 $x-2>-5$，再分别求解，得:x<7 和 x>-3。
最新高三教案-3.绝对值不等式的解法 精品
3 x 2 3 2 x
（见P16考例1）
定义法
同解变形
同解变形或数形结合 （见P17考例4） （见P17考例2变式） 同解变形
41 2 3x 4
5 x x 1
7 ax 2 2
（见P17考例3）
平方法 零点分析法
6 x 2 x 1 3（见P17考例3）
作业：
P19基础强化8 能力提高7、8 高考新题预测 （与考例5差不多）
A2（100）
B（x）
A5（400）
变式：数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2， 5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距 离之和最小。
小结：
1、解关于绝对值的不等式，关键是理解绝对值的意 义，掌握其基本类型。 2、解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对 值的几何意义，结合数轴解决。
含绝对值不等式的解法
高二备课组
1、绝对值的意义：
其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0 a 0, a 0 a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法：
（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法；
（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝 对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时 （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：
x aa 0 a x a
x aa 0 x a或x a
ax b cc 0 c ax b c
ax b cc 0 ax b c或ax b c
f x g x g x f x g x
高中数学不等式的问题教案
高中数学不等式的问题教案一、教学目标：1. 知识目标：了解不等式的基本概念和性质，掌握解不等式的方法和技巧。
2. 能力目标：能够灵活运用不等式求解实际问题，提高数学建模能力。
3. 情感态度目标：培养学生对数学的兴趣和自信心，激发学生思维的活跃性。
二、教学重点和难点：1. 重点：不等式的基本概念和性质；解不等式的方法和技巧。
2. 难点：应用不等式解决实际问题。
三、教学方法：1. 情境教学法：通过生活实例引入不等式的概念，增强学生对知识的理解和应用能力。
2. 示范演示法：老师讲解不等式解题步骤，并举例说明，引导学生掌握解题技巧。
3. 合作学习法：学生之间相互交流讨论，共同解决问题，培养团队合作意识。
四、教学过程：1. 导入：通过一个生活实例引入不等式的概念，让学生了解不等式的含义及应用场景。
2. 模块讲解：分析不等式的基本性质，讲解解不等式的方法和技巧，引导学生掌握解题思路。
3. 练习训练：让学生进行练习，巩固和提高解不等式的能力。
4. 实例分析：选取一些实际问题，让学生运用不等式解决，培养数学建模能力。
5. 总结反思：引导学生总结本节课的知识要点和解题技巧，反思学习过程中存在的问题和解决办法。
五、作业布置：完成课堂练习题，提升解不等式的能力。
六、教学建议：1. 注重实际问题：让学生在解题过程中体会到数学在生活中的应用，增强学习兴趣。
2. 培养细心态度：解不等式需要细心和耐心，鼓励学生多思考、多实践。
3. 鼓励创新思维：在解题过程中，鼓励学生灵活运用知识，发挥想象力和创造力。
以上是一份高中数学不等式问题的教案范本，希望对您有所帮助。
祝教学顺利！。
如何解函数不等式
解函数不等式是高中数学中的重点内容，主要涉及到对函数性质的深入理解和运用。
一般来说，解函数不等式的方法包括以下几种：1. 利用函数的单调性解不等式：当函数在其定义域上单调增加或单调减少时，可以利用这一性质来判断函数值与零点的大小关系，从而解决不等式问题。
例如，如果函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，那么对于任意x1, x2 ∈[a, b]，如果x1 < x2，则f(x1) < f(x2)。
2. 利用函数的奇偶性解不等式：如果函数是奇函数，那么对于所有x，有f(-x) = -f(x)；如果函数是偶函数，那么对于所有x，有f(-x) = f(x)。
这种性质可以帮助我们在解不等式时，通过考虑函数在特定点的值来简化问题。
3. 利用函数图象解不等式：通过绘制函数的图象，可以直观地看出函数在各个区间内的取值情况，从而判断不等式的解集。
这种方法通常适用于一次函数、二次函数等简单函数。
4. 导数法：在已知函数f(x)的基础上，构造新函数g(x) = f'(x)，通过研究g(x)的单调性来判断f(x)的取值范围。
例如，如果f(x)在点x0处取得极值，那么可以通过研究f'(x)在x0附近的符号变化来确定f(x)的增减性。
5. 转化法：当原不等式不易直接求解时，可以通过转化，例如构造辅助函数、变量替换等方式，将原不等式转化为易于求解的形式。
以一个具体的例子来说明如何解函数不等式：假设我们需要解不等式f(x) > 0，其中f(x) = x^2 - 3x + 2。
步骤如下：-分析函数性质：f(x)是一个二次函数，开口向上，其顶点为(1.5, -0.25)。
-找出关键点：通过求导数f'(x) = 2x - 3，并找出其零点，我们可以得到关键点x=1.5。
-绘制函数图象：在坐标轴上绘制f(x)的图象，并找出其与x轴的交点（即解集）。
-分析图象：从图象上可以看出，f(x)在x < 1.5和x > 1.5的区间内是大于零的。
高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧
高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧高考数学中，三角函数方程和不等式的求解是一个重要的考点。
掌握了相关的求解技巧，不仅可以提升数学成绩，还能在解决实际问题时起到关键作用。
本文将介绍一些常见的三角函数方程和不等式求解技巧，希望能对广大考生有所帮助。
一、三角函数方程的求解技巧1. 化简与等价变形在解三角函数方程时，首先要将复杂的方程化简为简单的形式。
通过等价变形，将方程转化为更易求解的形式，例如利用倒数公式、和差化积公式、和差化简等。
2. 观察周期性大多数三角函数具有周期性。
因此，在求解三角函数方程时，要充分利用函数图像的周期性质。
可以通过观察函数值的变化规律，找到方程在一个周期内的解，并推广到整个定义域。
3. 递推思想当遇到复杂的三角函数方程时，可以通过递推思想来解决。
即将方程中的变量逐步代入，化简为只含有一个未知数的方程，并逐步求解得到最终结果。
4. 回代与验证在得到方程的解后，要进行回代与验证。
将解代入原方程，验证等式是否成立。
如果成立，则解是方程的解；如果不成立，则需要重新检查求解过程。
二、三角函数不等式的求解技巧1. 图像法在解三角函数不等式时，可以绘制函数的图像来直观地找到不等式的解集。
通过观察图像的上升和下降趋势，确定不等式的取值范围。
2. 移项与化简与方程求解类似，不等式的求解也要通过移项和化简来将复杂的不等式转化为简单的形式。
通过等价变形，将不等式转化为更易求解的形式。
3. 考虑周期性与对称性三角函数的周期性和对称性是解三角函数不等式的重要技巧。
利用函数图像的周期性和对称性，可以将不等式的解集缩小到一个周期内，然后推广到整个定义域。
4. 关系式的转化有时候，将不等式转化为等价的关系式，可以更方便地求解。
例如，将不等式化为方程，然后根据方程的解集求解不等式的解集。
总结：高考数学中的三角函数方程与不等式求解技巧可以通过化简与等价变形、观察周期性、递推思想、图像法、移项与化简、考虑周期性与对称性、关系式的转化等方法来解决。
高考数学精英备考专题讲座 第三讲数列与不等式 第二节解不等式(2) 文 教案
第二节 解不等式不等式是高中数学的传统内容，对不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式的考查多以选择、填空题的形式出现，这类试题虽然难度不大，但往往有一定的灵活性.若是解答题,也是中等难度的题目；高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数与导数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明.不等式因它的基础性（是研究函数、方程、极限等必不可少的工具）、渗透性（容易与其它各部分知识结合在一起）、应用性（实际应用广泛），很自然地成为每年高考的热点.近几年，高考关于不等式的命题趋势是： （1）单纯不等式的题目多以选择填空题的形式出现，若是解答题也是中等难度的题目；（2）高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明，突出不等式的工具性.在高考试卷中，有关解不等式的试题一般有一到两道． 考试要求（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景． （2）一元二次不等式① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． ③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 题型一： 不等式的解法例1(2011上海理科20)已知函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠。
⑴ 若0ab >，判断函数()f x 的单调性；⑵ 若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围。
点拨；解不等式的基本思想方法是转化：一元二次不等式转化为一元一次不等式，分式不等式转化为整式不等式，指数与对数不等式（通过化“同底”）转化为代数不等式，抽象函数不等式（通过单调性）转化为具体不等式等.本题是指数不等式，可通过化“同底”求解．解：⑴ 当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+- ∵ 121222,0(22)0xxxxa a <>⇒-<，121233,0(33)0xxxxb b <>⇒-<， ∴ 12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数。
如何解决高考数学中的三角函数方程与不等式难题
如何解决高考数学中的三角函数方程与不等式难题高考数学中，三角函数方程与不等式是一类较为复杂的难题，对于考生来说，解决这类题目往往是一项具有挑战性的任务。
然而，只要我们掌握一定的解题方法和技巧，就可以在高考数学中游刃有余地应对这些难题。
本文将从解三角函数方程和不等式的基本方法、常见类型的解题技巧以及应试策略方面进行探讨，帮助考生们顺利解决高考数学中的三角函数方程与不等式难题。
一、解三角函数方程的基本方法想要解决三角函数方程，首先需要掌握常见的三角函数关系式。
例如，正弦函数和余弦函数的平方和等于1、正切函数和割函数的平方差等。
掌握这些基本的三角函数关系式有助于我们在解题过程中做出正确的推断和判断。
其次，了解三角函数的周期性质也是解决三角函数方程的重要一环。
根据正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数和割函数的周期为π，我们可以通过对周期区间内的解进行推广，找到方程的全部解。
最后，通过观察和变形方程，运用代换、恒等变换、倒置等技巧，将原方程转化为等价的简单方程。
在此过程中，我们要注意选择合适的变量代换，将复杂的方程简化为易于求解的形式。
二、常见类型的解题技巧1. 倍角、半角关系：对于三角函数方程中出现的倍角、半角关系，可以利用倍角、半角公式将其转化为使用较为简单的角度求解。
2. 和差化积公式：当三角函数方程中出现和差化积的形式时，可以利用和差化积公式将其转化为乘积的形式，便于我们解题。
3. 格式转换：对于一些复杂的三角函数方程，可以通过合理的格式转换，将其转化为更简单的方程或不等式，从而方便我们求解。
4. 引入辅助角：在解三角函数方程时，有时可以引入一个合适的辅助角来简化方程。
通过选取适当的辅助角，我们可以将原来复杂的方程转化为具有较简单结构的方程，从而求得解。
三、应试策略1. 确定解题思路：在解决高考数学中的三角函数方程与不等式难题时，需要根据题目的要求，确定解题思路。
可以通过观察题目中给出的条件，判断所给方程的类型，进而采取相应的解题方法。
高三数学不等式与不等式组的优秀教案范本
高三数学不等式与不等式组的优秀教案范本本教案旨在帮助高三学生巩固和提高在数学不等式与不等式组领域的知识和技能。
通过深入理解不等式和不等式组的性质以及解法，学生将能够更好地解决实际问题并在高考中取得优异成绩。
一、教学目标：1. 理解不等式和不等式组的定义和性质；2. 掌握求解不等式和不等式组的方法和技巧；3. 能够应用不等式和不等式组解决实际问题；4. 培养学生分析和推理的能力，提高解决数学问题的思维能力。
二、教学内容：1. 不等式的基本概念和性质；2. 一元一次不等式的解法；3. 一元二次不等式的解法；4. 多个不等式的解法；5. 应用题中的不等式和不等式组。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）介绍不等式和不等式组的概念，提问学生对不等式和不等式组的理解，并引导学生思考在实际生活中不等式和不等式组的应用。
2. 知识讲解（15分钟）详细讲解不等式的基本概念和性质，包括不等式的符号、不等式的加减乘除性质等。
通过示例引导学生理解不等式的本质和意义。
3. 解题方法介绍（10分钟）介绍一元一次不等式和一元二次不等式的解法，并强调解题时需要注意的技巧和常见错误。
通过示例讲解，帮助学生掌握解题方法。
4. 解题训练（35分钟）在黑板上给出一些不等式和不等式组的例题，指导学生通过逐步化简、绝对值法、平方法等解题方法求解。
鼓励学生积极思考和分析解题过程，及时纠正错误，并及时给予肯定和鼓励。
5. 拓展应用（20分钟）给出一些生活中的实际问题，让学生自己找出问题的关键点并建立不等式或不等式组，然后通过解题方法求解。
鼓励学生独立思考和解决问题的能力。
6. 总结归纳（5分钟）对本节课的内容进行总结，梳理不等式和不等式组的解题方法和技巧，强调学生掌握的重点和难点。
四、教学辅助工具：1. 黑板、粉笔或白板、马克笔；2. 教学PPT，呈现不等式和不等式组的概念、性质、解法等。
五、教学评价方式：1. 课堂口头答问，检查学生对不等式和不等式组的理解和运用能力；2. 针对解题过程和结果，进行组间、班级间小组竞赛，评选优秀的解题方法和步骤。
高中数学不等式及应用教案
高中数学不等式及应用教案
目标：学生能够掌握高中数学常见的不等式类型，并能够灵活运用不等式进行解题。
一、导入（5分钟）
老师通过展示一道简单的不等式题目引导学生思考，如2x + 3 > 7，然后请学生讨论这个
不等式的意义以及如何解决这个不等式。
二、概念讲解（15分钟）
1. 直接比较法：介绍不等式的大小关系，引导学生通过对不等式两边进行比较来解决问题。
2. 代数法：介绍通过代数运算来解决不等式问题，如加减乘除、移项、取对数等方法。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 让学生通过练习题目来巩固所学的不等式解题方法。
2. 引导学生分组讨论解答过程，分享解题思路。
四、拓展应用（10分钟）
1. 给学生提供一些拓展应用题目，让学生尝试运用不等式解决实际生活中的问题。
2. 引导学生思考如何将不等式运用到其他数学领域中，如几何、概率等。
五、总结与作业布置（5分钟）
老师对本堂课所学内容进行总结，强调不等式解题的重要性和灵活性。
布置一些相关的作
业让学生进行巩固复习。
本节课的教学目标是让学生掌握不等式的基本概念和解题方法，并能够灵活运用不等式进
行解题。
通过多样化的练习和应用，帮助学生提高数学解题能力和逻辑思维能力。
2.函数与不等式问题的解题技巧
第三讲 函数与不等式问题的解题技巧【例题解析】 1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例1．已知函数()f x 的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M∩N=（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅ 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法. 解：函数()f x 的定义域M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域N={}1,x x >-∴M∩N={|11}x x -<<． 故选C例2函数y =( )（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解：由20 4.log 20x x x >⎧⇒>⎨->⎩，故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3．函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是（ ） （A）,020xx y x ⎧≥⎪=< （B）2,00x x y x ≥⎧=< （C）,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（D）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.()121:2,.(),(0);22,0,()0.,020.yxy x x f x x y x y f x x xx y x --=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪∴=⎨⎪<⎩解又故选C.例4．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.解：()()11112,,.2222y x a x y a y x a x a =-∴=+∴=+=+与3y bx =+比较得a =6，1.2b =故填162；3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.例5．（2007年北京卷文）对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假： 命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解：22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数，又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-． 故选Ｃ例6．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力. 解：由()()12f x f x +=,得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例7． 已知函数()1,1xf x a z =-+，若()f x 为奇函数，则a =________.命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法：由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,0121121=+-++--x xa a .2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-x x x x a 应填21. 巧妙解法：因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即.21,01210=∴=+-a a 应填21. 点评：巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.例8． ()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.解 先证充分性：因为()f x ，()g x 均为偶函数， 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=，有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，所以 ()h x 为偶函数．反过来，若()h x 为偶函数，()f x ()g x 不一定是偶函数．如2()h x x =，(),f x x =2()g x x x =-，故选B.方法二：可以选取两个特殊函数进行验证． 故选B点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证． 5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例9．(2006年山东卷)函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 ( )（A ） （B ） （C ） （D ）命题意图: 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.解：∵y=1+a x (0<a <1),∴()()1log (1),01a f x x a -=-<<.此函数图象是由函数()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的.故选A. 6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力. 例10．已知.|1|)(22kx x x x f ++-= （Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明.41121<+x x命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。
高中数学教案不等式
高中数学教案不等式教学目标：
1. 掌握不等式的概念和性质；
2. 能够熟练解不等式；
3. 能够应用不等式解决实际问题。
教学重点和难点：
1. 不等式的定义和性质；
2. 解不等式，注意不等式两端的运算符号的改变。
教学准备：
1. 课件、教材、黑板、粉笔；
2. 题目练习册、答案。
教学过程：
一、复习导入（5分钟）
1. 复习前几节课所学习的代数式和方程的知识；
2. 引导学生回顾不等式的概念。
二、新知传授（10分钟）
1. 讲解不等式的定义和性质；
2. 讲解解不等式的基本方法和技巧。
三、示范演练（15分钟）
1. 做几道简单的例题让学生跟着老师一起做；
2. 提醒学生注意符号的变化、运算的规则。
四、学生练习（15分钟）
1. 学生自行完成教师给出的练习题；
2. 教师巡视指导学生，帮助解决问题。
五、讲解拓展（10分钟）
1. 讲解一些不等式的应用题，并辅以实例说明；
2. 激发学生的思考，引导学生灵活运用不等式解决问题。
六、小结提问（5分钟）
1. 教师对本节课所学内容进行小结，并强调重点；
2. 鼓励学生积极参与，提问解疑。
七、作业布置（5分钟）
1. 布置课后作业，加深学生对不等式知识的理解；
2. 鼓励学生勤加练习，巩固所学知识。
教学反思：
本节课教学设计主要是通过简单明了的不等式范本教案，引导学生掌握不等式的基本概念和解法，培养学生解决实际问题的能力。
要重视培养学生的逻辑思维能力和学习兴趣，激发他们对数学学习的热情。
高中生数学教案：解决函数问题的思路与策略
高中生数学教案：解决函数问题的思路与策略一、引言数学作为一门抽象的科学，常常让人感到困惑和头疼。
尤其是在解决函数问题时，很多高中生面临着挑战和困扰。
然而，只要我们掌握正确的思路与策略，解决函数问题将不再是难事。
本文将分享一些解决函数问题的思路与策略，帮助高中生提高数学解题能力。
二、理清函数性质在解决函数问题之前，首先需要对函数的性质有一个清晰的认识。
一个关键概念是定义域与值域。
通过确定函数的定义域和值域，可以帮助我们更好地理解函数，并指导我们在求解过程中避免错误。
三、利用画图法画图法是解决函数问题时非常有用的工具之一。
通过画出直观形象的图像，我们可以更好地理解题目所给条件，并帮助我们找到其中隐藏的规律。
例如，在求极值或最优化问题时，可以通过画出函数图像来找到极值点或最优解。
四、应用等价变形法等价变形法是数学问题求解中常用的策略之一。
通过将原始问题转化为等效或简化形式，我们可以更容易地得到解决问题的关键线索。
例如，对于函数求导的问题，我们常常可以通过等价变形将其转化为更简单的形式，从而更好地计算导数。
五、建立方程组对于含有多个变量和未知数的复杂函数问题，建立适当的方程组是解决问题的关键步骤。
通过列出各种条件与限制，并运用代数运算和解方程的方法，可以得到满足要求的变量值。
这是一个广泛应用于实际问题中的有效策略。
六、利用性质与定理在解决函数问题时，我们还可以利用一些已知性质与定理来加快求解过程。
例如，在求连续性或界值问题时，可以运用连续函数或积分中值定理等相关性质来辅助我们得到结果。
七、掌握典型题型思路在学习数学时，我们经常会遇到一些特定类型的题目。
针对不同类型题目，掌握相应的思路和策略非常重要。
例如，在求函数对称轴或图像平移时需要注意什么？如何判断函数极值点？为了能够准确回答这些问题并正确解题，建议多做一些典型例题，并总结规律。
八、多做练习与拓展数学是一门需要通过不断的练习和思考来提高的学科。
为了更好地掌握解决函数问题的思路与策略，建议多做一些相关的练习题，并挑战一些拓展性问题。
高中数学函数解法讲解教案
高中数学函数解法讲解教案
一、教学目标：
1. 理解函数的概念和性质；
2. 掌握常见函数的图像和性质；
3. 掌握函数的运算和性质。
二、教学重点：
1. 函数的概念和性质；
2. 常见函数的图像和性质；
3. 函数的运算和性质。
三、教学难点：
1. 如何求解函数的零点和极值；
2. 如何分析函数的图像。
四、教学准备：
1. 讲解用的PPT课件；
2. 习题集和解析。
五、教学过程：
1. 导入：通过一个生活中的例子引入函数的概念，让学生了解函数的定义和性质。
2. 授课：介绍常见函数的图像和性质，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
3. 练习：让学生尝试做一些习题，包括函数的运算、求零点和极值等。
4. 指导：解析习题，指导学生如何正确理解和运用函数的性质。
5. 拓展：让学生自主探究更复杂的函数题目，培养他们的分析和解决问题的能力。
六、作业布置：
1. 完成课堂上未完成的习题；
2. 自我总结和复习本节课的知识点。
七、课堂反馈：
1. 收集学生的作业，并及时给予反馈；
2. 纠正学生的错误观念，加强重难点的讲解。
八、课后延伸：
1. 鼓励学生在课后多做相关的习题，加深对函数的理解；
2. 提供更多拓展题目，拓宽学生的思维。
以上是一份高中数学函数解法讲解教案范本，希望对您有所帮助。
最新高中函数与不等式问题的解题技巧优秀名师资料
高中函数与不等式问题的解题技巧第三讲函数与不等式问题的解题技巧1(通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象(2(在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现(3(从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查(4(一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的(5(涌现了一些函数新题型(6(函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导(【例题解析】1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.1fx(),ln(1)，x1,x例1((2007年广东卷理)已知函数的定义域为M，g(x)=的定义域为N，则M?N={|1}xx,,{|1}xx,{|11}xx,,,, (A) (B) (C) (D)命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法.1fx(),xx,1,xx,,1,,,,,ln(1)，x1,x解:函数的定义域M= g(x)=的定义域N=?M?{|11}xx,,,N=(故选Cyx,,log22例2. ( 2006年湖南卷)函数的定义域是( )(A)(3,+?) (B)[3, +?) (C)(4, +?) (D)[4, +?)命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.x,0,,,x4.,log20x,,2,解:由，故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.2,0xx,,y,,2,,xx,0,例3((2006年安徽卷)函数的反函数是( )x,,0x,,2,0xx,,2y,,,y,,,,,xx,0,,xx,0,,,(A) (B)x,,0x,,2,0xx,,,2y,,y,,,,,,xx,0,,,xx,0,,, (D) (C)命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.yx,1解:2,.(),(0);yxxfxx,？,？,,2221,又yxyfxxx,,,？,,,,,0,(),0.，，x,,0x,,2？,y,,,,,xx,0.,故选C.yxa,,2ybx,，3a,例4((2007年湖北卷理)已知函数的反函数是，则 ;b, (命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.11111b,.yxaxyayxaxa,,？,，？,，,，2,,.，，，，ybx,，3a,22222解:与比较得6，16;2故填3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.2fxx()2,，fxx()(2),,fxx()cos(2),,例5((2007年北京卷文)对于函数?，?，?，判断如下两个命题的真假:fx(2)，命题甲:是偶函数;fx()(),,,，(2)，，,命题乙:在上是减函数，在上是增函数;能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( ),(?? ,(?? ,(? ,(?命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.222fxxfxx()(2),(2),,？，,fxx()(2),,(),,,，解:是偶函数，又函数开口向上且在上是2fxx()(2),,(2)，，,减函数，在上是增函数(故能使命题甲、乙均为真的函数仅有( 故选,1fx，,2，，fxf15,,,fx，，，，，，x例6((2006年安徽卷)函数对于任意实数满足条件，若则ff5,，，，，__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力.11fx，,2fxfx，,,4()，，，，fxfx，2，，，，ff(5)(1)5,,,,得，所以，则解:由11ffff5(5)(1),,,,,,,，，，，f(12)5,，.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.1fxa,,,，，xfx，，a,z，1例7((2006年全国卷) 已知函数，若为奇函数，则________. 命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用.11a,，a,,0,x,x2，12，1常规解法:由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即x11111，21,,1？a,，,,,.,,x,xx2222，12，12，1,,2应填.111a,,0,？a,.0222，1巧妙解法:因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即应填. 点评:巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.fx()fx()hxfxgx()()(),，gx()R例8((2007年全国卷理I)，是定义在上的函数，，则“，gx()hx()均为偶函数”是“为偶函数”的( )A(充要条件 B(充分而不必要的条件C(必要而不充分的条件 D(既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.fx()gx()解先证充分性:因为，均为偶函数，gxgx()(),,fxfx()(),,,所以，有hxfxgxfxgxhx()()()()()(),,,，,,，,，hx()所以为偶函数(22hxx(),gxxx(),,hx()fx()gx()fxx(),,反过来，若为偶函数，不一定是偶函数(如，，故选B.方法二:可以选取两个特殊函数进行验证(故选B点评:对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可(同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证(5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例9((2006年山东卷)函数y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是 ( )(A) (B) (C) (D)命题意图: 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.,1fxxa,,,,log(1),01，，，，a.此函数图象是由函数解:?y=1+ax(0<a<1),?fxxa,,,log,01，，，，a向右平移一个单位得到的.故选A.6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力.22f(x),|x,1|，x，kx.例10((2007年浙江卷文)已知f(x),0(?)若k = 2，求方程的解;f(x),0(?)若关于x的方程在(0，2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明11，,4.xx12命题意图:本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。
高三数学总复习 第三章 不等式教案
芯衣州星海市涌泉学校师范大学附属中学高三数学总复习教案：第三章不等式 教材：不等式、不等式的综合性质目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，理解并会证明不等式的根本性质ⅠⅡ。
过程：一、引入新课1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过许多不等式从而提出课题二、几个与不等式有关的名称〔例略〕1．“同向不等式与异向不等式〞2．“绝对不等式与矛盾不等式〞三、不等式的一个等价关系〔充要条件〕1．从实数与数轴上的点一一对应谈起2．应用：例一比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：〔取差〕)5)(3(-+a a )4)(2(-+a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二x 0,比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：〔取差〕22)1(+x)1(24++x x ∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三比较大小1．231-和10解：∵23231+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<102．a b 和ma mb ++),,(+∈R m b a 解：〔取差〕a b m a m b ++)()(m a a a b m +-=∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小 解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 四、不等式的性质1．性质1：假设b a>，那么a b <；假设a b <，那么b a >〔对称性〕 证：∵b a >∴0>-b a 由正数的相反数是负数2．性质2：假设b a>，c b >那么c a >〔传递性〕 证：∵b a >，c b >∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数∴+-)(b a 0)(>-c b 0>-c a ∴c a >由对称性、性质2可以表示为假设b c <且a b <那么a c <五、小结：1．不等式的概念2．一个充要条件3．性质1、2六、作业：P5练习P8习题1—3补充题：1．假设142=+y x ，比较22y x +与201的大小 解：241y x -=22y x +201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin 与sin2的大小(0<<2)略解：2sin sin2=2sin (1cos )当(0,)时2sin (1cos )≥02sin ≥sin2当(,2)时2sin (1cos )<02sin <sin2 3．设0>a且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小 解：)1()1()1(223-=+-+a a a a当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a 当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a。
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解03 函数背景下的不等式
高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解 第3讲 函数背景下的不等式专项突破高考定位函数、方程、不等式三者之间关系密不可分，也是高中数学考查的重点内容。
函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。
考点解析（1）数形结合解不等式（2）单调性解不等式（3）同构解不等式 题型解析类型一、利用图像解不等式例1-1（抽象函数作图）（2021·江西·高三月考（文））若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且()30f =，则满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为（） A ．(][),15,-∞-+∞ B ．[][]3,05,-+∞ C ．[][]1,02,5-D ．(][),10,5-∞-【答案】C 【分析】根据函数的单调性、奇偶性、函数图象变换，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意()f x 是R 上的奇函数，且在(0,)+∞递增，且()30f =，所以()f x 在(),0-∞递增，且()30f -=.()2f x -的图象是由()f x 的图象向右平移2个单位得到， 画出()2f x -的大致图象如下图所示，由图可知，满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为[][]1,02,5-.故选：C.练、已知定义在R 上的偶函数满足在上单调递增，，则关于x 的不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据题意作出函数的草图，将，转化为，利用数形结合法求解. 【详解】()f x [0,)+∞(3)0f =(2)(2)0f x f x x++-->(5,2)(0,)--+∞(,5)(0,1)-∞-(3,0)(3,)-⋃+∞(5,0)(1,)-+∞()f x (2)(2)0f x f x x ++-->2(2)0f x x+>因为定义在R 上的偶函数满足在内单调递增， 所以满足在内单调递减，又， 所以． 作出函数的草图如下：由，得，得， 所以或所以或解得或， 即不等式的解集为．故选：D练．已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（）A ．B ．()f x (0,)+∞()f x (,0)-∞(3)0f =(3)(3)0f f -==()f x (2)(2)0f x f x x ++-->(2)[(2)]0f x f x x++-+>2(2)0f x x+>0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩0,23,x x >⎧⎨+>⎩0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩1x >5x 0-<<(2)(2)0f x f x x++-->(5,0)(1,)-+∞()f x R ()54f =()3f x +[)12,3,x x ∈+∞()()12120f x f x x x ->-()314f x -<2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．【答案】D 【分析】由是偶函数，得函数图像关于直线对称，结合单调性求解不等式即可得到结果. 【详解】因为是偶函数，所以的图像关于直线对称， 则， 因为任意满足，所以在上单调递增，在上单调递减， 故等价于，解得. 故选：D例1-2（周期函数作图）．（2021·山东菏泽·高三期中）定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，21,01()44,12xe xf x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩，若关于x 的不等式||()m x f x ≤的整数解有且仅有7个，则实数m 的取值范围为（） A ．11,53e e --⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,53e e --⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,75e e --⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,75e e --⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【分析】确定函数周期为4，关于2x =对称，画出函数图像，根据函数图像结合奇偶性得()2,32,23⎛⎫ ⎪⎝⎭()3f x +3x =()3f x +()f x 3x =()()514f f ==[)12,3,x x ∈+∞()()12120f x f x x x ->-()f x [)3,+∞(),3-∞()314f x -<1315x <-<223x <<到()()5577m f m f ≤⎧⎪⎨>⎪⎩，解得答案.【详解】()f x 为偶函数，()(2)(2)2f x f x f x -=+=-，即()()4f x f x =+，函数周期为4T =.(2)(2)f x f x -=+，函数关于2x =对称.||m x 和()f x 均为偶函数，故只考虑0x ≥的情况，画出函数图像，如图所示：根据图像知：不等式||()m x f x ≤的整数解有且仅有7个，则需要满足()()5577m f m f ≤⎧⎪⎨>⎪⎩，解得11,75e e x --⎛⎤∈⎥⎝⎦. 故选：D.例1-3（类周期作图）．（2021·福建·福州四中高三月考）设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()89f x ≥，则m 的取值范围是（）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【分析】由()()12f x f x +=可得()()21f x f x =-，分段求函数的解析式，结合图象可得解．【详解】因为()()12f x f x +=，()()21f x f x =-，∵(]0,1x ∈时，()()11,04f x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴(]1,2x ∈时，(]10,1x -∈，()()()()121212,02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦； ∴(]2,3x ∈时，(]11,2x -∈，()()()()[]214231,0f x f x x x =-=--∈-， 当(]2,3x ∈时，由()()84239x x --=-解得73x =或83x =，如图，由图可知，若对任意(],x m ∈-∞，都有()89f x ≥-，则73m ≤．故选：B.类型二、利用单调性解不等式例2-1（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(0,1]D ．[1,1]- 【答案】A 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可 【详解】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--， 所以()f x 是奇函数，所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-， 因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数， 所以()f x 在R 上为增函数， 所以142x x +≥-，解得1x ≥， 故选：A.练．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（）A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减， 由()()320f m f m -+-<，得()()()322f m f m f m -<--=，于是得32m m ->，解得3m <-. 故选:C.例2-2．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()()22,031log 1,3x x f x x x -+≤<⎧=⎨-+≥⎩，若对任意的[],1x t t ∈+，不等式()()()12f x f x t f -≤++-恒成立，则实数t 的最小值为( )A ．-1B ．23-C ．13-D ．13【答案】A 【分析】首先利用一次函数性质和对数型复合函数的性质求出()f x [0,)+∞上的单调性，然后再利用偶函数性质可得到不等式()22110t x t ++-≤，然后结合一次函数性质和x 的范围求解即可. 【详解】由一次函数性质可知，2y x =-+在[0,3)上单调递减， 且对于[0,3)x ∀∈，2321y x =-+>-+=-；由对数型复合函数易知，21log (1)y x =-+在[3,)+∞上也是单调递减的， 且对于[3,)x ∀∈+∞，221log (1)1log (31)1y x =-+≤-+=-， 故()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由()()f x f x -=，得()f x 为偶函数，且(2)(2)0f f -==， 若要对任意的[],1x t t ∈+，不等式(1)()(2)f x f x t f -≤++-恒成立， 即对[],1x t t ∈+，不等式(1)()f x f x t -≤+恒成立，|1|||x x t -≥+，即()()221x x t -≥+，即()22110t x t ++-≤，不妨令()2()211g x t x t =++-，[],1x t t ∈+，由一次函数性质可知，()()()22()2110(1)21110g t t t t g t t t t ⎧=++-≤⎪⎨+=+++-≤⎪⎩，解得113t -≤≤-， 故实数t 的最小值为1-. 故选：A.练、设()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，对任意的1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，满足：()()2211210x f x x f x x x ->-，且(2)4f =，则不等式8()0f x x->的解集为（） A ．(2,0)(2,)-+∞ B ．(2,0)(0,2)- C ．(,4)(0,4)-∞-⋃ D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】A 【分析】先由()()2211210x f x x f x x x ->-，判断出()y xf x =在(0,)+∞上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单调性即可求出8()0f x x->的解集. 【详解】解：对任意的1212,(0,),x x x x ∈+∞≠，都有()()2211210x f x x f x x x ->-，()y xf x ∴=在(0,)+∞上是增函数，令()()F x xf x =，则()()()()F x xf x xf x F x -=--==，()F x ∴为偶函数，()F x ∴在(,0)-∞上是减函数，且(2)2(2)8F f ==，8()8()(2)()0xf x F x F f x x x x--∴-==>， 当0x >时，()(2)0F x F ->， 即2x >，解得：2x >， 当0x <时，()(2)0F x F -<， 即2x <，解得：20x -<<， 综上所述：8()0f x x->的解集为：(2,0)(2,)-+∞. 故选：A.类型三、同构法解不等式例3-1．（2021·辽宁沈阳·高三月考）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为（） A ．(),e -∞ B ．(),1-∞ C ．(),e +∞ D ．()1,+∞【答案】D 【分析】 令()()xf xg x e =，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可． 【详解】解：令()()x f x g x e =，则()()()0xf x f xg x e''-=>，故g （x ）在R 递增，不等式()()121x e f x f x -<-，即21()(21)x x f x f x e e --<，故()(21)g x g x <-，故x ＜2x −1，解得：x ＞1，故选：D.练（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x->，且()20f -=，则不等式()0f x x >的解集是（） A ．()()2,00,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．()()2,02,-+∞D ．()(),20,2-∞-【答案】C【分析】 ()f x 是定义在R 上的偶函数，说明()f x x 奇函数，若0x >时，'2()()0xf x f x x->，可得()f x x 为增函数，若0x <，()f x x为增函数，根据()()220f f -==，求出不等式的解集；【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x->， ∴()f x x 为增函数，()f x 为偶函数，()f x x为奇函数， ∴()f x x在(),0-∞上为增函数， ∵()()220f f -==，若0x >，()202f =，所以2x >； 若0x <，()202f -=-，()f x x在(),0-∞上为增函数，可得20x -<<，综上得，不等式()0f x x>的解集是()()2,02,-+∞. 故选：C.例3-2（指对互化同构解不等式）．（2021春•淇滨区校级月考）已知函数1()mx f x e lnx m=-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为() A ．(1,)+∞B ．(,)e +∞C ．1(,)e e D ．1(,)e +∞【解答】解：由题意，若0m …显然()f x 不是恒大于零，故0m >．（由4个选项也是显然，可得0)m >， 则显然1()0mx f x e lnx m=->在(0，1]上恒成立； 当1x >时，1()0mx f x e lnx m =->⇔1mx mx lnx e lnx mx e xlnx lnx e m >⇔⋅>=⋅， 令()(0)t g t te t =>，()(1)0t g t t e '=+>，()g t 在(0,)+∞上单调递增．因为0mx >，0(1)lnx x >>，所以mx lnx mx e lnx e mx lnx ⋅>⋅⇔>，即(1)lnx m x x >>， 再设21()()(1)lnx lnx h x h x x x x -=⇒'=>，令()0h x '=，则x e =， 易得()h x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 所以1()()max h x h e e ==，故1m e>，所以m 的取值范围为1(,)e +∞．故选：D ．练．（2021春•南阳期末）若1a >，不等式1(2)0x a xe x a lnx x --+-->在(1,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是．【解答】解：设()(0)x f x e x x =->，求导可得()1x f x e '=-， ()f x ∴在(0,)+∞单调递增， 1(2)0x a xe x a lnx x --+-->， 1(1)x a xe x lnx x a lnx -∴-->--， x x lnx xe e +=，1(1)a a lnx lnx --=，11a a lnx x e --=， 1()()a f x lnx f lnx -∴+>， 1x >，1a >，0x lnx ∴+>，10a lnx ->， 又()f x 在(0,)+∞单调递增， (1)x lnx a lnx ∴+>-，即(2)x a lnx >-， 10lnx ln >=， ∴2x a lnx>-， 设()x m x lnx=，1x >， 求导可得21()lnx m x ln x -'=， 令()0m x '>，解得x e >，()0m x '<，解得1x e <<， ()m x ∴在(,)e +∞单调递增，在(1,)e 单调递减， ()m x ∴在x e =取得极小值点，也为()m x 的最小值点， ()min m x m ∴=（e ）e =，即2a e -<，可得12a e <<+ 则实数a 的取值范围是(1,2)e +． 故答案为：(1,2)e +．。
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第三讲函数与不等式问题的解题技巧【命题趋向】全国高考数学科《考试大纲》为走向高考的莘莘学子指明了复习备考的方向．考纲是考试法典，是命题的依据，是备考的总纲．科学备考的首要任务，就是要认真学习、研究考纲．对照2007年的考纲和高考函数试题有这样几个特点：1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象．2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现．3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查．4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的．5．涌现了一些函数新题型．6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导．函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分．而2007年的不等式试题则有这样几个特点：1．在选择题中会继续考查比较大小，可能与函数、方程、三角等知识结合出题.2．在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值应用题.3．解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法.分值在27---32分之间，一般为2个选择题，1个填空题，1个解答题．可以预测在2008年的高考试题中，会有一些简单求函数的反函数，与导数结合的函数单调性－函数极值－函数最值问题；选择题与填空题中会出现一些与函数、方程、三角等知识结合的不等式问题，在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题，这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。
【考点透视】1．了解映射的概念，理解函数的概念．2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程．3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数．4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质．5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质． 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．7．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力．8．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式．9．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题． 10．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力． 11．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．12．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．【例题解析】 1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例1．（2007年广东卷理）已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅ 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法. 解：函数()f x =M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域N={}1,x x >-∴M ∩N={|11}x x -<<．故选C例2. ( 2006年湖南卷）函数y ( )（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解：由20 4.log 20x x x >⎧⇒>⎨->⎩，故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3．（2006年安徽卷）函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是（ ）（A）,020xx y x ⎧≥⎪=< （B）2,00x x y x ≥⎧⎪=< （C）,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（D）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.()121:2,.(),(0);22,0,()0.,020.yxy x x f x x y x y f x x xx y x --=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪∴=⎨⎪<⎩解又故选C.例4．（2007年湖北卷理）已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.解：()()11112,,.2222y x a x y a y x a x a =-∴=+∴=+=+与3y bx =+比较得a =6，1.2b =故填162；3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.例5．（2007年北京卷文）对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力. 解：22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数，又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-．故选Ｃ例6．（2006年安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()5f f =__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力. 解：由()()12f x f x +=,得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例7．（2006年全国卷） 已知函数()1,1xf x a z =-+，若()f x 为奇函数，则a =________.命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法：由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,0121121=+-++--x xa a .2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-x x x x a 应填21. 巧妙解法：因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即.21,01210=∴=+-a a 应填21. 点评：巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.例8．（2007年全国卷理I ）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识. 解 先证充分性：因为()f x ，()g x 均为偶函数， 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=，有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，所以 ()h x 为偶函数．反过来，若()h x 为偶函数，()f x ()g x 不一定是偶函数．如2()h x x =，(),f x x =2()g x x x =-，故选B. 方法二：可以选取两个特殊函数进行验证． 故选B点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证． 5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想. 例9．(2006年山东卷)函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 ( )（A ） （B ） （C ） （D ）命题意图: 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.解：∵y=1+a x (0<a <1),∴()()1log (1),01a f x x a -=-<<.此函数图象是由函数()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的. 故选A. 6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力.例10．（2007年浙江卷文）已知.|1|)(22kx x x x f ++-= （Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明.41121<+x x命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。